Các Dạng Toán Bài Vectơ Trong Không Gian Lớp 12 Giải Chi Tiết
Các Dạng Toán Bài Vectơ Trong Không Gian Lớp 12 Giải Chi Tiết. Tài liệu sưu tầm gồm 36 trang. Mời các bạn tham khảo
Chủ đề: Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian (KNTT) 4 tài liệu
Môn: Toán 12 4.4 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Xác định vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ, độ dài vectơ
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a , AC = b , AD = c . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Đẳng
thức nào sau đây đúng? 1
A. AG = a + b + c .
B. AG = (a + b + c) . 3 1 1
C. AG = (a + b + c).
D. AG = (a + b + c). 2 4 Lời giải 2
Gọi M là trung điểm của CD BG = BM . 3 2 2 1
Mặt khác AG = AB + BG = AB + BM = AB + . (BC + BD) 3 3 2 1
= 1 1
AB + ( AC − AB + AD − AB) = ( AB + AC + AD) = (a + b + c) . 3 3 3
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a , AC = b , AD = c . Gọi M là trung điểm của đoạn BC . Đẳng
thức nào dưới đây đúng? 1 1
A. DM = (a + b − 2c) .
B. DM = (a + 2b − c) . 2 2 1 1
C. DM = (a − 2b + c) .
D. DM = (a + 2b − c) . 2 2 Lời giải 1
Vì M là trung điểm của BC BM = BC . 2 Trang 1 1
Mặt khác DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC 2 1
= 1 1 1
AB − AD + (BA + AC) 1 1
= AB + AC − AD = a + b − c = (a + b − 2c) 2 2 2 2 2 2
Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Đặt
AB = b , AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1
A. MP = (c + d + b).
B. MP = (d + b − c). 2 2 1 1
C. MP = (c + b − d ).
D. MP = (c + d − b). 2 2 Lời giải 2AM = AB
Vì M , P lần lượt là trung điểm của AB,CD
AC + AD = 2AP 1 1
MP = MA + AP = −AM + AP = − AB + ( AC + AD) 2 2 1 1 1 1
= − b + c + d = (c + d − b) 2 2 2 2
Câu 4: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = 0 (G là trọng tâm của tứ
diện). Gọi G là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Khẳng định nào dưới đây đúng? 0 A. GA = 2 − G G .
B. GA = 4G G .
C. GA = 3G G .
D. GA = 2G G . 0 0 0 0 Lời giải
Vì G là giao điểm của AG và mặt phẳng (BCD) G là trọng tâm tam giác BCD. 0 0 Trang 2
G B + G C + G D = 0 mà GA + GB + GC + GD = GA + 3GG + G B + G C + G D = 0 0 0 0 0 0 0 0
Suy ra GA + 3GG = 0 → GA = 3G G . 9 0
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a , SB = b , SC = c ,
SD = d . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. a + c = b + d .
B. a + b + c + d = 0 . C. a + d = b + c .
D. a + b = c + d . Lời giải
SA + SC = 2SO = a + c
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
a + c = b + d
SB + SD = 2SO = b + d
Câu 6: Cho hình lăng trụ AB . C A B C
. Đặt AA = a , AB = b , AC = c . Gọi G là trọng tâm của tam giác A B C
. Véctơ AG bằng? 1 1 1 1
A. (a + 3b + c) .
B. (3a + b + c) .
C. (a + b + 3c) .
D. (a + b + c) . 3 3 3 3 Lời giải 2
Gọi I là trung điểm B C
. Vì G là trọng tâm tam giác AB C
AG = AI . 3 2 1
Mặt khác AG = AA + AG = AA + AI = AA + ( A B
+ AC) 3 3 1
= 1
AA + ( AB + AC) 1
= (3AA + AB + AC) = (3a + b + c) . 3 3 3
Câu 7: Cho hình lăng trụ AB . C A B C
. Đặt AA = a , AB = b , AC = c . Hãy biểu diễn vectơ B C theo a,b,c ?
A. B'C = a + b − c .
B. B'C = a − + b − c .
C. B'C = a + b + c .
D. B'C = a − − b + c . Lời giải Trang 3
Vì BB C C
là hình bình hành nên B C = B C + B B
= BC − AA
= −AA' + BA + AC = −AA' − AB + AC = a − − b + c .
Câu 8: Cho hình lăng trụ AB . C A B C
. Gọi M là trung điểm của cạnh BB' . Đặt CA = a , CB = b ,
AA = c . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 1
A. AM = a + c − b .
B. AM = b + c − a . C. AM = b − a + c .
D. AM = a − c + b . 2 2 2 2 Lời giải 1
Vì M là trung điểm BB ' → BM = BB ' . 2 1
1 1
Mặt khác AM = AB + BM = −BA + BB ' = CA −
+ CB + BB' = −a + b + c 2 2 2
Câu 9: Cho hình hộp ABC . D A B C D
tâm O. Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD. Đặt AC = u ,
CA = v , BD = x, DB = y . Khi đó: 1 1
A. 2OI = − (u + v + x + y) .
B. 2OI = − (u + v + x + y) . 4 2 1 1
C. 2OI = (u + v + x + y).
D. 2OI = (u + v + x + y). 2 4 Lời giải
O
A + OB = 2OM
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB,CD . O
C + OD = 2ON
1
Vì I là trung điểm MN OM + ON = 2OI 2OI = (OA + OB + OC + OD) 2 1 1 1 1 1
= − 1
AC − CA − BD − DB
= − (u + v + x + y) . 2 2 2 2 2 4 Trang 4
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác AB . C A B C
. Đặt AA = a , AB = b , AC = c , BD = d . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a = b + c .
B. a + b + c + d = 0 . C. b − c + d = 0 .
D. a + b + c = d . Lời giải
Ta có BC = AC − AB d = c − b b − c + d = 0.
Câu 11: Cho hình lập phương ABC .
D A'B'C'D' . Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1
1
A. AO = ( AB + AD + AA').
B. AO = ( AB + AD + AA') . 3 2 1
2
C. AO = ( AB + AD + AA') .
D. AO = ( AB + AD + AA') . 4 3 Lời giải
Ta có AC = AB + AD + AA 1 1
Mặt khác O là trung điểm AC AO = AC = ( AB + AD + AA). 2 2
Câu 12: Cho hình hộp ABC .
D A'B'C'D' . Đặt AB = a, AD = b , AA' = c . Phân tích vectơ AC' theo a,b,c ?
A. AC ' = a − + b + c .
B. AC' = a + b − c .
C. AC ' = a + b + c .
D. AC' = a − b + c . Lời giải
Ta có AC = AA + AC = AA + AB + AD = a + b + c .
Câu 13: Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi đẳng thức sau AN = AB + AC − AD . Mệnh đề nào đúng?
A. N là trung điểm BD .
B. N là đỉnh hình bình hành BCDN .
C. N là đỉnh hình bình hành CDBN .
D. N A . Lời giải
Ta có AN = AB + AC − AD AN − AB = AC − AD BN = DC .
Suy ra N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN . Trang 5
Câu 14: Cho hình hộp ABC . D A B C D
. Gọi M là điểm được xác định bởi đẳng thức sau
MA + MB + MC + MD + MA + MB + MC + MD = 0 . Mệnh đề nào đúng?
A. M là tâm mặt đáy ABCD.
B. M là tâm mặt đáy A'B'C'D'.
C. M là trung điểm đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
D. tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy. Lời giải
O
A + OB + OC + OD = 0
Gọi O = AC BD và O = A C B D
. O A + O B + O C + O D = 0
MA + MB + MC + MD = 4MO + OA + OB + OC + OD = 4MO
.
MA + MB + MC + MD = 4MO + O A + O B + O C + O D = 4MO
4MO + 4MO = 0 MO + MO = 0 M là trung điểm của OO' .
Câu 15: Cho hình hộp ABC . D A B C D
có tâm O. Đặt AB = a, BC = b. Điểm M xác định bởi đẳng 1
thức OM = (a − b) . Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. M là trung điểm BB ' .
B. M là tâm hình bình hành BCC'B'.
C. M là trung điểm CC '.
D. M là tâm hình bình hành ABB ' A' . Lời giải
Gọi I, I lần lượt là tâm các mặt đáy ABCD, A'B 'C 'D ' O là trung điểm II . 1 1 1
1
Mặt khác OM = (a − b) = ( AB − BC) = (DC + CB) = DB = IB . 2 2 2 2
Suy ra M là trung điểm BB .
Câu 16: Cho ba vectơ a,b,c . Điều kiện nào dưới đây khẳng định a,b,c đồng phẳng?
A. Tồn tại ba số thực m,n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0 .
B. Tồn tại ba số thực m,n, p thỏa mãn m + n + p 0 và ma + nb + pc = 0 .
C. Tồn tại ba số thực m,n, p sao cho ma + nb + pc = 0 .
D. Giá của a,b,c đồng qui. Lời giải
Xét m = n = p = 0 ta luôn có m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0 nhưng không thể suy ra
được a,b,c đồng phẳng.
Xét m + n + p 0 thì chắc chắn có một trong ba số m,n, p khác 0 . Trang 6 n p
Giả sử m 0 → ma + nb + pc = 0 a = − b −
c → a,b,c đồng phẳng. m m
Câu 17: Cho ba véctơ a,b,c không đồng phẳng. Xét các véctơ x = 2a + b và y = a − b − c và z = 3
− b − 2c . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. x, y, z đồng phẳng.
B. x, a cùng phương.
C. x,b cùng phương.
D. x, y, z đôi một cùng phương. Lời giải
Giả sử ba vectơ x, y, z đồng phẳng khi đó → x = m y + nz . m = 2 =
a + b = ma − (m + n)b − (m + n) m 2 2 3
2 c m + 3n = 1 − . n = 1 − m + 2n = 0
Vậy x, y, z đồng phẳng.
Câu 18: Cho ba véctơ a,b,c không đồng phẳng. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. x = a + b + 2c và y = 2a − 3b − 6c và z = a
− + 3b + 6c đồng phẳng.
B. x = a − 2b + 4c và y = 3a − 3b + 2c và z = 2a − 3b − 3c đồng phẳng.
C. x = a + b + c và y = 2a − 3b + c và z = a
− + 3b + 3c đồng phẳng.
D. x = a + b − c và y = 2a − b + 3c và z = a
− − b + 2c đồng phẳng. Lời giải
Ta có x, y, z đồng phẳng khi và chỉ khi ,
m n : x = m y + nz .
x = a + b + 2c
4 5
Với y = 2a − 3b − 6c x = y + z → x, y, z đồng phẳng. 3 3
z = −a + 3b + 6c
Câu 19: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. a,b,c đồng phẳng nếu một trong ba vectơ đó bằng 0 .
B. a,b,c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
C. Trong hình hộp ABC .
D A'B'C'D' ba vectơ AB ',C ' A', DA' đồng phẳng.
D. x = a + b + c luông đồng phẳng với hai vectơ a và b . Lời giải
Giả sử cho hình hộp ABC . D A B C D
và gọi M là trung điểm C D khi đó:
AB + AD + CM = AM AM không đồng phẳng với AB, AD .
Câu 20: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn
xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm ,
A B,C trên đèn tròn sao cho
các lực căng F , F , F lần lượt trên mối dây O ,
A OB,OC đôi một vuông góc với nhau và 1 2 3
F = F = F = 15 (N). Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó. 1 2 3 Trang 7 A. 14 3 N . B. 15 3 N . C. 17 3 N . D. 16 3 N . Lời giải
Gọi A , B ,C lần lượt là các điểm sao cho OA = F ,OB = F ,OC = F . Lấy các điểm 1 1 1 1 1 1 2 1 3
D , A, B, D sao cho OA D B C ADB
là hình hộp (như hình bên). Khi đó, áp dụng quy tắc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 hình hộp ta có
OA OB OC OD + + = . 1 1 1 1
Măt khác, do các lực căng F , F , F đôi một vuông góc và F = F = F = 15( N) nên hình 1 2 3 1 2 3
hộp OA D B C ADB
có ba cạnh OA ,OB , OC đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thể 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
hình hộp đó là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo OD của 1
hình lập phương đó bằng 15 3 .
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên F + F + F = P , ơ đó P là trong lực tác dụng lên chiếc 1 2 3
đèn. Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là | P |= OD = 15 3N 1
Câu 21: Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích S ,
A SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có ASC 60 = . Tìm độ
lớn của lực căng cho mỗi sợi xích. Lấy 2 g = 10 m / s . Trang 8 15 3 20 3 25 3 30 3 A. N . B. N . C. N . D. N . 3 3 3 3 Lời giải
Ta có P = mg nên P = m g = 5.10 = 50 N .
Vậy độ lớn của trọng lực P tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N .
Gọi O là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều S.ABCD .
Vẽ OP biểu diến trọng lực tác động lên đèn chùm với OP ⊥ ( ABCD).
Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là AS, BS,CS, DS .
Chiếc đèn chùm đứng yên nên AS + BS + CS + DS + OP = 0 .
1 50 25
Suy ra OP = SA + SC + SB + SD = 4SO SO = OP = = 4 4 2 SO
Tam giác SAC cân tại S có cos OSA = SA 25 SO 25 3
Suy ra lực căng của mỗi sợi dây xích là: 2 SA = = = N cos30 3 3 2 Trang 9
Câu 22: Theo định luật II Newton (Vật lí 10 - Chân trời sáng tạo, Nhà
xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 60) thì gia tốc của
một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của
gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối
lượng của vật: F = ma trong đó a là vectơ gia tốc ( 2
m / s ), F là vectơ lực (N). Muốn truyền cho quả bóng có
khối lượng 0,5 kg một gia tốc 2
50 m / s thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu? A. 10 N . B. 15 N . C. 20 N. D. 25 N . Lời giải
Ta có F = ma suy ra F = m a = 0,5.50 = 25(N) .
Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng 0,5 kg một gia tốc 2
50 m / s thì cần một lực đá có độ lớn là 25 N .
Câu 23: Nếu một vật có khối lượng m(kg) thì lực hấp dẫn P của Trái Đất tác dụng lên vật được xác
định theo công thức P = mg , trong đó g là gia tốc rơi tự do có độ lớn 2
g = 9,8 m / s . Tính độ
lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 105 gam A. 1,029 N. B. 1, 433N. C. 2,096 N. D. 1,477 N. Lời giải Đối 105g = 0,105 kg.
Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:
P = m g = 0,105.9,8 = 1,029 N
Câu 24: Trong điện trường đều, lực tĩnh điện F (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích q
(đơn vị: C ) được tính theo công thức F = .
q E , trong đó E là cường độ điện trường (đơn vị:
N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi 9 q 10− = C và độ lớn điện trường 5 E = 10 (N/C) Trang 10 A. 4 10− N. B. 6 2.10− N. C. 2 10− N. D. 6 1,8.10− N. Lời giải
Độ lớn của lực tĩnh điện là 9 − 5 4 F . q E 10 10 . 10− = = = N .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian, cho tứ diện ABCD có trọng tâm G .
a) GA + GB + GC + GD = 0 1
b) OG = (OA + OB + OC + OD) 4
c) BG = GA + GC + GD 2
d) AG = ( AB + AC + AD) 3 Lời giải
a) Đúng: Theo công thức vì G là trọng tâm tứ diện ABCD GA + GB + GC + GD = 0 b) Đúng: Ta có: 1
OG = (OG + OG + OG + OG) 1
= (OA + AG + OB + BG + OC + CG + OD + DG) 4 4
1
= (OA + OB + OC + OD) 4
c) Đúng: GA + GB + GC + GD = 0 GA + GC + GD = G − B = BG 1
1
d) Sai: AG = AO + OG = AO + (OA + OB + OC + OD) = AO + (4OA + AB + AC + AD). 4 4 1
= AO + OA + ( AB + AC + AD) 1
= (AB + AC + AD) 4 4
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trung điểm MN
a) GA + GB + GC + GD = 0
b) MA + MB + MC + MD = 4MG 1
c) MN = ( AB + CD) 2
d) 2MN = AC + BD Lời giải Trang 11
G
A + GB = 2GM
a) Đúng: Vì M , N lần lượt là trung điểm AB,CD → G
C + GD = 2GN
Mặt khác G là trung điểm MN → GM + GN = 0 GA + GB + GC + GD = 0 .
b) Đúng: Khi đó MA + MB + MC + MD = 4MG + (GA + GB + GC + GD) = 4MG 1
c) Sai: Dễ chứng minh được MN = ( AD + BC) 2
Ta có: MN = MA + AC + CN; MN = MB + BD + DN . Do đó: 2MN = AC + BD
Câu 3: Trong không gian cho hình hộp ABC . D A B C D tâm O .
a) AC = AB + AD + AA.
b) AB + BC + CD + D A = 0.
c) AB + AA = AD + DD.
d) AB + BC + CC = AD + D O + OC. Lời giải
a) Đúng: Theo quy tắc hình hộp thì AC = AB + AD + AA
b) Đúng: Ta có AB + CD = 0 và BC + D A
= 0. Do đó: AB + BC + CD + D A = 0.
AB + AA = AB
c) Sai: Vì mà AB AD AB + AA AD + DD.
AD + DD = AD
d) Đúng: Ta có AB + BC + CC = AC; AD + D O
+ OC = AC
Vậy AB + BC + CC = AD + D O + OC
Câu 4: Trong không gian, cho hình hộp ABC . D A B C D .
a) BC + BA = B C + B A . b) AD + D C + D A = DC .
c) BC + BA + BB = BD.
d) BA + DD + BD = BC . Lời giải
a) Đúng: Ta có BC + BA = BD; B C + B A = B D
mà BD = B D Trang 12
b) Đúng: Ta có AD + D C + D A
= AD + D B = A D + D B = A B = DC
c) Đúng: Ta có: BC + BA + BB' = BD + BB' = BD'
d) Sai: Vì BA + DD' + BD' = BA + BB' + BD' = BA' + BD' BC
Câu 5: Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi G là
điểm thỏa mãn GS + GA + GB + GC + GD = 0 .
a) AB + BC + CD + DA = SO
b) OA + OB + OC + OD = 0
c) SB + SD = SA + SC . d) GS = 3OG . Lời giải
a) Sai: Ta có AB + BC + CD + DA = AA = 0
b) Đúng: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD OA + OB + OC + OD = 0
c) Đúng: Ta có SB + SD = 2S ;
O SA + SC = 2SO nên SB + SD = SA + SC
d) Sai: Ta có GS + GA + GB + GC + GD = 0 GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = 0
GS + 4GO = 0 GS = 4OG
Câu 6: Trong không gian, cho hình lập phương ABC . D A B C D
có cạnh bằng a . Gọi I là tâm hình
vuông ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác AB C (tham khảo hình vẽ).
a) AB + AD + AA = AC.
b) GA + GB + GC = 2GI .
c) AB + AD = A C .
d) BD = 2BG . Lời giải
a) Đúng: Theo quy tắc hình hộp thì AB + AD + AA = AC
b) Sai: G là trọng tâm của tam giác AB'C nên GA + GB' + GC = 0 . Trang 13
c) Đúng: Ta có AB + AD = AC = A C BG BI 1 BG 1 d) Sai: Ta có BI G D B G = =
= BD = 3BG D G D B 2 BD 3
Câu 7: Trong không gian, cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, BC
a) AB, DC, MN đồng phẳng.
b) AB, AC, MN không đồng phẳng.
c) AN,CM , MN đồng phẳng.
d) BD, AC, MN đồng phẳng. Lời giải 1
a) Đúng: MN = ( AB + DC) AB,DC,MN đồng phẳng 2
b) Đúng: AB, AC, MN không đồng phẳng vì MN không nẳm trong ( ABC)
c) Sai: AN,CM , MN đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC) 1
d) Đúng: MN = (BD + AC) BD, AC,MN đồng phẳng 2
Câu 8: Trong không gian, cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M , N sao
cho AM = 3MD và BN = 3NC . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm AD và BC .
a) PQ = AC + DB
b) MN = MA + AC + CN
c) MN = MD + DB + BN
d) BD, AC, MN đồng phẳng. Lời giải Trang 14
a) Sai: Dễ chứng minh được 2PQ = AC + DB nên A sai
b) Đúng: Theo giả thuyết ta có M , N là trung điểm của PD,QC
MN = MA + AC + CN
c) Đúng: .
MN = MD + DB + BN
MN = MA + AC + CN
d) Đúng: Ta có 3
MN = 3MD + 3DB + 3BN 1
4MN = AC − 3BD + BC BD, AC,MN không đồng phẳng. 2
Câu 9: Cho hình hộp chũ nhật ABC . D A B C D
có cạnh AB = ;
a AD = a 3; AA = 2a . Xét tính đúng,
sai của các khẳng định sau:
a) AB CD + = 0
b) A D + CB = 0
c) AB + AD = a 5
d) AB + A D
+ CC = 2 2a Lời giải
a) Sai: AB và CD không đối nhau nên AB + CD 0
b) Đúng: AD và CB đối nhau nên AB + CD = 0
c) Sai: 2 2
AB + AD = AC = AC = AB + AD = 2a d) Đúng:
2 2 2
AB + A D + CC = AB + AD + AA = AC = AB + AD + AA = 2 2a
Câu 10: Trong không gian, cho hình lâp phương ABC . D A B C D có cạnh bằng
a a) B B − DB = B D
b) BA + BC + BB = BD
c) BA + BC + BB = a 2
d) BC − BA + C A = a Lời giải
a) Đúng: Ta có B B − DB = B B
+ (−DB) = B B
+ BD = B . D
b) Sai: Áp dụng quy tắc hình hộp ta có BA + BC + BB = BD
c) Sai: BA + BC + BB = BD = BD = a 3 Trang 15
d) Đúng: Ta có BC − BA + C A = AC + C A = C C . Do đó
BC − BA + C A = C C = a
Câu 11: Trong không gian. cho tứ diện ABC .
D Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN.
a) AB − CD = AC − BD
b) AB + CD = AD + CB
c) AB + DC = 2MN
d) IA + IB + IC + ID = 0 Lời giải
a) Sai: Sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hiệu, ta có
AB − CD = ( AC + CB) − CD = AC + (CB − CD) = AC + DB = AC − B . D
b) Đúng: Theo quy tắc ba điểm, ta có AB = AD + DB .
Do đó AB + CD = AD + DB + CD = AD + (CD + DB) = AD + C . B
c) Đúng: AB + DC = 2MN
d) Đúng: IA + IB + IC + ID = 0
Câu 12: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có
dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD,
mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung
sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp E ,
A EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với
mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60 . Chiếc cần cẩu kéo khung
sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng
F , F , F , F đều có cường độ là 4700 N và trọng lượng của 1 2 3 4 khung sắ là 3000 N
a) F + F = F + F 1 2 3 4
b) F + F = F + F 1 3 2 4
c) F + F = 8141 N (làm tròn đến hàng đơn vị) 1 3
d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là 16282 N (làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải
Lấy các điểm M , N, P,Q lần lượt trên các tia E ,
A EB, EC, ED sao cho
EM = F , EN = F , EP = F , EQ = F . 1 2 3 4
Do các lực căng F , F , F , F đều có cường độ là 4700 N nên EM = EN = EP = EQ = 4700 . 1 2 3 4 Trang 16
a) Sai: Ta có: F + F = EM + EN = 2EH , vó́i H là trung điểm của MN 1 2
F + F = EP + EQ = 2EK , với K là trung điểm của PQ suy ra F + F F + F 3 4 1 2 3 4
b) Đúng: Ta có F + F = EM + EP = 2EO , với O là trung điểm của MP 1 3
F + F = EN + EQ = 2E ,
O với O là trung điểm của MP suy ra F + F = F + F . 2 4 1 3 2 4 c) Đúng: F + F |
= 2EO |= 2EO . Theo giả thiết, góc giữa EA với ( ABCD) bằng 60 nên góc 1 3
giữa EM với (MNPQ) cũng bằng 60 hay SMO 60 = . Xét E MO có EM 4700, SMO 60 = = suy ra EO EM sin 60 = = 2350 3 .
d) Đúng: Từ đây ta tính được F + F = 2EO = 8141 N . 1 3
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A B C D biết rằng AN = 4 − AB+ kAA− 2AD (
k ) và AM = 2AB+ AA−3AD. Tìm giá trị k thích hợp để AN ⊥ AM Lời giải Vì ABC . D A B C D
là hình lập phương nên AB = AA = AD
Các vectơ AB , AA , AD đôi một vuông góc với nhau.
Do đó: A .
B AA = 0 ; A .
B AD = 0 ; AA .AD = 0 . Trang 17
Để AN ⊥ AM thì AN.AM = 0 ( 4
− AB + k AA − 2AD).(2AB + AA −3AD) = 0
8 − A . B AB − 4A . B AA +12A .
B AD + k AA .(2AB + AA − 3AD) − 2A .
D (2AB + AA − 3AD) = 0
− (AB)2 8
− 0 + 0 + 2k AA.AB + k AA.AA − 3k AA.AD − 4A . D AB − 2A . D AA + 6A . D AD = 0
− (AB)2 − + + + k(AA)2 − − − + (AD)2 8 0 0 0 0 0 0 6 = 0 2 2 2 8
− AB + kAA + 6AD = 0 (mà AB = AA = AD ) 2 2 2 8
− AB + kAB + 6AB = 0 (− + k + ) 2 8 6 AB = 0 8
− + k + 6 = 0 k − 2 = 0 k = 2.
Vậy giá trị k thích hợp để AN ⊥ AM là k = 2.
Câu 2: Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay SM
đổi trên SO . Tỉ số sao cho 2 2 2 2 2
P = MS + MA + MB + MC + MD nhỏ nhất là bao nhiêu? SO Lời giải S I A D O B C
Gọi I là điểm thỏa mãn SI = 4IO . 2 2 2
2 2
Suy ra: P = (MI + IS) + (MI + IA) + (MI + IB) + (MI + IC) + (MI + ID)
2 2 2 2 2 2
= 5MI + IS + IA + IB + IC + ID + 2MI (IS + IA+ IB + IC + ID)
2 2 2 2 2 2
= 5MI + IS + IA + IB + IC + ID + 2MI (IS + 4IO + OA + OB + OC + OD) SM 4 2 2 2 2 2 2
= 5MI + IS + IA + IB + IC + ID . Vậy P khi M I = . min SO 5
Câu 3: Trong không gian, cho tứ diện ABCD có các điểm M , N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD
và AC sao cho BC = 4BM , AC = 3AP, BD = 2BN . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD AQ
tại điểm Q . Tính tỉ số . AD Lời giải Trang 18 A P Q R B N D M C
Đặt AB = a, AC = ,
b AD = c, AQ = k AD = kc 3 1 1
1
Theo đề bài, ta có: AM = a + ;
b AN = (a + c); AP = b . 4 4 2 3 1
1 1
MN = AN − AM = − a − b + c 4 4 2
3 1
Ta có: MP = AP − AM = − a + b 4 12 3
1
MQ = AQ − AM = − a − b + kc 4 4 6 x =
0,25x + 0,75y = 0,75 5
1 3
Vì M , N, P,Q đồng phẳng nên xMN + yMP = MQ 0,25x −
y = 0,25 y = . 12 5 0,5x = k 3 k = 5 3 AQ 3
Vậy AQ = AD = . 5 AD 5
Câu 4: Trong không gian, cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 2, BC = 2 2 . Hãy tính S . C AB . Lời giải S A C B Trang 19 Ta có: 2 2 2
BC = SB + SC ( 2 2 2 2.2 = 2 + 2 ) SB
C vuông cân tại S .
Mặt khác: SA = AC = SC = 2 S
AC là tam giác đều.
SC AB = SC (SB − SA) 2 2 .
= SC.SB − SC.SA = 0 − SC.S . A cos ASC = 2 − .2.cos60 = − = 2 − . 2 Vậy S . C AB = 2 − .
Câu 5: Trong không gian, cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD . Cho
AB = 2a, CD = 2 ,
b EF = 2c . Với M là một điểm tùy ý, biết tổng 2 2 2 2
MA + MB = k.ME + l.a . Tính k + l . Lời giải A E B D F C
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có: 2 2 2 2 MA + MB AB AB 2 2 2 2 2 2 ME = −
MA + MB = 2ME +
= 2ME + 2a . Vậy k + l = 2 + 2 = 4 2 4 2 .
Câu 6: Trong không gian, cho hình hộp ABC . D A B C D
. Biết MA = k.MC , NC = l.ND. Khi MN
song song với BD thì k + l có giá trị là bao nhiêu? Lời giải
Đặt AB = a, AD = b, AA = c .
−k a + b + c
Ta có: MA = k MC AA − AM = k ( AC − AM ) ( ) . AM = . 1− k Trang 20