Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất môn Xác suất thống kê| Trường Đại học Ngoại Thương

21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu X1 P như sau: 0 1 X2 0,6 0,4 P 1 2 X3 0,4 0,6 P
Lập 𝑋‾=𝑋1+ 𝑋2+ 𝑋3 3 Tính E(X 0 2 ) và V(X) 0,8 0,2
ĐS: E(X) = 0,8; V(X) = 0,12
2.10. Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau: Số khách trên 1 chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25
2.11. Cho 𝑋 và 𝑌 là 2 biến ngẫu nhiên độc lập với
E(X) = V(X) = 3; E(Y) = V(Y) = 2
Tìm kỳ vọng toán và phương sai của số khách đi mỗi chuyến và giải thích ý nghĩa của kết
a. Tính E(Z) và V(Z) với Z = (3X −2Y)/5 quả thu được.
b. Tính E(T) với T = 𝑍−𝐸(𝑍)
7.12. Thực hiện ba lần bắn bia với xác suất trúng bia tương ứng là 0,3; 0,4; 0,6. Tìm kỳ vọng 𝑉(𝑍) DS: E(X) = 1,3; V(X) = 0,69
toán và phương sai của số lần bắn trúng bia.
2.13. Thống kê tại tất cả 52 cửa hàng bán sản phẩm của công ty trên toàn quốc thu được các số liệu sau:
Số nhân viên bán hàng ở cửa hàng 2 3 4 5
Số cửa hàng tương ứng 10 12 16 14
a. Xây dựng bảng phân phối xác suất và hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng.
b. Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng và phương sai tương ứng. 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
2.14. Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận ba giá trị có thể có là x1= 4 với xác suất P1=
0,5; x2= 0,6 với xác suất P2= 0,3 và x3 với xác suất P3. Tìm x3 và P3 biết E(X) = 8.
2.15. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị có thể có là x1= −1; x2= 0; x3= +1. Tìm các
xác suất tương ứng P1; P2 và P3 biết rằng E(X) = 0,1 và E(X2)= 0,9.
DS: 𝑃1= 0,4; 𝑃2= 0,1 𝑃3= 0,5.
2.16. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất như sau: X x1 x2 P P1 0,7
Tìm 𝑥1, 𝑥2 và 𝑃1 biết 𝐸(𝑋) = 2,7 và 𝑉(𝑋) = 0,21(𝑥2> 𝑥1)
𝑫𝑺: x1= 2, x2= 3, P1= 0,3
2.17. Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và một phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt 2
sản phẩm (lấy không hoàn lại).
a. Gọi X là "số phế phẩm có thể gặp phải". Lập bảng phân phối xác suất của 𝑋. b. Tính E(X) và V(X)
c. Gọi Y là "số chính phẩm có thể gặp phải". Lập hệ thức cho biết mối quan hệ giũa 𝑌 và 𝑋. d. Tính E(Y) và V(Y).
2.18. Trở lại bài 2.8 . Nếu giá bình quân của mỗi xe máy bán ra tại cửa hàng đó là 12 triệu
đồng thì doanh thu bình quân hàng tuần của cửa hàng đó là bao nhiêu?
2.19. Với các số liệu của bài 2.10 , giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn đồng không
phụ thuộc vào số khách đi trên xe thì để công ty xe buýt có thể thu được lãi bình quân cho
mỗi chuyến xe là 100 ngàn đồng thì phải quy định giá vé là bao nhiêu? ĐS: 10, 17 ngàn.
2.20. Kinh nghiệm cho thấy là số lượng một loại sản phẩm mà một khách hàng mua có bảng
phân phối xác suất như sau: Số lượng sản phẩm 0 1 2 3 Xác suất tương ứng 0,5 0,1 0,2 0,2
a. Nếu mỗi sản phẩm được bán với giá 110 ngàn đồng và nhân viên bán hàng được hưởng
10% trên số sản phẩm bán được thì số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng
được hưởng từ mỗi khách hàng là bao nhiêu.
b. Tìm phương sai của số tiền hoa hồng đó và nêu ý nghĩa của kết quả thu được.
