Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
§1. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng
Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án: A , A ,..., A . 1 2 k
-Phương án A có n cách thực hiện. 1 1
-Phương án A có n cách thực hiện. 2 2 …
-Phương án A có n cách thực hiện. k k
Khi đó công việc A có thể được thực hiện theo n  n  cách. 1 2
Ví dụ 1.3. Trong một hộp có 6 quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và 3 quả cầu đen
được đánh số từ 7 đến 9. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quả cầu?
Giải. Vì các quả cầu trắng hoặc đen được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả bất kỳ là một lần chọn.
Có 6 cách chọn quả cầu trắng.
Có 3 cách chọn quả cầu đen.
Số cách chọn một quả cầu là 6  3 ý 9.
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó muốn hoàn thành phải thực hiện qua k bước liên tiếp.
Bước 1 có n cách thực hiện. 1
Bước 2 có n cách thực hiện. 2 …
Bước thứ k có n cách thực hiện. k
Khi đó số cách hoàn thành công việc A là n n ...n . 1 2 k
Ví dụ 1.2. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5 ?
Giải. Mỗi số cần tìm có dạng x ý abcd với { , a , b , c d}  {1,2,3,4,5} .
- a có 5 cách chọn.
- b có 4 cách chọn.
- c có 3 cách chọn.
- d có 2 cách chọn.
Vậy số cách lập số thỏa mãn yêu cầu là 5.4.3.2 ý120 .
3. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Định nghĩa 1.1. Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị
của n phần tử đó.
Ký hiệu số các hoán vị của n phần tử là P , và ta có P ý n!. n n
Ví dụ 1.3. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo nên từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 ?
Giải. Mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo nên từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 là một hoán vị của 5 phần tử.
Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu là số hoán vị của 5 phần tử, bằng P ý 5! ý 120 . 5
Định nghĩa 1.2. Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lập nên từ n phần tử đã cho
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k A . Ta có n k n! A ý
ý n(n 1)...(n  k 1). n (n  k)!
Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 3 chữ số được lập từ 4 chữ số 1,2,3,4.
Giải. Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1,2,3,4 là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Do vậy có tất cả 3
A ý 24 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 4
Định nghĩa 1.3. Cho k,n là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn 1 k  n . Mỗi nhóm không
kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lập nên từ n phần tử đã cho được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử đó.
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là k C . Ta có n n k ! k C ý
 A ý k! k C . n
k !(n  k )! n n
Ví dụ 1.5. Một hộp có 10 sản phẩm, có thể đánh số từ 1 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách lấy
ra 3 sản phẩm cùng một lúc để kiểm tra?
Giải. Mỗi cách lấy ra 3 sản phẩm để kiểm tra là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử. Do đó 10!
số cách lấy thỏa mãn yêu cầu của bài toán là 3 C ý ý120 . 10 7!.3!
§2. Biến cố ngẫu nhiên
1. Phép thử và biến cố
Định nghĩa 2.1. Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng
nào đó có thể xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có
thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố.
Ví dụ 1. Tung một con xúc xắc xuống đất, thấy mặt ngửa lên có 3 chấm. Khi đó, phép thử
là "tung một con xúc xắc xuống đất" và biến cố là "mặt ngửa lên có 3 chấm".
Định nghĩa 2.2. Biến cố mà không thể phân tích nhỏ hơn nữa được gọi là biến cố sơ cấp.
Biến cố mà có thể xảy ra hoặc cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử được
gọi là biến cố ngẫu nhiên.
Các biến cố được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: , A ,
B C, X ,Y, Z,...
Biến cố mà nó không thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố không thể , ta ký hiệu là  .
Biến cố mà nó chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu là  .
Tập hợp tất cả các kết quả làm cho biến cố A xảy ra được gọi là tập các kết quả thuận
lợi cho A, kí hiệu  . A
Ví dụ 2. Từ một lô sản phẩm gồm 9 chính phẩm và 1 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Biến cố A < lấy được phế phẩm= là biến ngẫu nhiên.
Biến cố B chính phẩm= là biến cố chắn chắn.
Gọi C là biến cố phế phẩm=, đó là biến cố không thể.
2. Mối quan hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 2.3. Hai biến cố ,
A B được gọi là đồng khả năng nếu có cơ sở để nói rằng khả
năng xảy ra hoặc không xảy ra của các biến cố đó như nhau.
Ví dụ 3. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền đồng chất và đối xứng xuống mặt bàn.
Gọi A là biến cố < xuất hiện mặt sấp= và B là biến cố < xuất hiện mặt ngửa=. Ta có ,
A B là hai biến cố đồng khả năng.
Định nghĩa 2.3. Tổng của 2 biến cố ,
A B , ký hiệu A  B , là biến cố xảy ra khi có ít nhất
một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Ví dụ 4. Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.
Gọi A là biến cố B là biến cố và C là biến cố < bia bị trúng đạn=. Khi đó C ý A  B.
Định nghĩa 2.4. Tích của 2 biến cố ,
A B , ký hiệu AB , là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố , A B cùng xảy ra.
Ví dụ 5. Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.
Gọi A là biến cố <người thứ nhất bắn trượt=, B là biến cố <người thứ hai bắn trượt=
và C là biến cố < mục tiêu không bị trúng đạn =. Ta có C ý AB .
Định nghĩa 2.5. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không
thể cùng xảy ra trong cùng một phép thử. Khi đó AB ý  .
Hai biến cố A và B được gọi là không xung khắc nếu chúng có thể xảy ra trong cùng một phép thử.
Ví dụ 6. Tung hai con xúc xắc cùng một lúc. Gọi A là biến cố trên hai con xúc xắc bằng 4” và B là biến cố < tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc
xắc chia hết cho 5”. Rõ ràng A và B là hai biến cố xung khắc với nhau.
Ví dụ 7. Tùng hai con xúc xắc cùng một lúc. Gọi A là biến cố trên hai con xúc xắc chia hết cho 5” và B là biến cố < tổng số chấm xuất hiện trên hai
con xúc xắc là số lẻ”.
Ta có A và B là hai biến cố không xun g khắc với nhau.
Định nghĩa 2.6. Ta bảo các biến cố A ,A ,...,A lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu 1 2 n
chúng xung khắc từng đôi và khi thực hiện một phép thử thì bắt buộc phải xảy ra một trong các biến cố đó.
Nhận xét. Nếu A , A ,..., A lập thành một hệ đầy đủ các biến cố thì 1 2 n  ý   và A A ý  i   j . i j , 1 A 2 A
Ví dụ.8. Gieo một con xung xắc xuống mặt bàn. Gọi A là biến cố i i
chấm=, với i ý1,2,...,6 . Khi đó 6
{ A} lập thành một hệ đầy đủ các biến cố. i i 1 ý
Định nghĩa 2.7. Hai biến cố A và A được gọi là đối lập nhau nếu ,
A A chúng lập thành
một hệ đầy đủ các biến cố. Ta có A  A ý  và . A A ý . 
Ví dụ 9. Gieo một con xung xắc xuống mặt bản.
Gọi A là biến cố B là biến cố chấm lẻ=. Ta có A và B là hai biến cố đối lập.
§3. Xác suất của biến cố
Các biến cố ngẫu nhiên có một đặc điểm chung là chúng có thể xảy ra hoặc không xảy
ra khi phép thử được thực hiện. Nhưng các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có khả năng xuất
hiện khách quan khác nhau.
Chẳng hạn khi ta mua vé xổ số thì biến cố <trúng giải bảy= có khả năng xuất hiện nhiều
hơn biến cố < trúng giải đặc biệt=.
Để đo khả năng xuất hiện khách quan của các biến cố khi thực hiện phép thử, người ta
dùng các con số. Con số đó được gọi là xác suất của biến cố.
Xác xuất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến
cố đó khi thực hiện phép thử.
Thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Giả sử số kết quả có thể xảy ra của phép thử là hữu
hạn và các kết quả này là đồng khả năng xuất hiện.  Định nghĩa 3.1. | |
Xác suất của biến cố A được định nghĩa là P( ) A A ý , ở đó  là số |  | A
kết quả thuận lợi cho biến cố A và |  | là tổng số kết cục có thể xảy ra.
Ví dụ 1. Một lô hàng gồm 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lẫy ngẫu nhiên từ lô hàng
ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để
a) Cả hai sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.
b) Trong hai sản phẩm lấy ra, có một sản phẩm tốt.
