Chéo hóa ma trận A: Phương pháp và ứng dụng

2. Chéo hóa ma trận
Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A viết được ở dạng A= PDP-1 với:
● P là ma trận khả nghịch: CCSkgcrE1 CSkgcrE2 CSkgcrE33 / λ1 0 0 ∣ ∣ ∣ 0 λ2 0 ∣ ∣ 0 0 λ3∣ ● D là ma trận chéo: J
Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận kh nghịch P và ma trận chéo D ả
* A chéo hóa được ↔ BHH = BĐS
* Ứng dụng chéo hóa ma trận A = PDP-1 → An = PDnP-1
Các bước chéo hóa ma trận vuông cấp
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác định bội đại số của từng trị riêng.
Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở của các
không gian con riêng. Xác định bội hình học của trị riêng
Bước 3. Nếu có 1 trị riêng mà bội hình học nhỏ hơn bội đại số của trị riêng này thì A không chéo hóa được.
Nếu tất cả trị riêng có bội hình học bằng bội đại số, thì A chéo hóa được. Ma trận P có
các cột là các cơ sở của những không gian con riêng. Các phần tử trên đường chéo
chinh của D là các trị riêng / 1 4 ∣ ∣
Ví dụ: Chéo hóa ma trận A = 2 3J Pt đặc trưng:
det(A-λI) ↔λ2 - tr(A).λ det(A) = 0 +
↔ λ2 - 4λ - 5 = 0 ↔{λ1=−1,BĐS(λ1)=1
λ 2=5, BĐS ( λ 2)=1
x1=− 2α { x2=α λ1 =-1 → (A-λ1I).X = 0 ↔ =0 ↔ x1 + 2x2 =0 ↔ / - 2 ∣ ∣ → X=α 1 J / - 2 ∣ ∣ => Cs của kgcr E 1 J λ1 là và BHH(λ1) = dim(Eλ1) =1 / - 4 4 / x1 x 1=α { ∣ ∣∣ ∣ x 2=α λ2=5 → (A-λ2I).X = 0 ↔ 2
- 2J x2J =0 ↔ x1 - x2 =0 ↔ →X=α /1∣1∣ => Cs của kgcr Eλ2 là J và BHH(λ2) =dim(Eλ2) =1 / - 1 0 / - 2 1 ∣ 0 5∣ ∣ 1 ∣ Chéo hóa A = PDP-1 với D = J và P = 1J
3. Chéo hóa ma trận đối xứng (chéo hóa trực giao)
● Ma trận đối xứng AT = A / 1 - 3 2 ∣ ∣ ∣ - 3 4 6∣ ∣ ∣ Ví dụ : Ma trận A = 2
6 7J . Kiểm tra thấy AT= A, ta thấy các phần tử đối
xứng nhau qua đường chéo chính.
● Ma trận trực giao AT = A-1
Ta có A.A-1=A.AT ↔ A.AT=I . Như vậy, nếu tích của A và AT là ma trận đơn vị I, thì A là ma trận trực giao. / λ1 0 0 ∣ ∣ ∣ 0 λ2 0 ∣ ∣ A= PDP 0 0 λ -1 với D =
3∣J và P= CCSkgcrE1 CSkgcrE2 CSkgcrE33
ma trận đối xứng→ A=PDPT / λ1 0 0 ∣ ∣ ∣ 0 λ2 0 ∣ ∣ λ3∣ với D = 0 0
J và P=CCstckgcrλ1 Cstckgcrλ2 Cstckgcrλ33 Ma trận đối xứng {
luôn cℎéo ℎóa được
trị riêng lànℎững số tℎực
các vecto riêngứng với cáctrịriêng kℎác nℎau tℎì vuông gócvới nℎau
Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng (ma trận trực giao):
Bước 1: Tìm trị riêng của A
Bước 2: Tìm 1 cơ sở trực chuẩn của từng không gian con riêng.
Để tìm cơ sở trực chuẩn của không gian con riêng Eλk, ta theo các bước sau:
A/ Chọn cơ sở Ek tùy ý của Eλk
B/ Dùng quá trình Gram Schmidt (nếu cần) để tìm cơ sở trực giao của Fk
C/ Chia mỗi vecto trong Fk cho độ dài của nó ta có cơ sở trực chuẩn Qk của Eλk Bước 3: Kết luận / 2 - 4 ∣ ∣
Ví dụ: Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng, thực A= - 4 17 J Giải:
Bước 1: Tìm các trị riêng
A có 2 trị riêng λ1=1, λ2=18
Bước 2: Tìm cơ sở trực chuẩn của các không gian con riêng ● λ1=1
Giải hệ (A-λ1.I).X=0 ↔X=(4α;α)T. Cơ sở của Eλ1 là (4;1)T 1
Cơ sở trực chuẩn của E là (4;1)T λ1 √17 ● λ2=18
Giải hệ (A-λ2.I).X=0 ↔X=(α;-4α)T. Cơ sở của Eλ2 là (1;-4)T 1
Cơ sở trực chuẩn của E là (1;-4)T λ2 √17 Bước 3: Kết luận
Ma trận chéo hóa trực giao được và A=PDPT / 1 0 1 / 4 1 ∣ ∣ ∣ ∣
trong đó: D= 0 18J và P= √17 1 - 4J
Nguồn: Giáo trình Đại số tuyến tính - Đặng Văn Vinh
Document Outline

• 2.Chéo hóa ma trận
• 3.Chéo hóa ma trận đối xứng (chéo hóa trực giao)