Các dạng bài tập nguyên hàm Toán 12 Cánh Diều
Tài liệu gồm 110 trang, tổng hợp các dạng bài tập chuyên đề nguyên hàm môn Toán 12 bộ sách Cánh Diều, có đáp án và lời giải chi tiết. Các bài tập trong tài liệu được biên soạn dựa trên định dạng trắc nghiệm mới nhất, với cấu trúc gồm 03 phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn; Câu trắc nghiệm đúng sai; Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân (CD)
Môn: Toán 12
Sách: Cánh diều
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân (CD)
Môn:
Sách:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều CHƯƠNG 4
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BÀI 1 NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) nếu
F '(x) = f (x), với mọi x ∈ K .
Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K . Khi đố:
• Với mỗi hằng số C , hàm số F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K .
• Nếu G (x)là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho
G (x) = F (x) + C với mọi x∈ K
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C , với C là hằng số. Ta gọi
F (x) + C,C ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) trên K , kí hiệu f ( x )dx ∫ và viết:
f ( x )dx = F( x )+ C ∫ Chú ý:
• Biểu thức f (x)dx được gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f (x) , kí hiệu là dF (x)
Vậy, dF (x) = F 'dx = f (x)dx
• Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của
hàm số đó trên tập xác định của nó.
• f '( x )dx = f ( x )+ C ∫
2. Các tính chất của nguyên hàm • kf ∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx , với k là hằng số khác 0 • f
∫ (x)+ g(x)dx = f
(x)dx + g(x)dx ∫ ∫ • f
∫ (x)− g(x)dx = f
(x)dx − g(x)dx ∫ ∫
3. Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp 0dx = C ∫
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
dx = x + C ∫ α 1 + α x x dx = + C ∫ (α ≠ − ) 1 α +1
Nguyên hàm của hàm số 1 y =
dx = ln x + C ( ≠ 0) ∫ x x x cos xdx = x + C ∫ sin sin xdx = − x + C ∫ cos
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1 dx = x + C ∫ tan cos2 x 1 dx = − x + C ∫ cot sin2 x
exdx = ex + C ∫
Nguyên hàm của hàm số mũ x a x = a dx + C (0 < ≠ ) 1 ∫ a ln a CHỦ ĐỀ 1
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
TÍNH NGUYÊN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP DẠNG 1
NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA
1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa 0dx = C ∫
dx = x + C ∫ α 1 + α x x dx = + C ∫ (α ≠ − ) 1 α +1
Nguyên hàm hàm số lũy thừa 1 1 dx = − + C ∫ 2 x x
1 dx = 2 x +C ∫ x
dx = ln x + C ( ≠ 0) ∫ x x
Chú ý : dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh n+ ∫( + ax + b)n (ax b) 1 1 dx = + C a n +1
2. Lũy thừa với số mũ thực
Cho a,b là những số thực dương, α, β là những số thực bất kì. Khi đó:
• aαaβ = aα+β α
• a = aα−β aβ • ( )β α α . a a β =
• (ab)α aαbα = α α • a a = b bα
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Câu 1. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A. f (x)dx F = (x) + C ∫ .
B. ( f (x)dx ∫ )′ = f (x).
C. ( f (x)dx ∫
)′ = f (′x).
D. ( f (x)dx ∫
)′ = F (′x).
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 6 là A. 2 x + C . B. 2
x + 6x + C . C. 2 2x + C . D. 2
2x + 6x + C . Câu 3. 2 x dx ∫ bằng A. 1 2x + C . B. 3 x + C . C. 3 x + C . D. 3 3x + C 3
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x +1 là 3 A. 3 x x + C B. + x + C
C. 6x + C D. 3
x + x + C 3
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x + x là A. 1 4 1 2
x + x + C B. 2
3x +1+ C C. 3
x + x + C D. 4 2
x + x + C 4 2
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2
f x = x + x là A. 1 5 1 3
x + x + C B. 4 2
x + x + C C. 5 3
x + x + C . D. 3
4x + 2x + C 5 3
Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2022 y = x ? 2023 2023 2023 A. x +1. B. x . C. 2021 y = 2022x . D. x −1. 2023 2023 2023
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 3 2
x − 2x + x − 2024 là 3 2 2 A. 1 4 2 3 x x − x + + C . B. 1 4 2 3 x x − x + − 2024x + C . 12 3 2 9 3 2 2 2 C. 1 4 2 3 x x − x + − 2024x + C . D. 1 4 2 3 x x + x − − 2024x + C . 12 3 2 9 3 2
Câu 9. Tìm nguyên F (x) của hàm số f (x)=(x + ) 1 (x + 2)(x + ) 3 ? 4
A. F (x) x 3 11 2 =
−6x + x −6x +C .
B. F (x) 4 3 2
= x + 6x +11x + 6x +C . 4 2 4
C. F (x) x 3 11 2 =
+ 2x + x +6x +C .
D. F (x) 3 2 2
= x + 6x +11x + 6x +C . 4 2
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x + )5 5 3 . 6 4 A. x (5x 3) (5x 3) + 6 (5 3) + C . B. x + 4 (5 3) + C . C. + + C . D. + + C . 30 30
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 f x = x + . 2 x 3 3 A. f ∫ (x) x 1 dx = + + C x 2 . B. f
∫ (x)dx = − +C . 3 x 3 x 3 3 C. f ∫ (x) x 1 dx = − + C x 2 . D. f
∫ (x)dx = + +C . 3 x 3 x
Câu 12. Tính ∫ x x x dx . A. 4 15 7
x x + C . B. 8 15 7
x x + C . C. 8 15
x x + C . D. 4 15 x x + C . 15 15 15 15 3 2
Câu 13. Tính ∫ x − 2 x +1dx . 4 x A. 5 17 5 4 3
x x − 2x x + x + C . B. 4 5 24 17 5 4 4 3 x x − x x + x + C . 5 17 3 C. 5 24 17 5 4 3 x x −
x x + x + C . D. 4 5 17 5 4 4 3 x x − 2x x + x + C . 17 5 3 Câu 14. Cho hàm số 2
f (x) = x + 4 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f (x)dx = 2x + C ∫ . B. 2
f (x)dx = x + 4x + C ∫ . 3 C. ( ) x f x dx = + 4x + C ∫ . D. 3
f (x)dx = x + 4x + C 3 ∫ . 3
Câu 15. Trên khoảng (0;+∞), cho hàm số ( ) 2
f x = x . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. f ∫ (x) 3 2
dx = x + C . B. ∫ ( ) 3 f x dx = x dx 2 ∫ . 5 1 C. f ∫ (x) 2 2 2
dx = x + C . D. f ∫ (x) 2
dx = x + C . 5 3 4 + Câu 16. x 2
Cho hàm số f (x) =
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x 3 3 A. f ∫ (x) x 1 dx = − + C x 2 . B. f
∫ (x)dx = + +C. 3 x 3 x 3 C. x 2 f ∫ (x) 2 2 dx x d = + ∫ x . D. f
∫ (x)dx = − +C . 2 x 3 x
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
A. ∫(3 2x + x −2) 3 3 5 1 2 dx =
x + x − 2x + C 5 2 B. 1 1 dx = + C ∫ 2024 2 2023 2023x 2023 x C. ∫( x − )2 2
2024 dx = x −1012 + C D. 1 4 3 1 5 4 4 x + 4x dx = x + x + ∫ C 4 20 3
Câu 18. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai 4 A. x F (x) 3 =
− x2 + ln x + C là nguyên hàm của hàm số f (x) 3 1 = x − 3x + . 4 2 x 6 x
B. F (x) (5 + 3) =
+ C là nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x + )5 5 3 . 6
C. F (x) 3 4 5 = x x + 3 x x + 4
x x + C là nguyên hàm của hàm số 3 4
f (x) = x + x + x . 2 3 4 3
D. F (x) 1 3 −
= x − 2024x + C là nguyên hàm của hàm số ( ) x 2024x f x = . 3 x
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 19. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) 2 = + 3x f x + 3x − 2 . x
Trả lời: ………………..
Câu 20. Tìm nguyên hàm F (x)của hàm số f (x) 3 2 4m 5 = mx − 3x + +
− 7m (m là tham số). 3 x 2x
Trả lời: ………………..
Câu 21. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số 1 2 f (x) = − . 3 x x
Trả lời: ……………….. 2 2
Câu 22. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số ( −1) ( ) x f x = . 2 x
Trả lời: ……………….. ( − x)3 1
Câu 23. Tính ∫ . 3 dx x
Trả lời: ………………..
Câu 24. Tính ∫(3 x2 − 4 x3 + 5 x4 )dx.
Trả lời: ………………..
Câu 25. Tính ∫( x + )1(x − x + )1dx .
Trả lời: ………………..
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều Câu 26. Tính ∫ 3 2 x − dx . 3 x
Trả lời: ……………….. Câu 27. Tính 1 dx ∫ . 2x + 3x
Trả lời: ……………….. Câu 28. Tính 1 dx ∫ . 5x − 3x
Trả lời: ………………..
Câu 29. Tính ∫(x − )3 2 1 dx .
Trả lời: ……………….. Câu 30. Tính ( − ∫ )4 2 2 x dx .
Trả lời: ……………….. Câu 31. Tính ( − ∫ )2 3 x x dx .
Trả lời: ……………….. 2 2 3 +
Câu 32. Tính x 2 x ∫ dx . x
Trả lời: ………………..
Câu 33. Tìm m để F x = 3 mx + m + 2 ( ) (3
2)x − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f x = 2
( ) 3x +10x − 4.
Trả lời: ………………..
Câu 34. Tìm a,b,c để F x = 2 ax + bx + 2 ( ) (
c) x − 4x là một nguyên hàm của hàm số f x = x − 2 ( ) ( 2) x − 4x .
Trả lời: ………………..
Câu 35. Tìm a,b,c để F x = 2
( ) (ax + bx + c) 2x − 3 là một nguyên hàm của hàm số 2 20x − 30x + 7 f (x) = . 2x − 3
Trả lời: ……………….. DẠNG 2
NGUYÊN HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
1. Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác cos xdx = x + C ∫ sin sin xdx = − x + C ∫ cos
Nguyên hàm hàm số lượng giác
1 dx = x + C ∫ tan cos2 x
1 dx = − x + C ∫ cot 2 sin x Chú ý: 1 1 1+ 2 tan x = ; 1+ 2 cot x = 2 2 cos x sin x
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. π
Câu 36. Hàm số F (x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0; 2 A. 1 f x = . B. 1 f x = − . C. 1 f x = . D. 1 f x = − . 3 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 sin x 2 cos x 2 cos x 2 sin x
Câu 37. Cho hàm số f (x) =1+ sin x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = x−cosx+C . B. f
∫ (x)dx = x+sin x+C . C. f
∫ (x)dx = x+cosx+C . D. f
∫ (x)dx = cosx+C .
Câu 38. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) x f x = 2 cos 2 A. F (x) x 1 = 2cos + C
B. F (x) = (1+ sin x) +C 2 2 C. F (x) x 1 = 2sin + C
D. F (x) = (1− sin x) +C 2 2
Câu 39. Cho hàm số f (x) 1 = 1−
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 cos x A. f
∫ (x)dx = x + tan x +C . B. f
∫ (x)dx = x+cot x+C . C. f
∫ (x)dx = x− tan x+C . D. f
∫ (x)dx = x−cot x+C .
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x + 6x là A. 2
sin x + 3x + C . B. 2
−sin x + 3x + C . C. 2
sin x + 6x + C .
D. −sin x + C .
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin x + 3x . A. ( 3
2sin x + 3x)dx = −2cos x + x + ∫ 2 C B. ∫(
x + x)dx = x + 2 2sin 3 2cos 3x + C 2
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều C. ( x 3 + x)dx = x + x + ∫ 2 3 2sin 3 sin C
D. ∫(2sinx+ 3x)dx = sin2x+ 2x +C 2 2
Câu 42. Tính ∫(x −sin x)dx. 2 2 2 2
A. x + sin x + C .
B. x − cos x + C .
C. x − sin x + C .
D. x + cos x + C . 2 2 2 2
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= 3x + sin x là A. 3
x + cos x + C .
B. 6x + cos x + C . C. 3
x − cos x + C .
D. 6x − cos x + C .
Câu 44. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = + sin x là x A. ln 1
x − cos x + C .
B. − − cos x + C .
C. ln x + cos x + C .
D. ln x − cos x + C . 2 x Câu 45. Cho ( )d = −cos + ∫ f x x
x C . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (x) = −sin x .
B. f (x) = −cos x .
C. f (x) = sin x .
D. f (x) = cos x .
Câu 46. Cho hàm số f ( ) cos x x sin x = ∫
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 2 x x x x A. = + ∫ 1 cos sin sin C . B. = x + C 2 2 2 ∫ 1 cos sin cos 2 2 2 x x x x C. = − x + ∫ 1 cos sin sin C . D. = − x + C 2 2 2 ∫ 1 cos sin cos 2 2 2
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 47. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A. ( +
x)dx = x − x + ∫ 2 2 cot cot C . x B. − dx = ∫ 2 1 1 cos (x +sin x)+ C 2 2 x x 2 C. sin + cos
dx = x + cos x + ∫ C . 2 2 2 x x D. sin − cos
dx = x − cos x + ∫ C 2 2
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 48. x
Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f x = − 2 ( ) 2024 2sin . 2
Trả lời: ………………..
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Câu 49. Tìm nguyên hàm 1
F (x) của hàm số f (x) = . 2 x 2 sin .cos x 2 2
Trả lời: ………………..
Câu 50. Tìm nguyên hàm 1 1
F (x) của hàm số f (x) = 2 x − 2x + 2 tan x . 3 2
Trả lời: ……………….. 2 x sin
Câu 51. Tính ∫ x − 2 1 dx . 2
Trả lời: ……………….. 2 Câu 52. Tính 2 1 tan 1 x x + − ∫ dx . 2 x x
Trả lời: ……………….. 1 sin Câu 53. Tính 2024 x x − + ∫ dx . 3 x x
Trả lời: ……………….. 2 x x sin + cos 2 2 Câu 54. Tính 3 1 x − 2x + dx = ∫ . 3 2024 x x
Trả lời: ……………….. 1 3 4 Câu 55. Tính ∫ 2 x + − dx = . 3 4 2 2 x 2 x x x x sin .cos 2 2
Trả lời: ……………….. DẠNG 3 NGUYÊN HÀM HÀM MŨ
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
exdx = ex + C ∫
Nguyên hàm hàm số mũ x a x = a dx + C (0 < ≠ ) 1 ∫ a ln a Chú ý : • ax+b 1 ax+b e dx = e + C ∫ a α x+β • αx+β 1 a a dx =
+ C (0 < a ≠ ∫ ) 1 α ln a
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 56. Họ nguyên hàm của hàm số 3 (x) = x f
e là hàm số nào sau đây? A. 3 x e + C . B. 1 3x e + C . C. 1 x e + C . D. 3 3 x e + C . 3 3
Câu 57. Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y − = là A. 2 1 2e x− + C . B. 2 1 e x− + C . C. 1 2x 1 e − + C .
D. 1 ex + C . 2 2
Câu 58. Cho hàm số ( ) x
f x = e + 2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? A. −2 ( ) x
f x dx = e + C ∫ . B. ( ) x
f x dx = e + 2x + C ∫ . C. ( ) x
f x dx = e + C ∫ . D. ( ) x
f x dx = e − 2x + C ∫ .
Câu 59. Cho hàm số ( ) x
f x = e + 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( ) 2 d = + + ∫ x f x x e x C . B. ( )d = + ∫ x f x x e C . C. ( ) 2 d = − + ∫ x f x x e x C . D. ( ) 2 d = + 2 + ∫ x f x x e x C .
Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7x f x = . x x 1 + A. x 7 7 dx = + C ∫ B. x 7 x x 1 7 dx 7 + = + C 7 dx = + C x x x = + C ln 7 ∫ C. ∫ D. 7 d 7 ln 7 x +1 ∫
Câu 61. Nguyên hàm của hàm số 2x y = là x x 2x
A. 2xd = ln 2.2x x + C ∫
. B. 2xd = 2x x + C ∫ . C. 2xd 2 x = + C ∫ . D. 2 dx = + C ln 2 ∫ . x +1
Câu 62. Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 x f x − = là − x −x A. 3 − + C B. 3−x − + C
C. 3−x ln 3+ C D. 3 + C ln 3 ln 3
Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 3x f x + 2x .
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều x
A. ∫(3x + 2x) 2 2 dx = + x + C
B. ∫( x + x) x 2
3 2 dx = 2 .ln 2 + x + C ln 2 x
C. ∫( x + x) 2 3 2 dx = + x + C
D. ∫(3x + 2 )d = 2x x x
.ln 2 + x + C ln 2
Câu 64. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e − 2x là. A. x 2
e + x + C . B. x 2
e − x + C . C. 1 x 2
e − x + C . D. x e − 2 + C . x +1 − x
Câu 65. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x 2018 = 2017 e f x e − . 5 x A. ∫ ( ) 2018 d = 2017 x f x x e − + C . B. ∫ ( ) 2018 d = 2017 x f x x e + + C . 4 x 4 x C. ∫ ( ) 504,5 d = 2017 x f x x e + + C . D. ∫ ( ) 504,5 d = 2017 x f x x e − + C . 4 x 4 x − x
Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số x = 2 e y e + là 2 cos x A. 2 x
e + tan x + C B. 2 x
e − tan x + C C. x 1 2e − + C D. x 1 2e + + C cos x cos x
Câu 67. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1 = − 3x y x + . x 3 x 3 A. x 3 1 − − + C, C ∈ x x 1 . B. − 3 +
+ C, C ∈ . 2 3 ln 3 x 2 3 x 3 x 3 x C. x 3 −
+ ln x + C, C ∈ x 3 . D. −
− ln x + C, C ∈ . 3 ln 3 3 ln 3
Câu 68. Khẳng định nào dưới đây đúng? A xd x
e x = xe + C ∫ . B. x x 1 e dx e + = + C ∫ . C. x x 1 e dx e + = − + C ∫ . D. xd x
e x = e + C ∫ . Câu 69. Cho hàm số 2 ( ) =1 x f x
+ e . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 1 x x
f (x)dx = x + e + C. ∫ B. 2
f (x)dx = x + 2e + C. 2 ∫ C. 1 2 ( ) x
f x dx = x + e + C. ∫ D. 2 ( ) x
f x dx = x + e + C. 2 ∫
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 70. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
A. 1 dx = ln x + C ∫ . x B.
1 dx = tan x+C ∫ . 2 cos x
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
C. sin xdx = −cos x + C ∫ .
D. ex d = ex x + C ∫ .
Câu 71. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A. cos d
x x = sin x + C ∫ . e 1 + B. ed x x x = + C ∫ . e +1
C. 1 dx = ln x + C ∫ . x x 1 + x e D. e dx = + C ∫ . x +1
Câu 72. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
A. 2xd = 2x x ln 2 + C ∫ . 2x B. 2x e e dx = + C ∫ . 2
C. x ( x – ) 1 2 1 x x e e
dx = e + e + C ∫ . 2 e x x ( 3 3 x 3 )
D. e .3 dx = + C ∫ . 3+ ln 3
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 73. Tính x +
∫(2 3x) dx .
Trả lời: ……………….. Câu 74. Tính x+ ∫ 3 2024 e dx .
Trả lời: ………………..
Câu 75. Tính ∫ x+2 2x+1 3 .2 dx .
Trả lời: ………………..
Câu 76. Tính ∫( x3 + x)2 5 dx .
Trả lời: ……………….. 3x
Câu 77. Tính ∫ e +1dx. ex +1
Trả lời: ………………..
Câu 78. Tính ∫( x −
e + e x )2 dx .
Trả lời: ………………..
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều 2x
Câu 79. Tính e −1 dx ∫ . 1 x − e−
Trả lời: ………………..
Câu 80. Chứng minh ( ) = (4 − 5) x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số ( ) = (4 −1) x f x x e .
Trả lời: ………………..
Câu 81. Tìm nguyên hàm F (x) của các hàm số ( ) x = + 2 x f x me
a − 2sin x (m là tham số)
Trả lời: ………………..
Câu 82. Tìm a,b,c để 2 − = + + 2 ( ) ( ) x F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số 2 − = − − + 2 ( ) (2 8 7) x f x x x e .
Trả lời: ………………..
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều CHƯƠNG 4
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BÀI 1 NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) nếu
F '(x) = f (x), với mọi x ∈ K .
Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K . Khi đố:
• Với mỗi hằng số C , hàm số F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K .
• Nếu G (x)là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho
G (x) = F (x) + C với mọi x∈ K
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C , với C là hằng số. Ta gọi
F (x) + C,C ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) trên K , kí hiệu f ( x )dx ∫ và viết:
f ( x )dx = F( x )+ C ∫ Chú ý:
• Biểu thức f (x)dx được gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f (x) , kí hiệu là dF (x)
Vậy, dF (x) = F 'dx = f (x)dx
• Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của
hàm số đó trên tập xác định của nó.
• f '( x )dx = f ( x )+ C ∫
2. Các tính chất của nguyên hàm • kf ∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx , với k là hằng số khác 0 • f
∫ (x)+ g(x)dx = f
(x)dx + g(x)dx ∫ ∫ • f
∫ (x)− g(x)dx = f
(x)dx − g(x)dx ∫ ∫
3. Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp 0dx = C ∫
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
dx = x + C ∫ α 1 + α x x dx = + C ∫ (α ≠ − ) 1 α +1
Nguyên hàm của hàm số 1 y =
dx = ln x + C ( ≠ 0) ∫ x x x cos xdx = x + C ∫ sin sin xdx = − x + C ∫ cos
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1 dx = x + C ∫ tan cos2 x 1 dx = − x + C ∫ cot sin2 x
exdx = ex + C ∫
Nguyên hàm của hàm số mũ x a x = a dx + C (0 < ≠ ) 1 ∫ a ln a CHỦ ĐỀ 1
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
TÍNH NGUYÊN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP DẠNG 1
NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA
1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa 0dx = C ∫
dx = x + C ∫ α 1 + α x x dx = + C ∫ (α ≠ − ) 1 α +1
Nguyên hàm hàm số lũy thừa 1 1 dx = − + C ∫ 2 x x
1 dx = 2 x +C ∫ x
dx = ln x + C ( ≠ 0) ∫ x x
Chú ý : dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh n ∫( + ax + b)n 1 (ax b) dx = + C a n +1
2. Lũy thừa với số mũ thực
Cho a,b là những số thực dương, α, β là những số thực bất kì. Khi đó:
• aαaβ = aα+β α
• a = aα−β aβ • ( )β α α . a a β =
• (ab)α aαbα = α α • a a = b bα
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A. f (x)dx F = (x) + C ∫ .
B. ( f (x)dx ∫ )′ = f (x).
C. ( f (x)dx ∫
)′ = f (′x).
D. ( f (x)dx ∫
)′ = F (′x). Lời giải Chọn C
Ta có f (x)dx F
= (x) + C ⇔ F ' ∫
(x) = f (x) nên phương án A, B, D đúng.
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 6 là A. 2 x + C . B. 2
x + 6x + C . C. 2 2x + C . D. 2
2x + 6x + C . Lời giải Chọn B. ∫( x+ ) 2 2
6 dx = x + 6x + C Câu 3. 2 x dx ∫ bằng A. 1 2x + C . B. 3 x + C . C. 3 x + C . D. 3 3x + C 3 Lời giải Chọn B. Ta có 2 1 3
x dx = x + C ∫ . 3
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x +1 là 3 A. 3 x x + C B. + x + C
C. 6x + C D. 3
x + x + C 3 Lời giải Chọn D. ∫( 2x + ) 3 3
1 dx = x + x + C.
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x + x là A. 1 4 1 2
x + x + C B. 2
3x +1+ C C. 3
x + x + C D. 4 2
x + x + C 4 2 Lời giải Chọn A. ∫( 3 2
x + x )dx 1 4 1 2
= x + x + C . 4 2
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2
f x = x + x là A. 1 5 1 3
x + x + C B. 4 2
x + x + C C. 5 3
x + x + C . D. 3
4x + 2x + C 5 3 Lời giải Chọn A. f (x)dx = ∫ ∫( 4 2
x + x )dx 1 5 1 3
= x + x + C . 5 3
Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2022 y = x ? 2023 2023 2023 A. x +1. B. x . C. 2021 y = 2022x . D. x −1. 2023 2023 2023 Lời giải Chọn C 2023 Ta có: 2022d x x x = + C, C ∫ là hằng số. 2023
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số 2022 y = x .
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 3 2
x − 2x + x − 2024 là 3 2 2 A. 1 4 2 3 x x − x + + C . B. 1 4 2 3 x x − x + − 2024x + C . 12 3 2 9 3 2 2 2 C. 1 4 2 3 x x − x + − 2024x + C . D. 1 4 2 3 x x + x − − 2024x + C . 12 3 2 9 3 2 Lời giải Chọn C. n 1 +
Sử dụng công thức n x x dx = + C ∫ ta được: n +1 4 3 2 1 3 2 1 x x x 1 4 2 3 1 2
x − 2x + x − 2024 dx = . − 2. + − 2024x + C =
x − x + x − 2024x + ∫ C. 3 3 4 3 2 12 3 2
Câu 9. Tìm nguyên F (x) của hàm số f (x)=(x + ) 1 (x + 2)(x + ) 3 ? 4
A. F (x) x 3 11 2 =
−6x + x −6x +C .
B. F (x) 4 3 2
= x + 6x +11x + 6x +C . 4 2 4
C. F (x) x 3 11 2 =
+ 2x + x +6x +C .
D. F (x) 3 2 2
= x + 6x +11x + 6x +C . 4 2 Lời giải Chọn C.
Ta có: f (x)=(x + )(x + )(x + ) 3 2 1 2
3 = x + 6x +11x + 6
⇒ F (x)= ∫(x +6x +11x+6) 4 3 2 x 3 11 2 dx =
+ 2x + x +6x +C . 4 2
Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân – Bài tập theo chương trình mới 2025 Cánh Diều
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x + )5 5 3 . 6 4 A. x (5x 3) (5x 3) + 6 (5 3) + C . B. x + 4 (5 3) + C . C. + + C . D. + + C . 30 30 Lời giải Chọn C. 6 6 x 3) (5x 3) f (x) 5 1 (5 + + = ( x + )5 5
3 ⇒ f (x)dx = (5x + 3) dx = . + C = + ∫ ∫ C 5 6 30
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 f x = x + . 2 x 3 3 A. f ∫ (x) x 1 dx = + + C x 2 . B. f
∫ (x)dx = − +C . 3 x 3 x 3 3 C. f ∫ (x) x 1 dx = − + C x 2 . D. f
∫ (x)dx = + +C . 3 x 3 x Lời giải Chọn A. 3 Ta có 2 2 x 2 x + dx = − + ∫ C . 2 x 3 x
Câu 12. Tính ∫ x x x dx . A. 4 15 7
x x + C . B. 8 15 7
x x + C . C. 8 15
x x + C . D. 4 15 x x + C . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B. 7 1 1 3 7 + 8 x 8 2 4 8 15 7 x x x dx = x . x x dx = .xx dx = x dx = ∫ ∫ ∫ ∫ 7 + C = x x + C 15 +1 8 3 2
Câu 13. Tính ∫ x − 2 x +1dx . 4 x A. 4 24 4 5 17 5 4 3
x x − 2x x + x + C . B. 5 17 5 4 3 x x − x x + x + C . 5 17 3 C. 5 24 17 5 4 3 x x −
x x + x + C . D. 4 5 17 5 4 4 3 x x − 2x x + x + C . 17 5 3 Lời giải Chọn B. 1 2 1 2 3 2 2 3 2 3 x − 2 x +1 x − 2x +1 x x 1 dx dx 2 = = − + dx ∫ ∫ ∫ 4 1 1 1 1 x 4 4 4 4 x x x x