Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
1. Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
Khi tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton thì chủ yếu
học sinh sẽ gặp hai dạng bài toán sau đây:
Bài toán 1: Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển với
với x > 0 ( p, q là các hằng số khác nhau). Cách giải: Ta có: = . = . . Số hạng chứa
ứng với giá trị k thỏa mãn: np - pk + qk = m . Từ đó tìm k =
Vậy hệ số của số hạng chứa là .
với giá trị k đã tìm được ở
trên. Nếu k không nguyên hoặc thì trong khai triển không chứa , hệ số phải tìm bằng 0.
Có nghĩa là trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm số hạng không chứa x thì m = 0
Bài toán 2. Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển P (x) =
được viết dưới dạng ao + a1x + ... a2n. . Ta làm như sau * Viết P (x) = = . ;
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng thành
một đa thức theo luỹ thừa của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của .
2. Một số bài tập vận dụng liên quan
Bài 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
( x ≠ 0 ) , biết rằng 1. C 1 n + 2. C 2 n + 3. C 3 n + . . .
+ n . C n n = 256 n ( C k n là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 4889888 B. 48988 C. 489888 D. 49888
Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton biết rằng = 36.
Bài 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn của P ( x ) = A. 4000 B. 2700 C. 3003 D. 3600
Bài 4. Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của .
Bài 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton của (x khác 0)
Bài 6. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f(x) = (x − 2/x)12 (x ≠ 0) A. 59136 B. 213012 C. 12373 D. 139412
Bài 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển A. 70 y4 . B. 60 y4 . C. 50 y4 . D. 40 y4
Bài 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton , ( x ≠ 0 ) A. . 21C7 B. . 21C8 C. - . 21C8 D. - . 21C7
Bài 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( 2 3 √ x − 3 √ x ) 10 , x > 0 .
Bài 10. Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của .
3. Hướng dẫn giải bài tập vận dụng liên quan Bài 1. Phương pháp giải: - Xét tổng
, khai triển nhị thức Niu-tơn và lấy đạo hàm hai vế. - Cho x = 1 tìm n.
- Khai triển nhị thức Niu-tơn tổng và tìm số hạng không chứa x.
Hướng dẫn giải chi tiết: Xét tổng = n ∑ k = 0 .
Lấy đạo hàm hai vế ta được n = n ∑ k = 0 k
Với x = 1 ta có: n .2 n − 1 = 1. C 1 n + 2 C 2 n + . . . + n C n n ⇒ n .2 n − 1 = 256 n ⇔ = 256 = ⇔ n − 1 = 8 ⇔ n = 9 Khi đó ta có = 9 ∑ k = 0 = 9 ∑ k = 0 . . .
Số hạng không chứa x ứng với 18 − 3 k = 0 ⇔ k = 6.
Vậy số hạng không chứa x là . . = 489888 . Bài 2. Hướng dẫn giải:
Điều kiện x ≠ 0, n ∈ N∗ ; n ≥ 2. Ta có:
= 36 ⇔ n! : (n−2)!.2! = 36 ⇔ n(n−1) : 2 = 36 ⇔ n2 − n − 72 = 0 ⇔ n = -8 hoặc n = 9.
n = -8 (loại); n = 9 (thoả mãn) Suy ra P(x) =
Số hạng tổng quát trong khai triển là: Tk+1 = . . k = (−1)k. . 2k. (k ∈ N; k ≤ 9).
Số hạng không chứa x ⇔ 18 − 3k = 0 ⇔ k = 6 (TM).
Vậy số hạng cần tìm là (−1)6. . 26 = 5376. Bài 3. Phương pháp giải:
- Áp dụng khai triển hệ thức Niutơn: = n ∑ k = 0 C k n . . .
- Số hạng không chứa x là số hạng ứng với số mũ của x bằng 0. Giải chi tiết: Ta có P ( x ) = = 15 ∑ k = 0 C k 15 . . = 15 ∑ k = 0 C k 15 .
Khi đó số hạng không chứa x tức là 30 − 3 k = 0 ⇔ k = 10.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: = 3003. Đáp án đúng là C. Bài 4. Hướng dẫn giải:
Ta có: ( x + 2 x ) 4 = C 0 4 . x 4 + C 1 4 . x 3 . 2 x + C 2 4 . x 2 . ( 2 x ) 2 + C 3
4 . x . ( 2 x ) 3 + C 4 4 . ( 2 x ) 4 = x 4 + 4 x 3 . 2 x + 6 x 2 . ( 2 x ) 2 + 4 x . ( 2
x ) 3 + ( 2 x ) 4 = x 4 + 8 x 2 + 24 + 32 x 2 + 16 x 4
Vậy, hạng tử không chứa x là 24. Bài 5.
Giải thích các bước giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng: C k 9 ( x 4 ) 9 − k
( k ⩽ 9 ; k ∈ N ) = 3 k C k 9.
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn phương trình: 36 − 6 k = 0 ⇔ k = 6 (nhận)
Vậy số hạng không chứa x là: . = 61236 Bài 6. Đáp án đúng là A. Ta có: f (x) = = ∑k=012 Ck12.
.(−2x−1)k = ∑k =012 Ck12. (−2)k.
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k = 0 ⇔k = 6
⇒ số hạng không chứa x là: C612. 26 = 59136. Bài 7.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có = 8 ∑ k = 0 C k 8 .
( x y 2 ) 8 − k . ( − 1 x y ) k = 8 ∑ k = 0 C k 8 . x 8 − k . y 16 − 2 k . ( − 1 ) k . ( x
y ) − k = 8 ∑ k = 0 C k 8 . ( − 1 ) k . x 8 − 2 k . y 16 − 3 k .
Số hạng không chứa x ứng với 8 − 2 k = 0 ⇔ k = 4 → Số hạng cần tìm là C 4
8 . ( − 1 ) 4 . y 4 = 70 y4 . Đáp án cần chọn là: A Bài 8. Đáp án đúng là D
Ta có số hạng tổng quát là T k + 1 = C k n a n − k b k = C k 21 x 21 − k . ( − 2
x 2 ) k = ( − 2 ) k C k 21 x 21 − 3 k . Số hạng không chứa x ứng với 21 − 3 k = 0 ⇔ k = 7 .
Vậy hệ số cần tìm là − C 7 21 . Bài 9.
Ta có ( 2 3 √ x − 3 √ x ) 10 = ( 2. x 1 3 − 3. x − 1 2 ) 10 .
Số hạng tổng quát trong khai triển là C k 10 ( 2 x 1 3 ) 10 − k . ( − 3 x − 1 2 ) k
= ( − 1 ) k .2 10 − k .3 k . x 10 − k 3 . x − k 2 = ( − 1 ) k C k 10 .2 10 − k .3 k . x 20 − 5 k 6 .
Số hạng không chứa x ứng với 20 − 5 k = 0 ⇔ k = 4
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là ( − 1 ) 4 C 4 10 .2 6 .3 4 = 210.64.81 = 1088640 Bài 10. Ta có: = . x 4 + . x 3 . 2 x + . x 2 ( 2 x ) 2 + . x . ( 2 x ) 3 +
. ( 2 x ) 4 = x 4 + 4 x 3 . 2 x + 6 x 2 . ( 2 x ) 2 + 4 x . ( 2 x ) 3 +
( 2 x ) 4 = x 4 + 8 x 2 + 24 + 32 x 2 + 16 x 4
Vậy, hạng tử không chứa x là 24
Document Outline

• Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị
  • 1. Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển
  • 2. Một số bài tập vận dụng liên quan
  • 3. Hướng dẫn giải bài tập vận dụng liên quan