173 trang 2 lượt tải

Bài toán tính chất chia hết trong tập hợp số tự nhiên trong các đề thi HSG Toán 6

3

Tài liệu gồm 173 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề tính chất chia hết trong tập hợp số tự nhiên trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 6 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết.

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 391 tài liệu

Môn: Toán 6 2.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

3 giờ trước
Danh sách Quiz
/173
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
1
CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
A. PHẦN NỘI DUNG
I. Quan hệ chia hết và tính chất.
Dạng 1: Chứng minh chia hết.
Bài 1: Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
. Chứng minh rằng:
2
1 24p
−
Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022
Lời giải
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
là số lẻ và
p
không chia hết cho
3
.
Ta có
(
)(
)
2
1 11p pp p p− + −= − +
do
p
là số lẻ nên
21pk= +
(
*
kN∈
)
( 1)( 1)pp− +=
2 (2 2)
kk+=
4 ( 1)kk+
8 (1)
Mặt khác
1; ; 1
p pp−+
là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho
3
, mà
p
không chia
hết cho
3
nên
1p −
hoặc
1
p +
chia hết cho
3
. Từ đó suy ra
( 1)( 1) 3 (2)pp−+
Vì
(
)
3, 8 1
=
và từ
( )
1
và
( )
2
nên suy ra
2
1 24p −
.
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu
7 4 37xy+
thì
13 18 37
xy+
.
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có:
( )
( )
5 13 18 4 7 4x y xy+ − +=
65 90 28 16xyxy
+−−
37 74xy= +
37( 2 ) 37xy= +
Hay
(
) ( )
5 13 18 4 7 4 37x y xy+− +
(*)
Vì
7 4 37
xy+
, mà
( )
4 ;37 1=
nên
( )
4 7 4 37xy
+
Do đó, từ
(
)
*
suy ra:
( )
5 13 18 37xy+
, mà
( )
5 ;37 1=
nên
13 18 37xy
+
.
Bài 3: Cho
11 1
2.3.4.5 .98. 1
2 3 98
A

= … + + +…+


. Chứng tỏ rằng
M
chia hết cho 99.
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022
Lời giải
2.3.4.5 .9 .
11 1
1 ..
29
8.
38
A

+++= … +


1 11 1 1
2.3.4.5 .98. 1 .....
98 2 97 44 45


… + ++ ++ +


=


99 99 99
2.3.4.5 .98. .....
98 2.97 44.45

= … + ++


11 1
2.3.4.5 .98.99. .... 99
98 2.97 44.45

= … + ++


Vậy
99A
.
Bài 4:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
2
a) Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 và
10 1p
+
cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng
51p +
chia
hết cho 6 .
b) Chứng tỏ rằng nếu
( )
6 11 31 ,x y xy+∈
thì
7 31
xy
+
.
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022
Lời giải
a) p và
10 1
p
+
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng
3 1; 3 2
kk++
Nếu
32pk
= +
thì
10 1p +
( )
10 3 2 1k= ++
30 21 3k= +
(loại vì
10 1p
+
là số nguyên tố)
nên
31
pk= +
Có:
31pk= +
suy ra
( )
5 1 5 3 1 1 15 6 3
pk k
+= + += +
Mà
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
lẻ nên
51p +
chẵn, suy ra
5 12p +
Mà
( )
2;3 1=
nên
( )
5 1 2.3p +
hay
5 16p +
.
Vậy
51p +
chia hết cho
6
.
b) Vì
(
)
6 11 31 ,x y xy
+∈
nên
6 11 31 31xy y++
hay
6 42 31
xy
+
( )
6 7 31xy+
nên
7 31xy+
Vậy nếu
( )
6 11 31 ,x y xy+∈
thì
7 31xy+
.
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu
7 4 : 37xy
+
thì
13 18 :37xy+
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
5 13 18 4 7 4x y xy+− +
65 90 28 16xyxy=+−−
37 74xy= +
37( 2 ) 37xy= +
Hay
( )
5(13 18 ) 4(7 4 ) 37 *x y xy+−+
Vì
7 4 37
xy+
, mà
(4;37) 1=
nên
4(7 4 ) 37
xy+
Do đó, từ
( )
*
suy ra:
5(13 18 ) 37xy+
, mà
(5; 37) 1
=
nên
13 18 37xy+
.
Bài 6: Cho số tự nhiên có
4
chữ số
abcd
. Chứng tỏ rằng
abcd
chia hết cho
7
khi:
23
b cda+ +−
chia hết cho
7
2
Trích đề HSG huyện Kỳ Anh năm 2021 – 2022
Lời giải
( )
abcd 2 3b cda− + +−
( )
1000 100 10 2 3a b cd b cda= ⋅+ ⋅+ ⋅+− + +−
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
3
1000 100 10 2 3a b cd b cd a= ⋅+ ⋅+ ⋅+ − − − +
( ) ( ) ( ) ( )
1000 100 2 10 3aa b b c c db= ⋅+ + ⋅− + ⋅− + −
1001 98 7
a bc= ⋅+ ⋅+⋅
Vì: +)
1001 7 1001 7a
⇒⋅
+)
98 7 98 7a
⇒⋅

+)
77c
⋅
Nên:
1001 98 7 7a bc
⋅+ ⋅+⋅
, Hay
( )
abcd 2 3 7b cda− + +−
Vì
( )
abcd 2 3 7b cda
− + +−
nên
abcd 7
khi
23 7b cda+ +−
Bài 7: Chứng minh rằng:
ab ba
+
chia hết cho
11
.
Trích đề HSG Liên trường năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có:
ab ba+
( ) ( ) (
)
10 10 11 11 11 11
ab b a a b a b= ++ + = + = +
Vậy
ab ba+
11
Bài 8: Cho
2 3 4 2017 2018
2 2 2 2 ...... 2 2M
=++++ + +
a) Tính
M
b) Chứng tỏ rằng
M
chia hết cho
3
Trích đề HSG THCS Trần Phú Gia Lai năm 2018-2019
Lời giải
Ta có
2 3 4 2018 2019
2 2 2 2 ...... 2 2M
=+++ + +
Lấy
2019
2 22
MM
−= −
. Vậy
2019
22M = −
( ) (
) ( )
( )
2 3 4 5 6 2017 2018
2 2 2 2 2 2 ...... 2 2
M =+++++++ +
( ) ( ) ( )
3 5 2017
2 1 2 2 . 1 2 2 .(1 2) .......2 . 1 2M = ++ ++ ++ +
( )
3 5 2017
3. 2 2 2 ...... 2
M = +++ +
Vậy
3M
Bài 9: Cho biết
4ab
+
chia hết cho
13
( )
,.ab∈
Chứng minh rằng
10 13b
+
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019
Lời giải
Ta có:
4 13
b
suy ra
10 40 13ab+
suy ra
10 39 13ab b++
Mà
39 13
b
suy ra
10 13ab+
Bài 10. Cho số
155*710*4*16
có
12
chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu
*
bởi các chữ số khác
nhau trong ba chữ số
1, 2, 3
một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho
396
.
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019
Lời giải
Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số
đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng
123 6++=
Mặt khác:
396 4.9.11
=
trong đó
4;9;11
đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh
155*710*4*16A =
chia hết cho
4, 9, 11
Thật vậy:
Vì A tận cùng là
16
chia hết cho
4
nên
4A
9
A
vì tổng các chữ số chia hết cho
9
11A
vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là
0
, chia hết cho
11
Vậy
396A
Bài 11: Cho biết
4ab+
chia hết cho 13
(
)
,.ab∈
Chứng minh rằng
10 13
ab+
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018 - 2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
4
Lời giải
Ta có:
4 13
ab
+
10 40 13ab
+
10 39 13
ab b
++
39 13
Do b
nên
10 13
ab+
Bài 12: Chứng minh
35
3 2.3 2 7.2 25
n nn n
A
++
=−+−
với
n ∈
.
Lời giải
Ta có:
35
3 2.3 2 7.2
n nn n
A
++
=−+−
3 .27 2.3 2 .32 7.2
nnnn
= −+ −
(
) (
)
3 . 27 2 2 . 32 7
nn
= −+ −
3 .25 2 .25 25
nn
= +
.
Bài 13: Cho
2 3 4 1999 2000
2 2 2 2 ..... 2 2A =++++ + +
. Chứng minh
A
chia hết cho
6
.
Lời giải
Ta có:
2 3 4 1999 2000
2 2 2 2 ..... 2 2A =++++ + +
(
) ( ) ( )
2 3 4 1999 2000
2 2 2 2 ..... 2 2=+++++ +
( ) ( )
3 1999
6 2 . 1 2 ..... 2 . 1 2=+ ++ + +
3 1999
6 2 .3 ..... 2 .3 6=+ ++
.
Bài 14: Cho số
155*710*4*16
có
12
chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu
*
bởi các chữ số
khác nhau trong ba chữ số
1, 2, 3
một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho
396
.
Trích đề HSG cấp trường năm 2017-2018
Lời giải
Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số
đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng
123 6++=
.
Mặt khác:
396 4.9.11=
trong đó
4;9;11
đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh
155*710*4*16A =
chia hết cho
4;9;11
.
Thật vậy:
Vì
A
tận cùng là
16
chia hết cho
4
nên
4
A
9A
vì tổng các chữ số chia hết cho
9
11A
vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là
0
, chia hết cho
11
.
Vậy
396A
.
Bài 15: Cho biết
4ab+
chia hết cho 13
( )
,.ab∈
Chứng minh rằng
10 13b+
.
Trích đề HSG huyện Tam Nông năm 2018-2019
Lời giải
Ta có:
4 13ab+
10 40 13ab⇒+
10 39 13ab b⇒ ++
Do
39 13b
10 13ab⇒+
.
Vậy
10 13b+
.
Bài 16: Thay
( )
*
bằng các số thích hợp:
a)
510*;
61*16
chia hết cho
3
b)
261*
chia hết cho
2
và chia
3
dư
1
.
Trích đề HSG cấp trường năm 2019-2020
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
5
Lời giải
a) Để
510*;
61*16
chia hết cho
3
thì
( )
51*++
chia hết cho
3
, từ đó tìm được
{ }
* 0; 3; 6;9=
.
b) Để
261*
chia hết cho
2
và chia cho
3
dư
1
thì
*
chẵn và
( )
2 61*+ ++
chia
3
dư
1
, từ đó tìm
được
*4=
.
Bài 17: Cho
1999 1997
999993 555557A = −
. Chứng minh rằng
A
chia hết cho
5
.
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019
Lời giải
Để chứng minh
5A
ta xét chữ số tận cùng của
A
bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Ta có:
(
)
499
1999 4 3 499
3 3 .3 81 .27= =
nên
1999
3
có tận cùng là
7
( )
499
1997 4 499 1997
7 7 .7 2401 .7 7= = ⇒
tận cùng là
7
Vậy
A
có tận cùng là
0
nên
5
A
.
Bài 18: Cho
6ab−
với
. Chứng minh
13 6ab−
.
Lời giải
Ta có
6
ab
−
12 6ab b=>−−
vì
12 6b
13 6ab=>−
Vậy
13 6ab−
.
Bài 19: Cho
7
xy−=
với
. Chứng minh:
22 7xy−
.
Lời giải
Ta có
7xy
−=
21 7
xy x=>−+
vì
21 7x
22 7xy=>−
.
Vậy
22 7xy−
.
Bài 20: Chứng minh
23 2
3 2 32 6
n n nn
A
++ +
= − +−
với
*
n ∈
.
Lời giải
Ta có:
23 2
3 2 32
n n nn
A
++ +
= − +−
3 .9 2 .8 3 2 .4
n n nn
= − +−
( ) ( )
3. 9 1 2. 8 4
nn
= +− +
3 .10 2 .12 6
nn
= −
.
Bài 21: Cho
11 3 17a bc
−+
. Chứng minh
2 5 6 17abc
−+
.
Lời giải
Ta có
11 3 17a bc−+
( )
2 11 3 17a bc⇒ −+
2 22 6 17a bc⇒− +
2 22 6 17 17
a bc b⇒ − ++
vì
17 17b
2 5 6 17abc⇒ −+
.
Vậy
2 5 6 17abc−+
.
Bài 22: Cho
( )( )
475419A abab=++
với mọi
*
,ab∈
. Chứng minh
361A
.
Lời giải
Vì
( )( )
475419A abab=++
Mà
19
là số nguyên tố nên
4 7 19ab+
hoặc
5 4 19ab+
.
+ Nếu
4a 7 19b+
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
6
(
)
5 4 7 19
ab
⇒+
20 35 19
ab⇒+
20a 35 19 19bb⇒+−
20 16 19ab⇒+
( )
4 5 4 19
ab
⇒+
Mà
4 19
/
nên
5 4 19ab+
.
Vậy
19.19 361AA=>
.
+ Nếu
5 4 19ab+
( )
4 5 4 19ab⇒+
20 16 19
ab⇒+
20 16 19 19abb⇒ ++
20 35 19
ab
⇒+
( )
5 4 7 19
ab⇒+
Mà
5 19
/
nên
4a 7 19b+
.
Vậy
19.19 361AA=>
.
Bài 23: Chứng minh rằng
a.
28
10 8 72
A = +
b.
7 9 13
81 27 9 45B =−−
Lời giải
a) Cách 1:
Ta có:
28 28 28 3 25 28
10 2 .8 2 .2 .5 8= =
và
88 8
A
⇒

Lại có
28
10 8+
có tổng các chữ số là
9
nên chia hết cho
9
. Vậy
A
chia hết cho
72
Cách 2:
28
10 8+
có ba chữ số tận cùng là
008
nên chia hết cho
8
28 28
9
9
10 8 10 1 9 9 72AA+= −+ ⇒ ⇒


b) Ta có
7
81
;
9
27
;
13
9
chia hết cho
9
nên
B
chia hết cho
9
Lại có
7
81
có tận cùng là
1
98
27 27 .27 ...1.27= =
có tận cùng là
7
13 12
9 9 .9 ...1.9= =
có tận
cùng là
9
nên
B
có tận cùng là 5 nên
B
chia hết cho
5
.
Mà
(5;9) 1 5.9 45BB=⇒⇒
Bài 24: Chứng minh :
20 4 20
2 .2 2 A= +
chia hết cho
17
.
Lời giải
( )
20 20
2 . 16 1 2 .17A = +=
⇒
17A
Bài 25: Chứng minh rằng:
2
7.5 12.6
nn
A= +
chia hết cho
19
Lời giải
Thêm bớt
7.6
n
, ta được:
( )
7.25 7.6 19.6 7. 25 6 19.6
n n n nn n
A = − + = −+
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
7
Ta có:
( )
25 6 19
nn
mod≡
(
)
(
)
25 6 0 19
nn
mod
−≡⇒
( )
( )
7. 25 6 19.6 19.6 19
nn n n
mod⇒
−+ ≡
⇒
0
A≡
( )
mod19
Vậy
19A
Ghi chú: Đối với một số bài toán lớp 8 nếu ta sử dụng đến hằng đẳng thức:
nn
a bab−−
với
nn
a bab++
với (
n ∈
;
n
lẻ). Thì ta có thể giải được một cách dễ dàng, tuy nhiên với học sinh lớp
6 thì chưa thể sử dụng những hằng đẳng thức đó. Vì vậy, ta có thể sử dụng Đồng dư thức để có được
lời giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.
Bài 26: Chứng minh rằng: a)
5555 2222
2222 5555A = +
chia hết cho
7
.
b)
1962 1964 1966
1961 1963 1965 2
B
=+++
chia hết cho
7
.
Lời giải
a) Ta có
(
) ( ) ( )
2222 2222 5555 5555 5555 2222
5555 4 2222 4 4 4
A = −+ +−−
Mà
(
)
( )
2222 2222
5555 4 5555 4
−−
(
)
2222 2222
5555 4 7
⇒−
Tương tự:
(
)
5555 5555
2222 4 7
+
( ) ( ) ( )
1111 1111
5555 2222 5 2 5 2 5555 2222
44 4 4 44447− = − −⇒ −

Vậy
5555 2222
2222 5555A
= +
chia hết cho
7
.
b)
1962 1964 1966
1961 1963 1965 2 7B =+++
Sử dụng tính chất:
khi chia cho
a
có số dư là
b
Ta có
1962 1964 1966
(1960 1) (1960 3) (1965 2) 2B = ++ ++ − +
1962 1964 1966
(7 1) (7 3) (7 2) 2Bm n p= + ++ +− +
1964 1966
7 13 2 2Bq= ++ + +
654 3.655
7 9.27 2.2 3Bq=+++
7 923Br= +++
7 14 7Br= +
Bài 27: Chứng minh rằng:
2 3 200
2 2 2 2A = + + +…+
chia hết cho
6
Lời giải
Ta có: Tổng của hai số hạng :
2
2 2 2 4 6+=+=
Tổng A có
200
số hạng ta chia thành
100
nhóm chứa hai số hạng có tổng
6
.
Nên:
( ) ( ) ( )
2 3 4 199 200
22 2 2 2 2A = + + + +…+ +
( ) ( )
2 2 198 2
62 22 2 22A = + + +…+ +
( ) ( )
2 198
6 2 6 2 6A = + +…+
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
8
( )
2 198
61 2 2A
= + +…+
Vậy
A
chia hết cho
6
.
Bài 28 : Chứng minh rằng:
2 4 20
2 2 2A
= + +…+
chia hết cho
4
và
5
.
Lời giải
( )
(
) ( )
2 4 6 8 19 20
22 22 2 2A
= + + + +…+ +
(
)
( )
4 2 4 16 2 4
202 22 2 22A⇒ = + + +… +
( ) (
)
4 16
20 2 20 2 20A = + +…⇒
( )
4 16
20. 1 2 +2A⇒
= + +…
(
)
4 16
5.4. 1 2 +2A
⇒
= + +…
Vậy
A
chia hết cho
5
và
4
.
Bài 29 : Chứng minh rằng:
a,
( 10)( 15) 2nn++
b,
( 1)( 2) 2; 3nn n++
c,
2
1nn++ 4;2;5
Lời giải
a, Ta có:
Nếu
n
là số lẻ thì
15 2n +
Nếu
n
là số chẵn thì
10 2
n +
Như vậy với mọi
n
là số tự nhiên thì :
( )( )
10 15 2nn++
b, Ta có:
( )(
)
12nn n
++
là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho
2
, một số chia
hết cho
3
.
c, Ta có:
( 1) 1
nn
++
là 1 số lẻ nên
( 1) 1
nn
++
4;2
và có chữ số tận cùng khác
0
và
5
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
thì:
a.
(2 1)(7 1) 6
Ann n=++
b.
3
13 6Bn n= −
Lời giải
a) Ta có:
7 18 1nn n+ += +
là số lẻ nên
n
chẵn hoặc
7n
chẵn,
⇒
(2 1)(7 1) 2nn n++
(1)
Xét các trường hợp :
3 (2 1)(7 1) 3n k nn n=⇒++
3 1 (2 1)(7 1) 3 ( 2 1 3)n k n n n do n= +⇒ + + +

3 2 (2 1)(7 1) 3 ( 7 1 3)n k n n n do n= +⇒ + + +
(2 1)(7 1) 3nn n⇒++
với mọi số tự nhiên
n
(2)
Từ (1) và (2)
(2 1)(7 1) 2.3nn n⇒++
( Do
2
;
3
là hai số nguyên tố cùng nhau)
(2 1)(7 1) 6nn n⇒++
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
9
b)
33
6
6
13 12 ( 1)( 1) 12B n n n n n nn n n= − = −− = − + −

Vậy
3
13 6Bn n= −
Bài 31: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho
3
.
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:
, 1, 2
aa a++
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là
( ) ( ) ( )
31 2 12 3 3aa a aaa a++++= ++ + + = +
(Tính chất chia hết của một tổng).
Nâng cao: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho
n
hay không?
Bài 32: Tổng của
4
số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho
4
hay không ?
Lời giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là
, 1, 2, 3aa a a++ +
.
Tổng của
4
số tự nhiên liên tiếp là:
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 4 6.aa a a aaaa a++++++= +++ + ++ = +
Do
4
chia hết cho 4 nên
4a
chia hết cho
4
mà
6
không chia hết cho
4
nên
( )
46a +
không chia hết
cho
4
⇒
Tổng của
4
số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho
4
.
Kết luận nâng cao: Vậy không phải lúc nào tổng
n
số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho
n
Bài 33.
a. Cho
2 3 60
2 2 2 ..... 2A =+++ +
. Chứng minh
3,7,15
A
b. Chứng minh rằng:
2 3 99 100
2 2 2 ..... 2 2
C =+++ + +
chia hết cho
31
.
Lời giải
a) Biến đổi:
( )
( ) ( )
2 3 4 59 60
2 2 2 2 ...... 2 2A =+++++ +
( ) ( ) (
)
3 59
2 1 2 2 . 1 2 ..... 2 . 1 2= ++ ++ + +
( )
3 59
3. 2 2 ..... 2 3= ++ +
( )
( )
(
)
2 3 4 5 6 58 59 60
2 2 2 2 2 2 ...... 2 2 2A
=++ + ++ + + + +
( ) ( ) ( )
2 4 2 58 2
2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ..... 2 . 1 2 2= ++ + ++ + + ++
( )
4 58
7. 2 2 ..... 2 7= ++ +
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 8 57 58 59 60
2 2 2 2 2 2 2 2 ....... 2 2 2 2A =+++ + +++ + + + + +
( ) ( ) ( )
23 5 23 57 23
2. 1 2 2 2 2 . 1 2 2 2 ..... 2 . 1 2 2 2= ++ + + ++ + + + ++ +
( )
5 57
15. 2 2 ...... 2 15= ++ +
b.
2 3 99 100
2 2 2 ...... 2 2C =+++ + +
( ) ( ) ( )
234 6 234 96 234
2. 1 2 2 2 2 2 . 1 2 2 2 2 ..... 2 . 1 2 2 2 2= ++ + + + ++ + + + + ++ + +
( )
6 96
31. 2 2 ..... 2 31= ++ +
Bài 35: Tìm số tự nhiên
n
để
5 14n +
chia hết cho
2n +
.
Lời giải
Ta có:
( )
5 14 5. 2 4nn+= ++
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
10
Mà
( )
5. 2n +
chia hết cho
( )
2n +
Do đó
( )
5 14n +
chia hết cho
( )
2n +
nên
4
chia hết cho
( )
2n +
hay
( )
2n +
là ước của
4
.
( ) { }
1;2;42n ∈+
Do đó
{ }
0; 2n ∈
Vậy với
2{}0;n ∈
thì
( )
5 14n +
chia hết cho
( )
2n +
.
Bài 36: Tìm số tự nhiên
n
để
15
3
n
n
+
+
là số tự nhiên.
Lời giải
Để
15
3
n
n
+
+
là số tự nhiên thì
chia hết cho
( )
3n +
.
( ) ( )
15 3nn+ −+


chia hết cho
( )
3
n
+
.
12
chia hết cho
( )
3n +
.
( )
3n +
là
(
)
}12 1; 2; 3 6{ ; 4; ;12U =
.
0;1;3;9 .
{}
n ∈
Vậy với
}0;1{ ;3;9n ∈
thì
15
3
n
n
+
+
là số tự nhiên.
Bài 37: Tìm số tự nhiên
n
để
( )
(
)
2
3 6 3
nn n
++ +
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
3 6 3nn n++ +
Suy ra:
( )
( )
3 6 3
nn n


