Bài tập Xác suất thống kê (có lời giải) | Đại học Cần Thơ

Ngân hàng Bài tập Xác suất thống kê đầy đủ có lời giải chi tiết bao gồm các dạng bài tập thường gặp của trường Đại học Cần Thơ giúp bạn củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

93 47 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất và thống kê - TTK (TN440E)

Trường: Đại học Cần Thơ

Thông tin:

125 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile VietJack
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
1
BÀI TẬP
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
2
CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT
1.1.
Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau ñược ghi các số từ 1 ñến 100, Rút ngẫu
nhiên hai thẻ rồi ñặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất ñển
a/ Rút ñược hai thẻ lập nên một số có hai chữ số.
b/ Rút ñược hai thẻ lập nên một số chia hết cho 5.
Giải
a/
A
:“Hai thẻ rút ñược lập nên một số có hai chữ số”
( )
2
9
2
100
9.8
0,0073
100.99
A
P A
A
= = ≈
b/
B
: “Hai thẻ rút ñược lập nên một số chia hết cho 5”
Số chia hết cho 5 tận cùng phải là 0 hoặc 5. Để có biến cố
B
thích hợp với ta rút
thẻ thứ hai một cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 thẻ còn lại ñặt vào vị trí ñâu. Do ñó số trường hợp thuận lợi cho là 99.20
( )
2
100
99.20
0,20
P B
A
= =
1.2.
Một hộp có chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu ñen cùng kích thước. Rút
ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả cầu. Tính xác suất ñể trong 4 quả cầu rút ñược có
a/ Hai quả cầu ñen.
b/ Ít nhất 2 cầu ñen
c/ Toàn cầu trắng
Giải
Rút ngẫu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 quả cầu nên số trường hợp ñồng khả
năng là
4
10
C
a/
A
:”trong 4 quả cầu rút có 2 quả cầu ñen”
( )
2 2
3 7
4
10
.
0,30
C C
P A
C
= =
b/
B
:”trong 4 quả cầu ñược rút có ít nhất 2 quả cầu ñen”
( )
2 2 3 1
3 7 3 7
4
10
. .
3
C C C C
P B
C
+
= =
c/
C
:”trong 4 quả cầu ñược chọn có toàn cầu trắng”
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
3
( )
4
7
4
10
1
6
C
P C
C
= =
1.3.
Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống kém chất lượng. Chọn ngẫu
nhiên lần lượt không trả lại 2 ống. Tính xác suất ñể:
a/ Cả hai ống ñược chọn ñều tốt.
b/ Chỉ ống ñược chọn ra ñầu tiên là tốt.
c/ trong hai ống có ít nhất một ống thuốc tốt.
Giải
Chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 trong 8 ống nên các trường hợp
ñồng khả năng là
2
8
A
.
a/
A
:” Cả hai ống ñược chọn ñều tốt”
( )
2
5
2
8
0,357
A
P A
A
= ≈
b/
B
:” Chỉ ống ñược chọn ra ñầu tiên là tốt”
( )
1 1
3 5
2
8
.
0,268
C C
P B
A
= ≈
c/
C
:” trong hai ống có ít nhất một ống thuốc tốt”
( )
2
3
2
8
1 0,893
A
P C
A
= − ≈
1.4.
Một hộp ñựng 15 quả bóng bàn trong ñó có 9 quả mới. Lần ñầu người ta lấy
ngẫu nhiên 3 quả ñể thi ñấu, sau ñó lại trả vào hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 3
quả. Tính xác suất ñể cả 3 quả lấy ra lần sau ñều mới.
Giải
Đặt
A
:” cả 3 quả lấy ra lần sau ñều mới”
i
B
:” Trong 3 quả lấy ra ñể thi ñấu có
i
quả mới”
{
}
0;1;2;3
i ∈
Ta thấy các
{
}
0 1 2 3
; ; ;
B B B B
lập thành nhóm ñầy ñủ các biến cố, theo công thức xác
suất toàn phần
(
)
0 0 1 1 2 2 3 3
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B
= + + +
( )
1
20.84 135.56 216.35 84.20 0, 089
207025
= + + + ≈
1.5.
Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên
5 sinh viên ñể lập Ban cán bộ lớp (BCB). Tính xác suất ñể
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
4
a/ BCB gồm 3 nữ và 2 nam,
b/ BCB có ít nhất một nữ,
c/ BCB có ít nhất hai nam và hai nữ.
Giải
Đặt
k
A
: “BCB có k nam sinh viên” (
{
}
0,1, 2,3,4,5
k ∈
),
chúng ta có:
5
12 8
5
20
.
C
C
( )
C
k
k
k
P A
−
=
a/ BCB gồm 3 nữ và 2 nam.
Xác suất phải tính:
3
2
12
8
5
20
.
77
2
323
( )
C
C
P A
C
= =
b/ Đặt N: “BCB có ít nhất một nữ”, thì
5
N A
=
.
Do ñó,
0
5
12
8
5
20
5 5
.
33 613
646 646
( ) ( ) 1 ( )
1
P N P A P A
C
C
C
= = −
= − = − =
c/ Đặt H: “BCB có ít nhất hai nam và hai nữ”.
Do ñó,
(
)
(
)
(
)
2 3
P H P A P A
= +
=
2
3
12
8
5
20
.
77 616
323 969
C
C
C
+ =
1.6.
Từ một hộp chứa 8 viên bi ñỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2
lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại. Tính xác suất ñể lấy ñược
a/ 2 viên bi ñỏ;
b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi thứ hai là bi trắng.
Giải
Với
{
}
1, 2 ,
i ∈
ñăt:
i
T
: “viên bi lấy ra lần thứ
i
là bi trắng”,
i
D
: “viên bi lấy ra lần thứ
i
là bi ñỏ”.
a/ Đặt
A
:“lấy ñược 2 viên bi ñỏ”, chúng ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
8 7
14
13 12 3
1
9
. . /P A P D D P D P D D = ===
b/ Đặt
B
: “lấy ñược hai viên bi khác màu”, chúng ta có:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
5
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P B P T D D T P T D P D T
P T P D T P D P T D
= + = +
= +
Suy ra:
5 8 8 5 20
13 12 13 12 39
( )P B = + =
c/
2 1 2 1 2
T TT D T
= +
, nên xác suất phải tính là:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P T P TT P D T
P T P T T P D P D T
= +
= +
suy ra
(
)
5 8 5 5
4
2
13 12 13 12 13
P T
= + =
1.7.
Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp
ñơn xin dự tuyển, và mỗi người ñều có cơ hội ñược tuyển như nhau. Tính xác suất
ñể trong 4 người ñược tuyển,
a) có duy nhất một nam;
b) có ít nhất một nữ.
Giải
Đặt
k
A
: “Có
k
nam ñược tuyển trong 4 nhân viên”
k
{1,2, 3, 4}
∈
Gọi
A
: “có duy nhất 1 nam”
( ) ( )
1 3
5 3
1
4
8
.
5
70
= = =
C C
P A P A
C
a) Gọi
B
: “có ít nhất 1 nữ”
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
C
P B P A
C
1.8.
Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp
ñơn xin dự tuyển, và mỗi người ñều có cơ hội ñược tuyển như nhau. Tính xác suất
ñể trong 4 người ñược tuyển,
a/ có không quá hai nam;
b/ có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ ñã ñược tuyển.
Giải
Đặt
k
A
: “Có
k
nam ñược tuyển trong 4 nhân viên”
k
{1,2, 3, 4}
∈
a/ Gọi
C
: “có không quá 2 nam”
( )
1 3 2 2
5 3 5 3
1 2
4
8
. .
1
( ) ( )
2
+
= + = =
C C C C
P C P A P A
C
b/ Gọi
D
: “chọn ra 3 nữ, biết rằng có ít nhất 1 nữ ñược tuyển”.
Gọi
B
: “Có ít nhất một nữ ñược chọn”.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
6
Ta có
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
C
P B P A
C
( )
1
1
( )
1
( | )
( ) 13
= = =
P A
P D P A B
P B
1.9.
Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng ñến cửa
hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thực hiện cả hai ñiều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính
xác suất ñể người này
a/ không thực hiện cả hai ñiều trên;
b/ không mua sách, biết rằng người này ñã hỏi nhân viên bán hàng.
Giải
Đặt
A
: “khách hàng cần tư vấn”
B
: “khách hàng cần mua sách”
Theo ñề ta có:
(
)
(
)
(
)
0,3; 0,2; 0,15
= = =
P A P B P AB
a/ Xác suất khách hàng không cần mua sách cũng không cần tư vấn là:
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 15 13
. 1 1 1
10 10 100 20
= + − = − + − − − =
P AB P A P B P AB
b/ không mua sách, biết rằng người này ñã hỏi nhân viên bán hàng.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 15
1
10 100
/
3
2
10
−
−
= = = =
P AB
P A P AB
P B A
P A P A
1.10.
Một cuộc ñiều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại
sản phẩm
X
, 50% dùng loại sản phẩm
Y
và trong số những người dùng
Y
, có
36,5% dùng
X
. Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố ñó, tính xác
suất ñể người ấy
a/ Dùng cả
X
và
Y
;
b/ Không dùng
X
, cũng không dùng
Y
.
Giải
Đặt
A
: “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm
X
”
B
: “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm
Y
”
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; | 0,365
= = =
P A P B P A B
a) Xác suất người dân ñó dùng cả
X
và
Y
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =
P AB P B P A B
b) Xác suất người dân ñó không dùng cả
X
và
Y
là
(
)
(
)
(
)
(
)
. . 0,4755
= + − =
P A B P A P B P AB
1.11.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
7
Một cuộc ñiều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại
sản phẩm
X
, 50% dùng loại sản phẩm
Y
và trong số những người dùng
Y
, có
36,5% dùng
X
. Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố ñó, tính xác
suất ñể người ấy
a/ Dùng cả
X
và
Y
;
b/ Dùng
Y
, biết rằng người ấy không dùng
X
.
Giải
Đặt
A
: “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm
X
”
B
: “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm
Y
”
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; / 0,365
= = =
P A P B P A B
a/ Xác suất người dân ñó dùng cả
X
và
Y
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =
P AB P B P A B
b/ Xác suất người dân ñó dùng
Y
, biết rằng không dùng
X
là
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
.
0,5 0,1852
/ 0,404
1 0,207
−
−
= = = =
−
P AB
P B P AB
P B A
P A P A
1.12.
Theo một cuộc ñiều tra thì xác suất ñể một hộ gia ñình có máy vi tính nếu
thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ ñược ñiều tra thì
60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất ñể một hộ gia
ñình ñược chọn ngẫu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhập trên 20 triệu.
Giải
Đặt
A
: “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có máy vi tính”
B
: “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm trên 20 triệu”
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
P A P B P A B
a/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên
20 triệu là:
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0,45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính nhưng thu nhập ít hơn 20
triệu là:
(
)
( ) ( )
0,52 0,45 0,07
= − = − =P AB P A P AB
1.13.
Theo một cuộc ñiều tra thì xác suất ñể một hộ gia ñình có máy vi tính nếu
thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ ñược ñiều tra thì
60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất ñể một hộ gia
ñình ñược chọn ngẫu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;
b/ Có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ ñó không có máy vi
tính.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
8
Giải
Đặt
A
: “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có máy vi tính”
B
: “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm trên 20 triệu”
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
P A P B P A B
a/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên
20 triệu là:
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0,45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có thu nhập hàng năm trên 20 triệu nhưng
không có máy vi tính là:
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
0,6 0,45
/ 0,3125
1 0,52
−
−
= = = =
−
P AB
P B P AB
P B A
P A P A
1.14.
Trong một ñội tuyển có hai vận ñộng viên A và B thi ñấu. A thi ñấu trước
và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có
60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30%.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a/ Đội tuyển thắng hai trận;
b/ Đội tuyển thắng ít nhất một trận.
Giải
Đặt
i
M
: “vận ñộng viên
i
thắng” với
{
}
,
∈
i A B
Theo ñề bài ta có:
( ) ( )
(
)
0,8; / 0,6; / 0,3
= = =
A
A B A B
P M P M M P M M
a/ Xác suất ñội tuyển thắng 2 trận là
(
)
(
)
(
)
. / 0,8.0,6 0,48
= = =
A B A B A
P M M P M P M M
b/ Đội tuyển thắng ít nhất một trận nghĩa là có ít nhất một trong hai vận ñộng viên
A, hoặc B thắng. Xác suất cần tính là:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0,54 0,8 0,48 0,86
A B B A A B
P M M P M P M P M M
∪ = + −
= + − =
1.15.
Trong một ñội tuyển có hai vận ñộng viên A và B thi ñấu. A thi ñấu trước
và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có
60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30%.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a/ B thắng trận;
b/ Đội tuyển chỉ thắng có một trận.
Giải
Đặt
i
M
: “vận ñộng viên
i
thắng” với
{
}
,
∈
i A B
Theo ñề bài ta có:
( ) ( )
(
)
0,8; / 0,6; / 0,3
= = =
A
A B A B
P M P M M P M M
a/ Xác suất B thắng trận là:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) | . . | 0,54
B A B A A B A
P M P M P M M P M P M M
= + =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
9
b/ Đặt
D
: “ñội tuyển chỉ thắng 1 trận”
Xác suất ñội tuyển chỉ thắng 1 trận là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. . . .
B A
A B A A B B A B
P D P M M P M M P M P M M P M P M M
= + = − + −
(
)
(
)
(
)
2. . 0,8 0,54 2.0,48 0,38
A B A B
P M P M P M M= + − = + − =
`
1.16.
Để thành lập ñội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc
thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí
sinh ñã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai. Để
vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược cả 3 vòng thi. Tính xác suất ñể
một thí sinh bất kỳ
a/ Được vào ñội tuyển;
b/ Bị loại ở vòng thứ ba.
Giải
Đặt
i
A
: “thí sinh ñược chọn ở vòng
i
” với
{
}
1,2,3
∈
i
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0,45
= = =
P A P A A P A AA
a/ Xác suất ñể thí sinh ñó ñược vào ñội tuyển là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
P AA A P A P A A P A AA
b/ Xác suất ñể thí sinh ñó bị loại ở vòng thứ III là
(
)
( ) ( )
(
)
3 3
1 2 1 2 1 1 2
. / . /=
P AA A P A P A A P A AA
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
. | . 1 | 0,8.0,7.0,55 0,308
= − = =P A P A A P A AA
1.17.
Để thành lập ñội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc
thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí
sinh ñã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai. Để
vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược cả 3 vòng thi Tính xác suất ñể
một thí sinh bất kỳ
a/ Được vào ñội tuyển;
b/ Bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.
Giải
Đặt
i
A
: “thí sinh ñược chọn ở vòng
i
” với
{
}
1,2,3
∈
i
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0,45
= = =
P A P A A P A AA
a/ Xác suất ñể thí sinh ñó ñược vào ñội tuyển là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
P AA A P A P A A P A AA
b/ Đặt K: “Thí sinh ñó bị loại”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 3
1 1 2 1 1 1 2 1 2
1= + + = − + − +
P K P A P A A P AA A P A P A P AA P AA A
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
10
( ) ( )
(
)
3
1 2 1 1 2
1 . / 1 0,8.0,7 0,308 0,748
= − + = − + =P A P A A P AA A
Vậy, xác suất ñể thí sinh ñó bị loại ở vòng II, biết rằng thí sinh ñó bị loại là:
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
2
. . . |
0,8 1 0,7
| 0,3209
0,748
−
= = = = =
P A K P A A P A P A A
P A K
P K P K P K
1.18.
Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn
ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác suất ñể
sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm ñều ñược kiểm tra.
Giải
Chia 9 sản phẩm thành 3 nhóm. Gọi
i
A
: “Kiểm tra nhóm
i
”
{
}
1,2,3
∈
i
Đặt
A
:”Sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm ñều ñược kiểm tra”
( )
C C
P A A A P A P A A P A A A
C C
3 3
6 3
1 2 3 1 2 1 3 1 2
3 3
9 9
5
( ) ( | ) ( | ) 1. .
1764
= = =
1.19.
Một lớp học của Trường Đại học AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là nữ
sinh viên. Số sinh viên quê ở An Giang chiếm tỉ lệ 40% trong nữ sinh viên, và
chiếm tỉ lệ 60% trong nam sinh viên.
a)
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể chọn ñược một
sinh viên quê ở An Giang. Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê ở An
Giang thì xác suất ñể sinh viên ñó là nam bằng bao nhiêu?
b)
Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể
có ít nhất một sinh viên quê ở An Giang, biết rằng lớp học có 60 sinh viên.
Giải
a)
Đặt :
A
: “Chọn ñược sinh viên nam”
( )
2
3
=
P A
B
: “Chọn ñược sinh viên nữ”
( )
1
3
=
P B
C
: “Chọn ñược sinh viên quê ở An Giang”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
( ) | |
15
= + = + =
P C P AC P BC P A P C A P B P C B
Do ñó,
( ) ( ) ( | ) 3
( | )
( ) ( ) 4
= = =
P AC P A P C A
P A C
P C P C
b)
Lớp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ
Số sinh viên Nam quê ở An Giang: 24
Số sinh viên Nữ quê ở An Giang: 8
Nên tổng số sinh viên quê ở An Giang là 32 sinh viên
F
: “ít nhất một sinh viên quê ở An Giang”
2
28
2
60
232
( ) 1 ( ) 1
295
= − = − =
C
P F P F
C
1.20.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
11
Có ba hộp A, B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng,
hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng
a/ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất ñể ñược 3 lọ
cùng loại.
b/ Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 3 lọ thuốc thì ñược 1 lọ tốt
và 2 lọ hỏng. Tính xác suất ñể hộp A ñã ñược chọn.
Giải
a/ và
i
A
:“lọ lấy ra từ hộp thứ
i
là tốt”
{
}
i
1,2, 3
∈
Nên, xác suất ñể ñược 3 lọ cùng loại
P A A A A A A P A P A P A P A P A P A
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( . . . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 6 5 5 4 5 4
. . . .
15 10 10 15 10 10 15
+ = +
= + =
b/ Đặt
i
H
:“Lấy ñược hộp thứ
i
”
{
}
i A B C
, ,
∈
;
X
:“Lấy ñược 2 lọ hỏng và 1 lọ
tốt”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A A B B C C
P X P H P X H P H P X H P H P X H
C C C C C C
C C C
2 1 2 1 2 1
5 10 4 6 5 5
3 3 3
15 10 10
( ) | | |
1 1 1 5113
3 3 3 16380
= + +
= + + =
Khi ñó xác suất ñể hộp A ñược chọn
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A A A
A
P XH P H P X H
P H X
P X P X
|
1200
( | ) 0,2347
5113
= = = =
1.21.
Có hai hộp B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C
có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, rồi
tiếp theo lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc từ hộp C thì ñược lọ hỏng. Tính xác suất ñể
a/ Lọ hỏng ñó là của hộp B bỏ sang;
b/ Hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều là lọ hỏng.
Giải
Gọi
k
C
: “Hai lọ thuốc lấy từ hộp B bỏ vào hộp C có
k
lọ hỏng”
{
}
0,1,2
k
∈
và ñặt
D
: “lọ thuốc lấy từ hộp C (sau khi ñã bỏ 2 lọ từ B bỏ sang) bị hỏng”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P D P C P D C P C P D C P C P D C
0 0 1 1 2 2
29
( ) | | |
60
= + + =
a/ lọ hỏng ñó là của hộp B bỏ sang
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
P C P D C P C P D C
P H D
P H D
P D
P D
C C C
C C
1 1 2 2
2
2
1 1 2
6 4 4
2 2
10 10
| |
( )
( | )
( )
1 2 60 4
. .
12 12 29 29
+
= =
= + =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
12
b/ hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều là lọ hỏng
(
)
(
)
(
)
P C P D C
CP C D C
P C D
P D
C C
P D
1
2
2 2
7
2 4
2
2 1
10 12
|
( )
60 42
( | ) .
( ) 29 261
= = = =
1.22.
Trong một ñội tuyển có 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác suất
chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi ñấu một trận ñộc lập
nhau.Tính xác suất ñể:
a/ ñội tuyển thắng ít nhất một trận,
b/ ñội tuyển thắng 2 trận.
Giải
Đặt :
A
: “vận ñộng viên A chiến thắng”
(
)
0,6
=
P A
B
: “vận ñộng viên B chiến thắng”
(
)
0,7
=
P A
C
: “vận ñộng viên C chiến thắng”
(
)
0,8
=
P A
a/ Gọi
K
: “ ñội tuyển thắng ít nhất 1 trận”
(
)
P K P AB C P A P B P C
( ) 1 . . 1 ( ) ( ) ( ) 0,976
= − = − =
b/ Gọi
E
: “ ñội tuyển thắng 2 trận”
(
)
(
)
(
)
P E P A B C P AB C P A B C
( ) . . . . . . 0, 452
= + + =
1.23.
Trong một ñội tuyển có 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác suất
chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi ñấu một trận ñộc lập
nhau.Tính xác suất ñể:
a/ Đội tuyển thắng ít nhất một trận,
b/ A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng 2 trận.
Giải
Đặt :
A
: “vận ñộng viên A chiến thắng”
(
)
0,6
=
P A
B
: “vận ñộng viên B chiến thắng”
(
)
0,7
=
P A
C
: “vận ñộng viên C chiến thắng”
(
)
0,8
=
P A
a/ Gọi
K
: “ ñội tuyển thắng ít nhất 1 trận”
(
)
P K P AB C P A P B P C
( ) 1 . . 1 ( ) ( ) ( ) 0,976
= − = − =
b/ A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng 2 trận
Gọi
E
: “ ñội tuyển thắng 2 trận”
(
)
(
)
(
)
P E P A B C P AB C P A B C
( ) . . . . . . 0, 452
= + + =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
13
(
)
P A E P ABC
P A E
P E P E
( . ) ( ) 56
| 0,4956
( ) ( ) 113
= = = ≈
1.24.
Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt
môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt
môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên
của trường XYZ.
a/ Tính xác suất ñể anh ta trượt cả hai môn Toán và Tâm lý; ñậu cả hai môn
Toán và Tâm lý.
b/ Nếu biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý thì xác suất ñể anh ta ñậu
môn Toán là bao nhiêu?
Giải
T
: “sinh viên thi trượt môn Toán”
(
)
0,34
=
P T
và
L
: “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý”
(
)
0,205
=
P L
khi ñó
( | ) 0,5
=
P L T
a/ Xác suất sinh viên truợt môn cả môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
P T L P T P L T
( . ) | 0, 34.0,5 0,17
= = =
Xác suất sinh viên ñậu cả môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
(
)
(
)
P T L P T L P T P L P T L
. 1 ( ) 1 . 0,625
= − ∪ = − − + =
b/ Xác suất sinh viên ñậu môn Toán, biết rằng trượt môn Tâm Lý:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P TL
P L P TL
P T L
P L P L
7
|
41
−
= = =
.
1.25.
Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt
môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt
môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của
trường XYZ. Nhiều khả năng nhất là sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác suất tương ứng.
Đáp số
Gọi
T
: “sinh viên thi trượt môn Toán”
(
)
0,34
=
P T
và
L
: “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý”
(
)
0,205
=
P L
khi ñó
( | ) 0,5
=
P L T
Xác suất sinh viên truợt môn cả môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
P T L P T P L T
( . ) | 0, 34.0,5 0,17
= = =
Nên, Sinh viên trượt cả Toán và Tâm lý với xác suất không ñổi
p
0,17
=
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
14
Do ñó, chọn 12 sinh viên nghĩa là thực hiện 12 phép thử Bernoulli với xác
suất thành công (trượt cả Toán và Tâm lý) không ñổi
p
0,17
=
.số sinh viên nhiều
khả năng trượt cả hai môn
(
)
n p
1 13.0,17 2
+ = =
.
Xác suất tương ứng là
( ) ( ) ( )
2 10
2
12 12
2 0,17 . 1 0,17 0,296
P C= − = .
1.26.
Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt
môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt
môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Phải chọn bao nhiêu sinh viên
của trường XYZ sao cho, với xác suất không bé hơn 99%, trong số ñó có ít nhất
một sinh viên ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý.
Giải
T
: “sinh viên thi trượt môn Toán”
(
)
0,34
=
P T
và
L
: “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý”
(
)
0,205
=
P L
khi ñó
( | ) 0,5
=
P L T
Xác suất sinh viên ñậu cả môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
(
)
(
)
P T L P T L P T P L P T L
. 1 ( ) 1 . 0, 625
= − ∪ = − − + =
Gọi
n
là số sinh viên cần chọn. Xác suất ñể sinh viên ñậu cả hai môn Toán
và Tâm Lý không ñổi
p
0,625
=
nên ta có quá trình Bernoulli
(
)
,
B n p
.
Đặt
E
: “ ít nhất một sinh viên ñậu cả hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu cầu bài toán ta ñược
(
)
(
)
(
)
1 0 1 1 0,625 0, 99
n
n
P E P
= − = − − ≥
(
)
(
)
n n
n
0, 01 0, 375 ln 0, 01 ln 0, 375 4, 69
⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Vậy, chọn ít nhất 5 sinh viên.
1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 của một xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30% và
10% tổng số sản phẩm của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của các máy
trên, theo thứ tự, là 2%, 3% và 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng của
xí nghiệp, trong ñó ñể lẫn lộn các sản phẩm do 3 máy sản xuất.
a/ Tính xác suất ñể sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Ý nghĩa của xác
suất ñó ñối với lô hàng là gì?
b/ Nếu sản phẩm lấy ñược là phế phẩm, thì nhiều khả năng nhất là do
máy nào sản xuất?
Giải
Đặt
i
M
: “sản phẩm lấy ra do máy
i
sản xuất” với
{
}
1,2,3
i
∈
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0,6; 0,3; 0,1
P M P M P M
= = =
Và
T
:“sản phẩm lấy ra là phế phẩm”
(
)
(
)
(
)
1 2 3
| 0,98; | 0, 97; | 0, 96
P T M P T M P T M
= = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
15
a/
T
:”sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P T P M P T M P M P T M P M P T M
1 1 2 2 3 3
| | | 0, 975
= + + =
Ý nghĩa, xác suất thể hiện tỉ lệ sản phẩm tốt của lô hàng.
b/ Xác suất lấy ra sản phẩm là phế phẩm
(
)
(
)
P T P T
1 0, 025
= − =
Theo công thức Bayes
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P M T P M P T M
P M T
P T P T
1 1 1
1
. |
0,6.0, 02
| 0,48
0,025
= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2
. |
0, 3.0, 03
| 0, 36
0, 025
P M T P M P T M
P M T
P T P T
= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P M T P M P T M
P M T
P T P T
3 3 3
3
. |
0,1.0, 04
| 0,16
0, 025
= = = =
Do ñó, sản phẩm do máy 1 sản xuất ra phế phẩm nhiều nhất.
1.28.
Chia ngẫu nhiên 9 tấm vé số, trong ñó có 3 vé trúng thưởng, ñều cho 3
người (mỗi người 3 tấm). Tính xác suất ñể cả 3 người ñều ñược trúng thưởng.
Giải
Đặt
i
A
: “Người mua vé thứ
i
ñược vé trúng thưởng” với
{
}
1,2,3
i
∈
( ) ( ) ( ) ( )
C C C C C C
P A A A P A P A A P A A A
C C C
1 2 1 2 1 2
3 6 2 4 1 2
1 2 3 1 2 1 3 1 2
3 3 3
9 6 3
9
| | . .
28
= = =
1.29.
Trong số các bệnh nhân ñang ñược ñiều trị tại một bệnh viện, có 50% ñiều
trị bệnh A, 30% ñiều trị bệnh B và 20% ñiều trị bệnh C. Tại bệnh viện này, xác
suất ñể chữa khỏi các bệnh A, B và C, theo thứ tự, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ
lệ bệnh nhân ñược chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân ñã ñược chữa khỏi
bệnh trong bệnh viện.
Giải
Đặt
i
T
: “bệnh nhân ñiều trị bệnh
i
” với
{
}
, ,
i A B C
∈
K
: “bệnh nhân ñược khỏi bệnh”
Theo ñề bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,5; 0,3; 0, 2
A B C
P T P T P T
= = =
và
(
)
(
)
(
)
/ 0,7; / 0,8; / 0,9
A B C
P K T P K T P K T
= = =
Xác suất ñể bệnh nhân khỏi bệnh là
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
16
( ) ( ) ( )
. / 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77
C
i i
i A
P K P T P K T
=
= = + + =
∑
Xác suất ñể bệnh nhân trị khỏi bệnh A là
( )
(
)
(
)
. |
0,5.0,7
| 45,45%
( ) 0,77
A A
A
P T P K T
P T K
P K
= = =
1.30.
Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi ñỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B
chứa 3 bi ñỏ và 5 bi trắng. Gieo một con xúc xắc vô tư: Nếu mặt 3 hoặc mặt 5
xuất hiện thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình B; các trường hợp khác thì chọn ngẫu
nhiên một bi từ bình A. Tính xác suất ñể chọn ñược viên bi ñỏ. Nếu viên bi trắng
ñược chọn, tính xác suất ñể mặt 5 của con xúc xắc xuất hiện.
Giải
Đặt
X
: “Gieo con xúc xắc ñược mặt 3 hoăc mặt 5”,
P X
1
( )
3
=
D
: “Lấy từ bình ra một bi là bi ñỏ”. Ta có
1 1
3 5
1 1
8 16
1 2 1
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) . .
3 3 3
C C
P D P X P D X P X P D X
C C
= + = + =
Gọi
T
: “một viên bi ñược chọn là bi trắng”
C C
P T P X P T X P X P T X
C C
1 1
5 3
1 1
8 16
1 2 1
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) . .
3 3 3
= + = + =
Đặt
E
: “gieo con xúc xắc ñược mặt 5”.
Xác suất mặt 5 xuất hiện, biết rằng bi ñược chọn là bi trắng là
( )
(
)
(
)
(
)
P XT
P X P T X
P E T
P T P T
1 1 ( ) ( | ) 1 1 5 5
| .3. .
2 2 2 3 8 16
= = = =
1.31.
Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi ñỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B
chứa 3 bi ñỏ và 5 bi trắng.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình A bỏ vào bình B, rồi từ bình B lấy ngẫu
nhiên 1 viên bi thì ñược bi ñỏ. Theo ý bạn, viên bi ñó vốn thuộc bình nào?
Giải
Gọi
k
A
: “ có
k
bi ñỏ trong 3 viên bi lấy từ bình A bỏ vào bình B” với
{
}
0,1,2,3
k
∈
Đặt
F
: “Lấy một bi từ bình B ra là bi ñỏ”.
3 1 2
3
11 5 11
3 3
0
16 16
2 1 3
5 11 5
3 3
16 16
3 4
( ) ( ) ( | ) . .
11 11
5 6 63
. .
11 11 176
k k
k
C C C
P F P A P F A
C C
C C C
C C
=
= = + +
+ + =
∑
Đặt
G
: “bi ñỏ sau cùng lấy từ bình B”.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
17
C
P G
C
1
3
1
11
3
( )
11
= =
Do ñó
(
)
(
)
(
)
(
)
P GF P G
P G F
P F P F
3 176 16 1
( | ) .
11 63 21 2
= = = = >
.
Vậy, bi ñỏ sau cùng nhiều khả năng nhất là của bình B.
1.32.
Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ trắng và 5 con thỏ
nâu; chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu
nhiên ra một con ñể nghiên cứu. Các con thỏ còn lại ñược dồn vào một chuồng thứ
ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Tính xác suất ñể con
thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu.
Giải
Đặt
A
: “Thỏ bắt ở chuồng 1 ra nghiên cứu là thỏ nâu ”
5
( )
6
P A
=
B
: “Thỏ bắt ở chuồng 2 ra nghiên cứu là thỏ nâu”
1
( )
10
P B =
Gọi
N
: “Thỏ bắt ở chuồng 3 ra nghiên cứu là thỏ nâu ”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) . . . . . . . .
P N P A B N P A B N P A B N P A B N
= + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. | . . | .
. | . . | .
P AB P N A B P A B P N AB
P AB P N A B P A B P N AB
= + +
+ +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
| . | .
| . | .
P A P B P N A B P A P B P N A B
P A P B P N A B P A P B P N A B
= + +
+ +
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
4 6 5 5 38
14 14 14 14 105
P A P B P A P B P A P B P A P B= + + + =
1.33.
Ban giám ñốc một công ty liên doanh với nước ngoài ñang xem xét khả
năng ñình công của công nhân ñể ñòi tăng lương ở hai nhà máy A và B. Kinh
nghiệm cho họ biết cuộc ñình công ở nhà máy A và B xảy ra lần lượt với xác suất
0,75 và 0,65. Ngoài ra, họ cũng biết rằng nếu công nhân ở nhà máy B ñình công
thì có 90% khả năng ñể công nhân ở nhà máy A ñình công ủng hộ.
a/ Tính xác suất ñể công nhân ở cả hai nhà máy ñình công.
b/ Nếu công nhân ở nhà máy A ñình công thì xác suất ñể công nhân ở nhà
máy B ñình công ñể ủng hộ bằng bao nhiêu?
Giải
Đặt :
A
: “ Công nhân ñình công ở nhà máy A”
( ) 0,75
P A
=
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
18
B
: “Công nhân ñình công ở nhà máy B”
(
)
( ) 0,69; | 0,9
P B P A B
= =
a/ Xác suất công nhân ñình công ở 2 nhà máy là
(
)
(
)
(
)
. | , . , ,
P AB P A P A B
0 65 0 9 0 585
= = =
b/ Nếu công nhân ở nhà máy A ñình công thì xác suất ñể công nhân ở nhà máy B
ñình công là
( )
(
)
( )
,
| ,
,
P AB
P B A
P A
0 585
0 78
0 75
= = =
1.34.
Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bản cân ñối thu chi chứa các
sai lầm. Trong các bản chứa sai lầm, 60% ñược xem là các giá trị bất thường so
với các số xuất phát từ gốc. Trong tất cả các bản cân ñối thu chi thì 20% là những
giá trị bất thường. Nếu một con số ở một bảng cân ñối tỏ ra bất thường thì xác suất
ñể số ấy là một sai lầm là bao nhiêu?
Giải
Đặt
A
: “bản cân ñối thu chi chứa sai lầm”
( ) 0,15
P A
=
B
: “bản cân ñối thu chi chứa giá trị bất thường”
(
)
( ) 0,2; | 0, 6
P B P B A
= =
Xác suất 1 con số ở 1 bảng cân ñối tỏ ra bất thường là 1 sai lầm:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
| ,
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 15 0 6
0 45
0 2
= = = =
1.35.
Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng 80% số người
dùng tủ lạnh có ñọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người
ñọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không ñọc quảng cáo cũng mua
loại tủ lạnh X. Tính xác suất ñể một người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có
ñọc quảng cáo.
Giải
Đặt
A
: “người ñó ñọc quảng cáo”
( ) 0,8
P A
=
B
: “người ñó mua tủ lạnh X”
( )
(
)
/ , ; / ,
P B A P B A
0 3 0 1
= =
Trước tiên tính xác suất ñể người mua tủ lạnh X
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
. / . / ,
P B P AB P AB P A P B A P A P B A
0 26
= + = + =
Xác suất ñể 1 người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có ñọc quảng cáo:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 8 0 3 12
0 26 13
= = = =
1.36.
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập. Hệ
thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả
năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của
mỗi bóng của mỗi hệ thống ñược xem như ñộc lập. Tính xác suất ñể
a/ Hệ thống I bị hỏng;
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
19
b/ Hệ thống II không bị hỏng.
Giải
a/ Đặt
i
A
:”bóng ñèn thứ
i
trong hệ thống I bi hỏng”
{
}
1,2,3, 4
i
∈
.
Xác suất hệ thống I bị hỏng
(
)
4
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( ) 1 . . . 1 0,9 0,3439
P A P A A A A P A A A A
= + + + = − = − =
b/ Đặt
j
B
:”bóng ñèn thứ
j
trong hệ thống II bi hỏng”
{
}
1,2,3
j
∈
.
Xác suất hệ thống II không bị hỏng
1 2 3 1 2 3
( ) 1 ( . . ) 1 0,1.0,1.0,1 0, 999
P B B B P B B B+ + = − = − =
1.37.
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập. Hệ
thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả
năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của
mỗi bóng của mỗi hệ thống ñược xem như ñộc lập. Tính xác suất ñể
a/ Cả hai hệ thống bị hỏng;
b/ Chỉ có một hệ thống bị hỏng.
Giải
a/ Đặt
i
A
: “bóng ñèn thứ
i
trong hệ thống I bi hỏng”
{
}
1,2,3, 4
i
∈
.
và
j
B
:”bóng ñèn thứ
j
trong hệ thống II bi hỏng”
{
}
1,2,3
j
∈
.
Xác suất hệ thống I bị hỏng
(
)
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( ) 1 . . . 1 4.0,9 0, 3439
P A P A A A A P A A A A
= + + + = − = − =
Xác suất hệ thống II bị hỏng là:
(
)
1 2 3
( . . ) 0, 001
P B P B B B
= =
Nên, xác suất cả hai hệ thống bị hỏng là
( ) ( ) ( ) 0, 3439.0, 001 0, 0003439
P AB P A P B
= = =
b/ Xác suất chỉ có một hệ thống bị hỏng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 34212
P AB AB P A P B P A P B
+ = + =
1.38.
Một lô hàng gồm rất nhiều bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xấu. Một
người ñến mua hàng với qui ñịnh: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng ñèn ñem kiểm tra và
nếu có nhiều hơn một bóng ñèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất ñể lô
hàng ñược chấp nhận.
Giải
Việc kiểm tra 10 bóng ñèn, nghĩa là thực hiện 10 phép thử Bernoulli, với
xác suất “thành công” gặp bóng xấu
0, 08
p
=
(không ñổi).
Khi ñó
(
)
; , , . , , , , ,...,
−
= =
k k k
n
P k C k
10
10
0 08 0 08 0 92 0 1 2 10
(
k
:số lần thành công trong 10 phép thử)
Đặt
A
: “nhận lô hàng”
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9
1
10 10 10
0; 0, 08 1;0,08 0, 92 0, 88. 0,92 0, 812
P A P P C= + = − =
1.39.
Một nhóm nghiên cứu ñang nghiên cứu về nguy cơ một sự cố tại một nhà
máy ñiện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ. Nhóm nghiên cứu nhận thấy các
loại sự cố chỉ có thể là: hoả hoạn, sự gãy ñổ của vật liệu hoặc sai lầm của con
người, và 2 hay nhiều hơn 2 sự cố không bao giờ cùng xảy ra.
Nếu có hỏa hoạn thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 20% số lần. Nếu có sự
gãy ñổ của vật liệu thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 50% số lần, và nếu có sự
sai lầm của con người thì sự rò rỉ sẽ xảy ra khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu
cũng tìm ñược xác suất ñể: Hoả hoạn và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0010,
gãy ñổ vật liệu và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015, sai lầm của con người
và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0012. Tìm xác suất ñể
a/ có hoả hoạn; có gãy ñổ vật liệu và có sai lầm của con người;
b/ có một sự rò rỉ phóng xạ;
c/ một sự rò rỉ phóng xạ ñược gây ra bởi sự sai lầm của con người.
Giải
Đặt
A
: “xảy ra hỏa hoạn”
B
: “xảy ra gãy ñổ”
C
: “xảy ra sai lầm của con người”
D
: “sự rò rỉ phóng xạ”
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
| 0,2; | 0, 5; | 0,1
0, 001; 0, 0015; 0,0012
P D A P D B P D C
P DA P DB P DC
= = =
= = =
a/ Xác suất có hoả hoạn là
( )
(
)
( )
,
|
P AD
P A
P D A
0 005
= =
Xác suất có gãy ñổ vật liệu là
( )
(
)
( )
,
|
P BD
P B
P D B
0 003
= =
và xác suất sai lầm của con người
( )
(
)
( )
,
|
P CD
P C
P D C
0 0012
= =
b/ Xác suất có sự rò rỉ phóng xạ xảy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
P D P AD P BD P CD
0 001 0 0015 0 0012 0 0037
= + + = + + =
c/ Xác suất một sự rò rỉ phóng xạ ñược gây ra bởi sự sai lầm của con người là
(
)
(
)
0, 0012 12
( | )
0,0037 37
P CD
P C D
P D
= = =
1.40.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
21
Một ñịa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%. Biết rằng tỉ lệ
người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ ñó trong số
người không nghiện thuốc lá là 40%. Chọn ngẫu nhiên một người từ ñịa phương
trên.
a/ Nếu người ñó bị viêm họng, tính xác suất ñể người ñó nghiện thuốc lá.
b/ Nếu người ñó không bị viêm họng, tính xác suất ñể người ñó nghiện
thuốc lá.
Giải
Đặt
A
: “người dân nghiện thuốc lá”
(
)
,
P A
0 3
=
B
: “người dân bị viêm họng”
( )
(
)
| , ; | ,
P B A P B A
0 6 0 4
= =
a/ Trước tiên ta tính xác suất người này viêm họng
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
. | . | ,
P B P AB P AB P A P B A P A P B A
0 46
= + = + =
Xác suất ñể người nghiện thuốc lá nếu bị viêm họng là
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 3 0 6 9
0 46 23
= = = =
b/ Xác suất ñể người nghiện thuốc lá nếu không bị viêm họng là
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
. |
|
− −
= = = =
−
P AB
P A P AB P A P A P B A
P A B
P B
P B P B
2
1 9
1.41.
Một nhà xuất bản gửi bản giới thiệu sách mới ñến 80% giảng viên của một
trường ñại học. Sau một thời gian, nhà xuất bản nhận thấy: Có 30% giảng viên
mua sách trong số những người nhận ñược bản giới thiệu, và trong số những giảng
viên không nhận ñược bản giới thiệu, có 10% mua sách . Tìm tỉ lệ những giảng
viên nhận ñược bản giới thiệu trong số những người mua sách.
Giải
Đặt
A
: “giảng viên nhận ñược bản giới thiệu sách mới”
(
)
,
P A
0 8
=
B
: “giảng viên mua sách”
( )
(
)
| , ; | ,
P B A P B A
0 3 0 1
= =
Trước hết ta tính xác suất ñể giảng viên mua sách
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) . | . | 0,26
P B P AB P AB P A P B A P A P B A
= + = + =
Nên, xác suất ñể giảng viên nhận ñược bản giới thiệu trong số những người mua
sách:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
/
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 8 0 3 12
0 26 13
= = = =
1.42.
Nhà trường muốn chọn một số học sinh từ một tổ gồm 7 nam sinh và 6
nữ.sinh. Lần ñầu chọn ngẫu nhiên 2 học sinh; sau ñó, chọn tiếp 1 học sinh nữa.
a/ Tính xác suất ñể học sinh ñược chọn lần sau là nam sinh.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
22
b/ Biết rằng học sinh ñược chọn lần sau là nữ sinh, tính xác suất ñể cả hai
học sinh ñược chọn lần ñầu ñều là nam sinh.
Giải
a/ Gọi
k
A
: “chọn
k
học sinh nam trong 2 học sinh lần ñầu”
{
}
0,1,2
k ∈
1 1 2
2
7 6 7
6
0 1 2
2 2 2
13 13 13
( ) ; ( ) ; ( )
C C C
C
P A P A P A
C C C
= = =
A
:”học sinh ñược chọn sau cùng là nam”
(
)
0 0 1 1 2 2
1 1 2
2
7 6 76
2 2 2
13 13 13
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
7 6 5 7
. . .
11 11 11 13
P A P A P A A P A P A A P A P A A
C C C
C
C C C
= + +
= + + =
b/ Xác suất học sinh chọn lần sau cùng là nữ là
( )
6
( ) 1 -
13
P A P A
= =
nên xác suất ñể 2 học sinh ñược chọn lần ñầu là nam:
( )
( )
2
1
7
6
2 1
2 2
13 11
2
.
( ). |
7
( | )
6 22
13
C
C
P A P A A
C C
P A A
P A
= = =
1.43.
Số liệu thống kê về bệnh lao phổi tại một ñịa phương cho biết: Có 15% số
người làm nghề ñục ñá (LNĐĐ) và bị lao phổi; có 50% số người không LNĐĐ và
không bị lao phổi; có 25% số người LNĐĐ nhưng không bị lao phổi. Ngoài ra, tỉ
lệ những người không LNĐĐ nhưng bị lao phổi là 10%. Chúng ta có thể kết luận
gì về mối quan hệ giữa nghề ñục ñá và bệnh lao phổi?
Giải
Đặt
D
: “làm nghề ñục ñá”
L
: “bị lao phổi”
Theo số liệu ñề bài ta có:
(
)
0,15; ( . ) 0,5; ( . ) 0,25; ( . ) 0,1
P DL P D L P D L P D L
= = = =
Khi ñó,
(
)
( ) ( . ) 0,25 0,15 0, 4
P D P D L P DL
= + = + =
và
(
)
( ) ( . ) 0,1 0,15 0,25
P L P L D P DL
= + = + =
Dễ thấy
(
)
(
)
0,15 0, 4.0,25 ( )
P DL P D P L
= ≠ =
do ñó bệnh lao phổi có liên quan
ñến nghề ñục ñá. Xét
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
| 0, 375; | 0,2
P LD
P LD
P L D P L D
P D
P D
= = = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
23
Ta thấy
(
)
(
)
| 2 |
P L D P L D
≈
. Chứng tỏ rằng, xác suất người bị lao phổi khi
người ñó làm nghề ñục ñá cao gần gấp hai lần xác suất người bị lao phổi nhưng
người ñó không làm nghề ñục ñá.
1.44.
Giả sử một xét nghiệm X cho kết quả dương tính (+) ñối với những người
nhiễm HIV với xác suất 95% và cho kết quả (+) ñối với những người không nhiễm
HIV với xác suất 1%. Một người ñến từ ñịa phương có tỉ lệ nhiễm HIV là 1%
ñược làm xét nghiệm X và cho kết quả (+). Tính xác suất ñể người này thực sự
nhiễm HIV.
Giải
Đặt
A
: “Người bị nhiễm HIV ñến từ ñịa phương”
(
)
0, 01
P A
=
B
: “người ñến từ ñịa phương làm xét nghiệm X cho kết quả dương tính với
HIV”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. | . | 0, 01.0,95 0, 99.0, 01 0, 0194
P B P A P B A P A P B A
= + = + =
Xác suất ñể người ñến từ ñịa phương có tỉ lệ 1% ñược xét nghiệm và cho kết quả
dương tính là
( ). ( | ) 0, 95.0, 01 95
( | )
( ) 0, 0194 194
P A P B A
P A B
P B
= = =
1.45.
Một hộp chứa 15 lọ thuốc, trong ñó có 6 lọ hỏng. Lấy lần lượt từng lọ
không hoàn lại ñể kiểm tra, cho ñến khi gặp 3 lọ hỏng thì dừng.
a/ Tính xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba; ở lọ thứ sáu
b/ Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, tính xác suất ñể lọ ñược kiểm
ra ñầu tiên là lọ hỏng.
Giải
Đặt
i
A
:” lần kiểm tra thứ
i
ñược lọ hỏng”
a/ Xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba
( )
1 2 3
6 5 4 4
. .
15 14 13 91
P A A A
= =
Đặt
A
:” kiểm tra liên tiếp 5 lần ñược 2 lọ hỏng và 3 tốt”
3 2 1
9 6 4
6
5 1
15 10
1260 4
( ) ; ( )
3003 10
C C C
P A P A
C C
= = = =
C
:”kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu”
( )
6 6
24
( ) ( ) ( )
143
P C P AA P A P A
= = =
b/ Việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, xác suất ñể lọ ñược kiểm ra ñầu tiên là lọ
hỏng.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 6
1
|
|
P A P C A P A P D P A
P A C
P C P C
= =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
24
1 3
5 9
4
14
6 4
. .
15 10
71
0, 4
24 225
143
C C
C
= = ≈
1.46.
Từ một lô hàng có rất nhiều quyển vở với tỉ lệ vở hỏng là 5%, người ta
chọn ngẫu nhiên từng quyển vở ñể kiểm tra.
a/ Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu quyển vở ñể xác suất có ít nhất một
quyển vở hỏng không bé hơn 90% ?
b/ Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 quyển vở hỏng. Tính
xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 10,
Giải
Gọi
p
là xác suất vở hỏng trong mỗi lô hàng.
0, 05
p
=
và gọi
n
là số
quyển vở cần kiểm tra. Ta có dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công (vở
hỏng) là 0,05. Do ñó,
(
)
;0, 05
n
P k
a/ Đặt
A
: “ít nhất một quyển vở hỏng”
(
)
(
)
( ) 1 0; 0, 05 1 0,95 0,9 44,98
n
n
P A P n= − = − ≥ ⇔ ≥
Nên phải kiểm tra ít nhất 45 quyển vở.
b/ Việc kiểm tra phát hiện 3 quyển vở hỏng suy ra 9 lần kiểm tra ñầu phát hiện 2
quyển vở hỏng và lần thứ 10 phải là vở hỏng.
Đặt
B
:”kiểm tra dừng lại lần thứ 10”
(
)
(
)
(
)
2 2 7
9 9
2; 0,05 .0,05 0, 05 0, 95 .0, 05 0, 003143
P B P C
= = =
.
1.47.
Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại
A
và 2 sản phẩm loại
B
; hộp thứ hai có 5
sản phẩm loại
A
và 3 sản phẩm loại
B
. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm.
a/ Tính xác suất ñể ñược 3 sản phẩm loại
A
;
b/ Giả sử lấy ñược một sản phẩm loại
B
và 3 sản phẩm loại
A
. Nhiều
khả năng là sản phẩm loại
B
thuộc hộp nào? Tại sao?
Giải
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sp với
{
}
0;1;2
i
∈
và
{
}
0;1;2
j
∈
Đặt
i
A
:” lấy ñược
i
sp loại
A
từ hộp thứ nhất”
j
B
:” lấy ñược
j
sp loại
A
từ hộp thứ hai”
a/
C
: “lấy ñược 3 sp loại
A
và 1 sp loại
B
”
( ) ( ) ( )
2 1 1 1 1 2
8 5 3 8 2 5
2 1 1 2
2 2 2 2
10 8 10 8
. .
29
. .
63
C C C C C C
P C P A B P A B
C C C C
= + = + =
b/ Gọi
(
)
(
)
1 2
,
P H P H
lần lượt là xác suất ñể sp loại
B
thuộc hộp thứ nhất và hộp
thứ hai
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
25
Ta có
( )
( )
( )
1 1 2
8 2 5
2 2
1 2
10 8
1
.
.
8
29 29
63
C C C
P A B
C C
P H
P C
= = =
( )
( )
( )
2 1 1
8 5 3
2 2
2 1
10 8
2
.
.
21
29 29
63
C C C
P A B
C C
P H
P C
= = =
Ta thấy
(
)
(
)
1 2
P H P H
<
nên sp loại
B
nhiều khả năng thuộc hộp thứ hai.
1.48.
Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại
A
và 2 sản phẩm loại
B
; hộp thứ hai có 5
sản phẩm loại
A
và 3 sản phẩm loại
B
. Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy ngẫu
nhiên từ ñó ra 4 sản phẩm.
a/ Tính xác suất ñể ñược 3 sản phẩm loại
A
;
b/ Giả sử lấy ñược một sản phẩm loại
B
và 3 sản phẩm loại
A
. Nhiều
khả năng là sản phẩm loại
B
thuộc hộp nào? Tại sao?
Giải
a/ Lấy ngẫu nhiên ra 1 hộp, rồi lấy ngẫu nhiên từ ñó ra 4 sp
Đặt
i
M
:” lấy ñược hộp thứ
i
”,
{
}
1,2
i
∈
suy ra
( ) ( )
1 2
1
2
P M P M
= =
gọi
C
:” lấy ñược 3 sp loại
A
và 1 sp loại
B
”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
. | . |
P C P M P C M P M P C M
= +
3 1 3 1
8 2 5 3
4 4
10 8
. .
1 1 8 3 101
2 2 15 7 210
C C C C
C C
= + = + =
b/ Gọi
(
)
(
)
1 2
,
P H P H
lần lượt là xác suất ñể sp loại
B
thuộc hộp thứ nhất và hộp
thứ hai
Ta có
( )
( ) ( )
( )
3 1
8 2
4
1 1
10
1
.
1
.
. |
2
56
101 101
210
C C
P M P C M
C
P H
P C
= = =
( )
( ) ( )
( )
3 1
5 3
4
2 2
8
2
.
1
.
. |
2
45
101 101
210
C C
P M P C M
C
P H
P C
= = =
Thấy
(
)
(
)
1 2
P H P H
>
nên sp loại
B
nhiều khả năng thuộc hộp thứ nhất.
1.49.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
26
Một nhà máy sản xuất linh kiện ñiện tử với 96% sản phẩm có chất lượng
cao. Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có ñặc ñiểm: 2% sản phẩm có
chất lượng cao lại không ñược công nhận và 5% sản phẩm không có chất lượng
cao lại ñược công nhận. Hãy tính xác suất ñể sau khi kiểm tra, một sản phẩm
ñược công nhận có chất lượng cao ñúng là sản phẩm có chất lượng cao.
Giải
Gọi
A
: “sp chất lượng cao” và
B
: “sp ñược công nhận”
(
)
0,96
P A
=
,
(
)
| 0, 02
P B A
=
và
(
)
| 0, 05
P B A
=
Ta có
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
| 0,02
P AB
P A P AB
P B A
P A P A
−
= = =
suy ra
(
)
0,9408
P AB
=
.
Lại có
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
| 0, 05
P AB
P B P AB
P B A
P A P A
−
= = =
suy ra
(
)
0,9428
P B
=
Xs ñể 1 sp ñó ñược công nhận chất lượng cao ñúng là sp chất lượng cao là
( )
(
)
(
)
0,9408
| 0,9978
0,9428
P AB
P A B
P B
= = =
1.50.
Giả sử bạn ñem giao một lô hàng, rất nhiều sản phẩm, mà bạn biết rằng nó
có tỉ lệ phế phẩm là 10%. Người nhận hàng ñề nghị lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm ñể
kiểm tra, và nếu có quá
k
phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn ñề nghị
k
bằng
bao nhiêu ñể vừa thuyết phục ñược người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng
không bị từ chối ít nhất là 95%?
Giải
Tỉ lệ phế phẩm là
0,1
p
=
Việc lấy ngẫu nhiên 6 sp ñể kiểm tra nghĩa là thực hiện 6 phép thử
Bernoulli với xs thành công (gặp phế phẩm)
0,1
p
=
(không ñổi). Ta ñược
(
)
6
6 6
;0,1 .0,1 .0,9
k k k
P k C
−
=
Nhận xét:
(
)
(
)
6 6
0; 0,1 1; 0,1 0, 95
P P
+ <
và
(
)
(
)
(
)
6 6 6
0; 0,1 1; 0,1 2; 0,1 0, 9842 0, 95
P P P
+ + = >
nên theo yêu cầu bài toán
2
k
=
.
1.51.
Một khu dân cư A có tỉ lệ mắc bệnh B là 30%.
a/ Trong một ñợt ñiều tra, người ta chọn ngẫu nhiên 10 người. Tính xác suất
trong ñó có nhiều nhất ba người mắc bệnh B.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Diệp Hoàng Ân
27
b/ Được biết trong khu vực ñó có 60% dân số có chích ngừa bệnh B. Tỷ lệ
người kháng bệnh B ñối với người ñược chích ngừa là 95%. Còn tỷ lệ kháng bệnh
B ñối với người không chích ngừa là 20%. Chọn ngẫu nhiên một người thấy người
này không mắc bệnh B. Tính xác suất người này có chích ngừa.
Giải
Gọi
B
: “Người ñược chọn mắc bệnh B”
(
)
0, 3
P B
=
.
Chọn ngẫu nhiên 10 người là thực hiện 10 phép thử Bernuolli với xác suất thành
công (mắc bệnh B)
(
)
0, 3
P B
=
(không ñổi). Ta có
(
)
10
10 10
;0, 3 .0, 3 .0, 7
k k k
P k C
−
=
.
a/ Xác suất trong ñó có nhiều nhất ba người mắc bệnh B
(
)
(
)
(
)
(
)
10 10 10 10
0;0, 3 1;0, 3 2;0, 3 3; 0, 3
0, 0282 0,1211 0,2335 0,2668 0, 6496
P P P P
+ + + =
= + + + =
b/
A
:” chích ngừa bệnh B”
(
)
0,6
P A
=
(
)
| 0,95
P B A
= và
(
)
| 0,2
P B A
=
Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thấy người này không mắc bệnh B:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
| | 0, 65
P B P A P B A P A P B A
= + =
xác suất người này có chích ngừa:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. . |
8
|
65
P AB P A P B A
P A B
P B P B
= = =
.
1.52.
Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm 75
sản phẩm do máy ñó sản xuất ra.
a/ Tính xác suất ñể trong lô hàng, có 10 phế phẩm
b/ Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác
suất tương ứng.
Giải
Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với
xác suất cho “thành công” là
0,08
p
=
, thì khi máy ñó sản xuất 75 sản phẩm, nó
ñã
thực hiện quá trình
(
)
75
;0,08
P k
a/ Xác suất phải tính:
10 10 65
75 75
10 0 08 0 92 0 03941
P C= =( ) ( , ) .( , ) ,
b/ Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong lô hàng là:
(
)
75 1 .0,08 6
+
=
với xác suất tương ứng:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
28
6 6 69
75 75
(6) (0,08) .(0,92) 0,16745
P C
= =
1.53.
Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ
hạt lép là 3% ñể nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất
ñể có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ?.
Giải
Gọi
n
là số hạt phải lấy, chúng ta có
(
)
;0,03
n
P k
. Xác suất ñể có ít nhất một hạt
lép là
( )
1 1 0,03 1 0,97
( )
n
n
− − = −
.
Theo giả thiết, chúng ta có:
( ) ( )
1 0,97 0,95 0,97 0,05
ln 0,05
98,3523
ln 0,97
n n
n
− ≥ ⇔ ≤ =⇔ ≥
Vậy, phải lấy ít nhất 99 hạt giống.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
29
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1.
Có ba hộp
,
A B
và
C
ñựng các lọ thuốc. Hộp
A
có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng,
hộp
B
có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp
C
có 5 lọ tốt và 7 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ
mỗi hộp ra một lọ thuốc.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra.
b/ Tìm xác suất ñể ñược ít nhất 2 lọ tốt; ñược 3 lọ cùng loại.
Giải
Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra
{
}
Im 0,1,2, 3 .
X
=
a)
i
A
: “ lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ
i
là lọ tốt
”.
( )
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
7
0 ( . . ) . .
90
P X P A A A P A P A P A
= = = =
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
59
1 ( . . . . . . )
180
P X P A A A A A A A A A
= = + + =
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
77
2 ( . . . . . . )
180
P X P A A A A A A A A A
= = + + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
1
3 ( . . ) . .
6
P X P A A A P A P A P A
= = = =
Bảng phân phối xác suất của
X
X
0 1 2 3
(
)
P X
7
90
59
180
77
180
1
6
b) Xác suất ñể ñược ít nhất 2 lọ tốt
( ) ( ) ( )
107
2 2 3
180
P X P X P X
≥ = = + = =
Xác suất ñược 3 lọ cùng loại
( ) ( )
11
0 1
45
P X P X
= + = =
2.2.
Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên
,
A B
và
C
thi ñấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng
viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của ñội tuyển.
b/ Tính xác suất ñể ñội tuyển thua nhiều nhất một trận. Tính xác suất ñể
ñội tuyển thắng ít nhất một trận.
Giải
a/ Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số trận thắng của ñội tuyển.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
30
{
}
Im 0,1,2, 3 .
X
=
Gọi
A
: “Vận ñộng viên
A
thắng”
B
: “Vận ñộng viên
B
thắng”
C
: “Vận ñộng viên
C
thắng”
Ta có
(
)
(
)
0 ( . . ) . ( ). ( ) 0,4.0, 3.0,2 0, 024.
P X P A B C P A P B P C
= = = = =
(
)
1 ( . . . . . . ) 0,188.
P X P A B C AB C A B C
= = + + =
(
)
2 ( . . . . . . ) 0, 452.
P X P A B C A B C A B C
= = + + =
(
)
(
)
3 ( . . ) . ( ). ( ) 0, 336.
P X P A B C P A P B P C
= = = =
Bảng phân phối xác suất
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0, 024
0,188
0, 452
0, 336
b/ Xác suất ñể ñội tuyển thua nhiều nhất một trận:
(
)
(
)
(
)
2 2 3 0,788
P X P X P X
≥ = = + = =
Xác suất ñể ñội tuyển thắng ít nhất một trận :
(
)
(
)
1 1 0 0, 976
P X P X
≥ = − = =
2.3.
Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên
,
A B
và
C
thi ñấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng
viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của ñội tuyển.
b/ Sau ñợt thi ñấu, ñội tuyển có hai trận thắng; tính xác suất ñể A thua
trận.
Giải
a/ Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số trận thắng của ñội tuyển.
{
}
Im 0,1,2, 3 .
X
=
Gọi
A
: “Vận ñộng viên
A
thắng”;
B
: “Vận ñộng viên
B
thắng”;
C
: “Vận ñộng viên
C
thắng”
Ta có
(
)
(
)
0 ( . . ) . ( ). ( ) 0,4.0, 3.0,2 0, 024.
P X P A B C P A P B P C
= = = = =
(
)
1 ( . . . . . . ) 0,188.
P X P A B C AB C A B C
= = + + =
(
)
2 ( . . . . . . ) 0, 452.
P X P A B C A B C A B C
= = + + =
(
)
(
)
3 ( . . ) . ( ). ( ) 0, 336.
P X P A B C P A P B P C
= = = =
Bảng phân phối xác suất
X
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
31
X
0 1 2 3
(
)
P X
0, 024
0,188
0, 452
0, 336
b/ Xác suất ñể
A
thua trận, biết rằng ñội tuyển có hai trận thắng
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
. 2 . .
0, 4.0,7.0, 8 56
| 2
0, 452 113
2 2
P A X P AB C
P A X
P X P X
=
= = = = =
= =
2.4.
Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên
,
A B
và
C
thi ñấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng
viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của ñội tuyển.
b/ Tính số trận thắng trung bình và phương sai của số trận thắng của ñội
tuyển.
Giải
a/ Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số trận thắng của ñội tuyển.
{
}
Im 0,1,2, 3 .
X
=
Gọi
A
: “Vận ñộng viên
A
thắng”;
B
: “Vận ñộng viên
B
thắng”;
C
: “Vận ñộng viên
C
thắng”
Ta có
(
)
(
)
0 ( . . ) . ( ). ( ) 0,4.0, 3.0,2 0, 024.
P X P A B C P A P B P C
= = = = =
(
)
1 ( . . . . . . ) 0,188.
P X P A B C AB C A B C
= = + + =
(
)
2 ( . . . . . . ) 0, 452.
P X P A B C A B C A B C
= = + + =
(
)
(
)
3 ( . . ) . ( ). ( ) 0, 336.
P X P A B C P A P B P C
= = = =
Bảng phân phối xác suất
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0, 024
0,188
0, 452
0, 336
b/ Số trận thắng trung bình
( ) 0.0, 024 1.0,188 2.0, 452 3.0,336 2,1
E X
= + + + =
và phương sai của số trận thắng của ñội tuyển
(
)
(
)
(
)
2
2
0, 61
D X E X E X
= − =
Trong ñó,
(
)
2 2 2 2 2
0 .0, 024 1 .0,188 2 .0, 452 3 .0,336 5, 02
E X
= + + + = .
2.5.
Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu
nhiên có phân phối xác suất như sau:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
32
Số kẹo trong bao
18 19 20 21 22
Xác suất 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao.
b/ Chi phí sản xuất của mỗ bao kẹo là 3X + 16, trong ñó X là biến ngẫu
nhiên chỉ số kẹo trong bao. Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$. Không phân biệt số kẹo
trong bao. Tìm lợi nhuận trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao
kẹo.
Giải
Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo trong bao.
a/ Trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao :
( ) ( )
22
18
. 19, 87
i
E X i P X i
=
= = =
∑
và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao:
(
)
(
)
(
)
2
2
1, 3531
D X E X E X
= − =
b/ Gọi
Y
là biến ngẫu nhiên chỉ lợi nhuận cho mỗi bao kẹo. Ta có:
84 3
Y X
= −
lợi nhuận trung bình
(
)
(
)
(
)
84 3 84 3 24, 39
E Y E X E X
= − = − =
và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao kẹo
(
)
(
)
(
)
(
)
84 3 3 3,48969
Y D Y D X D Xσ = = − = =
2.6.
Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu
nhiên có phân phối xác suất như sau:
Số kẹo trong bao
18 19 20 21 22
Xác suất 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác suất ñể một bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên sẽ chứa từ 19 ñến
21 viên kẹo.
b/ Hai bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất ñể ít nhất một trong
hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo.
Giải
Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo trong bao.
a/ Xác suất ñể bao ñược chọn ngẫu nhiên có từ 19 ñến 21 viên kẹo:
(
)
(
)
(
)
(19 21) 19 20 21 0,77.
P X P X P X P X
≤ ≤ = = + = + = =
b/ Đặt
A
: “Bao chứa ít nhất 20 viên kẹo”
(
)
0, 32 0,21 0, 09 0,62
P A
= + + =
Xác suất ñể ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
33
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. 0, 8556
P A AA P A P AA P A P A P A
+ = + = + =
2.7.
Một hộp ñựng 5 sản phẩm, trong ñó có hai phế phẩm. Người ta lần lượt
kiểm tra từng sản phẩm (không hoàn lại) cho ñến khi gặp hai phế phẩm thì dừng
lại. Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm ñược kiểm tra. Tính số lần kiểm
tra trung bình.
