Bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN trong các đề thi HSG Toán 7
Tài liệu gồm 70 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
CĐ11: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GTLN, GTNN
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 2.1: Bất đẳng thức về chứng minh tổng phân số tự nhiên
Dạng 2.2: Bất đẳng thức về chứng minh tổng lũy thừa
Dạng 2.3: Bất đẳng thức về chứng minh tích của một dãy
Dạng 3: Bất đẳng thức dạng chữ
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A. Trắc nghiệm (nếu có)
Câu 1. (HSG 7 huyện Lạng Giang 2022 - 2023)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + (x − y + )2 2
1 +10 với x ≥ 0 là: A. 10 B. 11 C. 1 D. 10 − Lời giải Chọn A
Ta có: x ≥ 0, x
∀ ≥ 0 ; (x − y + )2 2 1 ≥ 0, x, y ∀
⇒ x + (x − y + )2 2 1 ≥ 0, x ∀ ≥ 0, y ∀
⇒ C = x + (x − y + )2 2 1 +10 ≥10, x ∀ ≥ 0, y ∀
Giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi: x = 0 x = 0 x = 0 ⇒ ⇒ ( x − 2y + )2 1 1 = 0
x − 2y +1 = 0 y = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi 1 x = 0; y = . 2
Câu 2. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022) Cho số − x x ∈ Z để 2018 B =
có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của B là : 2017 − x A. 1. B. 4 C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có: 2018 − x B − + = 2017 x 1 = 1 = 1+ 2017 − x 2017 − x 2017 − x
Suy ra B đạt giá trị lớn nhất khi 2017 − x là số dương nhỏ nhất.
Mà x là số nguyên ⇒ 2017 − x =1 ⇒ x = 2016 . Khi đó B =1+1 = 2 .
Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = y − 2 + y − 5 là A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Lời giải
Trang 1/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Chọn B
Ta có: A = y − 2 + y − 5 = y − 2 + 5 − y
Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a + b ≥ a + b . Dấu ‘=’ xảy ra khi . a b ≥ 0 .
Ta có y − 2 + 5 − y ≥ y − 2 + 5 − y = 3. Dấu ‘=’ xảy ra khi ( y − 2)(5 − y) ≥ 0 ⇒ 2 ≤ y ≤ 5 ⇒ A ≥ 3
Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2 ≤ y ≤ 5
Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)
Với x nguyên, giá trị lớn nhất của biểu thức 2022 − x A = là 2 − x A. 2021 B. 2020 C. 2019 D. 2018 Lời giải Chọn A Ta có: 2022 − x 2020 A = = 1+
, x∈ ⇒ 2 − x∈ . 2 − x 2 − x
Để A có giá trị lớn nhất thì 2 − x là số nguyên dương nhỏ nhất, hay 2 − x =1⇒ x =1.
Vậy GTLN của A là 2021 khi x =1.
Câu 5. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn, huyện Nam Trà My, huyện Thăng Bình, trường Đào Duy
Từ 2018 - 2019; huyện Lâm Thao 2016 - 2017)
Cho (a −b)2 + 6ab = 36 . Giá trị lớn nhất của x = . a b là: A. 6 B. 6 − C. 7 D. 5 Lời giải Chọn A
Ta có (a −b)2 + 6ab = 36 Suy ra: ab = − (a − b)2 6 36 ≤ 36 Suy ra 36 ab ≤ ⇒ ab ≤ 6 6
Dấu “=” xảy ra khi a = b = ± 6
Vậy x đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi a = b = ± 6 . B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Than Uyên - Lai Châu 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2024 A = . 4 − 2022x −1 Lời giải
Với mọi x ta có: 2022x −1 ≥ 0 ⇒ 4 − 2022x −1 ≤ 4 1 1 ⇒ ≥ 4 − 2022x −1 4 1 1 ⇒ .2024 ≥ .2024 2024 ⇒ ≥ 506 . 4 − 2022x −1 4 4 − 2022x −1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2022 1
x −1 = 0 ⇒ x = . 2022
Trang 2/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 506 khi và chỉ khi 1 x = . 2022
Câu 2. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)
Cho x thoả mãn: x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 = 4 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của x , M là
giá trị lớn nhất của x . Tính giá trị của A = m + M . Lời giải
Áp dụng tính chất: a ≥ a , dấu “=” xảy ra khi a ≥ 0 , ta được:
x − 2 ≥ x − 2 dấu “=” xảy ra khi x − 2 ≥ 0 .
x − 3 ≥ x − 3 dấu “=” xảy ra khi x − 3 ≥ 0.
4 − x ≥ 4 − x dấu “=” xảy ra khi 4 − x ≥ 0 .
5 − x ≥ 5 − x dấu “=” xảy ra khi 5 − x ≥ 0.
Suy ra: x − 2 + x − 3 + 4 − x + 5 − x ≥ x − 2 + x − 3+ 4 − x + 5 − x = 4 . x − 2 ≥ 0 x − 3 ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi: ⇒ 3 ≤ x ≤ 4 . 4 − x ≥ 0 5−x≥0
Suy ra 3 là giá trị nhỏ nhất của x , 4 là giá trị lớn nhất của x .
Suy ra: A = m + M = 3+ 4 = 7 .
Câu 3. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x −1 + x − 2 + x − 3 +…+ x − 23 . Lời giải
Ta có: A = x −1 + x − 2 + x − 3 +...+ x − 23 thì:
A = x −1 + x − 2 +....+ 11− x + x −12 + 13− x +..... 23− x .
Áp dụng tính chất a ≥ a , dấu “=” xảy ra khi a ≥ 0 , ta được:
x −1 ≥ x −1; x − 2 ≥ x − 2 ; ...; x −11 ≥ x −11;
x −12 ≥ 0 ; 13− x ≥13− x ; ...; 23− x ≥ 23− x .
Suy ra: A ≥ x −1+ x − 2 +....+ x −11+ 0 +13− x +...+ 23− x (22 + 2).11
= 23−1+ 22 − 2 +....+13−11+ 0 = 22 + 20 +18 +16 +14 +....+ 2 = = 132 . 2
Dấu “=” xảy ra khi x =12 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 132 khi x =12 .
Câu 4. (HSG 7 trường Bồ Lý 2015 - 2016; huyện Hoàng Hóa; trường Phạm Kính Ân 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A = x +1 + 5 2 b) x +15 B = . 2 x + 3 Lời giải
Trang 3/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
a) Với mọi x , ta có: x +1 ≥ 0 ⇒ A = x +1 + 5 ≥ 5 , dấu " = " xảy ra khi x = 1 −
Vậy MinA = 5 ⇔ x = 1 − . x +15 ( 2 2 x + 3) +12 b) Ta có: 12 B = = = 1+ . 2 2 2 x + 3 x + 3 x + 3
Với mọi x , ta có: 2 x ≥ 0 ⇒ 2 x + 3 ≥ 3 ⇒ 12 12 ≤ ⇒ 12 ≤ 4 ⇒ 12 1+ ≤ 5 . 2 x + 3 3 2 x + 3 2 x + 3
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x = 0 .
Vậy GVLN của B là 5 khi x = 0 .
Câu 5. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2016 - 2017; huyện Bố Trạch, huyện Vị Thanh 2017 - 2018;
huyện Hà Đông 2022 - 2023)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 ≤ a ≤ b +1≤ c + 2 và a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của . c Lời giải
Vì: 0 ≤ a ≤ b +1≤ c + 2 nên 0 ≤ a + b +1+ c + 2 ≤ c + 2 + c + 2 + c + 2 .
Suy ra: 0 ≤ 4 ≤ 3c + 6 (vì a + b + c =1). Hay 3c ≥ 2 − 2 ⇒ c ≥ − . 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là 2 − khi đó 5 a + b = . 3 3
Câu 6. (HSG 7 huyện Bình Xuyên - Vĩnh Phúc 2022 - 2023)
Cho x là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x −1 + 2x − 2 +... 2x −10 . Lời giải
Ta có: A = 2x −1 + 2x − 2 +... 2x −10
A = ( 2x −1 + 2x −10 ) + ( 2x − 2 + 2x −9 )...+ ( 2x −5 + 2x − 6 )
A = ( 2x −1 + 10 − 2x ) + ( 2x − 2 + 9 − 2x)...+ ( 2x −5 + 6 − 2x )
A ≥ 2x −1+10 − 2x + 2x − 2 + 9 − 2x + 2x − 5 + 6 − 2x = 9 + 7 + 5 + 3+1 = 25 . 1 ≤ x ≤ 5 ( 2x − ) 1 (10 − 2x) ≥ 0 5 9
(2x − 2)(9 − 2x) ≥ 0 1 ≤ x ≤ Dấu = xảy ra khi: ⇔ 5 ⇒ ≤ x ≤ 3 . ... 2 ... 2
(2x −5)(6−2x) ≥ 0 5 ≤ x ≤ 3 2
Câu 7. (HSG 7 huyện Triệu Sơn 2022 - 2023)
Cho a , b , c là các số thực thảo mãn 2 2 2
a + b + c ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 2023ca − ab − bc . Lời giải
Ta có: P = 2023ca − ab − bc = 2023ca − b(a + c) . Có: (x − y)2 2 2
≥ 0 ∀ x, y ⇔ x + y ≥ 2xy ∀ x, y . Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y . (*)
Trang 4/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2 b + a + c
+ Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: b(a + c) ( )2 ≤ . 2 2 2 2 Suy ra: − − ( + ) a + b + c b a c ≥ − − ac 2 = − ac = 1 − − ac . 2 2
Do đó: P ≥ 2023ca −1− ac = 2022ac −1. 2 2 2 2 2
+ Lại có: ac = a . c a + c + + ≤ a b c ≤ 2 = = 1, suy ra 1 − ≤ ac ≤1. 2 2 2
Do đó: P ≥ 2022ac −1≥ 2022.(− ) 1 −1 = 2023 − . Dấu " = " xảy ra khi: a = 1 ± b = 0 b = 0 b = 0 a = −c c = −a b = a + c c = − a 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 2 a + 0 + a = 2 a = c ⇔ ⇔ ⇔ 1 2 a = . b = 2a b = 2a 6 2 2 2
a + b + c = 2 a = c c = a b = 2a 2 2 2
a + b + c = 2 2 c = a a + (2a)2 2 + a =1 Vậy P = 2023 − khi: min ( − − − a b c)∈ ( − ) (− ) 1 2 1 1 2 1 ; ; 1; 0; 1 , 1; 0; 1 , ; ; , ; ; . 6 6 6 6 6 6
Câu 8. (HSG 7 huyện Diễn Châu 2022 - 2023)
Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: x +1 P = . 2x − 2 Lời giải x +1 (x − ) 1 + 2 Ta có: 1 1 P = = = + . 2x − 2 2(x − ) 1 2 x −1 Để 1 P ⇔
đạt giá trị lớn nhất ⇔ x −1 đạt giá trị nhỏ nhất và x −1 > 0 . max x −1
Mà x nguyên nên x = 2 . Vậy 1 1 P = + 3 = khi x = 2 . max 2 2 −1 2
Câu 9. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2022 D = với x ∈ . 2023− x − 2024 Lời giải
Vì x∈ ⇒ 2023− x − 2024 ∈.
Để D đạt giá trị nhỏ nhất thì 2023− x − 2024 lớn nhất và âm.
⇒ 2023− x − 2024 = 1
− ⇒ x − 2024 = 2024
⇒ x = 0 hoặc x = 4048 .
Trang 5/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức D là 2022 −
khi x = 0 hoặc x = 4048 .
Câu 10. (HSG 7 huyện Thái Hòa - Nghệ An 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
Q = x +1 + x −1 + x + 4 . Lời giải
Ta có: x +1 + x −1 = x +1 + 1− x ≥ x +1− x +1 = 2 với mọi x và 2
x + 4 ≥ 2 với mọi x .
Suy ra: Q ≥ 4 với mọi x .
Dấu bằng xảy ra khi (x + ) 1 (1− x) > 0 và 2
x = 0 hay x = 0 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q = 3 khi x = 0 .
Câu 11. (HSG 7 huyện Đông Hưng, huyện Hưng Hà, trường Lê Quý Đôn - Hà Tĩnh, TP Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = x − 2022 + x − 2023 . Lời giải
F = x − 2022 + x − 2023 = x − 2022 + 2023− x .
Vì x − 2022 ≥ x − 2022 dấu “=” xảy ra khi x − 2022 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2022
và 2023− x ≥ 2023− x dấu “ =” xảy ra khi 2023− x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2023 .
Suy ra: F = x − 2022 + 2023− x ≥ x − 2022 + 2023− x =1. x ≥ 2022
Dấu ” =” xảy ra khi:
⇒ 2022 ≤ x ≤ 2023. x ≤ 2023
Vậy MinF =1 khi 2022 ≤ x ≤ 2023.
Câu 12. (HSG 7 huyện Hà Trung 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 . Lời giải
Ta có: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 = ( x − 2021 + 2023− x ) + x − 2022 .
Do x − 2021 + 2023− x ≥ x − 2021+ 2023− x = 2 và x − 2022 ≥ 0 với mọi x nên A ≥ 2 . ( x − ) 2021 (2023− x) ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ⇒ x = 2022 . x − 2022 = 0
Vậy Min A = 2 khi x = 2022 .
Câu 13. (HSG 7 huyện Lập Thạch - Vĩnh Phúc 2022 - 2023) Cho biểu thức 2026 − x A =
. Tìm x nguyên để A có giá trị nhỏ nhất. x − 2023 Lời giải Ta có: 2026 − x A − + = 2003 x 3 = 3 = 1 − + x − 2023 x − 2003 x − 2003 A nhỏ nhất khi 3 nhỏ nhất. x − 2023 3
nhỏ nhất khi x − 2023 là số âm lớn nhất. x − 2023
Trang 6/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Mà x nguyên suy ra x − 2023 = 1 − ⇔ x = 2022 . Vậy A có GTNN là 4
− khi x = 2022 .
Câu 14. (HSG 7 huyện Tân Kỳ 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x − 4 + 2x − 6 + 2x −8 . Lời giải
Ta có: A = 2x − 4 + 8 − 2x + 2x − 6 .
Ta có: 2x − 6 ≥ 0 . (1)
2x − 4 + 8 − 2x ≥ 2x − 4 + 8 − 2x = 4 . (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra: A = 2x − 4 + 2x − 6 + 2x −8 ≥ 4. 2x − 6 = 0 Dấu " = " xảy ra khi: ( hay x = 3. 2x − 4 )(8− 2x) ≥ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x − 4 + 2x − 6 + 2x −8 bằng 4 khi x = 3.
Câu 15. (HSG 7 Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 27 − 2x Q =
(với x là số nguyên). 12 − x Lời giải Ta có: 27 − 2x 3 Q = = 2 + . 12 − x 12 − x
Suy ra Q lớn nhất khi 3 lớn nhất. 12 − x
3 lớn nhất khi 12− x là số dương nhỏ nhất. 12 − x
Mà x nguyên nên 12 − x =1. Hay x =11. Với x =11 thì 27 2 .11 Q − = = 5 . 12 −11
Suy ra Q có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11.
Câu 16. (HSG 7 trường Giao Tân 2016 - 2017; trường Lê Hồng Phong 2018 - 2019; huyện
Tương Dương 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( x − y)2 −( y − x)2 2 5 15 6 − xy − 90 . Lời giải
Ta có: P = ( x − y)2 −( y − x)2 2 5 15 6 − xy − 90
= (2x − 5y)2 − (6x −15y)2 − xy − 90
= (2x − 5y)2 − 9.(2x − 5y)2 − xy − 90
= − ( x − y)2 8. 2 5 + xy − 90 .
Ta có: ( x − y)2 8. 2 5
≥ 0 với mọi giá trị của x, y ;
xy − 90 ≥ 0 với mọi giá trị của x, y .
Trang 7/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Do đó ( x − y)2 8. 2 5
+ xy − 90 ≥ 0 với mọi giá trị của x, y .
Nên − ( x − y)2 8. 2 5 + xy − 90 ≤ 0
với mọi giá trị của x, y .
Hay P ≤ 0 với mọi giá trị của x, y .
Dấu " = "xảy ra khi và chỉ khi ( x − y)2 2 5
= 0 và xy − 90 = 0 .
+ Với xy − 90 = 0 thì xy − 90 = 0 (1). + Với ( x y x − y)2 2 5
= 0 thì 2x − 5y = 0 . Do đó 2x = 5y ⇒ = . 5 2 Đặt x y
= = k , khi đó x = 5k , y = 2k , thay x = 5k , y = 2k 5 2 vào (1) ta được: 2
5k.2k −90 = 0 ⇒ k = 9 . Suy ra k = 3 hoặc k = 3 − .
Nếu k = 3 thì x = 4; y = 6 ; Nếu k = 3 − thì x = 4; − y = 6 − .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 hoặc x = 4; − y = 6 − .
Câu 17. (HSG 7 trường Lang Chánh 2022 - 2023)
Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: x + 3z = 2022 và x + 2y = 2023. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 1
A = x + y + z + . 2 Lời giải
Ta có: x + 3z = 2022 (1) và x + 2y = 2023 (2)
Từ (1) ⇒ x = 2022 − 3z
Trừ từng vế của (2) cho (1), ta được: 2y − 3z =1 1 3z y + ⇒ = 2 Khi đó: 1 1+ 3z 1
A = x + y + z + = (2022 − 3z) + + z + 2 2 2 1 1 3 1
= 2022 + + − 3z + z + z = 2023− z 2 2 2 2 Vì 1 1
z ≥ 0 ⇒ − z ≤ 0 ⇒ 2023− z ≤ 2023 ⇒ A ≤ 2023. 2 2 z = 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2022 . 1 y = 2 z = 0
Vậy: GTLN của A bằng 2023 ⇔ x = 2022 . 1 y = 2
Câu 18. (HSG 7 TP Bắc Giang 2022 - 2023)
Trang 8/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 x − 2022 + 2023
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = . x − 2022 + 2024 Lời giải ( x−2022 + 2024)−1 Ta có 1 C = = 1− . x − 2022 + 2024 x − 2022 + 2024
Ta thấy C đạt giá trị nhỏ nhất khi 1
đạt giá trị lớn nhất x − 2022 + 2024
⇒ x − 2022 + 2024 đạt giá trị nhỏ nhất (vì 1 > 0 ).
Mặt khác x − 2022 ≥ 0, x
∀ ⇒ x − 2022 + 2024 ≥ 2024, x ∀ . Do đó 1 2023 C ≥1− = . 2024 2024
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x − 2022 = 0 . Suy ra x = 2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2023 . 2024
Câu 19. (HSG 7 trường Hiệp Hòa 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x − 4 + 5x − 7 − x + 2025 . Lời giải Ta có: 4
3x − 4 = 0 ⇒ x = 3 7
5x − 7 = 0 ⇒ x = 5 Ta có bảng xét dấu sau: 4 7 3 5 3x − 4 − 0 + || + 5x − 7 − || − 0 + 3x − 4 = 4 − 3x TH1: với 4 x ≤ ⇒ . 3
5x − 7 = 7 − 5x Khi đó 4
A = 4 − 3x + 7 − 5x − x + 2025 = 2036 − 9x ≥ 2036 − 9. = 2024(1) 3 4 7
3x − 4 = 3x − 4
TH2: với < x < ⇒ . 3 5
5x − 7 = 5x − 7 Khi đó 7 10119
A = 3x − 4 + 7 − 5x − x + 2025 = 3 − x + 2028 ≥ 3. − + 2028 = (2) 5 5 7
3x − 5 = 3x − 5 TH3: Với x ≥ ⇒ . 5
5x − 7 = 5x − 7 Khi đó 7 10119
A = 3x − 4 + 5x − 7 − x + 2025 = 7x − 2014 ≥ 7. − 2014 = (3) 5 5
Trang 9/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Từ (1); (2) và (3) suy ra 10119 A ≥ x
∀ . Dấu ' = ' xảy ra khi 7 x = . 5 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 10119 khi 7 x = . 5 5
Câu 20. (HSG 7 huyện Gia Viễn - Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2
P = 6. y − + x − 4x + 7. 8 Lời giải Ta có: 1 2
P = 6. y − + x − 4x + 7. 8 1
6. y − ≥ 0, y ∀ 8 2 2
x − 4x + 7 = x − 2x − 2x + 4 + 3 = x(x − 2) − 2(x − 2) + 3 = (x − )2 2 + 3 > 0, x ∀ 1 1 6. y − = 0 = ⇒ P ≥ 3, x,y ∀ . y
Dấu “=” xảy ra khi: 8 ⇒ 8 . ( x −2 )2 = 0 x = 2 1 y =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 khi 8 . x = 2
Câu 21. (HSG 7 huyện Hương Khê–Hà Tĩnh 2022 - 2023) Cho biểu thức: 4049 − 2x P =
(x ≠ 2023). Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P đạt x − 2023
giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của P . Lời giải
4049 − 2x 3− 2(x − 2023) 3 P = = =
− 2(x ≠ 2023) x − 2023 x − 2023 x − 2023
Biểu thức P đạt GTNN khi và chỉ khi 3
có GTNN ⇒ x − 2023 là số âm lớn nhất x − 2023
(vì x nguyên )⇒ x − 2023 = 1
− ⇒ x = 2022 (TM )
Khi đó GTNN của P là 5 − khi x = 2022 .
Vậy GTNN của P là 5 − khi x = 2022 .
Câu 22. (HSG 7 huyện Thái Thụy - Thái Bình 2022 - 2023) Cho biểu thức a − 5 E =
với a là số nguyên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của E ? a − 2 Lời giải
Điều kiện: a ≠ 2
a − 5 a − 2 − 3 3 E = = = 1− ; a − 2 a − 2 a − 2
E nhận giá trị nguyên khi 3 là số nguyên. a − 2
⇒ 3a − 2 ⇒ a − 2∈{ 1; ± ± } 3 ⇒ a ∈{3;5;1;− } 1
Trang 10/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Thử lại các trường hợp thì ta tính được giá trị nhỏ nhất của E bằng 2 − khi a = 3
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của E bằng 2 − khi a = 3.
Câu 23. (HSG 7 huyện Sông Lô, trường Đôn Nghĩa–Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 14 − x P =
với x là số nguyên khác 4 . 4 − x Lời giải Ta có: 14 − x 10 P = = 1+ 4 − x 4 − x P đạt GTLN 10 ⇔ đạt GTLN 4 − x
Nếu 4 − x > 0 thì 10 > 0 4 − x
Nếu 4 − x < 0 thì 10 < 0 4 − x
Để 10 đạt GTLN thì 4 − x là số nguyên dương nhỏ nhất ⇒ 4 − x =1 ⇒ x = 3(TM) 4 − x
Khi x = 3 thì P =11.
Vậy P có GTLN bằng 11 khi x = 3
Câu 24. (HSG 7 trường Lý Nam Đế - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất 2011 B = . 2012 − x − 2010 Lời giải
Ta có: − x − 2010 ≤ 0 với mọi x ⇒ 2012 − x − 2010 ≤ 2012 với mọi x . x > 4022
* Trường hợp 1: 2012 − x − 2010 < 0 ⇒ x − 2010 > 2012 ⇒ . x < 2 −
Khi đó, B < 0. B nhỏ nhất khi và chỉ khi 2011 −B =
đạt giá trị dương lớn nhất x − 2010 − 2012
khi và chỉ khi x − 2010 − 2012 =1 x = 4023
⇔ x − 2010 = 2013 ⇔ (thỏa mãn). x = 3 −
Khi đó, B nhỏ nhất bằng 2011 − .
* Trường hợp 2: 2012 − x − 2010 > 0 ⇒ x − 2010 < 2012 ⇒ 2 − < x < 4022 Khi đó, 2011
0 < 2012 − x − 2010 ≤ 2012 ⇒ B ≥ . 2012 Vậy x = 3
− hoặc x = 4023 . biểu thức 2011 B =
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2011 − 2012 − x − 2010
Câu 25. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023) 2(x − )2 1 + 2( y − 2)2 +100
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 Lời giải
Trang 11/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2(x − )2 1 + 2( y − 2)2 +100 D = (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2.[(x − )2
1 + ( y − 2)2 + 2]− 4 +100 = 96 = 2 + (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2 (x −1) ≥ 0 Vì 2 2
⇒ (x −1) + (y − 2) + 2 ≥ 2 2 (y − 2) ≥ 0 96 96 ⇒ ≤ = 48 (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2 96 ⇒ 2 + ≤ 50 ⇒ D ≤ 50 (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2 (x −1) = 0 x =1 Dấu bằng xảy ra khi ⇒ 2 (y − 2) = 0 y = 2 x=1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức: D là 50 khi y = 2
Câu 26. (HSG 7 huyện Hương Khê - Hà Tĩnh, trường Tân Tiến - Hưng Hà 2022 - 2023) 2 x −1 + 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = x −1 +1 Lời giải
2 x −1 + 3 2 x −1 + 2 +1 Ta có 1 C = = = 2 + x −1 +1 x −1 +1 x −1 +1
Vì x −1 ≥ 0 với mọi x .
⇒ x −1 +1≥1 với mọi x . 1 ⇒ ≤1 với mọi x . x −1 +1 1 ⇒
+ 2 ≤ 3 với mọi x . x −1 +1
Vậy giá trị lớn nhất C là 3 khi và chỉ khi x =1
Câu 27. (HSG 7 huyện Tam Dương - Vĩnh phúc 2016 - 2017; huyện Phủ Lý, trường THCS Lý
Tự Trọng 2018 - 2019; huyện Hưng Hà, Vũng Tàu 2022 - 2023)
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2016x − 2016 M = có giá trị nhỏ nhất. 3x + 2 Lời giải
2016x − 2016 672(3x + 2) − 2016 −1344 3360 M = = = 672 − 3x + 2 3x + 2 3x + 2 M nhỏ nhất 3360 ⇒ lớn nhất 3x + 2
Xét 3x + 2 < 0 thì 3360 < 0 (1) 3x + 2
Trang 12/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Xét 3x + 2 > 0 thì 3360 > 0 3x + 2
3360 lớn nhất khi 3x+2 3x + 2 nhỏ nhất
Mà x nguyên, 3x + 2 dương và 3x + 2 chia 3 dư 2 nên 3x + 2 = 2 nên x = 0 Khi đó: 3360 = 3360 =1680 (2) 3x + 2 3.0 + 2
So sánh (1) và (2) thì 3360 có giá trị lớn nhất bằng 1680 3x + 2 Vậy M = 1008 − x = . min khi 0
Câu 28. (HSG 7 huyện Hoằng Hoá - Thanh Hoá 2017 - 2018; trường Nguyễn Tông Quai - Hưng Hà 2022 - 2023) 2 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x + y + 3 B = . 2 2 x + y + 2 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: x + y + 3 B + + + = x y 2 1 = 1 = 1+ 2 2 x + y + 2 2 2 x + y + 2 2 2 x + y + 2 2 Mà x ≥ 0 2 2
⇒ x + y + 2 ≥ 2 2 y ≥ 0 2 2
⇒ x + y + 2 nhỏ nhất bằng 2 khi x = y = 0
Khi đó B lớn nhất bằng 1 3 1+ = 2 2 3 Vậy B =
x = y = . max 2 khi 0
Câu 29. (HSG 7 trường Minh Khai - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: | x − 2017 | 2018 C + = . | x − 2017 | 2019 + Lời giải ( x −2017 + 2019)−1 Ta có: | x − 2017 | 2018 C + = = = 1 1− | x − 2017 | 2019 + | x − 2017 | 2019 + | x − 2017 | 2019 +
Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x − 2017 | 2019 +
có giá trị nhỏ nhất
Mà | x − 2017 |≥ 0 nên | x − 2017 | 2019 + ≥ 2019. Dấu " = " xảy ra khi 2018 x = 2017 ⇒ C = . 2019
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2018 khi x = 2017 . 2019
Câu 30. (HSG 7 trường Cự Khê 2016 - 2017; trường Lưu Khánh Đàm - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x − )2
2 + y − x + 3 . Lời giải Ta có 2
(x − 2) ≥ 0 với mọi x và y − x ≥ 0 với mọi x, y ⇒ A ≥ 3 với mọi x, y .
Trang 13/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2 (x − 2) = 0 x = 2
Suy ra A nhỏ nhất bằng 3 khi ⇒ y − x = 0 y = 2
Vậy A = 3 khi x = y = 2 . min
Câu 31. (HSG 7 trường Hồng Lĩnh - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau K = ( x − y)2 −( y − x)2 3 2 4 6 − x + y − 5 . Lời giải
Ta có: K = ( x − y)2 −( y − x)2 3 2 4 − x + y − 5
= ( x − y)2 − ( y − x)2 3 2 4. 2 3 − x + y − 5
= ( x − y)2 − ( x − y)2 3 2 4. 3 2 − x + y − 5
= − ( x − y)2 3. 3 2 − x + y − 5
= − ( x − y)2 3. 3 2 + x + y − 5
Ta có ( x − y)2 3. 3 2 0
≥ với mọi giá trị của x, y x + y 5
− ≥ 0 với mọi giá trị của x, y
Do đó ( x − y)2 3. 3 2 + x + y − 5 ≥ 0
với mọi giá trị của x, y
Nên − ( x − y)2 3. 3 2 + x + y − 5 ≤ 0
với mọi giá trị của x, y
Hay K ≤ 0 với mọi giá trị của x, y
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 3x − 2y = 0 và x + y − 5 = 0 (1)
Với 3x − 2y = 0 x y
thì 3x = 2y ⇒ = . 2 3 Đặt x y
= = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 2 3
Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k + 3k − 5 − 0 ⇒ 5k = 5 ⇒ k =1
Với k =1 thì x = 2 ; y = 3
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức K là 0 khi và chỉ khi x = 2; y = 3.
Câu 32. (HSG 7 huyện Đất Mũi 2016 - 2017; huyện Hương Khê - Hà Tĩnh 2017 - 2018; huyện
Rạch Giá - Kiên Giang 2018 - 2019; trường Hồng Lĩnh - Hưng Hà 2022 - 2023)
Cho a,b,c,d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E = x − a + x − b + x − c + x − d . Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c ≤ d . Áp dụng BĐT a + b ≥ a + b , dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 ta có:
x − a + x − d ≥ x − a + d − x ≥ x − a + d − x = d − a ( ) 1
x − b + x − c ≥ x − b + c − x ≥ x − b + c − x = c − b (2)
Suy ra E ≥ c + d − a − b .
Trang 14/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi dấu " = " ở ( ) 1 và (2) xảy ra
khi và chỉ khi (x − a)(d − x) ≥ 0 và (x −b)(c − x) ≥ 0 .
Suy ra a ≤ x ≤ d và b ≤ x ≤ c .
Do đó MinE = c + d − a − b khi b ≤ x ≤ c .
Câu 33. (HSG 7 trường Dân Chủ - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x − + (x − y)2 2 2 + 3 z + 9 +16 Lời giải
Ta có: C = x − + (x − y)2 2 2 + 3 z + 9 +16
Vì x − 2 ≥ 0 x
∀ ∈ ; (x − y)2 ≥ 0 ∀ ; x y ∈ ; 2 z ≥ 0 z ∀ ∈ ⇒ 2 z + 9 ≥ 0 z ∀ ∈ ⇒ 2 z + 9 ≥ 3 z ∀ ∈ ⇒ 2 3 z + 9 ≥ 9 z ∀ ∈
⇒ x − + ( x − y)2 2 2 + 3 z + 9 +16 ≥ 25
⇒ x − + ( x − y)2 2 2
+ 3 z + 9 +16 ≥ 25 hay C ≥ 25
Vậy C = 25 khi x = y = 2 và z = 0. min
Câu 34. (HSG 7 trường THCS Tân Ước 2013 - 2014; huyện Hương Khê (và Đề 326) 2016 - 2017;
trường THCS Hồng Liên, huyện Phủ Lí - Hà Nam, trường Hoàng Quyên, trường Lý Tự
Trọng, trường Phong Đạt 2018 - 2019; trường Thái Hưng - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x − 2 + 2x − 2013 . Lời giải
Ta có: A = 2x − 2 + 2x − 2013 = 2x − 2 + 2013− 2x ≥ 2x − 2 + 2013− 2x = 2011
Dấu " = " xảy ra khi (2x − 2)(2013− 2x) ≥ 0 2013 ⇒ 1≤ x ≤ 2 Vậy A = 2011 khi 2013 1≤ x ≤ . min 2
Câu 35. (HSG 7 trường Trần Thủ Độ - Hưng Hà 2022 - 2023) 2 2x − 3 + 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x − 3 + 5 Lời giải 2 2x − 3 + 7 Ta có 3 B = = 2 − 2x − 3 + 5 2x − 3 + 5
Vì 2x − 3 ≥ 0 với mọi x . − − ⇒ 2x − 3 + 5 ≥ 5 1 1 ⇒ ≤ 3 3 ⇒ ≥ 7 ⇒ B ≥ 2x − 3 + 5 5 2x − 3 + 5 5 5 Dấu " = " xảy ra khi 2 3
x − 3 = 0 ⇒ x = 2 7 3 Vậy B = x = . min 5 khi 2
Trang 15/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 36. (HSG 7 huyện Hoằng Hoá - Thanh Hoá 2017 - 2018; trường Lê Tư Thành - Hưng Hà,
Mường La - Sơn La, huyện Sóc Sơn 2022 - 2023) Tìm số tự nhiên n − n để phân số 7
8 có giá trị lớn nhất. 2n − 3 Lời giải
2(7n −8) 7(2n − 3) + 5 Ta có: 7n −8 7 5 = = = + .
2n − 3 2(2n − 3) 2(2n − 3) 2 2(2n −3)
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 5 lớn nhất. 2(2n −3)
Suy ra 2(2n − 3) nhỏ nhất khác 0 .
Mà n là số tự nhiên nên 2(2n − 3) = 2 ⇒ 2n − 3 =1 ⇒ 2n = 4 ⇒ n = 2
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n = 2.
Câu 37. (HSG 7 trường Điệp Nông - Hưng Hà 2022 - 2023) 3 x − 2 + 2020
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . x − 2 + 2 Lời giải
3 x − 2 + 2020 3( x − 2 + 2) − 6 + 2020 Ta có: 2014 P = = = 3+ x − 2 + 2 x − 2 + 2 x − 2 + 2
Ta thấy : x − 2 ≥ 0 x
∀ ⇒ x − 2 + 2 ≥ 2 1 1 ⇒ ≤ 2014 2014 ⇒ ≤ 2014 ⇒ 3+
≤ 3+1007 ⇒ P ≤1010 x − 2 + 2 2 x − 2 + 2 2 x − 2 + 2
Do đó P đạt giá trị lớn nhất là 1010khi và chỉ khi x − 2 = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ x = 2 .
Vậy biểu thức P đạt giá trị lớn nhất bằng 1010 khi và chỉ khi x = 2 .
Câu 38. (HSG 7 huyện Hưng Hà - Thái Bình 2021 - 2022) Tìm − x x ∈ để 2022 B =
có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 2021− x Lời giải (2021− x) + Ta có: 2022 − x 1 B = 1 = =1+ 2021− x 2021− x 2021− x
Để B lớn nhất thì 1 B = lớn nhất 2021− x
+ Nếu 2021− x < 0 thì 1 < 0 2021− x
+ Nếu 2021− x > 0 thì 1 > 0 2021− x
Vì x là số nguyên nên 2021− x là số nguyên dương Để 1
lớn nhất thì 2021− x phải là số dương nhỏ nhất khi 2021− x =1 ⇒ x = 2020 2021− x Khi đó B =1+1 = 2
Vậy biểu thức B đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 2020 .
Trang 16/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 39. (HSG 7 huyện Ý Yên - Nam Định 2021 - 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
A = 4y − 2y − 5 − 2x − 3y +1 . Lời giải Xét 2
B = 4y − 2y − 5 = ( 2
4y − 2y − 2) −3 = − ( 2 2 y − 2y + ) 1 − 3 = − ( 2
2 y − y − y + ) 1 − 3 = − ( 2
2 y − y)−( y − ) 1 −3 = 2 − y ( y − ) 1 −1.( y − ) 1 − 3 = 2 − ( y − ) 1 ( y − )
1 − 3 = − ( y − )2 2 1 − 3
Do đó A = − ( y − )2 2
1 − 2x − 3y +1 − 3
Với mọi giá trị của x, y , ta có( y − )2
1 ≥ 0 và 2x − 3y +1 ≥ 0 ⇒ − ( y − )2 2
1 − 2x − 3y +1 ≤ 0
⇒ A = − ( y − )2 2
1 − 2x − 3y +1 − 3 ≤ 3 − ( y − )2 1 = 0 y −1 = 0 y =1 x = 1 Dấu " = " xảy ra khi ⇒ ⇒ ⇒ .
2x − 3y +1 = 0
2x − 3y +1 = 0 2x − 3.1+1 = 0 y = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 3
− , đạt được khi và chỉ khi ( x; y) = (1; ) 1 .
Câu 40. (HSG 7 huyện Lục Ngạn - Bắc Giang 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x − 2019 + x − 2020 + x − 2021 . Lời giải
Ta có: P = x − 2019 + x − 2020 + x − 2021
= ( x − 2019 + 2021− x ) + x − 2020
Ta có x − 2019 + 2021− x ≥ x − 2019 + 2021− x = 2
Dấu bằng xảy ra khi (x − 2019)(2021− x) ≥ 0 ⇒ 2019 ≤ x ≤ 2021 ( ) 1
Lại có x − 2020 ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi x = 2020 . (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là 2 , xảy ra khi x = 2020 .
Câu 41. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( x − y)2 −( y − x)2 2 5 15 6 − xy − 40 . Lời giải
Ta có P = ( x − y)2 −( y − x)2 2 5 15 6 − xy − 40
= ( x − y)2 − ( x − y)2 2 5 6 15 − xy − 40
= ( x − y)2 − ( x − y)2 2 5 9. 2 5 − xy − 40 2 = − 8.(
2x − 5y) + xy − 40 Ta thấy 2
(2x − 5y) ≥ 0 với mọi x, y nên 2
8.(2x − 5y) ≥ 0 với mọi x, y
xy − 90 ≥ 0 với mọi x, y
Trang 17/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Khi đó 2
8.(2x − 5y) + xy − 40 ≥ 0 với mọi x, y Suy ra 2 − 8.(
2x − 5y) + xy − 40 ≤ 0
với mọi x, y
Hay P ≤ 0 với mọi x, y Dấu " = " xảy ra khi 2
(2x − 5y) = 0 và xy − 40 = 0 + Với 2 (2 x y
x − 5y) = 0 thì 2x = 5y ⇒ = 5 2
+ Với xy − 40 = 0 thì xy = 40 Đặt x y
= = k ta được x = 5k và y = 2k 5 2
Mà xy = 40 nên 5k .2k = 40
Tìm được k = 2 hoặc k = 2 −
+ Nếu k = 2 thì x =10 ; y = 4 + Nếu k = 2 − thì x = 10 − ; y = − 4
Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x =10 ; y = 4 hoặc x = 10 − ; y = 4 − .
Câu 42. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022) 2 2 Cho
a − x b + y
x =1− y , x > 0 , y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + ( a và b x y
là hằng số dương đã cho). Lời giải
Theo bài ra ta có: x =1− y ⇒ x + y =1 2 2 2 2 2 2 và
a − x b + y P = + a = −1 b + +1 a b = + x y x y x y 2 ( + ) 2 a x y b (x + y) 2 2 = + (vì a y b x x + y =1) 2 2 = a + + + b x y x y 2 2 Vì a y b x
a,b > 0 và không đổi. Mà 2 2 ⋅ = a b không đổi x y 2 2 a y b x 2 2 ⇒ +
nhỏ nhất khi a y b x = x y x y 2 2 2 2
⇒ a y = b x ⇒ ay = bx
⇒ a(1− x) = bx ⇒ (a + b) x = a a ⇒ x = a + b ⇒ y =1− x =1 a − b =
a + b a + b x a b a ⇒ = : = y
a + b a + b b
Thay vào P ta được: 2 2 2 b 2 a
P = a + b + a ⋅ + b ⋅ a b 2 2
= a + b + ab + ab = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = ( + )2 a b
Trang 18/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy P = (a + b)2 khi a x = ; b y = . min a + b a + b
Câu 43. (HSG 7 Thị xã An Nhơn 2021 - 2022)
Tìm các giá trị nguyên của − x x để biểu thức 22 3 B = có giá trị lớn nhất. 4 − x Lời giải Ta có: 22 − 3x B − + = 12 3x 10 = 10 = 3+ 4 − x 4 − x 4 − x
Suy ra B đạt giá trị lớn nhất khi 4 − x là số dương nhỏ nhất.
Mà x là số nguyên ⇒ 4 − x =1 ⇒ x = 3. Khi đó B = 3+10 =13
Vậy B =13 khi x = 3. max
Câu 44. (HSG 7 huyện Mỹ Đức - Hà Nội 2021 - 2022)
Cho biểu thức: Q = x − 2020 + x − 2021 + x − 2022 . Tìm x để biểu thức Q có giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải
Ta có: Q = x − 2020 + x − 2021 + x − 2022
Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a + b ≥ a + b . Dấu ‘=’ xảy ra khi . a b ≥ 0 .
Ta có x − 2020 + 2022 − x ≥ x − 2020 + 2022 − x = 2 với mọi x (1)
x − 2021 ≥ 0 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A ≥ 2 với mọi x (
x − 2020)(2022 − x) ≥ 0 Dấu ‘=’ xảy ra: ⇒ x = 2021 x − 2021≥ 0
Vậy Q có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 2021.
Câu 45. (HSG 7 huyện Ứng Hòa - Hà Nội 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2021− x + 2022 − x . Lời giải
Ta có: P = 2021− x + 2022 − x = x − 2021 + 2022 − x
Ta có x − 2021 + 2022 − x ≥ x − 2021+ 2022 − x =1
Dấu bằng xảy ra khi (x − )
2021 (2022 − x) ≥ 0 ⇔ 2021≤ x ≤ 2022.
Vậy biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là 1, xảy ra khi 2021≤ x ≤ 2022 .
Câu 46. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn 2014 - 2015; huyện Phù Cát - Bình Định 2017 - 2018; TP
Vũng Tàu 2021 - 2022; huyện Krông Ana 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x − 2 + 2x − 3 + 3x − 4 Lời giải
Ta có: x − 2 + 3x − 4 = 2 − x + 3x − 4 ≥ 2 − x + 3x − 4 = 2x − 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ (2 − x)(3x − 4) ≥ 0
Trang 19/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 x ≤ 2 2 − x ≥ 0 2 ≥ x 4 3 − 4 ≥ 0 3 ≥ 4 x x x ≥ 3 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ x ≤ 2 2 − x ≤ 0 2 ≤ x x ≥ 2 3 3 x − 4 ≤ 0 3 x ≤ 4 4 x ≤ 3
Lại có: 2x − 2 + 2x − 3 = 2x − 2 + 3− 2x ≥ 2x − 2 + 3− 2x = 1 =1
Dấu “=” xảy ra ⇔ (3− 2x)(2x − 2) ≥ 0 3 3 − 2 ≥ 0 2 − ≥ 3 − x x x ≤ 2 2x − 2 ≥ 0 2x ≥ 2 x ≥1 3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1≤ x ≤ 3 2x 0 − ≤ 2 − x ≤ 3 − 3 2 x ≥ 2x − 2 ≤ 0 2x ≤ 2 2 x ≤1
Do đó ⇒ A = x − 2 + 2x − 3 + 3x − 4 ≥1 4 ≤ x ≤ 2 Dấu “=” xảy ra 3 4 3 ⇔ ⇔ ≤ x ≤ 3 3 2 1 ≤ x ≤ 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 4 3 ⇔ ≤ x ≤ 3 2
Câu 47. (HSG 7 thị xã Cửa Lò - Nghệ An 2021 - 2022)
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a + 3c = 2021; a + 2b = 2022 . Tìm giá trị lớn nhất
của P = a + b + c . Lời giải
Ta có: a + 3c = 2021⇒ a = 2021− 3c ; a + 2b = 2022 ⇒ a = 2022 − 2b .
Suy ra: 2021− 3c = 2022 − 2b ⇒ 2b = 2022 − 2021+ 3c =1+ 3c 1 3 ⇒ b = + c . 2 2 Như vậy: 1 3 1 1 1
P = a + b + c = 2021− 3c + + c + c = 2021 − c ≥ 2021 (vì c ≥ 0 ). 2 2 2 2 2
Dấu bằng xảy ra ⇔ c = 0 . Khi đó a + 3c = 2021⇒ a = 2021; 1
a + 2b = 2022 ⇒ b = . 2
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 2021 khi 1
a = 2021; b = ; c = 0 . 2 2
Câu 48. (HSG 7 huyện Vũ Thư - Thái Bình 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
+ y − + ( x − y + )2 2022 3 1 2 3 . Lời giải
Với mọi x, y ta có: 3y −1 ≥ 0 và 2
(2x − y + 3) ≥ 0 2
⇒ 3y −1 + (2x − y + 3) ≥ 0 ⇒ C ≥ 2022 .
Dấu bằng xảy ra khi | 3y −1|= 0 và 2
(2x − y + 3) = 0 ⇔ 3y −1 = 0 và 2x − y +3 = 0
Trang 20/70