++ +
Suy ra
( )
6 3n +
Do đó
3nU+∈
( ) { }
6 1; 2; 3; 6=
Vậy
0; 3nn= =
thì
( )
( )
2
3 6 3nn n++ +
.
Bài 38: Tìm số nguyên
n
để phân số
45
21
n
n
+
−
có giá trị là một số nguyên.
Lời giải
Ta có:
( )
22 1 7
4 5 4 27 7
2
21 21 21 21
n
nn
nn n n
−+
+ −+
= = = +
−− − −
Vì 2 là số nguyên nên để
45
21
n
n
+
−
là số nguyên thì
7
21n −
là số nguyên
Suy ra
2 – 1 n ∈
( ) { }
7 –7; – 1;1; 7U =
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
11
{ }
2 –6; 0; 2;8n∈
{ }
–3; 0; 1; 4n∈
Vậy với
{ }
–3; 0; 1; 4n ∈
thì
45
21
n
n
+
−
có giá trị là một số nguyên.
Bài 39: Cho biểu thức
2 3 2009 2010
2010 2010 2010 ..... 2010 2010
A = + + ++ +
Chứng minh rằng A chia hết cho 2011
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019
Lời giải
2 3 4 2009 2010
2010 2010 2010 2010 ...... 2010 2010A =+++++ +
( )
( ) (
)
3 2009
2010. 1 2010 2010 . 1 2010 ...... 2010 . 1 2010A
= ++ +++ +
(
)
3 2009
2011. 2010 2010 ...... 2010 2011 2011AA
= + ++ ⇒

Bài 40: Chứng minh rằng
100 99
3.10 10 8B = ++
chia hết cho 24 .
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có:
( )
100 99 99 99
99 0 98 0
3.10 10 8 10 . 3.10 1 8 10 .31 8 310....0 8 310...008 8
chu so chuso
B = + += + += += +=
 
Mặt khác:
(
)
9
100 0 98 0
100 99 100 9
30...0 10...8
3.10 10 8 3.10 10 8
chuso chuso
B
+++
= + += =
100 0 98 0
30...0 3;10...8 3 3
chuso chuso
Vi nen B
Do (3, 8) = 1 nên
100 99
(3.10 10 8) (3.8)++
Suy ra B
24
Bài 41: Cho
2 3 20
2 2 2 ..... 2
M =+++ +
a) Chứng tỏ rằng
5M
b) Tìm chữ số tận cùng của
M
Trích đề HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2016 - 2017
Lời giải
2 3 20
) 2 2 2 .... 2aM=++++
(
)
(
)
2 3 4 17 18 19 20
2 2 2 2 ..... 2 2 2 2=+++ + + + + +
(
)
(
)
23 17 23
2. 1 2 2 2 .....2 . 1 2 2 2= ++ + + ++ +
(
)
(
)
17 17
15. 2 ..... 2 5.3. 2 ..... 2 5= ++ = ++
b) Dễ thấy
2; 5 10MM M M⇒⇒
tận cùng bằng chữ số 0
Bài 42: Chứng tỏ rằng
( )
2021 2020 2
75. 4 4 .... 4 4 1 25M = + + + ++ +
chia hết cho
100
.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2021 - 2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
12
Lời giải
Đặt
2021 2020 2
4 4 ... 4 4 1 75. 25S MS= + + + + +⇒ = +
Ta có
2021 2020 2 2022 2021 3 2
4 4 ... 4 4 1 4 4 4 ... 4 4 4SS= + ++ ++⇒ = + ++ + +
Do đó
2022
2022
41
4 41
3
SS S
−
− = −⇔ =
.
Suy ra
(
)
2022
2022 2022 2021
41
75. 25 75. 25 25. 4 1 25 25.4 100.4
3
MS
−
= += += −+= =
Suy ra
100M
Bài 43: Chứng minh rằng:
28
10 8+
chia hết cho
72
Trích đề HSG huyện Thanh Oai năm 2017-2018
Lời giải
Vì
28
10 8
+
có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9
Lại có
28
10 8
+
có ba chữ số tận cùng là
008
chia hết cho 8 nên tổng đó chia hết cho 8, mà
( )
8, 9 1=
nên
28
10 8+
chia hết cho 72.
Bài 44: Cho biết
4ab+
chia hết cho
13
( )
,.ab∈
Chứng minh rằng
10 b+
chia hết cho
13
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019
Lời giải
4 13 10 40 13 10 39 13
39 13 10 13
a b a b ab b
b ab
+ ⇒ + ⇔ ++
⇒+


Bài 45: Chứng tỏ:
5 15
16 2S = +
chia hết cho
33
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019
Lời giải
Có
(
) ( )
5
5 15 4 15 20 15 15 5 15
16 2 2 2 2 2 2 . 2 1 2 .33
S =+= +=+= +=
Nên
S
chia hết cho
33
Bài 46: Chứng tỏ rằng:
2345 1112
2 2 2 2 2 ..... 2 2A =+++++ + +
chia hết cho 7
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019
Lời giải
(
) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
222 222 222 2 2 2A
=++ + ++ + ++ + + +
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 7 2 10 2
2.122 2122 2.122 2.122A = ++ + ++ + ++ + ++
( )
4 7 10
7. 2 2 2 2A = +++
Suy ra
A
chia hết cho 7.
Bài 47: Cho
1 3 5 2011 2013 2015
3 3 3 ..... 3 3 3S
=+++ + + +
. Chứng tỏ:
a) S không chia hết cho 9
b) S chia hết cho 70
Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019
Lời giải
a)
2 5 2011 2013 2015
3 3 ..... 3 3 3++ + + +
chia hết cho 9; 3 không chia hết cho 9
S⇒
không chia hết cho 9
b)
( ) ( )
2 4 2011 2 4
3 1 3 3 ..... 3 1 3 3S = ++ + + ++
(do S có 1008 số hạng)
2011
3.91 .... 3 .91S = ++
Ta thấy S chia hết cho 91 nên S chia hết cho 7
( )
91 7.13=
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
13
(
)
(
)
2 2013 2
3. 1 3 ..... 3 1 3
S
= +++ +
(Do S có 1008 số hạng)
2011
3.10 .... 3 .10
S = ++
S chia hết cho 10. Do
( )
7,10 1=
nên S chia hết cho
7.10 70=
Bài 48: Cho
234 90
3 3 3 3 ..... 3A =++++ +
. Chứng minh A chia hết cho 11 và 13
Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019
Lời giải
A có 90 số hạng mà
90 5
nên
234 90
3 3 3 3 ..... 3A =++++ +
(
)
(
)
(
)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 86 87 88 89 90
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 3 3A
=++++ + ++++ + + + + + +
(
)
(
)
(
)
234 6 234 86 234
3. 1 3 3 3 3 3 . 1 3 3 3 3 ..... 3 . 1 3 3 3 3= ++ + + + ++ + + + + ++ + +
6 86
121.(3 3 .... 3 ) 11 11A= +++ ⇒
A có 90 số hạng mà
90 3
nên:
(
)
(
)
(
)
23 456 888990
3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3A =++ + ++ + + + +
(
)
(
)
(
)
2 4 2 88 2
3. 1 3 3 3 . 1 3 3 ..... 3 . 1 3 3= ++ + ++ + + ++
(
)
4 88
13. 3 3 ..... 3 13 13
A= ++ + ⇒
Bài 49: Cho
2 3 2014 2015 2016
4 4 4 .... 4 4 4C =++++ + +
Chứng minh rằng C chia hết cho 21 và 105
Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019
Lời giải
Ta có:
2 3 4 2014 2015 2016
4 4 4 4 ...... 4 4 4C =++++ + + +
(
)
(
)
(
)
2 3 4 5 6 2014 2015 2016
4 4 4 4 4 4 ....... 4 4 4=++ + ++ + + + +
(
)
(
)
(
)
2 4 2 2014 2
4. 1 4 4 4 . 1 4 4 ..... 4 . 1 4 4= ++ + ++ + + ++
(
)
4 2014
21. 4 4 ....4 21= ++
2 3 4 2014 2015 2016
4 4 4 4 ...... 4 4 4C
=++++ + + +
(
)
(
)
(
)
2 3 4 2015 2016
4 4 4 4 ...... 4 4
=+++++ +
( ) ( ) ( )
3 2015
4. 1 4 4 . 1 4 ..... 4 . 1 4= ++ ++ + +
(
)
3 2015
5. 4 4 ..... 4 5= ++ +
Ta có
5, 21CC
mà
(
)
5; 21 1 105C= ⇒
Bài 50: Chứng minh rằng: Nếu
7 4 37xy+
thì
13 18 37
xy+
Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
5 13 18 4 7 4 65 90 28 16 37 74 37 2 37x y xy x y x y x xy
+ − + = + − − = += +
Hay
( ) ( ) ( )
5 13 18 4 7 4 37 *x y xy+− +
Vì
7 4 37xy+
mà
( )
4;37 1=
nên
( )
4 7 4 37xy+
Do đó, từ (*) suy ra :
( )
5 13 18 37,xy+
mà
( )
5, 37 1=
nên
13 18 37.xy+
Bài 51: Chứng minh rằng :
( )
1 2 3 100
3 3 3 ... 3 120 ( )
xx x x
xN
++ + +
+ + ++ ∈
.
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 – 2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
14
Lời giải
Ta có :
( )
1 2 3 100
3 3 3 ... 3
xx x x++ + +
+ + ++
(
) (
) (
)
1 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100
3 3 3 3 3 3 ... 3 ... 3 3 3 ... 3
xx x x x x x x x x x x
++ + + + + + + + + + +
= + + + + + + ++ ++ + + ++
( )
( )
( )
234 4 234 96 234
3.3 3 3 3 3 .3 3 3 3 ... 3 .3 3 3 3
xx x++
= +++ + +++ ++ +++
4 96
3 .120 3 .120 ... 3 .120
xx x++
= + ++
( )
4 96
120. 3 3 ... 3 120
xx
+
= + ++
Bài 52: Cho
2 3 4 5 6 2016
5 5 5 5 5 5 ...5S =++++++
. Chứng tỏ rằng
S
chia hết cho
65
.
Trích đề KS HSG thị xã Sơn Tây năm 2021-2022
Lời giải
Ta có:
( )
( )
234 3 3
5 5 5 5 5 5 5 5 5 130 5.130 130.6 12.65+++=+ + + = + = =
Suy ra
234
5 5 5 5 65+++
.
2 3 4 5 6 2016
5 5 5 5 5 5 ... 5
S =+++++++
( ) ( ) ( )
234 4 234 2012 234
55 5 5 555 5 5 ...5 55 5 5S =+++ + +++ ++ +++
Tổng trên có
504
số hạng chia hết cho
65
nên
S
chia hết cho
65
.
Vậy
S
chia hết cho
65
.
Bài 53: Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
. Chứng minh rằng :
2
1 24p
−
Trích đề kiểm định chất lượng HSG huyện Nghĩa Đồng năm 2021-2022.
Lời giải
vì
p
nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
là số lẻ và
p
không chia hết cho
3
.
Ta có
( )( )
22
1 1 11p p pp p p−= − + −= − +
do
p
là số lẻ nên
21
pk= +
(
)
*
kN
∈
2
1 ( 1)( 1) 2 ( 2 2) 4 ( 1) 8p p p k k kk−= − + = + = +
(1)
Mặt khác
1, , 1p pp−+
là
3
số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho
3
, mà p không chia
hết cho
3
nên
1p −
hoặc
1p +
chia hết cho
3
.
Từ đó suy ra
( )( )
2
1 1 13p pp−= − +
(2)
Vì
(3; 8) 1=
và từ
(1)
và
(2)
nên suy ra
2
1 24p −
Bài 54: Chứng tỏ:
10 18 1
n
An=+−
chia hết cho
27
(với
n
là số tự nhiên)
Trích đề thi chọn HSG huyện Kim Sơn năm 2021-2022
Lời giải
10 18 1 10 1 9 27
nn
A n nn
= + −= −− +
9.(11.....1 ) 27
n
nn= −+

Ta biết số
n
và số có tổng các chữ số bằng
n
có cùng số dư khi chia cho
9
do đó
11.....1 9
n
n−

nên
9.(11.....1 ) 27
n
n−

. Vậy
27A
Bài 55: Chứng minh rằng: Nếu
( )
11ab cd eg++
thì
deg 11abc
.
Trích đề thi chọn HSG huyện Tiên Du năm 2021-2022
Lời giải
Ta có:
deg 10000. 100.abc ab cd eg= ++
=
(9999. 99. ) ( )ab cd ab cd eg+ + ++
=
99.(101. ) ( )ab cd ab cd eg+ + ++
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
15
=
11.9.(101. ) ( )ab cd ab cd eg+ + ++
Do
11.9.(101. ) 11ab cd+
và theo bài ra
( ) 11ab cd eg++
Suy ra:
deg 11abc
Vậy nếu
( )
11ab cd eg++
thì
deg 11abc
.
Bài 56: Cho
11 1
1 ... .2.3.4.....2022
2 3 2022
A

= ++++


. Hỏi
A
có chia hết cho
2023
không?
Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022
Lời giải
11 1
1 ...
2 3 2022
++++
11 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 1010 1011 1012 1013 2022

= +++ + + + ++


(mỗi ngoặc có
1010
số hạng)
1 1 1 11 1 1
1 ... ...
2022 2 2021 3 2020 1010 1011
 
=+++ +++++
 
 
2023 2023 2023 2023
...
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
= + + ++
111 1
2023. ...
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011

= + + ++


2023 2023 2023 2023
...
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
= + + ++
2023 2023 2023 2023
...
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
= + + ++
Khi đó
111 1
2023.2.3.4.....2022. ...
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
A

= + + ++


Đặt
2.3.4.....2022m =
Khi đó
111 1
2023. . ...
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
Am

= + + ++


( )
2023. ... 1
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
mmm m
A

= + + ++


Vì
2.3.4.....2022m =
*
; ; ;...;
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
mmm m
⇒∈
( )
*
... 2
1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011
mmm m

⇒ + + ++ ∈


Từ
( )
1
và
( )
2
2023A⇒
.
Vậy
A
chia hết cho
2023
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
16
Bài 57: Cho
;;;abcd
là các số nguyên
( )
ac≠
với thỏa mãn
ab cd+
chia hết cho
–ac
. Chứng tỏ
rằng
ad bc+
chia hết cho
–ac
.
Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá năm 2021 - 2022
Lời giải
Xét hiệu:
(
) ( ) ( ) ( )
– ––ab cd ad bc ab bc cd ad+ += +
( ) ( ) ( )( ) ( )
–– – – –bac dac aacb cd= = −
Mà
( ) ( )
c
a a
b cd+ −
⇒
( ) ( )
ca ad bc+ −
(điều phải chứng minh)
Bài 58: Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
. Chứng minh rằng:
2
14p −
.
Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2022 - 2023
Lời giải
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
là số lẻ và
p
không chia hết cho
3
.
Ta có
( ) ( ) ( )( )
22
1 1 1 1 11pppp pp p pp+−= −= − + − =− −+
Do
p
là số lẻ nên
21pk
. Khi đó
(
)
(
)
2
1211211
pk k
+= +− ++
( )
4. 1 8kk k= + ∀∈

Mặt khác, ta thấy rằng
–1p
,
p
,
1p +
là ba số nguyên liên tiếp, trong ba số nguyên liên tiếp có
1
số
chia hết cho
3
mà
p
không chia hết cho
3
nên
1p −
hoặc
1p +
chia hết cho
3
.
Do đó
( )( )
2
1 11p pp−= − +
chia hết cho
3
.
Mà
3;8 1
nên
2
1p +
chia hết cho
24
(đpcm)
.
Bài 59:
a) Tìm hai số tự nhiên
, xy
sao cho
( ) ( )
2 1 . 5 12xy+ −=
.
b) Tìm tất cả các số
62 427
xyB =
biết rằng số
B
chia hết cho
99
.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016
Lời giải
a) Tìm hai số tự nhiên
, xy
sao cho
( ) ( )
2 1 . 5 12xy+ −=
.
Ta có :
( ) ( )
2 1 . 5 12xy+ −=
Nên
21x +
và
5y −
là ước của
12
.
Mà
12 1.12 2.6 3.4= = =
Vì
21x +
là số lẻ
2 11x +=
hoặc
2 13x +=
Ta có:
21x +
1
3
5y −
12
4
x
0
1
y
17
9
Vậy:
( ) ( ) ( )
{ }
; 0; 17 ; 1; 9xy=
.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
17
b) Tìm tất cả các số
62 427xyB =
biết rằng số
B
chia hết cho
99
.
Vì số
B
chia hết cho
99
nên sẽ chia hết cho
9
và
11
Số
B
đó có tổng chữ số là:
62 427 21xy xy
++++++= ++
sẽ chia hết cho
9
.
Mà
19xy
+<
Có
21
chia
9
dư
3
suy ra
6
xy+=
hoặc
15xy
+=
Để
B
chia hết cho
11
thì
( ) ( )
7 4 6 2 2 11
x yk
+++−++=
hay
( )
13 11 2
xy k+−=
( )
kN∈
(Một số chia hết cho
11
thì tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn là bội của
11
) .
Để
B
chia hết cho
11
thì
2yx−=
hay
2yx= +
Có 2 trường hợp xảy ra
Trường hợp 1:
6xy+=
và
2yx= +
Thay
2yx= +
vào
6xy
+=
ta được
26xx++=
24x =
2x =
2224yx=+=+=
Vậy
2x =
;
4y =
( Thỏa mãn )
Trường hợp 2:
15
xy+=
và
2
yx−=
Thay
2yx= +
vào
15
xy+=
ta được
2 15xx++=
2 13x =
13
2
x =
13 17
22
22
yx=+= +=
:
Vậy
13
2
x =
;
17
2
y =
( không thỏa mãn )
Mà
, xy
phải là số nguyên dương nên
2 và 4xy= =
.
Vậy số cần tìm là
6224427
.
Bài 60: Chứng tỏ rằng
23xy+
chia hết cho
17
thì
95xy+
chia hết cho
17
và ngược lại.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016
Lời giải
Ta có:
23xy+
chia hết cho
17
( )
42 3xy+
chia hết cho
17
8 12xy+
chia hết cho
17
(
) ( ) ( )
8 12 9 5 8 12 9 5 17 17 17x y xy x yxy x y xy+ + + =+ ++= + = +
chia hết cho
17
Mà
23xy
+
chia hết với
17
suy ra
95xy
+
chia hết cho
17
Vậy
95xy+
chia hết cho
17
.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
18
Ngược lại . Ta có :
95
xy
+
chia hết cho
17
( )
49 5xy+
chia hết cho
17
20
xy6+
chia hết cho
17
( )
( ) ( )
20 2 3 36 20 2 3 34 17 17 2xy xy xyxyxy xy36 + − + = + − − = + = +
chia hết cho
17
Mà
95
xy
+
chia hết với
17
suy ra
23xy+
chia hết cho
17
Vậy
23
xy+
chia hết cho
17
.
Bài 61: Chứng minh: S =
155
16 2+
chia hết cho
33
.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010-2011
Lời giải
Có
5 15
16 2S = +
( ) (
)
5
4 15 20 15 15 5 15 15 5 15
2 2 2 2 2 .2 2 2 . 2 1 2 .33= +=+= += +=
Vậy
S
chia hết cho
33
.
Bài 62: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
,n
ta có
2
2nn++
không chia hết cho
5
.
Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019
Lời giải
Ta có:
( )
2
2 12n n nn++= + +
Do
( )
1nn
+
là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho
2
.
( )
1nn+
có tận cùng là
0 ;2;6
.
( )
12nn++
có tận cùng là
2;4;8
không chia hết cho
5
.
Bài 63: Chứng minh rằng
2 3 4 101
3 3 3 ...... 3+++ +
chia hết cho
120
.
Trích đề HSG huyện Hoằng Hóa năm 2017-2018
Lời giải
Ta có:
2 3 4 101
3 3 3 ...... 3+++ +
( ) ( ) (
)
2 3 4 5 6 7 8 9 98 99 100 101
3 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 3= +++ + +++ + + + + +
( ) (
) ( )
234 5 234 97 234
3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 .... 3 . 3 3 3 3= +++ + +++ ++ +++
( )
5 97
120. 3 3 ..... 3 120
= ++ +
(đpcm).
Bài 64: Tìm số tự nhiên
;xy
biết
32 1xy
chia hết cho
45
.
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2019-2020
Lời giải
Vì
32 1xy
chia hết cho
45 5.9=
( )
( )
0 32 10 9 3 2 1 0 9 3
5 32 15 9 3 2 1 5 9 7
yx x x
yx x x
= ⇒ ⇔ + + ++ ⇒ =
⇒
= ⇒ ⇔ + + ++ ⇒ =


Vậy hai số cần tìm là
32310 ; 32715
.
Bài 65: Chứng minh rằng số viết bởi
27
chữ số giống nhau thì chia hết cho
27
.
Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2016 -2017
Lời giải
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
19
Trước hết ta chứng minh số gồm
27
chữ số
1
thì chia hết cho
27
.
Thật vậy:
9.. / ..1
27... ... ..1 8.. / ..0 8... / ..0
111...11 11...1 1000....01000....01
c so
chu so c so c s
= ×
  
Mà
9.. / ..1
11...1 9
c so
và
8.. / ..0 8.. / ..0 27.. / ..1
1000...01000...01 3 111...1 27
c so c so c so
⇒


Từ đó suy ra nếu một số viết bởi
27
chữ số giống nhau thì chia hết cho
27
.
Bài 66: Chứng tỏ rằng;
a)
( )
100 990
3 19 2+
b) Tổng của
4
số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho
4
.
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 -2016
Lời giải
a) Ta có :
3
là lẻ nên
100
3
là lẻ,
19
lẻ nên
990
19
lẻ nên
( )
100 990
3 19 2+
.
b) Gọi
4
số tự nhiên liên tiếp là
( )
( ) ( ) ( )
; 1; 2; 3aa a a a
+ + +∈
Ta có :
( ) ( ) ( )
1 2 346aa a a a++++++= +
Vì
44a
,
6
không chia hết cho
4
nên
46a +
không chia hết cho
4
.
Bài 67: Cho
,
ab
là các số nguyên. Chứng tỏ rằng nếu
( )
2 37ab+
thì
( )
8 57ab+
.
Trích đề HSG huyện Đông Hưng năm 2021-22
Lời giải
Với các số nguyên
,
ab
ta có:
( )
2 37ab+
( )
42 3 7ab+
(
)
8 12 7ab+
;
( )
8577abb++
Mà
77b
nên
( )
8 57ab+
.
Bài 68: Cho
1 2 3 30
2 2 2 2
B 
Chứng minh rằng:
B
chia hếtt cho
21
.
Trích đề HSG Trường THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016
Lời giải
Ta có:
1 2 3 30
222 2
B 
1 2 3 4 29 30
22 22 2 2
3 29
2.1 2 2.1 2 2 .1 2  
3 29
3. 2 2 2 
suy ra
3 B
1
Lại có:
1 2 3 30
222 2
B 
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6
20
1 2 3 4 5 6 28 29 30
222 222 2 2 2 
2 4 2 28 2
2.1 2 2 2.1 2 2 2 .1 2 2   
4 28
72 2 2 
suy ra
7B
2
Mà
3 ; 7 1
Do đó từ
1
và
2
suy ra
3.7 B
hay
21 B
Bài 69: Chứng tỏ rằng
a)
( )
100 990
3 19 2+
b) Tổng của
4
số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho
4
.
Trích đề HSG Huyện Lương Tài năm 2021-2022
Lời giải
a) Ta có
3
là lẻ nên
100
3
là lẻ,
19
lẻ nên
990
19
lẻ nên
(
)
100 990
3 19 2+
b) Gọi
4
số tự nhiên liên tiếp là
( ) ( ) ( )( )
; 1; 2; 3aa a a a+ + +∈
Ta có :
(
) ( ) (
)
1 2 346
aa a a a++++++= +
Vì
4 4;6a
không chia hết cho
4
nên
46a +
không chia hết cho
4
.
Bài 70: Cho
2 3 4 19 20
5 5 5 5 ... 5 5D 
. Tìm số dư khi chia
D
cho
31
.
Trích đề HSG Hoài Nhơn năm 2015-2016
Lời giải
2 3 4 19 20
5 5 5 5 ... 5 5D

2 3 2 6 2 18 2
1 155 515 +5 5 155 ... 5 155D
  
Do
2
1 5 5 31
nên
1D
chia hết cho
31
D
chia
31
dư
30.
Bài 71: Chứng tỏ rằng số có dạng
abcabc
bao giờ cũng chia hết cho
1 1
.
Trích đề HSG Trường Hưng Mỹ năm 2018 - 2019
Lời giải
Ta có:
.1001 .11.91 11abcabc abc abc= =
Vậy
abcabc
bao giờ cũng chia hết cho
1 1
(đpcm).
Bài 72: Chứng minh rằng với mọi số nguyên
n
ta có
3
6nn−
.
Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018
Lời giải

Tài liệu khác của Toán 6

Preview text:

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 1
CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A. PHẦN NỘI DUNG
I. Quan hệ chia hết và tính chất.
Dạng 1: Chứng minh chia hết.
Bài 1: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 2p −1  24
Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022 Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3. Ta có 2
p − p + p −1 = ( p − ) 1 ( p + ) 1
do p là số lẻ nên p = 2k +1 ( * k ∈ N ) 2
p −1 = ( p −1)( p +1) = 2k(2k + 2) = 4k(k +1)  8 (1)
Mặt khác p −1; p; p +1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà p không chia
hết cho 3 nên p −1 hoặc p +1 chia hết cho 3. Từ đó suy ra 2
p −1 = ( p −1)( p +1)  3 (2) Vì (3,8) =1 và từ ( ) 1 và (2) nên suy ra 2 p −1  24 .
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y  37 thì 13x +18y  37 .
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022 Lời giải
Ta có: 5(13x +18y) − 4(7x + 4y) = 65x + 90y − 28x −16y
= 37x + 74y = 37(x + 2y)37
Hay 5(13x +18y) − 4(7x + 4y)  37 (*)
Vì 7x + 4y  37 , mà (4 ;37) = 1 nên 4(7x + 4y)  37
Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x +18y)  37 , mà (5 ;37) = 1 nên 13x +18y  37 . Bài 3: Cho  1 1 1 A 2.3.4.5 .98. 1  = … + + +…+ 
. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 99. 2 3 98  
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022 Lời giải A = 2.3.4.5 .9  1 1 … 8. . 1 1 ..  + + + +  2 3 98     1   1 1   1 1 = 2.3.4.5 .98. …  1+ + + +    .....  + +   98   2 97    44 45    99 99 99 2.3.4.5 .98. .....  = … + + +  98 2.97 44.45     1 1 1 2.3.4.5 .98.99. ....  = … + + +  99  98 2.97 44.45  Vậy A99. Bài 4:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 2
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 10 p +1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 5p +1 chia hết cho 6 .
b) Chứng tỏ rằng nếu 6x +11y31(x, y ∈) thì x + 7y31.
Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022 Lời giải
a) p và 10 p +1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k +1; 3k + 2
Nếu p = 3k + 2 thì 10 p +1 =10(3k + 2) +1 = 30k + 213 (loại vì 10p +1 là số nguyên tố) nên p = 3k +1
Có: p = 3k +1 suy ra 5p +1 = 5(3k + ) 1 +1 =15k + 63
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ nên 5p +1 chẵn, suy ra 5p +12
Mà (2;3) =1 nên 5p +1(2.3) hay 5p +16 .
Vậy 5p +1 chia hết cho 6 .
b) Vì 6x +11y  31(x, y ∈) nên 6x +11y + 31y  31
hay 6x + 42y  31 6(x + 7y) 31
nên x + 7y 31
Vậy nếu 6x +11y31(x, y ∈) thì x + 7y31.
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y :37 thì 13x +18y :37.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Lời giải
Ta có: 5(13x +18y) − 4(7x + 4y) = 65x + 90y − 28x −16y
= 37x + 74y = 37(x + 2y)37 Hay 5(13x +18y) − 4(7x + 4y)37 ( *)
Vì 7x + 4y37 , mà (4;37) =1 nên 4(7x + 4y)37
Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x +18y)37, mà (5;37) =1 nên 13x +18y37 .
Bài 6: Cho số tự nhiên có 4 chữ số abcd . Chứng tỏ rằng abcd chia hết cho 7 khi:
2b + 3c + d − a chia hết cho 7 2
Trích đề HSG huyện Kỳ Anh năm 2021 – 2022 Lời giải
abcd − (2b + 3c + d − a)
=1000⋅a +100⋅b +10⋅c + d − (2b + 3c + d − a)
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 3
=1000⋅a +100⋅b +10⋅c + d − 2b − 3c − d + a
= (1000⋅a + a) + (100⋅b − 2b) + (10⋅c − 3c) + (d − b)
=1001⋅a + 98⋅b + 7⋅c
Vì: +) 10017 ⇒1001⋅a7
+) 987 ⇒ 98⋅a7 +) 7⋅c7
Nên: 1001⋅a + 98⋅b + 7⋅c7, Hay abcd −(2b + 3c + d − a)7
Vì abcd − (2b + 3c + d − a)7 nên abcd7khi 2b + 3c + d − a7
Bài 7: Chứng minh rằng: ab + ba chia hết cho 11 .
Trích đề HSG Liên trường năm 2021 - 2022 Lời giải
Ta có: ab + ba = ( 10a + b) + ( 10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 
Vậy ab + ba 11  Bài 8: Cho 2 3 4 2017 2018
M = 2 + 2 + 2 + 2 +......+ 2 + 2 a) Tính M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho3
Trích đề HSG THCS Trần Phú Gia Lai năm 2018-2019 Lời giải Ta có 2 3 4 2018 2019
2M = 2 + 2 + 2 +......+ 2 + 2 Lấy 2019 2M − M = 2 − 2 . Vậy 2019 M = 2 − 2 M = ( 2 + ) + ( 3 4 + ) + ( 5 6 + ) + + ( 2017 2018 2 2 2 2 2 2 ...... 2 + 2 ) M = ( + ) 3 + ( + ) 5 2017
2 1 2 2 . 1 2 + 2 .(1+ 2) +.......2 .(1+ 2) M = ( 3 5 2017 3. 2 + 2 + 2 +......+ 2 ) Vậy M 3
Bài 9: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b∈).Chứng minh rằng 10 + b 13 
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 4b 13
 suy ra10a + 40b 13
 suy ra 10a + b + 39b 13  Mà 39b 13
 suy ra 10a + b 13 
Bài 10. Cho số 155*710*4*16 có 12chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu *bởi các chữ số khác
nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396 .
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải
Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số
đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1+ 2 + 3 = 6
Mặt khác: 396 = 4.9.11trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh
A =155*710*4*16 chia hết cho 4, 9, 11 Thật vậy:
Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên A4
A9vì tổng các chữ số chia hết cho 9 A 11
 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0 , chia hết cho 11 Vậy A396
Bài 11: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b∈).Chứng minh rằng 10a + b  13
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018 - 2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 4 Lời giải Ta có: a + 4b  13
10a + 40b  13
10a + b + 39b  13
Do 39b  13 nên 10a + b  13 n Bài 12: Chứng minh 3 n n 5 3 2.3 2 7.2n A + + = − + − 25 với n∈ . Lời giải Ta có: n 3 n n 5 3 2.3 2 7.2n A + + = − + − 3 .27 n 2.3n 2 .32 n 7.2n = − + − 3 .n(27 2) 2 .n = − + (32−7) 3 .25 n 2 .25 n = + 25 . Bài 13: Cho 2 3 4 1999 2000
A = 2 + 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2
. Chứng minh A chia hết cho 6 . Lời giải Ta có: 2 3 4 1999 2000
A = 2 + 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 = ( 2 + ) + ( 3 4 + ) + + ( 1999 2000 2 2 2 2 ..... 2 + 2 ) 3 = + ( + ) 1999 6 2 . 1 2 +.....+ 2 .(1+ 2) 3 1999 = 6 + 2 .3+.....+ 2 .36 .
Bài 14: Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số
khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396.
Trích đề HSG cấp trường năm 2017-2018 Lời giải
Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số
đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1+ 2 + 3 = 6 .
Mặt khác: 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh
A =155*710*4*16 chia hết cho 4;9;11. Thật vậy:
Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên A4
A9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 A 11
 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0 , chia hết cho 11. Vậy A396.
Bài 15: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b∈).Chứng minh rằng 10 + b 13  .
Trích đề HSG huyện Tam Nông năm 2018-2019 Lời giải
Ta có: a + 4b 13
 ⇒10a + 40b 13
 ⇒10a + b + 39b 13  Do 39b 13
 ⇒10a + b 13  . Vậy 10 + b 13  .
Bài 16: Thay (*) bằng các số thích hợp:
a) 510*; 61*16 chia hết cho 3
b) 261*chia hết cho 2 và chia 3 dư 1.
Trích đề HSG cấp trường năm 2019-2020
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 5 Lời giải
a) Để 510*; 61*16 chia hết cho 3 thì (5 +1+*) chia hết cho 3, từ đó tìm được * = {0;3;6; } 9 .
b) Để 261*chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì * chẵn và (2 + 6 +1+*) chia 3 dư 1, từ đó tìm được * = 4. Bài 17: Cho 1999 1997 A = 999993 − 555557
. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải
Để chứng minh A5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Ta có: = ( )499 1999 4 3 499 3 3 .3 = 81 .27 nên 1999 3 có tận cùng là 7 = ( )499 1997 4 499 1997 7 7
.7 = 2401 .7 ⇒ 7 tận cùng là 7
Vậy A có tận cùng là 0 nên A5.
Bài 18: Cho a − b6 với a,b∈ . Chứng minh a −13b6 . Lời giải
Ta có a − b6
=> a − b −12b6 vì 12b6
=> a −13b6
Vậy a −13b6 .
Bài 19: Cho x − y = 7 với a,b∈ . Chứng minh: 22x − y7 . Lời giải
Ta có x − y = 7
=> x − y + 21x7 vì 21x7
=> 22x − y7 .
Vậy 22x − y7 . Bài 20: Chứng minh n+2 n+3 n n+2
A = 3 − 2 + 3 − 2 6 với * n∈  . Lời giải Ta có: n+2 n+3 n n+2 A = 3 − 2 + 3 − 2 3 .9 n 2 .8 n 3n 2 .4 n = − + − 3 .n(9 ) 1 2 .n = + − (8+ 4) 3 .10 n 2 .12 n = − 6 .
Bài 21: Cho a −11b + 3c 17
 . Chứng minh 2a − 5b + 6c 17  . Lời giải
Ta có a −11b + 3c 17 
⇒ 2(a −11b + 3c) 17 
⇒ 2a − 22b + 6c 17 
⇒ 2a − 22b + 6c +17b 17  vì 17b 17 
⇒ 2a − 5b + 6c 17  .
Vậy 2a − 5b + 6c 17  .
Bài 22: Cho A = (4a + 7b)(5a + 4b) 1  9 với mọi *
a,b∈ . Chứng minh A361. Lời giải
Vì A = (4a + 7b)(5a + 4b) 1  9
Mà 19 là số nguyên tố nên 4a + 7b 19
 hoặc 5a + 4b 19  . + Nếu 4a + 7b 19 
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 6
⇒ 5(4a + 7b) 19  ⇒ 20a + 35b 19 
⇒ 20a + 35b −19b 19  ⇒ 20a +16b 19 
⇒ 4(5a + 4b) 19 
Mà 4 /19 nên 5a + 4b 19  . Vậy A 19.19  => A361.
+ Nếu 5a + 4b 19 
⇒ 4(5a + 4b) 19  ⇒ 20a +16b 19 
⇒ 20a +16b +19b 19  ⇒ 20a + 35b 19 
⇒ 5(4a + 7b) 19 
Mà 5/19 nên 4a + 7b 19  . Vậy A 19.19  => A361.
Bài 23: Chứng minh rằng a. 28 A =10 + 872 b. 7 9 13
B = 81 − 27 − 9 45 Lời giải a) Cách 1: Ta có: 28 28 28 3 25 28
10 = 2 .8 = 2 .2 .5 8 và 88 ⇒ A8 Lại có 28
10 + 8 có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho9. Vậy A chia hết cho 72 Cách 2: 28
10 + 8 có ba chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 28 28 10 + 8 = 10 −1 +  
 9 ⇒ A9 ⇒ A72 9 9 b) Ta có 7 81 ; 9 27 ; 13
9 chia hết cho 9 nên B chia hết cho 9 Lại có 7 81 có tận cùng là 1 9 8
27 = 27 .27 = ...1.27 có tận cùng là 7 13 12
9 = 9 .9 = ...1.9 có tận cùng là 9
nên B có tận cùng là 5 nên B chia hết cho5.
Mà (5;9) =1⇒ B5.9 ⇒ B45
Bài 24: Chứng minh : 20 4 20
A = 2 .2 + 2 chia hết cho 17 . Lời giải 20 A = ( + ) 20 2 . 16 1 = 2 .17 ⇒ A 17 
Bài 25: Chứng minh rằng: 2 7.5 n 12.6n A= + chia hết cho 19 Lời giải
Thêm bớt 7.6n , ta được:
7.25n 7.6n 19.6n 7.(25n 6n ) 19.6n A = − + = − +
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 7
Ta có: 25n ≡ 6n (mod19)
⇒ (25n − 6n ) ≡ 0 (mod19)
⇒ 7.(25n − 6n ) +19.6n ≡19.6n (mod19) ⇒ A ≡ 0 (mod19) Vậy A 19 
Ghi chú: Đối với một số bài toán lớp 8 nếu ta sử dụng đến hằng đẳng thức: n n
a − b a − b với (n∈) n n
a + b a + b với ( n∈ ; n lẻ). Thì ta có thể giải được một cách dễ dàng, tuy nhiên với học sinh lớp
6 thì chưa thể sử dụng những hằng đẳng thức đó. Vì vậy, ta có thể sử dụng Đồng dư thức để có được
lời giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.
Bài 26: Chứng minh rằng: a) 5555 2222 A = 2222 + 5555 chia hết cho 7 . b) 1962 1964 1966 B =1961 +1963 +1965 + 2 chia hết cho 7 . Lời giải a) Ta có A = ( 2222 2222 − )+( 5555 5555 + )−( 5555 2222 5555 4 2222 4 4 − 4 ) Mà ( 2222 2222 5555 − 4 )(5555−4) ⇒ ( 2222 2222 5555 − 4 )7 Tương tự: ( 5555 5555 2222 + 4 )7 − = ( )1111 −( )1111 5555 2222 5 2 ( 5 2 − ) 5555 2222 4 4 4 4 4 4 ⇒ 4 − 4 7 Vậy 5555 2222 A = 2222 + 5555 chia hết cho 7 . b) 1962 1964 1966 B =1961 +1963 +1965 + 27
Sử dụng tính chất: ( + )n
a b khi chia cho a có số dư là b Ta có 1962 1964 1966 B = (1960 +1) + (1960 + 3) + (1965 − 2) + 2 1962 1964 1966 B = (7m +1) + (7n + 3) + (7 p − 2) + 2 1964 1966 B = 7q +1+ 3 + 2 + 2 654 3.655
B = 7q + 9.27 + 2.2 + 3
B = 7r + 9 + 2 + 3
B = 7r +147
Bài 27: Chứng minh rằng: 2 3 200 A = 2 + 2 2 + +…+ 2 chia hết cho 6 Lời giải
Ta có: Tổng của hai số hạng : 2 2 + 2 = 2 + 4 = 6
Tổng A có 200 số hạng ta chia thành 100 nhóm chứa hai số hạng có tổng 6 . Nên: A = ( 2 + ) + ( 3 4 + ) +…+( 199 200 2 2 2 2 2 + 2 ) 2 A = + ( 2 + ) 198 +…+ ( 2 6 2 2 2 2 2 + 2 ) 2 A = + ( ) 198 6 2 6 +…+ 2 (6)
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 8 A = ( 2 198 6 1+ 2 +…+ 2 )
Vậy A chia hết cho 6 .
Bài 28 : Chứng minh rằng: 2 4 20 A = 2 + 2
+…+ 2 chia hết cho 4 và5. Lời giải A = ( 2 4 + ) + ( 6 8 + ) +…+ ( 19 20 2 2 2 2 2 + 2 ) 4 ⇒ A = + ( 2 4 + ) 16 +… ( 2 4 20 2 2 2 2 2 + 2 ) 4 ⇒ A = + ( ) 16 20 2 20 +… 2 ( 20) ⇒ A = ( 4 16 20. 1+ 2 +…+2 ) ⇒ A = ( 4 16 5.4. 1+ 2 +… +2 )
Vậy A chia hết cho 5 và 4 .
Bài 29 : Chứng minh rằng:
a, (n +10)(n +15)2
b, n(n +1)(n + 2) 2;3 c, 2
n + n +1 4;2;5 Lời giải a, Ta có:
Nếu n là số lẻ thì n +152
Nếu n là số chẵn thì n +102
Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : (n +10)(n +15)2
b, Ta có: n(n + )
1 (n + 2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho 2 , một số chia hết cho3.
c, Ta có: n(n +1) +1 là 1 số lẻ nên n(n +1) +1 4;2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a. A = n(2n +1)(7n +1)6 b. 3
B = n −13n6 Lời giải
a) Ta có: n + 7n +1 = 8n +1 là số lẻ nên n chẵn hoặc 7n chẵn,
⇒ n(2n +1)(7n +1)2 (1) Xét các trường hợp :
n = 3k ⇒ n(2n +1)(7n +1)3
n = 3k +1⇒ n(2n +1)(7n +1)3 (do 2n +13)
n = 3k + 2 ⇒ n(2n +1)(7n +1)3 (do 7n +13)
⇒ n(2n +1)(7n +1)3 với mọi số tự nhiên n (2)
Từ (1) và (2) ⇒ n(2n +1)(7n +1)2.3 ( Do 2 ; 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
⇒ n(2n +1)(7n +1)6
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 9 b) 3 3
B = n −13n = n − n −12n = n(n −1)(n +1) −   12n 6  6  Vậy 3
B = n −13n6
Bài 31: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a +1, a + 2
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là
a + a +1+ a + 2 = (a + a + a) + (1+ 2) = (3a + 3)3 (Tính chất chia hết của một tổng).
Nâng cao: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Bài 32: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ? Lời giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + 2, a + 3 .
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a +1+ a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1+ 2 + 3) = (4a + 6).
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết
cho 4 ⇒ Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 .
Kết luận nâng cao: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n Bài 33. a. Cho 2 3 60
A = 2 + 2 + 2 +.....+ 2 . Chứng minh A3,7,15 b. Chứng minh rằng: 2 3 99 100
C = 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 chia hết cho 31. Lời giải a) Biến đổi: A = ( 2 + ) + ( 3 4 + ) + + ( 59 60 2 2 2 2 ...... 2 + 2 ) = ( + ) 3 + ( + ) 59
2 1 2 2 . 1 2 +.....+ 2 .(1+ 2) = ( 3 59 3. 2 + 2 +.....+ 2 )3 A = ( 2 3 + + ) + ( 4 5 6 + + ) + + ( 58 59 60 2 2 2 2 2 2 ...... 2 + 2 + 2 ) = ( 2 + + ) 4 + ( 2 + + ) 58 + + ( 2 2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ..... 2 . 1+ 2 + 2 ) = ( 4 58 7. 2 + 2 +.....+ 2 )7 A = ( 2 3 4 + + + ) + ( 5 6 7 8 + + + ) + + ( 57 58 59 60 2 2 2 2 2 2 2 2 ....... 2 + 2 + 2 + 2 ) = ( 2 3 + + + ) 5 + ( 2 3 + + + ) 57 + + ( 2 3 2. 1 2 2 2 2 . 1 2 2 2 ..... 2 . 1+ 2 + 2 + 2 ) = ( 5 57 15. 2 + 2 +......+ 2 ) 15  b. 2 3 99 100
C = 2 + 2 + 2 +......+ 2 + 2 = ( 2 3 4 + + + + ) 6 + ( 2 3 4 + + + + ) 96 + + ( 2 3 4 2. 1 2 2 2 2 2 . 1 2 2 2 2 ..... 2 . 1+ 2 + 2 + 2 + 2 ) = ( 6 96 31. 2 + 2 +.....+ 2 )31
Bài 35: Tìm số tự nhiên n để 5n +14 chia hết cho n + 2 . Lời giải
Ta có: 5n +14 = 5.(n + 2) + 4
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 10
Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2)
Do đó (5n +14) chia hết cho (n + 2) nên 4 chia hết cho (n + 2) hay (n + 2) là ước của 4 . (n + 2)∈{1;2 } ;4 Do đó n∈{0; } 2
Vậy với n∈{0;2} thì (5n +14) chia hết cho (n + 2) . +
Bài 36: Tìm số tự nhiên n n để 15 là số tự nhiên. n + 3 Lời giải +
Để n 15 là số tự nhiên thì (n +15) chia hết cho (n + 3) . n + 3 (
n +15) − (n + 3) 
 chia hết cho (n + 3) .
12 chia hết cho (n + 3) .
(n +3) là U (12) = 1; { 2;3;4;6;1 } 2 . n∈ 0 { ;1;3;9}. + Vậy với n n∈ 0; { 1;3; } 9 thì 15 là số tự nhiên. n + 3
Bài 37: Tìm số tự nhiên n để ( 2
n + 3n + 6)( n+ 3) . Lời giải Ta có: ( 2
n + 3n + 6)( n+ 3) Suy ra:
n(n + 3) + 6  ( n + 3) Suy r a 6 n + ( 3)
Do đó n + 3∈U (6) = {1;2;3; } 6
Vậy n = 0;n = 3 thì ( 2
n + 3n + 6)( n+ 3) . +
Bài 38: Tìm số nguyên n n để phân số 4
5 có giá trị là một số nguyên. 2n −1 Lời giải
4n + 5 4n − 2 + 7 2(2n − ) 1 + 7 Ta có: 7 = = = 2 + 2n −1 2n −1 2n −1 2n −1 +
Vì 2 là số nguyên nên để 4n 5 là số nguyên thì 7 là số nguyên 2n −1 2n −1
Suy ra 2n –1 ∈U (7) = {–7; –1;1; } 7
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 11 2n∈{ –6;0;2; } 8 n∈{ –3;0;1; } 4 + Vậy với n { ∈ –3;0;1; }
4 thì 4n 5 có giá trị là một số nguyên. 2n −1
Bài 39: Cho biểu thức 2 3 2009 2010
A = 2010 + 2010 + 2010 +.....+ 2010 + 2010
Chứng minh rằng A chia hết cho 2011
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019 Lời giải 2 3 4 2009 2010
A = 2010 + 2010 + 2010 + 2010 +......+ 2010 + 2010 A = ( + ) 3 + ( + ) 2009
2010. 1 2010 2010 . 1 2010 +......+ 2010 .(1+ 2010) A = ( 3 2009
2011. 2010 + 2010 +......+ 2010 )2011⇒ A2011
Bài 40: Chứng minh rằng 100 99
B = 3.10 +10 + 8 chia hết cho 24 .
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 100 99 99
B = 3.10 +10 + 8 =10 .(3.10 + ) 99
1 + 8 =10 .31+ 8 = 310....0 + 8 = 310...0088     99chu so0 98chuso0 Mặt khác: 100 99 100
B = 3.10 +10 + 8 = 3.10 + ( 99 10 + 8) =  30...0 +  10...8 100chuso0 98chuso0 Vi  30...0 3;  10...83 nen B3 100chuso0 98chuso0 Do (3, 8) = 1 nên 100 99 (3.10 +10 + 8)(3.8) Suy ra B 24 Bài 41: Cho 2 3 20
M = 2 + 2 + 2 +.....+ 2
a) Chứng tỏ rằng M 5
b) Tìm chữ số tận cùng của M
Trích đề HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2016 - 2017 Lời giải 2 3 20
a)M = 2 + 2 + 2 +....+ 2 = ( 2 3 4 + + + ) + + ( 17 18 19 20 2 2 2 2 ..... 2 + 2 + 2 + 2 ) = ( 2 3 + + + ) 17 + ( 2 3 2. 1 2 2 2 .....2 . 1+ 2 + 2 + 2 ) = ( 17 + + ) = ( 17 15. 2 ..... 2 5.3. 2 +.....+ 2 )5
b) Dễ thấy M 2;M 5 ⇒ M 1
 0 ⇒ M tận cùng bằng chữ số 0
Bài 42: Chứng tỏ rằng M = ( 2021 2020 2 75. 4 + 4 + ....+ 4 + 4 + ) 1 + 25 chia hết cho 100.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2021 - 2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 12 Lời giải Đặt 2021 2020 2 S = 4 + 4
+ ...+ 4 + 4 +1⇒ M = 75.S + 25 Ta có 2021 2020 2 2022 2021 3 2 S = 4 + 4
+ ...+ 4 + 4 +1⇒ 4S = 4 + 4 + ...+ 4 + 4 + 4 2022 Do đó 2022 4 1 4S S 4 1 S − − = − ⇔ = . 3 2022 Suy ra 4 −1
M = 75.S + 25 = 75. + 25 = 25.( 2022 4 − ) 2022 2021 1 + 25 = 25.4 = 100.4 3 Suy ra M 100 
Bài 43: Chứng minh rằng: 28 10 + 8 chia hết cho 72
Trích đề HSG huyện Thanh Oai năm 2017-2018 Lời giải Vì 28
10 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 28
10 + 8 có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên tổng đó chia hết cho 8, mà (8,9) =1 nên 28 10 + 8 chia hết cho 72.
Bài 44: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b∈).
Chứng minh rằng 10 + b chia hết cho 13
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019 Lời giải a + 4b 13
 ⇒10a + 40b 13
 ⇔ 10a + b + 39b 13  39b 13
 ⇒10a + b 13  Bài 45: Chứng tỏ: 5 15
S =16 + 2 chia hết cho 33
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019 Lời giải Có S = + = ( )5 5 15 4 15 20 15 15 + = + = ( 5 + ) 15 16 2 2 2 2 2 2 . 2 1 = 2 .33
Nên S chia hết cho 33
Bài 46: Chứng tỏ rằng: 2 3 4 5 11 12
A = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + 2 chia hết cho 7
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019 Lời giải A = ( 2 3 + + ) + ( 4 5 6 + + ) + ( 7 8 9 + + ) + ( 10 11 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 + 2 ) A = ( 2 + + ) 4 + ( 2 + + ) 7 + ( 2 + + ) 10 + ( 2 2. 1 2 2 2 1 2 2 2 . 1 2 2 2 . 1+ 2 + 2 ) A = ( 4 7 10 7. 2 + 2 + 2 + 2 )
Suy ra A chia hết cho 7. Bài 47: Cho 1 3 5 2011 2013 2015 S = 3 + 3 + 3 +.....+ 3 + 3 + 3 . Chứng tỏ: a) S không chia hết cho 9 b) S chia hết cho 70
Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải a) 2 5 2011 2013 2015 3 + 3 +.....+ 3 + 3 + 3
chia hết cho 9; 3 không chia hết cho 9⇒ S không chia hết cho 9 b) S = ( 2 4 + + ) 2011 + + ( 2 4 3 1 3 3 ..... 3
1+ 3 + 3 )(do S có 1008 số hạng) 2011 S = 3.91+....+ 3 .91
Ta thấy S chia hết cho 91 nên S chia hết cho 7 (91 = 7.13)
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 13 S = ( 2 + ) 2013 + + ( 2 3. 1 3 ..... 3
1+ 3 ) (Do S có 1008 số hạng) 2011 S = 3.10 +....+ 3 .10
S chia hết cho 10. Do (7,10) =1nên S chia hết cho 7.10 = 70 Bài 48: Cho 2 3 4 90
A = 3+ 3 + 3 + 3 +.....+ 3 . Chứng minh A chia hết cho 11 và 13
Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Lời giải
A có 90 số hạng mà 905 nên 2 3 4 90
A = 3+ 3 + 3 + 3 +.....+ 3 A = ( 2 3 4 5 + + + + ) + ( 6 7 8 9 10 + + + + )+ +( 86 87 88 89 90 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ) = ( 2 3 4 + + + + ) 6 + ( 2 3 4 + + + + ) 86 + + ( 2 3 4 3. 1 3 3 3 3 3 . 1 3 3 3 3 ..... 3 . 1+ 3+ 3 + 3 + 3 ) 6 86 = 121.(3+ 3 +....+ 3 ) 11  ⇒ A 11 
A có 90 số hạng mà 903 nên: A = ( 2 3 + + ) + ( 4 5 6 + + ) + + ( 88 89 90 3 3 3 3 3 3 ..... 3 + 3 + 3 ) = ( 2 + + ) 4 + ( 2 + + ) 88 + + ( 2 3. 1 3 3 3 . 1 3 3 ..... 3 . 1+ 3+ 3 ) = ( 4 88 13. 3+ 3 +.....+ 3 ) 13  ⇒ A 13  Bài 49: Cho 2 3 2014 2015 2016 C = 4 + 4 + 4 +....+ 4 + 4 + 4
Chứng minh rằng C chia hết cho 21 và 105
Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019 Lời giải Ta có: 2 3 4 2014 2015 2016
C = 4 + 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4 + 4 = ( 2 3 + + ) + ( 4 5 6 + + ) + + ( 2014 2015 2016 4 4 4 4 4 4 ....... 4 + 4 + 4 ) = ( 2 + + ) 4 + ( 2 + + ) 2014 + + ( 2 4. 1 4 4 4 . 1 4 4 ..... 4 . 1+ 4 + 4 ) = ( 4 2014 21. 4 + 4 +....4 )21 2 3 4 2014 2015 2016
C = 4 + 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4 + 4 = ( 2 + ) + ( 3 4 + ) + + ( 2015 2016 4 4 4 4 ...... 4 + 4 ) = ( + ) 3 + ( + ) 2015
4. 1 4 4 . 1 4 +.....+ 4 .(1+ 4) = ( 3 2015 5. 4 + 4 +.....+ 4 )5
Ta có C5,C21mà (5; ) 21 =1⇒ C 105 
Bài 50: Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y37 thì 13x +18y37
Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019 Lời giải
Ta có: 5(13x +18y) − 4(7x + 4y) = 65x + 90y − 28x −16y = 37x + 74 = 37(x + 2y)37
Hay 5(13x +18y) − 4(7x + 4y)37(*)
Vì 7x + 4y37 mà (4;37) =1 nên 4(7x + 4y)37
Do đó, từ (*) suy ra : 5(13x +18y)37, mà (5,37) =1 nên 13x +18y37.
Bài 51: Chứng minh rằng : ( x 1+ x+2 x+3 x 100 3 3 3 ... 3 + + + + + ) 120 
(x ∈ N) .
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 – 2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 14 Lời giải Ta có :
( x 1+ x+2 x+3 x 100 3 3 3 ... 3 + + + + + )
( x 1+ x+2 x+3 x+4) ( x+5 x+6 x+7 x+8 )
( x+97 x+98 x+99 x 100 3 3 3 3 3 3 ... 3 ... 3 3 3 ... 3 + = + + + + + + + + + + + + + + ) x = ( 2 3 4 + + + ) x+4 + ( 2 3 4 + + + ) x+96 + + ( 2 3 4 3 . 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 . . 3 . 3+ 3 + 3 + 3 ) x x+4 x+96
= 3 .120 + 3 .120 +...+ 3 .120 = ( x 4 x+96 120. 3 + 3 +...+ 3 ) 120  Bài 52: Cho 2 3 4 5 6 2016
S = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +...5
. Chứng tỏ rằng S chia hết cho 65.
Trích đề KS HSG thị xã Sơn Tây năm 2021-2022 Lời giải Ta có: 2 3 4 + + + = ( 3 + ) + ( 3 5 5 5 5 5 5
5 5 + 5 ) =130 + 5.130 =130.6 =12.65 Suy ra 2 3 4 5 + 5 + 5 + 5 65 . 2 3 4 5 6 2016
S = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +...+ 5 S = ( 2 3 4 + + + ) 4 + ( 2 3 + + + 4 ) 2012 + + ( 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 . . 5 5 + 5 + 5 + 5 )
Tổng trên có 504 số hạng chia hết cho 65 nên S chia hết cho 65.
Vậy S chia hết cho 65.
Bài 53: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng : 2 p −124
Trích đề kiểm định chất lượng HSG huyện Nghĩa Đồng năm 2021-2022. Lời giải
vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3. Ta có 2 2
p −1 = p − p + p −1 = ( p − ) 1 ( p + ) 1
do p là số lẻ nên p = 2k +1 ( * k ∈ N ) 2
p −1 = ( p −1)( p +1) = 2k(2k + 2) = 4k(k +1)8 (1)
Mặt khác p −1, p, p +1 là 3số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà p không chia
hết cho 3 nên p −1 hoặc p +1chia hết cho 3. Từ đó suy ra 2
p −1 = ( p − ) 1 ( p + ) 1 3 (2)
Vì (3;8) =1 và từ (1) và (2) nên suy ra 2 p −124
Bài 54: Chứng tỏ: =10n A
+18n −1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên)
Trích đề thi chọn HSG huyện Kim Sơn năm 2021-2022 Lời giải
= 10n +18 −1 =10n A n
−1− 9n + 27n
= 9.(11.....1− n) + 27n  n
Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 11.....1− n9  n
nên 9.(11.....1− n)27  . Vậy A27 n
Bài 55: Chứng minh rằng: Nếu (ab + cd + eg) 11  thì abc deg 11  .
Trích đề thi chọn HSG huyện Tiên Du năm 2021-2022 Lời giải
Ta có: abcdeg =10000.ab +100.cd + eg
= (9999.ab + 99.cd) + (ab + cd + eg)
= 99.(101.ab + cd) + (ab + cd + eg)
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 15
= 11.9.(101.ab + cd) + (ab + cd + eg)
Do 11.9.(101.ab + cd) 11
 và theo bài ra (ab + cd + eg) 11  Suy ra: abc deg 11 
Vậy nếu (ab + cd + eg) 11  thì abc deg 11  . 1 1 1
Bài 56: Cho A 1 ...  = + + + + 
.2.3.4.....2022. Hỏi A có chia hết cho 2023 không?  2 3 2022 
Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022 Lời giải 1 1 1 1+ + + ... + 2 3 2022  1 1 1   1 1 1 1 1 ...   ...  = + + + + + + + + 
(mỗi ngoặc có 1010 số hạng) 2 3 1010 1011 1012 1013 2022       1   1 1   1 1   1 1 1   ...    ...  = + + + + + + + +  2022 2 2021 3 2020 1010 1011         2023 2023 2023 2023 = + + + ... + 1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011  1 1 1 1 2023. ...  = + + + +  1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011   2023 2023 2023 2023 = + + + ... + 1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011 2023 2023 2023 2023 = + + + ... + 1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011  1 1 1 1
Khi đó A 2023.2.3.4.....2022. ...  = + + + +  1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011  
Đặt m = 2.3.4.....2022 Khi đó 1 1 1 1 A 2023. . m  ...  = + + + +  1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011   2023. m m m ... m A   = + + + +  ( ) 1 1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011 Vì m = 2.3.4.....2022 m m m m * ⇒ ; ; ;...; ∈  1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011  m m m m  * ⇒ + + + ...+ ∈    (2) 1.2022 2.2021 3.2020 1010.1011 Từ ( )
1 và (2) ⇒ A2023.
Vậy A chia hết cho 2023
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 16 Bài 57: Cho ; a ; b ;
c d là các số nguyên (a ≠ c) với thỏa mãn ab + cd chia hết cho a – c . Chứng tỏ rằng ad
+ bc chia hết cho a – c .
Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá năm 2021 - 2022 Lời giải
Xét hiệu: (ab + cd ) – (ad + bc) = (ab – bc) + (cd – ad )
= b(a – c) – d (a – c) = (a – c)(b – d )(a − c)
Mà (ab + cd )(a − c)
⇒ (ad + bc)(a − c) (điều phải chứng minh)
Bài 58: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 2 p −14 .
Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2022 - 2023 Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3. Ta có 2 2
p −1 = p − p + p −1 = p( p − ) 1 + ( p − ) 1 = ( p − ) 1 ( p + ) 1
Do p là số lẻ nên p  2k 1. Khi đó 2
p +1 = (2k +1− ) 1 (2k +1+ ) 1 = 4k.(k + ) 1 8 k ∀ ∈
Mặt khác, ta thấy rằng p –1, p , p +1 là ba số nguyên liên tiếp, trong ba số nguyên liên tiếp có 1 số
chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 nên p −1 hoặc p +1 chia hết cho 3. Do đó 2
p −1 = ( p − ) 1 ( p + ) 1 chia hết cho 3. Mà 3;  8  1 nên 2
p +1chia hết cho 24 (đpcm). Bài 59:
a) Tìm hai số tự nhiên x, y sao cho (2x + ) 1 .( y −5) =12.
b) Tìm tất cả các số B = 62xy427 biết rằng số B chia hết cho 99.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016 Lời giải
a) Tìm hai số tự nhiên x, y sao cho (2x + ) 1 .( y −5) =12. Ta có : (2x + ) 1 .( y −5) =12
Nên 2x +1 và y − 5 là ước của 12. Mà 12 =1.12 = 2.6 = 3.4
Vì 2x +1 là số lẻ 2x +1 =1 hoặc 2x +1 = 3 Ta có: 2x +1 1 3 y − 5 12 4 x 0 1 y 17 9 Vậy:(x; y) = ( { 0;17) ; (1;9)}.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 17
b) Tìm tất cả các số B = 62xy427 biết rằng số B chia hết cho 99.
Vì số B chia hết cho 99 nên sẽ chia hết cho 9 và 11
Số B đó có tổng chữ số là: 6 + 2 + x + y + 4 + 2 + 7 = 21+ x + y sẽ chia hết cho 9 .
Mà x + y <19
Có 21 chia 9 dư 3 suy ra x + y = 6 hoặc x + y =15
Để B chia hết cho 11 thì (7 + 4 + x + 6) −(2 + y + 2) =11k hay 13+ x − y =11k ( 2) (k ∈ N )
(Một số chia hết cho 11 thì tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn là bội của 11) .
Để B chia hết cho 11 thì y − x = 2 hay y = x + 2
Có 2 trường hợp xảy ra
Trường hợp 1: x + y = 6 và y = x + 2
Thay y = x + 2 vào x + y = 6 ta được x + x + 2 = 6 2x = 4 x = 2
y = x + 2 = 2 + 2 = 4
Vậy x = 2 ; y = 4 ( Thỏa mãn )
Trường hợp 2: x + y =15 và y − x = 2
Thay y = x + 2 vào x + y =15 ta được x + x + 2 =15 2x =13 13 x = 2 13 17 y = x + 2 = + 2 = : 2 2 Vậy 13 x = ; 17 y = ( không thỏa mãn ) 2 2
Mà x, y phải là số nguyên dương nên x = 2 và y = 4 .
Vậy số cần tìm là 6224427 .
Bài 60: Chứng tỏ rằng 2x + 3y chia hết cho 17 thì 9x + 5y chia hết cho 17 và ngược lại.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016 Lời giải
Ta có: 2x + 3y chia hết cho 17
4(2x + 3y) chia hết cho 17
8x +12y chia hết cho 17
(8x +12y)+(9x +5y) = 8x +12y +9x +5y =17x +17y =17(x + y) chia hết cho 17
Mà 2x + 3y chia hết với 17 suy ra 9x + 5y chia hết cho 17
Vậy 9x + 5y chia hết cho 17 .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 18
Ngược lại . Ta có : 9x + 5y chia hết cho 17
4(9x + 5y) chia hết cho 17
6x + 20y chia hết cho 17
(36x + 20y)−(2x +3y) = 36x + 20y − 2x −3y = 34x +17y =17(2x + y) chia hết cho 17
Mà 9x + 5y chia hết với 17 suy ra 2x + 3y chia hết cho 17
Vậy 2x + 3y chia hết cho 17 .
Bài 61: Chứng minh: S = 5 15 16 + 2 chia hết cho 33.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010-2011 Lời giải Có 5 15 S =16 + 2 = ( )5 4 15 20 15 15 5 15 15 + = + = + = ( 5 + ) 15 2 2 2 2 2 .2 2 2 . 2 1 = 2 .33
Vậy S chia hết cho 33.
Bài 62: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , n ta có 2
n + n + 2 không chia hết cho 5.
Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 2
n + n + 2 = n(n + ) 1 + 2 Do n(n + )
1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 . n(n + )
1 có tận cùng là 0 ;2;6 . n(n + )
1 + 2 có tận cùng là 2 ; 4 ;8 không chia hết cho 5.
Bài 63: Chứng minh rằng 2 3 4 101
3 + 3 + 3 +......+ 3 chia hết cho 120.
Trích đề HSG huyện Hoằng Hóa năm 2017-2018 Lời giải Ta có: 2 3 4 101 3 + 3 + 3 +......+ 3 = ( 2 3 4 5 + + + ) + ( 6 7 8 9 + + + ) + + ( 98 99 100 101 3 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 + 3 + 3 + 3 ) = ( 2 3 4 + + + ) 5 + ( 2 3 4 + + + ) 97 + + ( 2 3 4 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 .... 3 . 3+ 3 + 3 + 3 ) = ( 5 97 120. 3+ 3 +.....+ 3 ) 120  (đpcm).
Bài 64: Tìm số tự nhiên ; x y biết 32 1
x y chia hết cho 45 .
Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2019-2020 Lời giải Vì 32 1
x y chia hết cho 45 = 5.9  y = 0 ⇒ 32 10
x 9 ⇔ (3+ 2 + x +1+ 0)9 ⇒ x = 3 ⇒   y = 5 ⇒ 32 15 x 9 ⇔ 
(3+ 2+ x +1+5)9 ⇒ x = 7
Vậy hai số cần tìm là 32310 ; 32715 .
Bài 65: Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27 .
Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2016 -2017 Lời giải
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 19
Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 . Thật vậy: 111...11 =     11...1×1000....01000....01     27...chu...so..1 9..c/so..1 8..c/so..0 8...c/s..0 Mà 
11...19 và 1000...01000...013 ⇒111...127      9..c/so..1 8..c/so..0 8..c/so..0 27..c/so..1
Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27 .
Bài 66: Chứng tỏ rằng; a) ( 100 990 3 +19 )2
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 .
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 -2016 Lời giải
a) Ta có : 3 là lẻ nên 100 3 là lẻ, 19 lẻ nên 990 19 lẻ nên ( 100 990 3 +19 )2 .
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a; (a + )
1 ; (a + 2) ; (a + 3) (a∈)
Ta có : a + (a + )
1 + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6
Vì 4a4, 6 không chia hết cho 4 nên 4a + 6 không chia hết cho 4 .
Bài 67: Cho a, b là các số nguyên. Chứng tỏ rằng nếu (2a + 3b)7 thì (8a + 5b)7 .
Trích đề HSG huyện Đông Hưng năm 2021-22 Lời giải
Với các số nguyên a, b ta có: (2a +3b)7 4(2a + 3b)7 (8a +12b)7;
(8a +5b + 7b)7
Mà 7b7 nên (8a + 5b)7 . Bài 68: Cho 1 2 3 30
B  2  2  2    2 Chứng minh rằng: B chia hếtt cho 21.
Trích đề HSG Trường THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 Lời giải Ta có: 1 2 3 30
B  2  2  2  2   1 2   3 4    29 30 2 2 2 2 2  2      3     29
2. 1 2 2 . 1 2    2 .1  2   3 29 3. 2  2  2  suy ra B 3    1 Lại có: 1 2 3 30
B  2  2  2  2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 20   1 2 3    4 5 6    28 29 30 2 2 2 2 2 2 2  2  2    2    4   2    28     2 2. 1 2 2 2 . 1 2 2 2 . 1 2  2    4 28 7 2  2  2  suy ra B 7    2 Mà 3 ;  7  1 Do đó từ   1 và   2 suy ra B    3.7 hay B 21
Bài 69: Chứng tỏ rằng a) ( 100 990 3 +19 )2
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 .
Trích đề HSG Huyện Lương Tài năm 2021-2022 Lời giải a) Ta có 3 là lẻ nên 100 3 là lẻ, 19 lẻ nên 990 19 lẻ nên ( 100 990 3 +19 )2
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a;(a + )
1 ; (a + 2) ; (a + 3)(a∈)
Ta có : a + (a + )
1 + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6
Vì 4a4 ; 6 không chia hết cho 4 nên 4a + 6 không chia hết cho 4 . Bài 70: Cho 2 3 4 19 20
D  5 5 5 5 ...5 5 . Tìm số dư khi chia D cho 31.
Trích đề HSG Hoài Nhơn năm 2015-2016 Lời giải 2 3 4 19 20
D  5 5 5 5 ...5 5 D    2    3   2   6   2    18    2 1 1 5 5 5 1 5 +5 5 1 5 5 . . 5 15 5  Do 2
15 5  31 nên D 1 chia hết cho 31
D chia 31 dư 30.
Bài 71: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho1 1.
Trích đề HSG Trường Hưng Mỹ năm 2018 - 2019 Lời giải Ta có: abcabc = .1001 abc = .11.91 abc 11 
Vậy abcabc bao giờ cũng chia hết cho1 1 (đpcm).
Bài 72: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 3 n − n6 .
Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018 Lời giải

Tài liệu liên quan: