65 trang 9 lượt tải

Bộ đề thi cuối kì môn giải tích 1 | Đại học Bách khoa Hà Nội

17

Bộ đề thi cuối kì môn giải tích 1 | Đại học Bách khoa Hà Nội. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Môn: Giải tích 1 131 tài liệu

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Minh Trần

1 tháng trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/65
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
1
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 53
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 65
(TaiLieuHust, 2022)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
3
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
1
0
ln(1 )
lim
x
x
x
x
→
+



.
b)
3
62
( , ) (0,0)
lim
23
xy
xy
xy
→
+
.
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân
.
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
2
cos 1 , 0
2
x
xx −
.
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường
2
3y x x=−
và
0y =
quanh trục
Oy
một vòng.
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
2
2
2 3 1 dx x x
−

− + −


.
Câu 6 (1 điểm). Hàm số
3
()f x x x=+
có hàm ngược là
()y g x=
. Tính
(2)g
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
22
22
3z z z
P
x y y y
= + +
với
( )
3
22
1
z
xy
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ
3
100 cm / s
.
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng
50 cm
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
2
0
cot dxx
.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
4
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1:
ln(1 )
1
ln
00
ln(1 )
lim lim .
x
x
x
x
xx
x
Le
x
+



→→
+

==


Xét giới hạn
00
ln(1 )
ln(1 )
ln 1 1
ln
lim lim
xx
x
x
x
x
K
xx
→→

+

+

+−




==
Vì
0
ln(1 )
lim 1 1 1 0
x
x
x
→
+

− = − =


, nên
0
ln(1 ) ln(1
~
)
ln 1 1 1
x
xx
xx
→

++
+ − −


.
2
00
ln(1 )
1
ln(1 )
lim ( ) lim
xx
x
xx
x
K VCB
xx
→→
+
−
+−
= =
=
( )
22
2
0
1
2
lim
x
x o x
x
→
−
+
(Khai triển Maclaurin)
2
2
0
1
1
2
lim
2
x
x
x
→
−
−
==
Giới hạn đã cho bằng
1/2K
L e e
−
==
.
b)
3
62
( , ) , ( , ) 0.
23
xy
f x y x y
xy
=
+
+) Chọn
( )
3
1
,M a a
. Khi
0a →
thì
( )
3
1
, (0,0)M a a →
.
Ta có:
( )
( )
33
3
1
66
1
,
2 3 5
aa
f M f a a
aa
= = =
+
( )
1
1
5
fM→
khi
1
(0,0)M →
(1)
+) Chọn
( )
3
2
,M b b−
. Khi
0b →
thì
( )
3
2
, (0,0)M b b−→
.
Ta có:
( )
( )
33
3
2
66
( ) 1
,
2( ) 3 5
bb
f M f b b
bb
−−
= − = =
−+
( )
2
1
5
fM
−
→
khi
2
(0,0)M →
(2)
Từ (1) và (2)
( , )f x y
không cùng tiến tới một giá trị khi
( , ) (0,0)xy→
3
62
( , ) (0,0)
lim
23
xy
xy
xy
→
+
không tồn tại.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
5
Câu 2. Xét hàm số
22
( , ) 3f x y x y= + +
. Ta có:
2 2 2 2
,
33
( , ) ( , )
xy
xy
x y x y
f x y f x y

==
+ + + +
. Chọn
0
0
2, 0,02
3, 0,04
xx
yy
= =
= =
.
Áp dụng công thức tính gần đúng:
( ) ( ) ( ) ( )
22
0 0 0 0 0 0 0 0
2,02 3,04 3 , , , ,
13
(2,3) (2,3) 0,02 (2,3) 0,04 4 0,02 0,04 4,04
24
xy
xy
A f x x y y f x y f x y x f x y y
f f f


= + + = + + + +
= + + = + + =
Vậy
4,04A
.
Câu 3. Chứng minh:
22
cos 1 , 0 cos 1 0, 0
22
xx
x x x x − + −
.
2
Xét ( ) cos 1 trên [0; ).
2
x
f x x= + − +
Ta có:
( ) sin ,f x x x
= − +
( ) cos 1 0, 0f x x x

= − +
()fx
đồng biến trên
[0; ) ( ) (0) 0, 0f x f x

+ =
()fx
đồng biến trên
[0; )+
( ) (0) 0, 0f x f x =
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các
đường
2
3 , 0, 0, 3 y x x y x x= − = = =
quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là:
( ) ( )
3
22
0
2 3 d 2 3 dV x x x x x x x x

= − = −

(vì
2
3 0, [0,3]x x x−
)
=
( )
3
4
3
2 3 3
0
0
2 3 d 2
4
x
x x x x


− = −


27
2
=
(đvtt)
Câu 5. Điều kiện:
2 2 2
3
2 3 0 1 0 1 1
2
x x x x x− − − = −
, do đó:
( )
(
)
1
1
22
2
2
32
2
2 3 1 d 2 3 1 d
11
2 3 d d (2 3) ln 1
3
1
I x x x x x x
x x x x x x C
x
−
−


= − + − = − + −




= − + = − + + − +
−


Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
6
Câu 6. Ta có:
2
( ) 3 1f x x
=+
. Với
3
0 0 0 0
2 2 1y x x x= + = =
.
Vì
()y g x=
là hàm ngược của
3
()f x x x=+
nên:
( )
( )
0
0
1 1 1
(1) 4
gy
f x f

= = =
.
Vậy
1
(2)
4
g
=
.
Câu 7. Điều kiện xác định
P
là
0y
.
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm
( , )z x y
nên:
( )
2 2 2
2
7
22
12 3
.
z x y
x
xy
−
=
+
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
22
75
2 2 2 2
3 12 3 12 3 3 3z z z x y y x y
P
x y y y y
x y x y
− + − −
= + + = +
++
( ) ( )
55
2 2 2 2
99
0, 0.y
x y x y
= − =
++
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm
( s)t
là
( )
3
( ) cmVt
.
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là
( )
33
100 cm / s ( ) 100 cm / sVt
=
.
Tại thời điểm
0
t
nào đó,
( )
0
50( cm)Rt =
.
Ta có:
3
4
( ) ( ( ))
3
V t R t
=
. Lấy đạo hàm hai vế theo
t
, ta có:
2
( ) 4 ( ( )) ( )V t R t R t

=
Tại
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0 0 0 0 0
, ta có: 4 100 4 (50)t t t R t R t R tV



= = =

( )
0
2
100 1
(cm /s).
4 (50) 100
Rt

= =
Khi bán kính quà bóng bằng
50 cm
, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là
1
(cm / s)
100
.
Câu 9.
/2
0
cot dI x x
=
.
Xét
/2 /2 /2
0 0 0
sin cos sin cos
( tan cot )d d d
cos sin sin cos
x x x x
L x x x x x
x x x x

+
= + = + =



.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
7
Đặt
sin cos d (cos sin )dt x x t x x x= − = +
.
2
22
1
(sin cos ) 1 2sin cos sin cos .
2
t
t x x x x x x
−
= − = − =
Đổi cận: - Khi
0x
+
→
thì
1t →−
;
Khi thì 1
2
xt
→→
1 0 1
2 2 2
1 1 0
d 2 2
d d
1 1 1
2
t
L t t
t t t
−−
= = +
− − −
0
22
0
1( 1)
22
lim d lim d
11
B
A
AB
tt
tt
−+
→→−
=+
−−

0
( 1) 1
0
lim ( 2 arcsin ) lim( 2 arcsin )
B
AB
A
tt
+−
→ − →
=+
( 1) 1
lim ( 2 arcsin ) lim( 2 arcsin ) 2 2 2
22
AB
AB

+−
→ − →
−
= − + = − + =
Giờ xét
/2
0
cot dxx
, với
( ) cot 0f x x=
liên tục trên
0, .
2


00
1/2
cos 1 1 1
cot ~ ~ ,
sin sin
xx
x
x
x
x x x
++
→→
==
mà
/2
1/2
0
1
d x
x
hội tụ (vì
/2
0
1
(0,1) cot d
2
xx
=
hội tụ.
Đổi biến
22
t x x t

= − = −
, ta có:
/2 0 /2 /2
0 /2 0 0
cot d cot ( d ) tan d tan d .
2
x x t t t t x x

= − − = =


/2 /2
00
11
cot d ( tan cot )d .
22
2
x x x x x L

= + = =

Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
1
0
1
lim
x
x
x
e
x
→

−


.
b)
4
28
( , ) (0,0)
lim
43
xy
xy
xy
→
+
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân
22
4,03 2,02 5A = + +
.
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
2
1 , 0
2
x
x
e x x + +
.
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường
2
4y x x=−
và
0y =
quanh trục
Oy
một vòng.
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
2
2
4 3 1 dx x x
−

− − + −


.
Câu 6 (1 điểm). Hàm số
5
()f x x x=+
có hàm ngược là
()y g x=
. Tính
(2)g
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
22
22
5z z z
P
x y y y
= + +
với
( )
5
22
1
z
xy
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ
3
200 cm / s
.
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng
60 cm
.
Câu 9 (1 diểm). Tính
2
0
tan dxx
.
Cách giải tham khảo đề số 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
9
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
lim
sin
x
x
x
→
−
.
b)
2
22
( , ) (1,0)
2 ln
lim
( 1)
xy
yx
xy
→
−+
.
Câu 2 (1 điểm). Phương trình
3 2 5
3 5 0x x y y+ + − =
xác định hàm ẩn
()y y x=
. Tính
(1)y
.
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số
2
2
arctan , 1
1
x
yx
x

=

−

.
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của
ln(1 2 )yx=+
đến
3
x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
1
x
x
y
e
=
+
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
tan(2 )dxx
.
b)
( )
2
0
( 3) 1
dx
x x x
+
+ − +
.
Câu 7 (1 điểm). Quay đường
3 2 2
3
4xy+=
quanh trục
Ox
một vòng. Tính diện tích mặt tròn
xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
3 3 2
()z x y x y= + − +
.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
10
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
11
lim lim 1
sin cos cos
xx
x
xx

→→
−
= = = −
. (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital)
Vậy
lim 1
sin
x
x
x
→
−
=−
.
b) Đặt
2
22
2 ln
( , )
( 1)
yx
f x y
xy
=
−+
+) Nếu
1x =
và
0y →
thì
2
22
2 ln1
( , ) 0 0
0
y
f x y
y
= = →
+
khi
0y →
. (1)
+) Nếu
1x
và
( , ) (1,0)xy→
thì:
22
2 2 2 2
( , ) (1,0) ( , ) (1,0) ( , ) (1,0)
1 1 1
2 ln ln 2 ( 1)
lim lim lim
( 1) 1 ( 1)
x y x y x y
x x x
y x x y x
x y x x y
→ → →
−

=

− + − − +

Ta có:
VCB
( , ) (1,0) 1 1
ln ln 1
lim lim lim 1
1 1 1
x y x x
x x x
x x x
→ → →
−
===
− − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 ( 1) 2| ( 1) | ( 1)
0 | | | | | |
( 1) ( 1) ( 1)
y x x y x y
y y y
x y x y x y
− − − +
= =
− + − + − +
, mà
( , ) (1,0)
lim | | 0
xy
y
→
=
2
22
( , ) (1,0)
1
2 ( 1)
lim 0
( 1)
xy
x
yx
xy
→
−
=
−+
theo nguyên lý kẹp
2
22
( , ) (1,0)
1
2 ( 1)
lim 0
( 1)
xy
x
yx
xy
→
−
=
+
2
22
( , ) (1,0)
2 ln
lim 1.0 0
( 1)
xy
x
yx
xy
→
= =
−+
(2)
Tù
(1) và (2)
2
22
( , ) (1,0)
2 ln
lim 0
( 1)
xy
yx
xy
→
=
−+
Câu 2.
+) Với
1x =
thì
55
1 3 5 0 3 4 1 (1) 1y y y y y y+ + − = + = = =
.
Theo bài ra:
3 2 5
3 ( ) [ ( )] 5 0x x y x y x+ + − =
+) Lấy đạo hàm hai vế theo
x
, ta có:
2 2 4
3 6 ( ) 3 ( ) 5 ( )[ ( )] 0x xy x x y x y x y x

+ + + =
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
11
Thay
1x =
, ta có:
4
3 6 (1) 3 (1) 5 (1)[ (1)] 0 3 6 3 (1) 5 (1) 0 ( do (1) 1)y y y y y y y
+ + + = + + + = =
9
(1)
8
y
−
=
Vậy
9
(1)
8
y
−
=
Cách giải khác: Đặt
3 2 5
( , ) 3 5F x y x x y y= + + −
.
Ta có:
( )
2
24
36
( , )
( ) .
( , ) 3 5
x
y
x xy
F x y
yx
F x y x y
−+
−
==
+
(*)
Với
1x =
thì
55
1 3 5 0 3 4 1 (1) 1y y y y y y+ + − = + = = =
.
Thay
1, 1xy==
vào (*), ta có:
(3 6) 9
(1)
3 5 8
y
− + −
==
+
.
Câu 3.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
22
2 2 2
2 4 2 2
2
2
2
2
2
2 1 2 ( 2 )
22
1 1 2 1
2
,1
21
1
2
1
1
1
1
x x x
x
x x x
yx
xx
x
x
x
x
x
− − −
+
− − +
= = = =
++
+

+
+

−

−
.
Vậy
2
2
,1
1
yx
x
=
+
.
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin:
( )
23
3
ln(1 )
23
xx
x x o x+ = − + +
.
Khi
0x →
thì
20x →
, thay
x
bởi 2
x
, ta có khai triển Maclaurin của
y
đến cấp 3 là:
( ) ( )
23
3 2 3 3
(2 ) (2 ) 8
ln(1 2 ) 2 (2 ) 2 2
2 3 3
xx
y x x o x x x x o x= + = − + + = − + +
Vậy khai triển cần tìm là
( )
2 3 3
8
22
3
y x x x o x= − + +
.
Câu 5.
+) Tập xác định
=D
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
+) Khi
:x →+
L Hospital
1
lim lim lim 0
1
xx
x x x
x
y
ee
→+ →+ →+
= = =
+
(Dạng vô định)
0y=
là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
12
+) Khi
x → −
:
(
1
1
lim lim lim 1 0
01
x
x x x
x
y
e
a
xx
→− →− →−
+
= = = =
+
vì
)
lim 0
x
x
e
→−
=
Khi
x → −
không có tiệm cận
ngang.
(
lim( ) lim lim lim
1 1 1
x
x x x
x x x x
x xe x
b y ax x
e e e
−
→− →− →− →−

= − = − = =

+ + +

dạng
L'Hospital
(
1
lim 0
x
x
e
−
→−
==
−
do
)
lim
x
x
e
−
→−
= +
yx=
là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có
0y =
là tiệm cận ngang bên phải,
y
là
tiệm cận xiên bên trái.
Câu 6.
sin(2 ) 1 2sin(2 )d 1 (cos(2 )) 1
) tan(2 )d d ln | cos2 |
cos(2 ) 2 cos(2 ) 2 cos(2 ) 2
x x x d x
a x x x x C
x x x
− − − −
= = = = +
Vậy
1
tan(2 )d ln | cos2 | .
2
x x x C
−
=+
b)
( ) ( )
22
00
dd
lim
( 3) 1 ( 3) 1
A
A
xx
x x x x x x
+
→+
=
+ − + + − +

2
2
0
1 1 1 2 1 7 1
lim d
13 3 26 1 26
13
24
A
A
x
x
x x x
x
→+


−

= − +

+ − +

−+




2
0
2
1
ln 1
ln | 3| 7 2
2
lim arctan
13 26 26
33
2
ln 1
ln | 3| 7 2 1 ln3 7
lim arctan
13 26 13
13 3 3 78 3
A
A
A
x
xx
x
AA
AA
→+
→+

−

−+
+

= − +




−+
+−

= − + − +


Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
13
2
2
1 | 1| 7 2 1 ln3 7
lim ln arctan
26 13
1
13 3 3 78 3
A
AA
AA
→+

+−

= + − +

−+

1 7 ln3 7 14 ln3
ln1
26 2 13 13
13 3 78 3 39 3
= + − + = −
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng
14 ln3
.
13
39 3
−
Câu 7.
2
3
3
2
3 2 2
3
41
22
y
x
xy


+ = + =






Tham số hoá đường cong:
3
3
( ) 8cos
(0 2 )
( ) 8sin
x t t
t
y t t
=

=
Do tính đối xứng qua trục
Ox
và trục
Oy
, diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật
thể thu được, khi quay phần ứng với
0
2
t

quanh trục Ox.
Diện tícch cần tính là:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/2 /2
2 2 2 2
3 2 2
00
/2 /2
3 2 2 2 2 4
00
/2
/2
45
0
0
'
2 2 | ( )| ( ) ( ) d 4 8sin 24sin cos 24cos sin d
768 sin sin cos cos sin d 768 sin cos d
768 768
768 sin d(cos ) sin (dvdt)
55
y t x t y t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t




= + = − +
= + =
= = =


Vậy diện tích cần tính là
768
5
(dvdt).
Câu 8.
Tập xác định:
2
=D
Tìm điểm dừng:
2
2
22
2
2
2
{
0
3 2( ) 0
30
4
3 2( ) 0
3 2 2 0
{
3
3 4 0
x
y
xy
xy
z x x y
x
yx
z y x y
xy
xy
x x y
xx
= −
==
= − + =
=
=


= − + =
=
==
− − =


−=
hàm số có 2 điểm dừng là
1
44
,
33
M



và
2
(0,0)M
.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
14
+) Ta có:
6 2, 2, 6 2
xx xy yy
A z x B z C z y
  
= = − = = − = = −
2
4 (6 2)(6 2).B AC x y = − = − − −
- Tại điểm
1
44
,
33
M



, ta có
32 0 = −
và
60A=
( , )z x y
đạt cực tiểu tại
( )
11
CT
64
(1,1),
27
M z Mz
−
==
.
- Tại điểm
2
(0,0)M
.
Xét
3 3 2
(0 ,0 ) (0,0) ( ) ( ) ( )z z x y f x y x y = + + − = + − +
Khi
0xy = − →
ta có:
0z=
, điều này chứng tỏ
( ) ( )
23
z M z M=
, với
3
( , )M x y −
thuộc lân cận của
2
M
hàm số không đạt cực trị tại
2
M
Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là
1
44
,
33
M



(cực tiểu), giá trị cực tiểu là
( )
CT 1
64
27
z z M
−
==
.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
lim .
cos
x
x
x
→
−
b)
3
22
( , ) (0,1)
2 ln
lim
( 1)
xy
xy
xy
→
+−
.
Câu 2 (1điểm). Phương trình
4 3 5
4 3 8 0x xy y+ + − =
xác định hàm ẩn
()y y x=
. Tính
(1)y
.
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số
2
2
arcsin , 1
1
x
yx
x

=

+

.
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của
ln(1 3 )yx=−
đến
3
x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
21
x
x
y
e
=
+
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
cot(3 )x dx
.
b)
( )
2
0
d
( 4) 1
x
x x x
+
+ + +
Câu 7 (1 điểm). Quay đường
3 2 2
3
9xy+=
quanh trục
Ox
một vòng. Tính diện tích mặt tròn
xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
3 3 2
()z x y x y= + + +
.
Cách giải tham khảo đề số 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
16
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn
2
0
21
lim
1
x
x
ex
→

−

−

.
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số
()y f x=
xác định bởi
3
24
23
x t t
y t t
=+
=+
. Tính
( ), ( )f x f x

.
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
2
3
( 3)y x x=−
.
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi
0x
, ta có
22
ln 1
2xx

+

+

.
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn
6 6 6
7
12
lim
n
n
n
→

+ ++


.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
3
sin
sin cos
xdx
xx+
.
b)
3
2
arccot 3 dxx−
.
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng
( )
4
1
d
32
x
xx
+
−
.
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
22
( 2) 1xy+ − =
quanh trục
Ox
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
3
arctan 3 , 0
()
sin , 0
x
x x x
fx
ae b x x
=
+
Tìm
a
và
b
để hàm số
()fx
khả vi tại
0x =
.
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
17
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1.
( )
2
2
2
00
2 1 2 1
lim lim
1
1
x
x
x
xx
xe
L
ex
ex
→→
−+

= − =

−
−

Dùng VCB:
( )
0
2
~12
x
x
ex
→
−
cho mẫu số, ta có:
2
VCB
0
21
lim
2
x
x
xe
L
xx
→
−+
=
(dạng
0
0
)
2
0
22
lim
4
x
LHospital
x
e
x
→
−
=
(dạng
0
0
)
20
Hospital
0
44
lim 1.
44
x
L
x
ee
→
−−
= = = −
Vậy giới hạn cần tính bằng
1−
.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin:
( )
( )
2
2
0
21
lim
1
x
x
x
xe
L
ex
→
−−
=
−
=
( )
2
2
0
(2 )
22
2!
lim
2
x
x
x x o x
xx
→

− + +


(Khai triển Maclaurin)
( )
22
2
22
00
2
2
lim lim 1.
22
xx
x o x
x
xx
→→
−−
−
= = = −
Câu 2.
Ta có công thức: Với
( )
()
x x t
y y t
=
=
Xác định hàm y =
()fx
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) và ( ) .
()
()
y t y t x t y t x t
f x f x
xt
xt
 

−
==


Áp dụng công thức trên ta có:
3
2
d ( ) 4 12
( ) 4 .
d ( ) 1 3
y y t t t
f x t
x x t t
+
= = = =
+
2
2 2 2
d d d d 1 d 1 4
( ) (4 ) (4 ) 4 .
d d d ( )d ( ) d 1 3 1 3
yy
f x t t
x x x x t t x t t t t



= = = = = =

++

Câu 3.
+) Tập xác định:
.=D
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
18
+) Sự biến thiên:
( )
( )
2
2
2 2 4 2
33
2
3
2
3
( 3)
( 3) 2( 3) 3 2
, 0, 3.
( 3) ( 3)
( 3)
32
0 0 1.
( 3)
xx
x x x x x
y x x
x x x x
xx
xx
yx
xx
−
− + − − +
= = =
−−
−
−+
= = =
−
$
Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại điểm
3
CD
1, (1) 4x y y= = =
.
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
CT
3, (3) 0x y y= = =
.
Câu 4. Xét hàm số
22
( ) ln(1 )
2
fx
xx
= + −
+
trên
(0, )+
2 2 2
( ) ln ln( 2) ln (
22
x
f x x x
x x x
+
= − = + − −
++
do
0)x
2
222
1 1 2 ( 2) ( 2) 2 4
( ) 0, 0.
2 ( 2) ( 2) (2 )
x x x x
f x x
x x x x x x x
+ − + + −
= − + = =
+ + + +
00
22
lim ( ) lim ln 1
2
xx
fx
xx
++
→→


= + − = +


+


22
lim ( ) lim ln 1 ln(1 0) 0 0
2
xx
fx
xx
→+ →+


= + − = + − =


+


Ta có bảng biến thiên:
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
19
Từ bảng biến thiên, suy ra:
( ) 0, 0f x x
22
ln 1 0, 0
2
x
xx

+ −

+

22
ln 1 , 0
2
x
xx

+

+

(đpcm)
Câu 5.
6 6 6
6 6 6 6 6 6
76
6
1
1 2 1 1 2 1 1 2
lim lim lim
1
lim
n n n
n
n
k
n n n
L
n n n n n n n
k
nn
→ → →
→
=


+ ++ + ++
= = = + ++






=


1
0
( )d ,f x x=
trong đó
6
()f x x=
hàm liên tục, khả tích trên
[0,1].
1
7
1
6
0
0
1
d .
77
x
xx= = =
Vậy giới hạn cần tính bằng
1
7
.
Câu 6.
Giải:
sin cos 2 sin
4
x x x

+ = +


. Đặt
dd
44
t x x t x t

= + = − =
. Tích phân cần tính trở
thành:
3
3
11
sin
sin cos
4
22
d d
2 sin 2 sin
t
tt
I t t
tt



−
−




==

3 2 2 3 3
22
1 sin 3sin cos 3sin cos cos 1 cos
d sin 3sin cos 3cos d
4 sin 4 sin
t t t t t t t
t t t t t t
tt

− + −
= = − + −



( )
2
1 1 1 3 3 3 cos
cos2 sin 2 cos2 1 sin d
4 2 2 2 2 2 sin
t
t t t t t
t

= − − + + − −


1 3 cos
2 cos2 sin 2 cos sin d
4 2 sin
t
t t t t t
t

= + − − +


Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
20
1 cos 1 1 1
2 cos2 sin 2 d 2 sin 2 cos2 ln |sin |
4 sin 2 2
22
t
t t t t t t t C
t
= + − − = + + − +
4
Thay tx
=+
3
sin 1 1 1
2 sin 2 cos 2 ln sin
s
in cos 4 2 2 2 2 2 4
xdx
x x x x C
xx

= + + + + + − + +

+

1
cos(2 ) sin(2 ) 1
ln sin
2 8 4 4
x x x
xC
−

= + − + +


b) Xét nguyên hàm
arccot 3 d arccot 3 d( 4)x x x x− = − −

( 4)arccot 3 ( 4) d(arccot 3 )x x x x= − − − − −
2
11
( 4)arccot 3 ( 4) d
1 ( 3 ) 2 3
x x x x
xx
−−
= − − − −
+ − −
1
( 4)arccot 3 d ( 4)arccot 3 3 .
23
x x x x x x C
x
−
= − − − = − − − − +
−
3
3
2
2
arccot 3 d [( 4)arccot 3 3 ] 1 1
22
x x x x x

−−

− = − − − − = − − =


Câu 7.
( )
4
1
()
32
fx
xx
=
−
là hàm dương và liên tục trên
[1, )+
.
( )
4
1
d
32
x
xx
+
−
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường
+
( )
45
4
1 1 1
~
33
32
x
x x x
xx
→+
=
−
, mà
5
1
1
d
3
x
x
+
hội tụ
(do 5 1)
=
( )
4
1
d
32
x
xx
+
−
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Câu 8. Tham số hoá đường tròn
22
( 2) 1:xy+ − =
cos
(0 2 )
2 sin
xt
t
yt
=

=+
.
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
22
( 2) 1xy+ − =
quanh trục Ox là:
( ) ( )
22
22
22
00
2 | ( )| ( ) ( ) d 2 |2 sin | ( sin ) (cos ) dy t x t y t t t t t t


= + = + − +


Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội

Preview text:

Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1 DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 53
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 65 (TaiLieuHust, 2022)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1  +  a) ln(1 x) x lim   . x→0  x  3 b) x y lim . 6 2 ( x, y) ( → 0,0) 2x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 2, 02 + 3, 04 + 3 . 2
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng x cos x  1− , x   0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường 2
y = x − 3x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. 1 −
Câu 5 (1 điểm). Tính   2 2
 2x −3 + 1− x dx.  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 3
f (x) = x + x có hàm ngược là y = g (x) . Tính g  (2) . 2 2   
Câu 7 (1 điểm). Tính z z 3 z 1 P = + +  với z = . 2 2 xyy y  (x + y )3 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ 3 100 cm / s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50 cm. 
Câu 9 (1 điểm). Tính 2 cot x dx  . 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)  ln(1+x)  1 ln   xCâu 1:  ln(1+ x) xL = lim = lim x e .   x→0 x→0  x   ln(1+ x)    ln(1+ x)  ln ln 1+ −1      Xét giới hạn  x    x  K = lim = lim x→0 x→0 x x  +  x→0 Vì ln(1 x)   ln(1+ x)   ln(1+ x)  lim −1 =1−1 = 0   , nên ln 1+ −1 ~ −1      . x→0  x    x   x  ln(1+ x) − 1 − 1 2 x + o ( 2 x ) ln(1+ x) − x  = lim x K (VCB) = lim = 2 lim (Khai triển Maclaurin) 2 x→0 x→0 x x 2 x→0 x 1 − 2 x 1 2 − = lim = 2 x→0 x 2
 Giới hạn đã cho bằng K 1/ 2 L e e− = = . 3 b) x y f ( , x y) = , (  , x y)  0. 6 2 2x + 3y +) Chọn M ( 3 , a a
. Khi a →0 thì M ( 3 , a a → (0,0) . 1 ) 1 ) Ta có: ( ) = ( a a f M f a, a ) 3 3 1 3 = = 1 6 6 2a + 3a 5  f ( 1 M → khi M → (0,0) (1) 1 ) 1 5 +) Chọn M ( 3 − , b b
. Khi b →0 thì M ( 3 − , b b → (0,0). 2 ) 2 ) − − Ta có: ( ) = ( b b f M f − , b b ) 3 3 ( ) 1 3 = = 2 6 6 2( b − ) + 3b 5 −  f ( 1 M →
khi M → (0,0) (2) 2 ) 2 5 3 Từ (1) và (2) x y
f (x, y) không cùng tiến tới một giá trị khi (x, y) → (0, 0)  lim 6 2
( x, y)→(0,0) 2x + 3y không tồn tại.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 2. Xét hàm số 2 2 f ( , x y) =
x + y + 3 . Ta có:  xyx = 2, x  = 0,02 f ( , x y) = , f ( , x y) = . Chọn 0 . x y  2 2 2 2 x + y + 3 x + y + 3 y = 3, y  = 0,04  0
Áp dụng công thức tính gần đúng: 2 2
A = 2, 02 + 3, 04 + 3 = f ( x + x  , y + y
  f x , y + f x , y x
 + f x , y y  0 0 ) ( 0 0) x ( 0 0) y ( 0 0 )   1 3
= f (2,3) + f (2,3)0,02 + f (2,3) 0,04 = 4 + 0,02 + 0,04 = 4,04 x y 2 4 Vậy A  4,04 . 2 2 Câu 3. Chứng minh: x x cos x  1− , x   0  cos x + −1 0, x   0 . 2 2 2 x  
Xét f (x) = cos x +
−1 trên [0;+). Ta có: f (x) = −sin x + ,
x f (x) = − cos x +1  0, x   0 2 f
 (x) đồng biến trên [0; ) f (x) f  +   (0) = 0, x   0 f
 (x) đồng biến trên [0;+)  f (x)  f (0) = 0, x   0
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 3x, y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là: 3 V = 2 x
 ( 2x −3x)dx = 2 x  ( 2
3x − x )dx (vì 0 2
x − 3x  0, x  [0,3]) 3 4 3  x  27 = 2  ( 2 3 3x − x ) 3
dx = 2  x −  = (đvtt) 0  4  2 0
Câu 5. Điều kiện: 3 2 2 2
2x − 3  0  x
 1− x  0  1− x = x −1 , do đó: 2 1 − −     2 2
I =  2x − 3 + 1− x d
x =  2x −3 + ( 2 x − ) 12 1 d  x     1 1 3 = 2x − 3 dx + dx = (2x − 3) + ln   ( 2 x + x −1 + C 2 ) − 3 x 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 6. Ta có:  2
f (x) = 3x +1. Với 3
y = 2  x + x = 2  x =1. 0 0 0 0 Vì  1 1 1
y = g (x) là hàm ngược của 3
f (x) = x + x nên: g ( y = = = . 0 ) f  ( x f  (1) 4 0 ) Vậy 1 g  (2) = . 4
Câu 7. Điều kiện xác định P là y  0 . 2 2 2  z 12x − 3y
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z(x, y) nên: = . 2 x  (x + y )7 2 2 2 2 2 2 2 2  z z 3 z
12x − 3y +12 y − 3x 3 3 − y P = + +  = +  2 2 xyy y  ( + )7 y x y (x + y )5 2 2 2 2 9 9 = − = 0, y   0.
(x + y )5 (x + y )5 2 2 2 2
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm t( s) là V t ( 3 ( ) cm ) .
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 3 V   t = ( 3 100 cm / s ( ) 100 cm / s) .
Tại thời điểm t nào đó, R(t = 50( cm) . 0 ) 0 4   Ta có: 3 =   V (t) =
 (R(t)) . Lấy đạo hàm hai vế theo t , ta có: 2
V (t) 4 (R(t)) R (t) 3 Tại 
t = t , ta có: V (t ) = 4 R  (t ) 2   R  (t ) 2
 100 = 4 (50) Rt 0 0 0 0 ( 0 ) R  ( 100 1 t = = (cm / s). 0 ) 2 4  (50) 100
 Khi bán kính quà bóng bằng 50 cm, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là 1 (cm / s) . 100  /2 Câu 9. I = cot x dx  . 0    /2  /2  /2 sin x cos x sin x + cos x Xét L =
( tan x + cot x )dx =    + d  x = dx    . 0 0 0 cos x sin x sin x cos x  
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Đặt t = sin x − cos x  dt = (cos x + sin x)dx . 2 1− t 2 2
t = (sin x − cos x) = 1− 2sin x cos x  sin x cos x = . 2 Đổi cận: - Khi  x 0+ → thì t 1
→− ; Khi x → thì t →1 2 1 0 1 dt 2 2 L = = dt + dt    −1 2 1 − 2 0 2 1− t 1− t 1− t 2 0 2 B 2 = lim dt + lim dt   + − A→( 1 − ) A 2 B 1 → 0 2 1− t 1− t 0 B
= lim ( 2 arcsin t) + lim( 2 arcsin t) + − A→(−1) B 1 → 0 A  −  = lim (− 2 arcsin )
A + lim ( 2 arcsin B) = − 2  + 2  =  2 + − A→( 1 − ) B 1 → 2 2    
Giờ xét /2 cot x dx  , với f ( )
x = cot x  0 liên tục trên 0, .   0  2  + + x→0 x→0 cos x 1 1 1 cot x = ~ ~ = , 1/ 2 sin x sin x x x  mà  1 / 2 1 dx  hội tụ (vì / 2   = (0,1)  cot x dx   hội tụ. 1/ 2 0 x 0 2  Đổi biến   t = − x x = − t , ta có: 2 2  /2 0    /2  /2  cot x dx = cot − t (−dt) = tan t dt = tan x d . x       0  /2 0 0  2   /2  /2 1 1   cot x dx =
( tan x + cot x)dx = L = .   0 0 2 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 x a)  e −1 x  lim   . x→0 x   4 b) xy lim 2 8
( x, y)→(0,0) 4x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 4, 03 + 2, 02 + 5 . 2
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng x x e  1+ x + , x   0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường 2
y = x − 4x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. 1 −
Câu 5 (1 điểm). Tính   2 2  4
− − 3x + 1− x dx .  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 5
f (x) = x + x có hàm ngược là y = g (x) . Tính g  (2) . 2 2   
Câu 7 (1 điểm). Tính z z 5 z 1 P = + +  với z = . 2 2 xyy y  (x + y )5 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ 3 200 cm / s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60 cm. 
Câu 9 (1 diểm). Tính 2 tan x dx  . 0
Cách giải tham khảo đề số 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) x −  lim . x  → sin x 2 b) 2 y ln x lim . 2 2
( x, y)→(1,0) (x −1) + y
Câu 2 (1 điểm). Phương trình 3 2 5
x + 3x y + y − 5 = 0 xác định hàm ẩn y = y( x) . Tính y (1) .  
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số 2x y = arctan , x  1   . 2 1− x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1+ 2x) đến 3 x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x y = . x e +1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) tan(2x)dx  . b) + dx  . x + ( 2 0 ( 3) x − x + ) 1
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 2 3 x +
y = 4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 3 3 2
z = x + y − (x + y) .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. x −  1 1 lim = lim = = 1
− . (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) x  → sin x x  → cos x cos Vậy x −  lim = 1 − . x  → sin x 2 b) Đặt 2 y ln x
f (x, y) = 2 2 (x −1) + y 2 +) Nếu 2 y ln1
x =1 và y → 0 thì f (x, y) =
= 0 → 0 khi y → 0 . (1) 2 2 0 + y
+) Nếu x 1 và (x, y) → (1,0) thì: 2 2 2 y ln x  ln x  2 y (x −1) lim = lim  lim   2 2 2 2 (x, y) ( → 1,0) (x, y) ( → 1,0) (x, y) ( → 1,0) (x −1) + yx −1 (x −1) + y x 1  x 1  x 1  Ta có: VCB ln x ln x x −1 lim = lim = lim = 1 ( x, y )→(1,0) x 1 → x 1 x −1 x −1 → x −1 2 2 2 2 y (x −1) 2 | (x −1) y | (x −1) + y 0  = | y | | y | |
= y | , mà lim | y |= 0 2 2 2 2 2 2 (x −1) + y (x −1) + y (x −1) + y ( x, y )→(1,0) 2 2 y (x −1)  − lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 2 y (x 1)  lim = 0 2 2
( x, y )→(1,0) (x −1) + y 2 2
( x, y )→(1,0) ( x  1) + yx 1  x 1 2 2 y ln x  lim = 1.0 = 0 (2) 2 2
( x, y )→(1,0) (x −1) + y x 2 Tù̀ (1) và (2) 2 y ln x  lim = 0 2 2
( x, y)→(1,0) (x −1) + y Câu 2. +) Với x =1 thì 5 5
1+ 3y + y − 5 = 0  y + 3y = 4  y = 1 y(1) = 1. Theo bài ra: 3 2 5
x + 3x y(x) +[ y(x)] − 5 = 0
+) Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta có: 2 2   4
3x + 6xy(x) + 3x y (x) + 5y (x)[ y(x)] = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x =1, ta có:   4
3 6y(1) 3y (1) 5y (1)[ y(1)] 0
3 6 3y(1) 5y + + + =  + + + (1) = 0 ( do y(1) =1) 9 y −  (1) = 8 Vậy 9 y − (1) = 8
Cách giải khác: Đặt 3 2 5 F( ,
x y) = x + 3x y + y − 5 .  − − +  ( 2 3x 6 ( , ) xy F x y ) Ta có: y (x) x = = . (*)  2 4 F (x, y) 3x + 5y y Với x =1 thì 5 5
1+ 3y + y − 5 = 0  y + 3y = 4  y = 1 y(1) = 1.
Thay x =1, y =1 vào (*), ta có: (3 6) 9 y − + − (1) = = . 3 + 5 8 2 ( 2 1− x ) 2
− 2x (−2x) 2x + 2 − − +  (1 x )2 (1 x )2 2 2 2 ( 2 x )1 Câu 3. 2 y = = = = , x   1. 2 4 2  2x x + 2x +1 (x + + )2 2 2 x +1 1 1   1− x  (1− x )2 2 2 Vậy  2 y = , x   1  . 2 x +1 2 3
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: x x + x = x − + + o( 3 ln(1 ) x ) . 2 3
Khi x → 0 thì 2x → 0, thay x bởi 2 x , ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: 2 3 (2x) (2x)
y = ln(1+ 2x) = 2x − + + o( 8 3 (2x) ) 2 3
= 2x − 2x + x + o( 3x) 2 3 3
Vậy khai triển cần tìm là 8 2 3
y = 2x − 2x + x + o ( 3 x ) . 3 Câu 5.
+) Tập xác định D =
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. +) Khi  x → + L Hospital : x 1 lim y = lim = lim = 0 (Dạng vô định) x →+ →+ e +1 x x x x→+ e
y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x → − : x x y + 1 e 1 a = lim = lim = lim = 1  0( vì lim x
e = 0  Khi x → − không có tiệm cận x→− ) x→− x→− x x x →− 0 +1 ngang. xxxe x
b = lim ( y − ax) = lim − x = lim = lim   dạng  x x x ( x xe +1 xe +1 x 1+ e− →− →− →− →−  L'Hospital 1 = lim = 0 do lim x e− = + x→− ) x ( x −e− →−
y = x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y = 0 là tiệm cận ngang bên phải, y là
tiệm cận xiên bên trái. Câu 6. sin(2x) 1 − 2 − sin(2x)dx 1 − d(cos(2x)) 1 −
a) tan(2x)dx = dx = = = ln | cos 2x | +C     cos(2x) 2 cos(2x) 2 cos(2x) 2 Vậy 1 − tan(2x)dx =
ln | cos 2x | +C.  2 b) + d A x dx =   (x + 3) ( lim 2 x − x + ) 1 A→+ (x + 3) ( 2 0 0 x − x + ) 1     A 1 1 1 2x −1 7 1   = lim  −  +  dx  2 2 A→+ 0  13 x + 3 26 x − x +1 26  1  3   x − +      2  4  A  1  2  − + ln x − x +1 x  ln | x 3 | 7 2 2 = lim  − +  arctan  A→+  13 26 26 3 3     2  0 2  + ln A − A +1  ln | A 3 | 7 2 A −1 ln 3 7 = lim  − + arctan − +  A→+  13 26 13 3 3 13 78 3   
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST  2  1 | A +1| 7 2 A −1 ln 3 7 = lim  ln + arctan − +  2 A→+  26 A − A +1 13 3 3 13 78 3    1 7  ln3 7 14 ln 3 = ln1+  − + = − 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng 14 ln 3 − . 39 3 13 2 2 3    3  Câu 7. x y 3 2 2 3 x + y = 4    +   =1   2  2      3
Tham số hoá đường cong: x(t) = 8cos t  (0  t  2 ) 3
y(t) = 8sin t
Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật
thể thu được, khi quay phần ứng với  0  t  quanh trục Ox. 2
Diện tícch cần tính là:  /2    y t  ( ' 2 2 | ( ) |
x (t))2 ( y =  + (t))2 / 2 dt = 4 8sin t  ( 2
− 4sin t cos t )2 + (24cost sin t)2 3 2 2 dt 0 0  /2  = 768
sin t sin t cos t  (cos t +sin t) / 2 3 2 2 2 2 4 dt = 768
sin t cos t dt  0 0  /2  /2 768 768 4 5 = 768
sin t d(cos t) = sin t = (dvdt) 0 5 5 0
Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8. Tập xác định: 2 D = Tìm điểm dừng:    x = −y   {    = = 2 x y 0 2 2 2
z = 3x − 2(x + y) = 0 y = x 3x = 0 x         2 4 2
z = 3y − 2(x + y) = 0
x − x − y =  x = yx = y =  y 3 2 2 0  {   3 2    
 3x − 4x = 0   
hàm số có 2 điểm dừng là 4 4 M , và M (0,0). 1    3 3  2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Ta có:   
A = z = 6x − 2, B = z = 2
− , C = z = 6y − 2 xx xy yy 2
  = B − AC = 4 − (6x − 2)(6y − 2).   - Tại điểm 4 4 M , , ta có  = −  và  1   32 0 A = 6 0  3 3  −  64
z(x, y) đạt cực tiểu tại M (1,1), z = z M = . 1 CT ( 1) 27
- Tại điểm M (0,0). 2 Xét 3 3 2 z
 = z(0+  ,x0+ y
 ) − f (0,0) = ( x  ) + ( y  ) −( x  + y  ) Khi x  = − y  → 0 ta có: z
 = 0, điều này chứng tỏ z(M = z M , với 2 ) ( 3) M ( x  ,− y
 ) thuộc lân cận của M  hàm số không đạt cực trị tại M 3 2 2  
Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là 4 4 M ,
(cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1    3 3  64 − z = z M = . CT ( 1) 27
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) 2x −  lim .  x→ cos x 2 3 b) 2x ln y lim . 2 2
( x, y)→(0,1) x + ( y −1)
Câu 2 (1điểm). Phương trình 4 3 5
x + 4xy + 3y − 8 = 0 xác định hàm ẩn y = y( x) . Tính y (1) .  
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số 2x y = arcsin , x  1   . 2 1+ x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1− 3x) đến 3 x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x y = . 2 x e +1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) cot(3x)dx  . b) + dx  (x + 4) ( 2 0 x + x + ) 1
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 2 3 x +
y = 9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 3 3 2
z = x + y + (x + y) .
Cách giải tham khảo đề số 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)  
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn 2 1 lim −   . 2 →0 x xe −1 x  3
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số
x = t + t
y = f (x) xác định bởi 
. Tính f (x), f (x) . 2 4
y = 2t + 3t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 3 y = x(x − 3) .  
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi x  0 , ta có 2 2 ln 1+    .  x  2 + x 6 6 6
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn 1 + 2 ++ n  lim   . 7 n→ n  
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 a) sin xdx  . sin x + cos x
b) 3arccot 3− x dx  . 2
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng + dx  . x ( 4 1 3x − 2)
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
 x arctan 3x, x  0 f (x) =  3x
ae + bsin x, x  0 Tìm và khả vi tại . a
b để hàm số f (x) x = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2  2 1  2 x x − e +1 Câu 1. L = lim − = lim   2 x →  e −1 x →  ( 2 0 0 x x x e − ) 1 x Dùng VCB: ( → x e − )x 0 2 1
~ 2x cho mẫu số, ta có: 2 VCB 2 x x − e +1 L = lim ) x→0 2x  (dạng 0 x 0  2  2 − 2 x L Hospital e 2 x 0 L Hospital − − = 4e 4e lim (dạng 0 ) = lim = = 1 − . x→0 4x 0 x→0 4 4
Vậy giới hạn cần tính bằng −1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin: 2  (2x)  2x − 2x + + o  ( 2x) 2x − ( 2x e − ) 1 2!   L = lim = lim (Khai triển Maclaurin) → ( 2 0 x x e − ) 1 x x→0 2x x 2 2 − x − o( 2 x ) 2 2 − x = lim = lim = 1 − . 2 2 x 0 → x 0 2x → 2x Câu 2. x = x(t) Ta có công thức: Với f x y = Xác định hàm y = ( ) y(t) y (t)
y (t)x (t) − y (t)x   (t) f (x) = và f (x) = .  3 x (t) x(t)  
Áp dụng công thức trên ta có:  3  dy y (t) 4t +12t f (x) = = = = 4t.  2 dx x (t) 1+ 3t 2  d y d  dy  d 1 d 1 4 f (x) = = = (4t) =  (4t) = 4 = .   2   2 2 dx dx  dx x (t)dt x (t) dt 1+ 3t 1+ 3t Câu 3.
+) Tập xác định: D = .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên: −  (  2 x(x 3) ) 2
(x − 3) + 2(x − 3)x x − 3 + 2x y = = = , x   0, x  3. ( − − x x − )2 2 4 2 3 3 2 3 x (x 3) x (x 3) ( 3) $  x − 3 + 2x y = 0  = 0  x =1. 2 3 x (x − 3) Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại điểm 3 x = 1, y = y(1) = 4 . CD
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, y = y(3) = 0 . CT Câu 4. Xét hàm số 2 2 f (x) = ln(1 + ) − trên (0, + ) x 2 + x x + 2 2 2 f (x) = ln −
= ln(x + 2) − ln x − ( do x  0) x 2 + x 2 + x 2  1 1 2
(x + 2)x − (x + 2) + 2x 4 − f (x) = − + = =  0, x   0. 2 2 2 x + 2 x (x + 2) x(x + 2) x(2 + x)   2  2 
lim f (x) = lim ln 1+ − = +     + + x→0 x→0   x  2 + x    2  2 
lim f (x) = lim ln 1+ − = ln(1+ 0) − 0 = 0     x→+ x→+   x  2 + x  Ta có bảng biến thiên:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Từ bảng biến thiên, suy ra: f (x)  0, x   0  2  2  ln 1+ −  0, x   0    x  2 + x  2  2  ln 1+  , x  0   (đpcm)  x  2 + x Câu 5. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 + 2 ++ n  1 1 + 2 ++ n 1  1   2   n   L = lim   = lim  = lim   + ++        7 6 n→ n→ n n n n → n    n   n   n    6 1 n k  = lim  
n→ n =  n k 1 1
= f (x)dx,  trong đó 6
f (x) = x hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 1 7 1 x 1 6 = x dx = = .  0 7 7 0
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6.   Giải:    sin x + cos x = 2 sin x + 
 . Đặt t = x +  x = t −  dx = dt . Tích phân cần tính trở  4  4 4 thành: 3 3      1 1  sin t −    sin t − cos t      4   2 2  I = dt = dt   2 sin t 2 sin t 3 2 2 3 3
1 sin t − 3sin t cos t + 3sin t cos t − cos t 1  cos t  2 2 = dt = 
sin t −3sintcost +3cos t − d  t 4 sin t 4  sin t  1  1 1  3  3 3  cost  =
− cos 2t − sin 2t + + cos 2t −      ( 2 1− sin t ) dt  4  2 2  2  2 2  sin t  1  3 cos t  = 2 + cos 2t − sin 2t −
+ cost sin t dt   4  2 sin t
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1  cos t  1  1 1  =
2 + cos 2t − sin 2t − dt = 2t + sin 2t +
cos 2t − ln | sin t | + C     4  sin t  2 2  2 2   Thay t = x + 4 3 sin xdx 1   1    1        = 
 2x + + sin 2x + + cos 2x + − ln sin x +        + C sin x + cos x 4 2 2   2  2  2   4   x
cos(2x) − sin(2x) 1    = + − ln sin x + + C   1 2 8 4  4  b) Xét nguyên hàm
arccot 3 − x dx = arccot 3 − x d(x − 4)  
= (x − 4)arccot 3− x − (x − 4)d(arccot 3− x)  −1 −1
= (x − 4)arccot 3 − x − (x − 4)  dx  2 1+ ( 3 − x ) 2 3 − x 1 −
= (x − 4)arccot 3− x −
dx = (x − 4) arccot 3 − x − 3 − x + C.  2 3 − x 3 3  −   − 
 arccot 3− x dx = [(x − 4)arccot 3− x − 3− x] = − −1 = 1    2 2 2  2  Câu 7. 1 f (x) =
là hàm dương và liên tục trên [1, +) . x ( 4 3x − 2) + dx  
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường + x ( 4 1 3x − 2) 1 x→+ 1 1 = , mà + 1 dx  hội tụ (do  = 5 1) x ( ~ 4 3x − 2) 4 5 x  3x 3x 5 1 3x + dx  
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. x ( 4 1 3x − 2)
Câu 8. Tham số hoá đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1: x = cost  (0  t  2 ) .
y = 2 + sin t
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox là: 2   2 |y(t) | 
(x(t))2 (y = + (t))2 2 2 2 dt = 2
|2 + sin t | (− sin t) + (cos t) dt  0 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20

Tài liệu liên quan: