Cách tính nhanh phân số lớp 4, 5: Các dạng bài tập phổ biến
1. Dạng 1: Nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số
sau gấp phân số liền trước 2 lần.
Tính nhanh giá trị biểu thức: A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 Cách 1:
Bước 1: Đặt A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 Bước 2: Ta thấy: 1/2 = 1 - 1/2 1/4 = 1/2 - 1/4 1/8 = 1/4 - 1/8
Bước 3: Vậy A = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/4) + (1/4 - 1/8) + … + (1/32 - 1/64)
A = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/8 + … + 1/32 - 1/64 A = 1 - 1/64 A = 64/64 - 1/64 A = 63/64 Đáp số: 63/64 Cách 2:
Bước 1: Đặt A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 Bước 2: Ta thấy: 1/2 = 1 - 1/2 1/2 + 1/4 = 3/4 = 1 - 1/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 = 1 - 1/8
Bước 3: Vậy A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 1 - 1/64 = 64/64 - 1/64 = 63/64
2. Dạng 2: Nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân
số liền sau gấp phân số liền trước n lần (n > 1).
Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức: A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 Cách giải:
Bước 1: Tính A x n ( n = 2).
Ta có: A x 2 = 2 x (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) = 2/2 + 2/4 + 2/8 + 2/16 + 2/32 + 2/64 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32
Bước 2: Tính A x n – A = A x (n - 1)
A x 2 – A = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32) - (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64)
A x ( 2 - 1) – A = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 A = 1 - 1/64 A = 64/64 - 1/64 A = 63/64
Bài 2. Tính nhanh giá trị biểu thức: B = 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/162 + 5/486. Bước 1. Tính B x n (n = 3)
B x 3 = 3 x (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 + 5/486)
B = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 Bước 2. Tính B x n - B
B x 3 - B = (15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162) - (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/162 + 5/486)
B x (3 - 1) = B x 2 = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 - 5/2 - 5/6 - 5/18 - 5/54 - 5/162 - 5/486 B x 2 = 15/2 - 5/486
B x 2 = (3645 - 5)/ 486 = 3640/486 B = 3640/486 : 2 B = 1820/486 B = 910/243
3. Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số
Phân số ở trường hợp này có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số
thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số liền sau.
Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
A = 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + 1/ ( 4 x 5) + 1/ ( 5 x 6)
A = (3 - 2)/ (2 x 3) + (4 - 3)/ (3 x 4) + (5 - 4)/ (4 x 50 + (6 - 5)/ (5 x 6)
A = 3/ (2 x 3) - 2/ (2 x 3) + 4/ (3 x 4) - 3/ (3 x 4) + 5/ (4 x 5) - 4/ (4 x 5) + 6/ (5 x 6) - 5/ (5 x 6)
A = 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 A = 1/2 - 1/6 A = 3/6 - 1/6 A = 2/6 A = 1/3
Bài 2. Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
B = 3 / (2 x 5) + 3 / (5 x 8) + 3 / (8 x 11) + 3 / (11 x 14)
B = (5 - 2) / (2 x 5) + (8 - 5) / (5 x 8) + (11 - 8) / (8 x 11) + (14 - 11) / (11 x 14)
B = 5 / (2 x 5) - 2 / (2 x 5) + 8 / (5 x 8) - 5 / (5 x 8) + 11 / (8 x 11) - 8 / (8 x 11) + 14 / (11 x 14) - 11 / (11 x 14)
B = 1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/8 + 1/8 - 1/11 + 1/11 - 1/14 B = 1/2 - 1/14 B = 7/14 - 1/14 B = 6/14 B = 3/7 ổ
4. Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích
Trong trường hợp này mẫu số là tích của 3 thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số
liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.
Tính nhanh giá trị phân số:
A = 4 / (1 x 3 x 5) + 4 / (3 x 4 x 7) + 4 / (5 x 7 x 9) + 4 / (7 x 9 x 11) + 4 / (9 x 11 x 13)
A = (5 - 1) / (1 x 3 x 5) + (7 - 3) / (3 x 5 x 7) + (9 - 5) / (5 x 7 x 9) + (11 - 7) / (7x 9x 11) + (13 - 9) / (9 x 11 x 13)
A = 5 / (1 x 3 x 5) - 1 / (1 x 3 x 5) + 7 / (3 x 5 x 7) - 3 / (3 x 5 x 7) + 9 / (5 x 7 x 9) - 5 / (5 x 7 x 9) + 11 / (7 x 9 x
11) - 7 / (7 x 9 x 11) + 13 / (9 x 11 x 13) - 9 / (9 x 11 x 13)
A = 1 / (1 x 3) - 1 / (3 x 5) - 1 / (3 x 7) + 1 / (5 x 7) - 1 / (7 x 9) + 1 / (7 x 9) - 1 / (9 x 11) + 1 / (9 x 11) + 1 / (11 x 13)
A = 1 / (1 x 3) - 1 / (11 x 13)
A = (11 x 13 - 3) / (3 x 11 x 13) A = (143 - 3) / 429 A = 140/429
5. Dạng 5: Tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số
này có quan hệ với tỉ số với mẫu số của phân số kia.
Bài 1. Tính nhanh giá trị phân số sau:
A = 1991/1990 x 1992/1991 x 1993/1992 x 1994/1993 x 995/997
A = (1991/1990 x 1992/1991) x (1993/1992 x 199/1993) x 995/997
A = (1992/1990 x 1994/1992) x 995/997 A = 1994 / 1990 x 995 / 997 A = 997 / 995 x 995 / 997 A = 1
Bài 2. Tính nhanh giá trị phân số sau:
B = 2000/2001 x 2002/2003 x 2001/2002 x 2003/2004 x 2006/2000
B = (2000/2001 x 2001/2002) x (2002/2003 x 2003/2004) x 2006/2000
B = 2000/2002 x 2002/2004 x 2006/2000 B = 2000/2004 x 2006/2000 B = 2006 / 2004 B = 1003 / 1002
Bài 3. Tính nhanh giá trị phân số sau:
C = 328/435 x 468/432 x 435/164 x 432/984 x 164/468
C = (328/435 x 435/164) x (468/432 x 432/984) x 164/468
C = 328/164 x 468/984 x 164/468
C = (328/164 x 164/468) x 468/984 C = 328/468 x 468/984 C = 328/984 C = 1/3
6. Dạng 6: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử
số hoặc ở mẫu số
Bài 1. Tính nhanh phân số sau:
A = 37/53 x 23/48 x 535353/373737 x 242424/232323
A = 37/53 x 23/48 x (53 x 10101) / (37 x 10101) x (24 x 10101) / (23 x 10101)
A = 37/53 x 23/48 x 53/37 x 24/23
A = (37/53 x 53/37) x (23/48 x 24/23) A = 1 x 24/48 A = 24/48 A = 1/2
Bài 2. Tính nhanh phân số sau:
B = (2003 x 1999 - 2003 x 999) / (2004 x 999 + 1004)
B = [2003 x (1999 - 999)] / [(2003 + 1) x 999 + 1004]
B = (2003 x 1000) / [2003 x 999 + (999 + 10004)]
B = (2003 x 1000) / (2003 x 999 + 2003)
B = (2003 x 1000) / (2003 x 1000)
B = 1 (vì tử số bằng mẫu số)