Chương 4: Không gian Eucild | Bài giảng Đại số tuyến tính
Định nghĩa: Một cơ sở của KGVT V mà là hệ trực giao (trực chuẩn) được gọi là một cơ sở trực giao (trực chuẩn). Định lý: Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) của KGVT V đều có thể bổ sung để trở thành cơ sở trực giao (trực chuẩn). Hệ quả: Mọi KGVT V đều tồn tại cơ sở trực giao (trực chuẩn). Bài giảng giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết cao
Môn: Đại số tuyến tính (MA003)
Trường: Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE
4.1. Không gian Euclide
4.1.1. Các định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa 1: Cho V – KGVT trên R. Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ u,vV là ánh xạ ,: V V R (u,v) u,v thỏa 4 tiên đề sau: u ,v,wV, k R 1. u,v v,u
2. u v,w u,w v,w
3. ku,v k u,v
4. u,u 0, u,u 0 u θ
Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị một tích vô hướng gọi là KG Euclide.
Ví dụ 1: Trong KGVT R2, R3 các vectơ tự do trong mặt phẳng và không gian, ta xét
tích vô hướng của 2 vectơ theo ý nghĩa thông thường: u,v |
u |.| v | cos(u,v)
thì R2, R3 là các KG Euclide.
Ví dụ 2: Xét KGVT Rn với u (u ,u ,...,u ),v (v ,v ,...,v ) , ta định nghĩa: 1 2 n 1 2 n
u,v u v u v ... u v 1 1 2 2 n n
thì (Rn, < , >) là KGVT Euclide.
4.1.2. Độ dài và góc trong không gian Euclide.
Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Với mỗi uV ta định nghĩa và ký hiệu
độ dài (môđun) hay chuẩn của u: u : u,u
Nếu u 1 thì u được gọi là vectơ đơn vị.
Ví dụ 3: Trong Rn, u (u ,u ,...,u ), ta có: 1 2 n 2 2 2 2 2 2 1/2
u u u ... u (u u ... u ) 1 2 n 1 2 n
Tính chất của độ dài.
Độ dài của vectơ có các tinh chất sau:
1. u 0, u 0 u θ 2. ku |k| u 3. u v u v
Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Góc giữa hai vectơ u,vV được cho bởi công thức: ^ u,v cos(u,v) : u . v
4.2. Hệ trực giao. Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid
4.2.1. Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn.
Định nghĩa 1:Trong một KG Euclide, hai vectơ u và v gọi là trực giao, ký hiệu
u v, nếu u,v 0.
Định nghĩa 2: Giả sử V là một KG Euclide. Ta gọi hệ u , u , , u V 1 2 k là
i) trực giao nếu u , u 0, i, j 1,...,k, i j. i j
ii) trực chuẩn nếu nó là trực giao và u 1, i 1,...,k. i
Định lý 1: Mọi hệ trực giao các vectơ khác không (trực chuẩn) là hệ độc lập tuyến tính.
Định lý 2: Giả sử S {u , u , , u } 1 2
n là một hệ độc lập tuyến tính các vectơ của KG
Euclide của V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực giao (trực chuẩn) 'S {v , v , , v } 1 2 n sao cho span{u ,u , , u } = span{v ,v , , v }, k 1,2,...,n. 1 2 k 1 2 k
4.2.2. Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt.
Trong không gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt u , u , , u . 1 2 n Quá trình trực trao: Đặt v u , 1 1 u ,v 2 1 v u v , 2 2 1 v ,v 1 1 . . . . . . n 1 u ,v n i v u v . n n i i 1 v , v i i Khi đó v , v , , v là hệ trực giao. 1 2 n
Quá trình trực chuẩn: Đặt u1 v , 1 u1 v2
v u u ,v v , v 2 2 2 1 1 2 v2 . . . . . . n 1 vn
v u u ,v v v n n n i i n i 1 vn Khi đó v , v , ,
v là hệ trực chuẩn. 1 2 n
Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ S {u , u , u }trong R3 1 2 3 u (1,1,1),u ( 1 ,1,1),u (1,2,1) 1 2 3 Giải: u 1 1 1 1 v ( , , ), 1 u1 3 3 3 1 1 1 1 4 2 2
v u u ,v v ( 1 ,1,1) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 2 6 v 2 1 1 2 v v ( , , ), 2 2 3 v2 6 6 6
v u u , v v u , v v 3 3 3 1 1 3 2 2 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 (1,2,1) ( , , ) ( , , ) (0, , ) 3 3 3 3 6 6 6 6 2 2 1 v 1 1 3 v v (0, , ). 3 3 2 v3 2 2 Vậy 'S {v , v , v } 1 2
3 là hệ trực chuẩn hóa của hệ S. Bổ sung:
Định nghĩa: Một cơ sở của KGVT V mà là hệ trực giao (trực chuẩn) được gọi là một
cơ sở trực giao (trực chuẩn).
Định lý: Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) của KGVT V đều có thể bổ sung để trở thành
cơ sở trực giao (trực chuẩn).
Hệ quả: Mọi KGVT V đều tồn tại cơ sở trực giao (trực chuẩn).