8 trang 4 lượt tải

Chương III một số quy luật phân phối xác suất thông dụng môn Xác suất thống kê| Trường Đại học Ngoại Thương

7

Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắnnhư nhau và bằng 0,2. Muốn phá huỷ mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá huỷ. . Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Môn: Xác suất thống kê (FTU) 355 tài liệu

Trường: Trường Đại học Ngoại Thương 1.1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lan Anh Trần

3 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/8
Chương III MỘT SỐ QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T THÔNG DẬ Ố Ấ ỤNG
§1. Quy luật nh thị ức-B(n,p)
3.1. Bắn 5 viên đạn vào m c tiêu. Xác suụ ất trúng đích của m i l n b ng ỗ ầ ắn như nhau và bằ
0,2. Muốn phá hu m c tiêu ph i có ít nh t 3 viên trúng m c tiêu. Tìm xác su t m c tiêu b ỷ ụ ả ấ ụ ấ ụ ị
phá huỷ.
Giải: Coi m i l n b n là m t phép th ta có 5 phép t h ỗ ầ ắ ộ ử ử độc l p, trong m i phép th ch có 2 ậ ỗ ử ỉ
khả năng đối l p ho c trúng ho t m c t iêu, xác su t trúng m c t iêu c a m i l n b n ậ ặ ặc trượ ụ ấ ụ ủ ỗ ầ ắ
đều b ng 0,2 . Vằ ậy bài toán tho mãn l Bernoulli. ả ược đồ
Gọi X là số viên đạn bắn trúng t hì X là bi n ngế ẫu nhiên tuân theo quy lu t nh t h c v i các ậ ị ứ ớ
tham số n = 5 và p = 0,2. Vậy xác su t m c tiêu b phá hu chính là xác su ấ ụ ị ỷ ất để X≥3.
Theo công thức Bernoulli.
P(X ≥3)= P
+ P+ P=
= C
(0,2) (0,8) + C(0,2) (0,8) + C(0,2) (0,8)
= 0,0579
3.2. Một gia đình có 5 con. Tìm xác su t sao cho trong sấ ố đó có:
a. 2 con trai
b. Không quá 2 con trai.
Giả thi t xác su t sinh con trai là 0,51 . ế ấ
3.3. Thống kê cho t h y cấ ứ chào hàng 3 l n thì có 1 l c hàng. N u chào hàng 12 ầ ần bán đượ ế
lần và gọi X là số lần bán được hàng t hì X tuân theo quy lu t gì? Tậ ại sao?
3.4. Một n công nhân qu n lý 12 máy d t. Xác su m i máy trong kho ng t h i gian ữ ả ệ ất để ỗ ả ờ
cần đến sự chăm sóc của n công nhân là 1/ 3. Tính xác su t: ữ ấ
a. Trong khoảng th i gian có 4 máy cờ t ần đến sự chăm sóc của n công nhân. ữ
b. Trong khoảng th i gian có t 3 d n 6 máy c n sờ ừ ế ần đế ự chăm sóc của n công nhân. ữ
DS: a. P = 0,238
b. = 0,751
3.5. Việc sản xu t ra các sấ ản ph c ti c l p. Hẩm đượ ến hành độ ậ ỏi phải sản xu t m t bao ấ ỗi đợ
nhiêu sản phẩm để trung bình có c 10 sđượ ản ph t tiêu chu n bi t r ng xác su c ẩm đạ ẩ ế ằ ất đượ
sản ph t tiêu chu n là 0,8 . ẩm đạ ẩ
DS: sn = 13 ản ph m ẩ
3.6. Trong một lô hàng có 800 sản ph m lo i 1 và 200 sẩ ạ ả ẩn ph m lo i 2. Lạ ấy ngẫu nhiên ra 5
sản ph c có hoàn l i. Gẩm theo phương thứ ạ ọi X là số sản ph m lo i 1 lẩ ạ ấy được.
a. X tuân t heo quy luật gì? Vi t bi u th c xác su t t ng quát cế ể ứ ấ ổ ủa quy lu t. ậ
b. Tìm () và ()
c. Tìm số sản ph m lo i 1 trung bình ẩ ạ được l y ra và tính kh ấ ả năng để xảy ra điều đó.
ĐS: a. X tuân theo quy luật nhị th c v i các tham sứ ớ ố = 5 và = 0,8.
Px =
(0,8) (0,2) ⋅;x = 0,5
b. E(X) = 4; V(X) = 0,8
c. X
≈4; P(X = X) = 0,4096
3.7. Xác su sất để ản ph m sẩ ản xu t ra b h ng b ng 0,1 . ấ ị ỏ ằ
a. Tìm xác su trong 5 sất để ản phẩm sản xu t ra có không quá 2 sấ ả ẩn ph m h ng. ỏ
b. Tìm số sản ph m h ng trung bình trong 5 sẩ ỏ ản ph ẩm đó.
c. Tìm số sản ph m h ng có kh y ra nhi u nh t. ẩ ỏ ả năng xả ề ấ
3.8. Gieo 10.000 hạt gi ng vố ới xác su m i h t gi ng n y m m là 0,85 . Gất để ỗ ạ ố ả ầ ọi X là số hạt
nảy m m. ầ
a. X tuân theo quy luật gì?
b. Tìm () và ().
3.9. Xác suất để m i hành khách ch m tàu là 0,02 . Tìm sỗ ậ ố khách ch m có kh y ra ậ ả năng xả
nhiều nh t trong 855 hành khách. ấ
ĐS: 17 hành khách.
3.10. Xác suất để kh i b nh khi dùng lo i thu c ỏ ệ ạ ố A là 3/4. Có 5 người m c b nh ắ ệ B dùng
thuốc A. Tìm xác su t: ấ
a. Có 3 người kh i b nh. ỏ ệ
b. Có ít nhất 1 người kh i b nh. ỏ ệ
c. Có nhiều nh i kh i b nh. ất 2 ngườ ỏ ệ
ĐS: a. P = 0,263;
b. P = 0,999902;
c. = 0,1035
3.11. Tìm phương sai của bi n ngế ẫu nhiên là s ố l n xu t hi n bi n c ầ ấ ệ ế ố A trong hai phép
thử độc l p và ậ P(A) = p trong m i phép th , bi t r ng ỗ ử ế ằ E(X) = 1,2.
ÐS: V(X) = 0,48.
3.12. Tiến hành các phép th ử độc l p v i xác su t xu t hi n bi n c trong m i phép th ậ ớ ấ ấ ệ ế ố ỗ ử đều
bằng . Tìm np p ếu phương sai của số l n xu t hi n bi n c trong ba phép th ầ ấ ệ ế ố ử độc l p là ậ
0,63 .
3.13. M ột kho hàng chuyên cung cấp hàng cho 12 cửa hàng. Xác su m i cất để ỗ ửa hàng đặt
hàng cho kho đó trong ngày là 0,3 . Tìm số đơn đặt hàng có kh u nh t cho m t ả năng nhiề ấ ộ
ngày và xác suất tương ứng v i nó. ớ
ĐS: 3 đơn đặt hàng; P = 0,2397.
3.14. Bia bắn được chia làm 2 vòng, xác su t b n trúng vòng trong là 0,7 còn trúng vòng ấ ắ
ngoài là 0,3 . Tìm xác suất sao cho b n thì ắn 3 viên đạ được ít ra là 29 điểm biết r ng b n ằ ắ
trúng vòng trong thì được 10 điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm.
ĐS: P = 0,784.
3.15. M ột nghiên cứu cho th y công ch c cho r ng vi c ngh làm hai ngày m t t u n sấ 70% ứ ằ ệ ỉ ộ ầ ẽ
nâng cao được hi u su t công tác. N u ch n ngệ ấ ế ọ ẫu nhiên 15 công ch c ứ ở m t b ộ ộ để ph ng ọ
vấn thì xác su có ít nh ng ý vất để ất 10 người đồ ới ý ki n trên là bao nhiêu? ế
§2. Quy luật siêu b i - M (m, n)ộ
3.16. Trong kho có 10 cái lốp xe, trong đó có 3 cái hỏng. Lấy ngẫu nhiên 4 cái l l p cho ốp để ắ
một xe. N u gế ọi là số l p xe b h ng có t h ố ị ỏ ể được l y ra thì ấ X tuân theo quy lu t nào? Hãy ậ
giải thích?
3.17. Trong số 20 công nhân c a mủ ột công ty có 12 người có tay ngh khá. Tìm xác su ề ất để
kiểm tra ngẫu nhiên tay ngh cề ủa 5 công nhân thì có ít nh i có tay ngh khá. ất 3 ngườ ề
3.18. Để t hanh toán 1 tri ng ti n hàng, m t khách hàng gian l ã xệu đồ ề ộ ận đ ếp l n 5 t 50 ẫ ờ
ngàn tiền gi v i 15 t t i n th t. Ch cả ớ ờ ề ậ ủ ửa hàng rút ngẫu nhiên 3 t gi y b m tra ờ ấ ạc đem đi kiể
và giao hẹn n u phát hi n có b c gi thì cế ệ ạ ả ứ m i t gi khách hàng ph n hai t th t. Tìm ỗ ờ ả ải đề ờ ậ
số t i n ph t mà khách có th ph i tr . ề ạ ể ả ả
ĐS: 75 ngàn.
3.19. Trong 20 giấy thông báo t hu thu nh p có 3 gi y m c sai sót. Nhân viên ki m tra l y ế ậ ấ ắ ể ấ
ngẫu nhiên 5 gi ki m tra. ấy thông báo để ể
a. Thiết l p phân ph i xác su t cậ ố ấ ủa số gi y thông báo có l i. ấ ỗ
b. Tìm trung bình và phương sai của số gi y thông báo có l c ki m tra. ấ ỗi đượ ể
3.20. Trong 100 bóng đèn có 40 bóng hỏng. Tìm xác su l c 3 bóng h ng trong 5 ất để ấy đượ ọ
bóng được ki m tra ngể ẫu nhiên.
