Các bài toán liên quan đến dãy số Toán 6 (có lời giải chi tiết)

Các bài toán liên quan đến dãy số Toán 6 có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 26 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Lý thuyết nêu trong từng dạng bài tập ở phần II.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tổng dãy phân số có dạng
( )
k
a. a k+
.
1) Tính tổng :
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
...
. . . .
nn
S
a a a a a a a a
-
= + + + +
Với
2 1 3 2 4 3 1
... 1
nn
a a a a a a a a
-
- = - = - = = - =
Phương pháp:
Ta có:
21
1 2 1 2 1 2
1 1 1
;
..
aa
a a a a a a
-
= = -
32
2 3 2 3 2 3
1 1 1
;
..
aa
a a a a a a
-
= = -
....................................
1
111
1 1 1
;
..
nn
n n n n n n
aa
a a a a a a
-
---
-
= = -
Do đó:
Bài 1: Tính tổng:
1 1 1
...
1.2 2.3 2014.2015
= + + +A
Lời giải:
Ta có:
Trang 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014
... 1 .... 1
1.2 2.3 2014.2015 2 2 3 2014 2015 2015 2015
A = + + + = − + − + + − = − =
Vậy
2014
2015
A =
Bài 2: Tính tổng
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 100.101
B = + + + +
Lời giải:
Ta có:
= + + + + = - + - + - + + -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
1.2 2.3 3.4 100.101 1 2 2 3 3 4 100 101
B
= - =
1 1 100
1 101 101
Vậy
100
101
B =
Bài 3: Tính tổng
1 1 1
...
9.10 10.11 2004.2005
S = + + +
Lời giải:
Ta có:
1 1 1
...
9.10 10.11 2004.2005
S = + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1996
...
9 10 10 11 2004 2005 9 2005 18045
S = − + − + + − = − =
Vậy
1996
18045
S =
2) Tính tổng :
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
...
. . . .
nn
S
a a a a a a a a
-
= + + + +
Với
2 1 3 2 4 3 1
... 1
nn
a a a a a a a a k
-
- = - = - = = - = >
thì:
Phương pháp:
Ta có:
21
1 2 1 2 1 2
11
;
..
aa
k
a a a a a a
-
= = -
32
2 3 2 3 2 3
11
;
..
aa
k
a a a a a a
-
= = -
Trang 3
....................................
1
111
11
;
..
nn
n n n n n n
aa
k
a a a a a a
-
---
-
= = -
Do đó:
1 2 2 3 3 4 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
n n n
S
k a a a a a a a a k a a
-
æö
æö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
= - + - + - + + - = -
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
èø
èø
Bài 4: Tính tổng
2 2 2 2
...
1.3 3.5 5.7 99.101
A = + + + +
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100
... ...
1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101
A = + + + + = - + - + - + + - = - =
Vậy
100
101
S =
Bài 5: Tính tổng
1 1 1 1 1
...
1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
S = + + + + +
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1
...
1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
S = + + + + +
1 1 1 1 1
...
1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
1 2 2 2 2 2
...
2 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 1 3 3 5 5 7 7 9 97 99
1 1 1
2 1 99
1 98
.
2 99
49
99
S
S
S
S
S
S
= + + + + +

= + + + + +



= − + − + − + − + + −



=−


=
=
Trang 4
Vậy
49
99
S =
Bài 6: Tính nhanh tổng sau :
a)
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
A = + + + +
b)
4 4 4 4
...
11.16 16.21 21.26 61.66
B = + + + +
Lời giải:
a) Ta có :
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
3.3 3.3 3.3 3.3 3.3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
3 3 3 3 3
3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17
11
3
2 17
15
3.
34
45
A
A
A
A
A
A
A
= + + + +
= + + + +
æö
÷
ç
= + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + - + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
=
=
34
Vậy
45
34
S =
b) Ta có :
4 4 4 4
...
11.16 16.21 21.26 61.66
1 1 1 1
4 ...
11.16 16.21 21.26 61.66
5 5 5 5
5 4 ...
11.16 16.21 21.26 61.66
1 1 1 1 1 1 1 1
5 4 ...
11 16 16 11 21 26 61 66
11
5 4 5
11 66
B
B
B
B
BB
= + + + +
æö
÷
ç
= + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
Þ = + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - Þ
÷
ç
÷
ç
÷
èø
55 4 2
4.
11.66 66 33
B= Þ = =
Vậy
2
33
B =
Trang 5
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :
3 3 3 3 25 25 25
... ...
1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100
A
æ ö æ ö
÷÷
çç
= + + + + - + + +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
Lời giải:
Đặt
3 3 3 3
...
1.8 8.15 15.22 106.113
B = + + + +
Ta có :
7 7 7 7
7 3 ...
1.8 8.15 15.22 106.113
1 1 1 1 1 1 1 1
7 3 ...
1 8 8 15 15 22 106 113
1 1 112 3.112 48
7 3 3.
1 113 113 7.113 113
B
B
BB
æö
÷
ç
= + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - = Þ = =
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Đặt
25 25 25
...
50.55 55.60 95.100
C = + + +
Ta có :
1 5 5 5
...
5 50.55 55.60 95.100
1 1 1 1 1 1 1
...
5 50 55 55 60 95 100
1 1 1 1
5 50 100 100
1
20
C
C
C
C
= + + +
= - + - + + -
= - =
Þ=
Khi đó
48 1 847
113 20 2260
A B C= - = - =
Vậy
847
2260
A =
.
Bài 8: Tính nhanh :
9 9 9 1
...
9.19 19.29 29.39 1999.2009
A = + + + +
Lời giải:
9 9 9 1
...
9.19 19.29 29.39 1999.2009
A = + + + +
Trang 6
10 10 10 10
10 9 ...
9.19 19.29 29.39 1999.2009
1 1 1 1 1 1 1 1
10 9 ...
9 19 19 29 29 39 1999 2009
11
10 9
9 2009
2000 2000 200
10 9.
9.2009 2009 2009
A
A
A
AA
æö
÷
ç
= + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
= = Þ =
Vậy
200
2009
A =
.
Bài 9: Thực hiện phép tính :
1 1 1 1 1
3. 5. 7. ... 15. 17.
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
A = - + - + -
Lời giải:
Ta có :
1 1 1 1 1
3. 5. 7. ... 15. 17.
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
3 5 7 15 17
...
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 7 8 8 9
A
A
A
A
A
= - + - + -
= - + - + -
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
= + - + + + - + + - +
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
= + - - + + - + + - -
11
19
8
9
A
=-
=
Vậy
8
9
A =
.
Bài 10: Tính tỉ số
A
B
biết:
1 1 1 1
...
1.300 2.301 3.302 101.400
A = + + + +
và
1 1 1 1
...
1.102 2.103 3.104 299.400
B = + + + +
Lời giải:
Ta có:
Trang 7
299 299 299 299
299 ...
1.300 2.301 3.302 101.400
1 1 1 1 1 1 1 1
299 ...
1 300 2 301 3 302 101 400
1 1 1 1 1 1 1 1
299 ... ...
1 2 3 101 300 301 302 400
A
A
A
= + + + +
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + - + - + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö
÷÷
çç
= + + + + - + + + +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
101 101 101 101
101 ...
1.102 2.103 3.104 299.400
1 1 1 1 1 1 1 1
101 ...
1 102 2 103 3 104 299 400
1 1 1 1 1 1 1 1
101 ... ...
1 2 3 299 102 103 104 400
B
B
B
= + + + +
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + - + - + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö
÷÷
çç
= + + + + - + + + +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
1 1 1 1 1 1 1
101 ... ...
1 2 3 101 300 301 400
B
æ ö æ ö
÷÷
çç
= + + + - + + +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
Khi đó
101
299 101
299
A
AB
B
= Þ =
.
Bài 11: Rút gọn :
1 1 1 1 1 1
...
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
A = - - - - - -
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1 1
...
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
1 1 1 1 1 1
...
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
1 1 1 1 1 1
...
100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
100 1 2 2 3 97 98 98 99 99 100
A
A
A
A
= - - - - - -
æö
÷
ç
= - + + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + + + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æ
ç
= - - + - + + - + - + -
ç
è
1 1 1
100 1 100
1 1 49
1
100 100 50
A
A
ö
÷
÷
÷
ç
÷
ø
æö
÷
ç
= - -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
-
= - + =
Vậy
49
50
A
−
=
.
Dạng 2: Tổng dãy phân số có mẫu là tích
n
số tự nhiên liên tiếp
( )
n 3
.
Trang 8
1) Tính tổng sau:
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
S
n n n
= + + +
++
Nhận xét đề bài:
+ Tử các số hạng đều là 1.
+ Mẫu các số hạng đều là tích ba số tự nhiên liên tiếp.
+ Số hạng tổng quát có dạng:
1
( 1)( 2)n n n++
Ta có:
1 1 2 1 ( 2) 1 1 1
..
( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)
kk
k k k k k k k k k k k k k
éù
+-
êú
= = = -
êú
+ + + + + + + + +
ëû
Do đó:
1 1 1 1
.
1.2.3 2 1.2 2.3
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
1 1 1 1
.
2.3.4 2 2.3 3.4
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
........................
1 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
+ + + + +
èø
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
1 1 1 1 1 1 1
...
2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)
n
S
n n n n
æö
÷
ç
= - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
+ + +
èø
1 1 1
2 1.2 ( 1)( 2)
n
S
nn
æö
÷
ç
÷
Þ = -
ç
÷
ç
÷
ç
++
èø
• Nhận xét kết quả:
Nếu mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì tổng bằng tích nghịch đảo của
(3 1)-
với hiệu nghịch đảo của
tích hai thừa số có giá trị nhỏ nhất và nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị lớn nhất.
Trang 9
1 1 1
2 1.2 ( 1)( 2)
n
S
nn
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
++
èø
Bài 1: Tính
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 37.38.39
A = + + +
Lời giải:
Ta có:
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 37.38.39
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 37.38 38.39
1 1 1 1 1 1 1
...
2 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39
A
A
A
= + + +
= − + − + + −

= − + − + + −


1 1 1
2 1.2 38.39

=−


A
185
741
=A
Vậy
185
741
A =
.
Bài 2: Tính tổng
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99
S = + + + +
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 2 2 2 2
... 2 ...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99
SS= + + + + = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ...
2 1 3 3 2 4 4 3 5 98 97 99
S
= − + − + − + + −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425
2 . . . . . . ... . . .
2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851
S = − + − + − + + − = − =
2425
9702
S=
Vậy
2425
9702
A =
.
Trang 10
2) Tính tổng sau:
1 1 1
...
1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1)( 2)( 3)
S
n n n n
= + + +
+ + +
- Nhận xét đề bài:
+ Tử các số hạng đều là 1.
+ Mẫu các số hạng đều là tích bốn số tự nhiên liên tiếp.
+ Số hạng tổng quát có dạng:
1
( 1)( 2)( 3)n n n n+ + +
Ta có:
1 1 3 1 ( 3)
..
( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3)
1 1 1
3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
kk
k k k k k k k k k k k k
k k k k k k
+-
==
+ + + + + + + + +
éù
êú
=-
êú
+ + + + +
ëû
Do đó:
1 1 1 1
.
1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
1 1 1 1
.
2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
........................
1 1 1 1
( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)n n n n n n n n n n
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
+ + + + + + + +
èø
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
1 1 1 1 1 1 1
...
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1) ( 2) ( 1)( 2)( 3)
1 1 1
3 1.2.3 ( 1)( 2)( 3)
n
n
S
n n n n n n
S
n n n
æö
÷
ç
= - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
+ + + + +
èø
æö
÷
ç
Þ = -
÷
ç
÷
ç
÷
+ + +
èø
Bài 3: Tính
1 1 1
...
1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30
B = + + +
Trang 11
Lời giải:
Nhận xét:
1 1 3 1 1 3 1 1 3
; ;...;
1.2.3 2.3.4 1.2.3.4 2.3.4 3.4.5 2.3.4.5 27.28.29 28.29.30 27.28.29.30
- = - = - =
Ta có:
1 1 1
...
1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30
1 1 4059
3
1.2.3 28.29.30 28.29.30
1353
8120
B
B
B
= + + +
= − =
=
Vậy
1353
8120
A =
.
Bài 4: Tính
18 18
...
10.11.12.13 96.97.98.99
D = + +
Lời giải:
Ta có:
18 18
...
10.11.12.13 96.97.98.99
11
6
10.11.12 97.98.99
= + +

