Chương 3. Hệ phương trình - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Đại số Tuyến tính Giảng viên: Đào Như Mai 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 1
Chương 3. Hệ phương trình Đại số tuyến tính
 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát  Hệ Cramer
 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 2
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm  phương
trình,  ẩn số có dạng:
 +  + ⋯ +  = 
 +  + ⋯ +  = 
… … … … … … … … … … … … … … …
 +  + ⋯ +  = 
, , … , : ẩn của hệ phương trình.
: hệ số của hệ phương trình,  = 1. . ,  = 1. . .
, … , : hệ số tự do (vế phải) của hệ phương trình. 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 3
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát có thể viết lại dưới dạng:  =  . a a ... a  11 12 1n   a a ... a 21 22 2 n A    Ma trận hệ số.  ... ... ... ...    a a ... a  1  m m 2 mn  b   x  1 1     b x 2 b    2 Ma trận hệ số tự do; x    Ma trận ẩn.  ... ...     b  x  m n 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 4
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
 Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu
tất cả các hệ số tự do bằng 0 ( = 0,  = 1. . ).
 Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần
nhất nếu tồn tại ít nhất một trong các hệ số tự do khác 0.
 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là một bộ  số
, …  sao cho khi thay vào từng phương trình của hệ
ta được những đẳng thức đúng.
 Một hệ phương trình tuyến tính có thể  Vô nghiệm. Hệ không tương thích  Có nghiệm duy nhất. Hệ tương thích  Có vô số nghiệm. 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 5
Phép biến đổi tương đương đối với hệ ptr
 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu
chúng cùng chung một tập nghiệm.
 Để giải hệ phương trình ta dùng các phép biến đổi hệ về
hệ tương đương, mà hệ này đơn giản hơn.
 Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu biến
một hệ phương trình về một hệ tương đương
 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình
 Nhân hai vế của phương trình với một số khác 0.
 Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã được
nhân với một số tùy ý.
 Đổi chỗ hai phương trình 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 6 Ví dụ
 Ví dụ Giải hệ phương trình:  +  = 0 2 −  + 3 = 3  − 2 −  = 3 x  y  0  2hh 1   2   3y  3z  3 h  h 1 3   3y  z   3 x  y  0 Phương trình có nghiệm h  h  2 3     3 duy nhất: y  3z  3  x = 1; y = -1; z = 0.  4z   0 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 7 Ví dụ  Sử dụng ma trận Ma trận hệ số: Ma trận mở rộng: 1 1 0  1 1 0 0 2 1 3       2 1  3 3   1 2 1   1 2  1  3 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 x 1  2h  h 1 2  2 1 3 3          0 3  3 3  h  h 0 3  3 3 2 3     y  1     h  h  1 2 1 3 1 3  0 3  1  3 0 0 4  0 z  0  08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 8 Ví dụ 1 1 1 2 1  1 1 1 2 1  2 2 3 5 6  0 0 1 1 4    BĐSC hàng   3 3 4 1 1   0 0 0 6  8  
 Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở: x1, x , x 3 4
 Ẩn tự do là tương ứng với cột không có phần tử cơ sở: x2
 Định lý Kronecker Capelli
Nếu (|) ≠ () thì hệ ptr  =  vô nghiệm.
Nếu    = () thì hệ ptr  =  có nghiệm:
    =   = số ẩn, thì hệ có nghiệm duy nhất.
    =   < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm. 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 9 Phương pháp khử Gauss
 Phương pháp khử Gauss: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp
đối với hàng để giải hệ phương trình
 Lập ma trận mở rộng  = | .
 Dùng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng
về ma trận dạng bậc thang. Kiểm tra hệ có nghiệm hay không.
 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.
 Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên. 1 1 1 2 1  1 1 1 2 1  2 2 3 5 6  0 0 1 1 4    BĐSC hàng   3 3 4 1 1   0 0 0 6  8   08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 10
 Ví dụ . Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình:  3x  6x  6x  4x  5  2 3 4 5  3x  7x  8x  5x  8x  9 1 2 3 4 5
3x  9x  12x  9x  6x  15  1 2 3 4 5
 Dùng phép BD tương đương
0 3 6 6 4 5 0 3 6 6 4 5 0 0 0 0 1 4     3 7 8 5 8 9      0 1 2 2 1 3   0 1 2 2 1 3     3  9 12 9 6 15 1  3 4 3 2 5  1  3 4 3 2 5 
   =   < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm.  Ẩn cơ sở x1, x . Ẩn tự do: x 2 và x5 3 và x4  Nghiệm tổng quát x  4 5  x  7  2(x  x ) 2 3 4
x  3 3 7 2(x  x )  4x  3x  24 2x 3  1  3 4  3 4 3 x4 06-Oct-21 Department of Mathematics 11 Ví dụ
 Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2  1  1 1 1  2       2 1 3 0 1 0 1 1 2 3 0 1 1  2  3       3 4 2 2  5 0 1 1  1 1   0  0 0 3 4        2 3 1 1 3   0 1 1   1 1   0 0 0 0 0  
    =   < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm.  Ẩn cơ sở x1, x . Ẩn tự do: x 2 và x4 3  Nghiệm tổng quát  4 x   4  3   8 1 x  3     2 x3 x3 3 3   4 1 1 x  2   x   x   2 1 3 3 x 3  3 3 3 06-Oct-21 Department of Mathematics 12 Ví dụ
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1     2 3 1 4    0 1 1 2   0 1 1  2     3 4 m m  1 0 1  m  3 m  2 0 0  m  2 m  4
 Với mọi m2, hệ phương trình sau có nghiệm  Nghiệm tổng quát  2 x  1 3  m  2   2 x  3  2 m  2   4 x  3   1  m  2 06-Oct-21 Department of Mathematics 13 Ví dụ
 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:  1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  1 1 1 1 1     2 1 3 1 2 0 1 1 3 0    0 1 1 3 0           3 4 2 0 6  0 1 1 3 3  0 0 3 m 1 m 1        2 1 0 m m  1 0 1 2  m  2 m  1 0 0 0 2  1   Với mọi m
 Nghiệm tổng quát x  0.  5 4 
x  m  1 0.5(m  1)  1.5m  0.5 3
x 1.5m 0.51.5 1.5m  2  2
x 11.5m  2 1.5m  0.5 0.5  1 3 1 m 06-Oct-21 Department of Mathematics 14
 Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 3 1 4 0  3 2 1 5 7     2 1 1  m 1 m 
 Không tồn tại m để hệ có duy nhât nghiệm vì
    ≤ min 3,5 = 3; (A) ≤ min 3,4 = 3
 Nếu    =   ≤ 3 < số ẩn, thì hệ có vô số nghiệm 2 3 1 4 0  2 3 1 4 0     0 5 5 2 14     0 5  5  2 14     2  2 0 5  2m 1 2
2m  0 0 2m 3 0 2m 14 06-Oct-21 Department of Mathematics 15 Ví dụ  Để hệ có nghiệm 2 3 1 4 0  2 3 1 4 0  3 2 1 5 7   0 5 5 2 14         2 1 2  1 m 1 m  0  5 2m 1 2 2m  2 3 1 4 0  0 5 5 2 14       2
0 0 m 2 0 m  7 2  m  7 x 
    =    ≠ −2  3 m  2   Ẩn tự do x , 2  14 2 m  7 4 x     x   ẩn cơ sở x 2 4 5 5 m  2 1, x2, x4  2  Nghiệm tổng quát  x 3 m  7 7x 21 3 4 x  2        1 x4 x2 2 2 m   2 5 5 06-Oct-21 Department of Mathematics 16 Hệ Cramer
 Xét hệ  phương trình với  ẩn:  = . Ma trận hệ số. Ma trận hệ số tự do; Ma trận ẩn. a a ... a  b   x  11 12 1n 1 1       a a ... a b x 21 22 2 2 2 n     A    b  x   ... ... ... ...  ... ...       a a ... a  b   x   n n n1 n 2 nn 
 Hệ Cramer là hệ  phương trình với  ẩn có: det  ≠ 0.
 Hệ Cramer có nghiệm duy nhất  = , tức là: det(  )  = det() .
trong đó, ma trận  nhận được từ ma trận  bằng cách thay cột thứ
 của ma trận  bằng cột vế phải . 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 17 Hệ Cramer
 Giải hệ phương trình x  3x  4x  5 0 1 3  4   5    x  1 2 3 4     x  2x  3x  4  1 0 2 3    4  x 1 3 4 2 A          x  3x  2x  5x  12  b 3 2 0 5   12   x  1 2 4      3   4  x  3x  5x  5 4 3 5   x 1 2 3  0  5    4  0 1 3 4 0 1 3 4 1 3  4        A  1 0 2 3 1 0 2 3 det   6 1 3 7 24 3 2 0 5  0 2 6 1  4 1 1 4 4 3 5  0 0 3 3 12 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 18 5 1 3 4 5 1 3 4 2 1 3  4  0 2  3 4  0 2  3 det A    4  11 3 1  3  24  x  1 1  12 2 0 5  22 0 6 13  1 10 2 12 5 3 5  0 20 0 4 12  0 5  3  4 0 5  3  4 5 3 4  1 4  2  3 1 4 2 3 det A    6  12 3 7   48  x  2 2  3 12 0 5  0 24 6 14  2 7 1 4 4 5 5 0 0 21 3 12 0 1 5  4 0 1 5  4 1 5  4  1 0 4  3 1 0 4  3 det A    6 1 12 7  24  x  1 3  3 2 12 5  0 2 24 1  4 3 1 7 4  4 3 5 0 0 3 21 12 0 1 3  5  0 1 3  5  1 3  5   1 0 2  4  1 0 2  4  det A    6  1 3 12  2  4  x  1 4  3 2 0 12 0 2 6 24 4 1 1 7 4 3 5  5 0 3 3 21 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 19
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
 Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu
tất cả các hệ số tự do bằng 0 ( = 0, ∀).
 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn luôn có 1 nghiệm bằng không:
 =  = ⋯ =  = 0 .
Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.  Định lý.
 Hệ thuần nhất có nghiệm tầm thường ⟺   =  = số ẩn.
 Hệ thuần nhất  = 0 có nghiệm không tầm thường ⟺   < số ẩn.
 Hệ thuần nhất  = 0, với  là ma trận vuông có nghiệm
không tầm thường ⟺ det  = 0 08:49
Trường Đại học Công nghệ, ĐHQG Hà Nội 20
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
 Giải hệ phương trình:  x  2x  x  2x  0 1 2 3 4 2  x  4x  x  3x  0 1 2 3 4 3x  6x  x  4x   0 1 2 3 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2       2 4 1 3 1 2 0 1 1 2 0 1      
3 6 1 4 2 4 0 2 0 0 0 0 1 2 1 2    x  x 3 4 0 0 1  1      x  2  x  x 1 2 4 0 0 0 0  06-Oct-21 Department of Mathematics 21
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
 Tìm m để hệ có nghiệm không tầm thường  x  y  z  0 2  x  3y  5z  0 3  x   my  (m 1)z  0 1 1 1  1 1 1  1 1 1        2 3 5 0 1 3 0 1 3      
3 m m 1 0 m  3 m  2 0 0 7  m 06-Oct-21 Department of Mathematics 22