2.21. Tỷ lệ khách hàng phản ứng tích cực đối với một chiến dịch quảng cáo là biến ngẫu
nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X(%) 0 10 20 30 40 50 Px 0,1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
a. Hãy chứng tỏ các xác suất Px tạo nên một bảng phân phối xác suất.
b. Tìm tỷ lệ khách hàng bình quân phản ứng tích cực đối với chiến dịch quảng cáo đó.
c. Tìm xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng tích cực đối với chiến dịch quảng cáo.
2.22. Tung cùng một lúc hai con xúc xắc. Gọi 𝑋 là tổng số chấm thu được.
a. Tìm bảng phân phối xác suất của 𝑋.
b. Tìm hàm phân bố xác suất của 𝑋
c. Giá trị nào của 𝑋 có khả năng xảy ra nhiều nhất.
2.23. Qua theo dõi trong nhiều năm kết hợp với sự đánh giá của các chuyên gia tài chính thì
lãi suất đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X(%) 9 10 11 12 13 14 15 Px 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05
a. Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó thì sẽ đạt được lãi suất ít nhất là 12%.
b. Tìm lãi suất có thể hy vọng khi đầu tư vào công ty đó.
c. Mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó có thể đánh giá bằng cách nào?
2.24. Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư, xác suất để người đó gặp đèn đỏ
ở các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5 . Hỏi thời gian trung bình phải ngừng trên đường
là bao nhiêu, biết rằng mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải đợi khoảng 3 phút.
ĐS: Phải chờ khoảng 3,3 phút.
2.25. Có 5000 người xét nghiệm máu để tìm ký sinh trùng sốt rét. Tỷ lệ mắc bệnh ở địa
phương theo thống kê là 10%. Có thể làm xét nghiệm theo 2 phương pháp:
Phương pháp 1: Xét nghiệm từng người.
Phương pháp 2: Lấy máu 10 người một trộn lẫn làm một xét nghiệm. Nếu kết quả xét
nghiệm là âm tính (vô trùng) thì thông qua 10 người không ai mắc bệnh. Nếu kết quả xét
nghiệm là dương tính (có trùng) thì chứng tỏ trong 10 người đó có ít nhất một người mắc
bệnh. Lúc đó phải làm thêm 10 xét nghiệm lẻ để phát hiện các con bệnh cụ thể. Hỏi làm theo cách nào lợi hơn.
Giải: Theo phương pháp 1 thì phải làm 5000 xét nghiệm.
Theo phương pháp 2 thì gọi 𝑋 là số xét nghiệm phải làm đối với từng loạt 10 người.
X = 1 (nếu kết quả xét nghiệm là âm tính) và X = 11 (nếu kết quả là dương tính)
𝑃1= 𝑃(𝑋 = 1) = (1 − 0,1)10 = (0,9)10
𝑃2= 𝑃(𝑋 = 11) = 1 − 𝑃1= 1 − (0,9)10
Từ đó E(X) ≈ 7,5 tức là trung bình phải làm 7,5 xét nghiệm.
Vậy tổng số xét nghiệm phải làm là: 5000
10 x 7,5 = 3750 xét nghiệm.
Như vậy làm theo phương pháp 2 lợi hơn phương pháp 1 là 25%.
2.26. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 4 8 P 0,3 0,1 0,6 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu Tìm P(|X − E(X)| < 4) ĐS: P = 0,7.
§2. Biến ngẫu nhiên liên tục.
2.27. Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác
suất như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm).
f(x) = {𝑘(30 − x) x ∈ (0,30) 0 x ∉ (0,30) a. Tìm k.
b. Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12.000 sản phẩm trong một năm.
c. Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó.
DS: a. 𝑘 = 1/450; b. 𝑃𝑏= 0,64; c. 𝐸(𝑋) = 10
2.28. Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân
bố xác suất như sau (đơn vị phút).
𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 0
𝑎𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 với 0 < 𝑥 ≤ 1 1 với 𝑥 > 1
a. Tìm hệ số a
b. Tìm thời gian xếp hàng trung bình.
c. Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút.
𝑫𝑺: a = 2; E(X) = 0,5; Pc = 0,875
2.29. Cho 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất sau đây: F(x) = 12+1𝜋arctg 𝑥
a. Tìm 𝑃(0 < 𝑥 < 1)
b. Tìm hàm mật độ xác suất của X ĐS: a. 𝑃 = 14
b. 𝑓(𝑥) = 1𝜋(1+𝑥2)
2.30. Biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm phân bố xác suất như sau:
F(x) = {1 − 𝑒−𝑥/𝜃 với x > 0; 𝜃 > 0 0 với ≤ 0
a. Tìm hàm mật độ xác suất của X.
b. Tìm 𝑃(0 < 𝑥 < 𝜃)
DS: a. 𝑓(𝑥) = {1𝜃𝑒⋅𝑥/𝜃 với 𝑥 > 0 0 Với 𝑥 ≤ 0
b. 𝑃(0 < 𝑋 < 𝜃) = 𝑒 − 1 𝑒 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
2.31. Biến ngẫu nhiên 𝑋 liên tục trên toàn trục số và có hàm phân bố xác suất
F(x) = 12+1𝜋arctg 𝑥 𝑥2
Tìm giá trị có thể có x1 thoả mãn điều kiện P(X > x1)= 1/4 Giải:
𝑃(𝑋 < 𝑥1)= 1 − 𝑃(𝑋 > 𝑥1)= 3/4
Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất thì P(X < x1) = F(x1) vậy
F(x1) = 12+1𝜋arctg 𝑥 ⋅ x12=3 4 Suy ra x1= 2
2.32. Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục trong khoảng (−∞; +∞) với hàm mật độ xác
suất là f(x). Hãy tính giá trị của ∫−∞
l 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 biết rằng P(X ≥ 1) = 0,3.
2.33. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm phân bố xác suất như sau:
𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 2
(1/2)𝑥 − 1 với 2 < 𝑥 ≤ 4 1 với 𝑥 > 4
Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử X nhận giá trị: a. Nhỏ hơn 3. b. Trong khoảng [2,3) DS: Pa= 0,5; Pb= 0,5
2.34. Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng
𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 0
sin 2𝑥 với 0 < 𝑥 ≤ 𝜋/4 1 với 𝑥 > 𝜋/4
Tìm hàm mật độ xác suất f(x).
DS: 𝑓(𝑥) {2cos 2𝑥 với 𝑥 ∈ (0, 𝜋/4) 0 với 𝑥 ∉ (0, 𝜋/4)
2.35. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm phân bố xác suất như sau:
𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 2
𝐶𝑥 − 1 với 2 < 𝑥 ≤ 4 1 với 𝑥 > 4 a. Tìm hằng số C b. Tìm 𝐸(𝑋)
Giải: a. Từ biểu thức của hàm phân bố xác suất suy ra hàm mật độ xác suất có dạng:
𝑓(𝑥) = {𝐶 với 𝑥 ∈ (2,4) 0 với 𝑥 ∉ (2,4)
Theo tính chất của hàm mật độ xác suất 𝑑𝑥
1 = ∫ +∞ 𝑓(𝑥) = ∫24 𝐶𝑑𝑥 ⇒ 𝐶 = 1 −∞ 2
b. Theo định nghĩa kỳ vọng toán 𝑥𝑓 𝑑𝑥
E(X) = ∫ +∞ (𝑥) = ∫24 1 −∞ 2𝑥𝑑𝑥 = 3 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
2.36. Biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất
𝑓(𝑥) = {𝑎cos 𝑥 với 𝑥 ∈ (−𝜋/2, 𝜋/2)
0 với 𝑥 ∉ (𝜋/2, 𝜋/2) a. Tìm hệ số a. b. Tim P(0 ≤ X < 𝜋/4) c. Tìm E(X)
ĐS: a. a = 12; b. P(0 ≤ X < 𝜋4)=√24; c. E(X) = 0
2.37. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm phân bố xác suất
𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 0
1/2 − 𝑘cos 𝑥 với 0 < 𝑥 ≤ 𝜋 1 với 𝑥 > 𝜋 a. Tìm hệ số k
b. Tìm P(0 < X < 𝜋/2) c. Tìm 𝐸(𝑋)
DS: a. k = 12; b. P(0 < X < 𝜋/2) = 12 c. E(X) = 𝜋2
2.38. Thu nhập của dân cư một vùng là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất
như sau: F(x) = {1 − (x0/x)𝛼 với x ≥ x0
0 với x < x0 (𝛼 > 0)
Hãy xác định mức thu nhập sao cho lấy ngẫu nhiên một người ở vùng đó thì thu nhập của
người này vượt quá mức trên với xác suất 0,5 . ĐS: 21/𝛼x0
2.39. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất như sau:
f(x) = {2𝜋cos2 x với x ∈ [−𝜋2;𝜋2] 0 với x ∉ [𝜋 2;𝜋2]
Tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (0, 𝜋/4) DS: 0,296
2.40. Cho hàm số 𝑓(𝑥) = {𝑥2/9 với 𝑥 ∈ (0,3) 0 với 𝑥 ∉ (0,3)
a. Hàm số trên có phải là hàm mật độ xác suất không.
b. Nếu có thì tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có ít nhất một lần 𝑋 nhận giá trị trong khoảng (1,2).
2.41. Cho hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
𝐹(𝑥) = 𝑐 + 𝑏. arctg 𝑥𝑎 với (−∞ < 𝑥 < +∞) 𝑎 > 0
a. Tìm các hệ số c và b
b. Tìm hàm mật độ xác suất f(x)
DS: a. 𝑐 = 12; 𝑏 = 1𝜋 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
b. f(x) = 𝑎𝜋(𝑥2+𝑎2)
2.42. Tỷ lệ mắc một loại bệnh trong một vùng dân cư là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 𝑓(𝑥) = {1 20 với 𝑥 ∈ (5,25) 0 với 𝑥 ∉ (5,25)
a. Tính P(|X − 10| > 2,5)
b. Tính tỷ lệ mắc bệnh trung bình và phương sai. DS: a. P = 0,75 b. E(X) = 15; V(X) = 33,3
2.43. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất
𝑓(𝑥) = {𝑘 với 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 0 với 𝑥 ∉ (𝑎, 𝑏) a. Tìm hệ số k
b. Tìm 𝐸(𝑋) và 𝑉(𝑋)
c. Vẽ đồ thị hàm f(x) và F(x) ĐS: a. k = 1𝑏−𝑎 b. E(X) = 𝑎+𝑏 2; V(X) = (𝑏−𝑎)2
12 𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥 − 𝑎 với 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
𝑏 − 𝑎 vớ 𝑥 > 𝑏
2.44. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất.
f(x) = {Csin 2x với x ∈ (0, 𝜋/2) 0 với x ∉ (0, 𝜋/2) Tìm hệ số C. DS: C = 1
2.45. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất.
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥 (−∞ < 𝑥 < +∞) Tìm k ĐS: k = 2𝜋
§3. Bài tập tổng hợp chương II
2.46. Theo thống kê dân số thì một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm 1 năm nữa là 0,995 .
Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với
giá là 10 ngàn và trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là I
triệu. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu? ĐS: 5 ngàn
2.47. Giá hàng ngày trên thị trường thế giới về đường (đơn vị: USD/fao) có bảng phân phối suất như sau: 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
X 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83
P𝐱 0,05 0,10 0,25 0,40 0,15 0,05
a. Tìm xác suất để giá đường vào một ngày nào đó sẽ đạt ít nhất là 0,8 USD/fao.
b. Tìm xác suất để giá đường vào một ngày nào đó sẽ thấp hơn 0,82 USD/fao.
c. Giả sử giá hàng ngày của đường là độc lập nhau, tìm xác suất để trong hai ngày liên tiếp
giá đường đều cao hơn 0,8USD/ fao.
2.48. Lợi nhuận X thu được khi đầu tư 50 triệu đồng vào một dự án có bảng phân phối xác
suất như sau (đơn vị: triệu đồng). X -2 -1 0 1 2 3 Px 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a. Tìm mức lợi nhuận có khả năng nhiều nhất khi đầu tư vào dự án đó.
b. Việc đầu tư vào dự án này có hiệu quả hay không? Tại sao?
c. Làm thế nào để đo được mức độ rủi ro của vụ đầu tư này? Hāy tìm mức độ rủi ro đó.
2.49. Lợi nhuận thu được từ 1 triệu đồng đầu tư vào công ty A(XA) và công ty B(XB) có các
bảng phân phối xác suất như sau: (đơn vị: ngàn đồng) XA -500 -100 100 500 700 PxA 0,2 0,3 0,2 0,2 0,1 XB -200 50 100 PxB 0,1 0,6 0,3
a. Nếu dự định đầu tư 10 triệu đồng thì lợi nhuận kỳ vọng khi đầu tư vào công ty 𝐴 và 𝐵 là bao nhiêu.
b. Nếu dùng hệ số biến thiên như độ đo mức độ rủi ro của đầu tư thì việc đầu tư vào công ty nào rủi ro hơn?
2.50. Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:
Phương án 1: Trả 5 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện.
Phương án 2: Trả 100 ngàn đồng nếu thua kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện.
Luật sư đã chọn phương án 2 . Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của
công ty tối thiểu là bao nhiêu. DS: 0,329
2.51. Trên một tuyến bay người ta thống kê được rằng có 0,5% hành khách bị mất hành lý
và giá trị trung bình mà khách đòi bồi thường cho số hành lý bị mất là 600 ngàn đồng. Công 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
ty hàng không muốn tăng thêm giá vé để bù đắp cho số tiền phải bồi thường cho số hành lý
bị mất. Vậy công ty nên tăng thêm giá vé là bao nhiêu? Tại sao?
2.52. Số lượng thuyền gỗ 𝑋 mà một xưởng đóng thuyền có thể làm được trong một tháng
có bảng phân phối xác suất như sau: X 2 3 4 5 6 7 8
PX 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 0,05 0,05
a. Tìm xác suất để trong tháng tới xưởng đó sẽ đóng được từ 4 dến 7 con thuyền.
b. Tìm hàm phân bố xác suất của X.
c. Dùng hàm phân bố xác suất, hãy tính xác suất để trong tháng tới xưởng đó sẽ đóng được không quá 6 con thuyền.
d. Số thuyền có khả năng nhiều nhất mà xưởng đó có thể đóng được trong tháng tới là bao nhiêu?
e. Giả sử việc đóng thuyền có chi phí cố định hàng tháng là 25 triệu đồng và chi phí bổ sung
cho mỗi con thuyền là 5 triệu đồng. Hãy tìm chi phí bình quân hàng tháng của xưởng đó.
2.53. Số lượng sản phẩm hỏng mà một công nhân có thể làm ra trong một tháng có bảng
phân phối xác suất như sau: Số SP hỏng 0 1 2 3 4 5 6 Xác suất 0,01 0,09 0,30 0,20 0,20 0,10 0,10 tương ứng
a.Tìm xác suất để trong một tháng người công nhân đó làm ra không quá 4 sản phẩm hỏng.
b. Giả sử số sản phẩm mà người công nhân đó phải làm bù bằng bình phương số sản phẩm
hỏng mà người đó đã làm trong tháng. Tìm số sản phẩm phải làm bù bình quân mỗi tháng
của người công nhân đó.
2.54. Số lượng xe ô tô TOYOTA mà một đại lý bán được trong một tuần có bảng phân phối xác suất như sau: Số xe bán được 0 1 2 3 4 5 Xác suất tương ứng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a. Tìm xác suất để đại lý đó bán được ít nhất 4 xe trong một tuần.
b. Giả sử chi phí cho hoạt động của đại lý bằng căn bậc hai của số xe bán được nhân với 3
triệu. Tìm chi phí trung bình cho hoạt động của đại lý mỗi tuần.
2.55. Qua kinh nghiệm, một cửa hàng bán bánh trung thu biết rằng dịp tết trung thu số
bánh có thể bán được có phân phối xác suất như sau 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu Số bánh bán được (x) 400 500 600 700 800 900 Xác suất 0,05 0,15 0,41 0,34 0,04 0,01
a. Tìm trung bình và độ lệch chuẩn của số bánh bán được.
b. Nếu cửa hàng đặt mua 600 chiếc thì xác suất bán hết bánh là bao nhiêu, xác suất còn thừa lại là bao nhiêu.
c. Để có thể chắc chắn đến 95% là sẽ đủ bánh bán thì cưa hàng cần đặt mua bao nhiêu chiếc bánh.
2.56. Trong 900000 vé số phát hành thì có 20 giải trị giá 50 triệu, 150 giải trị giá 5 triệu và
1600 giải trị giá 1 triệu. Tìm số tiền lãi kỳ vọng của một người khi mua một vé, biết giá vé là 5 ngàn đồng.
2.57. Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào một công ty mà nếu trong năm
tới công ty làm ăn thuận lợi có thể sẽ mang lại lãi suất đến 14% còn nếu gặp khó khăn thì
lãi suất c 𝑣 thể giảm đến mức 4%. Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảm
bảo sau một năm là 8%. Vậy nếu dùng tiền để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là bao nhiêu. DS: 0,6
2.58. Nhu cầu hàng ngày về một loại thực phẩm tươi sống có phân phối xác suất như sau: Nhu cầu (kg) 30 31 32 33 34 35 Xác suất 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,15
Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 2,5 ngàn và bán ra với giá 4 ngàn. Nếu bị ế đến cuối
ngày phải bán hạ giá còn 1,5 ngàn mới bán được hết. Vậy phải đặt mua hàng ngày bao
nhiêu kg thực phẩm để có lãi nhất. DS: 32 kg
2.59. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng
𝑓(𝑥) = {𝑥𝑚𝑒−𝑥 𝑚! với 𝑥 ≥ 0 0 với 𝑥 < 0
Tìm 𝐸(𝑋) và 𝑉(𝑋).
Hướng dẩn: Sử dụng hàm Gam - ma
∫0∞ 𝑥𝑚𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑚! E(X) = m + 1 V(X) = m + 1
2.60. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm phân bố xác suất
𝐹(𝑥) = {1 − 𝑥03𝑥3 với 𝑥 ≥ 𝑥0
0 với 𝑥 < 𝑥0 (𝑥0> 0)
Tìm 𝐸(𝑋) và 𝑉(𝑋) 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
DS: E(X) = 32x0 V(X) = 34𝑥02
2.61. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất
𝑓(𝑥) = {(sin 𝑥)/2 với 𝑥 ∈ (0, 𝜋) 0 với 𝑥 ∉ (0, 𝜋)
a. Tìm hàm phân bố xác suất F(x).
b. Tìm P(0 < X < 𝜋/4) c. Tìm E(X) ĐS: a
𝐹(𝑥) = {0 với 𝑥 ≤ 0 1 − cos 𝑥 2 với 0 < 𝑥 ≤ 𝜋 1 với 𝑥 > 𝜋
b. P(0 < X < 𝜋4)=1 2−√24 c. 𝐸(𝑋) = 𝜋2
2.62. Một công ty cung cấp nguyên vật liệu gửi 5 giấy đòi nợ tới một xí nghiệp yêu cầu
thanh toán tiền cho 5 đợt giao hàng vừa qua với số lượng hàng của các đợt không khác
nhau nhiều lắm. Trong số 5 giấy đòi nợ này (mỗi giấy viết riêng cho từng đợt) có 2 giấy ghi
sai số tiền phải thanh toán. Do đến hạn phải trả nợ ngân hàng, công ty yêu cầu xí nghiệp
thanh toán ngay cho ba đợt bất kỳ trong 5 dợt giao hàng
ngày. Kế toán viên của xí nghiệp lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3 giấy để kiểm tra và làm các phiếu chi.
Tính xác suất để trong số 3 giấy lấy ra đó có ít nhất một giấy ghi sai số tiền phải thanh toán.
2.63. Xí nghiệp và công ty nói ở bài trên thoả thuận với nhau rằng nếu kế toàn viên của xí
nghiệp phát hiện thấy có giấy đòi nợ nào trong số 3 tờ giấy được lấy ra mà ghi sai số tiền thì
xí nghiệp có quyền hoãn trả số nợ của đợt giao hàng đó. Mỗi giấy bị hoãn trả sẽ làm thiệt
cho công ty khoảng 5 triệu đồng do phải trả lãi nợ quá hạn cho ngân hàng.
Hãy xác định số tiền thiệt hại trung bình có thể xảy ra đối với công ty do phải trả lãi nợ quá hạn.
2.64. Tuổi thọ (tính theo giờ) của một loại van điện lắp trong một thiết bị là biến ngẫu nhiên
có hàm mật độ xác suất như sau: f(x) = {0 nếu x ≤ 0 100/x2 nếu x > 100
Tìm xác xuất để có 2 trong số 5 van điện này bị thay thế trong 150 giờ hoạt dộng đầu tiên
biết rằng việc hỏng của các van điện là độc lập với nhau.
2.65. Tuổi thọ (tính theo giờ) của một trò chơi điện tử bấm tay là một biến ngẫu nhiên có
hàm mật độ xác suất như sau: 𝑓(𝑥) = {𝑘𝑒−𝑥/100 với 𝑥 ≥ 0 0 với 𝑥 < 0 Trong đó k là hằng số Tính xác suất. 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu
a. Tuổi thọ của trò chơi này nằm trong khoảng từ 50 đến 150 giờ
b. Tuổi thọ của trò chơi này ít hơn 100 giờ.
2.66. Tuỳ theo tình hình kinh tế trong nước mà trong năm tới một công ty thu được mức lãi
(tính theo triệu đơn vị tiền tệ của nước này) khi đầu tư vào hai ngành A và B sẽ như sau: Tình hình Kém phát triển Ổn định Phát triển kinh tế Ngàc lãi 20 80 120 Ngành A -30 100 140
Theo dự báo thì xác suất để nền kinh tế của nước đang xét trong năm tới sẽ rơi vào các tình
trạng tương ứng nêu trên là 0,3; 0,5 và 0,2 .
Vậy công ty nên đầu tư vào ngành nào để cho:
a. Mức lãi kỳ vọng là cao hơn.
b. Độ rủi ro (phương sai của mức lãi) là ít hơn?
2.67. Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức sau:
• Hình thức thứ nhất là mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm.
• Hình thức thứ hai là nếu trả lời đúng câu thứ nhất mới được trả lời câu thứ hai, nếu
không thì dừng. Trả lời
đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được 10 điểm.
Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm. Giả sử xác suất trả lời
đúng mỗi câu đều là 0,75 ; việc trả lời đúng mổi câu là độc lập với nhau.
Theo bạn, nên chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn.
2.68. Chủ một cửa hàng sủa chữa điện dân dụng thuê 5 thợ sửa chữa làm việc 40 giờ một
tuần với lương là 800 ngàn/tuần. Do nhu cầu sửa chữa tăng lên nên nhiều hợp đồng phải
từ chối. Để xét xem có cần thuê thêm một thợ nữa không, ông chủ đã khảo sát nhu cầu 𝑋
và thu được các số liệu sau: Nhu cầu X Xác suất 𝑃(𝐱) 180 −190 0,03 190 −200 0,09 200 −210 0,12 210 −220 0,15 220 −230 0,22 230 −240 0,21 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu 240 −250 0,13 250 −260 0,05
Nếu mỗi giờ sửa chữa chủ cửa hàng thu được 30 ngàn thì có nên thuê thêm 1 công nhân nữa không nếu:
a. Năm người công nhân cũ chỉ đồng ý làm đúng 40 giò/tuần.
b. Năm người công nhân cũ đồng ý làm thêm tối đa mỗi người 5 giờ mỗi tuần với tiền công
là 25 ngàn/giờ làm thêm.
2.69. Biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất
f(x) = {1𝜋√𝑎2− 𝑥2 với x ∈ (−a,a) 0 với x ∉ (−a, a) Tìm E(X) DS: E(X) = 0
2.70. Biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm phân bố xác suất F(x) = {0 với x ≤ −2
12+1𝜋arcsin x2 với − 2 < x ≤ 2 1 với x > 2
a. Tìm 𝑃(−1 < 𝑋 < 1)
b. Tìm hàm mật độ xác suất f(x) ĐS: a. 𝑃 = 1/3 b.
𝑓(𝑥) = {1𝜋√4−𝑥2 với 𝑥 ∈ (−2,2) 0 với 𝑥 ∉ (−2,2) 21:02, 27/01/2026
Bài Tập XSTK Chương 2: Tính Toán Biến Ngẫu Nhiên và Phân Phối Xác Suất - Studocu