=−


D
D
97.49.3 20
6.
97.98.99.20
14239
3136980
−
=
=
D
D
Vậy
14239
3136980
D =
.
Dạng 3. Tích dãy phân số theo quy luật
Bài 1: Tính tích.
a)
2 2 2 2
2 3 4 20
. . ...
1.3 2.4 3.5 19.20
A =
b)
2 2 2 2
1 2 3 10
. . ...
1.2 2.3 3.4 10.11
B =
Lời giải:
a) Ta có:
Trang 12
2 2 2 2
2 3 4 20 2.2 3.3 4.4 20.20 (2.3.4...20)(2.3.4...20) 20.2 40
. . ... . . ...
1.3 2.4 3.5 19.20 1.3 2.4 3.5 19.20 (1.2.3....19)(3.4.5...21) 21 21
A = = = = =
b) Ta có:
2 2 2 2
1 2 3 10 1.1 2.2 3.3 10.10 (1.2.3...10)(1.2.3...10) 1
. . ... . . ...
1.2 2.3 3.4 10.11 1.2 2.3 3.4 10.11 (1.2.3...10)(2.3.4...11) 11
B = = = =
Bài 2: Tính tích:
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2016
C
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
+ + + + + + + + + +
è ø è ø è ø è ø
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2016
1 1 1
1 . 1 . 1 ...
(1 2).2 (1 3).3 (1 4)4
2 2 2
C
C
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
+ + + + + + + + + +
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= - - -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
1
1
(1 2016).2016
2
2 5 9 2016.2017 2
. . ...
3 6 10 2016.2017
4 10 18 2016.2017 2
. . ...
6 12 20 2016.2017
1.4 2.5 3.6 2015.2018
. . ...
2.3 3.4 4.5 2016.2017
1004
3009
C
C
C
C
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
+
ç
÷
÷
ç
÷
ç
èø
-
=
-
=
=
=
Vậy
1004
3009
C =
Bài 3: Tính:
1 1 1 1 1 1 1 1
. . ... .
2 3 2 5 2 7 2 99
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
Lời giải:
Ta có:
( )
49 49
1.3.5...97
1 3 5 97 1
. . ...
2.3 2.5 2.7 2.99
2 (3.5.7...99) 2 .99
A = = =
Trang 13
Vậy
49
1
2 .99
A =
Bài 4: Tính:
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1 .
4 9 16 400
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
Lời giải:
Ta có:
( )( )
( )( )
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
4 9 16 400
3 8 15 399
. . ...
4 9 16 400
1.3 2.4 3.5 19.21
. . ...
2.2 3.3 4.4 20.20
1.2.3...19 3.4.5...21
2.3.4...20 2.3.4...20
21
20.2
21
40
A
A
A
A
A
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
=
=
=
=
=
Vậy
21
40
A =
Bài 5: Tính:
a)
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
b)
1 1 1
1 . 1 ... 1 .
5 6 100
B
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - - -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø
Lời giải:
a) Ta có:
( )( )
( )( )
2 2 2 2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020
2 3 4 2019
. . ...
1.3 2.4 3.5 2018.2019
2.3.4...2019 2.3.4...2019
1.2.3...2.18 3.4.5...2019
2.2019 4038
A
A
A
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
=
=
==
Trang 14
Vậy
4038A =
b) Ta có:
1 1 1
1 . 1 ... 1 .
5 6 100
5 1 6 1 99 1 100 1
. ... .
5 6 99 100
4 5 98 99
. ... .
5 6 99 100
41
100 25
B
B
B
B
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - - -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
- - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
=
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
=
==
Vậy
1
25
B =
Bài 6: Tính tích:
a)
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 7 8 9
. . . . . . .
3 8 15 24 35 48 63 80
C =
b)
8 15 24 2499
. . ... .
9 16 25 2500
D =
Lời giải:
a) Ta có:
( )( )
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 7 8 9 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9
. . . . . . . . . . . . . .
3 8 15 24 35 48 63 80 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10
2.3.4.5.6.7.8.9 2.3.4.5.6.7.8.9
9.2 9
10 5
1.2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9.10
C ==
= = =
Vậy
9
5
C =
b) Ta có:
( )( )
( )( )
2.3.4...49 4.5.6...51
8 15 24 2499 2.4 3.5 4.6 49.51 2.51 17
. . ... . . ...
9 16 25 2500 3.3 4.4 5.5 50.50 50.3 25
3.4.5...50 3.4.5...50
D = = = = =
Vậy
17
25
D =
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
1 1 1 1 1
. 1 . 1 . 1 ... 1
2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
Trang 15
Lời giải:
( )
1 1 1 1 1
. 1 . 1 . 1 ... 1
2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
1 2.2 3.3 4.4 2016.2016
. . . ...
2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
2.3.4...2016 2.3.4...2
1
.
2
A
A
A
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
=
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
=
( )
( )( )
016
1.2.3...2015 3.4.5...2017
1 2016 2
..
2 1 2017
2016
2017
A
A
éù
êú
êú
êú
ëû
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
÷
èø
=
Vậy
2016
2017
A =
Bài 8: So sánh:
20
1
21
V =
-
và
1.3.5...39
21.22.23...40
U =
Lời giải:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
10
10 10 5
1.3.5...39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39
21.22.23...40
21.23.25...39 22.24.26...40
21.23.25...39 .2 11.12.13...20
1.3.5...37.39 1.3.5...37.39
2 21.23.25...39 . 11.13...19 12.14...20 2 11.13.55...39 .2 . 6.7.8.
U = = =
==
( )
( ) ( ) ( )
15 15 5 20 20
9.10
1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1
2 7.9.11...39 . 6.8.10 2 7.9....39 .2 .3.5 2 .3.5.7...39 2
= = = =
Mà
20 20
11
2 2 1
UV< Þ <
-
Dạng 4: Tính tổng dãy phân số có mẫu là lũy thừa các số tự nhiên.
Bài 1: Tính tổng sau:
2 2005
1 1 1
... (1)
2
22
S = + + +
Lời giải:
Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó 2 lần.
2 2004
1 1 1
2 1 ... (2)
2
22
S = + + + +
Trang 16
Trừ vế với vế của
(2)
cho
(1)
ta được
2005
2005 2005
1 2 1
1
22
S
-
= - =
Cách 2: Ta có:
2 3 2006
1 1 1 1
... (3)
2
2 2 2
S = + + +
Trừ vế với vế của
(1)
cho
(3)
ta được:
2005 2005 2005
2006 2006 2006 2005
1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
2 2 2
2 2 2 2
s S S S
- - -
- = - = Þ = Þ =
Bài 2: Tính nhanh:
2 3 8
1 1 1 1
...
3
3 3 3
A = + + + +
Lời giải:
Ta có:
27
1 1 1
3 1 ... (1)
3
33
A = + + + +
27
1 1 1
... (2)
3
33
A = + + +
Lấy
(1) (2)-
được:
8
1 1 6560
2 1 1
6561 6561
3
A = - = - =
Do đó:
6560
6561
A =
Bài 3: Tính tổng sau:
2 3 100
1 1 1 1
...
7
7 7 7
A = + + + +
Lời giải:
Ta có:
2 3 4 100 101
1 1 1 1 1 1
...
7
7 7 7 7 7
A = + + + +
2 2 3 3 100 100 101
100 100
101 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
77
7 7 7 7 7 7 7
6 7 1 7 1
7
7 6.7
AA
AA
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
- = - + - + + - + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
--
Þ = Þ =
Bài 4: Tính tổng:
4 7 100
3 3 3 3
...
5
5 5 5
G = + + + +
Lời giải:
Trang 17
Ta có:
4 7 100 4 7 100
3 3 3 3 1 1 1 1
... 3 ...
55
5 5 5 5 5 5
G
æö
÷
ç
= + + + + = + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Đặt
4 7 100 3 4 7 10 103
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
5
5 5 5 5 5 5 5 5
AA
æö
÷
ç
= + + + + Þ = + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
4 4 7 7 100 100 103
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
125 5
5 5 5 5 5 5 5
AA
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
- = - + - + + - + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
102
03 103
102
100
124. 1 1 5 1
125 5
55
51
5 .124
A
A
-
= - =
-
Þ=
Bài 5: Tính tổng:
3 5 99
1 1 1 1
...
2
2 2 2
C = + + + +
Lời giải:
Ta có:
2 3 5 7 99 101
1 1 1 1 1 1
...
2 2 2 2 2 2
C = + + + + +
3 3 5 5 98 98 101
1 3 1 1 1 1 1 1 1 1
...
4 4 2
2 2 2 2 2 2 2
C C C
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
- = = - + - + + - + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
100 100
101 99
3 2 1 2 1
4
2 3.2
CC
--
Þ = Þ =
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
D = + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Hoằng Hóa năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
Trang 18
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
3.3 3.3 3.3 3.3 3.3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
3 3 3 3 3
3.
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 45
3 3 3.
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 2 17 34 34
D
D
D
D
= + + + +
= + + + +
æö
÷
ç
= + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æ ö æ ö
÷÷
çç
= - + - + - + - + - = - = =
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
Vậy
45
34
D =
Bài 2: Tính hợp lí:
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 98.99.100
C = + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ba Vì năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 98.99.100
2 2 2 1 1 1 1 1 1
2 ... ...
1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100
1 1 50.99 1 4949
1.2 99.100 100.99 9900
4949
19800
C
C
C
= + + +
Þ = + + + = + + + + +
-
= - = =
Þ=
Bài 3: Thực hiện phép tính sau:
1 1 1 1
...
2.5 5.8 8.11 2015.2018
B = + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghi Xuân năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
Trang 19
1 1 1 1
...
2.5 5.8 8.11 2015.2018
1 3 3 3 3
...
3 2.5 5.8 8.11 2015.2018
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
3 2 5 5 8 8 11 2015 2018
1 1 1
3 2 2018
336
2018
B
B
B
B
B
= + + + +
æö
÷
ç
= + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
=
Bài 4:
Tính giá trị biểu thức:
5 4 3 1 13
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
C = + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện nga Sơn năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 5 1 13 4 3
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60 2 30 60 11 22
5.30 1.2 13.1 4.2 3 150 12 13 11
2.30 30.2 60.1 11.2 22 60 22
165 11 11 1 13
60 22 4 2 4
C
æ ö æ ö
÷÷
çç
= + + + + = + + + + = + + + +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
æ ö æ ö
++
÷÷
çç
= + + + + = +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
= + = + =
Vậy
13
4
C =
Bài 5: Tính:
111111
20 30 42 56 72 90
C
------
= + + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Như Thanh năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
Trang 20
111111
20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 3
4 10 20
C
C
C
C
------
= + + + + +
æö
÷
ç
= - + + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - - + - + - + - + - + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
-
= - + =
Vậy
3
20
C
-
=
Bài 6: Tính hợp lí giá trị biểu thức sau:
2 2 2 2
...
60.63 63.66 66.69 117.120
B = + + +
(
Trích đề HSG Toán 6 huyện Nông Cống năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2
...
60.63 63.66 66.69 117.120
2 3 3 3 3
. ...
3 60.63 63.66 66.69 117.120
2 1 1 1 1 1 1 1 1
. ...
3 60 63 63 66 66 69 117 120
2 1 1
3 60 120
1
180
B
B
B
B
B
= + + +
æö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
=
Vậy
1
180
C =
Bài 7: Tính giá trị các biểu thức:
a)
11
2019 2018
2019 2019
A
æ ö æ ö
÷÷
çç
= - - -
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghĩa Đàn năm học 2018-2019)
Lời giải:
Trang 21
a) Ta có:
11
2019 2018
2019 2019
11
2019 2018
2019 2019
11
2019 2018
2019 2019
1
A
A
A
A
æ ö æ ö
÷÷
çç
= - - -
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
= - - +
= - - +
=
Vậy
1A =
Bài 8: Thực hiện phép tính:
a)
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
4 9 16 400
B
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
b)
2010 20009 2008 1
...
1 2 3 2010
1 1 1 1
...
2 3 4 2011
C
+ + + +
=
+ + +
( Trích đề HSG Toán 6 thành phố Chí Linh năm học 2018-2019)
Lời giải:
a) Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
4 9 16 400
3 8 15 399
. . ...
4 9 15 400
3.8.15...399
2 .3 .4 ...20
1.3.2.4.3.5...19.21
2.2.3.3.4.4...20.20
1.2.3...19 3.4.5...21
.
2.3.4...20 2
B
B
B
B
B
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - - - -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
- - - -
=
=-
=-
=-
.3.4..20
1 21 21
.
20 2 40
B = - = -
Vậy
21
40
B =-
Trang 22
b) Ta có:
2010 2009 2008 1 2009 2008 2007 1
... 1 1 1 ... 1 1
1 2 3 2010 2 3 4 2010
2011 2011 2011 2011 2011 1 1 1 1 1
... 2011. ...
2 3 4 2010 2011 2 3 4 2010 2011
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
+ + + + = + + + + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø
æö
÷
ç
= + + + + + = + + + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Do đó
1 1 1 1
2010 20009 2008 1
2011 ...
...
2 3 4 2011
1 2 3 2010
2011
1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 4 2011 2 3 4 2011
C
æö
÷
ç
+ + +
÷
ç
+ + + +
÷
ç
÷
èø
= = =
+ + + + + +
Vậy
2011C =
.
Bài 9: Tính
1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1 . 1
2 3 4 2018 2019
A
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
= - - - - -
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Thanh Trì năm học 2012018-2019)
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1 . 1
2 3 4 2018 2019
1 2 3 2017 2018 1
. . ... .
2 3 4 2018 2019 2019
A
A
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
= - - - - -
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
Þ = =
Vậy
1
2019
A =
Bài 10: Cho
34 51 85 68
7.13 13.22 22.37 37.49
A = + + +
và
39 65 52 26
7.16 16.31 31.43 43.49
B = + + +
Tính
A
B
.
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Vĩnh Yên năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
Trang 23
34 51 85 68
7.13 13.22 22.37 37.49
A= + + +
17.2 17.3 17.5 17.4
7.13 13.22 22.37 37.49
A= + + +
17 3.2 3.3 3.5 3.4
3 7.13 13.22 22.37 37.49
A
æö
÷
ç
÷
= + + +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
17 6 9 15 12
3 7.13 13.22 22.37 37.49
A
æö
÷
ç
÷
= + + +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
17 1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 13 13 22 22 37 37 49
A
æö
÷
ç
÷
= - + - + - + -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
17 1 1
3 7 49
A
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Ta lại có:
39 65 52 26
7.16 16.31 31.43 43.49
13.3 13.5 13.4 13.2
7.16 16.31 31.43 43.49
13 3.3 3.5 3.4 3.2
3 7.16 16.31 31.43 43.49
13 1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 16 16 31 31 43 43 49
13 1 1
3 7 49
B
B
B
B
B
= + + +
= + + +
æö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
= - + - + - + -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Từ đó suy ra:
17 1 1
3 7 49
17
13
13 1 1
3 7 49
A
B
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
==
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Vậy
17
13
A
B
=
.
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
2 3 4 199 200
1 1 1 1 1 1
1 ...
3
3 3 3 3 3
A = + - + - + + -
Trang 24
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
2 3 198 199
1 1 1 1 1
3 3 1 ...
3
3 3 3 3
A = + - + - + + -
2 3 198 199 2 3 4 199 200 200
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 1 ... 1 ... 5
33
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
AA
æ ö æ ö
÷÷
çç
+ = + - + - + + - + + - + - + - = -
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
è ø è ø
200 200
11
4 5 5 : 4
22
AA
æö
÷
ç
= - Þ = -
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Bài 12: Tính tỉ số
A
B
biết:
4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57
A = + + +
và
7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B = + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Phú Xuyên năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
4 6 9 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57
A
= + + + = - + - + - + - = -
7 5 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57
B
= + + + = - + - + - + - = -
5
5 2 2
A B A
B
Þ = Þ =
.
Bài 13: Tính tổng
11 19 29 41 55 71 89 109
1
6 12 20 30 42 56 72 90
S = − + − + − + − +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Gia Lộc năm học 2018-2018)
Lời giải:
11 19 29 41 55 71 89 109
1
6 12 20 30 42 56 72 90
S = − + − + − + − +
Trang 25
5 7 9 11 13 15 19 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42 56 72 90
S = − − + + − − + + − − + + − − + +
5 7 9 11 13 15 17 19
1
6 12 20 30 42 56 72 90
S = − + − + − + − +
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
S
+ + + + + + + +
= − + − + − + − +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
1
3 2 4 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 2 10 5
S = − − + + − − + + − − + + − − + + = + =
Vậy
3
5
S =
.
Bài 14: Tính tổng
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 9 19
...
1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 9 .10
S = + + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 Ninh Bình năm học 2018-2019).
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 5 4 10 9
...
1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 9 .10
S
− − − − −
= + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
... 1
1 2 2 3 3 4 9 10 100 100
S = − + − + − + + − = − =
Vậy
99
100
S =
.
Bài 15: Hãy so sánh:
1 1 1
124 ...
1.1985 2.1986 16.2000
A

= + + +


và
1 1 1
...
1.17 2.18 1984.2000
B = + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ninh Giang năm học 2018-2019).
Lời giải:
Ta có:
1 1 1
124 ...
1.1985 2.1986 16.2000
124 1 1 1
1 ...
1984 1985 16 2000
1 1 1 1 1 1
1 ... ...
16 2 16 1985 1986 2000
A

= + + +



= − + + −



= + + + − + + +


Trang 26
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ... ... ...
16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 1986 2000
B

= + + + + + + + − − − − − + + +


1 1 1 1 1 1
1 ... ...
16 2 16 1985 1986 2000
BA

= + + + − + + + =


Vậy
AB=
.
HẾT
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Lý thuyết nêu trong từng dạng bài tập ở phần II.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI k
Dạng 1: Tổng dãy phân số có dạng .
a.(a + k ) 1 1 1 1
1) Tính tổng : S = + + + ...+ a .a a .a a .a a .a 1 2 2 3 3 4 n- 1 n
Với a - a = a - a = a - a = ... = a - a = 1 2 1 3 2 4 3 n n- 1 Phương pháp: 1 a - a 1 1 Ta có: 2 1 = = - ; a .a a .a a a 1 2 1 2 1 2 1 a - a 1 1 3 2 = = - ; a .a a .a a a 2 3 2 3 2 3
.................................... 1 a - a 1 1 n n- 1 = = - ; a .a a .a a a n- 1 n n- 1 n n- 1 n Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = - + - + - + ...+ - = - a a a a a a a a a a 1 2 2 3 3 4 n- 1 n 1 n 1 1 1
Bài 1: Tính tổng: A = + +...+ 1.2 2.3 2014.2015 Lời giải: Ta có: Trang 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014 A = + +...+ =1− + − +....+ − = 1− = 1.2 2.3 2014.2015 2 2 3 2014 2015 2015 2015 2014 Vậy A = 2015 1 1 1 1
Bài 2: Tính tổng B = + + + ...+ 1.2 2.3 3.4 100.101 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: B = + + + ... + = - + - + - + ... + - 1.2 2.3 3.4 100.101 1 2 2 3 3 4 100 101 1 1 100 = - = 1 101 101 100 Vậy B = 101 1 1 1
Bài 3: Tính tổng S = + + ...+ 9.10 10.11 2004.2005 Lời giải: Ta có: 1 1 1 S = + + ...+ 9.10 10.11 2004.2005 1 1 1 1 1 1 1 1 1996 S = − + − +...+ − = − = 9 10 10 11 2004 2005 9 2005 18045 1996 Vậy S = 18045 1 1 1 1
2) Tính tổng : S = + + + ...+ a .a a .a a .a a .a 1 2 2 3 3 4 n- 1 n
Với a - a = a - a = a - a = ... = a - a = k > 1 thì: 2 1 3 2 4 3 n n- 1 Phương pháp: k a - a 1 1 Ta có: 2 1 = = - ; a .a a .a a a 1 2 1 2 1 2 k a - a 1 1 3 2 = = - ; a .a a .a a a 2 3 2 3 2 3 Trang 2
.................................... k a - a 1 1 n n- 1 = = - ; a .a a .a a a n- 1 n n- 1 n n- 1 n Do đó: 1 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 ö 1 1 æ 1 ö ç ÷ ç ÷ S = ç - + - + - + ...+ - ÷= ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ k èa a a a a a a
a ø k çèa a ÷ ø 1 2 2 3 3 4 n- 1 n 1 n 2 2 2 2
Bài 4: Tính tổng A = + + + ...+ 1.3 3.5 5.7 99.101 Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 A = + + + ...+ = - + - + - + ...+ - = - = 1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101 100 Vậy S = 101 1 1 1 1 1
Bài 5: Tính tổng S = + + + +...+ 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 Lời giải: Ta có: 1 1 1 1 1 S = + + + +...+ 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 1 S = + + + + ...+ 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1  2 2 2 2 2  S = + + + + ...+   2  1.3 3.5 5.7 7.9 97.99  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  S = − + − + − + − + ...+ −   2  1 3 3 5 5 7 7 9 97 99  1  1 1  S = −   2  1 99  1 98 S = . 2 99 49 S = 99 Trang 3 49 Vậy S = 99
Bài 6: Tính nhanh tổng sau : 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 a) A = + + + + b) B = + + + ...+ 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 11.16 16.21 21.26 61.66 Lời giải: a) Ta có : 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 A = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 A = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 æ 3 3 3 3 3 ö A = 3ç ÷ ç + + + + ÷ ç ÷ 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 è ø 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ö A = 3ç ÷ ç - + - + - + - + - ÷ ç ÷ 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17÷ è ø 1 æ 1 ö A = 3ç ÷ ç - ÷ ç ÷ 2 17 è ø 15 A = 3. 34 45 A = 34 45 Vậy S = 34 b) Ta có : 4 4 4 4 B = + + + ...+ 11.16 16.21 21.26 61.66 æ 1 1 1 1 ö B 4ç = ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ 11.16 16.21 21.26 61.66 è ø æ 5 5 5 5 ö 5B 4ç Þ = ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ 11.16 16.21 21.26 61.66÷ è ø 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 ö 5B 4ç = ç - + - + - + ... ÷ + - ÷ ç ÷ 11 16 16 11 21 26 61 66 è ø 1 æ 1 ö 55 4 2 5B = 4ç ÷ ç - Þ ÷ 5B ç ÷ = 4. Þ B = = 11 66÷ è ø 11.66 66 33 2 Vậy B = 33 Trang 4
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức : æ 3 3 3 3 ö æ 25 25 25 ö A çç ... ÷ ç = + + + + - ÷ ç + + ... ÷ + ÷ ç ÷ ç ÷ 1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100÷ è ø è ø Lời giải: Đặ 3 3 3 3 t B = + + + ...+ 1.8 8.15 15.22 106.113 Ta có : æ 7 7 7 7 ö 7B 3ç = ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ 1.8 8.15 15.22 106.113 è ø 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 ö 7B 3ç = ç - + - + - + ... ÷ + - ÷ ç ÷ 1 8 8 15 15 22 106 113÷ è ø 1 æ 1 ö 112 3.112 48 7B = 3ç ÷ ç - = ÷ 3. Þ B = = ç ÷ 1 113 è ø 113 7.113 113 Đặ 25 25 25 t C = + + ...+ 50.55 55.60 95.100 Ta có : 1 5 5 5 C = + + ...+ 5 50.55 55.60 95.100 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + ...+ - 5 50 55 55 60 95 100 1 1 1 1 C = - = 5 50 100 100 1 Þ C = 20 Khi đó 48 1 847
A = B - C = - = 113 20 2260 847 Vậy A = . 2260 9 9 9 1
Bài 8: Tính nhanh : A = + + + ...+ 9.19 19.29 29.39 1999.2009 Lời giải: 9 9 9 1 A = + + + ...+ 9.19 19.29 29.39 1999.2009 Trang 5 æ 10 10 10 10 ö 10A 9ç = ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ 9.19 19.29 29.39 1999.2009 è ø 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 ö 10A 9ç = ç - + - + - + ... ÷ + - ÷ ç ÷ 9 19 19 29 29 39 1999 2009 è ø 1 æ 1 ö 10A = 9ç ÷ ç - ÷ ç ÷ 9 2009 è ø 2000 2000 200 10A = 9. = Þ A = 9.2009 2009 2009 200 Vậy A = . 2009 1 1 1 1 1
Bài 9: Thực hiện phép tính : A = 3. - 5. + 7. - ...+ 15. - 17. 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 Lời giải: Ta có : 1 1 1 1 1 A = 3. - 5. + 7. - ...+ 15. - 17. 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 3 5 7 15 17 A = - + - ...+ - 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 1 æ 1ö 1 æ 1ö 1 æ 1ö 1 æ 1ö 1 æ 1ö A ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç + - ÷ ç + + ÷ ç + - ÷ ... ç ÷ ç ÷ + ç + - ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 2 2 3 3 4 7 8 8 9 è ø è ø è ø è ø è ø 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = + - - + + - ...+ + - - 1 2 2 3 3 4 7 8 8 9 1 1 A = - 1 9 8 A = 9 8 Vậy A = . 9 A 1 1 1 1
Bài 10: Tính tỉ số biết: A = + + + ...+ và B 1.300 2.301 3.302 101.400 1 1 1 1 B = + + + ...+ 1.102 2.103 3.104 299.400 Lời giải: Ta có: Trang 6 299 299 299 299 299A = + + + ...+ 1.300 2.301 3.302 101.400 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö æ 1 1 ö 299A ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç - + ÷ ç - + ÷ ç - + ÷ ... ç ÷ + ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 300 2 301 3 302 101 400÷ è ø è ø è ø è ø 1 æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 1 ö 299A çç ... ÷ ç = + + + + - ÷ ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ ç ÷ 1 2 3 101 300 301 302 400 è ø è ø 101 101 101 101 101B = + + + ...+ 1.102 2.103 3.104 299.400 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö æ 1 1 ö 101B ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç - + ÷ ç - + ÷ ç - + ÷ ... ç ÷ + ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 102 2 103 3 104 299 400 è ø è ø è ø è ø 1 æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 1 ö 101B çç ... ÷ ç = + + + + - ÷ ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ ç ÷ 1 2 3 299 102 103 104 400 è ø è ø 1 æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 101B çç ... ÷ ç = + + + - ÷ ç + + ... ÷ + ÷ ç ÷ ç ÷ 1 2 3 101 300 301 400 è ø è ø Khi đó A 101 299A = 101B Þ = . B 299 1 1 1 1 1 1
Bài 11: Rút gọn : A = - - - - ...- - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Lời giải: Ta có: 1 1 1 1 1 1 A = - - - - ...- - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 æ 1 1 1 1 1 ö A ç = - ç + + + ... ÷ + + ÷ ç ÷ 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 è ø 1 æ 1 1 1 1 1 ö A ç = - ç + + ... ÷ + + + + ÷ ç ÷ 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 è ø 1 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ö A ç ÷ = - ç - + - + ...+ - + - + - ÷ ç ÷ 100 1 è 2 2 3 97 98 98 99 99 100ø 1 1 æ 1 ö A ç ÷ = - ç - ÷ ç ÷ 100 1 100 è ø 1 1 - 49 A = - 1+ = 100 100 50 49 − Vậy A = . 50
Dạng 2: Tổng dãy phân số có mẫu là tích n số tự nhiên liên tiếp (n  ) 3 . Trang 7 1 1 1
1) Tính tổng sau: S = + + ...+ 1.2.3 2.3.4
n(n + 1)(n + 2) Nhận xét đề bài:
+ Tử các số hạng đều là 1.
+ Mẫu các số hạng đều là tích ba số tự nhiên liên tiếp. 1
+ Số hạng tổng quát có dạng:
n(n + 1)(n + 2) Ta có: 1 1 2 1 (k 2) k 1 é 1 1 ù + - = . = . = ê - ú k (k 1)(k 2) 2 k (k 1)(k 2) 2 k (k 1)(k 2) 2 k
ê (k 1) (k 1)(k 2)ú + + + + + + + + + ë û Do đó: 1 1 æ 1 1 ö ç ÷ = .ç - ÷ ç ÷ 1.2.3 2 1.2 2.3÷ è ø 1 1 æ 1 1 ö ç ÷ = .ç - ÷ ç ÷ 2.3.4 2 2.3 3.4÷ è ø
........................ 1 1æ 1 1 ö ç ÷ = ç - ÷ ç ÷ n(n 1)(n 2) 2èn(n 1) (n 1)(n 2)÷ + + + + + ø
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được: 1æ 1 1 1 1 1 1 ö ç ÷ S = ç - + - + ...+ - ÷ n ç ÷ 2 1 è .2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) + + + ø 1æ 1 1 ö ç ÷ Þ S = ç - ÷ n ç ÷ 2 1
çè .2 (n+ 1)(n+ 2)÷ø • Nhận xét kết quả:
Nếu mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì tổng bằng tích nghịch đảo của (3- 1) với hiệu nghịch đảo của
tích hai thừa số có giá trị nhỏ nhất và nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị lớn nhất. Trang 8 1æ 1 1 ö ç ÷ S = ç - ÷ n ç ÷ 2 1 è .2 (n 1)(n 2) + + ø 1 1 1
Bài 1: Tính A = + +...+ 1.2.3 2.3.4 37.38.39 Lời giải: Ta có: 1 1 1 A = + + ...+ 1.2.3 2.3.4 37.38.39 1  1 1  1  1 1  1  1 1  A = − + − + ...+ −       2  1.2 2.3  2  2.3 3.4  2  37.38 38.39  1  1 1 1 1 1 1  A = − + − + ...+ −   2  1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39  1  1 1  A = −   2 1.2 38.39  185 A = 741 185 Vậy A = . 741 1 1 1 1
Bài 2: Tính tổng S = + + +...+ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Lời giải: Ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 S = + + +...+  2S = + + +...+ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1 1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1   2S = − + − + − +...+ −        
2 1 3  3  2 4  4  3 5  98  97 99  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425
 2S = . − . + . − . + . − . +...+ . − . = . − = 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851 2425  S = 9702 2425 Vậy A = . 9702 Trang 9 1 1 1
2) Tính tổng sau: S = + + ...+ 1.2.3.4 2.3.4.5
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - Nhận xét đề bài:
+ Tử các số hạng đều là 1.
+ Mẫu các số hạng đều là tích bốn số tự nhiên liên tiếp. 1
+ Số hạng tổng quát có dạng:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Ta có: 1 1 3 1 (k + 3)- k = . = . (
k k + 1)(k + 2)(k + 3) 3 (
k k + 1)(k + 2)(k + 3) 3 (
k k + 1)(k + 2)(k + 3) 1 é 1 1 ù = ê - ú 3 ê ( k k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(k 3)ú + + + + + ë û Do đó: 1 1 æ 1 1 ö ç ÷ = .ç - ÷ ç ÷ 1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4÷ è ø 1 1 æ 1 1 ö ç ÷ = .ç - ÷ ç ÷ 2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5÷ è ø ........................ 1 1æ 1 1 ö ç ÷ = ç - ÷ ç ÷ n(n 1)(n 2)(n 3) 3èn(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3)÷ + + + + + + + + ø
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được: 1æ 1 1 1 1 1 1 ö S ç = ç - + - + ... ÷ + - ÷ n ç ÷ 3 1 è .2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3) + + + + + ø 1æ 1 1 ö Þ S ç ÷ = ç - ÷ n ç ÷ 3 1
è .2.3 (n 1)(n 2)(n 3) + + + ø 1 1 1
Bài 3: Tính B = + +...+ 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 Trang 10 Lời giải: 1 1 3 1 1 3 1 1 3 Nhận xét: - = ; - = ;...; - = 1.2.3 2.3.4 1.2.3.4 2.3.4 3.4.5 2.3.4.5 27.28.29 28.29.30 27.28.29.30 Ta có: 1 1 1 B = + +...+ 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 1 1 4059  3B = − = 1.2.3 28.29.30 28.29.30 1353  B = 8120 1353 Vậy A = . 8120 18 18
Bài 4: Tính D = +...+ 10.11.12.13 96.97.98.99 Lời giải: Ta có: 18 18 D = +...+ 10.11.12.13 96.97.98.99  1 1  D = 6 −   10.11.12 97.98.99  97.49.3 − 20 D = 6. 97.98.99.20 14239 D = 3136980 14239 Vậy D = . 3136980
Dạng 3. Tích dãy phân số theo quy luật
Bài 1: Tính tích. 2 2 2 2 2 3 4 20 2 2 2 2 1 2 3 10 a) A = . . ... b) B = . . ... 1.3 2.4 3.5 19.20 1.2 2.3 3.4 10.11 Lời giải: a) Ta có: Trang 11 2 2 2 2 2 3 4 20 2.2 3.3 4.4 20.20 (2.3.4...20)(2.3.4...20) 20.2 40 A = . . ... = . . ... = = = 1.3 2.4 3.5 19.20 1.3 2.4 3.5 19.20 (1.2.3....19)(3.4.5...21) 21 21 b) Ta có: 2 2 2 2 1 2 3 10 1.1 2.2 3.3 10.10 (1.2.3...10)(1.2.3...10) 1 B = . . ... = . . ... = = 1.2 2.3 3.4 10.11 1.2 2.3 3.4 10.11 (1.2.3...10)(2.3.4...11) 11 æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
Bài 2: Tính tích: C = 1 ç - . ÷ 1 ç - . ÷ 1 ç - . ÷ .. 1 ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 1 2ø è 1 2 3ø è 1 2 3 4ø è 1 2 3 ... 2016÷ + + + + + + + + + + ø Lời giải: Ta có: æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö C = 1 çç - . ÷÷ 1 çç - . ÷÷ 1 çç - . ÷÷.. 1 ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 1 2ø è 1 2 3ø è 1 2 3 4ø è 1 2 3 ... 2016 + + + + + + + + + + ø æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç ÷ 1 ÷ ç 1 ÷ ç ÷ = ç ÷ ç 1 ÷ - ÷ ç ÷ ç 1 ÷ - ÷ ç ÷ C 1 . 1 . 1- . ÷ .. ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1- ÷ ç ç ÷ (1+ 2).2 ÷ ç (1+ 3).3÷ ç (1+ 4)4 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç (1+ 2016).2016 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 2 è 2 ø è 2 ø 2 5 9 2016.2017- 2 C = . . ... 3 6 10 2016.2017 4 10 18 2016.2017- 2 C = . . ... 6 12 20 2016.2017 1.4 2.5 3.6 2015.2018 C = . . ... 2.3 3.4 4.5 2016.2017 1004 C = 3009 1004 Vậy C = 3009 1 æ 1ö 1 æ 1ö 1 æ 1ö 1 æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
Bài 3: Tính: A = ç - . ÷ ç - . ÷ ç - . ÷ ..ç - . ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 3 2 5 2 7 2 99÷ è ø è ø è ø è ø Lời giải: Ta có: 1 3 5 97 (1.3.5...9 ) 7 1 A = . . ... = = 49 49 2.3 2.5 2.7 2.99 2 (3.5.7...99) 2 .99 Trang 12 1 Vậy A = 49 2 .99 æ 1ö æ 1ö æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
Bài 4: Tính: A = 1 ç - . ÷ 1 ç - . ÷ 1 ç - . ÷ .. 1 ç - . ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 4 9 16 400÷ è ø è ø è ø è ø Lời giải: Ta có: æ 1ö æ 1ö æ 1 ö æ 1 ö A = 1 çç - . ÷÷ 1 çç - . ÷÷ 1 çç - . ÷÷.. 1 ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 4 9 16 400 è ø è ø è ø è ø 3 8 15 399 A = . . ... 4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21 A = . . ... 2.2 3.3 4.4 20.20 (1.2.3...1 ) 9 (3.4.5...2 ) 1 A = (2.3.4...2 ) 0 (2.3.4...2 ) 0 21 A = 20.2 21 A = 40 21 Vậy A = 40 Bài 5: Tính: æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ 1ö æ 1ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ a) A = 1 ç + . ÷ 1 ç + . ÷ 1 ç + . ÷ .. 1 ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ b) B = 1- . 1- ... 1- . ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1.3 2.4 3.5 2018.2020÷ è ø è ø è ø è ø 5 6 100÷ è ø è ø è ø
Lời giải: a) Ta có: æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö A = 1 çç + . ÷÷ 1 çç + . ÷÷ 1 çç + . ÷÷.. 1 ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1.3 2.4 3.5 2018.2020 è ø è ø è ø è ø 2 2 2 2 2 3 4 2019 A = . . ... 1.3 2.4 3.5 2018.2019 (2.3.4...201 ) 9 (2.3.4...201 ) 9
A = (1.2.3...2.1 )8(3.4.5...201 ) 9 A = 2.2019 = 4038 Trang 13 Vậy A = 4038 b) Ta có: æ 1ö æ 1ö æ 1 ö B 1 çç . ÷÷ 1 çç . ÷÷.. 1 ç = - - ç - . ÷÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 5 6 100 è ø è ø è ø 5 æ 1ö 6 æ 1ö 9 æ 9 1ö 1 æ 00 1ö - - - - B ç = ç . ÷ ç ÷ ç . ÷÷..çç . ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 5 6 99 100 è ø è ø è ø è ø 4 5 98 99 B = . ... . 5 6 99 100 4 1 B = = 100 25 1 Vậy B = 25 Bài 6: Tính tích: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 8 15 24 2499 a) C = . . . . . . . b) D = . . ... . 3 8 15 24 35 48 63 80 9 16 25 2500
Lời giải: a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9
2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9 C = . . . . . . . = . . . . . . . 3 8 15 24 35 48 63 80
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10 ( 2.3.4.5.6.7.8. ) 9 (2.3.4.5.6.7.8. ) 9 9.2 9 = = = (1.2.3.4.5.6.7. ) 8 (3.4.5.6.7.8.9.1 ) 0 10 5 9 Vậy C = 5 b) Ta có: 8 15 24 2499 2.4 3.5 4.6 49.51 (2.3.4...4 ) 9 (4.5.6...5 ) 1 2.51 17 D = . . ... = . . ... = = = 9 16 25 2500 3.3 4.4 5.5 50.50 (3.4.5...5 ) 0 (3.4.5...5 ) 0 50.3 25 17 Vậy D = 25 1 æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: A = . 1 ç + . ÷ 1 ç + . ÷ 1 ç + . ÷ .. 1 ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017÷ è ø è ø è ø è ø Trang 14
Lời giải: 1 æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö A = . 1 çç + . ÷÷ 1 çç + . ÷÷ 1 çç + . ÷÷.. 1 ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 è ø è ø è ø è ø 1 2 æ .2ö 3 æ .3ö 4 æ .4ö 2 æ 016.2016ö A = .çç . ÷ ç ÷ ç . ÷ ç ÷ ç . ÷÷..ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 è ø è ø è ø è ø é ù 1 (2.3.4...201 ) 6 2 ( .3.4...2 ) 016 A ê ú = .ê ú 2 (1.2.3...201 ê ) 5 (3.4.5...201 ) 7 ú ë û 1 2 æ 016 2 ö A .ç = ç . ÷÷ ç ÷ 2 1 2017 è ø 2016 A = 2017 2016 Vậy A = 2017 1 1.3.5...39
Bài 8: So sánh: V = và U = 20 2 - 1 21.22.23...40
Lời giải: 1.3.5...39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 U = = = 21.22.23...40 (21.23.25...3 ) 9 (22.24.26...4 ) 0 (21.23.25...3 ) 10 9 .2 (11.12.13...2 ) 0 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 = = 10 2 (21.23.25...3 ) 9 ( . 11.13...1 ) 9 (12.14...2 ) 10 0 2 (11.13.55...3 ) 5 9 .2 . 6 ( .7.8.9.1 ) 0 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1 = = = = 15 2 (7.9.11...3 ) 9 ( . 6.8.1 ) 15 0 2 (7.9....3 ) 5 20 20 9 .2 .3.5 2 .3.5.7...39 2 1 1 Mà < Þ U < V 20 20 2 2 - 1
Dạng 4: Tính tổng dãy phân số có mẫu là lũy thừa các số tự nhiên. 1 1 1
Bài 1: Tính tổng sau: S = + + ...+ (1) 2 2005 2 2 2
Lời giải:
Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó 2 lần. 1 1 1 2S = 1+ + + ...+ (2) 2 2004 2 2 2 Trang 15 2005 1 2 - 1
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được S = 1- = 2005 2005 2 2 1 1 1 1 Cách 2: Ta có: S = + + ...+ (3) 2 3 2006 2 2 2 2 2005 2005 2005 1 1 1 2 - 1 1 2 - 1 2 - 1
Trừ vế với vế của (1) cho (3) ta được: s - S = - = Þ S = Þ S = 2006 2006 2006 2005 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
Bài 2: Tính nhanh: A = + + + ...+ 2 3 8 3 3 3 3
Lời giải: 1 1 1 Ta có: 3A = 1+ + + ...+ (1) 2 7 3 3 3 1 1 1 A = + + ...+ (2) 2 7 3 3 3 1 1 6560
Lấy (1)- (2) được: 2A = 1- = 1- = 8 3 6561 6561 Do đó: 6560 A = 6561 1 1 1 1
Bài 3: Tính tổng sau: A = + + + ...+ 2 3 100 7 7 7 7
Lời giải: 1 1 1 1 1 1 Ta có: A = + + ...+ + 2 3 4 100 101 7 7 7 7 7 7 1 æ1 1 ö 1 æ 1 ö æ 1 1 ö 1 æ 1 ö A - A ç ÷ ç ÷ = ç - + ÷ ç - + ÷ ... ç ÷ ç ÷ + ç - + ÷ ç - ÷ 2 2 ç ÷ 3 3 ÷ ç ÷ 100 100 ÷ ç ÷ 101 ÷ ç ÷ 7 7 7 7 7 7 7 7 7 è ø è ø è ø è ø 100 100 6 7 - 1 7 - 1 Þ A = Þ A = 101 100 7 7 6.7 3 3 3 3
Bài 4: Tính tổng: G = + + + ...+ 4 7 100 5 5 5 5
Lời giải: Trang 16 Ta có: 3 3 3 3 1 æ 1 1 1 ö G ... 3ç = + + + + = ç + + + ... ÷ + ÷ 4 7 100 4 7 100 ç ÷ 5 5 5 5 5 5 5 5 è ø 1 æ 1 1 1 ö 1 1 1 1 1 Đặ ç ÷ t A = ç + + + ...+ Þ ÷ A = + + + ...+ 4 7 100 ç ÷ 3 4 7 10 103 5 5 5 5 ÷ è ø 5 5 5 5 5 1 æ1 1 ö 1 æ 1 ö æ 1 1 ö 1 æ 1 ö A - A ç ÷ ç ÷ = ç - + ÷ ç - + ÷ ... ç ÷ ç ÷ + ç - + ÷ ç - ÷ 4 4 ç ÷ 7 7 ÷ ç ÷ 100 100 ÷ ç ÷ 103 ÷ ç ÷ 125 5 5 5 5 5 5 5 5 è ø è ø è ø è ø 102 124.A 1 1 5 - 1 = - = 03 103 125 5 5 5 102 5 - 1 Þ A = 100 5 .124 1 1 1 1
Bài 5: Tính tổng: C = + + + ...+ 3 5 99 2 2 2 2
Lời giải: 1 1 1 1 1 1 Ta có: C = + + + ...+ + 2 3 5 7 99 101 2 2 2 2 2 2 1 3 1 æ 1 ö æ1 1 ö æ 1 1 ö 1 æ 1 ö C - C = C ç ÷ ç ÷ = ç - + ÷ ç - + ÷ ... ç ÷ ç ÷ + ç - + ÷ ç - ÷ 3 3 ç ÷ 5 5 ÷ ç ÷ 98 98 ÷ ç ÷ 101 ÷ ç ÷ 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 è ø è ø è ø è ø 100 100 3 2 - 1 2 - 1 Þ C = Þ C = 101 99 4 2 3.2
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: D = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Hoằng Hóa năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: Trang 17 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 D = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 D = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 æ 3 3 3 3 3 ö D = 3.ç ÷ ç + + + + ÷ ç ÷ 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 è ø 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ö 1 æ 1 ö 15 45 D = 3ç ÷ ç - + - + - + - + - = ÷ 3ç ÷ ç - = ÷ 3. = ç ÷ ç ÷ 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 2 17 è ø è ø 34 34 45 Vậy D = 34 1 1 1
Bài 2: Tính hợp lí: C = + + ...+ 1.2.3 2.3.4 98.99.100
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ba Vì năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: 1 1 1 C = + + ...+ 1.2.3 2.3.4 98.99.100 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Þ 2C = + + ...+ = + + + + ... + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 1 1 50.99- 1 4949 = - = = 1.2 99.100 100.99 9900 4949 Þ C = 19800
Bài 3: Thực hiện phép tính sau: 1 1 1 1 B = + + + ...+ 2.5 5.8 8.11 2015.2018
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghi Xuân năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: Trang 18 1 1 1 1 B = + + + ...+ 2.5 5.8 8.11 2015.2018 1æ 3 3 3 3 ö B ç = ç + + + ... ÷ + ÷ ç ÷ 3 2.5 5.8 8.11 2015.2018 è ø 1 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 ö B ç = ç - + - + - + ... ÷ + - ÷ ç ÷ 3 2 5 5 8 8 11 2015 2018÷ è ø 1 1 æ 1 ö B ç ÷ = ç - ÷ ç ÷ 3 2 2018 è ø 336 B = 2018 5 4 3 1 13
Bài 4: Tính giá trị biểu thức: C = + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
( Trích đề HSG Toán 6 huyện nga Sơn năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 5 æ 1 13ö 4 æ 3 ö C ç ÷ ç ÷ = + + + + = + + + + = ç + + + ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60 2 30 60 11 22 è ø è ø 5 æ .30 1.2 13.1ö æ4.2 3 ö 150+ 12+ 13 11 ç ÷ ç ÷ = ç + + + ÷ ç + = ÷ + ç ÷ ç ÷ 2.30 30.2 60.1 11.2 22÷ è ø è ø 60 22 165 11 11 1 13 = + = + = 60 22 4 2 4 13 Vậy C = 4 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1
Bài 5: Tính: C = + + + + + 20 30 42 56 72 90
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Như Thanh năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: Trang 19 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 C = + + + + + 20 30 42 56 72 90 æ 1 1 1 1 1 1 ö C ç ÷ = - ç + + + + + ÷ ç ÷ 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 è ø 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ö C ç ÷ = - ç - + - + - + - + - + - ÷ ç ÷ 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 è ø 1 1 - 3 C = - + = 4 10 20 - 3 Vậy C = 20 2 2 2 2
Bài 6: Tính hợp lí giá trị biểu thức sau: B = + + + ... ( 60.63 63.66 66.69 117.120
Trích đề HSG Toán 6 huyện Nông Cống năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 B = + + + ... 60.63 63.66 66.69 117.120 2 æ 3 3 3 3 ö B .ç = ç + + + ... ÷÷ ç ÷ 3 60.63 63.66 66.69 117.120 è ø 2 æ1 1 1 1 1 1 1 1 ö B .ç = ç - + - + - + ... ÷ + - ÷ ç ÷ 3 60 63 63 66 66 69 117 120÷ è ø 2æ1 1 ö B ç ÷ = ç - ÷ ç ÷ 3 60 120 è ø 1 B = 180 1 Vậy C = 180
Bài 7: Tính giá trị các biểu thức: æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ a) A = 2 ç 019- - ÷ 2 ç 018- ÷ ç ÷ ç ÷ 2019 2019÷ è ø è ø
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghĩa Đàn năm học 2018-2019) Lời giải: Trang 20 a) Ta có: æ 1 ö æ 1 ö A 2 çç 019 ÷÷ 2 ç = - - ç 018 ÷ - ÷ ç ÷ ç ÷ 2019 2019 è ø è ø 1 1 A = 2019- - 2018+ 2019 2019 1 1 A = 2019- 2018- + 2019 2019 A = 1 Vậy A = 1
Bài 8: Thực hiện phép tính: 2010 20009 2008 1 + + + ...+ 1 æ ö 1 æ ö æ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ a) B = ç - 1 . ÷ ç - 1 . ÷ ç - 1 . ÷ ..ç - 1÷ 1 2 3 2010 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ b)C = 4 9 16 400 ÷ è ø è ø è ø è ø 1 1 1 1 + + + ... 2 3 4 2011
( Trích đề HSG Toán 6 thành phố Chí Linh năm học 2018-2019) Lời giải: a) Ta có: 1 æ ö 1 æ ö æ1 ö æ 1 ö B çç 1 . ÷ ç ÷ ç 1 . ÷ ç ÷ ç 1 . ÷÷..ç = - - - ç - 1÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 4 9 16 400 è ø è ø è ø è ø - 3 - 8 - 15 - 399 B = . . ... 4 9 15 400 3.8.15...399 B = - 2 2 2 2 2 .3 .4 ...20 1.3.2.4.3.5...19.21
B = - 2.2.3.3.4.4...20.20 1.2.3...19 3.4.5...21 B = - . 2.3.4...20 2.3.4..20 1 21 21 B = - . = - 20 2 40 21 Vậy B = - 40 Trang 21 b) Ta có: 2010 2009 2008 1 2 æ 009 ö 2 æ 008 ö 2 æ 007 ö æ 1 ö ... çç 1÷ ç ÷ ç 1÷ ç ÷ ç 1÷ ÷ ... ç + + + + = + + + + + + + ç + 1÷+ ÷ 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 2 3 2010 2 3 4 2010 è ø è ø è ø è ø 2011 2011 2011 2011 2011 1 æ 1 1 1 1 ö ... 2011.ç = + + + + + = ç + + + ... ÷ + + ÷ ç ÷ 2 3 4 2010 2011 2 3 4 2010 2011 è ø 1 æ 1 1 1 ö 2010 20009 2008 1 2011ç + + + + ç + + + ... ÷ ... ÷ ç2 3 4 2011÷ è ø Do đó 1 2 3 2010 C = = = 2011 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + ... 2 3 4 2011 2 3 4 2011 Vậy C = 2011. æ 1ö æ 1ö æ 1ö æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
Bài 9: Tính A = 1 ç - . ÷ 1 ç - . ÷ 1 ç - . ÷ .. 1 ç - . ÷ 1 ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 3 4 2018 2019÷ è ø è ø è ø è ø è ø
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Thanh Trì năm học 2012018-2019) Lời giải: Ta có: æ 1ö æ 1ö æ 1ö æ 1 ö æ 1 ö A = 1 çç - . ÷ ÷ 1 çç - . ÷ ÷ 1 çç - . ÷ ÷ .. 1 çç - . ÷ ÷ 1 ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 3 4 2018 2019 è ø è ø è ø è ø è ø 1 2 3 2017 2018 1 Þ A = . . ... . = 2 3 4 2018 2019 2019 1 Vậy A = 2019 34 51 85 68 39 65 52 26 Bài 10: Cho A = + + + và B = + + + 7.13 13.22 22.37 37.49 7.16 16.31 31.43 43.49 A Tính . B
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Vĩnh Yên năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: Trang 22 34 51 85 68 A = + + + 7.13 13.22 22.37 37.49 17.2 17.3 17.5 17.4 A = + + + 7.13 13.22 22.37 37.49 17æ3.2 3.3 3.5 3.4 ö A ç ÷ = ç + + + ÷ ç ÷ 3 çè7.13 13.22 22.37 37.49÷ ø 17æ 6 9 15 12 ö A ç = ç + + + ÷ ÷ ç ÷ 3 çè7.13 13.22 22.37 37.49÷ ø 17 1 æ 1 1 1 1 1 ö ç 1 1 A ÷ = ç - + - + - + - ÷ ç ÷ 3 çè7 13 13 22 22 37 37 49÷ ø 17 1 æ 1 ö ç ÷ A = ç - ÷ ç ÷ 3 çè7 49÷ ø Ta lại có: 39 65 52 26 B = + + + 7.16 16.31 31.43 43.49 13.3 13.5 13.4 13.2 B = + + + 7.16 16.31 31.43 43.49 13æ3.3 3.5 3.4 3.2 ö B ç ÷ = ç + + + ÷ ç ÷ 3 7.16 16.31 31.43 43.49÷ è ø 13 1 æ 1 1 1 1 1 1 1 ö B ç ÷ = ç - + - + - + - ÷ ç ÷ 3 7 16 16 31 31 43 43 49 è ø 13 1 æ 1 ö B ç ÷ = ç - ÷ ç ÷ 3 7 49 è ø 17 1 æ 1 ö ç ÷ ç - ÷ ç ÷ A 3 7 49 è ø 17 Từ đó suy ra: = = B 13 1 æ 1 ö 13 ç ÷ ç - ÷ 3 ç7 49÷ è ø A 17 Vậy = . B 13 1 1 1 1 1 1
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: A = 1+ - + - + ...+ - 2 3 4 199 200 3 3 3 3 3 3 Trang 23
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: 1 1 1 1 1 3A = 3+ 1- + - + ...+ - 2 3 198 199 3 3 3 3 3 æ 1 1 1 1 1 ö æ 1 1 1 1 1 1 ö 1 3A A 3 çç 1 ... ÷ ÷ 1 ç + = + - + - + + - + ç + - + - ... ÷ + - = ÷ 5- 2 3 198 199 ç ÷ 2 3 4 199 200 ÷ ç ÷ 200 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ÷ è ø è ø 3 1 æ 1 ö 4A 5 A 5 ç = - Þ = ç - : ÷÷ 4 200 200 ç ÷ 2 2 è ø A
Bài 12: Tính tỉ số biết: B 4 6 9 7 7 5 3 11 A = + + + và B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Phú Xuyên năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có: A 4 6 9 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + = - + - + - + - = - 5 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 B 7 5 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + = - + - + - + - = - 2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57 A B A 5 Þ = Þ = . 5 2 B 2 11 19 29 41 55 71 89 109
Bài 13: Tính tổng S = 1− + − + − + − + 6 12 20 30 42 56 72 90
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Gia Lộc năm học 2018-2018) Lời giải: 11 19 29 41 55 71 89 109 S = 1− + − + − + − + 6 12 20 30 42 56 72 90 Trang 24 5 7 9 11 13 15 19 19 S = 1−1− +1+ −1− +1+ −1− +1+ −1− +1+ 6 12 20 30 42 56 72 90 5 7 9 11 13 15 17 19 S = 1− + − + − + − + 6 12 20 30 42 56 72 90 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 9 9 +10 S = 1− + − + − + − + 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 S = 1−
− + + − − + + − − + + − − + + = + = 3 2 4 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 2 10 5 3 Vậy S = . 5 3 5 7 9 19
Bài 14: Tính tổng S = + + + +...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 9 .10
( Trích đề HSG Toán 6 Ninh Bình năm học 2018-2019). Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −1 3 − 2 4 − 3 5 − 4 10 − 9 S = + + + + ...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 9 .10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99  S = − + − + − +...+ − =1− = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 9 10 100 100 99 Vậy S = . 100
Bài 15: Hãy so sánh:  1 1 1  1 1 1 A = 124 + +...+   và B = + +...+ 1.1985 2.1986 16.2000  1.17 2.18 1984.2000
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ninh Giang năm học 2018-2019). Lời giải: Ta có:  1 1 1  A = 124 + +...+   1.1985 2.1986 16.2000  124  1 1 1  = 1− +...+ −   1984  1985 16 2000  1  1 1   1 1 1  = 1+ +...+ − + +...+     16  2 16  1985 1986 2000  Trang 25 1  1 1   1 1 1 1 1 1   1 1 1  B = 1+ +...+ + + +...+ − − −...− − + + ...+       16  2 16   17 18 1984 17 18 1984   1985 1986 2000  1  1 1   1 1 1  B = 1+ +...+ − + + ...+ = A     16  2 16  1985 1986 2000  Vậy A = B .  HẾT Trang 26