Bài thu hoạch tối ưu hóa PERT | Tối ưu hoá | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Một công ty cần thực hiện một dự án lắp đặt hệ thống nhà xưởng bao gồm các công việc với các yêu cầu nêu ra trong bảng sau. Trong đó, a là thời gian ước tính hoàn thành công việc một cách lạc quan, m là thời gian ước tính hoàn thành công việc trong điệu kiện bình thường, b là thời gian ước tính hoàn thành công việc một cách bi quan. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Tối ưu hoá(tuh) 10 tài liệu
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Một công ty cần thực hiện một dự án lắp đặt hệ thống nhà xưởng
bao gồm các công việc với các yêu cầu nêu ra trong bảng sau. Trong
đó, a là thời gian ước tính hoàn thành công việc một cách lạc quan, m
là thời gian ước tính hoàn thành công việc trong điệu kiện bình
thường, b là thời gian ước tính hoàn thành công việc một cách bi quan. Công Thời gian cần (ngày) Thứ tự tiến hành việc a m b Bắt đầu ngay A 2 3 4 Bắt đầu ngay B 2 2,5 3,5 Bắt đầu ngay C 1,5 2,5 7 Sau A hoành thành D 6 6,5 10 Sau B, C, D hoàn thành E 4 6 8 Sau A hoàn thành F 6 7,5 10 Sau B, C, D hoàn thành G 2,5 3,5 5,5 Sau C hoàn thành H 1,5 2 2,5 Sau C hoàn thành I 3 5,5 6 Sau E, F, G, H hoàn thành J 3 3,5 7 Sau E, F hoàn thành K 6 6,5 10 Sau E, F hoàn thành L 3,5 5,5 6 Sau B, D, H hoàn thành M 4 5 6 Sau J, K, M hoàn thành N 5 6 7 Sau B, D, H hoàn thành O 2 2,5 3
a)Hãy tính kỳ vọng và phương sai cho các đại lượng ngẫu nhiên
biểu thị thời gian hoàn thành công việc. Khi tính kỳ vọng làm tròn
số phần thập phân như sau: Khoản (0,125; (0,25; (0,75; (0; 0,125] (0,625; (0,375,0,5] (0,5; 0,625] (0,875,1) g 0,25] 0,375] 0,75] 0,875] Làm tròn 0,125 0,25 0,375 0,5 0.625 0,75 0,875 1 thành
b)Lập sơ đồ PERT, xác định đường găng, ước tính thời gian trung
bình để hoàn thành dự án. Tính xác suất để toàn bộ dự án được
hoàn thành với thời gian không quá 30
ngày (bỏ qua sai số do
việc làm tròn số). Lập bảng chỉ tiêu thời gian cho các công việc.
Dựng sơ đồ PERT ngang với điều kiện công việc H và I không thể
thực hiện trong cùng một thời điểm. Dựng sơ đồ PERT ngang với
điều kiện nguồn lực của công ty không thể thực hiện 4 công việc cùng một thời điểm.
c)Giả sử chi phí để rút ngắn thời gian hoàn thành mỗi công việc theo
quy luật C =4αk−5 k
( là hệ số tỷ lệ được cho trong bảng, Ck là chi
phí rút ngắn ngày thứ k ứng với mỗi công việc và có đơn vị tính là triệu đồng) C. việc A B C D E F G H I J K L M N O Hệ số 10 9 7 13 9 8 7 9 8 10 9 8 9 10 11
Hãy rút ngắn thời gian trung bình hoàn thành dự án không quá
25 ngày với chi phí thấp nhất và tính chi phí tăng thêm đó. Lập bảng
chỉ tiêu thời gian cho các công việc và dựng sơ đồ PERT ngang đối
với kế hoạch sau khi rút ngắn thời gian trung bình hoàn thành dự án không quá . 25 ngày
d) Dự án đang thực hiện theo kế hoạch đã lập ở (c) thì vào đầu ngày 5
có một sự cố xảy ra làm toàn bộ công việc của công ty phải ngưng
thực hiện 01 ngày. Hãy điều chỉnh kế hoạch sao cho thời gian trung
bình hoàn thành dự án không quá 25 ngày với chi phí thấp nhất.
