Chương 1 : biến cố và xác suất của biến cố môn Xác suất thống kê| Trường Đại học Ngoại Thương

CHƯƠNG 1 : BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1.Khái niệm
Thực hiện 1 thí nghiệm kèm theo 1 vài điều kiện nhất định xem 1 hiện
tượng có xảy ra hay không người ta gọi là thực hiện 1 phép thử.
Những hiện tượng xảy ra trong phép thử được gọi là các biến cố.
+Biến cố không thể có:V +Biến cố chắc chắn:U
+Biến cố ngẫu nhiên: A,B,B,...
1.2.Mối quan hệ giữa các biến cố
+Tổng các biến cố: B+C (Biến cố B xảy ra hoặc C xảy ra).
Tổng quát: Biến cố tổng của các biến cố A1, A2,..., An là biến cố xảy ra
khi ít nhất 1 trong các biến cố xảy ra. ∑ A=A1+A2+...+An= n Ai
+Tích các biến cố: B.C (Biến cố B và C cùng xảy ra). i=1
Tổng quát: Biến cố A được gọi là biến cố tích của n biến cố A1,
A2,...,An nếu nó là biến cố “Tất cả các biến cố A1, A2,...,An cùng xảy ra”. ∏ A=A1+A2+...+An= n Ai i=1
+Biến cố xung khắc: là 2 biến cố không đồng thời xảy ra trong 1 phép
thử:A, B xung khắc thì A.B=V{
+Hệ đầy đủ các biến cố: Hệ gồm n biến cố A1, A2,...,An được gọi là 1
hệ đầy đủ n biến cố nếu trong 1 phép thử sẽ xảy ra 1 và chỉ 1 biến cố trong n biến cố trên. Ai. A j=V ∑ n Ai=U i=1
+Biến cố đối lập: Biến cố”không xảy ra biến cố A” được gọi là biến cố
đối lập của A, kí hiệu là . A và tạo thành 1 hệ đầy đủ các biến cố. A A Một số tính chất: A+A=A A+U=U A+V=A A+B=A . B A.A=A A.U=A A.V=0 A . B=A+B
2. Khái niệm và các định nghĩa về xác suất 2.1.Khái niệm
Xác suất của biến cố A là 1 số thực, đặc trưng cho khả năng xuất hiện
của biến cố A trong phép thử. Kí hiệu là P(A)
P(A)=m , trong đó: n: số trường hợp xảy ra trong phép thử n
m: số trường hợp thuận lợi xảy ra biến cố A.
VD1: lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số từ tập hợp 5 chữ số {0,1,2,3,4}
xếp thành hàng ngang từ trái sang phải. Tính xác suất để xếp được 1 số gồm 3 chữ số.
VD2: 1 lô hàng có 12 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm chính và 4 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên cùng 1 lúc ra 3 sản phẩm.
a. Tính xác suất để cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính hãng,
b. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm
tính chất: 0≤ P(A )≤1 P(U)=1 P(V)=0
2.2. Các công thức tính xác suất
+ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B) (P(A+B)=P(A)+P(B) nếu A, B xung khắc) Mở rộng: P¿
P (A1A2… An )=P (A1 ). P(A2)… . P(An) nếu A1, A2,…, An đôi một xung khắc.
VD1: một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào bia chia thành 3 phần. Xác suất
bắn trúng phần 1, 2, 3 lần lượt là 0,3; 0,2; 0,4. Tính xác suất để:
a. Xạ thủ đó bắn không trúng phần 1.
b. Xạ thủ đó bắn trúng bia
c. Xạ thủ đó bắn không trúng bia
VD2: 1 hộp đựng 10 quả cầu, trong đó có 6 đỏ và 4 xanh. Lấy ngẫu
nhiên ra 5 quả cầu. Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy ra có ít nhất 2 quả cầu màu đỏ.
+Công thức nhân xác suất:
- Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu biến cố này xảy ra hay
không cũng không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
A, B độc lập với nhau thì các cặp A và B; A và B; Avà B cũng độc lập với nhau.
-Xác suất có điều kiện: xác suất của biến cố A được tính với điều kiện
biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện.
VD: 1 hộp có 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy lần lượt từng viên bi. Tính P(A1/A2)
-Công thức nhân xác suất:
P (A . B)=P (A ). P ¿/A)=P(B).P(A/B)
VD1: 1 hộp có 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy lần lượt từng bi. Gọi Ai= “lần
thứ i lấy được bi đỏ, i=1,2,...,8. Tính xác suất để cả 2 lần đều lấy được bi đỏ. Mở rộng: = Nếu P(A) > 0, ta có: P(A . B) P (A) P(A)
P (A1A2A3 )=P (A3/A1A2 )P (A1A2 )=P (A3/A1A2 ). P(A1 ). P(A2/A1 )
Nếu A1, A2,…, An độc lập đôi một:
P( A1. A2,… An¿=P (A1 ). P(A2)…. P(An )
VD2: 1 xí nghiệp có 3 máy nổ độc lập với nhau. Xác suất để trong
một ngày máy nổ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bị hỏng tương ứng là
0,2;0,1;0,15. Tính xác suất để trong 1 ngày:
a. Có đúng 1máy nổ bị hỏng
b. Có đúng 2 máy nổ bị hỏng
c. Cả 3 máy đều không bị hỏng
- Công thức xác suất đầy đủ: trong 1 phép thử cho biến cố A là một hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó: n
P (A)=∑ P (Ai). P(A/Ai) i=1
VD1: có 3 hộp đựng sản phẩm. Hộp 1 có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Hộp 2
có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Hộp 3 có 10 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy
ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản
phẩm lấy ra là chính phẩm. +Công thức Bayes:
=P (Ai).P P (A()A/ = Ai P )
(Ai). P(A/Ai) P (Ai/A ) n
∑ P(Ai). P(A/Ai) i=1 VD2: Như VD1
b. lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được 1 chính
phẩm. Theo bạn sản phẩm đó có khả năng ở hộp nào?
2.3 công thức Bernouli ( lược đồ bernouli )
-Có n phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ xảy ra 2 trường hợp là A và A,
trong đó p(A)=p không đổi. Gọi Ak= “ biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử”.
P (Ak )=Cnk. pk(1−p)n−k=Cnk. pk. qn−k k=0,1,2,...,n ; q=1-p
VD1: 1 phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để trong
mỗi ca làm việc mỗi máy bị hỏng là 0,1.
a. Tính xác suất để trong 1 ca làm việc có đúng 2 máy bị hỏng.
b. Tính xác suất để trong mỗi ca làm việc có ít nhất 2 máy bị hỏng. BÀI TẬP ÔN TẬP
1. Từ 1 hộp chứa m quả cầu trắng và n quả cầu đen, người ta rút ngẫu
nhiên không hoàn lại từng quả một 2 lần. Tìm xác suất để lấy lần thứ hai là trắng.
2. Có 10 chiếc túi như sau:
4 túi loại1, trong mỗi túi loại 1 chứa 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen. 2
túi loại 2, trong mỗi túi loại 2 chứa 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen. 1
túi loại 3, trong mỗi túi loại 3 chứa 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen. 3
túi loại 4, trong mỗi túi loại 4 chứa 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen.
Chọn ngẫu nhiên 1 túi rồi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy
được 2 viên bi cùng màu.
3. Có 2 cái hộp. Hộp thứ nhất có 4 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Hộp thứ
hai có 5 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi ở hộp
thứ nhất bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đó chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp
thứ 2 ra. Tính xác suất để lấy ra được bi trắng từ hộp thứ hai.
4. Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do 2 máy sản xuất. Trung
bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy 2 cung cấp 40% chi tiết.
Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đạt tiêu chuẩn, còn 85%
chi tiết do máy thứ 2 đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền 1
sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ THAM SỐ ĐẮC TRƯNG 1. Biến ngẫu nhiên (BNN):
- Định nghĩa: BNN là biến số nhận giá trị tùy thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.
- Phân loại: BNN rời rạc nếu các giá trị của nó lập nên một tập hữu hạn hay đếm được.
BNN liên tục : nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.
2. Quy luật phân phối sản xuất của BNN
- Bất kì hình nào cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có
của BNN và các xác suất tương ứng của nó đều được gọi là quy luật phân
phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.
a , Bảng phân phối xác suất: X X1X2….. Xn P P1P 2 …… Pn
Như vậy: {0≤ pi≪1với ∀i=1;2;…;n n ∑ Pi=1 i=1
VD1: Trong lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm . Lấy ngẫu
nhiên ra 2 sản phẩm . Xây dựng quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm lấy ra được. X 0 1 2 P
VD2: Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ được phát từng viên đạn
để bắn cho đến khi trúng bia. Hãy xây dựng quy luật phân phối xác suất của số viên đạn bắn ra. X 1 2 ……… n P
b , Hàm phân phối xác suất
- Định nghĩa: F (x) = P ( X∀x∈R
VD1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “ số chấm xuất hiện”. Xác định hàm phân phối của X. F(x)={ 0khi x ≤ 1 1
6khi 1<x ≤ 2 2 6khi 2<x ≤3 3 6khi 3<x≤ 4 4 6khi 4<x ≤5 5 6khi 5<x ≤6 1khi x>6
- Tính chất hàm phân phối xác suất:
+ 0≤ F (x)≤1
+ Hàm F(x) là hàm không giảm
+ P (a ≤ x <b)=F (b )−F(a)
+ lim F (x )=0;lim F (x)=1; x→−∞ x →+∞
+ Nếu X là BNN liên tục thì : {F(x)liên tục trên R
P (X=x )=0
+ P (a ≤ x ≤ b
)=P (a<x ≤ b)=P(a<x<b)
VD1: BNN liên tục X có hàm phân phối xác suất: F(x)={ 0với x ≤1
ax +b−1<x ≤ 1/3 1với x >1/3 a , Tìm hệ số a và b.
b, Tính xác suất để trong kết quả của phép thừ X nhận giá trị trong khoảng (0;1/3)
c. Hàm mật độ xác xuất
Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục X ; kí hiệu là f(x) ; là đạo hàm bậc
nhất của hàm phân phối xác suất của nó. x
f(x)= F’(x) (x∈R¿=¿F(x)=∫ f (x)dx −∞ Tính chất:
- f (x) ≥0với ∀x∈R b
- P( a ≤ x ≤ b ¿=∫ f (x)dx a +∞
- ∫ f (x)dx=1 −∞
VD1: Cho BNN liên tục X có hàm mất độ xác suất là : 2;π 2]
f (x) ={acosxx ∈[−π 0x € [− 2 π ;π 2] a, Tìm hệ số a
b, Tìm hàm suất phân phối xác suất F(x)
c, Tính xác suất để X nhận giá trị trong (0; π/4¿
VD2: Tuổi thọ của 1 loại bóng đèn (đv h) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là :
f (x) = {kx2x ≥ 500(h) 0x<500(h) a, Tìm k
b, Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm thì có 7 sản phẩm có tuổi thọ hơn 700 (h)
3. Các tham số đặc trưng của BNN a , Kì vọng toán : E(x) + Nếu x là BNN rời rạc X x1x2….. xn P p1p2……. pn n
E(x)= x1p1+x2p2+….+xnpn=∑ x i p i i=1
+ Nếu X BNN có hàm mật độ là f(x). +∞
E(x)=∫ xf (x)dx −∞ VD1: Tìm E(x) biết X 1 -2 3 P 0,2 0,5 0,3
VD2: Cho đại lượng X là BNN liên tục có hàm phân phối xác suất là F(x)={ 0x≤ 2 1
4(x−2)22<x ≤ 4 1x>4
- Tính chất của kì vọng E(C)=C ( c là hằng số) E(CX )= CE(X) E(X+Y)= E(X)+E(Y) E(X.Y)=E(X).E(Y) b , Phương sai V(X)
Là kì vọng của bình phương độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên với kì vọng của nó V(X)= E[X-E(X)]2
+ Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất là: X x1x2….. xn P p1p2……. pn n
V(X)=∑ [xi−E (X )]2. pi i=1
+ Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất f (x) là: +∞
V(X) =∑ [x−E (X)]2f (x)dx=¿V (X)=E(X2 )−[E (X)]2 −∞ +∞
V(X) ¿∫ x2f (x)dx=¿¿¿¿ −∞
VD1: cho X là đại lượng BNN rời rạc có bảng phân phối: X 0 1 2 3 P 0,064 0,288 0,432 0,261 Tính V(X)
VD2: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là:
f (x)={3x2với x ∈(0;1)
0với x ∉(0;1) Tính V. V(C) =0 ( C là hằng số) V(X.C)=C2V(X)
V(X+Y)=V(X)+V(Y) (X;Y độc lập) V(C+X)=V(X)
C, Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X; Kí hiệu σ (X )là:σ (X )=√D(x) 4. Các tham số khác.
a. Mod: Là đại lượng ngẫu nhiên có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một
lân cận nào đó. Kí hiệu Mod(X) VD . X 0 1 2 3 P 0,064 0,288 0,432 0,216 Mod(x)=2
b , Trung vị là giá trị của biến ngẫu nhiên X chia phân phối thành 2 phần có
xác suất bằng nhau; kí hiệu Mod(X) P[XMod(X)]=1/2
Nếu X là BNN rời rạc : Mod(X)=xi nếu P( X<xi) ≤0,5<P¿ )
Nếu X là BNN liên tục: Mod(X)=m nếu: m
∫ f (x)dx=0,5 −∞