25 trang 1 lượt tải

Chuyên Đề Tính Giá Trị Biểu Thức Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Có Lời Giải Chi Tiết

2

Cho x, y, z là các số thỏa mãn. Luôn nhân giá trị bằng 1 khi x, y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn. Do đó a, b, c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 1: Biểu thức đại số (CTST) 12 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 ngày trước
Danh sách Quiz
/25
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1: Cho :
22
45a b ab+=
và
20ab
, Tính giá trị của :
22
4
ab
A
ab
=
−
HD :
Từ :
2 2 2 2
4 5 4 4 0a b ab a ab ab b+ = − − + =
( )( )
40a b a b− − =
TH 1:
4 0 4a b a b− = =
( mâu thẫn vì 2a > b)
TH 2:
2
22
1
0
43
a
a b a b A
aa
− = = = = =
−
Bài 2: Cho
và
0ba
, Tính
ab
A
ab
−
=
+
HD:
Từ:
( )( )
2 2 2 2
3 3 10 3 9 3 0 3 3 0a b ab a ab ab b a b a b+ = − − + = − − =
TH 1:
3 0 3a b a b− = =
( mâu thuẫn vì b > a > 0)
TH 2:
31
3 0 3
32
aa
a b a b A
aa
−−
− = = = = =
+
Bài 3: Cho
( )
22
9 4 20 2 3 0x y xy y x+ =
, Tính
32
32
xy
A
xy
−
=
+
HD:
Từ:
( )( )
22
9 4 20 2 9 2 0x y xy x y x y+ = − − =
TH1:
31
2
32
xx
x y A
xx
−
= = = =
+
TH2:
92xy=
(Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)
Bài 4: Cho
( )
22
2 , 0, 0x y xy y x y− = +
,Tính
xy
A
xy
−
=
+
HD:
Từ
( )( )
2 2 2 2
2 2 0 2 0x y xy x xy y x y x y− = − − = − + =
TH1:
21
2 0 2
23
yy
x y x y A
yy
−
− = = = = =
+
TH2:
0xy+=
( mâu thuẫn vì x + y # 0 )
Bài 5: Cho
0xy
và
22
2 2 5x y xy+=
, Tính
xy
A
xy
+
=
−
HD:
Từ:
( )( )
2 2 2 2
2 2 5 2 5 2 0 2 2 0x y xy x xy y x y x y+ = − + = − − =
TH1:
2
23
2
yy
x y A
yy
+
= = = =
−
TH2:
2xy=
(Mâu thuẫn vì: x > y > 0)
Bài 6: Cho
33x y z−=
và
27x y z+=
, Tính
2
22
2x xy
A
xy
−
=
+
,
,0xy
HD:
Từ gt ta có:
22
22
3 3 2
4 12 8
2 7 3
4 9 13
x y z x z
zz
A
x y z y z
zz
− = =

−−
= = = =

+ = =
+

Trang 2
Bài 7: Cho
1xy =−
, Tính
22
11
P
y xy x xy
=+
−−
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
11
1
1
xy
xy
P
y y x x x y xy x y x y
−−
−+
= + = = =
− − − − −
Bài 8: Cho
36yx−=
, Tính giá trị của
23
26
x x y
A
yx
−
=+
−−
HD:
Ta có:
( )
2 3 6 3
36
3 6 3 6 3 1 12
2 3 6 6
yy
y
y x x y A
yy
−−
−
− = = = − = = + = + =
− − −
Bài 9: Tính biểu thức :
a,
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
A
y z x z x y x y z
= + +
+ − + − + −
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
b,
1 1 1
x y z
P
xy x yz y xz z
= − +
− + + − + + −
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của:
1 1 1
z x y
B
x y z

= − − +


Bài 11:Tình giá trị của biểu thức:
ab
A
ab
+
=
−
với b> a> 0 và
22
2 2 5a b ab+=
Bài 12: Cho
22
10
0,
3
xy
yx
xy
+
=
, tính giá trị của biểu thức:
xy
M
xy
−
=
+
Bài 13: Cho biểu thức:
2 1 5 1
,
3 1 3 1 3
aa
Pa
aa

−−
= +

−+

, Tính giá trị của P biết:
2
10 5 3aa+=
Bài 14: Cho abc=2015, Tính
2015
2015 2015 2015 1
a b c
A
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
HD :
2
2
1
a bc b c
A
ab a bc abc bc b abc ac c
= + +
+ + + + + +
( ) ( )
2
1
1
1 1 1 1
a bc b c ac c
ab ac c b c ac ac c ac c
++
= + + = =
+ + + + + + + +
Bài 15: Cho abc=2, Tính
2
2 1 2 2
a b c
B
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
HD :
( ) ( )
22
2
1
1 1 1 1
a b abc a b abc
B
ab a abc bc b ac abc abc a b bc bc b ac bc b
= + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 16: Cho abc=1, Tính
111
a b c
A
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
HD :
( ) ( )
22
2
1
1 1 1 1
a bc b c a bc b c
A
ab a bc abc bc b abc ac c ab ac c b c ac ac c
= + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính
2012
2012 1 2012 2012
a b c
B
ab a bc b ac c
= + −
+ − + + − −
HD :
( ) ( )
22
2
1
1 1 1 1
a b abc a b abc
B
ab a abc bc b ac abc abc a b bc bc b ac bc b
= + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
Trang 3
Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì
1 1 1
1
1 1 1x xy y yz z zx
+ + =
+ + + + + +
HD :
( ) ( )
2
11
1
1 1 1 1
xyz xyz xyz xyz
VT VP
xyz x yz xy xyz y yz z zx xy z xz y xz z z zx
= + + = + + = =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 19: Cho xyz=2010, CMR:
2010
1
2010 2010 2010 1
x y z
xy x yz y xz z
+ + =
+ + + + + +
HD :
2
2
1
1
x yz y z
VT
xy x yz xyz yz y xyz xz z
= + + =
+ + + + + +
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết :
2016abc =
2 2016 2 4032 3
3 2 2016 3 2 3 4032 2016
bc b ac
P
c bc b ab ac a
−−
= − +
− + − + − +
Bài 21: Tính GTBT
2 1 2 1 2 1
1 1 1
x xy y yz z zx
P
x xy xz y yz yx z zx zy
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + +
biết
1xyz =
HD :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1 2 1 2 1
1 1 1
yz x xy xz y yz xy z zx
P
yz x xy xz xz y yz xy xy z zx xy
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + +
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
y y z z z x x x y
y z z x x y
+ + + + + + + + +
= + +
+ + + + + +
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
y z x
y z x x z y x
= + + + + + +
+ + + + + + +
1 1 1
3
1 1 1
y z x
y z x
+ + +
= + + =
+ + +
Bài 22: Cho
10
3
a
b
=
, Tính
2
2
16 40
8 24
a ab
A
a ab
−
=
−
HD :
22
22
100 10 50
16. 40.
10 10
9 3 9
5
100 10 10
33
8. . 24. .
9 3 9
bb
a
a b A
b
bb
−
= = = = = = =
−
Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
0abc+ + =
, CMR:
3 3 3
3a b c abc+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
3 3 3 3 3 3 3
33a b c a b c a b ab a b c a b c abc+ = − + = − + + + = − + + =
Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
3 3 3
3a b c abc+ + =
, CMR:
0abc+ + =
HD :
Ta có :
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3a b c a b c a b c ab bc ac abc+ + = + + + + − − − +
Vì
( )
( )
3 3 3 2 2 2
30a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + = = + + + + − − − =
Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
00a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + − =
( Mâu thuẫn vì
abc
)
Nên
0abc+ + =
Bài 25: Cho
( )
3 3 3
3 , , , 0a b c abc a b c+ + =
, Tính
1 1 1
a b c
P
b c a
= + + +
Trang 4
HD :
Ta có :
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3a b c a b c a b c ab bc ca abc+ + = + + + + − − − +
, Mà
3 3 3
3a b c abc+ + =
Nên
TH1 :
0 . . . . 1
a b b c a c c a b
a b c P
b c a b c a
+ + + − − −
+ + = = = = = −
TH2 :
( )( )( )
2 2 2
0 1 1 1 1 1 1 8a b c ab bc ca a b c P+ + − − − = = = = = = + + + =
Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
a b b c c a
c a b
+ + +
==
, Tính
1 1 1
a b c
B
b c a
= + + +
HD :
Từ gt
( )
2 abc
a b b c c a
c a b a b c
++
+ + +
= = =
++
TH1 : Nếu
0 . . . . 1
a b b c a c c a b
a b c B
b c a b c a
+ + + − − −
+ + = = = = = −
TH2 : nếu
2 2 2
0 2 . . . . 8
a b b c a c c a b
a b c gt B
b c a b c a
+ + +
+ + = = = = = =
Bài 27: Cho
3 3 3 3 3 3 2 2 2
3a b b c c a a b c+ + =
, Tính
1 1 1
a b c
A
b c a
= + + +
HD :
Đặt
3 3 3
3 0 . . . .
ab x
a b b c c a y z x z x y
bc y x y z xyz x y z A
b c a bc ac ab
ac z
=
+ + + + + +
= = + + = = + + = = = =
=
. . 1
ab bc ac
bc ac ab
− − −
= = −
Hoặc :
8x y z a b c A= = = = = = =
Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
==
. Tính
1 1 1
a b c
A
b c a
= + + +
HD :
Từ gt=>
a b c b c a c a b a b c
c a b a b c
+ − + − + − + +
===
++
TH1 :
0 . . 1
a b b c a c
a b c A
a c a
+ + +
+ + = = = = −
TH2 :
0 1 2 , 2 , 2 8a b c gt a b c b c a c a b A+ + = = = + = + = + = = =
Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn:
ax by c
bx ay a
cx ay b
+=
+=
+=
, CMR :
3 3 3
3a b c abc+ + =
HD :
Cộng theo vế của gt=>
( ) ( ) ( )( )
10a b c x a b c y a b c a b c x y+ + + + + = + + = + + + − =
TH1:
3 3 3
03a b c a b c abc+ + = = + + =
TH2:
3 3 3
13x y a b c a b c abc+ = = = = + + =
Bài 30: Cho
3 3 3
3a b c abc+ + =
và
0abc+ +
, Tính giá trị
( )
2 2 2
2
abc
N
abc
++
=
++
HD:
Từ gt
2
2
31
93
a
a b c N
a
= = = = = =
Bài 31: Cho
3 3 3
3x y z xyz+ + =
, Rút gọn
( )( )( )
xyz
A
x y y z z x
=
+ + +
HD:
Trang 5
Từ gt=>
1: 0 1
xyz
TH x y z A
xyz
+ + = = = = −
−
3
1
2:
2 .2 .2 8
x
TH x y z A
xxx
= = = = =
Bài 32: Rút gọn :
( ) ( ) ( )
333
2 2 2A a b c b c a c a b= + − + + − + + −
HD:
Đặt:
2 , 2 , 2a b c x b c a y c a b z+ − = + − = + − =
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 ... 0A x y z x y z xy yz zx a b c b c a c a b x y z= + + + + − − − = + − + + − + + − + + + =
Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Rút gọn:
222
111
222
A
a bc b ac c ab
= + +
+++
HD:
Ta có:
( )( )
22
1 1 1
0 0 2ab bc ca a bc a bc ab ca a b a c
abc
+ + = + + = = + = + − − = − −
Tương tự:
( )( ) ( )( )
22
2 , 2b ac b a b c c ba c a c b+ = − − + = − −
Khi đó:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1 1 1
0
c b a c b a
A
a b a c b a b c c a c b a b b c c a
− + − + −
= + + = =
− − − − − − − − −
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và
1 1 1
0
a b c
+ + =
, Tính
2 2 2
1 1 1
2 2 2
P
a bc b ac c ab
= + +
− + +
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Rút gọn:
222
222
bc ac ab
B
a bc b ac c ab
= + +
+++
HD:
Theo bài 26 =>
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
ab c b ac a c ab b a
bc ac ab
B
a b a c b a b c c a c b a b b c c a
− + − + −
= + + =
− − − − − − − − −
Phân tích tử => B
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
1 1 1
0
abc
+ + =
,Rút gọn:
2 2 2
222
222
a b c
C
a bc b ac c ab
= + +
+++
HD:
Theo bài 26
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
a c b b a c c b a
abc
C
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− + − + −
= = + + =
− − − − − − − − −
Phân tích tử =>C
Bài 37: Cho a,b,c
0, và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Tính
2 2 2
bc ac ab
A
a b c
= + +
HD:
Từ gt =
3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
0
a b c a b c abc
+ + = = + + =
Khi đó:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 3
.3
abc abc abc
A abc abc
a b c a b c abc

= + + = + + = =


Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và
1 1 1
0
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
2 2 2
yz xz xy
A
x yz y xz z xy
= + +
+ + +
Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ac
A
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
HD:
Từ
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c a b c a b ab c a b c ab+ + = = + = − = + + = = + − = −
Trang 6
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2b c a bc c a b ac+ − = − + − = −
, Khi đó:
3
2 2 2 2
ab bc ac
A
ab bc ac
−
= + + =
− − −
Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
B
a b c b a c c a b
= + +
− − − − − −
HD:
Từ
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b c bc a a b c bc+ + = = + = − = + + = = − − =
,
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2b a c ac c a b ab− − = − − =
, Khi đó:
( )
2 2 2
3 3 3
1 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c abc
B a b c
bc ac ab abc abc
= + + = + + = =
Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2 2 2 2 2 2 2
111
A
b c a c a b a b c
= + +
+ − + − + −
HD:
Từ:
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b c bc a b c a bc+ + = = + = − = + + = = + − = −
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2c a b ac a b c ab+ − = − + − = −
, Khi đó:
1 1 1 1
0
2 2 2 2
abc
A
bc ac ab abc
− + +

= + + = =

− − −

Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2
a b c
A
bc ca ab
= + +
HD:
Từ
3 3 3
03a b c a b c abc+ + = = + + =
, khi đó:
3 3 3
3
3
a b c abc
A
abc abc abc abc
= + + = =
Bài 43: Cho
( )
1 1 1
0, 0, 0, 0x y z
x y z
+ + =
, Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
yz xz xy
x y z
++
HD:
Với
1 1 1
,,a b c
x y z
= = =
, Áp dụng kết quả câu a ta có:
3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3
1 1 1 3 1 1 1 3
.3
yz zx xy xyz xyz xyz
xyz xyz
x y z xyz x y z x y z x y z xyz

+ + = = + + = + + = + + = =


Bài 44: Cho a+b+c=1,
1 1 1
0
abc
+ + =
, CMR:
2 2 2
1abc+ + =
HD:
Từ
( )
2 2 2
1 2 1a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + =
, (1)
Mà:
1 1 1
0 0 0
ab bc ca
ab bc ca
a b c abc
++
+ + = = + + =
, thay vào (1)=> ĐPCM
Bài 45: Cho x,y,z
0, Thỏa mãn:
x y z xyz+ + =
và
1 1 1
3
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
1 1 1
A
x y z
= + +
HD:
Từ:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 2 3
x y z
x y z x y z xy yz zx x y z xyz
++
+ + = + + + + + = + + + =
Nên
2 3 1AA+ = = =
Bài 46: Cho a,b,c
0 và
1 1 1
2
abc
+ + =
, và
a b c abc+ + =
, CMR:
2 2 2
1 1 1
2
abc
+ + =
HD:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 2 4
abc
a b c a b c ab bc ca a b c abc
++
+ + = + + + + + = + + + =
Trang 7
Bài 47: Cho
0, 0a b c x y z+ + = + + =
và
0
abc
x y z
++=
, CMR:
2 2 2
. . . 0a x b y c z+ + =
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn :
3abc+ + =
và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Tính
2 2 2
A a b c= + +
HD:
Từ:
( )
2 2 2
3 2 9a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + =
, (1)
Mà:
1 1 1
00ab bc ca
abc
+ + = + + =
thay vào (1)
2.0 9 9AA+ = = =
Bài 49: Cho
1 1 1
2
abc
+ + =
và
a b c abc+ + =
, Tính
2 2 2
1 1 1
A
abc
= + +
HD:
Từ:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4
a b c a b c ab bc ca

+ + = + + + + + =


2 4 2 4 2
abc
A A A
abc
++

+ = + = =


Bài 50: CMR: Nếu
1 1 1
3
abc
+ + =
và a+b+c=abc Thì ta có:
2 2 2
1 1 1
7
abc
+ + =
Bài 51: Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
2 2 2
x y z
A
a b c
=++
HD:
Từ:
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1
x y z x y z xy yz zx cxy ayz bzx
A
a b c a b c ab bc ca abc
++
+ + = + + + + + = + =
(1)
Mà:
00
a b c
ayz bxz cxy
x y z
+ + = + + =
thay vào (1) ta được:
2.0 1 1AA+ = =
Bài 52: Cho
0, 2
x y z a b c
a b c x y z
+ + = + + =
, Tính
2 2 2
2 2 2
a b c
A
x y z
=++
HD:
Từ:
2 2 2
22
2 2 2 2 2
a b c a b c ab bc ca abz bcx cay
A
x y z x y z xy yz zx xyz
++
+ + = + + + + + = + =
(1)
Mà:
00
x y z
bcx acy abz
a b c
+ + = + + =
thay vào (1) ta được:
2.0 2 2AA+ = = =
Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn:
1abc =
và
2 2 2
2 2 2
a b c b c a
b c a a b c
+ + = + +
, CMR trong ba số a,b,c
phải có 1 số bằng bình phương số còn lại
HD:
Đặt:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
, , , , 1
a b c b c a
x y z xyz
b c a a x b y c z
= = = = = = = = =
và
1 1 1
x y z xy yz zx
x y z
+ + = + + = + +
Xét tích:
( )( )( )
1 1 1 0 1, 1, 1x y z x y z− − − = = = = =
. Với
2
1x a b= = =
(ĐPCM)
Bài 54: Cho
0
x y z
a b c
= =
, Rút gọn:
( )( )
( )
2 2 2 2 2 2
2
x y z a b c
A
ax by cz
+ + + +
=
++
HD:
Đặt
,,
x y z
k x ak y bk z ck
a b c
= = = = = = =
thay vào A
Trang 8
Bài 55: Cho:
2 2 2 2 2 2y z x z x y x y z
a b c
+ − + − + −
==
, trong đó a,b,c thỏa mãn:
2 2 , 2 2 ,2 2 0b c a c a b a b c+ − + − + −
, CMR:
2 2 2 2 2 2
x y z
b c a c a b a b c
==
+ − + − + −
HD:
Từ gt
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
22
z x y x y z y z x
b c a
+ − + + − − + −
=
+−
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
22
x y z y z x z x y
c a b
+ − + + − − + −
+−
=
2 2 2 2 2 2
x y z
b c a c a b a b c
==
+ − + − + −
Bài 56: Cho
1 1 1
0, 0xyz
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
yz zx xy
A
x y z
= + +
Bài 57: Cho
0a b c+ + =
, Tính
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
a b c
a b b c c a
++
− + − + −
Bài 58: Tính :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
2
a b c a b c ab bc ca
A
a b c ab bc ca
+ + + + + + +
=
+ + − + +
Bài 59: Cho
2
2 2 2 0c ab ac bc+ − − =
, Rút gọn biểu thức :
( )
( )
2
2
2
2
a a c
b b c
+−
+−
Bài 60: Cho
2 2 2
1, 1,a b c a b c+ + = + + =
và
x y z
a b c
==
, CMR:
0xy yz zx++=
HD:
Đặt:
( )
2
x y z
k xy yz zx k ab bc ca
a b c
= = = = + + = + +
(1)
Mà:
( )
2 2 2
1 2 1 0a b c a b c ab bc ca ab bc ca+ + = + + + + + = + + =
thay vào (1) ta được:
0xy yz xz+ + =
Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn:
0, 0a b c ab bc ca+ + = + + =
, Tính
( ) ( )
2015 2013
2014
11A a b c= − + + +
HD:
Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét:
( )
2 2 2 2 2 2
0 2 0 0a b c a b c ab bc ca a b c+ + = + + + + + = + + =
Do đó : a=b=c=0 thay vào
( )
2015
2014 2013
1 0 1 0A = − + + =
Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
, Tính
( )( )( )
19 5 1890
1 1 1P x y z= − − −
HD:
Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét:
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − + + + + + − =
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0
Bài 63: Cho xyz=1,
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
, Tính
( )( )
( )
2015 1006
1 1 1 2016A x y z= − − − +
HD :
Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có :
xy yz zx
x y z xy yz zx
xyz
++
+ + = = + +
Xét tích :
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − + + + + + − =
Trang 9
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016
Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
,
Tính :
( )( )( )
15 27 2016
1 1 1A x y z= − − −
HD :
Từ gt ta có :
1 1 1
x y z xy yz zx
x y z
+ + = + + = + +
Xét
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − + + + + + − =
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0
Bài 65: Cho
2 2 2
2 2 2
1 1 1
6x y z
x y z
+ + + + + =
, Tính
2012 2013 2014
A x y z= + +
HD :
Từ gt=>
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2 0x y z
x y z

+ − + + − + + − =


2
22
1 1 1
0x y z
x y z

− + − + − =


Vì
2012 2014
,xy
luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH :
TH1 :
13yA= = =
TH2 :
11yA= − = =
Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và
1 1 1 1
2000abc
+ + =
, thì 1 trong ba số phải có 1
số bằng 2000
HD :
Từ gt ta có :
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
00
a b a b
a b c a b c a b c a b c ab c a b c
++
+ + = + + − = + =
+ + + + + +
( ) ( ) ( )( )( )
00a b c a b c ab a b b c c a+ + + + = + + + =


TH1 :
0 2000a b c+ = =
TH2 :
0 2000b c a+ = =
TH3 :
0 2000c a b+ = =
Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và
1 1 1
abc
abc
+ + = + +
,
CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1
HD :
Từ gt ta có :
1 1 1
a b c ab bc ca
abc
+ + = + + = + +
Xét tích :
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0a b c abc ab bc ca a b c− − − = − + + + + + − =
nên hoặc a=1 hoặc b=1
hoặc c=1
Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn
100 100 101 101 102 102
a b a b a b+ = + = +
, Tính
2015 2015
P a b=+
HD :
Từ :
( ) ( )
100 100 101 101 100 100
1 1 0a b a b a a b b= = + − + − =
(1)
và
( ) ( )
101 101 102 102 101 101
1 1 0a b a b a a b b+ = + − + − =
(2)
Từ (1) và (2)
=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
101 101 100 100 100 100
1 1 1 1 0 1 1 0a a b b a a b b a a b b− + − − − − − = − + − =
Trang 10
Do
( )
( )
2
2
10
1
,0
1
10
a
a
ab
b
b
−=
=
=

=
−=
khi đó :
2015 2015
1 1 2P = + =
Bài 69: Cho
33
22
1
1
ab
ab
+=
+=
, Tính
2014 2014
A a b=+
(CL)
Bài 70: Cho
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +
+ = +
CMR:
n n n n
x y a b+ = +
HD:
Ta có:
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
0x y a b x a x a y b y b+ = + − + + − + =
(1)
Mà
x a b y− = −
thay vào (1) ta được:
( )( )
0b y x a b y− + − − =
TH1 :
22
0
nn
b y b y x a x y a b− = = = = = + = +
TH2 :
0 2 2x a b y x y b a x b x b y a+ − − = − = − = = = = =
=>
n n n n
x y a b+ = +
Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
x y z
A
y z z x x y
++
=
− + − + −
HD :
Ta có :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 2 0 2x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + = + + + + + = + + = − + +
Mẫu :
( )
2 2 2
2 2 2 2x y z xy yz zx+ + − + +
=
( )
2 2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3x y z x y z x y z+ + + + + = + +
Khi đó :
( )
2 2 2
2 2 2
1
3
3
x y z
A
x y z
++
==
++
Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn :
3 3 3
3x y z xyz+ + =
, Tính giá trị của biểu thức :
( )
10 10 10
10
x y z
T
x y z
++
=
++
Bài 73: Cho
0, 2016ax by cz a b c+ + = + + =
, Tính giá trị của biểu thức :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
bc y z ac z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
++
Bài 74: Cho
1a b c+ + =
( a, b, c khác 1 và 2), CMR :
( )( )( )
2 2 2 2 2 2
8
2 2 2
1 1 1
c ab a bc b ac bc ac ab
a b c
a b abc b c abc a c abc
+ + + + + +
+ + =
− − −
+ + − + + − + + −
Bài 75: Rút gọn :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
2
a b c a b c ab bc ca
A
a b c ab bc ca
+ + + + + + +
=
+ + − + +
HD :
Ta có : Đặt :
2 2 2
a b c x+ + =
và
ab bx ca y+ + =
khi đó :
( )
2
2a b c x y+ + = +
, thay vào A ta có :
2 2 2
2 2 2
( 2 ) 2
2
x x y y x xy y
A x y a b c ab ab ca
x y y x y
+ + + +
= = = + = + + + + +
+ − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2
a b b c c a

+ + + + +

Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn :
1
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +
, Tính giá trị của:
2 2 2
a b c
Q
b c c a a b
=++
+ + +
HD:
Nhận thấy
0abc+ + =
không thỏa mãn : nên nhân vào gt với
0abc+ + =
ta được :
Trang 11
( )
a b c
a b c a b c
b c c a a b

+ + + + = + +

+ + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c
abc
b c b c c a c a a b a b
+ + +
+ + + + + = + +
+ + + + + +
0Q a b c a b c Q+ + + = + + =
Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
, Tính giá trị của biểu thức :
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c
A
b c c a a b
=++
− − −
HD:
Nhân
1 1 1
b c c a a b

++

− − −

vao gt ta được :
1 1 1
0
a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + =
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
0
a b b c c a
P
b c c a c a a b a b b c
+ + +
+ + + =
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
0
a b a b b c b c c a c a
P
a b b c c a
+ − + + − + + −
+ =
− − −
0P=
Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn :
1ab bc ca+ + =
, Tính
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b b c c a
A
abc
+ + +
=
+ + +
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
22
1 a ab bc ca a b a c a a c a b a c+ = + + + = + + + = + +
Tương tự :
( )( )
2
1 b b a b c+ = + +
,
( )( )
2
1 c c a c b+ = + +
khi đó :
1A =
Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn:
1ab bc ca+ + =
,
Tính
( )( )( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1a bc b ca c ab
B
a b b c c a
+ − + − + −
=
− − −
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2 1 2a bc a bc ab bc ca a bc ab ac a a b c b a a b a c+ − = + − − − = + − − = − + − = − −
Tương tự :
( )( )
2
21b ca b a b c+ − = − −
,
( )( )
2
21c ab c a c b+ − = − −
Khi đó :
1B =−
Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR :
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
HD :
Ta có :
( )( )
( ) ( )
( )( )
1 1 1 1
a c a b
bc
a b a c a b a c a b a c a b c a
− − −
−
= = − = +
− − − − − − − −
Tương tự :
( )( )
11ca
b c b a b c a b
−
=+
− − − −
,
( )( )
11ab
c a c b c a b c
−
=+
− − − −
Khi đó :
1 1 1 1 1 1
VT VP
a b c a b c a b c a b c
= + + + + + =
− − − − − −
Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị :
( )( ) ( )( ) ( )( )
ab bc ca
A
b c c a c a a b a b b c
= + +
− − − − − −
HD :
Trang 12
Đặt :
,,
a b c
xyz
b c c a a b
= = =
− − −
khi đó :
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1 1x y z x y z xy yz zx+ + + = − − − + + = −
Bài 82: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
, CMR trong ba số a,b,c phải có
1 số âm, 1 số dương
HD :
Vì
1 1 1
, , 0a b b c c a
b c c a a b
= + +
− − −
Mà :
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
1 1 1
0
a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + =
− − − − − −
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
0
a b c a b a c b c
b c c a a b b c c a a b
b c c a a b


+++
+ + + + + =



− − − − − −
− − −



Nhận thấy Tổng B
0 =>
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
,
Do đó a,b,c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương
Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
A
a b b c c a
= + +
− − −
là bình
phương của 1 số hữu tỉ
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2
a b b c c a a b b c b c c a c a a b
a b b c c a

+ + = + + + + +


− − − − − − − − −
− − −

( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
0
a b b c c a
A A A
a b b c c a
− + − + −
+ = + =
− − −
Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ :
Bài 84: Cho a+b+c=0,
a b b c c a
P
c a b
− − −
= + +
và
c a b
Q
a b b c c a
= + +
− − −
, CMR : P.Q=9
HD :
Xét
( )( )
22
. 1 1 . 1 .
a b c a b
c c b c c a c b bc ac a c
P
a b a b a b a b ab a b ab
− − −
− − − + −

= + + = + = +

− − − −

23
22
11
cc
ab abc
+ = +
, Tương tự :
3
2
.1
aa
P
b c abc
=+
−
và
3
2
.1
bb
P
c a abc
=+
−
khi đó :
( )
3 3 3
2
. 3 9
abc
PQ
abc
++
= + =
Bài 85: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
abc
A
a b a c b c b a c b c a
= + +
− − − − − −
HD :
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
1
a c b b a c c b a
A
a b b c c a
− + − + −
==
− − −
Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:
,b c a b c +
và
( )
2
2c ac bc ab= + −
,
Trang 13
CMR:
( )
( )
2
2
2
2
a a c
ac
bc
b b c
+−
−
=
−
+−
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2a a c a c c a c a c ac bc ab a c+ − = + − + − = + − − − + −
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
22
2 2 2a c ac b a c a c a c b a c a c+ − + − + − = − + − + −
( )( )
2 a c a c b= − − +
Tương tự ta có :
( ) ( )( )
2
2
2b b c b c b c a+ − = − − +
Khi đó :
( )
( )
2
2
2
2
a a c
ac
bc
b b c
+−
−
=
−
+−
Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2y z z x x y
x y x z y z y x z x z y x y y z z x
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
HD:
Ta có:
( )( )
( ) ( )
( )( )
1 1 1 1
x y x z
yz
x y x z x y x z x z x y x y z x
− − + −
−−
= = + = +
− − − − − − − −
Tương tự ta có:
( )( )
11zx
y z y x y z x y
−
=+
− − − −
và
( )( )
11xy
z x z y z x y z
−
=+
− − − −
Cộng theo vế ta được:
Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR:
a,
( ) ( )
5 5 5 2 2 2
25a b c abc a b c+ + = + +
b,
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
5 5 5
.
5 3 2
a b c a b c
abc
+ + + +
++
=
HD:
Ta có:
( ) ( )( )
3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2
0 3 3a b c a b c abc abc a b c a b c a b c+ + = = + + = = + + = + + + +
=>
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2
3abc a b c a b c a b c b c a c a b+ + = + + + + + + + +
Mà:
( )
2
2 2 2
22b c a b c b c bc a bc+ = − = + = + − = −
,Tương tự ta có:
2 2 2
2c a b ac+ = −
2 2 2
2a b c ab+ = −
Nên ta có :
( )( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2 5 5 5 3 2 3 2 3 2
2 2 2a b c a b c a b c a a bc b b ac c c ab+ + + + = + + + − + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 2 2 2 5 5 5 2 2 2
2 2 2 5a b c abc a b c a b c abc a b c= + + − + + + + = + +
Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
a b c b a c c a b
+ + =
− − − − − −
HD:
Từ
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b c bc a a b c bc+ + = = + = − = + + = = − − =
,
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2b a c ac c a b ab− − = − − =
, Khi đó:
( )
2 2 2
3 3 3
1 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c abc
abc
bc ac ab abc abc
+ + = + + = =
Bài 90: CMR:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ +
− − −
HD :
Đăt :
2 2 2
,,
a b b c c a
x y z M x y z
a b b c c a
+++
= = = = = + +
−−−
, Ta cần CM :
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − −
=>
1xy yz zx+ + = −
(1)
Từ :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
0 2 2 1 2 2x y z x y z xy yz zx M+ + + + − + + = − − = =
Trang 14
Dấu bằng khi
00
a b b c c a
x y z
a b b c c a
+ + +
+ + = + + =
− − −
Bài 91: Cho a+b+c=0 và
2 2 2
14abc+ + =
, Tính
4 4 4
A a b c= + +
HD :
Ta có :
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
14 2a b c a b c a b b c c a= + + = + + + + +
(1). Ta lại có :
( )
2
00a b c a b c+ + = = + + =
( )
2 2 2
20a b c ab bc ca + + + + + =
( )
2 2 2 2 2 2
7 2 49ab bc ca a b b c c a abc a b c + + = − + + + + + =
, Thay lên (1)
2
14 2.49A=+
Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
0, 2010a b c a b c+ + = + + =
, Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4
A a b c= + +
HD:
Ta có:
( )
( )
2
2 2 2
0 2010
1005
22
a b c a b c
ab bc ca
+ + − + +
−
+ + = = = −
( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2 2
2 1005 2 .0 1005a b b c c a ab bc ca abc a b c abc= + + = + + − + + = − − =
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2010 1005 2.1005A a b c a b c a b b c c a= = + + = + + − + + = − =
Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn:
2
2
1
7x
x
+=
, CMR:
5
5
1
x
x
+
là 1 số nguyên
HD :
Ta có :
5 4 3
5 4 3
1 1 1 1
x x x x
x x x x
+ = + + − +
Ta tính :
2
2
2
1 1 1
2 9 3x x x
x x x

+ = + + = = + =


,
32
32
1 1 1 1
18x x x x
x x x x
+ = + + − + =
Và
4 3 2
4 3 2
1 1 1 1
47x x x x
x x x x
+ = + + − + =
Bài 94: Cho x
0 và
1
xa
x
+=
, Tính theo a các giá trị của:
a,
3
3
1
x
x
+
b,
6
6
1
x
x
+
c,
7
7
1
x
x
+
HD :
a,
22
2
11
2x a x a
xx
+ = + = −
Nên
( )
3 2 2
32
1 1 1 1
2x x x x a a a
x x x x
+ = + + − + = − −
b,
2
63
63
11
2xx
xx

+ = + −


c,
7 3 4
7 3 4
1 1 1 1
x x x x
x x x x
+ = + + − +
Bài 95: Cho x
0 và
2
2
1
xa
x
+=
, Tính theo a các giá trị của:
a,
3
3
1
x
x
+
b,
6
6
1
x
x
+
c,
7
7
1
x
x
+
HD :
Ta có :
2
2
2
1 1 1
22x x x a
x x x

+ = + − = + = +


. Làm giống bài 68
Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn :
5ab+=
và
22
5ab+=
, Tính
33
ab+
Trang 15
Bài 97: Cho
2
2
1
2x
x
+=
, và x > 0. Tính
6
6
6
3
3
3
11
2
11
xx
xx
A
xx
xx
+ − + −
=
+ + +
HD :
2
2
2
1 1 1
2 4 2x x x
x x x

+ = + + = = + =


và
32
32
1 1 1 1
2.2 2 2x x x x
x x x x
+ = + + − + = − =
và
2
63
63
11
22xx
xx

+ = + − =


thay vào A
Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và
2 2 2 2
x y z a+ + =
, Tính
4 4 4
A x y z= + +
theo a
HD :
Ta có :
( )
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( )a x y z A x y y z z x= + + = + + +
, Mặt khác:
( ) ( )
2
2
20x y z a xy yz zx+ + = + + + =
( ) ( )
2 4 4
2
2 2 2 2 2 2
2
2 4 4
a a a
xy yz zx xy yz zx x y y z z x xyz x y z
−
+ + = + + = + + + + + =
4
2 2 2 2 2 2
4
a
x y y z z x++=
Thay lên trên ta đươc :
44
4
2.
42
aa
a A A= + = +
Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và
2 2 2
2010,abc+ + =
Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4
A a b c= + +
HD:
Ta có:
( )
( )
2
2 2 2
0 2010
1005
22
a b c a b c
ab bc ca
+ + − + +
−
+ + = = = −
=>
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2a b b c c a ab bc ca abc a b c+ + = + + − + +
=
( )
2
2
1005 2 .0 1005abc− − =
=>
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2010 1005 2020050A a b c a b c a b b c c a= + + = + + − + + = − =
Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR:
( )
2
4 4 4 2 2 2
1
2
a b c a b c+ + = + +
Bài 10: CMR: Nếu
1 1 1
3
abc
+ + =
và
a+b+c=abc . Thì ta có:
2 2 2
1 1 1
7
abc
+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
0 2 0 2a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + = + + + + + = + + = − + +
( )
( )
2
2
2 2 2
4a b c ab bc ca+ + = + +
( )
( )
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2a b c a b b c c a a b b c c a abc a b c + + + + + = + + + + +
( ) ( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2a b c a b b c c a a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + = + + + + +
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2
2 a b c a b c + + = + +
=> ĐPCM
Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn:
1,xy x y+ + = −
và
22
12x y xy+ = −
, Tính
33
A x y=+
HD :
Từ gt ta có :
( )
( )
1
13
12 4
12
xy x y
a b a
ab b
xy x y
+ + = −
+ = − =

=
= − = −
+ = −

hoặc
4
3
a
b
=−
=
Khi đó
( ) ( )
3
3A x y xy x y= + − +
Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính
a,
22
xy+
b,
33
xy+
c,
xy−
d,
55
xy+
Trang 16
HD :
a,
( )
2
22
2 81 28x y x y xy+ = + − = −
b,
( ) ( )
3
3 3 3
3 9 3.14.9 351x y x y xy x y+ = + − + = − =
c,
( ) ( )
22
4x y x y xy− = + −
d,
( )( )
( )
5 5 3 3 2 2 2 2
x y x y x y x y x y+ = + + − +
Bài 103: Cho x-y=2, Tính :
( )
( )
2
33
23A x y x y= − − +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
33
3x y x y xy x y− = − + −
, Mà :
( ) ( ) ( )
22
4 2.8 12 3. 4 4x y x y xy A xy xy+ = − + = = + − +
Bài 104: Cho
1ab+=
, Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( )
3 3 2 2
23C a b a b= + − +
HD:
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3C a b a b a b a ab b a b= + − + = + − + − +
( ) ( )
2 2 2 2
23a ab b a b= − + − +
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 1a b ab a b a b ab a b= + − − + = − + − = − + = −
Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính
a,
22
xy+
b,
33
xy+
c,
xy−
,
HD :
( )
2
22
,2a x y x y xy+ = − +
b,
( )
( ) ( )
3 3 2 2
x y x y x y xy x y+ = + + − +
, mà :
( ) ( )
22
4 49 4.60x y x y xy+ = − + = +
Bài 106: Cho a+b=1, tính
( )
( )
3 3 2 2 2 2
36A a b ab a b a b a b= + + + + +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
33
3a b a b ab a b+ = + − +
, và
( )
2
22
2a b a b ab+ = + −
Bài 107: Cho
22
1xy−=
, Tính
( ) ( )
6 6 4 4
23A x y x y= − − +
HD :
( )( ) ( )
6 6 2 2 4 4 2 2 2 2
x y x y x y x y x y− = − + + +
, mà :
( )
2
4 4 2 2 2 2
2x y x y x y+ = − +
, thay vào ta được
Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức
( ) ( )
3 3 2 2
23C a b a b= + − +
HD :
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3C a b a b a b a ab b a b= + − + = + − + − +
=
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 3 2 1a ab b a b a b ab a b− + − + = − + − = − + = −
Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
0
2012
abc
abc
+ + =
+ + =
, Tính
4 4 4
A a b c= + +
HD:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
22a b c a b c ab bc ca ab bc ca+ + = + + − + + = − + +
=>
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2012
2
24
abc
a b b c c a ab bc ca abc a b c

++
+ + = + + − + + = =


=>
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2012
2
2
A a b c a b c a b b c c a= + + = + + − + + =
Trang 17
Bài 110: Cho
( )
2
2 2 2
x y z x y z+ + = + +
và
, , 0x y z
, CMR:
3 3 3
1 1 1 3
x y z xyz
+ + =
HD :
Từ :
( )
2
2 2 2
1 1 1
0 0 0
xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
xyz x y z
++
+ + = + + = + + = = = = + + =
Khi đó :
3 3 3
1 1 1 3
x y z xyz
+ + =
Bài 111: CMR: Nếu
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + = + +
thì a=b=c
HD:
Từ:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
00a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + − =
Bài 112: Cho
2 2 2
a b c m+ + =
, Tính theo m giá trị của:
( ) ( ) ( )
222
2 2 2 2 2 2A a b c b c a c a b= + − + + − + + −
HD:
Phân tích theo hằng đẳng thức:
Bài 113: Cho
2 2 2
4a b c−=
, CMR:
( )( ) ( )
2
5 3 8 5 3 8 3 5a b c a b c a b− + − − = −
HD:
( )
( )
( )
22
2 2 2 2 2
5 3 64 25 30 9 16 16 3 5VT a b c a ab b a b a b= − − = − + − + = −
Bài 114: Tìm x,y biết:
22
22
11
4xy
xy
+ + + =
HD:
22
22
11
2 2 0xy
xy

+ − + + − =


Bài 115: Tìm x,y,z biết :
2 2 2 2 2 2
2 3 4 5
x y z x y z++
+ + =
HD:
2 2 2 2 2 2
0
2 5 3 5 4 5
x x y y z z
− + − + − =
Bài 116: Cho
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c
− − −
==
, CMR :
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z
− − −
==
HD:
Đặt gt =k=>
2 2 2
,,
x yz y zx z xy
abc
k k k
− − −
= = =
, sau đó tính:
2 2 2
,,a bc b ca c ab− − −
rồi thay vào
Bài 117: Cho
1
0,
2000
ax by cz a b c+ + = + + =
, CMR :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2000
ax by cz
bc y z ac x z ab x y
++
=
− + − + −
HD:
Từ
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
02ax by cz a x b y c z abxy bcyz acxz+ + = + + = − + +
Xét mẫu số:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
222bc y yz z ac x xz z ab x xy y− + + − + + − +
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bcy bcz acx acz abx aby a x b y c z= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c ax by cz b ax by cz a ax by cz a b c ax by cz= + + + + + + + + = + + + +
1
2000VT
abc
==
++
Trang 18
Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn :
ay bx cx az bz cy
c b a
− − −
==
, CMR :
( )
( )( )
2
2 2 2 2 2 2
ax by cz x y z a b c+ + = + + + +
HD:
Đặt gt=k=>
2 2 2
00
acy bcx bcx abz abz acy
k ay bx cx az bz cy
c b a
− − −
= = = = = − = − = − =
=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
00ay bx cx az bz cy ay bx cx az bz cy− = − = − = − + − + − =
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
20a y b x c x a z b z c y aybx cxaz bzcy= + + + + + − + + =
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a y a z a x b x b y b z c x c y c z+ + + + + + + +
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0a x b y c z axby bycz axcz− + + + + + =
( )( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
0a b c x y z ax by cz + + + + − + + =
=>ĐPCM
Bài 119: Cho
2 2 2
,,x yz a y zx b z xy c− = − = − =
CMR :
( )( )
ax by cz x y z a b c+ + = + + + +
Với
, , 0x y z
HD:
Từ gt=>
3
3 3 3 3
3
3
x xyz ax
y xyz by ax by cz x y z xyz
z xyz cz
−=
− = = + + = + + −
−=
( )
( )
( )( )
2 2 2
ax by cz x y z x y z xy yz zx x y z a b c= + + = + + + + − − − = + + + +
Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
xy
yz
zx
+ + =
+ + =
+ + =
, Tính
2000 2000 2000
A x y z= + +
HD:
Cộng theo vế của gt ta được:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0 1x x y y z z x y z+ + + + + + + + = = = = = −
Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính
P x y z= + +
HD:
Từ gt ta có:
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2 2
1 1 4
1 1 16 1 1 1 4.16.9 1 1 1 24
1 1 9
xy
x z x y z x y z
yz
+ + =
+ + = = + + + = = + + + =
+ + =
Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:
3 3 3
12
2
4 27
x y xyz z+ − = −
, Tính giá trị của biểu
thức:
2018
6 3 2
1
6 3 2
x y z
N
x y z

+−
=−

−+

HD:
Vì
( ) ( ) ( )
3
3 3 3
33
12
2 6 3 2 108
4 27
z
x y xyz x y z xyz
−
+ − = = + + =
Áp dụng hằng đẳng thức:
3 3 3
0
3
a b c
a b c abc
a b c
+ + =
+ + = =
==
Trang 19
Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có:
3 3 3
3a b c abc+ + =
, mà x, y,z dương nên
6 3 2 0 6 3 2x y z x y z+ + = = =
thay vào ta có :
2018 2018
6 3 2 2 2 2
2 2 0
6 3 2 2 2 2
x y z z z z
N
x y z z z z
+ − + −
= − = − =
− + − +
Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn:
1 1 1
a b c
b c a
+ = + = +
,
CMR: abc=1 hoặc abc=-1
HD:
Từ gt=>
2
11
,,
b c c a a b
a b a b T b c c a
c b bc ca ab
− − −
− = − = − = = − = − =
Nhân theo vế:
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
2 2 2
2
10
a b b c c a
a b b c c a a b b c c a a b c
abc
− − −
− − − = = − − − − =
Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên
( )
2
11abc abc= = =
, hoặc -1
Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn:
,by cz a+=
và
ax cz b+=
và
ax by c+=
, Trong đó a,b,c là các số dương
cho trước, CMR :
1 1 1
1 1 1x y z
++
+ + +
, không phụ thuộc vào a,b,c
HD:
Cộng theo vế của gt ta có:
( ) ( ) ( )
12
2 2 2 1
1
c
a b c ax by cz a b c c cz c z
z a b c
+ + = + + = + + = + = + = =
+ + +
Tương tự:
1 2 1 2
,
11
ab
x a b c y a b c
==
+ + + + + +
Bài 125: Cho
,,
a b b c c a
x y z
a b b c c a
− − −
= = =
+ + +
, Thì
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − −
HD:
Tính
2
11
a b a
x
a b a b
−
+ = + =
++
, Tương tự là ra
Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR:
. . . 1
a b b c a c b c a c b a
a b b c c a b c c a a b
+ + + + + +
+ + = −
− − − − − −
HD:
Đặt:
22
1 , 1
a b a b
x x x
a b a b a b
+
= = + = − =
− − −
,
22
1 , 1
b c a c
y y y
b c b c b c
+
= = + = − =
− − −
22
1 , 1
c a c a
z z z
c a c a c a
+
= = + = − =
− − −
, Khi đó:
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − −
Khi đó:
1xy yz zx+ + = −
Bài 127: Cho
x by cz=+
và
y ax by=+
,
z ax by=+
và x+y+z khác 0.
Tính giá trị:
1 1 1
1 1 1
A
abc
= + +
+ + +
HD:
Cộng theo vế gt ta được:
( ) ( ) ( )
12
2 2 2 1
1
x
x y z ax by cz ax x x a
a x y z
+ + = + + = + = + = =
+ + +
Tương tự:
1 2 1 2
,
11
yz
b x y z c x y z
==
+ + + + + +
Trang 20
Bài 128: Cho
2
2
2
a by cz
b ax cz
c ax by
=+
=+
=+
và
0abc+ +
, Rút gọn:
1 1 1
2 2 2
M
x y z
= + +
+ + +
HD:
Cộng theo vế gt tacó
( )
2 2 2 2 2 2 2 2a b c ax by cz a b c ax by cz ax a a x+ + = + + + + = + + = + = +
1
2
a
x a b c
= =
+ + +
, Tương tự:
1
2
b
y a b c
=
+ + +
,
1
2
c
z a b c
=
+ + +
Bài 129: Cho
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
a b c b c a c a b
ab bc ac
+ − + − + −
+ + =
, CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số
kia
HD:
Từ gt ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c c b c a a c a b b abc+ − + + − + + − =
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 0a b c ab c b c a bc a c a b ac b+ − + + + − − + + − − =
( )( ) ( )( ) ( )( )
0a b c a b c c b c a b c a a c a b c a b b+ + + − + − + − − + − + − − =
( )( )( )
0a b c a c b b c a+ − + − + − =
c a b=+
hoặc
a c b+=
hoặc:
b c a+=
Bài 130: Cho
0ax by cz+ + =
, Rút gọn
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
++
HD:
Từ
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
02ax by cz a x b y c z abxy bcyz acxz+ + = + + = − + +
Xét mẫu số:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
222bc y yz z ac x xz z ab x xy y− + + − + + − +
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bcy bcz acx acz abx aby a x b y c z= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c ax by cz b ax by cz a ax by cz a b c ax by cz= + + + + + + + + = + + + +
Khi đó:
( )
( )
2 2 2
2 2 2
a b c ax by cz
A a b c
ax by cz
+ + + +
= = + +
++
Bài 131: Cho
0x y z+ + =
, Rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
x y z
B
y z z x x y
++
=
− + − + −
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2 0 2x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + = + + + + + = + + = − + +
Khi đó: Mẫu =
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3x y z xy yz zx x y z x y z x y z+ + − + + = + + + + + = + +
Vậy
1
3
B =
Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c
0 và
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
x y z x y z
a b c a b c
++
=++
++
, Tính
2 9 1945
2017P x y z= + + +
HD:
Từ gt=>
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0
x x y y z z
a b c a a b c b a b c c
− + − + + =
+ + + + + +
nên
0 2017x y z P= = = = =

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ab Bài 1: Cho : 2 2
4a + b = 5ab và 2a b  0 , Tính giá trị của : A = 2 2 4a − b HD : Từ : 2 2 2 2
4a + b = 5ab  4a − 4ab − ab + b = 0  (4a − b)(a − b) = 0
TH 1: 4a − b = 0  4a = b ( mâu thẫn vì 2a > b) 2 a 1
TH 2: a − b = 0  a = b = A = = 2 2 4a − a 3 a − b Bài 2: Cho 2 2
3a + 3b = 10ab và b a  0 , Tính A = a + b HD: Từ: 2 2 2 2
3a + 3b = 10ab  3a − 9ab − ab + 3b = 0  (a − 3b)(3a − b) = 0
TH 1: a − 3b = 0  a = 3b ( mâu thuẫn vì b > a > 0) a − 3a 1 −
TH 2: 3a − b = 0  3a = b = A = = a + 3a 2 3x − 2y Bài 3: Cho 2 2
9x + 4y = 20xy (2y  3x  0) , Tính A = 3x + 2y HD: Từ: 2 2
9x + 4y = 20xy  ( x − 2y)(9x − 2y) = 0 3x − x 1
TH1: x = 2y = A = = 3x + x 2
TH2: 9x = 2 y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0) x − y Bài 4: Cho 2 2
x − 2y = xy,( y  0, x + y  0) ,Tính A = x + y HD: Từ 2 2 2 2
x − 2y = xy x − xy − 2y = 0  (x − 2y)(x + y) = 0 2y − y 1
TH1: x − 2y = 0  x = 2y = A = = 2y + y 3
TH2: x + y = 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 ) x + y
Bài 5: Cho x y  0 và 2 2
2x + 2y = 5xy , Tính A = x − y HD: Từ: 2 2 2 2
2x + 2y = 5xy  2x − 5xy + 2y = 0  (x − 2y)(2x − y) = 0 2y + y
TH1: x = 2y = A = = 3 2y − y
TH2: 2x = y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) 2 x − 2xy
Bài 6: Cho 3x − y = 3z và 2x + y = 7z , Tính A = , x, y  0 2 2 x + y HD: 2 2 3
x − y = 3zx = 2z 4z −12z 8 − Từ gt ta có:  =  = A = = 2 2
2x + y = 7zy = 3z 4z + 9z 13 Trang 1 1 1
Bài 7: Cho xy = −1, Tính P = + 2 2 y − xy x − xy HD: 1 1 −x + y −(x − y) Ta có: P = + = = =
y ( y − x) x(x − y) xy (x − y) − (x − y) 1 1 x 2x − 3y
Bài 8: Cho 3y − x = 6 , Tính giá trị của A = + y − 2 x − 6 HD:
3y − 6 2(3y − 6) − 3y
Ta có: 3y − x = 6 = x = 3y − 6 = A = + = 3+1 =12 y − 2 3y − 6 − 6 Bài 9: Tính biểu thức : 2 2 2 x y z a, A = + +
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y + z − x
z + x − y
x + y − z x y z b, P = − +
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
−xy + x +1 yz − y +1 xz + z −1  z  x  y
Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: B = 1− 1− 1+      x  y  z a + b
Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: A = với b> a> 0 và 2 2
2a + 2b = 5ab a − b 2 2 x + y 10 x − y
Bài 12: Cho y x  0, =
, tính giá trị của biểu thức: M = xy 3 x + y 2a −1 5− a  1
Bài 13: Cho biểu thức: P = + , a  
, Tính giá trị của P biết: 2 10a + 5a = 3 3a 1 3a 1  3 − +   2015a b c
Bài 14: Cho abc=2015, Tính A = + +
ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c +1 HD : 2 a bc b c A = + + 2
ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c +1 2 a bc b c ac + c +1 = + + = =
ab( + ac + c) b(c + + ac) 1 1 1
ac + c +1 ac + c +1 a b 2c
Bài 15: Cho abc=2, Tính B = + +
ab + a + 2 bc + b +1 ac + 2c + 2 HD : 2 2 a b abc a b abc B = + + = + + =1 2
ab + a + abc bc + b +1 ac + abc + abc
a (b +1+ bc) bc + b +1 ac (1+ bc + b) a b c
Bài 16: Cho abc=1, Tính A = + +
ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 HD : 2 2 a bc b c a bc b c A = + + = + + =1 2
ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c +1 ab (1+ ac + c) b(c +1+ ac) ac + c +1 a b 2012c
Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B = + −
ab + a − 2012 bc + b +1 ac − 2012c − 2012 HD : 2 2 a b abc a b abc B = + + = + + =1 2
ab + a + abc bc + b +1 ac + abc + abc
a (b +1+ bc) bc + b +1 ac (1+ bc + b) Trang 2 1 1 1
Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì + + =1
1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + zx HD : xyz xyz 1 xyz xyz 1 VT = + + = + + =1 = VP 2
xyz + x yz + xy
xyz + y + yz 1+ z + zx
xy (z + xz + ) 1
y (xz +1+ z) 1+ z + zx 2010x y z Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: + + =1
xy + 2010x + 2010
yz + y + 2010 xz + z +1 HD : 2 x yz y z VT = + + =1 2
xy + x yz + xyz
yz + y + xyz xz + z +1
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc = 2016 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac P = − +
3c − 2bc + 2016 3− 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a x + 2xy +1 y + 2yz+1 z+ 2zx +1 Bài 21: Tính GTBT P = + + biết xyz = 1
x + xy + xz+1 y + yz+ yx +1 z+ zx + zy +1 HD :
yz(x + 2xy+ ) 1
xz(y+ 2yz+ ) 1
xy(z+ 2zx + ) 1 P = + +
yz(x + xy+ xz+ ) 1
xz(y+ yz+ xy+ ) 1
xy(z+ zx + xy+ ) 1
(1+ y)+ y(1+ )z 1+ z+ z(1+ x) 1+ x+ x(1+ y) = ( + + 1+ y)(1+ ) z
(1+ )z(1+ x) (1+ x)(1+ y) y 1 1 1 z 1 x = + + + + + +
1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x
y +1 1+ z 1+ x = + + = 3 y +1 1+ z x +1 a 10 2 16a − 40ab Bài 22: Cho = , Tính A = b 3 2 8a − 24ab HD : 100 2 10 2 50 16. b − 40. 10 10 b a 9 3 9 = = a = b = A = = = 5 b 3 3 100 2 10 2 10 8. .b − 24. .b 9 3 9
Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a + b + c = 0 , CMR: 3 3 3
a + b + c = 3abc HD :
Ta có : a + b = −c  (a + b)3 3 3 3
= −c a + b + ab(a + b) 3 3 3 3 3
= −c a + b + c = 3abc
Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 3 3 3
a + b + c = 3abc , CMR: a + b + c = 0 HD : Ta có : 3 3 3
a + b + c = (a + b + c)( 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ac) + 3abc Vì 3 3 3
a + b + c = abc = (a + b + c)( 2 2 2 3
a + b + c − ab − bc − ca) = 0
Mà a + b + c − ab − bc − ca =  (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 2 2 0
= 0 ( Mâu thuẫn vì a b c )
Nên a + b + c = 0  a  b  c  Bài 25: Cho 3 3 3
a + b + c = 3abc,(a, ,
b c  0) , Tính P = 1+ 1+ 1+      b  c  a Trang 3 HD : Ta có : 3 3 3
a + b + c = (a + b + c)( 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca) + 3abc , Mà 3 3 3
a + b + c = 3abc Nên
a + b b + c a + c c − −a b −
TH1 : a + b + c = 0 = P = . . = . . = 1 − b c a b c a TH2 : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca = 0 = a = b = c = P = (1+ ) 1 (1+ ) 1 (1+ ) 1 = 8 a + b b + c c + aa  b  c
Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và = = , Tính B = 1+ 1+ 1+     c a bb  c  a  HD : a + b b + c c + a
2(a + b + c) Từ gt = = = c a b a + b + c
a + b b + c a + c c − −a b −
TH1 : Nếu a + b + c = 0 = B = . . = . . = 1 − b c a b c a
a + b b + c a + c 2c 2a 2b
TH2 : nếu a + b + c  0 = gt = 2 = B = . . = . . = 8 b c a b c aa  b  c  Bài 27: Cho 3 3 3 3 3 3 2 2 2
a b + b c + c a = 3a b c , Tính A = 1+ 1+ 1+      b  c  a  HD : ab = x
a + b b + c c + a
y + z x + z x + y Đặt 3 3 3 b
c = y = x + y + z = 3xyz = x + y + z = 0 = A = . . = . . b c a bc ac abac = z  −ab b − c −ac = . . = 1
− Hoặc : x = y = z = a = b = c = A = 8 bc ac ab
a + b − c
b + c − a
c + a − ba  b  c
Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn: = = . Tính A = 1+ 1+ 1+     c a bb  c  a  HD :
a + b − c
b + c − a
c + a − b a + b + c Từ gt=> = = = c a b
a + b + c
a + b b + c a + c
TH1 : a + b + c = 0 = A = . . = 1 − a c a
TH2 : a + b + c  0 = gt = 1 = a + b = 2c,b + c = 2a, c + a = 2b = A = 8
ax + by = c
Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: bx
 + ay = a , CMR : 3 3 3
a + b + c = 3abc
cx + ay = b  HD :
Cộng theo vế của gt=> (a + b + c) x + (a + b + c) y = a + b + c = (a + b + c)(x + y − ) 1 = 0 TH1: 3 3 3
a + b + c = 0 = a + b + c = 3abc TH2: 3 3 3
x + y = 1 = a = b = c a + b + c = 3abc 2 2 2 a + b + c Bài 30: Cho 3 3 3
a + b + c = 3abc và a + b + c  0 , Tính giá trị N = (a +b+c)2 HD: 2 3a 1
Từ gt = a = b = c = N = = 2 9a 3 xyz Bài 31: Cho 3 3 3
x + y + z = 3xyz , Rút gọn A = (
x + y)( y + z)(z + x) HD: Trang 4 xyz 3 x 1
Từ gt=>TH1: x + y + z = 0 = A = = 1
− TH 2 : x = y = z = A = = −xyz 2 . x 2 . x 2x 8
Bài 32: Rút gọn : A = (a + b − c)3 + (b + c − a)3 + (c + a − b)3 2 2 2 HD:
Đặt: a + b − 2c = x,b + c − 2a = y,c + a − 2b = z
A = ( x + y + z)( 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx) = (a + b − c + b + c − a + c + a − b)( 2 2 2 2 2 2
x + y + z + ...) = 0 1 1 1 1 1 1
Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 , Rút gọn: A = + + a b c 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: 1 1 1 Ta có: 2 2
+ + = 0  ab + bc + ca = 0 = a + 2bc = a + bc − ab − ca = (a −b)(a − c) a b c Tương tự: 2
b + ac = (b − a)(b − c) 2 2
,c + 2ba = (c − a)(c − b) 1 1 1
c − b + a − c + b − a Khi đó: A = ( + + = =
a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c −b) (a −b)(b − c)(c − a) 0 1 1 1 1 1 1
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và + + = 0 , Tính P = + + a b c 2 2 2
a − 2bc b + 2ac c + 2ab 1 1 1 bc ac ab
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 , Rút gọn: B = + + a b c 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo bài 26 => bc ac ab
ab(c − b) + ac(a − c) + ab(b − a) B = ( + + =
a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c −b)
(a −b)(b −c)(c −a) Phân tích tử => B 1 1 1 2 2 2 a b c
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 ,Rút gọn: C = + + a b c 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo bài 26 2 2 2 2 a b c
a (c − b) 2
+ b (a − c) 2
+ c (b − a) = C = ( + + =
a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c −b)
(a −b)(b −c)(c −a) Phân tích tử =>C 1 1 1 bc ac ab
Bài 37: Cho a,b,c  0, và + + = 0 , Tính A = + + a b c 2 2 2 a b c HD: 1 1 1 1 1 1 3 Từ gt = + + = 0 = + + = 3 3 3 a b c a b c abc abc abc abc  1 1 1  3 Khi đó: A = + + = abc + + = ab . c = 3 3 3 3  3 3 3  a b ca b c abc 1 1 1 yz xz xy
Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và + + = 0, Tính A = + + x y z 2 2 2 x + 2yz y + 2xz z + 2xy ab bc ac
Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c  0, Rút gọn A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b − c
b + c − a
c + a − b HD: Từ 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = a + b = −c = a + b + 2ab = c = a + b − c = −2ab Trang 5 Tương tự: 2 2 2 2 2 2
b + c − a = 2
− bc,c + a − b = −2ac , Khi đó: ab bc ac 3 − A = + + = 2 − ab 2 − bc 2 − ac 2 2 2 2 a b c
Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn B = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − a − c
c − a − b HD: Từ 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = b + c = −a = b + c + 2bc = a = a − b − c = 2bc , Tương tự: 2 2 2 2 2 2
b − a − c = 2ac,c − a − b = 2ab , Khi đó: 2 2 2 a b c 1 3abc 3 B = + + = ( 3 3 3
a + b + c ) = =
2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 1 1 1
Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b + c − a
c + a − b
a + b − c HD: Từ: 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = b + c = −a = b + c + 2bc = a = b + c − a = −2bc Tương tự: 2 2 2 2 2 2
c + a − b = 2
− ac, a + b − c = 2 − ab , Khi đó: 1 1 1 1
−  a + b + c A = + + = = 0   2 − bc 2 − ac 2 − ab 2  abc  2 2 2 a b c
Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = + + bc ca ab HD: 3 3 3 a b c 3abc Từ 3 3 3
a + b + c = 0 = a + b + c = 3abc , khi đó: A = + + = = 3 abc abc abc abc 1 1 1 yz xz xy
Bài 43: Cho + + = 0,( x  0, y  0, z  0) , Tính giá trị của biểu thức: + + x y z 2 2 2 x y z HD: 1 1 1
Với a = ,b = ,c = , Áp dụng kết quả câu a ta có: x y z 1 1 1 3 yz zx xy xyz xyz xyz  1 1 1  3 + + = = + + = + + = xyz + + = xy . z = 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3  3 3 3  x y z xyz x y z x y zx y z xyz 1 1 1
Bài 44: Cho a+b+c=1, + + = 0 , CMR: 2 2 2
a + b + c = 1 a b c HD: Từ 2 2 2
a + b + c = 1  a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 1, (1) 1 1 1
ab + bc + ca Mà: + + = 0 
= 0  ab + bc + ca = 0 , thay vào (1)=> ĐPCM a b c abc 1 1 1 1 1 1
Bài 45: Cho x,y,z  0, Thỏa mãn: x + y + z = xyz và + + = 3 , Tính A = + + x y z 2 2 2 x y z HD: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1
x + y + z  Từ: + + = 3  + + + 2 + + = 3  + + + 2 = 3 2 2 2   2 2 2   x y z x y zxy yz zx x y zxyz
Nên A + 2 = 3 = A = 1 1 1 1 1 1 1
Bài 46: Cho a,b,c  0 và + + = 2 , và a + b + c = abc , CMR: + + = 2 a b c 2 2 2 a b c HD: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1
a + b + c  + + = 2  + + + 2 + + = 4  + + + 2 = 4 2 2 2   2 2 2   a b c a b cab bc ca a b cabc Trang 6 a b c
Bài 47: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và + + = 0 , CMR: 2 2 2 . a x + . b y + . c z = 0 x y z 1 1 1
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a + b + c = 3 và + + = 0 , Tính 2 2 2
A = a + b + c a b c HD: Từ: 2 2 2
a + b + c = 3  a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 9 , (1) 1 1 1
Mà: + + = 0  ab + bc + ca = 0 thay vào (1) A + 2.0 = 9 = A = 9 a b c 1 1 1 1 1 1
Bài 49: Cho + + = 2 và a + b + c = abc , Tính A = + + a b c 2 2 2 a b c HD: 1 1  1 1 1  1 1 1  Từ: + + = 2  + + + 2 + + = 4 2 2 2   a b c a b cab bc ca
a + b + c   A + 2
= 4  A + 2 = 4  A = 2    abc  1 1 1 1 1 1
Bài 50: CMR: Nếu + + = 3 và a+b+c=abc Thì ta có: + + = 7 a b c 2 2 2 a b c x y z a b c 2 2 2 x y z
Bài 51: Cho + + = 1 và + + = 0 , Tính A = + + a b c x y z 2 2 2 a b c HD: 2 2 2 x y z x y zxy yz zx
cxy + ayz + bzx  Từ: + + = 1  + + + 2 + + =1  A+ 2 =1 (1) 2 2 2     a b c a b cab bc ca   abca b c
Mà: + + = 0  ayz + bxz + cxy = 0 thay vào (1) ta được: A + 2.0 = 1  A = 1 x y z x y z a b c 2 2 2 a b c
Bài 52: Cho + + = 0, + + = 2 , Tính A = + + a b c x y z 2 2 2 x y z HD: 2 2 2 a b c a b cab bc ca
abz + bcx + cay  Từ: + + = 2  + + + 2 + + = 2  A+ 2 = 2 (1) 2 2     x y z x y zxy yz zx   xyzx y z
Mà: + + = 0  bcx + acy + abz = 0 thay vào (1) ta được: A + 2.0 = 2 = A = 2 a b c 2 2 2 a b c b c a
Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc = 1 và + + = + + , CMR trong ba số a,b,c 2 2 2 b c a a b c
phải có 1 số bằng bình phương số còn lại HD: 2 2 2 a b c b 1 c 1 a 1 Đặt: x = , y = , z = = = , = , = = xyz =1 và 2 2 2 b c a a x b y c z 1 1 1
x + y + z = + + = xy + yz + zx x y z Xét tích: ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = 0 = x = 1, y = 1, z = 1. Với 2
x = 1 = a = b (ĐPCM) x y z ( 2 2 2
x + y + z )( 2 2 2
a + b + c ) Bài 54: Cho =
=  0, Rút gọn: A = a b c
(ax +by + cz)2 HD: x y z Đặt =
= = k = x = ak, y = bk, z = ck thay vào A a b c Trang 7
2y + 2z − x
2z + 2x − y
2x + 2y − z Bài 55: Cho: = =
, trong đó a,b,c thỏa mãn: a b c x y z
2b + 2c − a, 2c + 2a − ,
b 2a + 2b − c  0 , CMR: = =
2b + 2c − a
2c + 2a − b
2a + 2b − c HD:
2(2z + 2x − y) + 2(2x + 2y − z) − (2y + 2z − x) Từ gt = =
2b + 2c − a
2(2x + 2y − z) + 2(2y + 2z − x) − (2z + 2x − y)
2c + 2a − b x y z = = =
2b + 2c − a
2c + 2a − b
2a + 2b − c 1 1 1 yz zx xy
Bài 56: Cho + + = 0, xyz  0 , Tính A = + + x y z 2 2 2 x y z 3 3 3 a + b + c
Bài 57: Cho a + b + c = 0 , Tính (
a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
(a +b +c )(a+b+c)2 +(ab+bc+ca)2 2 2 2 Bài 58: Tính : A = (
a + b + c)2 − (ab + bc + c ) a
a + (a − c)2 2 Bài 59: Cho 2
c + 2ab − 2ac − 2bc = 0 , Rút gọn biểu thức :
b + (b − c)2 2 x y z Bài 60: Cho 2 2 2
a + b + c = 1, a + b + c = 1, và =
= , CMR: xy + yz + zx = 0 a b c HD: x y z Đặt: 2
= = = k = xy + yz + zx = k (ab + bc + ca) (1) a b c Mà: 2 2 2
a + b + c = 1  a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 1 ab + bc + ca = 0 thay vào (1) ta được:
xy + yz + xz = 0
Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 0, ab + bc + ca = 0 , Tính A = (a − )2015 + b + (c + )2013 2014 1 1 HD:
Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét: 2 2 2
a + b + c =  a + b + c + (ab + bc + ca) 2 2 2 0 2
= 0  a + b + c = 0
Do đó : a=b=c=0 thay vào A = (− )2015 2014 2013 1 + 0 +1 = 0 1 1 1
Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và x + y + z = + + , Tính P = ( 19 x − )( 5 y − )( 1890 1 1 z − ) 1 x y z HD:
Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = xyz − ( xy + yz + zx) + ( x + y + z) −1 = 0
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0 1 1 1
Bài 63: Cho xyz=1, x + y + z = + + , Tính A = ( 2015 x − )( 1006 1 y − ) 1 ( z − ) 1 + 2016 x y z HD :
xy + yz + zx
Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có : x + y + z =
= xy + yz + zx xyz Xét tích : ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = xyz − ( xy + yz + zx) + ( x + y + z) −1 = 0 Trang 8
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016 1 1 1
Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và x + y + z = + + , x y z Tính : A = ( 15 x − )( 27 y − )( 2016 1 1 z − ) 1 HD : 1 1 1
Từ gt ta có : x + y + z = + + = xy + yz + zx x y z Xét ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = xyz − ( xy + yz + zx) + ( x + y + z) −1 = 0
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0 1 1 1 Bài 65: Cho 2 2 2
x + y + z + + + = 6 , Tính 2012 2013 2014 A = x + y + z 2 2 2 x y z HD : 2 2  1   1   1  2  1   1   1  Từ gt=> 2 2 2 x + − 2 + y + − 2 + z + − 2 = 0   x − + y − + z − = 0 2   2   2         x   y   z   x   y   z  Vì 2012 2014 x , y
luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH :
TH1 : y = 1 = A = 3
TH2 : y = −1 = A = 1 1 1 1 1
Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và + + =
, thì 1 trong ba số phải có 1 a b c 2000 số bằng 2000 HD : 1 1 1 1  1 1   1 1  a + b a + b Từ gt ta có : + + =  + + − = 0  + =     a b c a + b + c
a b   c a + b + c ab
c (a + b + c) 0
(a +b)c
 (a + b + c) + ab = 0  
(a +b)(b + c)(c + a) = 0
TH1 : a + b = 0  c = 2000
TH2 : b + c = 0  a = 2000
TH3 : c + a = 0  b = 2000 1 1 1
Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và a + b + c = + + , a b c
CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1 HD : 1 1 1
Từ gt ta có : a + b + c = + + = ab + bc + ca a b c Xét tích : (a − ) 1 (b − ) 1 (c − )
1 = abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) −1 = 0 nên hoặc a=1 hoặc b=1 hoặc c=1
Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn 100 100 101 101 102 102 a
+ b = a + b = a + b , Tính 2015 2015 P = a + b HD : Từ : 100 100 101 101 100 a
= b = a + b a (a − ) 100 1 + b (b − ) 1 = 0 (1) và 101 101 102 102 101 a + b
= a + b a (a − ) 101 1 + b (b − ) 1 = 0 (2) Từ (1) và (2)
=> a (a − ) + b (b − ) − a (a − ) − b (b − ) =  a (a − )2 + b (b − )2 101 101 100 100 100 100 1 1 1 1 0 1 1 = 0 Trang 9 (  a −  )2 1 = 0 a = 1
Do a,b  0 =    khi đó : 2015 2015 P = 1 +1 = 2 (  b −  )2 b =  = 1 1 0 3 3 a + b =1 Bài 69: Cho  , Tính 2014 2014 A = a + b (CL) 2 2 a + b =1
x + y = a + b Bài 70: Cho  CMR: n n n n
x + y = a + b 2 2 2 2
x + y = a + b HD: Ta có: 2 2 2 2
x + y = a + b  (x − a)(x + a) + ( y − b)( y + b) = 0 (1)
Mà x − a = b − y thay vào (1) ta được: (b − y)( x + a − b − y) = 0 TH1 : 2 2 − = 0 n n b y
b = y = x = a = x + y = a + b
TH2 : x + a − b − y = 0  x − y = b − a = 2x = 2b x = b = y = a => n n n n
x + y = a + b 2 2 2 x + y + z
Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn: A =
( y − z)2 +(z − x)2 +(x − y)2 HD : Ta có : 2 2 2
x + y + z =  x + y + z + (xy + yz + zx) 2 2 2 0 2
= 0  x + y + z = −2(xy + yz + zx) Mẫu : 2 2 2
2x + 2y + 2z − 2( xy + yz + zx) = 2 2 2 2 2 2
x + y + z + x + y + z = ( 3 2 2 2 2 2
3 x + y + z ) 2 2 2 x + y + z 1 Khi đó : A = = 3( 2 2 2
x + y + z ) 3
Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn : 3 3 3
x + y + z = 3xyz , Tính giá trị của biểu thức : 10 10 10 x + y + z T = ( x + y + )10 z
Bài 73: Cho ax + by + cz = 0,a + b + c = 2016 , Tính giá trị của biểu thức : bc(y − )2
z + ac(z− x)2 + ab(x − y)2 A = 2 2 2
ax + by + cz
Bài 74: Cho a + b + c = 1 ( a, b, c khác 1 và 2), CMR : c + ab a + bc b + ac
bc + ac + ab + 8 + + = 2 2 2 2 2 2
a + b + abc −1 b + c + abc −1 a + c + abc −1 (a− ) 2 (b− ) 2 (c − ) 2
(a +b +c )(a+b+c)2 +(ab+bc+ca)2 2 2 2
Bài 75: Rút gọn : A =
(a +b + c)2 −(ab +bc + ca) HD : Ta có : Đặt : 2 2 2
a + b + c = x và ab + bx + ca = y khi đó : (a + b + c)2 = x + 2y , thay vào A ta có : 2 2 2
x(x + 2y) + y
x + 2xy + y 2 2 2 A = =
= x + y = a + b + c + ab + ab + ca
x + 2y − y x + y
1 (a+b)2 +(b+c)2 +(c+a)2   2 a b c 2 2 2 a b c
Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn : + +
=1, Tính giá trị của: Q = + +
b + c c + a a + b
b + c c + a a + b HD:
Nhận thấy a + b + c = 0 không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a + b + c = 0 ta được : Trang 10   ( + + ) a b c a b c + +
= a + b + c  
b + c c + a a + b  2 a ( + ) ( + ) 2 b ( + ) 2 a b c b c a c a b c  + + + + +
= a + b + c b + c b + c c + a c + a a + b a + b
Q + a + b + c = a + b + c Q = 0 a b c
Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và + +
= 0 , Tính giá trị của biểu thức :
b − c c − a a − b a b c A = + +
(b −c)2 (c −a)2 (a −b)2 HD:  1 1 1   a b c  1 1 1  Nhân + +   vao gt ta được : + + + + = 0   
b − c c − a a − b
b − c c − a a − b  b − c c − a a − b a + b b + c c + aP + ( + + =
b − c)(c − a) (c − a)(a −b) (a −b)(b − c) 0
(a +b)(a −b)+(b +c)(b −c)+(c + a)(c −a)  P + ( =  P = 0
a − b)(b − c)(c − a) 0
(a +b)2 (b + c)2 (c + a)2
Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn : ab + bc + ca = 1, Tính A = ( 2 + a )( 2 + b )( 2 1 1 1+ c ) HD : Ta có : 2 2
1+ a = ab + bc + ca + a = b(a + c) + a (a + c) = (a + b)(a + c) Tương tự : 2
1+ b = (b + a)(b + c) , 2
1+ c = (c + a)(c + b) khi đó : A = 1
Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn: ab + bc + ca = 1,
( 2a +2bc− )1( 2b +2ca − )1( 2c +2ab− )1 Tính B =
(a −b)2 (b −c)2 (c − a)2 HD : Ta có : 2 2 2
a + 2bc −1 = a + 2bc − ab − bc − ca = a + bc − ab − ac = a (a −b) + c (b − a) = (a −b)(a − c) Tương tự : 2
b + 2ca −1 = (b − a)(b − c) , 2
c + 2ab −1 = (c − a)(c − b) Khi đó : B = −1
Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR : b − c c − a a − b 2 2 2 ( + + = + +
a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c −b) a −b b − c c − a HD : b − c
(a −c)−(a −b) 1 1 1 1 Ta có : ( = = − = +
a − b)(a − c)
(a −b)(a −c) a −b a −c a −b c −a c − a 1 1 a − b 1 1 Tương tự : ( = + , = +
b − c)(b − a) b − c a − b (c − a)(c −b) c − a b − c 1 1 1 1 1 1 Khi đó : VT = + + + + + = VP
a − b c − a b − c a − b c − a b − c ab bc ca
Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị : A = ( + +
b − c)(c − a) (c − a)(a −b) (a − b)(b − c) HD : Trang 11 a b c Đặt : = x, = y, = z khi đó : b − c c − a a − b (x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1  xy + yz + zx = −1 a b c
Bài 82: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : + +
= 0 , CMR trong ba số a,b,c phải có
b − c c − a a − b 1 số âm, 1 số dương HD : 1 1 1 a b c Vì a  ,
b b c,c a = + +  0 Mà : + + = 0
b − c c − a a − b
b − c c − a a − ba b c  1 1 1  + + + + = 0   
b − c c − a a − b  b − c c − a a − b   a b c   a + b a + c b + c    + +  +  + +  = 0
(b − c)2 (c − a)2 (a −b)2 
  (b c)(c a) (a b)(b c) (c a)(a b)  − − − − − −  a b c
Nhận thấy Tổng B  0 => + + = 0 ,
(b −c)2 (c −a)2 (a −b)2
Do đó a,b,c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương 1 1 1
Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR : A = + + là bình
(a −b)2 (b −c)2 (c −a)2
phương của 1 số hữu tỉ HD : Ta có : 2  1 1 1  1 1 1 2 2 2 ( + +  = + + + + +
a b) (b c) (c a)  − − − 
(a −b)2 (b −c)2 (c − a)2 (a −b)(b −c) (b −c)(c − a) (c − a)(a −b)
2(a − b) + 2(b − c) + 2(c − a) A + (
Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ : − )( − )( − ) = A + 0 = A a b b c c a
a − b b − c c − a c a b
Bài 84: Cho a+b+c=0, P = + + và Q = + + , CMR : P.Q=9 c a b
a − b b − c c − a HD : 2 2 c
c b − c c − a c
b − bc + ac − a c
(a −b)(c −a −b) Xét . P =1+ + =1+ . =1+ .   a − b
a − b a b a − b ab a − b ab 2 3 2c 2c 3 a 2a 3 b 2b 1+ =1+ , Tương tự : . P =1+ và . P =1+ khi đó : ab abc b − c abc c − a abc ( 3 3 3
2 a + b + c ) . P Q = 3 + = 9 abc
Bài 85: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 a b c A = ( + +
a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − b)(c − a) HD : 2
a (c − b) 2
+ b (a − c) 2
+ c (b − a) A = ( =
a − b)(b − c)(c − a) 1
Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: b c, a + b c và 2
c = 2(ac + bc − ab) , Trang 12
a + (a − c)2 2 a − c CMR: =
b + (b − c)2 2 b − c HD :
Ta có : a + (a − c)2 = a + c − c + (a − c)2 = a + c − (ac − bc − ab) + (a − c)2 2 2 2 2 2 2 2
(a +c − ac)+ b(a−c)+(a−c)2 = (a−c)2 + b(a−c)+(a−c)2 2 2 2 2 2
= 2(a − c)(a − c + b)
Tương tự ta có : b + (b − c)2 2
= 2(b − c)(b − c + a)
a + (a − c)2 2 a − c Khi đó : =
b + (b − c)2 2 b − c
Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR: y − z z − x x − y 2 2 2 ( + + = + +
x − y)( x − z) ( y − z)( y − x) (z − x)(z − y) x − y y − z z − x HD: y − z
−(x − y) + (x − z) 1 − 1 1 1 Ta có: ( = = + = +
x − y)( x − z)
(x − y)(x − z) x − z x − y x − y z − x z − x 1 1 x − y 1 1 Tương tự ta có: ( = + và = +
y − z)( y − x) y − z x − y
(z − x)(z − y) z − x y − z Cộng theo vế ta được: Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR: a + b + c ( 3 3 3
a + b + c ) ( 2 2 2 5 5 5
a + b + c ) a, ( 5 5 5
a + b + c ) = abc( 2 2 2 2 5
a + b + c ) b, = . 5 3 2 HD: Ta có: 3 3 3
a + b + c = = a + b + c = abc = abc ( 2 2 2
a + b + c ) = ( 3 3 3
a + b + c )( 2 2 2 0 3 3
a + b + c ) => ( 2 2 2 + + ) 5 5 5 3 = + + + ( 2 2 + ) 3 + ( 2 2 + ) 3 + ( 2 2 3abc a b c a b c a b c b c a c a + b )
Mà: b + c = −a = b + c = (b + c)2 2 2 2
− 2bc = a − 2bc ,Tương tự ta có: 2 2 2
c + a = b − 2ac 2 2 2
a + b = c − 2ab Nên ta có : ( 3 3 3
a + b + c )( 2 2 2
a + b + c ) 5 5 5 3
= a + b + c + a ( 2 a − bc) 3 + b ( 2 b − ac) 3 + c ( 2 2 2 c − 2ab) = ( 5 5 5
a + b + c ) − abc( 2 2 2
a + b + c )  ( 5 5 5
a + b + c ) = abc( 2 2 2 2 2 2 5
a + b + c ) 2 2 2 a b c 3 Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR: + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − a − c
c − a − b 2 HD: Từ 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = b + c = −a = b + c + 2bc = a = a − b − c = 2bc , Tương tự: 2 2 2 2 2 2
b − a − c = 2ac,c − a − b = 2ab , Khi đó: 2 2 2 a b c 1 3abc 3 + + = ( 3 3 3
a + b + c ) = =
2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2
(a +b)2 (b + c)2 (c + a)2 Bài 90: CMR: + +  2
(a −b)2 (b −c)2 (c − a)2 HD : a + b b + c c + a Đăt : 2 2 2 = x, = y,
= z = M = x + y + z , Ta cần CM : a − b b − c c − a (x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 => xy + yz + zx = −1 (1)
Từ : ( x + y + z)2 2 2 2
 0  x + y + z  2
− (xy + yz + zx) = 2 − (− ) 1 = 2 = M  2 Trang 13
a + b b + c c + a
Dấu bằng khi x + y + z = 0  + + = 0
a − b b − c c − a Bài 91: Cho a+b+c=0 và 2 2 2
a + b + c = 14 , Tính 4 4 4
A = a + b + c HD : 2 Ta có : 2 = ( 2 2 2
a + b + c ) 4 4 4
= a + b + c + ( 2 2 2 2 2 2 14
2 a b + b c + c a ) (1). Ta lại có :
a + b + c = = (a + b + c)2 0 = 0 2 2 2
a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 0 2 2 2 2 2 2
ab + bc + ca = 7
−  a b + b c + c a + 2abc (a + b + c) = 49 , Thay lên (1) 2 14 = A + 2.49
Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 0,a + b + c = 2010 , Tính giá trị của biểu thức: 4 4 4
A = a + b + c HD:
(a+b+c)2 −( 2 2 2
a + b + c ) 0− 2010
Ta có: ab + bc + ca = = = 1005 − 2 2
= a b + b c + c a = (ab+ bc + c )2
a − abc(a+ b + c) = (− )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1005 − 2ab . c 0 = 1005 2 4 4 4
= A = a + b + c = ( 2 2 2
a + b + c ) − ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a ) 2 2 2 2 = 2010 −1005 = 2.1005 1 1
Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn: 2 x + = 7 , CMR: 5 x + là 1 số nguyên 2 x 5 x HD : 1  1  1   1  Ta có : 5 4 3 x + = x + x + − x + 5  4     3  xx  x   x  2  1  1 1 1  1  1   1  Ta tính : 2 x + = x + + 2 = 9 = x + = 3   , 3 2 x + = x + x + − x + =18 2       x x x 3 2 xx  x   x  1  1  1   1  Và 4 3 2 x + = x + x + − x + = 47 4  3     2  xx  x   x  1
Bài 94: Cho x  0 và x + = a , Tính theo a các giá trị của: x 1 1 1 a, 3 x + b, 6 x + c, 7 x + 3 x 6 x 7 x HD : 1 1 1  1  1   1  a, 2 2
x + = a x + = a − 2 Nên 3 2 x + = x + x + − x + = a      ( 2a −2 −a 3 2 ) 2 x x xx  x   x  2 1  1  b, 6 3 x + = x + − 2 6  3  xx  1  1  1   1  c, 7 3 4 x + = x + x + − x + 7  3   4    xx  x   x  1 Bài 95: Cho x  0 và 2 x +
= a , Tính theo a các giá trị của: 2 x 1 1 1 a, 3 x + b, 6 x + c, 7 x + 3 x 6 x 7 x HD : 2 1  1  1 Ta có : 2 x + = x +
− 2 = x + = a + 2 . Làm giống bài 68 2   xx x
Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn : a + b = 5 và 2 2
a + b = 5 , Tính 3 3 a + b Trang 14 6  1   6 1  x + − x + − 2 1    6   x   x Bài 97: Cho 2 x +
= 2 , và x > 0. Tính A  = 2 x 3  1   3 1  x + + x +    3   x   x  HD : 2  1  1 1 1  1  1   1  2 x + = x + + 2 = 4 = x + = 2   và 3 2 x + = x + x + − x + = 2.2 − 2 = 2 2       x x x 3 2 xx  x   x  2 1  1  và 6 3 x + = x + − 2 = 2 thay vào A 6  3  xx
Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và 2 2 2 2
x + y + z = a , Tính 4 4 4
A = x + y + z theo a HD :
Ta có : a = (x + y + z )2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= A + 2(x y + y z + z x ) , Mặt khác:
(x + y + z)2 2
= a + 2(xy + yz + zx) = 0 2 4 4 −a a a
xy + yz + zx =
 (xy + yz + zx)2 2 2 2 2 2 2 =
x y + y z + z x + 2xyz (x + y + z) = 2 4 4 4 a 4 4 a a 2 2 2 2 2 2
x y + y z + z x =
Thay lên trên ta đươc : 4 a = A + 2. = A + 4 4 2
Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và 2 2 2
a + b + c = 2010, Tính giá trị của biểu thức: 4 4 4
A = a + b + c HD:
(a +b + c)2 −( 2 2 2
a + b + c ) 0 − 2010
Ta có: ab + bc + ca = = = 1005 − 2 2
=> a b + b c + c a = (ab + bc + ca)2 2 2 2 2 2 2
− 2abc(a + b + c) = (− )2 2 1005 − 2 .0 abc = 1005 2 => 4 4 4
A = a + b + c = ( 2 2 2
a + b + c ) − ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a ) 2 2 2 = 2010 −1005 = 2020050 1 1 1 1
Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: a + b + c = (a + b + c )2 4 4 4 2 2 2
Bài 10: CMR: Nếu + + = 3 và 2 a b c 1 1 1 a+b+c=abc . Thì ta có: + + = 7 2 2 2 a b c HD :
Ta có : (a + b + c)2 2 2 2
=  a + b + c + (ab + bc + ca) 2 2 2 0 2
= 0  a + b + c = −2(ab + bc + ca) 2
(a +b +c ) = (ab+bc+ca)2 2 2 2 4 4 4 4
a + b + c + ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a ) = ( 2 2 2 2 2 2 2
4 a b + b c + c a + 2abc (a + b + c))  4 4 4
a + b + c = ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a )  ( 4 4 4
a + b + c ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
= a + b + c + 2a b + 2b c + 2c a  ( + + ) = ( + + )2 4 4 4 2 2 2 2 a b c a b c => ĐPCM
Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn: xy + x + y = −1, và 2 2 x y + xy = 12 − , Tính 3 3
A = x + y HD : xy + 
(x + y) = −1 a +b = −1 a = 3 a = 4 − Từ gt ta có :    =  hoặc  xy
 ( x + y) = −12 ab = −12 b  = −4 b  = 3
Khi đó A = ( x + y)3 − 3xy ( x + y)
Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính a, 2 2 x + y b, 3 3 x + y c, x − y d, 5 5 x + y Trang 15 HD :
a, x + y = ( x + y)2 2 2 − 2xy = 81− 28
b, x + y = ( x + y)3 3 3
− xy (x + y) 3 3 = 9 − 3.14.9 = 351
c, ( x − y)2 = ( x + y)2 − 4xy d, 5 5 + = ( 3 3 + )( 2 2 + ) 2 2 x y x y x
y − x y ( x + y)
Bài 103: Cho x-y=2, Tính : A = (x − y ) − (x + y)2 3 3 2 3 HD :
Ta có : x − y = ( x − y)3 3 3
+ 3xy (x − y) , Mà :
(x + y)2 = (x − y)2 + 4xy = A = 2.8+12xy −3.(4+ 4xy)
Bài 104: Cho a + b = 1 , Tính giá trị của biểu thức: C = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2 2 3 a + b ) HD: Ta có: C = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2
a + b ) = (a+ b)( 2 2
a − ab + b ) − ( 2 2 2 3 2 3 a + b ) = ( 2 2
a − ab + b ) − ( 2 2 2 3 a + b )
= (a + b ) − ab− (a + b ) = −(a + b − ab) = −(a+ b)2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 = −1
Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính a, 2 2 x + y b, 3 3 x + y c, x − y , HD :
a x + y = ( x − y)2 2 2 , + 2xy b, 3 3 + = ( 2 2 x y
x + y )(x + y) − xy (x + y) , mà : (x + y)2 = (x − y)2 + 4xy = 49 + 4.60 Bài 106: Cho a+b=1, tính 3 3
A = a + b + ab( 2 2 a + b ) 2 2 3
+ 6a b (a + b) HD :
Ta có : a + b = (a + b)3 3 3
− 3ab(a + b) , và a + b = (a + b)2 2 2 − 2ab Bài 107: Cho 2 2
x − y = 1, Tính A = ( 6 6
x − y ) − ( 4 4 2 3 x + y ) HD : 6 6 − = ( 2 2 − )( 4 4 + ) 2 2 + ( 2 2 x y x y x y
x y x + y ) , mà : x + y = (x − y )2 4 4 2 2 2 2
+ 2x y , thay vào ta được
Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức C = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2 2 3 a + b ) HD : Ta có: C = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2
a + b ) = (a + b)( 2 2
a − ab + b ) − ( 2 2 2 3 2 3 a + b )
= (a − ab + b ) − (a + b ) = −(a + b ) − ab = −(a + b)2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 = −1
a + b + c = 0
Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:  , Tính 4 4 4
A = a + b + c 2 2 2
a + b + c = 2012 HD:
a + b + c = (a + b + c)2 2 2 2
− 2(ab + bc + ca) = 2
− (ab + bc + ca) 2 2 2 2 2
a + b + c  2012
=> a b + b c + c a = (ab + bc + ca)2 2 2 2 2 2 2
− 2abc(a +b + c) =   =  2  4 2012
=> A = a + b + c = (a + b + c ) − 2(a b + b c + c a ) 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 Trang 16 1 1 1 3 Bài 110: Cho ( + + )2 2 2 2
x y z = x + y + z và x, y, z  0 , CMR: + + = 3 3 3 x y z xyz HD :
xy + yz + zx 1 1 1
Từ : ( x + y + z)2 2 2 2
= x + y + z = xy + yz + zx = 0 = = 0 = + + = 0 xyz x y z 1 1 1 3 Khi đó : + + = 3 3 3 x y z xyz
Bài 111: CMR: Nếu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì a=b=c HD:
Từ: a + b + c − ab − bc − ca =  (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 2 2 0 = 0 Bài 112: Cho 2 2 2
a + b + c = m , Tính theo m giá trị của: A = ( a + b − c)2 + ( b + c − a)2 + ( c + a − b)2 2 2 2 2 2 2 HD:
Phân tích theo hằng đẳng thức: Bài 113: Cho 2 2 2
a − b = 4c , CMR: ( a − b + c)( a − b − c) = ( a − b)2 5 3 8 5 3 8 3 5 HD:
VT = ( a − b)2 − c = a − ab + b − ( a + b ) = ( a − b)2 2 2 2 2 2 5 3 64 25 30 9 16 16 3 5 1 1 Bài 114: Tìm x,y biết: 2 2 x + y + + = 4 2 2 x y HD: 1  1  2 2 x + − 2 + y + − 2 = 0 2  2  xy  2 2 2 2 2 2 x y z x + y + z Bài 115: Tìm x,y,z biết : + + = 2 3 4 5 HD: 2 2 2 2 2 2  x x   y y   z z   −  +  −  +  −  = 0  2 5   3 5   4 5  2 2 2 x − yz y − zx z − xy 2 2 2 a − bc b − ca c − ab Bài 116: Cho = = , CMR : = = a b c x y z HD: 2 2 2 x − yz y − zx z − xy Đặt gt =k=> a = ,b = ,c = , sau đó tính: 2 2 2
a − bc,b − ca,c − ab rồi thay vào k k k 1 2 2 2
ax + by + cz
Bài 117: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = , CMR : = 2000 2000
bc( y − z)2 + ac(x − z)2 + ab(x − y)2 HD:
Từ (ax + by + cz)2 2 2 2 2 2 2
= 0  a x + b y + c z = 2
− (abxy + bcyz + acxz) Xét mẫu số: bc ( 2 2
y − yz + z ) + ac( 2 2
x − xz + z ) + ab( 2 2 2 2
x − 2xy + y ) 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + ( 2 2 2 2 2 2 bcy bcz acx acz abx aby
a x + b y + c z ) = ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + ) = ( + + )( 2 2 2 c ax by cz b ax by cz a ax by cz
a b c ax + by + cz ) 1 VT = = 2000 a + b + c Trang 17 ay − bx cx − az bz − cy
Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn : = = , CMR : c b a ( + + )2 = ( 2 2 2 + + )( 2 2 2 ax by cz x y z
a + b + c ) HD: acy − bcx bcx − abz abz − acy Đặt gt=k=> = =
= k = 0 = ay − bx = cx − az = bz − cy = 0 2 2 2 c b a
=> (ay − bx)2 = (cx − az)2 = (bz − cy)2 =  (ay − bx)2 + (cx − az)2 + (bz − cy)2 0 = 0 = ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a y + b x + c x + a z + b z + c y ) − 2(aybx + cxaz + bzcy) = 0 => ( 2 2 2 2 2 2 + + )+( 2 2 2 2 2 2 + + )+( 2 2 2 2 2 2 a y a z a x b x b y b z
c x + c y + c z ) −( 2 2 2 2 2 2
a x + b y + c z + 2axby + 2bycz + 2axcz) = 0
 (a +b + c )(x + y + z )−(ax +by + cz)2 2 2 2 2 2 2 = 0 =>ĐPCM Bài 119: Cho 2 2 2
x − yz = a, y − zx = b, z − xy = c CMR : ax + by + cz = (x + y + z)(a + b + c)
Với x, y, z  0 HD: 3
x − xyz = ax  Từ gt=> 3 3 3 3
y − xyz = by = ax + by + cz = x + y + z − 3xyz  3
z − xyz = cz  = + + = ( + + )( 2 2 2 ax by cz
x y z x + y + z − xy − yz − zx) = (x + y + z)(a + b + c) 2 x + 2y +1 = 0 
Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : 2
y + 2z +1 = 0 , Tính 2000 2000 2000 A = x + y + z  2 z + 2x +1 = 0  HD:
Cộng theo vế của gt ta được: ( 2 x + x + ) + ( 2 y + y + ) + ( 2 2 1 2 1 z + 2z + )
1 = 0 = x = y = z = −1
Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P = x + y + z HD: (  x + ) 1 ( y + ) 1 = 4  Từ gt ta có: (  x + ) 1 ( z + ) 1 = 16 = ( x + )2 1 ( y + )2 1 ( z + )2 1 = 4.16.9 = ( x + ) 1 ( y + ) 1 (z + ) 1 = 24 (  y +  ) 1 ( z + ) 1 = 9 1 2
Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 3 3 3
2x + y − xyz = −
z , Tính giá trị của biểu 4 27 2018 
6x + 3y − 2z thức: N = 1−  
6x 3y 2z − +  HD: 3 1 2 − z 3 3 3 Vì 3 3
2x + y − xyz =
= (6x) + (3y) + (2 ) z = 108xyz 4 27
a+ b + c = 0
Áp dụng hằng đẳng thức: 3 3 3
a + b + c = 3abc =  a = b = c Trang 18
Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: 3 3 3
a + b + c = 3abc , mà x, y,z dương nên
6x + 3y + 2z  0 = 6x = 3y = 2z thay vào ta có : 2018 2018 
6x + 3y − 2z 
2z+ 2z− 2zN = 2 − = 2 − = 0  
6x 3y 2z   
2z 2z 2z − + − +  1 1 1
Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn: a + = b + = c + , b c a CMR: abc=1 hoặc abc=-1 HD: 1 1 b − c c − a a − b Từ gt=> 2
a − b = − = a − b =
,T = b − c = ,c − a = c b bc ca ab
a − b b − c c − a
Nhân theo vế: (a −b)(b − c)(c − a) ( )( )( ) =
= (a −b)(b −c)(c − a)( 2 2 2 a b c −1 = 0 2 ) (abc)
Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên (abc)2 =1 = abc =1, hoặc -1
Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: by + cz = a, và ax + cz = b và ax + by = c , Trong đó a,b,c là các số dương 1 1 1 cho trước, CMR : + +
, không phụ thuộc vào a,b,c
x +1 y +1 z +1 HD:
Cộng theo vế của gt ta có:
+ + = (ax + by + cz) = a + b + c = (c + cz) = c( + z) 1 2c a b c 2 2 2 1 = =
z +1 a + b + c 1 2a 1 2b Tương tự: = , =
x +1 a + b + c y +1 a + b + c a − b b − c c − a Bài 125: Cho x = , y = , z =
, Thì (1+ x)(1+ y)(1+ z) = (1− x)(1− y)(1− z) a + b b + c c + a HD: a − b 2a Tính x +1 = +1 = , Tương tự là ra a + b a + b
a + b b + c a + c b + c a + c b + a
Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR: . + . + . = 1 −
a − b b − c c − a b − c c − a a − b HD: a + b 2a 2b b + c 2a 2c Đặt: x = = x +1 = , x −1 = , y = = y +1 = , y −1 = a − b a − b a − b b − c b − c b − c c + a 2c 2a z = = z +1 = , z −1 = , Khi đó: ( x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − ) 1 c − a c − a c − a
Khi đó: xy + yz + zx = −1
Bài 127: Cho x = by + cz và y = ax + by , z = ax + by và x+y+z khác 0. 1 1 1 Tính giá trị: A = + +
1+ a 1+ b 1+ c HD: x
Cộng theo vế gt ta được: x + y + z = (ax + by + cz) = (ax + x) = x(a + ) 1 2 2 2 2 1 = =
a +1 x + y + z 1 2y 1 2z Tương tự: = , =
b +1 x + y + z c +1 x + y + z Trang 19
2a = by + cz  1 1 1
Bài 128: Cho 2b = ax + cz và a + b + c  0 , Rút gọn: M = + +  x + 2 y + 2 z + 2
2c = ax + by  HD:
Cộng theo vế gt tacó 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a (x + 2) 1 a 1 b 1 c = = , Tương tự: = , = x + 2 a + b + c y + 2
a + b + c z + 2 a + b + c 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b − c
b + c − a
c + a − b Bài 129: Cho + +
=1, CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số 2ab 2bc 2ac kia HD: Từ gt ta có: ( 2 2 2
a + b − c )c + ( 2 2 2
b + c − a )a + ( 2 2 2
c + a − b )b = 2abc ( 2 2 2
a + b − c + ab)c + ( 2 2 2
b + c − a − bc)a + ( 2 2 2 2 2
c + a − b − 2ac)b = 0
(a +b + c)(a +b −c)c +(b −c + a)(b −c −a)a + (c −a +b)(c −a −b)b = 0
(a +b −c)(a + c −b)(b +c −a) = 0
c = a + b hoặc a + c = b hoặc: b + c = a
bc( y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x − y)2
Bài 130: Cho ax + by + cz = 0 , Rút gọn A = 2 2 2
ax + by + cz HD:
Từ (ax + by + cz)2 2 2 2 2 2 2
= 0  a x + b y + c z = 2
− (abxy + bcyz + acxz) Xét mẫu số: bc ( 2 2
y − yz + z ) + ac( 2 2
x − xz + z ) + ab( 2 2 2 2
x − 2xy + y ) 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + ( 2 2 2 2 2 2 bcy bcz acx acz abx aby
a x + b y + c z ) = ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + ) = ( + + )( 2 2 2 c ax by cz b ax by cz a ax by cz
a b c ax + by + cz )
(a +b + c)( 2 2 2
ax + by + cz ) Khi đó: A =
= a + b + c 2 2 2
ax + by + cz 2 2 2 x + y + z
Bài 131: Cho x + y + z = 0 , Rút gọn: B =
( y − z)2 +(z − x)2 +(x − y)2 HD:
Ta có: ( x + y + z)2 2 2 2
= x + y + z + (xy + yz + zx) 2 2 2 2
= 0  x + y + z = −2(xy + yz + zx) Khi đó: Mẫu = ( 2 2 2
x + y + z ) − (xy + yz + zx) = ( 2 2 2
x + y + z ) 2 2 2
+ x + y + z = ( 2 2 2 2 2 2
3 x + y + z ) 1 Vậy B = 3 4 4 4 4 4 4 x + y + z x y z
Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c  0 và = + + , Tính 4 4 4 4 4 4 a + b + c a b c 2 9 1945
P = x + y + z + 2017 HD: 4 4 4 4 4 4  x x   y y   z z  Từ gt=>  −  +  −  +  +  = 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a + b + c
a   a + b + c
b   a + b + c c
nên x = y = z = 0 = P = 2017 Trang 20

Tài liệu liên quan: