BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - Tóm tắt BĐT & Chứng minh

BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung
|x|≥0 ; |x|≥ x ; |x|≥ -x
|a|-|b|≤ |a+b|≤ |a|+|b| a>0 |x|≥ a
x≥ a hoặc x≤ -a |x|≤ a -a≤ x≤ a Chứng minh các BĐT
+ |x|≥0 ∀x∈R + |x|≥ a
x≥ a hoặc x≤ -a (a>0) + |x|≥ x TH1 : x≥ 0 TH2 : x¿ 0 TH1 : x≥ 0 TH2 : x¿ 0 => |x|= x => |x|= -x => |x|= x (1)
=> |x|= -x ≥ 0 > x => |x|≥ a => |x|> x (2) => |x|> x (2) => x≥ a (1) => |x|≥ a
Từ (1) và (2) => |x|≥ x => -x≥ a (2) + |x|≥ -x
Từ (1) và (2) => |x|≥ a (a>0) TH1 : x¿ 0 TH2 : x ≤ 0 + |x|≤ a -a≤ x≤ a
=> |x|= x ≥ 0 > -x => |x|= -x (2) TH1 : x≥ 0 TH2 : x¿ 0 => |x| > -x (1) => |x|= x => |x|= -x
Từ (1) và (2) => |x|≥ -x => |x|≤ a => |x|≤ a => x≤ a (1) => -x≤ a => -a≤ x (2)
Từ (1) và (2) => |x|≤ a
+ |a|-|b|≤ |a+b|≤ |a|+|b| |a|-|b|≤ |a+b| (*) |a+b|≤ |a|+|b| Nếu a,b cùng dấu
Nếu a=0 ( vì a và b có vai trò như nhau nên chỉ xét trường => |a|-|b|< |a+b| hợp này ) Nếu a=0
=> |a + 0|=|0 + b |= 0 +|b|=|a|+|b| 0 -|b|≤ |0+b| -|b|≤ |b| (MĐĐ) Nếu a,b cùng dấu Nếu b=0 => |a+b|=|a|+|b| |a|- 0 ≤ |a+0| |a|≤|a| (MĐĐ)
Nếu a<0 và b>0 ( vì a và b có vai trò như nhau nên chỉ xét Nếu a,b trái dấu trường hợp này ) TH1 : a<0 ; b>0 TH2 : a>0 ; b<0 TH1 : |a|≥ |b| TH2 : |a|≤ |b| => |a|= -a và |b|= b => |a|= a và |b|= -b |a+b|=|a|-|b| |a+b|=|b|-|a| (*) |a|-|b|≤ |a+b| (*) |a|-|b|≤ |a+b| Vì |a| và |b| > 0 - a – b ≤ |a+b| a – (-b) ≤ |a+b|
=> |a|-|b| hoặc |b|-|a| < |a|+|b|
- (a+b)≤ |a+b| (MĐĐ) a + b ≤ |a+b| (MĐĐ)
=> |a+b|≤ |a|+|b| (2)
=> |a|-|b|≤ |a+b|(1)
Từ (1) và (2) => |a|-|b|≤ |a+b|≤ |a|+|b|