Chất lưu chuyển động, phương trình bernoulli | Bài tập lớn môn Vật lý cơ học

lOMoARcPSD|47231818
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN VẬT LÝ CƠ HỌC
CHẤT LƯU CHUYỂN ĐỘNG, PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Sinh viên
: NGUYỄN NAM TRƯỜNG Lớp
: Vật lý cơ học-2-1-22(N01) Mã SV : 22010798
HÀ NỘI, THÁNG 01/2023.
I.CHẤT LƯU CHUYỂN ĐỘNG lOMoARcPSD|47231818
1. Chất lưu là gì?
Chất lưu là những chất có thể “chảy” được, bao gồm chất lỏng và chất khí.
Chất lưu không có hình dạng nhất định, khi chuyển động chất lưu phân thành từng
lớp, giữa các lớp có lực tương tác, gọi là lực nội ma sát hay lực nhớt. Chính lực này
làm cho vận tốc của các lớp không bằng nhau.
Để đơn giản khi nghiên cứu về chất lưu, ta giả sử nó hoàn toàn không nén được
(có thể tích xác định) và không có lực nhớt (không có nội ma sát). Chất lưu như thể
được gọi là chất lưu lý tưởng; trái lại là chất lưu thực. Nghiên cứu chất lưu thực sự
khó khăn vì thế ta nghiên cứu về chất lưu lý tưởng rồi suy rộng ra cho chất lưu thực.
Trong một phạm vi gần đúng cho phép, các quy luật rút ra đối với chất lưu lý tưởng
cũng áp dụng cho chất lưu thực.
2.Động lực học chất lưu
Trong vật lý học, động lực học chất lưu là một nhánh của cơ học chất lưu, giải quyết
các vấn đề của dòng chảy chất lưu – khoa học tự nhiên về chuyển động chất lưu
(chất lỏng và các chất khí). Động lực học chất lưu cũng có vài nhánh nhỏ bao gồm:
Khí động lực học (nghiên cứu chuyển đông của không khí và các chất khí khác) và
Thủy động lực học (nghiên cứu chuyển động của chất lỏng). Động lực học chất lưu
có rất nhiều ứng dụng như tính toán lực và mô men trên khí cụ bay, xác định lưu
lượng khối lượng của xăng dầu trong các đường ống, dự đoán các mô hình thời tiết,
giải thích tinh vân giữa các vì sao và mô hình hóa các vụ nổ vũ khí phân hạch. Một
số nguyên tắc của nó thậm chí còn được sử dụng trong kỹ thuật giao thông trong đó
chuyển động giao thông được coi như là chuyển động của một chất lỏng liên tục.
Động lực học chất lưu cung cấp một cấu trúc có tính hệ thống – làm nền tảng cho
các môn học thực hành nói trên - bao hàm các định luật thực nghiệm và bán thực
nghiệm xuất phát từ việc đo lưu lượng và được sử dụng để giải quyết các vấn đề
thực tế. Các giải pháp cho một vấn đề động lực học chất lưu thường liên quan đến
việc tính toán các đặc tính khác nhau của chất lưu, chẳng hạn như vận tốc dòng chảy,
áp suất, khối lượng riêng và nhiệt độ, như là các hàm của không gian và thời gian.
Trước thế kỷ XX, thủy động lực học đồng nghĩa với động lực học chất lưu. Điều này
vẫn được phản ánh trong tên gọi của một số chủ đề động lực học chất lưu, như là Từ
thủy động lực học (hay Thủy động lực học của chất lỏng dẫn điện, English:
Magnetohydrodynamics) và ổn định thủy động lực học, cả hai đều có thể được áp
dụng cho các loại chất khí. lOMoARcPSD|47231818
Phương trình động lực học chất lưu
Các tiên đề cơ bản của động lực học chất lưu là các định luật bảo toàn, cụ thể là,
bảo toàn khối lượng, bảo toàn động lượng tuyến tính (còn được gọi là Định luật thứ
hai của Newton về chuyển động), và bảo toàn năng lượng (còn được gọi là Định
luật thứ nhất của nhiệt động lực học). Những định luật này được dựa trên cơ học cổ
điển và được sửa đổi trong cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng. Chúng được
biểu diễn bằng Định lý Vận chuyển Reynolds.
Ngoài ra, các chất lưu được cho là tuân theo các giả định liên tục. Các chất lưu bao
gồm các phân tử va chạm với nhau và các vật thể rắn. Tuy nhiên, giả định liên tục
coi các chất lưu là liên tục, chứ không phải rời rạc. Do đó, các thuộc tính như khối
lượng riêng, áp suất, nhiệt độ, và vận tốc dòng chảy được giả định cũng được xác
định tại các điểm cực nhỏ, và được giả định thay đổi liên tục từ điểm này đến điểm
khác. Việc này đã bỏ qua thực tế là các chất lưu được tạo thành từ các phân tử rời rạc.
Đối với các chất lưu có mật độ đủ dày để được coi như là một thể liên tục, không
chứa các chất bị ion hóa, và có vận tốc dòng chảy nhỏ so với tốc độ của ánh sáng,
các phương trình động lực cho chất lưu Newton là các phương trình Navier -
Stokes, một bộ các phương trình vi phân phi tuyến mô tả dòng chảy của một chất
lưu có ứng suất phụ thuộc tuyến tính vào gradient vận tốc dòng chảy và áp suất.
Nếu không được giản hóa thì các phương trình này khó có thể tìm được lời giải
chính xác, do đó chúng chủ yếu được sử dụng trong Điện toán Động lực học chất
lưu (Computational Fluid Dynamics). Tuy nhiên, các phương trình này có thể được
đơn giản hóa theo một số cách khác nhau, tất cả đều để phục vụ mục đích đạt được
lời giải một cách dễ dàng hơn. Một số phương pháp giản hóa cho đáp án gần đúng
của các bài toán động lực học chất lưu rất gần với đáp án chính xác. Ngoài các
phương trình bảo toàn khối lượng, động lực, và năng lượng, cần thiết phải có một
phương trình trạng thái nhiệt động lực trong đó áp suất là một hàm của các biến
nhiệt động lực khác của chất lưu để có thể giải được bài toán. Phương trình trạng
thái của khí khí lý tưởng là một ví dụ:
trong đó p là áp suất, ρ là khối lượng riêng, Ru là hằng số khí lý tưởng, M là phân
tử gam và T là nhiệt độ.
Các định luật bảo toàn
Ba định luật bảo toàn được sử dụng để giải các bài toán động lực học chất lưu, và
chúng có thể được viết dưới dạng tích phân hoặc vi phân. Các công thức toán học
của các định luật bảo toàn này có thể được giải thích bằng cách xem xét khái niệm
về khối thể tích kiểm tra (control volume). Một khối thể tích kiểm tra là một thể tích lOMoARcPSD|47231818
cụ thể nào đó trong không gian mà thông qua nó không khí có thể lưu thông vào hay
ra. Công thức tích phân của các định luật bảo toàn xem xét sự thay đổi khối lượng,
động lực, hoặc năng lượng trong khối thể tích kiểm tra. Các công thức vi phân của
các định luật bảo toàn áp dụng định lý Stokes để tìm ra một biểu thức, biểu thức đó
có thể được hiểu như là dạng vi phân của định luật áp dụng cho một thể tích vô cùng
nhỏ tại một điểm trong dòng chảy.
Tính liên tục của khối lượng (sự bảo toàn khối lượng): Tốc độ thay đổi của khối
lượng chất lưu bên trong một thể tích kiểm tra phải bằng với tổng lượng thay đổi của
dòng chất lưu chảy vào bên trong khối thể tích kiểm tra. Về mặt vật chất, điều này
có nghĩa là khối lượng không được tạo ra và cũng không mất đi bên trong khối thể
tích kiểm tra, và có thể được thể hiện dưới dạng tích phân của phương trình tính liên tục (continuity equation):
Trên đây, ρ là khối lượng riêng của chất lưu, u là vector vận tốc dòng chảy, và t là
thời gian. Phía trái của biểu thức trên có chứa tích phân ba lớp trên khối thể tích
kiểm tra, trong khi đó phía phải chứa tích phân mặt trên bề mặt khối thể tích kiểm
tra. Dạng vi phân của phương trình tính liên tục (continuity equation), theo định lý
phân kỳ (Divergence_theorem), là:
Bảo toàn động lượng: Phương trình này áp dụng định luật thứ hai của Newton về
chuyển động cho khối thể tích kiểm tra: bất kỳ sự thay đổi động lượng nào của không
khí bên trong một khối thể tích kiểm tra là do dòng chảy ròng của không khí đi vào
khối thể tích kiểm tra và tác động của các lực bên ngoài vào không khí bên trong
khối. Trong công thức tích phân của phương trình này, các lực khối (body forces) ở
đây được đại diện bởi fbody, lực khối trên mỗi đơn vị khối lượng. Các lực mặt (surface
forces), chẳng hạn như lực nhớt, được đại diện bởi Fsurf, lực ròng (net force) do các
ứng suất trên bề mặt khối thể tích kiểm tra.
Dạng vi phân của phương trình bảo toàn động lượng được trình bày dưới đây. Ở
đây, cả lực khối và lực mặt được tính vào tổng lực, F. Ví dụ, F có thể là tổng lực
của cả lực ma sát và trọng lực tác dụng lên một dòng chảy bên trong (đường ống,...).
Trong khí động học, không khí được giả định là một chất lỏng Newton, tức là thừa
nhận một mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất cắt (do các lực ma sát trong) và tốc
độ biến dạng của chất lưu. Phương trình trên là phương trình vector: trong một dòng
chảy ba chiều, nó có thể được thể hiện bằng ba phương trình vô hướng. Các phương lOMoARcPSD|47231818
trình bảo toàn động lượng cho trường hợp dòng chảy nhớt nén được gọi là các
phương trình Navier – Stokes.
Bảo toàn năng lượng: Mặc dù năng lượng có thể được chuyển đổi từ dạng này sang
dạng khác, tổng năng lượng trong một hệ khép kín vẫn không thay đổi.
Trong công thức trên, h là enthalpy, k là độ dẫn nhiệt của chất lưu, T là nhiệt độ, và
ɸ hàm tiêu nhớt. Hàm tiêu nhớt chi phối tốc độ năng lượng cơ học của dòng chảy
chuyển thành nhiệt. Định luật thứ hai của nhiệt động lực yêu cầu ɸ phải luôn luôn
dương, tức là: độ nhớt không thể tạo ra năng lượng bên trong khối thể tích kiểm tra.
Biểu thức phía bên trái là một đạo hàm hữu hình (Material derivative).
Dòng chảy nén được và dòng chảy không nén được
Tất cả các chất lỏng đều được nén ở một mức độ nào đó, do những thay đổi của áp
suất hay nhiệt độ gây ra sự thay đổi mật độ. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, sự
thay đổi của áp suất và nhiệt độ là đủ nhỏ do đó những thay đổi về mật độ là không
đáng kể. Trong những trường hợp như vậy, dòng chảy có thể được coi như là dòng
chảy không nén được. Trong trường hợp ngược lại thì các phương trình tổng quát
của dòng chảy nén được sẽ được sử dụng.
Về mặt toán học, dòng chảy là không nén được nếu mật độ ρ của một khối nhỏ chất
lỏng không thay đổi khi nó di chuyển trong trường dòng chảy, tức là, ,
trong đó D/Dt là đạo hàm tổng (substantial derivative), tức là tổng của các đạo hàm
địa phương và đạo hàm đối lưu (local and convective derivatives). Sự tổng hợp này
giúp làm đơn giản hóa các phương trình, đặc biệt là trong trường hợp chất lưu có mật độ đồng nhất.
Đối với dòng chảy của các khí, để xác định được rằng nên sử dụng động lực học chất
lưu nén được hay động lực học chất lưu không nén được, thì cần đánh giá dựa trên
số Mach của dòng chảy. Tính nén được có thể được bỏ qua nếu số Mach thấp hơn
0,3. Đối với chất lỏng, giả định không nén được có hợp lý hay không phụ thuộc vào
tính chất của chất lỏng (đặc biệt là áp suất tới hạn và nhiệt độ của chất lỏng) và các
điều kiện dòng chảy (áp suất của dòng chảy thực tế có gần với áp suất tới hạn hay
không). Các bài toán về âm thanh luôn yêu cầu phải tính đến tính nén được, bởi vì
các sóng âm là sóng nén được nếu có sự thay đổi về áp suất và mật độ trong môi
trường mà chúng truyền qua. lOMoARcPSD|47231818
Chất lưu không nhớt, chất lưu Newton và phi Newton
Tất cả các chất lưu đều có tính nhớt, có nghĩa là chúng
có khả năng chống biến dạng: các khối chất lưu cạnh
nhau di chuyển với các vận tốc khác nhau tác dụng lực
nhớt vào nhau. Gradient vận tốc được xem như là tốc độ
biến dạng; nó có đơn vị là T−1. Isaac Newton cho rằng
đối với nhiều chất lưu quen thuộc như nước và không
khí, ứng suất gây ra bởi những lực nhớt này có quan hệ
tuyến tính với tốc độ biến dạng. Các chất lưu như vậy Dòng chảy tiềm năng xung
được gọi là chất lưu Newton. Hệ số tỉ lệ được gọi là độ quanh một vật thể dạng cánh
nhớt của chất lưu; đối với chất lưu Newton, độ nhớt là một máy bay
thuộc tính không phụ thuộc vào tốc độ biến dạng.
Chất lưu phi Newton có mối quan hệ ứng suất biến dạng phi tuyến tính phức tạp hơn.
Các ngành nghiên cứu nhỏ của lưu biến học (rheology) nghiên cứu mối quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng của các chất lưu này, trong đó bao gồm nhũ tương (emulsion)
và chất bùn (slurries), vật liệu nhớt đàn hồi như máu và một số hợp chất cao phân tử
(polymers), và các chất lỏng dính như nhựa mủ (cao su), mật ong và dầu nhờn.
Động lực của các khối chất lưu được mô tả dựa trên định luật thứ hai của Newton.
Một khối chất lưu đang gia tốc sẽ chịu tác động của các hiệu ứng quán tính.
Số Reynolds là một đại lượng không thứ nguyên đặc trưng cho độ lớn của lực quán
tính so với độ lớn của lực nhớt. Số Reynolds thấp (Re << 1) biểu thị rằng lực nhớt
là rất lớn so với lực quán tính. Trong trường hợp này, lực quán tính đôi khi bị bỏ qua;
chế độ dòng chảy như vậy được gọi là dòng chảy Stokes hoặc chảy từ từ (creeping).
Ngược lại, số Reynolds cao (Re >> 1) thì tức là lực quán tính có ảnh hưởng lớn hơn
trên trường vận tốc so với lực nhớt (ma sát). Các dòng chảy có số Reynolds cao,
thường được mô hình hóa như một dòng chảy không nhớt, đây là một ước lượng gần
đúng, bởi vì độ nhớt là hoàn toàn bị lãng quên. Các phương trình Navier - Stokes do
đó được đơn giản hóa thành các phương trình Euler. Tích phân các phương trình này
dọc một đường dòng trong một dòng chảy không nhớt sẽ có được phương trình
Bernoulli. Ngoài việc không nhớt, nếu dòng chảy còn là dòng chảy không xoáy ở
khắp mọi nơi, thì phương trình Bernoulli có thể được sử dụng xuyên suốt trường
dòng chảy. Những dòng chảy như vậy được gọi là các dòng chảy tiềm năng (potential
flows), bởi vì trường vận tốc có thể được biểu thị như là gradient của một giá trị tiềm năng nào đó (potential). lOMoARcPSD|47231818
Ý tưởng này phù hợp nếu số Reynolds là rất lớn. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán
chẳng hạn như các bài toán liên quan đến các biên cứng thì độ nhớt cần phải được
kể đến. Gần các biên cứng, độ nhớt là không thể bị bỏ qua, bởi vì điều kiện không
trượt (no-slip condition) tạo ra một lớp mỏng có tốc độ biến dạng lớn, gọi là lớp biên,
trong lớp biên này lực nhớt thống trị và do đó tạo ra xoáy (vorticity). Vì vậy, để tính
toán lực ròng tác dụng lên các vật thể (ví dụ như là cánh máy bay), các phương trình
dòng chảy nhớt phải được sử dụng: lý thuyết dòng chảy không nhớt không dự đoán
được lực kéo (nghịch lý d' Alembert).
Một phương pháp thường được sử dụng, đặc biệt là trong động lực học chất lưu điện
toán (CFD), là sử dụng hai mô hình dòng chảy: các phương trình Euler cho vùng
dòng chảy xa vật thể, và các phương trình lớp biên cho vùng dòng chảy gần vật thể.
Hai lời giải này sau đó được kết hợp với nhau, bằng cách sử dụng Phương pháp mở
rộng tiệm cận phù hợp (Method of matched asymptotic expansions).
Dòng chảy ổn định và dòng chảy không ổn định
Khi tất cả các đạo hàm thời gian của một
trường dòng chảy biến mất, dòng chảy
được gọi là dòng chảy ổn định (steady).
Dòng chảy ở trạng thái ổn định có nghĩa
là các thuộc tính của chất lưu tại một
điểm trong hệ thống không thay đổi theo
thời gian. Ngược lại, dòng chảy được gọi
là không ổn định (còn được gọi là dòng
chảy tức thời (transient)). Việc một dòng
chảy cụ thể là ổn định hay không ổn định,
có thể phụ thuộc vào việc lựa
Mô hình thủy động lực học nghiên cứu
chọn hệ quy chiếu. Ví dụ, dòng chảy tầng trên mất ổn định ầu là ổn định trong hệ
một mặt c uy chiếu tĩnh so với khối cầu. Trong
q Rayleigh–Taylor instability
một hệ quy chiếu tĩnh so với dòng chảy thì
dòng chảy là không ổn định. Các dòng chảy rối là được định nghĩa là các dòng chảy
không ổn định. Một dòng chảy rối có thể, tuy nhiên, ổn định về mặt thống kê. Theo Pope:
Trường ngẫu nhiên U (x, t) là ổn định về mặt thống kê nếu tất cả thổng kê không
thay đổi khi thời gian thay đổi. lOMoARcPSD|47231818
Điều này đại khái rằng tất cả các thuộc tính thống kê không đổi theo thời gian. Thông
thường trường giá trị trung bình là đối tượng được quan tâm, và chúng cũng là hằng
số trong một dòng chảy ổn định về mặt thống kê.
Các dòng chảy ổn định thường dễ xử lý hơn các dòng chảy không ổn định tương
đương. Các phương trình trong một bài toán ổn định có ít hơn hơn một đơn vị (đơn
vị thời gian) so với các phương trình của cùng bài toán nếu trường dòng chảy là không ổn định.
Dòng chảy rối và dòng chảy tầng
Dòng chảy rối là dòng chảy được đặc trưng bởi sự tuần hoàn khép kín, các xoáy
nước, và sự ngẫu nhiên rõ ràng. Ngược lại, dòng chảy trong đó các đặc trưng rối
không xuất hiện được gọi là dòng chảy tầng. Cần lưu ý, tuy nhiên, sự hiện diện của
xoáy nước hoặc tuần hoàn khép kín không nhất thiết biểu thị dòng chảy rối - các
hiện tượng này cũng có thể xuất hiện trong dòng chảy tầng. Về mặt toán học, dòng
chảy rối thường được biểu diễn thông sự phân tách Reynolds, trong đó dòng chảy
được chia thành tổng của một thành phần trung bình và một thành phần dao động.
Dòng chảy rối có thể được mô tả thông qua việc sử dụng các phương trình Navier
Stokes. Mô phỏng số trực tiếp (DNS), dựa trên các phương trình Navier - Stokes, có
thể mô phỏng dòng chảy rối với số Reynolds vừa phải. Sự hạn chế phụ thuộc vào
sức mạnh của máy tính được sử dụng và hiệu quả của thuật toán giải pháp. Kết quả
DNS đã được chứng minh trùng khớp với dữ liệu thực nghiệm cho một số dòng chảy.
Hầu hết các dòng chảy trong thực tế có số Reynolds quá cao vì vậy việc mô phỏng
số trực tiếp DNS là một lựa chọn không khả thi, [8] thậm chí với sự tiến bộ của máy
điện toán trong vài thập kỷ tới. Mọi phương tiện bay đủ lớn để có thể mang theo một
con người (L> 3 m), di chuyển nhanh hơn 72 km/h (20 m/s) đều vượt quá xa giới
hạn của mô phỏng DNS (Re = 4.000.000). Cánh máy bay vận tải (chẳng hạn Airbus
A300 hoặc Boeing 747) có số Reynolds khoảng 40 triệu (dựa trên góc tấn). Việc tìm
lời giải cho các dòng chảy thực tế này cần đến các mô hình dòng chảy rối trong
tương lai gần. Các phương trình Navier-Stokes được trung bình bởi Reynolds
(RANS) kết hợp với việc mô hình hóa dòng rối tạo ra một mô hình tác động của
dòng chảy rối. Một mô hình như vậy sẽ cung cấp giá trị truyền động lượng bổ sung
được tạo ra bởi các ứng suất Reynolds, mặc dù sự rối cũng làm tăng truyền nhiệt và
khối lượng. Một phương pháp đầy hứa hẹn nữa đó là mô phỏng xoáy lớn (LES), và
mô phỏng xoáy tách rời (DES) - một sự kết hợp của mô hình rối RANS và mô phỏng xoáy lớn LES.
II.PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI lOMoARcPSD|47231818 1.Nguyên lý Bernoulli
Trong thủy động lực học, nguyên lý Bernoulli phát biểu rằng đối với một dòng chất
lưu không dẫn nhiệt không có tính nhớt, sự tăng vận tốc của chất lưu xảy ra tương
ứng đồng thời với sự giảm áp suất hoặc sự giảm thế năng của chất lưu. Nguyên lý
này đặt theo tên của Daniel Bernoulli, ông đã công bố nó trong quyển sách của mình
Hydrodynamica vào năm 1738.
Nguyên lý Bernoulli áp dụng được cho nhiều loại chất lưu, chúng thể hiện qua kết
quả khi viết dưới dạng phương trình Bernoulli. Thực tế, có các dạng phương trình
Bernoulli khác nhau cho những loại chất lưu khác nhau. Dạng đơn giản của nguyên
lý Bernoulli thỏa mãn cho trường hợp dòng chảy không nén được (ví dụ cho dòng
chất lỏng) và cho cả dòng chảy nén được (ví dụ đối với khí) chuyển động nhỏ hơn
tốc độ âm thanh (số Mach) (thường là nhỏ hơn 0,3). Các dạng phức tạp hơn ở một
số trường hợp có thể áp dụng cho trường hợp dòng chảy nén được chuyển động với
vận tốc lớn hơn các số Mach (xem cách suy luận ra phương trình Bernoulli).
Nguyên lý Bernoulli là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng. Nó phát biểu rằng,
trong một dòng chảy ổn định, tổng mọi dạng năng lượng trong chất lưu dọc theo
đường dòng là như nhau tại mọi điểm trên đường dòng đó. Điều này đòi hỏi rằng
tổng động năng, thế năng và nội năng phải là hằng số. Do đó một sự tăng vận tốc
của chất lưu – hàm ý sự tăng ở cả áp suất động lực và động năng – diễn ra đồng thời
với sự giảm (theo tổng của) áp suất tĩnh, thế năng và nội năng. Nếu chất lưu chảy ra
khỏi một nguồn, tổng mọi dạng năng lượng sẽ là như nhau trên mọi đường dòng bởi
vì trong nguồn năng lượng trên một đơn vị thể tích (tổng áp suất và thế năng hấp dẫn
ρ g h) là như nhau ở khắp nơi.
Nguyên lý Bernoulli cũng suy được trực tiếp từ định luật thứ hai của Newton. Nếu
một thể tích nhỏ của chất lưu chảy theo phương ngang từ vùng có áp suất cao đến
vùng có áp suất thấp, thì áp suất mặt sau của nó sẽ lớn hơn áp suất ở mặt trước của
nó. Điều này dẫn tới có tổng hợp lực trên đơn vị thể tích, làm gia tốc nó dọc theo đường dòng.
Các hạt chất lỏng chỉ chịu áp suất và trọng lượng của chúng. Nếu một chất lỏng hạt
chảy theo phương ngang và dọc theo tiết diện của đường dòng, nơi vận tốc tăng lên
chỉ có thể vì chất lỏng qua tiết diện đó di chuyển từ vùng có áp suất cao hơn sang
vùng có áp suất thấp hơn; và nếu vận tốc của nó giảm, chỉ có thể bởi nó di chuyển
từ vùng có áp suất thấp hơn sang vùng có áp suất lớn hơn. Hệ quả là, đối với chất
lỏng chảy theo phương ngang, vận tốc lớn nhất xuất hiện khi có áp suất nhỏ nhất, và
vận tốc nhỏ nhất xuất hiện khi có áp suất cao nhất. lOMoARcPSD|47231818
2.Phương trình dòng không nén được
Trong hầu hết các chất lỏng, và khí có vận tốc nhỏ hơn số Mach, mật độ của một
lượng chất lỏng có thể coi là không đổi, bất kể áp suất biến đổi trong chất lỏng. Do
đó, chất lưu có thể coi là không nén được và gọi là dòng không nén được. Bernoulli
thực hiện thí nghiệm của mình trên chất lỏng, vì vậy phương trình của ông ban đầu
chỉ đúng cho dòng không nén được. Dạng phương trình Bernoulli phổ biến, đúng tại
một điểm bất kỳ dọc theo đường dòng là: (A) với:
v vận tốc của dòng chất lỏng tại điểm trên đường dòng, g là gia tốc trọng
trường, z là cao độ của điểm so với một mặt phẳng tham chiếu, với giá trị
dương của z-hướng lên trên – ngược chiều với hướng của vectơ gia tốc trọng
trường, p là áp suất tại điểm đó, và
là mật độ tại mọi điểm trong chất lỏng.
Đối với trường lực bảo toàn, phương trình Bernoulli có thể tổng quát thành:
với Ψ là lực thế tại điểm đang xét trên đường dòng. Ví dụ đối với trường hấp dẫn của
Trái Đất Ψ = gz.
Hai giả sử sau phải được đáp ứng để có thể áp dụng được nguyên lý Bernoulli: •
Dòng chảy phải không nén được – ngay cả khi áp suất thay đổi, mật độ vẫn
phải không đổi dọc theo đường dòng; •
Ma sát gây bởi lực nhớt là nhỏ không đáng kể. Trong quãng đường dài sự
tiêu hao cơ năng sẽ xuất hiện dưới dạng nhiệt. Sự tiêu tán này có thể ước
lượng từ phương trình Darcy–Weisbach.
Bằng cách nhân với mật độ chất lỏng , phương trình (A) có thể viết lại thành: hay: với:
là áp lực động, là độ cao thủy lực hay cột nước tĩnh (tổng của cao độ z và cột
áp thủy tĩnh hay độ cao cột nước) và là áp lực tổng (tổng áp lực tĩnh p và áp lực động q).
Có thể chuẩn hóa hằng số trong phương trình Bernoulli. Cách tiếp cận chung là viết
nó theo cột nước toàn phần hay năng lượng tổng H: , lOMoARcPSD|47231818
Phương trình trên cho thấy có vận tốc dòng khi áp lực bằng 0, và thậm chí ở vận tốc
lớn hơn có thể có áp lực âm. Đa số khí và chất lỏng không có áp lực âm tuyệt đối
hay thậm chí áp lực 0, vì vậy rõ ràng phương trình Bernoulli còn đúng trước khi chất
lưu đạt tới áp lực 0. Trong chất lỏng – khi áp lực trở lên quá thấp – sẽ xuất hiện bọt
khí (cavitation). Phương trình trên sử dụng mối quan hệ tuyến tính giữa bình phương
vận tốc chảy và áp lực. Đối với khí có vận tốc chuyển động lớn, hoặc đối với sóng
âm thanh trong chất lỏng, sự thay đổi về mật độ khối lượng trở lên đáng kể do đó
giả sử về mật độ hằng số không còn áp dụng được nữa. Nguồn tham khảo
1.Chất lưu chuyển động:
Chấất l u – Đưường dòng - ỐỐng dòng | V t Lý Đ i Cậạ ương (vatlydaicuong.com)
Đ ng l c h c chấất l u – Wikipedia tếấng Viộ ự ọ ư ệt
2.Phương trình Bernoulli:
Nguyến lý Bernoulli – Wikipedia tếấng Việt