§3. Quy luật Poisson - P ( )
3.21. M ột xe t i v n chuy u vào kho. Xác su khi v n chuy n m i chai b ả ậ ển 1000 chai rượ ất để ậ ể ỗ ị
vỡ là 0,004 . Tìm xác su sau khi v n chuy u b v . ất để ậ ển có 5 chai rượ ị ỡ
Giải: Bài toán tho mãn l Bernoulli nên gả ược đồ ọi X là số chai rượu bị v khi vỡ ận chuy n thì ể
là bi n ngế ẫu nhiên t uân theo quy lu t nh th c. Song vì ậ ị ứ n quá l n, quá nh nên có th ớ p ỏ ể
coi phân ph i xố ấp xỉ Poisson v i tham sớ ố là:
= np = 1000.0,004 = 4
Vậy xác su ất để có 5 chai rượu b v là: ị ỡ
=4
5! =4
(2,71)⋅5! = 0,1562
3.22. Tổng đài điện tho i ph c v ạ ụ ụ 100 máy điện thoại. Xác su trong m i phút m i máy ất để ỗ ỗ
gọi đến t ìm sổng đài là 0,02 . T ố máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút.
ĐS: 2 máy
3.23. Số khách hàng vào m t cộ ửa hàng bách hoá trong m t gi là bi n ngộ ờ ế ẫu nhiên tuân
theo quy luật Poisson v i m (sớ ật độ ố khách trung bình) là 8 khách hàng trong 1 gi . Tìm xác ờ
suất để trong m t gi ộ ờ nào đó có hơn 4 khách vào.
ĐS: P = 0,9
3.24. M ột lô hàng có t l ph ph m là ỷ ệ ế ẩ 4%. Người ta ki m tra 150 sể ản ph m cẩ ủa lô hàng đó
và nếu trong đó có không quá 2 phế ph m t hì lô hàng ẩ được ch p nh n. Tìm xác su lô ấ ậ ất để
hàng được ch p nh n. ấ ậ
3.25. Tại sân bay cứ 15 phút có m t chuy n ô tô buýt lo i 6 ch ngộ ế ạ ỗ ồi ph c v ch khách vào ụ ụ ở
trung tâm t hành phố. Bi t r ng sế ằ ố khách ch ờ đi ô tô phân phối Poisson với m trung ật độ
bình là 8 người m t gi . Tìm xác su trong chuyộ ờ ất để ến xe ti p theo: ế
a. Không có khách nào chờ đi xe.
b. Xe sẽ ch t khách. ậ
c. Người ta sẽ tăng thêm một xe ch khách n a n u xác su ở ữ ế ất để có hơn một người ph i ch ả ờ
chuyến xe sau lớn hơn 0,1 . Vậy có tăng thêm xe chở khách không?
3.26. Cứ 5000 con cá bi c t hì có 1 con b nhi m khu n có h i cho sển đánh bắt đượ ị ễ ẩ ạ ức kho ẻ
con người.
Tìm xác suất để trong m t lô cá gộ ồm 1800 m t với đánh bắ ề có không quá 2 con bị nhi m ể
khuẩn.
§4. Quy luật phân ph u - U (a, b)ối đề
3.27. Nhu cầu về một loại hàng hoá phân ph u trong kho ng [30;50] (t n/ tháng). ối đề ả ấ
a. Xác định hàm m xác su t. ật độ ấ
b. Xác định hàm phân b xác su t. ố ấ
c. Tìm kỳ v ọng toán và phương sai.
d. Vẽ đồ th hàm m xác su t và hàm phân b xác su t. ị ật độ ấ ố ấ
e. Tìm xác suất để nhu cầu không vượt quá 45 t n. ấ
DS: c. 40; 33,333; e. = 0,75
3.28. Khi thâm nhập m t th ộ ị trường m i, doanh nghi p ch d ki c r ng có t h ớ ệ ỉ ự ến đượ ằ ể đạt
được doanh số trung bình là 30 triệu đồng/tháng và độ l ch chu n là 5 tri u. Tìm xác su t ệ ẩ ệ ấ
để khi thâm nh p vào th ậ ị trường đó doanh nghiệp sẽ đạt được doanh số ít nh t là 32 tri u ấ ệ
đồng/ t háng.
§5. Quy luật lu th a - E ( )ỹ ừ
3.29. Tuổi t h c a m t lo bi n ngọ ủ ộ ại bóng đèn là ế ẫu nhiên tuân t heo quy lu t lu t h a v i ậ ỹ ừ ớ
hàm mật d xác su ộ ất như sau:
() = 0 v i ớ < 0
1
1500  v i ớ ≥0
a. Hãy xây dựng hàm phân b xác su t. ố ấ
b. Tìm tỷ l ệ các bóng đèn có tuổi th ọ dưới 1500 gi . ờ
IS: P = 0,632.
3.30. Th i gian ph c v m i khách hàng t i m t cờ ụ ụ ỗ ạ ộ ửa hàng m u d ch là bi n ngậ ị ế ẫu nhiên X
tuân t heo quy luật lu t h a v i hàm m xác su ỹ ừ ớ ật độ ất như sau:
() = 5 v i ớ > 0
0 với < 0
Với được tính b ng phút/ khách hàng. ằ
a. Tìm xác suất để th i gian ph c vờ ụ ụ khách hàng nào đó sẽ n m trong kho ng t ằ ả ừ 0,4 đến 1
phút. hàng.
b. Tìm th i gian trung bình ờ để ph c vụ ụ ộ m t khách
DS: a. P = 0,13; b. E(X) = 0,2
3.31. Th i gian ch b c xờ ờ ố ếp c a các con tàu t i m t b n củ ạ ộ ế ảng là bi n ngế ẫu nhiên t uân theo
quy luật lu th a vỹ ừ ới hàm m xác su t là: ật độ ấ
() = 󰇥2 v i ớ > 0
0 với < 0
Với x được tính b ng tháng. Tìm t h i gian ch ằ ờ ờ đợi trung bình của mỗi con tàu để được b c ố
xếp.
3.32. Kho ng cách th i gian mà hai khách hàng k ti n ngân hàng là bi n ngả ờ ế ếp nhau đế ế ẫu
nhiên phân phối lu th a v i trung bình là 3 phút. Gi sỹ ừ ớ ả ủ vừa có 1 khách đến. Tìm xác su t ấ
để trong vòng ít nh t 2 phút n a m i khách t i n ngân hàng. ấ ữ ới có ngườ ếp theo đế
§6. Quy luật chu n. ẩ (,)
3.33. Tìm xác suất để bi n ngế ẫu nhiên phân ph i chu n hoá nh n giá tr : ố ẩ ậ ị
a. Trong khoảng (−2,33; 2,33)
b. Trong khoảng (−2; 1)
c. Trong khoảng (−0,89; 2,5)
d. Lớn hơn 3,02
e. Nhỏ hơn 2,5
3.34. Biến ngẫu nhiên tuân theo quy lu t chu n v i ậ ẩ ớ = 10; = 2. Tính xác su ất để X
nhận giá tr trong kho ng ị ả (8,12).
Giải: Theo gi thi t X phân ph i chu ng công th c ả ế ố ẩn, do đó áp dụ ứ
P(a < X < b) = Φ−−Φ󰇡−
󰇢
Ta có
P(8 < X < 12) = Φ12 −102−Φ8−10
2= 2Φ(1)
Tra bảng Φ(1) = 0,3413
Vậy P( 8 < X < 12) = 0,6826
3.35. Trọng lượng sả ẩn ph m do m t máy t ộ ự động sản xu t là bi n ngấ ế ẫu nhiên tuân theo
quy luật chu n vẩ ới
E(X) = 100 gam và độ l ch chu n 1 gam. Sệ ẩ ản phẩm được coi là đạt t iêu chu n k t hu t ẩ ỹ ậ
nếu tr ng c t t ọng lượ ủa nó đạ ừ 98 đến 102gam.
a. Tìm t ỷ l sệ ản ph t tiêu chu n k t hu t cẩm đạ ẩ ỹ ậ ủa nhà máy.
b. Tìm tỷ l ph ph m cệ ế ẩ ủa nhà máy.
c. Giải t hích bằng đồ t h k t qu t ìm ị ế ả được ph n (a). ở ầ
DS: a. 95,44%; b. 4,56%.
3.36. Trong hệ th ng t giá h n i, số ỷ ối đoái thả ổ ự biến động của t giá hỷ ối đoái chịu sự tác
động của r t nhi u nhân t và có t h ấ ề ố ể xem như biến ngẫu nhiên phân ph i chu n. Gi số ẩ ả ử ở
một giai đoạn nào đó tỷ giá của USD v i VND có trung bình ớ là 15000 đ và độ l ch chu n là ệ ẩ
500 đ. Tìm xác su trong mất để ột ngày nào đó.
a. Tỷ giá sẽ cao hơn 16000 đ
b. Tỷ giá sẽ th ấp hơn 14500 đ
c. Tỷ giá sẽ nằm trong kho ng t ả ừ 14500đ đến 16500đ
3.37. Việc tiêu dùng điện hàng tháng của các h ộ gia đình Hà N i là bi n ngở ộ ế ẫu nhiên phân
phối chu n v i trung bình là ẩ ớ 200KWh và độ l ch chu n là ệ ẩ 40KWh. Tìm xác su ch n ất để ọ
ngẫu nhiên m t h ộ ộ gia đình thì h ộ đó:
a. Có m n hàng tháng trên ức tiêu dùng điệ 250KWh.
b. Có m i ức tiêu dùng điện hàng tháng dướ 180KWh
3.38. Chi u cao cề ủa nam gi ng t hành ới khi trưở ở m n ngột vùng dân cư là biế ẫu nhiên phân
phối chu n v i ẩ ớ = 160 cm và = 6 cm. M t thanh niên b coi là lùn n u có chi u cao nh ộ ị ế ề ỏ
hơn 155 cm.
a. Tìm t ỷ l thanh niên lùn cệ ủa vùng đó.
b. Tìm xác suất để l y ngấ ẫu nhiên 4 người thì có ít nh i không b lùn. ất 1 ngườ ị
3.39. Kích thước chi ti t là bi n ngế ế ẫu nhiên phân ph i chu n vố ẩ ới = 50 cm. Kích thước
thực t cế ủa các chi ti t không nh ế ỏ hơn 32 cm và không l ớn hơn 68 cm. Tìm xác su l y ất để ấ
ngẫu nhiên m t chi ti c. ộ ết có kích thướ
a. Lớn hơn 55 cm.
b. Nhỏ hơn 40 cm.
DS: a. = 0,0823; b. = 0,0027
3.40. Năng suất lúa của m t vùng là bi n ngộ ế ẫu nhiên phân ph i chu n vố ẩ ới = 50 t / ha và ạ
= 3,6 t / ha. Tìm xác su gạ ất để ặt ngẫu nhiên 3 th a ru ng cử ộ ủa vùng đó thì có 2 t h a ử
ruộng có năng suất sai l ch so vệ ới năng suất trung bình không quá 0,5 t / ha. ạ
Giải: Trước h t tìm xác su gế ất để ặt ngẫu nhiên 1 t h a ru ng b t k ử ộ ấ ỳ có năng suất sai l ch so ệ
với năng suất trung bình không quá 0,5 t / ha. ạ
(|−50| < 0,5) = 20,5
0,6= 0,1114
Lúc đó xác suất để gặt 3 th a ru ng có 2 t h t sai l ch so v t trung ử ộ ửa có năng suấ ệ ới năng suấ
bình không vượt quá 0,5 t c tìm theo công th c Bernoulli. ạ/ha đượ ứ
P = C
(0,1114)(1 −0,1114) = 0,033
3.41. Cho (= 1,
) là các bi n ngế ẫu nhiên độc l p cùng tuân theo quy lu t chu n v i ậ ậ ẩ ớ
E(X)= E(X)=⋯= E(X)= m
V(X)= V(X)=⋯= V(X)=
Lập công t h c tính ứ P(|
‾−| < ) bi t r ng ế ằ ‾=
∑
Và cũng tuân theo quy luật chu n; ẩ > 0 tu ý. ỳ
Hướng d c h t tìm ẫn: Trướ ế E(X
) và V(X); sau đó áp dụng công th c cứ ủa quy lu t chu i ậ ẩn đố
với biến ngẫu nhiên X
:
P(|
‾⋅ Φ| < ) = 2 󰇧√
󰇨
3.42. Tiến hành 1000 phép th ử độc l p. ậ P(A) = 0,75 trong m i phép th . Tìm xác su t cỗ ử ấ ủa
sự sai l ch gi a t n su t vệ ữ ầ ấ ới xác su t quá 0,02 . ất không vượ
Hướng d n: Xây d ng công th c ẫ ự ứ P(|−| < ) cho bi n ngế ẫu nhiên phân ph i chu n. f ố ẩ
DS: P = 0,8558.
3.43. Ti n hành ki m tra ch ng 900 chi ti t. Xác su c chi ti t t iêu chu n là ế ể ất lượ ế ất đượ ết đạ ẩ
0,9. Hãy tìm với xác su t 0,9544 xem sấ ố chi ti t tiêu chu n n m trong kho ng nào xung ết đạ ẩ ằ ả
quanh số chi t i t tiêu chu n trung bình? ết đạ ẩ
ĐS: Từ 792 đến 828 sả ẩn ph m.
3.44. Xác su t xu t hi n bi n c ấ ấ ệ ế ố A trong m i phép th ỗ ử độc l p là 0,5 . Tìm sậ ố phép th ử để
với xác su t 0,7698 có th kh nh r ng t n su t sai l ch so vấ ể ẳng đị ằ ầ ấ ệ ới xác su t quá ất không vượ
0,02 .
3.45. Việc ki m tra các viên bi tiể ến hành như sau: nếu viên bi không l t qua l ọ ỗ có đường
kính d song l t qua l ọ ỗ có đường kính d thì viên bi được coi là đạt tiêu chu n, n u không ẩ ế
thì viên bi bị lo i. Bi t r ng kính các viên bi sạ ế ằng đườ ản xu t ra là bi n ngấ ế ẫu nhiên phân ph i ố
chuẩn với =+
2 và =−
4
Tìm xác su viên bi b lo i ất để ị ạ
ĐS: = 0,0456

Tài liệu khác của Trường Đại học Ngoại Thương

Preview text:

Chương III MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
§1. Quy luật nhị thức-B(n,p)
3.1. Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn như nhau và bằng
0,2. Muốn phá huỷ mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá huỷ.
Giải: Coi mỗi lần bắn là một phép thử ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có 2
khả năng đối lập hoặc trúng hoặc trượt mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn đ t ề h u a b m ằ n sốg 0 n ,2 = . 5Vậ v y à b p ài = to 0,á2n. th Vậo y ả x m ácã n s u lư ất ợ c m đ ụcồ t iB êeur n b o ị u p lh i.
á huỷ chính là xác suất để X≥3.
Gọi X là số viên đạn bắn trúng thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức với các P(X ≥3)= P
Theo công thức Bernoul i. = C+  P+ P= = 0,(005,2
7 )9(0,8)+ C(0,2)(0,8)+ C(0,2)(0,8)
3.2. Một gia đình có 5 con. Tìm xác suất sao cho trong số đó có: a. 2 con trai b. Không quá 2 con trai.
Giả thiết xác suất sinh con trai là 0,51 . 3. 3 3 . . 4 .Th M ố ộ n t g n k ữ ê c c ôh n o g tnhấ h y â n cứ q ucảhnà lo ý h 1 à 2 n g m 3 á y lầ dn ệ tt.h ì X c á ó c 1 s u lầ ất n đbá ể n m đ ỗi ư ợ m c á h y tàrnogn. N g kếhu o c ả h n à go t h h à ờin g gi 1 a 2 n 
lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì? Tại sao? cầ b. n Tđ r ế o n n gsự k hchă oả m ng tsó h c ời c ủ gi a n n ữ  c c ô ó n t g ừ n 3 hdâến là 6 1/ m 3 á . y T c íầnh n x đ á ế c n s s u ự ấ ct:
hăm sóc của nữ công nhân.
a. Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân. b. = 0,751 DS: a. P = 0,238
3.5. Việc sản xuất ra các sản phẩm được tiến hành độc lập. Hỏi phải sản xuất mỗi đợt bao
nhiêu sản phẩm để trung bình có được 10 sản phẩm đạt tiêu chuẩn biết rằng xác suất được
sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8 . DS: n = 13 sản phẩm
3.6. Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5
sản phẩm theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được. b. Tìm () và ()
a. X tuân theo quy luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật.
ĐS: a. X tuân theo quy luật nhị thức với các tham số  = 5 và = 0,8.
c. Tìm số sản phẩm loại 1 trung b Pìn x h= đượ
 c lấy ra và tính khả nă ng
 để xảy ra điều đó. b. E(X)(0 = ,84);(0 V( ,2 X ))⋅=;x 0, = 8 0,5 ≈4; P(X = X) = 0,4096 c. X
3.7. Xác suất để sản phẩm sản xuất ra bị hỏng bằng 0,1 .
a. Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm sản xuất ra có không quá 2 sản phẩm hỏng.
b. Tìm số sản phẩm hỏng trung bình trong 5 sản phẩm đó.
c. Tìm số sản phẩm hỏng có khả năng xảy ra nhiều nhất.
3.8. Gieo 10.000 hạt giống với xác suất để mỗi hạt giống nảy mầm là 0,85 . Gọi X là số hạt nảy mầm.
a. X tuân theo quy luật gì?
b. Tìm () và ().
3.9. Xác suất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02 . Tìm số khách chậm có khả năng xảy ra
nhiều nhất trong 855 hành khách. ĐS: 17 hành khách.
3.10. Xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là 3/4. Có 5 người mắc bệnh B dùng thuốc A. Tìm xác suất:
a. Có 3 người khỏi bệnh.
b. Có ít nhất 1 người khỏi bệnh.
c. Có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh. ĐS: a. P = 0,263; b. P = 0,999902; c. = 0,1035
3.11. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên  là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép
thử độc lập và P(A) = p trong mỗi phép thử, biết rằng E(X) = 1,2. ÐS: V(X) = 0,48.
3.12. Tiến hành các phép thử độc lập với xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử đều
bằng p. Tìm p nếu phương sai của số lần xuất hiện biến cố trong ba phép thử độc lập là 0,63 .
3.13. Một kho hàng chuyên cung cấp hàng cho 12 cửa hàng. Xác suất để mỗi cửa hàng đặt
hàng cho kho đó trong ngày là 0,3 . Tìm số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất cho một
ngày và xác suất tương ứng với nó.
ĐS: 3 đơn đặt hàng; P = 0,2397.
3.14. Bia bắn được chia làm 2 vòng, xác suất bắn trúng vòng trong là 0,7 còn trúng vòng
ngoài là 0,3 . Tìm xác suất sao cho bắn 3 viên đạn thì được ít ra là 29 điểm biết rằng bắn
trúng vòng trong thì được 10 điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm. ĐS: P = 0,784.
3.15. Một nghiên cứu cho thấy 70% công chức cho rằng việc nghỉ làm hai ngày một tuần sẽ
nâng cao được hiệu suất công tác. Nếu chọn ngẫu nhiên 15 công chức ở một bộ để phọng
vấn thì xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là bao nhiêu?
§2. Quy luật siêu bội - M (m, n)
3.16. Trong kho có 10 cái lốp xe, trong đó có 3 cái hỏng. Lấy ngẫu nhiên 4 cái lốp để lắp cho
một xe. Nếu gọi  là số lốp xe bị hỏng có thể được lấy ra thì X tuân theo quy luật nào? Hãy giải thích?
3.17. Trong số 20 công nhân của một công ty có 12 người có tay nghề khá. Tìm xác suất để
kiểm tra ngẫu nhiên tay nghề của 5 công nhân thì có ít nhất 3 người có tay nghề khá.
3.18. Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50
ngàn tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi kiểm tra
và giao hẹn nếu phát hiện có bạc giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm
số tiền phạt mà khách có thể phải trả. ĐS: 75 ngàn.
3.19. Trong 20 giấy thông báo thuế thu nhập có 3 giấy mắc sai sót. Nhân viên kiểm tra lấy
ngẫu nhiên 5 giấy thông báo để kiểm tra.
a. Thiết lập phân phối xác suất của số giấy thông báo có lỗi.
b. Tìm trung bình và phương sai của số giấy thông báo có lỗi được kiểm tra.
3.20. Trong 100 bóng đèn có 40 bóng hỏng. Tìm xác suất để lấy được 3 bóng họng trong 5
bóng được kiểm tra ngẫu nhiên.
§3. Quy luật Poisson - P ( )
3.21. Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị
vỡ là 0,004 . Tìm xác suất để sau khi vận chuyển có 5 chai rượu bị vỡ.
Giải: Bài toán thoả mãn lược đồ Bernoul i nên gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển thì
 là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức. Song vì n quá lớn, p quá nhỏ nên có thể
coi  phân phối xấp xỉ Poisson với tham số là: = np = 1000.0,004 = 4
Vậy xác suất để có 5 chai rượu bị vỡ là:  5! =4 = 4  (2,71)⋅5! = 0,1562
3.22. Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại. Xác suất để trong mỗi phút mỗi máy
gọi đến tổng đài là 0,02 . Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút. ĐS: 2 máy
3.23. Số khách hàng vào một cửa hàng bách hoá trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân
theo quy luật Poisson với mật độ (số khách trung bình) là 8 khách hàng trong 1 giờ. Tìm xác
suất để trong một giờ nào đó có hơn 4 khách vào. ĐS: P = 0,9
3.24. Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 4%. Người ta kiểm tra 150 sản phẩm của lô hàng đó
và nếu trong đó có không quá 2 phế phẩm thì lô hàng được chấp nhận. Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận.
3.25. Tại sân bay cứ 15 phút có một chuyến ô tô buýt loại 6 chỗ ngồi phục vụ chở khách vào
trung tâm thành phố. Biết rằng số khách chờ đi ô tô phân phối Poisson với mật độ trung
bình là 8 người một giờ. Tìm xác suất để trong chuyến xe tiếp theo:
a. Không có khách nào chờ đi xe. b. Xe sẽ chật khách.
c. Người ta sẽ tăng thêm một xe chở khách nữa nếu xác suất để có hơn một người phải chờ
chuyến xe sau lớn hơn 0,1 . Vậy có tăng thêm xe chở khách không?
3.26. Cứ 5000 con cá biển đánh bắt được thì có 1 con bị nhiễm khuẩn có hại cho sức khoẻ con người.
Tìm xác suất để trong một lô cá gồm 1800 mới đánh bắt về có không quá 2 con bị nhiểm khuẩn.
§4. Quy luật phân phối đều - U (a, b)
3.27. Nhu cầu về một loại hàng hoá phân phối đều trong khoảng [30;50] (tấn/ tháng).
a. Xác định hàm mật độ xác suất.
b. Xác định hàm phân bố xác suất.
c. Tìm kỳ vọng toán và phương sai.
d. Vẽ đồ thị hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất.
e. Tìm xác suất để nhu cầu không vượt quá 45 tấn.
DS: c. 40; 33,333; e. = 0,75
3.28. Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng có thể đạt
được doanh số trung bình là 30 triệu đồng/tháng và độ lệch chuẩn là 5 triệu. Tìm xác suất
để khi thâm nhập vào thị trường đó doanh nghiệp sẽ đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu đồng/ tháng.
§5. Quy luật luỹ thừa - E ( )
3.29. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật luỹ thừa với
hàm mật dộ xác suất như sau:
() = 0 với < 0 1
1500  với  ≥ 0
a. Hãy xây dựng hàm phân bố xác suất.
b. Tìm tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ. IS: P = 0,632.
3.30. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng mậu dịch là biến ngẫu nhiên X
tuân theo quy luật luỹ thừa với hàm mật độ xác suất như sau:
() = 5 với > 0 0 với < 0
Với  được tính bằng phút/ khách hàng.
a. Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1 phút. hàng.
b. Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách
DS: a. P = 0,13; b. E(X) = 0,2
3.31. Thời gian chờ bốc xếp của các con tàu tại một bến cảng là biến ngẫu nhiên tuân theo
quy luật luỹ thừa với hàm mật độ xác suất là:
() = 󰇥2 với > 0 0 với < 0
Với x được tính bằng tháng. Tìm thời gian chờ đợi trung bình của mỗi con tàu để được bốc xếp.
3.32. Khoảng cách thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu
nhiên phân phối luỹ thừa với trung bình là 3 phút. Giả sủ vừa có 1 khách đến. Tìm xác suất
để trong vòng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng.
§6. Quy luật chuẩn. (,)
3.33. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn hoá nhận giá trị:
a. Trong khoảng (−2,33;2,33) b. Trong khoảng (−2;1)
c. Trong khoảng (−0,89; 2,5) d. Lớn hơn 3,02 e. Nhỏ hơn 2,5
3.34. Biến ngẫu nhiên  tuân theo quy luật chuẩn với = 10; = 2. Tính xác suất để X
nhận giá trị trong khoảng (8,12).
Giải: Theo giả thiết X phân phối chuẩn, do đó áp dụng công thức
P(a < X < b) = Φ −
− Φ󰇡 − 󰇢 Ta có
P(8 < X < 12) = Φ12 −120− Φ8−10 2= 2Φ(1) Tra bảng Φ(1) = 0,3413
Vậy P(8 < X < 12) = 0,6826
3.35. Trọng lượng sản phẩm  do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với
E(X) = 100 gam và độ lệch chuẩn 1 gam. Sản phẩm được coi là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật
nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102gam.
a. Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy.
b. Tìm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.
c. Giải thích bằng đồ thị kết quả tìm được ở phần (a). DS: a. 95,44%; b. 4,56%.
3.36. Trong hệ thống tỷ giá hối đoái thả nổi, sự biến động của tỷ giá hối đoái chịu sự tác
động của rất nhiều nhân tố và có thể xem như biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Giả sử ở
một giai đoạn nào đó tỷ giá của USD với VND có trung bình là 15000 đ và độ lệch chuẩn là
500 đ. Tìm xác suất để trong một ngày nào đó.
a. Tỷ giá sẽ cao hơn 16000 đ
b. Tỷ giá sẽ thấp hơn 14500 đ
c. Tỷ giá sẽ nằm trong khoảng từ 14500đ đến 16500đ
3.37. Việc tiêu dùng điện hàng tháng của các hộ gia đình ở Hà Nội là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn với trung bình là 200KWh và độ lệch chuẩn là 40KWh. Tìm xác suất để chọn
ngẫu nhiên một hộ gia đình thì hộ đó:
a. Có mức tiêu dùng điện hàng tháng trên 250KWh.
b. Có mức tiêu dùng điện hàng tháng dưới 180KWh
3.38. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành ở một vùng dân cư là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn với = 160 cm và = 6 cm. Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 155 cm.
a. Tìm tỷ lệ thanh niên lùn của vùng đó.
b. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất 1 người không bị lùn.
3.39. Kích thước chi tiết là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với = 50 cm. Kích thước
thực tế của các chi tiết không nhỏ hơn 32 cm và không lớn hơn 68 cm. Tìm xác suất để lấy
ngẫu nhiên một chi tiết có kích thước. a. Lớn hơn 55 cm. b. Nhỏ hơn 40 cm.
DS: a. = 0,0823;  b. = 0,0027
3.40. Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với = 50 tạ/ ha và
= 3,6 tạ/ha. Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa
ruộng có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ ha.
Giải: Trước hết tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 1 thửa ruộng bất kỳ có năng suất sai lệch so
với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ ha.
(| − 50| < 0,5) = 20,5 0,6= 0,1114
Lúc đó xác suất để gặt 3 thửa ruộng có 2 thửa có năng suất sai lệch so với năng suất trung
bình không vượt quá 0,5 tạ/ha được tìm theo công thức Bernoul i.
P = C(0,1114)(1 −0,1114) = 0,033 3.41. Cho (= 1,
) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng tuân theo quy luật chuẩn với
E(X)= E(X)=⋯= E(X)= m
V(X)= V(X)=⋯= V(X)=
Lập công thức tính P(|‾− | < ) biết rằng ‾= ∑ 
Và cũng tuân theo quy luật chuẩn; > 0 tuỳ ý.
Hướng dẫn: Trước hết tìm E(X
) và V(X); sau đó áp dụng công thức của quy luật chuẩn đối với biến ngẫu nhiên X  : ‾⋅ | < ) = 2Φ P(| 󰇧√󰇨
3.42. Tiến hành 1000 phép thử độc lập. P(A) = 0,75 trong mỗi phép thử. Tìm xác suất của
sự sai lệch giữa tần suất với xác suất không vượt quá 0,02 .
Hướng dẫn: Xây dựng công thức P(| − | < ) cho biến ngẫu nhiên f phân phối chuẩn. DS: P = 0,8558.
3.43. Tiến hành kiểm tra chất lượng 900 chi tiết. Xác suất được chi tiết đạt tiêu chuẩn là
0,9. Hãy tìm với xác suất 0,9544 xem số chi tiết đạt tiêu chuẩn nằm trong khoảng nào xung
quanh số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình?
ĐS: Từ 792 đến 828 sản phẩm.
3.44. Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử độc lập là 0,5 . Tìm số phép thử  để
với xác suất 0,7698 có thể khẳng định rằng tần suất sai lệch so với xác suất không vượt quá 0,02 .
3.45. Việc kiểm tra các viên bi tiến hành như sau: nếu viên bi không lọt qua lỗ có đường
kính d song lọt qua lỗ có đường kính d thì viên bi được coi là đạt tiêu chuẩn, nếu không
thì viên bi bị loại. Biết rằng đường kính các viên bi sản xuất ra là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với
=+2 và =−  4
Tìm xác suất để viên bi bị loại ĐS: = 0,0456

Tài liệu liên quan: