54 trang 2 lượt tải

Chuyên đề bất đẳng thức và các bài toán cực trị ôn thi vào lớp 10

3

Tài liệu gồm 54 trang, bao gồm kiến thức cơ bản cần nắm và bài tập chuyên đề bất đẳng thức và các bài toán cực trị, giúp học sinh ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán 129 tài liệu

Môn: Môn Toán 1.5 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

21 giờ trước
Danh sách Quiz
/54
1
CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. ĐỊNH NGHĨA
Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn),
<
(nhỏ hơn), ≥
(lớn hơn hoặc bằng), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có:
0A B AB
>⇔−>
0A B AB≥⇔−≥
Trong bất đẳng thức
AB>
(hoặc
,,ABABAB<≥≤
),
A
gọi là vế trái,
B
gọi là vế phải của bất đẳng
thức.
Các bất đẳng thức
AB>
và
CD
>
gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức
và
EF
<
gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có
AB CD
>⇒>
ta nói bất đẳng thức
CD>
là hệ quả của bất đẳng thức
.
Nếu ta có
AB EF>⇔>
ta nói hai bất đẳng thức
AB>
và
EF>
là hai bất đẳng thức tương đương
(hoặc
AB<
) là bất đẳng thức ngặt:
AB≥
(hoặc
) là bất đẳng thức không ngặt
là
AB>
hoặc
AB=
cũng là bất đẳng thức
Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép.
Ví dụ:
ABC<<
II. TÍNH CHẤT
Tính chất 1: (tính chất bắc cầu)
ab>
và
bc ac>⇒>
Tính chất 2:
ab ac bc>⇔+>+
Hệ quả:
abc ac b>+⇔−>
Tính chất 3:
ab
>
và
c d acbd> ⇒+>+
Tính chất 4:
neáu 0
neáu 0
ac bc c
ab
ac bc c
>>
>⇔
<<
Tính chất 5:
0ab>>
và
0
c d ac bd> >⇒ >
Tính chất 6:
0ab>>
,
n
nguyên dương
nn
ab
⇒>
Tính chất 7:
0ab>>
,
n
nguyên dương
nn
ab⇒>
Hệ quả:
,0ab≥
22
a b ab a b≥ ⇔≥⇔ >
Tính chất 8:
11
,0
a b ab
ab
> >⇒ <
Tính chất 9:
1a >
,
m
và
n
nguyên dương,
mn
mn a a>⇒ >
;
01a<<
,
m
và
n
nguyên dương,
mn
mn a a>⇒ <
.
III. CHỨNG MINH BĐT
Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết.
Ghi nhớ:
a∀
1)
22
0; 0aa≥−≤
. Dấu "
=
" xảy ra
0a⇔=
2
2)
aa a≥ ≥−
. Dấu "=" xảy ra
0
a⇔=
Có hai cách chứng minh bất đẳng thức:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là
đúng.
Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất
đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp.
Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương
pháp.
Phương pháp 1 (Vận dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức): Để chứng minh
, ta cần
chứng minh
0AB−≥
Phương pháp 2 (Phương pháp biến đổi tương đương): Để chứng minh
AB≥
, ta dùng các tính chất của
bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là
đúng.
Phương pháp giải 3: (Phương pháp làm trội) Để chứng minh
AB≥
nhiều khi ta phải chứng minh
AC
≥
với
C
là biểu thức lớn hơn hoặc bằng
B
.
Từ đó ta có
AB≥
, hoặc ta chứng minh
DB≥
với
D
là biểu thức nhỏ hơn hay bằng
A
:
DA
≤
, từ đó ta
có
AB
≥
.
Phương pháp giải 4: (Phương pháp chứng minh phản chứng ) Để chứng minh
AB≥
, ta giả sử
AB<
, từ
đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng.
Phương pháp giải 5: (Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số) Một số bài toán bất đẳng
thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số.
Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với
, , 0abc>
. Chứng minh rằng:
a) Nếu
ab
<
thì
a ac
b bc
+
<
+
b) Nếu
ab≥
thì
a ac
b bc
+
>
+
Hướng dẫn giải
a)
ab<
⇒
ac bc<
⇒
ab ac ab bc+<+
( ) ( )
a ac
ab c ba c
b bc
+
⇒+<+⇒<
+
.
b) Chứng minh tương tự.
Bài toán 2. Với
, , 0xyz
>
. Chứng minh rằng:
a)
2
14
()xy x y
≥
+
; b)
11 4
x y xy
+≥
+
; c)
111 9
x y z xyz
++≥
++
Hướng dẫn giải
a)
22 2
()0()44 ()4x y x y xy xy x y xy− ≥⇒− + ≥ ⇒+ ≥
2
14
()xy x y
⇒≥
+
b) Từ a) ta có
2
4 11 4
( )4
xy
x y xy
xy xy x y xy
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒+≥
++
.
c)
( )
111
111
xyyzxz
xyz
xyz yxzyzx

++ ++ =++++++++


92 2 2
xy yz xz
yx zy zx


=+ +− + +− + +−




3
222
( )( )( )
99
xy yz xz
xy yz xz
− −−
=+++≥
111 9
x y z xyz
⇒++≥
++
Các bài toán dạng “
,><
” thường dùng bài toán 1, các bài toán dạng “
,≥≤
” thường dùng bài toán 2. Khi
dùng đến các bài toán này ta cần phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 6: (Phương pháp cơ bản về giá trị tuyệt đối )Đối với một số bài toán bất đẳng thức có
chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau.
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)
a b ab+≥+
. Dấu “=” xảy ra
0ab⇔≥
b)
ab a b
−≥ −
. Dấu “=” xảy ra
(
)
0
ba b
⇔ −≥
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
,0
xy≠
thì
2
x y xy
y x yx
+ ≥+≥
Dấu “=” xảy ra
xy
⇔=±
Từ đó suy ra, nếu
,0
mn>
, ta có:
1)
2
mn
nm
+≥
2)
1
2m
m
+≥
.
Dùng biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các bài toán này.
Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 7: (Phương pháp vận dụng BĐT liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng,
tích hai số ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa
tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số.
Bài toán 1.
( )
( )
2
22
24x y x y xy
+ ≥+ ≥
Bài toán 2.
( )
( ) ( )
2
2 22
33x y z x y z xy xz yz+ + ≥ ++ ≥ + +
.
Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 8: (Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản về căn thức )Khi giải một số bài toán bất
đẳng thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa căn
thức.
Bài toán 1. Cho
,0ab
>
. Chứng minh rằng:
2
ab
ab
+
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ab=
. (Bất đẳng thức Cô – si)
Bài toán 2. Chứng minh rằng
( )( )
222 2
ax by a b x y+≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ay bx=
. (Bất đẳng thức Bu – nhi – a– cop–xki).
Bài toán 3. Chứng minh rằng
( ) ( )
22
22 2 2
a b x y ax by++ + ≥ + ++
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ay bx
=
. (Bất đẳng thức Min–cop–xki).
Khi cần dùng đến Bài toán 2 và 3, ta phải chứng minh rối mới vận dụng.
Riêng Bài toán 1 (bát đẳng thức Cô–si), chúng ta được phép áp dụng mà không cần phải chứng
12
'' ''
,
bb
xx
aa
−+∆ −−∆
= =
.
Phương pháp giải 8: (Phương pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ) Một số bài
toán chứng minh bất đẳng thức, có khi ta phải vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Cần nhớ: Phương trình
( )
2
00ax bx c a+ += ≠
2
4b ac∆= −
4
0∆<
: phương trình vô nghiệm
0
∆=
: phương trình có nghiệm kép:
2
b
x
a
= −
0∆>
: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
12
,
22
bb
xx
aa
−+ ∆ −− ∆
= =
.
Trường hợp
2'bb=
thì
2
''b ac
∆= −
: phương trình vô nghiệm
: phương trình có nghiệm kép:
'b
x
a
= −
: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho
x
,
y
,
z
,
t
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2
x yz t
yz zt tx xy
+++ ≥
+ ++ +
.
Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn
( ) ( )
0xx z yy z−+ −=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 22
22 22
4
x y xy
P
x z y z xy
++
=++
++ +
.
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
69 69
81 18
1
xx xx
A
xx
+ −+ − −
=
−+
, với
9x >
.
Câu 4: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn
2.xyz =
Chứng minh
2 2 22 2 2
2 41
.
2 56 63 4 162
xy z
xy yz z x
++ ≤
++ ++ + +
Câu 5: Giả sử ba số thực
,,abc
thỏa mãn điều kiện
0a
>
,
2
3ba=
,
a b c abc++=
. Chứng minh rằng:
1 23
3
a
+
≥
.
Câu 6: Cho các số thực
,,abc
thỏa mãn
( )( )( )
444444
8abbcca+ + +=
. Chứng minh rằng
( )(
)( )
2 22 22 2
1a ab b b bc c c ca a−+ −+ −+ ≥
.
Câu 7: Cho các số dương
x
,
y
,
z
thỏa mãn:
2 2 22 22
2014xy yz zx++ ++ +=
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
222
xyz
T
yz zx xy
=++
+++
.
Câu 8: Cho
x
,
y
,
z
là các số thực dương thỏa mãn
1xy yz xz++=
. Chứng minh rằng:
3
2 22
2 22
1 1 12
111 3
111
xyz
xyz
xyz


++≥ + +

+++
+++

Câu 9: Với
,
xy
là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
22
4 4 17 5 5 1x y xy x y+ + ++≥
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
17 17 16P x y xy=++
.
5
Câu 10: Cho
a
,
b
,
c
là ba số thực thỏa điều kiện
10
abc++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
222
Mabc=++
.
Câu 11: Cho ba số thực dương
x
,
y
,
z
thỏa mãn:
3xyz
++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
111
xyz
S
yzx
=++
+++
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
21
1
y
xx
= +
−
với
01x
<<
.
Câu 13: Cho
a
,
b
,
c
là các số dương thỏa mãn điều kiện
111
3
abc
++≤
. Chứng minh rằng:
( )
222
1
3
111 2
abc
ab bc ca
bca
+ + + ++ ≥
+++
Câu 14: Cho ba số dương
x
,
y
,
z
thỏa mãn điều kiện
1xyz++=
. Chứng minh rằng
2 22
350 386
2015
xy yz zx x y z
+>
++ ++
Câu 15: Chứng minh rằng:
2 3 2013 2014
2 3 4 2014 2015
1 .... 4
22 2 2 2
++ + + + + <
Câu 16: Cho
a
,
b
là các số dương thỏa mãn điều kiện
3
( ) 4 12.a b ab
++ ≤
Chứng minh bất đẳng thức:
11
2015 2016.
11
ab
ab
++ ≤
++
Câu 17: Cho các số thực dương
a
,
b
,
c
thỏa mãn
1
ab bc ca++=
. Chứng minh rằng:
222
1 1 12
ab bc ca++ ++ + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Câu 18: Tìm GTNN của
222
xyz
A
xy yz zx
=++
+ ++
biết x, y, z > 0,
xy yz zx 1++=
.
Câu 19:
a) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng
( )
111
9abc
abc

++ ++ ≥


b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện
1.xyz
++=
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
111
xyz
P
xyz
=++
+++
Câu 20: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
2
abc
bc ca ab
++>
++ +
Câu 21: Cho
,,xyz
là ba số dương thỏa mãn
3xyz++=
. Chứng minh rằng:
1
333
xyz
x x yz y y zx z z xy
++≤
++ ++ ++
Câu 22: Cho x; y thỏa mãn
;
1
0;
2
xy R
xy
∈
≤≤
. Chứng minh rằng:
22
11 3
y
x
yx
+≤
++
.
6
Câu 23: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(z ) ( ) ( )
xy z
P
z x xx y yy z
=++
++ +
Câu 24: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a
5
+ b
5
+ c
5
+
111
6
abc
++≥
.
Câu 25: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số
thực x, y, z ta luôn có:
2 22 2 2 2
2 2 2 222
222
xyz x y z
a b c abc
++
++>
++
Câu 26: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
2627ab bc ac abc++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
4 94
24
ab ac bc
C
a b a c bc
=++
+++
.
Câu 27: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33
11
B
xy
xy
= +
+
.
Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
x y xy
M
yx
xy
=++
+
.
Câu 29: Cho x; y thỏa mãn
∈
≤≤
x;y R
1
0 x;y
2
. Chứng minh rằng:
y
x 22
1y1x 3
+≤
++
.
Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Câu 31: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
abc a b c
ab bc ca bc ca ab
++< + +
+++ + + +
Câu 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
4x+3
A
x1
=
+
Câu 33: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
222
111
3
111
abc
bca
+++
++≥
+++
Câu 34: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
2016 2 2016
Q
1
xx
x
++
=
+
Câu 35: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
12
abc
ab bc ca
<++<
+++
Câu 36: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác). Chứng
minh rằng :
1 1 1 111
2.
pa pb pc a b c



+ + ≥ ++
−−−
.
Câu 37: Cho
,, 0abc>
. Chứng minh rằng
2
abc
bc ca ab
++>
++ +
7
Câu 38: Cho ba số thực dương
,,abc
thỏa
3.ab bc ca abc++=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
333
222
abc
A
ca ab bc
=++
+++
.
Câu 39: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c +
ab + ac + bc) ≥ 0.
Câu 40: Cho a, b,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
333 2 2 22 2 2
2 22
.
2
abc ab bc ca
P
abc c ab a bc b ca
++ + + +
= +++
+++
Câu 41: Cho ba số thực dương
,,abc
thỏa mãn
1abc++=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
32 32 32
93 93 93
abc
P
a bc b ca c ab
=++
++ ++ ++
Câu 42: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
x y z xyz++=
. Chứng minh rằng:
2
22
11
11 11
y
xz
xyz
xyz
++
++ ++
++≤
Câu 43: Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có
( )
2 3 4... 1 3nn−<
.
Câu 44: Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn
111
2.
12 12 12xyz
++=
+++
Chứng minh rằng
1
64
xyz ≤
.
Câu 45: Chứng minh
2
abc
bc ac ba
++>
+++
, với a, b, c>0
Câu 46: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
111111
abc bca cab a b c
+ + ≥++
+− +− +−
Câu 47:
a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
22
11
Mx y
yx


=++




b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
111
6
xy yz zx
++=
+ ++
.
Chứng minh rằng:
1113
332323233 2xyz xyz xyz
++≤
++ ++ ++
.
Câu 48: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu
,,abc
là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
9 16abc
S
bca cab abc
=++
+− +− +−
Câu 49: Cho ba số dương
,ab
và
c
thoả mãn
1abc =
. Chứng minh rằng:
22 22 2 2
1 1 11
2 3 2 3 2 32ab bc ca
++≤
++ ++ ++
.
8
Câu 50: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 44
2 2 22 22
( )( ) ( )( ) ( )( )
xyz
F
x y xy y z yz z x zx
=++
++ ++ ++
Câu 51: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:
a0
2b c
4
aa

.
Chứng minh rằng phương trình
2
0ax bx c+ +=
có nghiệm.
Câu 52: Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
222
xyz
yz zx xy
++
+++
Câu 53: Với x, y là hai số thực thỏa mãn
3 2 2 46
3 5 3 11 9 9y y y x xx+ + += − − −
. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2018.T xy=−+
Câu 54: Cho
, ,c 0ab >
. Chúng minh rằng:
( )
22 2 2 22
2
bc ca ab
abc
abc
++ +
+ + ≥ ++
.
Câu 55: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
222
3334 13
a b c abc+++ ≥
.
Câu 56: minh bất đẳng thức
222 2
16
11 11
abc d
bcd a
++ +≥
−− −−
.
Câu 57: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
( )( )
2
4acbc c+ +=
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
biểu thức
33
a b ab
P
b c a c bc ca
=++
++ +
.
Câu 58: Cho
,,abc
là các số thực không âm thỏa mãn
3
abc++=
Chứng minh rằng
333
1 1 15ab bc ca++ ++ +≤
Câu 59: Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
1abc
=
.
Chứng minh
( )( ) ( )
( ) (
)( )
3
1 1 1 1 1 14
abc
ab bc ca
++≥
++ ++ ++
.
Câu 60: Chứng minh rằng:
2 22
1
2019 2019 2019
xyz
x yz y zx z xy x y z
++≥
−+ −+ −+ ++
Câu 61: Cho
0
a >
,
0b >
. Chứng minh
11
ab
ab
ba

−≥ −



. Dấu “
=
” xảy ra khi nào?
Câu 62: Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 33 33
111
111
A
xy yz zx
=++
++ ++ ++
Câu 63: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
9
2 22
1 1 1 11 1 1
2
x yz y xz z xy xy yz zx

+ + ≤ ++

+++

Câu 64: Cho
,,xyz
là các số thực dương thỏa mãn
.xz≥
Chứng minh rằng
2
2
25
.
2
xz y x z
y yz xz yz x z
+
+ +≥
+ ++
Câu 65: Cho
,,abc
là các số thực thỏa mãn
222
12abc++≤
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
( )
333 444
4S abc abc= ++ − ++
Câu 66: Cho
a
,
b
,
c
là ba số thực dương thỏa mãn
3.abc++=
Chứng minh rằng:
222
222
111
abc
abc
+ + ≥++
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 67: Cho
,, 0abc>
. Chứng minh rằng
2
abc
bc ca ab
++>
++ +
.
Câu 68: Cho
,, 1xyz>
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 2 143 2 143 2 14
xyz
T
xy yz zx
=++
+ −− + −− + −−
Câu 69: Cho ba số dương
,,abc
thoả mãn:
22 22 22
2011.ab bc ca++ ++ + =
Chứng minh rằng:
222
1 2011
.
22
abc
bc ca ab
++≥
++ +
Câu 70: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
x y z xyz
++=
.
Chứng minh rằng:
2
22
11
11 11
++
++ ++
++≤
y
xz
xyz
xyz
Câu 71: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn
0a bc1≤≤≤≤
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
111
( 3)
111
B abc
abc



= +++ + +
+++
.
Câu 72: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn:
+=
12
2
xy
. Chứng minh rằng:
+− + ≥
22
5x y 4xy y 3
Câu 73: Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
++
++≤
++ ++ ++32 32a 32 6
ab bc ca a b c
a b cb c c a b
Câu 74: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương
n
, ta có:
( )
3
33
11 1 1
... 3.
2
32 43 1nn
++++ <
+
Câu 75: Cho hai số thực
x
và
y
thỏa mãn
22
1x xy y++=
. Tìm giá trị lớn nhất của
33
P x y xy= +
.
Câu 76: Chứng minh rằng
( )
2 22
333
9
ab bc ca
abc
a ab b bc c ca
−−−

++ + + ≤

+++

với
,,abc
là độ dài ba cạnh của
một tam giác.
10
Suy ra
(
)
2 22
515151
18 9
xyy
xyz
xx yy zz
−−−
⇔ + + ≤ ++ −
−−−
2 22
515151
9
xyy
xx yy zz
−−−
⇔++≤
−−−
Câu 77: Cho
,, 0
xyz>
thỏa mãn
1
2 yz
x
+=
. Chứng minh rằng
345
4
yz zx xy
xyz
++≥
1
CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. ĐỊNH NGHĨA
Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn),
<
(nhỏ hơn), ≥
(lớn hơn hoặc bằng), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có:
0A B AB
>⇔−>
0A B AB≥⇔−≥
Trong bất đẳng thức
AB>
(hoặc
,,ABABAB<≥≤
),
A
gọi là vế trái,
B
gọi là vế phải của bất đẳng
thức.
Các bất đẳng thức
AB>
và
CD
>
gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức
và
EF
<
gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có
AB CD
>⇒>
ta nói bất đẳng thức
CD>
là hệ quả của bất đẳng thức
.
Nếu ta có
AB EF>⇔>
ta nói hai bất đẳng thức
AB>
và
EF>
là hai bất đẳng thức tương đương
(hoặc
AB<
) là bất đẳng thức ngặt:
AB≥
(hoặc
) là bất đẳng thức không ngặt
là
AB>
hoặc
AB=
cũng là bất đẳng thức
Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép.
Ví dụ:
ABC<<
II. TÍNH CHẤT
Tính chất 1: (tính chất bắc cầu)
ab>
và
bc ac>⇒>
Tính chất 2:
ab ac bc>⇔+>+
Hệ quả:
abc ac b>+⇔−>
Tính chất 3:
ab
>
và
c d acbd> ⇒+>+
Tính chất 4:
neáu 0
neáu 0
ac bc c
ab
ac bc c
>>
>⇔
<<
Tính chất 5:
0ab>>
và
0
c d ac bd> >⇒ >
Tính chất 6:
0ab>>
,
n
nguyên dương
nn
ab
⇒>
Tính chất 7:
0ab>>
,
n
nguyên dương
nn
ab⇒>
Hệ quả:
,0ab≥
22
a b ab a b≥ ⇔≥⇔ >
Tính chất 8:
11
,0
a b ab
ab
> >⇒ <
Tính chất 9:
1a >
,
m
và
n
nguyên dương,
mn
mn a a>⇒ >
;
01a<<
,
m
và
n
nguyên dương,
mn
mn a a>⇒ <
.
III. CHỨNG MINH BĐT
Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết.
Ghi nhớ:
a∀
1)
22
0; 0aa≥−≤
. Dấu "
=
" xảy ra
0a⇔=
2
2)
aa a≥ ≥−
. Dấu "=" xảy ra
0
a⇔=
Có hai cách chứng minh bất đẳng thức:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là
đúng.
Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất
đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp.
Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương
pháp.
Phương pháp 1 (Vận dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức): Để chứng minh
, ta cần
chứng minh
0AB−≥
Phương pháp 2 (Phương pháp biến đổi tương đương): Để chứng minh
AB≥
, ta dùng các tính chất của
bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là
đúng.
Phương pháp giải 3: (Phương pháp làm trội) Để chứng minh
AB≥
nhiều khi ta phải chứng minh
AC
≥
với
C
là biểu thức lớn hơn hoặc bằng
B
.
Từ đó ta có
AB≥
, hoặc ta chứng minh
DB≥
với
D
là biểu thức nhỏ hơn hay bằng
A
:
DA
≤
, từ đó ta
có
AB
≥
.
Phương pháp giải 4: (Phương pháp chứng minh phản chứng ) Để chứng minh
AB≥
, ta giả sử
AB<
, từ
đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng.
Phương pháp giải 5: (Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số) Một số bài toán bất đẳng
thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số.
Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với
, , 0abc>
. Chứng minh rằng:
a) Nếu
ab
<
thì
a ac
b bc
+
<
+
b) Nếu
ab≥
thì
a ac
b bc
+
>
+
Hướng dẫn giải
a)
ab<
⇒
ac bc<
⇒
ab ac ab bc+<+
( ) ( )
a ac
ab c ba c
b bc
+
⇒+<+⇒<
+
.
b) Chứng minh tương tự.
Bài toán 2. Với
, , 0xyz
>
. Chứng minh rằng:
a)
2
14
()xy x y
≥
+
; b)
11 4
x y xy
+≥
+
; c)
111 9
x y z xyz
++≥
++
Hướng dẫn giải
a)
22 2
()0()44 ()4x y x y xy xy x y xy− ≥⇒− + ≥ ⇒+ ≥
2
14
()xy x y
⇒≥
+
b) Từ a) ta có
2
4 11 4
( )4
xy
x y xy
xy xy x y xy
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒+≥
++
.
c)
( )
111
111
xyyzxz
xyz
xyz yxzyzx

++ ++ =++++++++


92 2 2
xy yz xz
yx zy zx


=+ +− + +− + +−




3
222
( )( )( )
99
xy yz xz
xy yz xz
− −−
=+++≥
111 9
x y z xyz
⇒++≥
++
Các bài toán dạng “
,><
” thường dùng bài toán 1, các bài toán dạng “
,≥≤
” thường dùng bài toán 2. Khi
dùng đến các bài toán này ta cần phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 6: (Phương pháp cơ bản về giá trị tuyệt đối )Đối với một số bài toán bất đẳng thức có
chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau.
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)
a b ab+≥+
. Dấu “=” xảy ra
0ab⇔≥
b)
ab a b
−≥ −
. Dấu “=” xảy ra
(
)
0
ba b
⇔ −≥
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
,0
xy≠
thì
2
x y xy
y x yx
+ ≥+≥
Dấu “=” xảy ra
xy
⇔=±
Từ đó suy ra, nếu
,0
mn>
, ta có:
1)
2
mn
nm
+≥
2)
1
2m
m
+≥
.
Dùng biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các bài toán này.
Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 7: (Phương pháp vận dụng BĐT liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng,
tích hai số ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa
tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số.
Bài toán 1.
( )
( )
2
22
24x y x y xy
+ ≥+ ≥
Bài toán 2.
( )
( ) ( )
2
2 22
33x y z x y z xy xz yz+ + ≥ ++ ≥ + +
.
Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 8: (Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản về căn thức )Khi giải một số bài toán bất
đẳng thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa căn
thức.
Bài toán 1. Cho
,0ab
>
. Chứng minh rằng:
2
ab
ab
+
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ab=
. (Bất đẳng thức Cô – si)
Bài toán 2. Chứng minh rằng
( )( )
222 2
ax by a b x y+≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ay bx=
. (Bất đẳng thức Bu – nhi – a– cop–xki).
Bài toán 3. Chứng minh rằng
( ) ( )
22
22 2 2
a b x y ax by++ + ≥ + ++
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ay bx
=
. (Bất đẳng thức Min–cop–xki).
Khi cần dùng đến Bài toán 2 và 3, ta phải chứng minh rối mới vận dụng.
Riêng Bài toán 1 (bát đẳng thức Cô–si), chúng ta được phép áp dụng mà không cần phải chứng
12
'' ''
,
bb
xx
aa
−+∆ −−∆
= =
.
Phương pháp giải 8: (Phương pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ) Một số bài
toán chứng minh bất đẳng thức, có khi ta phải vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Cần nhớ: Phương trình
( )
2
00ax bx c a+ += ≠
2
4b ac∆= −
4
0∆<
: phương trình vô nghiệm
0
∆=
: phương trình có nghiệm kép:
2
b
x
a
= −
0∆>
: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
12
,
22
bb
xx
aa
−+ ∆ −− ∆
= =
.
Trường hợp
2'bb=
thì
2
''b ac
∆= −
: phương trình vô nghiệm
: phương trình có nghiệm kép:
'b
x
a
= −
: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho
x
,
y
,
z
,
t
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2
x yz t
yz zt tx xy
+++ ≥
+ ++ +
.
Lời giải
Đặt:
x yz t
A
yz zt tx xy
= +++
+ ++ +
x yzt
M
xy yz zt tx
= + ++
+ + ++
y ztx
N
xy yz zt tx
= + ++
+ + ++
4.
x yzt y z tx
MN
xy yz zt tx xy yz zt tx
⇒+= + +++ + ++=
+ + ++ + + ++
Ta có:
yt xz yt xz
NA
xy yz zt tx
++ ++
+= + + +
+ + ++
( ) (
)
( ) ( )
44
11 11
4.
yt xz
yt xz
xy zt yz tx xyzt xyzt
++

=+ + ++ + ≥ + =

+ + + + +++ +++

Chứng minh tương tự ta cũng có:
4AM
+≥
.
8 2.AM AN A⇒ + + + ≥⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0xyzt= = = >
.
Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn
( ) ( )
0xx z yy z
−+ −=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 22
22 22
4x y xy
P
x z y z xy
++
=++
++ +
.
Lời giải
Áp dụng bất bẳng thức Côsi
3 22
22 22
zz
.
2xz 2
x x xz
x xx
xz xz
=− ≥− =−
++
5
Tương tự
3
22
.
2
yz
y
yz
≥−
+
Suy ra
22
4
.
xy
Pxyz
xy
++
≥+−+
+
Theo gt
22
4
4.
xy
z Pxy
xy xy
+
= ⇒ ≥++ ≥
++
Vậy
min
4 1.P xyz=⇔===
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
69 69
81 18
1
xx xx
A
xx
+ −+ − −
=
−+
, với
9
x >
.
Lời giải
Ta có
6 9 93xx x+ −= −+
;
6 9 93
xx x− − = −−
Và
2
81 18 9 9
11
x
xx x x
−
− += −=
⇒
93 93
.
9
xx
Ax
x
−++ −−
=
−
Khi
18x
≥
thì
2 18
2 9 12
99
x
Ax
xx
= = −+ ≥
−−
, dấu bằng xảy ra khi x = 18 (1).
Khi
9 18x<<
thì
6 54 54
6 6 12
9 99
x
A
xx
= =+ >+ =
−−
(2)
Suy ra
min
12A =
.
Câu 4: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn
2.xyz =
Chứng minh
2 2 22 2 2
2 41
.
2 56 63 4 162
xy z
xy yz z x
++ ≤
++ ++ + +
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có
22 22 2
2 5 ( ) ( 1) 4 2 2 4 2( 2),x y x y x xy x xy x+ += + + + +≥ + += ++
22 22 2
6 6 (4 ) 2( 1) 4 4 4 4 4( 1),y z y z y yz y yz y
+ += + + ++≥ + += ++
22 22 2
3 4 16 ( 4 ) 2( 4) 8 4 8 8 4( 2 2).z x z x z zx z zx z+ + = + + + +≥ + += + +
Suy ra
22
,
2 5 2( 2)
xx
x y xy x
≤
+ + ++
22
2
,
6 6 2( 1)
yy
x z yz y
≤
+ + ++
22
4
.
3 4 16 2 2)
zz
z x zx z
≤
+ + ++
Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được
2( 2) 2( 1) 2 2
12
2 2 1 22
x yz
P
xy x yz y zx z
xy z
xy x yz y zx z
≤ ++
++ ++ + +

= ++

++ ++ + +

12
22 2
1 21
.
22222
x xy z
xy x xyz xy x zx z xyz
x xy
xy x xy x x xy

= ++

++ + + + +


= ++ =

++ ++ + +

6
Câu 5: Giả sử ba số thực
,,abc
thỏa mãn điều kiện
0
a >
,
2
3ba
=
,
a b c abc
++=
. Chứng minh rằng:
1 23
3
a
+
≥
.
Lời giải
Ta thấy
233
33
3
abc
a bc a abc a=⇒ = ⇒=
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
2
2
3
2
3
3
22
bc a a
a bc

+−

=≤=




( )
2
3
2
3
3
4
aa
a
−
⇒≤
( )
2
23
12 3a aa⇒ ≤−
(
)
2
22 2
3 1 12aa a
⇒ −≥
( )
( )
2
2
2
3 1 23 0a⇒ −− ≥
( )( )
22
3 1 23 3 123 0aa⇒ −+ −− ≥
2
2
2
2
3 123 0
3 1 23 0
3 123 0
3 1 23 0
a
a
a
a
−− ≥
−+ ≥
⇒
−− ≤
−+ ≤
2
2
2
2
123
3
1 23
3
123
3
1 23
3
a
a
a
a
−
≥
+
≥
⇒
−
≤
+
≤
2
1 23
3
a
+
⇒≥
1 23
3
a
+
⇒≥
( Do
0a >
).
Câu 6: Cho các số thực
,,abc
thỏa mãn
( )( )( )
444444
8abbcca+ + +=
. Chứng minh rằng
( )( )(
)
2 22 22 2
1a ab b b bc c c ca a−+ −+ −+ ≥
.
Lời giải
+ Ta chứng minh kết quả
( )
2
2 2 44
2 a ab b a b−+ ≥+
(1).
Thật vậy, (1)
⇔
( )
( )
4422 22 22 44
2 22abab ab abab ab++ + − + ≥+
7
⇔
( )
2
22
20a b ab+− ≥
.
⇔
( )
4
0ab
−≥
, bất đẳng thức đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Tương tự có (2):
(
)
2
2 2 44
2
b bc c b c
−+ ≥+
, (3):
( )
2
2 2 44
2 c ca a c a
−+ ≥+
.
+ Thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm, nhân theo vế các bất đẳng thức này ta được
( ) ( ) (
) ( )( )( )
222
2 2 2 2 2 2 44244 4
88a ab b b bc c c ca a a b b c c a−+ −+ −+ ≥ + + + =
Hay
( ) (
)
( )
222
2 22 22 2
1a ab b b bc c c ca a−+ −+ −+ ≥
(*).
Do
22
a ab b−+
,
22
b bc c−+
,
22
0c ca a−+≥
nên từ (*) suy ra
( ) ( ) ( )
222
2 22 22 2
1a ab b b bc c c ca a−+ −+ −+ ≥
, có đpcm.
Câu 7: Cho các số dương
x
,
y
,
z
thỏa mãn:
2 2 22 22
2014xy yz zx++ ++ +=
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
222
xyz
T
yz zx xy
=++
+++
.
Lời giải
Đặt
22
a xy= +
;
22
b yz= +
;
22
c zx= +
( )
;; 0abc
>
2014abc⇒++=
22 222
a xy axy= +⇒=+
22 2 22
b yz b yz= +⇒=+
2 2 2 22
zc zx c x= +⇒=+
222
2
2
abc
x
−+
⇒=
;
222
2
y
2
abc+−
=
;
222
2
z
2
abc−++
=
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
( )
22
22
22
2
xx
yz y z b
yz
b
+≤ + = ⇒ ≥
+
( )
22
22
2z 2
2
yy
zx x c
zx
c
+≤ + = ⇒ ≥
+
(
)
22
22
2x 2
2
zz
xy y a
xy
a
+≤ + = ⇒ ≥
+
2 2 2 2 2 2 2 22
1
2 2 22
xyzxyz xyz
T
yz zx xy b c a
bca

= + + ≥ + + = ++

+++

222 222 222
1
22
abc abc abc
T
bc a

−+ +− −++
≥ ++


222222
1
22
acabbc
T abc
bbccaa

≥ +++++−−−


Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
2
2
a
ba
b
+≥
;
2
2
b
ab
a
+≥
;
2
2
c
ac
a
+≥
2
2
a
ca
c
+≥
;
2
2
b
cb
c
+≥
;
2
2
c
bc
b
+≥
8
( ) ( ) ( )
222222
4 2 2 2.2014 4028
acabbc
abc abc abc
bbccaa
⇒ + + + + + ≥ ++ − ++ = ++ = =
( ) ( )
222222
2 2014
acabbc
abc abc abc abc
bbccaa
⇒ + + + + + −−−≥ ++ − ++ =++=
1 1007
2014
22 2
T
⇒≥ ⋅ =
Dấu “ = ” xảy ra khi
2014
3
abc= = =
Vậy
1007 2014
2 32
MinT x y z= ⇔===
Câu 8: Cho
x
,
y
,
z
là các số thực dương thỏa mãn
1xy yz xz++=
. Chứng minh rằng:
3
2 22
2 22
1 1 12
111 3
111
xyz
xyz
xyz


++≥ + +

+++
+++

Lời giải
( )( )
22
1 x xy yz xz x x y x z
+=+++=+ +
( )( )
22
1 y xy yz xz y x y y z
+=+++=+ +
(
)( )
22
1 z xy yz xz z z y x z+=+++=+ +
(
)
( )(
)(
)
2 22
2
111
111
xyz
x y z xyyzzx
++
⇒++=
+ + + + ++
Ta có:
( )
2
2 22
2 22
111
111
x y z xyz
xyz
xyz
xyz



+ + ≤ ++ + +


+++
+++


( )
( )( ) ( )
( ) (
)( )
xyz
xyz
xyxz xyyz zyxz

= ++ + +

++ ++ ++

( )
(
)( )( )
2
xyz
xyyzzx
++
=
+ ++
2
2 22
2 22
111
111
111
xyz
xyz
xyz


⇒++≥ + +

+++
+++

Do đó:
( )
( )(
)( )
3
2 22 2 22
4
2
33
111 111
xyz
xyz xyz
xyyzzx
xyz xyz

++

++ = ++

+ ++
+++ +++

Bất đẳng thức trở thành
2 22
3
2
111
xyz
xyz
++≤
+++
Ta có:
( )( )
2
1
2
1
x x xx
xy xz
xyxz
x

= ≤+

++
++
+

9
( )(
)
2
1
2
1
y y yy
xy yz
xyyz
y

= ≤+

++
++
+

( )
(
)
2
1
2
1
z z zz
xz yz
xzyz
z

= ≤+

++
++
+

2 22
3
2
111
xyz
xyz
⇒++≤
+++
Dấu “ = ” xảy ra khi
1
3
xyz= = =
Câu 9: Với
,xy
là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
22
4 4 17 5 5 1x y xy x y+ + ++≥
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
17 17 16P x y xy=++
.
Lời giải
Đặt
axy= +
. Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
( )
2
2
44
xy
a
xy
+
≤=
hay
2
5
12
2
a

+≥


Từ đó, ta có
( )
2
21
5
a ≥−
. Suy ra
( )
2
2 2 2 22
9
17 17 16 17 18 17 2 2 1 6 4 2
2
P x y xy a xy a a=++=−≥−≥ −=−
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
21
5
xy
−
= =
.
Câu 10: Cho
a
,
b
,
c
là ba số thực thỏa điều kiện
10abc
++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
222
Mabc=++
.
Lời giải
( )
( ) ( )
2
222
2 100 2
M a b c a b c ab bc ca ab bc ca=++=++ − ++ = − ++
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
22
2
4
a ab b
ab
++
≤
;
22
2
4
b bc c
bc
++
≤
;
22
2
4
c ca a
ca
++
≤
222
ab bc ca a b c⇒ ++≤++
M ab bc ca⇒ ≥++
100
2
M
M
−
⇒≥
100
3
M⇒≥
Dấu “ = ” xảy ra
10
10
3
abc
abc
abc
= =
⇔ ⇔===
++=
Vậy
100 10
33
MinM abc= ⇔===
Câu 11: Cho ba số thực dương
x
,
y
,
z
thỏa mãn:
3xyz++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
111
xyz
S
yzx
=++
+++
10
Lời giải
Ta có:
2
22
11
x xy
x
yy
+=
++
;
2
22
11
y yz
y
zz
+=
++
;
2
22
11
z zx
z
xx
+=
++
(
)
222
222 222
111 111
x y z xy yz zx
S xyz
yzx yzx

⇒=++=++− ++

+++ +++

222
222
3
111
xy yz zx
S
yzx

⇒=− + +

+++

Ta có:
22
2
1 22
xy xy xy
yy
≤=
+
;
22
2
1 22
yz yz yz
zz
≤=
+
;
22
2
1 22
zx zx zx
xx
≤=
+
222
222
111 2
xy yz zx xy yz zx
yzx
++
⇒++≤
+++
3
2
xy yz zx
S
++
⇒ ≥−
Do
( ) (
)
2
2x y z xy yz zx++ ≥ + +
3xy yz zx⇒++≤
33
3
22
S
⇒ ≥− =
Vậy
3
1
2
Min S x y z
=⇔===
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
21
1
y
xx
= +
−
với
01x<<
.
Lời giải
21 2 1 2 1
2 13 3
11 1
xx
y
xx x x x x
−
= + = − + −+ = + +
−− −
Vì
2
0
1
01
1
0
x
x
x
x
x
>
−
< <⇒
−
>
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
2 1 21
2 22
11
x x xx
x x xx
−−
+≥ ⋅=
−−
22 3y
⇒≥ +
Dấu “=” xảy ra khi:
22 2
21
2 2 1 2 10
1
xx
xx x x x
xx
−
= ⇔ = − +⇔ + −=
−
12x
⇔ =−+
(nhận) hoặc
12x =−−
(loại)
Vậy
22 3 2 1Min y x= +⇔ = −
Câu 13: Cho
a
,
b
,
c
là các số dương thỏa mãn điều kiện
111
3
abc
++≤
. Chứng minh rằng:
( )
222
1
3
111 2
abc
ab bc ca
bca
+ + + ++ ≥
+++
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy cho 2 số dương, ta có:
2
ab
ba
+≥
;
2
bc
cb
+≥
;
2
ca
ac
+≥

Tài liệu khác của Môn Toán

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA
Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn), < (nhỏ hơn), ≥
(lớn hơn hoặc bằng), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có: A > B ⇔ A − B > 0
A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0
 Trong bất đẳng thức A > B (hoặc A < B, A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức.
 Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và
E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
 Nếu ta có A > B ⇒ C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B .
 Nếu ta có A > B ⇔ E > F ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương đương
A > B (hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt: A ≥ B (hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt
A ≥ B là A > B hoặc A = B
A ≠ B cũng là bất đẳng thức
 Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép.
Ví dụ: A < B < C II. TÍNH CHẤT
 Tính chất 1: (tính chất bắc cầu) a > b và b > c ⇒ a > c
 Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c
Hệ quả: a > b + c ⇔ a − c > b
 Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
ac > bc neáu c > 0
 Tính chất 4: a > b ⇔ 
ac < bc neáu c < 0
 Tính chất 5: a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd
 Tính chất 6: a > b > 0 , n nguyên dương n n ⇒ a > b
 Tính chất 7: a > b > 0 , n nguyên dương n n ⇒ a > b
Hệ quả: a,b ≥ 0 2 2
a ≥ b ⇔ a ≥ b ⇔ a > b  Tính chất 8: 1 1 a > , b ab > 0 ⇒ < a b
 Tính chất 9: a >1, m và n nguyên dương, m n
m > n ⇒ a > a ;
0 < a <1, m và n nguyên dương, m n
m > n ⇒ a < a . III. CHỨNG MINH BĐT
Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết. Ghi nhớ: a ∀ 1) 2 2
a ≥ 0;− a ≤ 0 . Dấu " = " xảy ra ⇔ a = 0 1
2) a ≥ a ≥ − a . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = 0
Có hai cách chứng minh bất đẳng thức:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng.
Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất
đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp.
Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp.
Phương pháp 1 (Vận dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức): Để chứng minh A ≥ B , ta cần
chứng minh A − B ≥ 0
Phương pháp 2 (Phương pháp biến đổi tương đương): Để chứng minh A ≥ B , ta dùng các tính chất của
bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
Phương pháp giải 3: (Phương pháp làm trội) Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C
với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B .
Từ đó ta có A ≥ B , hoặc ta chứng minh D ≥ B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A : D ≤ A , từ đó ta có A ≥ B .
Phương pháp giải 4: (Phương pháp chứng minh phản chứng ) Để chứng minh A ≥ B , ta giả sử A < B , từ
đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng.
Phương pháp giải 5: (Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số) Một số bài toán bất đẳng
thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số.
Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với a , b , c > 0 . Chứng minh rằng: a) Nếu a +
< b thì a a c < b b + c b) Nếu +
a ≥ b thì a a c > b b + c Hướng dẫn giải a) +
a < b ⇒ ac < bc ⇒ ab + ac < ab + bc ⇒ ( + ) < ( + ) a a c a b c b a c ⇒ < . b b + c b) Chứng minh tương tự.
Bài toán 2. Với x , y , z > 0 . Chứng minh rằng: a) 1 4 ≥ ; b) 1 1 4 + ≥ ; c) 1 1 1 9 + + ≥ 2
xy (x + y) x y x + y
x y z x + y + z Hướng dẫn giải a) 2 2 2
(x − y) ≥ 0 ⇒ (x − y) + 4xy ≥ 4xy ⇒ (x + y) ≥ 4xy 1 4 ⇒ ≥ 2
xy (x + y) b) Từ a) ta có 2 + 4 1 1 4 ( + ) ≥ 4 x y x y xy ⇒ ≥ ⇒ + ≥ . xy x + y x y x + y   c) ( + + ) 1 1 1 + + =  1+1+1 x y y z x z x y z + + + + + +   x y z y x z y z x     9 x y 2 y z   2  x z   2 = + + − + + − + + −   y x   z yz x    2 2 2 2 (x − y) (y − z) (x − z) = 9 + + + ≥ 9 1 1 1 9 ⇒ + + ≥ xy yz xz
x y z x + y + z Các bài toán dạng “ ,
> < ” thường dùng bài toán 1, các bài toán dạng “ ,
≥ ≤ ” thường dùng bài toán 2. Khi
dùng đến các bài toán này ta cần phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 6: (Phương pháp cơ bản về giá trị tuyệt đối )Đối với một số bài toán bất đẳng thức có
chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau.
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a) a + b ≥ a + b . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0
b) a − b ≥ a − b . Dấu “=” xảy ra ⇔ b(a −b) ≥ 0
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu x, y ≠ 0 thì x y x y + ≥ + ≥ 2 y x y x
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = ± y Từ đó suy ra, nếu , m n > 0 , ta có: 1) m n + ≥ 2 2) 1 m + ≥ 2 . n m m
Dùng biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các bài toán này.
Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 7: (Phương pháp vận dụng BĐT liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng,
tích hai số ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa
tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số. Bài toán 1. ( 2 2
2 x + y ) ≥ (x + y)2 ≥ 4xy Bài toán 2. ( 2 2 2
3 x + y + z ) ≥ (x + y + z)2 ≥ 3(xy + xz + yz) .
Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 8: (Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản về căn thức )Khi giải một số bài toán bất
đẳng thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa căn thức.
Bài toán 1. Cho a, b +
> 0 . Chứng minh rằng: a b ≥ ab 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b . (Bất đẳng thức Cô – si)
Bài toán 2. Chứng minh rằng + ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ax by a b x + y )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx . (Bất đẳng thức Bu – nhi – a– cop–xki).
Bài toán 3. Chứng minh rằng 2 2 2 2
a + b + x + y ≥ (a + x)2 + (b + y)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx . (Bất đẳng thức Min–cop–xki).
Khi cần dùng đến Bài toán 2 và 3, ta phải chứng minh rối mới vận dụng.
Riêng Bài toán 1 (bát đẳng thức Cô–si), chúng ta được phép áp dụng mà không cần phải chứng b − '+ ∆ ' b − '− ∆ ' x = , x = . 1 2 a a
Phương pháp giải 8: (Phương pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ) Một số bài
toán chứng minh bất đẳng thức, có khi ta phải vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Cần nhớ: Phương trình 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2
∆ = b − 4ac 3
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép: b x = − 2a
∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: b − + ∆ , b x x − − ∆ = = . 1 2 2a 2a
Trường hợp b = 2b' thì 2
∆ ' = b' − ac
∆ ' < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ ' = 0: phương trình có nghiệm kép: b' x = − a
∆ ' > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng: x y z t + + + ≥ 2 .
y + z z + t t + x x + y
Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y( y − z) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 3 2 2 thức x y x + y + 4 P = + + . 2 2 2 2 x + z y + z x + y
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x + 6 x − 9 + x − 6 x − 9 A = , với x > 9 . 81 18 − +1 2 x x
Câu 4: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh x 2y 4z 1 + + ≤ . 2 2 2 2 2 2
2x + y + 5 6y + z + 6 3z + 4x +16 2
Câu 5: Giả sử ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a > 0 , 2
b = 3a , a + b + c = abc . Chứng minh rằng: 1 2 3 a + ≥ . 3
Câu 6: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ( 4 4 a + b )( 4 4 b + c )( 4 4
c + a ) = 8. Chứng minh rằng ( 2 2
a − ab + b )( 2 2
b − bc + c )( 2 2
c − ca + a ) ≥1.
Câu 7: Cho các số dương x , y , z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2
x + y + y + z + z + x = 2014 . Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 nhất của biểu thức x y z T = + + .
y + z z + x x + y
Câu 8: Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz =1. Chứng minh rằng: 3 1 1 1 2  x y z  + + ≥  + +  2 2 2 + + +  2 2 2 1 x 1 y 1 z 3 1+ x 1+ y 1+  z 
Câu 9: Với x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2
4x + 4y +17xy + 5x + 5y ≥1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P =17x +17y +16xy . 4
Câu 10: Cho a , b , c là ba số thực thỏa điều kiện a + b + c =10. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
M = a + b + c .
Câu 11: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z S = + + 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 1 y =
+ với 0 < x <1. 1− x x
Câu 13: Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1
+ + ≤ 3. Chứng minh rằng: a b c a b c 1 + + +
ab + bc + ca ≥ 3 2 2 2 ( ) 1+ b 1+ c 1+ a 2
Câu 14: Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x + y + z =1. Chứng minh rằng 350 386 + > 2015 2 2 2
xy + yz + zx x + y + z
Câu 15: Chứng minh rằng: 2 3 4 2014 2015 1+ + + +....+ + < 4 2 3 2013 2014 2 2 2 2 2
Câu 16: Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện 3
(a + b) + 4ab ≤12. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 +
+ 2015ab ≤ 2016. 1+ a 1+ b
Câu 17: Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng: 2 2 2
a b +1+b c +1+ c a +1 ≥ 2 . Dấu “=” xảy ra khi nào? 2 2 2 x y z
Câu 18: Tìm GTNN của A = + +
biết x, y, z > 0, xy + yz + zx = 1. x + y y + z z + x Câu 19:
a) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng (a b c) 1 1 1  + + + + ≥   9  a b c
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P = + +
x +1 y +1 z +1
Câu 20: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: a b c + + > 2 b + c c + a a + b
Câu 21: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng: x y z + + ≤ 1
x + 3x + yz y + 3y + zx z + 3z + xy  ; x y ∈ R
Câu 22: Cho x; y thỏa mãn  x y  1 . Chứng minh rằng: 2 2 + ≤ . 0 ≤ ; x y ≤  1+ y 1+ x 3  2 5
Câu 23: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P = + +
z(z+ x) x(x + y) y(y + z)
Câu 24: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + 1 1 1 + + ≥ 6 . a b c
Câu 25: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số 2 2 2 2 2 2
thực x, y, z ta luôn có: x y z
2x + 2y + 2z + + > 2 2 2 2 2 2 a b c a + b + c
Câu 26: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab + 6bc + 2ac = 7abc . Tìm giá trị nhỏ nhất 4ab 9ac 4bc của biểu thức C = + +
a + 2b a + 4c b + c .
Câu 27: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 B = + . 3 3 x + y xy x y xy
Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + 2 2 . y x x + y x;y∈R  x y 2 2
Câu 29: Cho x; y thỏa mãn  1 . Chứng minh rằng: + ≤ . 0 ≤ x;y ≤  1+ y 1+ x 3  2
Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. a b c a b c
Câu 31: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: + + < + +
a + b b + c c + a b + c c + a a + b 4x+3
Câu 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 x + 1 a +1 b +1 c +1
Câu 33: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: + + ≥ 3 2 2 2
b +1 c +1 a +1 2
Câu 34: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2016x + 2x + 2016 Q = 2 x +1
Câu 35: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 a b c < + + < 2
a + b b + c c + a
Câu 36: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác). Chứng 1 1 1  1 1 1 minh rằng : + + ≥ 2.  + + . p − a p − b p − c  a b c  
Câu 37: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng a b c + + > 2 b + c c + a a + b 6
Câu 38: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3 .
abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 a b c A = + + . 2 2 2 c + a a + b b + c
Câu 39: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
Câu 40: Cho a, b,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a + b + c a + b b + c c + a P = + + + . 2 2 2 2abc
c + ab a + bc b + ca
Câu 41: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c P = + + 3 2 3 2 3 2
9a + 3b + c 9b + 3c + a 9c + 3a + b
Câu 42: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng: 2 2 2 1+ 1+ x 1+ 1+ y 1+ 1+ z + + ≤ xyz x y z
Câu 43: Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4... (n − ) 1 n < 3 .
Câu 44: Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 1 1 1 + + = 2.
1+ 2x 1+ 2y 1+ 2z Chứng minh rằng 1 xyz ≤ . 64 Câu 45: Chứng minh a b c + +
> 2 , với a, b, c>0 b + c a + c b + a
Câu 46: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + +
a + b − c b + c − a c + a − b a b c
Câu 47: a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1  2 1 M x  y  = + +  2 2  y x   
b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 + + = 6.
x + y y + z z + x Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≤ .
3x + 3y + 2z 3x + 2y + 3z 2x + 3y + 3z 2
Câu 48: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức a 9b 16c S = + +
b + c − a c + a − b a + b − c
Câu 49: Cho ba số dương a,b và c thoả mãn abc =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≤ . 2 2 2 2 2 2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2 7
Câu 50: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4 x y z F = + + 2 2 2 2 2 2
(x + y )(x + y) (y + z )(y + z) (z + x )(z + x) a   0 
Câu 51: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2b c .    4  a a
Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 có nghiệm.
Câu 52: Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 2 2 x y z + +
y + z z + x x + y
Câu 53: Với x, y là hai số thực thỏa mãn 3 2 2 4 6
y + 3y + 5y + 3 =11 9 − x − 9x − x . Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x − y + 2018. 2 2 2 2 2 2
Câu 54: Cho a,b,c + + +
> 0 . Chúng minh rằng: b c c a a b + +
≥ 2(a + b + c) . a b c
Câu 55: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì 2 2 2
3a + 3b + 3c + 4abc ≥13. 2 2 2 2
Câu 56: minh bất đẳng thức a b c d + + + ≥ 16 .
b −1 c −1 d −1 a −1
Câu 57: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + c)(b + c) 2
= 4c . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức a b ab P = + + .
b + 3c a + 3c bc + ca
Câu 58: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng 3 3 3
a b + 1 + b c + 1 + c a + 1 ≤ 5
Câu 59: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc =1. Chứng minh a b c 3 ( + + ≥ . a + ) 1 (b + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1 (c + ) 1 (a + ) 1 4
Câu 60: Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≥ 2 2 2
x − yz + 2019 y − zx + 2019 z − xy + 2019 x + y + z    
Câu 61: Cho a > 0 , b > 0. Chứng minh a  −1 ≥ 1 b a b −  
. Dấu “ =” xảy ra khi nào? b   a     
Câu 62: Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 A = + + 3 3 3 3 3 3
x + y +1 y + z +1 z + x +1
Câu 63: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 8 1 1 1 1  1 1 1  + + ≤ + + 2 2 2 x yz y xz z xy 2  xy yz zx  + + +  
Câu 64: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ z. Chứng minh rằng 2 xz y x + 2z 5 + + ≥ . 2
y + yz xz + yz x + z 2
Câu 65: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn 2 2 2
a + b + c ≤12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = ( 3 3 3
a + b + c ) −( 4 4 4 4
a + b + c )
Câu 66: Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 2 + +
≥ a + b + c . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2 2 2 a b c
Câu 67: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng a b c + + > 2 . b + c c + a a + b
Câu 68: Cho x, y, z >1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z T = + +
3 x + 2y −1 − 4 3 y + 2z −1 − 4 3 z + 2x −1 − 4
Câu 69: Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: 2 2 2 2 2 2
a + b + b + c + c + a = 2011. 2 2 2 a b c 1 2011 Chứng minh rằng: + + ≥ .
b + c c + a a + b 2 2
Câu 70: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . 2 2 2
Chứng minh rằng: 1+ 1+ x 1+ 1+ y 1+ 1+ + +
z ≤ xyz x y z
Câu 71: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  1 1 1
B = (a +b + c +3)   + +
a +1 b +1 c +1 .   Câu 72: 1 2
Cho x, y là các số thực dương thoả mãn: + = 2 . Chứng minh rằng: x y 2 + − + 2 5x y 4xy y ≥ 3 Câu 73: ab bc ca a b c
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: + + + + ≤
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6
Câu 74: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 + + + ...+ < 3. 3 3 2 3 2 4 3 (n + ) 3 1 n
Câu 75: Cho hai số thực x và y thỏa mãn 2 2
x + xy + y =1. Tìm giá trị lớn nhất của 3 3
P = x y + xy .
Câu 76: Chứng minh rằng (
) 3a −b 3b −c 3c − a a b c  + + + + ≤ 9 
với a,b,c là độ dài ba cạnh của 2 2 2 a ab b bc c ca  + + +  một tam giác. 9 Suy ra
5x −1 5y −1 5y −1 − − − ⇔ + +
≤18 x + y + z − 9
5x 1 5y 1 5y 1 ⇔ + + ≤ 9 2 2 2 ( ) x − x y − y z − z 2 2 2 x − x y − y z − z
Câu 77: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 1 2 y + z =
. Chứng minh rằng 3yz 4zx 5xy + + ≥ 4 x x y z 10
CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA
Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn), < (nhỏ hơn), ≥
(lớn hơn hoặc bằng), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có: A > B ⇔ A − B > 0
A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0
 Trong bất đẳng thức A > B (hoặc A < B, A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức.
 Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và
E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
 Nếu ta có A > B ⇒ C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B .
 Nếu ta có A > B ⇔ E > F ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương đương
A > B (hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt: A ≥ B (hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt
A ≥ B là A > B hoặc A = B
A ≠ B cũng là bất đẳng thức
 Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép.
Ví dụ: A < B < C II. TÍNH CHẤT
 Tính chất 1: (tính chất bắc cầu) a > b và b > c ⇒ a > c
 Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c
Hệ quả: a > b + c ⇔ a − c > b
 Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
ac > bc neáu c > 0
 Tính chất 4: a > b ⇔ 
ac < bc neáu c < 0
 Tính chất 5: a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd
 Tính chất 6: a > b > 0 , n nguyên dương n n ⇒ a > b
 Tính chất 7: a > b > 0 , n nguyên dương n n ⇒ a > b
Hệ quả: a,b ≥ 0 2 2
a ≥ b ⇔ a ≥ b ⇔ a > b  Tính chất 8: 1 1 a > , b ab > 0 ⇒ < a b
 Tính chất 9: a >1, m và n nguyên dương, m n
m > n ⇒ a > a ;
0 < a <1, m và n nguyên dương, m n
m > n ⇒ a < a . III. CHỨNG MINH BĐT
Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết. Ghi nhớ: a ∀ 1) 2 2
a ≥ 0;− a ≤ 0 . Dấu " = " xảy ra ⇔ a = 0 1
2) a ≥ a ≥ − a . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = 0
Có hai cách chứng minh bất đẳng thức:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng.
Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất
đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp.
Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp.
Phương pháp 1 (Vận dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức): Để chứng minh A ≥ B , ta cần
chứng minh A − B ≥ 0
Phương pháp 2 (Phương pháp biến đổi tương đương): Để chứng minh A ≥ B , ta dùng các tính chất của
bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
Phương pháp giải 3: (Phương pháp làm trội) Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C
với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B .
Từ đó ta có A ≥ B , hoặc ta chứng minh D ≥ B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A : D ≤ A , từ đó ta có A ≥ B .
Phương pháp giải 4: (Phương pháp chứng minh phản chứng ) Để chứng minh A ≥ B , ta giả sử A < B , từ
đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng.
Phương pháp giải 5: (Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số) Một số bài toán bất đẳng
thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số.
Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với a , b , c > 0 . Chứng minh rằng: a) Nếu a +
< b thì a a c < b b + c b) Nếu +
a ≥ b thì a a c > b b + c Hướng dẫn giải a) +
a < b ⇒ ac < bc ⇒ ab + ac < ab + bc ⇒ ( + ) < ( + ) a a c a b c b a c ⇒ < . b b + c b) Chứng minh tương tự.
Bài toán 2. Với x , y , z > 0 . Chứng minh rằng: a) 1 4 ≥ ; b) 1 1 4 + ≥ ; c) 1 1 1 9 + + ≥ 2
xy (x + y) x y x + y
x y z x + y + z Hướng dẫn giải a) 2 2 2
(x − y) ≥ 0 ⇒ (x − y) + 4xy ≥ 4xy ⇒ (x + y) ≥ 4xy 1 4 ⇒ ≥ 2
xy (x + y) b) Từ a) ta có 2 + 4 1 1 4 ( + ) ≥ 4 x y x y xy ⇒ ≥ ⇒ + ≥ . xy x + y x y x + y   c) ( + + ) 1 1 1 + + =  1+1+1 x y y z x z x y z + + + + + +   x y z y x z y z x     9 x y 2 y z   2  x z   2 = + + − + + − + + −   y x   z yz x    2 2 2 2 (x − y) (y − z) (x − z) = 9 + + + ≥ 9 1 1 1 9 ⇒ + + ≥ xy yz xz
x y z x + y + z Các bài toán dạng “ ,
> < ” thường dùng bài toán 1, các bài toán dạng “ ,
≥ ≤ ” thường dùng bài toán 2. Khi
dùng đến các bài toán này ta cần phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 6: (Phương pháp cơ bản về giá trị tuyệt đối )Đối với một số bài toán bất đẳng thức có
chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau.
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a) a + b ≥ a + b . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0
b) a − b ≥ a − b . Dấu “=” xảy ra ⇔ b(a −b) ≥ 0
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu x, y ≠ 0 thì x y x y + ≥ + ≥ 2 y x y x
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = ± y Từ đó suy ra, nếu , m n > 0 , ta có: 1) m n + ≥ 2 2) 1 m + ≥ 2 . n m m
Dùng biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các bài toán này.
Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 7: (Phương pháp vận dụng BĐT liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng,
tích hai số ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa
tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số. Bài toán 1. ( 2 2
2 x + y ) ≥ (x + y)2 ≥ 4xy Bài toán 2. ( 2 2 2
3 x + y + z ) ≥ (x + y + z)2 ≥ 3(xy + xz + yz) .
Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Phương pháp giải 8: (Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản về căn thức )Khi giải một số bài toán bất
đẳng thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa căn thức.
Bài toán 1. Cho a, b +
> 0 . Chứng minh rằng: a b ≥ ab 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b . (Bất đẳng thức Cô – si)
Bài toán 2. Chứng minh rằng + ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ax by a b x + y )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx . (Bất đẳng thức Bu – nhi – a– cop–xki).
Bài toán 3. Chứng minh rằng 2 2 2 2
a + b + x + y ≥ (a + x)2 + (b + y)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx . (Bất đẳng thức Min–cop–xki).
Khi cần dùng đến Bài toán 2 và 3, ta phải chứng minh rối mới vận dụng.
Riêng Bài toán 1 (bát đẳng thức Cô–si), chúng ta được phép áp dụng mà không cần phải chứng b − '+ ∆ ' b − '− ∆ ' x = , x = . 1 2 a a
Phương pháp giải 8: (Phương pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ) Một số bài
toán chứng minh bất đẳng thức, có khi ta phải vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Cần nhớ: Phương trình 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2
∆ = b − 4ac 3
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép: b x = − 2a
∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: b − + ∆ , b x x − − ∆ = = . 1 2 2a 2a
Trường hợp b = 2b' thì 2
∆ ' = b' − ac
∆ ' < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ ' = 0: phương trình có nghiệm kép: b' x = − a
∆ ' > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng: x y z t + + + ≥ 2 .
y + z z + t t + x x + y Lời giải Đặt: x y z t A = + + +
y + z z + t t + x x + y x y z t M = + + +
x + y y + z z + t t + x y z t x N = + + +
x + y y + z z + t t + x x y z t y z t x ⇒ M + N = + + + + + + + = 4.
x + y y + z z + t t + x x + y y + z z + t t + x Ta có:
y + t x + z y + t x + z N + A = + + +
x + y y + z z + t t + x = (     + + y + t) 1 1 + + (x + z) 1 1 4( y t) 4(x z) + ≥ + =     4.
x + y z + t
y + z t + x x + y + z + t x + y + z + t
Chứng minh tương tự ta cũng có: A + M ≥ 4.
⇒ A + M + A + N ≥ 8 ⇒ A ≥ 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t > 0 .
Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y( y − z) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 3 2 2 thức x y x + y + 4 P = + + . 2 2 2 2 x + z y + z x + y Lời giải 3 2 2 x z x z x z
Áp dụng bất bẳng thức Côsi = x − ≥ x − = x − . 2 2 2 2 x + z x + z 2xz 2 4 3 2 2 Tương tự y z + + ≥ y − . Suy ra x y 4
P ≥ x + y − z + . 2 2 y + z 2 x + y 2 2 Theo gt x + y 4 z =
⇒ P ≥ x + y + ≥ 4. x + y x + y
Vậy P = 4 ⇔ x = y = z =1. min
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x + 6 x − 9 + x − 6 x − 9 A = , với x > 9 . 81 18 − +1 2 x x Lời giải
Ta có x + 6 x − 9 = x − 9 + 3; x − 6 x − 9 = x − 9 − 3
x − 9 + 3+ x − 9 − 3 Và 81 18 9 − 9 − +1 = −1 x = ⇒ A = .x 2 x x x x x − 9 Khi x ≥18 thì 2x 18 A = = 2 x − 9 +
≥ 12 , dấu bằng xảy ra khi x = 18 (1). x − 9 x − 9
Khi 9 < x <18 thì 6x 54 54 A = = 6 + > 6 + =12 (2) x − 9 x − 9 9 Suy ra A =12 . min
Câu 4: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh x 2y 4z 1 + + ≤ . 2 2 2 2 2 2
2x + y + 5 6y + z + 6 3z + 4x +16 2 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có 2 2 2 2 2
2x + y + 5 = (x + y ) + (x +1) + 4 ≥ 2xy + 2x + 4 = 2(xy + x + 2), 2 2 2 2 2
6y + z + 6 = (4y + z ) + 2(y +1) + 4 ≥ 4yz + 4y + 4 = 4(yz + y +1), 2 2 2 2 2
3z + 4x +16 = (z + 4x ) + 2(z + 4) + 8 ≥ 4zx + 8z + 8 = 4(zx + 2z + 2). Suy ra x x ≤ , 2y y ≤ , 2 2
2x + y + 5 2(xy + x + 2) 2 2
6x + z + 6 2(yz + y +1) 4z z ≤ . 2 2
3z + 4x +16 zx + 2z + 2)
Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được x y z P ≤ + +
2(xy + x + 2) 2(yz + y +1) zx + 2z + 2 1  x y 2z  = + +
2  xy x 2 yz y 1 zx 2z 2  + + + + + +  1  x xy 2z  = + +
2  xy x 2 xyz xy x zx 2z xyz  + + + + + +  1  x xy 2  1 = + + =   .
2  xy + x + 2 xy + x + 2 x + xy + 2  2 5
Câu 5: Giả sử ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a > 0 , 2
b = 3a , a + b + c = abc . Chứng minh rằng: 1 2 3 a + ≥ . 3 Lời giải Ta thấy 2 3 3 3 = ⇒ 3 abc a bc
a = abc ⇒ a = 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 2 2 3  +   −  2 b c 3 3 a a a = bc ≤ =   2     2  (3a −a)2 3 2 ⇒ 3a ≤ 4
⇒ a ≤ ( a − a)2 2 3 12 3 ⇒ a ( a − )2 2 2 2 3 1 ≥12a ⇒ ( a − )2 2 3 1 − (2 3)2 ≥ 0 ⇒ ( 2 a − + )( 2 3
1 2 3 3a −1− 2 3) ≥ 0 2
3a −1− 2 3 ≥ 0  2  3
 a −1+ 2 3 ≥ 0 ⇒  2
3a −1− 2 3 ≤ 0  2  3
 a −1+ 2 3 ≤ 0  2 1− 2 3 a ≥   3   2 1+ 2 3  a ≥   3 ⇒   2 1− 2 3 a ≤  3   2 1+2 3  a ≤   3 2 1 2 3 a + ⇒ ≥ 3 1 2 3 a + ⇒ ≥ a > 3 ( Do 0 ).
Câu 6: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ( 4 4 a + b )( 4 4 b + c )( 4 4
c + a ) = 8. Chứng minh rằng ( 2 2
a − ab + b )( 2 2
b − bc + c )( 2 2
c − ca + a ) ≥1. Lời giải
+ Ta chứng minh kết quả ( − + )2 2 2 4 4 2 a ab b ≥ a + b (1).
Thật vậy, (1) ⇔ ( 4 4 2 2 2 2
a + b + a b + a b − ab( 2 2 a + b ) 4 4 2 2 2 ≥ a + b 6
⇔ (a + b − ab)2 2 2 2 ≥ 0 .
⇔ (a − b)4 ≥ 0, bất đẳng thức đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Tương tự có (2): ( − + )2 2 2 4 4 2 b bc c
≥ b + c , (3): ( − + )2 2 2 4 4 2 c ca a ≥ c + a .
+ Thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm, nhân theo vế các bất đẳng thức này ta được
(a −ab+b )2 (b −bc+c )2 (c −ca+a )2 2 2 2 2 2 2 ≥ ( 4 4 a + b )( 2 4 b + c )( 4 4 8 c + a ) = 8
Hay (a − ab + b )2 (b −bc + c )2 (c − ca + a )2 2 2 2 2 2 2 ≥ 1 (*). Do 2 2
a − ab + b , 2 2
b − bc + c , 2 2
c − ca + a ≥ 0 nên từ (*) suy ra
(a −ab+b )2 (b −bc+c )2 (c −ca+a )2 2 2 2 2 2 2 ≥ 1, có đpcm.
Câu 7: Cho các số dương x , y , z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2
x + y + y + z + z + x = 2014 . Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 nhất của biểu thức x y z T = + + .
y + z z + x x + y Lời giải Đặt 2 2
a = x + y ; 2 2
b = y + z ; 2 2
c = z + x (a;b;c > 0)
⇒ a + b + c = 2014 2 2 2 2 2
a = x + y ⇒ a = x + y 2 2 2 2 2
b = y + z ⇒ b = y + z 2 2 2 2 2
c = z + x ⇒ c = z + x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c x − + + − − + + ⇒ = ; 2 y a b c = ; 2 z a b c = 2 2 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có: + ≤ ( + ) 2 2 2 2 2 = 2 x x y z y z b ⇒ ≥ y + z b 2 + ≤ ( + ) 2 2 2 2 2 z = 2 y y z x x c ⇒ ≥ z + x c 2 + ≤ ( + ) 2 2 2 2 2 x = 2 z z x y y a ⇒ ≥ x + y a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1  x y z T = + + ≥ + + =  + +
y z z x x y b 2 c 2 a 2 2 b c a  + + +   2 2 2 2 2 2 2 2 2
1  a − b + c
a + b − c
−a + b + c T ≥  + + 2 2 b c a    2 2 2 2 2 2 1  a c a b b cT ≥  + + + + +
− a − b − c 2 2 b b c c a a   
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có: 2 a 2 2
+ b ≥ 2a ; b + a ≥ 2b ; c + a ≥ 2c b a a 2 a 2 2
+ c ≥ 2a ; b + c ≥ 2b ; c + b ≥ 2c c c b 7 2 2 2 2 2 2 a c a b b c ⇒ + + + + +
≥ 4(a + b + c) − 2(a + b + c) = 2(a + b + c) = 2.2014 = 4028 b b c c a a 2 2 2 2 2 2 a c a b b c ⇒ + + + + +
− a − b − c ≥ 2(a + b + c) − (a + b + c) = a + b + c = 2014 b b c c a a 1 1007 ⇒ T ≥ ⋅ 2014 = 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi 2014
a = b = c = 3 Vậy 1007 2014 MinT =
⇔ x = y = z = 2 3 2
Câu 8: Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz =1. Chứng minh rằng: 3 1 1 1 2  x y z  + + ≥  + +  2 2 2 + + +  2 2 2 1 x 1 y 1 z 3 1+ x 1+ y 1+  z  Lời giải 2 2
1+ x = xy + yz + xz + x = (x + y)(x + z) 2 2
1+ y = xy + yz + xz + y = (x + y)( y + z) 2 2
1+ z = xy + yz + xz + z = (z + y)(x + z) 1 1 1
2(x + y + z) ⇒ + + = 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z
(x + y)( y + z)(z + x) 2     Ta có: x y z  + +  ≤ ( + + ) x y z x y z + +  2 2 2   2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z  1+ x 1+ y 1+ z    ( + + ) x y z  = x y z ( + +
x y)(x z) (x y)( y z) (z y)(x z) + + + + + +  
2(x + y + z) = (
x + y)( y + z)(z + x) 2 1 1 1  x y z  ⇒ + + ≥  + +  2 2 2 + + +  2 2 2 1 x 1 y 1 z 1+ x 1+ y 1+  z  Do đó: 3 2  x y z
4(x + y + z)  x y z   + +  =  + +   2 2 2 3 1+ x 1+ y 1+ z
3(x + y)( y + z)(z + x)  2 2 2 1+ x 1+ y 1+    z 
Bất đẳng thức trở thành x y z 3 + + ≤ 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 2 Ta có: x x 1  x x  = ≤ +   2 1+ x
(x + y)(x + z) 2  x + y x + z  8 y y 1  y y  = ≤ +   2 1+ y
(x + y)( y + z) 2  x + y y + z z z 1  z z  = ≤ +   2 1+ z
(x + z)( y + z) 2  x + z y + z x y z 3 ⇒ + + ≤ 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 2 Dấu “ = ” xảy ra khi 1
x = y = z = 3
Câu 9: Với x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2
4x + 4y +17xy + 5x + 5y ≥1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P =17x +17y +16xy . Lời giải
Đặt a = x + y . Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có: (x + y)2 2 a 2 xy ≤ = hay  5 a 1 + ≥   2 4 4  2  Từ đó, ta có 2 a ≥ ( 2 − ) 1 . Suy ra 5 9
P =17x +17y +16xy =17a −18xy ≥17a − a ≥ 2( 2 − )2 2 2 2 2 2 1 = 6 − 4 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1 x y − = = . 5
Câu 10: Cho a , b , c là ba số thực thỏa điều kiện a + b + c =10. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
M = a + b + c . Lời giải 2 2 2
M = a + b + c = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) =100 − 2(ab + bc + ca)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có: 2 2 a 2ab b 2 2 2 2 ab + + ≤ b 2bc c bc + + ≤ c 2ca a ca + + ≤ 4 ; 4 ; 4 2 2 2
⇒ ab + bc + ca ≤ a + b + c
⇒ M ≥ ab + bc + ca 100 M M − ⇒ ≥ 2 100 ⇒ M ≥ 3
a = b = c 10
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 
⇔ a = b = c =
a + b + c = 10 3 100 10 Vậy Min M =
⇔ a = b = c = 3 3
Câu 11: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z S = + + 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 9 Lời giải 2 2 2 Ta có: x xy + = x ; y yz + = y ; z zx + = z 2 2 1+ y 1+ y 2 2 1+ z 1+ z 2 2 1+ x 1+ x 2 2 2 x y zxy yz zx  ⇒ S = + +
= x + y + z −  + + 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x  + + + + + +  2 2 2   ⇒ = 3 xy yz zx S −  + + 2 2 2 1 y 1 z 1 x  + + +  2 2 2 2 2 2 Ta có: xy xy xy ≤ = ; yz yz yz ≤ = ; zx zx zx ≤ = 2 1+ y 2y 2 2 1+ z 2z 2 2 1+ x 2x 2 2 2 2 xy yz zx
xy + yz + zx ⇒ + + ≤ 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 2 3 xy yz zx S + + ⇒ ≥ − 2
Do (x + y + z)2 ≥ 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx ≤ 3 3 3 ⇒ S ≥ 3− = 2 2 Vậy 3
Min S = ⇔ x = y = z =1 2
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 1 y =
+ với 0 < x <1. 1− x x Lời giải 2 1 2 1 2x 1 = + = − 2 + −1+ 3 − x y = + + 3 1− x x 1− x x 1− x x  2x > 0  Vì 1 0 < <1  − x x ⇒ 1  − x  > 0  x
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có: 2x 1− x 2x 1 + ≥ 2 − x ⋅
= 2 2 ⇒ y ≥ 2 2 + 3 1− x x 1− x x
Dấu “=” xảy ra khi: 2x 1− x 2 2 2 =
⇔ 2x = x − 2x +1 ⇔ x + 2x −1 = 0 1− x x ⇔ x = 1
− + 2 (nhận) hoặc x = 1 − − 2 (loại)
Vậy Min y = 2 2 + 3 ⇔ x = 2 −1
Câu 13: Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1
+ + ≤ 3. Chứng minh rằng: a b c a b c 1 + + +
ab + bc + ca ≥ 3 2 2 2 ( ) 1+ b 1+ c 1+ a 2 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy cho 2 số dương, ta có: a b + ≥ 2 ; b c + ≥ 2 ; c a + ≥ 2 b a c b a c 10

Tài liệu liên quan: