Bồi dưỡng HSG toán 9 -1 BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ: 
Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2 x a  . 
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí
hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : a 0   x 0     2  a x x a    
Với hai số thực không âm a,b ta có: a  b  a b  . 
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:  A A 0  + 2 A  A  nếu  A  A  0 + 2
A B  A B A B với , A B 0  ; 2
A B  A B  A B
với A  0; B 0  A . A B . A B +   với AB 0  , B 0  2 B B B M M . A + 
với A  0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức A A ở mẫu)
M  A  B M  +  với , A B 0
 , A B (Đây gọi là A  B A  B
phép trục căn thức ở mẫu) 1.2
CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang file word mới nhất 1/17
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ: 
Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho 3 x a   Cho 3
a  R a x  x  3 ;  a 3 3 a  
Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. 
Nếu a  0 thì 3 a  0 . 
Nếu a  0 thì 3 a  0 .  Nếu a 0  thì 3 a 0  . 3 a a  3  với mọi b 0  . 3 b b  3 3 3
ab  a. b với mọi a,b .  3 3
a  b  a  b .  3 3 3 A B .  A B 3 2 A AB  3  với B 0  B B 3 A A  3  3 B B 3 2 3 3 2 1
A  AB  B   với A B  . 3 3 A  B A B 
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a  R, n  N;n 2
 . Căn bậc n của một số a là một số
mà lũy thừa bậc n của nó bằng a. 
Trường hợp n là số lẻ: n 2
 k 1, k  N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2k 1  2k 1
a x  x  a
 , nếu a  0 thì 2k 1
 a  0 , nếu a  0 thì 2k 1
 a  0 , nếu a 0  thì 2k 1  a 0  
Trường hợp n là số chẵn: n 2
 k, k  N .
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 2 rang
file word mới nhất 2/17
Mọi số thực a  0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau.
Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k
số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k  a ,
2k a x  x 0  và 2k x a  ; 2k 
a x  x 0  và 2k x a  .
Mọi số thực a  0 đều không có căn bậc chẵn. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: a) 4 P x  4 b) 3 P 8  x  3 3 c) 4 2
P x  x 1 Lời giải: a) P  2  x    2 x     x    x    2 2 2 2 2 x  2 . 3 b) P   x3     x    2 2 3 2
3 4x  2 3x 3 . c) P   x   2 2 2  x  2
 x  x    2 1
1 x  x   1 .
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức: 1
a) A  x  x  x  khi x 0  . 4 1
b) B  4x  2 4x  1  4x  2 4x  1 khi x  . 4
c) C  9  5 3 5 810 7 4 3 Lời giải: 2 a) 1  1  1 A  x  x  x   x  x   x  x  4  2    2
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 3 rang file word mới nhất 3/17 1 1 1 1 1
+ Nếu x   x  thì x   x   A  . 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1
+ Nếu x   0 x  thì x   x   A 2  x  2 4 2 2 2 b)
B  4x  2 4x  1  4x  2 4x  1  4x  1 2 4x  1 1  4x  1 2 4x  1 1 2 2
Hay B   4x  1 1   4x  1 1  4x  1 1  4x  11
 4x  1  1  4x  1 1 1
+ Nếu 4x  1  1 0   4x  1 1   x  thì
4x  1  1  4x  1  1 2 suy ra B 2  4x  1 . 1 1
+ Nếu 4x  1  1  0  4x  1 1  x  thì 4 2
4x  1  1  4x  1 1 suy ra B 2  . c) Để ý rằng:     2 7 4 3 2 3  7  4 3 2   3
Suy ra C  9  5 3 5 8 10(2  3)  9  5 3 5 28  10 3      2 9 5 3 5 5 3 .Hay
C  9  5 3  5(5  3)  9  25  9  5  4 2 
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A  7  2 6  7  2 6 là số nguyên.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 4 rang
file word mới nhất 4/17 b) 84 84 3 3 B  1  1
là một số nguyên ( Trích đề TS 9 9
vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). c) Chứng minh rằng: a 1 8a  1 a 1 8a  1 3 3 x  a   a  3 3 3 3 1
với a  là số tự nhiên. 8
d) Tính x  y biết  2 x  x    2
2015 y  y  2015  2  015 . Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A     2 2 7 2 6 7 2 6 7
  2 6  7  2 6  2 7  2 6 . 7  2 6 1  4  2.5 4  Suy ra A  2 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v3 3 3 u 
 v  3uv  u  v . Ta có: 3  84 84  84 84  84 84  3 3 3 3 3 B   1  1  1   1  3 1 . 1   9 9  9 9  9 9       84 84  3 3  1  1  . Hay  9 9     84   84  84 3 3 3 3 B 2   33 3 1  1 .B  B 2   3 1 B  B 2
  B  B  B  2 0   9   9  81    
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 5 rang file word mới nhất 5/17 2  1  7   B    2
1 B  B  2 0  mà 2
B  B  2  B    0  suy ra 2    4 B 1
 . Vậy B là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức:  u v3 3 3 u 
 v  3uv  u  v Ta có 3
x  a    a 3
x  x   a   x  a    x    2 2 1 2 2 1 2 0
1 x  x  2a 0  Xét đa thức bậc hai 2
x  x  2a với  1   8a 0  1 1 1 + Khi a  ta có 3 3 x   1  . 8 8 8 1
+ Khi a  , ta có  1
  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm 8 1 duy nhất x 1
 Vậy với mọi a  ta có: 8 a 1 8a  1 a 1 8a  1 3 3 x  a   a  1  là số tự nhiên. 3 3 3 3 d) Nhận xét:  2x   x  2 x   x 2 2 2015 2015
x  2015  x 2  015 .
Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2 2
x  2015  x  y  2015  y 2 2 2 2 
y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0  Ví dụ 4)
a) Cho x  4  10  2 5  4  10  2 5 . Tính giá trị biểu 4 3 2
x  4x  x  6x 12 thức: P  . 2 x  2x 12
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 6 rang
file word mới nhất 6/17 b) Cho 3 x 1
  2 . Tính giá trị của biểu thức 4 4 3 2
B x  2x  x  3x 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10
Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015- 2016). c) Cho 3 3 x 1
  2  4 . Tính giá trị biểu thức: 5 4 3 2
P x  4x  x  x  2x  2015 Giải: a) Ta có: 2 2 x  4 10 2 5 4 10 2 5        8
  2 4  10  2 5 . 4  10  2 5      x     
  2           2 2 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1
 x  5 1. Từ đó ta suy ra  x   2 2 1 5   x  2x 4  . 2 2 2 2 Ta biến đổi:
 x  2x  2 x  2x 12 4  3.4 12 P   1  . 2 x  2x 12 4 12 b) Ta có 3 x 1
  2   x  3 3 2 1 2
  x  3x  3x  3 0  . Ta biến
đổi biểu thức P thành: 2 3 2
P x x  x  x   x  3 2
x  x  x    3 2 ( 3 3 3) 3 3 3
x  3x 3x  3 1945 1  945 c) Để ý rằng: 3 2 3
x  2  2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2  1
để tận dụng hằng đẳng thức: 3 3       2 2 a b
a b a  ab  b  . Khi
đó ta có:  3   x  3     3 2 3 2 1 2 1 2  2  1   3   3 2 1 x 1  
2x x 1  2x   x  3 3 3 2
1  x  3x  3x  1 0  .
