Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất- Xác suất thông kê | Trường đại học Hồng Đức

Chương 2
Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
§1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên (BNN) là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của
một phép thử ngẫu nhiên.
Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X ,Y,Z,... Các giá trị mà biến
ngẫu nhiên có thể nhận thường viết bằng chữ nhỏ , x , y , z ...
Ví dụ 1. Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc. Khi đó X là biến ngẫu
nhiên và nhận một trong các giá trị 1,2,3,4,5,6.
Ví dụ 2. Gọi Y là chiều cao của thanh niên tuổi 18. Khi đó Y là biến ngẫu nhiên và ta
không thể liệt kê các giá trị của Y .
Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận, ta phân biến ngẫu nhiên thành hai loại
chính: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục.
Định nghĩa 1.2. Biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị
của X nhận là một tập gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn nhưng đếm được.
Ví dụ 3. Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con xúc xắc. Ta có X là biến ngẫu
nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể là 1,2,3,4,5,6.
Định nghĩa 1. 3. Biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu tập các giá trị
của X lấp đầy một khoảng hữu hạn hay vô hạn trên trục số.
Ví dụ 4. Một xạ thủ bắn một viên đạn vào bia. Gọi X là khoảng cách từ viên đạn sau khi
bắn đến tâm bia. Ta có X là biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong khoảng [0; )  .
§2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể
có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.
2.1. Bảng phân phối xác suất
Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x , x ,..., x ,... và đặt 1 2 n p ý [
P X ý x ], đó là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x . Để mô tả biến ngẫu i i i
nhiên rời rạc X ta dùng bảng X x x x 1 2 n
P[X ý x ] p p p i 1 2 n
Trong đó õ p ý1. Bảng trên được gọi là bảng phân phối xác suất i i 1 
Ví dụ 1. Gieo đồng thời 2 đồng tiền xu cân đối và đồng chất. Gọi X là biến ngẫu nhiên
chỉ số lần xuất hiện mặt sấp.
Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc và tập giá trị mà X mà có thể nhận là {0,1,2}.
Gọi A là biến cố <đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp= ; A là biến cố <đồng xu thứ 1 2 1
nhất xuất hiện mặt sấp=, với P( A ) ý P( A ) ý . Ta có : 1 2 2
[X ý 0] ý A .A ; [X ý 1] ý A .A  A .A và [X ý 2] ý A .A 1 2 1 2 1 2 1 2
Các biến cố A , A là độc lập nên 1 2 ö 1 öö 1 ö 1
P[X ý 0] ý P (A .A ) ý P (A ).P (A ) ý 1 1 ý 1 2 1 2 ÷ ÷÷ ÷ ø 2 øø 2 ø 4 ö 1 ö 1 1 ö 1 ö 1 1 1
P[X ý 1] ý P (A ).P (A )  P (A ).P (A ). ý 1 .  . 1 ý  ý 1 2 1 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ø 2 ø 2 2 ø 2 ø 4 4 2 1 1 1
P[X ý 2] ý 1 P[X ý 1] P[X ý 0]ý 1  ý 2 4 4
Bảng phân phối XS của X là : X 0 1 2 1 1 1 [
P X ý k] 4 2 4
Ví dụ 2. Một hộp có 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu
(không hoàn lại) cho đến khi lấy được quả cầu đen thì dừng. Lập bảng phân phối xác suất
của số quả cầu được lấy ra.
Giải. Vì chỉ có 3 quả cầu trắng nên lâu nhất là lần thứ 4 ta sẽ rút được quả cầu đen.
Gọi X là số quả cầu được rút ra. Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc và tập giá trị mà
X mà có thể nhận là {1,2,3, 4}. 1 C 2 1 1 C C 3 2 3 2 [ P X ý 1] ý ý ; 3 2 [ P X ý 2] ý . ý . ý ; 1 C 5 1 1 C C 5 4 10 5 5 4 1 1 1 C C C 3 2 2 1 1 1 1 C C C 3 2 1 1 3 2 2 [ P X ý 3] ý . . ý . . ý ; 3 2 1 [ P X ý 4] ý . . .1 ý . . ý 1 1 1 C C C 5 4 3 5 1 1 1 C C C 5 4 3 10 5 4 3 5 4 3
Bảng phân phối xác suất của X là : X 1 2 3 4 2 3 1 1 [
P X ý k] 5 10 5 10
2.2. Hàm mật độ xác suất
Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta dùng khái niệm hàm mật độ.
Định nghĩa. Hàm số thực p(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X
nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) p(x)  0, x   .  b)
p(x)dx ý 1  . 
Nhận xét. Xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ( ; a ) b là b
P(a ü X ü ) b ý
p(x)dx ý 1  . a
2.3. Hàm phân phối xác suấ t
Định nghĩa 2.1. Cho biến ngẫu nhiên X và x là số thực bất kỳ. Hàm phân phối của biến
ngẫu nhiên X là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x , được ký hiệu là F (x) : F(x) ý [
P X ü x] .
Nhận xét. Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái của của điểm x.
Một số tính chất của hàm phân phối a) 0  F( ) x 1; x   .
b) F(x )  F(x ), x  ü x . 1 2 1 2 c) (
P a  X ü b) ý F( )
b  F(a) .
Nhận xét. a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì P( X ý x ) ý p , do đó i i F( ) x ý p õ i : i x ü x i x
b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F( ) x ý ( p t)dt  . 
c) Nếu hàm mật độ liên tục tại x thì F '( )
x ý p(x).
d) Nếu F(x) liên tục tại x thì P(X ý x ) ý 0 , do đó với X là BNN liên tục thì: 0 0 [
P a  X  ] b ý [
P a ü X  ] b ý [
P a  X ü ] b ý [
P a ü X ü ] b .
Định nghĩa 2.2. Hai biến ngẫu nhiên X ,Y được gọi là độc lập nếu việc nhận giá trị của
một trong hai đại lượng này không làm ảnh hưởng đến quy luật phân phối xác suất của đại lượng kia.
Ví dụ 3. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên ở ví dụ 2.
Giải. X là biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận các giá trị 1,2,3,4. Hàm phân phối của X là F( )
x ý P[X ü ] x ý õ p . i : i x ü x i
 Nếu x 1 thì F(x) ý [ P X ü ] x ý 0. 2
 Nếu 1ü x  2 thì F( ) x ý [ P X ü ] x ý [ P X ü 2] ý [ P X ý1] ý . 5  Nếu 2 3 7
2 ü x  3 thì F( ) x ý [ P X ü ] x ý [ P X ü 3] ý [ P X ý1]+ [ P X ý 2] ý  ý . 5 10 10
 Nếu 3 ü x  4 thì 7 1 9 F( ) x ý [
P X ü x] ý [ P X ü 4] ý [ P X ý1]+ [ P X ý 2]+ [ P X ý 3] ý  ý . 10 5 10  Nếu x þ 4 thì 9 1 F( ) x ý [ P X ü ] x ý [ P X  4] ý [ P X ý 1]  [ P X ý 2]  [ P X ý 4] ý  ý1. 10 10
Vậy hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là: ü 0 khi x 1 ÿ 2 ÿ khi 1ü x  2 ÿ 5 ÿÿ 7 F( ) x ý ý khi 2 ü x  3 . 10 ÿ ÿ 9 khi 3 ü x  4 ÿ 10 ÿ ÿ 1 khi x þ 4 þ
Ví dụ 4. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ xác suất như sau ü 0 khi x  1; x þ 6 ÿ f (x) ý ý 1 khi 1 ü x  6 ÿþ 5
Hãy tìm hàm phân phối xác suất của X . x Giải. Ta có F( ) x ý ( p t)dt  .  x x x
 Với x 1 ta có F( ) x ý ( p t)dt ý p(t)dt ý 0dt ý 0    .    x 1 x x   Với 1 x 1
1ü x  6 , ta có F( ) x ý ( p t)dt ý
p(t)dt  ( p t)dt ý dt ý     . 5 5   1 1 x 1 6 x
 Với x þ 6, ta có F( ) x ý p(t)dt ý
p(t)dt  ( p t)dt  ( p t)dt       1 6 1 6 1 x ý 0dt  dt  0dt ý 1     5 1 6
Vậy hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là ü 0 khi x  1 ÿÿ 1 F( ) x ý ý ( x 1) khi 1 ü x  5 . 5 ÿ ÿ 1 khi x þ 6 þ
Ví dụ 5. Nhu cầu hàng năm về loại hàng hóa A là biến ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị
tính: nghìn sản phẩm) có hàm mật độ xác suất như sau: ü 0 khi
x  0; x  20 f (x ) ý ý ax (20 x ) khi 0 ü x ü þ 20 a) Tìm a .
b) Tính xác suất để nhu cầu về loại hàng hóa A không vượt quá 15 nghìn sản phẩm trong một năm. 
Giải. a) Từ điều kiện
f (x)dx ý 1  , ta có:  0 20  20
f (x)dx 
f (x)dx 
f (x)dx ý 1  a (
x 20  x)dx ý 1     .  0 20 0 20 20 3 ù x ù 4000 3 2 2  (
a 20 x  x )dx ý 1  a 10 x  ý1  . a ý1  a ý  ú ú û 3 û 3 4000 0 0
b) Xác suất để nhu cầu về hàng hóa A không vượt quá 10 nghìn sản phẩm trong một năm là: 15 15 3 3 3 ù x ù 3 2 P[X ü 10] ý
x(20  x)dx ý 10x  ý .1125 ý 0,84375  ú ú . 4000 4000 û 3 û 4000 0 0
§3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
3.1. Kỳ vọng (giá trị trung bình)
Cho biến ngẫu nhiên X . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu E( X ), là số được xác định như sau
a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: X x x x 1 2 n
P[X ý x ] p p p i 1 2 n
Thì E (X ) ý õx p ý x p  x p   x p  i i ... n n ... 1 1 2 2 i
Tổng quát, ta có E ( k X ) k k k
ý õx p ý x p  x p  ... k  x p  ... i i 1 1 2 2 n n i 
b) Nếu X là BNN liên tục với hàm mật độ p(x) thì thì E( X ) ý xp(x)dx  .  
Tổng quát ta có E( k) k X
ý x p(x)dx 
với k là số nguyên dương. 
Ý nghĩa: Kỳ vọng của BNN X là giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên nhận.
Ví dụ 1. Tỷ lệ khách phản ứng tích cực đối với một chiến dịch quảng cáo là một biến ngẫu
nhiên X có bảng phân bố xác suất như sau: X (%) 0 10 20 30 40 50 P 0,05 0,15 0,35 0,25 0,15 0,05
a) Tìm tỷ lệ trung bình khách hàng phản ứng tích cực đối với chiến dịch quảng cáo đó.
b) Tìm xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng tích cực đối với chiến dịch quảng cáo đó.
Giải. a) Tỷ lệ trung bình khách hàng phản ứng tích cực đối với chiến dịch quảng cáo là 6 E(X ) ý x p ý 24,5% õ i i i 1 ý
b) Xác suất để có trên 20% khác hàng phản ứng tích cực đối với chiến dịch quảng cáo là [ P X þ 20] ý [ P X ý 30]  [ P X ý 40]  [
P X ý 50] ý 0,45.
Ví dụ 2. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian t
các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,3. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t .
a) Tìm bảng phân bố xác suất của số bộ phận bị hỏng X.
b) Tìm số bộ phận trung bình bị hỏng trong thời gian t .
Giải. a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc và tập giá trị của X là {0,1,2,3} .
Gọi A là biến cố bị hỏng trong thời gian 1 t =.
Gọi A là biến cố t =. 2
Gọi A là biến cố t 3 =.
Các biến cố A , A , A là độc lập với nhau. Ta có: 1 2 3
 [X ý 0] ý A A A  [
P X ý 0] ý P(A )P(A )P( A ) ý 0,504 . 1 2 3 1 2 3
 [X ý 1] ý A A A  A A A  A A A , suy ra 1 2 3 1 2 3 1 2 3 [
P X ý 1] ý P(A )P( A )P( A )  P( A )P( A )P( A )  P( A )P( A )P(A ) ý 0,398 1 2 3 1 2 3 1 2 3
 [X ý 2] ý A A A  A A A  A A A , suy ra 1 2 3 1 2 3 1 2 3 [
P X ý 2] ý P( A )P( A )P( A )  P( A ) (
P A )P( A )  P( A )P( A )P( A ) ý 0,092 1 2 3 1 2 3 1 2 3
 [X ý 3] ý A A A  [ P X ý 3] ý (
P A )P(A )P(A ) ý 0,006 1 2 3 1 2 3
Bảng phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 3 [
P X ý k] 0,504 0,398 0,092 0,006
b) Số bộ phận hỏng trung bình trong khoảng thời gian t là: ( E X ) ý 0. [ P X ý 0]+1. [ P X ý1]+2. [ P X ý 2]+3. [ P X ý 3]
ý1.0,398  2.0,092  3.0,006 ý 0,6
Ví dụ 3. Thời gian chờ (đơn vị tính: phút) mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục
X có hàm mật độ cho bởi: ü 2 3mx 6x  2 khi ü 0 x ü 1 f(x )ý ý þ 0 khi x  1 x ;  0 a) Tìm m
b) Xác định thời gian chờ trung bình của khách.  Giải. Từ điều kiện
f (x)dx ý 1  , ta có  1 1 2 3 2
(3mx  6x  2)dx ý 1  x
ù 3x  2x ù ý1  m 1 ý1  m ý 2  û û . 0 0
b) Thời gian chờ trung bình của khách là : 1  1 4 ö x ö 2 3 3 2 1 E(X ) ý
xf (x)dx ý x(6x  6x  2)dx ý   ÷
 2x  x ÷ ý (phút). 2 2  0 ø ø0
Tính chất của kỳ vọng toán
a) E(c) ý c , với c là hằng số . b) (
E cX ) ý c ( E X ) . c) (
E X  Y ) ý ( E X )  ( E Y).
d) Nếu X ,Y là hai BNN độc lập thì ( E XY ) ý ( E X ). ( E Y). 2. Phương sai
Định nghĩa 3.2. Phương sai của BNN X , ký hiệu là V (X ), được định nghĩa là 2 2 2
V ( X ) ý E( X  ý ) ý E( X )  ý , trong đó ý ý ( E X ) .
a) Nếu X là BNN rời rạc thì 2 2 V (X ) ý x p õ  ý . i i i 
b) Nếu X là BNN liên tục th ì 2 2 V ( X ) ý
x f (x)dx  ý .  
Ý nghĩa của phương sai. V ( X )là giá trị đặc trưng cho độ phân tán của các giá trị có thể
xung quanh giá trị trung bình E( X ) . Nếu V ( X )lớn thì nói chung độ phân tán nhiều và
ngược lại nếu V ( X ) bé thì nói chung độ phân tán ít.
Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho mức độ sai số của các thiết bị, trong kinh
doanh, phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định.
Tính chất của phương sai.
a) V (c) ý 0 , với c là hằng số. b) 2
V (cX ) ý c V (X ),với c là hằng số .
c) Nếu X ,Y là các BNN độc lập thì V (X  Y) ýV (X ) V (Y).
3.3. Độ lệch tiêu chuẩn
Định nghĩa 3.3. Độ lệch tiêu chuẩn của BNN X , ký hiệu  (X ) , được định nghĩa là căn
bậc hai của phương sai: ý V( X) . X
§4. Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp
4.1. Quy luật nhị thức .
Định nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc X là được gọi là có phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số ,
n p , ký hiệu là X
nếu tập giá trị của nó là {0,1, 2,..., } n và p ý [
P X ý k ] k k
ýC p (1  p)nk ;k ý 0,1,2,..., . n k n X 0 1 n p p p p k 1 2 n
Ví dụ 1. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử Bernoulli. Khi đó X là
biến ngẫu nhiên có phân phối theo quy luật nhị thức.
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối theo quy luật nhị thức (
E X ) ý n ;
p V (X ) ý npq .
Ví dụ 2. Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích ở mỗi lần bắn bằng
0,8. Gọi X là số lần bắn trúng mục tiêu, ta có X  ( B 5;0,8) .
Ví dụ 3. Hương hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán được hàng ở mỗi
nơi là 0,2. Tìm xác suất để 1 ngày người đó bán được hàng.
Giải. Gọi X là số lần bán được hàng trong ngày của Hương. Ta có X tuân theo quy luật
nhị thức với tham số p ý 0,2 và n ý10 . Xác suất để 1 ngày Hương bán được hàng là [
P X  1] ý1 [ P X ý 0] 0 0 10 ý 1 C 0,2 0,8 . 10
2. Quy luật phân phối Poisson P (ü )
Định nghĩa 4.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luật Poisson
với tham số ü , ký hiệu X
, nếu tập giá trị của nó là {0,1,2,3,...} với các xác suất
được tính theo công thức: ü  k e ü p ý [
P X ý k ] ý ;k ý 0,1, 2,... . k k!
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối theo quy luật nhị thức (
E X ) ý ü;V (X ) ý ü .
3. Quy luật phân phối chuẩn 2 N(μ,σ )
Định nghĩa 4.3. Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trên tập số thực được gọi là
có phân phối chuẩn, ký hiệu X
) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng 2 (x ý  ) 1  2 2 f (x ) ý e  ,  2
trong đó ý , là các hằng số với  þ 0.
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn ( E X ) ý ý và 2 V ( X ) ý .
Nhận xét. a) Trong trường hợp ý ý 0, ý1 ta bả
o biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn hóa.
b) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn hóa X
) thì biến ngẫu nhiên X  ý U ý
có phân phối chuẩn hóa. 
Phân vị chuẩn. Cho biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn U
và  là số thực thỏa mãn 0  1 
Phân vị chuẩn mức  của U là giá trị u P þ ý
 thỏa mãn điều kiện [U u ]  .
Nhận xét. Với giá trị  cho trước ta có thể tính được các giá trị u . Các giá trị của  u
được cho sẵn thành bảng.
Công thức tính xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Giả sử biến ngẫu nhiên X ) . Khi đó ö b ý ö ö a ý ö a) (
P a ü X ü ) b ý   
, trong đó  (x) là hàm Laplace: 0 ÷ ÷ 0  ÷  ÷ ø ø ø ø 0 2 1 x t 2  (x) ý e dt 0  . 2 0 ö b  ý ö 1 1 ö a  ý ö b) P( X ü ) b ý 
 và P(X þ a) ý   . 0 ÷  ÷ ÷ ÷ ø ø 2 0 2 ø  ø ö  ö c) (
P | X a |ü ) ý 2  0 ÷ ÷ ø ø Chú ý là  ( ) x ý  ( ) x , x
  và với x þ 5 thì  (x)  0,5 . Các giá trị của (x) 0 0 0
được cho sẵn ở bảng phụ lục.
Ví dụ 4. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên X có phân phối theo quy luật
chuẩn với tuổi thọ trung bình là 2000 giờ và độ lệch tiêu chuẩn về tuổi thọ là 50 giờ.
Giả sử quy định thời gian bảo hành sản phẩm là 1.880 giờ. Hãy tìm tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành. Giải. Ta có X ) với ý ý (
E X ) ý 2000 và  ý V ( X ) ý 50.
Những sản phẩm phải bảo hành là những sản phẩm có tuổi thọ dưới 1880 giờ. Xác suất
sản phẩm phải bảo hành là 1 ö 1880 2000ö 1 [ P X ü 1880] ý  
ý   (2,4) ý 0,5  0,4918 ý 0,0082 0 ÷ ÷ 0 2 ø 50 ø 2
Vậy tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 0,82% .
Ví dụ 5. Giả sử lãi suất X của cổ phiếu (tính theo %) của một công ty là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn. Xác suất để lãi suất của cổ phiếu của công ty đạt tối trên 10% là 0,8 và dưới 20% là 0,3.
a) Hãy tìm lãi suất trung bình và độ lệch tiêu chuẩn của lãi suất của cổ phiếu.
b) Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty không bị lỗ.
c) Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty sẽ được lãi suất ít nhất là 14%. Giải. Theo bài ra ta có ü1 ö10  ý ö ü ö ý 10 ö   ý 0,8  ý ÿ ÷ ÷ ÿ ÷ ÷ 0,3 0 0 ü [
P X  10] ý 0,8 ÿ2 ø  ø ÿ ø  ø ý  ý  ý þ [
P X  20] ý 0,3 1 ÿ ö 20  ý ö ÿ ö 20  ý ö   ý 0,3  ý ÷ ÷ ÷ ÷ 0,2 0 0 ÿþ2  ÿ ø ø þ ø  ø üý 1  0 ý 0,84 ÿÿ  ý ü  16,18   ý ý . 20  ý   7,35 ÿ ý 0,52 þ ÿþ 
b) Xác suất để khi đầu tư vào công ty không bị lỗ là 1 ö 0 16,18 ö [ P X  0] ý    0,5  0,4861 0,9861. 0 ÷ ÷ 2 ø 7,35 ø
c) Xác suất để khi đầu tư vào công ty sẽ được lãi suất ít nhất là 14%. 1 ö 14 16,18ö P[X  14] ý    0,5  0,10642  0,61. 0 ÷ ÷ 2 ø 7,35 ø