Các bài toán liên quan đến số thập phân hữu hạn Toán 6

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM:
Khi viết phân số a dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và gặp một trong hai trường b hợp sau:
- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước.
Ví dụ: 3 = 0,75; 37 = 1,48 ; … 4 25
Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn.
- Phép chia a cho b không bao giờ chấm dứt. −
Ví dụ: 2 = 0,6666...; 17 = 1 − ,5454...; … 3 11
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số
lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số
lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN:
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân.
I.Phương pháp giải:
Để viết một tỉ số hoặc một phân số a dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a : b b II.Bài toán: 97 124 63 −139
Bài 1: Viết phân số sau dưới dạng số thập phân ; ; − ; . 200 25 20 50 Lời giải:
Cách 1: Thực hiện phép tính chia tử cho mẫu ta được: 97 = 0,485 200 124 = 4,96 25 63 − = 3 − 1 , 5 20 Trang 1 139 − = 2 − ,78 50
Cách 2: Phân tích mẫu ra thừa số rồi bổ sung các thừa số phụ đề mẫu là lũy thừa của 10: 97 97 5 . 485 = = = 0,485 200 200 5 . 1000 124 124 4 . 496 = = = 4,96 25 25 4 . 100 63 63 5 . 3 − 15 − = − = = 3 − 1 , 5 20 20 5 . 100 1 − 39 1 − 39 2 . 2 − 78 = = = 2 − ,78 50 50 2 . 100
Bài 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 1 1 1 a) A = + +...+ 5.6 6.7 24.25 2 2 2 2 b) B = + + +...+ 2.4 4.6 6.8 98.100 Lời giải: 1 1 1 a) A = + +...+ 5.6 6.7 24.25       1 1 1 1 1 1 A = − + − +...+ −        5 6   6 7   24 25  1 1 4 A = − = = 0,16 5 25 25 Vậy A = 0 1 , 6 . 2 2 2 2 b) B = + + +...+ 2.4 4.6 6.8 98.100
 1 1   1 1   1 1   1 1  B = − + − + − +...+ −        
 2 4   4 6   6 8   98 100  1 1 B = − 2 100 49 B = = 0,49 100
Vậy B = 0,49 .
Bài 3: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 1 1 1 1 a) A = + + +...+ 5.10 10.15 15.20 395.400 Trang 2 33 33 33 33 b) B = + + +...+ 11.16 16.21 21.26 61.66 Lời giải: 1 1 1 1 a) A = + + +...+ 5.10 10.15 15.20 395.400 5 5 5 5 5A = + + +...+ 5.10 10.15 15.20 395.400 1 1 1 1 1 1 1 1 5A = − + − + − ... + − 5 10 10 15 15 20 395 400 1 1 5A = − 5 400 79 A = = 0,0395 2000 33 33 33 33 b) B = + + +...+ 11.16 16.21 21.26 61.66  5 5 5 5  5B = 33. + + +...+   11.16 16.21 21.26 61.66   1 1 1 1 1 1  5B = 33. − + − +...+ −   11 16 16 21 61 66   1 1  5B = 33 −   11 66  5 5B = 33. 66 1 B = = 0,5 2 Vậy B = 0,5 .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng số thập phân:  3 3 3 3   25 25 25  48 A = + + +...+ − + +...+ −     1.8 8.15 15.22 106.113   50.55 55.60 95.100  113 Lời giải: 3 3 3 3 Ta có : B = + + +...+ 1.8 8.15 15.22 106.113  7 7 7 7  7B = 3 + + +...+   1.8 8.15 15.22 106.113  1 1 1 1 1 1 1 1  7B = 3 − + − + − +...+ −   1 8 8 15 15 22 106 113  Trang 3  1  B = 3 1−    113  112 3.112 48 B = 3.  B = = . 113 7.113 113 25 25 25 C = + +...+ 50.55 55.60 95.100  5 5 5  C = 5 + +...+    50.55 55.60 95.100   1 1  1 C = 5 − =   .  50 100  20 48 48 1 48
Khi đó : A = B − C − = − − = 0,05 . 131 113 20 113
Bài 5: Kết quả của biểu thức sau biểu diễn số thập phân nào? 2 2 2 2 a) 2 3 4 24 A = . . ... 1.3 2.4 3.5 23.25 2 2 2 2 b) 1 2 3 99 B = . . ... 1.2 2.3 3.4 99.100 Lời giải: 2 2 2 2 a, 2 3 4 24 A = . . ... 1.3 2.4 3.5 23.25 2.2 3.3 4.4 24.24 A = . . .... 1.3 2.4 3.5 23.25 (2.3.4...24)(2.3.4...24)
A = (1.2.3....23)(3.4.5...25) 24.2 48 A = = =1,92 25 25
Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 1,92 . 2 2 2 2 b) 1 2 3 99 B = . . ... 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 . 2 2 . 3 3 . 99 9 . 9 B = . . .... 1 2 . 2 3 . 3 4 . 99 1 . 00 (1.2.3....99)(1.2.3...99) B = ( 1.2.3...99)(2.3.4...100) 1 B = = 0,01 100
Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 0,01. Trang 4
Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên :  1999  1999   1999  1+ 1+ ... 1+      a)  1  2   1000  A =  1000  1000   1000  1+ 1+ ... 1+       1  2   1999        b) 1 1 1 1 B = +1 +1 +1 ... +1        2  3  4   999  Lời giải:
 2000 2001 2002 2999  1001 1002 1003 2999  A = . . ... : . . ....      1 2 3 1000   1 2 3 1999 
 2000.2001.2002...2999   1.2.3...1999  A = .      1.2.3.4...1000  1001.1002....2999  1001.1002....1999 A = =1 1001.1002...1999
Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.       b) 1 1 1 1 B = +1 +1 +1 ... +1        2  3  4   999  3 4 5 1000 1000 B = . . .... = = 500 2 3 4 999 2
Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.
Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không?  1  1  1   1  A = 1− 1− 1− ... 1−        4  9  16   400  Lời giải:  1  1  1   1  A = 1− 1− 1− ... 1−        4  9  16   400  3 8 15 399 A = . . .... 4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21 A = . . ... 2.2 3.3 4.4 20.20 (1.2.3...19)(3.4.5...2 )1
A = (2.3.4...20)(2.3.4.5...20) 21 21 A = = = 0,525 20.2 40
Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân : Trang 5 2 2 2 2 2 2 2 2 a) 2 3 4 5 6 7 8 9 A = . . . . . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 8 15 24 2499 b) B = . . ... 9 16 25 2500 Lời giải: 2.2 3.3 4.4 8.8 9.9 a) A = . . .... . 1.3 2.4 3.5 7.9 8.10 (2.3.4...8.9)(2.3.4...8.9) A = ( 1.2.3...7.8)(3.4.5...9.10) 9.2 9 A = = =1,8 10 5 8 15 24 2499 b) B = . . ... 9 16 25 2500 2.4 3.5 4.6 49.51 B = . . .... 3.3 4.4 5.5 50.50 (2.3.4...49)(4.5.6...5 ) 1 B = ( 3.4.5...50)(3.4.5...50) 2.51 17 B = = = 0,68 50.3 25
Bài 9: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 3 8 15 99       a) A = . . ... b) 1 1 1 1 B = −1 −1 −1 ... −1 2 2 2 2       2 3 4 10  2  3  4  1000  Lời giải: 1.3 2.4 3.5 9.11 a) A = . . .... 2.2 3.3 4.4 10.10 (1.2.3...9)(3.4.5...1 ) 1 A = ( 2.3.4...10)(2.3.4...10) 1.11 A = = 0,55 10.2       b) 1 1 1 1 B = −1 −1 −1 ... −1        2  3  4  1000  1 − 2 − 3 − 9 − 99 1 B = . . .... = − = 0 − ,001 2 3 4 1000 1000
Dạng 2: Kiểm tra xem một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
I.Phương pháp giải:
-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương. Trang 6
- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. II.Bài toán:
Bài 10: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới dạng đó: 6 9 39 121 204 378 1 − ; − ; ; ; ; 8 25 60 220 1 − 60 375 Lời giải: Các phân số 6 9 39 121 204 378 1 − ; − ; ; ; ;
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì các mẫu không 8 25 60 220 1 − 60 375
có ước nguyên tố khác 2 và 5. 6 1 − 4 7 − 1 − = = = 1 − ,75 (mẫu 2 4 = 2 ) 8 8 4 9 − = 0 − ,36 ( mẫu 2 25 = 5 ) 25 39 13 = = 0,65 (mẫu 2 20 = 2 .5 ) 60 20 121 11 = = 0,55 (mẫu 2 20 = 2 .5 ) 220 20 204 5 − 1 = = 1 − ,275 (mẫu 3 40 = 2 .5 ) 1 − 60 40 378 126 = =1,008 (mẫu 3 125 = 5 ) 375 125
Bài 13: Chứng tỏ rằng các số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn với n  . a) 36n − 9 6 b) 28n +14 35 − + c) 8n 24 100 2 − + d) 6n 12n 18 120 Lời giải: 36n − 9 3.12n − 3.3 3.(12n − 3) − a) 12n 3 = = = . 6 2.3 2.3 2
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 2 nên số đó là số thập phân hữu hạn. 28n +14 7.4n + 7.2 7.(4n + 2) + b) 4n 2 = = = . 35 7.5 7.5 5 Trang 7
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 5 nên số đó là số thập phân hữu hạn. 8 − n + 24 4.( 2 − n + 6) − + c) 2n 6 = = 100 4.25 25 Có 2 25 = 5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 25 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 5.
Vậy số đó là số thập phân hữu hạn. − + ( 2 2 n − n n n + ) 2 6. 2 3 6 12 18 n − 2n + 3 d) = = 120 6.20 20 Có 2 20 = 2 .5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 20 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.
Vậy số đó là số thập phân hữu hạn.
Bài 11: Mỗi phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không? Vì sao? 2 + a) 3n 3n (n ) 12n 2 + b) 12n 24n (n ) 20n 3 − + − c) 18n
12n 30n (n ) 60n Lời giải: 2 3n + 3n 3 . n n + 3 .1 n 3n (n + ) + a) 1 n 1 = = = 12n 3 .4 n 3 .4 n 4 Có 2 4 = 2
Mẫu có ước nguyên tố là 2 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 2 12n + 24n 4 . n (3n + 6) + b) 3n 6 = = (n ) 20n 4 .5 n 5
Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 3 2 2 − + − − + − − + − c) 18n 12n 30n 6 .( n 3n 2n 5) 3n 2n 5 = = 60n 6 .10 n 10 Có 10 = 2.5
Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 10, mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên phân số đó viết được dưới
dạng số thập phân hữu hạn.
Bài 12: Các phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không? vì sao? + a) 3n 1 (n ) 3n +
b) 14n 6 (n ) 7n Trang 8 Lời giải: + a) 3n 1 3n 1 1 = + =1+ 3n 3n 3n 3n
Vì 1 có mẫu là 3n có ước nguyên tố là 3 3n
Nên 1 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 3n 3n +1 
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 3n + b) 14n 6 14n 6 6 = + = 2 + 7n 7n 7n 7n
Vì 6 có mẫu là 7n có ước nguyên tố là 7 7n
Nên 6 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 7n 14n + 6 
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 7n
Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: +
a) 48n 5 (n ) 42n + b) 6n 5 (n ) 18n Lời giải: +
a) 48n 5 (n ) 42n
ta có: 48n 3; 5 ! 3  48n + 5 ! 3 và: 42n 3 +
Do đó 48n 5 khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3. 42n +
Vậy 48n 5 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 42n + b) 6n 5 (n ) 18n
ta có: 6n 6; 5 ! 6  6n +5 ! 6 và: 18n 6 +
Do đó 6n 5 khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3. 18n Trang 9 +
Vậy 6n 5 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 18n
Dạng 3: Tìm điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
I.Phương pháp giải:
-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.
- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. II.Bài toán
Bài 14: Tìm số tự nhiên x +
x  10 sao cho phân số
2 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 6 Lời giải: + + Ta có: x 2 x 2 = 6 2.3
Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số x + 2 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 2.3 thì (x + 2) 3
 (x + 2)B( ) 3 = 0;3;6;9;12;..  . và x  10
x + 2 = 0  x = 2 − (loại);
x + 2 = 3  x = 1 (thoả mãn);
x + 2 = 6  x = 4 (thoả mãn);
x + 2 = 9  x = 7 (thoả mãn);
x + 2 = 12  x = 10 (loại).
Các trường hợp còn lại không thoả mãn Vậy x 1; 4;  7 . 2 +
Bài 15: Tìm số tự nhiên x 3x
x ; 0  x  20 để phân số
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 14x Lời giải: 2 x + 3x x ( x + 3) + Ta có: x 3 = = 14x .7. x 2 7.2
Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số x + 3 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 7.2 thì (x + ) 3 7  (x + )
3  B(7) = 0;7;14;21;..  . và 0  x  20
x + 3 = 0  x = 3 − (loại); Trang 10
x + 3 = 7  x = 4 (thoả mãn);
x + 3 = 14  x = 11 (thoả mãn);
x + 3 = 21 x = 18(thoả mãn);
x + 3 = 28  x = 25 (loại).
Các trường hợp còn lại không thoả mãn.
Vậy x4; 11; 1  8 .
Bài 16: Cho x và y là các số nguyên tố có một chữ số. Tìm x và y để các phân số sau viết được dưới
dạng số thập phân hữu hạn. a) x M = 5.7.y b) 7x N = 48 y Lời giải: a) x M = 5.7.y
Để M viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x = 7 và số nguyên tố y 2;  5
Vậy x = 7 ; y 2;  5 . b) 7x 7.x N = = 4 48 y 2 .3.y
Để N viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x = 3 và số nguyên tố y 2;5;  7
Vậy x = 3; y 2;5;  7 .
Bài 17: Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp, biết 1: 0, ab = a + b − c . Lời giải:
1: 0, ab = a + b − c ab 1:
= a + b − c 100 100 
= a + b − c ab
100 chia hết cho ab  ab ¦  (10 ) 0
Mà a,b là các chữ số khác 0 nên: Trang 11 ab = 25 100
 a + b − c = 25
 2+5−c = 4  c = 3
Vậy a = 2 ; b = 5; c = 3.
Bài 18: Thay các chữ cái bằng các số thích hợp:
a) 1: 0, abc = a + b + c
b) 1: 0,0abcd = a + b + c + d Lời giải:
a) Có a ; b ; c là các chữ số 0  a  9  0  b  9   0  c  9  a, ,bc
1 a + b + c  27 1000 1: 0, abc =
= a + b + c abc  1000 = .(
abc a + b + c)
 a +b + c là ước của 1000 không vượt quá 27  1: 0,125 = 1+ 2 + 5
Vậy a =1; b = 2 ; c = 5 .
b) Có a ; b ; c ; d là các chữ số 0  a  9 0  b  9   0  c  9 0  d  9  a, , b c, d  
1 a + b + c  27 10000 1: 0,0abcd =
= a + b + c + d abcd
10000 = abcd(a + b + c + d)
 a +b + c + d là ước của 1000 và
10  a + b + c + d  36 1: 0,06235 = 6 + 2 + 3+ 5 Trang 12
Vậy a = 6 ; b = 2 ; c = 3; d = 5. + +
Bài 19: Có bao nhiêu số thập phân a b c
a, bc thoả mãn phân số
viết được dưới dạng số thập phân 4
hữu hạn là a,bc với c  0 . Lời giải:
Vì a ; b ; c là các chữ số và c  0 0  a  9  0  b  9   0  c  9 
a, ,bcN
1 a + b + c  27 + +
Phân số a b c viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là a,bc 4 a + b + c  = a,bc 4
Vì a,bc là số thập phân nên a + b + c chia cho 4 dư 1 hoặc chia 4 dư 3 Ta có bảng sau:
a + b + c 1 3 5 7 9 11 13 a, bc 0, 25 0,75 1, 25 1, 75 2, 25 2,75 3, 25
a + b + c 15 17 19 21 23 25 27 a, bc 3,75 4, 25 4,75 5, 25 5,75 6, 25 6,75
Vậy ta được 14 số cần tìm.
Bài 20: Tìm các phân số tối giản có có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết rằng tích của
tử và mẫu bằng 1260 và phân số này có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Lời giải:
Gọi phân số tối giản phải tìm là a với a,b +  ,ƯCLN( , a ) b = 1 b Ta có: 2 2 ab =1260 = 2 .3 .5.7
Để phân số a có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là 2 b và 5 Trang 13
Mà a là phân số tối giản và ƯCLN(a, ) b = 1 b
 b không chứa thừa số 2
3 ; 7 và b  1 nên b 4;5;2  0 Ta có bảng sau: a 4 5 20 b 315 252 63 a 315 252 63 b 4 5 20
Vậy các phân số thoả mãn là 315 ; 252 ; 63 . 4 5 20
Bài 21: Tìm các phân số tối giản có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết tích của tử và
mẫu là 4200 và phân số này viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Lời giải:
Gọi phân số tối giản phải tìm là a với a,b +  , ƯCLN( , a ) b = 1 b Ta có: 3 2 ab = 4200 = 2 .3.5 .7
Để phân số a có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là 2 b và 5
Mà a là phân số tối giản và ƯCLN( , a ) b = 1 b
 b không chứa thừa số 3; 11 và b 1 nên b8; 25; 20  0 Ta có bảng sau b 8 25 200 a 525 168 21 a 525 168 21 b 8 25 200
Vậy các phân số thoả mãn là 525 ; 168 ; 21 . 8 25 200 2005   Bài 22: So sánh 9 − 1 0,81   và . 11  4010 10 Trang 14 Lời giải: 2005 2005 2005 2005  9   9 81   9   9 1  − 0,81 = − = = .         11  11 100  1100  11 100  2005 2005 2005       9 1 9 1 1 = . = .        4010 4010 11 100  11 10 10 2005   Vậy 9 1 − 0,81    4010 11  10  HẾT  Trang 15