Bài Tập Toán 8 Bài Biến Đổi Các Biểu Thức Hữu Tỉ Có Lời Giải

9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Biểu thức hữu tỉ là phân thức hoặc một dãy các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.
 Điều kiện để giá trị của một phân thức được xác định là điều kiện của biến để giá trị
tương ứng của mẫu thức khác 0 .
 Thứ tự thực hiện phép tính trong biểu thức.
a) Trường hợp biểu thức không có dấu ngoặc, thứ tự thực hiện là:
Lũy thừa ¾ ¾® Nhân, chia ¾ ¾® Cộng, trừ
b) Trường hợp biểu thức có dấu ngoặc, thứ tự thực hiện là: ( ) →   →     III. BÀI TẬP 2 2 2  (x −1) 1 − 2x + 4x 1  x + x
Bài 1: Cho phân thức M = − + :  2 3  3 3x + (x −1) x − 1
x − 1 x + x
a) Tìm điều kiện để giá trị của biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức M .
Bài 2: Rút gọn biểu thức: 2 2  x 2x − y  x y − xy a) A =  + . 2 2 2 2 xy − y xy − x x − 2xy +   y 2  x + y x − y 2y  2y b) B =  − −  : 2 2 2x − 2y 2x + 2y y −  x x − y  3 3 x æ y ö + ç ÷ 2y c) C = ç - xy÷: ç ÷ ( 2 2 x - y )+ çè x + y ÷ ø x + y  x 4x 2x + 1   2x + 1  d) D = − − . x +     2 3
 x −1 x + x + 1 x −1   x − 1  2  x + 2 x − 2  2x + x
Bài 3: Cho biểu thức A = −   : 2 2 3 2
 x + 2x + 1 x −1  x + x − x −1
a) Rút gọn biểu thức A và tìm điều kiện của x để giá trị của A được xác định. Trang 1 1 1
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 3
− ; x = ; x = − . 4 2
c) Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng 3 . 2
d) Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng . 3 2 2  4x   x + 2 2 − 3x x − 4 
Bài 4: Cho biểu thức 2 A =  x + . + .  2 3 x − 4 2x − 4 x −    4x x − 2 
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A , biết 2x − 1 = 3 .
Bài 5: Tìm giá trị của x để mỗi biểu thức sau là số nguyên: 3 2
2x − 6x + x − 8 2 3x − x + 3 a) M = N = x − b) 3 3x + 2 2 2x − 8x + 9
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 x − 4x + 5 2 2x + 6x + 7
Bài 7: . Tìm giá trị lớn nhất của B = 2 x + 3x + 3 2  1 3 2  x
Bài 8: Cho biểu thức: A = + −   : 2 2
 2x −1 1− 4x
2x + 1  2x + x
a) Rút gọn biểu thức A và tìm điều kiện của x để giá trị của A được xác định.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = −2 .
c) Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng 4 .
d) Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng 1 .  x + 2 x − 2 8  4
Bài 9: Cho biểu thức A = − − : .( 2 x − 2x +   3 2 )
 2x − 4 2x + 4 4 − x  x − 2
a) Rút gọn biểu thức A và tìm điều kiện của x để giá trị của A được xác định. 1
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2, − x = − . 2
c) Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng 3 .
d) Tìm giá trị của x để A có giá trị nhỏ nhất. Trang 2
Bài 10: Tìm số nguyên x để giá trị của phân thức sau là số nguyên: 4 2
x − x + 2x − 1 15x + 8 a) A = b) B = 3 x + 1 7x + 9 8
Bài 11: a) Tìm x để phân thức A =
đạt giá trị lớn nhất; 2 x − 4x + 12 5
b) Tìm x để phân thức B = −
đạt giá trị lớn nhất. 2 x + 2x + 11 Tự luyện
Bài 12: Rút gọn biểu thức sau: x æ y y z ö 2 + − − − ç ÷ x æ y y z ö - + + - ç ÷ x 2 2 3x x 4 x 2 a) ç - ÷: ç + ÷ + . − ç b) çèz - y x + y ÷ ÷ ç ø èz - y x + y ÷ ÷ ø 3
2x − 4 x − 4x x − 2 2x 2 2
 4x + 2x 4x − 2x  1+ 2x 1− 2x   x y   ( x + y)2 2 y  c)  −  : − d) − :    − 2 −  2 2    1− 4x
1+ 4x  1− 2x 1+ 2x   y x   xy x   
Bài 13: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y  2(x+1)(y+1) x − y  2x + 2 y +1 a) + . +  2 2 (x 1) (y 1) 2x 2y 4  + − + +
+  x + y + 2 y − x 2 2  1  
4x + 8xy + 4y  b) 2(x+ y) +1− : 2x + 2y − + 2(x+ y)     
1− 2x − 2y   2x + 2y −1  x æ 1 x 1ö + - ç ÷ 2x
Bài 14: Cho A = ç - ÷: ç èx - 1 x + 1÷÷ø 5x - 5
a) Tìm điều kiện của biến để giá trị của A xác định b) Rút gọn A
c) Tìm giá trị của A với x = −3, x = 1
d) Với giá trị nào của x thì A = 2, A = 10 4 3 2 x - 4x + 4x
Bài 15: Cho biểu thức: B = 3 x - 4x
a) Tìm điều kiện của biến để giá trị của B xác định b) Rút gọn B
c) Có giá trị nào của x để giá trị của B bằng 0. Trang 3
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x − 4
Câu 1 : Điều kiện xác định của phân thức : là ? 2x + 6 A. x = - 3 B. x ¹ - 3 C. x = - 6 D. x ¹ - 6 x − 5
Câu 2 : Giá trị của phân thức tại x = 4 là ? 2x(x − 3) 9 9 1 1 A. - B. C. − D. 8 8 8 8 2 2 + Câu 3: x = 2 2 - x 2x + 4 x +1 1 x +1 A. B. C. D. 2x − 4 x −1 x x x −1 Câu 4: = 5 khi x = 6 A.Đúng B.Sai x − 5 4
Câu 5: Phân thức
có tập xác định là x ¹ 2 A.Đúng B.Sai 5x −10
Câu 6: Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng. A B 1 1) x = 1
3) x ¹ 0; x ¹ - 1 a, có tập xác định là x 2 2) x = - 1 4) x ¹ 0 b, có tập xác định là x(x +1) c, x + 1 = 0 thì
a) …..; b) …..;-; c) …..;; d) …..;
Câu 7: Điền vào chỗ trống để được kết quả đúng 2 x + 6x + 9 2 x - 25 a) = ........... b) = ........ x + 3 x - 5 Trang 4
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1:
a) Điều kiện để giá trị của biểu thức xác định ì 2
ïï 3x + (x - 1) ¹ 0 ì 2
ï x + x + 1 ¹ 0 ï ï ï ï 3 ï x - 1 ¹ 0 ï 2 x −1  0 ï
ï (x - 1)(x + x + 1) ¹ 0 ï ïï  ïí x - 1 ¹ 0 ï Û í x - 1 ¹ 0  x  0 x + x + x + ï vì 2
1 > 0 và 2 1 > 0 x  ï ï 2 ï x + x ¹ 0 ï  ï ï x(x + 1) ¹ 0 x + 1  0 ï ïï  3 ïï x + x ¹ 0 2
ïï x(x + 1) ¹ 0 ïî ïî x  1 −   x  0 x 1  2 x - 1 b) M = x + 1  x 2x −  y
xy (x − y)
xy (x − y)
Bài 2: a) A =  . 1.
 y(x − y) − x(x − y) = =
 (x − y)2 (x− y)2
b) B = 1 ; c) C = 1 . x ( 2
x + x + 1) − 4x(x − 1) − (2x + 1) 2
x − x + 2x + 1 d) D = ( . x − 1)( 2 x + x + 1) x − 1 3 x − 2 3x + 3x − 2 1 x + x + 1 = ( . x 1 . x − ) 1 ( 2 x + x + ) = − 1 x − 1 1
Bài 3: Điều kiện: x  0, x  1 − ; x  − . 2   2 x + 2 x − 2
x (x + 1) − (x + 1) a) A =  −   (x ) . 2 (x+1)(x−1) x (2x + + 1 1 ) 
(x+ 2)(x−1)−(x−2)(x+1) (x+1)( 2x −1) 2 2
x + x − 2 − x + x + 2 2 = = = ( x + ) . 2 (x − ) x (2x + 1) x (2x + 1 1 1 ) 2x + 1 2
b) Tại x = - 3 thì A = − 5 Trang 5 1 4 Tại x = thì A = 4 3 1
Tại x = − thì giá trị của A không xác định. 2 2
c) Giá trị của A bằng 3 khi
= 3 và x thỏa mãn điều kiện (1) 2x + 1 2 2 1 Giải = 3 2x + 1 =
hay x = − , thỏa mãn (1) 2x + ta được 1 3 6 1
Vậy tại x = − thì giá trị của A bằng 3 . 6 2 2 2
d) Giá trị của A bằng khi = 3 2x +
và x thỏa mãn điều kiện (1) 1 3 2 2 Giải =
x + = hay x = 1 , không thỏa mãn (1) 2x + ta được 2 1 3 1 3 2
Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của A bằng . 3 4 x x − 3 2 x Bài 4: a) A = . = . 2 x − 4 2x 2(x + 2)
Điều kiện : x  0; x  2; x  −2 .
b) Xét 2x − 1 = 3 được x = 2 , loại.
Xét 2x − 1 = −3 được x = −1 , thỏa mãn. Khi đó giá trị của A bằng − 1 . 2 Bài 5: 3 2 3 2
2x − 6x + x − 8 (2x − 6x ) + (x − 3) − 5 2 5 a) M = = = 2x +1− x − 3 x − 3 x − 3 x − 3 = 5 x = 8 x − 3 = −5   x = −2  M nguyên  5  x − nguyên  3 x − 3 =1 x = 4   x − 3 = −1 x = 2 Trang 6 2 2
3x − x + 3 (3x + 2x) − (3x + 2) + 5 5 b) N = = = x −1+ 3x + 2 3x + 2 3x + 2 x =1 3x + 2 = 5 3x = 3  7 −   x = 5 3x + 2 = 5 − 3x = 7 −     3 N nguyên   3x + nguyên  2 3x + 2 =1 3x = 1  − 1 −   x = 3x + 2 = 1 − 3x = 3 − 3  x = 1 − 2 2
2x − 8x + 9 2(x − 4x + 5) −1 1 Bài 6: A = = = 2 − 2 2 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 x − 4x + 5 1 Suy ra A đạt GTNN khi
x − x + đạt GTNN. 2
x − 4x + đạt GTLN, hay 2 4 5 5 Ta có 2 2
x − 4x + 5 = (x − 2) +1  1 Biểu thức 2
x − 4x + 5 đạt GTNN bằng 1  x − 2 = 0  x = 2 . 1 Khi đó, A = 2 − = 2 −1 =1 2 x − 4x + . 5
Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 2. 2 2
2x + 6x + 7 2(x + 3x + 3) +1 1 Bài 7: B = = = 2 + 2 2 2 x + 3x + 3 x + 3x + 3 x + 3x + 3 1 Suy ra B đạt GTLN khi
x + x + đạt GTNN. 2
x + 3x + đạt GTLN, hay 2 3 3 3 3 3 3 Ta có 2 2
x + 3x + 3 = (x + ) +  2 4 4 3 3 3 Biểu thức 2
x + 3x + 3 đạt GTNN bằng khi x + = 0  x = − . 4 2 2 1 1 10 Khi đó, B = 2 + = 2 + = 2 x + 3x + . 3 3 3 4 10 3 Vậy GTLN của B là khi x = − 3 2 2 Bài 8: a) A =
. Điều kiện của x là x  1 , x  − 1 , x  0 . 1− 2x 2 2 Trang 7 2
b) Tại x = −2 thì giá trị của A bằng . 5
c) Tại x = 1 thì giá trị của A bằng 4. 4 2 d) Giải
= 1 được x = − 1 , không thỏa mãn điều kiện của x để giá trị của A được xác 1− 2x 2
định. Không có giá trị nào của x để giá trị của A bằng 1.
Bài 9: Điều kiện của x là x  2 và x  −2 .  x 2 x 2 8  + − x − 2 a) A =  − +  x − x +  2
 (x − 2) 2(x + 2) . .( 2 2 3 2 ) x − 4  4 
(x+ 2)2 −(x−2)2 +16 x−2 = x − x +
2 (x + 2)(x − 2) . .( 2 2 3) 4 2 2
x + 4x + 4 − x + 4x − 4 + 16 x − 2 = x − x +
2(x + 2)(x − 2) . .( 2 2 3) 4 8x + 16 = ( − + = − + x + ) .( 2 x 2x 3) 2 x 2x 3 8 2
b) Tại x = −2 thì giá trị của A không xác định. 1 1
Tại x = − , thì giá trị của A là 4 . 2 4
c) Giá trị của A bằng 3 khi x  2 và 2
x − 2x + 3 = 3 x = 0 Giải 2 2
x − 2x + 3 = 3  x − 2x = 0  x (x − 2) = 0   x =  2
Loại x = 2 vì không thỏa mãn điều kiện của x
Vậy tại x = 0 thì A = 3 .
d) A = x − x + = x − x + + = (x − )2 2 2 2 3 2 1 2 1 + 2  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 tại x = 1 . 3
Bài 10: a) A = 2 x + 2x − 1+
.Vậy A Î ¢ khi x - 5 Î U (3) = {- 1,- 3;1; } 3 x − 5 x − 5 1 −1 3 −3 x 6 4 8 2 2 x − 64x + 67 67 b) B = = x − 8 +
. Vậy B Î ¢ khi x + 8 Î U (67) = {- 1,- 67;1;67} x + 8 x + 8 Trang 8 x + 8 1 −1 67 −67 x −7 −9 59 −75 1 1
Bài 11: a) Ta có 2 − + = − 2 x 4x 12 (x 2) + 8  8 hay
 dẫn đến M  1 .Từ đó 2 − + 8 x 4x 12
tìm được GTNN của M = 1 khi x = 2 . 1 1 −1 − b) Tương tự: Có 2 x + 2x + 11  10 hay   N  . GTNN của = 1 N khi 2 + + 10 2 x 2x 11 2 x = −1 .
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 9