e) Trình bày chi tiết mỗi kế hoạch ở (c) và (d) trên 1 trang giấy
A3 biết: Dự án bắt đầu sáng thứ hai ngày 03/07/2023, mỗi tuần làm
việc 5 ngày (thứ hai đến thứ sáu), sáng từ 8 giờ đến 12 giờ và chiều từ
13 giờ đến 17 giờ.(phần này giáo viên sẽ hướng dẫn chi tiết)
Phần II (3,5 điểm)
Tìm hiểu cách sử dụng một trong các phần mềm Excel, Maple,
Matlab,…để giải bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán vận tải. Trình
bày cách giải, nhập số liệu, giải và in kết quả đối với các bài toán (đối
với bài 3, bài 4 phải lập mô hình toán học) sau:
Baøi 1 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính
(1) f (x )=6 x +14 x +36 x +23x 1 2 3 4 max
{x +2x +2x +4x ¿−8 1 2 3 4 x ¿−5 2 x +4 x +3 x ¿ 2 1 3 4 −3 x +4 x −18 x −10 x ¿ 4 (2) 1 2 3 4 (3) x ≥0 ≤0 ≤0 1 , x2 tùy ý, x3 , x4 Bài 2 Minimizing Cost
A manufacturer has two assembly plants, plant A and plant B, and
two distribution outlets, outlet I and outlet II. Plant A can assemble
5000 units of a product in a year and plant B can assemble 4000 units
of the same product in a year. Outlet I must have 3000 units per year
and outlet II must have 5000 units per year. The table shows the costs
of transportation from each plant to each outlet. Find the shipping
schedule that will produce the minimum cost. What is the minimum cost? Baøi 3
AMCHEM Chemical Company produces three products: A, B, and C.
Each product requires labor to produce it, and production of each
product creates pollutants.Bylawthe firm is not allowed to produce
more than the following pollutants per day: 210 pounds of sulfur
dioxide, 300 pounds of carbon monoxide, 160 pounds of hydrogen
sulfide, and 60 pounds of benzene. The total number of person-hours
of labor available per day is 6000. In addition, the total output per day
of products A and B combined cannot be more than the output of
product C. Each pound of product A generates a profit of $7, each
pound of B generates $9, and each pound of C generates $6. Pollutant
and labor rates per hundred pounds of product are given here.
a. Formulate this problem as a linear program to maximize daily profit.
b. Solve the problem using a computer. Bài 4
…………………………………………………………………………………
………………………………………………
Phần III (1,5 điểm)
CUỘC ĐỜI CỦA BẠN như thế nào là TỐI ƯU?
3.1) CUỘC ĐỜI CỦA BẠN như thế nào là TỐI ƯU?
Nếu bạn có được một đời Bình an-Hạnh phúc-Cân bằng-Viên
mãn là tối ưu chưa? Hay bạn cần phải Giàu sang-Thành đạt có đầy đủ
Của cải vật chất và Địa vị xã hội thì mới tối ưu? Hay bạn chỉ cần một
cuộc sống đạt ở mức cơ bản về vật chất-không mất nhiều thời gian
công sức học tập làm việc phục vụ cho nhu cầu vật chất- dành thời
gian và nguồn lực đời người để tạo dựng một đời sống thật khỏe mạnh
về thể chất, phong phú về tinh thần, thăng hoa tâm thức,…? Hãy suy
ngẫm về tính tương đối&tính tuyệt đối của hệ thống các giá trị trong
cộng đồng, xã hội, đời sống, nhân sinh,…
3.2) Bạn có những thiết kế/quy hoạch dài hạn, trung hạn, ngắn
hạn như thế nào và ước tính cách thực hiện ra sao để được một cuộc
đời tối ưu hoặc gần tối ưu? (khi quy hoạch/thiết kế cần chú ý đến các
giới hạn về mặt sinh học của chính bản thân bạn, các ràng buộc mối
quan hệ của bạn với gia đình, cộng đồng, các điều kiện tự nhiên-xã hội,…..)
Hãy nêu trả lời cơ bản ngắn gọn các câu hỏi trên trong một hoặc
vài trang giấy. Mỗi người có điều kiện, hoàn cảnh, trải nghiệm, nhân
sinh quan, thế giới quan,… khác nhau có thể trả lời khác nhau nhưng
phù hợp cho cùng một câu hỏi (nếu người trả lời yêu cầu giữ bí mật
các thông tin rieâng tư có trong câu trả lời thì giáo viên sẽ tuyệt đối thực hiện). ***
Caùc bạn SINH VIÊN thân mến,
Ñaây laø caâu hoûi môû về vấn đề quá rộng và còn rất nhiều bất
định nên không thể có câu trả lời xác định. Trong câu hỏi ẩn chứa
nhiều điều không tường minh. Tuy nhiên, giáo viên mong muốn hỏi
để học từ các bạn sinh viên và để các bạn sinh viên thực sự áp dụng
những kiến thức và kỹ năng đã học được vào trong công việc và
cuộc sống để thành công và hạnh phúc hơn. Khi trả lời các câu hỏi này
sẽ giúp người trả lời hiểu rõ hơn bản chất và ý nghĩa cuộc sống, có các
hoạch định/thiết kế và thực hiện các kế hoạch tương lai tốt hơn nhờ đó
tăng khả năng thành công, thích ứng tốt hơn và vững vàng hơn với
các khó khăn và biến động trong đời sống xã hội, từ đó giúp bạn có
được một đời sống sáng tạo-phong phú-biến đổi tiến triển-đầy thú
vị- cân bằng-viên mãn.
Giáo viên tin vaø uûng hoä quan ñieåm: “Ngöôøi hoïc thaät
nhieàu kieán thöùc maø khoâng bieát öùng duïng gì cho cuoäc soáng
ñöôïc haïnh phuùc thì gioáng nhö con löøa thoà saùch”.
Chúc Bạn và Gia đình KHỎE MẠNH-BÌNH AN-HẠNH PHÚC! Ngô Hữu Tâm
……………………………………………………………………
……………………………
Có thể tìm trên Internet (nên làm theo cách này) hay tham khảo các tài liệu sau: [1] Nguyễn Đình ,
Tê EXCELL XP quyển 2, nhà xuất bản Lao động Xã hội – 2007.
[2] Trần Trí Dũng, EXCELL Solver cho kỹ sư, NXB Khoa học Kỹ thuật – 2005.
[3]Phạm Minh Hoàng, MAPLE &các bài toán ứng dụng, NXB
Khoa học Kỹ thuật–2005.
[4] Phạm Trí Cao, Tối Ưu hóa Ứng dụng, NXB Lao động Xã hội -2014.
Một số yêu cầu đối với bài thu hoạch:
Bài làm được đánh máy trên giấy A4, các hình vẽ thì vẽ bằng tay
hay vẽ bằng máy cũng được miễn sao đạt yêu cầu rõ ràng chính
xác. (kỹ năng vẽ bằng máy hiện chưa cần nên vẽ tay thì tốt hơn)
Ghi đầy đủ họ tên, mã số sinh viên các thành viên trong nhóm và
ít nhất một số điện thoại để liên lạc khi cần. Tự nhận xét và đánh
giá nhóm của các bạn.
Thời gian nộp bài: Từ 27/4/2023 đến 4/5/2023. Nộp lại đề bài
này chung với bài làm– Đề bài ghép chung ngay trước phần bài
làm (không nhận bài nộp mà không có đề). Mục tiêu đánh giá
Phần I Sử dụng sơ đồ PERT-CPM để: Lập kế hoạch cho dự án có
thời gian ngẫu nhiên và biết cách sử dụng thời gian dữ trữ các công
việc không găng để điều chỉnh tối ưu kế hoạch sao cho thuận tiện
trong việc thực hiện và quản lý (câu a&b). Điều chỉnh tối ưu hóa về
mặt tài chính với quy định thời gian cho trước (câu c). Khắc phục sự
cố dự án sao cho tối ưu hóa về mặt tài chính với thời gian quy định
cho trước (câu d). Biết cách lập kế hoạch ngắn gọn chi tiết triển khai
thực hiện kế hoạch dự án với thời gian thực (câu e).
Phần II Nhận dạng được bài toán thực tế dưới dạng ngôn ngữ
thông thường (tiếng Việt hoặc tiếng Anh), lập được mô hình toán học,
sử dụng máy tính và phần mềm thích hợp để giải tìm lời giải tối ưu rồi
suy ra kết quả bài toán thực tế.
Phần III Hoạch định cuộc đời bạn phù hợp nhất/tốt nhất với các
điều kiện/ràng buộc của chính bạn, luôn vững vàng và an lạc trước
vạn biến/vô thường của cuộc đời. Hết Bài Làm PHẦN I:
Câu 1: a) Kỳ vọng và phương sai cho các đại lượng ngẫu nhiên biểu
thị thời gian hoàn thành công việc
E(T)= a+4m+b , Var(T)=(b−a)2=σ2 6 6 Công a m b E(T) V(T) Thứ tự việc (ngày) (ngày) (ngày) tiến hành A 2 3 4 3 1 Bắt đầu ngay 9 B 2 2,5 3,5 2,625 1 Bắt đầu ngay 16 C 1,5 2,5 7 3,125 121 Bắt đầu ngay 144 Sau A hoành D 6 6,5 10 7 4 9 thành E 4 6 8 6 4 Sau B,C,D 9 Sau A hoành F 6 7,5 10 7,75 4 9 thành G 2,5 3,5 5,5 3,75 1 Sau E,F,G,H 4 H 1,5 2 2,5 2 1 Sau C 36 I 3 5,5 6 5,125 1 Sau C 4 J 3 3,5 7 4 4 Sau E,F,G,H 9 K 6 6,5 10 7 4 Sau E,F 9 L 3,5 5,5 6 5,25 25 Sau E,F 144 M 4 5 6 5 1 Sau B,D,H 9 N 5 6 7 6 1 Sau J,K,M 9 O 2 2,5 3 2,5 1 Sau B,D,H 36
Dựa vào bảng trên ta vẽ sơ đồ Pert 1: Câu b)
Thời gian trung bình hoàn thành dự án E(T) = 29
Phương sai: Var(T) = 1 + 4 + 4 + 4 + 1 = 14 9 9 9 9 9 9
Độ lệch chuẩn: σ (T) = √14 = 1,25 9
Xác suất dự án hoành thành trong thời gian không quá 30 ngày: P(T −
≤ 30) = Ф(30 29 )+¿Ф( 29 ) = 0,288 + 0,5 = 0,788 = 78,88% 1,25 1,25 Công ks hs km hm c dl Việc t t t t d d ij ij ij ij ij ij A(1;2) 0 3 0 3 0 0 B(1;4) 0 2,625 7,375 10 7,375 7,375 C(1;3) 0 3,125 6,875 10 6,875 0 D(2;4) 3 10 3 10 0 0 E(4;5) 10 16 10 16 0 0 F(2;5) 3 10,75 8,25 16 5,25 5,25 G(4;7) 10 13,75 15,25 19 5,25 2,25 H(3;6) 3,125 5,125 16 18 12,875 0 I(3;9) 3,125 8,375 23,75 29 20,625 13,75 J(7;8) 16 20 19 23 3 0 K(5;8) 16 23 16 23 0 0 L(5;9) 16 21,25 23,75 29 7,75 7,75 M(6;8) 10 15 18 23 8 0 N(8;9) 23 29 23 29 0 0 O(6;9) 10 12,5 26,5 29 16,5 8,5
Với điều kiện công việc H và I không thể thực hiện cùng một thời
điểm và 4 công việc không thể thực hiện cùng một lúc. Dựa vào bảng
trên ta vẽ được sơ đồ Pert ngang 1: Câu c)
Theo đề bài ta có bảng chi phí cho việc rút ngắn thời gian hoàn
thành từng công việc găng như bảng sau ( đơn vị: Triệu đồng/ngày )
Chi phí rút ngắn ngày thứ Công việc
Chi phí rút ngắn ngày thứ hai nhất A 35 75 D 47 99 E 31 67 K 31 67 N 35 75
Để rút ngắn thời gian trung bình hoàn thành dự án không quá 25
ngày với chi phí thấp nhất ta nên tiến hành như sau:
- Công việc trên đường găng có chi phí thấp nhất là E ( 31 triệu/ngày )
và K( 31 triệu/ngày). Ta rút E xuống còn 5 ngày ( rút 1 ngày ). Tính lại
tất cả chỉ tiêu trên đỉnh ta được sơ đồ pert 2.
- Công việc trên đường găng có chi phí thấp nhất là K( 31 triệu/ngày ).
Ta rút K xuống còn 6 ngày (rút 1 ngày). Tính lại tất cả chỉ tiêu trên
đỉnh ta được sơ đồ pert 3.
