Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN
5.1. Trị riêng – vectơ riêng 5.2. Chéo hóa ma trận
5.3. Chéo hóa ma trận đối xứng thực
* ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Định nghĩa và ví dụ.
1.1. Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ. Ánh xạ f : X  Y là ánh xạ
tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 điều kiện: 1) f(x + y) = f(x) + f(y) x  ,yX 2) f(αx) = αf(x) x  X, α  K
Chú ý: Các điều kiện 1 và 2 tương đương điều kiện sau:
3) f(αx + βy) = αf(x)  βf (y) x  ,yX, α  ,βK
Một ánh xạ tuyến tính f : X  X được gọi là một phép biến đổi tuyến tính của X.
Như vậy muốn chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính thì ta cần kiểm tra điều kiện 1 và 2 hoặc 3. 1.2. Các ví dụ. 1. Ánh xạ không O : X  Y a  O(a)  θ là ánh xạ tuyến tính. 2. Ánh xạ đồng nhất id : X  Y a  id(a)  a là ánh xạ tuyến tính. 3. Ánh xạ 2 f : R  R
(x ,x )  f (x ,x )  x  3x 1 2 1 2 1 2 là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh:  2 x
  (x ,x ),y  (y ,y )R , ta có 1 2 1 2
f (x  y)  f (x  y ,x  y )  1 1 2 2
 (x  y )  3(x  y )  1 1 2 2
 (x  3x )  (y  3y )  f (x)  f (y) 1 2 1 2  2 x   (x ,x )R , α   R , ta có 1 2
f (αx)  f (αx ,αx )  αx  3αx  1 2 1 2  α(x  3x )  αf (x). 1 2
I. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN
1. Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận.
1.1. Giá trị riêng, giá trị riêng của ma trận.
1.1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1: Số λK gọi là giá trị riêng (GTR) của A nếu tồn tại vectơ τ n
x  (x ,x ,...,x ) K ,x  θ sao cho: 1 2 n  x   x 1 1  x  x  2 2 Ax  λx ( )  (A    λ   ).       x    x   n n 
Khi đó vectơ x gọi là vectơ riêng (VTR) của A ứng với GTR λ . Nhận xét: Từ ( )
 ta có: (A λI)x  θ (x  θ).
Định nghĩa 2: Cho A  (a )M (K), λK. ij n a) Đa thức a  λ a  a 11 21 n1 a a  λ  a 12 22 n2 P (λ)  det(A  λI)  A     a a  a  λ 1n 2n nn
gọi là đa thức đặc trưng của A. b) Phương trình P (λ)  0 A
gọi là phương trình đặc trưng của A.
Định nghĩa 3: Tập hợp tất cả các VTR của A ứng với GTR λ và bổ sung vectơ θ gọi
là không gian riêng (KGR) của A ứng với GTR λ .
Nhận xét: KGR của A ứng với GTR λ là không gian nghiệm của hệ phương trình: (A λI)x  θ.
Định nghĩa 4: Hai ma trận A,BM (K) gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận P n
không suy biến (det P  0) sao cho: 1 B P  AP. 1.1.2. Tính chất.
Định lý 1: Nếu x là VTR của A ứng với GTR λ , thì αx (α 0) cũng là VTR của A
ứng với GTR λ .
Định lý 2: Hai ma trận đồng dạng có cùng GTR.
1.1.3. Cách tìm GTR, VTR của ma trận vuông A.
Ta tiến hành các bước sau:
1) Giải phương trình đặc trưng
P (λ)  det(A  λI)  0 ( )  . A Nghiệm của ( )  là GTR của A.
2) Giả sử λ là một nghiệm của ( )  k
. Ta giải hệ phương trình thuần nhất sau: (A λ I)x  θ (3 )  . k
Nghiệm không tầm thường của (3 )
 là VTR của A ứng với GTR λ . k
Chú ý: r  r(A  λ I)  n (vì det(A  λ I)  0) nên KGR S của A ứng với GTR k k k
λ (tức là không gian nghiệm S của (3 )
 ) có dimS  n  r (hay nói cách khác, k k k
KGR S của A ứng với GTR λ có (n  r ) VTR độc lập tuyến tính). k k
Ví dụ 1. Tìm GTR, VTR, cơ sở của KGR và các KGR của ma trận A 0 0 1  1 4 6  a) A 0 1 0      b) A  3  7  7    1 0 0      4 8 7 
Giải: a) Giải phương trình đặc trưng P (λ)  0. A Ta có: λ 0 1 2 2
P (λ)  0 1 λ 0  λ (1 λ)  (1 λ)  (λ 1) (λ 1). A 1 0 λ λ  1  (m 1) 1 1  P (λ)  0  . A  λ 1 (m   2) 2 2  λ  1  (m 1) 1 1
Giải hệ phương trình (A I)x  θ. 1 0 1 1 0 1 h3h3 1 h 0 2 0 0 2 0      1 0 1 0 0 0     x  t 1 x  x  0 1 3 (A I)x θ      
  x  0 , t R \ {0}. 2 2x   0 2  x   t 3
Vậy: - VTR của A ứng với GTR λ  1 có dạng: 1
x  (t,0,t)  t(1,0,1), t R \ {0}.
- Một cơ sở của KGR S (dimS 1) của A ứng với GTR λ  1  a  ( 1  ,0,1). 1 1 1 : 1 - KGR 3
S  span{a } {xR | x  t( 1  ,0,1), t R} 1 1  λ 1(m  2) 2 2
Giải hệ phương trình (A I)x  θ. Ta có:  1  0 1   1  0 1 h h h 3 3 1  0 0 0   0 0 0       1 0 1  0 0 0       x  t 1  2 2
 (A I)x  θ  x  x  0  x  v, t,vR : t  v  0. 1 3 2  x   t 3
Vậy: - VTR của A ứng với GTR λ 1 có dạng: 2 2 2
x  (t,v,t)  t(1,0,1)  v(0,1,0), t,vR : t  v  0.
- Một cơ sở của KGR S (dimS  2) của A ứng với GTR λ 1 2 2 2 : a  (1,0,1),a  (0,1,0). 2 3 - KGR 3
S  span{a ,a } {xR |x  t(1,0,1)  v(0,1,0), t,vR} 2 2 3
b) Giải phương trình đặc trưng P (λ)  0. A Ta có: 1 λ 4 6 2 P (λ)  3  7   λ 7   (λ 1) (λ  3). A 4 8 7  λ λ  1  (m  2) 1 1  P (λ)  0  . A  λ  3 (m   1) 2 2  λ  1  (m  2) 1 1
Giải hệ phương trình (A I)x  θ. Ta có:  2 4 6   1 2 3  1 2 3  1 2 3  1 1 h  h 2 1 h h 3h h h 2h 2 2 1 2 2 3  3 6 7  3 6 7 0 0 2  0 0 1             1 h       3 h h h h h h 4 3 3 3 1 2 3  4 8 8   1 2 2  0 0 1 0 0 0           x  2  t 1 x  2x  x  0 1 2 3 (A I)x θ      
  x  t , t R \ {0}. 2 x   0 3  x   0 3
Vậy: - VTR của A ứng với GTR λ  1 có dạng: 1
x  (2t,t,0)  t(2,1,0), t R \ {0}.
- Một cơ sở của KGR S (dimS 1) của A ứng với GTR λ  1  a  (2,1,0). 1 1 1 : 1 - KGR 3
S  span{a } {xR | x  t( 2  ,1,0), tR} 1 1  λ  3 (m 1) 2 2
Giải hệ phương trình (A 3I)x  θ.  2  4 6   1  2 3   1  2 3   1  2 3 1 1 1 h  h h h 3h h  h 2 1 2 2 1 2 16 2  3 10 7  3 10 7  0 16 16  0 1 1              1 h       3 h h h h h h 4h 4 3 3 3 1 3 3 2  4 8 4   1 2 1   0 4 4   0 0 0          x  t 1 x  2x  3x  0 1 2 3 (A 3I)x θ      
 x  t, t R \{0}. 2 x  x   0 2 3  x   t 3 Vậy:
- VTR của A ứng với GTR λ  3 có dạng: 2
x  (t,t,t)  t(1,1,1), t R \ {0}.
- Một cơ sở của KGR S (dimS 1) của A ứng với GTR λ  3 a  (1,1,1). 2 2 2 : 2 KGR 3
S  span{a } {xR | x  t(1, 1  ,1), t R} 2 2
2. Chéo hóa ma trận.
2.1. Chéo hóa ma trận.
2.1.1. Định nghĩa 7: Cho ma trận vuông A, nếu tồn tại ma trận khả đảo T sao cho
T-1AT là ma trận đường chéo thì ta nói rằng ma trận A chéo hóa được và ma trận T
làm chéo hóa ma trận A hay ma trận A đưa được về dạng chéo hóa nhờ ma trận T.
2.1.2. Điều kiện chéo hóa được của một ma t rận.
Trong các định lý sau đây, ta luôn giả thiết rằng A ma trận vuông cấp n.
Định lý 4: Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n VTR độc lập tuyến tính.
Định lý 5: Nếu ma trận A đưa được về dạng chéo B thì các phần tử trên đường chéo
chính của B là các GTR của A.
Định lý 6: p VTR ứng với p GTR khác nhau của A là độc lập tuyến tính (đltt).
