Chương 4: Không gian Eucild | Bài giảng Đại số tuyến tính

Định nghĩa: Một cơ sở của KGVT V mà là hệ trực giao (trực chuẩn) được gọi là một cơ sở trực giao (trực chuẩn). Định lý: Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) của KGVT V đều có thể bổ sung để trở thành cơ sở trực giao (trực chuẩn). Hệ quả: Mọi KGVT V đều tồn tại cơ sở trực giao (trực chuẩn). Bài giảng giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết cao

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính (MA003)

Trường: Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

4 trang 3 tháng trước

Tác giả:

Profile Như Ngọc
Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE
4.1. Không gian Euclide
4.1.1. Các định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa 1: Cho V – KGVT trên R. Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ
u,v V
là
ánh xạ
, : V V R
(u,v) u,v
thỏa 4 tiên đề sau:
u,v,w V, k R
1.
u,v v,u 
2.
u v,w u,w v,w 
3.
ku,v k u,v
4.
u,u 0, u,u 0 u θ
Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị một tích vô hướng gọi là KG Euclide.
Ví dụ 1: Trong KGVT R
2
, R
3
các vectơ tự do trong mặt phẳng và không gian, ta xét
tích vô hướng của 2 vectơ theo ý nghĩa thông thường:
u,v | u |.| v | cos(u,v)
thì R
2
, R
3
là các KG Euclide.
Ví dụ 2: Xét KGVT R
n
với
, ta định nghĩa:
1 1 2 2 n n
u,v u v u v ... u v 
thì (R
n
, < , >) là KGVT Euclide.
4.1.2. Độ dài và góc trong không gian Euclide.
Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Với mỗi
u V
ta định nghĩa và ký hiệu
độ dài (môđun) hay chuẩn của u:
u : u,u
Nếu
u 1
thì u được gọi là vectơ đơn vị.
Ví dụ 3: Trong R
n
,
1 2 n
u (u ,u ,...,u )
, ta có:
2 2 2 2 2 2 1/2
1 2 n 1 2 n
u u u ... u (u u ... u )
Tính chất của độ dài.
Độ dài của vectơ có các tinh chất sau:
1.
u 0, u 0 u
θ
2.
ku |k| u
3.
u v u v
Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Góc giữa hai vectơ
u,v V
được cho
bởi công thức:
^
u,v
cos(u,v):
u . v
4.2. Hệ trực giao. Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid
4.2.1. Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn.
Định nghĩa 1:Trong một KG Euclide, hai vectơ u và v gọi là trực giao, ký hiệu
u
v, nếu
u,v 0.
Định nghĩa 2: Giả sử V là một KG Euclide. Ta gọi hệ
1 2 k
u , u , , u V
là
i) trực giao nếu
i j
u , u 0, i, j 1,...,k, i j.
ii) trực chuẩn nếu nó là trực giao và
i
u 1, i 1,...,k.
Định lý 1: Mọi hệ trực giao các vectơ khác không (trực chuẩn) là hệ độc lập tuyến
tính.
Định lý 2: Giả sử
1 2 n
S {u , u , , u }
là một hệ độc lập tuyến tính các vectơ của KG
Euclide của V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực giao (trực chuẩn)
'
1 2 n
S {v , v , , v }
sao cho
1 2 k 1 2 k
span{u ,u , ,u } = span{v ,v , ,v }, k 1,2,...,n.
4.2.2. Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt.
Trong không gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt
1 2 n
u , u , , u
.
Quá trình trực trao:
Đặt
1 1
v u ,
2 1
2 2 1
1 1
u ,v
v u v ,
v ,v
. . . . . .
n 1
n i
n n i
i 1
i i
u ,v
v u v .
v ,v
Khi đó
1 2 n
v , v , , v
là hệ trực giao.
Quá trình trực chuẩn:
Đặt
1
1
1
u
v ,
u
2
2 2 2 1 1 2
2
v
v u u ,v v , v
v
. . . . . .
n 1
n
n n n i i n
i 1
n
v
v u u ,v v v
v
Khi đó
1 2 n
v , v , ,v
là hệ trực chuẩn.
Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ
1 2 3
S {u , u , u }
trong R
3
1 2 3
u (1,1,1),u ( 1,1,1),u (1,2,1)
Giải:
1
1
1
u 1 1 1
v ( , , ),
u
3 3 3
2 2 2 1 1
1 1 1 1 4 2 2
v u u ,v v ( 1,1,1) ( , , ) ( , , )
3 3 3
3 3 3 3
2
2 2
2
2 6 v 2 1 1
v v ( , , ),
3 v
6 6 6
3 3 3 1 1 3 2 2
v u u ,v v u ,v v
4 1 1 1 1 2 1 1 1 1
(1,2,1) ( , , ) ( , , ) (0, , )
2 2
3 3 3 3 6 6 6 6
3
3 3
3
1 v 1 1
v v (0, , ).
v
2 2 2
Vậy
'
1 2 3
S {v , v , v }
là hệ trực chuẩn hóa của hệ S.
Bổ sung:
Định nghĩa: Một cơ sở của KGVT V mà là hệ trực giao (trực chuẩn) được gọi là một
cơ sở trực giao (trực chuẩn).
