80 trang 5 lượt tải

Bài toán so sánh phân số, lũy thừa trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

10

Tài liệu gồm 80 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề so sánh phân số, lũy thừa trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 6 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết.

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 392 tài liệu

Môn: Toán 6 2.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/80
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
1
CHỦ ĐỀ: SO SÁNH PHÂN SỐ
A. PHẦN NỘI DUNG
Các bài toán về tỷ số của hai số; tìm số khi biết giá trị phân số của nó; tìm giá trị phân số của một số;
tỷ số phần trăm.
Dạng 1: Các phương pháp so sánh: quy đồng mẫu (tử ), sử dụng tính chất bắc cầu, xét phần bù,
viết dưới dạng hỗn số, so sánh với 1; sử dụng tính chất: với a, b , m ∈ N* thì:
*1
a a am
b b bm
+
<⇒ <
+
*1
a a am
b b bm
+
>⇒ >
+
)
Bài 1: Tính tổng của các phân số lớn hơn
1
5
nhưng nhỏ hơn
1
4
và có tử là
4
.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có
1
5
4
20
=
;
1 4
4 16
=
Các phân số lớn hơn
nhưng nhỏ hơn
1
4
và có tử là
4
là:
444
17 18
;;
19
Tổng các phân số là:
444
17 18 19
++
424
17 9 19
= ++
684 646 612
2907 2907 2907
=++
1942
2907
=
. 2
Bài 2: Có bao nhiêu cách để viết
7
12
thành tổng của hai phân số tối giản trong đó mẫu số của hai phân
số khác nhau và đều không lớn hơn
12
.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có
716= +
25= +
34= +
Do đó
7 16
12 12
+
=
11
12 2
= +
;
7 25
12 12
+
=
15
6 12
= +
;
7 34
12 12
+
=
11
43
= +
Vậy có ba cách viết.
Bài 3: So sánh:
8
8
17 5
17 8
A
+
=
−
và
8
8
17 6
17 7
B
+
=
−
.
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021 - 2022
Lời giải
8
8
17 5
17 8
A
+
=
−
8
8
17 8 13
17 8
−+
=
−
8
88
17 8 13
17 8 17 8
−
= +
−−
8
13
1
17 8
= +
−
8
8
17 6
17 7
B
+
=
−
8
8
17 7 13
17 7
−+
=
−
8
88
17 7 13
17 7 17 7
−
= +
−−
8
13
1
17 7
= +
−
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
2
Vì
88
0 17 8 17 7<−<−
nên
88
13 13
17 8 17 7
>
−−
.
Vậy
88
13 13
11
17 8 17 7
+ >+
−−
hay
AB>
.
Bài 4: So sánh
P
và
Q
, biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P =++
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
=++
++ ++ ++
Ta có:
2010 2010
2011 2012 2013 2011
<
++
2011 2011
2011 2012 2013 2012
<
++
2012 2012
2011 2012 2013 2013
<
++
nên
2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
++
++ ++ ++
<
2010 2011 2012
2011 2012 2013
++
Kết luận:
PQ
>
.
Bài 5: So sánh 2 phân số:
20072007
20082008
và
200720072007
200820082008
Trích đề HSG huyện Tĩnh Gia năm 2018-2019
Lời giải
20072007 2007.1001 2007
20082008 2008.1001 2008
= =
200720072007 2007.100010001 2007
200820082008 2008.100010001 2008
= =
Vậy hai phân số trên bằng nhau
Bài 6: So sánh hai phân số
1a
a
−
và
1b
b
+
(với
,
ab
là số nguyên cùng dấu và
; 0)ab≠
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019
Lời giải
Có
11
1
a
aa
−
= −
và
11
1
b
bb
+
= +
*Nếu
0, 0ab>>
suy ra
1
0
a
>
và
1
0
b
>
suy ra
11
11
ab
− <+
hay
11ab
ab
−+
<
*Nếu
0, 0ab<<
suy ra
11
0; 0
ab
<<
suy ra
11
11
ab
− >+
suy ra
11ab
ab
−+
>
Bài 7: So sánh
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
3
a)
77772
77778
M =
và
88881
88889
N =
.
b)
326 988 662
1955 1975 1985
P =++
và
3951 1 1
3950 5955 11730
Q =++
.
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 – 2022.
Lời giải
a)
77772
77778
M =
6
1
77778
= −
1
1
12963
= −
8
1
103704
= −
88881
88889
N =
8
1
88889
= −
Vì
88
103704 88889
<
nên
88
11
103704 88889
− >−
Vậy
MN>
.
b)
326 988 662
1955 1975 1985
P =++
và
3951 1 1
3950 5955 11730
Q =++
Ta có:
326 988 662
1955 1975 1985
P =++
326.6 988.2 662.3
1955.6 1975.2 1985.3
=++
1956 1976 1986
11730 3950 5955
= ++
1 1 3951 1 1 1
11730 6 3950 2 5955 3
 
= ++ −+ +
 
 
111
623
Q

=+ −+


0Q= +
Q=
Vậy
PQ=
.
Bài 8: So sánh
A
và
B
biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
= =
++
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 - 2016
Lời giải
Vì
18
19
17 1
1
17 1
A
+
= <
+
( )
( )
17
18 18 17
19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 16 17 1
17
1 17 1 16 17 1
17.
17 1
AB
+
+ ++ +
=<= ==
+ ++ +
+
Vậy
AB=
.
Bài 9: Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số: và .
67
37
677
377
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
4
Trích đề HSG huyện Phù Ninh năm 2015 -2016
Lời giải
Ta có : mà
(
)
1
và
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
nên
.
Bài 10: So sánh
A
và
B
biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
= =
++
Trích đề HSG huyện Lương Tài 2015 – 2016
Lời giải
Vì
18
19
17 1
1
17 1
A
+
= <
+
nên
( )
( )
17
18 18 17
19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 16 17 1
17 1 17 1 16 17 1
17. 17 1
AB
+
+ ++ +
=<= ==
+ ++ +
+
Bài 11: So sánh
A
và
B
biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2010
A =++
và
111 1
....
345 17
B =+++ +
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Lời giải
11 11
3
2010 2011 2010 2012
A

=+−+−


3A
>
11 1 1 1 1
..... .....
3 4 5 9 10 17
B
 
=+++++ ++
 
 
111
.2 .5 .8
258
B <++
nên
3B <
Từ đó suy ra
AB>
Bài 12: So sánh:
201201
202202
và
201201201
202202202
.
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016
Lời giải
Ta có:
201201 201 1001 201
.
202202 202 1001 202
= =
201201201 201 1001001 201
.
202202202 202 1001001 202
= =
Vậy hai phân số đã cho bằng nhau
Bài 13: So sánh
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018-2019
Lời giải
677
300
670
300
>
677
300
67
30
67
30
670
300
>⇒=
67
30
67
37
1 =−
677
300
677
377
1
=−
67
37
677
377
>
112
111
2011 2012 2010
A
 
=− +− ++
 
 
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
5
So sánh:
Xét:
2005 2006 2005 2006 2006
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
N
−− − − −
=+=++
Và
2005 2006 2005 2005 2006
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
M
− −−−−
=+=++
Ta có:
2006 2005
88
10 10
−−
>
Vậy
NM>
Bài 14: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
1717
8585
và
1313
5151
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019
Lời giải
1717 17 1 13 1313 1717 1313
8585 85 5 51 5151 8585 5151
====⇒<
Bài 15: So sánh:
121212 2 404
171717 17 1717
A = +−
với
10
17
B =
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019
Lời giải
121212 2 404 12 2 4 10
171717 17 1717 17 17 17 17
A AB= +− =+−=⇒=
Vậy
AB=
Bài 16: So sánh :
22
45
−
và
51
103
−
Trích đề HSG năm 2019-2020
Lời giải
Ta có
22 22 1 51 51
45 44 2 102 101
<== <
22 51
45 101
<
22 51
45 101
−−
>
Bài 17: So sánh:
2005 2006
5 11
10 10
N = +
và
2005 2006
11 5
10 10
M = +
Trích đề 59 HSG huyện năm 2018- 2019
Lời giải
2005 2006 2005 2005 2005
5 11 5 11 61 1
.
10 10 10 10.10 10 10
N =+=+ =
2005 2006 2005 2005 2005
11 5 11 5 23 1
.
10 10 10 10.10 2 10
M =+=+ =
Vì
23 61
11, 5 6, 1
2 10
= >=
nên
MN>
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
6
Bài 18: Cho
11 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + ++
+ ++ +++ ++++ +
.
Chứng minh
3
4
A <
Trích đề HSG huyện Thạch Thành, năm 2018- 2019
Lời giải
Ta có:
11 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + ++
+ ++ +++ ++++ +
( )
( )
( )
( )
111 1
.....
1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2017 .1009
222 2
222 2 111 1
..... ....
2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009
A = + + ++
+++ +
= + + + + = + + ++
1 11 1
......
2.2 2.3 3.4 1008.1009
1 1111 1 1
.....
4 2 3 3 4 1008 1009
1 1 1 11 3
4 2 1009 4 2 4
A
A
A AA

<+ +++



<+ −+−+ + −



<+ − ⇒<+⇒<


Bài 19: So sánh S với 3, biết
2011 2012 2013
2012 2013 2011
S =++
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019
Lời giải
2011 2012 2013 1 1 1 1
111
2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011
11 11
3
2011 2012 2011 2013
1 11 1
;
2011 2012 2011 2013
S
Do
 
= + + =− +− ++ +
 
 

=+−+−


>>
Nên:
11 11 11 11
0, 0 3 3
2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013

−> −>⇒+−+−>


Vậy S>3
Bài 20: Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
−− −−
=+=+
Trích đề HSG cấp trường năm 2018 -2019
Lời giải
Ta có:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
7
2010 2011 2010 2011 2011
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
B
−− −− −
=+=++
−− −− −
=+=++
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
> ⇒>
Bài 21: So sánh
2012
2013
2011 1
2011 1
A
+
=
+
với
2013
2014
2011 1
2011 1
B
+
=
+
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019
Lời giải
2013 2014
2013 2013 2014 2014
2011 2011 2010 2011 2011 2010
2011 1 ; 2011 1
2011 1 2011 1 2011 1 2011 1
AB
++
==+==+
++ ++
2011 2011A B AB> ⇒>
Bài 22: So sánh phân số:
15
301
với
25
499
Trích đề HSG cấp huyện năm học 2016-2017
Lời giải
15 15 1 25 25
.
301 300 20 500 499
<==<
Vậy
15 25
301 499
<
Bài 23: So sánh
2011.2012 1
2011.2012
−
và
2012.2013 1
2012.2013
−
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019
2011.2012 1 1
1
2011.2012 2011.2012
−
= −
và
2012.2013 1 1
1
2012.2013 2012.2013
−
= −
Vì
1 1 2011.2012 1 2012.2013 1
2011.2012 2012.2013 2011.2012 2012.2013
−−
>⇒ <
Bài 24: So sánh:
22
45
−
và
51
103
−
Trích đề HSG trường Nguyễn Khuyến năm 20… - 20…
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
45 44 2 102 101 45 101 45 101
−−
<==<⇒<⇒ >
Bài 25: So sánh
P
và
Q
Biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P =++
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2012 2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Q
++
==++
++ ++ ++ ++
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là:
2010; 2011; 2012
thấy được các phân thức của
P đều lớn hơn các phân thức của Q.
Vậy
PQ>
Bài 26: So sánh
A
và
B
biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2010
A =++
và
111 1
....
345 17
B =+++ +
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
8
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018 - 2019
Lời giải
112
111
2011 2012 2010
A
 
=− +− ++
 
 
11 11
3
2010 2011 2010 2012
A

=+−+−


3A >
11 1 1 1 1
..... .....
3 4 5 9 10 17
B
 
=+++++ ++
 
 
111
.2 .5 .8
258
B <++
suy ra
3B
<
Từ đó suy ra
AB<
Bài 27: So sánh
A
và
B
biết:
2013.2014 1
2013.2014
A
−
=
và
2014.2015 1
2014.2015
B
−
=
Trích đề HSG huyện Bạch Thông năm 2018 - 2019
Lời giải
Ta có:
2013.2014 1 1
1
2013.2014 2013.2014
A
−
= = −
2014.2015 1 1
1
2014.2015 2014.2015
B
−
= = −
Vì
11
2013.2014 2014.2015
>
nên
AB<
Bài 28: So sánh
P
và
Q
Biết :
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P =++
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Trích đề HSG Tỉnh Đồng Tháp năm 2018 -2019
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2012 2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Q
++
==++
++ ++ ++ ++
Lần lượt so sánh từng phân số của
P
và
Q
với các tử là :
2011; 2010;2012
ta thấy
PQ
>
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Bài 1: So sánh
A
và
B
biết :
A =
18
19
17 1
17 1
+
+
,
B =
17
18
17 1
17 1
+
+
Trích đề HSG Liên trường năm 2021-2022
Lời giải
Vì
A =
18
19
17 1
1
17 1
+
<
+
suy ra
18
19
17 1
17 1
A
+
= <
+
18
19
17 1 16
17 1 16
++
=
++
)
(
)
(
17
18
17 17 1
17 17 1
+
=
+
17
18
17 1
17 1
B
+
=
+
Vậy
AB<
Bài 2: So sánh:
a)
200
3
và
300
2
b)
50
71
và
75
37
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
9
Lời giải
a) Ta có:
200 2 100 100
3 (3 ) 9
= =
300 3 100 100
2 (2 ) 8= =
mà
100 100
89<
nên
300 200
23<
b) Ta thấy:
( )
50
50 50 150 100
71 72 8.9 2 .3 <= =
(1)
( )
75
75 75 150 150
37 36 4.9 2 . 3
>= =
(2)
mà
150
2
.
0150 15 100
32.3>
(3)
Từ
(1)
,
(2)
, và
(3)
suy ra:
75 50
37 71>
Bài 3: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A =++++++ +
và
73
2012 1.B = −
So sánh
A
và
B
.
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2018 – 2019.
Lời giải
Ta có:
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A =++++++ +
2 3 4 72 73
2012 2012 2012 2012 2012 .... 2012 2012A =+++++ +
Lấy
73
2012 2012 1AA−= −
73
73
2012 1
2012 1
2011
AB
−
= <= −
.
Vậy
AB<
.
Bài 4: So sánh :
2013
2
và
1344
3
.
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018 -2019
Lời giải
Ta có :
( )
671
2013 3 671
228= =
( )
672
1344 2 672
33 9= =
Do
8 9,671 672<<
671 672 2013 1344
89 2 3⇒<⇒ <
Vậy
2013 1344
23<
.
Bài 5: So sánh:
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 -2011
Lời giải
Xét:
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
2005 2006 2006
78 7
10 10 10
− −−
=++
và:
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
2005 2005 2006
787
10 10 10
−−−
=++
Ta có:
2006
8
10
−
>
2005
8
10
−
Vậy:
NM>
.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
10
Bài 6: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
8 16
9 .5
và
20
19
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019
Lời giải
Ta có
8 16 16 16 16 16 20
9 .5 3 .5 15 19 19= =<<
Vậy
8 16 20
9 .5 19<
Bài 7: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A =++++++ +
và
73
2012 1.B = −
So sánh
A
và
B
Trích đề HSG cấp trường Bá Thước năm 2018-2019
Lời giải
Ta có:
2 3 4 72 73
2012 2012 2012 2012 2012 .... 2012 2012A =+++++ +
Lấy
73
2012 2012 1AA−= −
73
73
2012 1
2012 1
2011
AB
−
⇒= <= −
Vậy
AB<
Bài 8: So sánh:
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
và
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018
Lời giải
Ta có:
99 100
100 100 100
2018 1 2018 2018 2017
2018 2018. 1
2018 1 2018 1 2018 1
EE E
−−
= ⇒= ⇒ =−
−− −
98 99
99 99 99
2018 1 2018 2018 2017
2018. 2018. 1
2018 1 2018 1 2018 1
FF F
−−
= ⇒= ⇒=−
−− −
Vì
100 99 100 99
2017 2017 2017 2017
11
2018 1 2018 1 2018 1 2018 1
< ⇒− >−
−− − −
Hay
2018 2018
EF>
nên
EF>
Vậy
EF>
Bài 8: So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Trích đề HSG năm 2019-2020
Lời giải
Ta có
2010 2010 2010 2010
2011 2011 2011 2011
2009 2 2009 2 2009 2 2011 2009 2009
1
2009 2 2009 2 2009 2 2011 2009 2009
BB
− − −+ +
= <⇒ = < =
− − −+ +
( )
( )
2009
2009
2010
2010
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
A
+
+
= = =
+
+
Vậy
BA<
Bài 9: Cho
300 200
2 , 3.ab= =
Kết luận nào sau đây đúng ?
A.
ab<
B.
ab=
C.
ab>
D.
ab≥
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018 -2019
Bài 10: So sánh
210
3C =
với
310
2D =
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
11
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019
Lời giải
210 10 200 10 100 310 10 300 10 100
3 3 .3 3 .9 ; 2 2 .2 2 .8CD= = = = = =
Có
10 10
32>
và
100 100
98>
nên
CD>
Bài 11: So sánh
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019
Lời giải
Xét:
2005 2006 2005 2006 2006
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
N
−− − − −
=+=++
Và
2005 2006 2005 2005 2006
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
M
− −−−−
=+=++
Ta có:
2006 2005
88
10 10
−−
>
Vậy
NM>
Bài 12: So sánh
2016
2017
10 1
10 1
A
+
=
+
và
2017
2018
10 1
10 1
B
+
=
+
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022
Lời giải
Nhân hai vế của
A
và
B
với
10
ta có
2017 2017
2017 2017 2017
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
A
+ ++
= = = +
++ +
2018 2018
2018 2018 2018
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
B
+ ++
= = = +
++ +
Vì
2017 2018
10 10<
suy ra
2017 2018
99
10 1 10 1
>
++
suy ra
AB
>
Bài 13: So sánh:
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
và
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
Trích đề HSG huyện Kim Môn năm 2017 - 2018
Lời giải
Ta có:
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
suy ra
100
100
2018 2018
2018
2018 1
E
−
=
−
suy ra
100
2017
2018. 1
2018 1
E
= −
−
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
suy ra
99
99
2018 2018
2018.
2018 1
F
−
=
−
suy ra
2017
2018. 1
99
2018 1
F = −
−
Vì
100 99
2017 2017
2018 1 2018 1
<
−−
suy ra
100 99
2017 2017
11
2018 1 2018 1
− >−
−−
Hay
2018 2018EF>
suy ra
EF>
Vậy
EF>
Bài 14: So sánh
444
3
và
333
4
.
Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022
Lời giải
(
)
111
444 4 111
3 3 81= =
( )
111
333 3 111
4 4 64= =
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
12
111 111
81 64
>
444 333
3 4<
Vậy
444 333
3 4
<
Bài 15: So sánh các biểu thức sau:
2 3 100
2 3 99
1 7 7 7 ... 7
P
1 7 7 7 ... 7
++ + + +
=
++ + + +
và
2 3 100
2 3 99
1 9 9 9 ... 9
Q
1 9 9 9 ... 9
++ + + +
=
++ + + +
Trích đề HSG thị xã Kinh Môn năm 2021-2022
Lời giải
Ta có:
2 3 100
2 3 99
1 7 7 7 ... 7
P
1 7 7 7 ... 7
++ + + +
=
++ + + +
100
2 3 99
7
1
1 7 7 7 ... 7
= +
++ + + +
100 99 98 2
1
1
1 1 1 11
...
7
7 77 7
= +
+ + ++ +
2 3 100
2 3 99
1 9 9 9 ... 9
Q
1 9 9 9 ... 9
++ + + +
=
++ + + +
100
2 3 99
9
1
1 9 9 9 ... 9
= +
++ + + +
100 99 98 2
1
1
1 1 1 11
...
9 9 9 99
= +
+ + ++ +
Do
100 100
100 100
11
79
79
<⇒ >
99 99
99 99
11
79
79
<⇒ >
…
22
22
11
79
79
<⇒ >
11
79
79
<⇒ >
Khi đó:
100 99 98 2 100 99 98 2
1 1 1 11 1 1 1 11
... ...
79
7 77 7 9 99 9
+ + ++ +> + + ++ +
100 99 98 2 100 99 98 2
11
1 1 1 11 1 1 1 11
... ...
79
7 77 7 9 99 9
<
+ + ++ + + + ++ +
Vậy P < Q.
Bài 16: So sánh
A
và
B
, biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
= =
++
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022
Lời giải
Vì
18
19
17 1
1
17 1
A
+
= <
+
( )
( )
17
18 18 17
19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 16 17 1
17 1 17 1 16 17 1
17. 17 1
AB
+
+ ++ +
⇒= < = = =
+ ++ +
+
Vậy
AB<
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
13
B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP
(copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
Dạng 1: Các phương pháp so sánh: quy đồng mẫu (tử ), sử dụng tính chất bắc cầu, xét phần bù,
viết dưới dạng hỗn số, so sánh với 1; sử dụng tính chất: với a, b , m ∈ N* thì:
*1
a a am
b b bm
+
<⇒ <
+
*1
a a am
b b bm
+
>⇒ >
+
)
Bài 1: Tính tổng của các phân số lớn hơn
1
5
nhưng nhỏ hơn
1
4
và có tử là
4
.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022
Bài 2: Có bao nhiêu cách để viết
7
12
thành tổng của hai phân số tối giản trong đó mẫu số của hai phân
số khác nhau và đều không lớn hơn
12
.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022
Bài 3: So sánh:
8
8
17 5
17 8
A
+
=
−
và
8
8
17 6
17 7
B
+
=
−
.
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021 - 2022
Bài 4: So sánh
P
và
Q
, biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P =++
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Bài 5: So sánh 2 phân số:
20072007
20082008
và
200720072007
200820082008
Trích đề HSG huyện Tĩnh Gia năm 2018-2019
Bài 6: So sánh hai phân số
1a
a
−
và
1b
b
+
(với
, ab
là số nguyên cùng dấu và
; 0)ab≠
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019
Bài 7: So sánh
a)
77772
77778
M =
và
88881
88889
N =
.
b)
326 988 662
1955 1975 1985
P =++
và
3951 1 1
3950 5955 11730
Q =++
.
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 – 2022.
Bài 8: So sánh
A
và
B
biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
= =
++
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 - 2016
Bài 9: Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số: và .
Trích đề HSG huyện Phù Ninh năm 2015 -2016
Bài 10: So sánh
A
và
B
biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
= =
++
67
37
677
377
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
14
Trích đề HSG huyện Lương Tài 2015 – 2016
Bài 11: So sánh
A
và
B
biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2010
A =++
và
111 1
....
345 17
B =+++ +
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Bài 12: So sánh:
201201
202202
và
201201201
202202202
.
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016
Bài 13: So sánh
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018-2019
Bài 14: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
1717
8585
và
1313
5151
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019
Bài 15: So sánh:
121212 2 404
171717 17 1717
A = +−
với
10
17
B =
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019
Bài 16: So sánh :
22
45
−
và
51
103
−
Trích đề HSG năm 2019-2020
Bài 17: So sánh:
2005 2006
5 11
10 10
N = +
và
2005 2006
11 5
10 10
M
= +
Trích đề 59 HSG huyện năm 2018- 2019
Bài 18: Cho
11 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + ++
+ ++ +++ ++++ +
.
Chứng minh
3
4
A <
Trích đề HSG huyện Thạch Thành, năm 2018- 2019
Bài 19: So sánh S với 3, biết
2011 2012 2013
2012 2013 2011
S =++
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019
Bài 20: Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
−− −−
=+=+
Trích đề HSG cấp trường năm 2018 -2019
Bài 21: So sánh
2012
2013
2011 1
2011 1
A
+
=
+
với
2013
2014
2011 1
2011 1
B
+
=
+
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019
Bài 22: So sánh phân số:
15
301
với
25
499
Trích đề HSG cấp huyện năm học 2016-2017
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
15
Bài 23: So sánh
2011.2012 1
2011.2012
−
và
2012.2013 1
2012.2013
−
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019
Bài 24: So sánh:
22
45
−
và
51
103
−
Trích đề HSG trường Nguyễn Khuyến năm 20… - 20…
Bài 25: So sánh
P
và
Q
Biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P =++
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019
Bài 26: So sánh
A
và
B
biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2010
A =++
và
111 1
....
345 17
B =+++ +
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018 - 2019
Bài 27: So sánh
A
và
B
biết:
2013.2014 1
2013.2014
A
−
=
và
2014.2015 1
2014.2015
B
−
=
Trích đề HSG huyện Bạch Thông năm 2018 - 2019
Bài 28: So sánh
P
và
Q
Biết :
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P
=++
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Trích đề HSG Tỉnh Đồng Tháp năm 2018 -2019
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Bài 1: So sánh
A
và
B
biết :
A =
18
19
17 1
17 1
+
+
,
B
=
17
18
17 1
17 1
+
+
Trích đề HSG Liên trường năm 2021-2022
Bài 2: So sánh:
a)
200
3
và
300
2
b)
50
71
và
75
37
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016
Bài 3: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A =++++++ +
và
73
2012 1.B = −
So sánh
A
và
B
.
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2018 – 2019.
Bài 4: So sánh :
2013
2
và
1344
3
.
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018 -2019
Bài 5: So sánh:
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 -2011
Bài 6: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
8 16
9 .5
và
20
19
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019
Bài 7: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A =++++++ +
và
73
2012 1.B
= −
So sánh
A
và
B
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
16
Trích đề HSG cấp trường Bá Thước năm 2018-2019
Bài 8: So sánh:
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
và
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018
Bài 8: So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Trích đề HSG năm 2019-2020
Bài 9: Cho
300 200
2 , 3.ab= =
Kết luận nào sau đây đúng ?
A.
ab<
B.
ab=
C.
ab
>
D.
ab≥
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018 -2019
Bài 10: So sánh
210
3C =
với
310
2
D
=
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019
Bài 11: So sánh
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
= +
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
= +
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019
Bài 12: So sánh
2016
2017
10 1
10 1
A
+
=
+
và
2017
2018
10 1
10 1
B
+
=
+
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022
Bài 13: So sánh:
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
và
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
Trích đề HSG huyện Kim Môn năm 2017 - 2018
Bài 14: So sánh
444
3
và
333
4
.
Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022
Bài 15: So sánh các biểu thức sau:
2 3 100
2 3 99
1 7 7 7 ... 7
P
1 7 7 7 ... 7
++ + + +
=
++ + + +
và
2 3 100
2 3 99
1 9 9 9 ... 9
Q
1 9 9 9 ... 9
++ + + +
=
++ + + +
Trích đề HSG thị xã Kinh Môn năm 2021-2022
Bài 16: So sánh
A
và
B
, biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
= =
++
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022
C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ
(Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài)
Bài 1: So sánh
A
và
B
biết:
2013.2014 1
2013.2014
A
−
=
và
2014.2015 1
2014.2015
B
−
=
.
Lời giải
Ta có:
2013.2014 1
2013.2014
A
−
=
1
1
2013.2014
= −
2014.2015 1
2014.2015
B
−
=
1
1
2014.2015
= −
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
17
Vì
11
2013.2014 2014.2015
>
nên
11
2013.2014 2014.2015
− <−
hay
11
11
2013.2014 2014.2015
− + <− +
Từ đó suy ra
AB>
.
Bài 2: So sánh hai phân số
1
a
a
−
và
1b
b
+
(với
,ab
là số nguyên cùng dấu và
, 0)
ab≠
Trích đề HSG trường THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019
Lời giải
Có
11
1
a
aa
−
= −
và
11
1
b
bb
+
= +
* Nếu
0, 0ab
>>
thì
1
0
a
>
và
1
0
b
>
nên
11
11
ab
− <+
hay
11ab
ab
−+
<
.
* Nếu
0, 0ab<<
thì
1
0
a
<
và
1
0
b
<
nên
11
11
ab
− >+
hay
11ab
ab
−+
>
.
Bài 3: So sánh:
2008
2009
2008 1
2008 1
A
+
=
+
và
2007
2008
2008 1
2008 1
B
+
=
+
.
Lời giải
2008
2009
2008 1
1
2008 1
A
+
= <
+
2008
2009
2008 1 2007
2008 1 2007
A
++
<
++
2008
2009
2008 2008
2008 2008
+
=
+
( )
( )
2007
2008
2008 2008 1
2008 2008 1
+
=
+
B=
( )
( )
2007
2008 2008
2009 2009
2008
2008 2008 1
2008 1 2007 2008 2008
2008 1 2007 2008 2008
2008 2008 1
AB
+
++ +
<===
++ +
+
Vậy
AB<
Bài 4: So sánh:
1999
1998
1999 1
1999 1
A
+
=
+
và
2000
1999
1999 1
1999 1
B
+
=
+
.
Lời giải
2000
1999
1999 1
1
1999 1
B
+
= >
+
2000
1999
1999 1 1998
1999 1 1998
B
++
>
++
2000
1999
1999 1999
1999 1999
+
=
+
( )
( )
1999
1998
1999 1999 1
1999 1999 1
+
=
+
A=
Vậy
AB
<
Bài 5: So sánh:
23
22
15 3
15 138
A
−
=
−
và
22
21
15 4
15 5
B
+
=
−
Lời giải
23
22
15 3
1
15 138
A
−
= >
−
23
22
15 3 63
15 138 63
A
−+
>
−+
23
22
15 60
15 75
+
=
−
( )
( )
22
21
15 15 4
15 15 5
+
=
−
B=
Vậy
.AB
>
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
18
Bài 6: So sánh:
2
2
1
1
n
A
n
−
=
+
và
2
2
3
4
n
B
n
+
=
+
với
1n >
.
Lời giải
2
2
1
1
n
A
n
−
=
+
2
2
12
1
n
n
+−
=
+
2
2
1
1n
−
= +
+
2
2
3
4
n
B
n
+
=
+
2
2
41
4
n
n
+−
=
+
2
1
1
4
n
−
= +
+
2
2
1
28n
−
= +
+
Ta có:
22
12 8
nn
+< +
suy ra
22
22
12 8nn
>
++
do đó
22
22
12 8nn
−−
<
++
suy ra
22
22
11
1 28
nn
−−
+ <+
++
Vậy
AB<
Bài 7: So sánh:
234
4 356
5
7 777
A = ++ + +
và
42 3
5 645
5
7 7 77
B = ++ + +
.
Lời giải
3 24
45 3 6
5
77 7 7
A

= ++ + +


3 244
45 351
5
77 777

= ++ + + +


3 24
45 6 5
5
77 7 7
B

= ++ + +


3 224
45 3 3 5
5
77 777

= ++ + + +


Ta có:
2
4
31
77
>
suy ra
3 224 3 244
45 335 45 351
55
77 777 77 777
 
++ + + + > ++ + + +
 
 
Vậy
AB<
Bài 8: So sánh
37 2012
38
2012 37 1
2012
A
++
=
với
38 2012
39
2012 37 2
2012
B
++
=
.
Lời giải
Thực hiện qui đồng mẫu số:
37 2012
38
2012 37 1
2012
A
++
=
76 2012 39 39
38 39
2012 37 .2012 2012
2012 .2012
++
=
38 2012
39
2012 37 2
2012
B
++
=
76 2012 38 38
39 38
2012 37 .2012 2.2012
2012 .2012
++
=
2012 39 39
37 .2012 2012+
(
)
38 2012
2012 37 .2012 2012= +
2012 38 38
37 .2012 2.2012+
( )
38 2012
2012 37 .2012 2= +
Từ đó suy ra
AB>
.
Bài 9: Cho
222 2
111 1
1 1 1 ..... 1
2 3 4 100
A
 
=−−− −
 
 
So sánh
A
với
1
2
−
.
Lời giải
Ta thấy tích
A
gồm
99
số âm:
11 1
1 1 ..... 1
4 9 10000
A

=−− −


1.3 2.4 99.101
. .....
2.2 3.3 100.100

= −


101
200
−
=
Ta có
101 1
200 2
>
nên
101 1
200 2
−−
<
.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
19
Vậy
1
2
A
−
<
.
Bài 10: a) Cho
,, *
abn∈
. Hãy so sánh
an
bn
+
+
và
a
b
.
b) Cho
11 10
12 11
10 1 10 1
;
10 1 10 1
AB
−+
= =
−+
. So sánh A và B.
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019
Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp
TH1:
1
a
b
=
suy ra
ab=
nên
1
an a
bn b
+
= =
+
.
TH2:
1
a
b
>
, suy ra
ab>
nên
ambn+ >+
, mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với
1
là
ab
bn
−
+
.
a
b
có phần thừa so với
1
là
.
ab
b
−
vì
ab ab
bn b
−−
<
+
nên
an a
bn b
+
<
+
.
TH3:
1
a
b
<
suy ra
ab<
nên
anbn+<+
.
Khi đó :
an
bn
+
+
có phần bù tới
1
là
.
ab
b
−
vì
ab ba
b bn
−−
<
+
nên
an a
bn b
+
>
+
.
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
−
=
−
rõ ràng
1
A <
nên theo câu a,
1
a
b
<
, suy ra
an a
bn b
+
>
+
nên
( )
( )
11
12
10 1 11
10 1 11
A
−+
<
−+
11
12
10 10
10 10
+
=
+
Do đó
11
12
10 10
10 10
A
+
<
+
( )
( )
10
11
10 10 1
10. 10 1
+
=
+
10
11
10 1
10 1
+
=
+
.
Bài 11: So sánh
15
16
10 1
10 1
A
+
=
+
và
16
17
10 1
10 1
B
+
=
+
Lời giải
16 16
16 16 16
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
A
+ ++
= = = +
++ +
.
17 17
17 17 17
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
B
+ ++
= = = +
++ +
.
Mà
16 17
99
10 1 10 1
>
++
nên
10. 10.A B AB> =>>
.
Bài 12: So sánh
2019
2020
10 1
10 1
A
+
=
+
và
2020
2021
10 1
10 1
B
+
=
+
.
Lời giải
2020 2020
2020 2020 2020
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
A
+ ++
= = = +
++ +
.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG
20
2021 2021
2021 2021 2021
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
B
+ ++
= = = +
++ +
.
Mà
2020 2021
99
10 1 10 1
>
++
nên
10. 10.A B AB> =>>
.
Bài 13: So sánh
21
22
20 3
20 4
A
−
=
+
và
22
23
20 3
20 4
B
−
=
+
.
Lời giải
22
22
20 60
20.
20 4
A
−
=
+
22
22
20 4 64
20 4
+−
=
+
22
64
1
20 4
−
= +
+
.
23
23
20 60
20.
20 4
B
−
=
+
23
23
20 4 64
20 4
+−
=
+
23
64
1
20 4
−
= +
+
.
Mà
22 23
64 64
20 4 20 4
>
++
22 23
64 64
20 4 20 4
−−
=><
++
nên
20. 20.AB<
AB=><
.
Bài 14: So sánh
22
21
15 6
15 1
A
−
=
−
và
23
22
15 6
15 1
B
−
=
−
.
Lời giải
1
.
15
A
22
22
15 6
15 15
−
=
−
22
22
15 15 9
15 15
−+
=
−
22
9
1
15 15
= +
−
.
1
.
15
B
23
23
15 6
15 15
−
=
−
23
23
15 15 9
15 15
−+
=
−
23
9
1
15 15
= +
−
Mà
22 23
99
15 15 15 15
>
−−
nên
11
..
15 15
AB
>
AB=>>
.
Bài 15: So sánh
76
10 10
22
A = +
và
76
11 9
22
B = +
.
Lời giải
76
10 9 1
22
A
+
= +
766
10 9 1
222
=++
.
76
10 1 9
22
B
+
= +
776
10 1 9
222
=++
.
Mà
67
11
22
>
AB=>>
.
Bài 16: So sánh
2006 2007 2008 2009
2007 2008 2009 2006
A =+++
với
4B =
.
Lời giải
2007 1 2008 1 2009 1 2006 3
2007 2008 2009 2006
A
−−−+
=+++
1113
1111
2007 2008 2009 2006
=− +− +− ++
11 11 11
44
2006 2007 2006 2008 2006 2009
 
=+−+−+−>
 
 
.
Vậy
AB>
.
Bài 17: So sánh
300 200
15 17
23
A
−−
= +
và
300 200
17 15
23
B
−−
= +
.
Lời giải
300 200
15 15 2
23
A
− −−
= +
300 200 200
15 15 2
233
−− −
=++

Tài liệu khác của Toán 6

Preview text:

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1
CHỦ ĐỀ: SO SÁNH PHÂN SỐ A. PHẦN NỘI DUNG
Các bài toán về tỷ số của hai số; tìm số khi biết giá trị phân số của nó; tìm giá trị phân số của một số; tỷ số phần trăm.
Dạng 1: Các phương pháp so sánh: quy đồng mẫu (tử ), sử dụng tính chất bắc cầu, xét phần bù,
viết dưới dạng hỗn số, so sánh với 1; sử dụng tính chất: với a, b , m ∈ N* thì: * a + < 1 a a + m ⇒ < * a > 1 a a m ⇒ > ) b b b + m b b b + m
Bài 1: Tính tổng của các phân số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 1 và có tử là 4 . 5 4
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có 1 4 = ; 1 4 = 5 20 4 16
Các phân số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 1 và có tử là 4 là: 4 4 4 ; ; 5 4 17 18 19 Tổng các phân số là: 4 4 4 + + 4 2 4 = + + 684 646 612 = + + 1942 = . 2
17 18 19 17 9 19 2907 2907 2907 2907
Bài 2: Có bao nhiêu cách để viết 7 thành tổng của hai phân số tối giản trong đó mẫu số của hai phân 12
số khác nhau và đều không lớn hơn 12.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có 7 =1+ 6 = 2 + 5 = 3+ 4 Do đó 7 1+ 6 = 1 1 = + ; 12 12 12 2 7 2 + 5 = 1 5 = + ; 12 12 6 12 7 3+ 4 = 1 1 = + 12 12 4 3 Vậy có ba cách viết. 8 8 Bài 3: So sánh: 17 5 A + = và 17 6 B + = . 8 17 −8 8 17 − 7
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021 - 2022 Lời giải 8 17 5 8 8 A + − + − = 17 8 13 = 17 8 13 = + 13 = 1+ 8 17 −8 8 17 −8 8 8 17 −8 17 −8 8 17 −8 8 17 6 8 8 B + − + − = 17 7 13 = 17 7 13 = + 13 = 1+ 8 17 − 7 8 17 − 7 8 8 17 − 7 17 − 7 8 17 − 7
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Vì 8 8
0 <17 −8 <17 − 7 nên 13 13 > . 8 8 17 −8 17 − 7 Vậy 13 13 1+ > 1+ hay A > B . 8 8 17 −8 17 − 7
Bài 4: So sánh P và Q , biết: 2010 2011 2012 P = + + và 2010 2011 2012 Q + + = . 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 2010 2011 2012 Q + + = 2010 2011 2012 = + +
2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 Ta có: 2010 2010 < 2011+ 2012 + 2013 2011 2011 2011 < 2011+ 2012 + 2013 2012 2012 2012 < 2011+ 2012 + 2013 2013 nên 2010 2011 2012 + + < 2010 2011 2012 + +
2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011 2012 2013
Kết luận: P > Q .
Bài 5: So sánh 2 phân số: 20072007 và 200720072007 20082008 200820082008
Trích đề HSG huyện Tĩnh Gia năm 2018-2019 Lời giải 20072007 2007.1001 2007 = = 20082008 2008.1001 2008
200720072007 2007.100010001 2007 = =
200820082008 2008.100010001 2008
Vậy hai phân số trên bằng nhau
Bài 6: So sánh hai phân số a −1 và b +1 (với a, b là số nguyên cùng dấu và ; a b ≠ 0) a b
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019 Lời giải Có a −1 1 + = 1− và b 1 1 = 1+ a a b b *Nếu − +
a > 0,b > 0 suy ra 1 > 0 và 1 > 0 suy ra 1 1
1− <1+ hay a 1 b 1 < a b a b a b *Nếu − +
a < 0,b < 0 suy ra 1 1 < 0; < 0 suy ra 1 1
1− >1+ suy ra a 1 b 1 > a b a b a b Bài 7: So sánh
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3 a) 77772 M = và 88881 N = . 77778 88889 b) 326 988 662 P = + + và 3951 1 1 Q = + + . 1955 1975 1985 3950 5955 11730
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 – 2022. Lời giải a) 77772 M = 6 =1− 1 =1− 8 =1− 77778 77778 12963 103704 88881 N = 8 =1− 88889 88889 Vì 8 8 < nên 8 8 1− >1− 103704 88889 103704 88889
Vậy M > N . b) 326 988 662 P = + + và 3951 1 1 Q = + + 1955 1975 1985 3950 5955 11730 Ta có: 326 988 662 P = + + 1955 1975 1985 326.6 988.2 662.3 = + + 1955.6 1975.2 1985.3 1956 1976 1986 = + + 11730 3950 5955  1 1   3951 1   1 1  = + + − + + 
11730 6   3950 2   5955 3        1 1 1 Q   = + − +  6 2 3    = Q + 0 = Q Vậy P = Q . 18 17 + + Bài 8: 17 1 17 1
So sánh A và B biết: A = , B = 19 18 17 +1 17 +1
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 - 2016 Lời giải 18 17 1 Vì A + = <1 19 17 +1 17 +1 17 +1+16 17.( 17 18 18 17 + ) 17 1 17 +1 A = < = = = B 19 19 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1 Vậy A = B . Bài 9: 37 377
Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số: và . 67 677
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 4
Trích đề HSG huyện Phù Ninh năm 2015 -2016 Lời giải 300 300 300 30 30 300 Ta có : > mà = ⇒ > ( ) 1 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 1− = và 1− = (2) 67 67 677 677 377 37 Từ ( ) 1 và (2) nên > . 677 67 18 17 + + Bài 10: 17 1 17 1
So sánh A và B biết: A = , B = 19 18 17 +1 17 +1
Trích đề HSG huyện Lương Tài 2015 – 2016 Lời giải 18 17 1 17 +1 17 +1+16 17.( 17 18 18 17 + ) 17 1 Vì A + = <1 nên 17 +1 A = < = = = B 19 17 +1 19 19 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1
Bài 11: So sánh A và B biết: 2010 2011 2012 A = + + và 1 1 1 1 B = + + +....+ 2011 2012 2010 3 4 5 17
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019 Lời giải 1   1   2  = − + − + + A 1  1  1 2011 2012 2010         1 1   1 1 A 3  = + − + −  2010 2011  2010 2012      A > 3 1 1 1 1   1 1 B      .....   .....  = + + + + + + +  3 4 5 9 10 17        1 1 1
B < .2 + .5 + .8 nên B < 3 2 5 8
Từ đó suy ra A > B
Bài 12: So sánh: 201201 và 201201201 . 202202 202202202
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016 Lời giải Ta có: 201201 201 1001 201 = . = 202202 202 1001 202 201201201 201 1001001 201 = . = 202202202 202 1001001 202
Vậy hai phân số đã cho bằng nhau Bài 13: So sánh 7 15 N − − = + và 15 7 M − − = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018-2019 Lời giải
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 So sánh: Xét: 7 15 7 8 7 N − − − − − = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 Và 15 7 7 8 7 M − − − − − = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 − − Ta có: 8 8 > 2006 2005 10 10 Vậy N > M
Bài 14: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 1717 và 1313 8585 5151
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019 Lời giải 1717 17 1 13 1313 1717 1313 = = = = ⇒ < 8585 85 5 51 5151 8585 5151 Bài 15: So sánh: 121212 2 404 A = + − với 10 B = 171717 17 1717 17
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải 121212 2 404 12 2 4 10 A = + − = + − = ⇒ A = B 171717 17 1717 17 17 17 17 Vậy A = B −
Bài 16: So sánh : 22 và 51 − 45 103
Trích đề HSG năm 2019-2020 Lời giải Ta có 22 22 1 51 51 < = = < 45 44 2 102 101 22 51 < 45 101 22 − 51 − > 45 101 Bài 17: So sánh: 5 11 N = + và 11 5 M = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề 59 HSG huyện năm 2018- 2019 Lời giải 5 11 5 11 61 1 N = + = + = . 2005 2006 2005 2005 2005 10 10 10 10.10 10 10 11 5 11 5 23 1 M = + = + = . 2005 2006 2005 2005 2005 10 10 10 10.10 2 10 Vì 23 61 =11,5 > 6,1 =
nên M > N 2 10
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 Bài 18: Cho 1 1 1 1 A = + + +....+ . 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 Chứng minh 3 A < 4
Trích đề HSG huyện Thạch Thành, năm 2018- 2019 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + +....+ 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 1 1 1 1
A = ( + ) + ( + ) + ( + ) +.....+ 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 (1+ 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + .....+ = + + + ....+ 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1  1 1 1 A  ......  < + + + + 2.2 2.3 3.4 1008.1009    1  1 1 1 1 1 1 A  .....  < + − + − + + − 4 2 3 3 4 1008 1009    1  1 1  1 1 3 A < + − ⇒  
A < + ⇒ A < 4  2 1009  4 2 4
Bài 19: So sánh S với 3, biết 2011 2012 2013 S = + + 2012 2013 2011
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019 Lời giải 2011 2012 2013  1   1   1 1 S 1  1  1  = + + = − + − + + + 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011        1 1   1 1 3  = + − + − 
2011 2012   2011 2013      1 1 1 1 Do > ; > 2011 2012 2011 2013 Nên: 1 1 1 1  1 1   1 1 0, 0 3  − > − > ⇒ + − + − >     3 2011 2012 2011 2013
 2011 2012   2011 2013  Vậy S>3
Bài 20: Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 19 − 9 − 19 A ; B − = + = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10
Trích đề HSG cấp trường năm 2018 -2019 Lời giải Ta có:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 7 9 − 19 − 9 − 10 − 9 A − = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 19 − 9 − 10 − 9 B − = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 − − Ta thấy 10 10 > ⇒ A > B 2011 2010 10 10 2012 2013 Bài 21: So sánh 2011 1 A + = với 2011 1 B + = 2013 2011 +1 2014 2011 +1
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019 Lời giải 2013 2014 2011 + 2011 2010 2011 + 2011 2010 2011A = = 1+ ;2011B = = 1+ 2013 2013 2014 2014 2011 +1 2011 +1 2011 +1 2011 +1
2011A > 2011B ⇒ A > B
Bài 22: So sánh phân số: 15 với 25 301 499
Trích đề HSG cấp huyện năm học 2016-2017 Lời giải 15 15 1 25 25 < = = < .Vậy 15 25 < 301 300 20 500 499 301 499 − −
Bài 23: So sánh 2011.2012 1 và 2012.2013 1 2011.2012 2012.2013
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019 2011.2012 −1 1 − =1− và 2012.2013 1 1 =1− 2011.2012 2011.2012 2012.2013 2012.2013 − − Vì 1 1 2011.2012 1 2012.2013 1 > ⇒ < 2011.2012 2012.2013 2011.2012 2012.2013 − −
Bài 24: So sánh: 22 và 51 45 103
Trích đề HSG trường Nguyễn Khuyến năm 20… - 20… Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 22 − 51 − < = = < ⇒ < ⇒ > 45 44 2 102 101 45 101 45 101
Bài 25: So sánh P và Q Biết: 2010 2011 2012 P = + + và 2010 2011 2012 Q + + = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013
Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q + + = = + +
2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010;2011;2012 thấy được các phân thức của
P đều lớn hơn các phân thức của Q. Vậy P > Q
Bài 26: So sánh A và B biết: 2010 2011 2012 A = + + và 1 1 1 1 B = + + +....+ 2011 2012 2010 3 4 5 17
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 8
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018 - 2019 Lời giải 1   1   2 A 1  1  1  = − + − + +  2011 2012 2010         1 1   1 1 A 3  = + − + −  2010 2011  2010 2012      A > 3 1 1 1 1   1 1 B      .....   .....  = + + + + + + +  3 4 5 9 10 17        1 1 1
B < .2 + .5 + .8 suy ra B < 3 2 5 8
Từ đó suy ra A < B
Bài 27: So sánh A và B biết: 2013.2014 1 A − = và 2014.2015 1 B − = 2013.2014 2014.2015
Trích đề HSG huyện Bạch Thông năm 2018 - 2019 Lời giải Ta có: 2013.2014 1 1 A − = = 1− 2013.2014 2013.2014 2014.2015 1 1 B − = = 1− 2014.2015 2014.2015 Vì 1 1 > nên A < B 2013.2014 2014.2015
Bài 28: So sánh P và Q Biết : 2010 2011 2012 P = + + và 2010 2011 2012 Q + + = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013
Trích đề HSG Tỉnh Đồng Tháp năm 2018 -2019 Lời giải Ta có: 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q + + = = + +
2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011;2010;2012 ta thấy P > Q
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Bài 1: So sánh A và B biết : 18 + 17 + A 17 1 17 1 = , B = 19 17 +1 18 17 +1
Trích đề HSG Liên trường năm 2021-2022 Lời giải 18 18 18 17( 17 17 +1 ) 17 Vì + + + + A 17 1 17 1 17 1 16 17 1 = < 1 suy ra A + = < = = = B 19 17 +1 19 17 +1 19 17 +1+16 17( 18 17 +1 ) 18 17 +1 Vậy A < B Bài 2: So sánh: a) 200 3 và 300 2 b) 50 71 và 75 37
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9 Lời giải a) Ta có: 200 2 100 100 3 = (3 ) = 9 300 3 100 100 2 = (2 ) = 8 mà 100 100 8 < 9 nên 300 200 2 < 3 b) Ta thấy: 50 50 < = ( )50 150 100 71 72 8.9 = 2 .3 (1) 75 75 > = ( )75 150 150 37 36 4.9 = 2 . 3 (2) mà 150 2 . 150 150 100 3 > 2 .3 (3)
Từ (1) , (2) , và (3) suy ra: 75 50 37 > 71 Bài 3: Cho 2 3 4 71 72
A =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +.....+ 2012 + 2012 và 73
B = 2012 −1. So sánh A và B .
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2018 – 2019. Lời giải Ta có: 2 3 4 71 72
A =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +.....+ 2012 + 2012 2 3 4 72 73
2012A = 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +....+ 2012 + 2012 Lấy 73
2012A− A = 2012 −1 73 2012 −1 73 A = < B = 2012 −1. 2011
Vậy A < B . Bài 4: So sánh : 2013 2 và 1344 3 .
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018 -2019 Lời giải Ta có : = ( )671 2013 3 671 2 2 = 8 = ( )672 1344 2 672 3 3 = 9 Do 8 < 9,671< 672 671 672 2013 1344 ⇒ 8 < 9 ⇒ 2 < 3 Vậy 2013 1344 2 < 3 . Bài 5: So sánh: 7 15 N − − = + và 15 7 M − − = + . 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 -2011 Lời giải − − − Xét: 7 15 N − − = + 7 8 7 = + + 2005 2006 10 10 2005 2006 2006 10 10 10 − − − và: 15 7 M − − = + 7 8 7 = + + 2005 2006 10 10 2005 2005 2006 10 10 10 − − Ta có: 8 > 8 2006 10 2005 10
Vậy: N > M .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 10
Bài 6: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 8 16 9 .5 và 20 19
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019 Lời giải Ta có 8 16 16 16 16 16 20 9 .5 = 3 .5 =15 <19 <19 Vậy 8 16 20 9 .5 <19 Bài 7: Cho 2 3 4 71 72
A =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +.....+ 2012 + 2012 và 73
B = 2012 −1. So sánh A và B
Trích đề HSG cấp trường Bá Thước năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 2 3 4 72 73
2012A = 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +....+ 2012 + 2012 73 2012 −1 Lấy 73
2012A− A = 2012 −1 73 ⇒ A = < B = 2012 −1 2011 Vậy A < B 99 98 Bài 8: 2018 1 2018 1 So sánh: E − = và F − = 100 2018 −1 99 2018 −1
Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018 Lời giải 99 100 2018 −1 2018 − 2018 2017 Ta có: E = ⇒ 2018E = ⇒ 2018.E =1− 100 100 100 2018 −1 2018 −1 2018 −1 98 99 2018 −1 2018 − 2018 2017 F = ⇒ 2018.F = ⇒ 2018.F =1− 99 99 99 2018 −1 2018 −1 2018 −1 Vì 2017 2017 2017 2017 < ⇒1− >1− 100 99 100 99 2018 −1 2018 −1 2018 −1 2018 −1
Hay 2018E > 2018F nên E > F Vậy E > F 2009 2010 Bài 8: 2009 1 2009 2 So sánh : A + = và B − = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2
Trích đề HSG năm 2019-2020 Lời giải 2010 2010 2010 2010 2009 − 2 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 Ta có B = <1⇒ B = < = 2011 2011 2011 2011 2009 − 2 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 2009( 2009 2009 + ) 2009 1 2009 +1 = = = A 2009( 2010 2009 + ) 2010 1 2009 +1 Vậy B < A Bài 9: Cho 300 200
a = 2 ,b = 3 .Kết luận nào sau đây đúng ? A. a < b B. a = b C. a > b D. a ≥ b
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018 -2019 Bài 10: So sánh 210 C = 3 với 310 D = 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 11
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019 Lời giải 210 10 200 10 100 310 10 300 10 100 C = 3 = 3 .3 = 3 .9 ; D = 2 = 2 .2 = 2 .8 Có 10 10 3 > 2 và 100 100
9 > 8 nên C > D Bài 11: So sánh 7 15 N − − = + và 15 7 M − − = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019 Lời giải Xét: 7 15 7 8 7 N − − − − − = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 Và 15 7 7 8 7 M − − − − − = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 − − Ta có: 8 8 > 2006 2005 10 10 Vậy N > M 2016 2017 Bài 12: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = 2017 10 +1 2018 10 +1
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải
Nhân hai vế của A và B với 10 ta có 2017 2017 10 10 10 1 9 9 10.A + + + = = =1+ 2017 2017 2017 10 +1 10 +1 10 +1 2018 2018 10 10 10 1 9 9 10.B + + + = = = 1+ 2018 2018 2018 10 +1 10 +1 10 +1 Vì 2017 2018 10 <10 suy ra 9 9 >
suy ra A > B 2017 2018 10 +1 10 +1 99 98 Bài 13: So sánh: 2018 1 E − = và 2018 1 F − = 100 2018 −1 99
2018 −1 Trích đề HSG huyện Kim Môn năm 2017 - 2018 Lời giải 99 100 Ta có: 2018 1 E − = suy ra 2018 2018 2018E − = suy ra 2017 2018.E =1− 100 2018 −1 100 2018 −1 100 2018 −1 98 2018 1 99 F − = suy ra 2018 2018 2018.F − = suy ra 2017 2018.F =1− 99 2018 −1 99 2018 −1 99 2018 −1 Vì 2017 2017 < suy ra 2017 2017 1− > 1− 100 99 2018 −1 2018 −1 100 99 2018 −1 2018 −1
Hay 2018E > 2018F suy ra E > F Vậy E > F Bài 14: So sánh 444 3 và 333 4 .
Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022 Lời giải = ( )111 444 4 111 3 3 = 81 = ( )111 333 3 111 4 4 = 64
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 12 111 111 81 > 64 444 333 3 < 4 Vậy 444 333 3 < 4 2 3 100 2 3 100
Bài 15: So sánh các biểu thức sau: 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 P + + + + + = và 1 9 9 9 ... 9 Q = 2 3 99 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 2 3 99 1+ 9 + 9 + 9 + ... + 9
Trích đề HSG thị xã Kinh Môn năm 2021-2022 Lời giải 2 3 100 100 Ta có: 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 P = 7 = 1+ 2 3 99 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 2 3 99 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 1 = 1+ 1 1 1 1 1 + + + ... + + 100 99 98 2 7 7 7 7 7 2 3 100 1+ 9 + 9 + 9 + ... + 9 100 Q = 9 = 1+ 2 3 99 1+ 9 + 9 + 9 + ... + 9 2 3 99 1+ 9 + 9 + 9 + ... + 9 1 = 1+ 1 1 1 1 1 + + + ...+ + 100 99 98 2 9 9 9 9 9 Do 100 100 1 1 7 < 9 ⇒ > 100 100 7 9 99 99 1 1 7 < 9 ⇒ > 99 99 7 9 … 2 2 1 1 7 < 9 ⇒ > 2 2 7 9 1 1 7 < 9 ⇒ > 7 9 Khi đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + > + + + ... + + 100 99 98 2 100 99 98 2 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 1 1 < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + + + ... + + 100 99 98 2 100 99 98 2 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 Vậy P < Q. 18 17
Bài 16: So sánh A và B , biết: 17 +1 17 +1 A = , B = 19 18 17 +1 17 +1
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022 Lời giải 18 17 +1 17 +1+16 17.( 17 18 18 17 + ) 17 1 Vì 17 1 A + = < 1 17 +1 ⇒ A = < = = = B 19 17 +1 19 19 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1 Vậy A < B
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 13
B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP
(copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
Dạng 1: Các phương pháp so sánh: quy đồng mẫu (tử ), sử dụng tính chất bắc cầu, xét phần bù,
viết dưới dạng hỗn số, so sánh với 1; sử dụng tính chất: với a, b , m ∈ N* thì: * a + < 1 a a + m ⇒ < * a > 1 a a m ⇒ > ) b b b + m b b b + m
Bài 1: Tính tổng của các phân số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 1 và có tử là 4 . 5 4
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022
Bài 2: Có bao nhiêu cách để viết 7 thành tổng của hai phân số tối giản trong đó mẫu số của hai phân 12
số khác nhau và đều không lớn hơn 12.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022 8 8 Bài 3: So sánh: 17 5 A + = và 17 6 B + = . 8 17 −8 8 17 − 7
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021 - 2022
Bài 4: So sánh P và Q , biết: 2010 2011 2012 P = + + và 2010 2011 2012 Q + + = . 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Bài 5: So sánh 2 phân số: 20072007 và 200720072007 20082008 200820082008
Trích đề HSG huyện Tĩnh Gia năm 2018-2019
Bài 6: So sánh hai phân số a −1 và b +1 (với a, b là số nguyên cùng dấu và ; a b ≠ 0) a b
Trích đề HSG THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019 Bài 7: So sánh a) 77772 M = và 88881 N = . 77778 88889 b) 326 988 662 P = + + và 3951 1 1 Q = + + . 1955 1975 1985 3950 5955 11730
Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 – 2022. 18 17 + + Bài 8: 17 1 17 1
So sánh A và B biết: A = , B = 19 18 17 +1 17 +1
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 - 2016 Bài 9: 37 377
Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số: và . 67 677
Trích đề HSG huyện Phù Ninh năm 2015 -2016 18 17 + + Bài 10: 17 1 17 1
So sánh A và B biết: A = , B = 19 18 17 +1 17 +1
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 14
Trích đề HSG huyện Lương Tài 2015 – 2016
Bài 11: So sánh A và B biết: 2010 2011 2012 A = + + và 1 1 1 1 B = + + +....+ 2011 2012 2010 3 4 5 17
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Bài 12: So sánh: 201201 và 201201201 . 202202 202202202
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016 Bài 13: So sánh 7 15 N − − = + và 15 7 M − − = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018-2019
Bài 14: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 1717 và 1313 8585 5151
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019 Bài 15: So sánh: 121212 2 404 A = + − với 10 B = 171717 17 1717 17
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 −
Bài 16: So sánh : 22 và 51 − 45 103
Trích đề HSG năm 2019-2020 Bài 17: So sánh: 5 11 N = + và 11 5 M = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề 59 HSG huyện năm 2018- 2019 Bài 18: Cho 1 1 1 1 A = + + +....+ . 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5 + 7 1+ 3+ 5 + 7 +...+ 2017 Chứng minh 3 A < 4
Trích đề HSG huyện Thạch Thành, năm 2018- 2019
Bài 19: So sánh S với 3, biết 2011 2012 2013 S = + + 2012 2013 2011
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019
Bài 20: Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 19 − 9 − 19 A ; B − = + = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10
Trích đề HSG cấp trường năm 2018 -2019 2012 2013 Bài 21: So sánh 2011 1 A + = với 2011 1 B + = 2013 2011 +1 2014 2011 +1
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019
Bài 22: So sánh phân số: 15 với 25 301 499
Trích đề HSG cấp huyện năm học 2016-2017
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 15 − −
Bài 23: So sánh 2011.2012 1 và 2012.2013 1 2011.2012 2012.2013
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019 − −
Bài 24: So sánh: 22 và 51 45 103
Trích đề HSG trường Nguyễn Khuyến năm 20… - 20…
Bài 25: So sánh P và Q Biết: 2010 2011 2012 P = + + và 2010 2011 2012 Q + + = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013
Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019
Bài 26: So sánh A và B biết: 2010 2011 2012 A = + + và 1 1 1 1 B = + + +....+ 2011 2012 2010 3 4 5 17
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018 - 2019
Bài 27: So sánh A và B biết: 2013.2014 1 A − = và 2014.2015 1 B − = 2013.2014 2014.2015
Trích đề HSG huyện Bạch Thông năm 2018 - 2019
Bài 28: So sánh P và Q Biết : 2010 2011 2012 P = + + và 2010 2011 2012 Q + + = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013
Trích đề HSG Tỉnh Đồng Tháp năm 2018 -2019
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Bài 1: So sánh A và B biết : 18 + 17 + A 17 1 17 1 = , B = 19 17 +1 18 17 +1
Trích đề HSG Liên trường năm 2021-2022 Bài 2: So sánh: a) 200 3 và 300 2 b) 50 71 và 75 37
Trích đề HSG THCS Lý Tự Trong năm 2015-2016 Bài 3: Cho 2 3 4 71 72
A =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +.....+ 2012 + 2012 và 73
B = 2012 −1. So sánh A và B .
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2018 – 2019. Bài 4: So sánh : 2013 2 và 1344 3 .
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018 -2019 Bài 5: So sánh: 7 15 N − − = + và 15 7 M − − = + . 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 -2011
Bài 6: Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 8 16 9 .5 và 20 19
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2018-2019 Bài 7: Cho 2 3 4 71 72
A =1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +.....+ 2012 + 2012 và 73
B = 2012 −1. So sánh A và B
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16
Trích đề HSG cấp trường Bá Thước năm 2018-2019 99 98 Bài 8: 2018 1 2018 1 So sánh: E − = và F − = 100 2018 −1 99 2018 −1
Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018 2009 2010 Bài 8: 2009 1 2009 2 So sánh : A + = và B − = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2
Trích đề HSG năm 2019-2020 Bài 9: Cho 300 200
a = 2 ,b = 3 .Kết luận nào sau đây đúng ? A. a < b B. a = b C. a > b D. a ≥ b
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018 -2019 Bài 10: So sánh 210 C = 3 với 310 D = 2
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018 - 2019 Bài 11: So sánh 7 15 N − − = + và 15 7 M − − = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019 2016 2017 Bài 12: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = 2017 10 +1 2018 10 +1
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022 99 98 Bài 13: So sánh: 2018 1 E − = và 2018 1 F − = 100 2018 −1 99
2018 −1 Trích đề HSG huyện Kim Môn năm 2017 - 2018 Bài 14: So sánh 444 3 và 333 4 .
Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022 2 3 100 2 3 100
Bài 15: So sánh các biểu thức sau: 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 P + + + + + = và 1 9 9 9 ... 9 Q = 2 3 99 1+ 7 + 7 + 7 + ... + 7 2 3 99 1+ 9 + 9 + 9 + ... + 9
Trích đề HSG thị xã Kinh Môn năm 2021-2022 18 17
Bài 16: So sánh A và B , biết: 17 +1 17 +1 A = , B = 19 18 17 +1 17 +1
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022
C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ
(Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài)
Bài 1: So sánh A và B biết: 2013.2014 1 A − = và 2014.2015 1 B − = . 2013.2014 2014.2015 Lời giải Ta có: 2013.2014 1 A − = 1 = 1− 2013.2014 2013.2014 2014.2015 1 B − = 1 = 1− 2014.2015 2014.2015
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 17 Vì 1 1 > nên 1 1 − < − 2013.2014 2014.2015 2013.2014 2014.2015 hay 1 1 − +1< − +1 2013.2014 2014.2015
Từ đó suy ra A > B .
Bài 2: So sánh hai phân số a −1 và b +1 (với a, b là số nguyên cùng dấu và a, b ≠ 0) a b
Trích đề HSG trường THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019 Lời giải Có a −1 1 + = 1− và b 1 1 = 1+ a a b b * Nếu − +
a > 0,b > 0 thì 1 > 0 và 1 > 0 nên 1 1
1− <1+ hay a 1 b 1 < . a b a b a b * Nếu − +
a < 0,b < 0 thì 1 < 0 và 1 < 0 nên 1 1
1− >1+ hay a 1 b 1 > . a b a b a b 2008 2007 Bài 3: So sánh: 2008 1 A + = và 2008 1 B + = . 2009 2008 +1 2008 2008 +1 Lời giải 2008 2008 1 A + = < 1 2009 2008 +1 2008 2008 1 2007 2008 2008( 2007 2008 + ) 1 A + + + < 2008 2008 = = = B 2009 2008 +1+ 2007 2009 2008 + 2008 2008( 2008 2008 + ) 1 2008 +1+ 2007 2008 + 2008 2008( 2007 2008 2008 2008 + ) 1 A < = = = B 2009 2009 2008 +1+ 2007 2008 + 2008 2008( 2008 2008 + ) 1 Vậy A < B 1999 2000 Bài 4: So sánh: 1999 1 A + = và 1999 1 B + = . 1998 1999 +1 1999 1999 +1 Lời giải 2000 1999 1 B + = >1 1999 1999 +1 2000 1999 1 1998 2000 1999( 1999 1999 + ) 1 B + + + > 1999 1999 = = = A 1999 1999 +1+1998 1999 1999 +1999 1999( 1998 1999 + ) 1 Vậy A < B 23 22 Bài 5: So sánh: 15 3 A − = và 15 4 B + = 22 15 −138 21 15 − 5 Lời giải 23 15 3 A − = > 1 22 15 −138 23 15 3 63 23 15( 22 15 + 4) A − + + > 15 60 = = = B 22 15 −138 + 63 22 15 − 75 15( 21 15 − 5) Vậy A > B.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 18 2 2 Bài 6: So sánh: n −1 A + = và n 3 B = với n >1. 2 n +1 2 n + 4 Lời giải 2 n −1 2 A + − − = n 1 2 = 2 = 1+ 2 n +1 2 n +1 2 n +1 2 n + 3 2 B + − − − = n 4 1 = 1 = 1+ 2 = 1+ 2 n + 4 2 n + 4 2 n + 4 2 2n + 8 Ta có: 2 2 n − − +1 < 2n + 8 suy ra 2 2 > do đó 2 2 < 2 2 n +1 2n + 8 2 2 n +1 2n + 8 suy ra 2 − 2 1 1 − + < + 2 2 n +1 2n + 8 Vậy A < B Bài 7: So sánh: 4 3 5 6 A = + 5 + + + và 5 6 4 5 B = + 5 + + + . 2 3 4 7 7 7 7 4 2 3 7 7 7 7 Lời giải 4 5   3 6 A 5  = + + + +  4 5   3 5 1   = 5+ + + + + 3   2 4 7 7 7 7         3 2 4 4  7 7   7 7 7  4 5   6 5 B 5  = + + + +  4 5   3 3 5   = 5+ + + + + 3   2 4 7 7 7 7         3 2 2 4  7 7   7 7 7  Ta có: 3 1 > suy ra  4 5   3 3 5   4 5   3 5 1 5 5  + + + + + > + + + + +         2 4 7 7 3 2 2 4 3 2 4 4  7 7   7 7 7   7 7   7 7 7  Vậy A < B 37 2012 38 2012 Bài 8: So sánh 2012 37 1 A + + = với 2012 37 2 B + + = . 38 2012 39 2012 Lời giải
Thực hiện qui đồng mẫu số: 37 2012 2012 37 1 76 2012 39 39 A + + + + = 2012 37 .2012 2012 = 38 2012 38 39 2012 .2012 38 2012 2012 37 2 76 2012 38 38 B + + + + = 2012 37 .2012 2.2012 = 39 2012 39 38 2012 .2012 2012 39 39 37 .2012 + 2012 38 = ( 2012 2012 37 .2012 + 2012) 2012 38 38 37 .2012 + 2.2012 38 = ( 2012 2012 37 .2012 + 2)
Từ đó suy ra A > B . Bài 9: Cho 1  1  1   1 A  1 1 1..... 1 = − − − −  So sánh A với 1 − . 2 2 2 2 2 3 4 100        2 Lời giải
Ta thấy tích A gồm 99 số âm: 1  1   1 A  1  1.3 2.4 99.101  101 −  1..... 1 = − − −  = − . ..... = 4 9 10000         2.2 3.3 100.100  200 Ta có 101 1 − − > nên 101 1 < . 200 2 200 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 19 Vậy 1 A − < . 2 Bài 10: a) Cho +
a,b,n∈*. Hãy so sánh a n và a . b + n b 11 10 b) Cho 10 −1 10 +1 A = ; B = . So sánh A và B. 12 11 10 −1 10 +1
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp TH1: a +
=1 suy ra a = b nên a n a = = 1. b b + n b TH2: a + −
> 1, suy ra a > b nên a + m > b + n , mà a n có phần thừa so với 1 là a b . b b + n b + n
a có phần thừa so với 1 là a−b. b b
vì a − b a − b + < nên a n a < . b + n b b + n b
TH3: a <1 suy ra a < b nên a + n < b + n. b
Khi đó : a + n có phần bù tới 1 là a − b . b + n b
vì a − b b − a + < nên a n a > . b b + n b + n b 11 b) Cho 10 1 A − =
rõ ràng A <1 nên theo câu a, 12 10 −1 a + ( 11 10 − ) 1 +11 11 10 +10 < 1, suy ra a n a > nên A < = b b + n b ( 12 10 − ) 1 +11 12 10 +10 11 10( 10 10 + ) 1 10 Do đó 10 10 A + + < = 10 1 = . 12 10 +10 10.( 11 10 + ) 1 11 10 +1 15 16 Bài 11: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = 16 10 +1 17 10 +1 Lời giải 16 16 10 10 10 1 9 9 10.A + + + = = = 1+ . 16 16 16 10 +1 10 +1 10 +1 17 17 10 10 10 1 9 9 10.B + + + = = = 1+ . 17 17 17 10 +1 10 +1 10 +1 Mà 9 9 >
nên 10.A >10.B => A > B . 16 17 10 +1 10 +1 2019 2020 Bài 12: So sánh 10 1 A + = và 10 1 B + = . 2020 10 +1 2021 10 +1Lời giải 2020 2020 10 10 10 1 9 9 10.A + + + = = =1+ . 2020 2020 2020 10 +1 10 +1 10 +1
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 20 2021 2021 10 10 10 1 9 9 10.B + + + = = = 1+ . 2021 2021 2021 10 +1 10 +1 10 +1 Mà 9 9 >
nên 10.A >10.B => A > B . 2020 2021 10 +1 10 +1 21 22 Bài 13: So sánh 20 3 A − = và 20 3 B − = . 22 20 + 4 23 20 + 4 Lời giải 22 20 60 22 20.A − + − − = 20 4 64 = 64 = 1+ . 22 20 + 4 22 20 + 4 22 20 + 4 23 20 60 23 20.B − + − − = 20 4 64 = 64 = 1+ . 23 20 + 4 23 20 + 4 23 20 + 4 Mà 64 64 − − > 64 64 => <
nên 20.A < 20.B => A < B . 22 23 20 + 4 20 + 4 22 23 20 + 4 20 + 4 22 23 Bài 14: So sánh 15 6 A − = và 15 6 B − = . 21 15 −1 22 15 −1 Lời giải 22 22 1 . − − + A 15 6 = 15 15 9 = 9 = 1+ . 15 22 15 −15 22 15 −15 22 15 −15 23 23 1 . − − + B 15 6 = 15 15 9 = 9 = 1+ 15 23 15 −15 23 15 −15 23 15 −15 Mà 9 9 > nên 1 1
.A > .B => A > B . 22 23 15 −15 15 −15 15 15 Bài 15: So sánh 10 10 A = + và 11 9 B = + . 7 6 2 2 7 6 2 2 Lời giải 10 9 1 A + = + 10 9 1 = + + . 7 6 2 2 7 6 6 2 2 2 10 1 9 B + = + 10 1 9 = + + . 7 6 2 2 7 7 6 2 2 2 Mà 1 1 >
=> A > B . 6 7 2 2 Bài 16: So sánh 2006 2007 2008 2009 A = + + + với B = 4 . 2007 2008 2009 2006 Lời giải 2007 1 2008 1 2009 1 2006 3 A − − − + = + + + 2007 2008 2009 2006 1 1 1 3 = 1− +1− +1− +1+ 2007 2008 2009 2006  1 1   1 1   1 1 4  = + − + − + − >       4 .
 2006 2007   2006 2008   2006 2009 
Vậy A > B . Bài 17: So sánh 15 17 A − − = + và 17 15 B − − = + . 300 200 2 3 300 200 2 3 Lời giải 15 15 2 A − − − − − − = + 15 15 2 = + + 300 200 2 3 300 200 200 2 3 3

Tài liệu liên quan: