Tài liệu sưu tầm. Bài tập và hướng dẫn chương 1. Phương trình vi phân

Bài tập chương 1 Chương 1
Phương trình vi phân cấp một
Tóm tắt nội dung Chương 1
1.Các khái niệm, định nghĩa, định lý
1. Định nghĩa: ODE cấp một, nghiệm (tổng quát, riêng, kỳ
dị), các dạng biểu diễn nghiệm tổng quát; Ý nghĩa hình
học của ODE cấp một;
2. Bài toán Cô si; Định lý Cô si – Pica về sự tồn tại và duy
nhất nghiệm; Sự kéo dài nghiệm;
3. Các bài toán hình học, vật lý, cơ học đưa đến ODE;
2. Các ODE giải được bằng cầu phương: nhận dạng, cách giải
1. ODE biến số phân ly và phân ly được ;
2. ODE thuần nhất và ODE đưa được về dạng thuấn nhất ;
3. ODE thuần nhất suy rộng ;
4. ODE tuyến tính cấp một ; 5. ODE Becnuly (Bernoulli) ; 6. ODE Dacbu 7. ODE Ricati (Riccati) ;
8. ODE vi phân toàn phần; Thừa số tích phân
Chứng minh có chứa thuật toán cần được tóm tắt. Yêu cầu tóm tắt:
1. Tóm tắt và trình bày đầy đủ, ngắn gọn và chính xác các
1.2. định nghĩa, khái niệm, định lý quan trọng.
1.2. thuật giải các dạng ODE, logic của thuật toán chứng
minh các kết quả quan trọng. 1 Bài tập chương 1
2. Đề xuất các câu hỏi có tính tìm hiểu sâu hay phát hiện vấn đề. 2 Bài tập chương 1
§1. Các khái niệm mở đầu
1. Định nghĩa ODE cấp một Dạng tổng quát:
y = y(x) : F (x, y, y ') = 0 hay y ' = f (x, y) trong đó 3
(1) F : D  R = RxRxR , R = (−,+) → R . 1 (2) Hàm nghiệm: y = (
 x)  C (a, b), (a, b)  R a).(x, (  x), '  (x))  D x   (a,b) b ( F ). x, (  x), '  (x))  0 x   (a,b)
2.Bài toán Cô si 2 Cho (x , y )  U  R 0 0 . Hãy tìm:
(1). (a, b)  R, x  (a, b) 0 ,  →   (2). : (a, b) R : ( F x, (x),  (x)) = , 0 (  x ) = y 0 0 3. Ý nghĩa hình học ODE dạng 2
y' = f (x, y),  (x, y)  G  R
Đường cong tích phân trong G:
(x,y(x))G : y (x) = f(x,y(x), x   (a, b)  R
Trong hệ Đề các vuông góc Oxy, xét miền
G = (x, y)  R 2 : f (x, y) [ , c d]  R Trường hướng:  → → →   a(x , y ) |: a = | ,
1  = tg(a, Ox) = f ((x , y ),(x , y )  G 0 0 0 0 0 0    3 Bài tập chương 1 dy dy Từ = f (x, y) và y = y(x) : = f (x, y(x)) . dx dx
Nghiệm của ODE cấp một là đường cong trong G mà tiếp
tuyến với nó tại mỗi điểm có hướng trùng với hướng trường tại điểm đó.
4. Các bài toán hình học, vật lý, cơ học đưa đến ODE;
4.1. Lập ODE từ họ đường cong cho trước
Từ (x, y, C) = 0 , coi y = y(x) ,vi phân đẳng thức trên theo x , khử C.
4.2. Lập ODE từ các bài toán hình học, vật lý
Bài toán hình học: Vẽ hình; y = y(x) là đường cong phải
tìm; Biểu diễn các đại lượng trong bài toán qua x, y, y .
Xác lập mối liên hệ để có ODE và giải nó, nhận được nghiệm cần tìm.
Bài toán vật lý: Chọn đại lượng làm biến độc lập, hàm phải
tìm; Tìm đạo hàm theo định nghĩa giới hạn để xác lập ODE.
Giải nó để tìm nghiệm bài toán.
§2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cô si
1. Định lí Cô si-Pica (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Xét ODE: 2 y' = f (x, y), (  x, y)  G  R Nếu hàm f thỏa mãn: 2 2 (1) f  C(G  R ) G  R 4 Bài tập chương 1 (2)
f :  L = const  0 : (
 x, y),(x, y)G  f (x, y) − f ( ,
x y )  L y − y thì: (1). Với điểm trong (  x , y )  G  !
 y = y(x) :y = f (x, y(x)); y(x ) = y 0 0 0 0 (2).
(a, b) : Q = (x, y) : x − x  a, y − y   0 0  b G;    b   M : f (x, y)  M, (  x, y)  ; Q h = min a  , ;     M    y (x =  − + n
): lim y (x) y(x) (htđ), x(x h,x h) n 0 o n→ Chứng minh:
(a). Xây dựng dãy xấp xỉ Picar:
• Lập dãy xấp xỉ Picar: y (x) = y ; 0 0 x y (x) = y + f ( ,  y ( d )) ,  x  − + =  k 0 k 1 − x h,x h 0 0 ,k ,1 .2... x0
Dùng qui nạp, tính liên tục nên bị chặn của hàm vế phải để chứng minh: x  x − h, x + h    = 0 0  (x,y (x)) , Q k , 1 , 0 ..., k hay: x b y (x) − y  f ( ,  y ( ))  d M  = b  n 0 n 1 − M x0
(b). Chứng minh dãy Picar hội tụ đều đến hàm y(x)
(b1).Dùng qui nạp, điều kiện Lipsit để chứng minh, khi x − x  h 0 , thì 5 Bài tập chương 1 n 1 − n 1 ML − n ML n y (x) − y (x)  x − x  h n n 1 − 0 ! n ! n  y (x)  C1 − + =   = n (x h,x h 0 0 ); y (x ) y ;(x,y (x)) , Q n , 1 , 0 .. 2 n 0 0 n x   x − h, x + h  y(x) : y (x y(x 0 0  (b2). , ) n  ) và y (  x) = f (x, y(x)) Chuỗi hàm y (x) = y (x) + − + + − +  n 0 (y (x) y (x) 1 0 ) ... (y (x) y (x) n n 1 − ) ... S (x) n : ML −
S (x)  y (x) + y (x) − y (x) + ... + y (x) − y (x) + .  −  h n 0 ( 1 0 ) ( n n 1 ) n 1 n = ! n n 1
Chuỗi dương vế phải hội tụ (theo tiêu chuẩn Đalămbe) vì: u + MLn h n 1 + ! n Nh lim n 1 = lim = lim = 0  1 − n→ u n→ (n + )! 1 L . M n 1h n n→ n + 1 n Nên
y = y(x), x [x − h, x + h] : S (x) = y (x) 0 0 n n
 y(x) (tiêu chuẩn Vâyơstrass) x x f  ( C G)  lim y (x) = y + f ( ,  lim y ( d ))  = y + f ( ,  y( d ))  = y(x) →  − →  n 0 n 1 0 n n x x 0 0 y (x y(x n ) ) x  x − h, x + h   − + 0 0  y(x) C (x h,x h 0 0 ) 1 f  C(G)  y(x)  C 
( x − h,x + h , y'(x) = f(x,y(x)), y(x ) = y 0 0 ) 0 0
(c). Nghiệm y(x) là duy nhất 6 Bài tập chương 1 y'(x)  f (x, y), x
 x − h', x + h' , y(x ) = y  0 0  0 0 x y(x) = y + f ( , y( d )) 0     x0
Đặt  = minh, h '. Trên x − , x +  0 0  chứng minh được MLn y(x) − y (x) n 1   + , n = , 1 , 0 ,... 2 n (n + )! 1 n L Ln Chuỗi M  n+  1 hội tụ nên S = n+1 → 0khin →  (n )! 1 n (n + )! 1 n=0 +   lim y (x) = y(x), x  x , x n  −  +  0 0  n→
Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra y(x) = y(x) (đpcm) Chú ý:
Nếu f '  M, (x, y)  G  −  − y f (x, y) f (x, y ) M y y
2. Sự kéo dài nghiệm (đọc thêm, sinh viên trình bày) Chứng minh: Giả sử !
 y(x) : y (x) = f (x, y(x)), y(x ) = y , x  − + 0 0 x h,x h 0 0 ; 1 1 1
Lập x = x + h, y = y(x ) = y(x + h) 0 0 0 0 0 . Nếu (x1 , y1 )  U  G  Q  = −  −   . 0 0 1 (x,y): x x1 a , y y1 b 0 1 0 1 : Q G 1 Theo định lý Cô si: 1 1 !
 y = y(x) : y'(x) = f (x, y(x)), y (x ) = y , x   x − h , x + h 1 0 0  1 1 0 1 0 1  7 Bài tập chương 1 1 1  y (x)  y(x), x
 [x − h, x + h] [x − h , x + h ] 1 0 0 0 1 0 1 . Do (x1 , x1 + h]  − + nên y (x) 0 0 x h,x h 0 0  1 là nghiệm kéo dài của nghiệm y(x) .
Tương tự, khi xét x 2 = x + h , y2 = y(x 2 ) = y(x + h ) 0 1 1 0 0 1 1 . Nếu (x 2 , y2 ) 0 0
là điểm trong của miền G thì ta có thể kéo dài
tiếp nghiệm y(x) trên khoảng (x 2 , x 2 + h ] 0 0 1 .
Sau hữu hạn bước, quá trình kéo dài nghiệm (về bên phải) sẽ dừng. (?)
Sự kéo dài nghiệm về bên trái được thực hiện tương tự. (đpcm).
Do vậy nghiệm xác định trên toàn miền G.
§3. Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một 1. Định nghĩa: y' = f (x, y), f  C(G R 2  ) 2. Nghiệm tổng quát Hàm y = (
 x,C) là nghiệm tổng quát của ODE trong miền G nếu: (1). (  x , y )  G, y = (  x ,C)  C = (x , y ) 0 0 0 0 0 0 (2). y = (
 x,C) thỏa mãn ODE khi hằng số tích phân được tính theo (1). Hàm y = (
 x,C) là họ đường cong tích phân.
Các dạng nghiệm tổng quát: 8 Bài tập chương 1 x = (  t, ) C  hay (x, y) = C y = (t, ) C
4. Nghiệm riêng: là nghiệm tổng quát với giá trị C xác định,
hay nghiệm của bài toán Cô si.
5. Nghiệm kỳ dị: là nghiệm mà tại mỗi điểm của nó tính duy
nhất nghiệm bị phá vỡ.
§4. Một số ODE giải được bằng cầu phương
1. ODE biến số phân ly và phân ly được
1.1.Phương trình biến số phân ly Dạng X(x)dx + Y(y)dy = ; 0 X, Y  C(a, b) Cách giải: X(x)dx + Y(y)dy = C  
Nghiệm bài toán Cô si: x y y(x ) = y X()  d + Y()  d = 0 0 0 ,  x y 0 0
1.2.Phương trình biến số phân ly được Dạng:
m (x)n (y)dx + m (x)n (y)dy = 0 1 1 2 2 , m , n , m , n  C(a, b) 1 1 2 2 Cách giải: 1. Nếu n (y)m (x)  0 1 2 , 9 Bài tập chương 1 m (x) n (y) 1 dx 2 + dy = C   m (x) n (y) 2 1 2. Nếu n (y)m (x) = 0 1 2
Nếu n (y) = 0  y = a ,do n (a) = , 0 d(a) = 0  y = a là 1 1 nghiệm. Nếu
m (x) = 0  x = b  , do m (b) = , 0 d(b) = 0  x = b 2 2 là nghiệm cần tìm.
2. ODE thuần nhất và đưa được về dạng ODE thuần nhất
Định nghĩa hàm thuần nhất
Hàm f (x, y) xác định trên G =  2
(x, y)  R  là hàm thuần nhất bậc k nếu t   R, (
 x, y)  G : (tx, ty)  G  f (tx, ty) tk = f (x, y) thì   k y f (x, y) = x f  , 1 , x   0  x 
2.1. ODE thuần nhất bậc k Dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
với M(x, y), N(x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc k (k = 0,1,2,…). Cách giải
1. Hiển nhiên x = 0, cũng là một nghiệm. 2. Xét x  0 10 Bài tập chương 1 k y k y Thay M(x, y) = x M , 1 ( ), N(x, y) = x N , 1 ( ) trong ODE. x x y Đặt z =  dy = zdx + xdz , x suy ra (M ,1 ( z) + zN , 1 ( z))dx + xN , 1 ( z)dz = 0 2.a. Giả sử (M ( , 1 z) + zN ( ,
1 z))  0 , đi đến ODE biến số phân ly dx N(1, z) + dz = 0  x M(1, z) + zN(1, z)  y    N(1, z)  x x = Ce  khi (  z) = − dz  M(1, z) + zN(1, z) 2.b. Nếu z = a : M , 1 ( a) + aN , 1 ( a) = 0 thì y = ax là
nghiệm riêng, hoặc nghiệm kỳ dị.
2.2. ODE đưa được về ODE thuần nhất
Dạng phương trình dy  a x + b y + c  = f  1 1 1  dx  a x + b y + c 2 2 2  Cách giải
Trường hợp 1: nếu c2 + c2 = 0 , là ODE thuần nhất. 1 2
Trường hợp 2: c2 + c2  0 1 2 ,
(a).Đưa về ODE thuần nhất nếu: a b x = u +  1 1  0  a b
và dùng phép thế biến y = v +  2 2  11 Bài tập chương 1
trong đó u,v là các biến mới và , chọn được duy nhất.
(b). Đưa về ODE biến số phân ly nếu: a b 1 1
= 0 và dùng phép thế biến a x + b y = z a b 1 1 2 2
3. Phương trình thuần nhất suy rộng Dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 k  R = ( ,
− ) : M(tx, tk y) = tmM(x, y), N(tx, tk y) = tm−k 1+N(x, y), t   R Cách giải 1 t = Khi x  0 , đặt  x  y 1 y k    m   M(tx, t y) = M , 1  = M(x, y) M(x, y) = x M , 1    k x  m x   k x      y 1 y k    m−k +1   N(tx, t y) = N , 1  = N(x, y) N(x, y) x N , 1 k m−k +1  =     x  x   k x   Thế biến y = x k z   xm M , 1 ( z) + kzN , 1 ( z)dx + m+ x 1N , 1 ( z)dz = 0  M , 1 ( z) + kzN , 1 ( z)dx + xN , 1 ( z)dz = 0
Đây là ODE biến số phân ly : Trường hợp 1: M , 1 ( z) + kzN , 1 ( z)  0 dx + N , 1 ( z) (z) N , 1 ( z) x  dz 0 x Ce khi (z) dz M , 1 ( z) + kzN , 1 ( z) =  = 
= − M ,1(z)+kzN ,1(z) 12 Bài tập chương 1
Trường hợp 2: M(1, z) + kzN(1, z) = 0  k z
 = a : M(1,a) + kaN(1,a) = 0  y = ax
là nghiệm nghiệm riêng, hay nghiệm kỳ dị.
4. Phương trình tuyến tính cấp một Dạng: dy + p(x)y = q(x) dx
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm: p(x), q(x)  (
C a, b), G = a  a  x  b  ,
b −   y   , (x , y )  G  1 1  0 0  !
 y = y(x) : y (x) + p(x)y(x) = q(x), y(x ) = y 0 0 Cách giải:
S1. Tìm nghiệm tổng quát của ODE thuần nhất tương ứng dy + p(x)y = 0 dx
Trường hợp 1: y = 0, cùng là nghiệm (thay trực tiếp)
Trường hợp 2: xét. y  0
 dy = −p(x)dx  y = Ce ( xp  − p(x)dx) y
S2.Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số y = ( C x) exp(−  p(x)dx) Chọn và tìm C = C(x) để y(x) là nghiệm.  ( C x) = q(x) exp  ( p(x)dx  ) Thay vào ODE, dx + C
 y = exp(− p(x)dx)C + q(x)exp(p(x)dx)dx
Nghiệm bài toán Cô si 13 Bài tập chương 1  x  x       y(x) = exp − p()  d    y + q() exp p s ( )ds d    0   x    x x   0  0  0   5. Phương trình Becnuly Dạng
y + p(x)y = q(x)y ; p(x), q(x)  C(a, b)
(Vế trái tuyến tính, hệ số là hàm, với hàm phải tìm và đạo
hàm của nó; Vế phải là hàm lũy thừa bậc , hệ số hàm) Cách giải:
Trường hợp 1. Nếu  = 0,  ODE tuyến tính không thuần nhất.
Trường hợp 2. Nếu  = 1,  ODE tuyến tính thuần nhất.
Trường hợp 3. Xét   0 và   1 5.1.Giả sử y  0 y y
 − + p(x)y1− = q(x) Đặt − z = 1 y  z + 1 ( − )p(x)z = 1 ( − )q(x) − z = (  x,C)  y1 = (  x,C) 5.2. Giả sử y = 0
Nếu  > 0,  > 1 thì y  0 cũng là nghiệm cần tìm.
Nếu 0 <  < 1, y  0 là nghiệm kỳ dị.
6. Phương trình Dacbu (Darboux) Dạng:
M(x, y)dx + N(x, y)dy + P(x, y)(xdy − ydx) = 0 14 Bài tập chương 1
M, N là các hàm thuần nhất bậc  , P là hàm thuần nhất bậc .  M(x, y) N(x, y)   dx = 0     − P(x, y)y P(x, y)x   dy Cách giải:
Trường hợp 1. Nếu  =  −1  ODE tuyến tính thuần nhất
Trường hợp 2. Nếu    −1  ODE Becnuly như sau: M(tx, ) ty =  t M(x, y); N(tx, ) ty =  t N(x, y); P(tx, ) ty =  t P(x, y);  1   y    y    y 
 Khi t =  M(x, y) = x M , 1 ; N(x, y) = x N , 1 ; P(x, y) = x P , 1  x  x   x   x  y Đặt biến z =  dy = zdx + ; xdz và x   2 y
xdy − ydx = x d  = x 2dz   x  ODE tương đương
M( ,1z)+ N( ,1z)zdx + N ,1 ( z)x + P( , 1 z)x+2− dz = 0 (a) nếu M , 1 ( z) + kzN , 1 ( z)  0  ODE Becnuly: dx N , 1 ( z) P( , 1 z) + − + 2 dz M( , 1 z) x x + zN( , 1 z) = − M( , 1 z) + zN( , 1 z) (b).nếu M , 1 ( z) + kzN , 1
( z) = 0 , tại z = a,  y = ax cũng là nghiệm.
7. Phương trình Ricati (Riccati) Dạng:
y = P(x)y2 + Q(x)y + R(x); P(x), Q(x), R(x)  C(a, b) 15 Bài tập chương 1
(vế phải là đa thức bậc hai đối với hàm phải tìm và các hệ số
của đa thức là các hàm của biến độc lập).
1. Dạng chính tắc: y = y2 + R (x) 1 1  1  P(x)  y =  u  ( Q x) + Phép thế:    P(x)  2  P(x)  đưa ODE 2  =  +
Ricati về dạng tương đương u u R (x) 1 trong đó 2 1  P (  x) 1  P (  x) P 2 (x) R (x) =  ( Q x) + − Q (  x) + −  R(x)P(x) 1     4  P(x)  2 P(x)  P2 (x) 
2. Một số tính chất của ODE Ricati
+ Nói chung không giải được bằng cầu phương, trừ các trường hợp riêng: Dạng 1: y = (  x)(ay2 + by + c)
; a,b,c là các hằng số, ODE phân ly biến số y2 y Dạng 2: y = a
+ b + c ; a,b,c là các hằng số, ODE x 2 x thuần nhất y2 1 y Dạng 3:  = + + y a
c ; a, c là các hằng số; x 2 x đổi biến y = xz 2 y Dạng 4:  = + + y ay b
c ; a, b, c là các hằng số; x đổi biến y = z / x
a) Nếu biết một nghiệm riêng của ODE Ricati, y (x) 1 , 16 Bài tập chương 1 thế y = y (x) + z 1 đưa về ODE Becnuli,
z − 2P(x)y (x) + Q(x) 2 z = P(x)z 1
b) Nếu biết hai nghiệm riêng khác nhau y1, y2, : S1. Đặt y = y (x) + z 1 đưa về ODE Becnuli 1 z = S2.Đặt
u đưa tiếp về ODE tuyến tính cấp 1: u + 2P(x)y (x) + Q(x) = − 1 u P(x) 1 S3. Đặt u =
+ v đưa tiếp về ODE tuyến y (x) − y (x) 2 1 tính thuần nhất.
c) Nếu biết ba nghiệm riêng khác nhau y1, y2, y3: Tích
phân tổng quát có dạng: y − y (x) y (x) − y (x) 2 : 3 2 = C y − y (x) y (x) − y (x) 1 3 1
3.ODE Ricati dạng đặc biệt Định nghĩa: dy + Ay2 = Bxm;A, , B m là các const dx Cách cầu phương:
Nếu m = 0, có dạng phân ly biến số dy 2 dy + Ay = B  = dx dx B − Ay2 z
Nếu m = -2 , đặt biến y =
có dạng biến số phân ly x 17 Bài tập chương 1 dz x = −Az2 + (B + ) 1 z dx Nếu m  ,
0 m  2 , ODE nói trên giải được bằng cầu m
phương  2m + là một số nguyên. 4
Chứng minh (của Luivin) u m+2 Đổi biến y = và x = t x  2 1 A B u t  + u  + u = t  ; trong đó :  = , = ,  = m + 2 m + 2 m + 2 + Nếu  = ,
0 hay  = 0 , có dạng ODE tuyến tính hay ODE Becnuli. 1
+ Nếu  = − , có dạng tích phân được: 2  2  t   t  − t +  =      u u     1 + Nếu   , 0 và   −
đưa về dạng 3, khi dùng phép thế 2 t 1 +  t  u = , a = hay u = a + , a = − a + v  v 
8. Phương trình vi phân toàn phần Dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = , 0 (x, y)  G 1 U
 C (G) : dU(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy, (  x, y)G   U(x, y) = C 18 Bài tập chương 1
Cách tìm tích phân tổng quát M  N  ODE là ODE toàn phần =    , (x, y) G y  x  Tìm x U  U(x, y) :
= M(x, y)  U(x, y) = M(x, y)dx + (  y)  x  , x0 Chọn
(x , y )  G : M 2 (x , y ) + N 2 (x , y )  0 0 0 0 0 0 0 Tìm x U  M  (  y) : = N(x, y)  dx + (  y) = N(x, y)   y  y  ,: x0 x x M  N    (y) = N(x, y) − dx = N(x, y) − dx =   y  x  x x 0 0
= N(x, y) − N(x, y) + N(x , y)  (  y) 0 x y
 U(x, y) = M(x, y)dx + N(x , y) y d   0 x0 y0 x y
 U(x, y) = M(x, y)dx + N(x , y)dy = C   0 x y 0 0 Tương tự: x y
 U(x, y) = M(x, y )dx + N(x, y)dy   0 x0 y0 9. Thừa số tích phân
Định nghĩa: Xét ODE dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = , 0 (x, y)  G 19 Bài tập chương 1
Hàm (x, y) là thừa số tích phân của nó nếu U(x, y) : (x, y M ).
(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy = dU(x, y), (x, y)  G
b. Sự tồn tại thừa số tích phân
Định lý 1. Nếu ODE
U(x, y) = C : dU = M(x, y)dx + N(x, y) , dy (  x, y)  ; G    (x, y) U(x, y)  C2 (G) là thừa số tích phân. Chứng minh: U  − dy x  =  =  = Giả thiết U(x, y) C dU 0 dx U  . Mặt khác y  dy M(x, y) M(x, y)dx + N(x, y)dy = , 0 (  x, y)  G  = − dx N(x, y)  Chọn:  U U   y  U  U x  (x, y) = =  = (x, y)M(x, y) và = (x, y)N(x, y) M N x  y 
Định lý 2.
 (x, y), U (x, y) :  (x, y M
). (x, y)dx +  (x, y)N(x, y)dy = dU (x, y), (x, y)  G  0 0 0 0 0
(x, y) =  (x, y)(U (x, y)),  1  C (G)  0 0 U(x, y) : (x, y M
). (x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy = dU (x, y), (x, y)  G 0 20