CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
1
CH ĐỀ: BT ĐNG THC
A. PHN NI DUNG
Dng 1: So sánh hai s, so sánh mt biu thc vi mt s
Bài 1: Cho
100
111 1
1
234 2 1
A
=+++++
. Chng t rng:
50 100A<<
Trích đ HSG huyn Bá Thước năm 2021-2022
Li gii
2 3 90 93 100
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 2 5 7 2 9 15 2 2 1 2 1
A
 
= + + + + +…+ + + +…+ +…+ + +…+
 
+−
 
2 2 2 2 90 99 99
11 1111 1 1 1
1
22 2222 2 2 2

< + + + + + + +…+ + +…+


99
2 99
11 1
12 4 2 11 1
22 2
= + + +…+ = + +…+
(Có
100
s hng
1
)
100A <
.
2 3 4 90 90 100 100
1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2325292 212222
A
 
= + + + + +…+ + +…+ + + + +…+
 
++
 
100
11 1 1
1
22 22
>++++−
(Có
100
s hng
1
2
)
100
11
100 1 50
22

= ⋅+ >


(Vì
100
1
10
2
−>
)
50
A >
.
Vy
100 50A>>
.
Bài 2: Cho tng :
11 1
...
31 32 60
S = + ++
. Chng minh rng :
34
55
S<<
.
Trích đ HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016
Li gii
Ta có :
11 1 11 1 11 1
... ... ...
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
 
= + ++ + + ++ + + ++
 
 
11 1 11 1 11 1
... ... ...
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
 
< + ++ + + ++ + + ++
 
 
hay
10 10 10
30 40 50
S <++
tc là:
47 48
60 60
S <<
Vy
4
5
S <
(
1
)
Mt khác:
11 1 11 1 11 1
... ... ...
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
 
> + ++ + + ++ + + ++
 
 
10 10 10
40 50 60
S >++
tc là :
37 36
60 60
S >>
Vy
3
5
S >
(
2
).
T (
1
) và (
2
) suy ra :
34
55
S<<
đpcm.
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
2
Bài 3: Cho
234 12
..
1 2 3 11
555 5
A …+
+
=++
Chng minh rng
1
16
A <
.
Trích đ HSG huyn Lp Thạch năm 2015 -2016
Li gii
Ta có:
234 12
..
1 2 3 11
555 5
A …++=++
1 2 3 11
1 2 3 11
555
.5 .
5
A = + + …… ++
1 2 3 11 2 3 4 12
5
1 2 3 11 1 2 3 11
55
.
5 5 555 5
..AA + −− = + + …… …… +
2 11 12
..
1 2 1 11
55 5 5
A4 = + + …… +
12
.
11
5
AB
4=
2 11
.
11 1
55 5
B = + + …… +
10
2
1
5
5
11
.1
55
B = + + …… +
112 10 2
1 1 11 1
1
5 55
1
5
5
.
5 5
.BB−= −−+ + + ……
11
11 11
151
1
55
B
−=4=
11
11
51
4.5
B
=
11 12 12
12 11 12 12 12
11 5 1 11 5 5 44 5 49
5 4.5 5 4.5 4.5
AB
4
−−
= = ==
12 12
12 12 12
5 49 1 5 49 1 49 1
. .1
4.4.5 16 5 16 5 16
A
−−

= = −<

=
Vy
1
16
A <
.
Bài 4:
12 3 4
1.4 4.10 10.19 19.31
M =++ +
23 4 5 6
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
N =++++
So sánh
M
N
.
Trích đ HSG huyn Lục Nam năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có:
12 3 4
1.4 4.10 10.19 19.31
M =++ +
3 6 9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 30
31 1
1.4 4.10 10.19 19.31 4 4 10 10 19 19 31 31 31
M = + + + =+−+−+==
10 20
31 62
M⇒==
23 4 5 6
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
N =++++
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
3
4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 5 5 11 11 19 19 29 29 41
N
=++++=++++
1 40
21
41 41
N =−=
20
41
N⇒=
20 20
62 41
<
nên M < N
Vy M < N
Bài 5: So sánh tng
2 3 2007
1 2 3 2007
..... ......
22 2 2 2
n
n
S =+++++ +
vi 2.
( )
*n
Trích đ HSG cp huyện 2016-2017
Li gii
Vi mi
2,n
ta có:
1
12
.
22 2
nn n
nn n
+
++
=
T đó ta có:
2 2 3 2006 2007 2007
1 3 4 4 5 2008 2009 2009
..... 2 2
2 22 2 2 2 2 2
S

=+− + ++ = <


. Vy
2S <
Bài 6: Cho
2 3 2001 2002 2003
1 2 2 2 ..... 2 2 ; 2AB=++ + + + + =
So sánh
A
B
Trích đ HSG huyện ….. năm 2019 - 2020
Li gii
2 3 2002 2003
2 2 2 2 ..... 2 2A =+++ + +
2003
2 21AA −=
1AB AB = −⇒ <
Bài 7: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 2012 2012P =++++++ +
73
2012 1Q =
.
So sánh
P
Q
.
Trích đ HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có :
2 3 4 71 72 73
2012. 2012 2012 2012 2012 2012 2
2012 012P =+++
++…+ +
Xét:
73
2012. 2012 1PP=
73
2011. 2012 1P =
73
2012 1Q
=
nên
2011. QP =
. Vy
QP>
(vì
)
Bài 8: Cho tng
2 4 6 2008
1 3 3 3 3A =+++++
.
So sánh giá tr biu thc:
2010
83BA=
vi
1
.
Trích đ HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022
Li gii
Ta có:
2 4 6 2008
1 3 3 3 3A =+++++
2 4 6 8 2010
9 3 3 3 3 3A = + + + +… +
2010
9 3 1AA−=
2010
8 3 1
A =
2010
8 -3 1=
A
2010
8 3 .BA=
Vy
1.B =
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
4
Bài 9: So sánh
2016
2017
10 1
10 1
A
+
=
+
2017
2018
10 1
.
10 1
B
+
=
+
Trích đ HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022
Li gii
Nhân hai vế ca
A
B
vi
10
ta có:
2017 2017
2017 2017 2017
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
A
+ ++
= = = +
++ +
2018 2018
2018 2018 2018
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
B
+ ++
= = = +
++ +
2017 2018
10 10<
nên
2017 2018
99
.
10 1 10 1
>
++
Vy
.
AB>
Bài 10: Cho
11 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M = + + + ++
. So sánh
M
vi
1
3
Trích đ HSG huyn Lc Ngạn năm 2022 - 2023
Li gii
Ta có:
11 1 1 1
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M =++ + +
11111111111
.
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16
M

= −+−+− + +


1 1 1 15 15
.1 .
3 16 3 16 48
M

= −= =


Li có:
1 16
3 48
=
16 15>
do đó
16 15
48 48
>
hay
1
3
M
<
Vy
1
3
M <
Bài 11: Cho
2
222 2
3 8 15 2023 1
...
2 3 4 2023
A
= + + ++
. Chng minh rng giá tr ca
A
không phải là mt t
nhiên.
Trích đ HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có
2
222 2
3 8 15 2023 1
...
2 3 4 2023
A
= + + ++
222 2
222 2
2 1 3 1 4 1 2023 1
...
2 3 4 2023
A
−−
= + + ++
222 2
111 1
1 1 1 ... 1
2 3 4 2023
A = +− +− + +−
222 2
111 1
2022 ...
2 3 4 2023
A

= + + ++


CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
5
222 2
111 1
... 0
2 3 4 2023
+ + ++ >
2022A⇒<
(1)
Đặt
222 2
111 1
...
2 3 4 2023
B
= + + ++
Ta có:
22 2
2
1 1 11 1 1 11 1 1 11
; ; ; ... ;
2 1.2 1 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4
1 1 11
2023 2022.2023 2022 2023
<= <= <=
<=
222 2
111 1
...
2 3 4 2023
+ + ++ <
111111 1 1
+ ... +
1 2 2 3 3 4 2022 2023
+−+
1
1
2023
B <−
1
11
2023
−<
1B <
2022 2022 1B
>
2021A >
(1)
T (1) và (2)
2021 2022A<<
Giá tr ca
A
không là s t nhiên.
Bài 12: Cho
222 2
121 1
...
2 3 4 2022
S = + + ++
. Chng t rng
S
không là s t nhiên.
Trích đ HSG huyn Yên M năm 2021-2022
Li gii
111 1 1
... 1 1
1.2 2.3 3.4 2021.2022 2022
S <++++ = <
nên ta có
01S<<
Vậy,
S
không phải số tự nhiên.
Bài 13: Cho
11 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M = + + + ++
. So sánh
M
vi
1
3
Trích đ HSG huyn Lc Ngạn năm 2022 - 2023
Li gii
Ta có:
11 1 1 1
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M =++ + +
111111 1 1 1 1 1
.
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16
M

= −+−+ + +


1 1 1 15 15
.1 .
3 16 3 16 48
M

= −= =


Li có:
1 16
3 48
=
16 15>
do đó
16 15
48 48
>
hay
1
3
M <
Vy
1
3
M <
Bài 14: Cho
234 70
1 2 3 69
...
777 7
= + + ++S
.Chng t
1
36
<S
Trích đ HSG huyn Tin Hải năm 2021-2022
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
6
Li gii
2 3 69
1 2 3 69
7 ...
777 7
= + + ++S
2 3 69 70
1 1 1 1 69
6 7 ...
77 7 7 7
= =+ + ++ S SS
2 68 69
1 1 1 69
42 1 ...
77 7 7
=++ ++ S
69 70
70 69
36 42 6 1
77
= −= +
S SS
69 70
70 69 1
36 1
7 7 36
> <⇒ <
SS
Dng 2: Chng minh bất đẳng thc
Bài 1:Cho
111 1
...
11 12 13 70
A = + + ++
Chng minh rng:
45
32
A
<<
Trích đ HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022
Li gii
Thy rng tng
A
60
s hng
TH1: Ta chng minh
4
3
A >
bng cách nhóm hai s mt ngoặc thông thường
Ta có:
1 1 1 1 1 1 81 81 81
... ...
11 70 12 69 40 41 11.70 12.69 40.41
A

=++++++= + ++




30h¹ng
30 ngoÆc
81 81 81 81.30 243 240 240 4
...
40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3
A > + ++ = =>>=
TH2: Chng minh
5
2
A <
111111111111
... ... ... ... ... ...
11 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70
A
    
= ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++
    
    
111 11 11 11 11 1
... ... ... ... ... ...
11 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61
A
    
< + + ++ + ++ + ++ + ++ + ++
    
    
10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1
1
11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6
A < + + + + + <+++++
=
111 11
1
236 45

+++ + +


=
5
2 0, 5
2
+=
Vy
45
32
A<<
.
Bài 2:Cho
2 3 98 99 100
1 4 4 4 ..... 4 4 , 4AB=++ + + + + =
Chng minh rng:
.
3
B
A <
Trích đ HSG cấp trường năm 2018-2019
Li gii
Ta có:
( )
2 3 4 98 99
4 4. 1 4 4 4 4 .....4 4
A = +++++ +
2 3 4 98 99 100
4 4 4 4 .....4 4 4=++++ + +
Suy ra
100
4 41AA−=
suy ra
100
41
3
A
=
100 100
4 14−<
suy ra
100 100
4 14
33
<
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
7
Vy
3
B
A <
Bài 3:Tính tng
66 6 6
......
2.5 5.8 8.11 29.32
S =++ ++
và chng t
1S <
Trích đ HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019
Li gii
33 3
2. .....
2.5 5.8 29.32
S

= + ++


1111 1 1
2. .....
2558 2932

= +−+ +


1 1 30
2. 1
2 32 32

= −=<


suy ra
1S <
Bài 4: Chứng minh rằng:
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+...+
2
1
100
< 1.
Trích đ HSG Trưng THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có
2
1
2
<
1
2.1
=
1
1
-
1
2
2
1
3
<
1
2.3
=
1
2
-
1
3
2
1
100
<
1
99.100
=
1
99
-
1
100
2
1
2
+
2
1
3
+...+
2
1
100
<
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+ ...+
1
99
-
1
100
= 1-
1
100
<1
Vy
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+...+
2
1
100
< 1
Bài 5: Chng minh rng:
1111 1 1 1 1 1 1
... ...
28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52
+++++= + + + ++
.
Trích đ HSG huyn Th Xuân năm 2021 -2022
Li gii
Ta có:
11 1 1
...
1.4 3.8 5.12 25.52
+ + ++
11 1 1 1
...
2 1.2 3.4 5.6 25.26

= ++++


1 11111 1 1
1 ...
2 23456 2526

= −+−+−++


1 11 1 111 1
1 ... ...
2 3 5 25 2 4 6 26


= ++++ ++++




1 1111 1 1 111 1
1 ... 2 ...
2 2 3 4 5 25 26 2 4 6 26


= ++++++ + ++++




1 1111 1 1 11 1
1 ... 1 ...
2 2345 2526 23 13


= ++++++ + ++++




11 1 1
...
2 14 15 26

= + ++


CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
8
1111 1
...
28 30 32 34 52
=+++++
Bài 6: Cho
457 456 455 1
1 2 3 457
A = + + +…+
. Chứng minh:
2016A >
.
Trích đ HSG huyn Triệu Sơn năm 2012-2022
Li gii
Ta có:
457 456 455 1
1 1 1 1 457
1 2 3 457
A = ++ ++ +++ +−
458 458 458
458 .... 457
2 456 457
A = + ++ +
11
458 1 ... 457
2 457
A

= +++


Nhận xét:
11
=
11
22
=
11111
34442
+>+=
11111 11
...
56788 8 2
+++>++=
111111
... ...
9 10 16 16 16 2
+ ++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
17 32 32 32 2
++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
33 64 64 64 2
++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
65 128 128 128 2
++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
129 256 256 256 2
++ > ++ =
1 1 1 1 201
... ... 0,4
257 457 457 457 457
++ > ++ =
1 11 1
1 ... 1 .8 0, 4 5,4
2 456 457 2
+ + + + >+ + =
458.5, 4 457 2016, 2A > −=
2016A >
Bài 7: Cho
2 3 100
1 2 3 100
33 3 3
A = + + +…+
. Chứng tỏ rằng
3
4
A <
.
Trích đ HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022
Li gii
Ta có:
2 3 100
1 2 3 100
33 3 3
A = + + +…+
2 3 99
2 3 4 100
3 1 ...
33 3 3
A =++ + ++
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
9
2 2 3 3 99 99 100
2 1 3 2 4 3 100 99 100
3 1 ...
33 3 2 3 3 3 3 3
AA
 
=+ + + ++
 
 
2 3 4 99 100
1 1 1 1 1 100
2 1 ...
33 3 3 3 3
A =++++++
.
Đặt
234 99
1111 1
...
33 3 3 3
B =+++++
2 3 98
11 1 1
3 1 ...
33 3 3
B = + + + ++ +
99
1
31
3
BB−=
99
1
21
3
B =
99
11
2 2.3
B
=
.
Như vậy:
100 99 100
100 1 1 100 3
21 1
3 2 2.3 3 2
AB=+−=+ −>
3
4
A >
. Điều phải chứng minh.
Bài 8: Cho tng :
11 1
...
31 32 60
S = + ++
. Chng minh rng :
34
55
S<<
Trích đ HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022
Li gii
11 1 11 1 11 1
... ... ...
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
 
= + ++ + + ++ + + ++
 
 
11 1 11 1 11 1
... ... ...
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
 
< + ++ + + ++ + + ++
 
 
hay
10 10 10
30 40 50
S <++
tc là:
47 48
60 60
S <<
Vy
4
5
S <
(
1
)
Mt khác:
11 1 11 1 11 1
... ... ...
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
 
> + ++ + + ++ + + ++
 
 
10 10 10
40 50 60
S >++
tc là :
37 36
60 60
S >>
Vy
3
5
S >
(
2
).
T (
1
) và (
2
) suy ra đpcm.
Bài 9: Cho
A
=
222 2
111 1
...
1 2 3 50
++ +
. Chøng minh rng:
2A <
.
Trích đ HSG THCS Lý T Trọng năm 2015-2016
Li gii
Ta có
2
1 1 11
2 1.2 1 2
<=
2
1 1 11
3 2.3 2 3
<=
…..
2
1 1 11
50 49.50 49 50
<=
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
10
Suy ra
111 1 1 1 1 1
... 2 2
1 1 2 2 3 49 50 50
A <+−+−++ = <
Bài 10: Cho
11 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A
= + + ++
+ ++ +++ ++++ +
.
Chng minh
3
4
A <
Trích đ HSG huyn Thạch Thành năm 2018-2019
Li gii
Ta có:
11 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + ++
+ ++ +++ ++++ +
( )
( )
( ) ( )
111 1
.....
1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2017 .1009
222 2
A = + + ++
+++ +
222 2 111 1
..... ....
2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009
= + + + + = + + ++
1 11 1
......
2.2 2.3 3.4 1008.1009
A

<+ +++


1 1111 1 1
.....
4 2 3 3 4 1008 1009
A

<+ −+−+ +


1 1 1 11 3
4 2 1009 4 2 4
A AA

<+ <+<


Bài 11: Cho
457 456 455 1
1 2 3 457
A = + + +…+
. Chng minh:
2016A
>
Trích đ HSG huyn Triệu Sơn năm 2021 - 2022
Li gii
457 456 455 1
1 1 1 1 457
1 2 3 457
A = ++ ++ +++ +
458 458 458
458 .... 457
2 456 457
A = + ++ +
11
458(1 ... ) 457
2 457
A
= +++
Nhận xét:
11
=
11
22
=
11 11 1
34 44 2
+>+=
11111 1 1
...
56788 8 2
+++>++=
111111
... ...
9 10 16 16 16 2
+ ++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
17 32 32 32 2
++ > ++ =
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
11
1 1 1 11
... ...
33 64 64 64 2
++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
65 128 128 128 2
++ > ++ =
1 1 1 11
... ...
129 256 256 256 2
++ > ++ =
1 1 1 1 201
... ... 0,4
257 457 457 457 457
++ > ++ =
1 11 1
1 ... 1 .8 0, 4 5, 4
2 456 457 2
+ + + + >+ + =
458.5, 4 457 2016,2A > −=
2016
A
>
Bài 12: Cho
2 3 4 2012 2013
1111 1 1
..... .
22 2 2 2 2
S =+++++ +
Chng t
1S <
Trích đ HSG huyn Quế Sơn 2018-2019
Li gii
2 3 2011 2012
11 1 1 1
2 1 ....
22 2 2 2
S =++ + + + +
2013
1
2 11
2
SS S
−== <
Bài 13: Chng minh rng:
222 2
111 1
.... 1
2 3 4 100
+ + ++ <
Trích đ HSG huyện ……năm 2019-2020
Li gii
Ta có:
2
1 11
12
2
<−
2
1 11
23
3
<−
2
1 11
34
4
<−
…………
2
1 11
99 100
100
<−
222 2
111 1 1 99
.... 1 1
100 100
2 3 4 100
+ + + + <− = <
Bài 14: Chứng minh rằng:
222 2
111 1
...... 1.
2 3 4 100
+++ + <
Trích đ HSG huyện ……năm 20…-20…
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
12
Li gii
222 2
111 1 1 1 1
...... .....
2 3 4 100 1.2 2.3 99.100
AB= +++ + < + ++ =
1111 1 1 1
..... 1 1.
1 2 2 3 99 100 100
B
=+−+ + = <
Vy
1.A
<
Bài 15: Chng minh rng:
222 2
111 1 1
... .
4 6 8 (2 ) 4n
+ + ++ <
Trích đ HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022
Li gii
Ta có:
222 2
111 1
...
4 6 8 (2 )
A
n
= + + ++
222 2
111 1
...
(2.2) (2.3) (2.4) (2. )
A
n
= + + ++
222 2
1111 1 11 1 1 1
...
4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1).
A
n nn


= ++++ < +++




1111111 1 1
...
4122334 ( 1)
A
nn

< −+−+−++


1 11
1
44
A
n

< −<


(ĐPCM)
Bài 16: Cho
111 11
...
101 102 103 199 200
M =+++++
. Chng minh rng
7
.
12
M
>
Trích đ HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022
Li gii
11 11 11 11
... ...
101 102 149 150 151 152 199 200
M

= ++++ + ++++


(Mi nhóm có 50 s hng).
11 11 11 11
... ...
150 150 150 150 200 200 200 200
M

> + ++ + + + ++ +


1 1 11 7
50. 50.
150 200 3 4 12
M > + =+=
.
Vy
7
.
12
M >
Bài 17: Cho ba s dương
01≤≤abc
chng minh rng:
2
111
++
+++
abc
bc ac ab
Trích đ HSG huyn Thanh Min năm 2021-2022
Li gii
01abc≤≤
nên:
( )( )
1 10 1a b ab a b +≥ +
Tương t:
1
aa
bc b c
++
(2) ;
1
bb
ac a c
++
(3)
Do đó:
111
a b c abc
bc ac ab b c a c a b
+ + ≤++
+ + ++++
(4)
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
13
(
)
2
222
2
abc
abc a b c
bc ac ab abc abc abc abc
++
++ + + = =
+ + + ++ ++ ++ ++
(5)
T (4) và (5) suy ra:
2
111
++
+++
abc
bc ac ab
(đpcm)
Dng 3: Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca mt biu thc
Bài 1: Giá tr ca
x
để
( )
2
7 2022Ax=++
đạt giá tr nh nht là:
A.
7
. B.
7
. C.
2022
. D.
2022
.
Trích đ HSG trưng THCS Vit Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022
Li gii
Đáp án: A.
7
.
Bài 2: m s t nhiên
n
để phân số
63
46
n
M
n
=
đạt giá tr ln nht. Tìm giá tr ln nhất đó.
Trích đ HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có:
6 33 6
46246
n
M
nn
= = +
−−
6
46n
có t
nên để
M
đạt giá tr ln nht khi
46n
đạt giá tr dương nhỏ nht vi
n
s t nhiên.
Do đó
4 62n −=
nên
48n =
suy ra
2n =
.
Khi đó
36
22
M = +
9
2
=
Vy giá tr ln nht ca
M
9
2
khi
2n =
.
Bài 3: Vi giá tr nào ca
,xy
thì biu thc :
1 2016A xy x= + ++
đạt giá tr nh nht. Tìm giá tr
nh nhất đó.
Trích đ HSG huyn Diễn Châu năm 2015-2016
Li gii
0xy−≥
vi mi
,xy
; và
1 0x +
vi mi
x
.
1 2016 2016A xy x= + ++
vi mi
, xy
.
A
đạt giá tr nh nht khi
0
10
xy
x
− =
+=
hay
1
1
x
y
=
=
Vy vi
1xy = =
thì
A
đạt giá tr nh nht là
2016
.
Bài 4: Cho phân số
38
64
n
n
+
. Tìm
n
để
A
có giá trị nhỏ nhất.
Trích đ HSG huyn Th Xuân năm 2021 -2022
Li gii
38
64
n
n
+
nhỏ nhất khi
64
38
n
n
+
lớn nhất.
Ta có:
64
38
n
n
+
6 16 20
38
n
n
−+
=
20
2
38n
= +
lớn nhất khi:
3 80n −>
38n
nhỏ nhất
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
14
8
3
n >
n
nhỏ nhất,
n
nên
3n =
.
Vậy
3n =
để
A
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: m s t nhiên
n
để phân số
63
46
n
M
n
=
đạt giá tr ln nht. Tìm giá tr ln nhất đó.
Trích đ HSG huyn Hu Lộc năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có
6 33 6
46246
n
M
nn
= = +
−−
phân số
6
46n
có t là s dương nên
M
đạt giá tr ln nht khi
4 –6n
đạt giá tr dương nhỏ nht
vi n là s nguyên.
Ta có
4 –6 2n =
khi đó
48n =
suy ra
2n =
. Ta có M =
369
222
+=
Vy giá tr nh nht ca
M
4,5
khi
2n =
.
Bài 6: Cho phân số
( )
1
3
n
An
n
+
=
a) Tìm
n
để
A
là phân số
b) m
n
để
A
là phân số ti gin
c) Tìm
n
để
A
có giá tr ln nht
Trích đ HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019
Li gii
a)
A
là phân số khi
30 3
nn−≠
b) Để
A
là phân số ti gin thì
( 1, 3) 1nn
+ −=¦ CLN
Hay
( )
( )
3 4; 3 1nn
−+ =¦ CLN
42
(
2
là ước nguyên t)
Nên để
( )
( )
3 4; 3 1nn−+ =¦ CLN
thì
3n
không chia hết cho
2
Suy ra
32 1nk−= +
(
k
là s nguyên)
Hay
n
là s chn.
c) Ta có:
1 34 4
1
33 3
nn
A
nn n
+ −+
= = = +
−−
Vi
3n >
thì
4
0
3n
>
, Vi
3n <
thì
4
0
3n
<
Để
A
có giá tr ln nht thì
3n
nguyên dương và có giá trị nh nht.
Do đó
31n −=
hay
4n =
.
Bài 7: Vi giá tr nào ca s t nhiên
a
thì
5 17
4 23
a
a
có giá tr ln nht.
Trích đ HSG cp huyện 2016-2017
Li gii
( )
( )
( )
( )
5 4 23 47
5 17 20 68 5 47
4 23 4 4 23 4 4 23 4 4 4 23
a
aa
aa a a
−+
−−
= = = +
−−
Như vậy bài toán đưa về tìm s t nhiên
a
để
4 23a
là s t nhiên nh nht
Vy
5 17
6 13
4 23
a
a
a
=⇒=
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
15
Bài 8: Tìm số tự nhiên
n
để phân số
63
46
n
M
n
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Trích đ HSG huyn Tân K năm 2021 -2022
Li gii
Ta có:
6 33 6
.
46246
n
M
nn
= = +
−−
6
46n
có tử
60>
nên để
M
đạt giá trị lớn nhất khi
46n
đạt giá trị dương nhỏ nhất với
n
là số tự nhiên.
Với
4 61n −=
ta có:
47n =
nên
7
4
n =
(loi).
Do đó
4 62
n −=
ta có
48n
=
nên
Khi đó
369
.
222
M =+=
Vậy giá trị lớn nhất của
M
9
2
khi
2n =
.
Bài 9: Tìm s t nhiên
n
để phân số
10 3
4 10
n
n
đạt giá tr ln nht. Tìm giá tr ln nhất đó?
Trích đ HSG huyn Sơn Tây năm 2021 - 2022
Li gii
Ta có
10 3 5(2 5) 22 5 22 5 11
.
4 10 2(2 5) 2 2(2 5) 2 2 5
nn
B
n n nn
−+
== =+=+
−−
Ta có
B
đạt giá tr ln nht khi
11
25n
đạt giá tr ln nht, vì
11 0>
và không đổi nên
11
25n
đạt giá tr ln nht khi
2 50
n −>
và đạt giá tr nh nht.
Suy ra:
2 51n −=
khi và ch khi
3n =
.
Vy
B
đạt giá tr ln nht là
13, 5
khi
3n
=
.
B. PHN PHIU BÀI TP
(copy đề bài các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
Dng 1: So sánh hai s, so sánh mt biu thc vi mt s
Bài 1: Cho
100
111 1
1
234 2 1
A =+++++
. Chng t rng:
50 100A<<
Trích đ HSG huyn Bá Thước năm 2021-2022
Bài 2: Cho tng :
11 1
...
31 32 60
S = + ++
. Chng minh rng :
34
55
S<<
.
Trích đ HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016
Bài 3: Cho
234 12
..
1 2 3 11
555 5
A …++=++
Chng minh rng
1
16
A <
.
Trích đ HSG huyn Lp Thạch năm 2015 -2016
Bài 4:
12 3 4
1.4 4.10 10.19 19.31
M =++ +
23 4 5 6
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
N =++++
So sánh
M
N
.
Trích đ HSG huyn Lục Nam năm 2021 - 2022
Bài 5: So sánh tng
2 3 2007
1 2 3 2007
..... ......
22 2 2 2
n
n
S =+++++ +
vi 2.
( )
*n
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
16
Trích đ HSG cp huyện 2016-2017
Bài 6: Cho
2 3 2001 2002 2003
1 2 2 2 ..... 2 2 ; 2AB=++ + + + + =
So sánh
A
B
Trích đ HSG huyện ….. năm 2019 - 2020
Bài 7: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 2012 2012P =++++++ +
73
2012 1
Q =
.
So sánh
P
Q
.
Trích đ HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022
Bài 8: Cho tng
2 4 6 2008
1 3 3 3 3A =+++++
.
So sánh giá tr biu thc:
2010
83BA=
vi
1
.
Trích đ HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022
Bài 9: So sánh
2016
2017
10 1
10 1
A
+
=
+
2017
2018
10 1
.
10 1
B
+
=
+
Trích đ HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022
Bài 10: Cho
11 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M = + + + ++
. So sánh
M
vi
1
3
Trích đ HSG huyn Lc Ngạn năm 2022 - 2023
Bài 11: Cho
2
222 2
3 8 15 2023 1
...
2 3 4 2023
A
= + + ++
. Chng minh rng giá tr ca
A
không phải là mt t
nhiên.
Trích đ HSG huyn Bình Giang năm 2021 - 2022
Bài 12: Cho
222 2
121 1
...
2 3 4 2022
S = + + ++
. Chng t rng
S
không là s t nhiên.
Trích đ HSG huyn Yên M năm 2021-2022
Bài 13: Cho
11 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M = + + + ++
. So sánh
M
vi
1
3
Trích đ HSG huyn Lc Ngạn năm 2022 - 2023
Bài 14: Cho
234 70
1 2 3 69
...
777 7
= + + ++S
.Chng t
1
36
<S
Trích đ HSG huyn Tin Hải năm 2021-2022
Dng 2: Chng minh bất đẳng thc
Bài 1:Cho
111 1
...
11 12 13 70
A = + + ++
Chng minh rng:
45
32
A<<
Trích đ HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022
Bài 2:Cho
2 3 98 99 100
1 4 4 4 ..... 4 4 , 4AB=++ + + + + =
Chng minh rng:
.
3
B
A <
Trích đ HSG cấp trường năm 2018-2019
Bài 3:Tính tng
66 6 6
......
2.5 5.8 8.11 29.32
S =++ ++
và chng t
1S
<
Trích đ HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
17
Bài 4: Chứng minh rằng:
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+...+
2
1
100
< 1.
Trích đ HSG Trưng THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Bài 5: Chng minh rng:
1111 1 1 1 1 1 1
... ...
28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52
+++++= + + + ++
.
Trích đ HSG huyn Th Xuân năm 2021 -2022
Bài 6: Cho
457 456 455 1
1 2 3 457
A = + + +…+
. Chứng minh:
2016A >
.
Trích đ HSG huyn Triệu Sơn năm 2012-2022
Bài 7: Cho
2 3 100
1 2 3 100
33 3 3
A = + + +…+
. Chứng tỏ rằng
3
4
A <
.
Trích đ HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022
Bài 8: Cho tng :
11 1
...
31 32 60
S = + ++
. Chng minh rng :
34
55
S<<
Trích đ HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022
Bài 9: Cho
A
=
222 2
111 1
...
1 2 3 50
++ +
. Chøng minh rng:
2A <
.
Trích đ HSG THCS Lý T Trọng năm 2015-2016
Bài 10: Cho
11 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + ++
+ ++ +++ ++++ +
.
Chng minh
3
4
A
<
Trích đ HSG huyn Thch Thành năm 2018-2019
Bài 11: Cho
457 456 455 1
1 2 3 457
A = + + +…+
. Chng minh:
2016
A >
Trích đ HSG huyn Triệu Sơn năm 2021 - 2022
Bài 12: Cho
2 3 4 2012 2013
1111 1 1
..... .
22 2 2 2 2
S =+++++ +
Chng t
1S <
Trích đ HSG huyn Quế Sơn 2018-2019
Bài 13: Chng minh rng:
222 2
111 1
.... 1
2 3 4 100
+ + ++ <
Trích đ HSG huyện ……năm 2019-2020
Bài 14: Chứng minh rằng:
222 2
111 1
...... 1.
2 3 4 100
+++ + <
Trích đ HSG huyện ……năm 20…-20…
Bài 15: Chng minh rng:
222 2
111 1 1
... .
4 6 8 (2 ) 4n
+ + ++ <
Trích đ HSG huyn Kim Sơn năm 2021 -2022
Bài 16: Cho
111 11
...
101 102 103 199 200
M =+++++
. Chng minh rng
7
.
12
M >
Trích đ HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022
Bài 17: Cho ba s dương
01≤≤abc
chng minh rng:
2
111
++
+++
abc
bc ac ab
Trích đ HSG huyn Thanh Min năm 2021-2022
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
18
Dng 3: Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca mt biu thc
Bài 1: Giá tr ca
x
để
( )
2
7 2022
Ax=++
đạt giá tr nh nht là:
A.
7
. B.
7
. C.
2022
. D.
2022
.
Trích đ HSG trưng THCS Vit Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022
Bài 2: Tìm s t nhiên
n
để phân số
63
46
n
M
n
=
đạt giá tr ln nht. Tìm giá tr ln nhất đó.
Trích đ HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022
Bài 3: Vi giá tr nào ca
,xy
thì biu thc :
1 2016A xy x= + ++
đạt giá tr nh nht. Tìm giá tr
nh nhất đó.
Trích đ HSG huyn Diễn Châu năm 2015-2016
Bài 4: Cho phân số
38
64
n
n
+
. Tìm
n
để
A
có giá trị nhỏ nhất.
Trích đ HSG huyn Th Xuân năm 2021 -2022
Bài 5: Tìm s t nhiên
n
để phân số
63
46
n
M
n
=
đạt giá tr ln nht. Tìm giá tr ln nhất đó.
Trích đ HSG huyn Hu Lộc năm 2021 - 2022
Bài 6: Cho phân số
( )
1
3
n
An
n
+
=
d) m
n
để
A
là phân số
e) Tìm
n
để
A
là phân số ti gin
f) Tìm
n
để
A
có giá tr ln nht
Trích đ HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019
Bài 7: Vi giá tr nào ca s t nhiên
a
thì
5 17
4 23
a
a
có giá tr ln nht.
Trích đ HSG cp huyện 2016-2017
Bài 8: Tìm số tự nhiên
n
để phân số
63
46
n
M
n
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Trích đ HSG huyn Tân K năm 2021 -2022
Bài 9: Tìm s t nhiên
n
để phân số
10 3
4 10
n
n
đạt giá tr ln nht. Tìm giá tr ln nhất đó?
Trích đ HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022
C. SƯU TM CÁC BÀI TRONG CÁC Đ CA NHNG NĂM TRƯC ĐÓ
(Phn này ly các câu t những năm trước, trước năm 2020-2021, ti thiu 10 bài)
Bài 1: Tính tng
66 6 6
......
2.5 5.8 8.11 29.32
S =++ ++
và chng t
1S <
.
Trích đ HSG trưng THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019
Li gii
33 3
2. .....
2.5 5.8 29.32
S

= + ++


1111 1 1
2. .....
2558 2932

= +−+ +


1 1 30
2. 1
2 32 32

= −=<


Vy
1S <
.
Bài 2: Cho biu thc
222 2
111 1
...
5 6 7 100
B = + + ++
. Chng t rng:
11
64
B<<
.
Trích đ HSG huyn Giao Thu (Nam Định) năm 2018-2019
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
19
Li gii
Ta có
2
11
5 4.5
<
2
11
6 5.6
<
2
11
7 6.7
<
2
11
100 99.100
<
111 1
...
4.5 5.6 6.7 99.100
B <+++
111111 1 1
...
4 5 5 6 6 7 99 100
B <+−+−++
111
4 100 4
B <− <
(1)
Ta có
2
11
5 5.6
>
2
11
6 6.7
>
2
11
7 7.8
>
2
11
100 100.101
>
111 1
...
5.6 6.7 7.8 100.101
B >+++
111111 1 1
...
5 6 6 7 7 8 100 101
B >−+−+−++
11
5 101
B >−
96
505
=
96
576
>
1
6
=
1
6
B >
(2)
T (1) và (2) ta có
11
64
B<<
.
Bài 3: Cho
,,, 0abcd>
. Chng minh:
23
ab bc cd d a
abc bcd cda dab
+++ +
<+++ <
++ ++ + + ++
.
Li gii
ab ab abd
abcd abc abcd
+ + ++
<<
+++ ++ +++
.
bc bc abc
abcd bcd abcd
+ + ++
<<
+++ ++ +++
.
cd cd cdb
abcd cda abcd
+ + ++
<<
+++ + + +++
.
da da dac
abcd abd abcd
+ + ++
<<
+++ ++ +++
.
Cng theo vế ta được:
23A<<
.
Bài 4: Cho
,, 0abc>
và tng hai s luôn lớn hơn số còn li. Chng minh:
2
abc
bc ca ab
++<
++ +
.
Li gii
Gi s:
abc ab acbc≥≥=>+>+>+
.
CÁC D ÁN GIÁO DC 2023 - 2024 TÁCH THEO CH ĐỀ T ĐỀ HSG
20
Ta có:
aa
bc bc
bb
ca bc
cc
ab bc
=
++
<
++
<
++
Cng theo vế ta được:
a b c abc
bc ca ab bc
++
++<
++ + +
1
a
bc
= +
+
11 2<+=
Bài 5: Cho
,, 0
abc
>
. Chng minh:
abc
M
ab bc ca
=++
+++
có giá tr không nguyên.
Li gii
Ta có:
aa
ab abc
bb
bc abc
cc
ca abc
>
+ ++
>
+ ++
>
+ ++
a ac
ab abc
b ba
bc abc
c cb
ca abc
+
<
+ ++
+
<
+ ++
+
<
+ ++
,
Cng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a b c ab bc ca
M
abc abc abc abc abc abc
+++
++<<++
++ ++ ++ ++ ++ ++
hay
12M<<
.
Bài 6: Chng minh:
1 4 7 10 208 1
. . . .....
3 6 9 12 210 25
A = <
.
Li gii
Ta thy
A
có dng
1
2
n
n
<
+
nên
11
21
nn n
nn n
−−
<<
++
1 3 6 207
. . .....
3 4 7 208
A <
( )( )
( )( )
2
1.4.7.10.....208 1.3.6.....207
3.6.9.....210 3.4.7.....208
A <
2
11
3.210 630
A <=
2
1
625
A <
1
25
A
<
Bài 7: Chng minh:
2
11 1 1
..... 1
12
A
nn n n
=+ + ++>
++
.
Li gii
2
11 1 1
.....
12
A
nn n n

=+ + ++

++

( )
22
11n n nn + +=
s hng.
22
11 1
.....A
nn n
>+ + +
2
2
1 nn
nn
= +
2
1
11
n
nn
= +− =
Vy
1A >
.
Bài 8: Chng minh:
2016
111 1
1 ... 2016
234 2
+++++ <
.
Li gii

Preview text:

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1
CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC A. PHẦN NỘI DUNG
Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số Bài 1: Cho 1 1 1 1 A =1+ + + +…+
. Chứng tỏ rằng: 50 < A <100 100 2 3 4 2 −1
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 Lời giải  1 1   1 1 1   1 1 1   1 1 1 A 1  = + + + + +…+ + + +…+ +…+ + +…+    2   3   90 93 100  2 3   2 5 7   2 9 15   2 2 1 2 1 + −   1 1   1 1 1 1   1 1 1 1  < + + + + + + +…+ + +…+    2 2 2 2   90 99 99 2 2 2 2 2 2 2 2 2        1 1 99 1 =1+ 2⋅ + 4⋅ +…+ 2 ⋅
=1+1+…+1 (Có 100 số hạng 1) 2 99 2 2 2 =100 A <100 . 1  1 1   1 1   1 1   1 1 1  1 A =1+ + + + +…+ + +…+ +      ...+ + +…+ −  2 3 4  90 90 100  100 2  3 2   5 2   9 2   2 +1 2 + 2 2  2 1 1 1 1 >1+ + +…+ − (Có 100 số hạng 1 ) 100 2 2 2 2 2 1  1 100 1  = ⋅ + − > 1   50 (Vì 1− > 0 ) 100 2  2  100 2 A > 50.
Vậy 100 > A > 50 . Bài 2: Cho tổng : 1 1 1 S = + +...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < . 31 32 60 5 5
Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Lời giải Ta có : 1 1 1   1 1 1   1 1 1 S  ...   ...   ...  = + + + + + + + + + + +  31 32 40 41 42 50 51 52 60        1 1 1   1 1 1   1 1 1 S  ...   ...   ...  < + + + + + + + + + + +  30 30 30 40 40 40 50 50 50        hay 10 10 10 S < + + 30 40 50 từc là: 47 48 S < < Vậy 4 S < (1) 60 60 5 Mặt khác: 1 1 1   1 1 1   1 1 1 S  ...   ...   ...  > + + + + + + + + + + +  40 40 40 50 50 50 60 60 60        10 10 10 S > + + tức là : 37 36 S > > 40 50 60 60 60 Vậy 3 S > ( 2 ). 5 Từ (1) và ( 2 ) suy ra : 3 4 < S < đpcm. 5 5
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Bài 3: Cho 1 2 3 A = + + +… . 11 … + . Chứng minh rằng 1 A < . 2 3 4 12 5 5 5 5 16
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 Lời giải Ta có: 1 2 3 A = + + +… . 11 … + . 2 3 4 12 5 5 5 5 1 2 3 11 5A = + + + . …… + . 1 2 3 11 5 5 5 5 5 1 2 3 11 1 2 3 11 A A = + + + . …… + − − − − . …… − . 1 2 3 11 2 3 4 12 5 5 5 5 5 5 5 5 1 2 4A = + + . 1 11 …… + − . 2 11 12 5 5 5 5 11 4A = B − . 12 5 1 1 B = + + . 1 …… + 2 11 5 5 5 1 1 5 1 B =1+ + . …… + 2 10 5 5 5 1 1 1 1 1 1
5B B =1+ + … . … + − − − . …… − 2 10 2 11 5 5 5 5 5 5 11 1 5 −1 4B =1− = 11 11 5 5 11 5 1 B − = 11 4.5 11 12 12
11 5 1 11 5 − 5 − 44 5 − 49 A = B − 4 − = − = = 12 11 12 12 12 5 4.5 5 4.5 4.5 12 12 5 49 1 5 − 49 1  49  1 A − = = . = .1− < 12 12 12 4.4.5 16 5 16  5  16 Vậy 1 A < . 16 Bài 4: 1 2 3 4 M = + + + và 2 3 4 5 6 N = + + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
So sánh M N .
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 1 2 3 4 M = + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 3 6 9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 30 ⇒ 3M = + + + = 1− + − + − + − = 1− = 1.4 4.10 10.19 19.31 4 4 10 10 19 19 31 31 31 10 20 ⇒ M = = 31 62 2 3 4 5 6 N = + + + + 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ 2N = + + + + = 1− + − + − + − + − 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 5 5 11 11 19 19 29 29 41 1 40 ⇒ 2N = 1− = 41 41 20 ⇒ N = 41 Vì 20 20 < nên M < N 62 41 Vậy M < N
Bài 5: So sánh tổng 1 2 3 n 2007 S = + + +.....+ +......+ với 2. (n∈*) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải + +
Với mọi n ≥ 2, ta có: n n 1 n 2 = − .Từ đó ta có: n n 1 2 2 + 2n 1 3 4 4 5  2008 2009  2009 S     = + − + − + .....+ − = 2 − <       2 . Vậy S < 2 2 2 3 2006 2007 2007 2  2 2   2 2   2 2  2 Bài 6: Cho 2 3 2001 2002 2003
A =1+ 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 ; B = 2
So sánh A B
Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020 Lời giải Có 2 3 2002 2003
2A = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 + 2 2003 ⇒ 2A A = 2 −1
A = B −1 ⇒ A < B Bài 7: Cho 2 3 4 71 72 P =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + … + 2012 + 2012 và 73 Q = 2012 −1.
So sánh P Q .
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có : 2 3 4 71 72 73
2012.P = 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + … + 2012 + 2012 + 2012 Xét: 73
2012.PP = 2012 – 1 73
2011.P = 2012 – 1 mà 73
Q = 2012 − 1 nên 2011.P = Q . Vậy Q > P (vì P > 0 ) Bài 8: Cho tổng 2 4 6 2008
A = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 .
So sánh giá trị biểu thức: 2010
B = 8A − 3 với 1
− . Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 2 4 6 2008
A = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 2 4 6 8 2010
9A = 3 + 3 + 3 + 3 +… + 3 2010 9A A = 3 − 1 2010 8A = 3 − 1 2010 8A - 3 = 1 Mà 2010 B = 8A − 3 . Vậy B = 1. −
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 4 2016 2017 Bài 9: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = . 2017 10 +1 2018 10 +1
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Lời giải
Nhân hai vế của A B với 10 ta có: 2017 2017 10 10 10 1 9 9 10. A + + + = = = 1+ 2017 2017 2017 10 +1 10 +1 10 +1 2018 2018 10 10 10 1 9 9 10.B + + + = = = 1+ 2018 2018 2018 10 +1 10 +1 10 +1 Vì 2017 2018 10 <10 nên 9 9 > . 2017 2018 10 +1 10 +1 Vậy A > . B Bài 10: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + +...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 M = + + + + 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M .  = − + − + − + − + −
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16    1  1  1 15 15 M = .1− =  . = 3  16  3 16 48 Lại có: 1 16 = 3 48 Vì 16 >15 do đó 16 15 > hay 1 M < 48 48 3 Vậy 1 M < 3 2 Bài 11: Cho 3 8 15 2023 −1 A = + + + ...+
. Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự 2 2 2 2 2 3 4 2023 nhiên.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 Lời giải 2 Ta có 3 8 15 2023 −1 A = + + + ...+ 2 2 2 2 2 3 4 2023 2 2 2 2 2 1 3 1 4 1 2023 −1 A − − − = + + + ...+ 2 2 2 2 2 3 4 2023 1 1 1 1 A =1− +1− +1− +...+1− 2 2 2 2 2 3 4 2023  1 1 1 1 A 2022 ...  = − + + + +  2 2 2 2 2 3 4 2023   
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 Mà 1 1 1 1 + + +...+
> 0 ⇒ A < 2022 (1) 2 2 2 2 2 3 4 2023 Đặt 1 1 1 1 B = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4 2023 Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < = − ; < = − ; < = − ; .. ; 2 2 2 2 1.2 1 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 1 1 1 1 < = − 2 2023 2022.2023 2022 2023 1 1 1 1 ⇒ + + +...+ < 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + ... + − 2 2 2 2 2 3 4 2023 1 2 2 3 3 4 2022 2023 ⇒ 1 B <1− mà 1 1− <1 ⇒ B <1 2023 2023
⇒ 2022 – B > 2022 –1 ⇒ A > 2021 (1)
Từ (1) và (2) ⇒ 2021< A < 2022 ⇒ Giá trị của A không là số tự nhiên. 1 2 1 1 Bài 12: Cho S = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4
2022 . Chứng tỏ rằng S không là số tự nhiên.
Trích đề HSG huyện Yên Mỹ năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1 1 1 S < + + +...+ =1− <1 1.2 2.3 3.4 2021.2022 2022
S > 0 nên ta có 0 < S <1
Vậy, S không phải số tự nhiên. Bài 13: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + + ...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 M = + + + + 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M .  = − + − + − + − + −
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16    1  1  1 15 15 M = .1− =  . = 3  16  3 16 48 Lại có: 1 16 = 3 48 Vì 16 >15 do đó 16 15 > hay 1 M < 48 48 3 Vậy 1 M < 3 Bài 14: Cho 1 2 3 69 S = + + +...+ .Chứng tỏ 1 S < 2 3 4 70 7 7 7 7 36
Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2021-2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 Lời giải 1 2 3 69 7S = + + +...+ 2 3 69 7 7 7 7 1 1 1 1 69
6S = 7S S = + + +...+ − 2 3 69 70 7 7 7 7 7 1 1 1 69 42S =1+ + +...+ − 2 68 69 7 7 7 7 70 69
36S = 42S − 6S =1− + 69 70 7 7 Vì 70 69 1 >
⇒ 36S <1⇒ S < 69 70 7 7 36
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1:Cho 1 1 1 1 A = + + +...+ Chứng minh rằng: 4 5 < A < 11 12 13 70 3 2
Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Lời giải
Thấy rằng tổng A có 60 số hạng TH1: Ta chứng minh 4
A > bằng cách nhóm hai số một ngoặc thông thường 3 Ta có: 1 1 1 1  1 1  81 81 81 A     = + + + +    ...+ + = + +   ...+  11 70  12 69   40 41 11.70 12.69 40.41
  30 sè h¹ng 30 ngoÆc 81 81 81 81.30 243 240 240 4 A > + +...+ = = > > = 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3 TH2: Chứng minh 5 A < 2 1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1 A  ...   ...   ...   ...   ...   ...  = + + + + + + + + + + + + + + + + +  11 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70              1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1 A  ...   ...   ...   ...   ...   ...  < + + + + + + + + + + + + + + + +  11 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61             10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 A < + + + + + <1+ + + + + 11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6 = 1 1 1   1 1 1  + + + + + 5  = 2 + 0,5 = 2 3 6   4 5      2 Vậy 4 5 < A < . 3 2 Bài 2:Cho 2 3 98 99 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +.....+ 4 + 4 , B = 4 Chứng minh rằng: B A < . 3
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Ta có: A = ( 2 3 4 98 99 4
4. 1+ 4 + 4 + 4 + 4 +.....4 + 4 ) 2 3 4 98 99 100
= 4 + 4 + 4 + 4 +.....4 + 4 + 4 100 Suy ra 100
4A A = 4 −1 suy ra 4 1 A − = 3 100 100 Vì 100 100 4 − −1< 4 suy ra 4 1 4 < 3 3
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 7 Vậy B A < 3 Bài 3:Tính tổng 6 6 6 6 S = + + + ......+
và chứng tỏ S <1 2.5 5.8 8.11 29.32
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019 Lời giải  3 3 3 S 2. .....  = + + +  1 1 1 1 1 1   1 1  30  = 2. − + − +  .....+ − = 2. − = <   1 2.5 5.8 29.32      2 5 5 8 29 32   2 32  32 suy ra S <1
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 +...+ 1 < 1. 2 2 2 3 2 4 2 100
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có 1 < 1 =1- 1 2 2 2.1 1 2 1 < 1 = 1 -1 2 3 2.3 2 3 … 1 < 1 = 1 - 1 2 100 99.100 99 100
⇒ 1 + 1 +...+ 1 <1- 1 + 1 - 1 + ...+ 1 - 1 = 1- 1 <1 2 2 2 3 2 100 1 2 2 3 99 100 100
Vậy 1 + 1 + 1 +...+ 1 < 1 2 2 2 3 2 4 2 100
Bài 5:
Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +...+ = + + + +...+ . 28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 + + +...+ 1.4 3.8 5.12 25.52 1  1 1 1 1  ...  = + + + + 2 1.2 3.4 5.6 25.26    1  1 1 1 1 1 1 1 1 ...  = − + − + − + + − 2 2 3 4 5 6 25 26    1  1 1 1   1 1 1 1 = 1+ + +...+ − + + +   ...  + 2  3 5 25 2 4 6 26      1  1 1 1 1 1 1   1 1 1 1 = 1+ + + + +...+ + −  2 + + +  ...  + 2  2 3 4 5 25 26 2 4 6 26      1  1 1 1 1 1 1   1 1 1 = 1+ + + + +...+ + −  1+ + +...  + 2  2 3 4 5 25 26 2 3 13      1  1 1 1  ...  = + + + 2 14 15 26   
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 8 1 1 1 1 1 = + + + +...+ 28 30 32 34 52 Bài 6: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 . 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2012-2022 Lời giải Ta có: 457 456 455 1 A = +1+ +1+ +1+…+ +1− 457 1 2 3 457 458 458 458 A = 458 + +....+ + − 457 2 456 457  1 1 A 458 1 ...  = + + + −   457  2 457  Nhận xét: 1=1 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + > +...+ = 5 6 7 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 + +...+ > +...+ = 9 10 16 16 16 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 17 32 32 32 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 33 64 64 64 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 65 128 128 128 2 1 1 1 1 1 +...+ > +...+ = 129 256 256 256 2 1 1 1 1 201 +...+ > +...+ = ≈ 0,4 257 457 457 457 457 1 1 1 1 1+ +...+ + >1+ .8 + 0,4 = 5,4 2 456 457 2
A > 458.5,4 − 457 = 2016,2 A > 2016 Bài 7: Cho 1 2 3 100 A = + + +…+ . Chứng tỏ rằng 3 A < . 2 3 100 3 3 3 3 4
Trích đề HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022 Lời giải Ta có: 1 2 3 100 A = + + +…+ 2 3 100 3 3 3 3 2 3 4 100 3A =1+ + + +...+ 2 3 99 3 3 3 3
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9  2 1   3 2   4 3  100 99  100 3A A =1+ − + − + − +    ...+ − −    2 2 3 3  99 99  100  3 3   3 2   3 3   3 3  3 1 1 1 1 1 100 2A =1+ + + + +...+ − . 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 Đặt 1 1 1 1 1 B = + + + +...+ 2 3 4 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3B =1+ + + + ... + + 2 3 98 3 3 3 3 1 3B B =1− 99 3 1 2B =1− 99 3 1 1 B = − . 99 2 2.3 Như vậy: 100 1 1 100 3 2A =1+ B − =1+ − − > 100 99 100 3 2 2.3 3 2 3
A > . Điều phải chứng minh. 4 Bài 8: Cho tổng : 1 1 1 S = + + ...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < 31 32 60 5 5
Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1   1 1 1   1 1 1 S  ...   ...   ...  = + + + + + + + + + + +  31 32 40 41 42 50 51 52 60        1 1 1   1 1 1   1 1 1 S  ...   ...   ...  < + + + + + + + + + + +  30 30 30 40 40 40 50 50 50        hay 10 10 10 S < + + từc là: 47 48 S < < Vậy 4 S < (1) 30 40 50 60 60 5 Mặt khác: 1 1 1   1 1 1   1 1 1 S  ...   ...   ...  > + + + + + + + + + + +  40 40 40 50 50 50 60 60 60        10 10 10 S > + + tức là : 37 36 S > > Vậy 3 S > ( 2 ). 40 50 60 60 60 5
Từ (1) và ( 2 ) suy ra đpcm.
Bài 9: Cho A = 1 1 1 1 + + ...+
. Chøng minh rằng: A < 2 . 2 2 2 2 1 2 3 50
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 Lời giải Ta có 1 1 1 1 < = − 2 2 1.2 1 2 1 1 1 1 < = − 2 3 2.3 2 3 ….. 1 1 1 1 < = − 2 50 49.50 49 50
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 10 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1
A < + − + − +...+ − = 2 − < 2 1 1 2 2 3 49 50 50 Bài 10: Cho 1 1 1 1 A = + + + ....+ . 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 Chứng minh 3 A < 4
Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + + ....+ 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 1 1 1 1 A = ( + ) + ( + ) + ( + ) +.....+ 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 (1+ 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + .....+ = + + + ....+ 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1 1 1 1 A   ......  < + + + + 2.2 2.3 3.4 1008.1009   1 1 1 1 1 1 1 A   .....  < + − + − + + − 4 2 3 3 4 1008 1009   1  1 1  1 1 3 A < + − ⇒  
A < + ⇒ A < 4  2 1009 4 2 4 Bài 11: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 457 456 455 1 A = +1+ +1+ +1+…+ +1− 457 1 2 3 457 458 458 458 A = 458 + + ....+ + − 457 2 456 457 1 1 A = 458(1+ +...+ ) − 457 2 457 Nhận xét: 1 = 1 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + > + ...+ = 5 6 7 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 + + ...+ > + ...+ = 9 10 16 16 16 2 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 17 32 32 32 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 11 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 33 64 64 64 2 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 65 128 128 128 2 1 1 1 1 1 + ...+ > + ...+ = 129 256 256 256 2 1 1 1 1 201 + ...+ > + ...+ = ≈ 0,4 257 457 457 457 457 1 1 1 1 1+ +...+ + > 1+ .8 + 0,4 = 5,4 2 456 457 2
A > 458.5,4 − 457 = 2016,2 A > 2016 Bài 12: Cho 1 1 1 1 1 1 S = + + + +.....+ + .Chứng tỏ S <1 2 3 4 2012 2013 2 2 2 2 2 2
Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải 1 1 1 1 1 2S = 1+ + + + ....+ + 2 3 2011 2012 2 2 2 2 2 1
2S S = S = 1− < 1 2013 2
Bài 13: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + .... + < 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 2019-2020 Lời giải Ta có: 1 1 1 < − 2 2 1 2 1 1 1 < − 2 3 2 3 1 1 1 < − 2 4 3 4 ………… 1 1 1 < − 2 100 99 100 1 1 1 1 1 99 ⇒ + + + .... + < 1− = < 1 2 2 2 2 2 3 4 100 100 100
Bài 14:
Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +......+ <1. 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 20…-20…
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 12 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 A = + + +......+ < + +.....+ = B 2 2 2 2 2 3 4 100 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 B = − + − +.....+ − =1− < 1. 1 2 2 3 99 100 100 Vậy A <1.
Bài 15: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 + + + ...+ < . 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 4
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + + ...+ 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 1 1 1 1 A = + + +...+ 2 2 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1  1 1 1 1  1  1 1 1 1  A = + + +  ...+ <   + + + 2 2 2 2 4  2 3 4
n  4 1.2 2.3 3.4 (n −1).n  1 1 1 1 1 1 1 1 1  A < − + − + − +  ...+ − 4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n  −  1  1  1 A < 1− < (ĐPCM) 4 n    4 Bài 16: Cho 1 1 1 1 1 M = + + +...+ + . Chứng minh rằng 7 M > . 101 102 103 199 200 12
Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022 Lời giải 1 1 1 1   1 1 1 1 M  ...   ...  = + + + + + + + + + 
(Mỗi nhóm có 50 số hạng). 101 102 149 150 151 152 199 200      1 1 1 1   1 1 1 1 M  ...   ...  > + + + + + + + + +  150 150 150 150 200 200 200 200      1 1 1 1 7 M > 50. + 50. = + = . 150 200 3 4 12 Vậy 7 M > . 12
Bài 17: Cho ba số dương 0 ≤ a b c ≤1chứng minh rằng: a + b + c ≤ 2
bc +1 ac +1 ab +1
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022 Lời giải
Vì 0 ≤ a b c ≤1 nên:(a − ) 1 (b − )
1 ≥ 0 ⇔ ab +1≥ a + b a a b b Tương tự: ≤ (2) ; ≤ (3)
bc +1 b + c
ac +1 a + c a b c a b c Do đó: + + ≤ + + (4)
bc +1 ac +1 ab +1 b + c a + c a + b
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 13 a b c 2a 2b 2c
2(a + b + c) Mà + + ≤ + + = = 2 (5)
b + c a + c a + b a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c
Từ (4) và (5) suy ra: a + b + c ≤ 2 (đpcm)
bc +1 ac +1 ab +1
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1:
Giá trị của x để A = (x + )2
7 + 2022 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. 7 − . B. 7 . C. 2022 . D. 2022 − .
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022 Lời giải Đáp án: A. 7 − .
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n − 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 6n − 3 3 6 M = = +
4n − 6 2 4n − 6
Vì 6 có tử 6 > 0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n − 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất với n là 4n − 6 số tự nhiên.
Do đó 4n − 6 = 2 nên 4n = 8 suy ra n = 2 . Khi đó 3 6 M = + 9 = 2 2 2
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 khi n = 2 . 2
Bài 3:
Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = x y + x +1 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trích đề HSG huyện Diễn Châu năm 2015-2016 Lời giải x y
≥ 0 với mọi x, y ; và x +1 ≥ 0 với mọi x .
A = x y + x +1 + 2016 ≥ 2016 với mọi x, y .  x y =  0 x = 1 −
A đạt giá trị nhỏ nhất khi  hay   x +1 = 0  y = 1 −
Vậy với x = y = − 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016 .
Bài 4: Cho phân số 3n 8 . Tìm n∈ để A có giá trị nhỏ nhất. 6n + 4
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Lời giải 3n −8 +
nhỏ nhất khi 6n 4 lớn nhất. 6n + 4 3n −8 Ta có:
6n + 4 6n −16 + 20 = 20 = 2 + lớn nhất khi: 3n −8 3n −8 3n −8
3n −8 > 0 và 3n −8 nhỏ nhất
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 14 8
n > và n nhỏ nhất, n∈ nên n = 3. 3
Vậy n = 3 để A có giá trị nhỏ nhất. −
Bài 5: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2021 - 2022 Lời giải − Ta có 6n 3 3 6 M = = +
4n − 6 2 4n − 6
Vì phân số 6 có tử là số dương nên M đạt giá trị lớn nhất khi 4n – 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất 4n − 6 với n là số nguyên.
Ta có 4n – 6 = 2 khi đó 4n = 8 suy ra n = 2 . Ta có M = 3 6 9 + = 2 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4,5 khi n = 2 . + Bài 6: Cho phân số n 1 A = (n∈) n − 3
a) Tìm n để A là phân số
b) Tìm n để A là phân số tối giản
c) Tìm n để A có giá trị lớn nhất
Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019 Lời giải
a) A là phân số khi n − 3 ≠ 0 ⇒ n ≠ 3
b) Để A là phân số tối giản thì ¦ CLN (n +1,n − 3) =1
Hay ¦ CLN((n −3) + 4;n −3) =1
Vì 42 ( 2 là ước nguyên tố)
Nên để ¦ CLN ((n −3) + 4;n −3) =1thì n −3 không chia hết cho 2
Suy ra n − 3 = 2k +1( k là số nguyên) Hay n là số chẵn. + − + c) Ta có: n 1 n 3 4 4 A = = =1+ n − 3 n − 3 n − 3
Với n > 3thì 4 > 0, Với n < 3thì 4 < 0 n − 3 n − 3
Để A có giá trị lớn nhất thì n −3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất.
Do đó n − 3 =1 hay n = 4 .
Bài 7: Với giá trị nào của số tự nhiên a a thì 5
17 có giá trị lớn nhất. 4a − 23
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải 5a −17 20a − 68 5(4a − 23) + 47 5 47 = = = +
4a − 23 4(4a − 23) 4(4a − 23) 4 4(4a − 23)
Như vậy bài toán đưa về tìm số tự nhiên a để 4a − 23là số tự nhiên nhỏ nhất − Vậy 5a 17 a = 6 ⇒ =13 4a − 23
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 15 −
Bài 8: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Tân Kỳ năm 2021 -2022 Lời giải − Ta có: 6n 3 3 6 M = = + .
4n − 6 2 4n − 6
Vì 6 có tử 6 > 0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n − 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất với 4n − 6
n là số tự nhiên.
Với 4n − 6 =1 ta có: 4n = 7 nên 7 n = ∉ (loại). 4
Do đó 4n − 6 = 2 ta có 4n = 8 nên n = 2. Khi đó 3 6 9 M = + = . 2 2 2
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 khi n = 2 . 2 −
Bài 9: Tìm số tự nhiên n n để phân số 10
3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 4n −10
Trích đề HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có
10n − 3 5(2n − 5) + 22 5 22 5 11 B = = = + = + . 4n −10 2(2n − 5)
2 2(2n − 5) 2 2n − 5
Ta có B đạt giá trị lớn nhất khi 11 đạt giá trị lớn nhất, vì 11 > 0 và không đổi nên 11 2n − 5 2n − 5
đạt giá trị lớn nhất khi 2n − 5 > 0 và đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy ra: 2n − 5 =1 khi và chỉ khi n = 3.
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 13,5 khi n = 3.
B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP
(copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số Bài 1: Cho 1 1 1 1 A =1+ + + +…+
. Chứng tỏ rằng: 50 < A <100 100 2 3 4 2 −1
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 Bài 2: Cho tổng : 1 1 1 S = + +...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < . 31 32 60 5 5
Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Bài 3: Cho 1 2 3 A = + + +… . 11 … + . Chứng minh rằng 1 A < . 2 3 4 12 5 5 5 5 16
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 Bài 4: 1 2 3 4 M = + + + và 2 3 4 5 6 N = + + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
So sánh M N .
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Bài 5: So sánh tổng 1 2 3 n 2007 S = + + +.....+ +......+ với 2. (n∈*) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Bài 6: Cho 2 3 2001 2002 2003
A =1+ 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 ; B = 2
So sánh A B
Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020 Bài 7: Cho 2 3 4 71 72 P =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + … + 2012 + 2012 và 73 Q = 2012 −1.
So sánh P Q .
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Bài 8: Cho tổng 2 4 6 2008
A = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 .
So sánh giá trị biểu thức: 2010
B = 8A − 3 với 1
− . Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022 2016 2017 Bài 9: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = . 2017 10 +1 2018 10 +1
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Bài 10: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + +...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 2 Bài 11: Cho 3 8 15 2023 −1 A = + + + ...+
. Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự 2 2 2 2 2 3 4 2023 nhiên.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 1 2 1 1 Bài 12: Cho S = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4
2022 . Chứng tỏ rằng S không là số tự nhiên.
Trích đề HSG huyện Yên Mỹ năm 2021-2022 Bài 13: Cho 1 1 1 1 1 M = + + + + ...+ . So sánh M với 1 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Bài 14: Cho 1 2 3 69 S = + + +...+ .Chứng tỏ 1 S < 2 3 4 70 7 7 7 7 36
Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2021-2022
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1:Cho 1 1 1 1 A = + + +...+ Chứng minh rằng: 4 5 < A < 11 12 13 70 3 2
Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Bài 2:Cho 2 3 98 99 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +.....+ 4 + 4 , B = 4 Chứng minh rằng: B A < . 3
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Bài 3:Tính tổng 6 6 6 6 S = + + + ......+
và chứng tỏ S <1 2.5 5.8 8.11 29.32
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 17
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 +...+ 1 < 1. 2 2 2 3 2 4 2 100
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Bài 5: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +...+ = + + + +...+ . 28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Bài 6: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 . 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2012-2022 Bài 7: Cho 1 2 3 100 A = + + +…+ . Chứng tỏ rằng 3 A < . 2 3 100 3 3 3 3 4
Trích đề HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022 Bài 8: Cho tổng : 1 1 1 S = + +...+ . Chứng minh rằng : 3 4 < S < 31 32 60 5 5
Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022
Bài 9: Cho A = 1 1 1 1 + + ...+
. Chøng minh rằng: A < 2 . 2 2 2 2 1 2 3 50
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 Bài 10: Cho 1 1 1 1 A = + + + ....+ . 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 Chứng minh 3 A < 4
Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Bài 11: Cho 457 456 455 1 A = + + +…+
. Chứng minh: A > 2016 1 2 3 457
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Bài 12: Cho 1 1 1 1 1 1 S = + + + +.....+ + .Chứng tỏ S <1 2 3 4 2012 2013 2 2 2 2 2 2
Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019
Bài 13: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + .... + < 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 2019-2020
Bài 14: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +......+ <1. 2 2 2 2 2 3 4 100
Trích đề HSG huyện ……năm 20…-20…
Bài 15: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 + + + ...+ < . 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 4
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Bài 16: Cho 1 1 1 1 1 M = + + +...+ + . Chứng minh rằng 7 M > . 101 102 103 199 200 12
Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022
Bài 17: Cho ba số dương 0 ≤ a b c ≤1chứng minh rằng: a + b + c ≤ 2
bc +1 ac +1 ab +1
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 18
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1:
Giá trị của x để A = (x + )2
7 + 2022 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. 7 − . B. 7 . C. 2022 . D. 2022 − .
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n − 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022
Bài 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = x y + x +1 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trích đề HSG huyện Diễn Châu năm 2015-2016
Bài 4: Cho phân số 3n 8 . Tìm n∈ để A có giá trị nhỏ nhất. 6n + 4
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022
Bài 5: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2021 - 2022 + Bài 6: Cho phân số n 1 A = (n∈) n − 3
d) Tìm n để A là phân số
e) Tìm n để A là phân số tối giản
f) Tìm n để A có giá trị lớn nhất
Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019
Bài 7: Với giá trị nào của số tự nhiên a a thì 5
17 có giá trị lớn nhất. 4a − 23
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017
Bài 8: Tìm số tự nhiên n n để phân số 6 3 M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
Trích đề HSG huyện Tân Kỳ năm 2021 -2022
Bài 9: Tìm số tự nhiên n n để phân số 10
3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 4n −10
Trích đề HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022
C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ
(Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài) Bài 1: Tính tổng 6 6 6 6 S = + + + ......+
và chứng tỏ S <1. 2.5 5.8 8.11 29.32
Trích đề HSG trường THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019 Lời giải  3 3 3 S 2. .....  = + + +  2.5 5.8 29.32     1 1 1 1 1 1 2. .....  = − + − + + −  2 5 5 8 29 32     1 1  30 = 2. − = <   1  2 32  32 Vậy S <1.
Bài 2: Cho biểu thức 1 1 1 1 B = + + + ...+ . Chứng tỏ rằng: 1 1 < B < . 2 2 2 2 5 6 7 100 6 4
Trích đề HSG huyện Giao Thuỷ (Nam Định) năm 2018-2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 19 Lời giải Ta có 1 1 < 2 5 4.5 1 1 < 2 6 5.6 1 1 < 2 7 6.7  1 1 < 2 100 99.100 1 1 1 1 B < + + + ... 4.5 5.6 6.7 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1
B < − + − + − +...+ − 4 5 5 6 6 7 99 100 1 1 1 B < − < (1) 4 100 4 Ta có 1 1 > 2 5 5.6 1 1 > 2 6 6.7 1 1 > 2 7 7.8  1 1 > 2 100 100.101 1 1 1 1 B > + + + ... 5.6 6.7 7.8 100.101 1 1 1 1 1 1 1 1
B > − + − + − +...+ − 5 6 6 7 7 8 100 101 1 1 B > − 96 = 96 > 1 = 5 101 505 576 6 1 B > (2) 6 Từ (1) và (2) ta có 1 1 < B < . 6 4 Bài 3: Cho + + + +
a,b,c,d > 0. Chứng minh: 2 a b b c c d d a < + + + < 3.
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b Lời giải a + b a + b a + b + d < < .
a + b + c + d a + b + c a + b + c + d b + c b + c a + b + c < < .
a + b + c + d b + c + d a + b + c + d c + d c + d c + d + b < < .
a + b + c + d c + d + a a + b + c + d d + a d + a d + a + c < < .
a + b + c + d a + b + d a + b + c + d
Cộng theo vế ta được: 2 < A < 3 .
Bài 4: Cho a,b,c > 0 và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại. Chứng minh: a b c + + < 2 .
b + c c + a a + b Lời giải
Giả sử: a b c => a + b > a + c > b + c .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 20  a a =
b + c b + c  Ta có:  b b  <
c + a b + c   c c <
a +b b+c
Cộng theo vế ta được: a b c a + b + c + + < = 1 a + < 1+1 = 2
b + c c + a a + b b + c b + c
Bài 5: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh: a b c M = + +
có giá trị không nguyên.
a + b b + c c + a Lời giải a a  + > a a c  <
a + b a + b + c  
a + b a + b + c Ta có:  b bb b + a  > và  < ,
b + c a + b + c
b + c a + b + c   c c  + > c c b  <
c + a a + b + c
c + a a +b+c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a b c a + b b + c c + a + + < M < + + hay 1< M < 2.
a + b + c a + b + c a + b + c
a + b + c a + b + c a + b + c Bài 6: Chứng minh: 1 4 7 10 208 1 A = . . . ..... < . 3 6 9 12 210 25Lời giải Ta thấy − −
A có dạng n <1 nên n n 1 n 1 < < n + 2 n + 2 n +1 n 1 3 6 207 A < . . ..... 3 4 7 208 1.4.7.10.....208 1.3.6.....207 2 ( )( ) A < ( 3.6.9.....210)(3.4.7.....208) 2 1 1 A < = 3.210 630 2 1 A < 625 1 A < 25 Bài 7: Chứng minh: 1 1 1 1 A = + + + .....+ > 1. 2 n n +1 n + 2 n Lời giải 1  1 1 1 A .....  = + + + +  có 2 n − (n + ) 2
1 +1 = n n số hạng. 2
n n 1 n 2 n  + +  1 1 1 2 − A 1 > + + .....+ n n = + 1 = +1 n − = 1 2 2 n n n 2 n n 2 n n Vậy A >1. Bài 8: Chứng minh: 1 1 1 1 1+ + + +...+ < 2016 . 2016 2 3 4 2 Lời giải