Giải. a) Gọi A là biến cố 2 |  | C 105 21 A 15 ( P ) A ý ý ý ý . 2 |  | C 190 38 20
b) B là biến cố <trong hai sản phẩm lấy ra có 1 sản phẩm tốt”. Ta có 1 1 |  | C C 75 15 B 15 5 ( P ) B ý ý ý ý . 2 |  | C 190 38 20
Ví dụ 2. Một tổ gồm 5 học sinh ngồi trên một chiếc ghế dài, trong đó có một học sinh tên
Hòa, một học sinh tên Bình. Tìm xác suất để
a) Hòa và Bình ngồi cạnh nhau.
b) Hòa và Bình ngồi hai đầu ghế.  Giải. | |
a) Gọi A là biến cố P( ) A A ý . |  |
Ta có mỗi cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài là một hoán vị của 5 phần tử, do đó
có tất cả |  |ý 5!ý120 cách sắp xếp 5 học sinh. 48 2
Mặt khác thì |  |ý 4!.2 ý 48 , do đó ( P ) A ý ý . A 120 5 
b) Gọi B là biến cố | | 2.3! 1 Ta có P( ) B B ý ý ý . | | 120 10
Các tính chất của xác suất a) 0  P( ) A 1. b) ( P )  ý1 và ( P )  ý 0 .
§4. Các định lý về xác suất
1. Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 4.1. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra,
được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A , ký hiệu ( P A| ) B .
Ví dụ 1. Trong hộp có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả
cầu. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu trắng nếu biết rằng lần thứ nhất đã lấy được cầu trắng.
Giải. Gọi A là biến cố B là biến cố lấy được quả cầu trắng=. Ta cần tính ( P B | ) A .
Vì lần thứ nhất lấy được cầu trắng nên để lần thứ hai lấy được cầu trắng là 1 C ý 4 khả 4 4
năng. Số khả năng có thể xảy ra ở lần lấy thứ hai là 1 C ý 7 , do đó ( P B | ) A ý . 7 7
2. Hai biến cố độc lập
Định nghĩa 4.2. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xuất hiện hay
không xuất hiện của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố còn lại. Khi đó ta có ( P A | ) B ý P( ) A và ( P B | ) A ý ( P ) B .
Ví dụ 2. Tung một đồng xu 2 lần. Gọi A là biến cố < xuất hiện mặt ngửa ở lần tung thứ
nhất= và B là biên cố < xuất hiện mặt sấp ở lần tung thứ hai=. Ta có ,
A B là hai biến cố độc lập.
Nhận xét. Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì các biến cố ( , A B) , ( , A B) ( , A B) và
cũng là hai biến cố độc lập.
Định lí 4.1. (Định lý nhân xác suất) a) Với hai biến cố ,
A B bất kỳ, ta có: ( P AB) ý ( P ) A ( P B | ) A ý ( P ) B . ( P A | ) B . b) Với 3 biến cố , A ,
B C bất kì, ta có: ( P ABC) ý ( P ) A ( P B | ) A . ( P C | A ) B
Hệ quả 4.1. a) Nếu P( ) B , ( P ) A þ 0 thì P(AB) P( A ) B ( P B | ) A ý
và P( A | ) B ý . ( P ) A P( ) B b) Nếu ,
A B là là hai biến cố độc lập với nhau thì ( P A ) B ý P( ) A P( ) B . c) Nếu ,
A B,C là ba biến cố độc lập toàn phần với nhau thì ( P ABC) ý ( P ) A ( P ) B . ( P C) .
Ví dụ .3. Một hộp có 8 bút màu xanh, 2 bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn
lại 2 bút .Tìm xác suất để cả 2 bút lấy ra đều là bút màu xanh.
Giải. Gọi A là biến cố B là biến cố được bút xanh= và C là biến cố C ý AB và 1 1 C C 4 7 28 8 7 ( P C) ý ( P AB) ý ( P ) A . (
P B | A) ý . ý . ý . 1 1 C C 5 9 45 10 9
Định lí 4.2. ( Định lý cộng xác suất) a) Với hai biến cố , A B ta có: ( P A  ) B ý ( P )
A  P(B)  P( A ) B . b) Với ba biến cố , A , B C , ta có: (
P A  B  C) ý ( P ) A  ( P ) B  (
P C)  P(AB)  ( P BC)  ( P C ) A  ( P ABC) .
Hệ quả 4.2. a) Nếu ,
A B là các biến cố xung khắc với nhau thì ( P A  ) B ý ( P ) A  ( P B) . b) Nếu , A ,
B C là ba biến cố xung khắc từng đôi thì
P(A  B  C) ý P( )
A  P(B)  P(C) . c) Ta có P( ) A  P( ) A ý 1 .
Ví dụ 4 . Hai công ty X và Y cùng kinh doanh một mặt hàng. Xác suất để công ty X
thua lỗ là 0,1 và của công ty Y là 0,15. Giả sử hai công ty này hoạt động độc lập với nhau. Tìm xác suất để:
a) Chỉ có 1 công ty thua lỗ
b) Có ít nhất 1 công ty không thua lỗ.
Giải. a) Gọi A là biến cố <công ty X bị thua lỗ’; B là biến cố <công ty Y bị thua lỗ’ và
C là biến cố C ý AB  AB . Vì ,
A B là hai biến cố độc lập với nhau
P(C) ý P( AB)  P( AB) ý P( )
A P(B)  P( ) A P(B) Mặt khác thì ( P ) A ý 0,1; P( ) B ý 0,15 , suy ra (
P C) ý (1 0,1).0,15  0,1.(1 0,15) ý 0,22 .
b) Gọi D là biến cố D là biến cố D ý .
A B  P(D) ý P( ).
A P(B) ý 0,1.0,15 ý 0,015
Suy ra P(D) ý 1  P(D) ý 1  0,015 ý 0,985 .
Ví dụ 5. Có 3 ôtô chở hàng lậu đi qua một trảm kiểm soát. Xác suất để các ôtô bị bắt giữ
tại trảm kiểm soát tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử các ôtô này hoạt động độc lập với nhau. Tìm xác suất để
a) Có ít nhất một ôtô bị bắt giữ.
b) Có hai ôtô bị bắt giữ.
Giải. a) Gọi A là biến cố <ôtô thứ nhất bị bắt=; A là biến cố <ôtô thứ hai bị bắt=; A là 1 2 3
biến cố <ôtô thứ ba bị bắt=.
Gọi A là biến cố A là biến cố bắt giữ=. Ta có A ý A .A .A . Vì các biến cố A , A , A là các biến cố độc lập toàn phần 1 2 3 1 2 3 với nhau nên P( )
A ý P( A )P( A )P( A ) 1 2 3 Lại có ( P A ) ý 0,6; ( P A ) ý 0,7; (
P A ) ý 0,8 , suy ra 1 2 3 P( )
A ý (1 0,6).(1  0, 7).(1  0,8) ý 0,4.0,3.0, 2 ý 0,024. Do đó P( ) A ý 1  P( ) A ý 0,976 .
b) Gọi B là biến cố A ý A A A  A A A  A A A . 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Vì các biến cố A , A , A là độc lập toàn phần với nhau, suy ra 1 2 3 P( )
A ý P( A A A )  P( A A A )  P( A A A ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Tính toán ta được:
P( A A A ) ý P( A )P(A )P( A ) ý 0, 084 1 2 3 1 2 3
P( A A A ) ý P( A )P( A )P( A ) ý 0,144 1 2 3 1 2 3
P( A A A ) ý P( A )P( A )P( A ) ý 0, 224 1 2 3 1 2 3 Suy ra ( P ) A ý 0, 452.
2. Dãy phép thử Bernoulli
Định nghĩa 4.4. Hai phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu việc thực hiện và kết quả
của phép thử này không ảnh hưởng và không phụ thuộc vào phép thử kia.
Định nghĩa 4.5. Dãy n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli nếu:
a) Mỗi phép thử xảy ra một trong hai biến cố A hoặc biến cố A.
b) Xác suất xảy ra biến cố A là như nhau đối với mọi phép thử và bằng p : P( ) A ý p .
Ví dụ 6. Gieo một đồng tiền 7 lần. Đó là 7 phép thử Bernoulli. Trong mỗi phép thử chỉ
xuất hiện biến cố A (là A ( là biến cố ngửa=).
Nhận xét. Giờ ta quan tâm đến số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử Bernoulli.
Gọi A là biến cố < biến cố A xuất hiện k lần trong phép thử Bernoulli”. Người ta k chứng minh được rằng P (k; p) P( A ) k k C p (1 p)n k  ý ý  . n k n
Ví dụ 7. Theo điều tra xã hội học thì hiện nay sinh viên học tập không đúng với nghề mà
họ yêu thích là 30%. Tìm xác suất để 5 sinh viên được chọn thì sẽ có 3 người thích ngành đang học.
Giải. Việc chọn ra 5 sinh viên là 5 phép thử Bernoulli, trong đó mỗi phép thử chỉ xảy ra
hai trường hợp: hoặc sinh viên đó yêu ngành đang học (biến cố A ) hoặc sinh viên đó
không yêu ngành đang học (biến cố A), với p ý P( ) A ý 0,3.
Xác suất để trong 5 sinh viên được chọn, có 3 sinh viên yêu thích ngành mình học là: 3 3 2
P( X ) ý C 0,3 .0,7 ý 0,1323. 5
§5. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
1. Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử H , H ,..., H là hệ đầy đủ các biến cố và A là biến cố nào đó có thể xảy ra đồng 1 2 n
thời với một trong các biến cố H , H ,...,H . Khi đó 1 2 n P( )
A ý P(H )P(A | H )  P(H )P(A | H )  ... P(H )P(A | H ) . 1 1 2 2 n n
Ví dụ 1. Có 3 chuồng giống hệt nhau.
Chuồng I có 6 con gà mái và 4 con gà trống.
Chuồng II có 2 con gà mái và 8 gà trống.
Chuồng III có 4 con gà mái và 6 gà trống.
Chọn ngẫu nhiên một chuồng và từ chuồng đó bắt 1 con. Tính xác suất để gà bắt ra là gà mái.
Giải. Gọi H là biến cố H là biến cố H là biến cố 1 2 3
A là biến cố < bắt được gà mái=. Khi đó {H , H , H } lập thành một 1 2 3
hệ đầy đủ các biến cố và theo công thức đầy đủ, ta có: ( P ) A ý ( P H ) (
P A | H )  (
P H )P(A | H )  ( P H ) (
P A | H ). 1 1 2 2 3 3 1
Lại có P(H ) ý P(H ) ý P(H ) ý và 1 2 3 3 1 1 1 C C C 6 2 4 (
P A | H ) ý
ý 0,6; P( A | H ) ý ý 0,2; (
P A | H ) ý ý 0, 4 1 1 2 1 3 1 C C C 10 10 10 0,12 Do đó P( ) A ý ý 0,4 . 3 2. Công thức Bayes
Giả sử H , H ,...,H là hệ đầy đủ các biến cố và A là biến cố nào đó có thể xảy ra đồng 1 2 n
thời với một trong các biến cố H , H ,..., H . Khi đó ta có 1 2 n
P(H )P(A | H )
P(H )P(A | H ) P(H | A) i i i i ý ý . i n P(A)  ( P H ) ( P A | H ) i i i 1 ý
Ví dụ 2. Có 4 xạ thủ loại I và 6 xạ thủ loại II và 10 xạ thủ loại III. Xác suất bắn trúng
của các loại xạ thủ tương ứng là 0,9 và 0,75 và 0,6.
a) Lấy ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất viên đạn đó trúng đích.
b) Biết rằng xạ thụ đó bắn trúng. Hỏi xạ thủ đó nhiều khả năng thuộc nhóm nào?
Giải. Gọi H là biến cố < chọn được xạ thủ loại I=; H là biến cố < chọn được xạ thủ loại 1 2
II= ; H là biến cố < chọn được xạ thủ loại III=. 3
Gọi A là biến cố < xạ thủ đó bắn trúng đích =. Khi đó {H , H , H } lập thành một hệ 1 2 3
đầy đủ các biến cố. Theo công thức đầy đủ, ta có: ( P ) A ý ( P H ) (
P A | H )  ( P H ) (
P A | H )  ( P H ) (
P A | H ). 1 1 2 2 3 3 Ta có: 1 1 C 4 C 6 4 6 ( P H ) ý ý ý 0,2; ( P H ) ý ý ý 0,3 1 1 2 1 C 20 C 20 20 20 1 C 10 10 P (H ) ý ý ý 0,5 . 3 1 C 20 20 Lại có (
P A | H ) ý 0,9; (
P A | H ) ý 0,75; (
P A | H ) ý 0,6 , suy ra 1 2 2 ( P )
A ý 0,2.0,9  0,3.0,75  0,5.0,6 ý 0,705
b) Theo công thức Bayes, ta có:
 Xác suất để xạ thủ bắn trúng thuộc loại I là:
P(H )P( A | H ) 0,2.0,9 1 1
P(H | A) ý ý  0, 255. 1 P(A) 0,705
 Xác suất để xạ thủ bắn trúng thuộc loại II là:
P(H )P(A | H ) 0,3.0, 75 2 2 (
P H | A) ý ý  0,319 . 2 ( P ) A 0, 705
 Xác suất để xạ thủ bắn trúng thuộc loại III là: ( P H ) ( P A | H ) 0,5.0,6 3 3 (
P H | A) ý ý  0, 426 . 3 ( P A) 0,705
Như vậy khả năng thuộc xạ thủ loại III cao hơn.