31 trang 4 lượt tải

Các Dạng Toán 9 Kết Nối Tri Thức Bài 11 Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn

7

Nếu đề bài yêu cầu tính tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong cùng một tam giác vuông thi sử dụng tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài 4= AB m được đặt dựa vào tường, khoảng cách từ  chân thang đến chân tường là 1,5 = BH m. Tính góc tạo bởi cạnh AB và phần tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông (KNTT) 2 tài liệu

Môn: Toán 9 2.9 K tài liệu

Sách: Kết nối tri thức

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

2 tuần trước
Danh sách Quiz
/31
Trang 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho góc nhọn
. Xét
ABC
vuông tại
A
có góc nhọn
B
bằng
. Ta có:
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là
sin
của
, kiế hiệu
sin
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của
, kí hiệu là
cos
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc
gọi là tang của
, kiế hiệu
tan
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc
gọi là côtang
, kí hiệu
cot
.
* Ta có:
+
c¹nh ®èi
sin =
c¹nh huyÒn
;
c¹nh kÒ
cos =
c¹nhhuyÒn
;
α
c¹nh ®èi
tan =
c¹nh kÒ
;
α
c¹nhkÒ
cot =
c¹nh®èi
+
1
cot
tan
=
+
sin , cos ,tan ,cot
gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn
* sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất
Ta có bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:
*) Chú ý: Cách tính chính xác cạnh đối và cạnh kề của góc cần viết tỉ số lượng giác
Chẳng hạn:
Viết tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam
giác
ABC
vuông tại
A
.
Xét
ABC
vuông tại
A
, có:
sin
AC
B
BC
=
cos
AB
B
BC
=
tan
AC
B
AB
=
cot
AB
B
AC
=
sin
AB
C
BC
=
cosC
AC
BC
=
tanC
AB
AC
=
cotC
AC
AB
=
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
* Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
* Cho
và
là hai góc phụ nhau, khi đó:
sin cos

=
,
sin cos

=
,
tan cot

=
,
cot tan

=
C
B
A
Trang 2
3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của góc nhọn.
* Để tìm góc
khi biết
cot
, ta có thể tìm góc
( )
90
−
vì
( )
tan 90 cot

− =
rồi suy ra
.
B. Các dạng toán
Dạng 1: Sử dụng MTCT tính tỉ số lượng giác, tính góc
Bài 1: Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba.
a)
sin 27
,
cos32 15'
,
tan 52 12'
và
cot 35 23'
b)
sin 40 54'
,
cos52 15'
,
tan 69 36'
và
cot 25 18'
Lời giải
a)
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được:
sin 27 0,454
;
cos32 15' 0,846
;
tan52 12' 1,289
cot35 23' 1,408
Lưu ý:
1
cot35 23
tan35 23
=
b)
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được
sin 40 54' 0,655
;
cos52 15' 0,612
;
tan 69 36' 2,689
;
cot 25 18' 2,116
Bài 2: Sử dụng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết:
a)
1
sin 0,3214
=
,
2
cos 0,4321
=
,
3
tan 1,2742
=
và
4
cot 1,5384
=
b)
1
sin 0,3782
=
,
1
cos 0,6251
=
,
1
tan 2,154
=
và
1
cot 3,253
=
Lời giải
a)
β
α
B
A
C
Trang 3
Làm tròn đến phút ta được:
1
18 45

;
2
64 24

;
3
51 52

;
4
31 1

b)
Làm tròn đến phút ta được:
1
23 13

;
2
51 19

;
2
65 6

;
4
17 5

.
Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau:
a)
26
b)
72
c)
81 27
Lời giải
a)
sin 26 0,44
,
cos 26 0,9
,
tan 26 0, 49
và
cot 26 2,05
.
b)
sin 72 0,95
,
cos72 0,31
,
tan 72 3,08
và
cot 72 0,32
.
c)
sin81 27 0,99

,
cos81 27 0,15

,
tan81 27 6,65

và
cot81 27 0,15

.
Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm góc nhọn
trong mỗi trường hợp sau đây
a)
cos =0,6
b)
3
tan
4
=
Lời giải
a) Ta có:
cos =0,6
. Từ đo tìm được
53 8

b) Ta có:
3
tan
4
=
. Từ đó tìm được
36 52

.
Bài 5: Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữu số thập phân thứ ba)
a)
sin 40 12
b)
cos52 54
c)
tan 63 36
d)
cot 25 18
Lời giải
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được:
a)
sin 40 12 0,645

b)
cos52 54 0,603

c)
tan 63 36 2,014

d)
cot 25 18 2,116

Bài 6: Dùng MTCT. Tìm số đo của góc nhọn
x
(làm tròn đến phút), biết rằng:
a)
sin 0,2368=x
b)
cos 0,6224=x
Trang 4
c)
tan 1,236=x
d)
cot 2,154=x
Lời giải
Làm tròn đến phút ta được:
a)
13 42
x
b)
51 31
x
c)
51 2
x
d)
24 54
x
Dạng 2: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong một tam giác vuông
I. Cách giải:
- Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
- Tính đoạn thẳng chưa biết (nhờ định lí Pitago hoặc hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác
vuông)
Xác định cạnh đối, kề, huyền Viết tỉ số lượng giác Tính đoạn thẳng chưa biết.
*) Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tính tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong cùng một tam giác
vuông thi sử dụng tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
II. Bài toán
Bài 1: Cho hình thoi
ABCD
có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
O
.
a) Tỉ số
OB
AB
là sin của góc nhọn nào? Tỉ số
OB
BC
là côsin của góc nhọn nào?
b) Viết tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn sau:
tan OCD
,
cot OAD
Lời giải
Hình thoi
ABCD
có hai đường chéo cắt nhau tại
O
nên
⊥AC BD
tại
O
a) Tam giác
OAB
vuông tại
O
nên
sin=
OA
OAB
AB
Tam giác
OBC
vuông tại
nên
=
OB
cosOAB
BC
O
D
C
B
A
Trang 5
b) Tam giác
OCD
vuông tại
O
nên
tan =
OD
OCD
OC
Tam giác
OAD
vuông tại
nên
cot =
OA
OAD
OD
Bài 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc
, trong tam giác
ABC
ở hình vẽ bên.
Lời giải
Xét
ABC
vuông tại
A
,
=B
, ta có:
9
sin 0,16
15
= = =
AC
BC
;
12
cos = 0,8
15
==
AB
BC
9
tan = 0,75
12
==
AC
AB
;
12 4
cot =
93
==
AB
AC
Bài 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn
A
trong mỗi tam giác vuông
ABC
có
90=B
ở
hình sau.
Lời giải
+ Xét
ABC
vuông tại
(hình a), ta có:
4
sin
5
==
BC
A
AC
;
3
cosA=
5
=
AB
AC
4
tan =
3
=
BC
AB
;
3
cotA=
4
=
AB
BC
+ Xét
ABC
vuông tại
(hình b), ta có:
1
sin
17
==
BC
A
AC
;
4
cosA=
17
=
AB
AC
1
tan =
4
=
BC
AB
;
4
cotA=
1
=
AB
BC
+ Xét
ABC
vuông tại
(hình c), ta có:
5
sin
3
==
BC
A
AC
;
2
cosA=
3
=
AB
AC
5
tan =
2
=
BC
AB
;
2
cotA=
5
=
AB
BC
+ Xét
ABC
vuông tại
(hình d), ta có:
B
A
C
α
15
12
9
Trang 6
6
sin
2
==
BC
A
AC
;
10
cosA=
2
=
AB
AC
6
tan =
10
=
BC
AB
;
10
cotA=
6
=
AB
BC
Bài 4: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
3=AB
cm,
4=AC
cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác
sin
,
cos
,
tan
với
= B
Lời giải
Xét
ABC
vuông tại
A
,
=B
Theo định lí pythagore, ta có:
2 2 2 2 2
4 3 25= + = + =BC AC AB
nên
5=BC
cm.
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có:
4
sin
5
==
AC
A
BC
;
3
cosA=
5
=
AB
BC
4
tan =
3
=
AC
AB
;
Bài 5: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
5=AB
cm,
12=AC
cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác
của góc
B
Lời giải
Xét
ABC
vuông tại
A
Theo định lí pythagore, ta có:
2 2 2 2 2
12 5 169= + = + =BC AC AB
nên
13=BC
cm.
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có:
12
sin
13
==
AC
A
BC
;
5
cosA=
13
=
AB
BC
12
tan =
5
=
AC
AB
;
5
cotA=
12
=
AB
AC
Bài 6: Tính tỉ số lượng giác của góc
B
trong hình vẽ bên.
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2
12 5 169= + = + =BC AC AB
nên
13=BC
cm.
Do đó:
12
sin
13
==
AC
A
BC
;
5
cosA=
13
=
AB
BC
12
tan =
5
=
AC
AB
;
5
cotA=
12
=
AB
AC
Bài 7: Cho tam giác
MNP
vuông tại
M
,
3=MN
cm,
4=MP
cm. Tính các tỉ số lượng giác của
góc
C
12
5
B
A
Trang 7
P
Lời giải
Trong
MNP
vuông tại
M
, ta có
2 2 2 2
3 4 25 5= + = + = =NP MN MP
Xé
MNP
vuông tại
M
, ta có:
3
sin
5
==
MN
P
NP
;
4
cos
5
==
MP
P
NP
3
tan =
4
=
MN
MP
;
4
cotA=
3
=
MP
MN
Bài 8:
ABC
vuông tại
A
có
2=BC AB
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
Lời giải
Ta đặt
=AB m
thì
2=BC
m, suy ra
2 2 2 2 2 2
43= − = − =AC BC AB m m m
Suy ra
3=AC m
Ta có:
1
sin
22
= = =
AB m
C
BC m
;
33
cos
22
= = =
AB m
C
BC m
1
tan
33
= = =
AB m
C
BC
m
;
3
cot = 3==
AC m
A
AB m
Bài 9:
ABC
cân tại
A
, có
6=BC
, đường cao
4=AH
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
Lời giải
Ta có:
6 : 2 3==BH
;
22
4 3 5= + =AB
Do đó:
4
sin 0,8
5
= = =
AH
C
AB
;
3
cos 0,6
5
= = =
BH
B
AB
4
tan
3
==
AH
B
AB
;
3
cot = 0,75
4
==
BH
B
AH
Bài 10: Tính
tan C
trong hình vẽ bên.
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2
6 3 27= − = − =AH AB BH
33=AH
Do đó
31
tan cot
3 3 3
= = = =
BH
CB
AH
.
Bài 11: Tính
sin cos+MN
trong hình vẽ bên.
H
A
6
3
C
B
Trang 8
Lời giải
Ta có:
2
1 3 3= = =OH HM HN
3=OH
;
12= + =OM
Do đó
3
sin
2
==
OH
M
OM
Mặt khác
3
cos sin
2
==NM
nên
cos sin 3+=NM
.
Bài 12: Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
1,5=AB
,
3,5=BC
. Tính tỉ số lượng giác của góc
C
rồi
suy ra các tỉ số lượng giác của góc
B
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
22
2 2 2
3,5 1,5 10= − = − =AC BC AB
, suy ra
10=AC
Do đó
1,5
cos sin 0,4286
3,5
= = =
AB
BC
BC
10
cos sin 0,9035
3,5
= = =
AC
CB
BC
1,5
cot tan 0,4743
10
= = =
AB
BC
AC
10
cot tan 2,1082
1,5
= = =
AC
CB
AB
.
Bài 13: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn
40
:
sin 40
,
cos60
,
sin 52 30'
,
tan 80
,
cot 82
.
Lời giải
( )
sin60 cos 90 60 cos30 = − =
( )
cos75 sin 90 75 sin15 = − =
( )
sin52 30 cos 90 52 30' cos37 30

= − =
( )
cot82 tan 90 82 tan8 = − =
.
Bài 14: Tia nắng chiếu qua điểm
B
của tòa nhà tạo với mặt đất một góc
x
và tạo với cạnh
AB
của tòa nhà một góc
y
(hình vẽ). Cho biết
cos 0,78x
và
cot 1,25x
. Tính
sin y
và
tan y
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
H
O
3
1
N
M
Trang 9
Lời giải
Do góc
x
và góc
y
là hai góc phụ nhau nên
sin cos 0,78=yx
Và
tan cot 1,25=yx
Bài 15: Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài
4=AB
m được đặt dựa vào tường, khoảng
cách từ chân thang đến chân tường là
1,5=BH
m. Tính góc tạo bởi cạnh
AB
và phần
tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Lời giải
Ta có, góc tạo bởi cạnh
AB
và phương năm ngang trên mặt đất là
ABH
Xét tam giác
ABH
vuông tại
H
, ta có
1,5
0,375
4
= = =
BH
ABH
AB
Vậy
68ABH
.
Bài 16: Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả
cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí
cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chueyenr động qua lại quanh vị trí cân
bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm
A
của quả cầu cách
B
một
khoảng
60=AB
cm và cách vị trí cân bằng một khoảng
20=AH
cm. Tính số đo góc
tạo bởi sợi dây
BA
và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Lời giải
Xét
ABH
vuông tại
H
, ta có
20 1
sin
60 3
= = =
AH
AB
Do đó
19

Trang 10
Vậy góc tạo bởi sợi dây
BA
và vị trí cân bằng có số đo khoảng
19
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN 2
Bài 1: Cho tam giác
ABC
vuông tại
C
có
1,2 ; 0,9==BC cm AC cm
. Tính các tỉ số lượng giác của
góc
B
, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
A
Lời giải
Ta có:
3 4 3 4
; ; ;
5 5 4 3
= = = =SinB cosB tanB CotB
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
= = = =SinA CosA tanA cotA
Bài 2: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
1,6 ; 1,2==AB cm AC cm
. Tính các tỉ số lượng giác của
góc
B
, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
C
.
Lời giải
Ta có:
3 4 3 4
; ; ;
5 5 4 3
= = = =SinB cosB tanB cotB
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
= = = =SinC CosC tanC cotC
Bài 3: Cho tam giác
ABC
có
5, 3==AB a BC a
,
2=AC a
a) Chứng minh tam giác
ABC
vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
A
Lời giải
a) Dùng định lý pytago đảo, ta có:
( )
2 2 2 2 2 2
5 3 2= + = + AB AC BC a a a ABC
vuông tại
C
b) Tính được:
-
26
5
5
==SinB
-
3 15
cos
5
5
==B
-
26
tan
3
3
==B
-
3 3 6
6
6
==CotB
Bài 4: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
5=AB cm
,
5
.
8
=cotB
Tính độ dài các đoạn thẳng
AC
và
BC
a) Chứng minh tam giác
ABC
vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
A
Lời giải
1,2
0,9
B
A
C
1,2
1,6
B
A
C
B
A
C
C
B
A
Trang 11
Áp dụng tỉ số
cotB
trong tam giác vuông
ABC
và định lý pytago ta tính được
8 , 89==AC cm BC cm
Bài 5: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
( )
AH H BC
, hãy tính
sinB
và
sinC
làm tròn
kết quả đến chữ số thập phân thứ tư trong các trường hợp sau:
a)
13 , 0,5==AB m BH dm
b)
3 , 4==BH cm CH cm
Lời giải
a) Áp dụng các tỉ số lượng giác cho tam giác vuông
ABH
để tính
sinB
, rồi từ đó suy ra
sinC
b) Áp dụng hệ thức lượng về cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền trong tam giác
vuông
ABC
để tính
AB
. Sau đó làm tương tự câu a
Bài 6: Cho tam giác
ABC
đều, cạnh
a
, đường cao
AH
. Tính tỉ số lượng giác của các góc
ABH
,
HAB
(không dùng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt)
Lời giải
Vì tam giác
ABC
đều (giả thiết) nên đường cao
AH
đồng thời là đường trung tuyến
Suy ra
H
là trung điểm của
BC
suy ra
1
22
= = =
BC
BH HC a
90⊥ = AH BC AHB
, suy ra
AHB
vuông tại
H
2 2 2
= +AB AH BH
(pitago)
2
22
1
2

= +


a AH a
2 2 2 2
13
44
= − =AH a a a
3
2
=
a
AH
Trong tam giác vuông
AHB
có
ABH
,
HAB
là hai góc phụ nhau nên:
33
sin :
22
= = = =
AH a
ABH cosHAB a
AB
1
sin :
22
= = = =
BH a
cosABH HAB a
AB
3
tan cot : 3
22
= = = =
AH a a
ABH HAB
BH
4
3
5
13
H
C
B
A
a
H
C
B
A
Trang 12
3 1 3
cot tan :
2 2 3
3
= = = = =
BH a a
ABH HAB
AH
Bài 7: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
AB AC
, chu vi là
72
cm và trung tuyến
15=AM
cm.
Tính tỉ số lượng giác của các góc
B
,
C
Lời giải
Vì
AM
là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
ABC
nên ta có:
2 2 15 30= = =BC AM
cm
Mà
72+ + =AB BC C A
cm nên
42+=AB AC
cm
Đặt
=AC x
cm (
0x
)
42 42 = − = −AB AC x
cm
Hơn nữa
2 2 2
+=AB AC BC
(Pitago)
( )
2
2
2+ − =AB AC AB AC BC
22
42 2 30 432− = =AB AC AB AC
( )
2
42 432 42 432 0− = − + =x x x x
( )( )
24 18 0− − =xx
24=x
hoặc
18=x
Nếu
24=x
thì
24=AC
cm suy ra
42 24 18=−=AB
cm (thỏa mãn
AB AC
)
Nếu
18=x
thì
18=AC
cm suy ra
42 18 24= − =AB
cm (không thỏa mãn
AB AC
)
Như vậy tam giác
ABC
vuông tại
A
và có
18=AB
cm,
24=AC
cm,
30=BC
cm
Hơn nữa
B
và
C
là hai góc phụ nhau.
Bài 8: Cho tam giác
ABC
có
5=AB
cm,
3=AC
cm,
2 90+ = BC
. Tính
sin C
Lời giải
Kẻ
⊥CH AB
Do
11
90+ BC
nên
A
nằm giữa
B
và
H
Ta có
1 1 1
90 2+ = = +B BCH B C
1 1 2
2 = =BCH C C C
Kẻ đường thẳng vuông góc với
BC
tại
B
và cắt tia
CA
tại
K
. Ta có:
1
2
22
90
90
+ =
=
+ =
KC
KA
AC
Mà
12
=AA
(hai góc đối đỉnh) nên
1
=KA
ABK
cân tại
B
(theo dấu hiệu nhận biết)
Kẻ
⊥BM AK
thì
BM
cũng là đường trung tuyến của
ABK
Suy ra
M
là trung điểm của
AK
Đặt
==AM MK x
cm, với
0x
M
15cm
A
B
C
A
C
H
M
K
B
1
1
2
2
1
Trang 13
Xét
BKC
vuông tại
B
có đường cao
BM
:
2
=BK KM KC
(hệ thức về cạnh và đường cao)
( )
( )
2
2
5 2 3 2 3 5 0= + + − =x x x x
( )( )
1 2 5 0− + =xx
( )
( )
1
5
2
=
=−
x T M
x KTM
Do đó
2 1 3 5= + =KC
Trong tam giác
BKC
có
5
sin
5
==
KB
C
KC
.
Dạng 3: Tính các cạnh trong một tam giác vuông sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Bài 1: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
30=C
và
=BC a
. Tính các cạnh
AB
,
AC
theo
a
Lời giải
Ta có:
sin =
AB
C
BC
, suy ra
sin sin 30= = AB BC C a
Trang 14
Lại có
1
sin30
2
=
nên
2
=
a
AB
Tương tự, ta có
cosC=
AC
BC
, suy ra
3
cos cos30
2
= = =
a
AC BC C a
Bài 2: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
45=C
và
=AB c
. Tính các cạnh
BC
,
AC
theo
c
Lời giải
Xét
ABC
vuông tại
A
có
sin =
AB
C
BC
Suy ra
2
sin sin 45
= = =
AB c
BC c
C
Xét
ABC
vuông tại
A
có
90+ = BC
Do đó
45= = BC
Suy ra
ABC
vuông cân tại
A
Vậy
==AB AC c
.
Bài 3: Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đén hàng phần trăm).
Lời giải
Xét
ABC
vuông tại
B
có:
tan =
AB
C
CB
, suy ra
tan=AB BC C
hay
5,8 tan 60 5,8 3 10,5= = AB
(m)
Vậy chiều cao của tháp canh gần bằng
10,05
mét.
Bài 4: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
5
6,
12
==AB cm tanB
. Hãy tính độ dài đường cao
AH
và
trung tuyến
BM
của tam giác
ABC
Lời giải
Xét
( )
30 601
( ); ( )
13 4
= =ABH H AH cm BM cm
Bài 5: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
( )
AH H BC
biết
4=BH cm
,
1=CH cm
.
Hãy tính các cạnh và các góc của tam giác vuông
ABC
.
6
M
H
C
B
A
1
4
H
C
B
A
Trang 15
Lời giải
Xét tam giác
ABC
vuông tại
A
, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
+)
22
. 20 2 5( ) 5( )= = = =AB BC BH AB AB cm AC cm
+) Ta có:
00
51
45 ; 2 45
2
25
= = = = = = =
AC AB
tanB B tanC C
AB AC
Bài 6: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
( )
AH H BC
, biết
4=BH cm
,
3 13=AC cm
.
Hãy tính các cạnh và các góc của tam giác vuông
ABC
.
Lời giải
Đặt
=HC x
(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ABC
,
ta có:
22
. (4 ). 4 9.13= = + + =AC BC CH x x x x
2
9( )
4 4 121
13( )
=
+ + =
=−
x tm
xx
x loai
Ta có:
( )
13=+=BC BH HC cm
+)
2
. 13.4 52 2 13( )= = = =AB BH BC AB cm
+)
00
3 13 3
56 34
13
13
= = = = =
AC
SinB B C
BC
Bài 7: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
10=AB
cm,
15=AC
cm
a. Tính góc
B
b. Phân giác trong của góc
B
cắt
AC
tại
I
. Tính
AI
c. Vẽ
AH
vuông góc với
BI
tại
H
. Tính
AH
Lời giải
a) Xét tam giác
ABC
vuông tại
A
, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
0
15 3
56
10 2
= = = =
AC
tanB B
AB
b) Ta có:
0
. =10. 28 5,3( )= = =
AI
tanABI AI AB tanABI tan cm
AB
c)
0
. 28 4,7( )= = =
AH
SinABH AH AB Sin cm
AB
Bài 8: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
( )
6=AH cm H BC
, biết
2
3
=tanC
. Hãy tính
độ dài các cạnh:
, , ,HB HC AB AC
3
13
4
H
C
B
A
H
I
15
10
C
B
A
Trang 16
Lời giải
Theo giả thiết ta có:
22
33
= =
AH
tanC
CH
Lại có:
2 .2 6.2 .3
( . ) 4; 9
3 3 3 2
= = = = = = = =
AH HB AB HA AH
AHB CHA g g HB CH
CH HA AC
#
Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
22
. 2 13( ); . 3 13( )= = = =AB BH HC AB cm AC CH CB AC cm
Bài 9: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
0
15 , 50==AC cm B
. Hãy tính độ dài
a)
,AB AC
b) phân giác
CD
Lời giải
a) Tam giác
ABC
vuông ở
, theo hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta
có:
( )
0
. 15. 50 15.0,8391 12,59= = AB AC cotB cot cm
( )
0
15 15
. 19,58
50 0,7660
= = =
AC
AC BC sinB BC cm
sin
sinB
b) Tam giác
ABC
vuông ở
A
nên:
0 0 0
90 90 40+ = = − =B C C B
CD
là tia phân giác của
C
, ta có:
00
11
.40 20
22
= = =ACD C
Trong tam giác vuông
ACD
vuông tại
A
, theo hệ thức lượng về cạnh và góc ta có:
( )
0
0
15
. . 20 15,96
20 0,9397
= = =
AC
AC CD cosACD cos CD cm
cos
.
Bài 10: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, góc
0
30=C
,
10=BC cm
a. Tính
,AB AC
b. Kẻ từ
A
các đường thẳng
,AM AN
lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và
ngoài của góc
B
. Chứng minh
=MN AB
c. Chứng minh các tam giác
MAB
và
ABC
đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Lời giải
b) Chú ý: Hai đường phân giá của hai góc kề bù vuông góc với nhau
c) Ta có:
BM
là phân giác của góc
B
. Từ đó tính được số đo các góc của tam giác
MAB
*) Chú ý: Tam giác
MAB
và
ABC
đều là các tam giác nửa đều, từ đó tính được tỉ số đồng
dạng là 0,5.
Bài 11: Cho tam giác
ABC
vuông tại
( )
A AB AC
,
0
45
=C
, đường trung tuyến
AM
, đường
cao
AH
,
= = =MA MB MC a
. Chứng minh rằng:
H
C
B
A
6
N
M
C
B
A
Trang 17
a)
2 2 .
=sin sin cos
b)
2
1 2 2

+=cos cos
c)
2
1 2 2

−=cos sin
Lời giải
a) Ta có:
2
2 2 .
2 ; 2 2. 2. .
2
= = = = = =
AH AH AH AB AC
AMH Sin sin cos
AM AM BC BC
b)
2
2
2
2
1 2 =1+ 2. 2.

+ = = = =
HM HC HC AC
cos cos
AM AM BC BC
c)
2
2
2
2
1 2 1 2. 2.

− = − = = =
HM HB HB AB
cos sin
AM AM BC BC
.
Dạng 4: Dựng góc nhọn
biết một tỉ số lượng giác của góc đó bằng
m
n
I. Phương pháp giải:
Dựng một tam giác vuông có cạnh là
m
và
n
(
m
và
n
tương ứng là cạnh góc vuông và cạnh
huyền nếu tỉ số lượng giác đã co là sin hoặc cos;
m
và
n
là hai cạnh góc vuông nếu tỉ số lượng
giác đã cho là tan hoặc cot) rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc
.
M
H
C
B
A
Trang 18
II. Bài toán
Bài 1: Dựng góc
, biết
sin 0,25
=
Lời giải
Ta có:
1
0,25
4
=
+ Dựng góc vuông
xOy
+ Trên cạnh
Ox
đặt
1=OA
+ Dựng đường tròn
( )
;4A
căt cạnh
Oy
tại
B
Khi đó
=ABO
(vì
1
sin
4
==
OA
OB
).
Bài 2: Dựng góc
, biết
cos =0,75
Lời giải
Ta có:
3
0,75=
4
+ Dựng góc vuông
xOy
+ Trên cạnh
Oy
đặt
3=OB
+ Dựng đường tròn
( )
;4B
cắt cạnh
Ox
tại
A
Khi đó
=ABO
(vì
3
cos
4
==
OB
BA
).
Bài 3: Dựng góc
, biết
tan =1,5
Lời giải
Ta có:
3
1,5
2
=
Trang 19
+ Dựng góc vuông
xOy
+ Trên cạnh
Ox
đặt
3=OA
+ Trên cạnh
Oy
đặt
2=OB
Khi đó
=ABO
(vì
3
tan
2
==
OA
OB
).
Bài 4: Dựng góc
, biết
cot =2
Lời giải
+ Dựng góc vuông
xOy
+ Trên cạnh
Ox
đặt
1=OA
+ Trên cạnh
Oy
đặt
2=OB
Khi đó
=ABO
(vì
cot 2
==
OB
OA
).
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác với các góc đặc biệt
I. Phương pháp giải
+ Sử dụng bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc
30
;
45
;
60
+ Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
II. Bài toán
Bài 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a)
22
sin 45 cos 45
+
b)
tan 30 cot 30
c)
sin30 cos 60
tan 45
Lời giải
a) Ta có:
22
sin 45 cos 45
+
22
2 2 1 1
1
2 2 2 2
= + = + =
b) Ta có:
tan 30 cot 30
3
31
3
= =
Trang 20
c) Ta có:
sin30 cos 60
tan 45
11
1
22
14
==
Bài 2: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a)
2cos45
3 tan30
2
= + A
b)
2sin 60
cot 45
3
= − B
Lời giải
a) Ta có:
2cos45
3 tan30
2
= + A
2
2
3
2
3 1 1 2
3
2
= + = + =
b) Ta có:
2sin 60
cot 45
3
= − B
3
2
2
1 1 1 0
3
= − = − =
Bài 3: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a)
23
4cos 45 3 cot30 16cos 60= + − M
b)
2
2sin30 sin 60
cos 30 cos60
−
=
−
N
Lời giải
a) Ta có:
23
4cos 45 3 cot30 16cos 60= + − M
2
3
21
4 3 3 16
22


= + −





2 3 2 3= + − =
b) Ta có:
2
2sin30 sin 60
cos 30 cos60
−
=
−
N
2
1 3 3
21
2 2 2
4 2 3
31
31
42
22
− −
= = = −

−
−


Bài 4: Tính
a)
sin 61 cos29 −
b)
cos15 sin 75 −
c)
tan 28 cot 62−
d)
cot 47 tan 43 −
Lời giải
a) Ta có:
sin 61 cos29 sin 61 sin 61 0 − = − =
.
b) Ta có:
cos15 sin 75 cos15 cos15 0 − = − =
.
c) Ta có:
tan 28 cot 62 tan 28 tan 28 0 − = − =
.
d) Ta có:
cot 47 tan 43 cot 47 cot 47 0 − = − =
.

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho góc nhọn  . Xét ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng  . Ta có:
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của  , kiế hiệu sin
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của  , kí hiệu là cos
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc  gọi là tang của  , kiế hiệu tan 
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc  gọi là côtang  , kí hiệu cot . * Ta có: + c¹nh ®èi c¹nh ®èi c¹nh kÒ sin= ; c¹nh kÒ cos= ; ta α n = ; cotα= c¹nh huyÒn c¹nhhuyÒn c¹nh kÒ c¹nh®èi + 1 cot = tan
+ sin, cos, tan,cot gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn 
* sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất
Ta có bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:
*) Chú ý: Cách tính chính xác cạnh đối và cạnh kề của góc cần viết tỉ số lượng giác Chẳng hạn:
Xét ABC vuông tại A , có:
Viết tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam AC AB sin B = sin C =
giác ABC vuông tại A . BC BC AB AC A cosB = cosC = BC BC AC AB tanB = tanC = AB AC AB AC cotB = cotC = AC AB B C
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
* Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
* Cho  và  là hai góc phụ nhau, khi đó:
sin = cos  , sin  = cos , tan = cot  , cot = tan  Trang 1 C α β A B
3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của góc nhọn.
* Để tìm góc  khi biết cot , ta có thể tìm góc (90 − ) vì tan (90 − ) = cot rồi suy ra  . B. Các dạng toán
Dạng 1: Sử dụng MTCT tính tỉ số lượng giác, tính góc
Bài 1: Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba. a) sin 27 , cos32 15  ', tan 52 12  ' và cot 35 23  ' b) sin 40 54  ' , cos52 15  ', tan 69 36  ' và cot 25 18  ' Lời giải a)
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được:
sin 27  0, 454 ; cos32 15  '  0,846 ; tan 52 12  ' 1, 289 cot 35 23  ' 1, 408 1 Lưu ý: cot 35 2  3 = tan 35 2  3 b)
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được sin 40 54  '  0,655 ; cos52 15  '  0,612 ; tan 69 36  '  2,689 ; cot 25 18  '  2,116
Bài 2: Sử dụng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết:
a) sin = 0,3214 , cos = 0, 4321 , tan = 1, 2742 và cot = 1,5384 1 2 3 4
b) sin = 0,3782 , cos = 0,6251, tan = 2,154 và cot = 3, 253 1 1 1 1 Lời giải a) Trang 2
Làm tròn đến phút ta được:   18 45  ;   64 24   ;   51 52  ;   31 1   1 2 3 4 b)
Làm tròn đến phút ta được:   23 13   ;   51 19   ;   65 6   ;  17 5   . 1 2 2 4
Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau: a) 26 b) 72 c) 81 2  7 Lời giải
a) sin 26  0, 44 , cos 26  0,9 , tan 26  0, 49 và cot 26  2,05 .
b) sin 72  0,95 , cos 72  0,31, tan 72  3,08 và cot 72  0,32 . c) sin 81 27    0,99 , cos81 27    0,15 , tan81 27    6,65 và cot 81 27    0,15 .
Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm góc nhọn  trong mỗi trường hợp sau đây a) cos =0,6 b) 3 tan = 4 Lời giải
a) Ta có: cos =0,6 . Từ đo tìm được   53 8   3
b) Ta có: tan = . Từ đó tìm được   36 52   . 4
Bài 5: Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữu số thập phân thứ ba) a) sin 40 12   b) cos52 54   c) tan 63 36   d) cot 25 18   Lời giải
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được: a) sin 40 12    0,645 b) cos52 54    0,603 c) tan 63 36    2,014 d) cot 25 18    2,116
Bài 6: Dùng MTCT. Tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng: a) sin x = 0, 2368 b) cos x = 0,6224 Trang 3 c) tan x = 1, 236 d) cot x = 2,154 Lời giải
Làm tròn đến phút ta được: a) x  13 42   b) x  51 31   c) x  51 2   d) x  24 54  
Dạng 2: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong một tam giác vuông I. Cách giải:
- Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
- Tính đoạn thẳng chưa biết (nhờ định lí Pitago hoặc hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông)
Xác định cạnh đối, kề, huyền Viết tỉ số lượng giác Tính đoạn thẳng chưa biết.
*) Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tính tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong cùng một tam giác
vuông thi sử dụng tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. II. Bài toán
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O . OB OB a) Tỉ số
là sin của góc nhọn nào? Tỉ số
là côsin của góc nhọn nào? AB BC
b) Viết tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn sau: tan OCD , cot OAD B A C O Lời giải
Hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau t D
ại O nên AC ⊥ BD tại O OA
a) Tam giác OAB vuông tại O nên = sin OAB AB OB
Tam giác OBC vuông tại O nên = cosOAB BC Trang 4
b) Tam giác OCD vuông tại O nên tan = OD OCD OC
Tam giác OAD vuông tại O nên cot = OA OAD OD
Bài 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc  , trong tam giác ABC ở hình vẽ bên. A 12 9 α B 15 C Lời giải
Xét ABC vuông tại A , B =  , ta có: AC 9 AB sin = = = 0,16 ; 12 cos = = = 0,8 BC 15 BC 15 AC 9 AB tan = = = 0,75 ; 12 4 cot = = = AB 12 AC 9 3
Bài 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có B = 90 ở hình sau. Lời giải
+ Xét ABC vuông tại B (hình a), ta có: BC 4 AB sin A = = ; 3 cosA= = AC 5 AC 5 BC 4 AB 3 tan = = ; cotA= = AB 3 BC 4
+ Xét ABC vuông tại B (hình b), ta có: BC 1 AB sin A = = ; 4 cosA= = AC 17 AC 17 BC 1 AB 4 tan = = ; cotA= = AB 4 BC 1
+ Xét ABC vuông tại B (hình c), ta có: BC 5 AB 2 sin A = = ; cosA= = AC 3 AC 3 BC 5 AB tan = = ; 2 cotA= = AB 2 BC 5
+ Xét ABC vuông tại B (hình d), ta có: Trang 5 BC 6 AB 10 sin A = = ; cosA= = AC 2 AC 2 BC 6 AB 10 tan = = ; cotA= = AB 10 BC 6
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác
sin , cos , tan với  = B Lời giải
Xét ABC vuông tại A , B = 
Theo định lí pythagore, ta có: 2 2 2 2 2
BC = AC + AB = 4 + 3 = 25 nên BC = 5 cm.
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có: AC 4 AB sin A = = ; 3 cosA= = BC 5 BC 5 AC 4 tan = = ; AB 3
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 5 cm, AC = 12cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B Lời giải
Xét ABC vuông tại A
Theo định lí pythagore, ta có: 2 2 2 2 2
BC = AC + AB = 12 + 5 = 169 nên BC = 13 cm.
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có: AC 12 AB sin A = = ; 5 cosA= = BC 13 BC 13 AC 12 AB tan = = ; 5 cotA= = AB 5 AC 12
Bài 6: Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình vẽ bên. B 5 A 12 C Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2
BC = AC + AB = 12 + 5 = 169 nên BC = 13 cm. Do đó: AC 12 AB 5 sin A = = ; cosA= = BC 13 BC 13 AC 12 AB 5 tan = = ; cotA= = AB 5 AC 12
Bài 7: Cho tam giác MNP vuông tại M , MN = 3cm, MP = 4 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc Trang 6 P Lời giải
Trong MNP vuông tại M , ta có 2 2 2 2
NP = MN + MP = 3 + 4 = 25 = 5
Xé MNP vuông tại M , ta có: MN 3 MP sin P = = ; 4 cos P = = NP 5 NP 5 MN 3 MP tan = = ; 4 cotA= = MP 4 MN 3
Bài 8: ABC vuông tại A có BC = 2AB . Tính các tỉ số lượng giác của góc C Lời giải
Ta đặt AB = m thì BC = 2 m, suy ra 2 2 2 2 2 2
AC = BC − AB = 4m − m = 3m Suy ra AC = m 3 Ta có: AB m 1 AB m 3 3 sin C = = = ; cosC = = = BC 2m 2 BC 2m 2 AB m 1 AC m 3 tan C = = = ; cot = A = = 3 BC m 3 3 AB m
Bài 9: ABC cân tại A , có BC = 6 , đường cao AH = 4 . Tính các tỉ số lượng giác của góc B Lời giải
Ta có: BH = 6 : 2 = 3 ; 2 2 AB = 4 + 3 = 5 Do đó: AH 4 BH 3 sin C = = = 0,8 ; cos B = = = 0,6 AB 5 AB 5 AH 4 BH 3 tan B = = ; cotB= = = 0,75 AB 3 AH 4
Bài 10: Tính tan C trong hình vẽ bên. A 6 B 3 H C Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2
AH = AB − BH = 6 − 3 = 27  AH = 3 3 Do đó BH 3 1 tan C = cot B = = = . AH 3 3 3
Bài 11: Tính sin M + cos N trong hình vẽ bên. Trang 7 O M 1 H 3 N Lời giải Ta có: 2
OH = HM HN = 13 = 3
OH = 3 ; OM = 1+ = 2 OH 3 Do đó sin M = = OM 2 3
Mặt khác cos N = sin M =
nên cos N + sin M = 3 . 2
Bài 12: Tam giác ABC vuông tại A , AB = 1,5, BC = 3,5 . Tính tỉ số lượng giác của góc C rồi
suy ra các tỉ số lượng giác của góc B Lời giải
Ta có: AC = BC − AB = ( )2 −( )2 2 2 2 3,5
1,5 = 10 , suy ra AC = 10 Do đó AB 1,5 cos B = sin C = =  0,4286 BC 3,5 AC 10 cosC = sin B = =  0,9035 BC 3,5 AB 1,5 cot B = tan C = =  0,4743 AC 10 AC 10 cot C = tan B = =  2,1082. AB 1,5
Bài 13: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 40 : sin 40 , cos60 , sin 52 30
 ' , tan 80 , cot 82. Lời giải
sin60 = cos(90 − 60) = cos30
cos75 = sin (90 − 75) = sin15 sin 52 30   = cos(90 − 52 30  ') = cos37 30  
cot 82 = tan (90 − 82) = tan 8 .
Bài 14: Tia nắng chiếu qua điểm B của tòa nhà tạo với mặt đất một góc x và tạo với cạnh AB
của tòa nhà một góc y (hình vẽ). Cho biết cosx  0,78 và cot x 1, 25 . Tính sin y và tan y
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Trang 8 Lời giải
Do góc x và góc y là hai góc phụ nhau nên sin y = cos x  0,78
Và tan y = cot x  1, 25
Bài 15: Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài AB = 4 m được đặt dựa vào tường, khoảng
cách từ chân thang đến chân tường là BH =1,5 m. Tính góc tạo bởi cạnh AB và phần
tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Lời giải
Ta có, góc tạo bởi cạnh AB và phương năm ngang trên mặt đất là ABH Xét tam giác BH
ABH vuông tại H , ta có 1,5 ABH = = = 0,375 AB 4 Vậy ABH  68 .
Bài 16: Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả
cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí
cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chueyenr động qua lại quanh vị trí cân
bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm A của quả cầu cách B một
khoảng AB = 60cm và cách vị trí cân bằng một khoảng AH = 20 cm. Tính số đo góc 
tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ). Lời giải AH 20 1
Xét ABH vuông tại H , ta có sin = = = AB 60 3 Do đó   19 Trang 9
Vậy góc tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng có số đo khoảng 19 .
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN 2
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1, 2c ;
m AC = 0,9cm . Tính các tỉ số lượng giác của
góc B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A A Lời giải Ta có: 3 4 3 4
SinB = ;cosB = ;tanB = ;CotB = 5 5 4 3 0,9 4 3 4 3
SinA = ;CosA = ;tanA = ;cotA = 5 5 3 4 1,2 C B
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,6c ;
m AC = 1, 2cm . Tính các tỉ số lượng giác của
góc B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C . Lời giải C Ta có: 3 4 3 4
SinB = ;cosB = ;tanB = ;cotB = 5 5 4 3 4 3 4 3 1,2
SinC = ;CosC = ;tanC = ;cotC = 5 5 3 4
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = a 5, BC = a 3 , AC = a 2 1,6 B A
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A Lời giải A
a) Dùng định lý pytago đảo, ta có: 2 2 2
AB = AC + BC ( 2 2 2
5a = 3a + 2a )  ABC vuông tại C b) Tính được: 2 6 - SinB = = 5 5 C B 3 15 - cos B = = 5 5 2 6 - tan B = = 3 3 3 3 6 - CotB = = 6 6 5
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 5cm , cotB = . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và 8 BC
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A Lời giải A T Brang 10 C
Áp dụng tỉ số cotB trong tam giác vuông ABC và định lý pytago ta tính được AC = 8c , m BC = 89cm
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (H BC) , hãy tính sinB và sinC làm tròn
kết quả đến chữ số thập phân thứ tư trong các trường hợp sau: A a) AB = 13 , m BH = 0,5dm
b) BH = 3cm,CH = 4cm 13 Lời giải
a) Áp dụng các tỉ số lượng giác cho tam giác vuông ABH để tính 4
sinB , rồ3i từ đó suy ra C H 5 B sinC
b) Áp dụng hệ thức lượng về cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền trong tam giác
vuông ABC để tính AB . Sau đó làm tương tự câu a
Bài 6: Cho tam giác ABC đều, cạnh a , đường cao AH . Tính tỉ số lượng giác của các góc ABH ,
HAB (không dùng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt) Lời giải A a
Vì tam giác ABC đều (giả thiết) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến B H C Suy ra BC
H là trung điểm của BC suy ra 1 BH = HC = = a 2 2
AH ⊥ BC AHB = 90 , suy ra AHB vuông tại H 2 2 2
AB = AH + BH (pitago) 2  1 2 2 
a = AH +  a  2  1 3 2 2 2 2
AH = a − a = a 4 4 3 = a AH 2
Trong tam giác vuông AHB có ABH , HAB là hai góc phụ nhau nên: AH a 3 3
sin ABH = cosHAB = = : a = AB 2 2 BH a 1
cos ABH = sin HAB = = : a = AB 2 2 AH a 3 a
tan ABH = cot HAB = = : = 3 BH 2 2 Trang 11 BH a a 3 1 3
cot ABH = tan HAB = = : = = AH 2 2 3 3
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB AC , chu vi là 72 cm và trung tuyến AM = 15 cm.
Tính tỉ số lượng giác của các góc B , C Lời giải A 15cm
Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC nên ta có: B M C
BC = 2AM = 215 = 30 cm
Mà AB + BC + CA = 72 cm nên AB + AC = 42cm
Đặt AC = x cm ( x  0 )
AB = 42 − AC = 42 − x cm Hơn nữa 2 2 2
AB + AC = BC (Pitago) (AB + AC)2 2
− 2AB AC = BC 2 2
42 − 2AB AC = 30  AB AC = 432 ( − x) 2 42
x = 432  x − 42x + 432 = 0
(x − 24)(x −18) = 0
x = 24 hoặc x = 18
Nếu x = 24 thì AC = 24 cm suy ra AB = 42 − 24 = 18 cm (thỏa mãn AB AC )
Nếu x = 18 thì AC = 18cm suy ra AB = 42 −18 = 24 cm (không thỏa mãn AB AC )
Như vậy tam giác ABC vuông tại A và có AB = 18 cm, AC = 24 cm, BC = 30 cm
Hơn nữa B và C là hai góc phụ nhau.
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 3 cm, B + 2C = 90 . Tính sin C Lời giải Kẻ CH ⊥ AB H K Do M
B + C  90 nên A nằm giữa B và H 1 1 Ta có 2
B + BCH = 90 = B + 2C 1 1 1 1 A
BCH = 2C C = C 1 1 2 2
Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại B và cắt tia 1CA tại K . Ta có: 1 B C
K + C = 90  1    K = A 2 A + C = 90 2 2 
Mà A = A (hai góc đối đỉnh) nên K = A 1 2 1
 ABK cân tại B (theo dấu hiệu nhận biết)
Kẻ BM ⊥ AK thì BM cũng là đường trung tuyến của ABK
Suy ra M là trung điểm của AK
Đặt AM = MK = x cm, với x  0 Trang 12
Xét BKC vuông tại B có đường cao BM : 2
BK = KM KC (hệ thức về cạnh và đường cao)
( )2 = x( x+ ) 2 5 2
3  2x + 3x − 5 = 0 (x − ) 1 (2x + 5) = 0 x =1 (TM )  5  x = − (KTM )  2
Do đó KC = 21+ 3 = 5 KB 5
Trong tam giác BKC có sin C = = . KC 5
Dạng 3: Tính các cạnh trong một tam giác vuông sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có C = 30 và BC = a . Tính các cạnh AB , AC theo a Lời giải Ta có: sin = AB C
, suy ra AB = BC sin C = a sin 30 BC Trang 13 Lại có 1 sin 30 = nên = a AB 2 2 3 Tương tự, ta có AC cosC= , suy ra =
cos = cos30 = a AC BC C a BC 2
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có C = 45 và AB = c . Tính các cạnh BC , AC theo c Lời giải
Xét ABC vuông tại A có sin = AB C BC Suy ra = AB = c BC = c 2 sin C sin 45
Xét ABC vuông tại A có B + C = 90
Do đó B = C = 45
Suy ra ABC vuông cân tại A
Vậy AB = AC = c .
Bài 3: Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đén hàng phần trăm). Lời giải
Xét ABC vuông tại B có: tan = AB C
, suy ra AB = BC  tan C hay AB = 5,8 tan 60 = 5,8 3 10,5 (m) CB
Vậy chiều cao của tháp canh gần bằng 10,05 mét. 5
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 6c , m tanB =
. Hãy tính độ dài đường cao AH và 12
trung tuyến BM của tam giác ABC A Lời giải M 6 Xét ABH (H ) 30 601  AH = (cm); BM = (cm) 13 4 B H C
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (H BC) biết BH = 4cm , CH =1cm .
Hãy tính các cạnh và các góc của tam giác vuông ABC . A Trang 14 1 4 C H B Lời giải
Xét tam giác ABC vuông tại A , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: +) 2 2
AB = BC.BH AB = 20  AB = 2 5(cm)  AC = 5(cm) AC 5 1 AB +) Ta có: 0 0 tanB = =
=  B = 45 ;tanC = = 2  C = 45 AB 2 5 2 AC
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (H BC) , biết BH = 4cm , AC = 3 13cm .
Hãy tính các cạnh và các góc của tam giác vuông ABC . A Lời giải
Đặt HC = x (cm) 3 13
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC , ta có: 4 2 2 C H
AC = BC.CH = (4 + x).x x + 4x = 9.13 Bx = 9( ) tm 2
x + 4x + 4 =121  x = 1 − 3(loai)
Ta có: BC = BH + HC = 13(cm) +) 2
AB = BH.BC = 13.4 = 52  AB = 2 13(cm) AC 3 13 3 +) 0 0 SinB = = =
B = 56  C = 34 BC 13 13
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 10 cm, AC = 15cm a. Tính góc B
b. Phân giác trong của góc B cắt AC tại I . Tính AI
c. Vẽ AH vuông góc với BI tại H . Tính AH Lời giải A I 15 10 H
a) Xét tam giác ABC vuông tại A , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AC 15 3 B 0 tanB = = =  B = 56 C AB 10 2 b) Ta có: AI 0 tanABI =  AI = A .
B tanABI =10.tan28 = 5,3(cm) AB AH c) 0 SinABH =  AH = A .
B Sin28 = 4,7(c ) m AB 2
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 6cm(H BC), biết tanC = . Hãy tính 3
độ dài các cạnh: HB, HC, AB, AC Trang 15 Lời giải Theo giả thiết ta có: 2 AH 2 tanC =  = 3 CH 3 Lại có: AH HB AB 2 H . A 2 6.2 AH.3 AHB# CH ( A g.g)  = = =  HB = = = 4;CH = = 9 CH HA AC 3 3 3 2
Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2
AB = BH.HC AB = 2 13(cm); AC = CH.CB AC = 3 13(cm)
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , có 0 AC = 15c ,
m B = 50 . Hãy tính độ dài a) AB, AC A b) phân giác CD Lời giải 6
a) Tam giác ABC vuông ở A , theo hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta B H C có: 0
AB = AC.cotB = 15.cot50  15.0,8391 12,59(cm) AC 15 15
AC = BC.sinB BC = =  19,58 cm 0 ( ) sinB s 5 in 0 0,7660
b) Tam giác ABC vuông ở A nên: 0 0 0
B + C = 90  C = 90 − B = 40 1 1
CD là tia phân giác của C , ta có: 0 0
ACD = C = .40 = 20 2 2
Trong tam giác vuông ACD vuông tại A , theo hệ thức lượng về cạnh và góc ta có: AC 15 0 AC = C . D cos AC . D cos20  CD = = 15,96 cm . 0 ( ) cos20 0,9397
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , góc 0
C = 30 , BC = 10cm
a. Tính AB, AC
b. Kẻ từ A các đường thẳng AM , AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và
ngoài của góc B . Chứng minh MN = AB
c. Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. Lời giải
b) Chú ý: Hai đường phân giá của hai góc kề bù vuông góc với nhau
c) Ta có: BM là phân giác của góc B . Từ đó tính được số đo các góc của tam giác MAB
*) Chú ý: Tam giác MAB và ABC đều là các tam giác nửa đều, từ đó tính được tỉ số đồng dạng là 0,5. B N M
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A( AB AC) , 0
C =   45 , đường trung tuyến AM , đường cao A C
AH , MA = MB = MC = a . Chứng minh rằng: Trang 16
a) sin2 = 2si n .  cos b) 2
1+ cos2 = 2cos  c) 2
1− cos2 = 2sin Lời giải a) Ta có: AH 2AH 2AH A . = B AC AMH 2; Sin2 = = = = 2. = 2.s in .co s 2 AM 2AM BC BC 2 b) HM HC 2HC AC 2 1+ cos2 =1+ = = = 2. = 2.cos  2 AM AM BC BC 2 c) HM HB 2HB AB 2 1− cos2 = 1− = = 2. = 2.sin  . 2 AM AM BC BC B H M A C m
Dạng 4: Dựng góc nhọn  biết một tỉ số lượng giác của góc đó bằng n I. Phương pháp giải:
Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n ( m và n tương ứng là cạnh góc vuông và cạnh
huyền nếu tỉ số lượng giác đã co là sin hoặc cos; m và n là hai cạnh góc vuông nếu tỉ số lượng
giác đã cho là tan hoặc cot) rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc  . Trang 17 II. Bài toán
Bài 1: Dựng góc  , biết sin = 0, 25 Lời giải Ta có: 1 0, 25 = 4
+ Dựng góc vuông xOy
+ Trên cạnh Ox đặt OA = 1 + Dựng đường tròn ( ;
A 4) căt cạnh Oy tại B Khi đó OA ABO =  (vì 1 sin = = ). OB 4
Bài 2: Dựng góc  , biết cos =0,75 Lời giải 3 Ta có: 0,75= 4
+ Dựng góc vuông xOy
+ Trên cạnh Oy đặt OB = 3
+ Dựng đường tròn (B;4) cắt cạnh Ox tại A OB 3
Khi đó ABO =  (vì cos = = ). BA 4
Bài 3: Dựng góc  , biết tan =1,5 Lời giải 3 Ta có: 1,5 = 2 Trang 18
+ Dựng góc vuông xOy
+ Trên cạnh Ox đặt OA = 3
+ Trên cạnh Oy đặt OB = 2 Khi đó OA ABO =  (vì 3 tan = = ). OB 2
Bài 4: Dựng góc  , biết cot =2 Lời giải
+ Dựng góc vuông xOy
+ Trên cạnh Ox đặt OA = 1
+ Trên cạnh Oy đặt OB = 2 Khi đó OB ABO =  (vì cot = = 2 ). OA
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác với các góc đặc biệt I. Phương pháp giải
+ Sử dụng bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc 30 ; 45 ; 60
+ Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau II. Bài toán
Bài 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a) 2 2 sin 45 + cos 45 b) tan 30cot 30 sin 30cos60 c) tan 45 Lời giải a) Ta có: 2 2 sin 45 + cos 45 2 2  2   2  1 1 =   +   = + = 1  2   2  2 2    
b) Ta có: tan 30cot 30 3 =  3 =1 3 Trang 19    c) Ta có: sin 30 cos 60 tan 45 1 1  1 2 2 = = 1 4
Bài 2: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:   a) 2cos45 A = + 3 tan 30 b) 2sin 60 B = − cot 45 2 3 Lời giải  a) Ta có: 2cos45 A = + 3 tan 30 2 2 2  3 2 = + 3  = 1+1 = 2 2 3  b) Ta có: 2sin 60 B = − cot 45 3 3 2  2 = −1 = 1−1 = 0 3
Bài 3: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a) 2 3
M = 4cos 45 + 3 cot 30 −16cos 60  −  b) 2sin 30 sin 60 N = 2 cos 30 − cos60 Lời giải a) Ta có: 2 3
M = 4cos 45 + 3 cot 30 −16cos 60 2 3  2   1  = 4  + 3  3 −16     2    2  = 2 + 3 − 2 = 3 2sin 30 − sin 60 b) Ta có: N = 2 cos 30 − cos60 1 3 3 2  − 1− 2 2 2 = = = 4 − 2 3 2 3 1  3  1 −   − 4 2 2 2   Bài 4: Tính a) sin 61 − cos29 b) cos15 − sin 75 c) tan 28 − cot 62 d) cot 47 − tan 43 Lời giải
a) Ta có: sin 61 − cos29 = sin 61 − sin 61 = 0 .
b) Ta có: cos15 − sin 75 = cos15 − cos15 = 0 .
c) Ta có: tan 28 − cot 62 = tan 28 − tan 28 = 0 .
d) Ta có: cot 47 − tan 43 = cot 47 − cot 47 = 0 . Trang 20

Tài liệu liên quan: