Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6: Dãy phân số theo quy luật

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6: Dãy phân số theo quy luật. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 24 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

38 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

24 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
a. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =


có giá trị là một số nguyên.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A =


Bài 3: Cho phân số: A =


với n thuộc số tự nhiên.
a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
b. Bài tập tự luyện:
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A =


có giá trị là số nguyên.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A =


sao cho:
a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản
c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
a. A =


b. B =


a. DẠNG 2: TÍNH NHANH
c. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
a. S =
b.
10032
2
1
...
2
1
2
1
2
1
++++=A
c.
+
+
+
+= 1
99
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
C
Trang 2
d.
2222
30
899
.....
4
15
.
3
8
.
2
3
=D
.
Bài 2: Tính các tổng sau:
a. A =




b. B =



c. C =




d. D =

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰇛󰇜

e.
99.98...4.33.22.1
1.98...96.397.298.1
++++
++++
=B
f.
1
199
2
198
...
197
3
198
2
199
1
200
1
...
4
1
3
1
2
1
+++++
++++
=E
d. Bài tập tự luyện:
❖ A =
100.99
1
.......
13.12
1
12.11
1
11.10
1
++++
❖ B
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n!
❖ C =
100.99.98
2
.....
4.3.2
2
3.2.1
2
+++
❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9
(50 chữ số 9)
❖
❖
10099432
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1
−++−+−=B
Trang 3
❖
100
99
...
4
3
3
2
2
1
100
1
...
3
1
2
1
1100
++++
++++−
=D
b. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
e. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:






Bài 2: Chứng minh rằng:
1 1 1 1
... 2
2 3 4 63
+ + + +
Bài 3: Cho A =1 +

Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1
...
11.8
1
8.5
1
5.2
1
+
=
+−
++++
n
n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5
...
15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+−
++++
n
n
nn
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi
2; nNn
ta có:
15
1
)45)(15(
3
...
24.19
3
19.14
3
14.9
3
+−
++++
nn
Bài 6: Cho
2222
9
1
...
4
1
3
1
2
1
++++=A
. Chứng minh
9
8
5
2
A
Trang 4
Bài 7: Tổng



bằng phân số
. Chứng minh rằng a chia hết cho
149.
f. Bài tập tự luyện:
Bài 8: Cho
2222
2007
2
...
7
2
5
2
3
2
++++=A
. Chứng minh:
2008
1003
A
Bài 9: Cho
2222
2006
1
...
8
1
6
1
4
1
++++=B
. Chứng minh:
2007
334
B
Bài 10: Cho
2500
2499
...
16
15
9
8
4
3
++++=C
. Chứng minh C > 48
Bài 11: Cho
59..321
1
...
4321
1
321
1
++++
++
+++
+
++
=M
. Chứng minh
3
2
M
Bài 12: Cho
20.19.18
1
...
4.3.2
1
3.2.1
1
+++=A
. Chứng minh
4
1
A
Bài 13: Chứng minh với mọi n
N; n > 1 ta có:
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
++++=
n
A
Bài 14: Cho
9932
4
5
...
4
5
4
5
4
5
++++=C
. Chứng minh:
3
5
C
Bài 15: Cho
10032
3
100
...
3
3
3
2
3
1
++++=E
. Chứng minh:
4
3
E
Bài 16: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=C
. Chứng minh:
201
1
2
C
Bài 17: Cho
210
208
....
12
10
.
9
7
.
6
4
.
3
1
=A
. Chứng minh:
25
1
A
DẠNG 4: TÌM X
g. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x, biết rằng:




󰇛

󰇜


Trang 5
Bài 2: Tìm x, biết rằng:
50 25 1
11
100 200 4
xx
x

− + =


Bài 3: Tìm x, biết rằng:
( )
30 200
5 . 5
100 100
x
x − = +
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
❖ Bài tập tự luyện:
Bài 5: 1 +
1991
1989
1
)1(
2
......
10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
Bài 6:
93
15
)32)(12(
1
...
9.7
1
7.5
1
5.3
1
=
++
++++
xx
Bài 7:
45
29
45.41
4
...
17.13
4
13.9
4
9.5
47
=+++++
x
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Cho
2004
2005
10 1
10 1
A
+
=
+
và
2005
2006
10 1
10 1
B
+
=
+
So sánh A và B?
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11
So sánh A và B?
Bài 3: So sánh
−
−
−
−=
20
1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1L
với
21
1
Bài 4: So sánh
−
−
−
−=
100
1
1.....
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
với
19
11
Bài tập tự luyện:
Trang 6
Bài 1: Cho






và






So sánh A và B?
Bài 2: Cho






và






So sánh A và B?
Bài 3: So sánh
40.....23.22.21
39.....7.5.3.1
=U
và
12
1
20
−
=V
Bài 4: So sánh:
❖ 63
7
và 16
12
❖ 󰇡

󰇢
và 󰇡

󰇢
❖ 󰇡

󰇢
và 󰇡

󰇢

❖ 5
299
và 3
501
❖ 3
23
và 5
15
❖ 127
23
và 513
18
❖ 1990
10
+ 1990
9
và 1991
10
❖ 3
500
và 7
300
❖ 99
20
và 9999
10
❖ 202
303
và 303
202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho:
Trang 7

HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
a. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
h. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =


có giá trị là một số nguyên.
A =


=> 2A =


= 1 +


Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28
Ta có bảng đáp số:
Bài 3: Cho phân số: A =


với n thuộc số tự nhiên.
1 Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
2 Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
2n - 8
n
2A
A
Kết luận
-28
-10
-1
-1/2
L
-14
-3
-2
-1
TM
-7
½
-4
-2
L
-4
2
-7
-7/2
L
-2
3
-14
-7
TM
-1
7/2
-28
-14
L
1
9/2
28
14
L
2
5
14
7
TM
4
6
7
7/2
L
7
15/2
4
2
L
14
11
2
1
TM
28
18
1
1/2
L
Trang 8
Hướng dẫn:
1 Ta có: A =




