Bài tập Tích phân mặt - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Tích phân mặt Loại I.
Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x,y,z) xác định trên S.
Tích phân mặt loại I của hàm số f(x,y,z) trên mặt S kí hiệu là f  , x , y z dS  . S
Diện tích của mặt S: dS.  S Cách tính
 Giả sử mặt S được cho bởi phương trình z = z(x,y), trong đó z là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng ' p  z x y q  z
x y liên tục trong miền đóng giới nội D (hình chiếu của S lên x   ' , ; y  ,  mặt Oxy. Khi đó 2 2 dS  1  p  q dxdy , f  x y zdS  f  x y zx y 2 2 , , , , , 1 p  q dxdy . S D
Tương tự nếu mặt S cho bởi phương trình x = x(y,z), hs tự rút ra công thức tính.
 Trường hợp mặt S có phương trình tham số
x  xu v y  yu v z  z u v u v 2 , , , , , ,
,  D  R . f(x,y,z) là hàm xác định liên tục trên S. Khi đó: f   x y z ds  f
  xu v yu v zu v 2 , , , , , , , EG  F dud . v S D E,F,G là hệ số Gauss: 2 2 2  x    y    z   E           u    u    u   2 2 2  x    y    z   G           v   v   v  x       . x y  . y z  . z E
 u  v  u  v  u  v Trọng tâm của mặt
Nếu khối lượng riêng của mặt S tại điểm M(x,y,z) là  M .
Tọa độ trọng tâm G của mặt S Trong đó m  
 M dS là khối lượng của mặt S. S Bài tập. Tính a) zdS 
, S là mặt paraboloit hyperbolic 2 2
z  x  y nằm trong mặt trụ 2 2 x  y  4. S b) ydS  , S là phần của mặt 2 2 z 
x  y , 0  x  1, 0  y2. S c) dS 
, S là phần mặt phẳng x  y  z  1 nằm trong góc phần tám thứ nhất.   x z2 1 S
d) 2x  y z dS , S là phần mặt phẳng x  y  z 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất. S e) 2 2
  x  y dS, S là phần mặt nón nằm giữa các mặt phẳng z  0, z  1. S
f) 6x  4y  3z dS , S là phần mặt phẳng x  2y 3z  6 thuộc góc phần tám thứ nhất. S  4  g) y z   2x  dS 
, S là phần mặt phẳng 6x  4 y  3z 12 thuộc góc phần tám thứ nhất.  3  S
h) x  y  zdS, S là nửa mặt cầu 2 2 2 2
x  y  z  a , z  0. S i) 2 2
  x  y dS , S là mặt cầu 2 2 2 2 x  y  z  a . S
j) xy yz zxdS , S là phần của mặt nón 2 2 z 
x  y nằm trong mặt trụ 2 2 x  y  2ax . S k) 2 2 2 2
  x z  z y dS , S là mặt cầu 2 2 2 2
x  y  z  a , a  0. S l) 2 2
  y  z dS , S là phần của mặt paraboloit 2 2
x  4  y  z nằm ở trên mặt phẳng x = 0. S Loại II.
Tích phân mặt loại II tổng quát Pdydz  Qdzdx  Rdxdy, 
Trong đó giả sử ba hàm S
P M   P x, y, z ,Q  x, y, z , R  ,
x y, z  liên tục trên S. Cách tính.
Giả thiết mặt S được chiếu đơn trị lên miền D(y,z) của mặt yOz và x  f  y, z  là phương trình của
nó, khi đó Pdydz   P  f 
  y,z ,y ,z dydz  . S D Tương tự ta có Qdxdz   Q  , x g 
   ,x z, zdxdz  S D Rdxdy   R x ,y ,h    x,y  dxdy  S D
Dấu + trong trường hợp nếu phía mặt được chọn cos, cos , cos  0 , dấu – nếu các cos âm
Bài tập. Tính các tích phân mặt sau a) dxdy 
, S là phía ngoài phần mặt nón 2 2 z  x  y khi 0  z  1. D b) xdydz  zdxdz  5dxd , y 
S là phía trên của phần mặt phẳng 2x  3y  z  6. S
c) xdydz  ydzdx  zdxdy , trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2 x  y  z  a . S d) 2 2 x  y dxdy 
theo phía dưới của hình tròn 2 2 2 x  y  R . S