Bộ đề giáo khoa GT2, full công thức đủ bộ cho ai cần - Nhập môn công nghệ thông tin | đại học Bách Khoa

BK
– ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
ĐỀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH 2 NHÓM NGÀNH 1 + 2
TẬP 1: GIỮA KỲ
THỰC HIỆN: TEAM GIẢI TÍCH 2
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................................. 1
PHẦN I: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ............................................................................................ 2
I. HÀM NHIỀU BIẾN ................................................................................................................. 2
1.1. GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN.............................................................................. 2
1.2. KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .............................................. 3
1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN............................................................ 4
1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ............................................................................................ 6
1.5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN .............................................................................................. 7
1.6. TÍNH GẦN ĐÚNG NHỜ VI PHÂN ................................................................................. 8
1.7. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ................................................................................ 8
1.8. KHAI TRIỂN TAYLOR ................................................................................................. 10
1.9. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ............................................................................... 10
II. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN .......................................................................... 11
III. TÍCH PHÂN BỘI & ỨNG DỤNG ...................................................................................... 11
3.1. TÍCH PHÂN KÉP ........................................................................................................... 12
3.2. TÍCH PHÂN BỘI BA ..................................................................................................... 14
3.3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI............................................................................. 15
IV. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ: ............................................................................ 16
4.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ ..................................................... 16
4.2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ .................................................... 17
PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN ................................................................................................ 19
I. HÀM NHIỀU BIẾN ............................................................................................................... 19
1.1. GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN............................................................................ 19
1.2. KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC: ...................................................................................... 23
1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN .......................................................... 25
1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN ............................................................................................ 27
1.5. TÍNH GẦN ĐÚNG NHỜ VI PHÂN ............................................................................... 29
1.6. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .............................................................................. 30
1.7. KHAI TRIỂN TAYLOR ................................................................................................. 35
1.8. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ............................................................................... 35
II. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN:......................................................................... 40
III. TÍCH PHÂN BỘI & ỨNG DỤNG ...................................................................................... 44
3.1. TÍCH PHÂN KÉP ........................................................................................................... 44
3.2. TÍCH PHÂN BỘI BA ..................................................................................................... 49
3.3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI............................................................................. 55
IV. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ ............................................................................. 59
4.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ ..................................................... 59
4.2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ .................................................... 64
LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang hình thức thi
trắc nghiệm, chính vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc
ôn tập. Trong tình hình đó, nhóm “BK – ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI” đã
biên soạn “BỘ ĐỀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH 2” để giúp các bạn thuận
tiện hơn trong việc ôn tập.
Do thời gian cấp bách nên việc biên soạn tài liệu không thể tránh được
những sai sót. Mọi ý kiến đóng góp của bạn đọc xin gửi về fanpage “BÁCH KHOA LEARNING”.
Nhóm tác giả: Team GIẢI TÍCH 2 nhóm BK – ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
(Admin: Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung
Dũng, Đỗ Ngọc Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu) TEAM GIẢI TÍCH 2 1
PHẦN I: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
I. HÀM NHIỀU BIẾN
1.1. GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Câu 1. Tính 𝒙𝟐𝒚 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐+𝒚𝟐
A.0 B.1 C.2 D. Không tồn tại giới hạn 𝒙𝒚 Câu 2. Tính 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐+𝒚𝟐
A.0 B.1 C.2 D. Không tồn tại giới hạn 𝒙𝒚 Câu 3. Tính 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) √𝒙𝟐+𝒚𝟐 A.0 B.+∞ C. −∞ D. −1 2 𝒙𝟐−𝒚𝟐 Câu 4. Tính 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐+𝒚𝟐
A.1 B. −1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 2 2 𝒙𝟑−𝒚𝟑 Câu 5. Tính 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐+𝒚𝟐
A.𝜋 B. 𝜋 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 4 2 𝒙𝟐𝒚−𝒙𝒚𝟐 Câu 6. Tính 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟑+𝒚𝟑
A.1 B. −1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 2 2
𝒚.(𝒆𝟑𝒙−𝟏)−𝟑 . 𝒙 (𝒆𝒚−𝟏) Câu 7. Tính 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐+𝒚𝟐
A.√2 B. −√2 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 2 2 TEAM GIẢI TÍCH 2 2 Câu 8. Tính 𝐥𝐢𝐦
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒙𝟐𝒚𝟐 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
A.1 B. 1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 𝑒 𝟏
Câu 9. Tính 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + 𝐱𝟐𝐲𝟐) 𝐱𝟐+𝐲𝟐 (𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)
A.1 B. 1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 𝑒 Câu 10.Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐+𝒚𝟐
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒆𝒙+𝒚
A.1 B. −1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 𝟏
Câu 11.Tính 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + 𝟑𝐱𝟐) 𝐱𝟐+𝐲𝟐 (𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)
A.1 B. 1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 𝑒
Câu 12.Tính 𝐥𝐢𝐦 𝐜𝐨𝐬 (𝐱𝟐+𝐲𝟐)−𝟏 (𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎) 𝐱𝟐+𝐲𝟐
A.1 B. 1 C.0 D. Không tồn tại giới hạn 𝑒
1.2. KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 𝟐 Câu 1: ) , nếu Cho hàm số ) 𝒙 ≠ 𝟎
𝒇(𝒙, 𝒚) = {𝒙 ⋅ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (𝒚𝒙 𝟎, nếu 𝒙 = 𝟎
Xét tính liên tục của 𝒇(𝒙, 𝒚) tại 𝑩(𝟎 ( , 𝟏).)
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại 𝐵(0,1) B. 𝑓(𝑥, 𝑦) không liên tục tại 𝐵(0,1)
𝟐𝒙𝟐𝒚−𝒚𝟐𝒙 , nếu 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 ≠ 𝟎
Câu 2. Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝒙𝟐+𝒚𝟐
. Tìm a để hàm số liên
𝒂 ,nếu 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎
tục tại (0; 0).
A.0 B.1 C.2 D. ∀𝑎 ∈ 𝑅 TEAM GIẢI TÍCH 2 3
𝐬𝐢𝐧 (𝒙𝒚+𝒚𝟐 ) , nếu (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)
Câu 3. Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝒙𝟐+𝒚𝟐 .
𝟎 , nếu (𝒙, 𝒚) = 𝟎
Xét tính liên tục của 𝒇(𝒙, 𝒚) tại 𝑩(𝟎 ( , 𝟎).)
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại 𝐵(0,1) B. 𝑓(𝑥, 𝑦) không liên tục tại 𝐵(0,1)
𝒙𝒚−𝒙𝟐 , nếu ( Câu 4. Cho hàm s 𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)
ố 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝟎, nếu (𝒙, 𝒚) = 𝟎
Khảo sát sự liên tục của hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) tại 𝑩(𝟎, 𝟎). )
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại 𝐵(0,1) B. 𝑓(𝑥, 𝑦) không liên tục tại 𝐵(0,1)
1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN
Câu 1. Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z = ln( x + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) A. z’x = 1 B. z’x = 𝑥 √𝑥2+𝑦2 √𝑥2+𝑦2 C. z’x = 2 D. z’x = 2𝑥 √𝑥2+𝑦2 √𝑥2+𝑦2
Câu 2. Đạo hàm riêng theo biến y của hàm z = ln( x + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) A. z’y = 𝑦 B. z’y = √𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2 C. z’y = 𝑦2 D. z’y = 2√𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2
Câu 3. Vi phân toàn phần của hàm z = ln( x + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) A. 𝑑𝑧 = 1 . 𝑑𝑥 + 𝑦 . 𝑑𝑦 √𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2 B. 𝑑𝑧 = 𝑥 . 𝑑𝑥 + √𝑥2+𝑦2 . 𝑑𝑦 √𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2 C. 𝑑𝑧 = 2 . 𝑑𝑥 + 𝑦2 . 𝑑𝑦 √𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2 D. 𝑑𝑧 = 2𝑥 . 𝑑𝑥 + 2√𝑥2+𝑦2 . 𝑑𝑦 √𝑥2+𝑦2
(𝑥+√𝑥2+𝑦2)√𝑥2+𝑦2
Câu 4. Đạo hàm riêng theo biến y của hàm u = 𝒙𝒚𝟐𝒛
A. u’y = 𝑥𝑦2𝑧. 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑧
B. u’y = 𝑥𝑦2𝑧. 𝑙𝑛𝑥𝑦2𝑧 TEAM GIẢI TÍCH 2 4
C. u’y = 𝑥𝑦2𝑧. 𝑙𝑛𝑥2𝑦𝑧
D. u’y = 𝑥𝑦𝑧. 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑧
Câu 5. Vi phân toàn phần của hàm u = 𝟐 −𝟏
𝒆(𝒙𝟐+𝟐𝒚𝟐+𝒛 ) tại (𝟏; -1; 1) A. 2 𝑑𝑢(1; -1; 1) = .dx + −4 .dy - 2 .dz 𝑒−4.16 𝑒−4.16 𝑒−4.16 B. −2 𝑑𝑢(1; -1; 1) = .dx + 4 .dy - 2 .dz 𝑒−4.16 𝑒−4.16 𝑒−4.16 C. 2 𝑑𝑢(1; -1; 1) = .dx + 4 .dy + 2 .dz 𝑒−4.16 𝑒−4.16 𝑒−4.16 D. 2 𝑑𝑢(1; -1; 1) = .dx + −4 .dy + 2 .dz 𝑒−4.16 𝑒−4.16 𝑒−4.16 𝒙
Câu 6. Tính 𝒛′ , ′ của hàm số 𝒚 𝒙 𝒛𝒚
𝒛 = ∫ 𝒕𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕𝒅𝒕 𝒙𝒚 𝑧′ 2 𝑥 = −1
⋅ (𝑥 ) sin 2𝑥 − 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦) ⋅ sin 2𝑥𝑦 A. { 𝑦 𝑦 𝑦 2
𝑧′𝑦 = −𝑥 ⋅ (𝑥 ) sin 2𝑥 − 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin 2𝑥𝑦 𝑦2 𝑦 𝑦 𝑧′ = 1 ) sin 2𝑥 + 2 𝑥 ⋅ (𝑥
𝑦 ⋅ (𝑥𝑦) ⋅ sin 2𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 B. { 2 𝑧′ ) sin 2𝑥 𝑦 = −𝑥 ⋅ (𝑥
+ 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin 2𝑥𝑦 𝑦2 𝑦 𝑦 𝑧′ 2 𝑥 = 1 ⋅ (𝑥 ) sin 2𝑥
+ 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦) ⋅ sin 2𝑥𝑦 C. { 𝑦 𝑦 𝑦 2 𝑧′ ) sin 2𝑥 2 𝑦 = 𝑥 ⋅ (𝑥
− 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦) ⋅ sin 2𝑥𝑦 𝑦2 𝑦 𝑦
𝑧′𝑥 = 1 ⋅ (𝑥 ) sin 2𝑥 − 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin 2𝑥𝑦 D. { 𝑦 𝑦 𝑦 2 𝑧′
⋅ (𝑥 ) sin 2𝑥 − 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin 2𝑥𝑦 𝑦 = −𝑥 𝑦2 𝑦 𝑦
Câu 7. Vi phân toàn phần của hàm u = 𝒛 √𝒙𝟐+𝒚𝟐 −3 −3 −1
A. 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)
2 𝑑𝑥 +z y (𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑦 + (𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑧 −3 −3 −1
B. 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥(𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑥 + z y (𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑧 −3 −3 −1
C. 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥(𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑥 − z y (𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑦 + (𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑧 −3 −3 −1
D. 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥(𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑥 + z y (𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑦 −(𝑥2 + 𝑦2) 2 𝑑𝑧
𝒚. 𝒂𝒓𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝟐, 𝒏ế𝒖 𝒚 ≠ 𝟎
Câu 8. Cho hàm số f(x,y) = { 𝒚 𝟎, 𝒏ế𝒖 𝒚 = 𝟎 TEAM GIẢI TÍCH 2 5
Tính 𝒇′ (𝟏, 𝟎) 𝒚 A. π B. π C. π D. π 2 3 4 6
Câu 9. Tính đạo hàm riêng z’(x, y) của hàm số: 𝒚 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒌𝒉𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎) 𝒛 = { 𝒙
𝟎 𝒌𝒉𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎) 𝑧′ = 0 𝑧′ = +∞ A. { 𝑥 C. { 𝑥 𝑧′ = 0 𝑦 𝑧′ = +∞ 𝑦 𝑧′ = 0 𝑧′ = +∞ B. { 𝑥 D. { 𝑥 𝑧′ = +∞ 𝑦 𝑧′ = 0 𝑦
1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
Câu 1. Xác định đạo hàm của hàm hợp z = 𝒖𝒗 với u = cosx ; v = sinx
A. z’ = 𝑣. 𝑢𝑣−1.sinx + 𝑢𝑣. 𝑙𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑥
B. z’ = 𝑣. 𝑢𝑣−1.(-sinx) -
𝑢𝑣. 𝑙𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑥
C. z’ = 𝑣. 𝑢𝑣−1.(-sinx) + 𝑢𝑣. 𝑙𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑥
D. z’ = 𝑣. 𝑢𝑣−1.sinx - 𝑢𝑣. 𝑙𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑥
Câu 2. Xác định đạo hàm của hàm hợp z = 𝒖𝟐 – 2𝒗𝟐 với u = cosx ; v = sinx A. z’ = -3.sin2x B. z’ = -3.cos2x C. z’ = 3.sin2x D. z’ = 3.cos2x
Câu 3. Xác định đạo hàm của hàm hợp z = ln( 𝒙
𝒖𝟐 + 𝒗𝟐) với u = x.y và v = 𝒚 𝑧′ = 2𝑢 𝑥 . 𝑥 + 2𝑣 . 1 A. { 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦 𝑧′ = 2𝑢 𝑦 . 𝑦 + 2𝑣 . (−𝑥 ) 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦2
𝑧′𝑥 = 2𝑢 . 𝑦 + 2𝑣 . 1 B. { 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦 𝑧′ = 2𝑢 𝑦 . 𝑥 + 2𝑣 . (−𝑥 ) 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦2 TEAM GIẢI TÍCH 2 6 𝑧′ . . 𝑥 𝑥 = 2𝑢 𝑦 + 2𝑣 C. { 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦 𝑧′ = 2𝑢 𝑦 . 𝑥 + 2𝑣 . ( 𝑥 ) 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦2 𝑧′ . . 1 𝑥 = 2𝑢 𝑦 − 2𝑣 D. { 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦 𝑧′ = 2𝑢 𝑦 . 𝑥 − 2𝑣 . (−𝑥 ) 𝑢2+𝑣2 𝑢2+𝑣2 𝑦2
1.5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Câu 1. Xác định đạo hàm của hàm ẩn sau 𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 = 𝟐 A. y’x = − x2−2𝑥𝑦 2y2−𝑥2 B. y’x = x2+2𝑥𝑦 2y2−𝑥2 C. y’x = x2−2𝑥𝑦 2y2−𝑥2 D. y’x = − x2+2𝑥𝑦 2y2−𝑥2
Câu 2. Cho 𝒙𝟐. 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 + 𝟐𝒛𝟑 = 𝟏. Tính z’x và z’y
2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑥2 𝑧′ 1+𝑥2+2𝑦2 A. { 𝑥 = 6𝑧2 𝑧′𝑦 = 2xy+2𝑦3 3𝑧2
2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥− 𝑥2 𝑧′ 1+𝑥2−2𝑦2 B. { 𝑥 = 6𝑧2 2xy+2𝑦3 𝑧′𝑦 = − 3𝑧2
2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑥2 𝑧′ 1+𝑥2+2𝑦2 C. { 𝑥 = − 6𝑧2 2xy+2𝑦3 𝑧′𝑦 = − 3𝑧2
2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥− 𝑥2 𝑧′ 1+𝑥2−2𝑦2 D. { 𝑥 = − 6𝑧2 𝑧′𝑦 = 2xy+2𝑦3 3𝑧2
Câu 3. Cho hàm số 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎. Xác định hàm ẩn y = y(x).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm ẩn này tại điểm A(-1; -2) TEAM GIẢI TÍCH 2 7