Để A rút gọn được <=> 3n + 1
3 hoặc 3n + 1
7.
TH1: 3n + 1
3 (Vô lý)
TH2: 3n + 1
7. Với n = 7k + 2 (k N) thì 3n + 1
7.
Kết luận: n = 7k + 2 (k N) thì phân số A =


rút gọn được.
2 Để A là số tự nhiên <=> 63
(3n + 1) <=> 3n + 1 là ước của 63.
Ư(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63}




 
 

󰇝
c. DẠNG 2: TÍNH NHANH
i. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
❖ S =
3S = 3 + (1 +
)
3S = 3 + S -
2S = 3 -
S =

Trang 9
❖
10032
2
1
...
2
1
2
1
2
1
++++=A
2A = 1 +


2A = 1 +A -

A = 1 -

❖
+
+
+
+= 1
99
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
C
C =
.
.
…..


=

= 50
❖
2222
30
899
.....
4
15
.
3
8
.
2
3
=D
.
Bài 2: Tính các tổng sau:
A =




A = 1 -
+
-
+
-
+ ..+

-

A = 1 -

=


B =



B =
󰇡



󰇢=
B =
󰇡

󰇢 =


C =




Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai
số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét:

-

=

;

-

=

; …;

-

=

Tổng quát:
󰇛󰇜
-
󰇛󰇜󰇛󰇜
=
󰇛

󰇜
󰇛󰇜
Trang 10
2C =

-

+

-

+ …+

-

=

-

2C =


=


C =


D =

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰇛󰇜

D =


= 1
99.98...4.33.22.1
1.98...96.397.298.1
++++
++++
=B
1
199
2
198
...
197
3
198
2
199
1
200
1
...
4
1
3
1
2
1
+++++
++++
=E
j. Bài tập tự luyện:
❖ A =
100.99
1
.......
13.12
1
12.11
1
11.10
1
++++
A =








A =


=

❖ B
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n!
Ta có : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
..... ..... .....
n.n! = (n + 1) –n!
Vậy
B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Trang 11
❖ C =
100.99.98
2
.....
4.3.2
2
3.2.1
2
+++
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai
số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét:

-

=

;

-

=

; …;

-

=

Tổng quát:
󰇛󰇜
-
󰇛󰇜󰇛󰇜
=
󰇛

󰇜
󰇛󰇜
C =

-

+

-

+ …+

-

=

-

C=


=


❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9
(50 chữ số 9)
D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + ….+ 
󰆄
󰆈
󰆅
󰆈
󰆆
󰇛󰇜
- 1
D = 
󰆄
󰆈
󰆈
󰆅
󰆈
󰆈
󰆆
󰇛󰇜
– 50.1 = 
󰆄
󰆈
󰆈
󰆈
󰆅
󰆈
󰆈
󰆈
󰆆
󰇛󰇜
❖
S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của
hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét:

-

=

;

-

=

; …;

-

=

Tổng quát:
󰇛󰇜
-
󰇛󰇜󰇛󰇜
=
󰇛

󰇜
󰇛󰇜
C =

-

+

-

+ …+

-

=

-

C =


=


❖
10099432
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1
−++−+−=B
Trang 12
❖
100
99
...
4
3
3
2
2
1
100
1
...
3
1
2
1
1100
++++
++++−
=D
d. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
k. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:






Bài 2: Chứng minh rằng:
1 1 1 1
... 2
2 3 4 63
+ + + +
Bài 3: Cho A =1 +

Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1
...
11.8
1
8.5
1
5.2
1
+
=
+−
++++
n
n
nn
VT =
󰇡



󰇢
=
󰇡

󰇢 =
󰇡

󰇛󰇜
󰇢 =

= VP (đpcm)
b)
34
5
)34)(14(
5
...
15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+−
++++
n
n
nn
Trang 13
VT =
󰇡





󰇢
=
󰇡

󰇢 =
.

󰇛󰇜
=

󰇛󰇜
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi
2; nNn
ta có:
15
1
)45)(15(
3
...
24.19
3
19.14
3
14.9
3
+−
++++
nn
Ta có VT =
󰇡







󰇢
=
󰇡

󰇢 <
.
=

=> đpcm
Bài 6: Cho
2222
9
1
...
4
1
3
1
2
1
++++=A
. Chứng minh
9
8
5
2
A
A >

+

+

+…+

=
-
+
-
+…+
-

=
-

=

=
(1)
A <


+

+…+

= 1 -
+
-
+…+
-
= 1 -
=
(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 7: Tổng



bằng phân số
. Chứng minh rằng a chia hết
cho 149.
l. Bài tập tự luyện:
Bài 8: Cho
2222
2007
2
...
7
2
5
2
3
2
++++=A
. Chứng minh:
2008
1003
A
Ta có:
󰇛󰇜
<
󰇛󰇜
=

-

Thay n = 1, 2, 3, …, 1003
Trang 14
Ta có: A <
-

=


(đpcm)
Bài 9: Cho
2222
2006
1
...
8
1
6
1
4
1
++++=B
. Chứng minh:
2007
334
B
Ta có:
<

;
<

; … ;

<

a) B =
+
+ …+

<

+

+ …+

Bài 10: Cho
2500
2499
...
16
15
9
8
4
3
++++=C
. Chứng minh C > 48
C có 49 số hạng
Ta có: C – 49 = -(1 -
+ 1 -
+ 1 -


+ …+ 1 -


)
b) C – 49 = - 󰇡


󰇢
c) C = 49 - 󰇡


󰇢 = 49 – D
Xét D =


=
+
+ …+

D <

+

+ … +

= 1 -
+
-
+ …+

-

= 1 -

< 1
D < 1 => 49 – D > 49 – 1 = 48
d) C > 48 (đpcm)
Bài 11: Cho
59..321
1
...
4321
1
321
1
++++
++
+++
+
++
=M
. Chứng minh
3
2
M
Áp dụng công thức: 1 +2+ 3 + …+ n =
󰇛󰇜
M =

+

+ …+

= 2󰇡



󰇢
= 2󰇡


󰇢 = 2 󰇡

󰇢 = 2.


=


<


=
Trang 15
e) M <
(đpcm).
Bài 12: Cho
20.19.18
1
...
4.3.2
1
3.2.1
1
+++=A
. Chứng minh
4
1
A
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao
cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét:

-

=

;

-

=

; …;

-

=

Tổng quát:
󰇛󰇜
-
󰇛󰇜󰇛󰇜
=

󰇛

󰇜
󰇛󰇜
Do đó: 2A =

+

+ …+

= 󰇡


󰇢 + 󰇡


󰇢 +…+ 󰇡


󰇢
=

-

=


f) A =


<


=
(đpcm)
Bài 13: Chứng minh với mọi n
N; n > 1 ta có:
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
++++=
n
A
A <

+

+

+ …+
󰇛󰇜󰇛󰇜
Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng:
󰇛󰇜󰇛󰇜
=
. 󰇡
󰇛󰇜
󰇛󰇜
󰇢
Từ đó suy ra:
Trang 16
A <
.󰇡




󰇛

󰇜

󰇛󰇜
󰇢
=
.󰇡
󰇛󰇜
󰇢 <
.
=
(đpcm)
Bài 14: Cho
9932
4
5
...
4
5
4
5
4
5
++++=C
. Chứng minh:
3
5
C
Hướng dẫn giải:
9932
4
5
...
4
5
4
5
4
5
++++=C
4
9821
4
5
...
4
5
4
5
1
5
++++=C
3C = 5 -

C <
Bài 15: Cho
10032
3
100
...
3
3
3
2
3
1
++++=E
. Chứng minh:
4
3
E
Hướng dẫn giải:
10032
3
100
...
3
3
3
2
3
1
++++=E
9921
3
100
...
3
3
3
2
1
1
3 ++++=E
100999922
3
100
3
99
3
100
...
3
2
3
3
3
1
3
2
1
1
2 −−++−+−+=E
1009921
3
100
3
1
...
3
1
3
1
12 −++++=E
(1)
99981
3
100
3
1
...
3
1
136 −++++=E
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
Trang 17
10099
3
100
3
101
34 +−=E
4
3
)
3
1003.101
(
4
3
100
−
−=E
Bài 16: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=C
. (1) Chứng minh:
201
1
2
C
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều
chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn,
các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số
tăng thêm, do đó:
C <
.
.
…..


(2)
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
C
2
< (
.
.
…..


).(
.
.
…..


)
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng

Vậy C
2
<

(đpcm)
DẠNG 4: TÌM X
m. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x, biết rằng:



󰇛

󰇜


.(
-
+
-

+

-

+ … +
-

) =


Trang 18
.(
-

) =


-

=


.3 =



=
-


=

x + 3 = 308
x = 305
Bài 2: Tìm x, biết rằng:
50 25 1
11
100 200 4
xx
x

− + =


<=> x -

=

5x = 90
x = 18
Bài 3: Tìm x, biết rằng:
( )
30 200
5 . 5
100 100
x
x − = +
(x – 5).30 = 200x + 500
(x – 5).3 = 20x + 50
3x – 15 = 20x + 50
17x = -65
x = -


Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
󰇛󰇜
= 820
x(x+1) = 1640 = 40.41
Vậy x = 40
Trang 19
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Cho
2004
2005
10 1
10 1
A
+
=
+
và
2005
2006
10 1
10 1
B
+
=
+
So sánh A và B?
Ta có:
10A =






= 1 +



10B =






= 1 +



Vì



>



nên 10A > 10B, do đó A > B.
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11
So sánh A và B?
Ta có: A =
󰇛

󰇜

< 10
3
.10
3
= 10
6
B = (2.5).(3.4).(6.7).(8.9).10.11 > 10
6
Vậy A < B
Bài 3: So sánh
−
−
−
−=
20
1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1L
với
21
1
Ta có : L =
.
. … .


=

>

Vậy L >

Bài 4: So sánh
−
−
−
−=
100
1
1.....
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
với
19
11
Trang 20
Ta có:
M =
.
.


…..


=





=
󰇛

󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜󰇛󰇜
=


=




Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho






và






So sánh A và B?
Ta có:
10A =






= 1 +



10B =






= 1 +



Vì



>



nên 10A > 10B, do đó A > B.
Bài 2: Cho






và




So sánh A và B?
Áp dụng tính chất: nếu
> 1 thì


<
(m > 0)
Vì B > 1 nên
B =






>






=






=
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
=






= A
Vậy A < B
Bài 3: So sánh
40.....23.22.21
39.....7.5.3.1
=U
và
12
1
20
−
=V
Trang 21
Ta có: U =






U =





=

Vì

<


=> U < V
Bài 4: So sánh:
a. 63
7
và 16
12
63
7
< 64
7
= (8
2
)
7
= 8
14
16
12
= (2
4
)
12
= 2
48
= 2
3.16
= (2
3
)
16
= 8
16
8
14
< 8
16
nên
63
7
< 16
12
b. 󰇡

󰇢
và 󰇡

󰇢
󰇡

󰇢
= 󰇡
󰇢
=

󰇡

󰇢
= 󰇡
󰇢
=

Ta có : 2
35
< 2
36
nên

>

=> 󰇡

󰇢
> 󰇡

󰇢
c. 󰇡

󰇢
và 󰇡

󰇢

󰇡
󰇢
=󰇡
󰇢

và 󰇡

󰇢

< 󰇡

󰇢

= 󰇡
󰇢

󰇡
󰇢

󰇡
󰇢

> 󰇡
󰇢

=> 󰇡

󰇢
> 󰇡

󰇢

d. 5
299
và 3
501
5
299
< 5
300
= (5
3
)
100
< (3
5
)
100
= 3
500
< 3
501
Vậy 5
299
< 3
501
e. 3
23
và 5
15
3
23
= 9.(3
3
)
7
> 5.(5
2
)
7
= 5
15
f. 127
23
và 513
18
127
23
< 128
23
= (2
7
)
23
= 2
161
513
18
> 512
18
= (2
9
)
18
= 2
162
Vì 2
162
> 2
161
nên 513
18
> 127
23
Trang 22
g. 1990
10
+ 1990
9
và 1991
10
1990
9
.(1990+1) = 1991.1990
9
1991
10
= 1991.1991
9
Vì 1991
9
> 1990
9
nên 1991.1991
9
> 1991.1990
9
=> 1991
10
> 1990
10
+ 1990
9
h. 3
500
và 7
300
3
500
= 3
5.100
= (3
5
)
100
= 243
100
7
300
= 7
3.100
. (7
3
)
100
= (343)
100
Vì 243
100
< 343
100
=> 3
500
< 7
300
i. 99
20
và 9999
10
99
20
= (99
2
)
10
= (99.99)
10
= 99
10
. 99
10
9999
10
=( 101.99)
10
= 101
10
. 99
10
Vì 101> 99 nên 101
10
> 99
10
=> 101
10
. 99
10
> 99
10
. 99
10
Vậy 9999
10
> 99
20
j. 202
303
và 303
202
Vì 202
303
= (2.101)
3.101
= (2
3
.101
3
)
101
= (8.101.101
2
)
101
= (808.101
2
)
101
Và 303
202
= (3.101)
2.101
= (3
2
.101
2
)
101
= (9.101
2
)
101
Mà (808.101
2
)
101
> (9.101
2
)
101
nên 202
303
> 303
202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
Đkxđ : y ≠ 0


=
5xy – 60 = 3y
y(5x – 3) = 60
y =


Trang 23
Vì y là số tự nhiên nên 5x – 3 phải là ước của 60
Vì x cũng là số tự nhiên nên giá trị của x thỏa mãn là x = 1; x = 3
Vậy x = 3, y = 5; x = 1, y = 30
Đkxđ: x ≠ 0


=
24 – 2xy= 5x
x(5 + 2y) = 24
x =


Vì x là số tự nhiên nên 5 +2y là ước của 24 , vì y cũng là số tự nhiên nên không có
giá trị nào của x, y thỏa mãn.
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho:
Đkxđ: x≠0
<=>


=

<=> x+2xy=3
<=> x =


x nguyên nên 2y + 1 là ước lẻ của 30. Ta có:
2y+ 1
1
-1
3
-3
5
-5
15
-15
2y
0
-2
2
-4
4
-6
14
-16
Trang 24
y
0
-1
1
-2
2
-3
7
-8
x
30
-30
10
-10
6
-6
2
-2

Đkxđ : y ≠ 0



=



=

5xy – 60 = y
5xy – y = 60
y (5x – 1) = 60
y =


Vì y là số nguyên nên 5x – 1 phải là ước của 60 và chia cho 5 thiếu 1. Ta có:
5x – 1
-1
4
-6
5x
0
5
-5
x
0
1
-1
y
-60
15
-10
| 1/24
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
a. Bài tập minh họa: 𝑛+10
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =
có giá trị là một số nguyên. 2𝑛−8 21𝑛+3
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 6𝑛+4 63
Bài 3: Cho phân số: A =
với n thuộc số tự nhiên. 3𝑛+1
a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
b. Bài tập tự luyện: 𝑛+3
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A =
có giá trị là số nguyên. 2𝑛−2 8𝑛+193
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A = sao cho: 4𝑛+3
a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản
c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên: 3𝑛+4 a. A = 𝑛−1 6𝑛−3 b. B = 3𝑛+1 a. DẠNG 2: TÍNH NHANH c. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 a. S = 1 + + + + ⋯ + 3 32 33 3𝑛 1 1 1 1 b. A = + + + ...+ 2 3 100 2 2 2 2  1   1   1   1  c. C =  +1   +1   +  1 ...  . +  1  2   3   4   99  Trang 1 3 8 15 899 d. D = . . ..... . 2 2 2 2 2 3 4 30
Bài 2: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 a. A = + + + ⋯ + 1.2 2.3 3.4 999.1000 1 1 1 b. B = + + ⋯ + 1.6 6.11 496.501 1 1 1 1 c. C = + + + ⋯ + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 998.999.1000
1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+98) d. D = 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 98 . 1 + 97 . 2 + 96 . 3 + ...+ 98 1 . e. B = 2 . 1 + 3 . 2 + 4 . 3 + ...+ 98 99 . 1 1 1 1 + + + ... + f. 2 3 4 200 E = 1 2 3 198 199 + + + ...+ + 199 198 197 2 1
d. Bài tập tự luyện: ❖ 1 1 1 1 A = + + + .......+ 10 11 . 11 12 . 12 13 . 99 1 . 00
❖ B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ❖ 2 2 2 C = + + .....+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 98 99 . 1 . 00
❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 (50 chữ số 9) ❖ 2 2 2 S = + + ...+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 37 38 . 39 . ❖ 1 1 1 1 1 1 B = − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 2 2 2 2 2 2 Trang 2  1 1 1  100 − 1+ + + ...+   2 3 100  ❖ D = 1 2 3 99 + + + ...+ 2 3 4 100
b. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
e. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 𝑛+1 2𝑛−3 2𝑛+3 4𝑛+8 3𝑛+2 5𝑛+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +...+  2 2 3 4 63 1 1 1 1
Bài 3: Cho A =1 + + + + ⋯ + 2 3 4 100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) + + + ... + = 2.5 5.8 8.11 3 ( n − )( 1 3n + 2) 6n + 4 5 5 5 5 5n b) + + + ... + = . 3 7 . 7 11 11 15 . (4n − )( 1 4n + ) 3 4n + 3
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n  2 ta có: 3 3 3 3 1 + + + ... +  . 9 14 14.19 19.24 5 ( n − 5 )( 1 n + ) 4 15 1 1 1 1 2 8 Bài 6: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh  A  2 2 2 2 2 3 4 9 5 9 Trang 3 1 1 1 Bài 7: Tổng +
+ ⋯ + bằng phân số 𝑎. Chứng minh rằng a chia hết cho 50 51 99 𝑏 149.
f. Bài tập tự luyện: 2 2 2 2 1003 Bài 8: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh: A  2 2 2 2 3 5 7 2007 2008 1 1 1 1 334 Bài 9: Cho B = + + + ...+ . Chứng minh: B  2 2 2 2 4 6 8 2006 2007 3 8 15 2499 Bài 10: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 1 1 1 2 Bài 11: Cho M = + + ...+ . Chứng minh M  1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + .. + 59 3 1 1 1 1 Bài 12: Cho A = + + ...+ . Chứng minh A  3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 18 19 . 20 . 4
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = + + + ...+  23 33 43 3 n 4 5 5 5 5 5 Bài 14: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh: C  2 3 99 4 4 4 4 3 1 2 3 100 3 Bài 15: Cho E = + + + ...+ . Chứng minh: E  2 3 100 3 3 3 3 4 1 3 5 199 2 1
Bài 16: Cho C = . . ..... . Chứng minh: C  2 4 6 200 201 1 4 7 10 208 1
Bài 17: Cho A = . . . .... . Chứng minh: A  3 6 9 12 210 25 DẠNG 4: TÌM X
g. Bài tập minh họa: 1 1 1 101
Bài 1: Tìm x, biết rằng: 1 + + + ⋯ + = 5.8 8.11 11.14 𝑥.(𝑥+3) 1540 Trang 4  50x 25x  1
Bài 2: Tìm x, biết rằng: x − + =11    100 200  4 x
Bài 3: Tìm x, biết rằng: ( x − ) 30 200 5 . = + 5 100 100
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
❖ Bài tập tự luyện: 1 1 1 2 1989 Bài 5: 1 + + + + ......+ = 1 3 6 10 x(x + ) 1 1991 1 1 1 1 15 Bài 6: + + + ... + = 3 5 . 5 7 . 9 . 7 (2x + )( 1 2x + ) 3 93 7 4 4 4 4 29 Bài 7: + + + + ...+ = x 9 . 5 13 . 9 13 17 . 41 45 . 45
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa: 2004 10 +1 2005 10 +1 Bài 1: Cho A = và B = 2005 10 +1 2006 10 +1 So sánh A và B?