Định lý: Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) của KGVT V đều có thể bổ sung để trở thành
cơ sở trực giao (trực chuẩn).
Hệ quả: Mọi KGVT V đều tồn tại cơ sở trực giao (trực chuẩn).
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE
4.1. Không gian Euclide
4.1.1. Các định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa 1: Cho V – KGVT trên R. Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ u,vV là ánh xạ ,: V  V  R (u,v)  u,v thỏa 4 tiên đề sau: u  ,v,wV, k  R 1. u,v v,u
2. u  v,w u,w   v,w
3.  ku,v  k u,v
4. u,u  0, u,u 0  u  θ
Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị một tích vô hướng gọi là KG Euclide.
Ví dụ 1: Trong KGVT R2, R3 các vectơ tự do trong mặt phẳng và không gian, ta xét
tích vô hướng của 2 vectơ theo ý nghĩa thông thường: u,v |
 u |.| v | cos(u,v)
thì R2, R3 là các KG Euclide.
Ví dụ 2: Xét KGVT Rn với u  (u ,u ,...,u ),v  (v ,v ,...,v ) , ta định nghĩa: 1 2 n 1 2 n
u,v  u v  u v  ... u v 1 1 2 2 n n
thì (Rn, < , >) là KGVT Euclide.
4.1.2. Độ dài và góc trong không gian Euclide.
Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Với mỗi uV ta định nghĩa và ký hiệu
độ dài (môđun) hay chuẩn của u: u :  u,u 
Nếu u 1 thì u được gọi là vectơ đơn vị.
Ví dụ 3: Trong Rn, u  (u ,u ,...,u ), ta có: 1 2 n 2 2 2 2 2 2 1/2
u  u  u  ... u  (u  u  ... u ) 1 2 n 1 2 n
Tính chất của độ dài.
Độ dài của vectơ có các tinh chất sau:
1. u  0, u  0  u  θ 2. ku |k| u 3. u  v  u  v
Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Góc giữa hai vectơ u,vV được cho bởi công thức: ^  u,v cos(u,v) :   u . v
4.2. Hệ trực giao. Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid
4.2.1. Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn.
Định nghĩa 1:Trong một KG Euclide, hai vectơ u và v gọi là trực giao, ký hiệu
u v, nếu  u,v 0.
Định nghĩa 2: Giả sử V là một KG Euclide. Ta gọi hệ u , u , ,  u V 1 2 k là
i) trực giao nếu  u , u  0, i,  j 1,...,k, i  j. i j
ii) trực chuẩn nếu nó là trực giao và u 1, i  1,...,k. i
Định lý 1: Mọi hệ trực giao các vectơ khác không (trực chuẩn) là hệ độc lập tuyến tính.
Định lý 2: Giả sử S {u , u , ,  u } 1 2
n là một hệ độc lập tuyến tính các vectơ của KG
Euclide của V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực giao (trực chuẩn) 'S {v , v , ,  v } 1 2 n sao cho span{u ,u , ,  u } = span{v ,v , ,  v }, k  1,2,...,n. 1 2 k 1 2 k
4.2.2. Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt.
Trong không gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt u , u , ,  u . 1 2 n Quá trình trực trao: Đặt v  u , 1 1  u ,v  2 1 v  u  v , 2 2 1  v ,v  1 1 . . . . . . n 1   u ,v  n i v  u   v . n n i i 1   v , v  i i Khi đó v , v , ,  v là hệ trực giao. 1 2 n
Quá trình trực chuẩn: Đặt u1 v  , 1 u1 v2
v  u   u ,v  v ,  v  2 2 2 1 1 2 v2 . . . . . . n 1  vn
v  u   u ,v  v  v  n n n i i n i 1  vn Khi đó v , v , ,
 v là hệ trực chuẩn. 1 2 n
Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ S {u , u , u }trong R3 1 2 3 u  (1,1,1),u  ( 1  ,1,1),u  (1,2,1) 1 2 3 Giải: u 1 1 1  1 v   ( , , ), 1 u1 3 3 3 1 1 1 1 4 2 2
 v  u   u ,v  v  ( 1  ,1,1)  ( , , )  ( , , ) 2 2 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 2 6 v 2 1 1 2 v   v   ( , , ), 2 2 3 v2 6 6 6
 v  u   u , v  v   u , v  v  3 3 3 1 1 3 2 2 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1  (1,2,1)  ( , , )  ( , , )  (0, , ) 3 3 3 3 6 6 6 6 2 2 1 v 1 1 3 v   v   (0, , ). 3 3 2 v3 2 2 Vậy 'S {v , v , v } 1 2
3 là hệ trực chuẩn hóa của hệ S. Bổ sung:
Định nghĩa: Một cơ sở của KGVT V mà là hệ trực giao (trực chuẩn) được gọi là một
cơ sở trực giao (trực chuẩn).
Định lý: Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) của KGVT V đều có thể bổ sung để trở thành
cơ sở trực giao (trực chuẩn).
Hệ quả: Mọi KGVT V đều tồn tại cơ sở trực giao (trực chuẩn).