Đại số Tuyến tính Giảng viên: Đào Như Mai 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 1
Chương 2: Ma trận và định thức  Định nghĩa
 Các phép biến đổi sơ cấp
 Các phép toán đối với ma trận  Hạng của ma trận  Ma trận nghịch đảo  Định thức 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 2 1. Định nghĩa
 Ma trận cấp    là một bảng số (thực hoặc phức) gồm  hàng
và  cột, được ký hiệu bởi  = ( . )×  …  …  ⋮ ⋮ ⋮  =  …  …  Hàng i ⋮ ⋮ ⋮
 …  …  × Cột j  Ví dụ  = 3 4 1 2 0 5 ma trận thực cấp 2x3, 
 Ma trận  có 2 hàng, 3 cột. Các phần tử của ma trận :
 = 3;  = 4;  = 1;  = 2;  = 0;  = 5 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 3 1. Định nghĩa
 Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn trên trường  được
ký hiệu là   .
 Ma trận không: ma trận có các phần tử là 0 được gọi là
ma trận không, ký hiệu 0. ( i, j).  = 0, 
 Phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác 0 đầu tiên trên
hàng đó tính từ bên trái.
 Hàng bằng 0: hàng chứa mọi phần tử là 0  Ma trận bậc thang
1. Hàng bằng 0 luôn nằm dưới hàng khác 0.
2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của hàng trên. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 4 1. Định nghĩa Không là ma trận bậc thang  Ví dụ  2 1 0 3 2   2 1 1 2     0 0 7 2 6    A   B  0 0 0 3    0 4 1 2 5     0 0 0 5 0 0 0 0 0     45 ma trận bậc thang 1 3 0 2  2   0 0 7 1 4 1 2 0 2      A   0 0 0  2 5  B  0 0 1 3      0 0 0 0 0  0 0 0 7  4 5  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 5 1. Định nghĩa
 Ma trận chuyển vị  = () của ma trận
 = () là ma trận, thu được từ ma trận  bằng
cách chuyển hàng thành cột  2 4 2 1 3   A   T A  1 0    4 0 923   3 93  2  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 6 1. Định nghĩa
 Ma trận vuông cấp nAlà ma trận có số hàng và số cột
của bằng nhau và bằng .
 Tập hợp các ma trận vuông cấp  trên trường số  được ký hiệu bởi   .
 Đường chéo chính của ma trận vuông  = ( , là )
đường thẳng nối các phần tử , , … ,   2 3 1 1    3 4 0 5     2 1 3 7    2 1 6 8    23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 7 1. Định nghĩa
 Ma trận vuông  = (
được gọi là ma trận tam )
giác trên nếu:  = 0,  > 
 Ma trận vuông  = (
được gọi là ma trận tam ) giác dưới nếu:  .  = 0,  < 
 Ma trận vuông  = (
được gọi là ma trận chéo ) nếu:  .  = 0,  ≠  2 1 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0    0 1 1 0  0 1 0 0 0 1 0 0 A    A    A   0 0 2 3 1 0 2  0 0 0 2  0       0 0 0 1 1 2   3 1 0 0 0 1 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 8 1. Định nghĩa
 Ma trận vuông  = (
được gọi là ma trận đơn vị nếu là ) 
ma trận chéo, và các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.
  = 1,  = 
0,  ≠  . Ma trận đơn vị thường được ký hiệu là , .
 Ma trận vuông  = (
được gọi là ma trận đối xứng nếu: )  =  . 1 0 0 0  2 1 3    0 1 0 0 E    A 1 4 7 0 0 1 0      3 7 0 0 0 0 1 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 9
2. Các phép biến đổi sơ cấp
 Các phép biến đổi sơ cấp (PBĐSC) đối với hàng
 Nhân vào một hàng tùy ý với một số khác 0:
ℎ → ℎ,  ≠ 0 .
 Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số tùy ý:
ℎ → ℎ + ℎ .
 Đổi chỗ 2 hàng tùy ý: ℎ ↔ ℎ .
 Tương tự ta có 3 phép biến đổi sơ cấp đối với cột.
 Chú ý: các PBĐSC là các phép biến đổi cơ bản, thường dùng nhất.
 Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận bậc thang bằng các PBĐSC đối với hàng.
 Chú ý: khi dùng các PBĐSC đối với hàng thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 10
2. Các phép biến đổi sơ cấp
 Ví dụ. Đưa ma trận A về dạng bậc thang
 Bước 1: bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn
phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở
 Bước 2: dùng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng, khử tất cả
các phần tử còn lại của cột đó
 Bước 3: che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và
những hàng trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại.  1 1 1 2 1    2 h h 2 2h1 2 3 1 4 5   0 1 1 0 3 A   h  h  3h 3 h  3 h h 2    3 3 1    3 2 3 7 4  0 1  0 1 1 h h 2 4 4 h 2  0 0 1 1 4  h  h  h 4 4 1      1 1 2 3 1   0 2 1 1 2    0 0 1 1 4 1 1 1  2 1    h h  0 1 1 0 3 4 4 h 3   0 0 1 1 4  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội   11 0 0 0 0 0  Ví dụ
 Đưa ma trận A về dạng bậc thang  1 1 2 1 1      h  h  2h h  h  h 2 1 3 4 2 2 2 1  0 1 1 2 0  3 3 2  h  h  3h h h  2h 3 4 7 3 1  3 3 1  0 1 1 0 4  4 4 2  4 h  4 h h  1   1 3 4 7 3      0 2 2 8 4   1  1 1 2 1 1      0 1 1 2 0   4 h h 4 2h 3   0 0 0 2 4      0 0 0 2 4    0 0 0 4  4   0 0 0 0 12 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 12
3. Các phép toán đối với ma trận
Cho 2 ma trận:  = (),  = (),
 Hai ma trận này được gọi là bằng nhau nếu:  Chúng cùng cấp.
 Các phần tử ở cùng vị trí tương ứng bằng nhau: =
 Tổng hai ma trận này ( + ), thực hiện được nếu:  Chúng cùng cấp.
 Các phần tử ở cùng vị trí tương ứng cộng lại.  = −1 2 4 3 0 5 ;  = 3 2 −6 1 4 7 ;  +  = 2 4 −2 4 4 12 .
 Nhân ma trận với 1 số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần tử của ma trận. 1 2 4   2 4 8  A    2 A    3 0 5  6 0 10 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 13
3. Các phép toán đối với ma trận
 Tính chất (phép công ma trận và nhân ma trận với 1 số)
Cho A, B là các ma trận cùng cấp, k và m là các số  A+B=B+A  (A+B)+C=A+(B+C)  A+0=A  k(A+B)=kA+kB  k(mA)=(km)A  (k+m)A=kA+mA 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 14
3. Các phép toán đối với ma trận  Nhân 2 ma trận
 Cho  = (),  = (). Tích .  =  = () , trong đó:    = ∑ 
  =  +  + ⋯ + 
 Để tìm phần tử  ở ma trận tích:
• lấy hàng  của ma trận  nhân với cột  của ma trận 
• (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau).  1 b j   *     *   b *  2 j    AB a   1i ia 2 . . a . . c . . ip     ij   *         p b j  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 15
3. Các phép toán đối với ma trận  Ví dụ Tính tích AB  1  2 2 2 1 4   A  ;B   3 0 1 4 1 0    2 4 3  1 2 2  2 1  4    1
c 1 c 12 c 13  7 12 15 AB   3 0 1    4 1 0            2 c 1 c 22 c 23 7 8  9    2 4 3   1    1 c  2 1  4 1 3  21 ( 1  )3  4 2  7   2   2
c 1  4113 0 2  7 1 c 2  2( 2)   ( 1  ) 0  4 4 12 2 c 2  4( 2
 ) 10  0 4  8  c        1 c 3  2 2  ( 1  )1 4 3 15 23 4 2 1 1 0 3 9 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 16 Ví dụ  2 3 2    Tính  1  2 1   1  2 12 1 2 3    3 0 4      2 13 10 1   1 4    2 3    Tính f(A) 2 f (x )  3x  4x  5 A  4 1     2 3 2 3  2 3  1 0 f (A )  3  4  5
 4 1  4 1   4 1   0 1         8  9    8 1  2  5 0  f (A )  3    12 11   16 4     0 5     24 27  3 12  21 39 f (A)      36 33   16 1     52 34     23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 17
3. Các phép toán đối với ma trận  Ví dụ  = 2 −1
4 1 ,  = 13 , tìm ma trận :  = 
Cấp của ma trận  là 2x1, đặt  =  .  =  ↔ 2 −1  4 1  = 13 . ↔ 2 − 
4 +  = 13 ↔ 2 −  = 1
4 +  = 3 ↔  = 2/3  = 1/3. Do đó:  = 2/3 1/3 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 18
3. Các phép toán đối với ma trận
 Tính chất của phép nhân 2 ma trận    =  
 b.   +  =  + 
 c.  +   =  +   d.  =  = 
 e.   =   = ()
 f. ()=   Chú ý
 Nói chung:  ≠ .
  =  ⇏  = .
  = 0 ⇏  = 0 hoặc  = 0. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 19
3. Các phép toán đối với ma trận  Phép lũy thừa
 Cho ma trận  = ():  = .  …   Quy ước:  = .
 Xét   =  +  + ⋯ +  + ;  = () Khi đó:   =     +  + ⋯ +  + .  Ví dụ  = 2 −1
3 4 ,   = 2 − 4 + 3. Tính  
  = 2 − 4 + 3 = = 2 2 −1 2 −1 3 4 3 4 − 4 2 −1 3 4 + 3 1 0 0 1 = = 2 1 −6 18 13 − 8 −4 12 16 + 3 0 0 3 = −3 −8 24 13 . 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 20
3. Các phép toán đối với ma trận  Ví dụ 1.  = 1 3 0 1 , tính A  = 1 3 1 3 1 6 0 1 0 1 = 1 6 0 1 ;  = 1 3 0 1 0 1 = 1 9 0 1 A = 1 200 × 3 0 1 2.  = 2 3 0 2 . Tính   = 2 1 3/2 0
1 → A = 2 1 300 0
1 = 2 300 × 2 0 2 3.  = 1 1 1 1 . Tính   = 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 1 1
1 1 = 2A → A = 2 1 1 1 1 = 2 2 2 2 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 21
3. Các phép toán đối với ma trận  Ví dụ 4.  = 3 2 2 3 . Tính  1 1 1 0  A  2   2 BE n n 1   B  2 B 1 1 0 1     
Vì B và E giao hoán nhau nên ta dùng nhị thức Newton: 2B E200 0  C 2B 200 1 C 2B 199 200 200  ... 200 200 C 200E 0 200 200 1  1 199 199 1  200 200     2 C 002 .2 B C 2002 .2 B ... C200E B   0 200 1 199 199 C 4  C 4  ... C .4 200  200 200 200 2 C 00E 2     200 4 1 1  . B  E 2 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 22 4. Hạng của ma trận  ĐN: Giả sử 
được đưa về ma trận bậc thang   bằng
các phép biến đổi sơ cấp theo hàng, khi đó ta gọi hạng
của ma trận  là số các hàng khác 0 của ma trận bậc
thang . Ký hiệu: ().
   = số hàng khác không của ma trận bậc thang .
 Ví dụ tìm hạng của ma trận A 1 2 1 1  A 2 4 2 2     3 6 3 4   1 2 1 1   1 2 1 1  1 2 1 1  h h 2h h h 2 2 1   A 2 4 2 2     2 3  
 0 0 0 1  r (A ) 2   0 0 0 0 h h 3  3 3 h1        3 6 3 4      0 0 0 1   0 0 0 0   23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 23 4. Hạng của ma trận
 Ví dụ. Tìm hạng ma trận  2 3 1 4   2 3 1 4 A  3 4 2 9     2 h 2 2 h 3  h1 
  0 1 1 6    3 h 3 h h 1   2 0 1 3      0 3 0 1    2 3 1 4  h h  3h 3 3 2    0 1 1 6     r (A ) 3  0 0 3 19   23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 24 Tìm m sao cho r(A) =3  1 1 1 2   A 2 3 4 1      3 2 m m 1    1  1 1 2  h1 -> h1 1 1 1 2  h2 -> h2 – 2h1     A 2 3 4 1 h3 -> h3 – 3h1   0 1 2 3   3 2  m m 1 0 1  m  3 m  5 h1 -> h1 1 1 1 2  h2 -> h2  h3 -> h3 + h2 0 1 2 3     →   = 3, ∀. 0 0  m  1 m  8 23:01 25
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 4. Hạng của ma trận  Tính chất của hạng    = 0 ⟺  = 0.
  = ()⇒   ≤ min ,  .
  é đ  à  thì   = (). 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 26 5. Ma trận nghịch đảo  ĐN. Ma trận vuông 
được gọi là ma trận khả nghịch 
nếu tồn tại ma trận  sao cho:  =  = ,  là ma
trận đơn vị. Khi đó  được gọi là ma trận nghịch đảo của
ma trận , ký hiệu:   2 1  3 1 A   xét B  5 3      5  2 22 22 2 1  3 1 1 0  AB   E 5 3  5 2     0 1    1  3 1   
 3 1 2 1  1 0 A  B    BA   E  5  2    5 2   5 3    0 1  
Chú ý: Không phải ma trận vuông  nào cũng khả nghịch. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 27 5. Ma trận nghịch đảo
 Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.
 Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.
 Ma trận nghịch đảo  của ma trận  là duy nhất
 Định lý (sự tồn tại của A-1). Cho ma trận vuông 
, các mệnh đề sau tương đương: 
1. Tồn tại  ( không suy biến). 2.   = . 3.  = 0 ⇒  = 0.
4.  é đ  à .
 Cách tìm A-1: Cho ma trận vuông  : 
| é đ  à | 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 28 5. Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 1 1 2 −1 0
 = 1 2 2  = −1 2 −1 1 2 3 0 −1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
| = 1 2 2 0 1 0 ~ 0 1 1 −1 1 0 1 2 3 0 0 1 0 1 2 −1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 −1
~ 0 1 1 −1 1 0 ~ 0 1 0 −1 2 −1 0 0 1 0 −1 1 0 0 1 0 −1 1 1 1 0 1 1 −1 1 0 0 2 −1 0
~ 0 1 0 −1 2 −1 ~ 0 1 0 −1 2 −1 0 0 1 0 −1 1 0 0 1 0 −1 1 ~ | 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 29 5. Ma trận nghịch đảo
 Tính chất của ma trận nghịch đảo
Đối với 2 ma trận khả nghịch ,  có các khẳng định sau: 1.   = .
2. .  là ma trận khả nghịch.
3.   = .
4.   =  . 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 30  1 1 1 Ví dụ A  2 3 1      
 Tìm ma trận nghịch đảo của  3 4 1   1 1 1 1 0 0 1 1 1  1 0 0     2 3 1 0 1 0 0 1 3 2  1 0      3 4 1 0 0 1     0 1 4 3   0 1  1 1 1  1 0 0  1 0 4  3 1  0  0 1 3 2 1 0   0 1 3 2 1 0          0 0 1 1 1 1     0 0 1 1  1   1  1 0 0 1 5 4   1 5 4  0 1 0 1 4 3  1     A  1 4 3    0 0 1 1 1 1       1 1 1      23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 31  1 1 2  Ví dụ  A 2 1    m 
 Tìm m để A khả nghịch  3 2 1    1 1 2 1 0 0  1 1 2 1 0 0  2 1   m 0 1 0  0 1  m 4 2  1 0     3 2 1 0 0 1      0 1  5  3   0 1  1 1 2 1 0 0  1 0 m  2 1  1 0     0 1 4 m 2 1 0    0 1 4  m 2 1  0        0 0 1 m 1 1 1        0 0 1   m 1  1   1  m  0 1 0 2  1  1 0 1 0 0 1 3 2      0 1 4 2 1  0 0 1 0 2 5 4            0 0 1  1  1  1 0 0 1 1 1 1    23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 32  1 1 2  Ví dụ  A 2 1    m     Tiếp  3 2 1  m  2  1 0 4  1  1 0  1 0 0 5  3  4  0 1 6 2 1 0       0 1 0 8 5 6     0 0 1 1 1 1        0 0 1 1  1   1   1 3 2  m  0  1 1 2    1   A 2 1 0 A  2  5  4        3 2 1     1 1 1  1 1 2  5 3 4  m  2     1   A 2 1 2  A  8 5 6       3 2 1       1 1 1  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 33
6. Định thức – Định nghĩa
 Cho ma trận vuông  = () , định thức của   là một
số, ký hiệu det() hoặc ||.
 Ký hiệu  là ma trận nhận được từ ma trận  bằng
cách bỏ đi hàng , cột .
 Định nghĩa định thức bằng quy nạp
 = 1:  =  → det () =  
 = 2:  =    
→ det  =  det  −  det  =  −  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 34
6. Định thức – Định nghĩa   
 = 3:  =      
→ det  =  det  −  det  +  det 
=   −  −   −  +
+( − )
=  +  +  −  − 
−  ⋯   = :  = ⋮ ⋱ ⋮  ⋯ 
→ det  =  det  −  det  +  det  + ⋯
⋯ + −1 det  = 
= (−1) det()  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 35
Định thức – Định nghĩa
 Định lý. Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển
theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó.
 Khai triển định thức theo hàng  ⋯ ⋯ ⋯ 
det  = det  ⋯  = (−1) det() ⋯ ⋯ ⋯ 
 Khai triển định thức theo cột  ⋯  ⋯ 
det  = det ⋯ ⋯ ⋯ = (−1) ⋯   det()  ⋯  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 36
Định thức – Định nghĩa  Ví dụ
Cho ma trận A, tính det()  2 3  3 2 3 1  3  3 0 1 4 a.   A 5 2 2 b. A      2  0 3 2 4 0 0      4 0 1 5
a. Khai triển định thức theo hàng thứ 3: 
det() = 4. (−1) −1 3 2 2 = −32
b. Khai triển theo cột 2 ta có: 3 1 4
det() = (−3). −1  −2 3 2 = 87. 4 −1 5 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 37
Định thức – Định nghĩa
 Quy tắc tính định thức của ma trận vuông cấp 3                   (+) (-)
 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử
nằm trên đường chéo chính 2 1  3 0 4
det() = 2. −3 . 5.4.1 = −120 0 3 6 7 1    A 0 0 5 2 8   0 0 0 4 9   0 0 0 0 1   23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 38
Định thức – Tính chất  1. det  = det().
Các tính chất của định thức khi phát biểu cho hàng thì
cũng đúng khi phát biểu cho cột.
 2. Đổi chỗ 2 hàng (2 cột) của ma trận thì định thức của ma trận đổi dấu.  3. det AB = det A det(B).
 4. Ma trận  có hàng (hoặc cột) bằng 0, thì det  = 0.
 5. Ma trận  có 2 hàng (hoặc 2 cột) tỷ lệ, thì det  = 0.
 6. Khi nhân hàng (cột) của ma trận với số  ≠ 0, thì định
thức của ma trận mới bằng  lần định thức của ma trận ban đầu. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 39
Định thức – Tính chất     
  +      7.    
   +  =    +    
   +                   
 8. Ma trận  có 1 hàng (1 cột) là tổ hợp tuyến tính của
các hàng (cột) khác thì det  = 0.
 Chú ý: det  +  ≠ det  + det(). 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 40
Định thức – Tính chất
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng để tính định thức
1. Nếu  →. ;   thì det  =  det().
2. Nếu  →.  thì det  = det().
3. Nếu  ↔  thì det  = − det().
 Định lý. Hạng của ma trận A bằng r nếu tồn tại một ma
trận vuông cấp r có định thức khác 0, và tất cả các ma
trận vuông cấp lớn hơn r có định thức bằng 0. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 41
Định thức – Tính chất
Nguyên tắc tính định thức sử dụng phép biến đổi sơ cấp
 Bước 1: Chọn 1 hàng (hoặc 1 cột) tùy ý.
 Bước 2: Chọn 1 phần tử khác 0 tùy ý của hàng (hoặc cột)
ở bước 1, dùng phép biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
 Bước 3: Khai triển theo hàng (hoặc cột) đã chọn. 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 42  1 1 2 1   Định thức – Ví dụ  2 3 5 0  A  
 Tính định thức của ma trận A  3 2 6 2      2  1 3 1  : 1 1 2 1  h1 -> h1 1 1 2 1 2 3 5 0 h2 -> h2 – 2.h1 0 1 1 2 det( ) A  h3 -> h3 – 3.h1  3 2 6 2 0 1  0 1 h4 -> h4 + 2.h1 2 1 3 1 0 3 7 1  1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 Khai triển  theo cột 1 1 1 1.( 1)   1 0 1 0 1 0 1  19 3 7 1 0 3 7 1  23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 43 Định thức – Ví dụ  3 2 1  1   2 3 2 0  
 Tính định thức của ma trận A A    3  1 4 2      4 1 3 1  3 2 1 1 3 2 1 1 2 3  2 0 h h  2h 3 3 1 2 3  2 0 | |
A  3 1 4 2 h h h 3 5 2 0 4 4 1 4 1 3 1 1 1 4 0 2 3 2  2 3 2 14  1 (1) 3 5 2   5 8 0 13 5 8  (2) (1)  30 1 1  4 5 5 5 5 0 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 44
Định thức – ứng dụng
Công thức tính ma trận nghịch đảo 
 Nếu det() ≠ 0, thì ∃, và  được xác định như sau: 1  = det() , trong đó:  ⋯   = ⋮ ⋱ ⋮ ,  ⋯  với:
 = (−1)det() . 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 45 Định thức Định lý.
 Ma trận vuông  khả nghịch ⟺ det() ≠ 0.
 Giả sử ma trận vuông  khả nghịch: 1 det  = det()
 Nếu  =  thì  không suy biến và  = .
 Nếu  =  thì  không suy biến và  = .
 Giả sử  là ma trận khả nghịch:   =   ∗ ,  ∈  1
  =  , ∀ ≠ 0 23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 46 Định thức – Ví dụ 1 1 1 A 2 3 1   
 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 3 4 0  
 Do det  = −2 ≠ 0 →  khả nghịch, hay ∃
 = (−1) 3 1
4 0 = −4;  = −1  2 1 3 0 = 3;
 = (−1) 2 3
3 4 = −1;  = −1  1 1 4 0 = 4 .
 = (−1) 1 1
3 0 = −3;  = −1  1 1 3 4 = −1 .
 = (−1) 1 1
3 1 = −2;  = −1  1 1 2 1 = 1 .
 = (−1) 1 1 2 3 = 1 .  4  4 2    2 1  1  1 1 A  3 3 1   3 / 2 3 / 2 1 / 2      2       1  1  1   1 / 2 1 / 2 1  / 2     23:01
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 47