Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu đơn giản, dễ hiểu nhất

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu đơn giản, dễ hiểu nhất
1. Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu + Phương trình (S): là phương trình
mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R + Phương trình (S): thỏa mãn điều kiện
là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính:
2. Bài tâp vân dung liên quan
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S). A. I(−1; 2; 1) và R = 3. B. I(1; −2; −1) và R = 3. C. I(−1; 2; 1) và R = 9. D. I(1; −2; −1) và R = 9
Đáp án: Chọn A. I(−1; 2; 1) và R = 3. Lơi giai chi tiêt: Mặt cầu (S): có tâm I (-1; 2; 1) và bán kính R = 3
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình
.. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I(−1; 3; 0); R = 3. B. I(1; −3; 0); R = 9. C. I(1; −3; 0); R = 3. D. I(−1; 3; 0); R = 9. Lơi giai chi tiêt:
Mặt cầu đã cho có tâm I(1; −3; 0) và bán kính R = 3.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): băng: A. 20π. B. 40π. C. 60π. D. 100π. Lơi giai chi tiêt:
Mặt cầu (S) có tâm là I(3; −2; 4).
Bán kính của mặt cầu (S) là R = 5 Bài 4: Trong không gian Oxyz, diện tích của mặt cầu (S): băng: A. 20π. B. 40π. C. 60π. D. 100π.
Lơi giai chi tiêt: Chọn C. 60π. Ta có suy ra
Mặt cầu (S) có tâm là I(−1; −2; 3).
Bán kính của mặt cầu (S) là R =
Diện tích mặt cầu V = 60π.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm A(2; 1; 1) và tiêp xúc với mặt
phẳng (Oxy) có bán kính là A 5. B 3. C 2. D 1. Lơi giai chi tiêt:
Gọi M là hình chiêu vuông góc của tâm A(2; 1; 1) lên mặt phẳng (Oxy), suy ra
M (2; 1; 0). Vì mặt cầu tiêp xúc với mặt phẳng (Oxy) nên có bán kính R = AM = 1. Chọn phương án D
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z
− 2 = 0 và điểm I(−1; 2; −1). Bán kính mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng
(P ) theo giao tuyên là đương tròn có bán kính băng 5 là: A. B. C. 5 D. 10 Lơi giai chi tiêt: Ta có d = d (I, (P )) = 3 Khi đó
= 9 + 25 = 34 suy ra Bán kính R =
Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−2; 3; 4)
cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) theo một hình tròn giao tuyên có diện tích băng
16π. Thể tích của khối cầu đó băng A. 80π. B. π. C. 100π. D. 25π Lơi giai chi tiêt:
Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đương tròn giao tuyên.
Hình tròn giao tuyên có diện tích băng 16π ⇔ = 16π <=> r = 4
Khoang cách từ I(−2; 3; 4) đên (Oxz) là h = |y1 | = 3. Suy ra R = 5
Thể tích khối cầu (S) là π.
Bài tâp số 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm
I(−1; 2; 3) cắt mặt phẳng (β) : 2x − y + 2z − 8 = 0 theo một hình tròn giao
tuyên có chu vi băng băng 8π. Diện tích mặt cầu (S) băng A 80π. B 50π. C 100π. D 25π. Lời giải chi tiêt:
Đương tròn giao tuyên có chu vi băng 8π nên bán kính của nó là r = 4.
Khoang cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyên là d = d (I, (β)) = 2 Theo công thưc = 20
Diện tích của mặc cầu (S) là S = 80π.
Bài tâp số 9: Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng (P ) : x − y + 2z + 1
= 0, (Q) : 2x + y + z − 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng
thơi (S) cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyên làm một đương tròn có bán kính
băng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyên là một đương tròn có bán
kính băng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu A. B. C. D. Đáp án: chọn D.
Bài tâp số 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Mặt phẳng (α) đi
qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác
ABC. Bán kính mặt cầu tâm O và tiêp xúc với mặt phẳng (α). A. R = 1. B. R = 5. C. R = 3. D. R = 7
Phân tích hướng dẫn giải: Chon C. R = 3.
DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định tâm và bán kính của mặt cầu tiêp
xúc với mặt phẳng (α) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho
H là trực tâm tam giác ABC. HƯỚNG GIẢI:
– Bước 1: Ta chưng minh OH vuông góc (ABC).
– Bước 2: Khi đó mặt cầu tâm O tiêp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH.
Từ đó, ta có thể giai bài toán cụ thể như sau:
Ta có H là trực tâm tam giác ABC ⇒ OH vuông góc (ABC). Thât vây: OC vuôn góc OA
OC vuông góc OB ⇒ OC vuông góc AB (1).
Mà CH vuông góc AB (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra AB vuông góc (OHC) ⇒ AB vuông góc OH (∗ ).
Tương tự BC vuông góc (OAH) ⇒ BC vuông góc OH (∗ ∗ ).
Từ (∗ ) và (∗ ∗ ) suy ra OH vuông góc (ABC).
Khi đó mặt cầu tâm O tiêp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH = 3
Bài tâp số 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) :
tâm I và mặt phẳng (P ) : 2x + 2y −
z + 24 = 0. Gọi H là hình chiêu vuông góc của I trên (P ). Điểm M thuộc (S)
sao cho đoạn M H có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M . A.M (−1; 0; 4). B. M (0; 1; 2). C. M (3; 4; 2). D. M (4; 1; 2)
Hướng dẫn giải chi tiêt: Chon C
Bước 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).
– Bước 2: Nhân xét: Do d (I; (P )) = 9 > R nên mặt phẳng (P ) không cắt mặt
cầu (S). Do H là hình chiêu của I lên (P ) và M H lớn nhất nên M là giao điểm
của đương thẳng IH với mặt cầu (S). – Bước 3: Phương trình đương thẳng IH là
– Bước 4: Giai hệ gồm phương trình đương thẳng IH và mặt cầu (S) tìm tọa độ điểm M .
Từ đó, ta có thể giai bài toán cụ thể như sau:
Ta có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3. Do d (I; (P )) = 9 > R nên mặt phẳng
(P ) không cắt mặt cầu (S). Do H là hình chiêu của I lên (P ) và M H lớn nhất
nên M là giao điểm của đương thẳng IH với mặt cầu (S). Ta có: = (2; 2; −1). Phương trình đương thẳng IH là
Giao điểm của IH với (S):
= 9 ⇔ t = ±1 ⇒ M1(3; 4; 2) và M2(−1; 0; 4).
Khi đó M1H = d (M1; (P )) = 12; M2H = d (M2; (P )) = 6.
Vây điểm cần tìm là M1(3; 4; 2)
Bài tâp sô 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0;
2), C(0; −3; 0). Bán kính mặt cầu ngoại tiêp tư diện OABC là A. B. C. D.
Đáp án C. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2),
C(0; −3; 0). Bán kính mặt cầu ngoại tiêp tư diện OABC là .
Document Outline

• Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu đơn giản, dễ hiểu
  • 1. Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu
  • 2. Bài tập vận dụng liên quan