Giải
Goi
X
là BNN chỉ số số sản phẩm kiểm tra.
{
}
Im 2, 3, 4,5 .
X
=
i
A
:“ lần kiểm tra lần thứ
i
ñược phế phẩm”.(
1,2, 3, 4, 5
i
=
)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1
2
2 . |
20
P X P A A P A P A A
= = = =
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2
3 . . . .
4
| . | . | . | .
20
P X P A A A P A A A
P A P A A P A A A P A P A A P A A A
= = +
= + =
Tương tự
( ) ( )
6 8
4 ; 5
20 20
P X P X
= = = =
Bảng phân phối xác suất
X
:
X
2 3 4 5
(
)
P X
2
20
4
20
6
20
8
20
Số lần kiểm tra trung bình:
( ) ( )
5
2
. 4
i
E X i P X i
=
= = =
∑
2.8.
Một người ñiều khiển 3 máy tự ñộng hoạt ñông ñộc lập với nhau. Xác suất
bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1,2 và 3 lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt ñộng tốt trong một ca
sản xuất.
b/ Sau sản xuất, người ñiều khiển báo rằng suốt ca chỉ có một máy hoạt
ñộng tốt. Tính xác suất ñể máy hoạt ñộng tốt ñó là máy một.
Giải
a/ Gọi
X
là BNN chỉ số máy hoạt ñộng tốt trong 1 ca sản xuất.
{
}
Im 0,1,2, 3 .
X
=
Đặt
i
A
“ máy thứ
i
bị hỏng trong 1 ca”. Suy ra,
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0,9; 0, 8; 0,7
P A P A P A
= = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
0 . . . . 0,1.0,2.0, 3 0,006.
P X P A A A P A P A P A
= = = = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
34
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 . .
. . . . 0, 092.
P X P A P A P A
P A P A P A P A P A P A
= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 . .
. . . . 0, 398.
P X P A P A P A
P A P A P A P A P A P A
= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
3 . . 0,504.
P X P A A A P A P A P A
= = = =
Bảng phân phối xác suất của
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0, 006
0, 092
0, 398
0,504
b/ Xác suất ñể máy hoạt ñộng tốt ñó là máy một, biết rằng suốt ca chỉ có một máy
hoạt ñộng tốt.
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1
1
. .
. 1
0,9.0,2.0, 3 27
| 1
0, 092 46
1 1
P A A A
P A X
P A X
P X P X
=
= = = = =
= =
2.9.
Một người ñiều khiển 3 máy tự ñộng hoạt ñông ñộc lập với nhau. Xác suất
bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1,2 và 3 lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt ñộng tốt trong một ca
sản xuất.
b/ Trung bình, trong một ca, có bao nhiêu máy hoạt ñộng tốt? Tính ñộ
lệch chuẩn của số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất.
Giải
a/ Gọi
X
là BNN chỉ số máy hoạt ñộng tốt trong 1 ca sản xuất.
{
}
Im 0,1,2, 3 .
X
=
Đặt
i
A
“ máy thứ
i
bị hỏng trong 1 ca”. Suy ra,
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0,9; 0, 8; 0,7
P A P A P A
= = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
0 . . . . 0,1.0,2.0, 3 0,006.
P X P A A A P A P A P A
= = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 . .
. . . . 0, 092.
P X P A P A P A
P A P A P A P A P A P A
= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 . .
. . . . 0, 398.
P X P A P A P A
P A P A P A P A P A P A
= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
3 . . 0,504.
P X P A A A P A P A P A
= = = =
Bảng phân phối xác suất của
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0, 006
0, 092
0, 398
0,504
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
35
b/ Trung bình số máy hoạt ñộng tốt trong một ca:
(
)
2, 4
E X
=
và ñộ lệch chuẩn của số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất
(
)
0,6782
X
σ
=
.
2.10.
Một công ty có 3 tổng ñại lý. Gọi
,
X Y
và
Z
theo thứ tự là khối lượng hàng
bán ñược trong một này của 3 tổng ñại lý trên (tính bằng tấn). Biết phân phối xác
suất của các BNN
,
X Y
và
Z
như sau:
i
x
5 6 7 8
(
)
i
P X x
=
0,1
0,3
0,4
0,2
j
y
4 5 6 7 8
(
)
j
P Y y
=
0,15
0,2
0,4
0,1
0,15
k
z
7 8 9 10
(
)
k
P Z z
=
0,2
0,3
0,4
0,1
Tính khối lượng hàng hóa bán ñược trung bình trong một tháng (30 ngày)
của công ty trên.
Giải
Trung bình khối lượng hàng hóa C bán ñược trong 1 tháng.
( ) ( )
8
5
30. . 201
i
i i
x
E X x P X x
=
= = =
∑
Trung bình khối lượng hàng hóa
Y
bán ñược trong 1 tháng.
( )
( )
8
4
30. . 177
j
j j
y
E Y y P Y y
=
= = =
∑
Trung bình khối lượng hàng hóa
Z
bán ñược trong 1 tháng.
( ) ( )
10
7
30. . 252
k
k k
z
E Z z P X z
=
= = =
∑
Nên khối lượng hàng hóa bán ñược trung bình trong 1 tháng của công ty là
(
)
(
)
(
)
E X 630
E Y E Z
+ + =
2.11.
Tiến hành khảo sát số khách trên một chuyến xe buýt (SK/1C) tại một
chuyến giao thông, người ta thu ñược số liêu sau:
SK/1C 25 30 35 40 45
Xác suất
0,15
0,2
0,3
0,25
0,1
a/ Tính kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của SK/1C.
b/ Giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe buýt là 200 ngàn ñồng, không phụ
thuộc vào số khách ñi trên xe, th2 công ty phải quy ñịnh giá vé là bao nhiêu ñể có
thể thu ñược số tiền lời trung bình cho mỗi chuyến xe là 100 ngàn ñồng?
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
36
Giải
Gọi
X
là BNN chỉ số khách trên một chuyến xe.
{
}
Im 25; 30; 35;40;45 .
X
=
a/ Kỳ vọng của SK/1C:
(
)
34, 75
E X
=
Độ lệch chuẩn của SK/1C.:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
6, 0156
X D X E X E X
σ
= = − =
b/ Gọi
Y
là BNN chỉ số tiền lời cho mỗi chuyến xe.
. 200
Y n X
= −
trong ñó,
n
(ñồng) là số tiền quy ñịnh giá vé.
Yêu cầu bài toán,
(
)
(
)
(
)
. 200 100 300 8, 6
E Y E n X nE X n
= − = ⇔ = ⇔ ≈
.
Vậy, công ty phải quy ñịnh giá vé là 8,6 ñồng.
2.12.
Một người tham gia trò chơi gieo 3 ñồng tiền vô tư. Anh ta ñược 500ñ nếu
xuất hiện 3 mặt sấp, 300ñ nếu xuất hiện 2 mặt sấp, và 100ñ nếu chỉ có một mặt sấp
xuất hiện. Mặc khác, anh ta mất 900ñ nếu xuất hiện 3 mặt ngữa. Trò chơi này có
công băng với người này không? ( Trò chơi ñược gọi là công bằng ñối với người
chơi nếu tham gia chơi nhiều lần thì trung bình anh ta hòa vốn).
Giải
Gọi
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền nhận ñược khi tham gia trò chơi
{
}
Im 900; 100;300;500 .
X
= −
Đặt
i
A
:”Gieo lần thứ
i
xuất hiện mặt sấp”
{
}
1;2;3
i
∈
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
1
900 . . .
8
P X P A A A P A P A P A
= − = = =
( )
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3
100 . . . . . . 3.
8 8
P X P A A A P A A A P A A A
= = + + = =
Tương tự,
( )
3 1
300 ; ( 500)
8 8
P X P X
= = = =
Bảng phân phối xác suất của
X
X
-900
100
300
500
(
)
P X
1
8
3
8
3
8
1
8
Và
(
)
100
E X
=
nên mỗi lần chơi anh ta thắng ñược 100ñ. Vậy trò chơi không công bằng.
2.13.
Một người tham gia trò chơi sau: Gieo một con xúc xắc vô tư ba lần ñộc lập
nhau. Nếu xuất hiên “ mặt 1” cả 3 lần thì ñược thưởng 6 ngàn ñồng; nếu xuất hiện
“ mặt 1” 2 lần thì ñược thưởng 4 ngàn ñồng; xuất hiện “mặt 1” 1 lần thì ñược
thưởn 2 ngàn ñồng; khi không có “mặt 1” nào xuất hiện thì không ñược thưởng.
Mỗi lần tham gia trò chơi, người chơi phải ñóng
M
ngàn ñồng. Hãy ñịnh
M
ñể trò
chơi công bằng.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
37
Giải
Gọi
X
là BNN chỉ số tiền còn lại sau mỗi lần tham gia trò chơi.
{
}
Im 6; 4; 2;
X M M M M
= − − −
Ta có
3
1 1 1 1
( 6) . .
6 6 6
6
P X M
= − = =
;
3
1 5 1 5
( 4) 3. . . 3.
6 6 6
6
P X M
= − = =
2
3
1 5 5 5
( 2) 3. . . 3.
6 6 6
6
P X M= − = =
;
3
3
5
( )
6
P X M= =
Bảng phân phối xác suất của
X
X
6
M
−
4
M
−
2
M
−
M
(
)
P X
3
1
6
3
5
3.
6
2
3
5
3.
6
3
3
5
6
và
( ) ( )
3
216
1
6
E X M
= −
.
Trò chơi công bằng
(
)
0 1 0 1
E X M M
= ⇔ − = ⇔ =
.
Vậy, mỗi lần chơi người tham gia ñóng 1 ngàn ñồng thì trò chơi công bằng.
2.14.
Theo thống kê dân số, xác suất ñể một người ở ñộ tuổi 40 sẽ sống thêm 1
năm nữa là 0,995. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho
những người ở ñộ tuổi ñó là 10 ngàn, và trong trường hợp người mua bảo hiểm bị
chết thì số tiền bồi thường là 1 triệu. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán
mỗi thẻ bảo hiểm là boa nhiêu?
Giải
Gọi
X
là BNN chỉ lợi nhuận của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm.
{
}
Im 990;10
X
= −
Bảng phân phối xác suất của
X
X
990
−
10
(
)
P X
0,995
0, 005
và
(
)
5
E X
=
.
Vậy, trung bình công ty lời 5 ngàn ñồng khi bán 1 thẻ bảo hiểm.
2.15.
Số lượng xe ô tô mà một ñại lý bán ñược trong một tuần là một BNN có
phân phối xác suất như sau:
Số xe bán ñược 0 1 2 3 4 5
Xác suất tương ứng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác suất ñể ñại lý ñó bán ñược nhiều nhất 3 xe trong một tuần.
Tính kỳ vọng và phương sai của số xe mà ñại lý bán ñược trong một năm.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
38
b/ Giả sử chi phí cho hoạt ñộng của ñại lý bằng căn bậc hai của số xe bán
ñược vợi 5 (triệu ñồng). Tìm chi phí cho hoạt ñộng trung bình cho hoạt ñộng của
ñại lý trong một tuần.
Gọi
X
là BNN số xe bán ra trong 1 tuần.
a/ Xác suất ñể ñại lý ñó bán ñược nhiều nhất 3 xe trong một tuần
(
)
(
)
(
)
3 1 4 5 0,6
P X P X P X≤ = − = − = =
Kỳ vọng và phương sai của số xe mà ñại lý bán ñược trong một năm.
(
)
(
)
2,8; 2,16
E X D X= =
b/ Gọi là chi phí cho hoạt ñộng của ñại lý trong 1 tuần
5
Y X
= +
Nên chi phí cho hoạt ñộng trung bình cho hoạt ñộng của ñại lý trong một tuần
( )
(
)
5 6,55
E Y E X
= + =
2.16.
Cho hàm
[
]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
a/ Chứng tỏ
( )
f x
là hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X
.
b/ Tìm hàm phân phối xác suất
( )
F x
của
X
c/ Tính xác suất
1
0
2
P X
< <
.
Giải
a/
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
và
1
2
0
1
( ) 2 1
0
f x dx xdx x
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
. Do ñó,
( )
f x
là hàm mật ñộ xác
suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X
.
b/
( )
2
0 , 0
( ) ,0 1
1 , 1
x
x
F x f t dt x x
x
−∞
≤
= = < ≤
>
∫
c/
1
2
0
1 1
0 2
2 4
P X xdx
< < = =
∫
.
2.17.
Cho hàm
3
2
, 1
( )
0 , 1
x
f x
x
x
>
=
≤
a/ Chứng tỏ
( )
f x
là hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X
b/ Tìm hàm phân phối xác suất
( )
F x
của
X
.
c/ Tính xác suất
(
)
0 3
P X
< <
Giải
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
39
a/
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
và
3 2
1
2 1
( ) 2 lim 1
1
2
b
b
f x dx dx
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
= = − =
∫ ∫
. Do ñó,
( )
f x
là
hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X
.
b/
( )
2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤
= = − < < +∞
= +∞
∫
c/
( )
3
0
8
0 3 ( )
9
P X f x dx
< < = =
∫
.
2.18.
Cho hàm
3
, 1
( )
0 , 1
a
x
f x
x
x
>
=
≤
(
a
là hằng số)
a/ Tìm
a
ñể
( )
f x
là hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X
b/ Tìm hàm phân phối xác suất
( )
F x
của
X
.
Giải
a/
, ( ) 0 0
x R f x a
∀ ∈ ≥ ⇔ ≥
và
3 2
1
1
( ) lim
1
2 2
b
b
a a
f x dx dx a
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
= = − =
∫ ∫
. Do ñó,
( )
f x
là hàm mật ñộ xác suất của
một biến ngẫu nhiên liên tục
X
khi và chỉ khi
0
2
1
2
a
a
a
≥
⇔ =
=
.
b/
( )
2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤
= = − < < +∞
= +∞
∫
2.19.
Cho
X
là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật ñộ
[
]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
Tìm kỳ vọng và phương sai của
X
.
Giải
( )
1
2
0
2
( ) 2
3
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
( )
1
2 2 3
0
1
( ) 2
2
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
do ñó,
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
40
( )
( )
( )
( )
2
2
1 4 1
2 9 18
D X E X E X= − = − =
2.20.
Cho
X
là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật ñộ
[
]
[ ]
2
3 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
Tìm kỳ vọng và phương sai của
X
.
Giải
( )
1
2
0
3
( ) 3
4
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
( )
1
2 2 4
0
3
( ) 3
5
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
do ñó,
( )
( )
( )
( )
2
2
3 9 3
5 16 80
D X E X E X= − = − =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
41
Chương 3: MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG DÙNG
3.1.
Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong ñó có 8 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Đặt
X
là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các
sản phẩm lấy ra. Tìm luật phân phối xác suất của
X
. Tính
(
)
(
)
,
E X D X
.
Giải
Gọi
X
là BNN chỉ số sản phẩm loại A trong các sản phẩm lấy ra lần thứ nhất.
{
}
Im 0;1;2
X
=
Ta có
(
)
~ 10;8;2
X H
ta có
2
8 2
2
10
.
( ) ; 0,8
k k
C C
M
P X k p
C N
−
= = = =
Nên
( ) ( ) ( )
64
1,6; 1 .
1 225
N n
E X np D X np p
N
−
= = = − =
−
3.2.
Có 2 kiện hàng, kiện thứ nhất và kiện thứ 2. Biết rằng, kiện thứ hai có 8 sản
phẩm, trong ñó có 5 sản phẩm loại A. Lần ñầu, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm ở kiện
thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau ñó lấy ngẫu nhiên từ kiện thứ hai ra 2 sản phẩm.
Đặt
X
và
Y
lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các sản
phẩm lấy ra ở lần thứ nhất và lần thứ hai. Biết rằng bảng phân phối xác suất của
X
X
0 1 2
(
)
P X
1
45
16
45
28
45
Tìm luật phân phối xác suất của
Y
; tính
(
)
E Y
và
(
)
D Y
.
Bài giải
Gọi
Y
là BNN chỉ số sản phẩm loại A trong các sản phẩm lấy ra lần thứ hai.
{
}
Im 0;1;2
Y
=
Ta thấy
( ) ( ) ( )
1 16 28
0 ; 1 ; 2
45 45 45
P X P X P X= = = = = =
Trong ñó,
( ) ( ) ( )
0 2
5 5
2
10
.
10 6 3
0 | 0 ; 0 | 1 ; 0 | 2
45 45 45
C C
P Y X P Y X P Y X
C
= = = = = = = = = =
Mặt khác
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
42
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 0 . 0 | 0 1 . 0 | 1
190
2 . 0 | 2
2025
P Y P X P Y X P X P Y X
P X P Y X
= = = = = + = = =
+ = = = =
Tương tự
( ) ( )
997 838
1 ; 2
2025 2025
P Y P Y= = = =
.
Bảng phân phối xác suất của
Y
Y
0 1 2
(
)
P Y
190
2025
997
2025
838
2025
Nên
( ) ( )
2673
1,32; 0,40525.
2025
E Y D X= = =
3.3.
Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong ñó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm
tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại).
a/ Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản
phẩm lấy ra, và tính xác suất ñể trong ñó có ít nhất 2 sản phẩm tốt.
b/ Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra ñi bán. Biết rằng bán một sản phẩm tốt ñược
lời 50 ngàn ñồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn ñồng. Tính lợi nhuận thu
ñược trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên.
Giải
a/ Gọi
X
là BNN chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
( ) ( ) ( )
( )
0 4 1 3 2 2
3 5 3 5 3 5
4 4 4
8 8 8
3 1
3 5
4
8
. . .
1 6 6
0 ; 1 ; 2 ;
14 14 14
. 1
3
14
C C C C C C
P X P X P X
C C C
C C
P X
C
= = = = = = = = =
= = =
Bảng phân phối xác suất của
X
X
0 1 2 3
(
)
P X
1
14
6
14
6
14
1
14
Xác suất ñể có ít nhất 2 sản phẩm tốt:
( ) ( )
13
2 1 3
14
P X P X
≤ = − = =
.
b/ Gọi
Y
là BNN chỉ lợi nhuận thu ñược khi bán 4 sản phẩm.
200 65
Y X
= −
khi ñ
ó
( ) ( )
( )
( )
2
2
6 6 1 15
2. 3. 1,5;
14 14 14 28
E X D X E X E X= + + = = − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
43
(
)
(
)
(
)
200 65 200 65 102,5
E Y E X E X
= − = − =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
200 65 65 47,5735
Y D Y D X D Xσ = = − = =
3.4.
M
ộ
t lô hàng có r
ấ
t nhi
ề
u s
ả
n ph
ẩ
m, v
ớ
i t
ỉ
l
ệ
hàng gi
ả
là 30%.
a/ L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên t
ừ
lô hàng ra 10 s
ả
n ph
ẩ
m, tính xác su
ấ
t
ñể
có nhi
ề
u nh
ấ
t
2 s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
.
b/ Ng
ườ
i ta l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên ra t
ừ
ng s
ả
n ph
ẩ
m m
ộ
t
ñể
ki
ể
m tra cho
ñế
n khi
nào g
ặ
p s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
thì d
ừ
ng. Tìm lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t và tính k
ỳ
v
ọ
ng c
ủ
a s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m th
ậ
t
ñ
ã ki
ể
m tra
Giải
G
ọ
i
p
là xác su
ấ
t ch
ỉ
hàng gi
ả
trong 1 lô hàng nên
0,3
p
=
.
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
.
(
)
10;0,3
X B
Xác su
ấ
t
ñể
có nhi
ề
u nh
ấ
t 2 s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G
ọ
i
1
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m th
ậ
t
ñ
ã ki
ể
m tra.
Ta có
{
}
1
Im 0;1;2;...
Y
=
Ta th
ấ
y
(
)
(
)
1 1
0 0,3; 1 0,7.0,3
P Y P Y
= = = =
theo quy n
ạ
p
(
)
1
0,7 .0,3
n
P Y n= =
.
Nên k
ỳ
v
ọ
ng c
ủ
a s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m th
ậ
t
ñ
ã ki
ể
m tra:
( ) ( )
( )
1
1 1
2
0 1
1 7
. 0,7.0,3 .0,7 0,21.
3
1 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.5.
M
ộ
t lô hàng có r
ấ
t nhi
ề
u s
ả
n ph
ẩ
m, v
ớ
i t
ỉ
l
ệ
hàng gi
ả
là 30%.
a/ L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên t
ừ
lô hàng ra 10 s
ả
n ph
ẩ
m, tính xác su
ấ
t
ñể
có nhi
ề
u nh
ấ
t
2 s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
.
b/ Ng
ườ
i ta l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên ra t
ừ
ng s
ả
n ph
ẩ
m m
ộ
t
ñể
ki
ể
m tra cho
ñế
n khi
nào g
ặ
p s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
thì d
ừ
ng. Tìm lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t và tính k
ỳ
v
ọ
ng c
ủ
a s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m
ñ
ã ki
ể
m tra.
Giải
G
ọ
i
p
là xác su
ấ
t ch
ỉ
hàng gi
ả
trong 1 lô hàng nên
0,3
p
=
.
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
.
(
)
10;0,3
X B
Xác su
ấ
t
ñể
có nhi
ề
u nh
ấ
t 2 s
ả
n ph
ẩ
m gi
ả
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
44
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G
ọ
i
2
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m
ñ
ã ki
ể
m tra.
Ta có
{
}
2
Im 1;2;3;...
Y
=
(
)
(
)
2 2
1 0,3; 2 0,7.0,3
P Y P Y
= = = =
theo quy n
ạ
p
(
)
1
2
0,7 .0,3
n
P Y n
−
= =
.
Nên k
ỳ
v
ọ
ng c
ủ
a s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m
ñ
ã ki
ể
m tra:
( ) ( )
( )
1
2 2
2
1 1
1 10
. .0,7 .0,3 0,3.
3
1 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.6.
M
ộ
t khách hàng mua xe t
ạ
i m
ộ
t
ñạ
i lý, n
ế
u xe có s
ự
c
ố
k
ỹ
thu
ậ
t thì
ñượ
c
quy
ề
n tr
ả
xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và
ñượ
c l
ấ
y l
ạ
i nguyên s
ố
ti
ề
n mau
xe. M
ỗ
i chi
ế
c xe b
ị
tr
ả
l
ạ
i nh
ư
th
ế
làm thi
ệ
t h
ạ
i cho
ñạ
i lý 250 ngàn VN
Đ
. Có 50
xe
ñượ
c bán ra. Xác su
ấ
t
ñể
m
ộ
t xe b
ị
tr
ả
l
ạ
i là 0,1.
a/ Tìm k
ỳ
vong và ph
ươ
ng sai c
ủ
a s
ố
xe b
ị
tr
ả
. Tính xác xu
ấ
t
ñể
có nhi
ề
u
nh
ấ
t 2 xe b
ị
tr
ả
l
ạ
i.
b/ Tìm k
ỳ
v
ọ
ng và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n c
ủ
a t
ổ
ng thi
ệ
t h
ạ
i mà t
ổ
ng
ñạ
i lý ph
ả
i ch
ị
u
do vi
ệ
c tr
ả
l
ạ
i xe.
Giải
G
ọ
i
p
là xác su
ấ
t
ñể
m
ộ
t xe b
ị
tr
ả
l
ạ
i. Nên
0,1
p
=
.
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
xe b
ị
tr
ả
l
ạ
i.
(
)
50;0,1
X B
ta th
ấ
y (
50 30; . 5 5; 4,5 5
n n p npq
= > = ≤ = ≤
) nên
(
)
5
X Po
Suy ra
(
)
(
)
(
)
5; 1 4,5.
E X np D X np p
= = = − =
Xác su
ấ
t nhi
ề
u nh
ấ
t 2 xe b
ị
tr
ả
l
ạ
i:
(
)
( ) ( ) ( )
0 1 2
P X 2 (5) (5) (5) 0,1246
Po Po Po≤ = + + =
b/ G
ọ
i
Y
là BNN ch
ỉ
t
ổ
ng thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a
ñạ
i lý ph
ả
i ch
ị
u do vi
ệ
c tr
ả
l
ạ
i xe.
250
Y X
=
suy ra
(
)
(
)
(
)
250 250 1250
E Y E X E X
= = =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
250 250 530,330
Y D Y D X D Xσ = = = =
3.7.
M
ộ
t thí sinh tên M tham d
ự
m
ộ
t k
ỳ
thi môn XSTK . M ph
ả
i làm m
ộ
t
ñề
thi
tr
ắ
c nghi
ệ
m khách quan g
ồ
m 10 câu; m
ỗ
i câu có 4 l
ờ
i
Giải
khác nhau, trong
ñ
ó ch
ỉ
có m
ộ
t l
ờ
i
Giải
ñ
úng. M s
ẽ
ñượ
c ch
ấ
m
ñậ
u n
ế
u tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng ít nh
ấ
t 6 câu.
(a) Gi
ả
s
ử
M không h
ọ
c bài, mà ch
ỉ
ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên l
ờ
i
Giải
trong c
ả
10
câu. Tính xác su
ấ
t
ñể
M thi
ñậ
u.
(b) Gi
ả
s
ử
M ch
ắ
c ch
ắ
n tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng
ñượ
c 2 câu; còn các câu khác, M ch
ọ
n
ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t trong 4 l
ờ
i
Giải
c
ủ
a m
ỗ
i câu. Tính xác su
ấ
t
ñể
M thi r
ớ
t.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
45
Giải
G
ọ
i
p
là xác su
ấ
t
ñể
M tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng m
ộ
t câu h
ỏ
i. Nên
0,25
p
=
.
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
câu tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng trong 10 câu.
(
)
10;0,25
X B
.
Đặ
t
A
:”M thi
ñậ
u”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ M ch
ắ
c ch
ắ
n tr
ả
l
ờ
i dung 2 câu, mà các câu
ñượ
c
ñộ
c l
ậ
p nhau và xác su
ấ
t tr
ả
l
ờ
i dung m
ỗ
i câu là 0,25.
Do
ñ
ó, Xác su
ấ
t
ñể
M r
ớ
t trong tr
ườ
ng h
ợ
p tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng 2 câu có ngh
ĩ
a là ta tính xác su
ấ
t
ñể
M r
ớ
t trong 8 câu h
G
ọ
i
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
câu tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng trong 8 câu.
(
)
8;0,25
Y B
.
Đặ
t
R
:” M thi r
ớ
t”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 8 3 3 5
8 8
3 0 1 2 3
0,25 0,75 ... 0,25 0,75 0,8862.
P R P Y P Y P Y P Y P Y
C C
= ≤ = = + = + = + =
= + + =
3.8.
M
ộ
t thí sinh M tham d
ự
m
ộ
t k
ỳ
. M ph
ả
i làm m
ộ
t
ñề
thi tr
ắ
c nghi
ệ
m khách
quan g
ồ
m 10 câu; m
ỗ
i câu có 4 l
ờ
i
Giải
khác nhau, trong
ñ
ó ch
ỉ
có m
ộ
t l
ờ
i
Giải
ñ
úng. M s
ẽ
ñượ
c ch
ấ
m
ñậ
u n
ế
u tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng ít nh
ấ
t 6 câu.
a/ Gi
ả
s
ử
M không h
ọ
c bài, mà ch
ỉ
ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên l
ờ
i
Giải
trong c
ả
10
câu. Tính xác su
ấ
t
ñể
M thi
ñậ
u.
b/ H
ỏ
i M ph
ả
i d
ự
thi ít nh
ấ
t m
ấ
y l
ầ
n
ñể
xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t m
ộ
t l
ầ
n thi
ñậ
u
không nh
ỏ
h
ơ
n 97%?
Giải
a/ G
ọ
i
p
là xác su
ấ
t
ñể
M tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng m
ộ
t câu h
ỏ
i. Nên
0,25
p
=
.
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
câu tr
ả
l
ờ
i
ñ
úng trong 10 câu.
(
)
10;0,25
X B
.
Đặ
t
A
:”M thi
ñậ
u”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ G
ọ
i
n
là s
ố
l
ầ
n d
ự
thi c
ủ
a M. Và
B
:“ít nh
ấ
t m
ộ
t l
ầ
n
ñậ
u”
(
)
(
)
(
)
1 0 1 1 0,0197 0,97 176,238
n
P B P X n= − = = − − ≥ ⇔ ≥
V
ậ
y, M ph
ả
i thi th
ử
177 l
ầ
n.
3.9.
Nhà máy d
ệ
t mu
ố
n tuy
ể
n d
ụ
ng ng
ườ
i bi
ế
t rành v
ề
m
ộ
t lo
ạ
i s
ợ
i. Nhà máy
th
ử
thách ng
ườ
i d
ự
tuy
ể
n 7 l
ầ
n. M
ỗ
i l
ầ
n nhà máy
ñ
em ra 4 s
ợ
i gi
ố
ng nhau, trong
ñ
ó ch
ỉ
có m
ộ
t s
ợ
i th
ậ
t và yêu c
ầ
u ng
ườ
i này ch
ọ
n ra s
ợ
i th
ậ
t. N
ế
u ch
ọ
n
ñ
úng ít
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
46
nh
ấ
t 6 l
ầ
n thì
ñượ
c tuy
ể
n d
ụ
ng. M
ộ
t ng
ườ
i
ñế
n xin tuy
ể
n d
ụ
ng nói: "Ch
ỉ
c
ầ
n nhìn
qua là có th
ể
phân bi
ệ
t s
ợ
i th
ậ
t hay gi
ả
v
ớ
i xác su
ấ
t 80% ".
a/ N
ế
u ng
ườ
i này nói
ñ
úng kh
ả
n
ă
ng c
ủ
a mình thì xác su
ấ
t
ñượ
c tuy
ể
n d
ụ
ng
là bao nhiêu?
b/ Tính xác su
ấ
t
ñể
ñượ
c tuy
ể
n d
ụ
ng trong tr
ườ
ng h
ợ
p, th
ậ
t ra, ng
ườ
i
này không bi
ế
t gì v
ề
s
ợ
i c
ả
.
Giải
a/ G
ọ
i
B
:” n
ă
ng l
ự
c nh
ậ
n ra s
ợ
i th
ậ
t c
ủ
a ng
ườ
i d
ự
tuy
ể
n” suy ra
(
)
0,8
P B
=
.
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
s
ợ
i th
ậ
t trong 7 l
ầ
n th
ử
.
(
)
7;0,8
X B
.
Đặ
t
A
:”Ng
ườ
i này
ñượ
c ch
ọ
n”
(
)
(
)
(
)
6 6 7 7
7 7
6 7 .0,8 .0,2 .0,8 0,5767
P A P X P X C C= = + = = + =
b/ G
ọ
i p là xác su
ấ
t ch
ọ
n
ñượ
c s
ợ
i th
ậ
t trong m
ộ
t l
ầ
n th
ử
(không bi
ế
t gì v
ề
s
ợ
i).
0,25
p
=
.
Khi
ñ
ó
(
)
7;0,25
X B
Đặ
t
A
:”Ng
ườ
i này
ñượ
c ch
ọ
n”
(
)
(
)
(
)
6 6 7 7
7 7
6 7 .0,25 .0,75 .0,25 0,0014.
P A P X P X C C= = + = = + =
3.10.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c.
a/ L
ấ
y 3 chai
ở
lô A. Tìm lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng có trong
3 chai. Tính xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng; có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng.
b/ Ph
ả
i l
ấ
y bao nhiêu chai (
ở
lô A)
ñể
xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t m
ộ
t chai h
ỏ
ng
không nh
ỏ
h
ơ
n 94% ?
Giải
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra
ở
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
3;0,1
X B
v
ớ
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ả
ng phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ G
ọ
i
n
là s
ố
chai l
ấ
y ra. Ta có
(
)
;0,1
X B n
(
)
1 0 0,94 0,06 0,9 26,7
n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
47
Do
ñ
ó, ít nh
ấ
t l
ấ
y 27 chai.
3.11.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c.
a/ L
ấ
y 3 chai
ở
lô A. Tìm lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng có trong
3 chai. Tính xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng; có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng.
b/ Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 1 trong 3 lô r
ồ
i l
ấ
y t
ừ
lô
ñ
ó ra 3 chai. Tính xác su
ấ
t
ñể
có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng.
Giải
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra
ở
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
~ 3;0,1
X B
v
ớ
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ả
ng phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ Ta có
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra
ở
lô
i
v
ớ
i
{
}
1;2;3
i
∈
Đặ
t
i
H
:”lô
i
ñượ
c ch
ọ
n”
{ }
( )
1
1;2;3
3
i
i P H
∈
⇒
=
. và
Đặ
t
H
:” ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng trong 3 chai l
ấ
y ra”
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
1 2 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
= = ≥ + ≥ + ≥
= − = − = + =
∑
( )
3 3 3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
= − + + =
3.12.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c. L
ấ
y
ở
m
ỗ
i lô m
ộ
t chai. Tìm phân
ph
ố
i xác su
ấ
t r
ồ
i tính k
ỳ
v
ọ
ng và ph
ươ
ng sai c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng trong 3 chai l
ấ
y
ra.
Giải
G
ọ
i
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
48
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
ự
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
Suy ra
(
)
0,2636 2.0,0314 3.0,0012 0,33
E Y
= + + =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 0,33 0,2911.
D Y E Y E Y= − = + + − =
3.13.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c.
a/ L
ấ
y
ở
m
ỗ
i lô m
ộ
t chai. Tìm phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng trong 3
chai l
ấ
y ra.
b/ M
ộ
t c
ử
a hàng nh
ậ
n v
ề
500 chai
ở
lô A, 300 chai
ở
lô B và 200 chai
ở
lô C r
ồ
i
ñể
l
ẫ
n l
ộ
n. M
ộ
t ng
ườ
i
ñế
n mua 1 chai v
ề
dùng. Tính xác su
ấ
t
ñể
ñượ
c
chai t
ố
t.
Giải
a/ G
ọ
i
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
ự
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
b/
Đặ
t
A
:” Ch
ọ
n 1 chai h
ỏ
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
| | |P A P H P A H P H P A H P H P A H
= + + =
1 499 1 299 1 199
500 300 200
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85 0,104
1000 1000 1000
C C C= + + =
Do
ñ
ó xác su
ấ
t
ñượ
c 1 chai t
ố
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
49
3.14.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c.
a/ Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 1 trong 3 lô r
ồ
i l
ấ
y t
ừ
lô
ñ
ó ra 3 chai. Tính xác su
ấ
t
ñể
có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng.
b/ M
ộ
t c
ử
a hàng nh
ậ
n v
ề
500 chai
ở
lô A, 300 chai
ở
lô B và 200 chai
ở
lô
C r
ồ
i
ñể
l
ẫ
n l
ộ
n. M
ộ
t ng
ườ
i
ñế
n mua 1 chai v
ề
dùng. Tính xác su
ấ
t
ñể
ñượ
c chai
t
ố
t.
Giải
a/
Đặ
t
i
H
:”lô
i
ñượ
c ch
ọ
n”
{ }
( )
1
1;2;3
3
i
i P H
∈
⇒
=
. và
Đặ
t
H
:” ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng trong 3 chai l
ấ
y ra”
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
1 2 3
1
1 2 3
3 3 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
= = ≥ + ≥ + ≥
= − = − = + =
= − + + =
∑
Trong
ñ
ó
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra
ở
lô
i
v
ớ
i
{
}
1;2;3
i
∈
b/
Đặ
t
A
:” Ch
ọ
n 1 chai h
ỏ
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
ấ
t
ñượ
c 1 chai t
ố
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.15.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c.
a/ L
ấ
y 3 chai
ở
lô A. Tìm lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3
chai. Tính xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng; có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng.
Ph
ả
i l
ấ
y bao nhiêu chai (
ở
lô A)
ñể
xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t m
ộ
t chai
h
ỏ
ng không nh
ỏ
h
ơ
n 94% ?
b/ M
ộ
t c
ử
a hàng nh
ậ
n v
ề
500 chai
ở
lô A, 300 chai
ở
lô B và 200 chai
ở
lô
C r
ồ
i
ñể
l
ẫ
n l
ộ
n. M
ộ
t ng
ườ
i
ñế
n mua 1 chai v
ề
dùng. Tính xác su
ấ
t
ñể
ñượ
c chai
t
ố
t.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
50
Giải
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra
ở
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
3;0,1
X B
v
ớ
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ả
ng phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
G
ọ
i
n
là s
ố
chai l
ấ
y ra. Ta có
(
)
;0,1
X B n
(
)
1 0 0,94 0,06 0,9 26,7
n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Do
ñ
ó, ít nh
ấ
t l
ấ
y 27 chai.
b/
Đặ
t
A
:” Ch
ọ
n 1 chai h
ỏ
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
ấ
t
ñượ
c 1 chai t
ố
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.16.
T
ỉ
l
ệ
thu
ố
c h
ỏ
ng
ở
lô A là
0,1
A
P
=
ở
lô B là
0,08
B
P
=
và
ở
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
ả
s
ử
m
ỗ
i lô có r
ấ
t nhi
ề
u chai thu
ố
c.
a/ L
ấ
y 3 chai
ở
lô A. Tìm lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng có trong
3 chai. Tính xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng; có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng.
b/ L
ấ
y
ở
m
ỗ
i lô m
ộ
t chai. Tìm phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chai h
ỏ
ng trong 3
chai l
ấ
y ra.
c/ M
ộ
t c
ử
a hàng nh
ậ
n v
ề
500 chai
ở
lô A, 300 chai
ở
lô B và 200 chai
ở
lô
C r
ồ
i
ñể
l
ẫ
n l
ộ
n. M
ộ
t ng
ườ
i
ñế
n mua 1 chai v
ề
dùng. Tính xác su
ấ
t
ñể
ñượ
c chai
t
ố
t.
Giải
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra
ở
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
~ 3;0,1
X B
v
ớ
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
51
B
ả
ng phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
ấ
t
ñể
có 2 chai h
ỏ
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t 1 chai h
ỏ
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ G
ọ
i
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai h
ỏ
ng có trong 3 chai l
ấ
y ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
ự
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
c/
Đặ
t
A
:” Ch
ọ
n 1 chai h
ỏ
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
ấ
t
ñượ
c 1 chai t
ố
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.17. G
i
ả
s
ử
ngày sinh c
ủ
a ng
ườ
i dân trong m
ộ
t thành ph
ố
l
ớ
n có th
ể
r
ơ
i
ng
ẫ
u nhiên vào m
ộ
t ngày b
ấ
t k
ỳ
trong m
ộ
t n
ă
m (365) ngày. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 1095
ng
ườ
i trong thành ph
ố
ñ
ó. Tính xác su
ấ
t
ñể
:
a/ Có hai ng
ườ
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho.
b/ Có không quá 7 ng
ườ
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho.
Giải
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
ng
ườ
i có cùng ngày sinh trong 1095 ng
ườ
i .
1
~ 1095;
365
X B
a/
Xác su
ấ
t
ñể
có 2 ng
ườ
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
52
( ) ( )
2 1093
2
1095 2 2
1 364 1
2 1095. 3 =0,2565
365 365 365
P X C Po Po
= = ≈ =
b/ Xác su
ấ
t
ñể
có không quá 7 ng
ườ
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 1 2 3 4 5
6 7
7 3 3 3 3 3 3
3 3 0,988
P X Po Po Po Po Po Po
Po Po
≤ = + + + + +
+ + =
3.18.
M
ộ
t tr
ạ
m b
ư
u
ñ
i
ệ
n chuy
ể
n
ñ
i
ệ
n trong kho
ả
ng th
ờ
i gian 10
-5
giây.
Trong quá trình tránh
ñ
i
ệ
n có các ti
ế
ng
ồ
n ng
ẫ
u nhiên. S
ố
tín hi
ệ
u
ồ
n ng
ẫ
u nhiên
trong 1 giây là 10
4
. n
ế
u trong th
ờ
i gian truy
ề
n tín hi
ệ
u có dù cjir m
ộ
t tín hi
ệ
u
ồ
n
ng
ẫ
u nhiên thì tr
ạ
m s
ẽ
ng
ừ
ng làm vi
ệ
c. tính xác su
ấ
t
ñể
cho vi
ệ
c truy
ề
n tính hi
ệ
u
b
ị
gián
ñ
o
ạ
n. bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
tín hi
ệ
u
ồ
n ng
ẫ
u nhiên r
ơ
i vào trong kho
ả
ng th
ờ
i gian
truy
ề
n tín hi
ệ
u là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i poison.
Giải
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
các tín hi
ệ
u
ồ
n trong kho
ả
ng th
ờ
i gian
5
10
−
truy
ề
n tin.
(
)
(
)
4 5
~ 10 .10 ~ 0,1
X Po X Po
−
⇔
Trong
ñ
ó,
s
ố
tín hi
ệ
u
ồ
n trong kho
ả
ng th
ờ
i gian
5
10
−
giây truy
ề
n tin là
4 5
10 .10 0,1
−
= .
Do
ñ
ó, xác su
ấ
t vi
ệ
c truy
ề
n tin b
ị
gián
ñ
o
ạ
n
( ) ( )
(
)
0
0,1
0,1
1 1 0 1 0,0952
0!
P X P X e
−
≥ = − = = − =
3.19.
S
ố
l
ỗ
i trên 1 mét vuông v
ả
i là m
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên tuân theo lu
ậ
t phân
ph
ố
i poison. Ki
ể
m tra lô v
ả
i, ng
ườ
i ta th
ấ
y 98% có l
ỗ
i. V
ậ
y trung bình m
ỗ
i mét
vuông v
ả
i có bao nhiêu l
ỗ
i?
Giải
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
l
ỗ
i trên 1mét vuông v
ả
i
(
)
X Po
λ
Lô v
ả
i th
ấ
y có 98% l
ỗ
i
(
)
(
)
1 0,98 1 0 0,98 0,02 3,9
P X P X e
−λ
≥ = ⇔ − = = ⇔ = ⇔ λ ≈
(1,5
ñ
)
V
ậ
y, trung bình m
ỗ
i mét vuông v
ả
i có 3,9 l
ỗ
i.
3.20.
M
ộ
t công nhân qu
ả
n lý 12 máy d
ệ
t. Các máy d
ệ
t ho
ạ
t
ñộ
ng
ñộ
c l
ậ
p
nhau, và xác su
ấ
t
ñể
m
ỗ
i máy, trong ca làm vi
ệ
c, c
ầ
n s
ự
ch
ă
m sóc c
ủ
a công nhân
(vi
ế
t t
ắ
t là CCN) là 0,3.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
53
a/ Tính xác su
ấ
t
ñể
, trong ca làm vi
ệ
c, có
a
1
/ 4 máy CCN
a
2
/ t
ừ
3
ñế
n 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi
ệ
c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi
ệ
c, tìm s
ố
máy CCN nhi
ề
u kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t; tính xác su
ấ
t
t
ươ
ng
ứ
ng.
Giải.
a/ G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
máy CCN trong ca làm vi
ệ
c thì
(
)
~ 12;0,3
X B
{
}
12
12
P( ) C (0,3) (0, 0,1,2,7) ,
,12
k k k
kX k
−
∈ …= =
, k
∈
{0,1,2,…,12}
a
1
/ Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:
4 4 8
12
P( 4) C (0,3) (0,7
2 1
)
0, 31
X
= = =
b
2
/ Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:
7
= 3
P(3 7) P( )
k
X X k
≤ ≤ = =
∑
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291
= 0,7376.
b/ S
ố
máy CCN trung bình:
(
)
12 0,3 3,6
E X
= × =
c/ S
ố
máy CCN nhi
ề
u kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t:
(
)
13 0 .
[ ]
,3 3
Mod X
= × =
Xác su
ấ
t t
ươ
ng
ứ
ng:
(
)
3 0,2397
P X
= =
.
3.21.
Ng
ườ
i ta mu
ố
n l
ấ
y m
ộ
t s
ố
h
ạ
t lúa t
ừ
m
ộ
t kho lúa có t
ỉ
l
ệ
h
ạ
t lép là
0,2
ñể
ki
ể
m tra. Bi
ế
t r
ằ
ng kho lúa có r
ấ
t nhi
ề
u h
ạ
t.
a/ Ph
ả
i l
ấ
y ít nh
ấ
t bao nhiêu h
ạ
t lúa
ñể
xác su
ấ
t có ít nh
ấ
t m
ộ
t h
ạ
t lép không
bé h
ơ
n 95% ?
b/ L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 100 h
ạ
t lúa, tính xác su
ấ
t
ñể
trong
ñ
ó có 25 h
ạ
t lép; có t
ừ
10
ñế
n 40 h
ạ
t lép.
Giải.
a/ G
ọ
i
n
là s
ố
h
ạ
t lúa c
ầ
n l
ấ
y. Vì s
ố
h
ạ
t lúa trong kho r
ấ
t l
ớ
n, nên các l
ầ
n l
ấ
y xem
nh
ư
ñộ
c l
ậ
p. Xác su
ấ
t
ñể
trong n h
ạ
t lúa l
ấ
y ra, không có h
ạ
t lép nào là (0,8)
n
.
Theo gi
ả
thi
ế
t:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
54
( ) ( )
1 0,8 0,95 0,8 0,
ln (0,05)
ln(0,8)
05
n n
n− ≥ ⇔ ≤ ≥⇔
V
ậ
y, ph
ả
i l
ấ
y ít nh
ấ
t 14 h
ạ
t lúa.
b/ G
ọ
i
X
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
s
ố
h
ạ
t lép trong m
ẫ
u thì
(
)
~ ,
X B n p
, v
ớ
i
100
n
=
và
0,2
p
=
. Vì
30; . 20 5
n n p
> = >
và
(
)
. 1 80 5
n p
− = >
nên chúng ta có
th
ể
áp d
ụ
ng các công th
ứ
c g
ầ
n
ñ
úng DeMoivre
−
Laplace.
(i) Xác su
ấ
t
ñể
có 25 h
ạ
t lép:
25 25 75
100
P( 25) C (0,2) (0,8) 0,04388
X = = =
(ii) Xác su
ấ
t
ñể
có t
ừ
10
ñế
n 40 h
ạ
t lép:
40 100 0,2 10 100 0,2
( )
100 0,2 0,8 100 0,2
10 0
,
4
0 8
P X
− × − ×
Φ − Φ
≤ ≤ ≈
× × × ×
(5) ( 2,5) 1 (1 (2,5)) (2,5)
= Φ − Φ − = − − Φ = Φ
10 40 (
0,9938
)
P X
⇒ ≤ ≤ ≈
3.22.
C
ầ
n xét nghi
ệ
m máu cho 5000 ng
ườ
i
ñể
tìm d
ấ
u hi
ệ
u m
ộ
t lo
ạ
i b
ệ
nh
B t
ạ
i m
ộ
t
ñị
a ph
ươ
ng có t
ỉ
l
ệ
ng
ườ
i m
ắ
c b
ệ
nh B theo th
ố
ng kê là 10%. Có 2
ph
ươ
ng pháp:
a/ Xét nghi
ệ
m t
ừ
ng ng
ườ
i m
ộ
t.
b/ M
ỗ
i l
ầ
n l
ấ
y máu m
ộ
t nhóm 10 ng
ườ
i tr
ộ
n l
ẫ
n vào nhau r
ồ
i xét nghi
ệ
m.
N
ế
u k
ế
t qu
ả
âm tính thì thông qua, n
ế
u d
ươ
ng tính thì ph
ả
i làm thêm 10 xét
nghi
ệ
m
ñể
xét nghi
ệ
m l
ạ
i t
ừ
ng ng
ườ
i m
ộ
t trong nhóm.
H
ỏ
i ph
ươ
ng pháp nào có l
ợ
i h
ơ
n, bi
ế
t r
ằ
ng m
ỗ
i xét nghi
ệ
m
ñề
u t
ố
n kém nh
ư
nhau và kh
ả
n
ă
ng m
ắ
c b
ệ
nh c
ủ
a m
ỗ
i ng
ườ
i
ñộ
c l
ậ
p nhau?
Giải.
a/ N
ế
u dùng ph
ươ
ng pháp (1) thì ph
ả
i th
ự
c hi
ệ
n 5000 xét nghi
ệ
m.
b/ Bây gi
ờ
chúng ta xem ph
ươ
ng pháp (2):
Đặ
t
X
ch
ỉ
s
ố
nhóm có k
ế
t qu
ả
d
ươ
ng tính thì
(
)
10
~ 500; 1
)
0,9(X B −
Đặ
t
Y
ch
ỉ
s
ố
xét nghi
ệ
m theo ph
ươ
ng pháp (2) thì
500 10
Y X
= +
S
ố
xét nghi
ệ
m trung bình theo ph
ươ
ng pháp (2) là:
(
)
(
)
(
)
10
500 10 500 5000 1 0,9 37 7
( )
5
E Y E X= + = + − ≈
.
V
ậ
y, áp d
ụ
ng theo ph
ươ
ng pháp (2) có l
ợ
i h
ơ
n.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
55
3.23.
M
ộ
t c
ơ
s
ở
s
ả
n xu
ấ
t, trung bình trong m
ộ
t tu
ầ
n, nh
ậ
n
ñượ
c 4
ñơ
n
ñặ
t
hàng. Bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
ñơ
n
ñặ
t hàng
X
mà c
ơ
s
ở
nh
ậ
n
ñượ
c trong m
ộ
t tu
ầ
n là m
ộ
t
BNN có phân ph
ố
i Poisson. Tính xác su
ấ
t
ñể
c
ơ
s
ở
ñ
ó
a/ Nh
ậ
n
ñượ
c h
ơ
n 5
ñơ
n
ñặ
t hàng trong m
ộ
t tu
ầ
n
b/ Nh
ậ
n
ñượ
c 6
ñơ
n
ñặ
t hàng trong hai tu
ầ
n liên ti
ế
p
Giải.
a/
(
)
~ 4
X Po
. Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:
(
)
5 1 (
)
5
P X P X> = − ≤
=
5
4
0
1 0,7851 0,214
4
1 e
!
k
k
k
−
=
= − =−
∑
b/ G
ọ
i
Y
là BNN ch
ỉ
s
ố
ñơ
n
ñặ
t hàng c
ủ
a c
ơ
s
ở
trong hai tu
ầ
n liên ti
ế
p thì
(
)
~ 8
Y Po
. Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:
( )
6
8
8
6 e 0,1221
6!
P Y
−
= = =
3.24.
M
ộ
t xe t
ả
i v
ậ
n chuy
ể
n 1000 chai r
ượ
u vào kho. Xác su
ấ
t
ñể
m
ỗ
i chai
b
ị
v
ỡ
trong khi v
ậ
n chuy
ể
n là 0,0035. Tính xác su
ấ
t
ñể
sau khi v
ậ
n chuy
ể
n, có 6
chai r
ượ
u b
ị
v
ỡ
; có t
ừ
2
ñế
n 8 chai r
ượ
u b
ị
v
ỡ
. (gi
ả
s
ử
r
ằ
ng s
ự
ki
ệ
n các chai r
ượ
u
b
ị
v
ỡ
là
ñộ
c l
ậ
p nhau, do ch
ấ
t l
ượ
ng riêng c
ủ
a m
ỗ
i chai)
Giải.
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
s
ố
chai r
ượ
u b
ị
v
ỡ
sau khi v
ậ
n chuy
ể
n, thì
(
)
~ 1000; 0,0035 .
X B
Xác su
ấ
t
ñể
có 6 chai r
ượ
u b
ị
v
ỡ
:
6 6 994
1000
P( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709
X C= = =
Tính g
ầ
n
ñ
úng:
Vì
1000
n
=
và
. 3,5 5
n p
= <
, nên có th
ể
xem:
(
)
~ 3,5
X Po
. Do
ñ
ó:
6
3,5
(3,5)
P( 6) 0,0771
6!
X e
−
= ≈ =
Xác su
ấ
t
ñể
có t
ừ
2
ñế
n 8 chai r
ượ
u b
ị
v
ỡ
8
3,5
2
(3,5)
P 0,(2 8
!
85
)
43
k
k
X e
k
−
=
≤ ≤ ≈ =
∑
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
56
3.25.
Th
ờ
i gian
ñể
s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A là m
ộ
t BNN tuân theo lu
ậ
t
phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i các tham s
ố
µ
= 10 và
σ
= 1 (
ñơ
n v
ị
là phút)
a/ Tính xác su
ấ
t
ñể
m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A nào
ñ
ó
ñượ
c s
ả
n xu
ấ
t trong kho
ả
ng
th
ờ
i gian t
ừ
9 phút
ñế
n 12 phút.
b/ Tính th
ờ
i gian c
ầ
n thi
ế
t
ñể
s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A b
ấ
t k
ỳ
.
Giải.
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
th
ờ
i gian d
ể
s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A ,
(
)
~ 10;1
X N
.
a/ Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:
12 10 9 10
( )
1
9
1
12 P X
− −
Φ − Φ
≤ ≤
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2 – 1 2 1 –1
=Φ Φ − =Φ + Φ
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui t
ắ
c 3
σ
, h
ầ
u nh
ư
ch
ắ
c ch
ắ
n
X
l
ấ
y giá tr
ị
trong kho
ả
ng:
[
]
[
]
10 3 1; 10 3 1 7; 13
− × + × =
V
ậ
y, th
ờ
i gian c
ầ
n thi
ế
t
ñể
s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A b
ấ
t k
ỳ
là t
ừ
7 phút
ñế
n
13 phút (h
ầ
u nh
ư
ch
ắ
c ch
ắ
n).
3.26.
Cho bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
X
tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i
2
( )
,
N
µ σ
. Bi
ế
t r
ằ
ng
X
l
ấ
y giá tr
ị
nh
ỏ
h
ơ
n 60 v
ớ
i xác su
ấ
t 0,1003 và l
ấ
y giá tr
ị
l
ớ
n h
ơ
n 90 v
ớ
i xác su
ấ
t
0,0516, hãy tính
µ
và
σ
.
Giải.
Theo gi
ả
thi
ế
t,
60
0,1003
( 60) 0,1003
( 90) 0,0516
90
1 0,0516
P X
P X
− µ
Φ =
< =
σ
⇔
> =
− µ
− Φ =
σ
60
0,8997
90
0,9484
µ −
Φ =
σ
⇔
− µ
Φ =
σ
60
1,28
90
1,64
µ −
=
σ
⇔
− µ
=
σ
V
ậ
y,
73,15
µ =
và
10,27
σ =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
57
3.27. Đườ
ng kính c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i chi ti
ế
t do m
ộ
t máy s
ả
n xu
ấ
t có phân
ph
ố
i chu
ẩ
n, k
ỳ
v
ọ
ng 20mm, ph
ươ
ng sai
(
)
2
0,2
mm. Tính xác su
ấ
t l
ấ
y ng
ẫ
u
nhiên m
ộ
t chi ti
ế
t
a/ Có
ñườ
ng kính trong kho
ả
ng 19,9mm
ñế
n 20,3mm.
b/ Có
ñườ
ng kính sai khác v
ớ
i k
ỳ
v
ọ
ng không quá 0,3mm.
Giải
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
ñườ
ng kính c
ủ
a m
ộ
t chi ti
ế
t, ta có
( )
(
)
2
~ 20; 0,2
X N
a/ Có
ñườ
ng kính trong kho
ả
ng 19,9mm
ñế
n 20,3mm
( )
( ) ( )
20,3 20 19,9 20
19,9 20,3
0,2 0,2
1,5 0,5 0,6247
P X
− −
< < = Φ − Φ
= Φ + Φ =
b/ Có
ñườ
ng kính sai khác v
ớ
i k
ỳ
v
ọ
ng không quá 0,3mm
( )
0,3
20 0,3 2 1 0,8664
0,2
P X
− < = Φ − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
58
CHƯƠNG 7: LÝ THUYẾT MẪU
4. 1.
Để
nghiên c
ứ
u v
ề
s
ố
con trong m
ộ
t gia
ñ
ình (SCTMG
Đ
)
ở
ñị
a ph
ươ
ng A,
ng
ườ
i ta
ñ
i
ề
u tra s
ố
con c
ủ
a m
ỗ
i gia
ñ
ình trong 30 gia
ñ
ình
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên
ở
ñị
a ph
ươ
ng A. K
ế
t qu
ả
ñượ
c ghi l
ạ
i nh
ư
sau:
0 2 5 3 7 4 3 3 1 4
2 4 3 1 6 1 0 2 4 1
1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a)
Hãy l
ậ
p b
ả
ng phân ph
ố
i t
ầ
n s
ố
và t
ầ
n su
ấ
t tích lu
ỹ
cho d
ữ
li
ệ
u trên m
ẫ
u.
b)
Trên m
ẫ
u v
ừ
a nêu, tính SCTMG
Đ
trung bình
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n c
ủ
a SCTMG
Đ
.
Giải:
a)
G
ọ
i X là BNN ch
ỉ
s
ố
con trong m
ộ
t gia
ñ
ình. B
ả
ng phân b
ố
t
ầ
n s
ố
, t
ầ
n su
ấ
t
và t
ầ
n su
ấ
t tích l
ũ
y cho X t
ừ
d
ữ
li
ệ
u trên.
X 0 1 2 3 4 5 6 7
T
ầ
n s
ố
i
n
3 6 6 6 4 3 1 1
T
ầ
n su
ấ
t
i
f
0,100
0,200
0,200
0,200
0,133
0,100
0,033
0,033
T
ầ
n su
ấ
t tích l
ũ
y
0,100
0,300
0,500
0,700
0,833
0,933
0,967
1,000
b)
Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u là:
2,67
x
=
Giá tr
ị
ph
ươ
ng sai m
ẫ
u:
2
3,2644
s
=
Độ
l
ệ
ch chu
ẩ
n:
1,81
s
=
.
4. 2.
Để
nghiên c
ứ
u v
ề
thâm niên công tác (tính tròn n
ă
m) c
ủ
a nhân viên
ở
m
ộ
t
công ty l
ớ
n, ng
ườ
i ta kh
ả
o sát thâm niên c
ủ
a 100 nhân viên
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên
trong công ty. K
ế
t qu
ả
nh
ư
sau:
Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19
S
ố
nhân
viên
8 21 36 25 10
a)
Hãy tính giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u và giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u.
b)
Gi
ả
s
ử
thâm niên công tác c
ủ
a nhân viên c
ủ
a công ty trên là BNN X có k
ỳ
v
ọ
ng là 12 n
ă
m và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 3 n
ă
m. Tính xác su
ấ
t
ñể
trung bình m
ẫ
u
nh
ậ
n giá tr
ị
l
ớ
n h
ơ
n 12,5 n
ă
m.
Giải
G
ọ
i X là BNN ch
ỉ
thâm niên công tác c
ủ
a nhân viên c
ủ
a công ty trên.
a)
T
ừ
d
ữ
li
ệ
u ta tính
ñượ
c:
- Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
12.24
x
=
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
59
- Giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
3,27
s
=
.
b)
Theo
ñị
nh lý gi
ớ
i h
ạ
n trung tâm ta có:
( )
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
Do
ñ
ó xác su
ấ
t
ñể
trung bình m
ẫ
u nh
ậ
n giá tr
ị
l
ớ
n h
ơ
n 12,5 là:
( )
( ) ( )
12,5
12,5 1,67 1 1,67 0,0478
X
P X P n n P U P U
µ µ
σ σ
− −
> = > = > = − ≤ =
4. 3.
Để
nghiên c
ứ
u chi
ề
u cao c
ủ
a thanh niên l
ứ
a
tu
ổ
i t
ừ
18
ñế
n 22 tu
ổ
i
ở
thành ph
ố
LX, ng
ườ
i ta
ñ
o trên m
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m m
ộ
t s
ố
thanh niên
ñượ
c
ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên
ở
thành ph
ố
LX. K
ế
t qu
ả
nh
ư
sau
(
ñơ
n v
ị
cm):
a) Tính giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u và giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch
chu
ẩ
n m
ẫ
u.
b) Theo tài li
ệ
u kh
ả
o sát tr
ướ
c
ñ
ó chi
ề
u cao c
ủ
a
nh
ữ
ng thanh niên l
ứ
a tu
ổ
i trên tuân theo lu
ậ
t phân
ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i k
ỳ
v
ọ
ng là
166 cm
µ
=
và
ñộ
l
ệ
ch
chu
ẩ
n là
7 cm.
σ
=
Hãy tính xác su
ấ
t
ñể
trung
bình m
ẫ
u có giá tr
ị
l
ớ
n 167 cm.
Giải:
G
ọ
i X là BNN ch
ỉ
chi
ề
u cao c
ủ
a thanh niên l
ứ
a tu
ổ
i t
ừ
18
ñế
n 22 tu
ổ
i
ở
thành ph
ố
LX.
a) T
ừ
d
ữ
li
ệ
u ta tính
ñượ
c:
- Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
166,55 cm
x
=
- Giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
5,865 cm.
s
=
b) Theo
ñị
nh lý gi
ớ
i h
ạ
n trung tâm ta có:
( )
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
Do
ñ
ó xác su
ấ
t
ñể
trung bình m
ẫ
u nh
ậ
n giá tr
ị
l
ớ
n h
ơ
n 12,5 là:
( )
( ) ( )
167
167 1,57 1 1,57 0,058
X
P X P n n P U P U
µ µ
σ σ
− −
> = > = > = − ≤ =
.
4. 4.
Gi
ả
s
ử
ñộ
t
ă
ng theo ph
ầ
n tr
ă
m l
ươ
ng hàng n
ă
m c
ủ
a m
ỗ
i công nhân viên
ch
ứ
c trong công ty Alpha tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i trung bình 12,2% và
Chi
ề
u cao
(cm)
S
ố
thanh
niên
[154, 158) 10
[158, 162) 16
[162, 166) 29
[166, 170) 37
[170, 174) 15
[174, 178) 10
[178, 182) 4
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
60
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n 3,6%. M
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên g
ồ
m 9 ph
ầ
n t
ử
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ổ
ng th
ể
ấ
y.
Tìm xác su
ấ
t
ñể
trung bình m
ẫ
u nh
ỏ
h
ơ
n 10%.
Giải
:
G
ọ
i X là BNN ch
ỉ
ñộ
t
ă
ng l
ươ
ng theo ph
ầ
n tr
ă
m. Ta có
(
)
2
~ 12,2; 3,6
X N
và
( )
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
( )
12,2 10 12,2 10 12,2
10 9 9 9 0,0334
3,6 3,6 3,6
X
P X P
− − −
< = < = Φ =
.
4. 5.
Để
nghiên c
ứ
u tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i bóng
ñ
èn, ng
ườ
i ta th
ắ
p th
ử
100 bóng
ñ
èn tr
ướ
c c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t. Sau khi c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t, ng
ườ
i ta th
ắ
p l
ạ
i 100 bóng.
S
ố
li
ệ
u có
ñượ
c cho trong b
ả
ng sau:
a)
Tính giá tr
ị
ñạ
i di
ệ
n cho m
ỗ
i l
ớ
p
ở
m
ẫ
u 1 và l
ậ
p b
ả
ng t
ầ
n s
ố
, t
ầ
n su
ấ
t cho
m
ẫ
u 1.
b)
Hãy so sánh giá tr
ị
trung bình và giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n c
ủ
a hai m
ẫ
u trên.
M
ẫ
u 1: Tr
ướ
c c
ả
i ti
ế
n M
ẫ
u 2: Sau c
ả
i ti
ế
n
Tu
ổ
i th
ọ
(gi
ờ
)
S
ố
bóng
ñ
èn
Tu
ổ
i th
ọ
(gi
ờ
)
S
ố
bóng
ñ
èn
< 1030 2 1150 10
[1030, 1050) 3 1160 15
[1050, 1070) 8 1170 20
[1070, 1090) 13 1180 30
[1090, 1110) 25 1190 15
[1110, 1130) 20 1200 10
[1130, 1150) 12
[1150, 1170) 10
[1170, 1200] 5
> 1200 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
61
Giải
:
a)
(1
ñ
)
b)
G
ọ
i
X
và
Y
l
ầ
n l
ượ
t là các BNN ch
ỉ
tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a bóng
ñ
èn tr
ướ
c và sau
c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t. Ta có
1112,15
x
=
;
1175,5
y
=
;
39,26
X
s
=
và
14,38
Y
s
=
Nh
ư
v
ậ
y, trung bình m
ẫ
u 1 bé h
ơ
n trung bình m
ẫ
u 2 và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u 1
l
ớ
n h
ơ
n
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u 2.
4. 6.
Theo H
ộ
i sinh viên
ở
thành ph
ố
LX thì có 60% sinh viên hi
ệ
n
ñ
ang theo h
ọ
c
ñạ
i h
ọ
c mu
ố
n tìm vi
ệ
c làm ngoài gi
ờ
h
ọ
c. M
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 205 sinh viên
ñượ
c ch
ọ
n
ng
ẫ
u nhiên. Tìm xác su
ấ
t
ñể
trong s
ố
ñ
ó có h
ơ
n 135 sinh viên mu
ố
n tìm vi
ệ
c làm
ngoài gi
ờ
h
ọ
c.
Giải:
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
sinh viên hi
ệ
n
ñ
ang theo h
ọ
c
ñạ
i h
ọ
c mu
ố
n tìm vi
ệ
c làm ngoài gi
ờ
h
ọ
c,
0,6
p
=
.
T
ỉ
l
ệ
sinh viên mu
ố
n tìm vi
ệ
c làm ngoài gi
ờ
trên m
ẫ
u là
205
m
P
=
.
