Các dạng toán liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn Toán 6

Các dạng toán liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn Toán 6. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 16 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

56 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

16 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. KHÁI NIỆM
a) Khái niệm:
Khi viết phân số
a
b
dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia
a
cho
b
, nếu phép chia
a
cho
b
không bao giờ chấm dứt
Ví dụ:
2
0,6666...
3
=
;
17
1,5454...
11
−
=−
; …
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp
đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số
lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.
b) Cách viết:
Để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn:
( )
2
0,6666... 0, 6
3
==
;
; …
( )
7
0,2121... 0, 21 ;
33
==
( )
7
0,31818... 0,3 18
22
==
Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy.
VD:
( )
0, 6
;
( )
0, 21
;
( )
1, 54−
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập
phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường,
VD:
( )
0,3 18
có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN
HOÀN ĐƠN HAY TẠP.
- Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập
phân vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt
+) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn
đơn.
Trang 2
+) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần
hoàn tạp.
+) Ví dụ: khi chia
7
cho
33
được số thập phân vô hạn, Ta có:
7
33
0,212121...=
( )
0, 21=
Số
7
33
cũng có thể viết dưới dạng
( )
0, 2121
hoặc
( )
0,2 12
. So với cách viết
( )
0, 21
có chu kì 21 thì
cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số
cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này.
+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ
( )
0, 21
;
gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần
bất thường, ví dụ
( )
0,3 18
có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ:
- Quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu
kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ:
( ) ( )
6 2 21 7
0, 6 ; 0, 21
9 3 99 33
= = = =
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số
gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9
kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất
thường. Chẳng hạn:
( )
16 1 1
5,1 6 5 5 ;
90 6
−
==
( )
318 3 315 7
0,3 18
990 990 22
−
= = =
- Tổng quát:
( )
12
12
...
0, ...
99...9
n
n
n
a a a
a a a =
.
( )
1 2 1 2
0, ... ...
kn
bb b a a a
1 2 1 2 1 2
... ... ...
99...900...0
k n k
nk
bb b a a a bb b−
=
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
I.Phương pháp giải:
Để viết một tỉ số hoặc một phân số
a
b
dưới dạng số thập phân ta làm phép chia
:ab
II.Bài toán:
Bài 1:
Trang 3
Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Tại sao? Hãy viết
các phân số dưới dạng đó.
10
15
;
5
11
;
2
13
;
13
22
;
5
24
.
Lời giải:
a) Xét phân số
10
15
5
3
=
mẫu của phân số có ước nguyên tố là
3
nên
10
15
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy:
10
15
0,666...=
0,(6)=
b) Xét phân số
5
11
mẫu của phân số có ước nguyên tố là
11
nên
5
11
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy:
5
11
0,454545...=
0,(45)=
c) Xét phân số
2
13
mẫu của phân số có ước nguyên tố là
13
nên
2
13
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy:
2
13
0,153846153846...=
0,(153846)=
d) Xét phân số
13 13
22 2.11
=
mẫu của phân số có ước nguyên tố là
11
nên
13
22
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy:
13
22
0,590909...=
0,5(90)=
e) Xét phân số
3
55
24 2 .3
=
mẫu của phân số có ước nguyên tố là
3
nên
5
24
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy:
5
24
=
0,208333...=
0,208(3)=
Bài 2:
a) Khi viết phân số
5
7
dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ
2021
sau dấu phẩy là chữ số nào?
b) Tìm chữ số thập phân thứ
100
sau dấu phẩy của phân số
17
900
(viết dưới dạng số thập phân).
Trang 4
c) Tìm chữ số thập phân thứ
10
2
sau dấu phẩy của phân số
24
27
(viết dưới dạng số thập phân).
Lời giải:
a) Ta có:
5
7
0,714258 714258...=
( )
0, 714258=
Số thập phân
( )
0, 714258
là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm
6
chữ số.
Mà:
2021
6.336 5=+
, như vậy
2021
chia cho
6
dư
5
nên chữ số thập phân thứ
2021
sau dấu phẩy
của
( )
0, 714258
là chữ số 5.
b) Ta có:
17
0,018888...
900
=
0,01(8)=
Số thập phân
0,01(8)
là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp mà phần bất thường có hai chữ số và chu kì
có 1 chữ số là
8
.
Ta lại có:
100 2
nên chữ số thập phân thứ
100
sau dấu phẩy của số
0,01(8)
là chữ số
8
.
c) Ta có:
24
27
1,(4117647058823529)=
là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn mà chu kì gồm 16 chữ
số.
Mà:
10
2
1024 64.16==
, suy ra
10
2
chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ
10
2
sau dấu phẩy là chữ số 9.
Dạng 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số
I.Phương pháp giải:
- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số với
+ Tử: là chu kì
+ Mẫu: là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.
( ) ( )
6 2 21 7
0, 6 ; 0, 21
9 3 99 33
= = = =
Tổng quát:
( )
12
12
...
0, ...
99...9
n
n
n
a a a
a a a =
.
- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số với
+ Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường.
+ Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì,
số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.
( )
16 1 1
5,1 6 5 5 ;
90 6
−
==
( )
318 3 315 7
0,3 18
990 990 22
−
= = =
- Tổng quát:
Trang 5
( )
1 2 1 2
0, ... ...
kn
bb b a a a
1 2 1 2 1 2
... ... ...
99...900...0
k n k
nk
bb b a a a bb b−
=
II.Bài toán:
Bài 3:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
( )
0, 27
;
( )
0, 703
;
( )
0, 571428
;
( )
2,01 6
;
( )
0,1 63
;
( )
2,41 3
;
( )
0,88 63
Lời giải:
a)
( )
0, 27
27
99
=
3
11
=
b)
( )
0, 703
703
999
=
19
27
=
c)
( )
0, 571428
571428
999999
=
4
7
=
d)
( )
2,01 6
16 1
2
900
−
=
15
2
900
=
1
2
60
=
e)
( )
0,1 63
163 1
990
−
=
9
55
=
f)
( )
2,41 3
413 41
2
900
−
=
31
2
75
=
g)
( )
0,88 63
8863 88
9900
−
=
39
44
=
Bài 4:
Các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau có bằng nhau không ?
12
0,( )aa
;
1 2 1 2
0,( )a a a a
;
1 2 1
0, ( )a a a
Lời giải:
Ta có:
12
0,( )aa
12
99
=
aa
1 2 1 2
0,( )a a a a
1 2 1 2
9999
=
a a a a
12
101.
101.99
=
aa
12
99
=
aa
1 2 1
0, ( )a a a
1 2 1 1
990
−
=
a a a a
12
0
990
=
aa
12
.10
99.10
=
aa
12
99
=
aa
Vậy
12
0,( )aa
=
1 2 1 2
0,( )a a a a
=
1 2 1
0, ( )a a a
Nhận xét: Như vậy từ phân số
12
99
aa
ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn
khác nhau như
12
0,( )aa
;
1 2 1 2
0,( )a a a a
;
1 2 1
0, ( )a a a
;…nhưng cách viết
12
0,( )aa
thuận tiện hơn, do đó
người ta chọn cách viết này.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số
Trang 6
I.Phương pháp giải:
Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số
tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số.
II.Bài toán:
Bài 5: Tính:
a)
( ) ( )
0,1 6 1, 3+
b)
( ) ( )
8
1, 3 0,1 2 .2
11
+
c)
( ) ( ) ( )
10, 3 0, 4 8, 6+−
d)
( ) ( ) ( )
12, 1 2,3 6 : 4, 21−


Lời giải:
a)
( ) ( )
0,1 6 1, 3+
16 1 3
1
90 9
−
=+
15 12
90 9
=+
18
66
=+
9
6
=
3
2
=
b)
( ) ( )
8
1, 3 0,1 2 .2
11
+
3 12 1 30
1.
9 90 11
−
=+
12 11 30
.
9 90 11
=+
12 3
99
=+
15
9
=
5
3
=
c)
( ) ( ) ( )
10, 3 0, 4 8, 6+−
3 4 6
10 8
9 9 9
= + −
93 4 78
999
= + −
19
9
=
d)
( ) ( ) ( )
12, 1 2,3 6 :4, 21−


1 33 21
12 2 :4
9 90 99

=−


67 21
9 :4
90 99
=
877 99
.
90 417
=
9647
4170
=
Bài 6:
Tìm x, biết:
a)
( ) ( )
0, 37 0, 62 . 10+=


x
Trang 7
b)
( ) ( ) ( )
0, 12 :1, 6 :0, 4= x
c)
( ) ( )
( )
3
0, 3 0, 384615
50
13
0,0 3 13 85
++
=
+
x
Lời giải:
a)
( ) ( )
0, 37 0, 62 . 10+=


x
37 62
10
99 99
x

+ =


99
10
99
x=
10x=
Vậy
10=x
.
b)
( ) ( ) ( )
0, 12 :1, 6 :0, 4= x
12 6 4
:1 :
99 9 9
x=
4 12 9
:.
9 99 15
x=
44
:
9 55
x=
44
.
55 9
x=
16
496
x=
Vậy
16
496
=x
c)
( ) ( )
( )
3
0, 3 0, 384615
50
13
0,0 3 13 85
++
=
+
x
3 384615 3
50
9 999999 13
3
85
13
90
x++
=
+
1 5 3
10
3 13 13
391
17
30
x++
=
28 3 10 391
.
39 13 17 30
x + =
28 3 10 391
.
39 13 17 30
x + =
Trang 8
3 23 28
13 3 39
x = −
3 271
13 39
x=
271 3
:
39 13
x=
271 13
.
39 3
x=
271 1
30
99
x = =
Vậy
271
.
9
=x
Bài 7:
Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp:
( ) ( ) ( )
0, 0, 8.0,0 1x y y x−=
, biết rằng
9xy+=
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
0, 0, 8.0,0x y y x−=
8
90 90 90
xy x yx y−−
−=
8xy x yx y− − + =
10 10 8x y x y x y+ − − − + =
10 10 8x y x y x y+ − − − + =
8 8 8xy−=
1xy−=
Mà
9xy+=
Do đó:
5, 4==xy
.
Vậy
( ) ( ) ( )
0,5 4 0,4 5 8.0,0 1−=
Bài 8:
Cho
1
1,00...01
A =
(số chia có 99 chữ số 0 sau dấu phảy). Tính
A
với 300 chữ số thập phân.
Lời giải:
Ta có:
1
1,00...01
A =
=
99 0
1
1, 0...0 1
chöõsoá
=
100 0
99 0
1 0...0
1 0...0 1
chöõsoá
chöõsoá
.
Nhân cả tử và mẫu với
100 9
99...9
chöõsoá
, ta được:
A =
100 100
100 100
9...90...0
9...99...9
.
Trang 9
Theo quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thành phân số thì số 0,
( )
100 100
9...90...0
viết thành
phân số trên.
Vậy
100 100 100
0,9...90...09...9...=A
Bài 9:
Cho số
0,12345...998999x =
trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau.
Chữ số thứ
2003
ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao?
Lời giải:
Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của
x
. Gọi chữ số thứ
2003
là
a
.
Chia dãy số trên thành ba nhóm:
nhoùm I nhoùm II nhoùm III
1234567891011...99100101...x
Nhóm I có
9
chữ số, nhóm II có
180
chữ số, nhóm III có:
2003 9 180 1814− − =
(chữ số).
Ta thấy
1814
chia
3
được
604
dư
2
.
Số thứ
604
kể từ
100
là:
100 604 1 703+ − =
.
Hai chữ số tiếp theo số
703
là chữ số
7
và chữ số
0
(thuộc số
704
).
Vậy
0=a
.
Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số
0
Bài 10:
Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp:
Lời giải:
Xét phép trừ thứ hai, ta có:
*** ** *−=
số bị trừ có dạng
10*
Trang 10
số bị trừ
***
=
100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập
phân của thương).
Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là
ab
;
,c deg
;
mn
Ta thấy
10: 0,ab deg=
nên
10000 .ab deg=
. (Với
0d
(vì nếu
0=d
thì
. 10000ab eg
),
0g
(vì
nếu
0=d
thì thương đã dừng lại ở
e
))
deg
là ước của
10000
và có ba chữ số.
Suy ra
deg
bằng
3
5 125=
hoặc
4
5 625=
. Tương ứng
ab
bằng
80
hoặc
16
+ Trường hợp
80=ab
thì
80=mn
, trái với
80 10 ***+=
(số bị chia), loại
+ Trường hợp
16=ab
thì
6, 96==c mn
, số bị chia là
96 10 106+=
Vậy ta có
106:16 6,625=
Dạng 4: Kiểm tra một biểu thức phân số viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn hay
tạp).
I.Phương pháp giải:
Đối với các phân số đó, nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô
hạn tuần hoàn đơn, nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô
hạn tuần hoàn tạp.
II.Bài toán
Bài 11:
Chứng tỏ rằng: các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
22 5
143
+n
n
;
21 4
7
n
n
+
;
79! 79
5609
+
n
( )
n
Lời giải:
a)
Trang 11
Ta có:
22 11.2 11
5
=nn
11
22 5+n 11
, mà
143 11.13 11=nn
, do đó
22 5
143
+n
n
rút gọn đến khi tối giản
thì mẫu số vẫn chứa thừa số là
11
.
22 5
143
+n
n
( )
n
khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
b)
Ta có:
21 7
4
n
7
21 4n+7
, mà
77n
, do đó
21 4
7
n
n
+
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa
thừa số là
7
.
21 4
7
n
n
+
( )
n
khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
c)
Ta có:
79! 79
5609
+
n
1.2.3...79 79
71.79.
+
=
n
1.2.3...78 1
71.
+
=
n
Ta có:
1.2.3...78 71
1 71
1.2.3...78 1+71
, mà
71 71n
, do đó
21 4
7
n
n
+
rút gọn đến khi tối giản thì
mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố
71
.
79! 79
5609
+
n
( )
n
khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài 12:
Với mọi số tự nhiên
0n
, khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu
hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vô hạn thì số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp?
a)
2
33
12
nn
n
+
;
b)
61
12
n
n
+
Lời giải:
a) Ta có:
( )
2
31
3 3 1
12 12 4
nn
n n n
nn
+
++
==
Vì mẫu của phân số là
2
42=
nên
2
33
12
+nn
n
đổi ra số thập phân hữu hạn.
b) Xét phân số:
61
12
n
n
+
Ta có:
63
1
n
3
61+n 3
mà
12 3.4 3=nn
Trang 12
phân số
61
12
n
n
+
rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là
3
phân số
61
12
n
n
+
đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Mặt khác:
Ta có:
62
1
n
2
61+n 2
mà
12 2.6 2=nn
phân số
61
12
n
n
+
rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là
2
phân số
61
12
n
n
+
đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
Bài 13:
Khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn, hay vô hạn tuần hoàn
đơn, hay vô hạn tuần hoàn tạp:
a)
( )
35 3
70
n
n
+
;
b)
( )( )( )
( )
10987654321
1 2 3
nN
n n n
+ + +
?
Lời giải:
a) Ta có:
35 7
3
n
7
35 3n+7
, mà
70 7
,
do đó
35 3
70
n +
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là
7
.
( )
35 3
70
n
n
+
viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Mặt khác:
35 5
3
n
5
35 3n+5
, mà
70 5
,
do đó phân số
35 3
70
n +
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là
5
.
Vậy
( )
35 3
70
n
n
+
viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
b) Xét phân số
( )( )( )
( )
10987654321
1 2 3
n
n n n
+ + +
Trang 13
Tổng các chữ số của tử số là:
1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1+ + + + + + + + + +
46=
tử số
10987654321
3
Mà mẫu số
( )( )( )
1 2 3n n n+ + +
là tích của ba số tự nhiên liên tiếp
( )( )( )
1 2 3n n n+ + +
3
Do đó phân số
( )( )( )
( )
10987654321
1 2 3
n
n n n
+ + +
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là
3
( )
35 3
70
n
n
+
khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Mặt khác:
10987654321
2
;
( )( )( )
1 2 3n n n+ + +
2
phân số
( )( )( )
( )
10987654321
1 2 3
n
n n n
+ + +
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là
2
Vậy
( )( )( )
( )
10987654321
1 2 3
n
n n n
+ + +
khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
tạp.
Bài 14:
Cho phân số:
32
3 2 5
( 1)( 2) 6
m m m
C
m m m
+ + +
=
+ + +
( )
m
a) Chứng tỏ C là phân số tối giản.
b) Phân số C được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Lời giải:
a) Xét phân số:
32
3 2 5
( 1)( 2) 6
m m m
C
m m m
+ + +
=
+ + +
( )
m
Gọi ƯCLN của tử số và mẫu của phân số
C
là
d
( )
,1dd
.
Ta có:
32
3 2 5
( 1)( 2) 6
m m m d
m m m d
+ + +
+ + +
( )
32
( 1)( 2) 6 3 2 5m m m m m m d + + + − + + +
( )
3 2 3 2
3 2 6 3 2 5m m m m m m d+ + + − + + +
1 d
1d =
ƯCLN của tử số và mẫu của phân số
C
là
1
Vậy C là phân số tối giản.
b) Vì
;( 1);( 2)m m m++
là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số
;( 1);( 2)m m m++
có một số chia hết
cho
2
, và một số chia hết cho
3
.
( 1)( 2) 6m m m++
Trang 14
Mà
66
( 1)( 2) 6 6m m m + + +
( 1)( 2) 6 3m m m + + +
Phân số
32
3 2 5
( 1)( 2) 6
m m m
C
m m m
+ + +
=
+ + +
tối giản khi phân tích mẫu có chứa thừa số là
3
nên
C
khi viết
thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Dạng 5: Chứng minh
I.Phương pháp giải:
Sử dụng các phép biến đổi của số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính chất chia hết,... để chứng minh
một số bài toán.
II.Bài toán:
Bài 15:
Cho
A
là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của
A
gồm toàn chữ số
9
.
Lời giải:
Xét phân số
1
A
, mẫu
A
không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên
1
A
viết dưới dạng số thập phân vô
hạn tuần hoàn đơn.
12
...
1
99...9
n
n
a a a
A
=
12
9...9 . ...
n
n
Aa a a=
99...9
n
A
Vậy tồn tại một bội của
A
gồm toàn chữ số 9.
Bài 16:
Cho
A
là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của
A
gồm toàn chữ số
1
.
Lời giải:
Xét phân số
1
A
, mẫu
A
không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên
1
A
viết dưới dạng số thập phân vô
hạn tuần hoàn đơn.
Ta có:
12
...
1
99...9
n
n
a a a
A
=
12
9...9 . ...
n
n
Aa a a=
99...9
n
A
9.11...1
n
A
( )
1
Trang 15
Mà ước chung của
A
và 9 chỉ có thể là
1;
3;
9.
+ Nếu ƯC
( )
,9 1=A
thì từ (1) suy ra
11...1
n
A
.
+ Nếu ƯC
( )
,9 3=A
thì đặt
3=AB
, ta có
( )
,3 1=B
.
Từ (1) suy ra
9.11...1 3
n
B
3.11...1
n
B
11...1
n
B
3
11...1 3
n
BA=
+ Nếu ƯC
( )
,9 9=A
thì đặt
9=AB
.
Từ (1) suy ra
9.11...1 9
n
B
11...1
n
B
9
11...1 9
n
BA=
Vậy tồn tại một bội của
A
gồm toàn chữ số
1
.
Bài 17:
Tìm phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng khi chia tử cho tử cho mẫu ta được một số thập phân
vô hạn tuần hoàn đơn chu kì có 3 chữ số và phân số này bẳng lập phương của một phân số khác.
Lời giải:
Gọi
abc
chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn
( )
0 999abc
Phân số cần tìm phải có dạng:
999
abc
Ta có:
999
abc
3
3 .37
=
abc
2
33
.37
3 .37
=
abc
( )
2
3
.37
3.37
=
abc
Đặt
( ) ( )
2 3 3
33
.37 .37
3.37 3.37
=
abc x
( )
*x
2 3 3
.37 .37=abc x
3
.37=abc x
, mà
999abc
2
27x
hay
3x
1;2x
Với
1=x
thì
abc
037=
, ta được phân số:
037
999
1
27
=
3
1
3

=


Với
2=x
thì
abc
3
2 .37 296=
, ta được phân số:
296
999
8
27
=
3
2
3

=


Vậy phân số cần tìm là
1
27
;
8
27
Trang 16
Bài 18:
Viết tiếp vào mỗi chỗ chấm hai phân số theo quy luật:
a)
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ;...
2 4 5 8 10 16
.
b)
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ;...
3 6 7 9 11 12
Lời giải:
a) Ta thấy các phân số:
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
2 4 5 8 10 16
viết được dưới dạng phân số thập phân hữu hạn có tử bằng 1
và mẫu tăng dần.
Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là:
11
;
20 25
, ta được dãy số:
1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ; ; .
2 4 5 8 10 16 20 25
b) Ta thấy các phân số:
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 6 7 9 11 12
viết được dưới dạng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn có
tử bằng 1 và mẫu tăng dần.
Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là:
11
;
13 14
, ta được dãy số:
1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ; ; .
3 6 7 9 11 12 13 14
HẾT
| 1/16
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM a) Khái niệm: a Khi viết phân số
dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b , nếu phép chia a cho b b
không bao giờ chấm dứt 2 17 − Ví dụ: = 0,6666...; = 1 − ,5454...; … 3 11
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp
đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số
lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó. b) Cách viết:
Để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn: 2 = 0,6666... = 0,(6); 3 17 − = 1 − ,5454... = 1 − ,(54); … 11 7 = 0,2121... = 0,(2 )1; 33 7 = 0,31818... = 0,3(18) 22
Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy. VD: 0,(6) ; 0,(2 ) 1 ; 1 − ,(54)
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập
phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường,
VD: 0,3(18) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN ĐƠN HAY TẠP.
- Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập
phân vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt
+) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn. Trang 1
+) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 7
+) Ví dụ: khi chia 7 cho 33 được số thập phân vô hạn, Ta có: = 0, 212121... = 0,(2 ) 1 33 7 Số
cũng có thể viết dưới dạng 0,(212 )
1 hoặc 0, 2(12) . So với cách viết 0,(2 ) 1 có chu kì 21 thì 33
cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số
cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này.
+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ 0,(2 ) 1 ;
gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần
bất thường, ví dụ 0,3(18) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ:
- Quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu
kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ: ( ) 6 2 = = ( ) 21 7 0, 6 ; 0, 21 = = 9 3 99 33
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số
gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9
kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. Chẳng hạn: ( ) 16−1 1 5,1 6 = 5 = 5 ; 90 6 ( ) 318−3 315 7 0,3 18 = = = 990 990 22 a a ...a - Tổng quát: 0, (a a ...a = . n ) 1 2 n 1 2 99...9 n
b b ...b a a ...a − b b ...b
0, b b ...b a a ...a 1 2 k 1 2 n 1 2 k = 1 2 k ( 1 2 n ) 99...9 00...0 n k
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
I.Phương pháp giải: a
Để viết một tỉ số hoặc một phân số
dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a : b b II.Bài toán: Bài 1: Trang 2
Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Tại sao? Hãy viết
các phân số dưới dạng đó. 10 5 2 13 5 ; ; ; ; . 15 11 13 22 24 Lời giải: 10 5 a) Xét phân số = 15 3  10
mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 15 10 = = Vậy: 0, 666... 0, (6) 15 5 b) Xét phân số 11  5
mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 11 5 Vậy: = 0,454545... = 0,(45) 11 2 c) Xét phân số 13  2
mẫu của phân số có ước nguyên tố là 13 nên
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 13 2 Vậy:
= 0,153846153846... = 0,(153846) 13 13 13 d) Xét phân số = 22 2.11 13
 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 22 13 Vậy: = 0,590909... = 0,5(90) 22 5 5 e) Xét phân số = 3 24 2 .3  5
mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 24 5 Vậy: = = 0, 208333... = 0, 208(3) 24 Bài 2: 5 a) Khi viết phân số
dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ 2021 sau dấu phẩy là chữ số nào? 7 17
b) Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của phân số
(viết dưới dạng số thập phân). 900 Trang 3 24
c) Tìm chữ số thập phân thứ 10
2 sau dấu phẩy của phân số
(viết dưới dạng số thập phân). 27 Lời giải: 5 a) Ta có:
= 0,714258 714258... = 0,(714258 ) 7
Số thập phân 0,(714258 ) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm 6 chữ số.
Mà: 2021 = 6.336 + 5 , như vậy 2021 chia cho 6 dư 5 nên chữ số thập phân thứ 2021 sau dấu phẩy
của 0,(714258 ) là chữ số 5. 17 b) Ta có: = 0,018888... = 0,01(8) 900
Số thập phân 0,01(8)là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp mà phần bất thường có hai chữ số và chu kì có 1 chữ số là 8 .
Ta lại có: 100  2 nên chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của số 0,01(8) là chữ số 8 . 24 c) Ta có:
=1,(4117647058823529) là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn mà chu kì gồm 16 chữ 27 số. Mà: 10 2 =1024 = 64.16 , suy ra 10
2 chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ 10
2 sau dấu phẩy là chữ số 9.
Dạng 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số
I.Phương pháp giải:
- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số với + Tử: là chu kì
+ Mẫu: là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. ( ) 6 2 = = ( ) 21 7 0, 6 ; 0, 21 = = 9 3 99 33 a a ...a Tổng quát: 0, (a a ...a = . n ) 1 2 n 1 2 99...9 n
- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số với
+ Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường.
+ Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì,
số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. ( ) 16−1 1 5,1 6 = 5 = 5 ; 90 6 ( ) 318−3 315 7 0,3 18 = = = 990 990 22 - Tổng quát: Trang 4
b b ...b a a ...a − b b ...b
0, b b ...b a a ...a 1 2 k 1 2 n 1 2 k = 1 2 k ( 1 2 n ) 99...9 00...0 n k II.Bài toán: Bài 3:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,(27) ; 0,(70 ) 3 ; 0,(571428); 2,01(6); 0 ( ,1 6 ) 3 ; 2, 41(3) ; 0,88(6 ) 3 Lời giải: 27 a) 0,(27) = 3 = 99 11 703 b) 0,(70 ) 3 = 19 = 999 27 571428 c) 0,(571428) = 4 = 999999 7 16 −1 d) 2, 01(6) = 15 2 = 1 2 = 2 900 900 60 163 −1 e) 0 ( ,1 6 ) 3 = 9 = 990 55 413 − 41 f) 2, 41(3) = 31 2 = 2 900 75 8863 − 88 g) 0,88(6 ) 3 = 39 = 9900 44 Bài 4:
Các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau có bằng nhau không ?
0, (a a ) ; 0, (a a a a ) ; 0, a (a a ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Lời giải: Ta có: 0, (a a ) 1 2 = a a 1 2 99 101. 0, (a a a a ) 1 2 1 2 = a a a a 1 2 = a a 1 2 = a a 1 2 1 2 9999 101.99 99 − 0 .10 0, a (a a ) 1 2 1 1 = a a a a 1 2 = a a 1 2 = a a 1 2 = a a 1 2 1 990 990 99.10 99
Vậy 0, (a a ) = 0, (a a a a ) = 0, a (a a ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a a
Nhận xét: Như vậy từ phân số 1 2 ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn 99
khác nhau như 0,(a a ) ; 0,(a a a a ) ; 0, a (a a );…nhưng cách viết 0,(a a ) thuận tiện hơn, do đó 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
người ta chọn cách viết này.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số Trang 5
I.Phương pháp giải:
Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số
tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số. II.Bài toán: Bài 5: Tính: a) 0 ( ,1 6) +1,( ) 3 b) ( ) + ( ) 8 1, 3 0,1 2 .2 11 c) 10,( ) 3 + 0,(4) −8,(6) d) 1  2,  ( ) 1 − 2, 3(6) : 4,  (2 ) 1 Lời giải: 16 −1 3 a) 0 ( ,1 6) +1,( ) 3 = +1 90 9 15 12 1 8 = + = + 90 9 6 6 9 3 = = 6 2 3 12 −1 30 b) ( ) + ( ) 8 1, 3 0,1 2 .2 =1 + . 11 9 90 11 12 11 30 = + . 9 90 11 12 3 = + 15 = 5 = 9 9 9 3 3 4 6 c) 10,( )
3 + 0,(4) −8,(6) = 10 + − 8 9 9 9 93 4 78 = + − 9 9 9 19 = 9  1 33 21 d) 1  2,  ( ) 1 − 2, 3(6) : 4,  (2 ) 1 = 12 − 2 : 4    9 90  99 67 21 = 9 : 4 90 99 877 99 9647 = . = 90 417 4170 Bài 6: Tìm x, biết: a) 0,  (37) + 0,(62). = 10  x Trang 6
b) 0,(12) :1,(6) = x : 0,(4) ( )+ ( ) 3 0, 3 0, 384615 + x 50 c) 13 = 0, 0(3) +13 85 Lời giải: a) 0,  (37) + 0,(62). = 10  x  37 62   + x = 10    99 99  99  x = 10 99  x =10 Vậy x = 10 .
b) 0,(12) :1,(6) = x : 0,(4) 12 6 4  :1 = x : 99 9 9 4 12 9  x : = . 9 99 15 4 4  x : = 9 55 4 4  x = . 55 9 16  x = 496 16 Vậy x = 496 ( )+ ( ) 3 0, 3 0, 384615 + x 50 c) 13 = 0, 0(3) +13 85 3 384615 3 + + x 50 9 999999 13  = 3 85 +13 90 1 5 3 + + x 10 3 13 13  = 391 17 30 28 3 10 391  + x = . 39 13 17 30 28 3 10 391  + x = . 39 13 17 30 Trang 7 3 23 28  x = − 13 3 39 3 271  x = 13 39 271 3  x = : 39 13 271 13  x = . 39 3 271 1  x = = 30 9 9 271 Vậy x = . 9 Bài 7:
Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp: 0, x ( y) − 0, y ( x) = 8.0, 0( )
1 , biết rằng x + y = 9 Lời giải:
Ta có: 0, x ( y) − 0, y ( x) = 8.0, 0
xy − x yx − y 8 − = 90 90 90
xy − x − yx + y = 8
 10x + y − x −10y − x + y = 8
 10x + y − x −10y − x + y = 8
 8x −8y = 8  x − y =1 Mà x + y = 9
Do đó: x = 5, y = 4 .
Vậy 0,5(4) − 0, 4(5) = 8.0,0( ) 1 Bài 8: 1 Cho A =
(số chia có 99 chữ số 0 sau dấu phảy). Tính A với 300 chữ số thập phân. 1, 00...01 Lời giải: 100 chöõso 0 á 1 1 1 0...0 Ta có: A = = = . 1, 00...01 1, 0...0 1 1 0...0 1 99chöõso 0 á 99chöõso 0 á 100 100 9...9 0...0
Nhân cả tử và mẫu với 99...9 , ta được: A = . 9...99...9 100chöõso 9 á 100 100 Trang 8
Theo quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thành phân số thì số 0, (9...9 0...0) viết thành 100 100 phân số trên.
Vậy A = 0, 9...9 0...0 9...9... 100 100 100 Bài 9:
Cho số x = 0,12345...998999 trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau.
Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao? Lời giải:
Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x . Gọi chữ số thứ 2003là a .
Chia dãy số trên thành ba nhóm:
1234567891011...99100101...x nhoùm I nhoùm II nhoùm III
Nhóm I có 9 chữ số, nhóm II có 180 chữ số, nhóm III có:
2003 − 9 −180 = 1814 (chữ số).
Ta thấy 1814 chia 3 được 604 dư 2 .
Số thứ 604 kể từ 100 là: 100 + 604 −1 = 703 .
Hai chữ số tiếp theo số 703 là chữ số 7 và chữ số 0 (thuộc số 704 ). Vậy a = 0 .
Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 0 Bài 10:
Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp: Lời giải:
Xét phép trừ thứ hai, ta có: *** − ** = *
 số bị trừ có dạng 10* Trang 9
 số bị trừ *** = 100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập phân của thương).
Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab ; c, deg ; mn
Ta thấy 10 : ab = 0, deg nên 10 000 = ab.deg . (Với d  0 (vì nếu d = 0 thì ab.eg  10 000 ), g  0 (vì
nếu d = 0 thì thương đã dừng lại ở e ))
deg là ước của 10000 và có ba chữ số.
 Suy ra deg bằng 3 5 =125 hoặc 4
5 = 625 . Tương ứng ab bằng 80 hoặc 16
+ Trường hợp ab = 80 thì mn = 80 , trái với 80 +10 = *** (số bị chia), loại
+ Trường hợp ab = 16 thì c = 6, mn = 96 , số bị chia là 96 +10 = 106 Vậy ta có 106 :16 = 6,625
Dạng 4: Kiểm tra một biểu thức phân số viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn hay tạp).
I.Phương pháp giải:
Đối với các phân số đó, nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô
hạn tuần hoàn đơn, nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. II.Bài toán Bài 11:
Chứng tỏ rằng: các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 22n + 5 21n + 4 79!+ 79 ; ; (n ) 143n 7n 5609n Lời giải: a) Trang 10 22n =11.2n 11 n + Ta có: 
 22n + 5 11, mà 143n =11.13n 11, do đó 22
5 rút gọn đến khi tối giản 5  11 143n
thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 11.  22n + 5
(n ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn 143n b) 21n 7 n + Ta có: 
 21n + 4 7 , mà 7n 7 , do đó 21
4 rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa 4 7 7n thừa số là 7 .  21n + 4
(n ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 7n c) 79!+ 79 1.2.3...79 + 79 1.2.3...78 +1 Ta có: = = 5609n 71.79.n 71.n 1  .2.3...78 71 n + Ta có: 
1.2.3...78 +1 71, mà 71n 71, do đó 21
4 rút gọn đến khi tối giản thì 1  71 7n
mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố 71 .  79!+ 79
(n ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 5609n Bài 12:
Với mọi số tự nhiên n  0 , khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu
hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vô hạn thì số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp? 2 3n + 3n a) ; 12n 6n +1 b) 12n Lời giải: 2 3n + 3n 3n (n + ) 1 n +1 a) Ta có: = = 12n 12n 4 2 3n + 3n
Vì mẫu của phân số là 2 4 = 2 nên
đổi ra số thập phân hữu hạn. 12n 6n +1 b) Xét phân số: 12n 6n 3 Ta có:  1  3  6n +1 3
mà 12n = 3.4n 3 Trang 11  6n +1 phân số
rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 3 12n  6n +1 phân số
đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. 12n Mặt khác: 6n 2 Ta có:  1  2  6n +1 2
mà 12n = 2.6n 2  6n +1 phân số
rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 2 12n  6n +1 phân số
đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 12n Bài 13:
Khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn, hay vô hạn tuần hoàn
đơn, hay vô hạn tuần hoàn tạp: 35n + 3 a) (n ) ; 70 10987654321 b) ( + ) n N
n 1 (n + 2)(n + ? 3) ( ) Lời giải: 3  5n 7 a) Ta có:  3  7
 35n + 3 7 , mà 70 7 ,
do đó 35n + 3 rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 7 . 70  35n + 3
(n ) viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 70 35  n 5 Mặt khác:  3  5
 35n + 3 5 , mà 70 5 ,
do đó phân số 35n + 3
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 5 . 70 35n + 3 Vậy
(n ) viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 70 10987654321 b) Xét phân số ( + ) n
n 1 (n + 2)(n + 3) ( ) Trang 12
Tổng các chữ số của tử số là: 1+ 0 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1 = 46  tử số 10987654321 3 Mà mẫu số (n + ) 1 (n + 2)(n + )
3 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp  (n+ ) 1 (n + 2)(n + ) 3 3 10987654321 Do đó phân số ( + ) n
n 1 (n + 2)(n +
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 3 3) ( )  35n + 3
(n ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 70
Mặt khác: 10987654321 2 ; (n + ) 1 (n + 2)(n + ) 3 2  10987654321 phân số ( + ) n
n 1 (n + 2)(n +
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 2 3) ( ) 10987654321 Vậy ( + ) n
n 1 (n + 2)(n +
khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn 3) ( ) tạp. Bài 14: 3 2
m + 3m + 2m + 5
Cho phân số: C = (m ) (
m m +1)(m + 2) + 6
a) Chứng tỏ C là phân số tối giản.
b) Phân số C được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Lời giải: 3 2
m + 3m + 2m + 5 a) Xét phân số: C = (m ) (
m m +1)(m + 2) + 6
Gọi ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là d (d  , d  ) 1 . 3 2
m + 3m + 2m + 5 d Ta có:   (
m m +1)(m + 2) + 6 d
m m + m + + − ( 3 2 ( 1)( 2) 6
m + 3m + 2m + 5) d  3 2
m + m + m + − ( 3 2 3 2 6
m + 3m + 2m + 5) d  1 d d =1
 ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là 1
Vậy C là phân số tối giản. b) Vì ;
m (m +1);(m + 2) là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số ;
m (m +1);(m + 2) có một số chia hết
cho 2 , và một số chia hết cho 3 .  (
m m +1)(m + 2) 6 Trang 13 Mà 6 6  (
m m +1)(m + 2) + 6 6  (
m m +1)(m + 2) + 6 3 3 2 
m + 3m + 2m + 5 Phân số C =
tối giản khi phân tích mẫu có chứa thừa số là 3 nên C khi viết (
m m +1)(m + 2) + 6
thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Dạng 5: Chứng minh
I.Phương pháp giải:
Sử dụng các phép biến đổi của số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính chất chia hết,... để chứng minh một số bài toán. II.Bài toán: Bài 15:
Cho A là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9 . Lời giải: 1 1 Xét phân số
, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên
viết dưới dạng số thập phân vô A A hạn tuần hoàn đơn. 1 a a ...a 1 2 n = A 99...9 n  9...9 = . A a a ...a 1 2 n n  99...9 A n
Vậy tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9. Bài 16:
Cho A là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 1. Lời giải: 1 1 Xét phân số
, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên
viết dưới dạng số thập phân vô A A hạn tuần hoàn đơn. 1 a a ...a Ta có: 1 2 n = A 99...9 n  9...9 = . A a a ...a 1 2 n n  99...9 A n  9.11...1 A ( ) 1 n Trang 14
Mà ước chung của A và 9 chỉ có thể là 1; 3; 9. + Nếu ƯC ( ,
A 9) =1 thì từ (1) suy ra 11...1 A . n + Nếu ƯC ( ,
A 9) = 3 thì đặt A = 3B , ta có ( , B ) 3 = 1.
Từ (1) suy ra 9.11...1 3B  3.11...1 B n n  11...1 B n
 11...1 3B = A 3n + Nếu ƯC ( ,
A 9) = 9 thì đặt A = 9B .
Từ (1) suy ra 9.11...1 9B  11...1 B n n
 11...1 9B = A 9n
Vậy tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 1. Bài 17:
Tìm phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng khi chia tử cho tử cho mẫu ta được một số thập phân
vô hạn tuần hoàn đơn chu kì có 3 chữ số và phân số này bẳng lập phương của một phân số khác. Lời giải:
Gọi abc chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn (0  abc  999)  abc
Phân số cần tìm phải có dạng: 999 abc .37 2 .37 Ta có: = abc 2 = abc = abc 999 3 3 .37 3 3 3 .37 (3.37)3 2 3 3 Đặ ab .37 c x .37 t = x  ( ( ) * 3.37)3 (3.37)3 2 3 3  ab . c 37 = x .37  3
abc = x .37 , mà abc  999  2
x  27 hay x  3  x1;  2 3 037 1  1 
Với x = 1 thì abc = 037 , ta được phân số: = =   999 27  3  3 296 8  2 
Với x = 2 thì abc 3
2 .37 = 296 , ta được phân số: = =   999 27  3  1 8
Vậy phân số cần tìm là ; 27 27 Trang 15 Bài 18:
Viết tiếp vào mỗi chỗ chấm hai phân số theo quy luật: 1 1 1 1 1 1 a) ; ; ; ; ; ;... . 2 4 5 8 10 16 1 1 1 1 1 1 b) ; ; ; ; ; ;... 3 6 7 9 11 12 Lời giải: 1 1 1 1 1 1
a) Ta thấy các phân số: ; ; ; ; ;
viết được dưới dạng phân số thập phân hữu hạn có tử bằng 1 2 4 5 8 10 16 và mẫu tăng dần. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: ;
, ta được dãy số: ; ; ; ; ; ; ; . 20 25 2 4 5 8 10 16 20 25 1 1 1 1 1 1
b) Ta thấy các phân số: ; ; ; ; ;
viết được dưới dạng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn có 3 6 7 9 11 12
tử bằng 1 và mẫu tăng dần. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: ;
, ta được dãy số: ; ; ; ; ; ; ; . 13 14 3 6 7 9 11 12 13 14  HẾT Trang 16