Biến cố đối là gì? Bài tập về biến cố đối cực hay có đáp án chi tiết

Biến cố đối là gì? Bài tập về biến cố đối cực hay có đáp án chi tiết 1. Biến cố là gì?
Trong lĩnh vực Toán xác suất, biến cố là một tập hợp các kết quả có thể xảy
ra trong một phép thử ngẫu nhiên. Ví dụ như nếu bạn rút một thẻ từ một bộ
bài Tú lơ khơ, các biến cố có thể xảy ra là rút được các lá số từ 2-10, hoặc
các lá chữ như A, K, Q, J.
Ví dụ đơn giản nhất về vấn đề này là tung đồng xu. Giả sử chúng ta tung
đồng xu một lần. Với một đồng xu trong vũ trụ của chúng ta, sẽ chỉ có 2 kết
quả: sấp và ngữa. Do đó, không gian mẫu, ký hiệu là sẽ là nơi chứa tất cả
những kết quả có thể xảy ra đó. Theo ví dụ này, không gian mẫu sẽ bao gồm:
Biến cố "sấp" là một trong tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử
này. Biến cố được các nhà toán học thể hiện bởi ký tự "A". Do đó, biến cố
"sấp" có thể được biểu diễn như sau: A = {sấp}
Ví dụ phức tạp hơn về vấn đề này là một bộ bài Tú lơ khơ tiêu chuẩn với 52
lá bài. Đánh số thứ tự các lá bài theo thứ tự A - 2 - 3 cho đến J - Q - K từ 1
đến 13 cho đến hết bộ bài. Lần này, xác định biến số là rút được một lá K, tức
13. Khi đó, biến số A sẽ là A = {13, 26, 39, 52}
Do đó, trong một lần rút bài bất kỳ với một bộ bài đủ 52 là, tỷ lệ rút được là K
bất kỳ sẽ được thể hiện bởi công thức P(A) =
2. Biến cố đối là gì?
Vậy hãy áp dụng ví dụ về bộ bài tú lơ khơ phía trên. Chúng ta đã xác định tỷ
lệ rút được một lá K sẽ là 1/13. Do đó, nếu chúng ta đặt một biến cố mới với
nội dung là biến cố "không rút được một con K". Biến cố này là ngược lại với
biến cố A được gọi là "biến cố đối", được ký hiệu là
Khi đó, tỷ lệ của của biến cố đối A được thể hiện bằng công thức:
Vì vậy, có thể hiểu đơn giản biến cố đối là trường hợp không xảy ra một biến
cố trong một không gian mẫu được cung cấp trước đó. Khái niệm này giúp
các nhà toán học thay vì tính một phương án vốn có tỷ lệ xảy ra rất thấp, mà
chỉ cần tính toán tỷ lệ xảy ra trường hợp thường xảy ra rồi tính ra tỷ lệ cần tìm đó.
3. Định lý của biến cố đối
Biến cố đối chỉ có một định lý duy nhất. Theo đó, gọi biến cố đối của biến cố
O bất kỳ trong không gian mẫu là
. Khi đó, chúng ta có phương trình sau:
Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì sẽ đối kháng với nhau. Tuy nhiên, điều đối
kháng với nhau chưa chắc đã đúng trong mọi trường hợp
Ví dụ trong một tập hợp người ở một địa điểm, biến cố A: Số người mặc
quần áo màu đỏ và biến cố B: Số người mặc quần áo màu vàng tuy có đối
kháng với nhau, nhưng không được coi là biến cố đối, trừ trường hợp tất cả
mọi người ở đó chỉ mặc 1 trong 2 màu.
4. Bài tập về biến cố đối
Ví dụ 1: Một cái túi chưa 100 quả bóng, đánh số từ 1 đến 100. Một quả bóng
được lấy ra khỏi túi một cách ngẫu nhiên Câu hỏi
a) Tỷ lệ số ở trên bóng chia hết cho 3
b) Tỷ lệ số ở trên bóng không chia hết cho 3 Bài làm
Trong trường hợp trên, không gian mẫu là 100
a) Số lượng quả bóng có số chia hết cho 3 là 100/3 = 33 có lẻ
Gọi biến cố rút 1 quả bóng ra có số chia hết cho 3 là A P(A) = 33/100
b) Tỷ lệ số ở trên bóng không chia hết cho 3 là biến cố đối của A, tức Ví dụ 2:
Một học sinh chưa chuẩn bị bài cũ buộc phải đoán 10 câu hỏi đúng - sai cho
bài kiểm tra bất ngờ. Hãy tìm tỷ lệ cho
a) Học sinh đó trả lời ít nhất 01 câu đúng
b) Học sinh đó trả lời cả 10 câu đúng
c) Học sinh đó không trả lời đúng câu nào Bài làm
Gọi biến cố cho các vấn đề a, b, c là A, B, C
Không gian mẫu là {đúng, sai} a)
Theo đó, biến cố A sẽ là {đúng}
Tỷ lệ HS đó đúng 1 câu là 1/2, trên 10 câu. Do đó, tỷ lệ học sinh đó làm đúng 1 câu trên 10 là
Suy ra, học sinh đó có tỷ lệ 99.9% đúng được 1 câu trong số 10 câu này
b) Việc học sinh đó trả lời cả 10 câu đúng là biến cố đối của A. Do đó suy ra
Học sinh đó chỉ có tỷ lệ 0,1% tỷ lệ thành công trong việc đoán bừa cả 10 câu đúng c)
Việc học sinh đó đoán một cách ngẫu nhiên cả 10 câu đúng thực chất cũng
tương tự với việc học sinh đó đoán một cách ngẫu nhiên sai cả 10, vì cả 2
đều chỉ có 1 đơn vị trong biến cố của mình. Do đó:
Tỷ lệ học sinh đoán trúng 10 câu đúng cũng tương tự với tỷ lệ học sinh đoán
sai cả 10 câu. Do đó có khả năng là học sinh đó biết tất cả đáp án và cố gắng
đánh lệch đi, hoặc chỉ đơn giản là học sinh đó rất không may mắn. Ví dụ 3:
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:
a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm.
b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn.
c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7.
d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm. Giải:
a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có một chấm. Khi đó: - Không gian mẫu gồm 6 trường hợp
=> Số phần tử của không gian mẫu n = 6;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố A có một trường hợp. P(A) = 1/6 .
b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn. Khi đó:
- Không gian mẫu gồm 6 trường hợp;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trường hợp {2, 4, 6}. -> P(A) = 3/6 .
c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7. Khi đó:
- Không gian mẫu gồm 6 trường hợp;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trường hợp (bằng số trường hợp
thuận lợi của không gian mẫu). P(A) = 6/6 = 1.
d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm. Khi đó:
- Không gian mẫu gồm 6 trường hợp;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (không có mặt 7 chấm). P(A) = 0/6 = 0
Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân.
Tính xác suất để trong 3 quân chọn ra đó:
a) Có đúng một quân bài màu đen
b) Có ít nhất một quân Át Giải:
Số phần tử không gian mẫu là số cách có thể chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài 52 lá.
-> Số phần tử không gian mẫu = = 22100
a) Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra đúng một quân màu đỏ
Để A xảy ra, phải có 2 bước
Bước 1: Lấy ra 2 quân đen trong số 26 lá bài màu đỏ của bộ bài Do đó có cách lấy
Bước 2: Lấy ra 1 quân đen trong số 26 quân bài màu đen của bộ bài. Có 26 cách lấy
-> Áp dụng công thức nhân xác suất, số trường hợp thuận lợi của biến cố A là 325 * 26 = 8450 Vậy xác suất
b) Gọi B là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có ít nhất một quân Át
Biến cố B được tạo từ tổng của 3 biến cố con khác
Biến cố B1: Có 1 quân Át và 2 quân khác. Tức số cách được 1 con Át trong 4
con Át là 1 trong 4, và số cách rút được 2 quân khác Át là 2 trong 48 (trừ đi 4 con Át)
Biến cố B2: Có 2 quân Át và 1 quân khác Át. Tức số cách rút được 2 con Át
trong 4 con Át và cách rút được 1 con khác Át trong 48 con
Biến cố B3: Rút được cả 3 quân đều là Át
Tổng số trường hợp thuận lợi của biến cố B là 4512 + 288 + 4 = 4804
Tức tỷ lệ rút 3 lá bài bất kỳ mà có ít nhất 01 con Át là 21,73%
Document Outline

• Biến cố đối là gì? Bài tập về biến cố đối cực hay
  • 1. Biến cố là gì?
  • 2. Biến cố đối là gì?
  • 3. Định lý của biến cố đối
  • 4. Bài tập về biến cố đối