



















Preview text:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1
CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC A. PHẦN NỘI DUNG
Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số Bài 1: Cho 1 1 1 1 A =1+ + + +…+
. Chứng tỏ rằng: 50 < A <100 100 2 3 4 2 −1
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 = + + + + +…+ + + +…+ +…+ + +…+ 2 3 90 93 100 2 3 2 5 7 2 9 15 2 2 1 2 1 + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < + + + + + + +…+ + +…+ 2 2 2 2 90 99 99 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 99 1 =1+ 2⋅ + 4⋅ +…+ 2 ⋅
=1+1+…+1 (Có 100 số hạng 1) 2 99 2 2 2 =100 A <100 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A =1+ + + + +…+ + +…+ + ...+ + +…+ − 2 3 4 90 90 100 100 2 3 2 5 2 9 2 2 +1 2 + 2 2 2 1 1 1 1 >1+ + +…+ − (Có 100 số hạng 1 ) 100 2 2 2 2 2 1 1 100 1 = ⋅ + − > 1 50 (Vì 1− > 0 ) 100 2 2 100 2 A > 50.
Vậy 100 > A > 50 . Bài 2: Cho tổng : 1 1 1 S = + +...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < . 31 32 60 5 5
Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Lời giải Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... ... ... = + + + + + + + + + + + 31 32 40 41 42 50 51 52 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... ... ... < + + + + + + + + + + + 30 30 30 40 40 40 50 50 50 hay 10 10 10 S < + + 30 40 50 từc là: 47 48 S < < Vậy 4 S < (1) 60 60 5 Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... ... ... > + + + + + + + + + + + 40 40 40 50 50 50 60 60 60 10 10 10 S > + + tức là : 37 36 S > > 40 50 60 60 60 Vậy 3 S > ( 2 ). 5 Từ (1) và ( 2 ) suy ra : 3 4 < S < đpcm. 5 5
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Bài 3: Cho 1 2 3 A = + + +… . 11 … + . Chứng minh rằng 1 A < . 2 3 4 12 5 5 5 5 16
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 Lời giải Ta có: 1 2 3 A = + + +… . 11 … + . 2 3 4 12 5 5 5 5 1 2 3 11 5A = + + + . …… + . 1 2 3 11 5 5 5 5 5 1 2 3 11 1 2 3 11 A − A = + + + . …… + − − − − . …… − . 1 2 3 11 2 3 4 12 5 5 5 5 5 5 5 5 1 2 4A = + + . 1 11 …… + − . 2 11 12 5 5 5 5 11 4A = B − . 12 5 1 1 B = + + . 1 …… + 2 11 5 5 5 1 1 5 1 B =1+ + . …… + 2 10 5 5 5 1 1 1 1 1 1
5B − B =1+ + … . … + − − − . …… − 2 10 2 11 5 5 5 5 5 5 11 1 5 −1 4B =1− = 11 11 5 5 11 5 1 B − = 11 4.5 11 12 12
11 5 1 11 5 − 5 − 44 5 − 49 A = B − 4 − = − = = 12 11 12 12 12 5 4.5 5 4.5 4.5 12 12 5 49 1 5 − 49 1 49 1 A − = = . = .1− < 12 12 12 4.4.5 16 5 16 5 16 Vậy 1 A < . 16 Bài 4: 1 2 3 4 M = + + + và 2 3 4 5 6 N = + + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
So sánh M và N .
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 1 2 3 4 M = + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 3 6 9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 30 ⇒ 3M = + + + = 1− + − + − + − = 1− = 1.4 4.10 10.19 19.31 4 4 10 10 19 19 31 31 31 10 20 ⇒ M = = 31 62 2 3 4 5 6 N = + + + + 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ 2N = + + + + = 1− + − + − + − + − 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 5 5 11 11 19 19 29 29 41 1 40 ⇒ 2N = 1− = 41 41 20 ⇒ N = 41 Vì 20 20 < nên M < N 62 41 Vậy M < N
Bài 5: So sánh tổng 1 2 3 n 2007 S = + + +.....+ +......+ với 2. (n∈*) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải + +
Với mọi n ≥ 2, ta có: n n 1 n 2 = − .Từ đó ta có: n n 1 2 2 + 2n 1 3 4 4 5 2008 2009 2009 S = + − + − + .....+ − = 2 − < 2 . Vậy S < 2 2 2 3 2006 2007 2007 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 6: Cho 2 3 2001 2002 2003
A =1+ 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 ; B = 2
So sánh A và B
Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020 Lời giải Có 2 3 2002 2003
2A = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 + 2 2003 ⇒ 2A − A = 2 −1
⇒ A = B −1 ⇒ A < B Bài 7: Cho 2 3 4 71 72 P =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + … + 2012 + 2012 và 73 Q = 2012 −1.
So sánh P và Q .
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có : 2 3 4 71 72 73
2012.P = 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + … + 2012 + 2012 + 2012 Xét: 73
2012.P – P = 2012 – 1 73
2011.P = 2012 – 1 mà 73
Q = 2012 − 1 nên 2011.P = Q . Vậy Q > P (vì P > 0 ) Bài 8: Cho tổng 2 4 6 2008
A = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 .
So sánh giá trị biểu thức: 2010
B = 8A − 3 với 1
− . Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 2 4 6 2008
A = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 2 4 6 8 2010
9A = 3 + 3 + 3 + 3 +… + 3 2010 9A − A = 3 − 1 2010 8A = 3 − 1 2010 8A - 3 = 1 Mà 2010 B = 8A − 3 . Vậy B = 1. −
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 4 2016 2017 Bài 9: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = . 2017 10 +1 2018 10 +1
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Lời giải
Nhân hai vế của A và B với 10 ta có: 2017 2017 10 10 10 1 9 9 10. A + + + = = = 1+ 2017 2017 2017 10 +1 10 +1 10 +1 2018 2018 10 10 10 1 9 9 10.B + + + = = = 1+ 2018 2018 2018 10 +1 10 +1 10 +1 Vì 2017 2018 10 <10 nên 9 9 > . 2017 2018 10 +1 10 +1 Vậy A > . B Bài 10: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + +...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 M = + + + + 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M . = − + − + − + − + −
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16 1 1 1 15 15 M = .1− = . = 3 16 3 16 48 Lại có: 1 16 = 3 48 Vì 16 >15 do đó 16 15 > hay 1 M < 48 48 3 Vậy 1 M < 3 2 Bài 11: Cho 3 8 15 2023 −1 A = + + + ...+
. Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự 2 2 2 2 2 3 4 2023 nhiên.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 Lời giải 2 Ta có 3 8 15 2023 −1 A = + + + ...+ 2 2 2 2 2 3 4 2023 2 2 2 2 2 1 3 1 4 1 2023 −1 A − − − = + + + ...+ 2 2 2 2 2 3 4 2023 1 1 1 1 A =1− +1− +1− +...+1− 2 2 2 2 2 3 4 2023 1 1 1 1 A 2022 ... = − + + + + 2 2 2 2 2 3 4 2023
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 Mà 1 1 1 1 + + +...+
> 0 ⇒ A < 2022 (1) 2 2 2 2 2 3 4 2023 Đặt 1 1 1 1 B = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4 2023 Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < = − ; < = − ; < = − ; .. ; 2 2 2 2 1.2 1 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 1 1 1 1 < = − 2 2023 2022.2023 2022 2023 1 1 1 1 ⇒ + + +...+ < 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + ... + − 2 2 2 2 2 3 4 2023 1 2 2 3 3 4 2022 2023 ⇒ 1 B <1− mà 1 1− <1 ⇒ B <1 2023 2023
⇒ 2022 – B > 2022 –1 ⇒ A > 2021 (1)
Từ (1) và (2) ⇒ 2021< A < 2022 ⇒ Giá trị của A không là số tự nhiên. 1 2 1 1 Bài 12: Cho S = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4
2022 . Chứng tỏ rằng S không là số tự nhiên.
Trích đề HSG huyện Yên Mỹ năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1 1 1 S < + + +...+ =1− <1 1.2 2.3 3.4 2021.2022 2022
Mà S > 0 nên ta có 0 < S <1
Vậy, S không phải số tự nhiên. Bài 13: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + + ...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 M = + + + + 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M . = − + − + − + − + −
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16 1 1 1 15 15 M = .1− = . = 3 16 3 16 48 Lại có: 1 16 = 3 48 Vì 16 >15 do đó 16 15 > hay 1 M < 48 48 3 Vậy 1 M < 3 Bài 14: Cho 1 2 3 69 S = + + +...+ .Chứng tỏ 1 S < 2 3 4 70 7 7 7 7 36
Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2021-2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 Lời giải 1 2 3 69 7S = + + +...+ 2 3 69 7 7 7 7 1 1 1 1 69
6S = 7S − S = + + +...+ − 2 3 69 70 7 7 7 7 7 1 1 1 69 42S =1+ + +...+ − 2 68 69 7 7 7 7 70 69
36S = 42S − 6S =1− + 69 70 7 7 Vì 70 69 1 >
⇒ 36S <1⇒ S < 69 70 7 7 36
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1:Cho 1 1 1 1 A = + + +...+ Chứng minh rằng: 4 5 < A < 11 12 13 70 3 2
Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Lời giải
Thấy rằng tổng A có 60 số hạng TH1: Ta chứng minh 4
A > bằng cách nhóm hai số một ngoặc thông thường 3 Ta có: 1 1 1 1 1 1 81 81 81 A = + + + + ...+ + = + + ...+ 11 70 12 69 40 41 11.70 12.69 40.41
30 sè h¹ng 30 ngoÆc 81 81 81 81.30 243 240 240 4 A > + +...+ = = > > = 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3 TH2: Chứng minh 5 A < 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... ... ... ... ... ... = + + + + + + + + + + + + + + + + + 11 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... ... ... ... ... ... < + + + + + + + + + + + + + + + + 11 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 A < + + + + + <1+ + + + + 11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6 = 1 1 1 1 1 1 + + + + + 5 = 2 + 0,5 = 2 3 6 4 5 2 Vậy 4 5 < A < . 3 2 Bài 2:Cho 2 3 98 99 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +.....+ 4 + 4 , B = 4 Chứng minh rằng: B A < . 3
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Ta có: A = ( 2 3 4 98 99 4
4. 1+ 4 + 4 + 4 + 4 +.....4 + 4 ) 2 3 4 98 99 100
= 4 + 4 + 4 + 4 +.....4 + 4 + 4 100 Suy ra 100
4A − A = 4 −1 suy ra 4 1 A − = 3 100 100 Vì 100 100 4 − −1< 4 suy ra 4 1 4 < 3 3
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 7 Vậy B A < 3 Bài 3:Tính tổng 6 6 6 6 S = + + + ......+
và chứng tỏ S <1 2.5 5.8 8.11 29.32
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019 Lời giải 3 3 3 S 2. ..... = + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 30 = 2. − + − + .....+ − = 2. − = < 1 2.5 5.8 29.32 2 5 5 8 29 32 2 32 32 suy ra S <1
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 +...+ 1 < 1. 2 2 2 3 2 4 2 100
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có 1 < 1 =1- 1 2 2 2.1 1 2 1 < 1 = 1 -1 2 3 2.3 2 3 … 1 < 1 = 1 - 1 2 100 99.100 99 100
⇒ 1 + 1 +...+ 1 <1- 1 + 1 - 1 + ...+ 1 - 1 = 1- 1 <1 2 2 2 3 2 100 1 2 2 3 99 100 100
Vậy 1 + 1 + 1 +...+ 1 < 1 2 2 2 3 2 4 2 100
Bài 5: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +...+ = + + + +...+ . 28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 + + +...+ 1.4 3.8 5.12 25.52 1 1 1 1 1 ... = + + + + 2 1.2 3.4 5.6 25.26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... = − + − + − + + − 2 2 3 4 5 6 25 26 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + +...+ − + + + ... + 2 3 5 25 2 4 6 26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + +...+ + − 2 + + + ... + 2 2 3 4 5 25 26 2 4 6 26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + +...+ + − 1+ + +... + 2 2 3 4 5 25 26 2 3 13 1 1 1 1 ... = + + + 2 14 15 26
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 8 1 1 1 1 1 = + + + +...+ 28 30 32 34 52 Bài 6: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 . 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2012-2022 Lời giải Ta có: 457 456 455 1 A = +1+ +1+ +1+…+ +1− 457 1 2 3 457 458 458 458 A = 458 + +....+ + − 457 2 456 457 1 1 A 458 1 ... = + + + − 457 2 457 Nhận xét: 1=1 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + > +...+ = 5 6 7 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 + +...+ > +...+ = 9 10 16 16 16 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 17 32 32 32 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 33 64 64 64 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 65 128 128 128 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 129 256 256 256 2 1 1 1 1 201 +...+ > +...+ = ≈ 0,4 257 457 457 457 457 1 1 1 1 1+ +...+ + >1+ .8 + 0,4 = 5,4 2 456 457 2
A > 458.5,4 − 457 = 2016,2 A > 2016 Bài 7: Cho 1 2 3 100 A = + + +…+ . Chứng tỏ rằng 3 A < . 2 3 100 3 3 3 3 4
Trích đề HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022 Lời giải Ta có: 1 2 3 100 A = + + +…+ 2 3 100 3 3 3 3 2 3 4 100 3A =1+ + + +...+ 2 3 99 3 3 3 3
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9 2 1 3 2 4 3 100 99 100 3A − A =1+ − + − + − + ...+ − − 2 2 3 3 99 99 100 3 3 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100 2A =1+ + + + +...+ − . 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 Đặt 1 1 1 1 1 B = + + + +...+ 2 3 4 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3B =1+ + + + ... + + 2 3 98 3 3 3 3 1 3B − B =1− 99 3 1 2B =1− 99 3 1 1 B = − . 99 2 2.3 Như vậy: 100 1 1 100 3 2A =1+ B − =1+ − − > 100 99 100 3 2 2.3 3 2 3
A > . Điều phải chứng minh. 4 Bài 8: Cho tổng : 1 1 1 S = + + ...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < 31 32 60 5 5
Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... ... ... = + + + + + + + + + + + 31 32 40 41 42 50 51 52 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... ... ... < + + + + + + + + + + + 30 30 30 40 40 40 50 50 50 hay 10 10 10 S < + + từc là: 47 48 S < < Vậy 4 S < (1) 30 40 50 60 60 5 Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... ... ... > + + + + + + + + + + + 40 40 40 50 50 50 60 60 60 10 10 10 S > + + tức là : 37 36 S > > Vậy 3 S > ( 2 ). 40 50 60 60 60 5
Từ (1) và ( 2 ) suy ra đpcm.
Bài 9: Cho A = 1 1 1 1 + + ...+
. Chøng minh rằng: A < 2 . 2 2 2 2 1 2 3 50
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 Lời giải Ta có 1 1 1 1 < = − 2 2 1.2 1 2 1 1 1 1 < = − 2 3 2.3 2 3 ….. 1 1 1 1 < = − 2 50 49.50 49 50
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 10 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1
A < + − + − +...+ − = 2 − < 2 1 1 2 2 3 49 50 50 Bài 10: Cho 1 1 1 1 A = + + + ....+ . 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 Chứng minh 3 A < 4
Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + + ....+ 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 1 1 1 1 A = ( + ) + ( + ) + ( + ) +.....+ 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 (1+ 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + .....+ = + + + ....+ 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1 1 1 1 A ...... < + + + + 2.2 2.3 3.4 1008.1009 1 1 1 1 1 1 1 A ..... < + − + − + + − 4 2 3 3 4 1008 1009 1 1 1 1 1 3 A < + − ⇒
A < + ⇒ A < 4 2 1009 4 2 4 Bài 11: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 457 456 455 1 A = +1+ +1+ +1+…+ +1− 457 1 2 3 457 458 458 458 A = 458 + + ....+ + − 457 2 456 457 1 1 A = 458(1+ +...+ ) − 457 2 457 Nhận xét: 1 = 1 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + > + ...+ = 5 6 7 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 + + ...+ > + ...+ = 9 10 16 16 16 2 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 17 32 32 32 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 11 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 33 64 64 64 2 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 65 128 128 128 2 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 129 256 256 256 2 1 1 1 1 201 + ...+ > + ...+ = ≈ 0,4 257 457 457 457 457 1 1 1 1 1+ +...+ + > 1+ .8 + 0,4 = 5,4 2 456 457 2
A > 458.5,4 − 457 = 2016,2 A > 2016 Bài 12: Cho 1 1 1 1 1 1 S = + + + +.....+ + .Chứng tỏ S <1 2 3 4 2012 2013 2 2 2 2 2 2
Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải 1 1 1 1 1 2S = 1+ + + + ....+ + 2 3 2011 2012 2 2 2 2 2 1
2S − S = S = 1− < 1 2013 2
Bài 13: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + .... + < 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 2019-2020 Lời giải Ta có: 1 1 1 < − 2 2 1 2 1 1 1 < − 2 3 2 3 1 1 1 < − 2 4 3 4 ………… 1 1 1 < − 2 100 99 100 1 1 1 1 1 99 ⇒ + + + .... + < 1− = < 1 2 2 2 2 2 3 4 100 100 100
Bài 14: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +......+ <1. 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 20…-20…
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 12 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 A = + + +......+ < + +.....+ = B 2 2 2 2 2 3 4 100 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 B = − + − +.....+ − =1− < 1. 1 2 2 3 99 100 100 Vậy A <1.
Bài 15: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 + + + ...+ < . 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 4
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + + ...+ 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 1 1 1 1 A = + + +...+ 2 2 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = + + + ...+ < + + + 2 2 2 2 4 2 3 4
n 4 1.2 2.3 3.4 (n −1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A < − + − + − + ...+ − 4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n − 1 1 1 A < 1− < (ĐPCM) 4 n 4 Bài 16: Cho 1 1 1 1 1 M = + + +...+ + . Chứng minh rằng 7 M > . 101 102 103 199 200 12
Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 M ... ... = + + + + + + + + +
(Mỗi nhóm có 50 số hạng). 101 102 149 150 151 152 199 200 1 1 1 1 1 1 1 1 M ... ... > + + + + + + + + + 150 150 150 150 200 200 200 200 1 1 1 1 7 M > 50. + 50. = + = . 150 200 3 4 12 Vậy 7 M > . 12
Bài 17: Cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤1chứng minh rằng: a + b + c ≤ 2
bc +1 ac +1 ab +1
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022 Lời giải
Vì 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 nên:(a − ) 1 (b − )
1 ≥ 0 ⇔ ab +1≥ a + b a a b b Tương tự: ≤ (2) ; ≤ (3)
bc +1 b + c
ac +1 a + c a b c a b c Do đó: + + ≤ + + (4)
bc +1 ac +1 ab +1 b + c a + c a + b
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 13 a b c 2a 2b 2c
2(a + b + c) Mà + + ≤ + + = = 2 (5)
b + c a + c a + b a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c
Từ (4) và (5) suy ra: a + b + c ≤ 2 (đpcm)
bc +1 ac +1 ab +1
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1: Giá trị của x để A = (x + )2
7 + 2022 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. 7 − . B. 7 . C. 2022 . D. 2022 − .
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022 Lời giải Đáp án: A. 7 − .
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n − 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 6n − 3 3 6 M = = +
4n − 6 2 4n − 6
Vì 6 có tử 6 > 0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n − 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất với n là 4n − 6 số tự nhiên.
Do đó 4n − 6 = 2 nên 4n = 8 suy ra n = 2 . Khi đó 3 6 M = + 9 = 2 2 2
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 khi n = 2 . 2
Bài 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = x − y + x +1 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trích đề HSG huyện Diễn Châu năm 2015-2016 Lời giải Vì x − y
≥ 0 với mọi x, y ; và x +1 ≥ 0 với mọi x .
A = x − y + x +1 + 2016 ≥ 2016 với mọi x, y . x − y = 0 x = 1 −
A đạt giá trị nhỏ nhất khi hay x +1 = 0 y = 1 −
Vậy với x = y = − 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016 . −
Bài 4: Cho phân số 3n 8 . Tìm n∈ để A có giá trị nhỏ nhất. 6n + 4
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Lời giải 3n −8 +
nhỏ nhất khi 6n 4 lớn nhất. 6n + 4 3n −8 Ta có:
6n + 4 6n −16 + 20 = 20 = 2 + lớn nhất khi: 3n −8 3n −8 3n −8
3n −8 > 0 và 3n −8 nhỏ nhất
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 14 8
n > và n nhỏ nhất, n∈ nên n = 3. 3
Vậy n = 3 để A có giá trị nhỏ nhất. −
Bài 5: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2021 - 2022 Lời giải − Ta có 6n 3 3 6 M = = +
4n − 6 2 4n − 6
Vì phân số 6 có tử là số dương nên M đạt giá trị lớn nhất khi 4n – 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất 4n − 6 với n là số nguyên.
Ta có 4n – 6 = 2 khi đó 4n = 8 suy ra n = 2 . Ta có M = 3 6 9 + = 2 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4,5 khi n = 2 . + Bài 6: Cho phân số n 1 A = (n∈) n − 3
a) Tìm n để A là phân số
b) Tìm n để A là phân số tối giản
c) Tìm n để A có giá trị lớn nhất
Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019 Lời giải
a) A là phân số khi n − 3 ≠ 0 ⇒ n ≠ 3
b) Để A là phân số tối giản thì ¦ CLN (n +1,n − 3) =1
Hay ¦ CLN((n −3) + 4;n −3) =1
Vì 42 ( 2 là ước nguyên tố)
Nên để ¦ CLN ((n −3) + 4;n −3) =1thì n −3 không chia hết cho 2
Suy ra n − 3 = 2k +1( k là số nguyên) Hay n là số chẵn. + − + c) Ta có: n 1 n 3 4 4 A = = =1+ n − 3 n − 3 n − 3
Với n > 3thì 4 > 0, Với n < 3thì 4 < 0 n − 3 n − 3
Để A có giá trị lớn nhất thì n −3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất.
Do đó n − 3 =1 hay n = 4 . −
Bài 7: Với giá trị nào của số tự nhiên a a thì 5
17 có giá trị lớn nhất. 4a − 23
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải 5a −17 20a − 68 5(4a − 23) + 47 5 47 = = = +
4a − 23 4(4a − 23) 4(4a − 23) 4 4(4a − 23)
Như vậy bài toán đưa về tìm số tự nhiên a để 4a − 23là số tự nhiên nhỏ nhất − Vậy 5a 17 a = 6 ⇒ =13 4a − 23
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 15 −
Bài 8: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Tân Kỳ năm 2021 -2022 Lời giải − Ta có: 6n 3 3 6 M = = + .
4n − 6 2 4n − 6
Vì 6 có tử 6 > 0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n − 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất với 4n − 6
n là số tự nhiên.
Với 4n − 6 =1 ta có: 4n = 7 nên 7 n = ∉ (loại). 4
Do đó 4n − 6 = 2 ta có 4n = 8 nên n = 2. Khi đó 3 6 9 M = + = . 2 2 2
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 khi n = 2 . 2 −
Bài 9: Tìm số tự nhiên n n để phân số 10
3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 4n −10
Trích đề HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có
10n − 3 5(2n − 5) + 22 5 22 5 11 B = = = + = + . 4n −10 2(2n − 5)
2 2(2n − 5) 2 2n − 5
Ta có B đạt giá trị lớn nhất khi 11 đạt giá trị lớn nhất, vì 11 > 0 và không đổi nên 11 2n − 5 2n − 5
đạt giá trị lớn nhất khi 2n − 5 > 0 và đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy ra: 2n − 5 =1 khi và chỉ khi n = 3.
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 13,5 khi n = 3.
B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP
(copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số Bài 1: Cho 1 1 1 1 A =1+ + + +…+
. Chứng tỏ rằng: 50 < A <100 100 2 3 4 2 −1
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 Bài 2: Cho tổng : 1 1 1 S = + +...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < . 31 32 60 5 5
Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Bài 3: Cho 1 2 3 A = + + +… . 11 … + . Chứng minh rằng 1 A < . 2 3 4 12 5 5 5 5 16
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 Bài 4: 1 2 3 4 M = + + + và 2 3 4 5 6 N = + + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
So sánh M và N .
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Bài 5: So sánh tổng 1 2 3 n 2007 S = + + +.....+ +......+ với 2. (n∈*) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Bài 6: Cho 2 3 2001 2002 2003
A =1+ 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 ; B = 2
So sánh A và B
Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020 Bài 7: Cho 2 3 4 71 72 P =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + … + 2012 + 2012 và 73 Q = 2012 −1.
So sánh P và Q .
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Bài 8: Cho tổng 2 4 6 2008
A = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 .
So sánh giá trị biểu thức: 2010
B = 8A − 3 với 1
− . Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022 2016 2017 Bài 9: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = . 2017 10 +1 2018 10 +1
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Bài 10: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + +...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 2 Bài 11: Cho 3 8 15 2023 −1 A = + + + ...+
. Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự 2 2 2 2 2 3 4 2023 nhiên.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 1 2 1 1 Bài 12: Cho S = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4
2022 . Chứng tỏ rằng S không là số tự nhiên.
Trích đề HSG huyện Yên Mỹ năm 2021-2022 Bài 13: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + + ...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Bài 14: Cho 1 2 3 69 S = + + +...+ .Chứng tỏ 1 S < 2 3 4 70 7 7 7 7 36
Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2021-2022
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1:Cho 1 1 1 1 A = + + +...+ Chứng minh rằng: 4 5 < A < 11 12 13 70 3 2
Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Bài 2:Cho 2 3 98 99 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +.....+ 4 + 4 , B = 4 Chứng minh rằng: B A < . 3
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Bài 3:Tính tổng 6 6 6 6 S = + + + ......+
và chứng tỏ S <1 2.5 5.8 8.11 29.32
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 17
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 +...+ 1 < 1. 2 2 2 3 2 4 2 100
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Bài 5: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +...+ = + + + +...+ . 28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Bài 6: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 . 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2012-2022 Bài 7: Cho 1 2 3 100 A = + + +…+ . Chứng tỏ rằng 3 A < . 2 3 100 3 3 3 3 4
Trích đề HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022 Bài 8: Cho tổng : 1 1 1 S = + +...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < 31 32 60 5 5
Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022
Bài 9: Cho A = 1 1 1 1 + + ...+
. Chøng minh rằng: A < 2 . 2 2 2 2 1 2 3 50
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 Bài 10: Cho 1 1 1 1 A = + + + ....+ . 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 Chứng minh 3 A < 4
Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Bài 11: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Bài 12: Cho 1 1 1 1 1 1 S = + + + +.....+ + .Chứng tỏ S <1 2 3 4 2012 2013 2 2 2 2 2 2
Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019
Bài 13: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + .... + < 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 2019-2020
Bài 14: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +......+ <1. 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 20…-20…
Bài 15: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 + + + ...+ < . 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 4
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Bài 16: Cho 1 1 1 1 1 M = + + +...+ + . Chứng minh rằng 7 M > . 101 102 103 199 200 12
Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022
Bài 17: Cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤1chứng minh rằng: a + b + c ≤ 2
bc +1 ac +1 ab +1
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 18
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1: Giá trị của x để A = (x + )2
7 + 2022 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. 7 − . B. 7 . C. 2022 . D. 2022 − .
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n − 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022
Bài 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = x − y + x +1 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trích đề HSG huyện Diễn Châu năm 2015-2016 −
Bài 4: Cho phân số 3n 8 . Tìm n∈ để A có giá trị nhỏ nhất. 6n + 4
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 −
Bài 5: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2021 - 2022 + Bài 6: Cho phân số n 1 A = (n∈) n − 3
d) Tìm n để A là phân số
e) Tìm n để A là phân số tối giản
f) Tìm n để A có giá trị lớn nhất
Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019 −
Bài 7: Với giá trị nào của số tự nhiên a a thì 5
17 có giá trị lớn nhất. 4a − 23
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 −
Bài 8: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Tân Kỳ năm 2021 -2022 −
Bài 9: Tìm số tự nhiên n n để phân số 10
3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 4n −10
Trích đề HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022
C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ
(Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài) Bài 1: Tính tổng 6 6 6 6 S = + + + ......+
và chứng tỏ S <1. 2.5 5.8 8.11 29.32
Trích đề HSG trường THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019 Lời giải 3 3 3 S 2. ..... = + + + 2.5 5.8 29.32 1 1 1 1 1 1 2. ..... = − + − + + − 2 5 5 8 29 32 1 1 30 = 2. − = < 1 2 32 32 Vậy S <1.
Bài 2: Cho biểu thức 1 1 1 1 B = + + + ...+ . Chứng tỏ rằng: 1 1 < B < . 2 2 2 2 5 6 7 100 6 4
Trích đề HSG huyện Giao Thuỷ (Nam Định) năm 2018-2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 19 Lời giải Ta có 1 1 < 2 5 4.5 1 1 < 2 6 5.6 1 1 < 2 7 6.7 1 1 < 2 100 99.100 1 1 1 1 B < + + + ... 4.5 5.6 6.7 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1
B < − + − + − +...+ − 4 5 5 6 6 7 99 100 1 1 1 B < − < (1) 4 100 4 Ta có 1 1 > 2 5 5.6 1 1 > 2 6 6.7 1 1 > 2 7 7.8 1 1 > 2 100 100.101 1 1 1 1 B > + + + ... 5.6 6.7 7.8 100.101 1 1 1 1 1 1 1 1
B > − + − + − +...+ − 5 6 6 7 7 8 100 101 1 1 B > − 96 = 96 > 1 = 5 101 505 576 6 1 B > (2) 6 Từ (1) và (2) ta có 1 1 < B < . 6 4 Bài 3: Cho + + + +
a,b,c,d > 0. Chứng minh: 2 a b b c c d d a < + + + < 3.
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b Lời giải a + b a + b a + b + d < < .
a + b + c + d a + b + c a + b + c + d b + c b + c a + b + c < < .
a + b + c + d b + c + d a + b + c + d c + d c + d c + d + b < < .
a + b + c + d c + d + a a + b + c + d d + a d + a d + a + c < < .
a + b + c + d a + b + d a + b + c + d
Cộng theo vế ta được: 2 < A < 3 .
Bài 4: Cho a,b,c > 0 và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại. Chứng minh: a b c + + < 2 .
b + c c + a a + b Lời giải
Giả sử: a ≥ b ≥ c => a + b > a + c > b + c .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 20 a a =
b + c b + c Ta có: b b <
c + a b + c c c <
a +b b+c
Cộng theo vế ta được: a b c a + b + c + + < = 1 a + < 1+1 = 2
b + c c + a a + b b + c b + c
Bài 5: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh: a b c M = + +
có giá trị không nguyên.
a + b b + c c + a Lời giải a a + > a a c <
a + b a + b + c
a + b a + b + c Ta có: b b b b + a > và < ,
b + c a + b + c
b + c a + b + c c c + > c c b <
c + a a + b + c
c + a a +b+c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a b c a + b b + c c + a + + < M < + + hay 1< M < 2.
a + b + c a + b + c a + b + c
a + b + c a + b + c a + b + c Bài 6: Chứng minh: 1 4 7 10 208 1 A = . . . ..... < . 3 6 9 12 210 25Lời giải Ta thấy − −
A có dạng n <1 nên n n 1 n 1 < < n + 2 n + 2 n +1 n 1 3 6 207 A < . . ..... 3 4 7 208 1.4.7.10.....208 1.3.6.....207 2 ( )( ) A < ( 3.6.9.....210)(3.4.7.....208) 2 1 1 A < = 3.210 630 2 1 A < 625 1 A < 25 Bài 7: Chứng minh: 1 1 1 1 A = + + + .....+ > 1. 2 n n +1 n + 2 n Lời giải 1 1 1 1 A ..... = + + + + có 2 n − (n + ) 2
1 +1 = n − n số hạng. 2
n n 1 n 2 n + + 1 1 1 2 − A 1 > + + .....+ n n = + 1 = +1 n − = 1 2 2 n n n 2 n n 2 n n Vậy A >1. Bài 8: Chứng minh: 1 1 1 1 1+ + + +...+ < 2016 . 2016 2 3 4 2 Lời giải