Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ

lOMoARcPSD|36212343
BÀI TẬP TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ Bàì 1: Cho A
 BC đều, cạnh bằng a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau:    2 2
   
a) ABAC; (2AB)(3HC) ĐS: a 3 ; a 
b) (AB  AC)(2AB  BC) ĐS: 0 2 2 Bài 2: Cho A
 BC có BC = a, CA= b, AB = c. 
   2 2 2 a) Tính  
ABAC theo a, b, c. Từ đó suy ra: ABBC  BCCA  CAAB . ĐS b c a ; …. 2
b) Gọi G là trọng tâm của A
 BC , tính độ dài AG và cosin của góc nhon tạo bởi AG và BC.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a.
      a) Tính A . B C ; D B .
D BC; AC.BD  
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính AI.BD . Từ đó suy ra góc của AI và BD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các TVH sau:
   a) ABAC ; A . B BD
       
b) (AB  AD)(BD  BC); (AB  AC)(AB  2AD)
     
c) (AB  AC  AD)(DA DB  DC)
    d) M .
A MB  MC.MD , M là điểm bất kì trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Bài 5: Cho A
 BC có BC = 4, CA= 3, AB =2. Tính  a) ABAC . Suy ra cosA  
b) Gọi G là trọng tâm của A
 BC , tính A . G BC
      c) Tính G . AGB  G .
B GC  GC.GA   
d) Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính AD theo AB, AC ; độ dài của AD   Bài 6: Cho A
 BC có BC = 6, AB =5 và BC.BA  24 . a) Tính S AC ABC ;
b) Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH.
Bài 7: Cho MM’ là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định
 
và OA = d. AM cắt (O) tại N. CMR AM.AM '; AM.AN có giá trị không phụ thuộc vào M.      
Bài 8: Cho 2 vectơ a, b thoả mãn: a 1, b  2, a  2b  15 .       a) Tính . a b
b) Xác định k để góc giữa (a  b), (2ka  b) bằng 600.
Downloaded by Di?p DN - Chuyên Viên R&D (diepdn@bibabo.vn) lOMoARcPSD|36212343 Bài 9: Cho A
 BC vuông có cạnh huyền BC = a 3 . Gọi AM là trung tuyến, biết
  1 2
AM.BC a . Tính độ dài AB và AC. 2 Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB. Biết       2 2 2
AC.AB  4a , C .
ACB  9a , C . B CD  6a .
a) Tính các cạnh của hình thang
b) Gọi IJ là đường trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của IJ trên BD.  
c) Gọi M là điểm trên AC và AM  k AC . Tính k để BM  CD.
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về TVH hay tích độ dài Bài 1: Cho A
 BC , G là trọng tâm. CMR
      a) M . A BC  M .
B CA  MC.AB  0 b) 2 2 2 2 2 2 2
MA  MB  MC  3MG  GA  GB  GC , M bất kỳ. Suy ra 2 2 2
MA  MB  MC đạt GTNN Bài 2: Cho A
 BC , M là trung điểm BC và H là trực tâm. CMR   a) 1 2
MH.MA  BC B) 2 2 2 1 2
MA  MH  AH  BC 4 2
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M tuỳ ý. CMR
      a) 2 2 2 2
MA  MC  MB  MD b) M . A MC  M . B MD c) 2 MA  2M .
A MO , O là tâm hcn và
M thuộc đường tròn ngoại tiếp hcn.
       
Bài 4: CMR ABCD là hbh khi và chỉ khi A . B AD  B . A BC  C .
B CD  DC.DA  0 .
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có P, Q là trung điểm của 2 đường chéo. CMR   a) 1 2 2 2 2 A .
B CD  (AD  BC  AC  DB ) 2 b) 2 2 2 2 2 2 2
AB  BC  CD  DA  AC  BD  4PQ
Bài 6: Cho hbh ABCD, M tuỳ ý. CMR a) 2 2 2 2 2 2
MA  MC  MB  MD  2DA  DB
b) M di động trên đường thẳng d, xác định vị trí của M để 2 2 2
MA  MC  MB đạt GTNN Bài 7: Cho A  BC , M tuỳ ý.
   
a) CMR m  MA MB  2MC không phụ thuộc vào vị trí của M.  
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp A  BC . CMR 2 2 2
MA  MB  2MC  2M . O m
c) Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn 2 2 2
MA  MB  2MC
d) M di động trên đường tròn ngoại tiếp A
 BC , tìm vị trí của M để 2 2 2
MA  MB  2MC đạt GTNN, GTLN.
Downloaded by Di?p DN - Chuyên Viên R&D (diepdn@bibabo.vn) lOMoARcPSD|36212343 Bài 8: Cho A
 BC , I là trung điểm của trung tuyến AM. CMR 2 2 2 2 2 2 2
2AM  MB  MC  4MI  2IA  IB  IC Bài 9: Cho A
 BC đều cạnh a, M thuộc đường tròn ngoại tiếp A  BC . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 2
MA  MB  MC Bài 10: Cho A
 BC , trung tuyễn AM, đường cao AH. CMR 2   2 a) 2 BC 1 2 2 2 A . B AC  AM 
 (AB  AC  BC ) ; b) 2 2 2   2 AB AB AC AM  4 2 2   c) 2 2
AB  AC  2A . B MH d) 2 2 s    AB AC AB AC ABC . ( . )
Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc - Thiết lập điều kiện vuông góc
Bài 1: CMR trong tam giác ba đường cao đồng quy. Bài 2: Cho A
 BC cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm A  CD .CMR OE  CD.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, cạnh đáy AB = a, CD = b. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: a) AC  BD
b) BD  AM , với AM là trung tuyến của A  BC Bài 4: Cho A
 BC vuông tại A có AB = c, AC = b. Tìm điểm D trên AC sao cho BD  AM ,
với AM là trung tuyến của
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB= h, cạnh đáy AD = a, BC = b. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: a)  0
CID  90 , với I là trung điểm của AB. b) BD  CI c) DI  AC
d) Trung tuyến BM của A
 BC vuông góc với trung tuyến CN của B  CD Bài 6: Cho A
 BC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH và CK lần lượt là đường cao của A
 BC . CMR OA  HK          
Bài 7: Cho 2 vectơ a, b với a  b . Tìm góc giữa chúng biết rằng p  a  2b  q  5a  4b .
Dạng 4: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về TVH hay tích độ dài. Bài 1: Cho A
 BC , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:   a) M .
A MB  k, k là số cho trước.     b) 2 MA  M . A MB  0 c) 2 2 MB  M .
A MB  a với BC = a. Bài 2: Cho A
 BC , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:  
a) AM.BC  k, k là số cho trước. b) 2 2 2 2
MA  MB  CA  CB  0
    c) 2 2 2
MC  MB  BC  M . A MB  M . A MC d) 2 2 2
3MA  2MB  MC
Downloaded by Di?p DN - Chuyên Viên R&D (diepdn@bibabo.vn) lOMoARcPSD|36212343
Bài 3: Cho đoạn AB. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) 2 2
MA  2MB  k , k cho trước b) 2 2 2
3MA  MB  AB c) 2 2MA  M . A MB Bài 4: Cho A
 BC , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:    
   
a) MA MB2MB  MC  0 b) 2 2MA  M . A MB  M . A MC  0
    c) M . A MB  A . B MC d) 2 2 2 2 2
MA  MB  MC  AB  AC
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
   
    a) 2 M . D MB  M . A MC  a b) 2 M . A MB  M . D MC  3a
    
c) MA MB  MCMA MD  0 d) 2 2 2 2
MA  MB  MC  a
Downloaded by Di?p DN - Chuyên Viên R&D (diepdn@bibabo.vn)