Xác su
ấ
t có h
ơ
n 135 sinh viên mu
ố
n tìm vi
ệ
c làm ngoài gi
ờ
:
Tr
ướ
c c
ả
i ti
ế
n
Tu
ổ
i th
ọ
(gi
ờ
)
Giá tr
ị
ñạ
i di
ệ
n T
ầ
n s
ố
T
ầ
n su
ấ
t
< 1030 1020 2 0,02
[1030, 1050) 1040 3 0,03
[1050, 1070) 1060 8 0,08
[1070, 1090) 1080 13 0,13
[1090, 1110) 1100 25 0,25
[1110, 1130) 1120 20 0,20
[1130, 1150) 1140 12 0,12
[1150, 1170) 1160 10 0,10
[1170, 1200] 1185 5 0,05
> 1200 1215 2 0,02
Tổng số 100 1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
62
( )
135 27
135
205 205 41
m
P m P P P
> = > = >
Vì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
n N
p p
−
−
Do
ñ
ó
( )
( ) ( )
0
0
0 0 0 0
27
41
135
1 1
p
P p
P m P n n
p p p p
−
−
> = >
− −
( )
( )
( )
0
0 0
27 27
0,6
41 41
1 1 205
0,6 1 0,6
1
1 1,71 1 0,9564 0,0436
p
n
p p
− −
= − Φ = − Φ
−
−
= − Φ = − =
4. 7.
M
ộ
t m
ẫ
u kích th
ướ
c n
ñượ
c thành l
ậ
p t
ừ
t
ổ
ng th
ể
tuân theo phân ph
ố
i chu
ẩ
n
v
ớ
i k
ỳ
v
ọ
ng
µ
và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 8. Hãy xác
ñị
nh n sao cho, v
ớ
i xác su
ấ
t b
ằ
ng
0,9524, trung bình m
ẫ
u n
ằ
m trong kho
ả
ng t
ừ
µ
- 4
ñế
n
µ
+ 4.
Giải:
Ta có
(
)
( )
4 4 0,9524
4 0,9524
4
0,9524
P X
P X
X
n
P n
µ µ
µ
µ
σ σ
− ≤ ≤ + =
⇔ − ≤ =
−
⇔ ≤ =
(1
ñ
)
2 1 0,9524
2
0,9762
2
1,98
2
16
n
n
n
n
⇔ Φ − =
⇔ Φ =
⇔ =
⇒ =
(1
ñ
)
4. 8.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
63
S
ố
li
ệ
u th
ố
ng kê cho bi
ế
t có 40% các h
ộ
gia
ñ
ình
ở
thành ph
ố
A có thu nh
ậ
p
hàng n
ă
m n
ằ
m trong kh
ả
ng t
ừ
1200 USD
ñế
n 2000 USD. V
ậ
y, ph
ả
i
ñ
i
ề
u tra m
ộ
t
m
ẫ
u g
ồ
m bao nhiêu h
ộ
gia
ñ
ình
ñể
, v
ớ
i xác su
ấ
t 0,95, t
ỉ
l
ệ
các gia
ñ
ình có thu nh
ậ
p
trong kho
ả
ng nói trên, sai l
ệ
ch so v
ớ
i t
ỉ
l
ệ
chung c
ủ
a thành ph
ố
không quá 4%?
Giải
:
Ta có t
ỉ
l
ệ
h
ộ
gia
ñ
ình
ở
thành ph
ố
A có thu nh
ậ
p hàng n
ă
m n
ằ
m trong kh
ả
ng t
ừ
1200 USD
ñế
n 2000 USD là
0,4
p
=
. G
ọ
i
P
là t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
(
)
0,4 0,04 0,95
P P
− < =
( ) ( )
0,4 0,04
0,95
0,4 1 0,4 0,4 1 0,4
P
P n n
−
⇔ < =
− −
( )
( )
0,04
2 1 0,95
0,4 1 0,4
0,04
0,975
0,4 1 0,4
n
n
⇔ Φ − =
−
⇔ Φ =
−
( )
0,04
1,96
0,4 1 0,4
576,24 577
n
n n
⇔ =
−
⇔ ≈ ⇒ =
4. 9.
M
ộ
t lô hàng
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n xu
ấ
t kh
ẩ
u n
ế
u t
ỉ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m không quá 5%. N
ế
u
ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên 100 s
ả
n ph
ẩ
m thì v
ớ
i t
ỉ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m th
ự
c t
ế
t
ố
i
ñ
a là bao
nhiêu, chúng ta có th
ể
cho phép lô hàng
ñượ
c xu
ấ
t kh
ẩ
u mà kh
ả
n
ă
ng không m
ắ
c
sai l
ầ
m là 95%?
Giải:
G
ọ
i
0
p
là t
ỷ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m th
ự
c t
ế
t
ố
i
ñ
a.
Lô hàng
ñượ
c phép xu
ấ
t kh
ẩ
u mà không m
ắ
c sai l
ầ
m khi
0
P p
<
. Theo
ñề
bài:
(
)
0
0,95
P P p< =
( ) ( )
0
0,050,05
100 100 0.95
0,05 1 0,05 0,05 1 0,05
pP
P
−−
⇔ < =
− −
Vì
( )
( )
0,05
100 ~ 0,1
0,05 1 0,05
P
N
−
−
nên
ñẳ
ng th
ứ
c trên t
ươ
ng
ñươ
ng:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
64
( )
0
0,05
100 0,95
0,05 1 0,05
p
−
Φ =
−
( )
( )
0
0,95
0 0
0,05
100 1,65
0,05 1 0,05
1,65 0,05 1 0,05
0,05 0,086
100
p
u
p p
−
⇒ = =
−
−
⇔ = + ⇔ =
4. 10.
Chi
ề
u cao (
ñơ
n v
ị
cm) c
ủ
a m
ộ
t thanh niên
ở
thành ph
ố
l
ớ
n A là BNN tuân theo
lu
ậ
t phân ph
ố
i N(165; 100). Ng
ườ
i ta
ñ
o ng
ẫ
u nhiên chi
ề
u cao c
ủ
a 100 thanh niên
ở
thành ph
ố
A (TP.A).
c)
Xác su
ấ
t
ñể
chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a 100 thanh niên
ñ
ó l
ệ
ch so v
ớ
i chi
ề
u
cao trung bình c
ủ
a thanh niên TP.A không v
ượ
t quá 2cm là bao nhiêu?
d)
N
ế
u mu
ố
n ch
ề
u cao trung bình
ñ
o
ñượ
c sai l
ệ
ch so v
ớ
i chi
ề
u cao trung bình
c
ủ
a t
ổ
ng th
ể
không v
ượ
t quá 1cm v
ớ
i xác su
ấ
t không d
ướ
i 99% thì chúng ta
ph
ả
i ti
ế
n hành
ñ
o chi
ề
u cao c
ủ
a bao nhiêu thanh niên?
Giải
:
a)
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
chi
ề
u cao c
ủ
a m
ỗ
i thanh niên
ở
thành ph
ố
A. Ta có
(
)
~ 165;100
X N
.
Do
ñ
ó
(
)
~ 165;1
X N
và
(
)
165 ~ 0,1
X N
−
⇒
(
)
(
)
165 2 2 1 0,9545
P X
− < = Φ 2 − =
b)
G
ọ
i
n
là s
ố
thanh niên c
ầ
n
ñ
o chi
ề
u cao. Khi
ñ
ó,
( )
165
~ 0,1
10
X
n N
−
Theo
ñề
bài ta có:
(
)
165 1 0,99
P X
− < ≥
165
0,99
10 10
X n
P n
−
⇔ < ≥
2 1 0,99
10
n
⇔ Φ − ≥
1,99
0,995
10 2
n
⇔ Φ ≥ =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
65
( )
1
0,995 2,5758
10
663,47
n
n
−
⇒
≥ Φ =
⇒
≥
CHƯƠNG 5: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
5. 1.
a)
Hãy thi
ế
t l
ậ
p công th
ứ
c tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y
γ
cho trung bình t
ổ
ng th
ể
trong tr
ườ
ng h
ợ
p t
ổ
ng th
ể
có phân ph
ố
i chu
ẩ
n
ñ
ã bi
ế
t
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n.
b)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho trung bình t
ổ
ng th
ể
X
bi
ế
t
(
)
2
~ ,
µ σ
X
v
ớ
i
3
σ
=
và m
ẫ
u
ñặ
c tr
ư
ng
X
có kích th
ướ
c
25
=
n
trung bình m
ẫ
u
10
=
x
.
Giải
a)
V
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y
γ
cho tr
ướ
c ta tìm kho
ả
ng
(
)
;
− +
x e x e
sao cho
(
)
µ γ
− < < + =
P X e X e
(
)
| |
| |
| |
µ γ
µ
γ
σ σ
γ
σ
⇔ − < =
−
⇔ < =
⇔ < =
P X e
X n
P n e
n
P U e
Vì
(
)
~ 0,1
U N
nên ta có
( )
2 1 ,
γ
σ
Φ − = =
n
a a e
( )
1
2
1
2
γ
γ
+
+
⇔ Φ =
⇒
=
a a u
Suy ra:
1 1
2 2
.
γ γ
σ
σ
+ +
=
⇒
=
n
u e e u
n
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y
γ
cho
µ
là
(
)
;
− +
x e x e
v
ớ
i
1
2
.
γ
σ
+
=
e u
n
.
b)
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c trên, kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho trung bình c
ủ
a
X
là:
(
)
;
− +
x e x e
1 1 0,95 0,975
2 2
3 3
. . . 1,176
5
25
γ
σ
+ +
= = = =
e u u u
n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
66
V
ậ
y kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là:
(
)
8,824;11,176
.
5. 2.
a)
Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i bóng
ñ
èn hình TV có
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n
b
ằ
ng 500, nh
ư
ng ch
ư
a bi
ế
t trung bình. Ngoài ra, tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a lo
ạ
i bóng
ñ
èn
ñ
ó tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n. Kh
ả
o sát trên m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên g
ồ
m
15 bóng lo
ạ
i trên, ng
ườ
i ta tính
ñượ
c tu
ổ
i th
ọ
trung bình là 8900 gi
ờ
. Hãy tìm
kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho tu
ổ
i th
ọ
trung bình c
ủ
a lo
ạ
i bóng
ñ
èn hình nói trên.
a)
M
ộ
t t
ổ
ng th
ể
X có phân ph
ố
i chu
ẩ
n. Quan sát m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên kích
th
ướ
c 25 ng
ườ
i ta tính
ñượ
c trung bình là 15 và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 3. Hãy
ướ
c
l
ượ
ng k
ỳ
v
ọ
ng c
ủ
a X b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 95%.
Giải
a)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho tu
ổ
i th
ọ
trung bình c
ủ
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
V
ớ
i
8900
x
=
, và
1 0,975
2
500 500
. . 1,96. 253
15 15
e u u
n
+γ
σ
= = = =
Do
ñ
ó
(
)
8647;9153
b)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y cho k
ỳ
v
ọ
ng c
ủ
a X là:
(
)
- ;
+
x e x e
v
ớ
i
15
=
x
Vì X có phân ph
ố
i chu
ẩ
n ch
ư
a bi
ế
t
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n nên:
( ) ( )
24 24
1 1 0,95
2 2
3 3
. . 2,0639. 1,24
5
25
+γ +
= = = =
s
e t t
n
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là
(
)
13,76;16,24
5. 3.
Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i bóng
ñ
èn hình TV có
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n b
ằ
ng
500, nh
ư
ng ch
ư
a bi
ế
t trung bình. Tuy nhiên, trung bình m
ẫ
u b
ằ
ng 8900
ñượ
c
tính trên m
ẫ
u c
ỡ
35
n
=
.
a)
Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho tu
ổ
i th
ọ
trung bình c
ủ
a lo
ạ
i bóng
ñ
èn
hình
ñ
ang kh
ả
o sát.
b)
Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i bóng
ñ
èn hình TV trên có phân ph
ố
i
chu
ẩ
n. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho trung bình t
ổ
ng th
ể
.
Giải
a)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho tu
ổ
i th
ọ
trung bình c
ủ
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
ớ
i
8900
x
=
và
1 0,975
2
500 500
. . 1,96. 165,65
35 35
e u u
n
+γ
σ
= = = =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là: (8734; 9066) (gi
ờ
).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
67
b)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho tu
ổ
i th
ọ
trung bình c
ủ
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
ớ
i
8900
x
=
.
Do X có phân ph
ố
i chu
ẩ
n ch
ư
a bi
ế
t
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n nên:
( ) ( )
1 34
1 1 0,9
2 2
500 500
. . 1,6909. 142,9
35 35
n
s
e t t
n
−
+γ +
= = = =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm: (8757; 9043) (gi
ờ
).
5. 4.
a)
Ki
ể
m tra tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i bóng
ñ
èn hình TV trên m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên
g
ồ
m 100 bóng
ñ
èn tính
ñượ
c giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u là 8900 gi
ờ
và
ñộ
l
ệ
ch
chu
ẩ
n m
ẫ
u b
ằ
ng 500 gi
ờ
. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho trung bình t
ổ
ng
th
ể
.
b)
Độ
tin c
ậ
y s
ẽ
là bao nhiêu n
ế
u cùng m
ẫ
u trên sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng b
ằ
ng 130
gi
ờ
.
Giải
a)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho tu
ổ
i th
ọ
trung bình c
ủ
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
ớ
i
8900
x
=
.
1 1 0,95
2 2
500 500
. . 1,96. 98
100 100
+γ +
= = = =
s
e u u
n
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm: (8802; 8998) (gi
ờ
).
b)
Gi
ả
s
ử
γ
là
ñộ
tin c
ậ
y, khi sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng
1 1
2 2
500 100
. 130 130. 2,6
500
100
e u u
γ γ
+ +
= =
⇒
= =
Tra b
ả
ng 4 ta tìm
ñượ
c
1
0,9953 0,9906
2
γ
γ
+
= ⇔ =
.
(
( )
1
2
1
2,6
2
P X u P X
γ
γ
+
+
= < = <
v
ớ
i
(
)
~ 0,1
X N
)
V
ậ
y,
ñộ
tin c
ậ
y
99,06%
γ
=
.
5. 5.
Kh
ố
i l
ượ
ng X c
ủ
a m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m do m
ộ
t nhà máy s
ả
n xu
ấ
t tuân theo lu
ậ
t phân
ph
ố
i chu
ẩ
n. L
ấ
y m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên (không hoàn l
ạ
i) g
ồ
m 10% c
ủ
a m
ộ
t lô hàng
g
ồ
m 300 s
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a nhà máy
ñ
ó, ng
ườ
i ta tính
ñượ
c
x
= 148,50 gam và s =
35,75 gam.
a)
Hãy xây d
ự
ng công th
ứ
c tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y
γ
cho trung bình t
ổ
ng th
ể
h
ữ
u
h
ạ
n trong tr
ườ
ng h
ợ
p l
ấ
y m
ẫ
u không hoàn l
ạ
i.
b)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a m
ỗ
i s
ả
n ph
ẩ
m
trong lô hàng nói trên.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
68
Giải
a)
G
ọ
i N là kích th
ướ
c t
ổ
ng th
ể
, n là kích th
ướ
c m
ẫ
u.
Vì l
ầ
y m
ẫ
u có hoàn l
ạ
i thì
1
X
X
N n
N
n
σ
−
σ =
−
Theo
ñị
nh lý gi
ớ
i h
ạ
n trung tâm,
( )
1
~ 0,1
X
X
X X N
U n N
N n
− µ − µ −
= =
σ σ −
Và
( )
1
~ 1
/ 1
U X N
T n t n
S N n
Y n
− µ −
= = −
−
−
Ở
ñ
ây
(
)
( )
2
2
2
1
~ 1
X
n S
Y n
−
= χ −
σ
Do
ñ
ó v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y
γ
cho tr
ướ
c ta tìm e sao cho
(
)
P X e
− µ < = γ
T
ừ
ñ
ó
(
)
P T a
< = γ
v
ớ
i
1
e N
a n
s N n
−
=
−
Suy ra
( )
1
2
γ
+
< =
P T a
v
ớ
i
T
là BNN có phân ph
ố
i student
1
−
n
b
ậ
c t
ự
do.
Suy ra
(
)
1
1
2
−
+γ
=
n
a t
V
ậ
y ta tính
ñượ
c
( )
1
1
2
1
γ
−
+
−
=
−
n
s N n
e t
N
n
b)
Theo
ñề
bài ta có
30; 35,75; 300; 148,5; 0,95
n s N x
= = = = γ =
Ta tính
ñượ
c
( )
29
1 0,95
2
35,75 270
. 12,685
299
30
+
= =
e t
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho kh
ố
i l
ượ
ng trung bình là
(
)
135,815;161,185
5. 6.
M
ộ
t lô bút bi c
ủ
a xí nghi
ệ
p A s
ả
n xu
ấ
t ra g
ồ
m 1000 h
ộ
p, m
ỗ
i h
ộ
p 10 cây.
Ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên 50 h
ộ
p, th
ấ
y có 45 cây bút b
ị
h
ỏ
ng.
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
bút b
ị
h
ỏ
ng và s
ố
bút b
ị
h
ỏ
ng c
ủ
a lô
hàng.
b)
V
ớ
i m
ẫ
u trên, n
ế
u mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
bút h
ỏ
ng v
ớ
i
ñộ
chính xác 1,5%
thì
ñộ
tin c
ậ
y
ñạ
t
ñượ
c là bao nhiêu?
Giải
a)
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
bút h
ỏ
ng c
ủ
a lô bút.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
69
T
ỷ
l
ệ
bút h
ỏ
ng trên m
ẫ
u
45
0,09
500
p
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỷ
l
ệ
bút h
ỏ
ng c
ủ
a m
ẫ
u:
(
)
;
p e p e
− +
v
ớ
i
( ) ( )
1 0,95
2
1 0,09 1 0,09
1,96. 0,025
500
p p
e u
n
+
− −
= = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỷ
l
ệ
bút h
ỏ
ng c
ầ
n tìm là:
(
)
0,065;0,115
và cho s
ố
bút
h
ỏ
ng là
(
)
650;1150
(cây).
b)
Gi
ả
s
ử
0,015
e
=
, ta có
( )
( )
1 1
2 2
1
0,015 0,015 1,172
1
p p
n
u u
n p p
+γ +γ
−
=
⇒
= =
−
1
1 0,7588
2
0,8794 1,7588
+ γ
⇒
=
⇒
γ = − =
=75,88%.
5. 7.
Quan sát
ở
m
ộ
t m
ẫ
u, ng
ườ
i ta có k
ế
t qu
ả
v
ề
chi
ề
u cao X(m) c
ủ
a lo
ạ
i cây công
nghi
ệ
p
ở
m
ộ
t nông tr
ườ
ng nh
ư
sau:
x
i
3 4 5 6 7
8
s
ố
cây
2 8 23 32 23
12
a)
Hãy
ướ
c l
ượ
ng chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y
90%.
b)
Để
ướ
c l
ượ
ng chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó
ở
ñộ
tin c
ậ
y 95%, v
ớ
i
sai s
ố
không quá 2 dm thì c
ầ
n ph
ả
i quan sát thêm bao nhiêu cây n
ữ
a?
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c
6,02
x
=
và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u
=
1,206
s
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó là:
(
)
;
− +
x e x e
,
1 0,95
2
1,206 1,206
. 1,65.
10 10
100
+γ
= = =
=0,2
s
e u u
Do
ñ
ó
(
)
5,82;6,22
b)
Gi
ả
s
ử
1
n
là s
ố
cây c
ầ
n quan sát v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 95% và sai s
ố
không quá
0,2 (m) ta có:
0,975
1
1,45
0,2
≤
u
n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
70
2
1 0,975 1
1, 206 1,206
1,96. 139,6
0,2 0,2
⇔ ≥ ⇔ ≥ =
n u n
1
140
⇒
=
n
V
ậ
y ta c
ầ
n quan sát thêm ít nh
ấ
t 140 – 100 = 40 (cây) n
ữ
a.
5. 8.
Quan sát
ở
m
ộ
t m
ẫ
u, ng
ườ
i ta có k
ế
t qu
ả
v
ề
chi
ề
u cao X(m) c
ủ
a lo
ạ
i cây công
nghi
ệ
p
ở
m
ộ
t nông tr
ườ
ng nh
ư
sau:
x
i
3 4 5 6 7
8
s
ố
cây
2 8 23 32 23
12
a)
Hãy
ướ
c l
ượ
ng chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y
90%.
b)
Nh
ữ
ng cây cao t
ừ
7 m tr
ở
lên g
ọ
i là cây lo
ạ
i A. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y
95,44% cho t
ỉ
l
ệ
cây lo
ạ
i A c
ủ
a nông tr
ườ
ng.
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c
6,02
x
=
và ph
ươ
ng sai m
ẫ
u
2
1,45
s
=
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó là:
(
)
;
x e x e
− +
,
1 0,95
2
1,2059 1, 2059
. 1,65.
10 10
100
=0,2
s
e u u
+γ
= = =
Do
ñ
ó
(
)
5,82;6,22
K =
b)
T
ỷ
l
ệ
cây lo
ạ
i A trên m
ẫ
u là:
35
0,35
100
p
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95,44% cho t
ỷ
l
ệ
cây lo
ạ
i A c
ủ
a nông tr
ườ
ng là:
(
)
;
p e p e
− +
v
ớ
i
( )
1 0,9544 0,9772
2
1
0,35.0,65 0,35.0,65
2. 0,0954
100 10
p p
e u u
n
+
−
= = = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là:
(
)
0,2546;0,4454
.
5. 9.
Độ
sâu c
ủ
a bi
ể
n
ñượ
c xác
ñị
nh b
ằ
ng m
ộ
t máy
ñ
o có sai s
ố
h
ệ
th
ố
ng b
ằ
ng 0,
còn sai s
ố
ng
ẫ
u nhiên c
ủ
a nó tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n
v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n
20m.
a)
C
ầ
n ph
ả
i ti
ế
n hành bao nhiêu l
ầ
n
ñ
o
ñể
xác
ñị
nh
ñượ
c
ñộ
sâu c
ủ
a bi
ể
n v
ớ
i
sai s
ố
cho phép không quá 15m
ở
ñộ
tin c
ậ
y 90% ?
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
71
b)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho sai s
ố
ng
ẫ
u nhiên trung bình. Bi
ế
t r
ằ
ng khi
ti
ế
n hành
ñ
o
ở
m
ộ
t
ñị
a
ñ
i
ể
m xác
ñị
nh 25 l
ầ
n ng
ườ
i ta tính
ñượ
c sai s
ố
ng
ẫ
u
nhiên trung bình m
ẫ
u là 100m.
Giải
a)
G
ọ
i
n
là s
ố
l
ầ
n
ñ
o c
ầ
n thi
ế
t.
Ta có
2 2
2 2
1 1
2
2 2
20
15 .1,65 4,84
15 225
e u n u
n
+γ +γ
σ σ
= ≤ ⇔ ≥ = =
V
ậ
y c
ầ
n
ñ
o ít nh
ấ
t 5 l
ầ
n.
b)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho sai s
ố
trung bình ng
ẫ
u nhiên là:
(
)
;
− +
x e x e
v
ớ
i
1 ,95 0,975
2
20 20
. . 1,96. 7,8
5
25
σ
+0
= = = =
e u u
n
V
ậ
y kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là:
(
)
92,2;107,8
.
5. 10.
Ng
ườ
i ta mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
viên thu
ố
c b
ị
s
ứ
t m
ẻ
trong m
ộ
t lô thu
ố
c r
ấ
t
nhi
ề
u viên.
a)
N
ế
u mu
ố
n sai s
ố
cho phép không quá 1%
ở
ñộ
tin c
ậ
y 95% thì ph
ả
i quan
sát ít nh
ấ
t m
ấ
y viên?
b)
Quan sát ng
ẫ
u nhiên 200 viên, th
ấ
y có 20 viên b
ị
s
ứ
t m
ẻ
. Hãy tìm kho
ả
ng
tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
t
ổ
ng th
ể
. N
ế
u mu
ố
n sai s
ố
cho phép không quá 1%
ở
ñộ
tin c
ậ
y 95% thì ph
ả
i quan sát ít nh
ấ
t m
ấ
y viên?
Giải
a)
Theo
ñề
bài ta có:
0,01
e
≤ ε =
;
2 2
1 1 0,95
2 2
2.0,01 0,02
9603,65
u u
n
+γ +
⇔ ≥ = =
V
ậ
y, ph
ả
i quan sát ít nh
ấ
t 9604 viên.
b)
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
viên thu
ố
c b
ị
s
ứ
t m
ẻ
. Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 1 0,95
2 2
1 0,1 0,9
0,09
1,96.
200 200
0,0416
p p
e u u
n
+γ +
−
= = = =
V
ậ
y kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
viên thu
ố
c b
ị
s
ứ
t m
ẻ
là:
(
)
0,0584; 0,1416
N
ế
u sai s
ố
không quá 1%
ở
ñộ
tin c
ậ
y 95% ta c
ầ
n quan sát bao nhiêu:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
72
( )
2 2
1 1 0,95
2 2
. 1 .0,1.0,9
0,01
3457,3129
u u
n p p
+γ +
≥ − = =
ε
V
ậ
y, ph
ả
i quan sát ít nh
ấ
t 3458.
5. 11.
Để
nghiên c
ứ
u s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a hàng ngày (SLSHN) c
ủ
a m
ộ
t
ñ
àn bò, ng
ườ
i ta
ñ
i
ề
u tra ng
ẫ
u nhiên trên 100 con bò c
ủ
a nông tr
ườ
ng và có k
ế
t qu
ả
sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
S
ố
con bò 10 24 42 16 8
a)
Ướ
c l
ượ
ng s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a trung bình m
ỗ
i ngày c
ủ
a m
ộ
t con bò b
ằ
ng
kho
ả
ng tin c
ậ
y 97%.
b)
V
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 97%, có th
ể
nói s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a trung bình hàng ngày c
ủ
a
m
ộ
t con bò nhi
ề
u nh
ấ
t b
ằ
ng bao nhiêu?
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c
11,78
x
=
,
1,79
s
=
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho SLSHN trung bình:
(
)
;
x e x e
− +
V
ớ
i
1 0,97 0,985
2
1,79 1,79
. . 2,1707. 0,39
10
100
s
e u u
n
+
= = = =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b)
Ta tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y m
ộ
t bên:
(
)
;
x e
−∞ +
:
v
ớ
i
0,97
1,79 1,79
1,88. 0,337
10
100
s
e u u
n
γ
= = = =
T
ừ
ñ
ó suy ra s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a trung bình hàng ngày nhi
ề
u nh
ấ
t:
11,78 0,337 12,117
+ =
(kg)
5. 12.
Để
nghiên c
ứ
u s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a hàng ngày (SLSHN) c
ủ
a m
ộ
t
ñ
àn bò, ng
ườ
i ta
ñ
i
ề
u tra ng
ẫ
u nhiên trên 100 con bò c
ủ
a nông tr
ườ
ng và có k
ế
t qu
ả
sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
S
ố
con bò 10 24 42 16 8
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho t
ỉ
l
ệ
bò cho SLSHN trên 11kg.
b)
Mu
ố
n sai s
ố
khi
ướ
c l
ượ
ng s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a trung bình m
ỗ
i ngày không
v
ượ
t quá 0,5kg và sai s
ố
khi
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
bò cho SLSHN trên 11kg không
v
ượ
t quá 12%, v
ớ
i cùng
ñộ
tin c
ậ
y 98%, thì c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra bao nhiêu con bò?
Giải
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
73
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c
11,78
x
=
,
1,79
s
=
G
ọ
i p là t
ỉ
l
ệ
bò cho SLSHN trên 11 kg.
T
ỉ
l
ệ
này trên m
ẫ
u kh
ả
o sát là:
66
0,66
100
p
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho p:
(
)
;
p e p e
− +
V
ớ
i
( ) ( ) ( )
1 0,9 0,95
2
1 0,66 1 0,66 0,66 1 0,66
. 1,6449. 0,0779
100 100
p p
e u u
n
+
− − −
= = = =
V
ậ
y, t
ỉ
l
ệ
bò cho SLSHN trên 11 kg t
ừ
58,21%
ñế
n 73,79%.
b)
G
ọ
i
1
n
là s
ố
bò c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra. Ta ph
ả
i có:
( )
2
2
2
2
1 1 0,98
2
1
2
2
2
2
1
21 1 0,98
2
2
1,79
.
2,3263 . 69,4
0,5
0,5
1 0,66.0,34
2,3263 . 84,33
.
0,12
0,12
s
n u
n
p p
n
n u
+
+
≥
≥ =
⇔
−
≥ =
≥
Ch
ọ
n
1
85
n
=
. V
ậ
y c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra 85 con bò.
5. 13.
Độ
dài c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i chi ti
ế
t máy
ñượ
c
ñ
o 25 l
ầ
n b
ằ
ng m
ộ
t máy
ñ
o có sai s
ố
h
ệ
th
ố
ng b
ằ
ng 0. Bi
ế
t r
ằ
ng sai s
ố
ng
ẫ
u nhiên c
ủ
a vi
ệ
c
ñ
o có phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i
ph
ươ
ng sai 100cm
2
và
ñộ
dài trung bình trong 25 l
ầ
n
ñ
o là 100cm.
a)
Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
ñộ
dài c
ủ
a lo
ạ
i chi ti
ế
t máy trên.
b)
Ph
ả
i ti
ế
n hành bao nhiêu l
ầ
n
ñ
o
ñể
b
ề
r
ộ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
ñộ
dài
c
ủ
a lo
ạ
i chi ti
ế
t máy trên không quá 8 cm.
Giải
a)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
ñộ
dài chi ti
ế
t máy nói trên:
(
)
;
x e x e
− +
.
V
ớ
i
1 0,995
2
10 10
. . 2,5758. 5,15
5
25
e u u
n
γ
σ
+
= = = =
Đ
áp s
ố
: (94,85; 105,15).
b)
G
ọ
i
1
n
là s
ố
l
ầ
n
ñ
o. Ta c
ầ
n có:
( )
1
2
1
2
2 2
2
2
1 1 0,995
2
2
2 8 4
. 4
100
. . 2,5758 . 41,47
4 16 16
e e
u
n
n u u
γ
γ
σ
σ σ
+
+
≤ ⇔ ≤
⇔ ≤
⇔ ≥ = = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
74
Suy ra,
1
42
n
=
.
V
ậ
y, c
ầ
n ti
ế
n hành
ñ
o ít nh
ấ
t 42 l
ầ
n.
5. 14.
Gi
ả
s
ử
ñườ
ng kính c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên có phân ph
ố
i
N(
µ
,
σ
2
).
Đ
o 10 s
ả
n ph
ẩ
m, ng
ườ
i ta có b
ả
ng s
ố
li
ệ
u:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
µ
và kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
µ
và
σ
2
.
Giải
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c:
4,2900;
x
=
0,3695
s
=
♣
♣♣
♣
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
ñườ
ng kính trung bình:
1 9
1 0,95 0,975
2
10 10
0,3695
0,2643
n
s
e t t
−
+
= = =
(
)
4,0257; 4,5543
♣
♣♣
♣
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
ñườ
ng kính trung bình:
(
)
3,9102; 4,6698
♣
♣♣
♣
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho ph
ươ
ng sai là:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,99 0,995
2 2
1 9 9 23,589
n
+γ +
χ − = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,99 0,005
2 2
1 9 9 1,735
n
−γ −
χ − = χ = χ =
(
)
2
1 9.
0,1366=1,229
n s− =
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
; 0,0521;0,7084
1 1
+γ −γ
− −
=
χ − χ −
n s n s
n n
5. 15.
Nghiên c
ứ
u v
ề
ñộ
b
ề
n X (kg/mm
2
) c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i thép, ng
ườ
i ti
ế
n hành m
ộ
t s
ố
quan sát m
ộ
t s
ố
t
ấ
m thép trên m
ẫ
u và có k
ế
t qu
ả
cho trong b
ả
ng sau:
Độ
b
ề
n (kg/mm
2
)
S
ố
t
ấ
m thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
15
19
23
31
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
75
(175,195]
(195,215]
> 215
29
21
6
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho
ñộ
b
ề
n trung bình c
ủ
a lo
ạ
i thép trên.
b)
S
ẽ
ñạ
t
ñộ
tin c
ậ
y bao nhiêu n
ế
u mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng
ñộ
b
ề
n trung bình c
ủ
a
lo
ạ
i thép trên b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y có
ñộ
dài b
ằ
ng 6?
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u trên ta tính
ñượ
c:
162,6389; 33, 4076
x s
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho trung bình
ñộ
b
ề
n:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,985
2
6,0412
12
144
33,2914 33,4076
2,17.
s
e u u
n
+γ
= = = =
(
)
(
)
; 156,6;168,7
x e x e− + =
b)
G
ọ
i
γ
là
ñộ
tin c
ậ
y c
ầ
n tìm
Ta có:
1 1
2 2
144
3 3. 3. 1,0814
33,0476
s n
e u u
s
n
+γ +γ
= = ⇒ = = =
1
0,86 72%
2
+ γ
⇒ = ⇒ γ =
5. 16.
Nghiên c
ứ
u v
ề
ñộ
b
ề
n X (kg/mm
2
) c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i thép, ng
ườ
i ti
ế
n hành m
ộ
t s
ố
quan sát m
ộ
t s
ố
t
ấ
m thép trên m
ẫ
u và có k
ế
t qu
ả
cho trong b
ả
ng sau:
Độ
b
ề
n (kg/mm
2
)
S
ố
t
ấ
m thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
(175,195]
(195,215]
> 215
15
19
23
31
29
21
6
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho
ñộ
b
ề
n trung bình c
ủ
a lo
ạ
i thép trên.
b)
Thép có
ñộ
b
ề
n trên 195kg/mm
2
ñượ
c g
ọ
i là thép lo
ạ
i A. Tìm kho
ả
ng tin
c
ậ
y 98% cho t
ỉ
l
ệ
thép lo
ạ
i A.
Giải
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
76
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u trên ta tính
ñượ
c:
162,6389; 33, 4076
x s
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho trung bình
ñộ
b
ề
n:
1 0,985
2
6,0412
12
144
33,2914 33,4076
2,17.
s
e u u
n
+γ
= = = =
(
)
(
)
; 156,6;168,7
x e x e− + =
b)
G
ọ
i
p
là t
ỷ
l
ệ
thép lo
ạ
i A. T
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
27
0,1875
144
p = =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 98% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
( )
1 0,98 0,99
2
1 0,1875 1 0,1875
. .
144
0,1875 1 0,1875
2,3263. 0,0106
144
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm:
(
)
0,1769; 0,1981
.
5. 17.
M
ứ
c tiêu hao nguyên li
ệ
u cho m
ộ
t
ñơ
n v
ị
s
ả
n ph
ẩ
m là m
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên X
tuân theo qui lu
ậ
t chu
ẩ
n. Quan sát 28 s
ả
n ph
ẩ
m
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên, ng
ườ
i ta
thu
ñượ
c k
ế
t qu
ả
cho trong b
ả
ng sau:
x (gam) 19 19,5 20 20,5
s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m 5 6 14 3
Hãy xây d
ự
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho ph
ươ
ng sai t
ổ
ng th
ể
trong hai tr
ườ
ng
h
ợ
p:
a)
bi
ế
t E(X) = 20g;
b)
ch
ư
a bi
ế
t E(X).
Giải
a)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y
γ
cho ph
ươ
ng sai t
ổ
ng th
ể
:
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
;
γ γ
µ µ
χ χ
= =
+ −
− −
∑ ∑
n n
k k
k k
x x
n n
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,95
2 2
28 28 41,337
n
+γ +
χ = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,05
2 2
28 28 16,928
n
−γ −
χ = χ = χ =
( )
2
1
7,25
n
k
k
x
=
− µ =
∑
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
77
( )
7,25 7, 25
; 0,175;0,428
41,337 16,928
=
b)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y
γ
cho ph
ươ
ng sai t
ổ
ng th
ể
:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
;
1 1
γ γ
χ χ
+ −
− −
− −
n s n s
n n
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,95
2 2
1 27 27 40,113
n
+γ +
χ − = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,05
2 2
1 27 27 16,151
n
−γ −
χ − = χ = χ =
(
)
2
1 5,74
n s− =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm:
( )
5,74 5,74
; 0,143;0,355
40,113 16,151
=
.
5. 18.
X (
ñơ
n v
ị
tính b
ằ
ng %) là ch
ỉ
tiêu c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m.
Đ
i
ề
u tra
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m (s.ph), ng
ườ
i ta có s
ố
li
ệ
u:
X
i
S
ố
s
ả
n ph
ẩ
m
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15)
[15,17)
[17,19)
[19,21)
2
8
14
19
22
20
10
5
a)
Để
ướ
c l
ượ
ng trung bình ch
ỉ
tiêu X v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 95% và
ñộ
chính xác
0,3% thì c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm bao nhiêu s
ả
n ph
ẩ
m n
ữ
a?
b)
Ng
ườ
i ta xem các s
ả
n ph
ẩ
m có ch
ỉ
tiêu X d
ướ
i m
ộ
t m
ứ
c qui
ñị
nh là lo
ạ
i 2.
T
ừ
s
ố
li
ệ
u trên, b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp
ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng t
ỉ
l
ệ
(lo
ạ
i 2), ng
ườ
i ta
tính
ñượ
c kho
ả
ng tin c
ậ
y là (4%, 16%). Tìm
ñộ
tin c
ậ
y c
ủ
a
ướ
c l
ượ
ng này.
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c:
13,52
x
=
;
3,35
s
=
.
Để
ướ
c l
ượ
ng trung bình ch
ỉ
tiêu
X
v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 95% và sai s
ố
0,3 ta c
ầ
n:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
78
2
2
1
0,975
2 2
2
1
. . 11,2420
0,3 0,3
5,836 382,841
u
u
n s s
+γ
≥ = = × =
V
ậ
y c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm 283 s
ả
n ph
ẩ
m n
ữ
a.
b)
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i 2
ở
m
ẫ
u t
ừ
kho
ả
ng tin c
ậ
y
γ
c
ủ
a t
ỷ
l
ệ
s
ả
n
ph
ẩ
m lo
ạ
i 2 ta có:
0,04 0,1
0,16 0,06
p e p
p e e
− = =
⇔
+ = =
M
ặ
t khác,
( )
( )
1
2
1
2
1
1
0,06 0,06
/ 100 10 2
0,3
0,1 0,9
p p
e u
n
p p
u e
n
+γ
+γ
−
=
−
⇒ = = = =
×
1
2
0,9772 =0,9545
+ γ
= ⇔ γ
5. 19.
Vi
ệ
n th
ố
ng kê mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
p
ng
ườ
i dân không
ñồ
ng ý v
ề
m
ộ
t
ñ
i
ề
u
lu
ậ
t m
ớ
i
ñượ
c
ñề
ngh
ị
.
a)
N
ế
u mu
ố
n sai s
ố
cho phép không quá 2%
ở
ñộ
tin c
ậ
y 90% thì ph
ả
i h
ỏ
i ý
ki
ế
n ít nh
ấ
t m
ấ
y ng
ườ
i?
b)
Trên m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên 344 ng
ườ
i
ñượ
c h
ỏ
i ý ki
ế
n, có 83 ng
ườ
i không
ñồ
ng ý. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho
p
. D
ự
a vào s
ố
li
ệ
u c
ủ
a m
ẫ
u này,
hãy gi
ả
i l
ạ
i câu a).
Giải
a)
G
ọ
i
n
là s
ố
ng
ườ
i c
ầ
n h
ỏ
i ý ki
ế
n. Ta ph
ả
i có:
2 2
1 0,9 1 0,9
2 2
1 1
. . 1691,1
2 2.0,02
n u u
ε
+ +
≥ = =
V
ậ
y, ph
ả
i h
ỏ
i ý ki
ế
n ít nh
ấ
t 1692 ng
ườ
i.
b)
T
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
83
0,241
344
p = =
. Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,9
2
1 0,241 1 0,241
. 1,6449. 0,0379
344
p p
e u
n
+
− −
= = =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là:
(
)
0,2031;0,2789
t
ứ
c là t
ừ
20,31%
ñế
n
27,89%.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
79
Gi
ả
i l
ạ
i câu a), trên c
ơ
s
ở
có m
ẫ
u th
ă
m dò, kích th
ướ
c m
ẫ
u c
ầ
n tìm:
(
)
(
)
2 2
1 1 0,9
2 2
2
1 0,241 1 0,241
. 1,6449 . 752,2
0,02
p p
n u
ε
+
− −
≥ = =
V
ậ
y, c
ầ
n h
ỏ
i ý ki
ế
n ít nh
ấ
t 753 ng
ườ
i.
5. 20.
Để
nghiên c
ứ
u
ñườ
ng kính X (mm)
c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m do m
ộ
t xí nghi
ệ
p
s
ả
n xu
ấ
t, ng
ườ
i ta
ñ
o ng
ẫ
u nhiên 100 s
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a xí nghi
ệ
p và có k
ế
t qu
ả
cho
trong b
ả
ng sau:
x
i
9,85 9,90 9,95 10,00
10,05
10,10
10,15
T
ầ
n s
ố
8 12 20 30 14 10 6
Theo qui
ñị
nh, nh
ữ
ng s
ả
n ph
ẩ
m có
ñườ
ng kính t
ừ
9,9 mm
ñế
n 10,1 mm là
nh
ữ
ng s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n k
ỹ
thu
ậ
t. Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
và
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a nh
ữ
ng s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n k
ỹ
thu
ậ
t.
Giải
B
ả
ng s
ố
li
ệ
u cho các s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tckt:
x
i
9,90 9,95 10,00
10,05
10,10
T
ầ
n s
ố
12 20 30 14 10
♣
♣♣
♣
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tckt, t
ỉ
l
ệ
này trên m
ẫ
u là:
86
0,86
100
p = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,95
2
1 0,86 1 0,86
. 1,96. 0,068
100
p p
e u
n
+
− −
= = =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y cho
p
là:
(
)
0,792; 92,8
ngh
ĩ
a là t
ừ
79,2%
ñế
n
92,8%.
♣
♣♣
♣
G
ọ
i
1
X
là BNN ch
ỉ
ñườ
ng kính c
ủ
a nh
ữ
ng s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tckt. T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta có:
1 1
9,994; 0,06
x s= =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
ñườ
ng kính trung bình nh
ữ
ng s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tckt:
(
)
1 1
;
x e x e
− +
1
1 0,95
2
1
0,06
. 1,96. 0,012
86
s
e u
n
+
= = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm:
(
)
9,982;10,006
(mm).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
80
5. 21.
X (tính b
ằ
ng %) và Y (tính b
ằ
ng cm) là 2 ch
ỉ
tiêu c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m.
Ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m, ng
ườ
i ta có k
ế
t qu
ả
sau:
x
i
y
k
1 2
3
x
4
x
(90, 95] 5 13 2
(95, 100] 19 23 15 8
(100, 105] 12 10 7
(105, 110] 5 2
a)
Để
ướ
c l
ượ
ng trung bình c
ủ
a ch
ỉ
tiêu Y v
ớ
i sai s
ố
cho phép 0,5 cm và
ñộ
tin c
ậ
y 90% thì c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm bao nhiêu s
ả
n ph
ẩ
m n
ữ
a?
b)
Cho bi
ế
t kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% c
ủ
a ch
ỉ
tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr
ị
trung bình và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u c
ủ
a ch
ỉ
tiêu X.
Giải
a)
B
ả
ng phân b
ố
t
ầ
n s
ố
ch
ỉ
tiêu Y:
k
y
(90, 95] (95, 100]
(100,
105]
(105,
110]
k
n
20 65 29 7
T
ừ
ñ
ó:
98,4504; 3,89
y
y s= =
G
ọ
i
1
n
là s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra:
2
2
2
2
1 1 0,9
2 2
2
3,89
. 1,6449 . 163,8
0,5
Y
s
n u
ε
+
≥ = =
1
164
n⇒ =
V
ậ
y, c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm 43 s
ả
n ph
ẩ
m n
ữ
a.
b)
Theo
ñề
bài ta có:
1,59 2,1
2,61 0,51
x e x
x e e
− = =
⇔
+ = =
M
ặ
t khác,
1 0,96
1 0,96
2
2
0,51. 121
. 2,732
2,0537
s e n
e u s
u
n
+
+
= ⇒ = = =
5. 22.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
81
X (tính b
ằ
ng %) và Y (tính b
ằ
ng cm) là 2 ch
ỉ
tiêu c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m.
Ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m, ng
ườ
i ta có k
ế
t qu
ả
sau:
x
i
y
k
1 2
3
x
4
x
(90, 95] 5 13 2
(95, 100] 19 23 15 8
(100, 105] 12 10 7
(105, 110] 5 2
a)
Cho bi
ế
t kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% c
ủ
a ch
ỉ
tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr
ị
trung bình và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n c
ủ
a ch
ỉ
tiêu X.
b)
Hãy tìm các giá tr
ị
3
x
và
4
x
.
Giải
a)
B
ả
ng d
ữ
li
ệ
u ch
ỉ
tiêu X:
Theo
ñề
bài ta có:
1,59 2,1
2,61 0,51
x e x
x e e
− = =
⇔
+ = =
M
ặ
t khác,
1 0,96
1 0,96
2
2
0,51. 121
. 2,732
2,0537
s e n
e u s
u
n
+
+
= ⇒ = = =
b)
B
ả
ng d
ữ
li
ệ
u ch
ỉ
tiêu X:
i
x
1 2
3
x
4
x
i
n
36 46 29 10
Ta có
3 4
36.1 46.2 29. 10.
nx x x
= + + +
3 4
29 10 126,1
x x⇒ + =
(1)
( )
( )
4
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 2 2
3 3 4 4 1 1 2 2
2 2 2 2
3 4
2 2 2 2
3 4
1
1
1
1
29 10 120.2,732 36 46.4 121.2,1
29 10 120.2,732 36 46.4 121.2,1 1209,27
i i
i
s n x nx
n
n s n x n x n x n x nx
n x n x n s n x n x nx
x x
x x
=
= −
−
⇒ − = + + + −
⇔ + = − − − +
⇔ + = − − +
⇔ + = − − + =
∑
2 2
3 4
29 10 1209,27
x x⇔ + =
(2)
T
ừ
(1) suy ra:
4 3
10 126,1 29
x x
= −
Thay vào (2) ta
ñượ
c:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
82
( )
2
2
3 3
1
29 126,1 29 1209,27
10
x x⇔ + − =
( )
2
2
3 3
2
3 3
3
3
290 126,1 29 12092,7
1131 7313,8 3808,51 0
5,9
0,57
x x
x x
x
x
⇔ + − =
⇔ − + =
=
⇔
=
V
ớ
i
3
5,9
x =
suy ra
4
126,1 29.5,9
4,5
10
x
−
= = −
(lo
ạ
i)
V
ớ
i
3
0,57
x =
suy ra
4
126,1 29.0,57
10,957
10
x
−
= =
(nh
ậ
n).
V
ậ
y,
3
0,57
x =
và
4
10,957
x =
.
5. 23.
M
ộ
t gi
ố
ng lúa m
ớ
i
ñượ
c gieo trong 10 mi
ế
ng
ñấ
t thí nghi
ệ
m có các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n gi
ố
ng nhau, cho các s
ả
n l
ượ
ng tính theo cùng m
ộ
t
ñơ
n v
ị
nh
ư
sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Bi
ế
t r
ằ
ng s
ả
n l
ượ
ng lúa là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên có phân ph
ố
i chu
ẩ
n N(
µ
,
σ
2
).
Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho
µ
và
σ
2
.
Giải
T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta tính
ñượ
c:
Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
25,4
x
=
Giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
2,24
s
=
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho s
ả
n l
ượ
ng trung bình
µ
:
(
)
;
x e x e
− +
V
ớ
i
( )
9
1 0,9
2
. 1,3
2,24
1,8331.
10
s
e t
n
+
= = =
V
ậ
y, Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho
µ
: (24,1; 26,7)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho
2
σ
:
( ) ( )
2 2
2 2
1 0,9 1 0,9
2 2
1 1
;
n s n s
χ χ
+ −
− −
( )
2 2
2 2
0,95 0,05
9.2,24 9.2,24 45,1584 45,1584
; ; 2,67; 13,58
16,919 3,325
χ χ
= = =
5. 24.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
83
Để
ñ
ánh giá tr
ữ
l
ượ
ng cá trong m
ộ
t h
ồ
l
ớ
n, ng
ườ
i ta
ñ
ánh b
ắ
t 2000 con
cá t
ừ
h
ồ
ñ
ó,
ñ
ánh d
ấ
u r
ồ
i th
ả
l
ạ
i xu
ố
ng h
ồ
. Vài ngày sau, h
ọ
ñ
ánh b
ắ
t l
ạ
i 400 con
thì th
ấ
y có 80 con có
ñ
ánh d
ấ
u.
a)
Hãy
ướ
c l
ượ
ng tr
ữ
l
ượ
ng cá trong h
ồ
b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 95%.
b)
N
ế
u mu
ố
n sai s
ố
c
ủ
a
ướ
c l
ượ
ng gi
ả
m
ñ
i m
ộ
t n
ử
a thì l
ầ
n sau ph
ả
i
ñ
ánh b
ắ
t
bao nhiêu con cá?
Giải
a)
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
cá d
ượ
c
ñ
ánh d
ấ
u trong h
ồ
.
Khi
ñ
ó,
2000
p
N
=
v
ớ
i
N
là tr
ữ
l
ượ
ng cá trong h
ồ
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
cá
ñượ
c
ñ
ánh d
ấ
u trong h
ồ
:
(
)
;
p e p e
− +
.
V
ớ
i
80
400
p =
và
( ) ( )
1 0,95 0,975
2
1 0,2. 1 0,2
. . 0,0392
400
p p
e u u
n
+
− −
= = =
V
ậ
y kho
ả
ng tin c
ậ
y cho
p
:
(
)
0,1608;0,2392
t
ứ
c là t
ừ
16,08%
ñế
n 23,92%.
Do
ñ
ó, l
ượ
ng cá trong h
ồ
ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng t
ừ
8361
ñế
n 12438 con.
b)
G
ọ
i
1
n
là s
ố
cá c
ầ
n
ñ
ánh b
ắ
t. Ta có:
(
)
( )
(
)
( )
2 2
1 1 0,95
2 2
2
1 0,2 1 0,2
. 1,96 . 1600
/ 2 0,0392 / 2
p p
n u
e
+
− −
≥ = =
V
ậ
y, l
ầ
n sau c
ầ
n b
ắ
t 1600 con.
5. 25.
M
ộ
t máy s
ả
n xu
ấ
t t
ự
ñộ
ng có t
ỉ
l
ệ
s
ả
n xu
ấ
t ra s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A lúc
ñầ
u là
48%. Máy
ñượ
c c
ả
i ti
ế
n và sau m
ộ
t th
ờ
i gian áp d
ụ
ng, ng
ườ
i ta ki
ể
m tra 40 h
ộ
p,
m
ỗ
i h
ộ
p g
ồ
m 10 s
ả
n ph
ẩ
m và ghi l
ạ
i s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A trong m
ỗ
i h
ộ
p (SSPLA/h)
nh
ư
sau :
SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S
ố
h
ộ
p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A sau khi máy
ñượ
c c
ả
i ti
ế
n b
ằ
ng
kho
ả
ng tin c
ậ
y 95%
Giải
T
ổ
ng s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A trong 40 h
ộ
p là 215. T
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A trên m
ẫ
u
kh
ả
o sát:
215 43
400 80
p = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
84
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A:
(
)
;
p e p e
− +
V
ớ
i
( ) ( )
1 0,95 0,975
2
1 1
. .
+
− −
= =
p p p p
e u u
n n
43 43
1
80 80
1,96 0,0489
400
−
= =
V
ậ
y, t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A t
ừ
48,86%
ñế
n 58,64%
5. 26.
Để
nghiên c
ứ
u s
ự
phát tri
ể
n c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i cây tr
ồ
ng, ng
ườ
i ta quan tâm
ñế
n
ñườ
ng kính X (cm) và chi
ề
u cao Y (m) c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó.
Đ
o chi
ề
u cao và
ñườ
ng
kính c
ủ
a 100 cây cùng
ñộ
tu
ổ
i
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên, k
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c cho trong
b
ả
ng sau:
y
k
x
i
3 4 5 6 7
(20, 22] 5
(22, 24] 19 25 10
(24, 26] 5 17 8
(26, 28] 7 4
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây này.
b)
Để
ướ
c l
ượ
ng
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a lo
ạ
i cây này v
ớ
i
ñộ
chính xác
ñạ
t
ñượ
c
ở
câu (a) và
ñộ
tin c
ậ
y 99% thì c
ầ
n
ñ
o thêm bao nhiêu cây n
ữ
a?
Giải
a)
B
ả
ng phân b
ố
t
ầ
n s
ố
cho
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a cây:
i
x
(20,
22]
(22, 24]
(24, 26]
(26, 28]
i
n
5 54 30 11
T
ừ
ñ
ó giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
23,94
x
=
và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
1,52
X
s =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a cây:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,95
2
1,52
. 1,96. 0, 298
100
X
s
e u
n
+
= = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm:
(
)
23,64;24,24
.
b)
Gi
ả
s
ử
1
n
là s
ố
cây c
ầ
n
ñ
o, ta ph
ả
i có:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
85
2
2
2
2
1 1 0,99
2 2
2
1,52
. 2,5758 . 172,6
0,298
X
s
n u
e
+
≥ = =
Suy ra,
1
173
n =
V
ậ
y, s
ố
cây c
ầ
n
ñ
o thêm là
73
t
n
=
cây.
5. 27.
Để
nghiên c
ứ
u s
ự
phát tri
ể
n c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i cây tr
ồ
ng, ng
ườ
i ta quan tâm
ñế
n
ñườ
ng kính X (cm) và chi
ề
u cao Y (m) c
ủ
a lo
ạ
i cây
ñ
ó.
Đ
o chi
ề
u cao và
ñườ
ng
kính c
ủ
a 100 cây cùng
ñộ
tu
ổ
i
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên, k
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c cho trong
b
ả
ng sau:
y
k
x
i
3 4 5 6 7
(20, 22] 5
(22, 24] 19 25 10
(24, 26] 5 17 8
(26, 28] 7 4
Nh
ữ
ng cây cao t
ừ
6m tr
ở
lên là cây lo
ạ
i A. Hãy
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
và
ñườ
ng kính
trung bình c
ủ
a cây lo
ạ
i A b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% (gi
ả
thi
ế
t
ñườ
ng kính cây
lo
ạ
i A là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên phân ph
ố
i theo qui lu
ậ
t chu
ẩ
n).
Giải
S
ố
cây lo
ạ
i A trên m
ẫ
u: 29. Giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
cây lo
ạ
i m
ẫ
u
0,29
p
=
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho t
ỉ
l
ệ
cây lo
ạ
i A:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,99
2
1 0,29 1 0,29
2,5758. 0,117
100
p p
e u
n
+
− −
= = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho t
ỷ
l
ệ
cây lo
ạ
i A là:
(
)
0,173;0,407
t
ứ
c là t
ừ
17,3%
ñế
n
40,7%.
S
ố
li
ệ
u cho cây lo
ạ
i A:
i
x
(22, 24]
(24, 26]
(26, 28]
i
n
10 8 11
G
ọ
i
1
X
là
ñườ
ng kính cây lo
ạ
i A,
1
µ
là
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a cây lo
ạ
i A. Giá
tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
1
25,07
x =
,
1
1.73
s =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a cây lo
ạ
i A:
(
)
1 1
;
x e x e
− +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
86
( )
28
1
1 0,99
2
1
0,89
1,73
2,7633
29
s
e t
n
+
= = =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho
ñườ
ng kính trung bình c
ủ
a cây lo
ạ
i A: (24,18;
25,96) (cm).
5. 28.
Để
kh
ả
o sát m
ứ
c tiêu hao nguyên li
ệ
u (tính b
ằ
ng gam)
ñể
s
ả
n xu
ấ
t ra m
ộ
t
ñơ
n v
ị
s
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a m
ộ
t nhà máy, ng
ườ
i ta quan sát m
ứ
c tiêu hao nguyên li
ệ
u
trên m
ộ
t m
ẫ
u, và thu
ñượ
c k
ế
t qu
ả
sau: (
ñơ
n v
ị
gam)
i
x
18 19 20 21 22
i
n
13 21 27 21 18
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 98% cho s
ố
ti
ề
n trung bình
ñượ
c dùng
ñể
mua nguyên
li
ệ
u
ñể
s
ả
n xu
ấ
t trong m
ỗ
i quí c
ủ
a nhà máy. Bi
ế
t r
ằ
ng giá lo
ạ
i nguyên li
ệ
u
này là 800 ngàn
ñ
/kg và s
ả
n l
ượ
ng c
ủ
a nhà máy trong m
ộ
t quí là 40.000 s
ả
n
ph
ẩ
m.
b)
N
ế
u mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng s
ố
ti
ề
n trung bình
ñể
mua nguyên li
ệ
u trong m
ỗ
i quí
c
ủ
a nhà máy b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% và sai s
ố
không quá 8 tri
ệ
u
ñồ
ng thì
ph
ả
i l
ấ
y m
ẫ
u v
ớ
i kích th
ướ
c là bao nhiêu?
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u ban
ñầ
u ta xây d
ự
ng
ñượ
c b
ả
ng sau:
20,1
x
=
1, 29
s
=
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 98% cho m
ứ
c tiêu hao nguyên li
ệ
u trung bình c
ủ
a m
ỗ
i s
ả
n
ph
ẩ
m:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,98 0,99
2
1, 29
. 0,3
10
100
1,29
2,3263.
s
e u u
n
+
= = = =
Do
ñ
ó
(
)
(
)
; 19,8;20,4
x e x e− + =
T
ừ
ñ
ó suy ra kho
ả
ng tin c
ậ
y 98% cho s
ố
ti
ề
n trung bình cho m
ỗ
i quý:
(
)
(
)
3 3
19,8 4 8 10 ;20,4 4 8 10 633600;652800
× × × × × × =
(ngàn
ñồ
ng)
b)
N
ế
u sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng s
ố
ti
ề
n trung bình m
ỗ
i quý là 8 tri
ệ
u
ñồ
ng thì sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng m
ứ
c tiêu hao nguyên li
ệ
u là
6
8.10
0,25
40000.800
ε
= =
(g)
Khi
ñ
ó kích th
ướ
c m
ẫ
u quy
ñị
nh:
2
1 1 0,99
2
. 176,65
s
n u
ε
+
≥ =
Ch
ọ
n
1
177
n =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
87
5. 29.
Để
nghiên c
ứ
u lãi su
ấ
t ngân hàng gi
ữ
a hai nhóm n
ướ
c công nghi
ệ
p phát
tri
ể
n và
ñ
ang phát tri
ể
n, ng
ườ
i ta
ñ
i
ề
u tra lãi su
ấ
t ngân hàng trong m
ộ
t n
ă
m c
ủ
a 7
n
ướ
c phát tri
ể
n và 11 n
ướ
c
ñ
ang phát tri
ể
n
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên.
V
ớ
i các n
ướ
c phát tri
ể
n, lãi su
ấ
t trung bình là 17,5% và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là
3,2%; còn
ñố
i v
ớ
i các n
ướ
c
ñ
ang phát tri
ể
n, lãi su
ấ
t trung bình là 15,3% và
ñộ
l
ệ
ch
chu
ẩ
n là 2,9%. V
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 95%, hãy
ướ
c l
ượ
ng s
ự
chênh l
ệ
ch v
ề
lãi su
ấ
t trung
bình gi
ữ
a hai nhóm n
ướ
c trên. Bi
ế
t r
ằ
ng lãi su
ấ
t ngân hàng c
ủ
a c
ủ
a hai nhóm
n
ướ
c trên là các BNN tuân theo qui lu
ậ
t chu
ẩ
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Giải
G
ọ
i X, Y l
ầ
n l
ượ
t là các bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
lãi su
ấ
t ngân hàng c
ủ
a hai nhóm
n
ướ
c phát tri
ể
n và
ñ
ang phát tri
ể
n. X, Y tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i cùng
ph
ươ
ng sai.
Theo bài ta có
17,5%, 3, 2%; 7; 15,3%, 2,9%; 11
X Y
x s n y s m
= = = = = =
2,2
x y
− =
Ta tính
ñượ
c
(
)
(
)
2 2
2 2
2
1 1
6.3, 2 10.2,9
2 16
9,0963
X Y
n s m s
s
n m
− + −
+
= = =
+ −
16 2
1 0,95
2
1 1 1 1
7 11
2,1199 9,0963 3,0912
e t s
n m
+
= + = + =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho s
ự
chênh l
ệ
ch lãi su
ấ
t ngân hàng trung bình gi
ữ
a hai
nhóm n
ướ
c trên là:
(
)
-0,8912%;5,2912%
5. 30.
Để
nghiên c
ứ
u l
ượ
ng ti
ề
n g
ử
i ti
ế
t ki
ệ
m vào ngân hàng c
ủ
a hai thành ph
ố
, ng
ườ
i ta
ñ
i
ề
u tra ng
ẫ
u nhiên 23 ngân hàng
ở
thành ph
ố
A và tìm
ñượ
c l
ượ
ng ti
ề
n g
ử
i trung
bình c
ủ
a m
ỗ
i khách là 1,317 tri
ệ
u
ñồ
ng.
Ở
thành ph
ố
B, nghiên c
ứ
u 32 ngân hàng,
tìm
ñượ
c l
ượ
ng ti
ề
n g
ử
i trung bình c
ủ
a m
ỗ
i khách là 1,512 tri
ệ
u
ñồ
ng. Hãy
ướ
c
l
ượ
ng s
ự
chênh l
ệ
ch trung bình gi
ữ
a l
ượ
ng ti
ề
n g
ử
i ti
ế
t ki
ệ
m trung bình c
ủ
a dân
hai thành ph
ố
A và B b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 95%. Bi
ế
t r
ằ
ng ti
ề
n ti
ế
t ki
ệ
m c
ủ
a ng
ườ
i
dân hai thành ph
ố
A và B là các BNN tuân theo lu
ậ
n phân ph
ố
i chu
ẩ
n, v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch
chu
ẩ
n theo th
ứ
t
ự
, là 0,517 tri
ệ
u và 0,485 tri
ệ
u.
Giải
G
ọ
i X, Y l
ầ
n l
ượ
t là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
ti
ề
n g
ử
i c
ủ
a ng
ườ
i dân thành ph
ố
A, B.
Ta có
1,317
x
=
,
23
n
=
,
0,517
X
σ =
;
1,512; 32; 0,485
Y
y m= = σ =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho hi
ệ
u trung bình ti
ề
n g
ử
i ti
ế
t ki
ệ
m c
ủ
a dân hai thành ph
ố
A, B là:
(
)
;
x y e x y e
− − − +
t
ừ
m
ẫ
u và
ñộ
tin c
ậ
y ta tính
ñượ
c
1,317 1,512 0,195
x y
− = − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
88
2 2 2
1 0,975
2
0,517 0,485
.
23 32
X Y
e u u
n m
+γ
σ σ
= + = +
Do
ñ
ó
(
)
(
)
;
-0,465; 0,075
x y e x y e− − − + =
5. 31.
M
ộ
t k
ỹ
s
ư
lâm nghi
ệ
p nghiên c
ứ
u chi
ề
u cao c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i cây v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t là nó có
phân ph
ố
i chu
ẩ
n. Trên m
ộ
t m
ẫ
u có kích th
ướ
c n = 10, anh ta tính
ñượ
c chi
ề
u cao
trung bình c
ủ
a m
ỗ
i cây là 13,78 và kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% c
ủ
a trung bình t
ổ
ng th
ể
là
(13,063; 14,497). Không may, b
ộ
s
ố
li
ệ
u c
ủ
a m
ẫ
u b
ị
th
ấ
t l
ạ
c, anh ta ch
ỉ
còn nh
ớ
các s
ố
sau:
12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
B
ạ
n có th
ể
giúp anh ta tìm l
ạ
i
ñượ
c các s
ố
li
ệ
u b
ị
th
ấ
t l
ạ
c không?
Giải
Gi
ả
s
ử
hai s
ố
li
ệ
u th
ấ
t l
ạ
c là x và y ta có:
108,9
13,78
10
x y
x
+ +
= =
Suy ra
137,8 108,9 28,9
x y
+ = − =
M
ặ
t khác t
ừ
kho
ả
ng tin c
ậ
y và trung bình m
ẫ
u ta tính
ñượ
c
0,717
e
=
Mà
( ) ( )
9 9
1 0,9 0,95
2
1,8331
0,5797
10 10 10
s s
e t t s s
+
= = = =
suy ra
0,717
1, 2368
0,5797 0,5797
e
s = = =
Suy ra
2
1,5298
s =
M
ặ
t khác
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1
1495,01 10.13,78 403,874
9 9
s x y x y= + + − = + −
Nh
ư
v
ậ
y ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
28,9
417,6422
x y
x y
+ =
+ =
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñượ
c
14,59; 14,31
x y
= =
.
5. 32.
Công ty ABC mu
ố
n nghiên c
ứ
u nhu c
ầ
u tiêu dùng v
ề
lo
ạ
i hàng c
ủ
a
công ty
ở
m
ộ
t khu v
ự
c có 4000 h
ộ
gia
ñ
ình, h
ọ
ti
ế
n hành
ñ
i
ề
u tra v
ề
nhu c
ầ
u c
ủ
a
m
ặ
t hàng
ñ
ó
ở
400 h
ộ
gia
ñ
ình,
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên
ở
khu v
ự
c
ñ
ó. K
ế
t qu
ả
ñ
i
ề
u
tra nh
ư
sau:
Nhu c
ầ
u (kg/tháng) S
ố
gia
ñ
ình
< 1 10
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
89
[1, 2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,8)
> 8
35
86
132
78
34
15
10
a)
Hãy
ướ
c l
ượ
ng nhu c
ầ
u trung bình v
ề
m
ặ
t hàng này c
ủ
a toàn khu v
ự
c
trong m
ộ
t n
ă
m b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ
y 95%.
b)
V
ớ
i m
ẫ
u trên, khi
ướ
c l
ượ
ng nhu c
ầ
u trung bình v
ề
m
ặ
t hàng này c
ủ
a toàn
khu v
ự
c trong m
ộ
t n
ă
m, n
ế
u mu
ố
n sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng là 5,7 t
ấ
n, thì
ñạ
t
ñượ
c
ñộ
tin c
ậ
y b
ằ
ng bao nhiêu?
Giải
a)
T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta tính
ñượ
c:
400
n
=
;
3,6688
x
=
(kg/tháng);
1,5870
s
=
Kho
ả
ng tin c
ậ
y cho nhu c
ầ
u trung bình c
ủ
a m
ỗ
i h
ộ
là:
(
)
;
x e x e
− +
v
ớ
i
0,975
1,5870 3600
1,96. 0,1476
1 20 3999
s N n
e u
N
n
−
= = =
−
V
ậ
y
(
)
(
)
; 3,5212; 3,8164
x e x e− + =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y cho nhu c
ầ
u trung bình c
ủ
a toàn khu v
ự
c:
(
)
(
)
3,5212 4000 12; 3,8164 4000 12 169017;183187
× × × × =
b)
Kho
ả
ng tin c
ậ
y cho nhu c
ầ
u trung bình c
ủ
a m
ỗ
i h
ộ
:
(
)
;
x e x e
− +
Do
ñ
ó kho
ả
ng tin c
ậ
y cho nhu c
ầ
u trung bình c
ủ
a toàn khu v
ự
c là:
(
)
; 4000 12
x e x e
− + × ×
. Nh
ư
v
ậ
y sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng nhu c
ầ
u trung bình
cho toàn khu v
ự
c là
4000 12
e
× ×
. Theo
ñề
bài
5,7
4000 12 5700 0,1188
4 12
e e× =
⇒
= =
×
T
ừ
ñ
ó ta có:
1 1
2 2
1
. 0,1188 . .0,1188 1,578
1
s N n n N
u u
N s N n
n
+γ +γ
− −
= ⇒ = =
− −
1
2
0,9427 =0,8854
+ γ
⇒
= ⇔ γ
V
ậ
y,
ñộ
tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là 88,54%.
5. 33.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
90
M
ộ
t lô trái cây c
ủ
a m
ộ
t c
ử
a hàng
ñự
ng trong các s
ọ
t, m
ỗ
i s
ọ
t 100 trái.
Ng
ườ
i ta ti
ế
n hành ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên 50 s
ọ
t, thì th
ấ
y có 450 trái không
ñạ
t tiêu
chu
ẩ
n.
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% cho t
ỉ
l
ệ
trái cây không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô
hàng.
b)
N
ế
u mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
trái cây không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô hàng, v
ớ
i
sai s
ố
b
ằ
ng 0,5% thì
ñộ
tin c
ậ
y
ñạ
t
ñượ
c là bao nhiêu?
Giải
a)
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
trái cây không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô hàng.
Giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
450
0,09
5000
p = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% cho
:
p
(
)
;
p e p e
− +
(
)
(
)
( )
1 0,96 0,98
2
1 0,09 1 0,09
.
5000
0,09 1 0,09
2,0537. 0,008
5000
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y cho
p
:
(
)
0,082;0,098
t
ứ
c là t
ừ
8,2%
ñế
n 9,8%.
b)
Gi
ả
s
ử
γ
là
ñộ
tin c
ậ
y c
ầ
m tìm. Theo
ñề
bài:
( )
( )
1 1
2 2
1
. 0,005 0,005. 1,2354
1
p p
n
e u u
n p p
γ γ
+ +
−
= = ⇔ = =
−
1
0,8917 0,7833
2
γ
γ
+
⇒
= ⇔ =
Do
ñ
ó
ñộ
tin c
ậ
y là:
78,33%
.
5. 34.
M
ộ
t lô trái cây c
ủ
a m
ộ
t c
ử
a hàng
ñự
ng trong các s
ọ
t, m
ỗ
i s
ọ
t 100 trái.
Ng
ườ
i ta ti
ế
n hành ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên 50 s
ọ
t, thì th
ấ
y có 450 trái không
ñạ
t tiêu
chu
ẩ
n.
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% cho t
ỉ
l
ệ
trái cây không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô
hàng.
b)
N
ế
u mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
trái cây không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô hàng, v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 99% và sai s
ố
không l
ớ
n h
ơ
n 1%, thì c
ầ
n ki
ể
m tra bao nhiêu s
ọ
t?
Giải
a)
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
trái cây không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô hàng.
Giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
450
0,09
5000
p = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
91
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% cho
:
p
(
)
;
p e p e
− +
(
)
(
)
( )
1 0,96 0,98
2
1 0,09 1 0,09
.
5000
0,09 1 0,09
2,0537. 0,008
5000
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y cho
p
:
(
)
0,082;0,098
t
ứ
c là t
ừ
8,2%
ñế
n 9,8%.
b)
G
ọ
i
1
n
là s
ố
trái cây c
ầ
n ki
ể
m tra. Khi
ñ
ó:
(
)
(
)
2 2
1 1 0,99
2 2
2
1 0,09 1 0,09
. 2,5758 . 5433,9
0,01
p p
n u
ε
+
− −
≥ = =
Do
ñ
ó,
1
5434
n =
trái, do
ñ
ó s
ố
s
ọ
t c
ầ
n ki
ể
m tra là:
[
]
5434/100 1 55
S
= + =
(s
ọ
t)
5. 35.
M
ộ
t công ty s
ả
n xu
ấ
t b
ộ
t gi
ặ
t mu
ố
n th
ă
m dò m
ứ
c
ñộ
tiêu th
ụ
s
ả
n ph
ẩ
m
này trong thành ph
ố
H. Công ty ti
ế
n hành
ñ
i
ề
u tra 500 h
ộ
gia
ñ
ình và có k
ế
t qu
ả
sau:
Gi
ả
s
ử
thành ph
ố
H có 10.000 h
ộ
gia
ñ
ình.
a)
Hãy
ướ
c l
ượ
ng nhu c
ầ
u b
ộ
t gi
ặ
t trung bình l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a toàn thành ph
ố
H
trong m
ộ
t n
ă
m v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 96%
b)
Để
ướ
c l
ượ
ng nhu c
ầ
u b
ộ
t gi
ặ
t trung bình c
ủ
a m
ộ
t h
ộ
trong m
ộ
t tháng v
ớ
i
sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng không quá 50 gam và
ñộ
tin c
ậ
y 95% thì c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm
bao nhiêu h
ộ
gia
ñ
ình n
ữ
a?
Giải
a)
T
ừ
d
ữ
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c:
Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
1,803
x
=
Giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
0,6233
s
=
Sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng cho kho
ả
ng tin c
ậ
y 96% là:
0,96
0,6233
1,7507. 0,0488
500
s s
e u
n n
= = = =
Do
ñ
ó nhu c
ầ
u b
ộ
t gi
ặ
c trung bình c
ủ
a m
ộ
t h
ộ
l
ớ
n nh
ấ
t là:
1,803 0,0488 1,8518
x e
+ = + =
(kg)
V
ậ
y nhu c
ầ
u l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a thành ph
ố
trong m
ộ
t n
ă
m là:
Nhu c
ầ
u
(kg/tháng)
< 1 [1; 1,5)
[1,5;
2)
[2;
2,5)
[2,5;
3)
[3;
3,5)
≥
3,5
S
ố
h
ộ
gia
ñ
ình
21 147 192 78 34 16 12
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
92
(
)
1,8518 10.000 12=222.216 kg
× ×
.
b)
Ta có
2
2
0,975
0,975
1,96.0,6233
0,05 . 596,9134
0,05 0,05
u
s
u n s
n
≤ ⇒ ≥ = =
Suy ra,
1
597
n =
V
ậ
y c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm ít nh
ấ
t 97 h
ộ
n
ữ
a.
5. 36.
M
ộ
t công ty s
ả
n xu
ấ
t b
ộ
t gi
ặ
t mu
ố
n th
ă
m dò m
ứ
c
ñộ
tiêu th
ụ
s
ả
n ph
ẩ
m
này trong thành ph
ố
H. Công ty ti
ế
n hành
ñ
i
ề
u tra 500 h
ộ
gia
ñ
ình và có k
ế
t qu
ả
sau:
Gi
ả
s
ử
thành ph
ố
H có 10.000 h
ộ
gia
ñ
ình.
a)
Nh
ữ
ng h
ộ
có nhu c
ầ
u trên 2 kg trong m
ộ
t tháng
ñượ
c g
ọ
i là nh
ữ
ng h
ộ
có
nhu c
ầ
u sao. Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
nh
ữ
ng h
ộ
có nhu c
ầ
u cao
ở
thành ph
ố
H.
b)
Để
ướ
c l
ượ
ng nhu c
ầ
u b
ộ
t gi
ặ
t trung bình c
ủ
a m
ộ
t h
ộ
trong m
ộ
t tháng v
ớ
i
sai s
ố
ướ
c l
ượ
ng không quá 50 gam và
ñộ
tin c
ậ
y 95% thì c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm
bao nhiêu h
ộ
gia
ñ
ình n
ữ
a?
Giải
a)
T
ừ
d
ữ
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c:
Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
1,803
x
=
Giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
0,6233
s
=
Giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
140
0,28
500
p = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỷ
l
ệ
nh
ữ
ng h
ộ
có nhu c
ầ
u cao:
(
)
;
x e x e
− +
sai s
ố
( )
1 0,975
2
1
. .0,0201
0,0394
p p
e u u
n
+γ
−
= = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95%:
(
)
0,2406;0,3194
b)
Ta có
2
2
0,975
0,975
1,96.0,6233
0,05 . 596,9134
0,05 0,05
u
s
u n s
n
≤ ⇒ ≥ = =
Suy ra
1
597
n =
V
ậ
y c
ầ
n
ñ
i
ề
u tra thêm ít nh
ấ
t 97 h
ộ
n
ữ
a.
Nhu c
ầ
u
(kg/tháng)
< 1 [1; 1,5)
[1,5;
2)
[2;
2,5)
[2,5;
3)
[3;
3,5)
≥
3,5
S
ố
h
ộ
gia
ñ
ình
21 147 192 78 34 16 12
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
93
5. 37.
Để
ñ
ánh giá m
ứ
c tiêu hao nhiên li
ệ
u c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i xe ô tô, ng
ườ
i ta theo
dõi l
ượ
ng tiêu hao nhiên li
ệ
u (lít/100 km) c
ủ
a 100 chuy
ế
n xe và có k
ế
t qu
ả
sau:
L
ượ
ng tiêu
hao
[35; 40)
[40; 45)
[45; 50)
[50; 55)
[55; 60)
S
ố
chuy
ế
n xe
14 20 36 22
8
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho l
ượ
ng tiêu hao nhiên li
ệ
u trung bình c
ủ
a lo
ạ
i
xe nói trên
b)
Xe c
ầ
n
ñư
a vào ki
ể
m tra k
ỹ
thu
ậ
t là xe có m
ứ
c tiêu hao nhiên li
ệ
u t
ừ
55
lít/100 km tr
ở
lên. Hãy
ướ
c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
xe c
ầ
n
ñư
a vào ki
ể
m tra k
ỹ
thu
ậ
t
tối
thiểu
ở
ñộ
tin c
ậ
y 95%.
Giải
a)
G
ọ
i
X
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
m
ứ
c tiêu hao nguyên li
ệ
u cho m
ỗ
i chuy
ế
n
xe. T
ừ
s
ố
li
ệ
u trên ta xây d
ự
ng
ñượ
c b
ả
ng sau:
47
x
=
5
2 2 2
1
1
99
32,5758
i i
i
s n x nx
=
= − =
∑
1 1 0,95
2 2
. .
100 100
5,7075 5,7075
1,96. =1,12
s
e u u
n
+γ +
= = =
Do
ñ
ó kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho l
ượ
ng tiêu hao nguyên li
ệ
u trung bình:
(
)
45,88;48,12
b)
T
ỷ
l
ệ
xe c
ầ
n ki
ể
m tra k
ỹ
thu
ậ
t c
ủ
a m
ẫ
u:
8
0,08
100
p = =
T
ỉ
l
ệ
xe c
ầ
n
ñư
a vào ki
ể
m tra k
ỹ
thu
ậ
t
tối thiểu
ở
ñộ
tin c
ậ
y 95% là
p p e
≥ −
v
ớ
i
( )
0,95
1
0,08.0,92
0,045
10
p p
e u u
n
γ
−
= = =
Suy ra
0,08 0,045 0,035
p
≥ − =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
94
CHƯƠNG 6: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT
6. 1.
Trong m
ộ
t cu
ộ
c
ñ
i
ề
u tra v
ề
nh
ị
p m
ạ
ch c
ủ
a 64 thanh niên làm ngh
ề
A, k
ế
t qu
ả
là nh
ị
p m
ạ
ch trung bình 74 l
ầ
n/phút và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n b
ằ
ng 9 l
ầ
n/phút. Hãy ki
ể
m
ñị
nh xem
ñặ
c
ñ
i
ể
m ngh
ề
A có làm cho nh
ị
p m
ạ
ch c
ủ
a thanh niên t
ă
ng quá m
ứ
c
bình th
ườ
ng không, bi
ế
t r
ằ
ng nh
ị
p m
ạ
ch bình th
ườ
ng c
ủ
a thanh niên là 72 l
ầ
n /
phút. ( k
ế
t lu
ậ
n v
ớ
i m
ứ
c
1%
α
=
).
Giải
:
G
ọ
i X là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
nh
ị
p m
ạ
ch c
ủ
a thanh niên làm ngh
ề
A. Ta c
ầ
n ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 1
: 72; : 72
H H
µ µ
= >
,
ở
m
ứ
c
1%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
( )
72
64 ~ 0,1
−
=
X
U N
s
.
V
ớ
i
1%
α
=
,
1 0,99
2,5758
α
−
= = =gtth u u
.
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
74 72 16
.8 1,778
9 9
u gtth
−
= = = <
.
V
ậ
y, ta ch
ấ
p nh
ậ
n gi
ả
thi
ế
t
0
H
ngh
ĩ
a ngh
ề
A không làm t
ă
ng nh
ị
p
ñậ
p c
ủ
a thanh
niên.
6. 2.
Đ
i
ề
u tra Cholesterol toàn ph
ầ
n trong huy
ế
t thanh c
ủ
a 25 b
ệ
nh nhân b
ị
m
ộ
t lo
ạ
i b
ệ
nh B, ta có trung bình c
ộ
ng c
ủ
a l
ượ
ng Cholesterol là 172 mg% và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n b
ằ
ng 40 mg%. Theo tài li
ệ
u v
ề
h
ằ
ng s
ố
sinh hoá bình th
ườ
ng c
ủ
a
ng
ườ
i Vi
ệ
t Nam thì l
ượ
ng Cholesterol trung bình toàn ph
ầ
n trong huy
ế
t thanh là
156 mg% và tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n.
H
ỏ
i l
ượ
ng Cholesterol c
ủ
a các b
ệ
nh nhân m
ắ
c b
ệ
nh B có cao h
ơ
n bình th
ườ
ng
không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c
5%
α
=
) .
Giải
:
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
(
)
(
)
0 1
: 156 % ; : 156
H mg H mg
µ µ
= >
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
N
ế
u
0
H
thì bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
( )
156
25 ~ 24
X
T t
S
−
=
V
ớ
i m
ứ
c
0,05
α
=
ta có
(
)
(
)
24 24
1 0,05 0,95
1,7109
t t
−
= =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
24
0,95
172 156
5 2
40
t t
−
= = >
. V
ậ
y
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là l
ượ
ng Cholesterol c
ủ
a b
ệ
nh
nhân m
ắ
c b
ệ
nh B cao h
ơ
n bình th
ườ
ng.
6. 3.
M
ộ
t công ty bào ch
ế
m
ộ
t lo
ạ
i thu
ố
c ch
ữ
a d
ị
ứ
ng tuyên b
ố
r
ằ
ng thu
ố
c
c
ủ
a h
ọ
có hi
ệ
u qu
ả
không d
ướ
i 90% trong vi
ệ
c làm gi
ả
m c
ơ
n d
ị
ứ
ng trong vòng 8
gi
ờ
. M
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 200 ng
ườ
i b
ị
d
ị
ứ
ng s
ử
d
ụ
ng lo
ạ
i thu
ố
c trên, có 160 ng
ườ
i
gi
ả
m c
ơ
n d
ị
ứ
ng. Hãy xác
ñị
nh xem l
ờ
i tuyên b
ố
c
ủ
a công ty có giá tr
ị
không? (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,07).
Giải
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
95
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
ng
ườ
i gi
ả
m d
ị
ứ
ng khi dùng thu
ố
c c
ủ
a công ty trong vòng 8 gi
ờ
. Ta
c
ầ
n xác
ñị
nh xem
p
có b
ằ
ng 90% tr
ở
lên hay không. Mu
ố
n v
ậ
y ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 0 1 0
: 90%; : 90%
H p p H p p= = < =
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,07.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
( )
( )
0
0 0
~ 0, 1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
ớ
i m
ứ
c
0,07
α
=
ta có
1 0,93
1, 4758
gtth u u
−
= − = − = −
α
.
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có:
160 / 200 0,9
200 4,714 1,4758
0,9.0,1
u gtth
−
= = − < = −
.
V
ậ
y ta bác b
ỏ
gi
ả
thi
ế
t
0
H
ngh
ĩ
a là tuyên b
ố
c
ủ
a công ty không có giá tr
ị
. K
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 0,07.
6. 4.
(3
ñ
i
ể
m) Tr
ướ
c
ñ
ây, Nhà máy Alpha s
ả
n xu
ấ
t ra m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m v
ớ
i
t
ỉ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m 5%. N
ă
m nay, sau
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t,
ñể
ki
ể
m tra hi
ệ
u qu
ả
, ng
ườ
i
ta l
ấ
y ra ra m
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 800 s
ả
n ph
ẩ
m
ñể
ki
ể
m tra thì th
ấ
y có 24 ph
ế
ph
ẩ
m.
a)
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, hãy ki
ể
m
ñị
nh xem
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t có
th
ự
c s
ự
làm gi
ả
m t
ỉ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m không?.
b)
Sau
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t, n
ế
u nhà máy báo cáo t
ỉ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m là 2% thì
có ch
ấ
p nh
ậ
n
ñượ
c không? (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 3%).
Giải
:
a)
G
ọ
i
p
là t
ỷ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m sau
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ĩ
thu
ậ
t, t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u . Ta c
ầ
n ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0 0
: 5%;
H p p= =
ñố
i thi
ế
t
1 0
:
H p p
<
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
ớ
i m
ứ
c
5%
α =
ta có
1 0,95
1,65
gtth u u
−α
= − = − = −
.
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c
( )
0
0 0
0,03 0,05
800 2,6
0,05.0,95
1
p p
u n gtth
p p
−
−
= = = − <
−
V
ậ
y, ta bác b
ỏ
0
H
ngh
ĩ
a là
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ĩ
thu
ậ
t th
ậ
t s
ự
làm gi
ả
m t
ỷ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m.
b)
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0
: 2%;
H p p= =
ñố
i thi
ế
t
1 0
:
H p p
≠
ở
m
ứ
c
3%
α =
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê
Di
ệ
p Hoàng Ân
96
V
ơ
i s m
ứ
c
3%
α =
ta có
0,985
1
2
2,17
gtth u u
α
−
= = =
.
T
ừ
m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c.
( )
0
0 0
0,03 0,02
800 2,02
0,02.0,98
1
p p
u n gtth
p p
−
−
= = = <
−
V
ậ
y ta ch
ấ
p nh
ậ
n
0
H
ngh
ĩ
a là ch
ấ
p nh
ậ
n l
ờ
i tuyên b
ố
c
ủ
a công ty.
6. 5.
Ti
ề
n l
ươ
ng hàng tu
ầ
n trung bình trên m
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 30 công nhân trong
m
ộ
t xí nghi
ệ
p l
ớ
n là 180 (ngàn
ñồ
ng) v
ớ
i v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n 14 (ngàn
ñồ
ng).
Trong m
ộ
t xí nghi
ệ
p l
ớ
n khác, m
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 40 công nhân
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên
có ti
ề
n l
ươ
ng hàng tu
ầ
n trung bình là 170 (ngàn
ñồ
ng) v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n 10 (ngàn
ñồ
ng). Ti
ề
n l
ươ
ng hàng tu
ầ
n trung bình
ở
hai xí nghi
ệ
p trên có khác nhau không?
(
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%). Gi
ả
s
ử
ti
ề
n l
ươ
ng hàng tu
ầ
n c
ủ
a hai xí nghi
ệ
p là bi
ế
n
ng
ẫ
u nhiên có phân ph
ố
i chu
ẩ
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Giải
: G
ọ
i X, Y là ti
ề
n l
ươ
ng hàng tu
ầ
n c
ủ
a m
ỗ
i công nhân c
ủ
a hai xí nghi
ệ
p
trên t
ươ
ng
ứ
ng. Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
X Y X Y
H : ; H :
= ≠
µ µ µ µ
ở
m
ứ
c
5%
α =
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
2
1 1
~ 2
n m
X Y
T t n m
S
−
= + −
+
v
ớ
i
2 2
2
( 1) ( 1)
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
v
ớ
i m
ứ
c
5%
α =
ta có
( ) ( )
2 68
0,975
1
2
1,9955
n m
gtth t t
+ −
α
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c
2 2
2
29 14 39 10
140 94
78
. .
s ,
+
= =
Do
ñ
ó
( )
2
1 1
180 170
3 4876
1 1
140 94
30 40
tn
n m
x y
t , gtth
s
,
− −
= = = >
+
+
V
ậ
y ta bác b
ỏ
0
H
ngh
ĩ
a là ti
ề
n l
ươ
ng hàng tu
ầ
n trung bình
ở
hai xí nghi
ệ
p
trên là khác nhau.
6. 6.
G
ọ
i X và Y l
ầ
n l
ượ
t là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a tr
ẻ
s
ơ
sinh
trai và tr
ẻ
s
ơ
sinh gái. Cho bi
ế
t X và Y tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n có cùng
ph
ươ
ng sai. Kh
ả
o sát ng
ẫ
u nhiên 20 tr
ẻ
s
ơ
sinh trai, ng
ườ
i ta tính
ñượ
c
x
= 3200
g,
X
s
= 400 g và 17 tr
ẻ
s
ơ
sinh gái, ng
ườ
i ta tính
ñượ
c
y
= 3000 g,
Y
s
= 380 g.
Ph
ả
i ch
ă
ng kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a tr
ẻ
s
ơ
sinh trai l
ớ
n h
ơ
n kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a tr
ẻ
s
ơ
sinh gái?
(k
ế
t lu
ậ
n v
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%)
Giải
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
97
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
X Y X Y
H : ; H :
µ µ µ µ
= >
ở
m
ứ
c
α
= 5%.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
2
1 1
~ 2
n m
X Y
T t n m
S
−
= + −
+
v
ớ
i
2 2
2
( 1) ( 1)
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
;
20 17
n ; m
= =
.
Giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n
( )
2
35
1 0 95
1 6896
n m
,
gtth t t ,
α
+ −
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
2 2
2
19 400 16 380
152868 57
35
. .
s ,
+
= =
( )
2
1 1
3200 3000
1 55
1 1
152868 57
20 17
tn
n m
x y
t , gtth
s
,
− −
= = = <
+
+
Ta ch
ấ
p nh
ậ
n
0
H
ngh
ĩ
a là tr
ọ
ng l
ượ
ng c
ủ
a tr
ẻ
s
ơ
sinh trai không l
ớ
n h
ơ
n
tr
ọ
ng l
ượ
ng c
ủ
a tr
ẻ
s
ơ
sinh gái (
α
= 5%).
6. 7.
Kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m do m
ộ
t nhà máy s
ả
n xu
ấ
t là m
ộ
t
bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên tuân lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n N(500; (8,5)
2
). Sau m
ộ
t th
ờ
i gian s
ả
n
xu
ấ
t, ban lãnh
ñạ
o nhà máy nghi ng
ờ
r
ằ
ng kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m này có xu
h
ướ
ng gi
ả
m, nên ti
ế
n hành cân th
ử
25 s
ả
n ph
ẩ
m và thu
ñượ
c k
ế
t qu
ả
sau:
Kh
ố
i l
ượ
ng (g) 480 485 490 495 500 510
S
ố
s
ả
n ph
ẩ
m 2 3 8 5 3 4
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5% , hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
ñ
i
ề
u nghi ng
ờ
trên.
Giải
:
T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta tính
ñượ
c
494
x
=
;
8 9
s ,
=
25
n
=
.
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0 1 0
500H : ;H :
µ µ µ µ
= = <
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
0 1
X
U n ~ N ,
µ
σ
−
=
v
ớ
i
0
25 8 5 500
n ; , ;
σ µ
= = =
V
ớ
i m
ứ
c
5
%
α
=
ta có
1 0 95
1 65
,
gtth u u ,
α
−
= − = − = −
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
giá tr
ị
c
ủ
a U là
494 500
5 3 53
8 5
u . , gtth
,
−
= = − <
nên
0
H
b
ị
bác
b
ỏ
ngh
ĩ
a là
ñ
i
ề
u nghi ng
ờ
trên là
ñ
úng.
6. 8.
M
ộ
t công ty mu
ố
n
ñ
ánh giá v
ề
hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a m
ộ
t
ñợ
t qu
ả
ng cáo
ñố
i v
ớ
i
s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m bán ra c
ủ
a công ty. 10 c
ử
a hàng bán s
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a công ty
ñượ
c ch
ọ
n
ng
ẫ
u nhiên
ñể
theo dõi s
ố
l
ượ
ng s
ả
n ph
ẩ
m bán ra trong m
ộ
t tu
ầ
n tr
ướ
c
ñợ
t qu
ả
ng
cáo (T
Đ
QC) và m
ộ
t tu
ầ
n sau
ñợ
t qu
ả
ng cáo (S
Đ
QC).
C
ử
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
98
hàng
T
Đ
QC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111
S
Đ
QC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144
Hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a
ñợ
t qu
ả
ng cáo (
ở
m
ứ
c
α
= 5%).
Giải:
G
ọ
i D là hi
ệ
u s
ố
gi
ữ
a s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m bán ra sau qu
ả
ng cáo và tr
ướ
c qu
ả
ng cáo
c
ủ
a m
ỗ
i c
ủ
a hàng. B
ả
ng hi
ệ
u s
ố
:
D 84 21 2 39 13 -20
25 44 -31
33
T
ừ
ñ
ó ta tính
ñượ
c
21 32 98
D
d ;s ,
= =
.
Ta c
ầ
n ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau
ở
m
ứ
c
5
%
α
=
.
0 1
0 0
D D
H : ; H :
µ µ
= >
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
1
D
D n
T ~ t n
S
= −
V
ớ
i
5
%
α
=
( )
9
1
1,8331
gtth t
α
−
= =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
21 10
2 01
32 98
t , gtth
,
= = >
Nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y,
ñợ
t qu
ả
ng cáo th
ậ
t s
ự
làm t
ă
ng s
ố
l
ượ
ng s
ả
n ph
ẩ
m bán ra.
6. 9.
M
ộ
t máy s
ả
n xu
ấ
t t
ự
ñộ
ng có t
ỉ
l
ệ
s
ả
n xu
ấ
t ra s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A lúc
ñầ
u là
48%. Máy
ñượ
c c
ả
i ti
ế
n và sau m
ộ
t th
ờ
i gian áp d
ụ
ng, ng
ườ
i ta ki
ể
m tra 40 h
ộ
p,
m
ỗ
i h
ộ
p g
ồ
m 10 s
ả
n ph
ẩ
m và ghi l
ạ
i s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A trong m
ỗ
i h
ộ
p (SSPLA/h)
nh
ư
sau :
SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S
ố
h
ộ
p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c c
ả
i ti
ế
n máy
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,05.
Giải:
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m l
ạ
o A sau
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t.
T
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A trên m
ẫ
u kh
ả
o sát:
215 43
400 80
p = =
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 0 1 0
: 48%; :
H p p H p p
= = >
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
99
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
0,05
α
=
giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng:
1 0,95
1,6449
u u
α
−
= =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, ta tính
ñượ
c:
( ) ( )
0
0 0
43
0,48
80
400 2,3018
1 0,48 1 0,48
p p
u n
p p
−
−
= = =
− −
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là vi
ệ
c c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t th
ấ
t s
ự
mang l
ạ
i hi
ệ
u
qu
ả
.
6. 10.
Kh
ố
i l
ượ
ng trung bình khi xu
ấ
t chu
ồ
ng
ở
m
ộ
t tr
ạ
i ch
ă
n nuôi gà công nghi
ệ
p
n
ă
m tr
ướ
c là 3,3 kg/con. N
ă
m nay ng
ườ
i ta s
ử
d
ụ
ng lo
ạ
i th
ứ
c
ă
n m
ớ
i. Sau m
ộ
t th
ờ
i
gian, cân th
ử
15 con khi xu
ấ
t chu
ồ
ng, có các s
ố
li
ệ
u sau: (
ñơ
n v
ị
kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi
ả
thi
ế
t kh
ố
i l
ượ
ng gà là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên phân ph
ố
i theo qui lu
ậ
t chu
ẩ
n v
ớ
i
ph
ươ
ng sai 0,04.
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,05, hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
tác d
ụ
ng c
ủ
a lo
ạ
i th
ứ
c
ă
n m
ớ
i.
Giải
:
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
kh
ố
i l
ượ
ng gà khi xu
ấ
t chu
ồ
ng. Theo gi
ả
thi
ế
t
(
)
2
~ ;0,2
X N
µ
. T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c:
3,62
x
=
;
0,405
s
=
.
N
ế
u th
ứ
c
ă
n m
ớ
i có tác d
ụ
ng t
ố
t thì kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a gà xu
ấ
t
chu
ồ
ng n
ă
m nay s
ẽ
cao h
ơ
n. Mu
ố
n k
ế
t lu
ậ
n v
ề
ñ
i
ề
u
ñ
ó ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
(
)
0 0 1 0
: 3,3 ; :kgH H
µ µ µ µ
= = >
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
0,05
α
=
1 1 0,05 0,95
1,6449
gtth u u u
α
− =
= = = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
0
3,62 3,3
15 6,2
0,2
x
u n
µ
σ
− −
= = =
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a gà xu
ấ
t chu
ồ
ng n
ă
m nay cao h
ơ
n n
ă
m tr
ướ
c, ngh
ĩ
a
là th
ứ
c
ă
n m
ớ
i có tác d
ụ
ng t
ă
ng tr
ọ
ng l
ượ
ng gà.
6. 11. Để
ñ
i
ề
u tra kh
ố
i l
ượ
ng gà xu
ấ
t chu
ồ
ng
ở
m
ộ
t tr
ạ
i ch
ă
n nuôi gà công nghi
ệ
p
n
ă
m nay. Ng
ườ
i ta cân th
ử
15 con khi xu
ấ
t chu
ồ
ng, có các s
ố
li
ệ
u sau: (
ñơ
n v
ị
kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
100
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi
ả
thi
ế
t kh
ố
i l
ượ
ng gà là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên phân ph
ố
i theo qui lu
ậ
t chu
ẩ
n v
ớ
i
ph
ươ
ng sai 0,04.
Có nên báo cáo kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a gà xu
ấ
t chu
ồ
ng n
ă
m nay là 3,7 kg/con
hay không? (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,05).
Giải:
G
ọ
i X là BNN ch
ỉ
kh
ố
i l
ượ
ng gà xu
ấ
t chu
ồ
ng n
ă
m nay.
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
(
)
0 0 1 0
: 3,7 ; :H kg H
µ µ µ µ
= = ≠
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
0,05
α
=
1 / 2 1 0,025 0,975
1,96
gtth u u u
α
− =
= = = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
0
3,62 3,7
15 1,55
0,2
x
u n
µ
σ
− −
= = = −
Vì
| |
u gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y,
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
ta công nh
ậ
n báo cáo c
ủ
a tr
ạ
i ch
ă
n nuôi.
6. 12.
M
ộ
t cu
ộ
c
ñ
i
ề
u tra c
ủ
a H
ộ
i ph
ụ
n
ữ
ñể
ñ
ánh giá v
ề
m
ộ
t d
ư
lu
ậ
n xã h
ộ
i cho
r
ằ
ng l
ươ
ng c
ủ
a ph
ụ
n
ữ
th
ấ
p h
ơ
n l
ươ
ng c
ủ
a nam gi
ớ
i. M
ộ
t m
ẫ
u nhiên g
ồ
m 4
ñ
àn
ông có l
ươ
ng trung bình là 78,0 (ngàn
ñồ
ng), v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u là 24,4; m
ộ
t
m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên khác
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i m
ẫ
u trên g
ồ
m 4 ph
ụ
n
ữ
có l
ươ
ng trung bình là
63,5 (ngàn
ñồ
ng), v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 20,2. Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng l
ươ
ng c
ủ
a c
ả
nam và n
ữ
gi
ớ
i
ñề
u là các bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n có cùng ph
ươ
ng
sai. Hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
cu
ộ
c
ñ
i
ề
u tra trên
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 10%.
Giải:
G
ọ
i
,
X Y
theo th
ứ
t
ự
là l
ươ
ng c
ủ
a
ñ
àn ông và ph
ụ
n
ữ
. Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 1
: ; :
X Y X Y
H H
µ µ µ µ
= >
ở
m
ứ
c
10%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2
~ 2
1 1
X Y
U t n m
S
n m
−
= + −
+
V
ơ
i
(
)
(
)
2 2
2
1 1
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
10%
α
=
,
(
)
(
)
2 6
1 0,9
1,4398
n m
gtth t t
α
+ −
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
:
2 2
22,4
s =
Và
2 2
78 63,5
0,915
1 1 1 1
22,4
4 4
x y
t
s
n m
− −
= = =
+ +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
101
Vì
t gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, k
ế
t lu
ậ
n c
ủ
a cu
ộ
c
ñ
i
ề
u tra ch
ư
a
ñ
úng.
6. 13.
Ng
ườ
i ta mu
ố
n nghiên c
ứ
u tác d
ụ
ng c
ủ
a vi
ệ
c cho sinh viên
ñ
i th
ự
c t
ế
xem
s
ự
ti
ế
p thu ki
ế
n th
ứ
c có t
ố
t h
ơ
n không b
ằ
ng cách so sánh
ñ
i
ể
m thi c
ủ
a nhóm sinh
viên không
ñ
i th
ự
c t
ế
(SVK
Đ
TT) v
ớ
i nhóm sinh viên có
ñ
i th
ự
c t
ế
(SVC
Đ
TT).
K
ế
t qu
ả
nh
ư
sau:
Đ
i
ể
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SVC
Đ
TT
0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1
SVK
Đ
TT
3 3 6 1
1
7 13 10 12 4 1 3
G
ọ
i X và Y l
ầ
n l
ượ
t là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên bi
ể
u th
ị
ñ
i
ể
m s
ố
c
ủ
a sinh viên có
ñ
i
th
ự
c t
ế
và sinh viên không
ñ
i th
ự
c t
ế
.
Đ
i
ể
m thi c
ủ
a nhóm sinh viên có
ñ
i th
ự
c t
ế
có th
ự
c s
ự
t
ố
t h
ơ
n không? (k
ế
t
lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,01 )
Giải:
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
X Y X Y
H : ;H :
µ µ µ µ
= >
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,01
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2 2
0 1
X Y
X Y
U ~ N ,
s s
n m
−
=
+
V
ớ
i
0 01
,
α
=
ta có
1 1 0 01 0 99
2,3263
, ,
gtth u u u
α
− −
= = = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c
T
ừ
b
ả
ng s
ố
li
ệ
u ta có:
67
n
=
5 85
x ,
=
;
2
X
s
=
;
73
m
=
;
4 88 2 39
Y
y , ; s ,
= =
.
2 2
5 85 4 88
2 6116
2 2 39
67 73
tn
, ,
u , gtth
,
−
= = >
+
Nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là SVC
Đ
TT có
ñ
i
ể
m cao h
ơ
n SVK
Đ
TT.
6. 14.
M
ộ
t công ty v
ậ
n t
ả
i, mu
ố
n
ñ
ánh giá tác d
ụ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i ch
ấ
t ph
ụ
gia pha
vào x
ă
ng,
ñ
ã ch
ọ
n 10 chi
ế
c xe. Cho m
ỗ
i chi
ế
c ch
ạ
y hai l
ầ
n v
ớ
i cùng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
nh
ư
nhau; nh
ư
ng l
ầ
n
ñầ
u v
ớ
i x
ă
ng không có ch
ấ
t ph
ụ
gia (KPG), l
ầ
n sau, v
ớ
i cùng
m
ộ
t l
ượ
ng x
ă
ng nh
ư
l
ầ
n
ñầ
u, có ch
ấ
t ph
ụ
gia (CPG). Ng
ườ
i ta ghi l
ạ
i s
ố
d
ặ
m
ñ
ã
ñ
i
ñượ
c c
ủ
a 10 chi
ế
c xe trên trong hai l
ầ
n nh
ư
sau:
Xe KPG CPG Xe KPG CPG
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
102
1
2
2
4
5
26,2
25,7
22,3
19,6
18,1
26,7
25,8
21,9
19,3
18,4
6
7
8
9
10
15,8
13,9
12,0
11,5
10,0
15,7
14,2
12,6
11,9
10,3
Có s
ự
khác nhau gi
ữ
a s
ố
d
ặ
m trung bình
ñ
i
ñượ
c v
ớ
i x
ă
ng không có ch
ấ
t ph
ụ
gia và có ch
ấ
t ph
ụ
gia không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%)
Giải:
G
ọ
i
,
X Y
l
ầ
n l
ượ
t là các BNN ch
ỉ
s
ố
d
ă
m
ñ
i
ñượ
c c
ủ
a xe KPG và xe CPG.
Đặ
t
D X Y
= −
. B
ả
ng s
ố
li
ệ
u cho
D
:
Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
d
-0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3
T
ừ
ñ
ó ta tính
ñượ
c:
0,17, 0,3368
D
d s= − =
Để
xét xem khác nhau v
ề
s
ố
d
ặ
m trung bình gi
ữ
a xe KPG và xe CPG ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0
: 0; 0
D D
H
µ µ
= ≠
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
10 ~ 9
D
D
T t
S
=
V
ớ
i
5% 0,05
α
= =
:
(
)
(
)
9 9
0,05 0,975
1
2
2,2622
gtth t t
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có:
0,17
10 1,596
0,3368
t
−
= =
Vì
| |
t gtth
<
nên
0
H
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n.
V
ậ
y,
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
không có s
ự
khác nhau gi
ữ
a s
ố
d
ặ
m trung bình
ñ
i
ñượ
c v
ớ
i x
ă
ng không có ch
ấ
t ph
ụ
gia và có ch
ấ
t ph
ụ
gia.
6. 15.
Kh
ố
i l
ượ
ng bao g
ạ
o (KLBG) là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên có phân ph
ố
i chu
ẩ
n
(
)
50;0,01
N
. Có nhi
ề
u ý ki
ế
n c
ủ
a khách hàng ph
ả
n ánh là kh
ố
i l
ượ
ng b
ị
thi
ế
u. M
ộ
t
nhóm thanh tra
ñ
ã cân ng
ẫ
u nhiên 25 bao g
ạ
o trong kho và
ñượ
c k
ế
t qu
ả
nh
ư
sau:
KLBG (kg) (48; 48,5]
(48,5; 49]
(49; 49,5]
(49,5; 50]
(50; 50,5]
S
ố
bao g
ạ
o 2 5 10 6 2
Hãy ki
ể
m
ñị
nh xem ý ki
ế
n c
ủ
a khách hàng ph
ả
n ánh có
ñ
úng không? (k
ế
t
lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
Giải:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
103
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
kh
ố
i l
ượ
ng bao g
ạ
o. T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c
49,27; 0,53
x s
= =
.
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
(
)
0 0 1 0
: 50 ; :kgH H
µ µ µ µ
= = <
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%
1 0,05
1,6449
gtth u
−
= − = −
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
:
49,27 50
25 36,5
0,1
u
−
= = −
Vì
u gtth
<
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
. Ngh
ĩ
a là ý ki
ế
n c
ủ
a khách hàng ph
ả
n ánh là
ñ
úng (
α
= 5%).
6. 16.
M
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 300 c
ử
tri
ở
khu v
ự
c A và m
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 200 c
ử
tri
ở
khu v
ự
c
B cho th
ấ
y có 56% và 48%, theo th
ứ
t
ự
,
ủ
ng h
ộ
ứ
ng c
ử
viên X.
Ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%, hãy ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
a)
Có s
ự
khác bi
ệ
t gi
ữ
a hai khu v
ự
c v
ề
s
ự
ủ
ng h
ộ
ứ
ng c
ử
viên X.
b)
Ứ
ng c
ử
viên X
ñượ
c
ủ
ng h
ộ
h
ơ
n
ở
khu v
ự
c A.
Giải:
G
ọ
i
A
p
và
B
p
theo th
ứ
t
ự
là t
ỷ
l
ệ
ủ
ng h
ộ
ứ
ng c
ử
viên X
ở
khu v
ự
c A và B.
a)
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
A B A B
H : p p ; H : p p
= ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5
%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0 0
0 1
1 1
1
A B
P P
U ~ N ,
p p
n m
−
=
− +
v
ớ
i
0
0 528
A B
np mp
p ,
n m
+
= =
+
V
ớ
i
5
%
α
=
ta có
0 975
1
2
1 96
,
gtth u u ,
α
−
= = =
Giá tr
ị
th
ự
c nghi
ệ
m
0 56 0 48
1 755
1 1
0 528 0 472
300 200
, ,
u , gtth
, . ,
−
= = <
+
Do
ñ
ó
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là s
ự
khác nhau gi
ữ
a t
ỷ
l
ệ
ủ
ng h
ộ
gi
ữ
a hai
khu v
ự
c A, B
ñố
i v
ớ
i
ứ
ng c
ử
viên X không có ý ngh
ĩ
a v
ề
m
ặ
t th
ố
ng kê.
b)
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
A B A B
H : p p ; H : p p
= >
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5
%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0 0
0 1
1 1
1
A B
P P
U ~ N ,
p p
n m
−
=
− +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
104
0
0 528
A B
np mp
p ,
n m
+
= =
+
V
ớ
i
5
%
α
=
ta có
1 0 95
1 65
,
gtth u u ,
α
−
= = =
0 56 0 48
1 755
1 1
0 528 0 472
300 200
, ,
u , gtth
, . ,
−
= = >
+
Nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là
ứ
ng c
ử
viên X
ñượ
c
ủ
ng h
ộ
nhi
ề
u h
ơ
n
ở
khu v
ự
c
A.
6. 17. Đ
i
ề
u tra ng
ẫ
u nhiên 200 ng
ườ
i có hút thu
ố
c lá, th
ấ
y có 28 ng
ườ
i b
ị
lao
ph
ổ
i; 170 ng
ườ
i không hút thu
ố
c lá, th
ấ
y có 12 ng
ườ
i b
ị
lao ph
ổ
i. T
ỉ
l
ệ
lao ph
ổ
i
gi
ữ
a nh
ữ
ng ng
ườ
i có và không hút thu
ố
c lá có khác khau không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c
ý ngh
ĩ
a
α
= 1%).
Giải:
G
ọ
i
1
p
,
2
p
l
ầ
n l
ượ
t là t
ỉ
l
ệ
lao ph
ổ
i nh
ữ
ng ng
ườ
i có hút thu
ố
c lá và không
hút thu
ố
c lá. Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0 1 2 1 1 2
: ; :
H p p H p p
= ≠
ở
m
ứ
c
1%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
1 2
0 0
~ 0,1
1 1
1
P P
U N
p p
n m
−
=
− +
V
ớ
i
1 2
0
28 12 40 4
370 370 37
np mp
p
n m
+ +
= = = =
+
V
ớ
i m
ứ
c
1%
α
=
,
0,995
1
2
2,5758
gtth u u
α
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có:
( )
1 2
0 0
28 12
200 170
2,1428
1 1 4 4 1 1
1 1
37 37
p p
u
p p
n m n m
−
−
= = =
− + − +
Ta có
| |
u gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là t
ỉ
l
ệ
lao ph
ổ
i gi
ữ
a nh
ữ
ng
ng
ườ
i có và không hút thu
ố
c lá không khác khau (
α
= 1%).
6. 18.
M
ộ
t nhà máy có hai phân x
ưở
ng A và B cùng s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i tr
ụ
c máy.
Sau m
ộ
t th
ờ
i gian ho
ạ
t
ñộ
ng, ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 20 tr
ụ
c máy do phân x
ưở
ng A s
ả
n
xu
ấ
t, ng
ườ
i ta
ñ
o
ñượ
c
ñườ
ng kính c
ủ
a chúng nh
ư
sau (
ñơ
n v
ị
mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
105
Gi
ả
s
ử
ñườ
ng kính c
ủ
a các tr
ụ
c máy
ở
hai phân x
ưở
ng A và B tuân theo lu
ậ
t
phân ph
ố
i chu
ẩ
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Đ
o ng
ẫ
u nhiên
ñườ
ng kính 20 tr
ụ
c máy do phân x
ưở
ng B s
ả
n xu
ấ
t, ng
ườ
i ta
tính
ñượ
c
ñườ
ng kính trung bình là 249,8 v
ớ
i ph
ươ
ng sai 56,2. Hãy ki
ể
m
ñị
nh,
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, gi
ả
thi
ế
t
0
H
cho r
ằ
ng
ñườ
ng kính trung bình các tr
ụ
c máy
ñượ
c s
ả
n xu
ấ
t
ở
hai phân x
ưở
ng là nh
ư
nhau
ñố
i v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
1
H
cho r
ằ
ng chúng
khác nhau.
Giải
:
G
ọ
i
,
X Y
l
ầ
n l
ượ
t là
ñườ
ng kính tr
ụ
c máy do phân x
ưở
ng A, B t
ươ
ng
ứ
ng s
ả
n
xu
ấ
t.
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
: ; :
X Y X Y
H H
µ µ µ µ
= ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2
~ 2
1 1
X Y
T t n m
S
n m
−
= + −
+
V
ớ
i
20; 20
n m
= =
và
(
)
(
)
2 2
2
1 1
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
V
ớ
i
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%,
(
)
(
)
2 38
0,975
1
2
2,0244
n m
gtth t t
α
+ −
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
:
251,25
x
=
và
7,7111
X
s =
2 2 2
2
19. 19 19.7,7111 19.56,2
57,83
38 38
X Y
s s
s
+ +
= = =
2
251, 25 249,8
0,6029
1 1 1 1
57,83
20 20
x y
t
s
n m
− −
= = =
+ +
Vì
| |
t gtth
<
nên
0
H
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n.
Đườ
ng kính trung bình các tr
ụ
c máy
ñượ
c
s
ả
n xu
ấ
t
ở
hai phân x
ưở
ng là nh
ư
nhau (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 19.
Phân x
ưở
ng A c
ủ
a m
ộ
t nhà máy s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i tr
ụ
c máy. Sau m
ộ
t th
ờ
i
gian ho
ạ
t
ñộ
ng, ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 20 tr
ụ
c máy do phân x
ưở
ng A s
ả
n xu
ấ
t, ng
ườ
i ta
ñ
o
ñượ
c
ñườ
ng kính c
ủ
a chúng nh
ư
sau (
ñơ
n v
ị
mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
Gi
ả
s
ử
ñườ
ng kính c
ủ
a các tr
ụ
c máy c
ủ
a phân x
ưở
ng A tuân theo lu
ậ
t phân
ph
ố
i chu
ẩ
n. Bi
ế
t
ñườ
ng kính c
ủ
a m
ộ
t tr
ụ
c máy do phân x
ưở
ng A s
ả
n xu
ấ
t, theo qui
ñị
nh là 250 mm. Hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
ch
ấ
t l
ượ
ng s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a phân x
ưở
ng A
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
106
Giải
:
G
ọ
i
X
l
ầ
n l
ượ
t là
ñườ
ng kính tr
ụ
c máy do phân x
ưở
ng A s
ả
n xu
ấ
t. T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta
có:
251,25
x
=
và
7,7111
=
s
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0 0 1 0
: 250; :
X X
H H
µ µ µ µ
= = ≠
ở
m
ứ
c
5%.
α
=
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 1
µ
−
= −
X
T n t n
S
V
ớ
i m
ứ
c
5%
α
=
(
)
(
)
19 19
0,975
1
2
2,0930
gtth t t
α
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có:
251,25 250
20 0,786
7,111
t
−
= =
Vì
| |
t gtth
<
nên
0
H
ñướ
c ch
ấ
p nh
ậ
n. Do
ñ
ó Tình hình s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a phân
x
ưở
ng A bình th
ườ
ng (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 20.
S
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a m
ộ
t xí nghi
ệ
p
ñ
úc cho phép s
ố
khuy
ế
t t
ậ
t trung bình cho
m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m là 3. Sau m
ộ
t
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t, ng
ườ
i ta l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 36 s
ả
n
ph
ẩ
m
ñể
ki
ể
m tra s
ố
khuy
ế
t t
ậ
t trên m
ỗ
i s
ả
n ph
ẩ
m (SKTTMSP). K
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c nh
ư
sau:
SKTTMSP
0 1 2 3 4 5
6
S
ố
s
ả
n ph
ẩ
m
7 4 4 6 8 6
1
Hãy cho k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t
ñố
i v
ớ
i s
ố
khuy
ế
t t
ậ
t
trung bình c
ủ
a m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%.
Giải:
T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta tính
ñượ
c
2,7222; 1,86
x s
= =
Để
k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hi
ệ
u qu
ả
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 0 1 0
: 3; :H H
µ µ µ µ
= = <
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
µ
−
=
V
ớ
i
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%
1 0,9
1,2816
gtth u u
α
−
= − = − = −
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
2,722 3
36 0,896
1,86
u
−
= = −
Vì
u gtth
>
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t không mang l
ạ
i
hi
ệ
u qu
ả
(k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
107
6. 21.
S
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a m
ộ
t xí nghi
ệ
p
ñ
úc cho phép s
ố
khuy
ế
t t
ậ
t trung bình cho m
ộ
t
s
ả
n ph
ẩ
m là 3. Sau m
ộ
t
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t, ng
ườ
i ta l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 36 s
ả
n
ph
ẩ
m
ñể
ki
ể
m tra s
ố
khuy
ế
t t
ậ
t trên m
ỗ
i s
ả
n ph
ẩ
m (SKTTMSP). K
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c nh
ư
sau:
SKTTMSP
0 1 2 3 4 5
6
S
ố
s
ả
n ph
ẩ
m
7 4 4 6 8 6
1
S
ả
n ph
ẩ
m có không quá 2 khuy
ế
t t
ậ
t
ñượ
c g
ọ
i là s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A. T
ỉ
l
ệ
s
ả
n
ph
ẩ
m lo
ạ
i A tr
ướ
c
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t là 40%.
Đợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t có th
ự
c s
ự
làm t
ă
ng t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%).
Giải
:
G
ọ
i
p
là t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A. T
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u:
15 5
36 12
p = =
.
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0 1 0
: 40%; :
H p p H p p
= = >
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%
N N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
ớ
i
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%,
1 0,95
1,6449
gtth u u
α
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có:
( )
5/12 0,4
36 0,204
0,4 1 0,4
u
−
= =
−
Vì
u gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y,
ñợ
t c
ả
i ti
ế
n k
ỹ
thu
ậ
t không làm t
ă
ng t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A. (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý
ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 22.
Nh
ữ
ng th
ố
ng kê trong n
ă
m tr
ướ
c cho th
ấ
y m
ộ
t ng
ườ
i M
ỹ
ñ
i du l
ị
ch
ở
châu
Âu trong vòng 3 tu
ầ
n s
ẽ
chi h
ế
t 1010 USD cho vi
ệ
c mua s
ắ
m. N
ă
m nay, ng
ườ
i ta
th
ố
ng kê trên 50 khách du l
ị
ch thì th
ấ
y s
ố
ti
ề
n trung bình mà h
ọ
chi tiêu là 1090
USD và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 300 USD. V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
1%
α =
hãy cho bi
ế
t m
ứ
c chi
tiêu c
ủ
a nh
ữ
ng khách du l
ị
ch n
ă
m nay có t
ă
ng so v
ớ
i n
ă
m tr
ướ
c không?
Giải
:
G
ọ
i
X
là BNN ch
ỉ
m
ứ
c chi tiêu c
ủ
a m
ỗ
i khách du l
ị
ch trong n
ă
m nay,
EX
µ =
. Ta
ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0 1 0
: 1010; :H H
µ = µ = µ > µ
ở
ý ngh
ĩ
a
1%
α =
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
− µ
=
V
ớ
i ý ngh
ĩ
a
1%
α =
,
1 0,99
2,3263
gtth u u
−α
= = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
108
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có:
1090 1010
50 1,8856
300
u
−
= =
Vì
u gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, ch
ư
a
ñủ
c
ơ
s
ở
ñể
k
ế
t lu
ậ
n m
ứ
c chi tiêu c
ủ
a nh
ữ
ng khách du l
ị
ch n
ă
m nay
t
ă
ng.
6. 23.
M
ộ
t hãng bào ch
ế
thu
ố
c
ñ
ang th
ử
nghi
ệ
m hai lo
ạ
i thu
ố
c gây mê A và B
m
ớ
i. Vi
ệ
c th
ử
nghi
ệ
m
ñượ
c ti
ế
n hành trên hai nhóm thú v
ậ
t khác nhau. Nhóm th
ứ
nh
ấ
t g
ồ
m 100 con dùng thu
ố
c A thì có 71 con b
ị
mê; nhóm th
ứ
hai g
ồ
m 90 con
dùng thu
ố
c B thì có 58 con b
ị
mê. Hãng bào ch
ế
mu
ố
n ki
ể
m
ñị
nh xem tác d
ụ
ng
c
ủ
a hai lo
ạ
i thu
ố
c trên có khác nhau không
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%. Hãy cho bi
ế
t k
ế
t
lu
ậ
n.
Giải:
G
ọ
i
1
p
và
2
p
l
ầ
n l
ượ
t là t
ỉ
l
ệ
con v
ậ
t b
ị
mê khi dùng thu
ố
c A, B t
ươ
ng
ứ
ng. Giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u
ñố
i v
ớ
i 2 lo
ạ
i thu
ố
c
ñ
ó là
1 2
71 58
;
100 90
p p= =
.
T
ỉ
l
ệ
chung là
71 58 129
0,6789
190 190
p
+
= = =
. Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1 2 1 1 2
: ; :
H p p H p p
= ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
α =
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
1 2
~ 0,1
1 1
1
P P
U N
p p
n m
−
=
− +
V
ớ
i
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
α =
,
0,975
1
2
1,96
gtth u u
α
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
( )
1 2
71 58
100 90
0,017
1 1 129 129 1 1
1 1
190 190 100 90
p p
u
p p
n m
−
−
= = =
− + − +
Vì
| |
u gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, tác d
ụ
ng c
ủ
a hai lo
ạ
i thu
ố
c trên không khác nhau
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
6. 24.
V
ớ
i ý mu
ố
n làm t
ă
ng ch
ỉ
s
ố
m
ỡ
s
ữ
a c
ủ
a lo
ạ
i gi
ố
ng bò A, m
ộ
t tr
ạ
i ch
ă
n nuôi
cho lai bò gi
ố
ng A v
ớ
i m
ộ
t lo
ạ
i bò gi
ố
ng B.
Đ
o ch
ỉ
s
ố
m
ỡ
s
ữ
a c
ủ
a 130 con bò lai
gi
ố
ng
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên trong
ñ
àn bò c
ủ
a tr
ạ
i, ng
ườ
i ta có k
ế
t
Ch
ỉ
s
ố
m
ỡ
s
ữ
a S
ố
bò lai
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
109
[3,0; 3,6)
[3,6; 4,2)
[4,2; 4,8)
[4,8; 5,4)
[5,4; 6,0)
[6,0; 6,6)
[6,6; 7,2)
2
8
35
43
22
15
5
Bi
ế
t r
ằ
ng ch
ỉ
s
ố
m
ỡ
s
ữ
a trung bình c
ủ
a gi
ố
ng bò A thu
ầ
n ch
ủ
ng là 4,95. Hãy cho
k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c lai gi
ố
ng
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 1%.
Giải:
G
ọ
i X là BNN ch
ỉ
ch
ỉ
s
ố
m
ỡ
s
ữ
a c
ủ
a gi
ố
ng bò lai. T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta tính
ñượ
c:
5,15
x
=
và
0,77
s
=
. Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 0 1 0
: 4,95; :H H
µ = µ = µ > µ
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α =
1%.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
− µ
=
V
ớ
i
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α =
1%,
1 0,99
2,3263
gtth u u
−α
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
5,15 4,95
130 2,96
0,77
u
−
= =
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, ch
ỉ
s
ố
m
ỡ
s
ữ
a c
ủ
a gi
ố
ng bò lai cao h
ơ
n bò thu
ầ
n ch
ủ
ng.
6. 25. Đ
i
ề
u tra v
ề
m
ộ
t nguyên nhân gây ung th
ư
ph
ổ
i: Th
ă
m dò trong 200 ng
ườ
i
có hút thu
ố
c lá, th
ấ
y có 28 ng
ườ
i b
ị
K ph
ổ
i; trong 170 ng
ườ
i không không hút
thu
ố
c lá, có 12 ng
ườ
i b
ị
K ph
ổ
i. H
ỏ
i t
ỉ
l
ệ
ng
ườ
i b
ị
K ph
ổ
i trên nh
ữ
ng ng
ườ
i hút
thu
ố
c lá có cao h
ơ
n t
ỉ
l
ệ
ñ
ó trên nh
ữ
ng ng
ườ
i không hút thu
ố
c lá không? (K
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c
5%
α =
).
Giải
:
G
ọ
i
1 2
,
p p
l
ầ
n l
ượ
t là t
ỉ
l
ệ
ng
ườ
i b
ị
K ph
ổ
i trong s
ố
nh
ữ
ng ng
ườ
i hút thu
ố
c và
không hút thu
ố
c. Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t:
0 1 2 1 1 2
: ; :
H p p H p p
= >
ở
m
ứ
c
5%
α =
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
1 2
~ 0,1
1 1
1
P P
U N
p p
n m
−
=
− +
V
ớ
i
5%
α =
,
1 0,95
1,6449
gtth u u
−α
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
1 2
28 7 6 28 12 4
; ;
200 50 85 200 170 37
p p p
+
= = = = =
+
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
110
( )
1 2
2,14
1 1
1
200 170
p p
u
p p
−
= =
− +
Ta có
u gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
. V
ậ
y t
ỉ
l
ệ
b
ị
K ph
ổ
i trong s
ố
nh
ữ
ng ng
ườ
i hút
thu
ố
c là cao h
ơ
n t
ỉ
l
ệ
ñ
ó trên nh
ữ
ng nguoif không hút thu
ố
c lá.
6. 26.
N
ế
u máy móc ho
ạ
t
ñộ
ng bình th
ườ
ng thì kh
ố
i l
ượ
ng m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m tuân
theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n không quá 1kg. Có th
ể
coi máy móc
còn ho
ạ
t
ñộ
ng bình th
ườ
ng hay không n
ế
u cân th
ử
30 s
ả
n ph
ẩ
m do máy
ñ
ó s
ả
n
xu
ấ
t ra, thì tính
ñượ
c
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 1,1 kg. Yêu c
ầ
u k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
1%
α
=
.
Giải:
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t v
ề
ph
ươ
ng sai:
2 2 2 2
0 0 1 0
1H : ;H :
σ σ σ σ
= = ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
1%
α
=
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
2
2
2
( 1)
~ 1
o
n S
Y n
−
= χ −
σ
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
2
29 1 1
35 09
1
. ,
y ,
= =
V
ớ
i
0 01
,
α
=
ta có
0,01
2
2
2 2
( 1) (29) 13,121
n
α
χ − = χ =
0,01
2
2
2 2
1
1
( 1) (29) 52,336
n
α
−
−
χ − = χ =
Do
2 2
1
2 2
1 1
( n ) y ( n )
α α
χ χ
−
− < < −
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là:
Ch
ư
a
ñủ
c
ơ
s
ở
ñể
nói r
ằ
ng máy móc ho
ạ
t
ñộ
ng không bình th
ườ
ng.
6. 27.
M
ộ
t nhà s
ả
n xu
ấ
t bóng
ñ
èn cho r
ằ
ng ch
ấ
t l
ượ
ng bóng
ñ
èn
ñượ
c coi là
ñồ
ng
ñề
u n
ế
u tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a bóng
ñ
èn có
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n b
ằ
ng 1000 ho
ặ
c ít h
ơ
n. L
ấ
y ng
ẫ
u
nhiên 10 bóng
ñể
ki
ể
m tra, thì
ñượ
c
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u là 1150, V
ậ
y, v
ớ
i m
ứ
c ý
ngh
ĩ
a 5%, có th
ể
coi ch
ấ
t l
ượ
ng bóng
ñ
èn do công ty
ñ
ó s
ả
n xu
ấ
t là
ñồ
ng
ñề
u
không? Bi
ế
t r
ằ
ng tu
ổ
i th
ọ
c
ủ
a bóng
ñ
èn là m
ộ
t BNN có phân ph
ố
i chu
ẩ
n.
Giải
:
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t v
ề
ph
ươ
ng sai d
ạ
ng
2 2 2 2 2
0 0 1 0
1000H : ;H :
σ σ σ σ
= = >
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
2
2
2
( 1)
~ 1
o
n S
Y n
−
= χ −
σ
Giá tr
ị
t
ơ
i h
ạ
n:
2 2
1 0,95
( 1) (9) 16,919
gtth n
−α
= χ − = χ =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
2
2
9 1150
11 9025
1000
.
y , gtth
= = <
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
111
0
H
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n ngh
ĩ
a là có th
ể
coi ch
ấ
t l
ượ
ng bóng
ñ
èn do công ty
ñ
ó
s
ả
n xu
ấ
t là
ñồ
ng
ñề
u.
6. 28.
T
ạ
i m
ộ
t nông tr
ườ
ng,
ñể
ñ
i
ề
u tra kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i trái cây, sau m
ộ
t
ñợ
t bón m
ộ
t lo
ạ
i phân m
ớ
i, ng
ườ
i ta cân th
ử
m
ộ
t s
ố
trái cây
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên
và
ñượ
c k
ế
t qu
ả
sau:
Kh
ố
i l
ượ
ng (gam) S
ố
trái cây
[45, 50)
[50, 55)
[55, 60)
[60, 65)
[65, 70)
[70, 75)
[75, 80)
≥
80
2
11
25
74
187
43
16
3
Tr
ướ
c kia, kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a m
ỗ
i trái là 65 gam. Hãy
ñ
ánh giá xem lo
ạ
i
phân bón m
ớ
i có mang l
ạ
i hi
ệ
u qu
ả
không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 1%).
Giải:
T
ừ
s
ố
li
ệ
u
ñ
ã cho ta tính
ñượ
c
361; 66,38; 5,41
n x s
= = =
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0 1 0
: 65( ); :H g H
µ = µ = µ > µ
ở
m
ứ
c
1%
α
=
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
− µ
=
V
ớ
i
0,01
α =
ta suy ra:
1 0,99
2,33
gtth u u
−α
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
66,38 65
361 4,85
5,41
u gtth
−
= = >
V
ậ
y
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là: lo
ạ
i phân bón m
ớ
i có mang l
ạ
i hi
ệ
u qu
ả
. (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 1%).
6. 29.
M
ộ
t công ty th
ươ
ng m
ạ
i, d
ự
a vào kinh nghi
ệ
m quá kh
ứ
,
ñ
ã xác
ñị
nh r
ằ
ng
vào cu
ố
i n
ă
m thì 80% s
ố
hoá
ñơ
n
ñ
ã
ñượ
c thanh toán
ñầ
y
ñủ
, 10% kh
ấ
t l
ạ
i 1
tháng, 6% kh
ấ
t l
ạ
i 2 tháng, và 4% kh
ấ
t l
ạ
i h
ơ
n 2 tháng. Vào cu
ố
i n
ă
m nay, công ty
ki
ể
m tra m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên g
ồ
m 400 hoá
ñơ
n và th
ấ
y r
ằ
ng: 287 hoá
ñơ
n
ñ
ã
ñượ
c
thanh toán
ñầ
y
ñủ
, 49 kh
ấ
t l
ạ
i 1 tháng, 30 kh
ấ
t l
ạ
i 2 tháng và 34 kh
ấ
t l
ạ
i h
ơ
n 2
tháng. Nh
ư
v
ậ
y, vi
ệ
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay có còn theo qui lu
ậ
t nh
ư
nh
ữ
ng
n
ă
m tr
ướ
c không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
).
Giải
: Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t v
ề
phân ph
ố
i.
0
:
H
Vi
ệ
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay theo qui lu
ậ
t n
ă
m tr
ướ
c
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
112
1
:
H
Vi
ệ
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay không theo qui lu
ậ
t n
ă
m tr
ướ
c.
Ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
B
ả
ng t
ầ
n s
ố
lý thuy
ế
t và th
ự
c nghi
ệ
m:
Thanh toán
ñầ
y
ñủ
(
1
x
)
Khu
ấ
t l
ạ
i 1
tháng (
2
x
)
Khu
ấ
t l
ạ
i 2
tháng (
3
x
)
Khu
ấ
t l
ạ
i
h
ơ
n 2 tháng
(
4
x
)
T
ầ
n s
ố
quan
sát
287 49 30 34
T
ầ
n s
ố
lý
thuy
ế
t
320 40 24 16
Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
4
2
1
287 320 49 40 30 24 34 16
27,178
320 40 24 16
i i
i
i
o e
Q
e
=
−
− − − −
= = + + + =
∑
V
ớ
i
5%
α
=
,
gtth
=
(
)
(
)
2 2
1 0,95
3 3 7,815
−α
χ = χ =
Ta th
ấ
y
(
)
2 2
1
3
Q
−α
> χ
nên:
Vi
ệ
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay không còn theo qui lu
ậ
t nh
ư
nh
ữ
ng n
ă
m
tr
ướ
c. (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 30.
