Cách tính nhanh nguyên hàm - tích phân bằng máy tính Casio

Cách tính nhanh nguyên hàm - tích phân bằng máy tính Casio
1. Các bước sử dụng máy tính Casio để giải nguyên hàm, tích phân
Nguyên hàm là một khái niệm trong phép tính vi phân, cụ thể là phép tính
ngược của vi phân. Nguyên hàm của một hàm số là một hàm số khác mà đạo
hàm của nó bằng hàm số ban đầu. Ví dụ: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x
là F(x) = x² + C, với C là một hằng số tùy ý.
Tích phân là một khái niệm trong phép tính tích phân, cụ thể là phép tính để
tìm diện tích dưới đồ thị của một hàm số trong một khoảng xác định. Tích
phân của một hàm số từ a đến b là diện tích của vùng trong không gian
phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm số, trục hoành, và các đường thẳng x
= a và x = b2. Ví dụ: Tích phân của hàm số f(x) = x² từ 0 đến 1 là ∫0,1dx =
(x³/3)|[0,1] = (1/3) - (0/3) = 1/32.
Một trong những chức năng hữu ích của máy tính Casio là có thể tính nguyên
hàm và tích phân của các hàm số một cách nhanh chóng và chính xác. Để sử
dụng chức năng này, bạn cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Chỉnh máy tính ở chế độ MathIO và đơn vị radian.
Bước 2: Nhấn phím OPTN, chọn tích phân (dấu ∫) hoặc nguyên hàm (dấu ∫dx).
Bước 3: Nhập hàm số cần tính, giới hạn dưới và trên (nếu có), biến số
(thường là x) và nhấn phím EXE.
Bước 4: Đọc kết quả trên màn hình máy tính.
Ví dụ: Tính nguyên hàm và tích phân của hàm số f(x) = x² + 3x - 5 bằng máy tính Casio:
Nguyên hàm: Nhấn OPTN, chọn ∫dx, nhập x² + 3x - 5, nhấn EXE. Kết quả là
F(x) = (x³/3) + (3x²/2) - 5x + C12. Tích phân: Nhấn OPTN, chọn ∫, nhập x² + 3x
- 5, nhập giới hạn dưới là -1, giới hạn trên là 2, biến số là x, nhấn EXE. Kết quả là ∫−1,2dx = 0.5
2. Một số bài tập tính nhanh nguyên hàm - tích phân bằng máy tính Casio
Chỉnh máy: Sai số cực nhỏ 9 chữ số thập phân - Bấm Shift - mod - 9
Thông thường đơn vị rad - Bấm Shift - mod - 4
Bấm máy tính như sau: d/dx (DA)|= x-X -DB Tích phân hữu tỷ
Dạng ∫ P(x)/Q(x) trong đó bậc của p(x) >= Q (x). Ta thực hiện phép chia đa
thức. Áp dụng phương pháp CALC 100
Ta giả sử Q(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3) (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự):
)(x) / Q(x) = A /(x- x1) + B / (x - x2) + C/ (x - x3) + R(x) là biểu thức dư của phép chia
Tím A = d/dx (P(x) / (x - x2)(x - x3) | x = x1
B = d/dx P(x) / (x - x1)( x- x3) | x = x2
C = d/dx P(x) / (x - x1)(x - x2) | x = x3
Tìm R(x) = d/dx (P(x)/(x - x1)(x - x2)(x - x3) - A/(x - x1) - B/(x - x2) - C/(x - x3))
| x = 100 sử dụng cachs tách 100
Dạng f(x) = (ax + b)/(x - x1)(x - x2) cần tách đưa về dạng A/(x - x1) + B/(x - x2)
Cách 1. Bấm: (aX + b) /( d/dx (X - x1)(X - x2))|x = X CALC X = x1 -> A CALC X = x2 -> B
Cách 2. Bấm: (aX + b) /(X - x1)(X - x2) x (X - x1)
CALC X = x1 + 0,0000001 -> A
CALC X = x2 + 0,0000001 -> B
Tách phân thức (ax + b)/(cx + d) = a/c + K/(cx + d)
Nhập máy tính: (aX + b / cX + d - a/c)(cX + d) CALC X = 10
Khi đó: ∫ ax + b / cx + d dx = ∫ ( a/c + K/ cx + d)dx = ax/c + Kc Ln |cx + d|
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)
Cú pháp: f(A) - d/dx(Fi(x))|x = A
Trong đó: f(A): giá trị của f(x) tại x = A (A là hằng số bất kỳ thuộc tập xác định
và A lấy giá trị bé 0,1;0,2;0,3. .1,;1,1
F(x): các kết quả nguyên hàm Ví dụ:
Bước 1: Nhập 5(A² + A) /(căn 2A + 1) - d/dx(x² + x + 1) căn(2x+1) | x = A (RCL - A; Shift )
Bước 2: Gán x = A = 1 hoặc 0,1 (bấm CALC -> A) cho kết quả khác 0 ta loại
ngay đáp án đó => Loại A
Thay F1(x) bởi đáp án B và gán A như trên ta nhận kết quả khác 0 => Loại B
Thay F1(x) bởi đáp án C và gán A như trên ta nhận kết quả bằng 0; chắc ăn
kiểm tra thêm vài giá trị của A như 0; 0,2; 0,5, 1
=> Chọn C (Không nên gắn x = A giá trị quá lớn máy sẽ lag)
Bài toán 2: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), biết F(x0) = M
Cú pháp: F1(A) - M - ∫(x0->A)f(x) dx
Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (x3 + 3x2 + 3x -1) / (x2 + 2x + 1), biết F(1) = 1/3
A. F(x) = x2/2 + x + 2/x+1 - 6/13 B. F(x) = x2/2 + x + 2/(x+1)
C. F(x) = x2/2 + x + 2/x+1 + 13/6
D. F(x) = x2/2 + x + 2/x+1 - 13/6
A2/2 + A + 2/A+1 - 6/13 - ∫(1-> A) (x3 + 3x2 + 3x -1)/(x2 + 2x + 1) gán A = 0,1;
1 đều nhận kết quả khác 0 => loại đáp án A
A2/2 + A + 2/(A+1) - 13/6 - ∫(1-> A) (x3 + 3x2 + 3x - 1)/(x2 + 2x + 1) gán A =
0,1; 1 nhận kết quả 0, kiểm tra thêm => chọn D
Bài toán 3: Tính tích phân ∫(a->b) f(x)dx (Trong các đáp án đều là số vô tỷ,
dạng căn, số e, số pi các bạn nên bấm máy ghi nhận lại các kết quả trên) Cú pháp: Ví dụ: bằng A. (e2 + 1)/4 B. (2e3 + 1)/9 C. (3e3 + 2)/8 D. (2e2 + 3)/3
(e2 + 1)/4 xấp xỉ 2,097264025
(2e3 + 1)/9 xấp xỉ 4,574563716
(3e3 + 2)/8 xấp xỉ 7,782076346
(2e3 + 3)/3 xấp xỉ 5,926037399
Bài toán 4: Diện tích hình phẳng - Thể tích khối tròn xoay Cú pháp:
Ví dụ: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 - 2x , y = x là A. 9/4 B. 9/2 C. 13/4 D. 7/4
Phương trình hoành độ giao điểm f1(x) - f2(x) = 0 <=> x2 - 3x = 0 <=> x = 0; x = 3
S = ∫(0->1)|x (e^x - e)|dx = e/2 - 1 = 0,35140914
Ví dụ: Hình (H) giới hạn bởi các đường thẳng y = x2 - 2x; y = 0; x = -1; x = 2.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox A. 18 pi/5 B. 17 pi/5 C. 5 pi/18 D. 16 pi/5
V = pi x ∫(-1->2)(x2 - 2x)^2 dx = 18 pi/5
Bài toán 5: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) = (x + 1) e^x và ∫ f(x)dx = (ax
+ b). e^x + C với a, b thuộc R. Tính a + b A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Ta có F(x) = (ax + b)e^x + C là nguyên hàm của f(x) và f'(x) =(x + 1).e^x Đặt F' (x) = f'(x)
∫ f'(x)dx = ∫(x + 1)e^xdx = x.e^x + C = f(x)
∫f(x)dx = ∫x.e^x dx = (x -1).e^x + C
Vậy a = 1, b = -1 => a + b = 0
Bài toán 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x, thỏa mãn F(x)
= 1/Ln2. Tính giá trị của biểu thức T = F(0) + F(1) + F(2) + .... + F(2017) A. T = 1009. (2^2017 + 1)/In2 B. T = 2 ^2017.2018 C. T = (2^2017 - 1) / In 2 D.T = (2^2018 -1)/In 2
Ta có: F(x) = ∫2^xdx = 2^x / In2
T = F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(2017) = 2^0/In2 + 2/In2 + 2^1/In2 +.... +
2^2017/In2 = 1/In2. 91 - 2^2018)/-1 = (2^2018 -1)/In2
Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được F(x) = 2^x/In2 Bấm SHIFT Log
Bấm gán vào A, lấy A trừ đi đáp án đã rút gọn. Chọn D
Quý bạn đọc có thể tham khảo bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn: Vi phân là gì?
Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm
Document Outline

• Cách tính nhanh nguyên hàm - tích phân bằng máy tí
  • 1. Các bước sử dụng máy tính Casio để giải nguyên
  • 2. Một số bài tập tính nhanh nguyên hàm - tích phâ