Định lý 7: Nếu λ là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng của A và nếu k k
r(A  λ I)  n  m k k
thì A có m VTR đltt ứng với GTR λ đó. k k
Từ các định lý trên ta có:
Định lý 8: Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi với mỗi GTR λ bội k
m của A (m  m  ... m  n), có k 1 2 p r(A  λ I)  n  m ( k  1,2,...,p). k k
Chú ý: Nếu ma trận vuông A cấp n có n GTR phân biệt thì A chéo hóa được. 0 0 1
Ví dụ 4: Cho A 0 1 0  .   1 0 0  
Từ kết quả của ví dụ 1, ta có:
r(A  λ I)  2  3 1, 1
r(A  λ I) 1 3  2. 2
Vậy (theo định lý 8) A chéo hóa được.  1 4 6 
Ví dụ 5: Cho A  3 7 7       .  4 8 7   
Từ kết quả của ví dụ 2, ta có:
r(A  λ I)  2  3  2 1 1 .
Vậy (theo định lý 8) A không chéo hóa được. 1 0 2  
Ví dụ 6: Cho A  2 2 2    .  0 0 1    Ta có: 1 λ 0 2  P (λ)  2 2  λ 2 
 (1 λ)(1 λ)(2  λ) . A 0 0 1   λ λ  1  (m 1) 1 1 P (λ) 0     λ 1 (m 1) . A 2 2   λ  2 (m   1) 3 3
Vì A la ma trận vuông cấp 3 có 3 GTR phân biệt nên A chéo hóa được. 0 0 0
Ví dụ 7: Cho A 0 0 0  
 . Bản thân A là ma trận đường chéo. Dễ dàng thấy A 0 0 0  
thỏa mãn điều kiện chéo hóa.
Thực vậy đối với GTR λ  0(m  3), ta có: 0 0 0 r(A λI) r0 0 0    0  3  3   . 0 0 0  
2.1.3. Cách chéo hóa ma trận.
1) Giải phương trình đặc trưng P (λ)  det(A  λI)  0 để tìm các GTR của A: A λ ,λ ,...,λ m ,m ,...,m 1 2 p với bội tương ứng 1 2 p .
2) Kiểm tra điều kiện chéo hóa.
a) Nếu p  n thì A chéo hóa được. b) Nếu k
 (k 1,2,...,p) : r(A  λ I)  n  m thì A chéo hóa được. k k c) Nếu k
 : r(A  λ I)  n  m thì A không chéo hóa được. k k
Chú ý: Nếu A chéo hóa được thì A được đưa về ma trận chéo B có dạng:  λ1   λ  a) 2 B        λ   n   λ  1       m1   λ   1    b) B        λ  p     m   p    λ   p   
Để tìm ma trận T không suy biến (detT  0): B=T-1AT ta tiến hành bước tiếp sau:
3)  Ứng với mỗi GTR λ , giải hệ phương trình (A  λ I)x  θ k k , tìm được m VTR đltt k k k k a ,a ,...,a λ . 1 ứng với 2 mk k  Sau đó ta lập hệ: 1 1 1 p p p
(a) {a ,a ,...,a ,...,a ,a ,...,a } 1 2 1 m 1 2 mp
là cơ sở của không gian n K , bao gồm các VTR.  Lập ma trận T  | | | |    1 1 p p T  a  a  a  a 1  1 m 1 mp  | | | |   
là ma trận mà có cột thứ j là vectơ thứ j trong cơ sở (a). 0 0 1
Ví dụ 8: Chéo hóa ma trận A 0 1 0    . 1 0 0  
Giải: Trong ví dụ 4 đã chỉ ra rằng ma trận A chéo hóa được. Ví dụ 1 đưa ra một cơ sở mới bao gồm các VTR a  ( 1
 ,0,1), a  (1,0,1), a  (0,1,0), 1 2 3 Lập ma trận T  1  1 0  1  0 1   1  1 T 0 0 1 T  1 0 1      . 2    1 1 0  0 2 0     Vậy  1  0 10 0 1 1  1 0  1  0 0  1       1 B  T AT  1 0 1 0 1 0 0 0 1  0 1 0 . 2      
 0 2 01 0 0 1 1 0  0 0 1      
*Chú ý: Nếu A là ma trận chéo hóa được thì ta luôn tìm được ma trận T và ma trận
chéo B như trong phương pháp trên: 1 A TBT  .Khi đó 2 1  1  1  1  2 1 A A.A (TBT ).(TBT ) TB(T T)BT TB T     3 2 2 1  1  3 1 A A .A (TB T ).(TBT ) TB T    …. n n 1  n 1  1  1  n 1 A A .A TB T .TBT TB T   
Đây là một trong những lợi ích của việc chéo hóa ma trận. 0 0 1
Ví dụ 9: Cho A 0 1 0    . Tìm An. 1 0 0  
Giải: Theo ví dụ 8, ta biểu diễn được: 1 A TBT  , trong đó  1  0 0  1  1 0  1  0 1     1  1 B 0 1 0 , T 0 0 1 , T  1 0 1        2    0 0 1  1 1 0  0 2 0       Vậy n  1  1 0( 1  ) 0 0   1  0 1 n   n  1 A 0 0 1 0 1 0  1 0 1      2    n  1 1 0   0 0 1      0 2 0 n 1 ( 1  )  1 1 1  0 1 1  0 0 1 1 0 1   2    n  ( 1  ) 1 0   0 2 0 n n 1  ( 1  ) 1 2 ( 1  )  1 1    0 2 0 . 2   n 1  n ( 1  ) 1 0 ( 1  ) 1   