Để
l
ậ
p k
ế
ho
ạ
ch s
ả
n xu
ấ
t m
ặ
t hàng m
ớ
i, m
ộ
t công ty
ñ
ã ti
ế
n hành
ñ
i
ề
u tra
v
ề
s
ở
thích c
ủ
a khách hàng v
ề
3 lo
ạ
i m
ẫ
u khác nhau c
ủ
a cùng m
ộ
t lo
ạ
i hàng. K
ế
t
qu
ả
ñượ
c trình bày
ở
b
ả
ng sau:
M
ẫ
u
hàng
Ý ki
ế
n
A B C
Thích 43 30 42
Không thích 35 53 39
Không có ý ki
ế
n 22 17 19
Có hay không s
ự
phân bi
ệ
t v
ề
s
ở
thích c
ủ
a khách hàng
ñố
i v
ớ
i 3 lo
ạ
i m
ẫ
u nói
trên? K
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
Giải:
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t v
ề
phân ph
ố
i.
0
:
H
Không có s
ự
phân bi
ệ
t v
ề
s
ở
thích
1
:
H
Có s
ự
phân bi
ệ
t v
ề
s
ở
thích
ñố
i v
ớ
i 3 m
ặ
t hàng (m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%).
B
ả
ng
ñố
i chi
ế
u t
ầ
n s
ố
: Trong ngo
ặ
c là t
ầ
n s
ố
lý thuy
ế
t:
M
ẫ
u A B C
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
113
hàng
Ý ki
ế
n
Thích 43
(38,33)
30
(38,33)
42
(38,33)
Không thích 35
(42,33)
53
(42,33)
39
(42,33)
Không có ý ki
ế
n 22
(19,33)
17
(19,33)
19
(19,33)
( )
2
9
2
1
7,606
i i
i
i
o e
Q
e
=
−
= =
∑
(
)
(
)
2 2
1 0,95
4 4 9,488
−α
χ = χ =
Ta th
ấ
y
(
)
2 2
1
8
Q
−α
< χ
nên
0
H
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n ngh
ĩ
a là:
Không có s
ự
phân bi
ệ
t v
ề
s
ở
thích
ñố
i v
ớ
i 3 m
ặ
t hàng.
6. 31. Đ
i
ề
u tra m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a m
ộ
t xí nghi
ệ
p v
ề
chi
ề
u dài (X (cm)) và hàm
l
ượ
ng ch
ấ
t A (Y (%)), ng
ườ
i ta có k
ế
t qu
ả
sau:
Y
X
8 10 12 14 16
100 5 5
110 4 6 7
120 5 9 8
130 4 6 9
140 5 7
Các s
ả
n ph
ẩ
m có chi
ề
u dài không quá 110cm và hàm l
ượ
ng ch
ấ
t A không
h
ơ
n 12%
ñượ
c g
ọ
i là s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i II. N
ế
u xí nghi
ệ
p báo cáo r
ằ
ng s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i
II có ch
ỉ
tiêu Y trung bình là 10% thì có th
ể
ch
ấ
p nh
ậ
n
ñượ
c không? K
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5% (gi
ả
thi
ế
t hàm l
ượ
ng này có phân ph
ố
i chu
ẩ
n)
Giải:
B
ả
ng s
ố
li
ệ
u cho ch
ỉ
tiêu
Y
c
ủ
a nh
ữ
ng s
ả
n ph
ẩ
m lo
ạ
i A.
j
y
8 10 12
j
n
9 11 7
Giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u:
9,85
y
=
và
giá tr
ị
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u:
1,56
Y
s =
, c
ỡ
m
ẫ
u
27
n
=
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
114
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
(
)
0 0 1 0
: 10 % ; :
Y Y
H H
µ µ µ µ
= = ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 1
Y
Y
T n t n
S
µ
−
= −
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
ta tính
ñượ
c
(
)
26
0,05
1
2
2,0555
gtth t
−
= =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
9,85 10
27 0,5
1,56
t
−
= = −
Ta có
t gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, ch
ấ
p nh
ậ
n báo cáo c
ủ
a xí nghi
ệ
p (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%).
6. 32.
G
ạ
o
ñủ
tiêu chu
ẩ
n xu
ấ
t kh
ẩ
u là g
ạ
o có t
ỉ
l
ệ
h
ạ
t nguyên, h
ạ
t v
ỡ
và t
ấ
m, theo
th
ứ
t
ự
, là: 90%, 6% và 4%.
Ki
ể
m tra 1000 h
ạ
t g
ạ
o c
ủ
a m
ộ
t lô g
ạ
o, ng
ườ
i ta th
ấ
y trong
ñ
ó có:
H
ạ
t nguyên: 880; h
ạ
t v
ỡ
: 60 và t
ấ
m: 60
H
ỏ
i lô g
ạ
o có
ñủ
tiêu chu
ẩ
n xu
ấ
t kh
ẩ
u không? Cho k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
5%.
Giải:
Để
k
ế
t lu
ậ
n v
ề
tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a lô g
ạ
o ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0
:
H
Lô g
ạ
o
ñủ
tiêu chu
ẩ
n xu
ấ
t kh
ẩ
u.
1
:
H
Lô g
ạ
o không
ñủ
tiêu chu
ẩ
n xu
ấ
t kh
ẩ
u (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%).
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì trong 1000 h
ạ
t g
ạ
o có 900 h
ạ
t nguyên, 60 h
ạ
t v
ỡ
và 40 h
ạ
t
t
ấ
m.
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
880 900 60 60 60 40
10,44
900 60 40
Q
− − −
= + + =
V
ớ
i
5%,
α
=
(
)
3
1 0,05
7,815
gtth
χ
−
= =
Vì
2
Q gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, lô g
ạ
o không
ñủ
tiêu chu
ẩ
n xu
ấ
t kh
ẩ
u (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%).
6. 33.
Giám
ñố
c tr
ạ
i gà Alpha xem l
ạ
i h
ồ
s
ơ
c
ủ
a m
ộ
t
ñợ
t kh
ả
o sát v
ề
kh
ố
i l
ượ
ng
c
ủ
a gà xu
ấ
t chu
ồ
ng
ở
tr
ạ
i gà thì th
ấ
y s
ố
li
ệ
u
ñượ
c ghi nh
ư
sau:
Kh
ố
i l
ượ
ng (kg) S
ố
con gà
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
115
[2,3; 2,7)
[2,7; 2,9)
[2,9; 3,1)
[3,1; 3,3)
[3,3; 3,5)
[3,5; 3,7)
[3,7; 3,9)
5
30
41
25
10
5
5
Ban giám
ñố
c tr
ạ
i gà Alpha báo cáo r
ằ
ng kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a gà trên 3 kg.
Hãy cho nh
ậ
n xét v
ề
báo cáo trên
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 2%.
Giải:
T
ừ
s
ố
li
ệ
u ta tính
ñượ
c:
121; 3,06; 0,2826
n x s
= = =
.
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0 0 1 0
: 3; :
X X
H H
µ µ µ µ
= = >
ở
m
ứ
c
2%
α
=
.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
X
U n N
s
µ
−
=
V
ớ
i
2%
α
=
,
1 0,95
1,6449
gtth u u
α
−
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
:
0
3,06 3
121 2,3354
0,2826
X
x
u n
s
µ
−
−
= = =
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là báo cáo c
ủ
a Ban giám
ñố
c là
ñ
úng (
ở
m
ứ
c ý
ngh
ĩ
a 5%).
6. 34. Để
so sánh th
ờ
i gian c
ắ
t trung bình c
ủ
a m
ộ
t máy ti
ệ
n lo
ạ
i c
ũ
v
ớ
i m
ộ
t máy
ti
ệ
n lo
ạ
i m
ớ
i, ng
ườ
i ta cho m
ỗ
i máy c
ắ
t th
ử
10 l
ầ
n và
ñ
o th
ờ
i gian c
ắ
t (tính b
ằ
ng
giây) . K
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c nh
ư
sau:
Máy lo
ạ
i c
ũ
: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67.
Máy lo
ạ
i m
ớ
i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54..
Bi
ế
t r
ằ
ng th
ờ
i gian c
ắ
t c
ủ
a máy lo
ạ
i c
ũ
và c
ủ
a máy lo
ạ
i m
ớ
i là các bi
ế
n
ng
ẫ
u nhiên tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n có
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n, theo th
ứ
t
ự
, là 13,5
giây và 14,5 giây.
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%, có th
ể
cho r
ằ
ng máy lo
ạ
i m
ớ
i t
ố
t h
ơ
n (có th
ờ
i gian c
ắ
t
trung bình ít h
ơ
n) máy lo
ạ
i c
ũ
hay không?
Giải:
G
ọ
i
,
X Y
theo th
ứ
t
ự
là BNN ch
ỉ
th
ờ
i gian c
ắ
t c
ủ
a máy ti
ệ
n c
ũ
và máy ti
ệ
n
m
ớ
i.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t th
ố
ng kê Di
ệ
p Hoàng Ân
116
Ta ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t sau:
0 1
: ; ;
X Y X Y
H H
µ µ µ µ
= >
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thù BNN
( )
2 2
~ 0,1
X Y
X Y
U N
n m
σ σ
−
=
+
V
ớ
i
5%
α
=
,
1 ,05 0,95
1,6449
gtth u u
−0
= = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
57; 13,6; 52; 14,46
X Y
x s y s= = = =
Do
ñ
ó
57 52
2,988
13,5 14,5
10 10
u
−
= =
+
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
.
V
ậ
y, có th
ể
cho r
ằ
ng máy lo
ạ
i m
ớ
i t
ố
t h
ơ
n (có th
ờ
i gian c
ắ
t trung bình ít h
ơ
n)
máy lo
ạ
i c
ũ
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
117
CHƯƠNG 7:
TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY
7.1.
Xem vect
ơ
ng
ẫ
u nhiên (X,Y) tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n hai chi
ề
u mà
m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên g
ồ
m 8 c
ặ
p
ñượ
c ch
ọ
n ra nh
ư
sau:
x
i
1 2 3 4 5 6 7 8
y
i
5 7 11 17 21 25 29 32
a)
Hãy tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u c
ủ
a X và Y và cho nh
ậ
n xét.
b)
Hãy ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t v
ề
s
ự
t
ươ
ng quan gi
ữ
a X à Y
ở
m
ứ
c
5%
α
=
.
c)
Hãy l
ậ
p hàm h
ồ
i quy tuy
ế
n tính m
ẫ
u và d
ự
ñ
oán n
ế
u
X
l
ấ
y giá tr
ị
b
ằ
ng
20 thì
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
bao nhiêu?
Giải:
a)
.
r 0,996
( 1)s .s
−
= =
−
∑
i i
X Y
x y n x y
n
.
X
và
Y
có quan h
ệ
g
ầ
n nh
ư
tuy
ế
n tính.
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
: 0; : 0
H H
ρ ρ
= ≠
ở
m
ứ
c
5%
α
=
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì
( )
2
2
1
T ~ 2
−
−
= −
n
R
R t n
(
8
n
=
và
1
( ).( )
( 1)
n
i i
i
X Y
X X Y Y
n S S
R
=
− −
−
∑
=
là h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u)
V
ớ
i
5%
α
=
, gtth
(
)
6
1 /2
2,4469
t
α
−
= =
.
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, ta có
0,996
r
=
và
2 2
2 6
0,996 27,3
1 1 0,996
n
t r
r
−
= = =
− −
Vì
t gtth
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là
,
X Y
th
ậ
t s
ự
t
ươ
ng quan.
c)
Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy tuy
ế
n tính m
ẫ
u:
0.107 4,107
y x
= − +
. T
ừ
ñ
ó, n
ế
u
20
X
=
thì
82,036
Y
=
.
7.2.
M
ộ
t c
ơ
s
ở
s
ả
n xu
ấ
t
ñ
ã ghi l
ạ
i s
ố
ti
ề
n
ñ
ã chi cho vi
ệ
c nghiên c
ứ
u phát tri
ể
n
và l
ợ
i nhu
ậ
n hàng n
ă
m c
ủ
a c
ơ
s
ở
trong 6 n
ă
m v
ừ
a qua nh
ư
sau: (
ñơ
n v
ị
10
6
VN
Đ
)
Chi nghiên c
ứ
u 5 11 4 5 3 2
L
ợ
i nhu
ậ
n
31 40 30 34 25 20
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
118
a)
Hãy tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u gi
ữ
a chi nghiên c
ứ
u và l
ợ
i
nhu
ậ
n.
b)
Chi nghiên c
ứ
u và l
ợ
i nhu
ậ
n có th
ự
c s
ự
t
ươ
ng quan không? (k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 2%).
c)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng h
ồ
i qui tuy
ế
n tính m
ẫ
u c
ủ
a l
ợ
i nhu
ậ
n theo
chi phí nghiên c
ứ
u.
Giải:
a)
0,909
r
=
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
: 0; : 0
H H
ρ = ρ ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
1%
α =
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2
2
1
T ~ 2
n
R
R t n
−
−
= −
(
)
(
)
1 / 2 0,99
2 4 3,7469
gtth t t t
−α
= − = =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
2
4
0,909 4,361
1 0,909
t = =
−
Vì
t gthh
>
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
. Ngh
ĩ
a là
X
và
Y
th
ự
c s
ự
t
ươ
ng quan.
(k
ế
t lu
ậ
n
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 2%).
c)
Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng h
ồ
i quy tuy
ế
n tính m
ẫ
u:
2 20
y x
= +
7.3.
Đ
o chi
ề
u cao Y (cm) và chi
ề
u dài chi d
ướ
i X (cm) c
ủ
a m
ộ
t nhóm thanh
niên, ng
ườ
i ta thu
ñượ
c s
ố
li
ệ
u sau:
y
i
160 161,5
163 165 167 168 171 172
x
i
78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u c
ủ
a X và Y.
(b).
Ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, hãy cho nh
ậ
n xét v
ề
tài li
ệ
u cho r
ằ
ng h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan c
ủ
a X và Y là 0,9.
(c). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng h
ồ
i quy m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X.
Đ
áp s
ố
:
(a)
r = 0,996
(b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t H
0
:
ρ
= 0,9
ñố
i v
ớ
i H
1
:
ρ
≠
0,9.
Tr
ắ
c nghi
ệ
m U 2
ñ
uôi
ñượ
c s
ử
d
ụ
ng, v
ớ
i
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
119
~ (0,1)
Z
Z
Z
U N
− µ
=
σ
.
V
ớ
i m
ứ
c
α
= 5% ,
0,975
gtth 1,96
u= =
;
v
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, chúng ta có :
(
)
1 0,996
1
2 1 0,996
ln 3,106
z
+
−
= = ,
(
)
1 0,9
0,9
1 1
2 1 0,9 2(8 1)
5
ln 1,5365;
Z Z
+
− −
µ = + = σ =
,
và
3,509
Z
Z
z
u
− µ
σ
= =
Vì
gtth
u
>
nên
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, gi
ả
thi
ế
t H
0
b
ị
bác b
ỏ
, ngh
ĩ
a là
tài li
ệ
u không
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
(c)
y = 1,768x + 21,857.
7.4.
M
ộ
t gi
ả
ng viên d
ạ
y môn th
ố
ng kê yêu c
ầ
u m
ỗ
i sinh viên ph
ả
i làm m
ộ
t
ñồ
án phân tích d
ữ
li
ệ
u và d
ự
k
ỳ
thi h
ế
t môn. Sau
ñ
ó, m
ộ
t m
ẫ
u g
ồ
m 10 sinh viên
ñượ
c ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên,
ñ
i
ể
m s
ố
ñượ
c ghi l
ạ
i nh
ư
sau:
Đ
i
ể
m thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84
Đ
i
ể
m
ñồ
án
76 71 69 76 87 62 80 75
92 79
(a) Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
ñ
i
ể
m thi trung bình c
ủ
a m
ộ
t sinh viên (gi
ả
thi
ế
t
ñ
i
ể
m thi c
ủ
a sinh viên tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n).
(b)
Ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%, hãy
ñ
ánh giá v
ề
s
ự
t
ươ
ng quan tuy
ế
n tính gi
ữ
a hai
lo
ạ
i
ñ
i
ể
m trên.
Giải
:
(a) G
ọ
i X là
ñ
i
ể
m thi c
ủ
a sinh viên. Ta có:
78,6
x
=
9,57
s
=
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho
ñ
i
ể
m thi trung bình c
ủ
a m
ộ
t sinh viên:
(
)
;
x e x e
− +
( )
9
1
2
5,97
. 2,2622. 4,27
10 10
s
e t
+γ
= = =
Kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm
(
)
74,33; 82,87
.
(b) G
ọ
i Y là
ñ
i
ể
m
ñồ
án c
ủ
a sinh viên.
Đặ
t
,
X Y
ρ ρ
=
.
Chúng ta ph
ả
i có quy
ế
t
ñị
nh gi
ữ
a hai gi
ả
thi
ế
t:
H
0
:
ρ
= 0 và H
1
:
ρ
≠
0,
N
ế
u H
0
ñ
úng thì BNN
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
120
2
10 2
1
T
R
R
−
−
=
~ t(8)
V
ớ
i m
ứ
c
α
= 5% , giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n là:
(8)
0,975
2,3060
t =
;
v
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, chúng ta có h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u:
0,776
r
=
. Do
ñ
ó:
2
0,776. 8
3, 48
1 (0,776)
t = =
−
Vì
|
t
|
>2,306 nên gi
ả
thi
ế
t H
0
b
ị
bác b
ỏ
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%. Nói cách
khác, chúng ta ch
ấ
p nh
ậ
n r
ằ
ng X và Y t
ươ
ng quan
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
7.5. Để
th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t công trình nghiên c
ứ
u v
ề
m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a chi
ề
u
cao Y(m) và
ñườ
ng kính X(cm) c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i cây, ng
ườ
i ta quan sát trên m
ộ
t m
ẫ
u
ng
ẫ
u nhiên và có k
ế
t qu
ả
sau:
x
i
28 28 24 30 60 30 32 42
43 49
y
i
5 6 5 6 10 5 7 8
9 10
(a). Hãy tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u c
ủ
a X và Y và cho nh
ậ
n xét.
(b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng h
ồ
i quy m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X. Hãy d
ự
báo
chi
ề
u cao c
ủ
a cây có
ñườ
ng kính 45 cm.
Giải
:
(a) r = 0,939.
Vì r r
ấ
t g
ầ
n 1 nên gi
ữ
a X và Y có h
ồ
i qui tuy
ế
n tính.
(b) y = 0,166x + 1,041.
D
ự
báo chi
ề
u cao c
ủ
a cây có
ñườ
ng kính 45 cm là:
y = 0,166
×
45 + 1,041 = 8,5 m
7.6.
X (%) và Y(kg/mm
2
) là hai ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n
ph
ẩ
m.
Đ
i
ề
u tra
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m, b
ả
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
ầ
n s
ố
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Hãy tính các giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u c
ủ
a X, Y; ph
ươ
ng sai m
ẫ
u c
ủ
a X, Y
và h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u gi
ữ
a X và Y.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X. T
ừ
ñ
ó d
ự
ñ
oán xem n
ế
u ch
ỉ
tiêu X là 9 thì ch
ỉ
tiêu Y là bao nhiêu?
Giải
:
a)
Ta có trung bình m
ẫ
u:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
121
5,93; 15,17;
x y
= =
Ph
ươ
ng sai m
ẫ
u:
2 2
3,44; 28,42
X Y
σ σ
= =
H
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u:
0,66
r
=
b)
Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
N
ế
u X có giá tr
ị
là 9 thì Y s
ẽ
nh
ậ
n giá tr
ị
là 21.
7.7.
X (%) và Y(kg/mm
2
) là hai ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n
ph
ẩ
m.
Đ
i
ề
u tra
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m, b
ả
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
ầ
n s
ố
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u gi
ữ
X và Y. Vi
ế
t Vi
ế
t ph
ươ
ng trình h
ồ
i
quy m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X.
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t xem X và Y có t
ươ
ng quan không
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%?
Giải
:
a)
Giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u:
0,66
r
=
.
Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
.
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 1
: 0; : 0
H H
ρ ρ
= ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
2
2
1
T ~ ( 2)
n
R
R t n
−
−
= −
V
ớ
i m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%,
(
)
28
0,975
2,0484
gtth t= =
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta có
2
2
4,69
1
n
t r
r
−
= =
−
Vì
>
t gtth
nên
0
H
b
ị
bác b
ỏ
, ngh
ĩ
a là X và Y t
ươ
ng quan
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
7.8.
X (%) và Y(kg/mm
2
) là hai ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n
ph
ẩ
m.
Đ
i
ề
u tra
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m, b
ả
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
ầ
n s
ố
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho ch
ỉ
tiêu Y (gi
ả
thi
ế
t ch
ỉ
tiêu Y tuân theo lu
ậ
t
phân ph
ố
i chu
ẩ
n).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
122
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X. T
ừ
ñ
ó d
ự
ñ
oán xem n
ế
u ch
ỉ
tiêu X là 9 thì ch
ỉ
tiêu Y là bao nhiêu?
Giải
:
a) Trung bình m
ẫ
u ch
ỉ
tiêu Y là:
15,17; 5,33
= =
Y
y s
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho trung bình ch
ỉ
tiêu Y là:
(
)
;
y e y e
− +
V
ớ
i
( )
29
0,975
5,33
. 2,0452. 1,99 2
30 30
Y
s
e t
= = = ≈
V
ậ
y kho
ả
ng tin c
ậ
y c
ầ
n tìm là:
(
)
13,18;17,16
b) Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
N
ế
u X có giá tr
ị
là 9 thì Y s
ẽ
nh
ậ
n giá tr
ị
là 21.
7.9.
X (%) và Y(kg/mm
2
) là hai ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n
ph
ẩ
m.
Đ
i
ề
u tra
ở
m
ộ
t s
ố
s
ả
n ph
ẩ
m, b
ả
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
ầ
n s
ố
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Có tài li
ệ
u cho r
ằ
ng trung bình ch
ỉ
tiêu X là 6,5%. Hãy cho nh
ậ
n xét v
ề
tài
li
ệ
u trên
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%. Gi
ả
thi
ế
t các ch
ỉ
tiêu X, Y tuân theo lu
ậ
t phân
ph
ố
i chu
ẩ
n.
b)
Tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u c
ủ
a X và Y. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng
th
ẳ
ng h
ồ
i quy m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X.
Giải
:
a) Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0 1 0
: 6,5; :
X X
H H
µ µ µ µ
= = ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
N
ế
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 1
X
T n t n
S
µ
−
= −
V
ớ
i
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%,
(
)
29
0,975
2,0452
gtth t= =
Vói m
ẫ
u c
ụ
th
ể
ta tính
ñượ
c:
5,93 6,5
30 0,908
3,44
t
−
= =
Vì
t gtth
<
nên
0
H
không b
ị
bác b
ỏ
ngh
ĩ
a là ta ch
ấ
p nh
ậ
n tài liêu trên
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a 5%.
b) Giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u:
0,66
r
=
.
Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
123
7.10.
Nghiên c
ứ
u l
ượ
ng phân bón (X kg)
ñượ
c dùng
ñể
bón cho ru
ộ
ng trong
m
ộ
t v
ụ
; Y(kg/1000m2) là n
ă
ng su
ấ
t lúa. Th
ố
ng kê
ở
30 h
ộ
gia
ñ
ình, k
ế
t qu
ả
nh
ư
sau:
S
ố
h
ộ
3 5 2 6 4 3 5 2
x
i
40 40 50 50 50 60 60 60
y
i
270 280 280 290 300 300 310 320
a)
Tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u c
ủ
a X và Y. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy
m
ẫ
u Y theo X.
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t cho r
ằ
ng h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan c
ủ
a X và Y b
ằ
ng 0,9
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
Giải
:
a)
Giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u:
0,891
r
=
.
Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng h
ồ
i quy m
ẫ
u:
210,15 1,64
Y X
= +
.
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0 0 1 0
: 0,9; :H H
ρ ρ ρ ρ
= = ≠
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
Tr
ắ
c nghi
ệ
m U 2
ñ
uôi
ñượ
c s
ử
d
ụ
ng, v
ớ
i
~ (0,1)
Z
Z
Z
U N
− µ
=
σ
.
V
ớ
i m
ứ
c
α
= 5% ,
0,975
gtth 1,96
u= =
;
V
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, ta có
1
2
1 0,891
ln 1,427
1 0,891
+
= = =
−
z z
(
)
1 0,9
0,9
1 1
2 1 0,9 2(30 1)
27
ln 1,488;
Z Z
+
− −
µ = + = σ =
0,317
− µ
σ
= =
Z
Z
z
u
Vì
| |
u gtth
<
nên
0
H
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n ngh
ĩ
a là gi
ả
thi
ế
t h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan c
ủ
a X và
Y b
ằ
ng 0,9 là
ñ
úng
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
7.11. Để
nghiên c
ứ
u s
ự
t
ươ
ng quan gi
ữ
a chi
ề
u cao X (cm) và s
ứ
c n
ặ
ngY
(kg) con ng
ườ
i, quan sát trên m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên, ng
ườ
i ta có k
ấ
t qu
ả
sau:
y
k
x
i
[40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60,
65)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
124
[140, 145)
[145, 150)
[150, 155)
[155, 160)
[160, 165)
1 4
2 6 1
10 8 2
8 6 3
1 1
(a) Hãy l
ậ
p b
ả
ng phân b
ố
t
ầ
n s
ố
, t
ầ
n su
ấ
t cho các giá tr
ị
c
ủ
a X, Y.
(b) Tính các giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u,
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u và h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan
m
ẫ
u c
ủ
a X và Y. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng h
ồ
i quy tuy
ế
n tính m
ẫ
u c
ủ
a Y
theo X.
Giải
:
a) B
ả
ng t
ầ
n s
ố
, t
ầ
n su
ấ
t c
ủ
a X và Y:
Bi
ế
n X Bi
ế
n Y
L
ớ
p T
ầ
n s
ố
T
ầ
n su
ấ
t L
ớ
p T
ầ
n s
ố
T
ầ
n su
ấ
t
[140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019
[145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113
[150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453
[155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302
[160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113
b)
152,69; 54,23; 5,14; 4,41
X Y
x y s s
= = = =
0,6544
r
=
Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy:
31,59 0,56
y x
= − +
7.12. Để
nghiên c
ứ
u s
ự
t
ươ
ng quan gi
ữ
a chi
ề
u cao X (cm) và s
ứ
c n
ặ
ngY
(kg) con ng
ườ
i, quan sát trên m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên, ng
ườ
i ta có k
ấ
t qu
ả
sau:
y
k
x
i
[40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60,
65)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
125
[140, 145)
[145, 150)
[150, 155)
[155, 160)
[160, 165)
1 4
2 6 1
10 8 2
8 6 3
1 1
a) Tính giá tr
ị
h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan m
ẫ
u c
ủ
a X và Y. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
h
ồ
i quy tuy
ế
n tính m
ẫ
u c
ủ
a Y theo X.
b) Có tài li
ệ
u cho bi
ế
t h
ệ
s
ố
t
ươ
ng quan gi
ữ
a X và Y là 0,65. Hãy cho nh
ậ
n xét v
ề
tài li
ệ
u
ñ
ó,
ở
m
ứ
c
α
= 5%.
Giải
:
a)
0,6544
r
=
Ph
ươ
ng trình h
ồ
i quy:
31,59 0,56
y x
= − +
b)
Ki
ể
m
ñị
nh gi
ả
thi
ế
t
0
H
:
ρ
= 0,65
ñố
i v
ớ
i H
1
:
ρ
≠
0,65
ở
m
ứ
c
α
=
5%.
Tr
ắ
c nghi
ệ
m U 2
ñ
uôi
ñượ
c s
ử
d
ụ
ng, v
ớ
i
~ (0,1)
Z
Z
Z
U N
− µ
=
σ
.
V
ớ
i m
ứ
c
α
= 5% ,
0,975
gtth 1,96
u= =
;
v
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, chúng ta có :
(
)
1 0,6544
1
2 1 0,6544
ln 0,783
+
−
= =z
,
(
)
1 0,65
0,65
1 1
2 1 0,65 2(53 1)
50
ln 0,7816;
+
− −
µ = + = σ =
Z Z
,
và
0,01
− µ
σ
= =
Z
Z
z
u
Vì
gtth
<
u
nên
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, gi
ả
thi
ế
t
0
H
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n, ngh
ĩ
a là
tài li
ệ
u
ñượ
c ch
ấ
p nh
ậ
n (
ở
m
ứ
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
| 1/125
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân BÀI TẬP
XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT 1.1.
Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau ñược ghi các số từ 1 ñến 100, Rút ngẫu
nhiên hai thẻ rồi ñặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất ñển
a/ Rút ñược hai thẻ lập nên một số có hai chữ số.
b/ Rút ñược hai thẻ lập nên một số chia hết cho 5. Giải
a/ A :“Hai thẻ rút ñược lập nên một số có hai chữ số” 2 A 9.8 P ( A) 9 = = ≈ 0, 0073 2 A 100.99 100
b/ B : “Hai thẻ rút ñược lập nên một số chia hết cho 5”
Số chia hết cho 5 tận cùng phải là 0 hoặc 5. Để có biến cố B thích hợp với ta rút
thẻ thứ hai một cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 thẻ còn lại ñặt vào vị trí ñâu. Do ñó số trường hợp thuận lợi cho là 99.20 99.20 P (B) = = 0, 20 2 A100 1.2.
Một hộp có chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu ñen cùng kích thước. Rút
ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả cầu. Tính xác suất ñể trong 4 quả cầu rút ñược có a/ Hai quả cầu ñen. b/ Ít nhất 2 cầu ñen c/ Toàn cầu trắng Giải
Rút ngẫu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 quả cầu nên số trường hợp ñồng khả năng là 4 C 10
a/ A :”trong 4 quả cầu rút có 2 quả cầu ñen” 2 2 C .C P ( A) 3 7 = = 0,30 4 C10
b/ B :”trong 4 quả cầu ñược rút có ít nhất 2 quả cầu ñen” 2 2 3 1
C .C + C .C 1 P (B) 3 7 3 7 = = 4 C 3 10
c/ C :”trong 4 quả cầu ñược chọn có toàn cầu trắng” 2 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 4 C 1 P (C) 7 = = 4 C 6 10 1.3.
Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống kém chất lượng. Chọn ngẫu
nhiên lần lượt không trả lại 2 ống. Tính xác suất ñể:
a/ Cả hai ống ñược chọn ñều tốt.
b/ Chỉ ống ñược chọn ra ñầu tiên là tốt.
c/ trong hai ống có ít nhất một ống thuốc tốt. Giải
Chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 trong 8 ống nên các trường hợp ñồng khả năng là 2 A . 8 2 A
a/ A :” Cả hai ống ñược chọn ñều tốt” P ( A) 5 = ≈ 0,357 2 A8 1 1 C .C
b/ B :” Chỉ ống ñược chọn ra ñầu tiên là tốt” P (B) 3 5 = ≈ 0, 268 2 A8 2 A
c/ C :” trong hai ống có ít nhất một ống thuốc tốt” P (C) 3 = 1− ≈ 0,893 2 A8 1.4.
Một hộp ñựng 15 quả bóng bàn trong ñó có 9 quả mới. Lần ñầu người ta lấy
ngẫu nhiên 3 quả ñể thi ñấu, sau ñó lại trả vào hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 3
quả. Tính xác suất ñể cả 3 quả lấy ra lần sau ñều mới. Giải
Đặt A :” cả 3 quả lấy ra lần sau ñều mới”
B :” Trong 3 quả lấy ra ñể thi ñấu có i quả mới” i ∈{0;1;2; } 3 i
Ta thấy các {B ; B ; B ; B lập thành nhóm ñầy ñủ các biến cố, theo công thức xác 0 1 2 3} suất toàn phần P ( )
A = P(B )P(A | B ) + P(B )P(A | B )+ P(B )P(A | B ) + P(B )P(A | B ) 0 0 1 1 2 2 3 3 = ( + + + ) 1 20.84 135.56 216.35 84.20 ≈ 0, 089 207025 1.5.
Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên
5 sinh viên ñể lập Ban cán bộ lớp (BCB). Tính xác suất ñể 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
a/ BCB gồm 3 nữ và 2 nam,
b/ BCB có ít nhất một nữ,
c/ BCB có ít nhất hai nam và hai nữ. Giải
Đặt A : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈{0,1,2,3,4, } 5 ), k chúng ta có: k 5− k C . C 12 8 P(A ) k = 5 C20
a/ BCB gồm 3 nữ và 2 nam. Xác suất phải tính: 2 3 C12. C8 77 P( 2 A ) = = 5 323 C20
b/ Đặt N: “BCB có ít nhất một nữ”, thì N = 5 A . Do ñó,
P(N ) = P( 5 A ) = 1 − P( 5 A ) 5 0 C 12. C8 33 613 = − = 1 − = 5 646 646 C20
c/ Đặt H: “BCB có ít nhất hai nam và hai nữ”. Do ñó,
P (H ) = P( A + P A 2 ) ( 3 ) 3 2 . C C = 77 12 8 616 + = 323 5 969 C 20 1.6.
Từ một hộp chứa 8 viên bi ñỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2
lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại. Tính xác suất ñể lấy ñược a/ 2 viên bi ñỏ; b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi thứ hai là bi trắng. Giải Với i ∈{1, } 2 , ñăt:
T : “viên bi lấy ra lần thứ i là bi trắng”, i
D : “viên bi lấy ra lần thứ i là bi ñỏ”. i
a/ Đặt A :“lấy ñược 2 viên bi ñỏ”, chúng ta có:
P( A) = P( 8 7 14 1 D 2 D ) = P( 1 D ).P( 2 D / 1 D ) = . = 13 12 39
b/ Đặt B : “lấy ñược hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
P (B) = P (T D + D T = P T D + P D T 1 2 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P D / T + P D .P T / D 1 ) ( 2 1) ( 1) ( 2 1 ) Suy ra: 5 8 8 5 20 P(B) = + = 13 12 13 12 39
c/ T = TT + D T , nên xác suất phải tính là: 2 1 2 1 2
P (T = P TT + P D T 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P T / T + P D .P D / T 1 ) ( 2 1) ( 1) ( 2 1) suy ra P( 2 T ) 5 4 8 5 5 = + = 13 12 13 12 13 1.7.
Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp
ñơn xin dự tuyển, và mỗi người ñều có cơ hội ñược tuyển như nhau. Tính xác suất
ñể trong 4 người ñược tuyển, a) có duy nhất một nam;
b) có ít nhất một nữ. Giải
Đặt A : “Có k nam ñược tuyển trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} k 1 3 C .C 5
Gọi A : “có duy nhất 1 nam” P (A) = P (A ) 5 3 = = 1 4 C 70 8
a) Gọi B : “có ít nhất 1 nữ” 4 C 13 P (B ) 5
= 1− P (A ) = 1− = 4 4 C 14 8 1.8.
Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp
ñơn xin dự tuyển, và mỗi người ñều có cơ hội ñược tuyển như nhau. Tính xác suất
ñể trong 4 người ñược tuyển, a/ có không quá hai nam;
b/ có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ ñã ñược tuyển. Giải
Đặt A : “Có k nam ñược tuyển trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} k
a/ Gọi C : “có không quá 2 nam” 1 3 2 2
C .C +C .C 1 P (C ) 5 3 5 3
= P (A ) + P (A ) = = 1 2 4 C 2 8
b/ Gọi D : “chọn ra 3 nữ, biết rằng có ít nhất 1 nữ ñược tuyển”.
Gọi B : “Có ít nhất một nữ ñược chọn”. 5 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 4 Ta có C 13 P (B ) 5
= 1− P (A ) = 1− = 4 4 C 14 8 P (A ) 1 P (D ) 1
= P (A | B) = = 1 P (B) 13 1.9.
Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng ñến cửa
hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thực hiện cả hai ñiều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính
xác suất ñể người này
a/ không thực hiện cả hai ñiều trên;
b/ không mua sách, biết rằng người này ñã hỏi nhân viên bán hàng. Giải
Đặt A : “khách hàng cần tư vấn”
B : “khách hàng cần mua sách”
Theo ñề ta có: P (A) = 0,3;P (B ) = 0,2;P (AB ) = 0,15
a/ Xác suất khách hàng không cần mua sách cũng không cần tư vấn là:
P (AB ) = P (A) + P (B ) − P (AB ) 3 2  15  13 . = 1− +1− − 1−  = 10 10  100  20
b/ không mua sách, biết rằng người này ñã hỏi nhân viên bán hàng. 3 15 P (AB ) − P (B A)
P (A) − P (AB ) 1 10 100 / = = = = P (A) P (A) 3 2 10 1.10.
Một cuộc ñiều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại
sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y , có
36,5% dùng X . Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố ñó, tính xác suất ñể người ấy
a/ Dùng cả X và Y ;
b/ Không dùng X , cũng không dùng Y . Giải
Đặt A : “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm X ”
B : “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm Y ”
Theo ñề bài ta có: P (A) = 0,207;P (B) = 0,5;P (A| B) = 0,365
a) Xác suất người dân ñó dùng cả X và Y là
P (AB ) = P (B ).P (A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b) Xác suất người dân ñó không dùng cả X và Y là P ( . A B ) = P ( .
A ) + P (B ) −P (AB ) = 0,4755 1.11. 6 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Một cuộc ñiều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại
sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y , có
36,5% dùng X . Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố ñó, tính xác suất ñể người ấy
a/ Dùng cả X và Y ;
b/ Dùng Y , biết rằng người ấy không dùng X . Giải
Đặt A : “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm X ”
B : “ người dân trong thành phố dùng sản phẩm Y ”
Theo ñề bài ta có: P (A) = 0,207;P (B) = 0,5;P (A/B) = 0,365
a/ Xác suất người dân ñó dùng cả X và Y là
P (AB ) = P (B ).P (A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b/ Xác suất người dân ñó dùng Y , biết rằng không dùng X là P ( .
A B ) P (B ) −P (AB ) P (B A) 0,5 − 0,1852 / = = = = 0, 404 P (A) P (A) 1− 0, 207 1.12.
Theo một cuộc ñiều tra thì xác suất ñể một hộ gia ñình có máy vi tính nếu
thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ ñược ñiều tra thì
60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất ñể một hộ gia
ñình ñược chọn ngẫu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhập trên 20 triệu. Giải
Đặt A : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có máy vi tính”
B : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm trên 20 triệu”
Theo ñề bài ta có: P (A) = 0,52;P (B) = 0,6;P (A / B) = 0,75
a/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu là:
P ( AB) = P(B).P( A / B) = 0,6.0,75 = 0,45
b/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính nhưng thu nhập ít hơn 20 triệu là:
P (AB ) = P (A) −P (AB ) = 0,52 − 0,45 = 0,07 1.13.
Theo một cuộc ñiều tra thì xác suất ñể một hộ gia ñình có máy vi tính nếu
thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ ñược ñiều tra thì
60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất ñể một hộ gia
ñình ñược chọn ngẫu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;
b/ Có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ ñó không có máy vi tính. 7 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải
Đặt A : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có máy vi tính”
B : “Hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm trên 20 triệu”
Theo ñề bài ta có: P (A) = 0,52;P (B) = 0,6;P (A / B) = 0,75
a/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu là:
P ( AB) = P(B).P( A / B) = 0,6.0,75 = 0,45
b/ Xác suất ñể hộ gia ñình ñược chọn có thu nhập hàng năm trên 20 triệu nhưng không có máy vi tính là: P (AB ) P (B A)
P (B ) − P (AB ) 0, 6 − 0, 45 / = = = = 0,3125 P (A) P (A) 1− 0,52 1.14.
Trong một ñội tuyển có hai vận ñộng viên A và B thi ñấu. A thi ñấu trước
và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có
60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30%.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a/ Đội tuyển thắng hai trận;
b/ Đội tuyển thắng ít nhất một trận. Giải
Đặt M : “vận ñộng viên i thắng” với i ∈{ , A B} i
Theo ñề bài ta có:P (M ) = 0,8;P (M / M ) = 0,6;P (M / MA A B A B ) = 0,3
a/ Xác suất ñội tuyển thắng 2 trận là P (M M P M P M M A B ) = ( A ). ( / B
A ) = 0, 8.0, 6 = 0, 48
b/ Đội tuyển thắng ít nhất một trận nghĩa là có ít nhất một trong hai vận ñộng viên
A, hoặc B thắng. Xác suất cần tính là: P(M ∪ M = P M + P M − P M M A B ) ( B ) ( A ) ( . A B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15.
Trong một ñội tuyển có hai vận ñộng viên A và B thi ñấu. A thi ñấu trước
và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có
60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30%.
Tính xác suất của các biến cố sau: a/ B thắng trận;
b/ Đội tuyển chỉ thắng có một trận. Giải
Đặt M : “vận ñộng viên i thắng” với i ∈{ , A B} i
Theo ñề bài ta có:P (M ) = 0,8;P (M / M ) = 0,6;P (M / MA A B A B ) = 0,3
a/ Xác suất B thắng trận là:
P (M ) = P(M )P(M | M .) + P(M ).P(M | M ) = 0,54 B A B A A B A 8 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ Đặt D : “ñội tuyển chỉ thắng 1 trận”
Xác suất ñội tuyển chỉ thắng 1 trận là:
P (D) = P (M .M B + P M M = P M − P M M + P M − P M M A ) ( A. B ) ( A ) ( . A B ) ( B ) ( . A B )
= P (M ) + P (M ) − 2.P (M .M ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 A B A B ` 1.16.
Để thành lập ñội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc
thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí
sinh ñã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai. Để
vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược cả 3 vòng thi. Tính xác suất ñể một thí sinh bất kỳ
a/ Được vào ñội tuyển;
b/ Bị loại ở vòng thứ ba. Giải
Đặt A : “thí sinh ñược chọn ở vòng i ” với i ∈{1,2, } 3 i Theo ñề bài ta có:
P (A = 0,8;P A | A = 0,7;P A | AA = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác suất ñể thí sinh ñó ñược vào ñội tuyển là
P (AA A = P A .P A | A .P A | AA = 0,8.0,7.0, 45 = 0, 252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1) ( 3 1 2 )
b/ Xác suất ñể thí sinh ñó bị loại ở vòng thứ III là P (AA 3
A ) = P (A ).P (A / A ).P ( 3 A / 1 2 1 2 1 1 A 2 A )
= P (A .P A | A . 1− P A | AA = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1 ) ( 2 1 ) ( ( 3 1 2 )) 1.17.
Để thành lập ñội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc
thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí
sinh ñã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai. Để
vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược cả 3 vòng thi Tính xác suất ñể một thí sinh bất kỳ
a/ Được vào ñội tuyển;
b/ Bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại. Giải
Đặt A : “thí sinh ñược chọn ở vòng i ” với i ∈{1,2, } 3 i Theo ñề bài ta có:
P (A = 0,8;P A | A = 0,7;P A | AA = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác suất ñể thí sinh ñó ñược vào ñội tuyển là
P (AA A = P A .P A | A .P A | AA = 0,8.0,7.0, 45 = 0, 252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1) ( 3 1 2 )
b/ Đặt K: “Thí sinh ñó bị loại”
P (K ) = P ( 1
A ) + P (A 2
A ) + P (AA 3
A ) =1−P (A ) + P (A ) −P (AA ) + P (AA 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 A ) 9 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
= 1− P (A ).P (A / A ) + P (AA 3 A
= 1− 0,8.0, 7 + 0,308 = 0, 748 1 2 1 1 2 )
Vậy, xác suất ñể thí sinh ñó bị loại ở vòng II, biết rằng thí si nh ñó bị loại là: P ( 2
A .K ) P (A .A2 ) P (A ).P ( 2 A | 1 1 1 A ) P ( 0,8 1− 0,7 2 A | K ) ( ) = = = = = 0, 3209 P (K ) P (K ) P (K ) 0, 748 1.18.
Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn
ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác suất ñể
sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm ñều ñược kiểm tra. Giải
Chia 9 sản phẩm thành 3 nhóm. Gọi A : “Kiểm tra nhóm i ” i ∈{1,2, } 3 i
Đặt A :”Sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm ñều ñược kiểm tra” 3 3 ( ) C C 5 P A A A = P A ( P ) A ( | A P ) A ( | A A 6 3 ) = 1. . = 1 2 3 1 2 1 3 1 2 C 3 C 3 1764 9 9 1.19.
Một lớp học của Trường Đại học AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là nữ
sinh viên. Số sinh viên quê ở An Giang chiếm tỉ lệ 40% trong nữ sinh viên, và
chiếm tỉ lệ 60% trong nam sinh viên.
a) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể chọn ñược một
sinh viên quê ở An Giang. Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê ở An
Giang thì xác suất ñể sinh viên ñó là nam bằng bao nhiêu?
b) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể
có ít nhất một sinh viên quê ở An Giang, biết rằng lớp học có 60 sinh viên. Giải a) Đặt : 2
A : “Chọn ñược sinh viên nam” P (A) = 3 1
B : “Chọn ñược sinh viên nữ” P (B ) = 3
C : “Chọn ñược sinh viên quê ở An Giang” 8
P (C ) = P (AC ) + P (BC ) = P (A)P (C | A) + P (B )P (C | B ) = 15 P (AC ) P ( ) A P (C | ) A 3
Do ñó, P(A |C ) = = = P (C ) P (C ) 4
b) Lớp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ
Số sinh viên Nam quê ở An Giang: 24
Số sinh viên Nữ quê ở An Giang: 8
Nên tổng số sinh viên quê ở An Giang là 32 sinh viên
F : “ít nhất một sinh viên quê ở An Giang” 2 C 232 28
P (F ) = 1− P (F ) = 1− = 2 C 295 60 1.20. 10 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Có ba hộp A, B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng,
hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng
a/ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất ñể ñược 3 lọ cùng loại.
b/ Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 3 lọ thuốc thì ñược 1 lọ tốt
và 2 lọ hỏng. Tính xác suất ñể hộp A ñã ñược chọn. Giải
a/ và A :“lọ lấy ra từ hộp thứ i là tốt” i ∈ {1,2, } 3 i
Nên, xác suất ñể ñược 3 lọ cùng loại P A ( A . A . + A A . A . ) = P A ( P ) A ( P ) A ( ) + P A ( P ) A ( P ) A ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 6 5 5 4 5 4 = . . + . . = 15 10 10 15 10 10 15
b/ Đặt H :“Lấy ñược hộp thứ i ” i ∈ {A,B,C } ; X :“Lấy ñược 2 lọ hỏng và 1 lọ i tốt” P X
( ) = P (H P X | H + P H P X | H + P H P X | H A ) ( A ) ( B ) ( B ) ( C ) ( C ) 1 C C 2 1 1 C C 2 1 1 C C 2 1 5113 5 10 4 6 5 5 = + + = 3 C 3 3 C 3 3 C 3 16380 15 10 10
Khi ñó xác suất ñể hộp A ñược chọn P (XH P H P X | H 1200 A ) ( A) ( A ) P H ( | X) = = = = 0, 2347 A P (X ) P (X ) 5113 1.21.
Có hai hộp B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C
có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, rồi
tiếp theo lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc từ hộp C thì ñược lọ hỏng. Tính xác suất ñể
a/ Lọ hỏng ñó là của hộp B bỏ sang;
b/ Hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều là lọ hỏng. Giải
Gọi C : “Hai lọ thuốc lấy từ hộp B bỏ vào hộp C có k lọ hỏng” k ∈ {0,1, } 2 k
và ñặt D : “lọ thuốc lấy từ hộp C (sau khi ñã bỏ 2 lọ từ B bỏ sang) bị hỏng” 29 P D
( ) = P (C )P (D |C ) + P (C )P (D |C ) + P (C )P (D |C = 0 0 1 1 2 2 ) 60
a/ lọ hỏng ñó là của hộp B bỏ sang P H ( D) P (C | + | 1 )P (D
C1) P (C2 )P (D C2 ) P H ( | D 2 ) = = 2 P D ( ) P (D) CC 1 1 1 C 2 2  60 4  6 4 4 . .  = + =
C 2 12 C 2 12 29 29  10 10  11 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều là lọ hỏng P C ( D) P (C |   2 )P (D C2 ) C 2 C 1 60 42 P C ( | D 2  4 7 ) .  = = = = 2 P D ( )   P (D) C 2 C 1 29 261  10 12  1.22.
Trong một ñội tuyển có 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác suất
chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi ñấu một trận ñộc lập nhau.Tính xác suất ñể:
a/ ñội tuyển thắng ít nhất một trận,
b/ ñội tuyển thắng 2 trận. Giải Đặt :
A : “vận ñộng viên A chiến thắng” P (A) = 0,6
B : “vận ñộng viên B chiến thắng” P (A) = 0,7
C : “vận ñộng viên C chiến thắng” P (A) = 0,8
a/ Gọi K : “ ñội tuyển thắng ít nhất 1 trận” P K
( ) = 1 − P (AB . C . ) = 1− P A ( P ) B ( P ) C ( ) = 0, 976
b/ Gọi E : “ ñội tuyển thắng 2 trận” P E ( ) = P (AB . C . ) + P (AB . C . ) + P (AB . C . ) = 0,452 1.23.
Trong một ñội tuyển có 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác suất
chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi ñấu một trận ñộc lập nhau.Tính xác suất ñể:
a/ Đội tuyển thắng ít nhất một trận,
b/ A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng 2 trận. Giải Đặt :
A : “vận ñộng viên A chiến thắng” P (A) = 0,6
B : “vận ñộng viên B chiến thắng” P (A) = 0,7
C : “vận ñộng viên C chiến thắng” P (A) = 0,8
a/ Gọi K : “ ñội tuyển thắng ít nhất 1 trận” P K
( ) = 1 − P (AB . C . ) = 1− P A ( P ) B ( P ) C ( ) = 0, 976
b/ A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng 2 trận
Gọi E : “ ñội tuyển thắng 2 trận” P E ( ) = P (AB . C . ) + P (AB . C . ) + P (AB . C . ) = 0,452 12 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân ( | ) P A ( E . ) P( ABC ) 56 P A E = = = ≈ 0, 4956 P E ( ) P E ( ) 113 1.24.
Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt
môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt
môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của trường XYZ.
a/ Tính xác suất ñể anh ta trượt cả hai môn Toán và Tâm lý; ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý.
b/ Nếu biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý thì xác suất ñể anh ta ñậu môn Toán là bao nhiêu? Giải
T : “sinh viên thi trượt môn Toán” P (T ) = 0,34
và L : “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý” P (L) = 0,205
khi ñó P(L |T ) = 0,5
a/ Xác suất sinh viên truợt môn cả môn Toán và Tâm Lý P T ( L
. ) = P (T )P (L |T ) = 0, 34.0,5 = 0,17
Xác suất sinh viên ñậu cả môn Toán và Tâm Lý P (T L . ) = 1− P T
( ∪ L) = 1 − P (T ) − P (L) + P (T L . ) = 0,625
b/ Xác suất sinh viên ñậu môn Toán, biết rằng trượt môn Tâm Lý: P (TL)
P (L) − P (TL) 7
P (T | L) = = = . P (L) P (L) 41 1.25.
Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt
môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt
môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của
trường XYZ. Nhiều khả năng nhất là sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác suất tương ứng. Đáp số
Gọi T : “sinh viên thi trượt môn Toán” P (T ) = 0,34
và L : “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý” P (L) = 0,205 khi ñó P(L |T) = 0,5
Xác suất sinh viên truợt môn cả môn Toán và Tâm Lý P T ( L
. ) = P (T )P (L |T ) = 0, 34.0,5 = 0,17
Nên, Sinh viên trượt cả Toán và Tâm lý với xác suất không ñổi p = 0,17 . 13 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Do ñó, chọn 12 sinh viên nghĩa là thực hiện 12 phép thử Bernoulli với xác
suất thành công (trượt cả Toán và Tâm lý) không ñổi p = 0,17 .số sinh viên nhiều
khả năng trượt cả hai môn (n .  ) 1 p 1  3.0,17 + = = 2      
Xác suất tương ứng là P (2) =C (0,17)2 .(1 − 0,17)10 2 = 0, 296 . 12 12 1.26.
Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt
môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt
môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Phải chọn bao nhiêu sinh viên
của trường XYZ sao cho, với xác suất không bé hơn 99%, trong số ñó có ít nhất
một sinh viên ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý. Giải
T : “sinh viên thi trượt môn Toán” P (T ) = 0,34
và L : “sinh viên thi trượt môn Tâm Lý” P (L) = 0,205
khi ñó P(L |T ) = 0,5
Xác suất sinh viên ñậu cả môn Toán và Tâm Lý P (T L . ) = 1− P T
( ∪ L) = 1 − P (T ) − P (L) + P (T L . ) = 0,625
Gọi n là số sinh viên cần chọn. Xác suất ñể sinh viên ñậu cả hai môn Toán
và Tâm Lý không ñổi p = 0,625 nên ta có quá trình Bernoulli B( , n p).
Đặt E : “ ít nhất một sinh viên ñậu cả hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu cầu bài toán ta ñược
P (E ) = 1 − P ( ) 0 = 1 − − ≥ n (1 0,625)n 0, 99
⇔ 0, 01 ≥ (0, 375)n ⇔ ln 0, 01 ≥ ln(0, 375)n ⇔ n ≥ 4,69
Vậy, chọn ít nhất 5 sinh viên. 1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 của một xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30% và
10% tổng số sản phẩm của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của các máy
trên, theo thứ tự, là 2%, 3% và 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng của
xí nghiệp, trong ñó ñể lẫn lộn các sản phẩm do 3 máy sản xuất.
a/ Tính xác suất ñể sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Ý nghĩa của xác
suất ñó ñối với lô hàng là gì?
b/ Nếu sản phẩm lấy ñược là phế phẩm, thì nhiều khả năng nhất là do máy nào sản xuất? Giải
Đặt M : “sản phẩm lấy ra do máy i sản xuất” với i ∈{1,2, } 3 i
P (M = 0,6;P M = 0,3;P M = 0,1 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Và T :“sản phẩm lấy ra là phế phẩm”
P (T | M = 0, 98;P T | M = 0, 97;P T | M = 0, 96 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 14 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
a/ T :”sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”
P (T ) = P (M )P (T | M ) + P (M )P (T | M ) + P (M )P (T | M = 0,975 1 1 2 2 3 3 )
Ý nghĩa, xác suất thể hiện tỉ lệ sản phẩm tốt của lô hàng.
b/ Xác suất lấy ra sản phẩm là phế phẩm
P (T) = 1 − P (T ) = 0,025 Theo công thức Bayes P (M T . | 1
) P(M1)P(T M1) 0,6.0,02 P (M |T = = = = 0, 48 1 ) P (T) P (T) 0, 025 P (M .T P M P T | M 2 ) ( 2) ( 2 ) P ( 0, 3.0, 03 M |T = = = = 0, 36 2 ) P (T) P (T) 0, 025 P (M T . | 3
) P(M3)P(T M3) 0,1.0,04 P (M |T = = = = 0,16 3 ) P (T) P (T) 0, 025
Do ñó, sản phẩm do máy 1 sản xuất ra phế phẩm nhiều nhất. 1.28.
Chia ngẫu nhiên 9 tấm vé số, trong ñó có 3 vé trúng thưởng, ñều cho 3
người (mỗi người 3 tấm). Tính xác suất ñể cả 3 người ñều ñược trúng thưởng. Giải
Đặt A : “Người mua vé thứ i ñược vé trúng thưởng” với i ∈{1,2, } 3 i 1 2 1 2 1 2 ( ) = ( ) ( | ) ( | ) C C C C C C 9 P A A A P A P A A P A A A 3 6 2 4 1 2 = . . = 1 2 3 1 2 1 3 1 2 C 3 C 3 C 3 28 9 6 3 1.29.
Trong số các bệnh nhân ñang ñược ñiều trị tại một bệnh viện, có 50% ñiều
trị bệnh A, 30% ñiều trị bệnh B và 20% ñiều trị bệnh C. Tại bệnh viện này, xác
suất ñể chữa khỏi các bệnh A, B và C, theo thứ tự, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ
lệ bệnh nhân ñược chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân ñã ñược chữa khỏi bệnh trong bệnh viện. Giải
Đặt T : “bệnh nhân ñiều trị bệnh i ” với i ∈{ , A B,C } i
K : “bệnh nhân ñược khỏi bệnh”
Theo ñề bài ta có: P (T ) = 0,5;P (T ) = 0,3;P (T ) = 0, 2 A B C
và P (K /T ) = 0,7;P (K /T ) = 0,8;P (K /T ) = 0,9 A B C
Xác suất ñể bệnh nhân khỏi bệnh là 15 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân C
P (K ) = ∑P (T P K T = + + = i ).
( / i ) 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77 i =A
Xác suất ñể bệnh nhân trị khỏi bệnh A là P (T P K T A ) . ( | A ) 0,5.0,7
P (T | K = = = A ) 45, 45% P (K ) 0,77 1.30.
Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi ñỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B
chứa 3 bi ñỏ và 5 bi trắng. Gieo một con xúc xắc vô tư: Nếu mặt 3 hoặc mặt 5
xuất hiện thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình B; các trường hợp khác thì chọn ngẫu
nhiên một bi từ bình A. Tính xác suất ñể chọn ñược viên bi ñỏ. Nếu viên bi trắng
ñược chọn, tính xác suất ñể mặt 5 của con xúc xắc xuất hiện. Giải Đặt 1
X : “Gieo con xúc xắc ñược mặt 3 hoăc mặt 5”, P X ( ) = 3
D : “Lấy từ bình ra một bi là bi ñỏ”. Ta có 1 1 C C 1 2 1 3 5
P(D) = P(X )P(D | X ) + P(X )P(D | X ) = . + . = 1 1 3 C 3 C 3 8 16
Gọi T : “một viên bi ñược chọn là bi trắng” 1 C 1 2 C 1 1 P T ( ) = P X ( P ) T ( | X) + P X ( P ) T ( | X 5 3 ) = . + . = 3 C 1 3 C 1 3 8 16
Đặt E : “gieo con xúc xắc ñược mặt 5”.
Xác suất mặt 5 xuất hiện, biết rằng bi ñược chọn là bi trắng là P 1 (XT) ( | ) 1 P X ( P ) T ( | X) 1 1 5 5 P E T = = = .3. . = 2 P (T ) 2 P (T ) 2 3 8 16 1.31.
Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi ñỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B
chứa 3 bi ñỏ và 5 bi trắng.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình A bỏ vào bình B, rồi từ bình B lấy ngẫu
nhiên 1 viên bi thì ñược bi ñỏ. Theo ý bạn, viên bi ñó vốn thuộc bình nào? Giải
Gọi A : “ có k bi ñỏ trong 3 viên bi lấy từ bình A bỏ vào bình B” với k ∈{0,1,2, } 3 k
Đặt F : “Lấy một bi từ bình B ra là bi ñỏ”. 3 1 2 3 C 3 C C 4 11 5 11 P(F ) =
P(A )P(F | A ) = . + . + ∑ k k 3 3 k = C 11 C 11 0 16 16 2 1 3 C C 5 C 6 63 5 11 5 + . + . = 3 3 C 11 C 11 176 16 16
Đặt G : “bi ñỏ sau cùng lấy từ bình B”. 16 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân C 1 3 P G 3 ( ) = = C 1 11 11 P (GF ) P (G) Do ñó 3 176 16 1 P G ( | F) = = = . = > . P (F ) P (F ) 11 63 21 2
Vậy, bi ñỏ sau cùng nhiều khả năng nhất là của bình B. 1.32.
Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ trắng và 5 con thỏ
nâu; chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu
nhiên ra một con ñể nghiên cứu. Các con thỏ còn lại ñược dồn vào một chuồng thứ
ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Tính xác suất ñể con
thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu. Giải
Đặt A : “Thỏ bắt ở chuồng 1 ra nghiên cứu là thỏ nâu ” 5 P( ) A = 6
B : “Thỏ bắt ở chuồng 2 ra nghiên cứu là thỏ nâu” 1 P(B) = 10
Gọi N : “Thỏ bắt ở chuồng 3 ra nghiên cứu là thỏ nâu ”
P(N ) = P ( .
A B.N ) + P ( .
A B.N ) + P ( .
A B.N ) + P ( . A B.N ) = P ( .
A B)P (N | . A B) + P ( .
A B)P (N | . A B) + + P ( .
A B)P (N | . A B) + P ( .
A B)P (N | . A B) = P ( )
A P (B)P (N | . A B) + P ( )
A P (B)P (N | . A B) + + P ( )
A P (B)P (N | . A B) + P ( )
A P (B)P (N | . A B) = P ( )
A P (B) 4 + P ( )
A P (B) 6 + P ( )
A P (B) 5 + P ( ) A P (B) 5 38 = 14 14 14 14 105 1.33.
Ban giám ñốc một công ty liên doanh với nước ngoài ñang xem xét khả
năng ñình công của công nhân ñể ñòi tăng lương ở hai nhà máy A và B. Kinh
nghiệm cho họ biết cuộc ñình công ở nhà máy A và B xảy ra lần lượt với xác suất
0,75 và 0,65. Ngoài ra, họ cũng biết rằng nếu công nhân ở nhà máy B ñình công
thì có 90% khả năng ñể công nhân ở nhà máy A ñình công ủng hộ.
a/ Tính xác suất ñể công nhân ở cả hai nhà máy ñình công.
b/ Nếu công nhân ở nhà máy A ñình công thì xác suất ñể công nhân ở nhà
máy B ñình công ñể ủng hộ bằng bao nhiêu? Giải
Đặt : A : “ Công nhân ñình công ở nhà máy A” P( ) A = 0, 75 17 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
B : “Công nhân ñình công ở nhà máy B” P(B) = 0, 69;P (A | B) = 0,9
a/ Xác suất công nhân ñình công ở 2 nhà máy là
P (AB ) = P (A).P (A | B ) = , 0 65. , 0 9 = , 0 585
b/ Nếu công nhân ở nhà máy A ñình công thì xác suất ñể công nhân ở nhà máy B ñình công là P (AB ) , 0 585
P (B | A) = = = , 0 78 P (A) , 0 75 1.34.
Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bản cân ñối thu chi chứa các
sai lầm. Trong các bản chứa sai lầm, 60% ñược xem là các giá trị bất thường so
với các số xuất phát từ gốc. Trong tất cả các bản cân ñối thu chi thì 20% là những
giá trị bất thường. Nếu một con số ở một bảng cân ñối tỏ ra bất thường thì xác suất
ñể số ấy là một sai lầm là bao nhiêu? Giải
Đặt A : “bản cân ñối thu chi chứa sai lầm” P( ) A = 0,15
B : “bản cân ñối thu chi chứa giá trị bất thường”
P(B) = 0, 2;P (B | ) A = 0, 6
Xác suất 1 con số ở 1 bảng cân ñối tỏ ra bất thường là 1 sai lầm: P (AB )
P (A).P (B | A) , 0 15. , 0 6
P (A | B ) = = = = , 0 45 P (B ) P (B ) , 0 2 1.35.
Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng 80% số người
dùng tủ lạnh có ñọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người
ñọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không ñọc quảng cáo cũng mua
loại tủ lạnh X. Tính xác suất ñể một người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có ñọc quảng cáo. Giải
Đặt A : “người ñó ñọc quảng cáo” P( ) A = 0, 8
B : “người ñó mua tủ lạnh X” P (B / A) = , 0 ;
3 P (B / A) = ,01
Trước tiên tính xác suất ñể người mua tủ lạnh X
P (B ) = P (AB ) + P (AB ) = P (A).P (B / A) + P (A).P (B / A) = , 0 26
Xác suất ñể 1 người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có ñọc quảng cáo: P (AB )
P (A).P (B | A) , 0 8. , 0 3 12
P (A | B ) = = = = P (B ) P (B ) , 0 26 13 1.36.
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập. Hệ
thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả
năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của
mỗi bóng của mỗi hệ thống ñược xem như ñộc lập. Tính xác suất ñể
a/ Hệ thống I bị hỏng; 18 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ Hệ thống II không bị hỏng. Giải
a/ Đặt A :”bóng ñèn thứ i trong hệ thống I bi hỏng” i ∈ {1,2,3,4}. i
Xác suất hệ thống I bị hỏng P( )
A = P(A + A + A + A ) = 1 − P (A .A .A .A ) 4 = 1 − 0, 9 = 0, 3439 1 2 3 4 1 2 3 4
b/ Đặt B :”bóng ñèn thứ j trong hệ thống II bi hỏng” j ∈ {1,2, } 3 . j
Xác suất hệ thống II không bị hỏng
P(B + B + B ) = 1 − P(B .B .B ) = 1 − 0,1.0,1.0,1 = 0, 999 1 2 3 1 2 3 1.37.
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập. Hệ
thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả
năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của
mỗi bóng của mỗi hệ thống ñược xem như ñộc lập. Tính xác suất ñể
a/ Cả hai hệ thống bị hỏng;
b/ Chỉ có một hệ thống bị hỏng. Giải
a/ Đặt A : “bóng ñèn thứ i trong hệ thống I bi hỏng” i ∈ {1,2,3,4}. i
và B :”bóng ñèn thứ j trong hệ thống II bi hỏng” j ∈ {1,2, } 3 . j
Xác suất hệ thống I bị hỏng P( )
A = P(A + A + A + A ) = 1 − P A .A .A .A = 1 − 4.0, 9 = 0, 3439 1 2 3 4 ( 1 2 3 4)
Xác suất hệ thống II bị hỏng là: P (B) = P(B .B .B ) = 0,001 1 2 3
Nên, xác suất cả hai hệ thống bị hỏng là
P(AB) = P( )
A P(B) = 0, 3439.0, 001 = 0, 0003439
b/ Xác suất chỉ có một hệ thống bị hỏng
P(AB + AB) = P( )
A P(B) + P( )
A P(B) = 0, 34212 1.38.
Một lô hàng gồm rất nhiều bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xấu. Một
người ñến mua hàng với qui ñịnh: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng ñèn ñem kiểm tra và
nếu có nhiều hơn một bóng ñèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất ñể lô hàng ñược chấp nhận. Giải
Việc kiểm tra 10 bóng ñèn, nghĩa là thực hiện 10 phép thử Bernoulli, với
xác suất “thành công” gặp bóng xấu p = 0, 08 (không ñổi). Khi ñó P 0 08 0 08 0 92 0 1 2 10 10 (k ; , ) k C , k. , 10− =
k , k = , , ,..., n
(k :số lần thành công trong 10 phép thử)
Đặt A : “nhận lô hàng” 19 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân P ( )
A = P (0;0, 08) + P (1;0, 08) = (0, 92)10 −C 0, 88.(0, 92)9 1 = 0, 812 10 10 10 1.39.
Một nhóm nghiên cứu ñang nghiên cứu về nguy cơ một sự cố tại một nhà
máy ñiện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ. Nhóm nghiên cứu nhận thấy các
loại sự cố chỉ có thể là: hoả hoạn, sự gãy ñổ của vật liệu hoặc sai lầm của con
người, và 2 hay nhiều hơn 2 sự cố không bao giờ cùng xảy ra.
Nếu có hỏa hoạn thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 20% số lần. Nếu có sự
gãy ñổ của vật liệu thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 50% số lần, và nếu có sự
sai lầm của con người thì sự rò rỉ sẽ xảy ra khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu
cũng tìm ñược xác suất ñể: Hoả hoạn và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0010,
gãy ñổ vật liệu và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015, sai lầm của con người
và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0012. Tìm xác suất ñể
a/ có hoả hoạn; có gãy ñổ vật liệu và có sai lầm của con người;
b/ có một sự rò rỉ phóng xạ;
c/ một sự rò rỉ phóng xạ ñược gây ra bởi sự sai lầm của con người. Giải
Đặt A : “xảy ra hỏa hoạn”
B : “xảy ra gãy ñổ”
C : “xảy ra sai lầm của con người”
D : “sự rò rỉ phóng xạ” Ta có P (D | )
A = 0,2;P (D | B) = 0,5;P (D |C ) = 0,1 P (D )
A = 0, 001;P (DB) = 0, 0015;P (DC ) = 0, 0012
a/ Xác suất có hoả hoạn là P (AD ) P (A) = = , 0 005 P (D | A)
Xác suất có gãy ñổ vật liệu là P (BD ) P (B ) = = , 0 003
P (D | B )
và xác suất sai lầm của con người P (CD ) P (C ) = = , 0 0012 P (D |C )
b/ Xác suất có sự rò rỉ phóng xạ xảy ra:
P (D ) = P (AD ) + P (BD ) + P (CD ) = , 0 001+ 0,0015 + 0,0012 = , 0 0037
c/ Xác suất một sự rò rỉ phóng xạ ñược gây ra bởi sự sai lầm của con người là P (CD) 0, 0012 12
P(C | D) = = = P (D) 0, 0037 37 1.40. 20 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Một ñịa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%. Biết rằng tỉ lệ
người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ ñó trong số
người không nghiện thuốc lá là 40%. Chọn ngẫu nhiên một người từ ñịa phương trên.
a/ Nếu người ñó bị viêm họng, tính xác suất ñể người ñó nghiện thuốc lá.
b/ Nếu người ñó không bị viêm họng, tính xác suất ñể người ñó nghiện thuốc lá. Giải
Đặt A : “người dân nghiện thuốc lá”P (A) = , 0 3
B : “người dân bị viêm họng” P (B | A) = , 0 ;
6 P (B |A) = ,04
a/ Trước tiên ta tính xác suất người này viêm họng
P (B ) = P (AB ) + P (AB ) = P (A).P (B | A) + P (A).P (B | A) = , 0 46
Xác suất ñể người nghiện thuốc lá nếu bị viêm họng là P (AB )
P (A).P (B | A) , 0 3. , 0 6 9
P (A | B ) = = = = P (B ) P (B ) , 0 46 23
b/ Xác suất ñể người nghiện thuốc lá nếu không bị viêm họng là P (AB) ( P A − P AB
P A − P A P B A 2 P A | B ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( | ) = = = = P (B ) P (B ) 1−P (B) 9 1.41.
Một nhà xuất bản gửi bản giới thiệu sách mới ñến 80% giảng viên của một
trường ñại học. Sau một thời gian, nhà xuất bản nhận thấy: Có 30% giảng viên
mua sách trong số những người nhận ñược bản giới thiệu, và trong số những giảng
viên không nhận ñược bản giới thiệu, có 10% mua sách . Tìm tỉ lệ những giảng
viên nhận ñược bản giới thiệu trong số những người mua sách. Giải
Đặt A : “giảng viên nhận ñược bản giới thiệu sách mới” P (A) = , 0 8
B : “giảng viên mua sách” P (B | A) = , 0 ;
3 P (B |A) = ,01
Trước hết ta tính xác suất ñể giảng viên mua sách
P(B) = P (AB) + P (AB) = P ( )
A .P (B | ) A + P ( )
A .P (B | ) A = 0, 26
Nên, xác suất ñể giảng viên nhận ñược bản giới thiệu trong số những người mua sách: P (AB )
P (A).P (B | A) 0 8 0 3 12 , . ,
P (A / B ) = = = = P (B ) P (B ) , 0 26 13 1.42.
Nhà trường muốn chọn một số học sinh từ một tổ gồm 7 nam sinh và 6
nữ.sinh. Lần ñầu chọn ngẫu nhiên 2 học sinh; sau ñó, chọn tiếp 1 học sinh nữa.
a/ Tính xác suất ñể học sinh ñược chọn lần sau là nam sinh. 21 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ Biết rằng học sinh ñược chọn lần sau là nữ sinh, tính xác suất ñể cả hai
học sinh ñược chọn lần ñầu ñều là nam sinh. Giải
a/ Gọi A : “chọn k học sinh nam trong 2 học sinh lần ñầu” k ∈{0,1, } 2 k 2 1 1 2 C C C C 6 7 6 7 P(A ) = ;P(A ) = ;P(A ) = 0 2 1 2 2 2 C C C 13 13 13
A :”học sinh ñược chọn sau cùng là nam” P ( )
A = P(A )P(A | A ) + P(A )P(A | A ) + P(A )P(A | A ) 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 C 7 C C 6 C 5 7 6 7 6 7 = . + . + . = 2 2 2 C 11 C 11 C 11 13 13 13 13
b/ Xác suất học sinh chọn lần sau cùng là nữ là P A = P ( ) 6 ( ) 1 - A = 13
nên xác suất ñể 2 học sinh ñược chọn lần ñầu là nam: 2 1 C C
P(A ).P (A | A ) 7 6 . 2 1 2 2 C C 7 13 11 P(A | ) A = = = 2 P ( ) 6 22 A 13 1.43.
Số liệu thống kê về bệnh lao phổi tại một ñịa phương cho biết: Có 15% số
người làm nghề ñục ñá (LNĐĐ) và bị lao phổi; có 50% số người không LNĐĐ và
không bị lao phổi; có 25% số người LNĐĐ nhưng không bị lao phổi. Ngoài ra, tỉ
lệ những người không LNĐĐ nhưng bị lao phổi là 10%. Chúng ta có thể kết luận
gì về mối quan hệ giữa nghề ñục ñá và bệnh lao phổi? Giải
Đặt D : “làm nghề ñục ñá”
L : “bị lao phổi”
Theo số liệu ñề bài ta có:P (DL) = 0,15;P(D.L) = 0,5;P(D.L) = 0,25;P(D.L) = 0,1 Khi ñó,
P(D) = P(D.L) + P (DL) = 0,25 + 0,15 = 0, 4 và
P(L) = P( .
L D) + P (DL) = 0,1 + 0,15 = 0,25
Dễ thấy P (DL) = 0,15 ≠ 0,4.0,25 = P (D)P(L) do ñó bệnh lao phổi có liên quan
ñến nghề ñục ñá. Xét ( ) P (LD P LD )
P (L | D) =
= 0, 375; P (L | D) = = 0,2 P (D) P (D) 22 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Ta thấy P (L | D) ≈ 2P (L | D). Chứng tỏ rằng, xác suất người bị lao phổi khi
người ñó làm nghề ñục ñá cao gần gấp hai lần xác suất người bị lao phổi nhưng
người ñó không làm nghề ñục ñá. 1.44.
Giả sử một xét nghiệm X cho kết quả dương tính (+) ñối với những người
nhiễm HIV với xác suất 95% và cho kết quả (+) ñối với những người không nhiễm
HIV với xác suất 1%. Một người ñến từ ñịa phương có tỉ lệ nhiễm HIV là 1%
ñược làm xét nghiệm X và cho kết quả (+). Tính xác suất ñể người này thực sự nhiễm HIV. Giải
Đặt A : “Người bị nhiễm HIV ñến từ ñịa phương” P ( ) A = 0, 01
B : “người ñến từ ñịa phương làm xét nghiệm X cho kết quả dương tính với HIV”
P (B) = P ( )
A .P (B | ) A + P ( )
A .P (B | )
A = 0, 01.0, 95 + 0, 99.0, 01 = 0, 0194
Xác suất ñể người ñến từ ñịa phương có tỉ lệ 1% ñược xét nghiệm và cho kết quả dương tính là P( )
A .P(B | ) A 0, 95.0, 01 95
P(A | B) = = = P(B) 0, 0194 194 1.45.
Một hộp chứa 15 lọ thuốc, trong ñó có 6 lọ hỏng. Lấy lần lượt từng lọ
không hoàn lại ñể kiểm tra, cho ñến khi gặp 3 lọ hỏng thì dừng.
a/ Tính xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba; ở lọ thứ sáu
b/ Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, tính xác suất ñể lọ ñược kiểm
ra ñầu tiên là lọ hỏng. Giải
Đặt A :” lần kiểm tra thứ i ñược lọ hỏng” i
a/ Xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba P ( 6 5 4 4 A A A = . . = 1 2 3 ) 15 14 13 91
Đặt A :” kiểm tra liên tiếp 5 lần ñược 2 lọ hỏng và 3 tốt” 3 2 1 C C 1260 C 4 9 6 4 P( ) A = = ;P(A ) = = 5 6 1 C 3003 C 10 15 10 24
C :”kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu” P(C ) = P (AA = P( ) A P(A ) = 6 ) 6 143
b/ Việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, xác suất ñể lọ ñược kiểm ra ñầu tiên là lọ hỏng.
P (A P C | A P A P D P A 1 ) ( 1 ) ( 1) ( ) ( 6) P (A |C = = 1 ) P (C ) P (C ) 23 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 1 3 6 C C 4 5 9 . . 4 15 C 10 71 14 = = ≈ 0, 4 24 225 143 1.46.
Từ một lô hàng có rất nhiều quyển vở với tỉ lệ vở hỏng là 5%, người ta
chọn ngẫu nhiên từng quyển vở ñể kiểm tra.
a/ Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu quyển vở ñể xác suất có ít nhất một
quyển vở hỏng không bé hơn 90% ?
b/ Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 quyển vở hỏng. Tính
xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 10, Giải
Gọi p là xác suất vở hỏng trong mỗi lô hàng. p = 0, 05 và gọi n là số
quyển vở cần kiểm tra. Ta có dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công (vở
hỏng) là 0,05. Do ñó, P (k;0,05 n )
a/ Đặt A : “ít nhất một quyển vở hỏng” n P( ) A = 1 − P = − ≥ ⇔ n ≥ n (0; 0, 05) 1 (0,95) 0, 9 44, 98
Nên phải kiểm tra ít nhất 45 quyển vở.
b/ Việc kiểm tra phát hiện 3 quyển vở hỏng suy ra 9 lần kiểm tra ñầu phát hiện 2
quyển vở hỏng và lần thứ 10 phải là vở hỏng.
ĐặtB :”kiểm tra dừng lại lần thứ 10”
P (B) = P (2;0, 05).0, 05 = ( 2 2 7
C 0, 05 0, 95 .0, 05 = 0, 003143 . 9 9 ) 1.47.
Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B ; hộp thứ hai có 5
sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm.
a/ Tính xác suất ñể ñược 3 sản phẩm loại A ;
b/ Giả sử lấy ñược một sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A . Nhiều
khả năng là sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao? Giải
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sp với i ∈ {0;1; } 2 và j ∈ {0;1; } 2
Đặt A :” lấy ñược i sp loại A từ hộp thứ nhất” i
B :” lấy ñược j sp loại A từ hộp thứ hai” j
a/ C : “lấy ñược 3 sp loại A và 1 sp loại B ” 2 1 1 1 1 2 C C .C C .C C
P (C ) = P (A B ) + P (A B ) 29 8 5 3 8 2 5 = . + . = 2 1 1 2 2 2 2 2 C C C C 63 10 8 10 8
b/ Gọi P (H ,P H lần lượt là xác suất ñể sp loại B thuộc hộp thứ nhất và hộp 1 ) ( 2) thứ hai 24 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 1 1 2 C .C C 8 2 5 P ( . A B C C 1 2 ) 2 2 Ta cóP (H ) 8 10 8 = = = 1 P (C ) 29 29 63 2 1 1 C C .C 8 5 3 P ( . A B C C 2 1 ) 2 2 P (H ) 21 10 8 = = = 2 P (C ) 29 29 63
Ta thấy P (H < P H nên sp loại B nhiều khả năng thuộc hộp thứ hai. 1 ) ( 2) 1.48.
Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B ; hộp thứ hai có 5
sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B . Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy ngẫu
nhiên từ ñó ra 4 sản phẩm.
a/ Tính xác suất ñể ñược 3 sản phẩm loại A ;
b/ Giả sử lấy ñược một sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A . Nhiều
khả năng là sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao? Giải
a/ Lấy ngẫu nhiên ra 1 hộp, rồi lấy ngẫu nhiên từ ñó ra 4 sp Đặt 1
M :” lấy ñược hộp thứ i ”,i ∈ {1, }
2 suy ra P (M = P M = 1 ) ( 2) i 2
gọi C :” lấy ñược 3 sp loại A và 1 sp loại B ”
P (C ) = P (M .P C | M + P M .P C | M 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 2 ) 3 1 3 1 1 C  .C C .C    1 8 3 101  8 2 5 3  = + =  +  =  4 4 2 C C  2 15 7  210  10 8   
b/ Gọi P (H ,P H lần lượt là xác suất ñể sp loại B thuộc hộp thứ nhất và hộp 1 ) ( 2) thứ hai 3 1 1 C .C 8 2 P ( .
M .P C | M 2 C 1 ) ( 1 ) 4 Ta có P (H ) 56 10 = = = 1 P (C ) 101 101 210 3 1 1 C .C 5 3 P ( .
M .P C | M 2 C 2 ) ( 2 ) 4 P (H ) 45 8 = = = 2 P (C ) 101 101 210
Thấy P (H > P H nên sp loại B nhiều khả năng thuộc hộp thứ nhất. 1 ) ( 2) 1.49. 25 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Một nhà máy sản xuất linh kiện ñiện tử với 96% sản phẩm có chất lượng
cao. Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có ñặc ñiểm: 2% sản phẩm có
chất lượng cao lại không ñược công nhận và 5% sản phẩm không có chất lượng
cao lại ñược công nhận. Hãy tính xác suất ñể sau khi kiểm tra, một sản phẩm
ñược công nhận có chất lượng cao ñúng là sản phẩm có chất lượng cao. Giải
Gọi A : “sp chất lượng cao” và B : “sp ñược công nhận” P ( )
A = 0, 96 , P (B | )
A = 0, 02 và P (B | ) A = 0, 05 P (AB) P ( )
A − P (AB) Ta có P (B | ) A = = = 0, 02 P ( ) A P ( ) A
suy ra P (AB) = 0,9408 . P (AB)
P (B) − P (AB)
Lại có P (B | ) A = = = 0, 05 P ( ) A P ( ) A
suy ra P (B) = 0,9428
Xs ñể 1 sp ñó ñược công nhận chất lượng cao ñúng là sp chất lượng cao là P (AB) P (A B) 0, 9408 | = = = 0, 9978 P (B) 0, 9428 1.50.
Giả sử bạn ñem giao một lô hàng, rất nhiều sản phẩm, mà bạn biết rằng nó
có tỉ lệ phế phẩm là 10%. Người nhận hàng ñề nghị lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm ñể
kiểm tra, và nếu có quá k phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn ñề nghị k bằng
bao nhiêu ñể vừa thuyết phục ñược người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng
không bị từ chối ít nhất là 95%? Giải
Tỉ lệ phế phẩm là p = 0,1
Việc lấy ngẫu nhiên 6 sp ñể kiểm tra nghĩa là thực hiện 6 phép thử
Bernoulli với xs thành công (gặp phế phẩm) p = 0,1(không ñổi). Ta ñược ( ;0, ) k k 6 1 .0,1 .0, 9 k P k C − = 6 6 Nhận xét:
P 0; 0,1 + P 1; 0,1 < 0, 95 6 ( ) 6 ( )
và P 0;0,1 + P 1;0,1 + P 2;0,1 = 0,9842 > 0, 95 6 ( ) 6 ( ) 6 ( )
nên theo yêu cầu bài toán k = 2 . 1.51.
Một khu dân cư A có tỉ lệ mắc bệnh B là 30%.
a/ Trong một ñợt ñiều tra, người ta chọn ngẫu nhiên 10 người. Tính xác suất
trong ñó có nhiều nhất ba người mắc bệnh B. 26 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ Được biết trong khu vực ñó có 60% dân số có chích ngừa bệnh B. Tỷ lệ
người kháng bệnh B ñối với người ñược chích ngừa là 95%. Còn tỷ lệ kháng bệnh
B ñối với người không chích ngừa là 20%. Chọn ngẫu nhiên một người thấy người
này không mắc bệnh B. Tính xác suất người này có chích ngừa. Giải
Gọi B : “Người ñược chọn mắc bệnh B” P (B) = 0,3 .
Chọn ngẫu nhiên 10 người là thực hiện 10 phép thử Bernuolli với xác suất thành
công (mắc bệnh B) P (B) = 0,3 (không ñổi). Ta có ( ;0,3) k k 10 .0, 3 .0, 7 k P k C − = . 10 10
a/ Xác suất trong ñó có nhiều nhất ba người mắc bệnh B P
0; 0, 3 + P 1; 0, 3 + P 2; 0, 3 + P 3; 0, 3 = 10 ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10 ( )
= 0, 0282 + 0,1211+ 0, 2335 + 0,2668 = 0, 6496
b/ A :” chích ngừa bệnh B” P ( ) A = 0, 6 P (B | )
A = 0, 95 và P (B | ) A = 0, 2
Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thấy người này không mắc bệnh B:
P (B) = P ( ) A P (B | ) A + P ( ) A P (B | ) A = 0, 65
xác suất người này có chích ngừa: P ( . A B) P ( )
A .P (B | ) A P (A B) 8 | = = = . P (B) P (B) 65 1.52.
Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm 75
sản phẩm do máy ñó sản xuất ra.
a/ Tính xác suất ñể trong lô hàng, có 10 phế phẩm
b/ Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng. Giải
Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với
xác suất cho “thành công” là p = 0,08 , thì khi máy ñó sản xuất 75 sản phẩm, nó ñã
thực hiện quá trình P k;0,08 75 ( ) a/ Xác suất phải tính: 10 10 65 7 P 5 1 ( 0) = 7
C 5 (0,08) .(0,92) = 0,03941
b/ Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong lô hàng là: (75 + ) 1 .0, 08 6  =
với xác suất tương ứng: 27 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 6 6 69
P (6) = C (0, 08) .(0,92) = 0,16745 75 75 1.53.
Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ
hạt lép là 3% ñể nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất
ñể có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ?. Giải
Gọi n là số hạt phải lấy, chúng ta có P (k;0,03 . Xác suất ñể có ít nhất một hạt n ) lép là 1 1 ( 0, 03) 1 (0,97)n n − − = − .
Theo giả thiết, chúng ta có: n n ln 0, 05
1− (0,97) ≥ 0,95 ⇔ (0,97) ≤ 0,05 ⇔ n ≥ = 98,3523 ln 0,97
Vậy, phải lấy ít nhất 99 hạt giống. 28 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1. Có ba hộp ,
A B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng,
hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 7 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ
mỗi hộp ra một lọ thuốc.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra.
b/ Tìm xác suất ñể ñược ít nhất 2 lọ tốt; ñược 3 lọ cùng loại. Giải
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra Im X = {0,1,2, } 3 .
a) A : “ lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ i là lọ tốt”. i P (X = ) 7
0 = P(A .A .A ) = P A .P A .P A = 1 2 3 ( 1) ( 2) ( 3) 90 P (X = ) 59
1 = P(A .A .A + A .A .A + A .A .A ) = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 180 P (X = ) 77
2 = P(A .A .A + A .A .A + A .A .A ) = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 180 P (X = ) 1
3 = P(A .A .A ) = P A .P A .P A = 1 2 3 ( 1) ( 2) ( 3) 6
Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 2 3
P (X ) 7 59 77 1 90 180 180 6
b) Xác suất ñể ñược ít nhất 2 lọ tốt
P (X ≥ ) = P (X = ) + P (X = ) 107 2 2 3 = 180
Xác suất ñược 3 lọ cùng loại
P (X = ) + P (X = ) 11 0 1 = 45 2.2.
Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên ,
A B và C thi ñấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng
viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của ñội tuyển.
b/ Tính xác suất ñể ñội tuyển thua nhiều nhất một trận. Tính xác suất ñể
ñội tuyển thắng ít nhất một trận. Giải
a/ Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số trận thắng của ñội tuyển. 29 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Im X = {0,1,2, } 3 .
Gọi A : “Vận ñộng viên A thắng”
B : “Vận ñộng viên B thắng”
C : “Vận ñộng viên C thắng” Ta có
P (X = 0) = P( .
A B.C ) = P ( )
A .P(B).P(C ) = 0, 4.0, 3.0, 2 = 0, 024. P (X = ) 1 = P( . A B.C + . A B.C + . A B.C ) = 0,188.
P (X = 2) = P( . A B.C + . A B.C + .
A B.C ) = 0, 452.
P (X = 3) = P( .
A B.C ) = P ( )
A .P(B).P(C ) = 0, 336.
Bảng phân phối xác suất X : X 0 1 2 3
P (X ) 0, 024 0,188 0, 452 0, 336
b/ Xác suất ñể ñội tuyển thua nhiều nhất một trận:
P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0,788
Xác suất ñể ñội tuyển thắng ít nhất một trận : P (X ≥ )
1 = 1 − P (X = 0) = 0,976 2.3.
Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên ,
A B và C thi ñấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng
viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của ñội tuyển.
b/ Sau ñợt thi ñấu, ñội tuyển có hai trận thắng; tính xác suất ñể A thua trận. Giải
a/ Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số trận thắng của ñội tuyển. Im X = {0,1,2, } 3 .
Gọi A : “Vận ñộng viên A thắng”;
B : “Vận ñộng viên B thắng”;
C : “Vận ñộng viên C thắng” Ta có
P (X = 0) = P( .
A B.C ) = P ( )
A .P(B).P(C ) = 0, 4.0, 3.0, 2 = 0, 024. P (X = ) 1 = P( . A B.C + . A B.C + . A B.C ) = 0,188.
P (X = 2) = P( . A B.C + . A B.C + .
A B.C ) = 0, 452.
P (X = 3) = P( .
A B.C ) = P ( )
A .P(B).P(C ) = 0, 336.
Bảng phân phối xác suất X : 30 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân X 0 1 2 3
P (X ) 0, 024 0,188 0, 452 0, 336
b/ Xác suất ñể A thua trận, biết rằng ñội tuyển có hai trận thắng P ( . A {X = } 2 ) P ( . A B.C ) P (A X = ) 0, 4.0, 7.0, 8 56 | 2 = = = = P (X = 2) P (X = 2) 0, 452 113 2.4.
Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên ,
A B và C thi ñấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng
viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.
a/ Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của ñội tuyển.
b/ Tính số trận thắng trung bình và phương sai của số trận thắng của ñội tuyển. Giải
a/ Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số trận thắng của ñội tuyển. Im X = {0,1,2, } 3 .
Gọi A : “Vận ñộng viên A thắng”;
B : “Vận ñộng viên B thắng”;
C : “Vận ñộng viên C thắng” Ta có
P (X = 0) = P( .
A B.C ) = P ( )
A .P(B).P(C ) = 0, 4.0, 3.0, 2 = 0, 024. P (X = ) 1 = P( . A B.C + . A B.C + . A B.C ) = 0,188.
P (X = 2) = P( . A B.C + . A B.C + .
A B.C ) = 0, 452.
P (X = 3) = P( .
A B.C ) = P ( )
A .P(B).P(C ) = 0, 336.
Bảng phân phối xác suất X : X 0 1 2 3
P (X ) 0, 024 0,188 0, 452 0, 336
b/ Số trận thắng trung bình
E(X ) = 0.0, 024 + 1.0,188 + 2.0, 452 + 3.0,336 = 2,1
và phương sai của số trận thắng của ñội tuyển
D (X ) = E (X ) − E (X )2 2 = 0, 61 Trong ñó, E ( 2 X ) 2 2 2 2
= 0 .0, 024 + 1 .0,188 + 2 .0, 452 + 3 .0,336 = 5, 02 . 2.5.
Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu
nhiên có phân phối xác suất như sau: 31 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Số kẹo trong bao 18 19 20 21 22 Xác suất 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao.
b/ Chi phí sản xuất của mỗ bao kẹo là 3X + 16, trong ñó X là biến ngẫu
nhiên chỉ số kẹo trong bao. Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$. Không phân biệt số kẹo
trong bao. Tìm lợi nhuận trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao kẹo. Giải
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo trong bao.
a/ Trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao : 22 E (X ) = i.P
∑ (X = i) = 19,87 i 1 = 8
và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao:
D (X) = E (X )− E (X)2 2 = 1, 3531
b/ Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ lợi nhuận cho mỗi bao kẹo. Ta có: Y = 84 − 3X lợi nhuận trung bình
E (Y ) = E (84 − 3X ) = 84 − 3E (X ) = 24, 39
và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao kẹo
σ (Y ) = D (Y ) = D (84 − 3X ) = 3 D (X ) = 3, 48969 2.6.
Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu
nhiên có phân phối xác suất như sau:
Số kẹo trong bao 18 19 20 21 22 Xác suất 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác suất ñể một bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên sẽ chứa từ 19 ñến 21 viên kẹo.
b/ Hai bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất ñể ít nhất một trong
hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo. Giải
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo trong bao.
a/ Xác suất ñể bao ñược chọn ngẫu nhiên có từ 19 ñến 21 viên kẹo:
P(19 ≤ X ≤ 21) = P (X = 19) + P (X = 20) + P (X = 2 ) 1 = 0, 77.
b/ Đặt A : “Bao chứa ít nhất 20 viên kẹo” P ( )
A = 0, 32 + 0, 21 + 0, 09 = 0, 62
Xác suất ñể ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo: 32 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
P (A + A ) A = P ( ) A + P ( . A ) A = P ( ) A + P ( ) A P ( ) A = 0, 8556 2.7.
Một hộp ñựng 5 sản phẩm, trong ñó có hai phế phẩm. Người ta lần lượt
kiểm tra từng sản phẩm (không hoàn lại) cho ñến khi gặp hai phế phẩm thì dừng
lại. Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm ñược kiểm tra. Tính số lần kiểm tra trung bình. Giải
Goi X là BNN chỉ số số sản phẩm kiểm tra. Im X = {2, 3, 4, } 5 .
A :“ lần kiểm tra lần thứ i ñược phế phẩm”.( i = 1,2, 3, 4, 5 ) i
P (X = ) = P ( 2 2
A .A = P A P A | A = 1 2 ) ( 1) ( 2 1) 20
P (X = 3) = P (A .A .A + P A .A .A 1 2 3 ) ( 1 2 3) = P ( 4
A P A | A .P A | A .A + P A P A | A .P A | A .A = 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2) ( 1) ( 2 1) ( 3 1 2) 20 Tương tự P (X = ) 6 = P (X = ) 8 4 ; 5 = 20 20
Bảng phân phối xác suất X : X 2 3 4 5 P (X ) 2 4 6 8 20 20 20 20 5
Số lần kiểm tra trung bình: E (X) = i.P ∑ (X = i) = 4 i 2 = 2.8.
Một người ñiều khiển 3 máy tự ñộng hoạt ñông ñộc lập với nhau. Xác suất
bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1,2 và 3 lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất.
b/ Sau sản xuất, người ñiều khiển báo rằng suốt ca chỉ có một máy hoạt
ñộng tốt. Tính xác suất ñể máy hoạt ñộng tốt ñó là máy một. Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số máy hoạt ñộng tốt trong 1 ca sản xuất. Im X = {0,1,2, } 3 .
Đặt A “ máy thứ i bị hỏng trong 1 ca”. Suy ra, i
P (A = 0,9;P A = 0, 8;P A = 0,7 1 ) ( 2) ( 3)
P (X = 0) = P (A .A .A = P A .P A .P A = 0,1.0,2.0,3 = 0,006. 1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3) 33 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân P (X = )
1 = P (A .P A .P A + 1 ) ( 2) ( 3)
+ P (A .P A .P A + P A .P A .P A = 0,092. 1 ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3)
P (X = 2) = P (A .P A .P A + 1 ) ( 2) ( 3)
+ P (A .P A .P A + P A .P A .P A = 0,398. 1 ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3)
P (X = 3) = P (A A A = P A .P A .P A = 0,504. 1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3)
Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3
P (X ) 0, 006 0, 092 0, 398 0,504
b/ Xác suất ñể máy hoạt ñộng tốt ñó là máy một, biết rằng suốt ca chỉ có một máy hoạt ñộng tốt.
P (A . X = 1 P A .A .A 1 { }) ( 1 2 3) P ( 0, 9.0, 2.0, 3 27 A | X = 1 = = = = 1 ) P (X = ) 1 P (X = ) 1 0, 092 46 2.9.
Một người ñiều khiển 3 máy tự ñộng hoạt ñông ñộc lập với nhau. Xác suất
bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1,2 và 3 lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất.
b/ Trung bình, trong một ca, có bao nhiêu máy hoạt ñộng tốt? Tính ñộ
lệch chuẩn của số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất. Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số máy hoạt ñộng tốt trong 1 ca sản xuất. Im X = {0,1,2, } 3 .
Đặt A “ máy thứ i bị hỏng trong 1 ca”. Suy ra, i
P (A = 0,9;P A = 0, 8;P A = 0,7 1 ) ( 2) ( 3)
P (X = 0) = P (A .A .A = P A .P A .P A = 0,1.0,2.0,3 = 0,006. 1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3) P (X = )
1 = P (A .P A .P A + 1 ) ( 2) ( 3)
+ P (A .P A .P A + P A .P A .P A = 0,092. 1 ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3)
P (X = 2) = P (A .P A .P A + 1 ) ( 2) ( 3)
+ P (A .P A .P A + P A .P A .P A = 0,398. 1 ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3)
P (X = 3) = P (A A A = P A .P A .P A = 0,504. 1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3)
Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3
P (X ) 0, 006 0, 092 0, 398 0,504 34 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ Trung bình số máy hoạt ñộng tốt trong một ca: E (X ) = 2,4
và ñộ lệch chuẩn của số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất .
σ (X ) = 0, 6782 2.10.
Một công ty có 3 tổng ñại lý. Gọi X,Y và Z theo thứ tự là khối lượng hàng
bán ñược trong một này của 3 tổng ñại lý trên (tính bằng tấn). Biết phân phối xác
suất của các BNN X,Y và Z như sau: x 5 6 7 8 i
P (X = x 0,1 0,3 0,4 0,2 i ) y 4 5 6 7 8 j
P (Y = y 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 j ) z 7 8 9 10 k
P (Z = z 0,2 0,3 0,4 0,1 k )
Tính khối lượng hàng hóa bán ñược trung bình trong một tháng (30 ngày) của công ty trên. Giải
Trung bình khối lượng hàng hóa C bán ñược trong 1 tháng. 8 E (X ) = 30.
x .P X = x = ∑ i ( i ) 201 x 5 = i
Trung bình khối lượng hàng hóa Y bán ñược trong 1 tháng. 8 E (Y ) = 30.
y .P Y = y = ∑ j ( j ) 177 y =4 j
Trung bình khối lượng hàng hóa Z bán ñược trong 1 tháng. 10 E (Z ) = 30.
z .P X = z = ∑ k ( k ) 252 z 7 = k
Nên khối lượng hàng hóa bán ñược trung bình trong 1 tháng của công ty là
E (X) + E (Y ) + E (Z ) = 630 2.11.
Tiến hành khảo sát số khách trên một chuyến xe buýt (SK/1C) tại một
chuyến giao thông, người ta thu ñược số liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45
Xác suất 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1
a/ Tính kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của SK/1C.
b/ Giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe buýt là 200 ngàn ñồng, không phụ
thuộc vào số khách ñi trên xe, th2 công ty phải quy ñịnh giá vé là bao nhiêu ñể có
thể thu ñược số tiền lời trung bình cho mỗi chuyến xe là 100 ngàn ñồng? 35 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải
Gọi X là BNN chỉ số khách trên một chuyến xe. Im X = {25;30;35;40;4 } 5 .
a/ Kỳ vọng của SK/1C: E (X ) = 34,75
Độ lệch chuẩn của SK/1C.: σ (X ) = D (X) = E (X ) − E (X)2 2 = 6, 0156
b/ Gọi Y là BNN chỉ số tiền lời cho mỗi chuyến xe.
Y = n.X − 200
trong ñó, n (ñồng) là số tiền quy ñịnh giá vé.
Yêu cầu bài toán, E (Y ) = E (n.X − 200) = 100 ⇔ nE (X ) = 300 ⇔ n ≈ 8,6 .
Vậy, công ty phải quy ñịnh giá vé là 8,6 ñồng. 2.12.
Một người tham gia trò chơi gieo 3 ñồng tiền vô tư. Anh ta ñược 500ñ nếu
xuất hiện 3 mặt sấp, 300ñ nếu xuất hiện 2 mặt sấp, và 100ñ nếu chỉ có một mặt sấp
xuất hiện. Mặc khác, anh ta mất 900ñ nếu xuất hiện 3 mặt ngữa. Trò chơi này có
công băng với người này không? ( Trò chơi ñược gọi là công bằng ñối với người
chơi nếu tham gia chơi nhiều lần thì trung bình anh ta hòa vốn). Giải
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền nhận ñược khi tham gia trò chơi
Im X = {−900; 100;300;500 }.
Đặt A :”Gieo lần thứ i xuất hiện mặt sấp” i ∈ {1;2; } 3 i P (X = − ) = P ( 1 900
A .A .A = P A P A .P A = 1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3) 8 P (X = ) = P ( 1 3 100
A .A .A + P .A A .A + P A .A .A = 3. = 1 2 3 ) ( 1 2 3) ( 1 2 3) 8 8
Tương tự, P (X = ) 3 1 300 = ;P(X = 500) = 8 8
Bảng phân phối xác suất của X X -900 100 300 500 P (X ) 1 3 3 1 8 8 8 8
Và E (X ) = 100
nên mỗi lần chơi anh ta thắng ñược 100ñ. Vậy trò chơi không công bằng. 2.13.
Một người tham gia trò chơi sau: Gieo một con xúc xắc vô tư ba lần ñộc lập
nhau. Nếu xuất hiên “ mặt 1” cả 3 lần thì ñược thưởng 6 ngàn ñồng; nếu xuất hiện
“ mặt 1” 2 lần thì ñược thưởng 4 ngàn ñồng; xuất hiện “mặt 1” 1 lần thì ñược
thưởn 2 ngàn ñồng; khi không có “mặt 1” nào xuất hiện thì không ñược thưởng.
Mỗi lần tham gia trò chơi, người chơi phải ñóngM ngàn ñồng. Hãy ñịnh M ñể trò chơi công bằng. 36 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải
Gọi X là BNN chỉ số tiền còn lại sau mỗi lần tham gia trò chơi.
Im X = {M − 6;M − 4;M − 2;M } Ta có 1 1 1 1 1 5 1 5
P(X = M − 6) = . . =
; P(X = M − 4) = 3. . . = 3. 3 6 6 6 6 3 6 6 6 6 2 1 5 5 5 3 5
P(X = M − 2) = 3. . . = 3.
; P(X = M) = 3 6 6 6 6 3 6
Bảng phân phối xác suất của X X
M − 6 M − 4 M − 2 M 1 5 2 5 3 5 P (X ) 3. 3. 3 6 3 6 3 6 3 6 và E (X) 216 = M − 1 . 3 ( ) 6
Trò chơi công bằng E (X ) = 0 ⇔ M −1 = 0 ⇔ M = 1.
Vậy, mỗi lần chơi người tham gia ñóng 1 ngàn ñồng thì trò chơi công bằng. 2.14.
Theo thống kê dân số, xác suất ñể một người ở ñộ tuổi 40 sẽ sống thêm 1
năm nữa là 0,995. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho
những người ở ñộ tuổi ñó là 10 ngàn, và trong trường hợp người mua bảo hiểm bị
chết thì số tiền bồi thường là 1 triệu. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán
mỗi thẻ bảo hiểm là boa nhiêu? Giải
Gọi X là BNN chỉ lợi nhuận của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm. Im X = {−990;1 } 0
Bảng phân phối xác suất của X X −990 10
P (X ) 0,995 0, 005 và E (X ) = 5.
Vậy, trung bình công ty lời 5 ngàn ñồng khi bán 1 thẻ bảo hiểm. 2.15.
Số lượng xe ô tô mà một ñại lý bán ñược trong một tuần là một BNN có
phân phối xác suất như sau: Số xe bán ñược 0 1 2 3 4 5 Xác suất tương ứng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác suất ñể ñại lý ñó bán ñược nhiều nhất 3 xe trong một tuần.
Tính kỳ vọng và phương sai của số xe mà ñại lý bán ñược trong một năm. 37 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b/ Giả sử chi phí cho hoạt ñộng của ñại lý bằng căn bậc hai của số xe bán
ñược vợi 5 (triệu ñồng). Tìm chi phí cho hoạt ñộng trung bình cho hoạt ñộng của
ñại lý trong một tuần.
Gọi X là BNN số xe bán ra trong 1 tuần.
a/ Xác suất ñể ñại lý ñó bán ñược nhiều nhất 3 xe trong một tuần
P ( X ≤ 3) =1− P( X = 4) − P( X = 5) = 0,6
Kỳ vọng và phương sai của số xe mà ñại lý bán ñược trong một năm.
E ( X ) = 2,8; D( X ) = 2,16
b/ Gọi là chi phí cho hoạt ñộng của ñại lý trong 1 tuần Y = X + 5
Nên chi phí cho hoạt ñộng trung bình cho hoạt ñộng của ñại lý trong một tuần
E (Y ) = E ( X )+ 5 = 6,55 2.16.
2x , x ∈[0; ] 1
Cho hàm f (x) =  0 , x ∉  [0; ] 1
a/ Chứng tỏ f (x) là hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X .
b/ Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X c/ Tính xác suất  1 
P  0 < X <  .  2  Giải +∞ 1 1
a/ f (x) ≥ 0,∀x ∈ và 2
∫ f (x)dx =∫ 2xdx x =
= 1 . Do ñó, f (x) là hàm mật ñộ xác 0 −∞ 0
suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X . 0 , x ≤ 0 x  b/ F (x) 2 = f
∫ (t)dt =x ,0 < x ≤1 −∞ 1  , x >1  1 2 c/  1  1
P  0 < X <  = ∫ 2xdx = .  2  4 0 2.17.  2  , x > 1 Cho hàm 3
f (x) =  x 0 , x ≤1
a/ Chứng tỏ f (x) là hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X
b/ Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X .
c/ Tính xác suất P(0 < X < 3) Giải 38 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân +∞ +∞ 2  1 b
a/ f (x) ≥ 0,∀x ∈ và ∫ f (x)dx = ∫ dx = − 2 lim 
 = 1 . Do ñó, f (x) là 3 2 b x →+∞  2x 1 −∞ 1 
hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X . 0 , x ≤ 1 x   b/ 1 F (x) = f ∫ (t)dt = 1  − ,1 < x < +∞ 2 x −∞ 1 , x = +∞  3 8
c/ P (0 < X < 3) = ∫ f (x)dx = . 9 0 2.18. a  , x > 1 Cho hàm 3
f (x) =  x ( a là hằng số) 0 , x ≤1
a/ Tìm a ñể f (x) là hàm mật ñộ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X
b/ Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X . Giải
a/ ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 và +∞ +∞ a  1 ba
∫ f (x)dx = ∫ dx = − a lim   =
. Do ñó, f (x) là hàm mật ñộ xác suất của 3 2 b x →+∞  2x 1  2 −∞ 1 a ≥ 0 
một biến ngẫu nhiên liên tục X khi và chỉ khi a ⇔ a = 2 . = 1 2 0 , x ≤ 1 x   b/ 1 F (x) = f ∫ (t)dt = 1  − ,1 < x < +∞ 2 x −∞ 1 , x = +∞  2.19.
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật ñộ
2x , x ∈[0; ] 1 f (x) =  0 , x ∉  [0; ] 1
Tìm kỳ vọng và phương sai của X . Giải +∞ 1 2 E ( X ) 2
= ∫ xf (x)dx =∫ 2x dx = 3 −∞ 0 +∞ 1 E ( 1 2 X ) 2 3
= ∫ x f (x)dx =∫ 2x dx = 2 −∞ 0 do ñó, 39 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 1 4 1
D ( X ) = E ( X ) − (E ( X ))2 2 = − = 2 9 18 2.20.
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật ñộ 2 3
 x , x ∈[0; ] 1 f (x) =  0 , x ∉  [0; ] 1
Tìm kỳ vọng và phương sai của X . Giải +∞ 1 3 E ( X ) 2
= ∫ xf (x)dx =∫3x dx = 4 −∞ 0 +∞ 1 E ( 3 2 X ) 2 4
= ∫ x f (x)dx =∫3x dx = 5 −∞ 0 do ñó, 3 9 3
D ( X ) = E ( X ) − (E ( X ))2 2 = − = . 5 16 80 40 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Chương 3: MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG DÙNG 3.1.
Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong ñó có 8 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Đặt X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các
sản phẩm lấy ra. Tìm luật phân phối xác suất của X . Tính E ( X ), D( X ) . Giải
Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm loại A trong các sản phẩm lấy ra lần thứ nhất. Im X = {0;1; } 2 k k −2 C .C M
Ta có X ~ H (10;8;2) ta có 8 2
P(X = k) = ; p = = 0,8 2 C N 10 N − n 64
Nên E ( X ) = np = 1,6; D( X ) = np(1− p) = . N −1 225 3.2.
Có 2 kiện hàng, kiện thứ nhất và kiện thứ 2. Biết rằng, kiện thứ hai có 8 sản
phẩm, trong ñó có 5 sản phẩm loại A. Lần ñầu, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm ở kiện
thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau ñó lấy ngẫu nhiên từ kiện thứ hai ra 2 sản phẩm.
Đặt X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các sản
phẩm lấy ra ở lần thứ nhất và lần thứ hai. Biết rằng bảng phân phối xác suất của X X 0 1 2 P (X ) 1 16 28 45 45 45
Tìm luật phân phối xác suất của Y ; tính E (Y ) và D(Y ) . Bài giải
Gọi Y là BNN chỉ số sản phẩm loại A trong các sản phẩm lấy ra lần thứ hai. ImY = {0;1; } 2 1 16 28
Ta thấy P ( X = 0) = ; P ( X = ) 1 = ; P ( X = 2) = 45 45 45 Trong ñó, 0 2 C .C 10 6 3
P (Y = 0 | X = 0) 5 5 = =
; P Y = 0 | X = 1 =
; P Y = 0 | X = 2 = 2 ( ) ( ) C 45 45 45 10 Mặt khác 41 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
P (Y = 0) = P( X = 0).P(Y = 0 | X = 0) + P( X = )
1 .P(Y = 0 | X = ) 1 190
+ P ( X = 2).P (Y = 0 | X = 2) = 2025 997 838
Tương tự P (Y = ) 1 = ; P(Y = 2) = . 2025 2025
Bảng phân phối xác suất của Y Y 0 1 2 190 997 838 P (Y ) 2025 2025 2025 2673 Nên E (Y ) =
= 1,32; D ( X ) = 0, 40525. 2025 3.3.
Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong ñó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm
tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại).
a/ Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản
phẩm lấy ra, và tính xác suất ñể trong ñó có ít nhất 2 sản phẩm tốt.
b/ Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra ñi bán. Biết rằng bán một sản phẩm tốt ñược
lời 50 ngàn ñồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn ñồng. Tính lợi nhuận thu
ñược trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên. Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra. Im X = {0;1;2; } 3 0 4 1 3 2 2 C .C 1 C .C 6 C .C 6 P ( X = 0) 3 5 = = ; P( X = ) 3 5 1 = = ; P( X = 2) 3 5 = = ; 4 4 4 C 14 C 14 C 14 8 8 8 3 1 C .C 1 P ( X = 3) 3 5 = = 4 C 14 8
Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 2 3 6 6 1 P ( X ) 1 14 14 14 14 13
Xác suất ñể có ít nhất 2 sản phẩm tốt: P( X ≤ 2) = 1− P( X = 3) = . 14
b/ Gọi Y là BNN chỉ lợi nhuận thu ñược khi bán 4 sản phẩm. Y = 200 − 65X 6 6 1 15
khi ñó E ( X ) = + 2. + 3.
= 1,5; D ( X ) = E ( X ) − E ( X )2 2 = 14 14 14 28 42 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
E (Y ) = E (200 − 65X ) = 200 − 65E ( X ) = 102,5 và
σ(Y ) = D(Y ) = D(200 − 65X ) = 65 D ( X ) = 47,5735 3.4.
Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.
a/ Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất ñể có nhiều nhất 2 sản phẩm giả.
b/ Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một ñể kiểm tra cho ñến khi
nào gặp sản phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số
sản phẩm thật ñã kiểm tra Giải
Gọi p là xác suất chỉ hàng giả trong 1 lô hàng nên p = 0,3 .
a/ Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm giả. X B (10;0,3)
Xác suất ñể có nhiều nhất 2 sản phẩm giả
P ( X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = ) 1 + P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gọi Y là BNN chỉ số sản phẩm thật ñã kiểm tra. 1
Ta có ImY = 0;1;2;... Ta thấy P(Y = 0 = 0,3; P Y = 1 = 0,7.0,3 theo quy nạp 1 ) ( 1 ) 1 { } ( = = 0,7 . n P Y n 0,3. 1 )
Nên kỳ vọng của số sản phẩm thật ñã kiểm tra: +∞ +∞ n− 1 7 E (Y ) = ∑ .
n P (Y = n) 1 = 0, 7.0,3∑ . n 0,7 = 0, 21. = 1 1 n= n= (1− 0,7)2 0 1 3 3.5.
Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.
a/ Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất ñể có nhiều nhất 2 sản phẩm giả.
b/ Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một ñể kiểm tra cho ñến khi
nào gặp sản phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm ñã kiểm tra. Giải
Gọi p là xác suất chỉ hàng giả trong 1 lô hàng nên p = 0,3 .
a/ Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm giả. X B (10;0,3)
Xác suất ñể có nhiều nhất 2 sản phẩm giả 43 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
P ( X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = ) 1 + P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gọi Y là BNN chỉ số sản phẩm ñã kiểm tra. 2 Ta có ImY = 1;2;3;... 2 { }
P (Y = 1 = 0,3; P Y = 2 = 0,7.0,3 theo quy nạp ( 0,7n P Y n − = = .0,3. 2 ) 1 2 ) ( 2 )
Nên kỳ vọng của số sản phẩm ñã kiểm tra: +∞ +∞ n− 1 10 E (Y ) = ∑ .
n P (Y = n) 1 = ∑ . n 0,7 .0,3 = 0,3. = 2 2 n= n= (1− 0,7)2 1 1 3 3.6.
Một khách hàng mua xe tại một ñại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì ñược
quyền trả xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñược lấy lại nguyên số tiền mau
xe. Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm thiệt hại cho ñại lý 250 ngàn VNĐ. Có 50
xe ñược bán ra. Xác suất ñể một xe bị trả lại là 0,1.
a/ Tìm kỳ vong và phương sai của số xe bị trả. Tính xác xuất ñể có nhiều nhất 2 xe bị trả lại.
b/ Tìm kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà tổng ñại lý phải chịu do việc trả lại xe. Giải
Gọi p là xác suất ñể một xe bị trả lại. Nên p = 0,1.
Gọi X là BNN chỉ số xe bị trả lại. X B (50;0, ) 1
ta thấy ( n = 50 > 30; .
n p = 5 ≤ 5;npq = 4,5 ≤ 5 ) nên X Po(5)
Suy ra E ( X ) = np = 5; D( X ) = np(1− p) = 4,5.
Xác suất nhiều nhất 2 xe bị trả lại:
P (X ≤ 2) = Po (5) + Po (5) + Po (5) = 0,1246 (0) ( ) 1 (2)
b/ Gọi Y là BNN chỉ tổng thiệt hại của ñại lý phải chịu do việc trả lại xe. Y = 250X
suy ra E (Y ) = E (250X ) = 250E ( X ) = 1250 và
σ(Y ) = D (Y ) = D (250X ) = 250 D ( X ) = 530,330 3.7.
Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK . M phải làm một ñề thi
trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời Giải khác nhau, trong ñó chỉ
có một lời Giải ñúng. M sẽ ñược chấm ñậu nếu trả lời ñúng ít nhất 6 câu.
(a) Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời Giải trong cả 10
câu. Tính xác suất ñể M thi ñậu.
(b) Giả sử M chắc chắn trả lời ñúng ñược 2 câu; còn các câu khác, M chọn
ngẫu nhiên một trong 4 lời Giải của mỗi câu. Tính xác suất ñể M thi rớt. 44 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải
Gọi p là xác suất ñể M trả lời ñúng một câu hỏi. Nên p = 0, 25 .
Gọi X là BNN chỉ số câu trả lời ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đặt A :”M thi ñậu”
P ( A) = P( X ≥ 6) = P( X = 6) + P( X = 7) +
+ P ( X = 8) + P ( X = 9) + P ( X = 10) = 0,0197
b/ M chắc chắn trả lời dung 2 câu, mà các câu ñược ñộc lập nhau và xác suất trả
lời dung mỗi câu là 0,25.
Do ñó, Xác suất ñể M rớt trong trường hợp trả lời ñúng 2 câu có nghĩa là ta tính xác suất ñể M rớt trong 8 câu h
Gọi Y là BNN chỉ số câu trả lời ñúng trong 8 câu. Y B (8;0,25) .
Đặt R :” M thi rớt”
P (R) = P(Y ≤ 3) = P(Y = 0) + P(Y = )
1 + P(Y = 2) + P(Y = 3) 0 0 8 3 3 5
= C 0, 25 0, 75 + ... + C 0, 25 0, 75 = 0,8862. 8 8 3.8.
Một thí sinh M tham dự một kỳ . M phải làm một ñề thi trắc nghiệm khách
quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời Giải khác nhau, trong ñó chỉ có một lời Giải
ñúng. M sẽ ñược chấm ñậu nếu trả lời ñúng ít nhất 6 câu.
a/ Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời Giải trong cả 10
câu. Tính xác suất ñể M thi ñậu.
b/ Hỏi M phải dự thi ít nhất mấy lần ñể xác suất có ít nhất một lần thi ñậu không nhỏ hơn 97%? Giải
a/ Gọi p là xác suất ñể M trả lời ñúng một câu hỏi. Nên p = 0, 25 .
Gọi X là BNN chỉ số câu trả lời ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đặt A :”M thi ñậu”
P ( A) = P( X ≥ 6) = P( X = 6) + P( X = 7) +
+ P ( X = 8) + P ( X = 9) + P ( X = 10) = 0,0197
b/ Gọi n là số lần dự thi của M. Và B :“ít nhất một lần ñậu”
( ) =1− ( = 0) =1− (1− 0,0197)n P B P X
≥ 0,97 ⇔ n ≥ 176, 238
Vậy, M phải thi thử 177 lần. 3.9.
Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi. Nhà máy
thử thách người dự tuyển 7 lần. Mỗi lần nhà máy ñem ra 4 sợi giống nhau, trong
ñó chỉ có một sợi thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật. Nếu chọn ñúng ít 45 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
nhất 6 lần thì ñược tuyển dụng. Một người ñến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần nhìn
qua là có thể phân biệt sợi thật hay giả với xác suất 80% ".
a/ Nếu người này nói ñúng khả năng của mình thì xác suất ñược tuyển dụng là bao nhiêu?
b/ Tính xác suất ñể ñược tuyển dụng trong trường hợp, thật ra, người
này không biết gì về sợi cả. Giải
a/ Gọi B :” năng lực nhận ra sợi thật của người dự tuyển” suy ra P (B) = 0,8.
Gọi X là BNN chỉ số sợi thật trong 7 lần thử. X B (7;0,8) .
Đặt A :”Người này ñược chọn”
P ( A) = P( X = 6) + P( X = 7) 6 6 7 7
= C .0,8 .0, 2 + C .0,8 = 0,5767 7 7
b/ Gọi p là xác suất chọn ñược sợi thật trong một lần thử (không biết gì về sợi). p = 0, 25 . Khi ñó X B (7;0,25)
Đặt A :”Người này ñược chọn”
P ( A) = P( X = 6) + P( X = 7) 6 6 7 7
= C .0, 25 .0, 75 + C .0, 25 = 0,0014. 7 7 3.10.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. C
a/ Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong
3 chai. Tính xác suất ñể có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
b/ Phải lấy bao nhiêu chai (ở lô A) ñể xác suất có ít nhất một chai hỏng không nhỏ hơn 94% ? Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra ở lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B (3;0, ) 1 với ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3
P ( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác suất ñể có 2 chai hỏng: P( X = 2) = 0,027
và xác suất có ít nhất 1 chai hỏng P( X ≥ )
1 = 1− P( X = 0) = 0,271.
b/ Gọi n là số chai lấy ra. Ta có X B ( ; n 0, ) 1
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7 46 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Do ñó, ít nhất lấy 27 chai. 3.11.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. C
a/ Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong
3 chai. Tính xác suất ñể có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
b/ Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 lô rồi lấy từ lô ñó ra 3 chai. Tính xác suất ñể có ít nhất 1 chai hỏng. Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra ở lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X ~ B(3;0, ) 1 với ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3
P ( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác suất ñể có 2 chai hỏng: P( X = 2) = 0,027
và xác suất có ít nhất 1 chai hỏng P( X ≥ )
1 = 1− P( X = 0) = 0,271.
b/ Ta có X là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra ở lô i với i ∈{1;2; } 3 i 1
Đặt H :”lô i ñược chọn” i ∈{1;2; }
3 ⇒ P(H = . và i ) i 3
Đặt H :” ít nhất 1 chai hỏng trong 3 chai lấy ra” 3 1
P (H ) = ∑ P(H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥  i ). ( | i )  ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 3 1 1 = 3 − P
( X = 0 − P X = 0 + P X = 0  1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3  1 = 1− ( 3 3 3 0,9 + 0,92 + 0,85 ) = 0,2927 3 3.12.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. Lấy ở mỗi lô một chai. Tìm phân C
phối xác suất rồi tính kỳ vọng và phương sai của số chai hỏng trong 3 chai lấy ra. Giải
Gọi Y là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra. 47 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Im X = {0;1;2; } 3
P (Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P (Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 + 1 ) ( 2 ) ( 3 )
+ P ( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0, 2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương tự P (Y = 2) = 0,0314; P(Y = 3) = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
Suy ra E (Y ) = 0,2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33
và D (Y ) = E (Y ) − E (Y )2 2 = ( + + ) 2
0, 2636 4.0,0314 9.0,0012 − 0,33 = 0, 2911. 3.13.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. C
a/ Lấy ở mỗi lô một chai. Tìm phân phối xác suất của số chai hỏng trong 3 chai lấy ra.
b/ Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở
lô C rồi ñể lẫn lộn. Một người ñến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất ñể ñược chai tốt. Giải
a/ Gọi Y là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra. Im X = {0;1;2; } 3
P (Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P (Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 + 1 ) ( 2 ) ( 3 )
+ P ( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0, 2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương tự P (Y = 2) = 0,0314; P(Y = 3) = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
b/ Đặt A:” Chọn 1 chai hỏng”
P ( A) = P(H P A | H + P H P A | H + P H P A | H = 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 = 0,104 500 300 200 1000 1000 1000
Do ñó xác suất ñược 1 chai tốt:
P ( A) =1− P( A) = 0,896 48 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 3.14.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. C
a/ Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 lô rồi lấy từ lô ñó ra 3 chai. Tính xác suất ñể có ít nhất 1 chai hỏng.
b/ Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô
C rồi ñể lẫn lộn. Một người ñến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất ñể ñược chai tốt. Giải 1
a/ Đặt H :”lô i ñược chọn” i ∈{1;2; }
3 ⇒ P (H = . và i ) i 3
Đặt H :” ít nhất 1 chai hỏng trong 3 chai lấy ra” 3 1
P (H ) = ∑ P(H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥  i ). ( | i )  ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i 1 = 3 1 = 3 − P
( X = 0 − P X = 0 + P X = 0  1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3  1 = 1− ( 3 3 3 0,9 + 0,92 + 0,85 ) = 0,2927 3
Trong ñó X là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra ở lô i với i ∈{1;2; } 3 i
b/ Đặt A:” Chọn 1 chai hỏng”
P ( A) = P(H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác suất ñược 1 chai tốt:
P ( A) =1− P( A) = 0,896 3.15.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. C
a/ Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3
chai. Tính xác suất ñể có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
Phải lấy bao nhiêu chai (ở lô A) ñể xác suất có ít nhất một chai
hỏng không nhỏ hơn 94% ?
b/ Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô
C rồi ñể lẫn lộn. Một người ñến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất ñể ñược chai tốt. 49 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra ở lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B (3;0, ) 1 với ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3
P ( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác suất ñể có 2 chai hỏng: P ( X = 2) = 0,027
và xác suất có ít nhất 1 chai hỏng P ( X ≥ )
1 = 1− P( X = 0) = 0,271.
Gọi n là số chai lấy ra. Ta có X B ( ; n 0, ) 1
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7
Do ñó, ít nhất lấy 27 chai.
b/ Đặt A:” Chọn 1 chai hỏng”
P ( A) = P(H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác suất ñược 1 chai tốt:
P ( A) =1− P( A) = 0,896 3.16.
Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là A B
P = 0,15 . Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc. C
a/ Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong
3 chai. Tính xác suất ñể có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
b/ Lấy ở mỗi lô một chai. Tìm phân phối xác suất của số chai hỏng trong 3 chai lấy ra.
c/ Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô
C rồi ñể lẫn lộn. Một người ñến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất ñể ñược chai tốt. Giải
a/ Gọi X là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra ở lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B (3;0, ) 1 với ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { } 50 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3
P ( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác suất ñể có 2 chai hỏng: P ( X = 2) = 0,027
và xác suất có ít nhất 1 chai hỏng P ( X ≥ )
1 = 1− P( X = 0) = 0,271.
b/ Gọi Y là BNN chỉ số chai hỏng có trong 3 chai lấy ra. Im X = {0;1;2; } 3
P (Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P (Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 + 1 ) ( 2 ) ( 3 )
+ P ( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0, 2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương tự P (Y = 2) = 0,0314; P(Y = 3) = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
c/ Đặt A:” Chọn 1 chai hỏng”
P ( A) = P(H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác suất ñược 1 chai tốt:
P ( A) =1− P( A) = 0,896 3.17.
Giả sử ngày sinh của người dân trong một thành phố lớn có thể rơi
ngẫu nhiên vào một ngày bất kỳ trong một năm (365) ngày. Chọn ngẫu nhiên 1095
người trong thành phố ñó. Tính xác suất ñể :
a/ Có hai người có cùng ngày sinh ñã cho.
b/ Có không quá 7 người có cùng ngày sinh ñã cho. Giải
Gọi X là BNN chỉ số người có cùng ngày sinh trong 1095 người .  1  X ~ B 1095;   365 
a/ Xác suất ñể có 2 người có cùng ngày sinh ñã cho: 51 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 2 1093  1   364   1  P ( X = 2) 2 = C     ≈ Po 1095.  = Po 3 =0, 2565 1095 2 2 ( )  365   365   365 
b/ Xác suất ñể có không quá 7 người có cùng ngày sinh ñã cho:
P ( X ≤ 7) = Po 3 + Po 3 + Po 3 + Po 3 + Po 3 + Po 3 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( )
+Po 3 + Po 3 = 0,988 6 ( ) 7 ( ) 3.18.
Một trạm bưu ñiện chuyển ñiện trong khoảng thời gian 10-5 giây.
Trong quá trình tránh ñiện có các tiếng ồn ngẫu nhiên. Số tín hiệu ồn ngẫu nhiên
trong 1 giây là 104 . nếu trong thời gian truyền tín hiệu có dù cjir một tín hiệu ồn
ngẫu nhiên thì trạm sẽ ngừng làm việc. tính xác suất ñể cho việc truyền tính hiệu
bị gián ñoạn. biết rằng số tín hiệu ồn ngẫu nhiên rơi vào trong khoảng thời gian
truyền tín hiệu là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối poison. Giải
Gọi X là BNN chỉ số các tín hiệu ồn trong khoảng thời gian 5 10− truyền tin. X Po( 4 −5 ~
10 .10 ) ⇔ X ~ Po(0, ) 1 Trong ñó,
số tín hiệu ồn trong khoảng thời gian 5 10− giây truyền tin là 4 5 10 .10− = 0,1.
Do ñó, xác suất việc truyền tin bị gián ñoạn 0,1 0,1 ( )0 P ( X ) 1
1 P( X 0) 1 e− ≥ = − = = − = 0, 0952 0! 3.19.
Số lỗi trên 1 mét vuông vải là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối poison. Kiểm tra lô vải, người ta thấy 98% có lỗi. Vậy trung bình mỗi mét
vuông vải có bao nhiêu lỗi? Giải
Gọi X là BNN chỉ số lỗi trên 1mét vuông vải X Po(λ)
Lô vải thấy có 98% lỗi P ( X ) 1 0,98 1 P( X 0) 0,98 e−λ ≥ = ⇔ − = = ⇔ = 0, 02 ⇔ λ ≈ 3,9 (1,5ñ)
Vậy, trung bình mỗi mét vuông vải có 3,9 lỗi. 3.20.
Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt ñộng ñộc lập
nhau, và xác suất ñể mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân
(viết tắt là CCN) là 0,3. 52 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
a/ Tính xác suất ñể, trong ca làm việc, có a1/ 4 máy CCN a2/ từ 3 ñến 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm việc, tìm số máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng. Giải.
a/ Gọi X là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc thì X ~ B (12;0,3) k k 12
P(X = k) = C (0,3) (0,7) −k , k ∈ 0,1,2,…,12 , k ∈ {0,1,2,…,12} 12 { } a1/ Xác suất phải tính: 4 4 8
P(X = 4) = C (0,3) (0,7) = 0, 23 1 1 12 b2/ Xác suất phải tính: 7
P(3 ≤ X ≤ 7) = ∑ P(X =k) k = 3
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. b/ Số máy CCN trung bình:
E ( X ) = 12× 0,3 = 3,6
c/ Số máy CCN nhiều khả năng nhất: Mod ( X ) = 1 [ 3× 0, ] 3 = . 3
Xác suất tương ứng: P ( X = 3) = 0,2397 . 3.21.
Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt lép là
0,2 ñể kiểm tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.
a/ Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa ñể xác suất có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ?
b/ Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất ñể trong ñó có 25 hạt lép; có từ 10 ñến 40 hạt lép. Giải.
a/ Gọi n là số hạt lúa cần lấy. Vì số hạt lúa trong kho rất lớn, nên các lần lấy xem
như ñộc lập. Xác suất ñể trong n hạt lúa lấy ra, không có hạt lép nào là (0,8)n. Theo giả thiết: 53 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân n n ln (0,05)
1− (0,8) ≥ 0,95 ⇔( 0,8) ≤ 0,05 ⇔ n≥ ln (0,8)
Vậy, phải lấy ít nhất 14 hạt lúa.
b/ Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số hạt lép trong mẫu thì X ~ B (n, p) , với
n = 100 và p = 0, 2 . Vì n > 30; . n p = 20 > 5 và .
n (1− p) = 80 > 5 nên chúng ta có
thể áp dụng các công thức gần ñúng DeMoivre − Laplace.
(i) Xác suất ñể có 25 hạt lép: 25 25 75
P(X = 25) = C (0,2) (0,8) = 0,04388 100
(ii) Xác suất ñể có từ 10 ñến 40 hạt lép:  40 100 0,2   10 100 0,2  − × − × P(10 ≤ X ≤ 0 4 ) ≈ Φ   − Φ     100 0, 2 0,8     100 0, 2 , 0 8  × × × ×  = Φ(5) − Φ( 2
− ,5) = 1− (1 − Φ(2,5)) = Φ(2,5) ⇒ P 1 ( 0 ≤ X ≤ 40 )≈ 0,9938 3.22.
Cần xét nghiệm máu cho 5000 người ñể tìm dấu hiệu một loại bệnh
B tại một ñịa phương có tỉ lệ người mắc bệnh B theo thống kê là 10%. Có 2 phương pháp:
a/ Xét nghiệm từng người một.
b/ Mỗi lần lấy máu một nhóm 10 người trộn lẫn vào nhau rồi xét nghiệm.
Nếu kết quả âm tính thì thông qua, nếu dương tính thì phải làm thêm 10 xét
nghiệm ñể xét nghiệm lại từng người một trong nhóm.
Hỏi phương pháp nào có lợi hơn, biết rằng mỗi xét nghiệm ñều tốn kém như
nhau và khả năng mắc bệnh của mỗi người ñộc lập nhau?
Giải.
a/ Nếu dùng phương pháp (1) thì phải thực hiện 5000 xét nghiệm.
b/ Bây giờ chúng ta xem phương pháp (2):
Đặt X chỉ số nhóm có kết quả dương tính thì X B( − (0,9)10 ~ 500; 1 )
Đặt Y chỉ số xét nghiệm theo phương pháp (2) thì Y = 500 +10X
Số xét nghiệm trung bình theo phương pháp (2) là: E (Y )= + E ( X )= + ( − ( )10 500 10 500 5000 1 0,9 )≈ 3757 .
Vậy, áp dụng theo phương pháp (2) có lợi hơn. 54 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 3.23.
Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận ñược 4 ñơn ñặt
hàng. Biết rằng số ñơn ñặt hàng X mà cơ sở nhận ñược trong một tuần là một
BNN có phân phối Poisson. Tính xác suất ñể cơ sở ñó
a/ Nhận ñược hơn 5 ñơn ñặt hàng trong một tuần
b/ Nhận ñược 6 ñơn ñặt hàng trong hai tuần liên tiếp Giải.
a/ X ~ Po(4) . Xác suất phải tính:
P ( X > 5) =1 − P(X ≤ ) 5 5 4k = − 4 1 − ∑ e = 1− 0,7851 = 0,2149 k = 0 k !
b/ Gọi Y là BNN chỉ số ñơn ñặt hàng của cơ sở trong hai tuần liên tiếp thì
Y ~ Po(8) . Xác suất phải tính: 6 8 P(Y = 6) − 8 = e = 0,1221 6! 3.24.
Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất ñể mỗi chai
bị vỡ trong khi vận chuyển là 0,0035. Tính xác suất ñể sau khi vận chuyển, có 6
chai rượu bị vỡ; có từ 2 ñến 8 chai rượu bị vỡ. (giả sử rằng sự kiện các chai rượu
bị vỡ là ñộc lập nhau, do chất lượng riêng của mỗi chai) Giải.
Gọi X là BNN chỉ số chai rượu bị vỡ sau khi vận chuyển, thì
X ~ B (1000; 0,0035).
Xác suất ñể có 6 chai rượu bị vỡ: 6 6 994 P(X = 6) = C (0,0035) (0,9965) = 0,07709 1000 Tính gần ñúng: Vì n = 1000 và .
n p = 3,5 < 5 , nên có thể xem: X ~ Po(3,5) . Do ñó: 6 (3,5) 3,5 P(X 6) e− = ≈ = 0,0771 6!
Xác suất ñể có từ 2 ñến 8 chai rượu bị vỡ 8 (3,5)k 3 − ,5
P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ e = 0,8543 k = 2 k! 55 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 3.25.
Thời gian ñể sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo luật
phân phối chuẩn với các tham số µ = 10 và σ = 1 (ñơn vị là phút)
a/ Tính xác suất ñể một sản phẩm loại A nào ñó ñược sản xuất trong khoảng
thời gian từ 9 phút ñến 12 phút.
b/ Tính thời gian cần thiết ñể sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ. Giải.
Gọi X là BNN chỉ thời gian dể sản xuất một sản phẩm loại A , X ~ N (10; ) 1 . a/ Xác suất phải tính:  12 −10   9 −10 
P(9 ≤ X ≤ 1 ) 2 = Φ   − Φ    1   1  = Φ (2) – Φ(− ) 1 = Φ (2) + Φ( ) 1 –1
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui tắc 3σ, hầu như chắc chắn X lấy giá trị trong khoảng: [10 − 3×1; 10 + 3× ] 1 = [7; 1 ] 3
Vậy, thời gian cần thiết ñể sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ là từ 7 phút ñến
13 phút (hầu như chắc chắn). 3.26.
Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối 2
N (µ,σ ) . Biết rằng
X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516, hãy tính µ và σ. Giải. Theo giả thiết,   60 − µ  Φ    = 0,1003
P( X < 60) = 0,1003   σ   ⇔ 
P( X >90) = 0,0516   90  1 − µ − Φ   = 0,0516   σ    µ − 60   µ − 60 Φ    = 0,8997 = 1, 28   σ   σ ⇔  ⇔   90 − µ   90 − µ  Φ   = 0,9484 = 1,64   σ   σ
Vậy, µ = 73,15 và σ = 10, 27 . 56 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 3.27.
Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân
phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai ( )2
0, 2 mm. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết
a/ Có ñường kính trong khoảng 19,9mm ñến 20,3mm.
b/ Có ñường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm. Giải
Gọi X là BNN chỉ ñường kính của một chi tiết, ta có X N ( ( )2 ~ 20; 0, 2 )
a/ Có ñường kính trong khoảng 19,9mm ñến 20,3mm  20,3 − 20   19,9 − 20 
P (19,9 < X < 20,3) = Φ  − Φ    0,2   0,2  = Φ (1,5) + Φ (0,5) = 0,6247
b/ Có ñường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm   P ( X − < ) 0,3 20 0,3 = 2Φ   −1 = 0,8664  0, 2  57 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: LÝ THUYẾT MẪU 4. 1.
Để nghiên cứu về số con trong một gia ñình (SCTMGĐ) ở ñịa phương A,
người ta ñiều tra số con của mỗi gia ñình trong 30 gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên
ở ñịa phương A. Kết quả ñược ghi lại như sau: 0 2 5 3 7 4 3 3 1 4 2 4 3 1 6 1 0 2 4 1 1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a) Hãy lập bảng phân phối tần số và tần suất tích luỹ cho dữ liệu trên mẫu.
b) Trên mẫu vừa nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñộ lệch chuẩn của SCTMGĐ. Giải:
a) Gọi X là BNN chỉ số con trong một gia ñình. Bảng phân bố tần số, tần suất
và tần suất tích lũy cho X từ dữ liệu trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 Tần số n i 3 6 6 6 4 3 1 1 Tần suất f i
0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033
Tần suất tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000
b) Giá trị trung bình mẫu là: x = 2,67
Giá trị phương sai mẫu: 2 s = 3, 2644
Độ lệch chuẩn: s = 1,81. 4. 2.
Để nghiên cứu về thâm niên công tác (tính tròn năm) của nhân viên ở một
công ty lớn, người ta khảo sát thâm niên của 100 nhân viên ñược chọn ngẫu nhiên
trong công ty. Kết quả như sau: Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19 Số nhân 8 21 36 25 10 viên
a) Hãy tính giá trị trung bình mẫu và giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu.
b) Giả sử thâm niên công tác của nhân viên của công ty trên là BNN X có kỳ
vọng là 12 năm và ñộ lệch chuẩn là 3 năm. Tính xác suất ñể trung bình mẫu
nhận giá trị lớn hơn 12,5 năm. Giải
Gọi X là BNN chỉ thâm niên công tác của nhân viên của công ty trên.
a) Từ dữ liệu ta tính ñược:
- Giá trị trung bình mẫu: x = 12.24 58 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
- Giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 3,27 .
b) Theo ñịnh lý giới hạn trung tâm ta có: − µ X U = n ~ N (0, ) 1 σ
Do ñó xác suất ñể trung bình mẫu nhận giá trị lớn hơn 12,5 là:  − µ − µ  P (X > ) X 12,5 12,5 = P n >
n  = P (U > 1,67) =1− P (U ≤ 1,67) = 0,0478  σ σ  4. 3.
Để nghiên cứu chiều cao của thanh niên lứa
tuổi từ 18 ñến 22 tuổi ở thành phố LX, người ta Chiều cao Số thanh
ño trên một mẫu gồm một số thanh niên ñược (cm) niên
chọn ngẫu nhiên ở thành phố LX. Kết quả như sau [154, 158) 10 (ñơn vị cm): [158, 162) 16
a) Tính giá trị trung bình mẫu và giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu. [162, 166) 29
b) Theo tài liệu khảo sát trước ñó chiều cao của [166, 170) 37
những thanh niên lứa tuổi trên tuân theo luật phân [170, 174) 15
phối chuẩn với kỳ vọng là µ = 166 cm và ñộ lệch chuẩn là [174, 178) 10
σ = 7 cm. Hãy tính xác suất ñể trung
bình mẫu có giá trị lớn 167 cm. [178, 182) 4 Giải:
Gọi X là BNN chỉ chiều cao của thanh niên lứa tuổi từ 18 ñến 22 tuổi ở thành phố LX.
a) Từ dữ liệu ta tính ñược:
- Giá trị trung bình mẫu: x = 166,55 cm
- Giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 5,865 cm.
b) Theo ñịnh lý giới hạn trung tâm ta có: − µ X U = n ~ N (0, ) 1 σ
Do ñó xác suất ñể trung bình mẫu nhận giá trị lớn hơn 12,5 là:  − µ − µ  P (X > ) X 167 167 = P n >
n  = P (U > 1,57) = 1− P (U ≤ 1,57) = 0,058  σ σ  . 4. 4.
Giả sử ñộ tăng theo phần trăm lương hàng năm của mỗi công nhân viên
chức trong công ty Alpha tuân theo luật phân phối chuẩn với trung bình 12,2% và 59 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
ñộ lệch chuẩn 3,6%. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 phần tử ñược chọn từ tổng thể ấy.
Tìm xác suất ñể trung bình mẫu nhỏ hơn 10%. Giải:
Gọi X là BNN chỉ ñộ tăng lương theo phần trăm. Ta có X N ( 2 ~ 12,2; 3,6 ) và X − µ U = n ~ N (0, ) 1 σ  − −   −  P (X < ) X 12, 2 10 12,2 10 12,2 10 = P  9 < 9  = Φ 9  = 0,0334 .  3,6 3,6   3,6  4. 5.
Để nghiên cứu tuổi thọ của một loại bóng ñèn, người ta thắp thử 100 bóng
ñèn trước cải tiến kỹ thuật. Sau khi cải tiến kỹ thuật, người ta thắp lại 100 bóng.
Số liệu có ñược cho trong bảng sau:
Mẫu 1: Trước cải tiến Mẫu 2: Sau cải tiến Tuổi thọ (giờ) Số bóng Tuổi thọ Số bóng ñèn (giờ) ñèn < 1030 2 1150 10 [1030, 1050) 3 1160 15 [1050, 1070) 8 1170 20 [1070, 1090) 13 1180 30 [1090, 1110) 25 1190 15 [1110, 1130) 20 1200 10 [1130, 1150) 12 [1150, 1170) 10 [1170, 1200] 5 > 1200 2
a) Tính giá trị ñại diện cho mỗi lớp ở mẫu 1 và lập bảng tần số, tần suất cho mẫu 1.
b) Hãy so sánh giá trị trung bình và giá trị ñộ lệch chuẩn của hai mẫu trên. 60 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải: a) (1 ñ) Trước cải tiến Tuổi thọ Giá trị ñại diện Tần số Tần suất (giờ) < 1030 1020 2 0,02 [1030, 1050) 1040 3 0,03 [1050, 1070) 1060 8 0,08 [1070, 1090) 1080 13 0,13 [1090, 1110) 1100 25 0,25 [1110, 1130) 1120 20 0,20 [1130, 1150) 1140 12 0,12 [1150, 1170) 1160 10 0,10 [1170, 1200] 1185 5 0,05 > 1200 1215 2 0,02 Tổng số 100 1
b) Gọi X và Y lần lượt là các BNN chỉ tuổi thọ của bóng ñèn trước và sau
cải tiến kỹ thuật. Ta có x = 1112,15 ; y = 1175,5 ; s = 39,26 và s = 14,38 X Y
Như vậy, trung bình mẫu 1 bé hơn trung bình mẫu 2 và ñộ lệch chuẩn mẫu 1
lớn hơn ñộ lệch chuẩn mẫu 2. 4. 6.
Theo Hội sinh viên ở thành phố LX thì có 60% sinh viên hiện ñang theo học
ñại học muốn tìm việc làm ngoài giờ học. Một mẫu gồm 205 sinh viên ñược chọn
ngẫu nhiên. Tìm xác suất ñể trong số ñó có hơn 135 sinh viên muốn tìm việc làm ngoài giờ học. Giải:
Gọi p là tỉ lệ sinh viên hiện ñang theo học ñại học muốn tìm việc làm ngoài giờ học, p = 0,6 .
Tỉ lệ sinh viên muốn tìm việc làm ngoài giờ trên mẫu là m P = . 205
Xác suất có hơn 135 sinh viên muốn tìm việc làm ngoài giờ: 61 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ânm 135   27 
P (m > 135) = P  >
 = P P >   205 205   41  − Vì P p0 n ~ N (0, ) 1 p 1 − 0 ( p0 ) Do ñó  27  − p  0  − P (m > ) P p0 41 135 = P n > n p 1− p p 1− 0 ( 0 ) 0 ( p0 )     27   27  − p − 0, 6  0 41   41  = 1− Φ  n  = 1− Φ  205   p 1− p   0,6 1− 0,6 0 ( 0 ) ( )      = 1− Φ (1,7 ) 1 = 1− 0,9564 = 0,0436 4. 7.
Một mẫu kích thước n ñược thành lập từ tổng thể tuân theo phân phối chuẩn
với kỳ vọng µ và ñộ lệch chuẩn là 8. Hãy xác ñịnh n sao cho, với xác suất bằng
0,9524, trung bình mẫu nằm trong khoảng từ µ - 4 ñến µ + 4. Giải: Ta có
P (µ − 4 ≤ X ≤ µ + 4) = 0,9524
⇔ P ( X − µ ≤ 4) = 0,9524 (1 ñ)  X µ 4 n  − ⇔ P n ≤  = 0,9524  σ σ      ⇔ 2 n Φ   −1 = 0,9524 2    n  ⇔ Φ   = 0,9762 2 (1 ñ)   n ⇔ = 1,98 2 ⇒ n = 16 4. 8. 62 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Số liệu thống kê cho biết có 40% các hộ gia ñình ở thành phố A có thu nhập
hàng năm nằm trong khảng từ 1200 USD ñến 2000 USD. Vậy, phải ñiều tra một
mẫu gồm bao nhiêu hộ gia ñình ñể, với xác suất 0,95, tỉ lệ các gia ñình có thu nhập
trong khoảng nói trên, sai lệch so với tỉ lệ chung của thành phố không quá 4%? Giải:
Ta có tỉ lệ hộ gia ñình ở thành phố A có thu nhập hàng năm nằm trong khảng từ
1200 USD ñến 2000 USD là p = 0,4 . Gọi P là tỉ lệ mẫu:
P ( P − 0,4 < 0,04) = 0,95   P − 0, 4 0,04 P n n  ⇔ < = 0,95  0,4(1 0,4) 0, 4(1 0,4)  − −    0,04  ⇔ 2Φ  n  −1 = 0,95  0,4(1 0,4)  −    0,04   n  ⇔ Φ = 0,975  0,4(1 0,4)  −   0,04 ⇔ n = 1,96 0,4(1− 0,4)
⇔ n ≈ 576, 24 ⇒ n = 577 4. 9.
Một lô hàng ñạt tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỉ lệ phế phẩm không quá 5%. Nếu
kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thì với tỉ lệ phế phẩm thực tế tối ña là bao
nhiêu, chúng ta có thể cho phép lô hàng ñược xuất khẩu mà khả năng không mắc sai lầm là 95%? Giải:
Gọi p là tỷ lệ phế phẩm thực tế tối ña. 0
Lô hàng ñược phép xuất khẩu mà không mắc sai lầm khi P < p . Theo ñề 0 bài:
P (P < p = 0,95 0 )   P − 0, 05 p − 0,05 0 P  100 100  ⇔ < = 0.95  0,05(1 0,05) 0,05(1 0,05)  − −   P − 0,05 Vì 100 ~ N (0, )
1 nên ñẳng thức trên tương ñương: 0,05(1− 0,05) 63 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân   p − 0,05 0  100  Φ = 0,95  0,05(1 0,05)  −   p − 0,05 0 ⇒ 100 = u = 1,65 0,05(1− 0,05) 0,95 1,65 0,05(1− 0,05) ⇔ p = + 0,05 ⇔ p = 0,086 0 0 100 4. 10.
Chiều cao (ñơn vị cm) của một thanh niên ở thành phố lớn A là BNN tuân theo
luật phân phối N(165; 100). Người ta ño ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên ở thành phố A (TP.A).
c) Xác suất ñể chiều cao trung bình của 100 thanh niên ñó lệch so với chiều
cao trung bình của thanh niên TP.A không vượt quá 2cm là bao nhiêu?
d) Nếu muốn chều cao trung bình ño ñược sai lệch so với chiều cao trung bình
của tổng thể không vượt quá 1cm với xác suất không dưới 99% thì chúng ta
phải tiến hành ño chiều cao của bao nhiêu thanh niên? Giải:
a) Gọi X là BNN chỉ chiều cao của mỗi thanh niên ở thành phố A. Ta có
X ~ N (165;100) .
Do ñó X ~ N (165; )
1 và X −165 ~ N (0, ) 1
⇒ P ( X −165 < 2) = 2Φ(2) −1= 0,9545 X −165
b) Gọi n là số thanh niên cần ño chiều cao. Khi ñó, n ~ N (0, ) 1 10
Theo ñề bài ta có: P ( X −165 < ) 1 ≥ 0,99  X 165 n  − ⇔ P n <  ≥ 0,99 10 10     ⇔ 2 n Φ   −1 ≥ 0,99 10    n  1,99 ⇔ Φ   ≥ = 0,995 10 2   64 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân n 1 − ⇒ ≥ Φ (0,995) = 2,5758 10 ⇒ n ≥ 663,47
CHƯƠNG 5: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 5. 1.
a) Hãy thiết lập công thức tìm khoảng tin cậy γ cho trung bình tổng thể
trong trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn ñã biết ñộ lệch chuẩn.
b) Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể X biết X ( 2 ~ µ,σ ) với
σ = 3 và mẫu ñặc trưng X có kích thước n = 25 trung bình mẫu x = 10 . Giải
a) Với ñộ tin cậy γ cho trước ta tìm khoảng (x − ;
e x + e) sao cho
P ( X − e < µ < X + e) = γ
⇔ P (| X − µ |< e) = γ  | X − µ |  n ⇔ P n < e  = γ  σ σ      n
⇔ P | U |< e  = γ  σ    n Vì U ~ N (0, )
1 nên ta có 2Φ (a) −1 = γ , a = e σ 1+ γ ⇔ Φ (a) = ⇒ a = u 1 2 +γ 2 n Suy ra: σ u = e ⇒ e = u . 1+γ 1+γ σ n 2 2 Vậy, khoảng tin cậy σ γ cho µ là ( x − ;
e x + e) với e = u . . 1+γ n 2
b) Áp dụng công thức trên, khoảng tin cậy 95% cho trung bình của X là: ( x − ; e x + e) σ 3 3 e = u . = u . = u . = 1,176 1+γ 1+0,95 0,975 n 25 5 2 2 65 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Vậy khoảng tin cậy cần tìm là: (8,824;11,176) . 5. 2.
a) Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng ñèn hình TV có ñộ lệch chuẩn
bằng 500, nhưng chưa biết trung bình. Ngoài ra, tuổi thọ của loại bóng ñèn
ñó tuân theo luật phân phối chuẩn. Khảo sát trên một mẫu ngẫu nhiên gồm
15 bóng loại trên, người ta tính ñược tuổi thọ trung bình là 8900 giờ. Hãy tìm
khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng ñèn hình nói trên.
a) Một tổng thể X có phân phối chuẩn. Quan sát một mẫu ngẫu nhiên kích
thước 25 người ta tính ñược trung bình là 15 và ñộ lệch chuẩn là 3. Hãy ước
lượng kỳ vọng của X bằng khoảng tin cậy 95%. Giải
a) Khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của bóng ñèn hình: ( x − ; e x + e) σ 500 500
Với x = 8900 , và e = u . = u . = 1,96. = 253 1+ γ 0,975 2 n 15 15 Do ñó (8647;9153)
b) Khoảng tin cậy cho kỳ vọng của X là: (x - ;
e x + e) với x = 15
Vì X có phân phối chuẩn chưa biết ñộ lệch chuẩn nên: s 3 3 (24) (24) e = t . = t . = 2, 0639. = 1, 24 1+ γ 1+0,95 n 25 5 2 2
Vậy, khoảng tin cậy cần tìm là (13,76;16,24) 5. 3.
Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng ñèn hình TV có ñộ lệch chuẩn bằng
500, nhưng chưa biết trung bình. Tuy nhiên, trung bình mẫu bằng 8900 ñược
tính trên mẫu cỡ n = 35 .
a) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng ñèn hình ñang khảo sát.
b) Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng ñèn hình TV trên có phân phối
chuẩn. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho trung bình tổng thể. Giải
a) Khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của bóng ñèn hình: ( x − ;
e x + e) , với x = 8900 và σ 500 500 e = u . = u . = 1, 96. = 165, 65 1+γ 0,975 2 n 35 35
Vậy, khoảng tin cậy cần tìm là: (8734; 9066) (giờ). 66 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b) Khoảng tin cậy 90% cho tuổi thọ trung bình của bóng ñèn hình: ( x − ;
e x + e) , với x = 8900 .
Do X có phân phối chuẩn chưa biết ñộ lệch chuẩn nên: − s n 500 500 ( ) 1 (34) e = t . = t . = 1, 6909. = 142, 9 1+ γ 1+0,9 2 n 2 35 35
Vậy, khoảng tin cậy cần tìm: (8757; 9043) (giờ). 5. 4.
a) Kiểm tra tuổi thọ của một loại bóng ñèn hình TV trên một mẫu ngẫu nhiên
gồm 100 bóng ñèn tính ñược giá trị trung bình mẫu là 8900 giờ và ñộ lệch
chuẩn mẫu bằng 500 giờ. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể.
b) Độ tin cậy sẽ là bao nhiêu nếu cùng mẫu trên sai số ước lượng bằng 130 giờ. Giải
a) Khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của bóng ñèn hình: ( x − ;
e x + e) , với x = 8900 . s 500 500 e = u . = u . = 1,96. = 98 1+ γ 1+0,95 2 n 2 100 100
Khoảng tin cậy cần tìm: (8802; 8998) (giờ).
b) Giả sử γ là ñộ tin cậy, khi sai số ước lượng 500 100 e = u . = 130 ⇒ u = 130. = 2, 6 1+γ 1 100 +γ 500 2 2 1
Tra bảng 4 ta tìm ñược + γ = 0,9953 ⇔ γ = 0,9906 . 2 1  
( + γ = P X < u  = P X < 2,6 với X ~ N (0, ) 1 ) 1+γ ( ) 2  2 
Vậy, ñộ tin cậy γ = 99,06% . 5. 5.
Khối lượng X của một sản phẩm do một nhà máy sản xuất tuân theo luật phân
phối chuẩn. Lấy một mẫu ngẫu nhiên (không hoàn lại) gồm 10% của một lô hàng
gồm 300 sản phẩm của nhà máy ñó, người ta tính ñược x = 148,50 gam và s = 35,75 gam.
a) Hãy xây dựng công thức tìm khoảng tin cậy γ cho trung bình tổng thể hữu
hạn trong trường hợp lấy mẫu không hoàn lại.
b) Tìm khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của mỗi sản phẩm trong lô hàng nói trên. 67 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải
a) Gọi N là kích thước tổng thể, n là kích thước mẫu. σ N − n
Vì lầy mẫu có hoàn lại thì X σ = X n N −1 X − µ X − µ N −1
Theo ñịnh lý giới hạn trung tâm, U = = n ~ N (0, ) 1 σ σ N − n X X U X − µ N −1 Và T = = n ~ t (n − ) 1 / −1 S N − n Y n (n − ) 2 1 S Ở ñây 2 Y = ~ χ n −1 2 ( ) σX
Do ñó với ñộ tin cậy γ cho trước ta tìm e sao cho P ( X −µ < e) = γ e N −1
Từ ñó P ( T < a) = γ với a = n s N − n 1 Suy ra + γ
P (T < a) =
với T là BNN có phân phối student n −1 bậc tự do. 2 Suy ra ( − ) 1 = n a t 1+ γ 2 s N n Vậy ta tính ñược (n − − ) 1 e = t 1+γ n N −1 2
b) Theo ñề bài ta có n = 30; s = 35,75; N = 300; x = 148,5; γ = 0,95 35, 75 270 Ta tính ñược (29) e = t . = 12, 685 1+0,95 30 299 2
Khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình là (135,815;161,185) 5. 6.
Một lô bút bi của xí nghiệp A sản xuất ra gồm 1000 hộp, mỗi hộp 10 cây.
Kiểm tra ngẫu nhiên 50 hộp, thấy có 45 cây bút bị hỏng.
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ bút bị hỏng và số bút bị hỏng của lô hàng.
b) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ bút hỏng với ñộ chính xác 1,5%
thì ñộ tin cậy ñạt ñược là bao nhiêu? Giải
a) Gọi p là tỉ lệ bút hỏng của lô bút. 68 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 45
Tỷ lệ bút hỏng trên mẫu p = = 0, 09 500
Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ bút hỏng của mẫu: p (1− p) 0, 09(1− 0,09) ( p − ;
e p + e) với e = 1 u +0,95 = 1,96. = 0, 025 n 500 2
Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ bút hỏng cần tìm là: (0,065;0,115) và cho số bút hỏng là (650;1150) (cây).
b) Giả sử e = 0,015 , ta có p (1− p) n ⇒ 1 u = 0, 015 +γ 1 u = 0, 015 = 1,172 n +γ p (1− p) 2 2 1+ γ ⇒
= 0,8794 ⇒ γ = 1,7588 −1 = 0, 7588 =75,88%. 2 5. 7.
Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại cây công
nghiệp ở một nông trường như sau: xi 3 4 5 6 7 8 số cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây ñó bằng khoảng tin cậy 90%.
b) Để ước lượng chiều cao trung bình của loại cây ñó ở ñộ tin cậy 95%, với
sai số không quá 2 dm thì cần phải quan sát thêm bao nhiêu cây nữa? Giải
a) Từ số liệu ñã cho ta tính ñược x = 6,02 và ñộ lệch chuẩn mẫu s = 1,206 .
Khoảng tin cậy 90% cho chiều cao trung bình của loại cây ñó là: s 1, 206 1, 206 ( x − ;
e x + e) , e = u = u . = 1, 65. =0,2 1+ γ 0,95 100 10 10 2 Do ñó (5,82;6,22)
b) Giả sử n là số cây cần quan sát với ñộ tin cậy 95% và sai số không quá 1 0,2 (m) ta có: 1, 45 u ≤ 0, 2 0,975 n1 69 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 2 1, 206  1, 206  ⇔ n ≥ u ⇔ n ≥ 1,96.
 = 139, 6 ⇒ n = 140 1 0,975 1 0, 2  0, 2  1
Vậy ta cần quan sát thêm ít nhất 140 – 100 = 40 (cây) nữa. 5. 8.
Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại cây công
nghiệp ở một nông trường như sau: xi 3 4 5 6 7 8 số cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây ñó bằng khoảng tin cậy 90%.
b) Những cây cao từ 7 m trở lên gọi là cây loại A. Hãy tìm khoảng tin cậy
95,44% cho tỉ lệ cây loại A của nông trường. Giải
a) Từ số liệu ñã cho ta tính ñược x = 6,02 và phương sai mẫu 2 s = 1,45
Khoảng tin cậy 90% cho chiều cao trung bình của loại cây ñó là: ( x − ; e x + e) , s 1, 2059 1, 2059 e = u = u . = 1, 65. =0,2 1+ γ 0,95 100 10 10 2
Do ñó K = (5,82;6,22)
b) Tỷ lệ cây loại A trên mẫu là: 35 p = = 0,35 100
Khoảng tin cậy 95,44% cho tỷ lệ cây loại A của nông trường là: ( p − ; e p + e) p (1− p) 0,35.0, 65 0,35.0, 65 với e = u = u = 2. = 0, 0954 1+0,9544 0,9772 n 100 10 2
Khoảng tin cậy cần tìm là: (0,2546;0,4454). 5. 9.
Độ sâu của biển ñược xác ñịnh bằng một máy ño có sai số hệ thống bằng 0,
còn sai số ngẫu nhiên của nó tuân theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch chuẩn 20m.
a) Cần phải tiến hành bao nhiêu lần ño ñể xác ñịnh ñược ñộ sâu của biển với
sai số cho phép không quá 15m ở ñộ tin cậy 90% ? 70 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b) Tìm khoảng tin cậy 95% cho sai số ngẫu nhiên trung bình. Biết rằng khi
tiến hành ño ở một ñịa ñiểm xác ñịnh 25 lần người ta tính ñược sai số ngẫu
nhiên trung bình mẫu là 100m. Giải
a) Gọi n là số lần ño cần thiết. 2 2 σ σ 20 Ta có 2 2 e = u ≤ 15 ⇔ n ≥ u = .1, 65 = 4,84 1+γ 2 1 n 15 +γ 225 2 2
Vậy cần ño ít nhất 5 lần.
b) Khoảng tin cậy 95% cho sai số trung bình ngẫu nhiên là: σ 20 20
(x −e;x +e) với e = u . = u . = 1,96. = 7,8 1+0,95 0,975 n 25 5 2
Vậy khoảng tin cậy cần tìm là: (92,2;107,8) . 5. 10.
Người ta muốn ước lượng tỉ lệ viên thuốc bị sứt mẻ trong một lô thuốc rất nhiều viên.
a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở ñộ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?
b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 20 viên bị sứt mẻ. Hãy tìm khoảng
tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể. Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở ñộ
tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên? Giải a) Theo ñề bài ta có: 2 2  u   u  1+ γ 1+0,95 e     ≤ ε = 0, 01; 2 2 ⇔ n ≥ = = 9603,65  2.0,01  0,02         
Vậy, phải quan sát ít nhất 9604 viên.
b) Gọi p là tỉ lệ viên thuốc bị sứt mẻ. Khoảng tin cậy 95% cho p : ( p − ; e p + e) p (1− p) 0,1(0,9) 0,09 e = u = u = 1,96. = 0,0416 1+γ 1+0,95 n 200 200 2 2
Vậy khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ viên thuốc bị sứt mẻ là: (0,0584; 0,1416)
Nếu sai số không quá 1% ở ñộ tin cậy 95% ta cần quan sát bao nhiêu: 71 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 2 2  u   u  1+ γ 1+0,95  2 np( p)  2 . 1  ≥ − = .0,1.0,9 = 3457,3129       0, 01  ε     
Vậy, phải quan sát ít nhất 3458. 5. 11.
Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một ñàn bò, người ta
ñiều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nông trường và có kết quả sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 Số con bò 10 24 42 16 8
a) Ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày của một con bò bằng khoảng tin cậy 97%.
b) Với ñộ tin cậy 97%, có thể nói sản lượng sữa trung bình hàng ngày của
một con bò nhiều nhất bằng bao nhiêu? Giải
a) Từ số liệu ñã cho ta tính ñược x =11,78 , s =1,79
Khoảng tin cậy 97% cho SLSHN trung bình: ( x − ; e x + e) s 1, 79 1, 79 Với e = u . = u . = 2,1707. = 0, 39 1+0,97 0,985 n 100 10 2
Vậy, khoảng tin cậy cần tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b) Ta tìm khoảng tin cậy một bên: (− ; ∞ x + e) : s 1, 79 1,79 với e = u = u = 1,88. = 0,337 γ 0,97 n 100 10
Từ ñó suy ra sản lượng sữa trung bình hàng ngày nhiều nhất: 11, 78 + 0,337 = 12,117 (kg) 5. 12.
Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một ñàn bò, người ta
ñiều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nông trường và có kết quả sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 Số con bò 10 24 42 16 8
a) Tìm khoảng tin cậy 90% cho tỉ lệ bò cho SLSHN trên 11kg.
b) Muốn sai số khi ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày không
vượt quá 0,5kg và sai số khi ước lượng tỉ lệ bò cho SLSHN trên 11kg không
vượt quá 12%, với cùng ñộ tin cậy 98%, thì cần ñiều tra bao nhiêu con bò? Giải 72 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
a) Từ số liệu ñã cho ta tính ñược x =11,78 , s =1,79
Gọi p là tỉ lệ bò cho SLSHN trên 11 kg. 66
Tỉ lệ này trên mẫu khảo sát là: p = = 0, 66 100
Khoảng tin cậy 90% cho p: ( p − ; e p + e) Với p (1− p) 0, 66(1− 0,66) 0, 66(1− 0,66) e = u = u . = 1, 6449. = 0, 0779 1+0,9 0,95 n 100 100 2
Vậy, tỉ lệ bò cho SLSHN trên 11 kg từ 58,21% ñến 73,79%.
b) Gọi n là số bò cần ñiều tra. Ta phải có: 1 2  2 2 s  1,79 2 n ≥ u . 1 1+0,98 2 n ≥ 2,3263 . = 69, 4 1 2  0,5 2  0,5  ⇔  p 1− p  0,66.0,34 2 ( ) 2 n ≥ u . n ≥ 2,3263 . = 84, 33 1 1+0,98 1  2 2  0,12  0,12 2
Chọn n = 85 . Vậy cần ñiều tra 85 con bò. 1 5. 13.
Độ dài của một loại chi tiết máy ñược ño 25 lần bằng một máy ño có sai số
hệ thống bằng 0. Biết rằng sai số ngẫu nhiên của việc ño có phân phối chuẩn với
phương sai 100cm2 và ñộ dài trung bình trong 25 lần ño là 100cm.
a) Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho ñộ dài của loại chi tiết máy trên.
b) Phải tiến hành bao nhiêu lần ño ñể bề rộng khoảng tin cậy 99% cho ñộ dài
của loại chi tiết máy trên không quá 8 cm. Giải
a) Khoảng tin cậy 99% cho ñộ dài chi tiết máy nói trên: (x − ; e x + e) . σ 10 10 Với e = u . = u . = 2,5758. = 5,15 1+γ 0,995 n 25 5 2 Đáp số: (94,85; 105,15).
b) Gọi n là số lần ño. Ta cần có: 1
2e ≤ 8 ⇔ e ≤ 4 σ ⇔ u . ≤ 4 1+γ n 2 1 2 2 2   σ σ 100 ⇔ n ≥  u  . = u . = 2,5758 . = 41, 47 +γ 2 ( )2 2 1 1 0,995   4 16 16 2 73 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Suy ra, n = 42 . 1
Vậy, cần tiến hành ño ít nhất 42 lần. 5. 14.
Giả sử ñường kính của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối
N(µ, σ2). Đo 10 sản phẩm, người ta có bảng số liệu:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm khoảng tin cậy 95% cho µ và khoảng tin cậy 99% cho µ và σ2. Giải
Từ số liệu ñã cho ta tính ñược:
x = 4,2900; s = 0,3695
♣ Khoảng tin cậy 95% cho ñường kính trung bình: − s n 0,3695 1 9 e = t = t = 0,2643 1+0,95 0,975 10 10 2 (4,0257; 4,5543)
♣ Khoảng tin cậy 99% cho ñường kính trung bình: (3,9102; 4,6698)
♣ Khoảng tin cậy 99% cho phương sai là: 2 χ (n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (9) 2 9 23,589 1 1 0,99 0,995 ( ) 2 2 2 χ (n − = χ = χ = −γ ) 2 1 − (9) 2 9 1,735 1 1 0,99 0,005 ( ) 2 2 (n − ) 2 1 s = 9.0,1366=1,229    (n − ) 2 1 s (n − ) 2 1 s ;  = 0,0521;0,7084  2 2 ( ) n 1 n 1  χ − χ −  1+γ ( ) 1−γ ( )   2 2  5. 15.
Nghiên cứu về ñộ bền X (kg/mm2) của một loại thép, người tiến hành một số
quan sát một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau: Độ bền (kg/mm2) Số tấm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 74 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho ñộ bền trung bình của loại thép trên.
b) Sẽ ñạt ñộ tin cậy bao nhiêu nếu muốn ước lượng ñộ bền trung bình của
loại thép trên bằng khoảng tin cậy có ñộ dài bằng 6? Giải
a) Từ số liệu trên ta tính ñược: x =162,6389;s = 33,4076
Khoảng tin cậy 97% cho trung bình ñộ bền: ( x − ; e x + e) s 33,2914 33,4076 e = u = u = 2,17. = 6, 0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7)
b) Gọi γ là ñộ tin cậy cần tìm s n 144 Ta có: e = u = 3 ⇒ u = 3. = 3. = 1, 0814 1+γ 1 n + γ s 33,0476 2 2 1+ γ ⇒ = 0,86 ⇒ γ = 72% 2 5. 16.
Nghiên cứu về ñộ bền X (kg/mm2) của một loại thép, người tiến hành một số
quan sát một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau: Độ bền (kg/mm2) Số tấm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho ñộ bền trung bình của loại thép trên.
b) Thép có ñộ bền trên 195kg/mm2 ñược gọi là thép loại A. Tìm khoảng tin
cậy 98% cho tỉ lệ thép loại A. Giải 75 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
a) Từ số liệu trên ta tính ñược: x =162,6389;s = 33,4076
Khoảng tin cậy 97% cho trung bình ñộ bền: s 33,2914 33,4076 e = u = u = 2,17. = 6, 0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7) 27
b) Gọi p là tỷ lệ thép loại A. Tỉ lệ mẫu: p = = 0,1875 . 144
Khoảng tin cậy 98% cho p : ( p − ; e p + e) p (1− p) 0,1875(1− 0,1875) e = u . = u . 1+0,98 0,99 n 144 2 0,1875(1− 0,1875) = 2,3263. = 0, 0106 144
Vậy, khoảng tin cậy cần tìm: (0,1769; 0,198 ) 1 . 5. 17.
Mức tiêu hao nguyên liệu cho một ñơn vị sản phẩm là một biến ngẫu nhiên X
tuân theo qui luật chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ñược chọn ngẫu nhiên, người ta
thu ñược kết quả cho trong bảng sau: x (gam) 19 19,5 20 20,5 số sản phẩm 5 6 14 3
Hãy xây dựng khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể trong hai trường hợp: a) biết E(X) = 20g; b) chưa biết E(X). Giảin n   ∑ ( x − µ x k )2 ∑( − µ k )2 
a) Khoảng tin cậy γ cho phương sai tổng thể: k 1= k 1  ; =  2  χ n χ n +γ ( ) 2 1 1−γ ( )    2 2   2 χ (n = χ = χ = + γ ) 2 + (28) 2 28 41,337 1 1 0,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ (n = χ = χ = −γ ) 2 − (28) 2 28 16,928 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 n ∑(x k − µ )2 = 7, 25 k 1 =
Khoảng tin cậy cần tìm: 76 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân  7, 25 7, 25   ;  = (0,175;0, 428)  41,337 16,928     (n − ) 2 1 s (n − ) 2 1 s
b) Khoảng tin cậy γ cho phương sai tổng thể: ;  2  χ n − χ n −  +γ ( ) 2 1 1 1 1−γ ( )   2 2  2 χ (n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (27) 2 27 40,113 1 1 0,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ (n − = χ = χ = −γ ) 2 1 − (27) 2 27 16,151 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 (n − ) 2 1 s = 5,74  5,74 5,74 
Khoảng tin cậy cần tìm:  ;  = (0,143;0,355) .  40,113 16,151 5. 18.
X (ñơn vị tính bằng %) là chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số
sản phẩm (s.ph), người ta có số liệu: Xi Số sản phẩm [5,7) 2 [7,9) 8 [9,11) 14 [11,13) 19 [13,15) 22 [15,17) 20 [17,19) 10 [19,21) 5
a) Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với ñộ tin cậy 95% và ñộ chính xác
0,3% thì cần ñiều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
b) Người ta xem các sản phẩm có chỉ tiêu X dưới một mức qui ñịnh là loại 2.
Từ số liệu trên, bằng phương pháp ước lượng khoảng tỉ lệ (loại 2), người ta
tính ñược khoảng tin cậy là (4%, 16%). Tìm ñộ tin cậy của ước lượng này. Giải
a) Từ số liệu ñã cho ta tính ñược: x =13,52 ; s = 3,35 .
Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với ñộ tin cậy 95% và sai số 0,3 ta cần: 77 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 2  u  2 1+ γ  u   2  2 0,975 2 n ≥ .s = 
 .s = 5,836×11, 2420 = 382,841 1  0,3     0,3   
Vậy cần ñiều tra thêm 283 sản phẩm nữa.
b) Gọi p là tỉ lệ sản phẩm loại 2 ở mẫu từ khoảng tin cậy γ của tỷ lệ sản phẩm loại 2 ta có:
p − e = 0, 04  p = 0,1  ⇔  p + e = 0,16 e = 0, 06 Mặt khác, p (1− p) e = u1+γ n 2 p (1− p) 0,06 0,06 ⇒ u = e / = 100 = 10 = 2 1+γ n 0,1× 0,9 0,3 2 1+ γ = 0,9772 ⇔ γ=0,9545 2 5. 19.
Viện thống kê muốn ước lượng tỉ lệ p người dân không ñồng ý về một ñiều
luật mới ñược ñề nghị.
a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 2% ở ñộ tin cậy 90% thì phải hỏi ý
kiến ít nhất mấy người?
b) Trên một mẫu ngẫu nhiên 344 người ñược hỏi ý kiến, có 83 người không
ñồng ý. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho p . Dựa vào số liệu của mẫu này, hãy giải lại câu a). Giải
a) Gọi n là số người cần hỏi ý kiến. Ta phải có: 2 2  1   1  n ≥ u .  =  u .  = 1691,1 1+0,9 1+0,9  2ε   2.0,02 2 2 
Vậy, phải hỏi ý kiến ít nhất 1692 người. 83 b) Tỉ lệ mẫu: p =
= 0, 241. Khoảng tin cậy 90% cho p : ( p − ; e p + e) 344 p (1− p) 0, 241(1− 0, 24 ) 1 e = u . = 1, 6449. = 0, 0379 1+0,9 n 344 2
Vậy, khoảng tin cậy cần tìm là: (0,2031;0,2789) tức là từ 20,31% ñến 27,89%. 78 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Giải lại câu a), trên cơ sở có mẫu thăm dò, kích thước mẫu cần tìm: p 1− p 0, 241 1− 0, 241 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1, 6449 . = 752, 2 1 1+0,9 2 2 ε 0,02 2
Vậy, cần hỏi ý kiến ít nhất 753 người. 5. 20.
Để nghiên cứu ñường kính X (mm) của một loại sản phẩm do một xí nghiệp
sản xuất, người ta ño ngẫu nhiên 100 sản phẩm của xí nghiệp và có kết quả cho trong bảng sau: xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 Tần số 8 12 20 30 14 10 6
Theo qui ñịnh, những sản phẩm có ñường kính từ 9,9 mm ñến 10,1 mm là
những sản phẩm ñạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ và
ñường kính trung bình của những sản phẩm ñạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Giải
Bảng số liệu cho các sản phẩm ñạt tckt: xi 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 Tần số 12 20 30 14 10 86
♣ Gọi p là tỉ lệ sản phẩm ñạt tckt, tỉ lệ này trên mẫu là: p = = 0,86 100
Khoảng tin cậy 95% cho p : ( p − ; e p + e) p (1− p) 0,86(1− 0,86) e = u . = 1,96. = 0, 068 1+0,95 n 100 2
Vậy, khoảng tin cậy cho p là: (0,792; 92,8) nghĩa là từ 79,2% ñến 92,8%.
♣ Gọi X là BNN chỉ ñường kính của những sản phẩm ñạt tckt. Từ số 1 liệu ta có:
x = 9,994; s = 0, 06 . 1 1
Khoảng tin cậy 95% cho ñường kính trung bình những sản phẩm ñạt tckt: ( x − ; e x + e 1 1 ) s 0,06 1 e = u . = 1, 96. = 0, 012 1+0,95 n 86 2 1
Khoảng tin cậy cần tìm: (9,982;10,006) (mm). 79 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 5. 21.
X (tính bằng %) và Y (tính bằng cm) là 2 chỉ tiêu của một loại sản phẩm.
Kiểm tra ngẫu nhiên ở một số sản phẩm, người ta có kết quả sau: xi 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Để ước lượng trung bình của chỉ tiêu Y với sai số cho phép 0,5 cm và ñộ
tin cậy 90% thì cần ñiều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
b) Cho biết khoảng tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá trị trung bình và ñộ lệch chuẩn mẫu của chỉ tiêu X. Giải
a) Bảng phân bố tần số chỉ tiêu Y: y (100, (105, (90, 95] (95, 100] k 105] 110] n 20 65 29 7 k
Từ ñó: y = 98, 4504; s = 3,89 y
Gọi n là số sản phẩm cần ñiều tra: 1 2 2 2   s 3,89 Y 2 n ≥ u  . = 1, 6449 . = 163,8 1 1+0,9 2 2   ε 0,5 2 ⇒ n = 164 1
Vậy, cần ñiều tra thêm 43 sản phẩm nữa. b) Theo ñề bài ta có:
x − e = 1,59 x = 2,1  ⇔  x + e = 2, 61 e = 0,51 s e n 0,51. 121
Mặt khác, e = u . ⇒ s = = = 2, 732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2 5. 22. 80 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
X (tính bằng %) và Y (tính bằng cm) là 2 chỉ tiêu của một loại sản phẩm.
Kiểm tra ngẫu nhiên ở một số sản phẩm, người ta có kết quả sau: xi 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Cho biết khoảng tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá trị trung bình và ñộ lệch chuẩn của chỉ tiêu X.
b) Hãy tìm các giá trị x và x . 3 4 Giải
a) Bảng dữ liệu chỉ tiêu X: Theo ñề bài ta có:
x − e = 1,59 x = 2,1  ⇔  x + e = 2, 61 e = 0,51 s e n 0,51. 121
Mặt khác, e = u . ⇒ s = = = 2, 732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2
b) Bảng dữ liệu chỉ tiêu X: x 1 2 x x i 3 4 n 36 46 29 10 i
Ta có nx = 36.1+ 46.2 + 29.x +10.x ⇒ 29x +10x = 126,1 (1) 3 4 3 4 4 1 2  2 2  s = ∑ n x − nx n 1  i i  −  i 1 =  ⇒ (n − ) 2 2 2 2 2 2
1 s = n x + n x + n x + n x − nx 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2
⇔ n x + n x = (n − ) 2 2 2 2
1 s − n x − n x + nx 3 3 4 4 1 1 2 2 2 2 2 2
⇔ 29x +10x = 120.2, 732 − 36 − 46.4 +121.2,1 3 4 2 2 2 2
⇔ 29x +10x = 120.2, 732 − 36 − 46.4 +121.2,1 = 1209, 27 3 4 2 2
⇔ 29x +10x = 1209, 27 (2) 3 4
Từ (1) suy ra: 10x = 126,1− 29x 4 3 Thay vào (2) ta ñược: 81 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 1 ⇔ 29x + (126,1− 29x )2 2 = 1209, 27 3 3 10
⇔ 290x + (126,1− 29x )2 2 = 12092, 7 3 3 2
⇔ 1131x − 7313,8x + 3808, 51 = 0 3 3 x = 5,9 3 ⇔ x = 0,57 3 126,1− 29.5,9
Với x = 5,9 suy ra x = = −4, 5 (loại) 3 4 10 126,1− 29.0,57
Với x = 0,57 suy ra x = = 10, 957 (nhận). 3 4 10
Vậy, x = 0,57 và x = 10,957 . 3 4 5. 23.
Một giống lúa mới ñược gieo trong 10 miếng ñất thí nghiệm có các
ñiều kiện giống nhau, cho các sản lượng tính theo cùng một ñơn vị như sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ2).
Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho µ và σ2. Giải
Từ số liệu ta tính ñược:
Giá trị trung bình mẫu: x = 25, 4
Giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 2, 24
Khoảng tin cậy 90% cho sản lượng trung bình µ : ( x − ; e x + e) s 2,24 Với (9) e = t . = 1,8331. = 1,3 1+0,9 n 10 2
Vậy, Khoảng tin cậy 90% cho µ: (24,1; 26,7) Khoảng tin cậy 90% cho 2 σ :    (n − ) 2 1 s (n − ) 2 1 s  ;  2 2  χ χ  1+0,9 1−0,9   2 2  2 2
 9.2,24 9.2,24   45,1584 45,1584  =  ;  =  ;  = 2, 67; 13,58  2 2 ( ) χ χ   16,919 3,325   0,95 0,05  5. 24. 82 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Để ñánh giá trữ lượng cá trong một hồ lớn, người ta ñánh bắt 2000 con
cá từ hồ ñó, ñánh dấu rồi thả lại xuống hồ. Vài ngày sau, họ ñánh bắt lại 400 con
thì thấy có 80 con có ñánh dấu.
a) Hãy ước lượng trữ lượng cá trong hồ bằng khoảng tin cậy 95%.
b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm ñi một nửa thì lần sau phải ñánh bắt bao nhiêu con cá? Giải
a) Gọi p là tỉ lệ cá dược ñánh dấu trong hồ. 2000 Khi ñó, p =
với N là trữ lượng cá trong hồ. N
Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ cá ñược ñánh dấu trong hồ: ( p − ; e p + e) . 80 p (1− p) 0, 2.(1− 0,2) Với p = và e = u . = u . = 0, 0392 400 1+0,95 0,975 n 400 2
Vậy khoảng tin cậy cho p : (0,1608;0,2392) tức là từ 16,08% ñến 23,92%.
Do ñó, lượng cá trong hồ ước lượng khoảng từ 8361 ñến 12438 con.
b) Gọi n là số cá cần ñánh bắt. Ta có: 1 p 1− p 0, 2 1− 0, 2 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1,96 . = 1600 1 1+0,95 (e / 2)2 (0,0392 / 2)2 2
Vậy, lần sau cần bắt 1600 con. 5. 25.
Một máy sản xuất tự ñộng có tỉ lệ sản xuất ra sản phẩm loại A lúc ñầu là
48%. Máy ñược cải tiến và sau một thời gian áp dụng, người ta kiểm tra 40 hộp,
mỗi hộp gồm 10 sản phẩm và ghi lại số sản phẩm loại A trong mỗi hộp (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số hộp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A sau khi máy ñược cải tiến bằng khoảng tin cậy 95% Giải
Tổng số sản phẩm loại A trong 40 hộp là 215. Tỉ lệ sản phẩm loại A trên mẫu khảo sát: 215 43 p = = 400 80 83 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ sản phẩm loại A: ( p − ; e p + e) p (1− p) p (1− p) Với e = u . = u . 1+0,95 0,975 n n 2 43  43  1−  80  80 1,96  = = 0,0489 400
Vậy, tỉ lệ sản phẩm loại A từ 48,86% ñến 58,64% 5. 26.
Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta quan tâm ñến
ñường kính X (cm) và chiều cao Y (m) của loại cây ñó. Đo chiều cao và ñường
kính của 100 cây cùng ñộ tuổi ñược chọn ngẫu nhiên, kết quả thu ñược cho trong bảng sau: yk 3 4 5 6 7 xi (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 (26, 28] 7 4
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho ñường kính trung bình của loại cây này.
b) Để ước lượng ñường kính trung bình của loại cây này với ñộ chính xác ñạt
ñược ở câu (a) và ñộ tin cậy 99% thì cần ño thêm bao nhiêu cây nữa? Giải
a) Bảng phân bố tần số cho ñường kính trung bình của cây: x (20, (22, 24] (24, 26] (26, 28] i 22] n 5 54 30 11 i
Từ ñó giá trị trung bình mẫu: x = 23,94 và ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 1,52 . X
Khoảng tin cậy 95% cho ñường kính trung bình của cây: ( x − ; e x + e) s 1,52 e = u . X = 1,96. = 0, 298 1+0,95 n 100 2
Khoảng tin cậy cần tìm: (23,64;24,24) .
b) Giả sử n là số cây cần ño, ta phải có: 1 84 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 2 2 2   s 1,52 X 2 n ≥ u  . = 2,5758 . = 172, 6 1 1+0,99 2 2   e 0, 298 2 Suy ra, n = 173 1
Vậy, số cây cần ño thêm là n = 73 cây. t 5. 27.
Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta quan tâm ñến
ñường kính X (cm) và chiều cao Y (m) của loại cây ñó. Đo chiều cao và ñường
kính của 100 cây cùng ñộ tuổi ñược chọn ngẫu nhiên, kết quả thu ñược cho trong bảng sau: yk 3 4 5 6 7 xi (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 (26, 28] 7 4
Những cây cao từ 6m trở lên là cây loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ và ñường kính
trung bình của cây loại A bằng khoảng tin cậy 99% (giả thiết ñường kính cây
loại A là biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn). Giải
Số cây loại A trên mẫu: 29. Giá trị tỉ lệ cây loại mẫu p = 0, 29 .
Khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ cây loại A: ( p − ; e p + e) p (1− p) 0, 29(1− 0, 29) e = u = 2,5758. = 0,117 1+0,99 n 100 2
Khoảng tin cậy 99% cho tỷ lệ cây loại A là: (0,173;0,407) tức là từ 17,3% ñến 40,7%.
Số liệu cho cây loại A:
x (22, 24] (24, 26] (26, 28] i n 10 8 11 i
Gọi X là ñường kính cây loại A, µ là ñường kính trung bình của cây loại A. Giá 1 1
trị trung bình mẫu: x = 25,07 , s = 1.73. 1 1
Khoảng tin cậy 99% cho ñường kính trung bình của cây loại A: ( x − ; e x + e 1 1 ) 85 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân s 1,73 (28) 1 e = t = 2,7633 = 0,89 1+0,99 n 29 2 1
Vậy, khoảng tin cậy 99% cho ñường kính trung bình của cây loại A: (24,18; 25,96) (cm). 5. 28.
Để khảo sát mức tiêu hao nguyên liệu (tính bằng gam) ñể sản xuất ra một
ñơn vị sản phẩm của một nhà máy, người ta quan sát mức tiêu hao nguyên liệu
trên một mẫu, và thu ñược kết quả sau: (ñơn vị gam) x 18 19 20 21 22 i n 13 21 27 21 18 i
a) Tìm khoảng tin cậy 98% cho số tiền trung bình ñược dùng ñể mua nguyên
liệu ñể sản xuất trong mỗi quí của nhà máy. Biết rằng giá loại nguyên liệu
này là 800 ngàn ñ/kg và sản lượng của nhà máy trong một quí là 40.000 sản phẩm.
b) Nếu muốn ước lượng số tiền trung bình ñể mua nguyên liệu trong mỗi quí
của nhà máy bằng khoảng tin cậy 99% và sai số không quá 8 triệu ñồng thì
phải lấy mẫu với kích thước là bao nhiêu? Giải
a) Từ số liệu ban ñầu ta xây dựng ñược bảng sau: x = 20,1 s =1,29
Khoảng tin cậy 98% cho mức tiêu hao nguyên liệu trung bình của mỗi sản phẩm: ( x − ; e x + e) s 1, 29 1,29 e = u = u . = 2,3263. = 0,3 1+0,98 0,99 n 100 10 2 Do ñó ( x − ;
e x + e) = (19,8;20,4)
Từ ñó suy ra khoảng tin cậy 98% cho số tiền trung bình cho mỗi quý: ( 3 3
19,8× 4×8×10 ;20, 4× 4×8×10 ) = (633600;652800) (ngàn ñồng)
b) Nếu sai số ước lượng số tiền trung bình mỗi quý là 8 triệu ñồng thì sai số 6 8.10
ước lượng mức tiêu hao nguyên liệu là ε = = 0, 25 (g) 40000.800
Khi ñó kích thước mẫu quy ñịnh: 2  s n ≥ u .  = 176,65 1 1+0,99  ε 2  Chọn n = 177 . 1 86 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 5. 29.
Để nghiên cứu lãi suất ngân hàng giữa hai nhóm nước công nghiệp phát
triển và ñang phát triển, người ta ñiều tra lãi suất ngân hàng trong một năm của 7
nước phát triển và 11 nước ñang phát triển ñược chọn ngẫu nhiên.
Với các nước phát triển, lãi suất trung bình là 17,5% và ñộ lệch chuẩn là
3,2%; còn ñối với các nước ñang phát triển, lãi suất trung bình là 15,3% và ñộ lệch
chuẩn là 2,9%. Với ñộ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự chênh lệch về lãi suất trung
bình giữa hai nhóm nước trên. Biết rằng lãi suất ngân hàng của của hai nhóm
nước trên là các BNN tuân theo qui luật chuẩn có cùng phương sai. Giải
Gọi X, Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên chỉ lãi suất ngân hàng của hai nhóm
nước phát triển và ñang phát triển. X, Y tuân theo luật phân phối chuẩn với cùng phương sai.
Theo bài ta có x = 17,5%, s = 3, 2%; n = 7; y = 15,3%, s = 2,9%; m = 11 X Y x − y = 2, 2
n −1 s + m −1 s X Y 6.3, 2 +10.2,9 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 Ta tính ñược s = = = 9,0963 n + m − 2 16  1 1   1 1  16 2 e = t
s  +  = 2,1199 9,0963 +  = 3,0912 1+0,95  n m   7 11 2
Khoảng tin cậy 95% cho sự chênh lệch lãi suất ngân hàng trung bình giữa hai
nhóm nước trên là: (-0,8912%;5,2912%) 5. 30.
Để nghiên cứu lượng tiền gửi tiết kiệm vào ngân hàng của hai thành phố, người ta
ñiều tra ngẫu nhiên 23 ngân hàng ở thành phố A và tìm ñược lượng tiền gửi trung
bình của mỗi khách là 1,317 triệu ñồng. Ở thành phố B, nghiên cứu 32 ngân hàng,
tìm ñược lượng tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,512 triệu ñồng. Hãy ước
lượng sự chênh lệch trung bình giữa lượng tiền gửi tiết kiệm trung bình của dân
hai thành phố A và B bằng khoảng tin cậy 95%. Biết rằng tiền tiết kiệm của người
dân hai thành phố A và B là các BNN tuân theo luận phân phối chuẩn, với ñộ lệch
chuẩn theo thứ tự, là 0,517 triệu và 0,485 triệu. Giải
Gọi X, Y lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ tiền gửi của người dân thành phố A, B.
Ta có x = 1,317 , n = 23 , σ = 0,517 ; y = 1,512; m = 32; σ = 0, 485 . X Y
Khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình tiền gửi tiết kiệm của dân hai thành phố A, B là: ( x − y − ;
e x − y + e) từ mẫu và ñộ tin cậy ta tính ñược x − y =1,317 −1,512 = 0,195 87 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 2 2 2 σ σ 0,517 0, 485 = . X Y e u + = u + 1+ γ 0,975 n m 23 32 2
Do ñó ( x − y − ;
e x − y + e) = (-0,465; 0,075) 5. 31.
Một kỹ sư lâm nghiệp nghiên cứu chiều cao của một loại cây với giả thiết là nó có
phân phối chuẩn. Trên một mẫu có kích thước n = 10, anh ta tính ñược chiều cao
trung bình của mỗi cây là 13,78 và khoảng tin cậy 90% của trung bình tổng thể là
(13,063; 14,497). Không may, bộ số liệu của mẫu bị thất lạc, anh ta chỉ còn nhớ các số sau:
12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
Bạn có thể giúp anh ta tìm lại ñược các số liệu bị thất lạc không? Giải
Giả sử hai số liệu thất lạc là x và y ta có: 108,9 + x + y x = = 13, 78 10
Suy ra x + y = 137,8 −108,9 = 28,9
Mặt khác từ khoảng tin cậy và trung bình mẫu ta tính ñược e = 0,717 s s 1,8331 Mà (9) (9) e = t = t = s = 0,5797s suy ra 1+0,9 0,95 10 10 10 2 e 0,717 s = = = 1, 2368 0,5797 0,5797 Suy ra 2 s = 1,5298 1 1 Mặt khác 2 s = ( 2 2 2
1495,01+ x + y −10.13,78 ) = ( 2 2
x + y − 403,874) 9 9
Như vậy ta có hệ phương trình: x + y = 28,9  2 2
x + y = 417, 6422
Giải hệ phương trình ta ñược x = 14,59; y = 14,31. 5. 32.
Công ty ABC muốn nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng về loại hàng của
công ty ở một khu vực có 4000 hộ gia ñình, họ tiến hành ñiều tra về nhu cầu của
mặt hàng ñó ở 400 hộ gia ñình, ñược chọn ngẫu nhiên ở khu vực ñó. Kết quả ñiều tra như sau: Nhu cầu (kg/tháng) Số gia ñình < 1 10 88 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân [1, 2) 35 [2,3) 86 [3,4) 132 [4,5) 78 [5,6) 34 [6,8) 15 > 8 10
a) Hãy ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực
trong một năm bằng khoảng tin cậy 95%.
b) Với mẫu trên, khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn
khu vực trong một năm, nếu muốn sai số ước lượng là 5,7 tấn, thì ñạt ñược
ñộ tin cậy bằng bao nhiêu? Giải
a) Từ số liệu ta tính ñược: n = 400 ; x = 3,6688 (kg/tháng); s =1,5870
Khoảng tin cậy cho nhu cầu trung bình của mỗi hộ là: s N − n 1,5870 3600 ( x − ;
e x + e) với e = u = 1, 96. = 0,1476 0,975 n N −1 20 3999 Vậy ( x − ;
e x + e) = (3,5212; 3,8164) .
Khoảng tin cậy cho nhu cầu trung bình của toàn khu vực:
(3,5212× 4000×12; 3,8164× 4000×12) = (169017;183187)
b) Khoảng tin cậy cho nhu cầu trung bình của mỗi hộ: (x − ; e x + e)
Do ñó khoảng tin cậy cho nhu cầu trung bình của toàn khu vực là: ( x − ;
e x + e)× 4000×12 . Như vậy sai số ước lượng nhu cầu trung bình cho toàn khu vực là 4000×12× e . Theo ñề bài 5,7
4000×12e = 5700 ⇒ e = = 0,1188 4×12 s N − n n N −1 Từ ñó ta có: u . = 0,1188 ⇒ u = . .0,1188 = 1,578 1+γ 1 n N −1 +γ s N − n 2 2 1+ γ ⇒ = 0,9427 ⇔ γ=0,8854 2
Vậy, ñộ tin cậy cần tìm là 88,54%. 5. 33. 89 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Một lô trái cây của một cửa hàng ñựng trong các sọt, mỗi sọt 100 trái.
Người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt, thì thấy có 450 trái không ñạt tiêu chuẩn.
a) Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng.
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng, với
sai số bằng 0,5% thì ñộ tin cậy ñạt ñược là bao nhiêu? Giải
a) Gọi p là tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng. 450
Giá trị tỉ lệ mẫu: p = = 0, 09 5000
Khoảng tin cậy 96% cho p : ( p − ; e p + e) p (1− p) 0, 09(1− 0,09) e = u . = u 1+0,96 0,98 n 5000 2 0, 09(1− 0,09) = 2, 0537. = 0, 008 5000
Khoảng tin cậy cho p : (0,082;0,098) tức là từ 8,2% ñến 9,8%.
b) Giả sử γ là ñộ tin cậy cầm tìm. Theo ñề bài: p (1− p) n e = u . = 0, 005 ⇔ u = 0, 005. = 1, 2354 1+γ 1 n +γ p 1− p 2 2 ( ) 1+ γ ⇒ = 0,8917 ⇔ γ = 0, 7833 2
Do ñó ñộ tin cậy là: 78,33% . 5. 34.
Một lô trái cây của một cửa hàng ñựng trong các sọt, mỗi sọt 100 trái.
Người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt, thì thấy có 450 trái không ñạt tiêu chuẩn.
a) Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng.
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng, với
ñộ tin cậy 99% và sai số không lớn hơn 1%, thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt? Giải
a) Gọi p là tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng. 450
Giá trị tỉ lệ mẫu: p = = 0, 09 5000 90 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Khoảng tin cậy 96% cho p : ( p − ; e p + e) p (1− p) 0, 09(1− 0,09) e = u . = u 1+0,96 0,98 n 5000 2 0, 09(1− 0,09) = 2, 0537. = 0, 008 5000
Khoảng tin cậy cho p : (0,082;0,098) tức là từ 8,2% ñến 9,8%.
b) Gọi n là số trái cây cần kiểm tra. Khi ñó: 1 p 1− p 0, 09 1− 0, 09 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 2,5758 . = 5433,9 1 1+0,99 2 2 ε 0, 01 2
Do ñó, n = 5434 trái, do ñó số sọt cần kiểm tra là: S = [5434 /100]+1 = 55 (sọt) 1 5. 35.
Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức ñộ tiêu thụ sản phẩm
này trong thành phố H. Công ty tiến hành ñiều tra 500 hộ gia ñình và có kết quả sau: Nhu cầu [1,5; [2; [2,5; [3; (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) ≥ 3,5 2) 2,5) 3) 3,5) Số hộ gia ñình 21 147 192 78 34 16 12
Giả sử thành phố H có 10.000 hộ gia ñình.
a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình lớn nhất của toàn thành phố H
trong một năm với ñộ tin cậy 96%
b) Để ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của một hộ trong một tháng với
sai số ước lượng không quá 50 gam và ñộ tin cậy 95% thì cần ñiều tra thêm
bao nhiêu hộ gia ñình nữa? Giải
a) Từ dữ liệu ñã cho ta tính ñược:
Giá trị trung bình mẫu: x = 1,803
Giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 0,6233 Sai số ước lượng cho khoảng tin cậy 96% là: s s 0,6233 e = u = = 1,7507. = 0,0488 0,96 n n 500
Do ñó nhu cầu bột giặc trung bình của một hộ lớn nhất là:
x + e = 1,803 + 0,0488 = 1,8518 (kg)
Vậy nhu cầu lớn nhất của thành phố trong một năm là: 91 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
1,8518×10.000×12=222.216 (kg) . 2 2 su   1,96.0,6233  b) Ta có 0,975 u ≤ 0, 05 ⇒ n ≥  .s  =   = 596,9134 0,975 n  0, 05   0,05  Suy ra, n = 597 1
Vậy cần ñiều tra thêm ít nhất 97 hộ nữa. 5. 36.
Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức ñộ tiêu thụ sản phẩm
này trong thành phố H. Công ty tiến hành ñiều tra 500 hộ gia ñình và có kết quả sau: Nhu cầu [1,5; [2; [2,5; [3; (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) ≥ 3,5 2) 2,5) 3) 3,5) Số hộ gia ñình 21 147 192 78 34 16 12
Giả sử thành phố H có 10.000 hộ gia ñình.
a) Những hộ có nhu cầu trên 2 kg trong một tháng ñược gọi là những hộ có
nhu cầu sao. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ những hộ có nhu cầu cao ở thành phố H.
b) Để ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của một hộ trong một tháng với
sai số ước lượng không quá 50 gam và ñộ tin cậy 95% thì cần ñiều tra thêm
bao nhiêu hộ gia ñình nữa? Giải
a) Từ dữ liệu ñã cho ta tính ñược:
Giá trị trung bình mẫu: x = 1,803
Giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 0,6233 140
Giá trị tỉ lệ mẫu: p = = 0, 28 500
Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ những hộ có nhu cầu cao: ( x − ; e x + e) p (1− p) sai số e = u . = u .0,0201 = 0,0394 1+ γ 0,975 n 2
Khoảng tin cậy 95%: (0,2406;0,3194) 2 2 su   1,96.0,6233  b) Ta có 0,975 u ≤ 0, 05 ⇒ n ≥  .s  =   = 596,9134 0,975 n  0, 05   0,05  Suy ra n = 597 1
Vậy cần ñiều tra thêm ít nhất 97 hộ nữa. 92 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 5. 37.
Để ñánh giá mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe ô tô, người ta theo
dõi lượng tiêu hao nhiên liệu (lít/100 km) của 100 chuyến xe và có kết quả sau: Lượng tiêu [55; 60) hao
[35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55) Số chuyến xe 14 20 36 22 8
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho lượng tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe nói trên
b) Xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có mức tiêu hao nhiên liệu từ 55
lít/100 km trở lên. Hãy ước lượng tỉ lệ xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật tối
thiểu ở ñộ tin cậy 95%. Giải
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ mức tiêu hao nguyên liệu cho mỗi chuyến
xe. Từ số liệu trên ta xây dựng ñược bảng sau: x = 47 5 1   2 2 2 s =
 ∑ n x − nx  = 32,5758 99 i ii 1  = s 5,7075 5,7075 e = u . = u . = 1,96. =1,12 1+ γ 1+0,95 n 100 100 2 2
Do ñó khoảng tin cậy 95% cho lượng tiêu hao nguyên liệu trung bình: (45,88;48,12) 8
b) Tỷ lệ xe cần kiểm tra kỹ thuật của mẫu: p = = 0, 08 100
Tỉ lệ xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật tối thiểu ở ñộ tin cậy 95% là p ≥ p − e p (1− p) 0, 08.0,92 với e = u = u = 0, 045 γ 0,95 n 10
Suy ra p ≥ 0,08 − 0,045 = 0,035 . 93 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
CHƯƠNG 6: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT 6. 1.
Trong một cuộc ñiều tra về nhịp mạch của 64 thanh niên làm nghề A, kết quả
là nhịp mạch trung bình 74 lần/phút và ñộ lệch chuẩn bằng 9 lần/phút. Hãy kiểm
ñịnh xem ñặc ñiểm nghề A có làm cho nhịp mạch của thanh niên tăng quá mức
bình thường không, biết rằng nhịp mạch bình thường của thanh niên là 72 lần /
phút. ( kết luận với mức α = 1% ). Giải:
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ nhịp mạch của thanh niên làm nghề A. Ta cần kiểm ñịnh giả thiết:
H : µ = 72; H : µ > 72 , ở mức α = 1% . 0 1 X − 72
Nếu H ñúng thì biến ngẫu nhiên U = 64 ~ N (0, ) 1 . 0 s
Với α = 1% , gtth = u = u = 2,5758 . 1 α − 0,99 74 − 72 16
Với mẫu cụ thể ta có u = .8 = = 1, 778 < gtth . 9 9
Vậy, ta chấp nhận giả thiết H nghĩa nghề A không làm tăng nhịp ñập của thanh 0 niên. 6. 2.
Điều tra Cholesterol toàn phần trong huyết thanh của 25 bệnh nhân bị
một loại bệnh B, ta có trung bình cộng của lượng Cholesterol là 172 mg% và ñộ
lệch chuẩn bằng 40 mg%. Theo tài liệu về hằng số sinh hoá bình thường của
người Việt Nam thì lượng Cholesterol trung bình toàn phần trong huyết thanh là
156 mg% và tuân theo luật phân phối chuẩn.
Hỏi lượng Cholesterol của các bệnh nhân mắc bệnh B có cao hơn bình thường
không? (kết luận ở mức α = 5% ) . Giải: Kiểm ñịnh giả thiết
H : µ = 156 mg% ; H : µ > 156 mg ở mức α = 5% . 0 ( ) 1 ( ) X −156
Nếu H thì biến ngẫu nhiên T = 25 ~ t (24) 0 S
Với mức α = 0,05 ta có (24) (24) t = t = 1, 7109 1−0,05 0,95
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: 172 −156 24 t = 5 = 2 > t
. Vậy H bị bác bỏ nghĩa là lượng Cholesterol của bệnh 0,95 40 0
nhân mắc bệnh B cao hơn bình thường. 6. 3.
Một công ty bào chế một loại thuốc chữa dị ứng tuyên bố rằng thuốc
của họ có hiệu quả không dưới 90% trong việc làm giảm cơn dị ứng trong vòng 8
giờ. Một mẫu gồm 200 người bị dị ứng sử dụng loại thuốc trên, có 160 người
giảm cơn dị ứng. Hãy xác ñịnh xem lời tuyên bố của công ty có giá trị không? (
ở mức ý nghĩa α = 0,07). Giải: 94 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Gọi p là tỉ lệ người giảm dị ứng khi dùng thuốc của công ty trong vòng 8 giờ. Ta
cần xác ñịnh xem p có bằng 90% trở lên hay không. Muốn vậy ta kiểm ñịnh giả thiết:
H : p = p = 90%; H : p < p = 90% ở mức ý nghĩa α = 0,07. 0 0 1 0 P − p
Nếu H ñúng thì biến ngẫu nhiên 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 p 1− p 0 ( 0 )
Với mức α = 0,07 ta có gtth = u − = u − = 1 − , 4758 . 1−α 0,93 160 / 200 − 0,9
Với mẫu cụ thể ta có: u =
200 = −4,714 < gtth = −1, 4758 . 0,9.0,1
Vậy ta bác bỏ giả thiết H nghĩa là tuyên bố của công ty không có giá trị. Kết luận 0 ở mức ý nghĩa 0,07. 6. 4.
(3 ñiểm) Trước ñây, Nhà máy Alpha sản xuất ra một loại sản phẩm với
tỉ lệ phế phẩm 5%. Năm nay, sau ñợt cải tiến kỹ thuật, ñể kiểm tra hiệu quả, người
ta lấy ra ra một mẫu gồm 800 sản phẩm ñể kiểm tra thì thấy có 24 phế phẩm.
a) Với mức ý nghĩa α = 5%, hãy kiểm ñịnh xem ñợt cải tiến kỹ thuật có
thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm không?.
b) Sau ñợt cải tiến kỹ thuật, nếu nhà máy báo cáo tỉ lệ phế phẩm là 2% thì
có chấp nhận ñược không? (ở mức ý nghĩa α = 3%). Giải:
a) Gọi p là tỷ lệ phế phẩm sau ñợt cải tiến kĩ thuật, tỉ lệ mẫu . Ta cần kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : p = p = 5%; ñối thiết H : p < p ở mức ý nghĩa α = 5%. 0 0 1 0 P − p Nếu H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 0 ( ) p 1− p 0 ( 0 )
Với mức α = 5% ta có gtth = u − = u − = −1, 65 . 1−α 0,95
Với mẫu cụ thể ta tính ñược p − p 0,03 − 0,05 0 u = n =
800 = −2,6 < gtth p 1− p 0,05.0,95 0 ( 0 )
Vậy, ta bác bỏ H nghĩa là ñợt cải tiến kĩ thuật thật sự làm giảm tỷ lệ phế 0 phẩm.
b) Ta kiểm ñịnh giả thiết H : p = p = 2%; ñối thiết H : p ≠ p ở mức 0 0 1 0 α = 3% . P − p Nếu H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 . 0 ( ) p 1− p 0 ( 0 ) 95 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Vơi s mức α = 3% ta có gtth = u = u = 2,17 . α 0,985 1− 2
Từ mẫu cụ thể ta tính ñược. p − p0 0, 03 − 0,02 u = n = 800 = 2,02 < gtth p 1− p 0, 02.0,98 0 ( 0 )
Vậy ta chấp nhận H nghĩa là chấp nhận lời tuyên bố của công ty. 0 6. 5.
Tiền lương hàng tuần trung bình trên một mẫu gồm 30 công nhân trong
một xí nghiệp lớn là 180 (ngàn ñồng) với với ñộ lệch chuẩn 14 (ngàn ñồng).
Trong một xí nghiệp lớn khác, một mẫu gồm 40 công nhân ñược chọn ngẫu nhiên
có tiền lương hàng tuần trung bình là 170 (ngàn ñồng) với ñộ lệch chuẩn 10 (ngàn
ñồng). Tiền lương hàng tuần trung bình ở hai xí nghiệp trên có khác nhau không?
( ở mức ý nghĩa α = 5%). Giả sử tiền lương hàng tuần của hai xí nghiệp là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có cùng phương sai.
Giải: Gọi X, Y là tiền lương hàng tuần của mỗi công nhân của hai xí nghiệp
trên tương ứng. Kiểm ñịnh giả thiết H : µ = µ ; H : µ µ ở mức α = 5% . 0 X Y 1 X ≠ Y X − Y
Nếu H ñúng thì T =
~ t (n + m − 2) 0 2 S ( 1 1 + n m ) 2 2 n − S + m − S với 2 ( 1) ( 1) X Y S = n + m − 2 với mức α = 5% ta có (n+m−2) (68) gtth = t = t = 1,9955 α 0,975 1− 2 2 2 . + .
Với mẫu cụ thể ta tính ñược 2 29 14 39 10 s = = 140,94 78 x − y 180 −170 Do ñó t = =
= 3,4876 > gtth tn 2 s ( 1 1 +   n m ) 1 1 140,94 +   30 40 
Vậy ta bác bỏ H nghĩa là tiền lương hàng tuần trung bình ở hai xí nghiệp 0 trên là khác nhau. 6. 6.
Gọi X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng của trẻ sơ sinh
trai và trẻ sơ sinh gái. Cho biết X và Y tuân theo luật phân phối chuẩn có cùng
phương sai. Khảo sát ngẫu nhiên 20 trẻ sơ sinh trai, người ta tính ñược x = 3200
g, s = 400 g và 17 trẻ sơ sinh gái, người ta tính ñược y = 3000 g, s = 380 g. X Y
Phải chăng khối lượng của trẻ sơ sinh trai lớn hơn khối lượng của trẻ sơ sinh gái?
(kết luận với mức ý nghĩa α = 5%) Giải: 96 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Kiểm ñịnh giả thiết H : µ = µ ; H : µ > µ ở mức α = 5%. 0 X Y 1 X Y X − Y
Nếu H ñúng thì T =
~ t (n + m − 2) 0 2 S ( 1 1 + n m ) 2 2 n − S + m − S với 2 ( 1) ( 1) X Y S =
; n = 20; m = 17 . n + m − 2 Giá trị tới hạn (n+m−2) 35 gtth = t = t = 1,6896 1 α − 0 9 , 5 2 2 . + .
Với mẫu cụ thể ta có 2 19 400 16 380 s = = 152868,57 35 x − y 3200 − 3000 t = =
= 1,55 < gtth tn 2 s ( 1 1 +   n m ) 1 1 152868,57 +   20 17 
Ta chấp nhận H nghĩa là trọng lượng của trẻ sơ sinh trai không lớn hơn 0
trọng lượng của trẻ sơ sinh gái (α = 5%). 6. 7.
Khối lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là một
biến ngẫu nhiên tuân luật phân phối chuẩn N(500; (8,5)2). Sau một thời gian sản
xuất, ban lãnh ñạo nhà máy nghi ngờ rằng khối lượng của loại sản phẩm này có xu
hướng giảm, nên tiến hành cân thử 25 sản phẩm và thu ñược kết quả sau: Khối lượng (g) 480 485 490 495 500 510 Số sản phẩm 2 3 8 5 3 4
Với mức ý nghĩa α = 5% , hãy cho kết luận về ñiều nghi ngờ trên. Giải:
Từ số liệu ta tính ñược x = 494 ; s = 8,9 n = 25 .
Ta kiểm ñịnh giả thiết H : µ = µ = 500;H : µ < µ ở mức α = 5% . 0 0 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N 0 1
, với n = 25;σ = 8,5;µ = 500 0 ( ) σ 0
Với mức α = 5% ta có gtth = u − = −u = −1,65 1 α − 0 9 , 5 494 − 500
Với mẫu cụ thể giá trị của U là u = 5
. = −3,53 < gtth nên H bị bác 8,5 0
bỏ nghĩa là ñiều nghi ngờ trên là ñúng. 6. 8.
Một công ty muốn ñánh giá về hiệu quả của một ñợt quảng cáo ñối với
số sản phẩm bán ra của công ty. 10 cửa hàng bán sản phẩm của công ty ñược chọn
ngẫu nhiên ñể theo dõi số lượng sản phẩm bán ra trong một tuần trước ñợt quảng
cáo (TĐQC) và một tuần sau ñợt quảng cáo (SĐQC). Cửa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân hàng TĐQC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111 SĐQC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144
Hãy cho kết luận về hiệu quả của ñợt quảng cáo (ở mức α = 5%). Giải:
Gọi D là hiệu số giữa số sản phẩm bán ra sau quảng cáo và trước quảng cáo
của mỗi của hàng. Bảng hiệu số: D 84 21 2 39 13 -20 25 44 -31 33
Từ ñó ta tính ñược d = 21;s = 32,98 . D
Ta cần kiểm ñịnh giả thiết sau ở mức α = 5% .
H : µ = 0; H : µ > 0 0 D 1 D D n
Nếu H ñúng thì T = ~ t n 0 ( − ) 1 SD Với α = 5% (9) gtth = t = 1,8331 1 α − 21 10
Với mẫu cụ thể ta có t =
= 2,01 > gtth 32,98
Nên H bị bác bỏ. 0
Vậy, ñợt quảng cáo thật sự làm tăng số lượng sản phẩm bán ra.
6. 9. Một máy sản xuất tự ñộng có tỉ lệ sản xuất ra sản phẩm loại A lúc ñầu là
48%. Máy ñược cải tiến và sau một thời gian áp dụng, người ta kiểm tra 40 hộp,
mỗi hộp gồm 10 sản phẩm và ghi lại số sản phẩm loại A trong mỗi hộp (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số hộp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy cho kết luận về hiệu quả của việc cải tiến máy ở mức ý nghĩa α = 0,05. Giải:
Gọi p là tỉ lệ sản phẩm lạo A sau ñợt cải tiến kỹ thuật.
Tỉ lệ sản phẩm loại A trên mẫu khảo sát: 215 43 p = = 400 80 Kiểm ñịnh giả thiết:
H : p = p = 48%; H : p > p ở mức α = 5% . 0 0 1 0 98 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Nếu H ñúng thì BNN 0 P − p0 U = n ~ N (0, ) 1 p 1− p 0 ( 0 )
Với mức ý nghĩa α = 0,05 giá trị tới hạn bằng: u = u = 1, 6449 1 α − 0,95
Với mẫu cụ thể, ta tính ñược: 43 −0,48 p − p 0 80 u = n = 400 = 2,3018 p 1− p 0, 48 1− 0, 48 0 ( 0 ) ( )
Vì u > gtth nên H bị bác bỏ nghĩa là việc cải tiến kỹ thuật thất sự mang lại hiệu 0 quả.
6. 10. Khối lượng trung bình khi xuất chuồng ở một trại chăn nuôi gà công nghiệp
năm trước là 3,3 kg/con. Năm nay người ta sử dụng loại thức ăn mới. Sau một thời
gian, cân thử 15 con khi xuất chuồng, có các số liệu sau: (ñơn vị kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Giả thiết khối lượng gà là biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với phương sai 0,04.
Với mức ý nghĩa α = 0,05, hãy cho kết luận về tác dụng của loại thức ăn mới. Giải:
Gọi X là BNN chỉ khối lượng gà khi xuất chuồng. Theo giả thiết X N ( 2 ~
µ; 0, 2 ) . Từ số liệu ñã cho ta tính ñược: x = 3,62 ; s = 0,405 .
Nếu thức ăn mới có tác dụng tốt thì khối lượng trung bình của gà xuất
chuồng năm nay sẽ cao hơn. Muốn kết luận về ñiều ñó ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : µ = µ = 3,3 kg ; H : µ > µ ở mức ý nghĩa α = 5% . 0 0 ( ) 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 σ
Với mức ý nghĩa α = 0,05 gtth = u = u = u = 1,6449 1 α − 1=0,05 0,95
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: x − µ 3,62 − 3,3 0 u = n = 15 = 6,2 σ 0,2
Vì u > gtth nên H bị bác bỏ. 0
Vậy, khối lượng trung bình của gà xuất chuồng năm nay cao hơn năm trước, nghĩa
là thức ăn mới có tác dụng tăng trọng lượng gà.
6. 11. Để ñiều tra khối lượng gà xuất chuồng ở một trại chăn nuôi gà công nghiệp
năm nay. Người ta cân thử 15 con khi xuất chuồng, có các số liệu sau: (ñơn vị kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 99 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Giả thiết khối lượng gà là biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với phương sai 0,04.
Có nên báo cáo khối lượng trung bình của gà xuất chuồng năm nay là 3,7 kg/con
hay không? (ở mức ý nghĩa α = 0,05). Giải:
Gọi X là BNN chỉ khối lượng gà xuất chuồng năm nay. Kiểm ñịnh giả thiết
H : µ = µ = 3,7 kg ; H : µ ≠ µ ở mức α = 5% . 0 0 ( ) 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 σ
Với mức ý nghĩa α = 0,05 gtth = u = u = u = 1,96 1 α − / 2 1=0,025 0,975
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: x − µ 3,62 − 3,7 0 u = n = 15 = −1,55 σ 0,2
Vì | u |< gtth nên H không bị bác bỏ. 0
Vậy, ở mức ý nghĩa 5% ta công nhận báo cáo của trại chăn nuôi.
6. 12. Một cuộc ñiều tra của Hội phụ nữ ñể ñánh giá về một dư luận xã hội cho
rằng lương của phụ nữ thấp hơn lương của nam giới. Một mẫu nhiên gồm 4 ñàn
ông có lương trung bình là 78,0 (ngàn ñồng), với ñộ lệch chuẩn mẫu là 24,4; một
mẫu ngẫu nhiên khác ñộc lập với mẫu trên gồm 4 phụ nữ có lương trung bình là
63,5 (ngàn ñồng), với ñộ lệch chuẩn là 20,2. Giả sử rằng lương của cả nam và nữ
giới ñều là các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn có cùng phương
sai. Hãy cho kết luận về cuộc ñiều tra trên ở mức ý nghĩa 10%. Giải:
Gọi X ,Y theo thứ tự là lương của ñàn ông và phụ nữ. Ta kiểm ñịnh giả thiết:
H : µ = µ ; H :µ > µ ở mức α = 10% . 0 X Y 1 X Y X − Y
Nếu H ñúng thì BNN U =
~ t (n + m − 2) 0 2  1 1  S  +   n m
n −1 S + m −1 S 2 ( ) 2X ( ) 2 Vơi Y S = n + m − 2
Với mức ý nghĩa α = 10% , (n+m−2) (6) gtth = t = t = 1,4398 1 α − 0,9 Với mẫu cụ thể: 2 2 s = 22, 4 x − y 78 − 63,5 Và t = = = 0,915 2  1 1  2  1 1  s  +  22,4  +   n m   4 4  100 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Vì t < gtth nên H không bị bác bỏ. 0
Vậy, kết luận của cuộc ñiều tra chưa ñúng.
6. 13. Người ta muốn nghiên cứu tác dụng của việc cho sinh viên ñi thực tế xem
sự tiếp thu kiến thức có tốt hơn không bằng cách so sánh ñiểm thi của nhóm sinh
viên không ñi thực tế (SVKĐTT) với nhóm sinh viên có ñi thực tế (SVCĐTT). Kết quả như sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SVCĐTT 0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1 SVKĐTT 3 3 6 1 7 13 10 12 4 1 3 1
Gọi X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên biểu thị ñiểm số của sinh viên có ñi
thực tế và sinh viên không ñi thực tế.
Điểm thi của nhóm sinh viên có ñi thực tế có thực sự tốt hơn không? (kết
luận ở mức ý nghĩa α = 0,01 ) Giải:
Kiểm ñịnh giả thiết H : µ = µ ;H : µ > µ ở mức ý nghĩa α = 0,01 0 X Y 1 X Y Nếu X − Y
H ñúng thì BNN U = ~ N 0 1 , 0 ( ) 2 2 s s X Y + n m
Với α = 0,01 ta có gtth = u = u = u = 2,3263 1 α − 1−0 0 , 1 0 9 , 9
Với mẫu cụ thể ta tính ñược
Từ bảng số liệu ta có: n = 67 x = 5,85 ; s = 2 ; m = 73 ; y = 4,88; s = 2,39 . X Y 5,85 − 4,88 u =
= 2,6116 > gtth tn 2 2 2 2,39 + 67 73
Nên H bị bác bỏ nghĩa là SVCĐTT có ñiểm cao hơn SVKĐTT. 0
6. 14. Một công ty vận tải, muốn ñánh giá tác dụng của một loại chất phụ gia pha
vào xăng, ñã chọn 10 chiếc xe. Cho mỗi chiếc chạy hai lần với cùng ñiều kiện
như nhau; nhưng lần ñầu với xăng không có chất phụ gia (KPG), lần sau, với cùng
một lượng xăng như lần ñầu, có chất phụ gia (CPG). Người ta ghi lại số dặm ñã
ñi ñược của 10 chiếc xe trên trong hai lần như sau: Xe KPG CPG Xe KPG CPG 101 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 1 26,2 26,7 6 15,8 15,7 2 25,7 25,8 7 13,9 14,2 2 22,3 21,9 8 12,0 12,6 4 19,6 19,3 9 11,5 11,9 5 18,1 18,4 10 10,0 10,3
Có sự khác nhau giữa số dặm trung bình ñi ñược với xăng không có chất phụ
gia và có chất phụ gia không? (kết luận ở mức ý nghĩa 5%) Giải:
Gọi X ,Y lần lượt là các BNN chỉ số dăm ñi ñược của xe KPG và xe CPG.
Đặt D = X −Y . Bảng số liệu cho D : Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d -0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3 i
Từ ñó ta tính ñược: d = 0 − ,17, s = 0, 3368 D
Để xét xem khác nhau về số dặm trung bình giữa xe KPG và xe CPG ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : µ = 0; µ ≠ 0 ở mức α = 5% . 0 D D D
Nếu H ñúng thì BNN T = 10 ~ t (9) 0 SD Với α = 5% = 0,05 : (9) (9) gtth = t = t = 2, 2622 0,05 0,975 1− 2 0 − ,17
Với mẫu cụ thể ta có: t = 10 = 1,596 0,3368
Vì | t |< gtth nên H ñược chấp nhận. 0
Vậy, ở mức ý nghĩa α = 5% không có sự khác nhau giữa số dặm trung bình
ñi ñược với xăng không có chất phụ gia và có chất phụ gia.
6. 15. Khối lượng bao gạo (KLBG) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (50;0,0 )
1 . Có nhiều ý kiến của khách hàng phản ánh là khối lượng bị thiếu. Một
nhóm thanh tra ñã cân ngẫu nhiên 25 bao gạo trong kho và ñược kết quả như sau:
KLBG (kg) (48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5] Số bao gạo 2 5 10 6 2
Hãy kiểm ñịnh xem ý kiến của khách hàng phản ánh có ñúng không? (kết
luận ở mức ý nghĩa α = 5%). Giải: 102 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Gọi X là BNN chỉ khối lượng bao gạo. Từ số liệu ñã cho ta tính ñược
x = 49, 27; s = 0,53 .
Ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : µ = µ = 50 kg ; H : µ < µ ở mức ý nghĩa α = 5% 0 0 ( ) 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 σ
Với mức ý nghĩa α = 5% gtth = u − = 1 − ,6449 1−0,05 49,27 − 50
Với mẫu cụ thể: u = 25 = −36,5 0,1
Vì u < gtth nên H bị bác bỏ. Nghĩa là ý kiến của khách hàng phản ánh là ñúng (α 0 = 5%).
6. 16. Một mẫu gồm 300 cử tri ở khu vực A và một mẫu gồm 200 cử tri ở khu vực
B cho thấy có 56% và 48%, theo thứ tự, ủng hộ ứng cử viên X. Ở mức ý nghĩa
5%, hãy kiểm ñịnh giả thiết:
a) Có sự khác biệt giữa hai khu vực về sự ủng hộ ứng cử viên X.
b) Ứng cử viên X ñược ủng hộ hơn ở khu vực A. Giải:
Gọi p và p theo thứ tự là tỷ lệ ủng hộ ứng cử viên X ở khu vực A và B. A B
a) Ta kiểm ñịnh giả thiết H : p = p ; H : p ≠ p ở mức ý nghĩa α = 5% . 0 A B 1 A B P − P Nếu H ñúng thì A B U = ~ N 0 1 , với 0 ( )  1 1  p 1− p 0 ( 0 )  +   n m np + mp A B p = = 0,528 0 n + m
Với α = 5% ta có gtth = u = u = 1,96 α 0 9 , 75 1− 2 0,56 − 0,48
Giá trị thực nghiệm u =
= 1,755 < gtth  1 1 
0,528.0,472 +   300 200 
Do ñó H không bị bác bỏ nghĩa là sự khác nhau giữa tỷ lệ ủng hộ giữa hai 0
khu vực A, B ñối với ứng cử viên X không có ý nghĩa về mặt thống kê.
b) Ta kiểm ñịnh giả thiết H : p = p ; H : p > p ở mức ý nghĩa α = 5% . 0 A B 1 A B P − P Nếu H ñúng thì A B U = ~ N 0 1 , 0 ( )  1 1  p 1− p 0 ( 0 )  +   n m  103 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân np + mp A B p = = 0,528 0 n + m
Với α = 5% ta có gtth = u = u = 1,65 1 α − 0 9 , 5 0,56 − 0,48 u =
= 1,755 > gtth  1 1 
0,528.0,472 +   300 200 
Nên H bị bác bỏ nghĩa là ứng cử viên X ñược ủng hộ nhiều hơn ở khu vực 0 A.
6. 17. Điều tra ngẫu nhiên 200 người có hút thuốc lá, thấy có 28 người bị lao
phổi; 170 người không hút thuốc lá, thấy có 12 người bị lao phổi. Tỉ lệ lao phổi
giữa những người có và không hút thuốc lá có khác khau không? (kết luận ở mức ý nghĩa α = 1%). Giải:
Gọi p , p lần lượt là tỉ lệ lao phổi những người có hút thuốc lá và không 1 2
hút thuốc lá. Ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : p = p ; H : p ≠ p ở mức α = 1% . 0 1 2 1 1 2 P − P
Nếu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0, ) 1 0  1 1  p 1− p 0 ( 0 )  +   n m np + mp 28 +12 40 4 Với 1 2 p = = = = 0 n + m 370 370 37
Với mức α = 1% , gtth = u = u = 2,5758 α 0,995 1− 2 Với mẫu cụ thể ta có: 28 12 p − p − 1 2 200 170 u = = = 2,1428  1 1  4  4  1 1 
p 1− p  +  1−   + 0 ( 0 )   n m  37  37  n m
Ta có | u |< gtth nên H không bị bác bỏ nghĩa là tỉ lệ lao phổi giữa những 0
người có và không hút thuốc lá không khác khau (α = 1%).
6. 18. Một nhà máy có hai phân xưởng A và B cùng sản xuất một loại trục máy.
Sau một thời gian hoạt ñộng, chọn ngẫu nhiên 20 trục máy do phân xưởng A sản
xuất, người ta ño ñược ñường kính của chúng như sau (ñơn vị mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. 104 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Giả sử ñường kính của các trục máy ở hai phân xưởng A và B tuân theo luật
phân phối chuẩn có cùng phương sai.
Đo ngẫu nhiên ñường kính 20 trục máy do phân xưởng B sản xuất, người ta
tính ñược ñường kính trung bình là 249,8 với phương sai 56,2. Hãy kiểm ñịnh, ở
mức ý nghĩa α = 5%, giả thiết H cho rằng ñường kính trung bình các trục máy 0
ñược sản xuất ở hai phân xưởng là như nhau ñối với giả thiết H cho rằng chúng 1 khác nhau. Giải:
Gọi X ,Y lần lượt là ñường kính trục máy do phân xưởng A, B tương ứng sản xuất. Kiểm ñịnh giả thiết
H : µ = µ ; H : µ ≠ µ ở mức ý nghĩa α = 5%. 0 X Y 1 X Y X − Y
Nếu H ñúng thì BNN T =
~ t (n + m − 2) 0 2  1 1  S  +   n m
n −1 S + m −1 S 2 ( ) 2X ( ) 2
Với n = 20; m = 20 và Y S = n + m − 2
Với ở mức ý nghĩa α = 5%, (n+m−2) (38) gtth = t = t = 2,0244 α 0,975 1− 2
Với mẫu cụ thể: x = 251, 25 và s = 7,7111 X 2 2 2 19.s +19s 19.7,7111 +19.56, 2 2 X Y s = = = 57,83 38 38 x − y 251, 25 − 249,8 t = = = 0, 6029 2  1 1   1 1  s  +  57,83 +   n m   20 20 
Vì | t |< gtth nên H ñược chấp nhận. Đường kính trung bình các trục máy ñược 0
sản xuất ở hai phân xưởng là như nhau (ở mức ý nghĩa α = 5%).
6. 19. Phân xưởng A của một nhà máy sản xuất một loại trục máy. Sau một thời
gian hoạt ñộng, chọn ngẫu nhiên 20 trục máy do phân xưởng A sản xuất, người ta
ño ñược ñường kính của chúng như sau (ñơn vị mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
Giả sử ñường kính của các trục máy của phân xưởng A tuân theo luật phân
phối chuẩn. Biết ñường kính của một trục máy do phân xưởng A sản xuất, theo qui
ñịnh là 250 mm. Hãy cho kết luận về chất lượng sản xuất của phân xưởng A ở mức ý nghĩa α = 5%. 105 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Giải:
Gọi X lần lượt là ñường kính trục máy do phân xưởng A sản xuất. Từ số liệu ta có:
x = 251, 25 và s = 7,7111
Ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : µ = µ = 250; H : µ ≠ µ ở mức α = 5%. 0 X 0 1 X 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 T =
n ~ t (n − ) 1 0 S Với mức α = 5% (19) (19) gtth = t = t = 2, 0930 α 0,975 1− 2 251, 25 − 250
Với mẫu cụ thể ta có: t = 20 = 0,786 7,111
Vì | t |< gtth nên H ñước chấp nhận. Do ñó Tình hình sản xuất của phân 0
xưởng A bình thường (kết luận ở mức ý nghĩa α = 5%).
6. 20. Sản phẩm của một xí nghiệp ñúc cho phép số khuyết tật trung bình cho
một sản phẩm là 3. Sau một ñợt cải tiến kỹ thuật, người ta lấy ngẫu nhiên 36 sản
phẩm ñể kiểm tra số khuyết tật trên mỗi sản phẩm (SKTTMSP). Kết quả thu ñược như sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 Số sản phẩm 7 4 4 6 8 6 1
Hãy cho kết luận về hiệu quả của ñợt cải tiến kỹ thuật ñối với số khuyết tật
trung bình của một sản phẩm ở mức ý nghĩa α = 10%. Giải:
Từ số liệu ta tính ñược x = 2,7222; s = 1,86
Để kết luận về hiệu quả ñợt cải tiến kỹ thuật ta kiểm ñịnh giả thiết:
H : µ = µ = 3; H : µ < µ ở mức ý nghĩa α = 10% 0 0 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 s
Với ở mức ý nghĩa α = 10% gtth = u − = u − = 1 − ,2816 1 α − 0,9 2,722 − 3
Với mẫu cụ thể u = 36 = 0 − ,896 1,86
Vì u > gtth nên H không bị bác bỏ nghĩa là ñợt cải tiến kỹ thuật không mang lại 0
hiệu quả (kết luận ở mức ý nghĩa α = 10%). 106 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
6. 21. Sản phẩm của một xí nghiệp ñúc cho phép số khuyết tật trung bình cho một
sản phẩm là 3. Sau một ñợt cải tiến kỹ thuật, người ta lấy ngẫu nhiên 36 sản
phẩm ñể kiểm tra số khuyết tật trên mỗi sản phẩm (SKTTMSP). Kết quả thu ñược như sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 Số sản phẩm 7 4 4 6 8 6 1
Sản phẩm có không quá 2 khuyết tật ñược gọi là sản phẩm loại A. Tỉ lệ sản
phẩm loại A trước ñợt cải tiến kỹ thuật là 40%. Đợt cải tiến kỹ thuật có thực sự
làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A không? (kết luận ở mức ý nghĩa 5%). Giải: 15 5
Gọi p là tỉ lệ sản phẩm loại A. Tỉ lệ mẫu: p = = . 36 12 Kiểm ñịnh giả thiết
H : p = p = 40%; H : p > p ở mức ý nghĩa α = 5% 0 0 1 0 P − p
N Nếu H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 p 1− p 0 ( 0 )
Với ở mức ý nghĩa α = 5%, gtth = u = u = 1, 6449 1 α − 0,95 5 /12 − 0, 4
Với mẫu cụ thể ta có: u = 36 = 0, 204 0, 4(1− 0, 4)
Vì u < gtth nên H không bị bác bỏ. 0
Vậy, ñợt cải tiến kỹ thuật không làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A. (kết luận ở mức ý nghĩa α = 5%).
6. 22. Những thống kê trong năm trước cho thấy một người Mỹ ñi du lịch ở châu
Âu trong vòng 3 tuần sẽ chi hết 1010 USD cho việc mua sắm. Năm nay, người ta
thống kê trên 50 khách du lịch thì thấy số tiền trung bình mà họ chi tiêu là 1090
USD và ñộ lệch chuẩn là 300 USD. Với mức ý nghĩa α = 1% hãy cho biết mức chi
tiêu của những khách du lịch năm nay có tăng so với năm trước không? Giải:
Gọi X là BNN chỉ mức chi tiêu của mỗi khách du lịch trong năm nay, µ = EX . Ta kiểm ñịnh giả thiết
H : µ = µ = 1010; H : µ > µ ở ý nghĩa α = 1% 0 0 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 s
Với ý nghĩa α = 1% , gtth = u = u = 2,3263 1−α 0,99 107 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 1090 −1010
Với mẫu cụ thể ta có: u = 50 = 1,8856 300
Vì u < gtth nên H không bị bác bỏ. 0
Vậy, chưa ñủ cơ sở ñể kết luận mức chi tiêu của những khách du lịch năm nay tăng.
6. 23. Một hãng bào chế thuốc ñang thử nghiệm hai loại thuốc gây mê A và B
mới. Việc thử nghiệm ñược tiến hành trên hai nhóm thú vật khác nhau. Nhóm thứ
nhất gồm 100 con dùng thuốc A thì có 71 con bị mê; nhóm thứ hai gồm 90 con
dùng thuốc B thì có 58 con bị mê. Hãng bào chế muốn kiểm ñịnh xem tác dụng
của hai loại thuốc trên có khác nhau không ở mức ý nghĩa 5%. Hãy cho biết kết luận. Giải:
Gọi p và p lần lượt là tỉ lệ con vật bị mê khi dùng thuốc A, B tương ứng. Giá trị 1 2 71 58
tỉ lệ mẫu ñối với 2 loại thuốc ñó là p = ; p = . 1 2 100 90 71+ 58 129 Tỉ lệ chung là p = =
= 0, 6789 . Ta kiểm ñịnh giả thiết 190 190
H : p = p ; H : p ≠ p ở mức ý nghĩa α = 5% . 0 1 2 1 1 2 P − P
Nếu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0, ) 1 0  1 1 
p (1− p) +   n m
Với ở mức ý nghĩa α = 5% , gtth = u = u = 1,96 α 0,975 1− 2
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: 71 58 p − p − 1 2 100 90 u = = = 0, 017  1 1  129  129  1 1 
p (1− p) +  1−  +   n m  190  190 100 90 
Vì | u |< gtth nên H không bị bác bỏ. 0
Vậy, tác dụng của hai loại thuốc trên không khác nhau ở mức ý nghĩa 5%.
6. 24. Với ý muốn làm tăng chỉ số mỡ sữa của loại giống bò A, một trại chăn nuôi
cho lai bò giống A với một loại bò giống B. Đo chỉ số mỡ sữa của 130 con bò lai
giống ñược chọn ngẫu nhiên trong ñàn bò của trại, người ta có kết Chỉ số mỡ sữa Số bò lai 108 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân [3,0; 3,6) 2 [3,6; 4,2) 8 [4,2; 4,8) 35 [4,8; 5,4) 43 [5,4; 6,0) 22 [6,0; 6,6) 15 [6,6; 7,2) 5
Biết rằng chỉ số mỡ sữa trung bình của giống bò A thuần chủng là 4,95. Hãy cho
kết luận về hiệu quả của việc lai giống ở mức ý nghĩa 1%. Giải:
Gọi X là BNN chỉ chỉ số mỡ sữa của giống bò lai. Từ số liệu ta tính ñược: x = 5,15
và s = 0,77 . Ta kiểm ñịnh giả thiết:
H : µ = µ = 4,95; H : µ > µ ở mức ý nghĩa α = 1%. 0 0 1 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 s
Với ở mức ý nghĩa α = 1%, gtth = u = u = 2,3263 1−α 0,99
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: 5,15 − 4,95 u = 130 = 2,96 0,77
Vì u > gtth nên H bị bác bỏ. 0
Vậy, chỉ số mỡ sữa của giống bò lai cao hơn bò thuần chủng.
6. 25. Điều tra về một nguyên nhân gây ung thư phổi: Thăm dò trong 200 người
có hút thuốc lá, thấy có 28 người bị K phổi; trong 170 người không không hút
thuốc lá, có 12 người bị K phổi. Hỏi tỉ lệ người bị K phổi trên những người hút
thuốc lá có cao hơn tỉ lệ ñó trên những người không hút thuốc lá không? (Kết luận ở mức α = 5% ). Giải:
Gọi p , p lần lượt là tỉ lệ người bị K phổi trong số những người hút thuốc và 1 2
không hút thuốc. Ta kiểm ñịnh giả thiết:
H : p = p ; H : p > p ở mức α = 5% 0 1 2 1 1 2 P − P
Nếu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0, ) 1 0  1 1 
p (1− p) +   n m
Với α = 5% , gtth = u = u = 1, 6449 1−α 0,95
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: 28 7 6 28 +12 4 p = = ; p = ; p = = 1 2 200 50 85 200 +170 37 109 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân p − p 1 2 u = = 2,14  1 1  p (1− p) +   200 170 
Ta có u > gtth nên H bị bác bỏ. Vậy tỉ lệ bị K phổi trong số những người hút 0
thuốc là cao hơn tỉ lệ ñó trên những nguoif không hút thuốc lá.
6. 26. Nếu máy móc hoạt ñộng bình thường thì khối lượng một sản phẩm tuân
theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch chuẩn không quá 1kg. Có thể coi máy móc
còn hoạt ñộng bình thường hay không nếu cân thử 30 sản phẩm do máy ñó sản
xuất ra, thì tính ñược ñộ lệch chuẩn là 1,1 kg. Yêu cầu kết luận ở mức ý nghĩa α = 1% .
Giải: Kiểm ñịnh giả thiết về phương sai: 2 2 2 2
H :σ = σ = 1; H :σ ≠ σ ở mức ý nghĩa α = 1% 0 0 1 0 2 (n −1) S Nếu H ñúng thì 2 Y = ~ χ (n − ) 1 0 2 σo 2 29.1 1 ,
Với mẫu cụ thể ta có y = = 35,09 1
Với α = 0,01 ta có 2 2 χ (n − 1) = χ (29) = 13,121 α 0,01 2 2 2 2 χ (n − 1) = χ (29) = 52,336 α 0,01 1− 2 1− 2 Do 2 2
χ ( n − 1) < y < χ
( n − 1) nên H không bị bác bỏ nghĩa là: α 1 α − 0 2 2
Chưa ñủ cơ sở ñể nói rằng máy móc hoạt ñộng không bình thường.
6. 27. Một nhà sản xuất bóng ñèn cho rằng chất lượng bóng ñèn ñược coi là ñồng
ñều nếu tuổi thọ của bóng ñèn có ñộ lệch chuẩn bằng 1000 hoặc ít hơn. Lấy ngẫu
nhiên 10 bóng ñể kiểm tra, thì ñược ñộ lệch chuẩn mẫu là 1150, Vậy, với mức ý
nghĩa 5%, có thể coi chất lượng bóng ñèn do công ty ñó sản xuất là ñồng ñều
không? Biết rằng tuổi thọ của bóng ñèn là một BNN có phân phối chuẩn. Giải:
Kiểm ñịnh giả thiết về phương sai dạng 2 2 2 2 2
H :σ = σ = 1000 ; H :σ > σ ở 0 0 1 0 mức α = 5% . 2 (n −1) S Nếu H ñúng thì 2 Y = ~ χ (n − ) 1 0 2 σo Giá trị tơi hạn: 2 2 gtth = χ (n − 1) = χ (9) = 16,919 1−α 0,95 2 9.1150
Với mẫu cụ thể ta có y =
= 11,9025 < gtth 2 1000 110 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
H ñược chấp nhận nghĩa là có thể coi chất lượng bóng ñèn do công ty ñó 0
sản xuất là ñồng ñều.
6. 28. Tại một nông trường, ñể ñiều tra khối lượng của một loại trái cây, sau một
ñợt bón một loại phân mới, người ta cân thử một số trái cây ñược chọn ngẫu nhiên và ñược kết quả sau: Khối lượng (gam) Số trái cây [45, 50) 2 [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 3
Trước kia, khối lượng trung bình của mỗi trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem loại
phân bón mới có mang lại hiệu quả không? (kết luận ở mức ý nghĩa α = 1%). Giải:
Từ số liệu ñã cho ta tính ñược n = 361; x = 66,38; s = 5, 41
Kiểm ñịnh giả thiết H : µ = µ = 65(g); H : 0 0 1 µ > µ ở mức α = 1% 0 X Nếu − µ H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 0 ( ) s
Với α = 0,01 ta suy ra: gtth = u = u = 2,33 1−α 0,99 66,38 − 65
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: u = 361 = 4,85 > gtth 5, 41
Vậy H bị bác bỏ nghĩa là: loại phân bón mới có mang lại hiệu quả. (kết luận ở 0 mức ý nghĩa α = 1%).
6. 29. Một công ty thương mại, dựa vào kinh nghiệm quá khứ, ñã xác ñịnh rằng
vào cuối năm thì 80% số hoá ñơn ñã ñược thanh toán ñầy ñủ, 10% khất lại 1
tháng, 6% khất lại 2 tháng, và 4% khất lại hơn 2 tháng. Vào cuối năm nay, công ty
kiểm tra một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 hoá ñơn và thấy rằng: 287 hoá ñơn ñã ñược
thanh toán ñầy ñủ, 49 khất lại 1 tháng, 30 khất lại 2 tháng và 34 khất lại hơn 2
tháng. Như vậy, việc thanh toán hoá ñơn năm nay có còn theo qui luật như những
năm trước không? (kết luận ở mức ý nghĩa α = 5% ).
Giải: Ta kiểm ñịnh giả thiết về phân phối.
H : Việc thanh toán hoá ñơn năm nay theo qui luật năm trước 0 111 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
H : Việc thanh toán hoá ñơn năm nay không theo qui luật năm trước. 1 Ở mức ý nghĩa α = 5%.
Bảng tần số lý thuyết và thực nghiệm:
Thanh toán Khuất lại 1 Khuất lại 2 Khuất lại
ñầy ñủ ( x ) tháng ( x ) tháng ( x ) hơn 2 tháng 1 2 3 ( x ) 4 Tần số quan 287 49 30 34 sát Tần số lý 320 40 24 16 thuyết Ta có: (o − e i i )2
(287 − 320)2 (49 − 40)2 (30 − 24)2 (34 −16)2 4 2 Q = ∑ = + + + = 27,178 i 1 = e 320 40 24 16 i
Với α = 5% , gtth = 2 χ = χ = −α (3) 2 3 7,815 1 0,95 ( ) Ta thấy 2 2 Q > χ 3 nên: 1−α ( )
Việc thanh toán hoá ñơn năm nay không còn theo qui luật như những năm
trước. (kết luận ở mức ý nghĩa α = 5%).
6. 30. Để lập kế hoạch sản xuất mặt hàng mới, một công ty ñã tiến hành ñiều tra
về sở thích của khách hàng về 3 loại mẫu khác nhau của cùng một loại hàng. Kết
quả ñược trình bày ở bảng sau: Mẫu A B C hàng Ý kiến Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý kiến 22 17 19
Có hay không sự phân biệt về sở thích của khách hàng ñối với 3 loại mẫu nói
trên? Kết luận ở mức ý nghĩa 5%.
Giải: Ta kiểm ñịnh giả thiết về phân phối.
H : Không có sự phân biệt về sở thích 0
H : Có sự phân biệt về sở thích ñối với 3 mặt hàng (mức ý nghĩa 5%). 1
Bảng ñối chiếu tần số: Trong ngoặc là tần số lý thuyết: Mẫu A B C 112 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân hàng Ý kiến Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Không thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Không có ý kiến 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) (o − e i i )2 9 2 Q = ∑ = 7, 606 i 1 = ei 2 χ = χ = −α ( 4) 2 4 9, 488 1 0,95 ( ) Ta thấy 2 2 Q < χ
8 nên H ñược chấp nhận nghĩa là: 1−α ( ) 0
Không có sự phân biệt về sở thích ñối với 3 mặt hàng.
6. 31. Điều tra một số sản phẩm của một xí nghiệp về chiều dài (X (cm)) và hàm
lượng chất A (Y (%)), người ta có kết quả sau: Y 8 10 12 14 16 X 100 5 5 110 4 6 7 120 5 9 8 130 4 6 9 140 5 7
Các sản phẩm có chiều dài không quá 110cm và hàm lượng chất A không
hơn 12% ñược gọi là sản phẩm loại II. Nếu xí nghiệp báo cáo rằng sản phẩm loại
II có chỉ tiêu Y trung bình là 10% thì có thể chấp nhận ñược không? Kết luận ở
mức ý nghĩa 5% (giả thiết hàm lượng này có phân phối chuẩn) Giải:
Bảng số liệu cho chỉ tiêu Y của những sản phẩm loại A. y 8 10 12 j n 9 11 7 j
Giá trị trung bình mẫu: y = 9,85 và
giá trị ñộ lệch chuẩn mẫu: s = 1,56 , cỡ mẫu n = 27 . Y 113 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : µ = µ = 10 % ; H : µ ≠ µ ở mức ý nghĩa 5% 0 Y 0 ( ) 1 Y 0 Y Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 T =
n ~ t (n − ) 1 0 SY
Với mức ý nghĩa α = 5% ta tính ñược (26) gtth = t = 2, 0555 0,05 1− 2 9,85 −10
Với mẫu cụ thể ta tính ñược: t = 27 = −0,5 1,56
Ta có t < gtth nên H không bị bác bỏ. 0
Vậy, chấp nhận báo cáo của xí nghiệp (ở mức ý nghĩa 5%).
6. 32. Gạo ñủ tiêu chuẩn xuất khẩu là gạo có tỉ lệ hạt nguyên, hạt vỡ và tấm, theo
thứ tự, là: 90%, 6% và 4%.
Kiểm tra 1000 hạt gạo của một lô gạo, người ta thấy trong ñó có:
Hạt nguyên: 880; hạt vỡ: 60 và tấm: 60
Hỏi lô gạo có ñủ tiêu chuẩn xuất khẩu không? Cho kết luận ở mức ý nghĩa 5%. Giải:
Để kết luận về tiêu chuẩn của lô gạo ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : Lô gạo ñủ tiêu chuẩn xuất khẩu. 0
H : Lô gạo không ñủ tiêu chuẩn xuất khẩu (ở mức ý nghĩa 5%). 1
Nếu H ñúng thì trong 1000 hạt gạo có 900 hạt nguyên, 60 hạt vỡ và 40 hạt 0 tấm. 880 − 900 60 − 60 60 − 40 2 ( )2 ( )2 ( )2 Ta có Q = + + = 10, 44 900 60 40 Với α = 5%, (3) gtth = χ = 7,815 1−0,05 Vì 2
Q > gtth nên H bị bác bỏ. 0
Vậy, lô gạo không ñủ tiêu chuẩn xuất khẩu (kết luận ở mức ý nghĩa 5%).
6. 33. Giám ñốc trại gà Alpha xem lại hồ sơ của một ñợt khảo sát về khối lượng
của gà xuất chuồng ở trại gà thì thấy số liệu ñược ghi như sau: Khối lượng (kg) Số con gà 114 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân [2,3; 2,7) 5 [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) 5 [3,7; 3,9) 5
Ban giám ñốc trại gà Alpha báo cáo rằng khối lượng trung bình của gà trên 3 kg.
Hãy cho nhận xét về báo cáo trên ở mức ý nghĩa 2%. Giải:
Từ số liệu ta tính ñược:
n = 121; x = 3, 06; s = 0, 2826 .
Ta kiểm ñịnh giả thiết sau:
H : µ = µ = 3; H : µ > µ ở mức α = 2% . 0 X 0 1 X 0 X Nếu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 sX
Với α = 2% , gtth = u = u = 1, 6449 1 α − 0,95 x − µ 3,06 − 3 Với mẫu cụ thể: 0 u = n = 121 = 2,3354 s 0, 2826 X
Vì u > gtth nên H bị bác bỏ nghĩa là báo cáo của Ban giám ñốc là ñúng (ở mức ý 0 nghĩa 5%).
6. 34. Để so sánh thời gian cắt trung bình của một máy tiện loại cũ với một máy
tiện loại mới, người ta cho mỗi máy cắt thử 10 lần và ño thời gian cắt (tính bằng
giây) . Kết quả thu ñược như sau:
Máy loại cũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67.
Máy loại mới: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54..
Biết rằng thời gian cắt của máy loại cũ và của máy loại mới là các biến
ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn có ñộ lệch chuẩn, theo thứ tự, là 13,5 giây và 14,5 giây.
Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng máy loại mới tốt hơn (có thời gian cắt
trung bình ít hơn) máy loại cũ hay không? Giải:
Gọi X ,Y theo thứ tự là BNN chỉ thời gian cắt của máy tiện cũ và máy tiện mới. 115 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
Ta kiểm ñịnh giả thiết sau: H : µ = µ ; H ; µ > µ ở mức ý nghĩa 5%. 0 X Y 1 X Y Nếu X − Y
H ñúng thù BNN U = ~ N (0, ) 1 0 2 2 σ σ X Y + n m
Với α = 5% , gtth = u = u = 1, 6449 1−0,05 0,95
Với mẫu cụ thể ta tính ñược:
x = 57; s = 13, 6; y = 52; s = 14, 46 X Y 57 − 52 Do ñó u = = 2, 988 13,5 14,5 + 10 10
Vì u > gtth nên H bị bác bỏ. 0
Vậy, có thể cho rằng máy loại mới tốt hơn (có thời gian cắt trung bình ít hơn) máy loại cũ. 116 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY 7.1.
Xem vectơ ngẫu nhiên (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều mà
một mẫu ngẫu nhiên gồm 8 cặp ñược chọn ra như sau: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 5 7 11 17 21 25 29 32
a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét.
b) Hãy kiểm ñịnh giả thiết về sự tương quan giữa X à Y ở mức α = 5% .
c) Hãy lập hàm hồi quy tuyến tính mẫu và dự ñoán nếu X lấy giá trị bằng
20 thì Y nhận giá trị bao nhiêu? Giải: ∑ x y n x y a) − . r = i i
= 0,996 . X và Y có quan hệ gần như tuyến tính. (n −1)s .s X Y
b) Kiểm ñịnh giả thiết
H : ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ở mức α = 5% 0 1 Nếu n − 2
H ñúng thì T = R ~ t (n − 2) 0 2 1 − R n
∑(X − X ).(Y − Y ) i i (n = 8 và i 1 R = =
là hệ số tương quan mẫu) (n − 1)SX Y S Với α = 5% , gtth (6) = t = 2,4469 . 1 α − / 2 n − 2 6
Với mẫu cụ thể, ta có r = 0,996 và t = r = 0,996 = 27,3 2 2 1− r 1− 0,996
Vì t > gtth nên H bị bác bỏ nghĩa là X , 0
Y thật sự tương quan.
c) Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:
y = −0.107 + 4,107x . Từ ñó, nếu X = 20 thì Y = 82,036 . 7.2.
Một cơ sở sản xuất ñã ghi lại số tiền ñã chi cho việc nghiên cứu phát triển
và lợi nhuận hàng năm của cơ sở trong 6 năm vừa qua như sau: (ñơn vị 106 VNĐ) Chi nghiên cứu 5 11 4 5 3 2 Lợi nhuận 31 40 30 34 25 20 117 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu giữa chi nghiên cứu và lợi nhuận.
b) Chi nghiên cứu và lợi nhuận có thực sự tương quan không? (kết luận ở mức ý nghĩa α = 2%).
c) Viết phương trình ñường hồi qui tuyến tính mẫu của lợi nhuận theo chi phí nghiên cứu. Giải: a) r = 0,909
b) Kiểm ñịnh giả thiết
H : ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ở mức ý nghĩa α = 1% 0 1
Nếu H ñúng thì BNN n − 2 T = R ~ t (n − 2) 0 2 1 − R gtth = t t − 2 = t 4 = 3,7469 1−α / 2 ( ) 0,99 ( ) 4
Với mẫu cụ thể ta có t = 0,909 = 4,361 2 1− 0,909
Vì t > gthh nên H bị bác bỏ. Nghĩa là X và Y thực sự tương quan. 0
(kết luận ở mức ý nghĩa α = 2%).
c) Phương trình ñường hồi quy tuyến tính mẫu: y = 2x + 20 7.3.
Đo chiều cao Y (cm) và chiều dài chi dưới X (cm) của một nhóm thanh
niên, người ta thu ñược số liệu sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y.
(b). Ở mức ý nghĩa α = 5%, hãy cho nhận xét về tài liệu cho rằng hệ số
tương quan của X và Y là 0,9.
(c). Viết phương trình ñường hồi quy mẫu của Y theo X. Đáp số: (a) r = 0,996
(b) Kiểm ñịnh giả thiết H0: ρ = 0,9 ñối với H1: ρ ≠ 0,9.
Trắc nghiệm U 2 ñuôi ñược sử dụng, với 118 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân Z − µZ U = ~ N (0,1) . σZ
Với mức α = 5% , gtth = u0,975 = 1,96;
với mẫu cụ thể, chúng ta có : z = ln (1 + 0,996 1 = 3,106 , 2 1 − 0,996 ) 1 µ = ln (1+ 0,9 + = σ = , − ) 0,9 1 1,5365; Z 2 1 0,9 2(8−1) Z 5 và z Z u − µ = = 3,509 σZ
Vì u > gtth nên ở mức ý nghĩa α = 5%, giả thiết H0 bị bác bỏ, nghĩa là
tài liệu không ñược chấp nhận (ở mức ý nghĩa α = 5%). (c) y = 1,768x + 21,857. 7.4.
Một giảng viên dạy môn thống kê yêu cầu mỗi sinh viên phải làm một
ñồ án phân tích dữ liệu và dự kỳ thi hết môn. Sau ñó, một mẫu gồm 10 sinh viên
ñược chọn ngẫu nhiên, ñiểm số ñược ghi lại như sau: Điểm thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Điểm ñồ 92 79 76 71 69 76 87 62 80 75 án
(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho ñiểm thi trung bình của một sinh viên (giả
thiết ñiểm thi của sinh viên tuân theo luật phân phối chuẩn).
(b) Ở mức ý nghĩa 5%, hãy ñánh giá về sự tương quan tuyến tính giữa hai loại ñiểm trên. Giải:
(a) Gọi X là ñiểm thi của sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 .
Khoảng tin cậy 95% cho ñiểm thi trung bình của một sinh viên: ( x − ; e x + e) (9) s 5,97 e = t . = 2,2622. = 4, 27 1+γ 10 10 2
Khoảng tin cậy cần tìm (74,33; 82,87) .
(b) Gọi Y là ñiểm ñồ án của sinh viên. Đặt ρ = ρ . X ,Y
Chúng ta phải có quyết ñịnh giữa hai giả thiết: H0: ρ = 0 và H1: ρ ≠ 0, Nếu H0 ñúng thì BNN 119 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 10 2 T = R − ~ t(8) 2 1 − R
Với mức α = 5% , giá trị tới hạn là: (8) 0 t ,975 = 2,3060 ;
với mẫu cụ thể, chúng ta có hệ số tương quan mẫu: r = 0,776 . Do ñó: 0,776. 8 t = = 3, 48 2 1− (0,776)
Vì |t| >2,306 nên giả thiết H0 bị bác bỏ ở mức ý nghĩa α = 5%. Nói cách
khác, chúng ta chấp nhận rằng X và Y tương quan ở mức ý nghĩa 5%. 7.5.
Để thực hiện một công trình nghiên cứu về mối quan hệ giữa chiều
cao Y(m) và ñường kính X(cm) của một loại cây, người ta quan sát trên một mẫu
ngẫu nhiên và có kết quả sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10
(a). Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét.
(b) Viết phương trình ñường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Hãy dự báo
chiều cao của cây có ñường kính 45 cm. Giải: (a) r = 0,939.
Vì r rất gần 1 nên giữa X và Y có hồi qui tuyến tính.
(b) y = 0,166x + 1,041.
Dự báo chiều cao của cây có ñường kính 45 cm là:
y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản
phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Hãy tính các giá trị trung bình mẫu của X, Y; phương sai mẫu của X, Y
và hệ số tương quan mẫu giữa X và Y.
b) Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X. Từ ñó dự ñoán xem nếu chỉ
tiêu X là 9 thì chỉ tiêu Y là bao nhiêu? Giải: a) Ta có trung bình mẫu: 120 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
x = 5,93; y = 15,17; Phương sai mẫu: 2 2 σ = 3, 44; σ = 28, 42 X Y
Hệ số tương quan mẫu: r = 0,66
b) Phương trình hồi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x
Nếu X có giá trị là 9 thì Y sẽ nhận giá trị là 21. 7.7.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản
phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu giữ X và Y. Viết Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X.
b) Kiểm ñịnh giả thiết xem X và Y có tương quan không ở mức ý nghĩa 5%? Giải:
a) Giá trị hệ số tương quan mẫu: r = 0,66.
Phương trình hồi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x .
b) Kiểm ñịnh giả thiết H : ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ở mức ý nghĩa 5% 0 1
Nếu H ñúng thì BNN 0 n − 2 T = R ~ t(n − 2) 2 1 − R Với mức ý nghĩa 5%, (28) gtth = t = 2,0484 0,975 Với mẫu cụ thể ta có n − 2 t = r = 4, 69 2 1− r
Vì t > gtth nên H bị bác bỏ, nghĩa là X và Y tương quan ở mức ý nghĩa 5%. 0 7.8.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản
phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho chỉ tiêu Y (giả thiết chỉ tiêu Y tuân theo luật phân phối chuẩn). 121 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân
b) Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X. Từ ñó dự ñoán xem nếu chỉ
tiêu X là 9 thì chỉ tiêu Y là bao nhiêu? Giải:
a) Trung bình mẫu chỉ tiêu Y là: y = 15,17;s = 5,33 Y
Khoảng tin cậy 95% cho trung bình chỉ tiêu Y là: ( y − ; e y + e) s 5,33 Với (29) e = t . Y = 2,0452. = 1,99 ≈ 2 0,975 30 30
Vậy khoảng tin cậy cần tìm là: (13,18;17,16)
b) Phương trình hồi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x
Nếu X có giá trị là 9 thì Y sẽ nhận giá trị là 21. 7.9.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản
phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Có tài liệu cho rằng trung bình chỉ tiêu X là 6,5%. Hãy cho nhận xét về tài
liệu trên ở mức ý nghĩa 5%. Giả thiết các chỉ tiêu X, Y tuân theo luật phân phối chuẩn.
b) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y. Viết phương trình ñường
thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Giải:
a) Kiểm ñịnh giả thiết H : µ = µ = 6,5; H : µ ≠ µ ở mức ý nghĩa 5%. 0 X 0 1 X 0 X − µ
Nếu H ñúng thì BNN 0 T =
n ~ t (n − ) 1 0 S Với ở mức ý nghĩa 5%, (29) gtth = t = 2,0452 0,975 5,93 − 6,5
Vói mẫu cụ thể ta tính ñược: t = 30 = 0,908 3,44
Vì t < gtth nên H không bị bác bỏ nghĩa là ta chấp nhận tài liêu trên ở 0 mức ý nghĩa 5%.
b) Giá trị hệ số tương quan mẫu: r = 0,66 .
Phương trình hồi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x . 122 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 7.10.
Nghiên cứu lượng phân bón (X kg) ñược dùng ñể bón cho ruộng trong
một vụ; Y(kg/1000m2) là năng suất lúa. Thống kê ở 30 hộ gia ñình, kết quả như sau: Số hộ 3 5 2 6 4 3 5 2 xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi
270 280 280 290 300 300 310 320
a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y. Viết phương trình hồi quy mẫu Y theo X.
b) Kiểm ñịnh giả thiết cho rằng hệ số tương quan của X và Y bằng 0,9 ở mức ý nghĩa α = 5%. Giải:
a) Giá trị hệ số tương quan mẫu: r = 0,891.
Phương trình ñường hồi quy mẫu: Y = 210,15 +1,64X .
b) Kiểm ñịnh giả thiết H : ρ = ρ = 0,9; H : ρ ≠ ρ ở mức ý nghĩa α = 5%. 0 0 1 0
Trắc nghiệm U 2 ñuôi ñược sử dụng, với Z − µZ U = ~ N (0,1) . σZ
Với mức α = 5% , gtth = u0,975 = 1,96;
Với mẫu cụ thể, ta có  1+ 0,891 1 z = z = ln   = 1,427 2  1− 0,891 1 µ = ln (1+ 0,9 + = σ = − ) 0,9 1 1,488; Z 2 1 0,9 2(30 −1) Z 27 z − µ u = Z = 0,317 σZ
Vì | u |< gtth nên H ñược chấp nhận nghĩa là giả thiết hệ số tương quan của X và 0
Y bằng 0,9 là ñúng ở mức ý nghĩa α = 5%. 7.11.
Để nghiên cứu sự tương quan giữa chiều cao X (cm) và sức nặngY
(kg) con người, quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất quả sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 123 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1
(a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất cho các giá trị của X, Y.
(b) Tính các giá trị trung bình mẫu, ñộ lệch chuẩn mẫu và hệ số tương quan
mẫu của X và Y. Viết phương trình ñường thẳng hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X. Giải:
a) Bảng tần số, tần suất của X và Y: Biến X Biến Y Lớp Tần số Tần suất Lớp Tần số Tần suất [140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019 [145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113
b) x = 152,69; y = 54,23; s = 5,14; s = 4,41 X Y r = 0,6544 Phương trình hồi quy: y = 3 − 1,59 + 0,56x 7.12.
Để nghiên cứu sự tương quan giữa chiều cao X (cm) và sức nặngY
(kg) con người, quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất quả sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 124 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1
a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y. Viết phương trình ñường thẳng
hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X.
b) Có tài liệu cho biết hệ số tương quan giữa X và Y là 0,65. Hãy cho nhận xét về
tài liệu ñó, ở mức α = 5%. Giải: a) r = 0,6544 Phương trình hồi quy: y = 3 − 1,59 + 0,56x
b) Kiểm ñịnh giả thiết H : ρ = 0,65 ñối với H 0 1: ρ ≠ 0,65 ở mức α = 5%.
Trắc nghiệm U 2 ñuôi ñược sử dụng, với Z − µZ U = ~ N (0,1) . σZ
Với mức α = 5% , gtth = u0,975 = 1,96;
với mẫu cụ thể, chúng ta có : z = ln (1+ 0,6544 1 = 0,783, 2 1 − 0,6544 ) 1 µ = ln (1+ 0,65 + = σ = Z − ) 0,65 1 0,7816; 2 1 0,65 2(53−1) Z , 50 và z − µ u = Z = 0,01 σZ
Vì u < gtth nên ở mức ý nghĩa α = 5%, giả thiết H ñược chấp nhận, nghĩa là 0
tài liệu ñược chấp nhận (ở mức ý nghĩa α = 5%). 125 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt