Chương 1: Số phức - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Đại số Tuyến tính Giảng viên: Đào Như Mai 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 1 Chương 1 Số phức  Ánh xạ  Cấu trúc Đại số  Số phức  Dạng đại số  Dạng lượng giác  Dạng số mũ
 Định lý cơ bản của đại số 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 2 1. Ánh xạ
Một số tập thường gặp:
 Số tự nhiên:  = {0,1,2,3 … }.
 Số nguyên:  = {0, ±1, ±2, … }.
 Số hữu tỷ:  = { :  ≠ 0, ,  ∈ ,  ,  = 1}: 
số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
 Số vô tỷ: số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
 Số thực: tập hợp các số vô tỷ và hữu tỷ, ký hiệu  12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 3
1. Ánh xạ, cấu trúc Đại số Ánh xạ
 Định nghĩa. Ánh xạ từ tập X vào tập Y là 1 quy
luật  liên hệ giữa X và Y sao cho khi  tác động vào
1 phần tử  ∈  sẽ tạo ra duy nhất 1 phần tử  ∈ . Ký hiệu
:  →  ,  = ()
  gọi là ảnh của ,  gọi là nghịch ảnh của 
 Ánh xạ :  → ,  ⊂ , ảnh của tập  qua ánh xạ :
  = :  =   ,  ∈  = {: ∃ ∈ ,  = ()}
  ⊂  thì   = { ∈ :   =  ∈ } gọi là
nghịch ảnh của  qua ánh xạ . 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 4 1. Ánh xạ Định nghĩa
 Ánh xạ :  →  gọi là đơn ánh nếu:
 ≠  →   ≠   .
 Ánh xạ :  →  gọi là toàn ánh nếu:   =  .
 Ánh xạ :  →  là song ánh nếu  đơn ánh, toàn ánh.
 Ví dụ :  → ,  =  là song ánh. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 5 1. Ánh xạ Định nghĩa
 Xét song ánh :  → , khi đó ứng với mỗi  ∈ 
có duy nhất  ∈  sao cho  = (), ngược lại
với mỗi  ∈  có duy nhất  ∈  sao cho  = f()
 Ánh xạ từ  →  cũng là 1 song ánh và được gọi
là ánh xạ ngược của ánh xạ :  → , ký hiệu .
 Do đó: :  →  ,  = (). 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 6 2 1. Ánh xạ 1.5  Ví dụ 1
 :  →  ,  =  là song ánh.  Ánh xạ ngược: 0.5 y=sqrt(x) y=x^2
:  →  ,  = . 0 0 0.5 1 1.5 2
 Đồ thị 2 ánh xạ này trùng nhau.
 Đổi lại biến:  = .
 Đồ thị của ánh xạ ngược và ánh xạ ban đầu đối xứng với
nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 7 2. Cấu trúc Đại số
Định nghĩa Phép toán 2 ngôi
 Ánh xạ : x →  gọi là 1 phép toán 2 ngôi trên tập .
 Có 2 cách ký hiệu phần tử (, )
 Lối cộng:  ,  =  + 
 Lối nhân:  ,  =  (hoặc . ;  ∗ ;  x ) 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 8 2. Cấu trúc Đại số
Phép toán 2 ngôi  trên tập , theo lối nhân.
Khi đó  có một số tính chất sau:
 Kết hợp:   =   , ∀, ,  ∈ .
 Giao hoán:  =  , ∀,  ∈ .
 Phần tử trung hòa: nếu ∃ ∈ :  =  =  , ∀ ∈ .
 Phần tử khả nghịch:  ∈  gọi là khả nghịch nếu
∃ ∈ :  =  =  .
  là phần tử trung hòa của phép toán 2 ngôi .
  gọi là phần tử nghịch đảo (hoặc phần tử đối) của . 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 9 2. Cấu trúc Đại số Ví dụ
 (, +): phép toán kết hợp, giao hoán, có phần tử trung hòa là số 0.
 (, . ): phép toán kết hợp, giao hoán, có phần tử trung hòa là số 1.
 (, +): mọi phần tử đều khả nghịch, nghịch đảo của  là −.
 (, . ): có 2 phần tử khả nghịch là số 1 và -1. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 10 2. Cấu trúc Đại số Tính chất
 Phép toán 2 ngôi  có phần tử trung hòa , thì  là duy nhất.
Thật vậy, giả sử tồn tại phần tử trung hòa , khi đó:  = .  = 
 Phép toán 2 ngôi  có tính kết hợp, thì mỗi phần
tử khả nghịch  có duy nhất 1 phần tử nghịch đảo, ký hiệu .
Thật vậy, giả sử  có nghịch đảo , , ta có:
 =  = . Do đó:
 =  =   =   =  =  12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 11 2. Cấu trúc Đại số Tính chất
 Chú ý. Trong trường hợp phép toán 2 ngôi  ký
hiệu theo lối cộng, thì phần tử trung hòa thường
gọi là phần tử 0, phần tử nghịch đảo của  ký
hiệu là −, và gọi là phần tử đối của .
Định nghĩa: Một tập hợp có trang bị một hay
nhiều phép toán 2 ngôi với những tính chất
xác định, sẽ tạo nên một cấu trúc Đại số.
Cấu trúc đại số thông dụng: nhóm, vành, trường. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 12 2. Cấu trúc Đại số Nhóm
 Định nghĩa: Nhóm là 1 tập hợp khác rỗng, được
trang bị 1 phép toán 2 ngôi có tính chất kết hợp,
có phần tử trung hòa, mọi phần tử đều có khả nghịch.
 (, . ) là nhóm nếu thỏa mãn:
  =   ; , ,  ∈ .
∃ ∈ :  =  =  ;  ∈ .
∀ ∈ , ∃ ∈ :  =  = .
 Nếu phép toán 2 ngôi có tính giao hoán, thì
nhóm (, . ) gọi là nhóm Abel. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 13 2. Cấu trúc Đại số Nhóm  Ví dụ
 , + , (, +) là các nhóm Abel.
 (, . ) không phải là nhóm, vì số 0 không khả nghịch
đối với phép toán nhân.  Tính chất
 Phần tử trung hòa  là duy nhất.
 Phần tử khả nghịch là duy nhất.
 Quy tắc giản ước:  =  →  = .
 Phương trình:  =  có nghiệm duy nhất:  = . 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 14 2. Cấu trúc Đại số Vành
 Định nghĩa: Vành là một tập  ≠ {∅} trang bị 2
phép toán 2 ngôi, 1 phép toán ký hiệu theo lối
cộng, 1 phép toán ký hiệu theo lối nhân, thỏa mãn:  (, +) là nhóm Abel.
 Phép nhân có tính kết hợp:
  =   ; ∀, ,  ∈  .
 Phép nhân phân phối đối với phép cộng:
  +  =  +  .
 +   =  +  . 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 15 2. Cấu trúc Đại số Vành
 Trong nhóm Abel (, +) phần tử trung hòa thường
ký hiệu là số 0, gọi là phần tử 0 của vành. Phần tử
nghịch đảo của  ký hiệu là −, và gọi là phần tử đối
của . Tổng  + (−) thường viết là  − , và gọi là hiệu của , .
 Nếu phép nhân có tính giao hoán:  = , thì vành
(, +, . ) gọi là vành giao hoán.
 Nếu phép nhân có phần tử trung hòa, thì phần tử
trung hòa đó gọi là đơn vị của vành (, +, . ), thường
ký hiệu là số 1, và vành (, +, . ) gọi là vành có đơn vị.
 Ví dụ: , +, . , , +, . , , +, . : các vành có đơn vị là số 1. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 16 2. Cấu trúc Đại số
 Giả sử  là vành, khi đó: 0 = 0 = 0 ,  ∈ 
Thật vậy: vì 0 = 0 + 0 nên 0 = 0 + 0  = 0 + 0 → 0 = 0. Tương tự: 0 = 0.
 −  =  − = −  , ,  ∈ .
Thật vậy:  + −  =  + −  = 0 = 0, nên −  = −  .
Tương tự:  − = −().
 − (−) =  , ,  ∈ .
Thật vậy: áp dụng liên tiếp 2 lần tính chất trên ta có:
− − = −  − = − −  =  vì  + [−  ] = 0.
   −  =  −  ;  −   =  − .
Thật vậy,   −  =   + − =  +  − =  − .
 Nhóm nguyên: là 1 vành (, +, . ) thỏa mãn:
x = 0 →  = 0 hoặc  = 0 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 17
Số phức – dạng lượng giác
Định nghĩa. Cho số phức  =  + 
 Môđun của z một số thực dương, ký hiệu  , xác định:  =  + 
 Góc  là argument của số phức  và được ký hiệu
là arg(z). 0 ≤  < 2 hoặc − <  ≤ .  =  =   
 hoặc  =   =  =    
 Dạng lượng giác của số phức 2 2  a b  z  a  b   i   r(cos  i sin) 2 2 2 2  a  b a  b  12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 31
Số phức – dạng lượng giác  Ví dụ
 Tìm tất cả các số phức  thỏa mãn: 1.  − 2 + 3 = 5
2.  −  +  +  = 4 3.  − 2 =  + 2 Giải
1.  − 2 + 3 = 5 ↔  − (2 − 3) = 5
Đường tròn tâm (2, −3), bán kính 5
2.  −  +  +  = 4
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ
đó đến hai điểm cho trước (0,1) và (0,-1) không thay đổi bằng 4 – Ellipse 1.  − 2 =  + 2
Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ
đó đến hai điểm cho trước (2,0) và (-2,0) bằng nhau - trục tung 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 32
Số phức – dạng lượng giác
Tính chất môđun của số phức   =   .   = || ;  ≠ 0.  ||   = ||.   +  ≤  + ||.   = ||.   =   || . 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 33/
Số phức – dạng lượng giác  Ví dụ
 Tìm dạng lượng giác của số phức  = −1 +  3 Giải  = −1,  = 3,
 môđun:  =  =  +  = 2.  Argument:  1 1  3 3  =  = − = − = 3 + 1 2 ,  =  = 3 + 1 2 .  Suy ra:  = 2/3.  Dạng lượng giác: 2 2
 = −1 +  3 = 2  3 +  3 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 34
Số phức – dạng lượng giác  Các phép tính
 Cho hai số phức dưới dạng lượng giác:
z  r (cos   i sin  ) 1 z  1 r (cos 1   isin 1  ); 2 2 2 2 r   r  Bằng nhau 1 2 z  z 1 2       k 1 2 2   Phép nhân 1 z  z2  1 r  2 r [ cos( 1   2)  isin( 1   2)]
Nhân 2 số phức: môđun nhân với nhau, argument cộng lại. z r  Phép chia 1 1  [cos(    i    1 2 ) sin( 1 2 )] 2 z 2 r
Chia 2 số phức: thương của hai môđun, hiệu của hai argument 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 35
Số phức – dạng lượng giác
Ví dụ Tìm dạng lượng giác của số phức:  = 1 +  1 −  3 Giải  = 1 +  1 −  3   − −
= 2  4 +  4 .2  3 +  3 =  −  −
= 2 2  4 + 3 +  4 + 3 = − −
= 2 2  12 +  12 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 36
Số phức – dạng lượng giác
Ví dụ Tìm dạng lượng giác của số phức: 2 −  12  = − 3+  Giải 4  − = 3 +  − 3 2  5 6 +  5 6 − 5 − 5
= 2  3 − 6 +  3 − 6 = −7 −7
= 2  6 +  6 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 37 Số phức – dạng mũ
Định lý Euler (1707-1783) ie  cos  isin
 Dạng đại số z  a  bi
 Dạng lượng giác z  r(cos  isin )  Dạng mũ i z  re  12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 38 Số phức – dạng mũ Ví dụ
 Tìm dạng mũ của z   3  i  5 5 
Dạng lượng giác z  2 cos  isin  5 i  6 6  Dạng mũ 6 z  2e
 Biểu diễn trên mặt phẳng phức  =  ,  ∈  Dạng lượng giác 2
z  e cos  i sin 
Trên mf phức là đường tròn bán kính 2 r  e  const 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 39
Số phức – lũy thừa cấp n
Cho  =  +  . Khi đó:
 = .  =  +   +  =  −  + 2
 = .  =  + 3 + 3()+()=
=  + 3 − 3 − 
=  − 3 + 3 −   ⋯ ⋯  = ( + )= =    
  +    + ()+ ⋯ +    = =  +  12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 40
Số phức – lũy thừa cấp n
Lũy thừa bậc  của số phức 1 i  i 5 3 2 i  i  i  i 2 i  1  6 4 2 i  i  i  1 3 2 i  i  i  i 7 5 2 i  i  i  i  4 2 2 i  i  i  1 8 4 4 i  i  i  1
Giả sử  ∈ ∗, khi đó  = , với  là phần dư của  chia cho 4 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 41
Số phức – lũy thừa cấp n Ví dụ
 Cho  = 2 + . Tính . 5 z  2  i 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
 C 2  C 2 i  C 2 i  C 2 i  C  2i  C i 5 5 5 5 5 5
 32  516i 10 8  1 10  4  i    5 21 i  38  41i
 Tính  = . Ta có: 1987 = 4 × 496 + 3.
Do đó:  = × =  = − 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 42
Số phức – lũy thừa cấp n  Công thức Moivre
Cho số phức biểu diễn dưới dạng  = ( + )
với  > 0,  ∈ , khi đó:  = ( + )  Ví dụ (1 + )
Ta có:  = 1 +  = 2  +   = 2   +       25
 = (1 + )= ( 2) 25  4 + 4 =   1 1
= 2 2  4 + 4 = 2 2 +  2 2 = 2 + 2 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 43
Số phức – lũy thừa cấp n b. (−1 +  3) Ta có: 1 3 2 2
 = −1 +  3 = 2 − 2 + 2 = 2  3 + 3
Theo công thức Moivre ta có: 400
 = (−1 +  3)= 2 400  3 + 3 396 + 4 = 2 396 + 4  3 +  3 4 1 3 = 2 4
 3 + 3 = 2 −2 − 2 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 44
Số phức – lũy thừa cấp n c. ( ) ( )
Ta có: 3 −  = 2  −   = 2   +      
12 + 2 = 4  +   = 4   +       ( 3 − ) 2( −17  = = 6 +  −17 6 ) ( 12 + 2) 4( 20 6 +  20 6 ) −37 = 2 −37  6 + 6
= 2   +     12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 45 Số phức – căn bậc n
Căn bậc  ∈  của số phức  là số phức , sao cho  = 
Cho số phức dưới dạng lượng giác:
 = ( + ) Khi đó:   + 2  + 2  =    =    +   ,  = 0. .  − 1.
Chú ý: Căn bậc  của số phức  có đúng  nghiệm phân biệt 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 46 Số phức – căn bậc n
Ví dụ. Tìm căn bậc  của số phức sau, biểu diễn 
các nghiệm trên mặt phẳng phức: 3 + 
Ta có: z = 3 +  = 2  +   = 2   +         Do đó:   =      = 2  +  ,    = 0,1,2,3.  1 z  z0  z2  z3 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 47
Định lý cơ bản của Đại số
ĐN. Đa thức là các hàm số có dạng:
  =  +  +  + ⋯ +  ,  ∈ ,  ∈ ∗
 ≠ 0: () có bậc . Thuật toán chia Euclid
Chia đa thức   =  − 7 +  − 6
cho đa thức:   =  +  −  − 1
Định lý cơ bản. Đa thức () bậc  có đúng 
nghiệm thực, phức kể cả nghiệm bội.
Chú ý: Định lý cơ bản của Đại Số cho biết được số
nghiệm của phương trình mà không đưa ra cách tìm nghiệm đó như thế nào. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 48
Định lý cơ bản của Đại số
 Hệ quả: Nếu z =  +  là một nghiệm phức của đa
thức () với hệ số thực, thì  =  −  cũng là
một nghiệm phức của đa thức ().
Chứng minh: xét đa thức với hệ số thực:
  =  +  +  + ⋯ +  ,  ∈ ,  ≠ 0,  ∈ ∗
Ta có:   =  +  +  + ⋯ +  =
=  +  +  + ⋯ +  =  +  +  + ⋯ +  = ()
  = 0 →   = () = 0 = 0
Do đó  cũng là nghiệm của đa thức () 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 49
Định lý cơ bản của Đại số
Hệ quả: Nếu z =  +  là một nghiệm phức của
đa thức () với hệ số thực, thì  =  −  cũng
là một nghiệm phức của đa thức ().
Định lý: Đa thức () với hệ số thực
   =  +  +  + ⋯ +  ,  ∈ ,  ≠ 0,  ∈ ∗
đều có thể phân tích được dưới dạng:
   =   −  …  −   +  +  … ( +  + ) trong đó:  
 , ,  ∈  và  − 4 < 0. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 50
Định lý cơ bản của Đại số Ví dụ
 Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực, biết đa thức đó có
2 nghiệm là:  = 3 và  = 2 + .
 Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực, biết đa thức đó có
2 nghiệm là:  = 3 và  = 2 + . Giải
 Bài 1 Không tồn tại đa thức thỏa mãn yêu cầu.
 Bài 2. Đa thức cần tìm:
  =  −   −   −   − 
=  − 3  + 3  − 2 +   − 2 − 
= ( + 9)( − 4 + 5)
=  − 4 + 14 − 36 + 45 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 51
Định lý cơ bản của Đại số
Ví dụ. Giải các phương trình sau trong trường số phức :  + 1 −  = 0  +  + 1 = 0  +  + 2 = 0  + 2 + 1 −  = 0
Giải phương trình:  +  +  = 0
 Bước 1: Tính ∆=  − 4
 Bước 2: Tính ∆= ∆,
 Bước 3:  = ∆ ;    = ∆  12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 52
Định lý cơ bản của Đại số
 Ví dụ Tìm tất cả các nghiệm của đa thức:
  =  − 4 + 14 − 36 + 45, biết đa thức đó có 1 nghiệm là 2 + . Giải
 () với hệ số thực, nên () cũng có 1 nghiệm là 2 − .
Mà:  − (2 + )  − (2 − ) =  − 4 + 5.
 Dùng phép chia đa thức có thể phân tích được như sau:
  = ( − 4 + 5)( + 9)
  + 9 có 2 nghiệm là 3 và −3.
 Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của () là:
2 + , 2 − , 3, −3 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 53
Định lý cơ bản của Đại số
Ví dụ: Giải phương trình sau trong :  +  = 0 Giải
 +  = 0 ↔  = − ↔  =  − .
Có: − = 0 − 1.  =   +   .   Do đó: −  −    2 + 2 2 + 2  = − =  9 +  9 ,  = 0. . 8 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 54
Định lý cơ bản của Đại số Các định nghĩa
 Phân thức là tỉ số của 2 đa thức: () . ()
() không là đa thức đồng nhất 0.
  , () là các đa thức với hệ số thực.
Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân thức goi là phân thức thực sự.  
() ; ,  ∈ : gọi là phân thức đơn giản loại 1.  
() ; , , ,  ∈ ;  − 4 < 0: gọi là
phân thức đơn giản loại 2. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 55
Định lý cơ bản của Đại số
 Định lý. Mọi phân thức thực sự có dạng: () ()
() = ( − )…  −    +  +   … ( +  + )
đều có thể phân tích được dưới dạng sau: ()        () =  −  + ⋯ + + ⋯ + + ⋯ + +   −    −   −      +  +  +     +  + ⋯ + + ⋯ +  + 
 +  +      +  +  +     +  + ⋯ +  + 
 +  +  
trong đó: , , ,  ∈  được xác định bằng pp đồng nhất thức. 12:29
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 56