- Công việc trên đường găng có chi phí thấp nhất là A ( 35 triệu/ngày )
và N ( 35 triệu/ngày ). Ta rút A xuống còn 2 ngày ( rút 1 ngày ). Tính
lại tất cả chỉ tiêu trên đỉnh ta được sơ đồ pert 4.
- Công việc trên đường găng có chi phí thấp nhất là N( 35 triệu/ngày ).
Ta rút N xuống còn 5 ngày ( rút 1 ngày ). Tính lại tất cả chỉ tiêu trên
đỉnh ta được sơ đồ pert 5.
=> Vậy chi phí tăng thêm là: 31 + 31 + 35 + 35 = 132 triệu
Ta có bảng chỉ tiêu thời gian cho các công việc mới như sau: Công việc t ks hs km ij tij tij t hm ij i d cj i d đe j A (1;3) 0 2 0 2 0 0 B (1;4) 0 2.625 6.375 9 6.375 6.375 C (1;2) 0 3.125 5.875 9 5.875 0 D (3;4) 2 9 2 9 0 0 E (4;5) 9 14 9 14 0 0 F (3;5) 2 9.75 6.25 14 4.25 4.25 G (4;7) 9 12.75 12.25 16 3.25 1.25 H (2;6) 3.125 5.125 13 15 9.875 0 I (2;9) 3.125 8.25 19.875 25 16.75 10.875 J (7;8) 14 18 16 20 2 0 K (5;8) 14 20 14 20 0 0 M (6;8) 9 14 15 20 6 0 N (8;9) 20 25 20 25 0 0 O (6;9) 9 11.5 22.5 25 13.5 7.5 L (5;9) 14 19.25 19.75 25 5.75 5.75
Dựa vào bảng trên ta có sơ đồ pert ngang 2:
Câu d) Dự án đang thực hiện theo kế hoạch như câu c) thì bị sự cố vào
đầu ngày thứ 5 làm gián đoạn 1 ngày, ảnh hưởng đến các công việc D,
F, H, I. Nên ta điều chỉnh bằng cách tăng thêm 1 ngày làm việc cho các công việc này Ta được sơ đồ pert 6
Vì phải đảm bảo thời gian trung bình hoàn thành dự án không
quá 25 ngày, ta rút D xuống còn 7 ngày ( rút 1 ngày ). Tính lại tất cả
các chỉ tiêu trên đỉnh ta được sơ đồ pert 7
Lập bảng chỉ tiêu thời gian mới: Công việc t ks hs km ij tij tij t hm ij i d cj A (1;3) 0 2 0 2 0 B (1;4) 0 2.625 7.375 10 7.375 C (1;2) 0 3.125 6.875 10 6.875 D (3;4) 2 10 2 10 0 E (4;5) 10 14 10 14 0 F (3;5) 2 10.75 5.25 14 3.25 G (4;7) 10 13.75 12.25 16 2.25 H (2;6) 3.125 6.125 12 15 8.875 I (2;9) 3.125 9.125 18.875 25 15.75 J (7;8) 14 18 16 20 2 K (5;8) 14 20 14 20 0 L (5;9) 14 19.25 19.75 25 5.75 M (6;8) 10 15 15 20 5 N (8;9) 20 25 20 25 0 O (6;9) 10 12.5 22.5 25 12.5
Ta được sơ đồ pert ngang 3 PHẦN II Câu 1:
Đặt x2=x5-x6 với x5 >= 0 và x6 >= 0
Tiếp đó ta nhập các dữ liệu vào bảng Excel thì được như sau:
Trên thanh công cụ của Excel, bấm chọn Data Solver, ta có
được bảng tính như sau:
Ô set objective là ô tính kết quả của hàm mục tiêu Bấm chọn ô $G$3
Vì hàm mục tiêu tiến đến Max Chọn ô Max
Tiếp theo, tại ô By Changing Variable Cells là những ô chứa x
thay đổi, nên ta chọn hàng phương án Chọn ô $B$2:$F$2
Biểu diễn ràng buộc tại ô Subject to the Constraints. Chọn Add
sau đó nhập ràng buộc như sau: $B$2 >= 0 $C$2 >= 0 $D$2 >= 0 $E$2 <= 0 $F$2 <= 0 $G$5 <= $H$5 $G$6 <= $H$6 $G$7 <= $H$7 $G$8 <= $H$8
Sau đó tại mục Select a Solving Method Chọn ô Simplex LP
để giải bài toán tương ứng với thuật toán đơn hình
Cuối cùng ta nhấn Solver để giải thì được kết quả như sau:
Vậy bài toán đã cho có phương án tối ưu (x1,x2,x3,x4)=(2,-5,0,0) và Fmax= -58 Câu 2:
Từ dữ liệu đề bài, ta tổng quát được số liệu của bài toán qua bảng sau:
Gọi x11, x12 là số sản phẩm nhà máy A cần phân phối cho các cửa hàng 1, 2
Gọi x21, x22 là số sản phẩm nhà máy B cần phân phối cho các cửa hàng 1, 2
Khi đó ta có hàm mục tiêu f=4x11+5x12+5x21+6x22 min
Ta đưa các dữ liệu cần thiết vào Excel và chọn Data Solver thì được như hình sau
Ô Set Objective là là ô tính kết quả của hàm mục tiêu Bấm chọn $B$12
Vì để chi phí vận chuyển là thấp nhất nên ta chọn ô Min
Tiếp theo, tại ô By Changing Variable Cells là những ô chứa các
giá trị thay đổi, nên ta chọn hàng phương án $D$10:$E$11
Biểu diễn ràng buộc tại ô Subject to the Constraints. Chọn Add
sau đó nhập ràng buộc như sau: $C$14 <= $D$14 $C$15 <= $D$15 $C$16 = $D$16 $C$17 = $D$17 $D$10:$E$11 >= 0 $D$10:$E$11 = integer
Sau đó tại mục Select a Solving Method Chọn ô GRG
Nonlinear để giải bài toán
Cuối cùng ta nhấn Solver để giải thì được kết quả như sau:
Vậy ta có thể kết luận được để có thể giảm thiểu chi phí vận
chuyển thì công ty A sẽ phải phân phối 3000 sản phẩm đến cho cửa
hàng 1, 2000 sản phẩm đến cho cửa hàng 2. Công ty B sẽ phân phối
3000 sản phẩm đến cho cửa hàng 2
Chi phí tối thiểu khi đó là 40000$ Câu 3
Gọi x1, x2, x3 lần lượt là khối lượng 3 sản phẩm A, B, C mà công ty
hóa học sản xuất trong 1 ngày
Tổng lợi nhuận lớn nhất: fmax= 7x1 + 9x2 + 6x3 max
Lượng chất lưu huỳnh dioxit thải ra khi sản xuất 3 chất A, B, C :
0,1x1 + 0,05x2 + 0,2x3 ≤ 210 (pounds)
Lượng khí cacbonic thải ra khi sản xuất 3 sản phẩm A, B, C:
0,18x1 + 0,04x2 + 0,03x3 ≤ 300 (pounds)
Lượng hydro sunfua thải ra khi sản xuất 3 sản phẩm A, B, C:
0,25x1 + 0,15x2 + 0,02x3 ≤ 160 (pounds)
Lượng benzen thải ra khi sản xuất 3 sản phẩm A, B, C:
0,01x1 + 0,06x2 + 0,04x3≤ 60 (pounds)
Lượng giờ nhân công nhà máy dùng để sản xuất 3 sản phẩm A, B, C:
3x1 + 2x2 + 4,5x3 ≤6000 (giờ )
Tổng sản lượng chất A, B sản xuất ra trong 1 ngày không lớn hơn sản lượng chất C: x1 + x2 – x3 ≤ 0
Lượng sản phẩm được sản xuất ra phải không âm: x1≥0, x2 ≥0 ,x3 ≥0 Tóm lại: (1) F(x)= 7x1 + 9x2 + 6x3 max 0,1x1 + 0,05x2 + 0,2x3 ≤ 210
0,18x1 + 0,04x2 + 0,03x3 ≤ 300
(2) 0,25x1 + 0,15x2 + 0,02x3 ≤ 160 0,01x1 + 0,06x2 + 0,04x3≤ 60 3x1 + 2x2 + 4,5x3 ≤6000 x1 + x2 – x3 ≤ 0 (3) x1≥0, x2 ≥0 ,x3 ≥0