Bài tập xác suất chương I, II
Chương 1. Xác suất. n( A)
Dùng định nghĩa xác suất. P( A)  n()
n : số phần tử của A A
n  : số phần tử của không gian mẫu của phép thử đồng khả năng. -
Xác định phép thử (đồng khả năng)  n -
Xác định sự kiện cần tính xác suất  nA
1. Một nhóm gồm 12 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 nguời. Tính xác suất để chọn được: a) 4 nam.
b) số nam nhiều hơn số nữ ít nhất 2 người.
c) ít nhất 1 nam. ĐS: a) 99/364 b) 275/364 c) 1819/1820
2. Trong 10 hạt đậu giống có 4 hạt hoa vàng thuần chủng, 3 hạt hoa vàng không thuần chủng và 3 hạt hoa trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 hạt
a) Tính xác suất để 3 hạt được chọn gồm 3 loại khác nhau
b) Tính xác suất để 3 hạt được chọn là đậu cho hoa màu vàng
c) Tính xác suất để 3 hạt được chọn có ít nhất một hạt cho hoa màu trắng. ĐS: a) 3/10 b) 7/24 c) 17/24
3. Có 2 hộp bi, hộp thứ nhất gồm 4 bi đen và 6 bi trắng, hộp thứ 2 gồm 5 bi đen và 5 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên
từ mỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất để:
a) Lấy được 4 bi đen.
b) Lấy được ít nhất 1 bi trắng.
c) Lấy được 4 bi cùng màu. ĐS: a) 4/135 b) 131/135 c) 14/135
4. Một người tung đồng thời hai xúc xắc cân đối, đồng chất.
a) Tính xác suất để tổng số chấm hai mặt trên là 5.
b) Tính xác suất tổng số chấm hai mặt trên không lớn hơn 10. ĐS: a) 4/36 b) 33/36 I)
Công thức cộng , nhân xác suất, xác suất có điều kiện. - Công thức cộng:
+) P( AUB)  P( A)  P(B)  P( AB)
+) Nếu AB   thì P( A  B)  P( A)  P(B)
+) P( A)  1 P( A) . Công thức nhân
+) P( AB)  P( A)P(B / A)  P(B)P( A / B)
+) Nếu A,B độc lập thì P( AB)  P( A)P(B) .
Công thức xác suất có điều kiện P( AB)
P( A / B)  P(B)
5. Ở một trường học tỉ lệ học sinh tham gia câu lạc bộ toán học là 25%, tỉ lệ tham gia câu lạc bộ tiếng Anh là
40% và tham gia cả 2 câu lạc bộ là 16%.
a) Tính tỉ lệ học sinh tham gia ít nhất 1 trong 2 câu lạc bộ.
b) Tính tỉ lệ học sinh không tham gia câu lạc bộ nào.
c) Tính tỉ lệ học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Toán học.
d) Tính tỉ lệ học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học trong số những học sinh tham gia câu lạc bộ tiếng Anh. ĐS: a) 49% b) 51% c) 9% d) 40%
6. Cho A, B là hai sự kiện có P(A) = 0,45; P(B) = 0,30; P(A  B) = 0.60. Hăy tính các xác suất sau: a. P(AB); b. P(B/A) ; c. P(A/B) ĐS: a) 0,15 b) 1/3 c) 0,5
7. Một lồng gà gồm 3 trống, 5 mái. Bắt ngẫu nhiên lần lượt cho đến khi bắt được gà trống thì dừng.
a) Tính xác suất bắt 2 lần.
b) Tính xác suất bắt 3 lần. ĐS: a) 15/56 b) 5/28
8. Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để:
a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng
b) Có đúng một người bắn trúng
c) Có ít nhất một người bắn trúng.
d) Biết có đúng 1 người bắn trúng, tính xác suất đó là người thứ nhất. ĐS: a) 0,056 b) 0,188 c) 0,976 d) 7/47
9. Một mạng cung cấp điện như hình vẽ
Điện được cấp từ E tới khu tiêu dùng F qua năm trạm biến áp A, B, C, D, G. Các trạm biến áp này làm việc độc
lập, xác suất để mỗi trạm biến áp A, B, C có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động là 0,1. Xác suất trên
với hai trạm D, G là 0,05.
a) Tính xác suất để F mất điện.
b) Biết F bị mất điện.Tính xác suất để cả 2 trạm D, G có sự cố. ĐS: a) 0,0034975 b) 1000/1399 II) Công thức Becnunly
Xét dãy n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử là như nhau và bằng p. -
Xác suất trong n lần thử có k lần sự kiện A xuất hiện là:
P (k)  Ck pk qnk (q = 1-p) -
Giả sử khả năng nhất sự kiện A xuất hiện k0 lần:
10. Trong một lớp học có 7 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất cháy là 1/4.
a) Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 6 bóng đèn sáng. Tính xác suất lớp học đủ ánh sáng.
b) Khả năng nhất có bao nhiêu bóng sáng. ĐS: a) 0,4449; b) 5 hoặc 6
11. Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng. Một
sinh viên không học bài trả lời bằng cách đánh dấu ngẫu nhiên.
a) Tính xác suất sinh viên đó trả lời đúng 5 câu.
b) Khả năng nhất sinh viên đó trả lời đúng bao nhiêu câu. ĐS: a) 0,0584; b) 2
12. Tỉ lệ người có kí sinh trùng sốt rét trong máu của mỗi người dân vùng cao là 0,2. Phải kiểm tra bao nhiêu
người để xác suất có ít nhất 1 người nhiễm kí sinh trùng sốt rét không nhỏ hơn 0,95. ĐS: 14
13. Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở mỗi lần thả câu ở từng nơi tương ứng là 0,2; 0,3 và 0,4.
a) Nếu mỗi chỗ chỉ thả câu 1 lần thì xác suất để anh ta chỉ câu được đúng 1 con cá là bao nhiêu.
b) Tính xác suất anh ta thả câu 5 lần ở chỗ thứ nhất thì có 3 lần câu được cá.
c) Nếu thả câu ở chỗ thứ nhất 10 lần thì khả năng nhất có bao nhiêu lần câu được cá. ĐS: a) 0,452; b) 0,0512; c) 2 III)
Công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes
Giả sử A1, A2, …, An là 1 hệ đầy đủ các sự kiện. A là 1 sự kiện nào đó. +) CT XSTP: ..... +) CT Bayes:
P( A / A)  P( A )P( A / A ) i i
( với P(A) khác không và được tính bởi ct xstp) i P( A)
14. Một cửa hàng bán một loại sản phẩm trong đó 30% do nhà máy A sản xuất, 40% do nhà máy B sản xuất, 30%
do nhà máy C sản xuất. Tỷ lệ sản phẩm loại một của ba nhà máy trên lần lượt là: 0,9 ; 0,8 và 0,9.
a) Mua ngẫu nhiên một sản phẩm tại cửa hàng. Tìm xác suất để sản phẩm mua được là loại một.
b) Biết sản phẩm mua được là loại một. Tính xác suất để sản phẩm đó do nhà máy A sản suất.
c) Mua ngẫu nhiên 5 sản phẩm tại cửa hàng. Tính xác suất trong đó có 3 sản phẩm loại 1. ĐS: a) 0,86; b) 0,4186 (18/43) c) 0,1247
15. Một trung tâm phân phối giống cây trồng nhận cây giống từ 3 cơ sở khác nhau theo tỉ lệ: 2 : 3 : 3. Tỷ lệ cây
giống xấu của 3 cơ sở tương ứng là 5%, 3% và 2%.
a) Hãy xác định tỷ lệ cây giống xấu của trung tâm.
b) Chọn ngẫu nhiên một cây giống của trung tâm. Biết cây giống được chọn là cây giống xấu. Khả năng cây
giống đó thuộc cơ sở nào là cao nhất? Tại sao? ĐS: a) 0,03125; b) cơ sở 1.
16. Một người có 3 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung trong 1 lồng. Một người đến mua, người bán gà bắt
ngẫu nhiên 1 con. Người thứ 2 đến mua. Người bán gà lại bắt ngẫu nhiên 1 con.
a) Tính xác suất để người thứ 2 mua được gà trống
b) Tính xác suất người thứ nhất mua được gà mái biết người thứ hai mua được gà trống. ĐS: a) 0,4; b) 75
17. Tại một vùng dân cư, tỷ lệ người nghiện hút thuốc lá là 0,2. Biết rằng tỷ lệ viêm họng trong số người nghiện
thuốc lá là 0,7, trong số những người không nghiện là 0,2. Khám ngẫu nhiên 1 người thấy người đó bị viêm
họng. Tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá. ĐS: 7/15 (0,46667)
18. Một công ty có hai phòng chức năng. Phòng A gồm 3 nhân viên nam, 2 nhân viên nữ. Phòng B gồm 2 nhân
viên nam, 4 nhân viên nữ. Nhằm đánh giá năng lực làm việc của mỗi phòng, giám đốc công ty quyết định
chọn mỗi phòng 2 nhân viên để kiểm tra chuyên môn. Biết rằng mỗi nhân viên ở phòng A có thể vượt qua kỳ
kiểm tra với xác suất 0,8 đối với nam và 0,7 đối với nữ. Mỗi nhân viên phòng B có thể vượt qua kỳ kiểm tra
với xác suất 0,7 đối với nam và 0,8 đối với nữ.
a) Tính xác suất để 4 nhân viên được chọn đều là nam.
b) Tính xác suất để 4 nhân viên được chọn đều qua kì kiểm tra
c) Khả năng vượt qua kì kiểm tra của phòng nào cao hơn? ĐS: a) 0,02;
b) P(A) = 0,577; P(B)= 0,587(3); P(AB)=0,3389; c) phòng B.
CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN.
1. Một đàn gà gồm có 3 trống và 6 mái. Bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con cho tới khi bắt được gà mái thì dừng.
Gọi X là số lần bắt. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X), DX.
2. Có một hộp đựng 10 lọ thuốc vắcxin, trong đó có 6 lọ do Hàn Quốc sản xuất và 4 lọ do Mỹ sản xuất. Biết
rằng giá mỗi lọ vắc xin do Hàn Quốc sản xuất là 500.000 đồng và do Mỹ sản xuất là 600.000 đồng. Một
khách hàng lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 lọ để mua.
a) Gọi X là số tiền người khách đó phải trả, lập bảng phân phối xác suất của X và tính số tiền trung bình
khách đó phải trả và tính DX
b) Lập hàm phân phối xác suất của X.
3. Số con được sinh ra và số con chết trong một tuần của một loài động vật lần lượt là hai biến ngẫu nhiên X, Y có bảng phân phối: X 0 1 2 Y 0 1 2 3 P 0,5 0,3 0,2 P 0,1 0,4 0,3 a a) Tìm a.
b) Đặt Z = X – Y. Tính P(Z = 0). ĐS : a) 0,15 ; b) 0,23
4. Một cửa hàng kinh doanh thực phẩm tươi sống tại một khu dân cư qua một thời gian điều tra thị trường
nhận thấy lượng tiêu thu thịt lợn X ( kg/ngày) có bảng phân phối xác suất sau: X 110 115 120 125 P 0,15 0,20 0,5 0,15
a. Khả năng nhất tiêu thụ được bao nhiêu thịt lợn trong 1 ngày?
b. Tính xác suất để tiêu thụ được lượng thịt từ 120kg trở lên.
c. Trung bình lượng thịt tiêu thụ được trong ngày là bao nhiêu?
d. Tính xác suất trong 1 tuần có 4 ngày bán được 115kg thịt.
5. Biết rằng năng suất lúa (đơn vị: tấn/ha) tại một vùng có hàm mật xác suất như sau:  0 khi  x[4;8] 1
f  x   x  2 khi x[4;5]  2  1 4
x  khi x[5;8]  6 3
Hãy tính tỷ lệ % thửa ruộng có năng suất từ 4,5 tấn/ha đến 6 tấn/ha và năng suất lúa trung bình. ĐS: 60,42%
6. Một người bắn 3 viên đạn vào bia. Mỗi lần bắn độc lập và xác suất mỗi lần bắn trúng là 0,6. Gọi X là số lần
bắn trúng của người đó.
a) Quy luật phân phối xác suất của X là gì?
b) Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X), DX.
c) Mỗi viên bắn trúng được thưởng 5 điểm, bắn trượt bị trừ 2 điểm. Tính số điểm trung bình người đó có được.
c) Phải bắn bao nhiêu viên đạn để trung bình có 12 viên trúng biết xác suất mỗi viên trúng vẫn là 0,6. ĐS: c) 6,6 c) 20
7. Trọng lượng X của mỗi con bò trong một đàn bò là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng 300 kg
và độ lệch chuẩn 50 kg. Chọn ngẫu nhiên 1 con bò trong chuồng. Tính xác suất để con bò được chọn :
a. Có trọng lượng trên 350 kg.
b. Có trọng lượng từ 250 đến 350 kg.
c. Chọn ngẫu nhiên 4 con bò trong đàn bò nói trên. Tính xác suất để 2 trong 4 con bò được chọn có trong
lượng từ 250 đến 350 Kg.
d. Chọn ngẫu nhiên 100 con bò, trung bình có bao nhiêu con có trọng lượng từ 250 đến 350 kg.
8. Năng suất lúa X ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng 60 tạ và độ lệch chuẩn
là 5 tạ/ha. Gặt ngẫu nhiên 5 thửa ruộng.
a. Tính xác suất để trong 5 thửa ruộng được gặt có 2 thửa ruộng có năng suất lệch khỏi kì vọng không quá 2 tạ.
b. Tính xác suất để trong 5 thửa ruộng được gặt có ít nhất 1 thửa ruộng có năng suất lệch khỏi kì vọng không quá 2 tạ. ĐS: a) 0,000863685; b) 0,999999803
9. Chiều cao của một loại cây lấy gỗ là biến chuẩn với chiều cao trung bình là 20m, độ lệch chuẩn là 2,5m. Cây
đạt tiêu chuẩn khai thác là cây có chiều cao tối thiểu là 15m.
a) Tính tỷ lệ cây đạt tiêu chuẩn khai thác.
b) Nếu cây đạt tiêu chuẩn sẽ lãi 100 nghìn đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn lỗ 500 nghìn. Khai thác
ngẫu nhiên 1 lô gồm 100 cây. Tính tiền lãi trung bình cuả lô cây đó. ĐS: a) 0,9772; b) 8632 (nghìn đồng)
10. Cho X N (3;1),Y N (4; 2) độc lập. Tính P(X> 2Y). ĐS: 0,0475.
11. Cho X có phân phối chuẩn với E(X) = 10, P(X < 15) = 0,8944. Tính P( 5< X < 15). ĐS: 0,8944
12. Giả sử thời gian khách phải chờ được phục vụ tại một cửa hàng là biến ngẫu nhiên X N (4, 5;1, 21) . Tìm t biết xác
suất khách phải chờ không quá t là 5,05%. ĐS: 4,336
13. Sản lượng X, Y, Z (tấn/ha) của ba giống lúa A, B, C tương ứng là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn:
X N(8;0, 62 ) ; Y N(7;0, 62 ) ; Z N(8;0,52 ) . Nếu cần chọn một giống để trồng thì nên chọn giống nào? Tại sao?
14. Một ao cá thả cá chép và cá trôi theo tỉ lệ 2:3.
a. Bắt ngẫu nhiên 1 con cá trong ao. Tính xác suất để con cá bắt được là cá chép?
b. Bắt ngẫu nhiên 5 con cá trong ao. Tính xác suất để có 2 con cá chép và 3 con cá trôi?
c. Giả sử bắt ngẫu nhiên từ dưới ao lên 800 con cá. -
Khả năng nhiều nhất có bao nhiên con cá chép? -
Tính xác suất để có nhiều hơn 300 cá chép? ĐS: a) 0,4; b)0,3456; c) 320; 0,9251
15. Xác suất nảy mầm của một loại hạt giống cây là 0,8.
a) Gọi X là số hạt nảy mầm khi gieo 7 hạt. X tuân theo quy luật phân phối nào? Tính P(X  5).
b) Gọi Y là số hạt này mầm khi gieo 100 hạt. Tính P(Y  70). ĐS: a) 0,4232832; b) 0,0062
16. Xác suất của một loại hạt giống nảy mầm sau khi gieo là 0,8.
a. Phải gieo ít nhất bao nhiêu hạt để với xác suất không nhỏ hơn 0,977 có thể tin rằng có ít nhất 1 hạt nảy mầm.
b. Phải gieo ít nhất bao nhiêu hạt để với xác suất không nhỏ hơn 0,977 có thể tin rằng có trên 100 hạt nảy mầm. ĐS: a) 3; b) 137
17. Số khách vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ là biến ngẫu nhiên với phân phối Poisson với mật độ (số
khách trung bình) là 8 khách hàng trong một giờ. Tìm xác suất để trong một giờ nào đó có hơn 4 khách vào. ĐS: 0,9
18. Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để mỗi chai bị vỡ khi vận chuyển là 0,004. Tìm xác
suất để sau khi vận chuyển 1000 chai rượu thì có 5 chai rượu bị vỡ. ĐS: 0,1562