-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Chương 3. Hệ phương trình - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Chương 3. Hệ phương trình - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Đại số (MAT1093) 29 tài liệu
Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 262 tài liệu
Chương 3. Hệ phương trình - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Chương 3. Hệ phương trình - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số (MAT1093) 29 tài liệu
Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 262 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu khác của Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Preview text:
Đại số Tuyến tính Giảng viên: Đào Như Mai 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 1
Chương 3. Hệ phương trình Đại số tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ Cramer
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 2
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm phương
trình, ẩn số có dạng:
+ + ⋯ + =
+ + ⋯ + =
… … … … … … … … … … … … … … …
+ + ⋯ + =
, , … , : ẩn của hệ phương trình.
: hệ số của hệ phương trình, = 1. . , = 1. . .
, … , : hệ số tự do (vế phải) của hệ phương trình. 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 3
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát có thể viết lại dưới dạng: = . a a ... a 11 12 1n a a ... a 21 22 2 n A Ma trận hệ số. ... ... ... ... a a ... a 1 m m 2 mn b x 1 1 b x 2 b 2 Ma trận hệ số tự do; x Ma trận ẩn. ... ... b x m n 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 4
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu
tất cả các hệ số tự do bằng 0 ( = 0, = 1. . ).
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần
nhất nếu tồn tại ít nhất một trong các hệ số tự do khác 0.
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là một bộ số
, … sao cho khi thay vào từng phương trình của hệ
ta được những đẳng thức đúng.
Một hệ phương trình tuyến tính có thể Vô nghiệm. Hệ không tương thích Có nghiệm duy nhất. Hệ tương thích Có vô số nghiệm. 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 5
Phép biến đổi tương đương đối với hệ ptr
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu
chúng cùng chung một tập nghiệm.
Để giải hệ phương trình ta dùng các phép biến đổi hệ về
hệ tương đương, mà hệ này đơn giản hơn.
Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu biến
một hệ phương trình về một hệ tương đương
3 phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình
Nhân hai vế của phương trình với một số khác 0.
Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã được
nhân với một số tùy ý.
Đổi chỗ hai phương trình 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 6 Ví dụ
Ví dụ Giải hệ phương trình: + = 0 2 − + 3 = 3 − 2 − = 3 x y 0 2hh 1 2 3y 3z 3 h h 1 3 3y z 3 x y 0 Phương trình có nghiệm h h 2 3 3 duy nhất: y 3z 3 x = 1; y = -1; z = 0. 4z 0 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 7 Ví dụ Sử dụng ma trận Ma trận hệ số: Ma trận mở rộng: 1 1 0 1 1 0 0 2 1 3 2 1 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 x 1 2h h 1 2 2 1 3 3 0 3 3 3 h h 0 3 3 3 2 3 y 1 h h 1 2 1 3 1 3 0 3 1 3 0 0 4 0 z 0 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 8 Ví dụ 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 5 6 0 0 1 1 4 BĐSC hàng 3 3 4 1 1 0 0 0 6 8
Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở: x1, x , x 3 4
Ẩn tự do là tương ứng với cột không có phần tử cơ sở: x2
Định lý Kronecker Capelli
Nếu (|) ≠ () thì hệ ptr = vô nghiệm.
Nếu = () thì hệ ptr = có nghiệm:
= = số ẩn, thì hệ có nghiệm duy nhất.
= < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm. 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 9 Phương pháp khử Gauss
Phương pháp khử Gauss: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp
đối với hàng để giải hệ phương trình
Lập ma trận mở rộng = | .
Dùng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng
về ma trận dạng bậc thang. Kiểm tra hệ có nghiệm hay không.
Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.
Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên. 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 5 6 0 0 1 1 4 BĐSC hàng 3 3 4 1 1 0 0 0 6 8 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 10
Ví dụ . Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình: 3x 6x 6x 4x 5 2 3 4 5 3x 7x 8x 5x 8x 9 1 2 3 4 5
3x 9x 12x 9x 6x 15 1 2 3 4 5
Dùng phép BD tương đương
0 3 6 6 4 5 0 3 6 6 4 5 0 0 0 0 1 4 3 7 8 5 8 9 0 1 2 2 1 3 0 1 2 2 1 3 3 9 12 9 6 15 1 3 4 3 2 5 1 3 4 3 2 5
= < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm. Ẩn cơ sở x1, x . Ẩn tự do: x 2 và x5 3 và x4 Nghiệm tổng quát x 4 5 x 7 2(x x ) 2 3 4
x 3 3 7 2(x x ) 4x 3x 24 2x 3 1 3 4 3 4 3 x4 06-Oct-21 Department of Mathematics 11 Ví dụ
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 3 0 1 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 3 4 2 2 5 0 1 1 1 1 0 0 0 3 4 2 3 1 1 3 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
= < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm. Ẩn cơ sở x1, x . Ẩn tự do: x 2 và x4 3 Nghiệm tổng quát 4 x 4 3 8 1 x 3 2 x3 x3 3 3 4 1 1 x 2 x x 2 1 3 3 x 3 3 3 3 06-Oct-21 Department of Mathematics 12 Ví dụ
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 4 0 1 1 2 0 1 1 2 3 4 m m 1 0 1 m 3 m 2 0 0 m 2 m 4
Với mọi m2, hệ phương trình sau có nghiệm Nghiệm tổng quát 2 x 1 3 m 2 2 x 3 2 m 2 4 x 3 1 m 2 06-Oct-21 Department of Mathematics 13 Ví dụ
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 0 1 1 3 0 0 1 1 3 0 3 4 2 0 6 0 1 1 3 3 0 0 3 m 1 m 1 2 1 0 m m 1 0 1 2 m 2 m 1 0 0 0 2 1 Với mọi m
Nghiệm tổng quát x 0. 5 4
x m 1 0.5(m 1) 1.5m 0.5 3
x 1.5m 0.51.5 1.5m 2 2
x 11.5m 2 1.5m 0.5 0.5 1 3 1 m 06-Oct-21 Department of Mathematics 14
Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 3 1 4 0 3 2 1 5 7 2 1 1 m 1 m
Không tồn tại m để hệ có duy nhât nghiệm vì
≤ min 3,5 = 3; (A) ≤ min 3,4 = 3
Nếu = ≤ 3 < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm 2 3 1 4 0 2 3 1 4 0 0 5 5 2 14 0 5 5 2 14 2 2 0 5 2m 1 2
2m 0 0 2m 3 0 2m 14 06-Oct-21 Department of Mathematics 15 Ví dụ Để hệ có nghiệm 2 3 1 4 0 2 3 1 4 0 3 2 1 5 7 0 5 5 2 14 2 1 2 1 m 1 m 0 5 2m 1 2 2m 2 3 1 4 0 0 5 5 2 14 2
0 0 m 2 0 m 7 2 m 7 x
= ≠ −2 3 m 2 Ẩn tự do x , 2 14 2 m 7 4 x x ẩn cơ sở x 2 4 5 5 m 2 1, x2, x4 2 Nghiệm tổng quát x 3 m 7 7x 21 3 4 x 2 1 x4 x2 2 2 m 2 5 5 06-Oct-21 Department of Mathematics 16 Hệ Cramer
Xét hệ phương trình với ẩn: = . Ma trận hệ số. Ma trận hệ số tự do; Ma trận ẩn. a a ... a b x 11 12 1n 1 1 a a ... a b x 21 22 2 2 2 n A b x ... ... ... ... ... ... a a ... a b x n n n1 n 2 nn
Hệ Cramer là hệ phương trình với ẩn có: det ≠ 0.
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất = , tức là: det( ) = det() .
trong đó, ma trận nhận được từ ma trận bằng cách thay cột thứ
của ma trận bằng cột vế phải . 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 17 Hệ Cramer
Giải hệ phương trình x 3x 4x 5 0 1 3 4 5 x 1 2 3 4 x 2x 3x 4 1 0 2 3 4 x 1 3 4 2 A x 3x 2x 5x 12 b 3 2 0 5 12 x 1 2 4 3 4 x 3x 5x 5 4 3 5 x 1 2 3 0 5 4 0 1 3 4 0 1 3 4 1 3 4 A 1 0 2 3 1 0 2 3 det 6 1 3 7 24 3 2 0 5 0 2 6 1 4 1 1 4 4 3 5 0 0 3 3 12 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 18 5 1 3 4 5 1 3 4 2 1 3 4 0 2 3 4 0 2 3 det A 4 11 3 1 3 24 x 1 1 12 2 0 5 22 0 6 13 1 10 2 12 5 3 5 0 20 0 4 12 0 5 3 4 0 5 3 4 5 3 4 1 4 2 3 1 4 2 3 det A 6 12 3 7 48 x 2 2 3 12 0 5 0 24 6 14 2 7 1 4 4 5 5 0 0 21 3 12 0 1 5 4 0 1 5 4 1 5 4 1 0 4 3 1 0 4 3 det A 6 1 12 7 24 x 1 3 3 2 12 5 0 2 24 1 4 3 1 7 4 4 3 5 0 0 3 21 12 0 1 3 5 0 1 3 5 1 3 5 1 0 2 4 1 0 2 4 det A 6 1 3 12 2 4 x 1 4 3 2 0 12 0 2 6 24 4 1 1 7 4 3 5 5 0 3 3 21 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 19
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu
tất cả các hệ số tự do bằng 0 ( = 0, ∀).
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn luôn có 1 nghiệm bằng không:
= = ⋯ = = 0 .
Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Định lý.
Hệ thuần nhất có nghiệm tầm thường ⟺ = = số ẩn.
Hệ thuần nhất = 0 có nghiệm không tầm thường ⟺ < số ẩn.
Hệ thuần nhất = 0, với là ma trận vuông có nghiệm
không tầm thường ⟺ det = 0 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 20
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Giải hệ phương trình: x 2x x 2x 0 1 2 3 4 2 x 4x x 3x 0 1 2 3 4 3x 6x x 4x 0 1 2 3 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 3 1 2 0 1 1 2 0 1
3 6 1 4 2 4 0 2 0 0 0 0 1 2 1 2 x x 3 4 0 0 1 1 x 2 x x 1 2 4 0 0 0 0 06-Oct-21 Department of Mathematics 21
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Tìm m để hệ có nghiệm không tầm thường x y z 0 2 x 3y 5z 0 3 x my (m 1)z 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 0 1 3 0 1 3
3 m m 1 0 m 3 m 2 0 0 7 m 06-Oct-21 Department of Mathematics 22