Bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN trong các đề thi HSG Toán 7

Tài liệu gồm 70 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

Thông tin:
70 trang 2 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN trong các đề thi HSG Toán 7

Tài liệu gồm 70 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

73 37 lượt tải Tải xuống
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 1/70
CĐ11: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GTLN, GTNN
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 2.1: Bất đẳng thức về chứng minh tổng phân số tự nhiên
Dạng 2.2: Bất đẳng thức về chứng minh tổng lũy thừa
Dạng 2.3: Bất đẳng thức về chứng minh tích của một dãy
Dạng 3: Bất đẳng thức dạng chữ
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A. Trắc nghiệm (nếu có)
Câu 1. (HSG 7 huyện Lạng Giang 2022 - 2023)
Giá tr nhỏ nhất của biu thc
( )
2
2 1 10C xxy= +− + +
với
0x
là:
A. 10 B. 11 C. 1 D.
10
Lời giải
Chọn A
Ta có:
0, 0xx ∀≥
;
( )
2
2 1 0, x, yxy
+ ≥∀
( )
2
2 1 0, x 0, yxxy + + ∀≥
( )
2
2 1 10 10, x 0, yC xxy = + + + ∀≥
Giá tr nhỏ nhất của C bằng 10 khi:
( )
2
0
0
0
1
2 10
21 0
2
x
x
x
xy
y
xy
=
=
=

⇒⇒

+=
=
−+=

Vậy giá trị nh nhất của C bằng 10 khi
.
Câu 2. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022)
Cho số
xZ
để
2018
2017
x
B
x
=
có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của
B
:
A.
1
. B.
4
C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2018
2017
x
B
x
=
2017 1
2017
x
x
−+
=
1
1
2017 x
= +
Suy ra
B
đạt giá trị lớn nhất khi
2017 x
là số dương nhỏ nhất.
x
là số nguyên
2017 1x−=
2016x =
.
Khi đó
11 2
B =+=
.
Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
25Ay y=−+
A.
2
B.
3
C.
5
D.
7
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2/70
Chọn B
Ta có:
2 5 25Ay y y y=−+−= −+
Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối:
a b ab+≥+
. Dấu ‘=’ xảy ra khi
.0ab
.
Ta có
2 5 25 3y yy y+−≥−+−=
. Dấu ‘=’ xảy ra khi
( )( )
25 0 2 5yy y ≥⇒
3
A
⇒≥
Vậy
A
có giá trị nhỏ nhất bằng
3
khi
25y
≤≤
Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)
Với
x
nguyên, giá trị lớn nhất của biểu thức
2022
2
x
A
x
=
A.
2021
B.
2020
C.
2019
D.
2018
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2022 2020
1, 2
22
x
A xx
xx
= =+ −∈
−−

.
Để
A
có giá trị lớn nhất thì
2 x
là số nguyên dương nhỏ nhất, hay
21 1xx−==
.
Vậy GTLN của
A
2021
khi
1x =
.
Câu 5. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn, huyện Nam Trà My, huyện Thăng Bình, trường Đào Duy
Từ 2018 - 2019; huyện Lâm Thao 2016 - 2017)
Cho
( )
2
6 36a b ab
−+ =
. Giá trị lớn nhất của
.x ab=
là:
A.
6
B.
6
C.
7
D.
5
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
6 36a b ab−+ =
Suy ra:
( )
2
6 36 36ab a b=−−
Suy ra
36
6
ab
6ab
Dấu “=” xảy ra khi
6ab= = ±
Vậy
x
đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi
6ab= = ±
.
B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Than Uyên - Lai Châu 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2024
4 2022 1
A
x
=
−−
.
Lời giải
Với mọi
x
ta có:
2022 1 0 4 2022 1 4xx−≥ −≤
11
4 2022 1 4x
⇒≥
−−
11
.2024 .2024
4 2022 1 4x
⇒≥
−−
2024
506
4 2022 1x
⇒≥
−−
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2022 1 0x −=
1
2022
x⇒=
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 3/70
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
bằng
506
khi và chỉ khi
1
2022
x =
.
Câu 2. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)
Cho
x
thoả mãn:
23454
xxxx+−+−+−=
. Gi
m
giá tr nhỏ nhất ca
x
,
M
giá trị lớn nhất của
x
. Tính giá trị của
AmM= +
.
Lời giải
Áp dụng tính chất:
aa
, dấu “=” xảy ra khi
0a
, ta được:
22xx≥−
dấu “=” xảy ra khi
20x −≥
.
33xx≥−
dấu “=” xảy ra khi
30x −≥
.
44
xx ≥−
dấu “=” xảy ra khi
40
x−≥
.
55xx ≥−
dấu “=” xảy ra khi
50x−≥
.
Suy ra:
2 34 5 23454x x x xx x x x + + + −+−+−+=
.
Dấu “=” xảy ra khi:
20
30
40
50
x
x
x
x
−≥
−≥
−≥
−≥
.
Suy ra
3
là giá trị nhỏ nhất của
x
,
4
là giá trị lớn nhất của
x
.
Suy ra:
AmM= +
34= +
7=
.
Câu 3. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)
Tìm giá trị nh nhất của biểu thức:
1 2 3 23Ax x x x=+−+−++−
.
Lời giải
Ta có:
1 2 3 ... 23Ax x x x=+−+−++−
thì:
1 2 .... 11 12 13 ..... 23Ax x xx x x=+−+ + −+ + −+
.
Áp dụng tính chất
aa
, dấu “=” xảy ra khi
0a
, ta được:
11xx−≥
;
22xx≥−
; ...;
11 11xx ≥−
;
12 0x −≥
;
13 13xx−≥
; ...;
23 23xx−≥
.
Suy ra:
1 2 .... 11 0 13 ... 23Ax x x x x+−+ + ++ −+ +
23 1 22 2 .... 13 11 0= −+ + + +
22 20 18 16 14 .... 2= ++++++
(22 2).11
2
+
=
132=
.
Dấu “=” xảy ra khi
12x =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
132
khi
12x =
.
Câu 4. (HSG 7 trường Bồ Lý 2015 - 2016; huyện Hoàng Hóa; trường Phạm Kính Ân 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của các biu thc sau:
a)
15Ax= ++
b)
.
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 4/70
a) Với mọi
x
, ta có:
10x +≥
155Ax = ++
, dấu
""
=
xảy ra khi
1x =
Vậy
51MinA x
=⇔=
.
b) Ta có:
( )
2
2
22 2
3 12
15 12
1
33 3
x
x
B
xx x
++
+
= = = +
++ +
.
Với mọi
x
, ta có:
2
0
x
2
3 3x
+≥
2
12 12
33x
+
2
12
4
3x
+
2
12
15
3
x
+≤
+
.
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
0x =
.
Vậy GVLN của
B
5
khi
0
x =
.
Câu 5. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2016 - 2017; huyện Bố Trạch, huyện Vị Thanh 2017 - 2018;
huyện Hà Đông 2022 - 2023)
Cho ba số
,,
abc
thỏa mãn:
0 12ab c +≤ +
1.abc++=
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
c
Lời giải
Vì:
0 12ab c +≤ +
nên 0
12ab c + ++ +
222ccc≤+++++
.
Suy ra:
043 6c
≤≤ +
(vì
).
Hay 3c
2≥−
2
3
c ≥−
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
c
2
3
khi đó
ab+=
5
3
.
Câu 6. (HSG 7 huyện Bình Xuyên - nh Phúc 2022 - 2023)
Cho
x
số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 1 2 2 ... 2 10Ax x x= −+ +
.
Lời giải
Ta có:
2 1 2 2 ... 2 10Ax x x= −+ +
( ) ( ) ( )
2 1 2 10 2 2 2 9 ... 2 5 2 6Ax x x x x x= +− + +− + +−
( )
( )
( )
2 1 10 2 2 2 9 2 ... 2 5 6 2Ax x x x x x
= + + −+ + +−
2 1102 2 292 2 562Ax xx xx x + + −+− + +−
9753125=++++=
.
Dấu = xảy ra khi:
( )( )
( )( )
( )( )
2 1 10 2 0
2 292 0
...
2 562 0
xx
xx
xx
−≥
−≥
−≥
1
5
5
9
1
2
...
5
3
2
x
x
x
≤≤
≤≤
≤≤
5
3
2
x ≤≤
.
Câu 7. (HSG 7 huyện Triệu Sơn 2022 - 2023)
Cho
a
,
b
,
c
các s thc thảo mãn
222
2abc
++≤
. Tìm giá tr nhỏ nhất của biểu thức:
2023P ca ab bc= −−
.
Lời giải
Ta có:
( )
2023 2023P ca ab bc ca b a c= −−= +
.
Có:
( )
2
22
0, 2 ,x y xy x y xy xy ⇔+
. Du
""=
xảy ra
xy⇔=
. (*)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 5/70
+ Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:
( )
(
)
2
2
2
b ac
ba c
++
+≤
.
Suy ra:
(
)
222
2
abc
b a c ac
++
+ ≥−
2
2
ac
=
1 ac
=−−
.
Do đó:
2023 1P ca ac −−
2022 1ac=
.
+ Lại có:
.ac a c=
22
2
ac+
222
2
abc
++
2
2
=
1=
, suy ra
11ac−≤
.
Do đó:
( )
2022 1 2022. 1 1
P ac −− ≥−
2023=
.
Du
""=
xảy ra khi:
222
2
bac
ac
abc
= +
=
++=
222
222
0
2
2
2
b
ac
abc
ba
ac
abc
=
=
++=
=
=
++=
(
)
222
2
22
0
02
2
21
b
ca
aa
ba
ca
a aa
=
=
++=
=
=
+ +=
2
1
0
1
6
2
a
b
ca
a
ba
ca
=±
=
=
=
=
=
.
Vậy
min
2023P =
khi:
( ) ( ) ( )
121 121
; ; 1; 0; 1 , 1; 0; 1 , ; ; , ; ;
666 666
abc

−−

−−



.
Câu 8. (HSG 7 huyện Diễn Châu 2022 - 2023)
Tìm s nguyên
x
để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó:
1
22
x
P
x
+
=
.
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
12
1 11
222 1 2 1
x
x
P
xx x
−+
+
= = = +
−−
.
Để
max
1
1
P
x
đạt giá trị lớn nhất
1x
⇔−
đạt giá tr nhỏ nhất
10x −>
.
Mà
x
nguyên nên
2x =
.
Vậy
max
11
2 21
P = +
3
2
=
khi
2x =
.
Câu 9. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2022
2023 2024
D
x
=
−−
với
x
.
Lời giải
2023 2024xx∈⇒ −−
.
Để
D
đạt giá trị nhỏ nhất thì
2023 2024x
−−
lớn nhất và âm.
2023 2024 1 2024 2024xx−=−=
0x⇒=
hoặc
4048x =
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 6/70
Vậy giá trị nh nhất của biểu thức
D
2022
khi
0x =
hoặc
4048
x
=
.
Câu 10. (HSG 7 huyện Thái Hòa - Nghệ An 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
11 4Qx x x
= ++ −+ +
.
Lời giải
Ta có:
1 1 11xxx x++ = ++−
11xx +− +
2=
với mọi
x
2
42x +≥
với mọi
x
.
Suy ra:
4Q
với mọi
x
.
Dấu bằng xảy ra khi
( )( )
11 0xx+ −>
2
0x
=
hay
0x =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
3Q =
khi
0
x =
.
Câu 11. (HSG 7 huyện Đông Hưng, huyện Hưng Hà, trường Quý Đôn - Tĩnh, TP Ninh
Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị nh nhất của biểu thức:
2022 2023Fx x= +−
.
Lời giải
2022 2023Fx x= +−
2022 2023
xx=−+−
.
2022 2022
xx ≥−
dấu “=” xảy ra khi
2022 0
x −≥
2022x⇒≥
2023 2023xx−≥
dấu “
=
xảy ra khi
2023 0x−≥
2023x⇒≤
.
Suy ra:
2022 2023 2022 2023 1Fx xx x= + ≥− + −=
.
Dấu
=
xảy ra khi:
2022
2022 2023
2023
x
x
x
≤≤
.
Vậy
Min 1
F =
khi
2022 2023x≤≤
.
Câu 12. (HSG 7 huyện Hà Trung 2022 - 2023)
Tìm giá trị nh nhất của biểu thức:
2021 2022 2023Ax x x= +− +−
.
Lời giải
Ta có:
2021 2022 2023Ax x x= +− +−
( )
2021 2023 2022x xx= + +−
.
Do
2021 2023 2021 2023 2x xx x + −≥− + −=
2022 0x −≥
với mi
x
nên
2A
.
Du “=” xảy ra khi và chỉ khi:
( )( )
2021 2023 0
2022 0
xx
x
−≥
−=
2022x⇒=
.
Vậy Min
2A =
khi
2022x =
.
Câu 13. (HSG 7 huyện Lập Thạch - nh Phúc 2022 - 2023)
Cho biểu thức
2026
2023
x
A
x
=
. Tìm
x
nguyên để
A
có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có:
2026
2023
x
A
x
=
2003 3
2003
x
x
−+
=
3
1
2003x
=−+
A
nhỏ nhất khi
3
2023x
nhỏ nhất.
3
2023x
nhỏ nhất khi
2023x
là số âm lớn nhất.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 7/70
x
nguyên suy ra
2023 1 2022
xx
=−⇔ =
.
Vậy
A
có GTNN là
4
khi
2022
x
=
.
Câu 14. (HSG 7 huyện Tân Kỳ 2022 - 2023)
Tìm giá trị nh nhất của biểu thức:
2 42 62 8Ax x x=+−+−
.
Lời giải
Ta có:
2 4 82 2 6
Ax xx= +− +
.
Ta có:
2 60
x −≥
. (1)
2 4 82 2 482 4x xx x+−≥−+−=
. (2)
Từ
( )
1
(
)
2
suy ra:
2 42 62 84Ax x x= −+ −+ −≥
.
Dấu
""
=
xảy ra khi:
( )( )
2 60
2 482 0
x
xx
−=
−≥
hay
3x =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 42 62 8Ax x x=+−+−
bằng
4
khi
3x =
.
Câu 15. (HSG 7 Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
27 2
12
x
Q
x
=
(vi
x
là số nguyên).
Lời giải
Ta có:
27 2 3
2
12 12
x
Q
xx
= = +
−−
.
Suy ra
Q
lớn nhất khi
3
12 x
lớn nhất.
3
12
x
lớn nhất khi
12 x
là số dương nhỏ nhất.
x
nguyên nên
12 1
x−=
. Hay
11x =
.
Với
11x =
thì
27 2 .11
5
12 11
Q
= =
.
Suy ra
Q
có giá trị lớn nhất là 5 khi
11x =
.
Câu 16. (HSG 7 trường Giao Tân 2016 - 2017; trường Hồng Phong 2018 - 2019; huyện
Tương Dương 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) (
)
22
2 5 15 6 90P xy yx xy= −−
.
Lời giải
Ta có:
( ) (
)
22
2 5 15 6 90P xy yx xy= −−
( ) ( )
( ) ( )
22
22
2 5 6 15 90
2 5 9. 2 5 90
x y x y xy
xy xy xy
= −−
=−− −−
( )
2
8. 2 5 90x y xy

= +−

.
Ta có:
( )
2
8. 2 5 0xy−≥
với mọi giá trị của
,xy
;
với mọi giá trị của
,xy
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 8/70
Do đó
(
)
2
8. 2 5 90 0x y xy
+−
với mọi giá trị của
,xy
.
Nên
( )
2
8. 2 5 90 0x y xy

+−

với mọi giá trị của
,xy
.
Hay
0P
với mọi giá trị của
,xy
.
Dấu
""
=
xảy ra khi và chỉ khi
( )
2
25 0
xy
−=
.
+ Với
thì
90 0xy −=
(1).
+ Với
( )
2
25 0xy−=
thì
25 0xy−=
. Do đó
25
52
xy
xy= ⇒=
.
Đặt
52
xy
k
= =
, khi đó
5, 2x ky k= =
, thay
5, 2x ky k
= =
vào (1) ta được:
2
5 .2 90 0 9kk k
−==
. Suy ra
3k =
hoặc
3k =
.
Nếu
3k
=
thì
4; 6xy= =
;
Nếu
3k =
thì
4; 6
xy=−=
.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
P
0
khi và chỉ khi
4; 6xy= =
hoặc
4; 6xy=−=
.
Câu 17. (HSG 7 trường Lang Chánh 2022 - 2023)
Cho các số không âm
,,
xyz
thoả mãn:
3 2022xz+=
2 2023xy+=
. Tính giá trị lớn
nhất của biểu thức:
1
2
Axyz=+++
.
Lời giải
Ta có:
3 2022
xz+=
(1)
2 2023xy+=
(2)
Từ (1)
2022 3
xz⇒=
Trừ từng vế của (2) cho (1), ta được:
231yz−=
13
2
z
y
+
⇒=
Khi đó:
1 13 1
(2022 3 )
2 22
z
Axyz z z
+
=+++ = + ++
11 3 1
2022 3 2023
22 2 2
z zz z= ++− + +=
11
0 0 2023 2023
22
zz z≥⇒ ≤⇒
2023A⇒≤
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
0
2022
1
2
z
x
y
=
=
=
.
Vậy: GTLN của A bằng
2023
0
2022
1
2
z
x
y
=
=
=
.
Câu 18. (HSG 7 TP Bắc Giang 2022 - 2023)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 9/70
Tìm giá trị nh nhất của biểu thức
2022 2023
.
2022 2024
x
C
x
−+
=
−+
Lời giải
Ta có
( )
2022 2024 1
1
1
2022 2024 2022 2024
x
C
xx
−+
= =
−+ −+
.
Ta thấy
C
đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
2022 2024x −+
đạt giá trị lớn nhất
2022 2024x⇒− +
đạt giá trị nhỏ nhất (vì
10>
).
Mặt khác
2022 0, 2022 2024 2024,x xx x
∀⇒ +
.
Do đó
1 2023
1
2024 2024
C
≥− =
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2022 0x −=
. Suy ra
2022x =
Vậy giá trị nh nhất của C là
2023
2024
.
Câu 19. (HSG 7 trường Hiệp Hòa 2022 - 2023)
Tìm giá trị nh nhất của
3 4 5 7 2025Ax x x= −+ −−+
.
Lời giải
Ta có:
4
3 40
3
xx−=⇒=
7
5 70
5
xx−=⇒=
Ta có bảng xét dấu sau:
4
3
7
5
34x
0
+
||
+
57x
||
0
+
TH1: với
4
3
x
3 4 43
5 7 75
xx
xx
−=
−=
.
Khi đó
4
4 3 7 5 2025 2036 9 2036 9. 2024
3
A x xx x= +− −+ = =
(1)
TH2: với
3434
47
35
5757
xx
x
xx
−=
<<
−=
.
Khi đó
7 10119
3 4 7 5 2025 3 2028 3. 2028
55
A x xx x= −+− −+ = + + =
(2)
TH3: Với
3535
7
5
5757
xx
x
xx
−=
≥⇒
−=
.
Khi đó
7 10119
3 4 5 7 2025 7 2014 7. 2014
55
Ax x x x= −+ −−+ = =
(3)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 10/70
Từ (1); (2) và (3) suy ra
10119
5
Ax≥∀
. Dấu
'' ''=
xảy ra khi
7
5
x =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
10119
5
khi
7
5
x
=
.
Câu 20. (HSG 7 huyện Gia Viễn - Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị nh nhất của biểu thức
2
1
6. 4 7.
8
P y xx= −+ +
Lời giải
Ta có:
2
1
6. 4 7.
8
P y xx= −+ +
1
6. 0,
8
yy
≥∀
22
47 2243xx xxx−+=−−++
( ) (
)
22 23xx x
= −− −+
( )
2
2 3 0, xx= +>
3, x,y.
P⇒≥
Dấu “=” xảy ra khi:
( )
2
1
1
6. 0
8
8
2
20
y
y
x
x
−=
=


=
−=
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 khi
1
8
2
y
x
=
=
.
Câu 21. (HSG 7 huyện Hương KhêHà Tĩnh 2022 - 2023)
Cho biểu thức:
4049 2
( 2023).
2023
x
Px
x
=
Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
P
đạt
giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của
P
.
Lời giải
( )
4049 2 3 2( 2023) 3
2 2023
2023 2023 2023
xx
Px
x xx
−−
= = = −≠
−−
Biểu thức
P
đạt GTNN khi và chỉ khi
3
2023x
có GTNN
2023
x⇒−
là số âm lớn nhất
(vì
x
nguyên )
2023 1 2022 ( )
x x TM =−⇒ =
Khi đó GTNN của
P
5
khi
2022x =
.
Vậy GTNN của
P
5
khi
2022x =
.
Câu 22. (HSG 7 huyện Thái Thụy - Thái Bình 2022 - 2023)
Cho biểu thức
5
2
a
E
a
=
với
a
là số nguyên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của
E
?
Lời giải
Điều kiện:
2a
5 23 3
1;
22 2
aa
E
aa a
−−
= = =
−−
E
nhận giá trị nguyên khi
3
2a
là số nguyên.
32a⇒−
{ }
2 1; 3a−∈±±
{ }
3; 5;1; 1a⇒∈
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 11/70
Thử lại các trường hợp thì ta tính được giá trị nhỏ nhất của
E
bằng
2
khi
3
a
=
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của
E
bằng
2
khi
3
a =
.
Câu 23. (HSG 7 huyện Sông Lô, trường Đôn NghĩaHưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
14
4
x
P
x
=
với
x
là số nguyên khác
4
.
Lời giải
Ta có:
14 10
1
44
x
P
xx
= = +
−−
P
đạt GTLN
10
4 x
đạt GTLN
Nếu
40
x−>
thì
10
0
4
x
>
Nếu
40
x
−<
thì
10
0
4
x
<
Để
10
4 x
đạt GTLN thì
4
x
là số nguyên dương nhỏ nhất
41x⇒−=
3x⇒=
(TM)
Khi
3x
=
thì
11P =
.
Vậy
P
có GTLN bằng
11
khi
3x =
Câu 24. (HSG 7 trường Lý Nam Đế - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm
x
nguyên để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
2011
2012 2010
B
x
=
−−
.
Lời giải
Ta có:
2010 0x−−
với mọi
x
201201 0 202 12x−−
với mọi
x
.
* Trường hợp 1:
.
2 2
01
4022
2010 0 2010 01
2
2 2
x
xx
x
>
<⇒ >
<−
Khi đó,
0B <
. B nhỏ nhất khi và chỉ khi
2011
2010 2012
B
x
−=
−−
đạt giá trị dương lớn nhất
khi và chỉ khi
2010 2012 1x
−=
4023
2010 2013
3
x
x
x
=
⇔− =
=
(thỏa mãn).
Khi đó,
B
nhỏ nhất bằng
2011
.
* Trường hợp 2:
2010 0 2010 2012 2 40222012 xx x > < ⇒− < <
Khi đó,
2011
2010 2012
2012
0 2012 xB< −−
.
Vậy
3x =
hoặc
4023x =
. biểu thức
2011
2012 2010
B
x
=
−−
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2011
u 25. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( )
( ) ( )
22
22
2 1 2 2 100
1 22
xy
D
xy
−+ +
=
+− +
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 12/70
(
)
(
)
( ) (
)
22
22
2 1 2 2 100
1 22
xy
D
xy
−+ +
=
+− +
( ) (
)
( ) (
)
22
22
2.[ 1 2 2] 4 100
1 22
xy
xy
+ + −+
=
+− +
( ) ( )
22
96
2
1 22xy
= +
+− +
2
2
( 1) 0
( 2) 0
x
y
−≥
−≥
22
( 1) ( 2) 2 2xy + +≥
(
) ( )
22
96 96
48
2
1 22
xy
≤=
+− +
( ) ( )
22
96
2 50
1 22xy
⇒+
+− +
50D⇒≤
Dấu bằng xảy ra khi
2
2
1
( 1) 0
2
( 2) 0
x
x
y
y
=
−=

=
−=
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức:
D
50
khi
1
2
x
y
=
=
Câu 26. (HSG 7 huyện Hương Khê - Hà Tĩnh, trường Tân Tiến - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 13
11
x
C
x
−+
=
−+
Lời giải
Ta có
2132121
1
2
11 11 11
xx
C
xx x
−+ −++
= = = +
−+ −+ −+
10
x −≥
với mọi
x
.
111x +≥
với mọi
x
.
1
1
11x
⇒≤
−+
với mọi
x
.
1
23
11x
+≤
−+
với mọi
x
.
Vậy giá trị lớn nhất
C
3
khi và chỉ khi
1x =
Câu 27. (HSG 7 huyện Tam Dương - Vĩnh phúc 2016 - 2017; huyện Phủ Lý, trường THCS
Tự Trọng 2018 - 2019; huyện Hưng Hà, Vũng Tàu 2022 - 2023)
Tìm giá trị nguyên của
x
để biểu thức
2016 2016
32
x
M
x
=
+
có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
2016 2016 672(3 2) 2016 1344 3360
672
32 32 32
xx
M
xx x
+−
= = =
++ +
M
nhỏ nhất
3360
32x
+
lớn nhất
Xét
3 20x +<
thì
3360
0
32x
<
+
(1)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 13/70
Xét
3 20x +>
thì
3360
0
32x
>
+
3360
32
x +
lớn nhất khi
32x +
nhỏ nhất
x
nguyên,
32x +
dương và
32x +
chia
3
2
nên
3 22x +=
nên
0x =
Khi đó:
3360
32x +
=
3360
1680
3.0 2
=
+
(2)
So sánh (1) và (2) thì
3360
32
x +
có giá trị lớn nhất bằng
1680
Vậy
min
1008
M =
khi
0
x =
.
Câu 28. (HSG 7 huyện Hoằng Hoá - Thanh Hoá 2017 - 2018; trường Nguyễn Tông Quai - Hưng
Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
22
22
3
2
xy
B
xy
++
=
++
.
Lời giải
Ta có:
22
22
3
2
xy
B
xy
++
=
++
22
22
21
2
xy
xy
+ ++
=
++
22
1
1
2xy
= +
++
2
2
0
0
x
y
22
22xy + +≥
22
2xy⇒++
nhỏ nhất bằng
2
khi
0xy= =
Khi đó
B
lớn nhất bằng
13
1
22
+=
Vậy
max
3
2
B =
khi
0xy
= =
.
Câu 29. (HSG 7 trường Minh Khai - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
| 2017 | 2018
| 2017 | 2019
x
C
x
−+
=
−+
.
Lời giải
Ta có:
| 2017 | 2018
| 2017 | 2019
x
C
x
−+
=
−+
=
( )
2017 2019 1
| 2017 | 2019
x
x
−+
−+
=
1
1
| 2017 | 2019x
−+
Biểu thức
C
đạt giá trị nhỏ nhất khi
| 2017 | 2019x −+
có giá trị nhỏ nhất
| 2017 | 0
x −≥
nên
| 2017 | 2019 2019x +≥
.
Dấu
""=
xảy ra khi
2017x =
2018
2019
C =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
C
2018
2019
khi
2017x =
.
Câu 30. (HSG 7 trường Cự Khê 2016 - 2017; trường Lưu Khánh Đàm - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
23
A x yx= +−+
.
Lời giải
Ta có
2
( 2) 0x −≥
với mọi x và
0yx−≥
với mọi
,xy
3A
với mọi
,xy
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 14/70
Suy ra
A
nhỏ nhất bằng
3
khi
2
( 2) 0
0
x
yx
−=
−=
2
2
x
y
=
=
Vậy
min
3A =
khi
2xy= =
.
Câu 31. (HSG 7 trường Hồng Lĩnh - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
( ) ( )
22
3 2 4 6 5K x y y x xy= +−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
22
32 4 5K x y yx xy
= +−
( ) ( )
22
3 2 4. 2 3 5x y y x xy= +−
( )
( )
22
32 4.32 5
xy xy xy
=−− −−+
( )
2
3. 3 2 5x y xy= +−
(
)
2
3.3 2 5x y xy

= ++−

Ta có
(
)
2
3. 3 2 0
xy−≥
với mọi giá trị của
,xy
5 0
xy+−
với mọi giá trị của
,xy
Do đó
( )
2
3.3 2 5 0x y xy

++−

với mọi giá trị của
,xy
Nên
( )
2
3.3 2 5 0x y xy

++−

với mọi giá trị của
,xy
Hay
0K
với mọi giá trị của
,xy
Dấu
""=
xảy ra khi và chỉ khi
32 0xy−=
5 0
xy
+−=
(1)
Với
32 0xy−=
thì
32xy=
23
xy
=
.
Đặt
23
xy
k= =
. Khi đó
2xk=
;
3yk
=
Thay
2xk=
3yk=
vào (1) ta được
2 3 50kk+ −−
55k =
1
k =
Với
1
k =
thì
2x =
;
3y =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức K là 0 khi và chỉ khi
2; 3xy
= =
.
Câu 32. (HSG 7 huyện Đất Mũi 2016 - 2017; huyện Hương Khê - Tĩnh 2017 - 2018; huyện
Rạch Giá - Kiên Giang 2018 - 2019; trường Hồng Lĩnh - Hưng Hà 2022 - 2023)
Cho
,,,abcd
là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E xa xb xc xd=−+−+−+−
.
Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử
abcd≤≤
. Áp dụng BĐT
a b ab+≥+
, dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi
0ab
ta có:
xa xd xa d x−+−−+
xad x −+
da=
( )
1
xb xc xb cx−+−≥−+
xbcx −+−
cb=
( )
2
Suy ra
E cd ab≥+
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 15/70
Dấu
""
=
xảy ra khi và chỉ khi dấu
""=
( )
1
( )
2
xảy ra
khi và chỉ khi
( )( )
0xad x −≥
( )( )
0xbcx −≥
.
Suy ra
axd
≤≤
bxc≤≤
.
Do đó
MinE c d a b=+−−
khi
bxc≤≤
.
Câu 33. (HSG 7 trường Dân Chủ - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
2
2 3 9 16C x xy z
= + + ++
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
2 3 9 16C x xy z= + + ++
20x −≥
x∀∈
;
;xy∀∈
;
2
0zz ∀∈
2
90
zz+ ∀∈
2
93zz+ ∀∈
2
3 99zz+ ∀∈
( )
2
2
2 3 9 16 25x xy z+ + ++
( )
2
2
2 3 9 16 25
x xy z+ + ++
hay C ≥ 25
Vậy
min
25C
=
khi
2xy= =
0z =
.
Câu 34. (HSG 7 trường THCS n Ước 2013 - 2014; huyện Hương Khê (và Đề 326) 2016 - 2017;
trường THCS Hồng Liên, huyện Phủ - Nam, trường Hoàng Quyên, trường Tự
Trọng, trường Phong Đạt 2018 - 2019; trường Thái Hưng - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2013Ax x= −+
.
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2013Ax x= −+
=
2 2 2013 2xx
−+
2 2 2013 2xx −+
2011=
Dấu
""=
xảy ra khi
(2 2)(2013 2 ) 0xx −≥
2013
1
2
x
≤≤
Vậy
min
2011A =
khi
2013
1
2
x≤≤
.
Câu 35. (HSG 7 trường Trần Thủ Độ - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22 3 7
2 35
x
B
x
−+
=
−+
Lời giải
Ta
22 3 7
2 35
x
B
x
−+
=
−+
3
2
2 35x
=
−+
2 30x −≥
với mọi
x
.
2 355x +≥
11
2 355
x
⇒≤
−+
33
2355x
−−
⇒≥
−+
7
5
B⇒≥
Dấu
""=
xảy ra khi
2 30x −=
3
2
x⇒=
Vậy
min
7
5
B =
khi
3
2
x =
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 16/70
Câu 36. (HSG 7 huyện Hoằng Hoá - Thanh Hoá 2017 - 2018; trường Lê Tư Thành - Hưng Hà,
Mường La - Sơn La, huyện Sóc Sơn 2022 - 2023)
Tìm số tự nhiên
n
để phân số
78
23
n
n
có giá trị lớn nhất.
Lời giải
Ta có:
78
23
n
n
( )
( )
27 8
22 3
n
n
=
(
)
( )
72 3 5
22 3
n
n
−+
=
( )
75
2 22 3n
= +
.
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
( )
5
22 3n
lớn nhất.
Suy ra
2(2 3)n
nhỏ nhất khác
0
.
n
là số tự nhiên nên
2(2 3) 2n
−=
2 31n
−=
24n⇒=
2n⇒=
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng
6
khi
2.n =
Câu 37. (HSG 7 trường Điệp Nông - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 2 2020
22
x
P
x
−+
=
−+
.
Lời giải
Ta có:
3 2 2020
22
x
P
x
−+
=
−+
( )
3 2 2 6 2020
22
x
x
+ −+
=
−+
2014
3
22x
= +
−+
Ta thấy :
20xx−≥
222x +≥
11
222x
⇒≤
−+
2014 2014
22 2x
⇒≤
−+
2014
3 3 1007
22
x
⇒+ ≤+
−+
1010P⇒≤
Do đó
P
đạt giá trị lớn nhất là
1010
khi và chỉ khi
20x −=
20x⇒−=
2
x
⇒=
.
Vậy biểu thức
P
đạt giá trị lớn nhất bằng
1010
khi và chỉ khi
2x =
.
Câu 38. (HSG 7 huyện Hưng Hà - Thái Bình 2021 - 2022)
Tìm
x
để
2022
2021
x
B
x
=
giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Lời giải
Ta có:
2022
2021
x
B
x
=
( )
2021 1
2021
x
x
−+
=
1
1
2021 x
= +
Để
B
lớn nhất thì
1
2021
B
x
=
lớn nhất
+ Nếu
2021 0x−<
thì
1
0
2021
x
<
+ Nếu
2021 0x−>
thì
1
0
2021 x
>
x
là số nguyên nên
2021 x
là số nguyên dương
Để
1
2021 x
lớn nhất thì
2021 x
phải là số dương nhỏ nhất khi
2021 1x−=
2020x⇒=
Khi đó
11 2B =+=
Vậy biểu thức
B
đạt giá trị lớn nhất bằng
2
khi
2020x =
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 17/70
Câu 39. (HSG 7 huyện Ý Yên - Nam Định 2021 - 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
4 2 52 3 1A yy xy= −− +
.
Lời giải
Xét
2
42 5Byy
=−−
(
)
2
4 2 23
yy= −−
( )
2
2 2 13yy= +−
( )
2
2 13y yy= −−+
(
)
( )
2
2 13yy y

= −−−

(
)
( )
2 1 1. 1 3yy y= −−


( )( )
2 1 13yy= −−
(
)
2
2 13y
= −−
Do đó
( )
2
2 1 2 3 13A y xy
= +−
Với mọi giá trị của
,xy
, ta có
( )
2
10y −≥
2 3 10xy +≥
( )
2
2 1 2 3 10y xy⇒− +
( )
2
2 1 2 3 13 3A y xy =− + ≤−
Dấu
""=
xảy ra khi
( )
2
10
2 3 10
y
xy
−=
+=
10
2 3 10
y
xy
−=
+=
1
2 3.1 1 0
y
x
=
+=
1
1
x
y
=
=
.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
A
3
, đạt được khi và chỉ khi
(
)
( )
; 1;1xy
=
.
Câu 40. (HSG 7 huyện Lục Ngạn - Bắc Giang 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của
2019 2020 2021Pxxx
= +− +−
.
Lời giải
Ta có:
2019 2020 2021Pxxx= +− +−
( )
2019 2021 2020x xx
= + +−
Ta có
2019 2021 2019 2021 2x xx x + −≥− + −=
Dấu bằng xảy ra khi
(
)( )
2019 2021 0xx −≥
2019 2021x ≤≤
( )
1
Lại có
2020 0x −≥
, dấu bằng xảy ra khi
2020x =
.
(
)
2
Từ
( )
1
( )
2
suy ra biểu thức
P
có giá trị nhỏ nhất là
2
, xảy ra khi
2020x =
.
Câu 41. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( )
22
2 5 15 6 40P xy yx xy= −−
.
Lời giải
Ta
( ) (
)
22
2 5 15 6 40P xy yx xy= −−
( ) ( )
22
2 5 6 15 40x y x y xy= −−
( ) ( )
22
2 5 9. 2 5 40xy xy xy=−− −−
2
8.(2 5 ) 40x y xy

= +−

Ta thấy
2
(2 5 ) 0xy−≥
với mọi
,
xy
nên
2
8.(2 5 ) 0xy−≥
với mọi
, xy
90 0xy −≥
với mọi
, xy
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 18/70
Khi đó
2
8.(2 5 ) 40 0x y xy +−
với mi
, xy
Suy ra
2
8.(2 5 ) 40 0
x y xy

+−

với mi
, xy
Hay
0
P
với mọi
, xy
Dấu
""=
xảy ra khi
2
(2 5 ) 0
xy
−=
40 0xy −=
+ Vi
2
(2 5 ) 0
xy−=
thì
25xy
=
52
xy
⇒=
+ Vi
40 0xy −=
thì
40
xy
=
Đặt
52
xy
k= =
ta được
5xk=
2yk=
Mà
40
xy =
nên
5 .2 40kk=
m đưc
2k =
hoặc
2 k =
+ Nếu
2k =
thì
10 ; 4xy= =
+ Nếu
2k
=
thì
10 ; 4xy
=−=
Vậy giá tr lớn nhất của
P
0
khi và ch khi
10x =
;
4
y
=
hoặc
10x =
;
4y =
.
Câu 42. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022)
Cho
1xy=
,
0
x
>
,
0y >
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
a xb y
P
xy
−+
= +
(
a
b
là hằng số dương đã cho).
Lời giải
Theo bài ra ta có:
1xy=
1xy⇒+=
22
a xb y
P
xy
−+
= +
22
11
ab
xy
= −+ +
22
ab
xy
= +
( ) ( )
22
axy bxy
xy
++
= +
(vì
1xy+=
)
22
22
ay bx
ab
xy
=+++
,0ab>
và không đổi. Mà
22
22
ay bx
ab
xy
⋅=
không đổi
22
ay bx
xy
⇒+
nhỏ nhất khi
22
ay bx
xy
=
22 22
ay bx⇒=
ay bx⇒=
( )
1a x bx −=
( )
a bx a⇒+ =
a
x
ab
⇒=
+
1yx⇒=
1
a
ab
=
+
b
ab
=
+
x
y
:
ab
abab
=
++
a
b
=
Thay vào
P
ta được:
222 2
ba
Pa b a b
ab
=++⋅+
22
a b ab ab=+++
( ) ( )
aab bab= ++ +
( )( )
abab=++
( )
2
ab= +
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 19/70
Vậy
( )
2
min
P ab= +
khi
a
x
ab
=
+
;
b
y
ab
=
+
.
Câu 43. (HSG 7 Thị xã An Nhơn 2021 - 2022)
Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
22 3
4
x
B
x
=
có giá trị lớn nhất.
Lời giải
Ta có:
22 3
4
x
B
x
=
12 3 10
4
x
x
−+
=
10
3
4 x
= +
Suy ra
B
đạt giá trị lớn nhất khi
4 x
là số dương nhỏ nhất.
x
là số nguyên
41
x−=
3x =
.
Khi đó
3 10 13
B =+=
Vậy
max
13B =
khi
3x =
.
Câu 44. (HSG 7 huyện Mỹ Đức - Hà Nội 2021 - 2022)
Cho biểu thức:
2020 2021 2022Qx x x= +− +−
. Tìm
x
để biểu thức
Q
có giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta có:
2020 2021 2022Qx x x= +− +−
Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối:
a b ab+≥+
. Dấu ‘=’ xảy ra khi
.0ab
.
Ta có
2020 2022 2020 2022 2
x xx x
+ −≥− + −=
với mọi
x
(1)
2021 0x −≥
với mọi
x
(2)
Từ (1) và (2)
2A
⇒≥
với mọi
x
Dấu ‘=’ xảy ra:
( )( )
2020 2022 0
2021
2021 0
xx
x
x
−
⇒=
−≥
Vậy
Q
có giá trị nhỏ nhất bằng
2
khi
2021x =
.
Câu 45. (HSG 7 huyện Ứng Hòa - Hà Nội 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2021 2022Px x= −+
.
Lời giải
Ta có:
2021 2022Px x= −+
2021 2022xx=−+
Ta có
2021 2022 2021 2022 1x xx x + −≥− + −=
Dấu bằng xảy ra khi
( )(
)
2021 2022 0xx −≥
2021 2022x ≤≤
.
Vậy biểu thức
P
có giá trị nhỏ nhất là
1
, xảy ra khi
2021 2022x≤≤
.
Câu 46. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn 2014 - 2015; huyện Phù Cát - Bình Định 2017 - 2018; TP
Vũng Tàu 2021 - 2022; huyện Krông Ana 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
22334Ax x x=+ −+
Lời giải
Ta có:
2342 342 3422x x x x xx x+ −=−+ −≥−+ −=
Dấu “=” xảy ra
( )( )
2 340xx −≥
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 20/70
2
20 2
4
3 40 3 4
4
3
2
3
20 2 2
3 40 3 4 4
3
x
xx
x
xx
x
x xx
xx
x
≤
−≥



−≥


≤≤

−≤



−≤



Lại có:
22232232 2232 11x x x xx x−+ −= −+ + ==
Dấu “=” xảy ra
( )( )
32 2 2 0xx⇔−
3
32 0 2 3
2
2 20 2 2 1
3
1
2
32 0 2 3 3
2
2 20 2 2
1
x
xx
x xx
x
xx
x
xx
x
≥−



−≥


⇔≤

≤−



−≤



Do đó
223341Ax x x =+ −+
Dấu “=” xảy ra
4
2
43
3
3
32
1
2
x
x
x
≤≤
≤≤
≤≤
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
1
43
32
x≤≤
Câu 47. (HSG 7 thị xã Cửa Lò - Nghệ An 2021 - 2022)
Cho
,,abc
là các số không âm thỏa mãn:
3 2021ac+=
;
2 2022ab
+=
. Tìm giá trị lớn nhất
của
P abc=++
.
Lời giải
Ta có:
3 2021 2021 3
ac a c+ = ⇒=
;
2 2022 2022 2ab a b+ = ⇒=
.
Suy ra:
2021 3 2022 2cb−=
2 2022 2021 3 1 3b cc = +=+
13
22
bc⇒=+
.
Như vậy:
13 11 1
2021 3 2021 2021
22 22 2
P abc c cc c=++= + + +=
(vì
0c
).
Dấu bằng xảy ra
0c⇔=
. Khi đó
3 2021 2021ac a+ = ⇒=
;
1
2 2022
2
ab b+ = ⇒=
.
Vậy giá trị lớn nhất của
P
1
2021
2
khi
1
2021; ; 0
2
a bc= = =
.
Câu 48. (HSG 7 huyện Vũ Thư - Thái Bình 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
2022 3 1 2 3C y xy
= + −+ +
.
Lời giải
Với mọi
,xy
ta có:
3 10y −≥
2
(2 3) 0xy−+
2
3 1 (2 3) 0y xy −+ +
2022C
⇒≥
.
Dấu bằng xảy ra khi
|3 1| 0y −=
2
(2 3) 0xy−+ =
3 10y −=
2 30xy+=
| 1/70

Preview text:

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
CĐ11: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GTLN, GTNN
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 2.1: Bất đẳng thức về chứng minh tổng phân số tự nhiên
Dạng 2.2: Bất đẳng thức về chứng minh tổng lũy thừa
Dạng 2.3: Bất đẳng thức về chứng minh tích của một dãy
Dạng 3: Bất đẳng thức dạng chữ
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A. Trắc nghiệm (nếu có)
Câu 1. (HSG 7 huyện Lạng Giang 2022 - 2023)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + (x y + )2 2
1 +10 với x ≥ 0 là: A. 10 B. 11 C. 1 D. 10 − Lời giải Chọn A
Ta có: x ≥ 0, x
∀ ≥ 0 ; (x y + )2 2 1 ≥ 0, x, y ∀
x + (x y + )2 2 1 ≥ 0, x ∀ ≥ 0, y ∀
C = x + (x y + )2 2 1 +10 ≥10, x ∀ ≥ 0, y ∀
Giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi: x = 0  x = 0 x = 0   ⇒  ⇒ (   x − 2y +  )2 1 1 = 0
x − 2y +1 = 0 y =  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi 1 x = 0; y = . 2
Câu 2. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022) Cho số − x xZ để 2018 B =
có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của B là : 2017 − x A. 1. B. 4 C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có: 2018 − x B − + = 2017 x 1 = 1 = 1+ 2017 − x 2017 − x 2017 − x
Suy ra B đạt giá trị lớn nhất khi 2017 − x là số dương nhỏ nhất.
x là số nguyên ⇒ 2017 − x =1 ⇒ x = 2016 . Khi đó B =1+1 = 2 .
Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = y − 2 + y − 5 là A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Lời giải
Trang 1/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Chọn B
Ta có: A = y − 2 + y − 5 = y − 2 + 5 − y
Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a + b a + b . Dấu ‘=’ xảy ra khi . a b ≥ 0 .
Ta có y − 2 + 5 − y y − 2 + 5 − y = 3. Dấu ‘=’ xảy ra khi ( y − 2)(5 − y) ≥ 0 ⇒ 2 ≤ y ≤ 5 ⇒ A ≥ 3
Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2 ≤ y ≤ 5
Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)
Với x nguyên, giá trị lớn nhất của biểu thức 2022 − x A = là 2 − x A. 2021 B. 2020 C. 2019 D. 2018 Lời giải Chọn A Ta có: 2022 − x 2020 A = = 1+
, x∈ ⇒ 2 − x∈ . 2 − x 2 − x
Để A có giá trị lớn nhất thì 2 − x là số nguyên dương nhỏ nhất, hay 2 − x =1⇒ x =1.
Vậy GTLN của A là 2021 khi x =1.
Câu 5. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn, huyện Nam Trà My, huyện Thăng Bình, trường Đào Duy
Từ 2018 - 2019; huyện Lâm Thao 2016 - 2017)
Cho (a b)2 + 6ab = 36 . Giá trị lớn nhất của x = . a b là: A. 6 B. 6 − C. 7 D. 5 Lời giải Chọn A
Ta có (a b)2 + 6ab = 36 Suy ra: ab = − (a b)2 6 36 ≤ 36 Suy ra 36 ab ≤ ⇒ ab ≤ 6 6
Dấu “=” xảy ra khi a = b = ± 6
Vậy x đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi a = b = ± 6 . B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Than Uyên - Lai Châu 2022 - 2023)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2024 A = . 4 − 2022x −1 Lời giải
Với mọi x ta có: 2022x −1 ≥ 0 ⇒ 4 − 2022x −1 ≤ 4 1 1 ⇒ ≥ 4 − 2022x −1 4 1 1 ⇒ .2024 ≥ .2024 2024 ⇒ ≥ 506 . 4 − 2022x −1 4 4 − 2022x −1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2022 1
x −1 = 0 ⇒ x = . 2022
Trang 2/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 506 khi và chỉ khi 1 x = . 2022
Câu 2. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)
Cho x thoả mãn: x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 = 4 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của x , M
giá trị lớn nhất của x . Tính giá trị của A = m + M . Lời giải
Áp dụng tính chất: a a , dấu “=” xảy ra khi a ≥ 0 , ta được:
x − 2 ≥ x − 2 dấu “=” xảy ra khi x − 2 ≥ 0 .
x − 3 ≥ x − 3 dấu “=” xảy ra khi x − 3 ≥ 0.
4 − x ≥ 4 − x dấu “=” xảy ra khi 4 − x ≥ 0 .
5 − x ≥ 5 − x dấu “=” xảy ra khi 5 − x ≥ 0.
Suy ra: x − 2 + x − 3 + 4 − x + 5 − x x − 2 + x − 3+ 4 − x + 5 − x = 4 . x − 2 ≥ 0  x − 3 ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi:  ⇒ 3 ≤ x ≤ 4 . 4 − x ≥ 0 5−x≥0
Suy ra 3 là giá trị nhỏ nhất của x , 4 là giá trị lớn nhất của x .
Suy ra: A = m + M = 3+ 4 = 7 .
Câu 3. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x −1 + x − 2 + x − 3 +…+ x − 23 . Lời giải
Ta có: A = x −1 + x − 2 + x − 3 +...+ x − 23 thì:
A = x −1 + x − 2 +....+ 11− x + x −12 + 13− x +..... 23− x .
Áp dụng tính chất a a , dấu “=” xảy ra khi a ≥ 0 , ta được:
x −1 ≥ x −1; x − 2 ≥ x − 2 ; ...; x −11 ≥ x −11;
x −12 ≥ 0 ; 13− x ≥13− x ; ...; 23− x ≥ 23− x .
Suy ra: A x −1+ x − 2 +....+ x −11+ 0 +13− x +...+ 23− x (22 + 2).11
= 23−1+ 22 − 2 +....+13−11+ 0 = 22 + 20 +18 +16 +14 +....+ 2 = = 132 . 2
Dấu “=” xảy ra khi x =12 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 132 khi x =12 .
Câu 4. (HSG 7 trường Bồ Lý 2015 - 2016; huyện Hoàng Hóa; trường Phạm Kính Ân 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A = x +1 + 5 2 b) x +15 B = . 2 x + 3 Lời giải
Trang 3/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
a) Với mọi x , ta có: x +1 ≥ 0 ⇒ A = x +1 + 5 ≥ 5 , dấu " = " xảy ra khi x = 1 −
Vậy MinA = 5 ⇔ x = 1 − . x +15 ( 2 2 x + 3) +12 b) Ta có: 12 B = = = 1+ . 2 2 2 x + 3 x + 3 x + 3
Với mọi x , ta có: 2 x ≥ 0 ⇒ 2 x + 3 ≥ 3 ⇒ 12 12 ≤ ⇒ 12 ≤ 4 ⇒ 12 1+ ≤ 5 . 2 x + 3 3 2 x + 3 2 x + 3
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x = 0 .
Vậy GVLN của B là 5 khi x = 0 .
Câu 5. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2016 - 2017; huyện Bố Trạch, huyện Vị Thanh 2017 - 2018;
huyện Hà Đông 2022 - 2023)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 ≤ a b +1≤ c + 2 và a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của . c Lời giải
Vì: 0 ≤ a b +1≤ c + 2 nên 0 ≤ a + b +1+ c + 2 ≤ c + 2 + c + 2 + c + 2 .
Suy ra: 0 ≤ 4 ≤ 3c + 6 (vì a + b + c =1). Hay 3c ≥ 2 − 2 ⇒ c ≥ − . 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là 2 − khi đó 5 a + b = . 3 3
Câu 6. (HSG 7 huyện Bình Xuyên - Vĩnh Phúc 2022 - 2023)
Cho x là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x −1 + 2x − 2 +... 2x −10 . Lời giải
Ta có: A = 2x −1 + 2x − 2 +... 2x −10
A = ( 2x −1 + 2x −10 ) + ( 2x − 2 + 2x −9 )...+ ( 2x −5 + 2x − 6 )
A = ( 2x −1 + 10 − 2x ) + ( 2x − 2 + 9 − 2x)...+ ( 2x −5 + 6 − 2x )
A ≥ 2x −1+10 − 2x + 2x − 2 + 9 − 2x + 2x − 5 + 6 − 2x = 9 + 7 + 5 + 3+1 = 25 . 1 ≤ x ≤ 5 (   2x − ) 1 (10 − 2x) ≥ 0 5    9
(2x − 2)(9 − 2x) ≥ 0 1  ≤ x ≤ Dấu = xảy ra khi:  ⇔ 5 ⇒ ≤ x ≤ 3 . ...  2   ... 2
(2x −5)(6−2x) ≥ 0  5 ≤ x ≤ 3 2
Câu 7. (HSG 7 huyện Triệu Sơn 2022 - 2023)
Cho a , b , c là các số thực thảo mãn 2 2 2
a + b + c ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 2023ca ab bc . Lời giải
Ta có: P = 2023ca ab bc = 2023ca b(a + c) . Có: (x y)2 2 2
≥ 0 ∀ x, y x + y ≥ 2xy x, y . Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y . (*)
Trang 4/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2 b + a + c
+ Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: b(a + c) ( )2 ≤ . 2 2 2 2 Suy ra: − − ( + ) a + b + c b a c ≥ − − ac 2 = − ac = 1 − − ac . 2 2
Do đó: P ≥ 2023ca −1− ac = 2022ac −1. 2 2 2 2 2
+ Lại có: ac = a . c a + c + + ≤ a b c ≤ 2 = = 1, suy ra 1 − ≤ ac ≤1. 2 2 2
Do đó: P ≥ 2022ac −1≥ 2022.(− ) 1 −1 = 2023 − . Dấu " = " xảy ra khi: a = 1 ±  b  = 0  b  = 0    b  = 0  a = −c c = −ab   = a + c c = −  a   2 2 2  2 2 2 
a + b + c = 2 a + 0 + a = 2   a = c ⇔  ⇔ ⇔  1  2 a = .   b  = 2a b  = 2a  6 2 2 2
a + b + c = 2     a = c c = ab  = 2a   2 2 2  
a + b + c = 2 2  c = a a +  (2a)2 2 + a =1   Vậy P = 2023 − khi: min (     − − −  a b c)∈ (  − ) (− ) 1 2 1 1 2 1 ; ; 1; 0; 1 , 1; 0; 1 ,  ; ; ,  ; ;  .   6 6 6   6 6 6 
Câu 8. (HSG 7 huyện Diễn Châu 2022 - 2023)
Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: x +1 P = . 2x − 2 Lời giải x +1 (x − ) 1 + 2 Ta có: 1 1 P = = = + . 2x − 2 2(x − ) 1 2 x −1 Để 1 P
đạt giá trị lớn nhất ⇔ x −1 đạt giá trị nhỏ nhất và x −1 > 0 . max x −1
x nguyên nên x = 2 . Vậy 1 1 P = + 3 = khi x = 2 . max 2 2 −1 2
Câu 9. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2022 D = với x ∈ . 2023− x − 2024 Lời giải
x∈ ⇒ 2023− x − 2024 ∈.
Để D đạt giá trị nhỏ nhất thì 2023− x − 2024 lớn nhất và âm.
⇒ 2023− x − 2024 = 1
− ⇒ x − 2024 = 2024
x = 0 hoặc x = 4048 .
Trang 5/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức D là 2022 −
khi x = 0 hoặc x = 4048 .
Câu 10. (HSG 7 huyện Thái Hòa - Nghệ An 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
Q = x +1 + x −1 + x + 4 . Lời giải
Ta có: x +1 + x −1 = x +1 + 1− x x +1− x +1 = 2 với mọi x và 2
x + 4 ≥ 2 với mọi x .
Suy ra: Q ≥ 4 với mọi x .
Dấu bằng xảy ra khi (x + ) 1 (1− x) > 0 và 2
x = 0 hay x = 0 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q = 3 khi x = 0 .
Câu 11. (HSG 7 huyện Đông Hưng, huyện Hưng Hà, trường Lê Quý Đôn - Hà Tĩnh, TP Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = x − 2022 + x − 2023 . Lời giải
F = x − 2022 + x − 2023 = x − 2022 + 2023− x .
x − 2022 ≥ x − 2022 dấu “=” xảy ra khi x − 2022 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2022
và 2023− x ≥ 2023− x dấu “ =” xảy ra khi 2023− x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2023 .
Suy ra: F = x − 2022 + 2023− x x − 2022 + 2023− x =1. x ≥ 2022
Dấu ” =” xảy ra khi: 
⇒ 2022 ≤ x ≤ 2023. x ≤ 2023
Vậy MinF =1 khi 2022 ≤ x ≤ 2023.
Câu 12. (HSG 7 huyện Hà Trung 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 . Lời giải
Ta có: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 = ( x − 2021 + 2023− x ) + x − 2022 .
Do x − 2021 + 2023− x x − 2021+ 2023− x = 2 và x − 2022 ≥ 0 với mọi x nên A ≥ 2 . (  x − ) 2021 (2023− x) ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:  ⇒ x = 2022 . x − 2022 = 0
Vậy Min A = 2 khi x = 2022 .
Câu 13. (HSG 7 huyện Lập Thạch - Vĩnh Phúc 2022 - 2023) Cho biểu thức 2026 − x A =
. Tìm x nguyên để A có giá trị nhỏ nhất. x − 2023 Lời giải Ta có: 2026 − x A − + = 2003 x 3 = 3 = 1 − + x − 2023 x − 2003 x − 2003 A nhỏ nhất khi 3 nhỏ nhất. x − 2023 3
nhỏ nhất khi x − 2023 là số âm lớn nhất. x − 2023
Trang 6/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
x nguyên suy ra x − 2023 = 1 − ⇔ x = 2022 . Vậy A có GTNN là 4
− khi x = 2022 .
Câu 14. (HSG 7 huyện Tân Kỳ 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x − 4 + 2x − 6 + 2x −8 . Lời giải
Ta có: A = 2x − 4 + 8 − 2x + 2x − 6 .
Ta có: 2x − 6 ≥ 0 . (1)
2x − 4 + 8 − 2x ≥ 2x − 4 + 8 − 2x = 4 . (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra: A = 2x − 4 + 2x − 6 + 2x −8 ≥ 4. 2x − 6 = 0 Dấu " = " xảy ra khi: ( hay x = 3.  2x − 4  )(8− 2x) ≥ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x − 4 + 2x − 6 + 2x −8 bằng 4 khi x = 3.
Câu 15. (HSG 7 Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 27 − 2x Q =
(với x là số nguyên). 12 − x Lời giải Ta có: 27 − 2x 3 Q = = 2 + . 12 − x 12 − x
Suy ra Q lớn nhất khi 3 lớn nhất. 12 − x
3 lớn nhất khi 12− x là số dương nhỏ nhất. 12 − x
x nguyên nên 12 − x =1. Hay x =11. Với x =11 thì 27 2 .11 Q − = = 5 . 12 −11
Suy ra Q có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11.
Câu 16. (HSG 7 trường Giao Tân 2016 - 2017; trường Lê Hồng Phong 2018 - 2019; huyện
Tương Dương 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( x y)2 −( y x)2 2 5 15 6 − xy − 90 . Lời giải
Ta có: P = ( x y)2 −( y x)2 2 5 15 6 − xy − 90
= (2x − 5y)2 − (6x −15y)2 − xy − 90
= (2x − 5y)2 − 9.(2x − 5y)2 − xy − 90
= −  ( x y)2 8. 2 5 + xy − 90    .
Ta có: ( x y)2 8. 2 5
≥ 0 với mọi giá trị của x, y ;
xy − 90 ≥ 0 với mọi giá trị của x, y .
Trang 7/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Do đó ( x y)2 8. 2 5
+ xy − 90 ≥ 0 với mọi giá trị của x, y .
Nên −  ( x y)2 8. 2 5 + xy − 90  ≤ 0  
với mọi giá trị của x, y .
Hay P ≤ 0 với mọi giá trị của x, y .
Dấu " = "xảy ra khi và chỉ khi ( x y)2 2 5
= 0 và xy − 90 = 0 .
+ Với xy − 90 = 0 thì xy − 90 = 0 (1). + Với ( x y x y)2 2 5
= 0 thì 2x − 5y = 0 . Do đó 2x = 5y ⇒ = . 5 2 Đặt x y
= = k , khi đó x = 5k , y = 2k , thay x = 5k , y = 2k 5 2 vào (1) ta được: 2
5k.2k −90 = 0 ⇒ k = 9 . Suy ra k = 3 hoặc k = 3 − .
Nếu k = 3 thì x = 4; y = 6 ; Nếu k = 3 − thì x = 4; − y = 6 − .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 hoặc x = 4; − y = 6 − .
Câu 17. (HSG 7 trường Lang Chánh 2022 - 2023)
Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: x + 3z = 2022 và x + 2y = 2023. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 1
A = x + y + z + . 2 Lời giải
Ta có: x + 3z = 2022 (1) và x + 2y = 2023 (2)
Từ (1) ⇒ x = 2022 − 3z
Trừ từng vế của (2) cho (1), ta được: 2y − 3z =1 1 3z y + ⇒ = 2 Khi đó: 1 1+ 3z 1
A = x + y + z + = (2022 − 3z) + + z + 2 2 2 1 1 3 1
= 2022 + + − 3z + z + z = 2023− z 2 2 2 2 Vì 1 1
z ≥ 0 ⇒ − z ≤ 0 ⇒ 2023− z ≤ 2023 ⇒ A ≤ 2023. 2 2  z = 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2022 .  1 y =  2  z = 0
Vậy: GTLN của A bằng 2023 ⇔ x = 2022 .  1 y =  2
Câu 18. (HSG 7 TP Bắc Giang 2022 - 2023)
Trang 8/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 x − 2022 + 2023
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = . x − 2022 + 2024 Lời giải ( x−2022 + 2024)−1 Ta có 1 C = = 1− . x − 2022 + 2024 x − 2022 + 2024
Ta thấy C đạt giá trị nhỏ nhất khi 1
đạt giá trị lớn nhất x − 2022 + 2024
x − 2022 + 2024 đạt giá trị nhỏ nhất (vì 1 > 0 ).
Mặt khác x − 2022 ≥ 0, x
∀ ⇒ x − 2022 + 2024 ≥ 2024, x ∀ . Do đó 1 2023 C ≥1− = . 2024 2024
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x − 2022 = 0 . Suy ra x = 2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2023 . 2024
Câu 19. (HSG 7 trường Hiệp Hòa 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x − 4 + 5x − 7 − x + 2025 . Lời giải Ta có: 4
3x − 4 = 0 ⇒ x = 3 7
5x − 7 = 0 ⇒ x = 5 Ta có bảng xét dấu sau: 4 7 3 5 3x − 4 − 0 + || + 5x − 7 − || − 0 +  3x − 4 = 4 −  3x TH1: với 4 x ≤ ⇒ . 3 
 5x − 7 = 7 − 5x  Khi đó 4
A = 4 − 3x + 7 − 5x x + 2025 = 2036 − 9x ≥ 2036 − 9. = 2024(1) 3 4 7
 3x − 4 = 3x −  4
TH2: với < x < ⇒ . 3 5 
 5x − 7 = 5x − 7  Khi đó 7 10119
A = 3x − 4 + 7 − 5x x + 2025 = 3 − x + 2028 ≥ 3. − + 2028 = (2) 5 5 7
 3x − 5 = 3x −  5 TH3: Với x ≥ ⇒ . 5 
 5x − 7 = 5x − 7  Khi đó 7 10119
A = 3x − 4 + 5x − 7 − x + 2025 = 7x − 2014 ≥ 7. − 2014 = (3) 5 5
Trang 9/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Từ (1); (2) và (3) suy ra 10119 A x
∀ . Dấu ' = ' xảy ra khi 7 x = . 5 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 10119 khi 7 x = . 5 5
Câu 20. (HSG 7 huyện Gia Viễn - Ninh Bình 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2
P = 6. y − + x − 4x + 7. 8 Lời giải Ta có: 1 2
P = 6. y − + x − 4x + 7. 8 1
6. y − ≥ 0, y ∀ 8 2 2
x − 4x + 7 = x − 2x − 2x + 4 + 3 = x(x − 2) − 2(x − 2) + 3 = (x − )2 2 + 3 > 0, x ∀  1  1 6. y − = 0  = ⇒ P ≥ 3, x,y ∀ . y
Dấu “=” xảy ra khi:  8 ⇒  8 . (  x −2  )2 = 0 x = 2  1 y =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 khi  8 . x = 2
Câu 21. (HSG 7 huyện Hương Khê–Hà Tĩnh 2022 - 2023) Cho biểu thức: 4049 − 2x P =
(x ≠ 2023). Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P đạt x − 2023
giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của P . Lời giải
4049 − 2x 3− 2(x − 2023) 3 P = = =
− 2(x ≠ 2023) x − 2023 x − 2023 x − 2023
Biểu thức P đạt GTNN khi và chỉ khi 3
có GTNN ⇒ x − 2023 là số âm lớn nhất x − 2023
(vì x nguyên )⇒ x − 2023 = 1
− ⇒ x = 2022 (TM )
Khi đó GTNN của P là 5 − khi x = 2022 .
Vậy GTNN của P là 5 − khi x = 2022 .
Câu 22. (HSG 7 huyện Thái Thụy - Thái Bình 2022 - 2023) Cho biểu thức a − 5 E =
với a là số nguyên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của E ? a − 2 Lời giải
Điều kiện: a ≠ 2
a − 5 a − 2 − 3 3 E = = = 1− ; a − 2 a − 2 a − 2
E nhận giá trị nguyên khi 3 là số nguyên. a − 2
⇒ 3a − 2 ⇒ a − 2∈{ 1; ± ± } 3 ⇒ a ∈{3;5;1;− } 1
Trang 10/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Thử lại các trường hợp thì ta tính được giá trị nhỏ nhất của E bằng 2 − khi a = 3
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của E bằng 2 − khi a = 3.
Câu 23. (HSG 7 huyện Sông Lô, trường Đôn Nghĩa–Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 14 − x P =
với x là số nguyên khác 4 . 4 − x Lời giải Ta có: 14 − x 10 P = = 1+ 4 − x 4 − x P đạt GTLN 10 ⇔ đạt GTLN 4 − x
Nếu 4 − x > 0 thì 10 > 0 4 − x
Nếu 4 − x < 0 thì 10 < 0 4 − x
Để 10 đạt GTLN thì 4 − x là số nguyên dương nhỏ nhất ⇒ 4 − x =1 ⇒ x = 3(TM) 4 − x
Khi x = 3 thì P =11.
Vậy P có GTLN bằng 11 khi x = 3
Câu 24. (HSG 7 trường Lý Nam Đế - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất 2011 B = . 2012 − x − 2010 Lời giải
Ta có: − x − 2010 ≤ 0 với mọi x ⇒ 2012 − x − 2010 ≤ 2012 với mọi x . x > 4022
* Trường hợp 1: 2012 − x − 2010 < 0 ⇒ x − 2010 > 2012 ⇒  .  x < 2 −
Khi đó, B < 0. B nhỏ nhất khi và chỉ khi 2011 −B =
đạt giá trị dương lớn nhất x − 2010 − 2012
khi và chỉ khi x − 2010 − 2012 =1 x = 4023
x − 2010 = 2013 ⇔  (thỏa mãn).  x = 3 −
Khi đó, B nhỏ nhất bằng 2011 − .
* Trường hợp 2: 2012 − x − 2010 > 0 ⇒ x − 2010 < 2012 ⇒ 2 − < x < 4022 Khi đó, 2011
0 < 2012 − x − 2010 ≤ 2012 ⇒ B ≥ . 2012 Vậy x = 3
− hoặc x = 4023 . biểu thức 2011 B =
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2011 − 2012 − x − 2010
Câu 25. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023) 2(x − )2 1 + 2( y − 2)2 +100
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 Lời giải
Trang 11/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2(x − )2 1 + 2( y − 2)2 +100 D = (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2.[(x − )2
1 + ( y − 2)2 + 2]− 4 +100 = 96 = 2 + (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2  (x −1) ≥ 0 Vì  2 2
⇒ (x −1) + (y − 2) + 2 ≥ 2 2 (y − 2) ≥ 0 96 96 ⇒ ≤ = 48 (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2 96 ⇒ 2 + ≤ 50 ⇒ D ≤ 50 (x − )2 1 + ( y − 2)2 + 2 2  (x −1) = 0  x =1 Dấu bằng xảy ra khi  ⇒ 2  (y − 2) = 0 y = 2 x=1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức: D là 50 khi  y = 2
Câu 26. (HSG 7 huyện Hương Khê - Hà Tĩnh, trường Tân Tiến - Hưng Hà 2022 - 2023) 2 x −1 + 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = x −1 +1 Lời giải
2 x −1 + 3 2 x −1 + 2 +1 Ta có 1 C = = = 2 + x −1 +1 x −1 +1 x −1 +1
x −1 ≥ 0 với mọi x .
x −1 +1≥1 với mọi x . 1 ⇒ ≤1 với mọi x . x −1 +1 1 ⇒
+ 2 ≤ 3 với mọi x . x −1 +1
Vậy giá trị lớn nhất C là 3 khi và chỉ khi x =1
Câu 27. (HSG 7 huyện Tam Dương - Vĩnh phúc 2016 - 2017; huyện Phủ Lý, trường THCS Lý
Tự Trọng 2018 - 2019; huyện Hưng Hà, Vũng Tàu 2022 - 2023)
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2016x − 2016 M = có giá trị nhỏ nhất. 3x + 2 Lời giải
2016x − 2016 672(3x + 2) − 2016 −1344 3360 M = = = 672 − 3x + 2 3x + 2 3x + 2 M nhỏ nhất 3360 ⇒ lớn nhất 3x + 2
Xét 3x + 2 < 0 thì 3360 < 0 (1) 3x + 2
Trang 12/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Xét 3x + 2 > 0 thì 3360 > 0 3x + 2
3360 lớn nhất khi 3x+2 3x + 2 nhỏ nhất
x nguyên, 3x + 2 dương và 3x + 2 chia 3 dư 2 nên 3x + 2 = 2 nên x = 0 Khi đó: 3360 = 3360 =1680 (2) 3x + 2 3.0 + 2
So sánh (1) và (2) thì 3360 có giá trị lớn nhất bằng 1680 3x + 2 Vậy M = 1008 − x = . min khi 0
Câu 28. (HSG 7 huyện Hoằng Hoá - Thanh Hoá 2017 - 2018; trường Nguyễn Tông Quai - Hưng Hà 2022 - 2023) 2 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x + y + 3 B = . 2 2 x + y + 2 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: x + y + 3 B + + + = x y 2 1 = 1 = 1+ 2 2 x + y + 2 2 2 x + y + 2 2 2 x + y + 2 2  Mà x ≥ 0  2 2
x + y + 2 ≥ 2 2 y ≥ 0 2 2
x + y + 2 nhỏ nhất bằng 2 khi x = y = 0
Khi đó B lớn nhất bằng 1 3 1+ = 2 2 3 Vậy B =
x = y = . max 2 khi 0
Câu 29. (HSG 7 trường Minh Khai - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: | x − 2017 | 2018 C + = . | x − 2017 | 2019 + Lời giải ( x −2017 + 2019)−1 Ta có: | x − 2017 | 2018 C + = = = 1 1− | x − 2017 | 2019 + | x − 2017 | 2019 + | x − 2017 | 2019 +
Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x − 2017 | 2019 +
có giá trị nhỏ nhất
Mà | x − 2017 |≥ 0 nên | x − 2017 | 2019 + ≥ 2019. Dấu " = " xảy ra khi 2018 x = 2017 ⇒ C = . 2019
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2018 khi x = 2017 . 2019
Câu 30. (HSG 7 trường Cự Khê 2016 - 2017; trường Lưu Khánh Đàm - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x − )2
2 + y x + 3 . Lời giải Ta có 2
(x − 2) ≥ 0 với mọi x và y x ≥ 0 với mọi x, y A ≥ 3 với mọi x, y .
Trang 13/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2 (x − 2) = 0 x = 2
Suy ra A nhỏ nhất bằng 3 khi  ⇒   y x = 0  y = 2
Vậy A = 3 khi x = y = 2 . min
Câu 31. (HSG 7 trường Hồng Lĩnh - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau K = ( x y)2 −( y x)2 3 2 4 6 − x + y − 5 . Lời giải
Ta có: K = ( x y)2 −( y x)2 3 2 4 − x + y − 5
= ( x y)2 − ( y x)2 3 2 4. 2 3 − x + y − 5
= ( x y)2 − ( x y)2 3 2 4. 3 2 − x + y − 5
= − ( x y)2 3. 3 2 − x + y − 5
= −  ( x y)2 3. 3 2 + x + y − 5   
Ta có ( x y)2 3. 3 2 0
≥ với mọi giá trị của x, y x + y 5
− ≥ 0 với mọi giá trị của x, y
Do đó  ( x y)2 3. 3 2 + x + y − 5  ≥ 0  
với mọi giá trị của x, y
Nên −  ( x y)2 3. 3 2 + x + y − 5  ≤ 0  
với mọi giá trị của x, y
Hay K ≤ 0 với mọi giá trị của x, y
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 3x − 2y = 0 và x + y − 5 = 0 (1)
Với 3x − 2y = 0 x y
thì 3x = 2y ⇒ = . 2 3 Đặt x y
= = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 2 3
Thay x = 2k y = 3k vào (1) ta được 2k + 3k − 5 − 0 ⇒ 5k = 5 ⇒ k =1
Với k =1 thì x = 2 ; y = 3
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức K là 0 khi và chỉ khi x = 2; y = 3.
Câu 32. (HSG 7 huyện Đất Mũi 2016 - 2017; huyện Hương Khê - Hà Tĩnh 2017 - 2018; huyện
Rạch Giá - Kiên Giang 2018 - 2019; trường Hồng Lĩnh - Hưng Hà 2022 - 2023)
Cho a,b,c,d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E = x a + x b + x c + x d . Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử a b c d . Áp dụng BĐT a + b a + b , dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 ta có:
x a + x d x a + d x x a + d x = d a ( ) 1
x b + x c x b + c x x b + c x = c b (2)
Suy ra E c + d a b .
Trang 14/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi dấu " = " ở ( ) 1 và (2) xảy ra
khi và chỉ khi (x a)(d x) ≥ 0 và (x b)(c x) ≥ 0 .
Suy ra a x d b x c .
Do đó MinE = c + d a b khi b x c .
Câu 33. (HSG 7 trường Dân Chủ - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x − + (x y)2 2 2 + 3 z + 9 +16 Lời giải
Ta có: C = x − + (x y)2 2 2 + 3 z + 9 +16
x − 2 ≥ 0 x
∀ ∈  ; (x y)2 ≥ 0 ∀ ; x y ∈ ; 2 z ≥ 0 z ∀ ∈  ⇒ 2 z + 9 ≥ 0 z ∀ ∈  ⇒ 2 z + 9 ≥ 3 z ∀ ∈  ⇒ 2 3 z + 9 ≥ 9 z ∀ ∈ 
x − + ( x y)2 2 2 + 3 z + 9 +16 ≥ 25
x − + ( x y)2 2 2
+ 3 z + 9 +16 ≥ 25 hay C ≥ 25
Vậy C = 25 khi x = y = 2 và z = 0. min
Câu 34. (HSG 7 trường THCS Tân Ước 2013 - 2014; huyện Hương Khê (và Đề 326) 2016 - 2017;
trường THCS Hồng Liên, huyện Phủ Lí - Hà Nam, trường Hoàng Quyên, trường Lý Tự
Trọng, trường Phong Đạt 2018 - 2019; trường Thái Hưng - Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x − 2 + 2x − 2013 . Lời giải
Ta có: A = 2x − 2 + 2x − 2013 = 2x − 2 + 2013− 2x ≥ 2x − 2 + 2013− 2x = 2011
Dấu " = " xảy ra khi (2x − 2)(2013− 2x) ≥ 0 2013 ⇒ 1≤ x ≤ 2 Vậy A = 2011 khi 2013 1≤ x ≤ . min 2
Câu 35. (HSG 7 trường Trần Thủ Độ - Hưng Hà 2022 - 2023) 2 2x − 3 + 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x − 3 + 5 Lời giải 2 2x − 3 + 7 Ta có 3 B = = 2 − 2x − 3 + 5 2x − 3 + 5
Vì 2x − 3 ≥ 0 với mọi x . − − ⇒ 2x − 3 + 5 ≥ 5 1 1 ⇒ ≤ 3 3 ⇒ ≥ 7 ⇒ B ≥ 2x − 3 + 5 5 2x − 3 + 5 5 5 Dấu " = " xảy ra khi 2 3
x − 3 = 0 ⇒ x = 2 7 3 Vậy B = x = . min 5 khi 2
Trang 15/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 36. (HSG 7 huyện Hoằng Hoá - Thanh Hoá 2017 - 2018; trường Lê Tư Thành - Hưng Hà,
Mường La - Sơn La, huyện Sóc Sơn 2022 - 2023) Tìm số tự nhiên n n để phân số 7
8 có giá trị lớn nhất. 2n − 3 Lời giải
2(7n −8) 7(2n − 3) + 5 Ta có: 7n −8 7 5 = = = + .
2n − 3 2(2n − 3) 2(2n − 3) 2 2(2n −3)
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 5 lớn nhất. 2(2n −3)
Suy ra 2(2n − 3) nhỏ nhất khác 0 .
n là số tự nhiên nên 2(2n − 3) = 2 ⇒ 2n − 3 =1 ⇒ 2n = 4 ⇒ n = 2
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n = 2.
Câu 37. (HSG 7 trường Điệp Nông - Hưng Hà 2022 - 2023) 3 x − 2 + 2020
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . x − 2 + 2 Lời giải
3 x − 2 + 2020 3( x − 2 + 2) − 6 + 2020 Ta có: 2014 P = = = 3+ x − 2 + 2 x − 2 + 2 x − 2 + 2
Ta thấy : x − 2 ≥ 0 x
∀ ⇒ x − 2 + 2 ≥ 2 1 1 ⇒ ≤ 2014 2014 ⇒ ≤ 2014 ⇒ 3+
≤ 3+1007 ⇒ P ≤1010 x − 2 + 2 2 x − 2 + 2 2 x − 2 + 2
Do đó P đạt giá trị lớn nhất là 1010khi và chỉ khi x − 2 = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ x = 2 .
Vậy biểu thức P đạt giá trị lớn nhất bằng 1010 khi và chỉ khi x = 2 .
Câu 38. (HSG 7 huyện Hưng Hà - Thái Bình 2021 - 2022) Tìm − x x ∈ để 2022 B =
có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 2021− x Lời giải (2021− x) + Ta có: 2022 − x 1 B = 1 = =1+ 2021− x 2021− x 2021− x
Để B lớn nhất thì 1 B = lớn nhất 2021− x
+ Nếu 2021− x < 0 thì 1 < 0 2021− x
+ Nếu 2021− x > 0 thì 1 > 0 2021− x
x là số nguyên nên 2021− x là số nguyên dương Để 1
lớn nhất thì 2021− x phải là số dương nhỏ nhất khi 2021− x =1 ⇒ x = 2020 2021− x Khi đó B =1+1 = 2
Vậy biểu thức B đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 2020 .
Trang 16/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 39. (HSG 7 huyện Ý Yên - Nam Định 2021 - 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
A = 4y − 2y − 5 − 2x − 3y +1 . Lời giải Xét 2
B = 4y − 2y − 5 = ( 2
4y − 2y − 2) −3 = − ( 2 2 y − 2y + ) 1 − 3 = − ( 2
2 y y y + ) 1 − 3 = − ( 2
2 y y)−( y − ) 1  −3  = 2 −  y  ( y − ) 1 −1.( y − ) 1  − 3  = 2 − ( y − ) 1 ( y − )
1 − 3 = − ( y − )2 2 1 − 3
Do đó A = − ( y − )2 2
1 − 2x − 3y +1 − 3
Với mọi giá trị của x, y , ta có( y − )2
1 ≥ 0 và 2x − 3y +1 ≥ 0 ⇒ − ( y − )2 2
1 − 2x − 3y +1 ≤ 0
A = − ( y − )2 2
1 − 2x − 3y +1 − 3 ≤ 3 − (  y − )2 1 = 0 y −1 = 0 y =1 x = 1 Dấu " = " xảy ra khi  ⇒  ⇒  ⇒  .
 2x − 3y +1 = 0 
2x − 3y +1 = 0 2x − 3.1+1 = 0 y = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 3
− , đạt được khi và chỉ khi ( x; y) = (1; ) 1 .
Câu 40. (HSG 7 huyện Lục Ngạn - Bắc Giang 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x − 2019 + x − 2020 + x − 2021 . Lời giải
Ta có: P = x − 2019 + x − 2020 + x − 2021
= ( x − 2019 + 2021− x ) + x − 2020
Ta có x − 2019 + 2021− x x − 2019 + 2021− x = 2
Dấu bằng xảy ra khi (x − 2019)(2021− x) ≥ 0 ⇒ 2019 ≤ x ≤ 2021 ( ) 1
Lại có x − 2020 ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi x = 2020 . (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là 2 , xảy ra khi x = 2020 .
Câu 41. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( x y)2 −( y x)2 2 5 15 6 − xy − 40 . Lời giải
Ta có P = ( x y)2 −( y x)2 2 5 15 6 − xy − 40
= ( x y)2 − ( x y)2 2 5 6 15 − xy − 40
= ( x y)2 − ( x y)2 2 5 9. 2 5 − xy − 40 2 = − 8.(
 2x − 5y) + xy − 40    Ta thấy 2
(2x − 5y) ≥ 0 với mọi x, y nên 2
8.(2x − 5y) ≥ 0 với mọi x, y
xy − 90 ≥ 0 với mọi x, y
Trang 17/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Khi đó 2
8.(2x − 5y) + xy − 40 ≥ 0 với mọi x, y Suy ra 2 − 8.(
 2x − 5y) + xy − 40  ≤ 0  
với mọi x, y
Hay P ≤ 0 với mọi x, y Dấu " = " xảy ra khi 2
(2x − 5y) = 0 và xy − 40 = 0 + Với 2 (2 x y
x − 5y) = 0 thì 2x = 5y ⇒ = 5 2
+ Với xy − 40 = 0 thì xy = 40 Đặt x y
= = k ta được x = 5k y = 2k 5 2
xy = 40 nên 5k .2k = 40
Tìm được k = 2 hoặc k = 2 −
+ Nếu k = 2 thì x =10 ; y = 4 + Nếu k = 2 − thì x = 10 − ; y = − 4
Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x =10 ; y = 4 hoặc x = 10 − ; y = 4 − .
Câu 42. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022) 2 2 Cho
a x b + y
x =1− y , x > 0 , y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + ( a b x y
là hằng số dương đã cho). Lời giải
Theo bài ra ta có: x =1− y x + y =1 2 2 2 2 2 2 và
a x b + y P = + a = −1 b + +1 a b = + x y x y x y 2 ( + ) 2 a x y b (x + y) 2 2 = + (vì a y b x x + y =1) 2 2 = a + + + b x y x y 2 2 Vì a y b x
a,b > 0 và không đổi. Mà 2 2 ⋅ = a b không đổi x y 2 2 a y b x 2 2 ⇒ +
nhỏ nhất khi a y b x = x y x y 2 2 2 2
a y = b x ay = bx
a(1− x) = bx ⇒ (a + b) x = a ax = a + by =1− x =1 ab =
a + b a + b x a b a ⇒ = : = y
a + b a + b b
Thay vào P ta được: 2 2 2 b 2 a
P = a + b + a ⋅ + b a b 2 2
= a + b + ab + ab = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = ( + )2 a b
Trang 18/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy P = (a + b)2 khi a x = ; b y = . min a + b a + b
Câu 43. (HSG 7 Thị xã An Nhơn 2021 - 2022)
Tìm các giá trị nguyên của − x x để biểu thức 22 3 B = có giá trị lớn nhất. 4 − x Lời giải Ta có: 22 − 3x B − + = 12 3x 10 = 10 = 3+ 4 − x 4 − x 4 − x
Suy ra B đạt giá trị lớn nhất khi 4 − x là số dương nhỏ nhất.
x là số nguyên ⇒ 4 − x =1 ⇒ x = 3. Khi đó B = 3+10 =13
Vậy B =13 khi x = 3. max
Câu 44. (HSG 7 huyện Mỹ Đức - Hà Nội 2021 - 2022)
Cho biểu thức: Q = x − 2020 + x − 2021 + x − 2022 . Tìm x để biểu thức Q có giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải
Ta có: Q = x − 2020 + x − 2021 + x − 2022
Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a + b a + b . Dấu ‘=’ xảy ra khi . a b ≥ 0 .
Ta có x − 2020 + 2022 − x x − 2020 + 2022 − x = 2 với mọi x (1)
x − 2021 ≥ 0 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A ≥ 2 với mọi x (
x − 2020)(2022 − x) ≥ 0 Dấu ‘=’ xảy ra:  ⇒ x = 2021  x − 2021≥ 0
Vậy Q có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 2021.
Câu 45. (HSG 7 huyện Ứng Hòa - Hà Nội 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2021− x + 2022 − x . Lời giải
Ta có: P = 2021− x + 2022 − x = x − 2021 + 2022 − x
Ta có x − 2021 + 2022 − x x − 2021+ 2022 − x =1
Dấu bằng xảy ra khi (x − )
2021 (2022 − x) ≥ 0 ⇔ 2021≤ x ≤ 2022.
Vậy biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là 1, xảy ra khi 2021≤ x ≤ 2022 .
Câu 46. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn 2014 - 2015; huyện Phù Cát - Bình Định 2017 - 2018; TP
Vũng Tàu 2021 - 2022; huyện Krông Ana 2022 - 2023)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x − 2 + 2x − 3 + 3x − 4 Lời giải
Ta có: x − 2 + 3x − 4 = 2 − x + 3x − 4 ≥ 2 − x + 3x − 4 = 2x − 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ (2 − x)(3x − 4) ≥ 0
Trang 19/70
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 x ≤ 2 2 − x ≥ 0 2 ≥ x  4    3  − 4 ≥ 0 3  ≥ 4 x x x ≥  3 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ x ≤    2 2 − x ≤ 0 2 ≤ xx ≥ 2 3       3  x − 4 ≤ 0  3  x ≤ 4  4 x ≤  3
Lại có: 2x − 2 + 2x − 3 = 2x − 2 + 3− 2x ≥ 2x − 2 + 3− 2x = 1 =1
Dấu “=” xảy ra ⇔ (3− 2x)(2x − 2) ≥ 0  3  3  − 2 ≥ 0  2 − ≥ 3 − x x x ≤  2    2x − 2 ≥ 0 2x ≥ 2  x ≥1 3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1≤ x ≤  3  2x 0  − ≤  2 − x ≤ 3  −  3 2     x ≥ 2x − 2 ≤ 0 2x ≤ 2  2  x ≤1
Do đó ⇒ A = x − 2 + 2x − 3 + 3x − 4 ≥1 4 ≤ x ≤ 2  Dấu “=” xảy ra 3 4 3 ⇔  ⇔ ≤ x ≤ 3 3 2 1  ≤ x ≤  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 4 3 ⇔ ≤ x 3 2
Câu 47. (HSG 7 thị xã Cửa Lò - Nghệ An 2021 - 2022)
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a + 3c = 2021; a + 2b = 2022 . Tìm giá trị lớn nhất
của P = a + b + c . Lời giải
Ta có: a + 3c = 2021⇒ a = 2021− 3c ; a + 2b = 2022 ⇒ a = 2022 − 2b .
Suy ra: 2021− 3c = 2022 − 2b ⇒ 2b = 2022 − 2021+ 3c =1+ 3c 1 3 ⇒ b = + c . 2 2 Như vậy: 1 3 1 1 1
P = a + b + c = 2021− 3c + + c + c = 2021 − c ≥ 2021 (vì c ≥ 0 ). 2 2 2 2 2
Dấu bằng xảy ra ⇔ c = 0 . Khi đó a + 3c = 2021⇒ a = 2021; 1
a + 2b = 2022 ⇒ b = . 2
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 2021 khi 1
a = 2021; b = ; c = 0 . 2 2
Câu 48. (HSG 7 huyện Vũ Thư - Thái Bình 2021 - 2022)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
+ y − + ( x y + )2 2022 3 1 2 3 . Lời giải
Với mọi x, y ta có: 3y −1 ≥ 0 và 2
(2x y + 3) ≥ 0 2
⇒ 3y −1 + (2x y + 3) ≥ 0 ⇒ C ≥ 2022 .
Dấu bằng xảy ra khi | 3y −1|= 0 và 2
(2x y + 3) = 0 ⇔ 3y −1 = 0 và 2x y +3 = 0
Trang 20/70