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 7 rang file word mới nhất 7/17 Ta biến đổi: 5 4 3 2
P x  x  x  x  x   2
 x  x    3 2 4 2 2015
1 x  3x  3x   1  2016 2016 
Ví dụ 5) Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx 1  .
a) Tính giá trị biểu thức:  2 1 y   2 1 z   2 1 z   2 1 x   2 1 x   2 1 y  P x  y  z 2 2 2 1 x 1 y 1 z b) Chứng minh rằng: x y z 2xy    2 2 2 1 x 1 y 1 z  2 1 x   2 1 y   2 1 z  Lời giải: a) Để ý rằng: 2 2
1 x x  xy  yz  zx (
 x  y)(x  z) Tương tự đối với 2 2
1 y ;1 z ta có:  2 1 y   2 1 z 
 y  x  y  z  z  x  z  y x x x y  z 2   1 x
 x  y  x  z
Suy ra P x  y  z  y  z  x  z  x  y 2
  xy  yz  zx 2  . b) Tương tự như câu a) Ta có: x y z x y z      2 2 2 1 x 1 y 1 z
 x  y  x  z  x  y  y  z  z  y  z  x
x  y  z  y  z  x  z  x  y 2xy 2xy   
 x  y  y  z  z  x
 x  y  y  z  z  x  2 1 x   2 1 y   2 1 z  Ví dụ 6)
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 8 rang
file word mới nhất 8/17
a) Tìm x , x ,..., x 1 2 n thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 1
x  1  2 x  2 .. n x  n 
x  x   x n  2 2 2 ... 1 2 1 2 n  2 2 4n  4n  1
b) Cho f (n) 
với n nguyên dương. Tính
2n 1  2n  1
f (1)  f (2) ..  f (40) . Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:  x  1  2
1   x  2  22 ... x  n  n n 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2  Hay 2 2 x 2  , x 2.  2 ,..., x 2.  n 1 2 n 2 2 x  y 4  n  b) Đặt  2
x  2n 1, y  2n  1  xy  4n  1 .  2 2 x  y 2    Suy ra 2 2 3 3
x  xy  y x  y 1 1 f (n)  
  x  y    2n  3 1   2n   . x  y x  y 2 2  3 3 3 1 2 2 
Áp dụng vào bài toán ta có: 1 f   1
f  2 .. f  40    3 3 3 1   3 3 5 3  ..  3 3 81 79            2   1   3 3 81  1  364  2 Ví dụ 7) 1 1 1
a) Chứng minh rằng:   ....   4 . 1  2 3  4 79  80
Đề thi chuyên ĐHSP 2011
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 9 rang file word mới nhất 9/17 b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1  1 ... 2 1        . 1 2 2 3 3 4 n n 1   n 1     1 1 1 1 1
c) Chứng minh: 2 n  2      ...   2 n  1 1 2 3 4 n
với mọi số nguyên dương n 2  . Lời giải: 1 1 1 a) Xét A    ....  , 1  2 3  4 79  80 1 1 1 B   ..  2  3 4  5 80  81
Dễ thấy A  B . Ta có 1 1 1 1 1 A  B     ....   1  2 2  3 3  4 79  80 80  81 Mặt khác ta có:  k 1 1  k    k 1  k k  k 1
 k 1 k   k 1 k 
Suy ra A  B  
2  1  3  2 ... 81 80  81 1 8  .
Do A  B suy ra 2A  A  B 8   A  4 . 1 1 1 1 b) Để ý rằng:    k k 1
k(k 1)  k 1  k  2k k 1
với mọi k nguyên dương.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang
file word mới nhất 1 0 0/17 Suy ra  1   1 1   1 1   1 VT  2 1  2  ..  2  2  1    .  2     2 3     n n 1     n 1  1 1 1 1 1 c) Đặt P      ...  1 2 3 4 n 2 1 2 2 Ta có:    với mọi số tự nhiên n  n 1 n 2 n n  n  1 n 2  . Từ đó suy ra
 n   n 2 2 2 2 1    2
  n  n  1 hay n 1  n 2 n n  n  1
 n   n 2 2 1 
 2  n  n  1 n Do đó: 2   2 1  3 2  ...  n 1 n          T và  
T 1 2  2 1  3 2  .... n n 1         .  
Hay 2 n  2  T  2 n  1. Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn 3 2 2 2
a 1 b  b 1 c  c 1 a  .Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3
a  b  c  . 2
a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x 1 y  y 2  z  z 3  x 3
 . (Trích đề thi tuyến sinh
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang file word mới nhất 1 1 1/17
vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 3 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a                . 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2  2 2 a  1 b a 1   b    3 2 2 2 2 2 2 b
  1 c  b  1
  c  a  b  c  (đpcm). 2   2 2 2 c  1 a c 1   a   
b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 2 2
2x 1 y  2y 2  z  2z 3  x 6  .
Áp dụng bất đẳng thức : 2 2 2ab a   b ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2x 1 y  2 y 2  z  2z 3  x x 1 y  y  2  z  z  3  x 6  . Suy ra VT V
 P . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 2 2 
x, y, z 0 
x  y  z 3
 ; x, y, z 0 x  1 y    2 2  2 2 x  y 1    x  y 1  2
 y  2  z      x 1  ; y 0  ; z  2 2 2 2 2 y  z 2  y  z 2   2   z  3  x   2 2  2 2  z  x 3   z  x 3  
x  x 4 x  4  x  4 x  4 
Ví dụ 9) Cho A  với x  4 2 x  8x 16
a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang
file word mới nhất 1 2 2/17
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x  4 .
x   x 4 22  x 4 22         x  
 x 4 2  x 4  2  A     x   2 x  4 4
x  x  4 2  x  4  2  x  4
+ Nếu 4  x  8 thì x  4  2  0 nên
x  x  4  2  2 x  4 4x 16 A   4   x  4 x  4 x  4
Do 4  x  8 nên 0  x  4  4  A  8 . + Nếu x 8
 thì x  4  2 0  nên
x  x  4 2  x  4  2 2x x  4 2x 8 A    2  x  4  2  16 8  x  4 x  4 x  4 x  4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 8 2 x  4   x  4 4   x 8  . x  4
Vậy GTNN của A bằng 8 khi x 8  . 16
b) Xét 4  x  8 thì A 4  
, ta thấy A Z khi và chỉ khi x  4
16 Z  x 4 là ước số nguyên dương của 16. Hay x  4
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang file word mới nhất 1 3 3/17
x  4 1;2;4;8;1  6  x   5; 6;8;12; 2 
0 đối chiếu điều kiện suy ra x 5  hoặc x 6  . 2x 2 x m   4 + Xét x 8  ta có: A 
, đặt x  4 m   khi đó x   4 m 2    2 2 m  4 ta có: 8 A  2  m 
suy ra m 2;4; 
8  x  8;20;6  8 . m m
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x  5;6;8;20;6  8 .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) 2  x x  1 2 x 1
Với x  0 , cho hai biểu thức A  và B   . x x x  x
1) Tính giá trị biểu thức A khi x 6  4 .
2) Rút gọn biểu thức B . A 3 3) Tính x để  . B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) x  4
1) Cho biểu thức A 
. Tính giá trị của biểu thức A . x  2  x 4  x 16
2) Rút gọn biểu thức B    : (với  x 4 x 4    x  2   x 0  , x 1  6 )
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị
nguyên của x để giá trị của biểu thức B  A   1 là số nguyên.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang
file word mới nhất 1 4 4/17
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội). x 10 x 5 Cho A    , với x 0  , x 2  5 . x  5 x  25 x  5
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x 9  . 1
3) Tìm x để A  . 3
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội). x 2 x 3x  9 Cho P    , với x 0  , x 9  . x  3 x  3 x  9 1) Rút gọn P . 1
2) Tìm giá trị của x để P  . 3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau: 5 5 5 3 5 A     5  2 5  1 3  5  x 1   2 6 B : 1        x  0 .  x 3 x x 3     x x 3 x     
Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang file word mới nhất 1 5 5/17  x 3  x  3 A    . với x 0  , x 9  .  x  3
x  3  x  9   B      2      2 21 2 3 3 5 6 2 3 3 5  15 15 .
Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) x 2 2x  2
Rút gọn biểu thức P  
, với x  0, x 2 . 2 x  x 2 x  2
Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định) 1 1 1 1 Cho A    ...  và 1 2 2  3 3  4 120  121 1 1 B 1    ...  . 2 35
Chứng minh rằng B  A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận) 3 3 x  y x  y Cho biểu thức P  . , x y . 2 2 2 2
x  xy  y x  y
1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x  7  4 3 và y  4  2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a,b ; a b  .
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang
file word mới nhất 1 6 6/17
 a  b3  b b 2a a
Chứng minh rằng:  a  b3 3a .  3 ab  0  a a  b b b  a
Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
x  x  6 x  7 x 19 x  5 x A    ; x  0, x 9  . x  9 x  x  12 x  4 x
Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh) 1 1 2 x Cho biểu thức A     x 0  , x 4 . 2  x 2  x 4  x 1
Rút gọn A và tìm x để A  . 3
Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi). 3 3 x x  x
1) Cho biểu thức P    . Tìm x  3  x x  3  x x 1
tất cả các giá trị của x để P  2 .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P 2
: y  x và đường
thẳng  d  : y m
 x  1 ( m là tham số). chứng minh rằng
với mọi giá trị của m , đường thẳng  d  luôn cắt  P tại
hai điểm phân biệt có hoành độ x , x 1 2 thỏa mãn x  x 2 1 2  .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang file word mới nhất 1 7 7/17 a 2 2 Cho biểu thức C    . a  16 a  4 a  4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a 9   4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)  2 3 5 x  7  2 x  3
Cho biểu thức A     : 
x 2 2 x 1 2x 3 x 2      5x  10 x    x  0, x 4   .
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) x 1
1) Tính giá trị của biểu thức A  , khi x 9  . x  1  x  2 1  x 1
2) Cho biểu thức P   .  với x  0 và  x 2 x x 2     x  1 x 1  . x 1
a) Chứng minh rằng P  . x
b) Tìm các giá trị của x để 2P 2  x  5 .
Câu 17) Cho a  3 5 2 3  3 5 2 3 . Chứng minh rằng 2 a  2a  2 0  .
Câu 18) Cho a  4  10  2 5  4  10  2 5 .
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang
file word mới nhất 1 8 8/17 2 3 2
a  4a  a  6a  4
Tính giá trị của biểu thức: T  . 2 a  2a 12
Câu 19) Giả thiết x, y, z  0 và xy  yz  zx a  . Chứng minh rằng:  2 a  y   2 a  z 
 a  z 2  a  x2  2 a  x   2 a  y  x  y  z 2  a . 2 2 2 a  x a  y a  z Câu 20. Cho 3
a  2  7  61 46 5 1. a) Chứng minh rằng: 4 2
a  14a  9 0  .
b) Giả sử f  x 5 4 3 2
x  2x  14x  28x  9x 19 . Tính f  a . Câu 21. Cho 3 3
a  38 17 5  38  17 5 .
Giả sử có đa thức f  x   x  x  2016 3 3 1940
. Hãy tính f  a .
2n 1 n n 1
Câu 22. Cho biểu thức   f  n  . n  n 1
Tính tổng S  f  
1  f  2  f  3 ... f  2016 .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 5 1    ...   . 2 2 2 2 1 2 3 n 3
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 , ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 1 rang file word mới nhất 1 9 9/17 1 1 1 1 65   ...   . 3 3 3 3 1 2 3 n 54
Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 1 1 44   ...   44 2 1 1 2 3 2  2 3 2002 2001  2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1   ...   1 . 2 2 1 1 3 3  2 2  n   1 n 1  n n n 1
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 , ta có: 1 4 7 10 3n  2 3n 1 1 . . . .... .  . 3 6 9 12 3n
3n  3 3 n 1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1 1). Lời giải: 2 64 2 8 5 1) Với x 6  4 ta có A      . 64 8 4
 x  1. x  x  2 x  1. x x x 2x 1 x  2 B   1   
x. x  x  x x  x x 1 x 1 A 3 2  x 2  x 3 x 1 3 Với x  0 , ta có:   :    B 2 x x 1 2 x 2
 2 x  2  3 x 
x  2  0  x  4 (do x  0 ). 2. Lời giải:
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu T 2 rang
file word mới nhất 2 0 0/17