3. Chéo hóa ma trận đối xứng thực.
3.1. Ma trận trực giao.
Định nghĩa 8.1: Ma trận trực giao la ma trận vuông có tổng bình phương các phần tử
của mỗi hàng bằng 1, còn tổng các tích các phần tử tương ứng của hai hàng khác nhau thì bằng 0.
Ví dụ: Các ma trận sau đây là ma trận trưc giao:  2 2  1   3 3 3    cosφ sin φ 2 1 2     , . sinφ cosφ     3 3 3   1 2 2     3 3 3   
Định nghĩa 8.1: Cho AM (R) , det A  0 . Ma trận A là ma trận trực giao nếu n T 1 A A  .
Định lý 10: Cho A là ma trận đối xứng thực. Khi đó
a) Mọi GTR của ma trận đối xứng thực A là các số thực.
b) Nếu λ là một GTR bội m λ là không gian m k
k của A thì KGR ứng với k k chiều,
nghĩa là nó có mk VTR (ứng λ ) đltt. k
3.2. Phương pháp chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao.
1) Giải phương trình đặc trưng P (λ)  det(A  λI)  0. A
2) Tìm một cơ sở trực chuẩn cho KGR ứng với mỗi GTR. a) Nếu λ bội m
λ , rồi chuẩn hóa nó. k
k = 1, thì lấy một VTR bất kỳ ứng với k b) Nếu λ bội m λ bằng k
k > 1, thì có thể tìm cơ sở trực chuẩn của KGR ứng với k
cách tìm một cơ sở của KGR ứng với λ , sau đó áp dụng quá trình trực chuẩn hóa k Gram-Schmidt.
Cuối cùng ta được cơ sở trực chuẩn của KGR ứng với λ , k  . Và ghép chúng k
lại ta được cơ sở trực chuẩn gồm các VTR. 1 2 2
Ví dụ 10: Cho ma trận A 2 1 2  
 . Hãy tìm ma trận trực giao Q để đưa A về  2 2 1  
dạng chéo B = Q-1. A.Q. Tìm ma trận chéo B.
Giải: Trước hết ta nhận xét A là ma trận đối xứng nên A chéo hóa trực giao được.
1) Giải phương trình đặc trưng: 1 λ 2 2 2 P (λ)  2 1 λ
2  (5  λ)(1 λ)  0 A 2 2 1 λ  λ  5 (m 1) 1 1   λ  1  (m   2) 2 2
2) Tìm một cơ sở trực chuẩn của từng KGR:  λ  5 (m 1) 1 1
Giải hệ phương trình (A 5I)x  θ. Ta có:  4  2 2   4  2 2  2 1  1      2 4 2   0 6 6  0 1 1             .  2 2 4  0 6 6 0 0 0          x  t 1 2x  x  x  0 1 2 3 (A I)x θ        x  t, t R \ {0}. 2 x  x   0 2 3 x   t 3 Lấy a 1 1 1
1 = (1,1,1), chuẩn hóa a1 được a  ( , , ). 1 3 3 3  λ  1  (m  2) 2 2
Giải hệ phương trình (A I)x  θ  2x  2x  2x  0 1 2 3  x  t 1  2 2
  x  v , t,vR : t  v  0. 2 x  t   v 3
Để tìm cơ sở trực chuẩn của KGR ứng với λ  1  , ta làm như sau: 2
Lấy a2 = (1,0,-1), a3 = (0,1,-1) là cơ sở. Đặt a 1 1 2 a   ( ,0, ) , 2 a2 2 2 1 1 1 1 1
a  a   a ,a  a  (0,1, 1  )  ( ,0, )  ( ,1, ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a 1 2 1 3  a   ( , , ) 3 a3 6 6 6
3) Ma trận Q và B cần tìm là:  1 1 1    3 2 6    5 0 0   1 2 Q 0      , B  0 1  0 . 3 6       0 0 1   1 1 1      3 2 6   
Chú ý: Ma trận Q không là duy nhất vì Q phụ thuộc vào cách chọn VTR.