Đại số Tuyến tính
Giảng viên:Đào Như Mai 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 1 Chương 6: Không gian Euclid
 Tích vô hướng của hai véc tơ
 Bù vuông góc của không gian con
 Quá trình trực giao hóa Gram Schmidt
 Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 2 Tích vô hướng
 Tích vô hướng trong kgvt  trên trường số thực  là một
hàm thực sao cho mỗi cặp véc tơ ,  ∈ , tương ứng với
một số thực, ký hiệu ,  , < ,  > hay . , thỏa mãn các tiên đề: 
,  = ,  ; ∀,  ∈ . 
 + ,  = ,  + ,  ; ∀, ,  ∈ . 
,  =  ,  ; ∀,  ∈ ,  ∈ . 
,  ≥ 0; ,  = 0 ↔  = .
 Không gian véc tơ (hữu hạn chiều) trên trường số thực 
trên đó trang bị một tích vô hướng, được gọi là không gian Euclid. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 3 Tích vô hướng
 + z,  =  +   + 2(+) + 2(+) + 10  +  
 Ví dụ. + + 2 + 2 + 10+ + 2 + 2 + 10
Trong kgvt  cho quy tắc: ∀==,   + z, 
,  ∈ , ∀ = (, ) ∈ :
,  =  + 2 + 2 + 10.
a. Chứng minh (, ) là tích vô hướng trong kgvt .
b. Tính tích vô hướng của 2 véc tơ  = 2,1 ,  = (−1,1). ,  =    
 + 4 + 10 =  + 2 + 6 ≥ 0. a. SV tự kiểm tra. b. ,  = 2,1 , −1,1 =
= 2. −1 + 2.2. 1 + 2.1. −1 + 10.1. 1 = 10. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 4 Tích vô hướng  Ví dụ
Trong kgvt [] cho quy tắc:
∀  =  +  + ;   =  +  +  ∈   , 
,  =       
a. Chứng minh (, ) là tích vô hướng trong kgvt [].
b. Tính tích vô hướng của 2 véc tơ
  = 2 − 3 + 1,   =  + 1 Giải a. SV tự kiểm tra.
b. ,  = ∫ 2 − 3 + 1 ( + 1)  = 1/6. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 5
∀  =  +  + ;   =  +  +  
,  =       
=  +   
+ +  +         2 
, p = 5 + 2 + 3 + 3 +  +  21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ, ĐHQGHàNội 6 Tích vô hướng  Định nghĩa.
 Độ dài véc tơ. Trong không gian Euclid , độ dài véc tơ  ∈  là số
thực dương, ký hiệu  và được định nghĩa như sau:  = (, ).
• Véc tơ có độ dài bằng 1 gọi là véc tơ đơn vị.
• Chia 1 véc tơ cho độ dài của nó ta được véc tơ đơn vị.
• Quá trình tạo ra véc tơ đơn vị gọi là chuẩn hóa véc tơ.
 Khoảng cách giữa hai véc tơ. Trong không gian Euclid ; ∀,  ∈ ,
khoảng cách giữa hai véc tơ  và , ký hiệu (, ), định nghĩa như sau:  ,  =  −  .
 Góc giữa hai véc tơ. Trong không gian Euclid ; ∀,  ∈ , góc  giữa
hai véc tơ  và  là đại lượng thỏa mãn: (, )  =   . 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 7 Tích vô hướng  Định lý.
 Bất đẳng thức Cauchy:
Trong không gian Euclid ; ∀,  ∈ : (, ) ≤   .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  và  phụ thuộc tuyến tính.
 Bất đẳng thức tam giác.
Trong không gian Euclid ; ∀,  ∈ :  +  ≤  +  . 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 8 Tích vô hướng  Ví dụ
Trong kgvt  cho quy tắc: ∀ = , ,  ,  = (, , ) ∈ :
,  = 5 + 2 + 2 + 3 + .
a. Chứng minh (, ) là tích vô hướng trong kgvt .
b. Tính tích vô hướng của 2 véc tơ  = 2,1,0 ,  = (3, −2,4).
c. Tính độ dài véc tơ  = (3,2,1).
d. Tính khoảng cách giữa 2 véc tơ:  = 1,2,1 ,  = 3,0,2 .
e. Tính góc giữa 2 véc tơ:  = 1,0,1 ,  = (2,1,0). Giải a. SV tự kiểm tra.
b. ,  = 2,1,0 , 3, −2,4
= 5 2 3 + 2 2 −2 + 2 1 3 + 3 1 −2 + 0 4 = 22 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 9 Tích vô hướng  Ví dụ
Trong kgvt  cho quy tắc: ∀ = , ,  ,  = (, , ) ∈ :
,  = 5 + 2 + 2 + 3 + .
c. Tính độ dài véc tơ  = (3,2,1).
d. Tính khoảng cách giữa 2 véc tơ:  = 1,2,1 ,  = 3,0,2 .
c. Tính góc giữa 2 véc tơ:  = 1,0,1 ,  = (2,1,0). Giải (tiếp)
c.Tính độ dài véc tơ 
 = (, ) = ( 3,2,1 , (3,2,1)) =
5.3.3 + 2.3.2 + 2.2.3 + 3.2.2 + 1.1 = 82
Nhận xét: so sánh với độ dài véc tơ ở phổ thông, ta thấy cùng 1 véc
tơ nhưng độ dài “dài” hơn. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 10 Tích vô hướng  Ví dụ
Trong kgvt  cho quy tắc: ∀ = , ,  ,  = (, , ) ∈ :
,  = 5 + 2 + 2 + 3 + .
d. Tính khoảng cách giữa 2 véc tơ:  = 1,2,1 ,  = 3,0,2 .
e. Tính góc giữa 2 véc tơ:  = 1,0,1 ,  = (2,1,0). Giải (tiếp)
e.  ,  =  −  = ( − ,  − ) = = −2,2, −1 , −2,2, −1 =
= 5. (−2). (−2) + 2. (−2). 2 + 2.2. (−2) + 3.2.2 + 1.1 = 17
Nhận xét: nếu coi véc tơ là 1 điểm trên mặt phẳng tọa độ, so sánh với
khoảng cách giữa 2 điểm ở phổ thông, ta thấy khoảng cách trong trường hợp này “dài” hơn. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 11 Tích vô hướng  Ví dụ
Trong kgvt  cho quy tắc: ∀ = , ,  ,  = (, , ) ∈ :
,  = 5 + 2 + 2 + 3 + .
e. Tính góc giữa 2 véc tơ:  = 1,0,1 ,  = (2,1,0). Giải (tiếp)
e. Góc giữa 2 véc tơ: (,) 12 12  =   = = . 6. 31 186 12 →  =  = 28,37° 186 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 12 Tích vô hướng  Ví dụ
Cho hai véc tơ   ,   ∈   − kgvt, xét: 
,  =       , 
 Chứng minh (, ) là tích vô hướng trong kgvt [].
 Tính (, ) với   = 2 − 3 + 1;   =  − 3.
 Tính độ dài véc tơ   = 2 + 3.
 Tính khoảng cách giữa 2 véc tơ:
  =  +  + 2,   =  − 2 + 3.
 Tính góc giữa 2 véc tơ:   =  + ,   = 2 + 3. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 13 Tích vô hướng
 Ví dụ:   = 2 − 3 + 1;   =  − 3.  
,  =  2 − 9 + 10 − 3  = 
2 − 3 + 5 − 3 = −12 4 62
  = 2 + 3 → ,  = 3 +6 +9 = 3
  =  +  + 2,   =  − 2 + 3.
3x − 1,3x − 1 = 3 − 3 +  = 8
  =  + ,   = 2 + 3 ; ,  =  +   +  = ;        16  = 5 + 2 + 3 = 15 (, ) 10 3 15 5 5 c =   = = = 44,769° 4  3 62. 2 62 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 14 Tích vô hướng  Định nghĩa
 Vuông góc giữa hai véc tơ: ,  ∈  − không gian Euclid, hai véc
tơ  và  được gọi là vuông góc với nhau, ký hiệu  ⊥ , nếu: ,  = 0.
 Véc tơ  vuông góc với tập  ⊂  − không gian Euclid, ký hiệu  ⊥  nếu:  ⊥ , ∀ ∈ .
 Hệ véc tơ trực giao. Tập  ⊂  − không gian Euclid, được gọi là
hệ véc tơ trực giao, nếu: ∀,  ∈ ,  ≠  thì  ⊥ .
 Hệ véc tơ trực chuẩn. Tập  ⊂  − không gian Euclid, được gọi
là hệ véc tơ trực chuẩn, nếu:
•  là hệ véc tơ trực giao. •  = 1, ∀ ∈ . 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 15 Tích vô hướng  Định nghĩa
 Ma trận trực giao. Ma trận  được gọi là ma trận trực giao nếu:  =  =  .
 Chú ý.  là ma trận trực giao khi và chỉ khi  =   Định lý
 1 Nếu  là ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn này sang
một cơ sở trực chuẩn khác trong không gian Euclid  chiều, thì  là ma trận trực giao.
 2. Véc tơ  ⊥  khi và chỉ khi  vuông góc với tập sinh của 
Chứng minh: ⟹ hiển nhiên. ⟸ giả sử  ⊥ với tập sinh , , … , .
 ∀ ∈  ↔  =  +  + ⋯ + .
 Xét tích vô hướng: ,  = ,  +  + ⋯ +  =
 =  ,  +  ,  + ⋯ +  ,  = 0. Do đó  ⊥ , vậy  ⊥ . 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 16 Tích vô hướng  Ví dụ
Trong kgvt , cho không gian con:
 = , ,  :  +  −  = 0,2 + 3 +  = 0 ,
xét véc tơ  = (2,3, ). Tìm  để  ⊥ . Giải
Bước 1: tìm tập sinh của  = {(4, −3,1)}.  1 1 −1
 +  −  = 0; 0,2 + 3 +  = 0 → 1 1 −1 2 3 1 0 1 3
 = −3;  = 4 , , =(4,-3,1)
Bước 2:  ⊥  ↔  vuông góc với tập sinh của .
↔  ⊥ 4, −3,1 ↔ 2,3,  , 4, −3,1 = 0.
↔ 4.2 + −3 . 3 + 1.  = 0 ↔  = 1. Chú ý: tích vô hướng. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 17
Bù vuông góc của không gian con
 Định nghĩa. Cho  ⊂  − không gian Euclid, tập hợp:
 =  ∈ :  ⊥  .
được gọi là bù vuông góc của không gian con .
 Định lý. Cho  ⊂  − không gian Euclid, khi đó  là không gian
con của . dim  + dim  = dim()
 Cơ sở, số chiều của không gian bù vuông góc. Các bước tìm
B1: tìm tập sinh của , giả sử đó là: , , … ,  .
B2: tìm không gian con bù vuông góc.
∀ ∈  ↔  ⊥  ↔  vuông góc với tập sinh của .  ⊥  ,  = 0 ↔  … ↔  …
↔ hệ thuần nhất  = 0.  ⊥  ,  = 0
 là không gian nghiệm của hệ pt thuần nhất trên. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 18
Bù vuông góc của không gian con  Ví dụ.
Cho  =< 1,1,1 , 2,1,0 , 1,0, −1 > là không gian con của , tìm
cơ sở và số chiều của .
∀ = (, , ) ∈  ↔  ⊥ .  ⊥ (1,1,1)  +  +  = 0
↔   ⊥ (2,1,0) ↔  2 +  = 0  ⊥ (1,0, −1)  −  = 0
↔  = , −2,  = (1,−2,1)
Do đó  =< (1, −2,1) >.
Suy ra, cơ sở của  là 1, −2,1 , dim  = 1. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 19
Bù vuông góc của không gian con  Ví dụ
Cho  = , ,  ∈ :  +  +  = 0,2 +  −  = 0 ,
là không gian con của , tìm cơ sở và số chiều của . B1: tìm tập sinh của .
∀ = , , ∈  ↔   +  +  = 0
2 +  −  = 0
↔  = 2,−3, = (2, −3,1)
Do đó, tập sinh của  là (2, −3,1) .
B2: làm tương tự như ví dụ trên.
∀ = , ,  ⊥  → , ,  ⊥ (2, −3,1)
2 − 3 +  = 0
{ 1,0, −2 , 0,1,3 } − tập sinh của , dim() = 2 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 20
Bù vuông góc của không gian con  Định lý.
Cho hệ véc tơ  = , , … ,  ⊂  − không gian Euclid.  là hệ
trực giao, không chứa véc tơ . Khi đó  là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử:  +  + ⋯ +  = .
Khi đó: ,  +  + ⋯ +  = ,  = 0.
↔  , +  , + ⋯ +  ,  = 0. ↔  ,  = 0.
Vì  không chứa véc tơ , nên ,  > 0 →  = 0.
Tương tự ta có:  =  = ⋯ =  = 0. Vậy hệ  là ĐLTT. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 21
Bù vuông góc của không gian con  Định lý.
Cho hệ véc tơ  = , , … ,  ⊂  − không gian Euclid.  là hệ
cơ sở trực chuẩn, khi đó ∀ ∈  có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
 =  +  + ⋯ + , trong đó:  = (, ).
Chứng minh: ∀ ∈ :  =  +  + ⋯ + .
Khi đó: ,  =  +  + ⋯ + ,  =
=  ,  +  ,  + ⋯ +  , .
Vì  là hệ cơ sở trực chuẩn nên: ,  = 1,  =  0,  ≠  .
Vậy ta có:  = (, ). 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 22
Bù vuông góc của không gian con
 Ví dụ. Cho  là hệ cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid : 1 −1 −2 1 1 1 −1 1  = , , , , , 0 , , , . 6 6 6 2 2 3 3 3
Tìm tọa độ của véc tơ  = (3, −2,1) trong hệ cơ sở . 
[]=  ↔  =  +  + ,   = ,  =  trong đó  = ,  =   = ,  =  21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 23
Bù vuông góc của không gian con
 Cho  là hệ cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid :
 = , , … ,  .
 Xét hai véc tơ ,  ∈ :
 =  +  + ⋯ + .
 =  +  + ⋯ + .
 Xét tích vô hướng của hai véc tơ  và :
,  =  +  + ⋯ + , +  + ⋯ +  =
=  ,  +  ,  + ⋯ +  ,  =
=  +  + ⋯+ .
Nhận xét. Khi làm việc với hệ cơ sở trực chuẩn thì công việc tính
tích vô hướng của hai véc tơ rất nhanh gọn. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 24
Bù vuông góc của không gian con  Nhận xét.
 Khi làm việc với không gian Euclid , ta làm việc với hệ cơ sở của không gian .
 Theo nhận xét trên, ta thấy nếu hệ cơ sở này là hệ cơ sở trực chuẩn thì
công việc tính toán của véc tơ rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vô
hướng, tính độ dài, khoảng cách,. .)
 Yêu cầu đặt ra: tìm một hệ cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid .
 Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V
 Bước 1: Chọn một hệ cơ sở tùy ý  của  − không gian Euclid.
 Bước 2: Dùng quá trình Gram-Schmidt (sau đây) đưa hệ  về hệ cơ sở trực giao .
 Bước 3: Chia mỗi véc tơ của hệ  cho độ dài của nó, ta được hệ cơ sở trực chuẩn. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 25
Quá trình trực giao hóa Gram Schmidt
Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt là quá trình đơn giản, dùng
để tìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một
không gian con của không gian Euclid .  Định lý.
Cho  = , , … ,  ⊂  − không gian Euclid,  là hệ ĐLTT. Khi
đó có thể xây dựng từ  một hệ véc tơ trực giao:
 = ,, … ,  ,
sao cho:  =< , , … ,  > = < , , … ,  >.
Chứng minh. Đặt  = .
Tìm  dưới dạng:  =  + .  →  , 
,  = ,  +  ,  = 0 →  = −  . ,  21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 26
Quá trình trực giao hóa Gram Schmidt Do đó:   ,   =  −   , 
Tương tự, tìm  dưới dạng:  =  +  + .
,  = , +  ,  = 0
,  = ,  +  ,  = 0
Ta có:  =  − ,     − , . , , Tương tự:     ,  ,  ,   =  −   −  − ⋯ −  ,  ,  , 
Khi đó hệ véc tơ {, , … , } là hệ cơ sở trực giao của . 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 27
Quá trình trực giao hóa Gram Schmidt
 Ví dụ. Trong  cho hệ véc tơ ĐLTT sau:
 = 1,0,1,1 , 0,1,1,1 , 1,1,1,1
Dùng quá trình Gram-Schmidt tìm hệ trực giao, hệ trực chuẩn.
Giải. Đặt  =  = (1,0,1,1).  =  − ,    ,
 = 0,1,1,1 − ,,, , ,,, 1,0,1,1 = 0,1,1,1 −  1,0,1,1
,,, , ,,,  = , 1,  ,  →      = (−2,3,1,1).
 =  − ,  
,  ,  ,  →  
 − ,  =   = (2,2, −1, −1) , ,    
Hệ trực giao:  = {, , }.  Hệ trực chuẩn:
, 0,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,             21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 28
Quá trình trực giao hóa Gram Schmidt
 Ví dụ. Trong  cho không gian con:  = 
 +  −  +  = 0,
, , ,  2 + 3 −  + 3 = 0
Xác định số chiều, cơ sở trực chuẩn của . Giải
B1: Tìm cơ sở của :  = { 2, −1,1,0 , 0, −1,0,1 }.
B2: Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa  về hệ cơ sở trực giao:  = {, }.
 =  = (2,−1,1,0).
 =  − ,    = (2,5,1, −6). , 
B3: Cơ sở trực chuẩn là:
,  ,  , 0 ,  ,  ,  ,  .        21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 29
Hình chiếu vuông góc, khoảng cách
 Trong không gian Euclid V cho không gian con  và một véctơ  tùy ý.
Véctơ  có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng:
 =  + | ∈ ,  ∈ ^
véctơ  được gọi là hình chiếu vuông góc của  xuống  :  = 
Nếu coi véctơ  là một điểm, thì độ dài của véctơ  là khoảng cách
từ  đến không gian con .
 ,  =  =  − 
 Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ .
1) Tìm hình chiếu vuông góc của  xuống .
2) Tìm khoảng cách từ  đến . 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 30
Hình chiếu vuông góc, khoảng cách  Giải
1). Tìm một cơ sở của F. Giả sử đó là: {, , ⋯ , }
 =  +  =  +  + ⋯ +  + 
 ,  +  ,  + ⋯+  ,  + (, ) = (, )
(, ) + (, )) + ⋯ + (, ) + (, ) = (, ) ⋯
(, ) + (, )) + ⋯ + (, ) + +(, ) = (,) Giải hệ tìm
, ,⋯ , Þ =  =  +  + ⋯ + 
2) Khoảng cách từ  đến .  ,  =  =  −  21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 31
Hình chiếu vuông góc, khoảng cách  Ví dụ
Trong không gian R4 cho không gian con:
 = , ,,    +  −  +  = 0
2 +  − 3 + 3 = 0
 Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ  = 1,1,0,1 xuống F.
 Tìm khoảng cách từ véctơ  = 1,1,0,1 đến F. Giải.
 Tìm cơ sỏ của F:  =  = 2, −1,1,0 ;  = −2,1,0,1
(, ) + (, ) = (, )
(, ) + (, ) = (, ) Û  6 − 5 = 1 −5 + 6 = −1 1 −1 4 −2 1 −1
Û  = 11; = 11 Þ =  +  = 11, 11 ,11, 11
  ,  =  =  −  =  ,  ,  ,  = 3     21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 32
Hình chiếu vuông góc, khoảng cách  Ví dụ
Trong không gian P [x] với tích vô hướng: 2 
,  =       
Cho không gian  =   | 1 = 0
 Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ   = 2 −  + 1 xuống F.
 Tìm khoảng cách từ véctơ p  = 2 −  + 1 đến F. Giải. Từ p(1)=a+b+c=0
 Tìm cơ sỏ của F:  =  =  − ;  =  − 1
(, ) + (, ) = (, )
(,) + (, ) = (, )
Sử dụng tích vô hướng đã cho, lập hệ phương trình, tìm  và 
Suy ra hình chiếu vuông góc và khoảng cách. 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 33   1  
,  =   −   =   − 2 +   = 30      1
,  = ,    −   − 1  =   − 2 +   = 12       1
,  =   − 1  =   − 2 + 1  = 3     11 ,  
 =  2 −  + 1  −   =  2 − 3 + 2 −   = − 60     1
,  =  2 −  + 1  − 1  =  2 − 3 + 2 − 1  = −2   14  = − 3 14 13 1
Û 2 + 5 = −11 
Þ =  +  = −  + 4 = −6 Û −1  3  + 3  + 3  = 3 20
 ,  =  =  −  13 2  = 3  − 3  + 3 = 1 21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ, ĐHQGHàNội 34 Tích có hướng
 Tích có hướng của 2 véc tơ u và v trong KG R3
 =  +  + ;  =  +  +   Là vec tơ
 ×  = ( − ) + ( − ) + ( − )  Dạng định thức   
 ×  =       21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 35 Tích có hướng  Ví dụ cho
 =  −  + ;  =  +  − 
 Tính (a)  × ; (b)  × ; (c ) ×      ×  = 1 −2 1 = −2 1 3 1 −2 1 −2  − 1 1 3 −2  + 1 −2 3 1  = 3 + 5 + 7     ×  = 3 1 −2 = 1 −2 1 −2 1 −2 1  − 3 −2 1 1  + 3 1 1 −2  = −3 − 5 − 7   
 ×  = 3 1 −2 =  + 0 +  3 1 −2
Nhận xét:  ×  = −( × ) và  ×  =  21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 36 Tích có hướng
 Tính chất của tích có hướng
1.  ×  = −( × )
2.  ×  +  = ( × ) + ( × )
3.   ×  =  ×  =  × 
4.  ×  =  ×  =  5.  ×  = 
6.    ×  = ( × )  
 Véc tơ  ×  vuông góc với cả u và v
 Góc giữa hai vec tơ tính từ  ×  =   sin 
 Hai véc tơ u và v // khi và chỉ khi  ×  = 
 Hình bình hành có hai cạch liền kề là u và v có diện tích bằng  ×  21:46
TrườngĐạihọcCôngnghệ,ĐHQGHàNội 37