Bài tập Tích phân mặt - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài tập Tích phân mặt - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 2 (MAT1042)

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

3 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Tích phân mặt
Loại I.
Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x,y,z) xác định trên S.
Tích phân mặt loại I của hàm số f(x,y,z) trên mặt S kí hiệu là
, ,
S
f x y z dS

.
Diện tích của mặt S:
.
S
dS

Cách tính
Giả sử mặt S được cho bởi phương trình z = z(x,y), trong đó z là hàm số liên tục, có các đạo
hàm riêng
' '
, ; ,
x y
p z x y q z x y
liên tục trong miền đóng giới nội D (hình chiếu của S lên
mặt Oxy. Khi đó
2 2
1
dS p q dxdy
,
2 2
, , , , , 1
S D
f x y z dS f x y z x y p q dxdy

.
Tương tự nếu mặt S cho bởi phương trình x = x(y,z), hs tự rút ra công thức tính.
Trường hợp mặt S có phương trình tham số
2
, , , , , , , .x x u v y y u v z z u v u v D R
f(x,y,z) là hàm xác định liên tục trên S.
Khi đó:
2
, , , , , , , dud .
S D
f x y z ds f x u v y u v z u v EG F v

E,F,G là hệ số Gauss:
2 2 2
2 2 2
. . .
x y z
E
u u u
x y z
G
v v v
x x y y z z
E
u v u v u v
Trọng tâm của mặt
Nếu khối lượng riêng của mặt S tại điểm M(x,y,z) là
.
Tọa độ trọng tâm G của mặt S
Trong đó
S
m M dS

là khối lượng của mặt S.
Bài tập. Tính
a)
S
zdS
, S là mặt paraboloit hyperbolic
2 2
z x y
nằm trong mặt trụ
2 2
4.
x y
b)
S
ydS
, S là phần của mặt
2 2
, 0 1, 0 2.z x y x y
c)
2
1
S
dS
x z
, S là phần mặt phẳng
1x y z
nằm trong góc phần tám thứ nhất.
d)
2
S
x y z dS
, S là phần mặt phẳng
1x y z
nằm trong góc phần tám thứ nhất.
e)
2 2
,
S
x y dS
S là phần mặt nón nằm giữa các mặt phẳng
0, 1.z z
f)
6 4 3 ,
S
x y z dS
S là phần mặt phẳng
2 3 6x y z
thuộc góc phần tám thứ nhất.
g)
4
2
3
S
y
z x dS
, S là phần mặt phẳng
6 4 3 12x y z
thuộc góc phần tám thứ nhất.
h)
,
S
x y z dS
S là nửa mặt cầu
2 2 2 2
, 0.
x y z a z
i)
2 2
S
x y dS
, S là mặt cầu
2 2 2 2
.x y z a
j)
S
xy yz zx dS
, S là phần của mặt nón
2 2
z x y
nằm trong mặt trụ
2 2
2x y ax
.
k)
2 2 2 2
S
x z z y dS
, S là mặt cầu
2 2 2 2
, 0.
x y z a a
l)
2 2
,
S
y z dS
S là phần của mặt paraboloit
2 2
4
x y z
nằm ở trên mặt phẳng x = 0.
Loại II.
Tích phân mặt loại II tổng quát
,
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Trong đó giả sử ba hàm
, , , , , , , ,P M P x y z Q x y z R x y z
liên tục trên S.
Cách tính.
Giả thiết mặt S được chiếu đơn trị lên miền D(y,z) của mặt yOz và
,x f y z
là phương trình của
nó, khi đó
, , , dyd
S D
Pdydz P f y z y z z
.
Tương tự ta có
Q , , , dxd
S D
Qdxdz x g x z z z

, , , dxdy
S D
Rdxdy R x y h x y

Dấu + trong trường hợp nếu phía mặt được chọn
cos , cos , cos 0
, dấu – nếu các cos âm
Bài tập. Tính các tích phân mặt sau
a)
D
dxdy
, S là phía ngoài phần mặt nón
2 2
z x y
khi
0 1.z
b)
5 ,
S
xdydz zdxdz dxdy
S là phía trên của phần mặt phẳng
2 3 6.x y z
c)
S
xdydz ydzdx zdxdy
, trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2 2
.x y z a
d)
2 2
S
x y dxdy
theo phía dưới của hình tròn
2 2 2
.x y R
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tích phân mặt Loại I.
Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x,y,z) xác định trên S.
Tích phân mặt loại I của hàm số f(x,y,z) trên mặt S kí hiệu là f  , x , y z dS  . S
Diện tích của mặt S: dS.  S Cách tính
 Giả sử mặt S được cho bởi phương trình z = z(x,y), trong đó z là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng ' p  z x y q  z
x y liên tục trong miền đóng giới nội D (hình chiếu của S lên x   ' , ; y  ,  mặt Oxy. Khi đó 2 2 dS  1  p  q dxdy , f  x y zdS  f  x y zx y 2 2 , , , , , 1 p  q dxdy . S D
Tương tự nếu mặt S cho bởi phương trình x = x(y,z), hs tự rút ra công thức tính.
 Trường hợp mặt S có phương trình tham số
x  xu v y  yu v z  z u v u v 2 , , , , , ,
,  D  R . f(x,y,z) là hàm xác định liên tục trên S. Khi đó: f   x y z ds  f
  xu v yu v zu v 2 , , , , , , , EG  F dud . v S D E,F,G là hệ số Gauss: 2 2 2  x    y    z   E           u    u    u   2 2 2  x    y    z   G           v   v   v  x       . x y  . y z  . z E
 u  v  u  v  u  v Trọng tâm của mặt
Nếu khối lượng riêng của mặt S tại điểm M(x,y,z) là  M .
Tọa độ trọng tâm G của mặt S Trong đó m  
 M dS là khối lượng của mặt S. S Bài tập. Tính a) zdS 
, S là mặt paraboloit hyperbolic 2 2
z  x  y nằm trong mặt trụ 2 2 x  y  4. S b) ydS  , S là phần của mặt 2 2 z 
x  y , 0  x  1, 0  y2. S c) dS 
, S là phần mặt phẳng x  y  z  1 nằm trong góc phần tám thứ nhất.   x z2 1 S
d) 2x  y z dS , S là phần mặt phẳng x  y  z 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất. S e) 2 2
  x  y dS, S là phần mặt nón nằm giữa các mặt phẳng z  0, z  1. S
f) 6x  4y  3z dS , S là phần mặt phẳng x  2y 3z  6 thuộc góc phần tám thứ nhất. S  4  g) y z   2x  dS 
, S là phần mặt phẳng 6x  4 y  3z 12 thuộc góc phần tám thứ nhất.  3  S
h) x  y  zdS, S là nửa mặt cầu 2 2 2 2
x  y  z  a , z  0. S i) 2 2
  x  y dS , S là mặt cầu 2 2 2 2 x  y  z  a . S
j) xy yz zxdS , S là phần của mặt nón 2 2 z 
x  y nằm trong mặt trụ 2 2 x  y  2ax . S k) 2 2 2 2
  x z  z y dS , S là mặt cầu 2 2 2 2
x  y  z  a , a  0. S l) 2 2
  y  z dS , S là phần của mặt paraboloit 2 2
x  4  y  z nằm ở trên mặt phẳng x = 0. S Loại II.
Tích phân mặt loại II tổng quát Pdydz  Qdzdx  Rdxdy, 
Trong đó giả sử ba hàm S
P M   P x, y, z ,Q  x, y, z , R  ,
x y, z  liên tục trên S. Cách tính.
Giả thiết mặt S được chiếu đơn trị lên miền D(y,z) của mặt yOz và x  f  y, z  là phương trình của
nó, khi đó Pdydz   P  f 
  y,z ,y ,z dydz  . S D Tương tự ta có Qdxdz   Q  , x g 
   ,x z, zdxdz  S D Rdxdy   R x ,y ,h    x,y  dxdy  S D
Dấu + trong trường hợp nếu phía mặt được chọn cos, cos , cos  0 , dấu – nếu các cos âm
Bài tập. Tính các tích phân mặt sau a) dxdy 
, S là phía ngoài phần mặt nón 2 2 z  x  y khi 0  z  1. D b) xdydz  zdxdz  5dxd , y 
S là phía trên của phần mặt phẳng 2x  3y  z  6. S
c) xdydz  ydzdx  zdxdy , trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2 x  y  z  a . S d) 2 2 x  y dxdy 
theo phía dưới của hình tròn 2 2 2 x  y  R . S