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11 So sánh A và B?  1   1   1   1  1
Bài 3: So sánh L = 1−   1−   1− ..  .. 1 −  với  2   3   4   20  21  1   1   1   1  11
Bài 4: So sánh M = 1−   1−   1− ...  .. 1 −  với  4   9   16   100  19
Bài tập tự luyện: Trang 5 1015+1 1016+1 Bài 1: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 1016+1 1017+1 So sánh A và B? 101992+1 101993+1 Bài 2: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 101991+1 101992+1 So sánh A và B? . 7 . 5 . 3 . 1 ... 39 . 1
Bài 3: So sánh U = và V = 21 22 . 23 . .... 40 . 220 −1 Bài 4: So sánh: ❖ 637 và 1612 7 9 ❖ 1 1 ( ) và ( ) 32 16 9 13 ❖ 1 1 ( ) và ( ) 243 83 ❖ 5299 và 3501 ❖ 323 và 515 ❖ 12723 và 51318 ❖ 199010 + 19909 và 199110 ❖ 3500 và 7300 ❖ 9920 và 999910 ❖ 202303 và 303202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 𝑥 4 1 − = 3 𝑦 5 4 𝑦 5 − = 𝑥 3 6
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho: Trang 6 5 𝑦 1 − = 𝑥 3 6 𝑥 2 1 − = 6 𝑦 30
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
a. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
h. Bài tập minh họa: 𝑛+10
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =
có giá trị là một số nguyên. 2𝑛−8 𝑛+10 2𝑛−8+28 28 A = => 2A = = 1 +
Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28 2𝑛−8 2𝑛−8 2𝑛−8 Ta có bảng đáp số: 2n - 8 n 2A A Kết luận -28 -10 -1 -1/2 L -14 -3 -2 -1 TM -7 ½ -4 -2 L -4 2 -7 -7/2 L -2 3 -14 -7 TM -1 7/2 -28 -14 L 1 9/2 28 14 L 2 5 14 7 TM 4 6 7 7/2 L 7 15/2 4 2 L 14 11 2 1 TM 28 18 1 1/2 L 63
Bài 3: Cho phân số: A =
với n thuộc số tự nhiên. 3𝑛+1
1 Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
2 Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên? Trang 7 Hướng dẫn: 63 3.3.7 1 Ta có: A = = 3𝑛+1 3𝑛+1
Để A rút gọn được <=> 3n + 1 3 hoặc 3n + 1  7. TH1: 3n + 1  3 (Vô lý)
TH2: 3n + 1  7. Với n = 7k + 2 (k  N) thì 3n + 1  7.
Kết luận: n = 7k + 2 (k  63 N) thì phân số A = rút gọn được. 3𝑛+1
2 Để A là số tự nhiên <=> 63  (3n + 1) <=> 3n + 1 là ước của 63. Ư(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63} 3𝑛 + 1 = 1 3𝑛 + 1 = 3 3𝑛 + 1 = 7 ⟺ {𝑛 = 2 3𝑛 + 1 = 9 3𝑛 + 1 = 21 {3𝑛 + 1 = 63
c. DẠNG 2: TÍNH NHANH
i. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 ❖ S = 1 + + + + ⋯ + 3 32 33 3𝑛 1 1 1 1 1 3S = 3 + (1 + + + + ⋯ + − ) 3 32 33 3𝑛 3𝑛 1 3S = 3 + S - 3𝑛 1 2S = 3 - 3𝑛 1 3 − 3𝑛 S = 2 Trang 8 ❖ 1 1 1 1 A = + + + ...+ 2 3 100 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2A = 1 + + + + ⋯ + − 2 22 23 2100 2100 1 2A = 1 +A - 2100 1 A = 1 - 2100 ❖  1   1   1   1  C =  +1   +1   +  1 ...  . +  1  2   3   4   99  3 4 5 100 C = . . …..100 = = 50 2 3 4 99 2 ❖ 3 8 15 899 D = . . ..... . 2 2 2 2 2 3 4 30
Bài 2: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 A = + + + ⋯ + 1.2 2.3 3.4 999.1000 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 - + - + - + ..+ - 2 2 3 3 4 999 1000 1 999 A = 1 - = 1000 1000 1 1 1 B = + + ⋯ + 1.6 6.11 496.501 1 1 1 1 1 1 B = (1 − + − + ⋯ + − )= 5 6 6 11 496 501 1 1 100 B = (1 − ) = 5 501 501 1 1 1 1 C = + + + ⋯ + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 998.999.1000
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai
số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 - = ; - = ; …; 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 1 1 2 - = 998.999 999.100 998.999.100 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) Trang 9 1 1 1 1 1 1 1 2C = - + - + …+ 1 - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 998.999 999.1000 1.2 999.1000 500.999−1 4951 2C = = 999.1000 999.1000 4999 C = 999.2000
1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+98) D = 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 D = = 1 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 98 . 1 + 97 . 2 + 96 . 3 + ...+ 98 1 . B = 2 . 1 + 3 . 2 + 4 . 3 + ...+ 98 99 . 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 200 E = 1 2 3 198 199 + + + ...+ + 199 198 197 2 1
j. Bài tập tự luyện: ❖ 1 1 1 1 A = + + + .......+ 10 11 . 11 12 . 12 13 . 99 1 . 00 1 1 1 1 1 1 1 1 A = − + − + − + ⋯ + − 10 11 11 12 12 13 99 100 1 1 9 A = − = 10 100 100
❖ B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! ..... ..... ..... n.n! = (n + 1) –n! Vậy
B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 Trang 10 ❖ 2 2 2 C = + + .....+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 98 99 . 1 . 00
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai
số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 2 - = ; - = ; …; 1 - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 98.99 99.100 98.99.100 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + …+ 1 - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1.2 99.100 50.99−1 4951 C= = 99.100 99.100
❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 (50 chữ số 9)
D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + ….+ 100 ⏟ … . 0 - 1 (50 𝑐𝑠 0) D = 111 ⏟ … .10 – 50.1 = 111 ⏟ … .1060 (50 𝑐𝑠 1) (48 𝑐𝑠 1) ❖ 2 2 2 S = + + ...+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 37 38 . 39 .
S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của
hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 2 - = ; - = ; …; 1 - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 37.38 38.39 37.38.39 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + …+ 1 - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1.2 38.39 19.39−1 370 C = = 38.39 19.39 ❖ 1 1 1 1 1 1 B = − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 2 2 2 2 2 2 Trang 11  1 1 1  100 − 1+ + + ...+   2 3 100  ❖ D = 1 2 3 99 + + + ...+ 2 3 4 100
d. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
k. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 𝑛+1 2𝑛−3 2𝑛+3 4𝑛+8 3𝑛+2 5𝑛+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +...+  2 2 3 4 63 1 1 1 1
Bài 3: Cho A =1 + + + + ⋯ + 2 3 4 100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) + + + ... + = 2.5 5.8 8.11 3 ( n − )( 1 3n + 2) 6n + 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 3 2 5 5 8 8 11 3𝑛−1 3𝑛+2 1 1 1 1 3𝑛 𝑛 = ( − ) = ( ) = = VP (đpcm) 3 2 3𝑛+2 3 2(3𝑛+2) 6𝑛+4 5 5 5 5 5n b) + + + ... + = . 3 7 . 7 11 11 15 . (4n − )( 1 4n + ) 3 4n + 3 Trang 12 5 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 4 3 7 7 11 11 15 4𝑛−1 4𝑛+3 5 1 1 5 4𝑛 5𝑛 = ( − ) = . = 4 3 4𝑛+3 4 3(4𝑛+3) 3(4𝑛+3)
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n  2 ta có: 3 3 3 3 1 + + + ... +  . 9 14 14.19 19.24 5 ( n − 5 )( 1 n + ) 4 15 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 5 9 14 14 19 19 24 5𝑛−1 5𝑛+4 3 1 1 3 1 1 = ( − ) < . = => đpcm 5 9 5𝑛+4 5 9 15 1 1 1 1 2 8 Bài 6: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh  A  2 2 2 2 2 3 4 9 5 9 1 1 1 1 1 1 1 1 A > + + +…+ 1 = - + - +…+ 1 - 2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 9 10 1 1 4 2 = - = = (1) 2 10 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 8 A < + +
+…+ 1 = 1 - + - +…+ 1 - = 1 - = (2) 1.2 2.3 3.4 8.9 2 3 3 8 9 9 9 Từ (1) và (2) => đpcm 1 1 1 𝑎 Bài 7: Tổng +
+ ⋯ + bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết 50 51 99 𝑏 cho 149.
l. Bài tập tự luyện: 2 2 2 2 1003 Bài 8: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh: A  2 2 2 2 3 5 7 2007 2008 2 2 1 1 Ta có: < = - (2𝑛+1)2 2𝑛.(2𝑛+2) 2𝑛 2𝑛+2 Thay n = 1, 2, 3, …, 1003 Trang 13 1 1 1003 Ta có: A < - = (đpcm) 2 2008 2008 1 1 1 1 334 Bài 9: Cho B = + + + ...+ . Chứng minh: B  2 2 2 2 4 6 8 2006 2007 1 1 1 1 1 Ta có: < ; < ; … ; 1 < 42 3.4 62 5.6 20062 2005.2006 1 1 1 1 a) B = + + …+ 1 < + + …+ 1 42 62 20062 3.4 5.6 2005.2006 3 8 15 2499 Bài 10: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 C có 49 số hạng 3 8 15 2499
Ta có: C – 49 = -(1 - + 1 - + 1 - + …+ 1 - ) 4 9 16 2500 1 1 1 1 b) C – 49 = - ( + + + ⋯ + ) 4 9 16 2500 1 1 1 1 c) C = 49 - ( + + + ⋯ + ) = 49 – D 4 9 16 2500 1 1 1 1 1 1 Xét D = + + + ⋯ + = + + …+ 1 4 9 16 2500 22 32 502 1 1 1 1 1 1 1 D < +
+ … + 1 = 1 - + - + …+ 1 - = 1 - < 1 1.2 2.3 48.49 2 2 3 48 49 49
D < 1 => 49 – D > 49 – 1 = 48 d) C > 48 (đpcm) 1 1 1 2 Bài 11: Cho M = + + ...+ . Chứng minh M  1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + .. + 59 3 𝑛(𝑛+1)
Áp dụng công thức: 1 +2+ 3 + …+ n = 2 2 2 1 1 1 M = + + …+ 2 = 2( + + … + ) 3.4 4.5 59.60 3.4 4.5 59.60 19 19 20 2
= 2( 1 − 1 + 1 − 1 … + 1 − 1 ) = 2 ( 1 − 1 ) = 2. = < = 3 4 4 5 59 60 3 60 60 30 30 3 Trang 14 2 e) M < (đpcm). 3 1 1 1 1 Bài 12: Cho A = + + ...+ . Chứng minh A  3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 18 19 . 20 . 4
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao
cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 2 - = ; - = ; …; 1 - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 18.19 19.20 18.19.20 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) 2 2 Do đó: 2A = + + …+ 2 1.2.3 2.3.4 18.19.20 1 1 1 1 1 1 = ( − ) + ( − ) +…+ ( − ) 1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 189 = - = 1.2 19.20 380 189 190 1 f) A = < = (đpcm) 760 760 4
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = + + + ...+  23 33 43 3 n 4 1 1 1 A < + + + …+ 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (𝑛−1)𝑛(𝑛+1)
Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng: 1 1 1 1 = . ( − ) (𝑛−1)𝑛(𝑛+1) 2 𝑛(𝑛−1) 𝑛(𝑛+1) Từ đó suy ra: Trang 15 1 1 1 1 1 1 1 A < .( − + − + ⋯ + − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (𝑛−1).𝑛 𝑛.(𝑛+1) 1 1 1 1 1 1 = .( − ) < . = (đpcm) 2 2 𝑛.(𝑛+1) 2 2 4 5 5 5 5 5 Bài 14: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh: C  2 3 99 4 4 4 4 3 Hướng dẫn giải: ⟺ 5 5 5 5 C = + + + ...+ 2 3 99 4 4 4 4 ⟺ 5 5 5 5 4 C = + + + ...+ 1 2 98 1 4 4 4 5 ⟺ 3C = 5 - 499 5 ⟺ C < 3 1 2 3 100 3 Bài 15: Cho E = + + + ...+ . Chứng minh: E  2 3 100 3 3 3 3 4 Hướng dẫn giải: 1 2 3 100 E = + + + ...+ 2 3 100 3 3 3 3 ⟺ 1 2 3 100 3E = + + + ...+ 1 2 99 1 3 3 3 ⟺ 1 2 1 3 2 100 99 100 2E = + − + − + ...+ − − 2 2 99 99 100 1 3 3 3 3 3 3 3 ⟺ 1 1 1 100 2E = 1+ + + ...+ − (1) 1 2 99 100 3 3 3 3 ⟺ 1 1 100 6E = 3 +1+ + ...+ − (2) 1 98 99 3 3 3 Từ (1), (2) suy ra: Trang 16 101 100 4E = 3 − + 99 100 3 3 − ⟺ 3 101 3 . 100 3 E = − ( )  4 3100 4 1 3 5 199 2 1
Bài 16: Cho C = . . .....
. (1) Chứng minh: C  2 4 6 200 201
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều
chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn,
các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó: 2 4 6 C < . . …..200 (2) 3 5 7 201
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được: 1 3 5 2 4 6
C2 < ( . . …..199).( . . …..200) 2 4 6 200 3 5 7 201 1
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 201 1 Vậy C2 < (đpcm) 201 DẠNG 4: TÌM X
m. Bài tập minh họa: 1 1 1 1 101
Bài 1: Tìm x, biết rằng: + + + ⋯ + = 5.8 8.11 11.14 𝑥.(𝑥+3) 1540 1 1 1 1 1 1 1 1 101  .( - + - + - + … + 1 - ) = 3 5 8 8 11 11 14 𝑥 𝑥+3 1540 Trang 17  1 1 1 101 .( - ) = 3 5 𝑥+3 1540  1 1 101 303 - = .3 = 5 𝑥+3 1540 1540  1 1 303 1 = - = 𝑥+3 5 1540 308  x + 3 = 308  x = 305  50x 25x  1
Bài 2: Tìm x, biết rằng: x − + =11    100 200  4 3𝑥 45 <=> x - = 8 4  5x = 90  x = 18 x
Bài 3: Tìm x, biết rằng: ( x − ) 30 200 5 . = + 5 100 100
(x – 5).30 = 200x + 500 (x – 5).3 = 20x + 50  3x – 15 = 20x + 50  17x = -65 65  x = - 17
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 𝑥(𝑥+1)  = 820 2  x(x+1) = 1640 = 40.41 Vậy x = 40 Trang 18
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa: 2004 10 +1 2005 10 +1 Bài 1: Cho A = và B = 2005 10 +1 2006 10 +1 So sánh A và B? Ta có: 102005+10 9 10A = = 1 + 102005+1 102005+1 102006+10 9 10B = = 1 + 102006+1 102006+1 9 9 Vì >
nên 10A > 10B, do đó A > B. 102005+1 102006+1
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11 So sánh A và B? (1+1000).1000 Ta có: A = < 103.103 = 106 2
B = (2.5).(3.4).(6.7).(8.9).10.11 > 106 Vậy A < B  1   1   1   1  1
Bài 3: So sánh L = 1−   1−   1− ..  .. 1 −  với  2   3   4   20  21 1 2 3 1 1 Ta có : L = . . . … .19 = > 2 3 4 20 20 21 1 Vậy L > 21  1   1   1   1  11
Bài 4: So sánh M = 1−   1−   1− ...  .. 1 −  với  4   9   16   100  19 Trang 19 Ta có: 3 8 15 1.3.2.4.3.5 ...8.10.9.11 (1.2.3…9).(3.4…11) 1 11 11 11 M = . . ….. 99 = = = . = < 4 9 16 100 22.32.42 …92.102 (1.2.3…10)(1.2.3…10) 10 2 20 19
Bài tập tự luyện: 1015+1 1016+1 Bài 1: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 1016+1 1017+1 So sánh A và B? Ta có: 1016+10 9 10A = = 1 + 1016+1 1016+1 1017+10 9 10B = = 1 + 1017+1 1017+1 9 9 Vì >
nên 10A > 10B, do đó A > B. 1016+1 1017+1 101992+1 101993+1 Bài 2: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 101991+1 101992+1 So sánh A và B? 𝑎 𝑎+𝑚 𝑎
Áp dụng tính chất: nếu > 1 thì < (m > 0) 𝑏 𝑏+𝑚 𝑏 Vì B > 1 nên 101993+1 101993+1+9 101993+10 10.(101992+1) B = > = = = 101992+1 101992+1+9 101992+10 10.(101991+1) 101992+1 = A 101991+1 Vậy A < B . 7 . 5 . 3 . 1 ... 39 . 1
Bài 3: So sánh U = và V = 21 22 . 23 . .... 40 . 220 −1 Trang 20
1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.39 Ta có: U =
21.2.11.23.3.23.25.2.13.27.7.2.2.29.2.15.31.25.33.2.17.35.9.22.37.2.19.39.5.23 1 1 U = = 2.23.2.22.2.25.2.22.2.23 220 1 1 Vì < => U < V 220 220−1 Bài 4: So sánh: a. 637 và 1612 637 < 647 = (82)7 = 814
1612 = (24)12 = 248 = 23.16 = (23)16 = 816
814 < 816 nên 637 < 1612 1 7 1 9 b. ( ) và ( ) 32 16 1 7 1 7 1 ( ) = ( ) = 32 25 235 1 9 1 9 1 ( ) = ( ) = 16 24 236 1 1 1 7 1 9 Ta có : 235 < 236 nên > => ( ) > ( ) 235 236 32 16 1 9 1 13 c. ( ) và ( ) 243 83 1 9 1 45 1 13 1 13 1 13 1 52
( ) = ( ) và ( ) < ( ) = ( ) = ( ) 35 3 83 81 34 3 1 45 1 52 1 9 1 13 ( ) > ( ) => ( ) > ( ) 3 3 243 83 d. 5299 và 3501
5299 < 5300 = (53)100 < (35)100 = 3500 < 3501 Vậy 5299 < 3501 e. 323 và 515
323 = 9.(33)7 > 5.(52)7 = 515 f. 12723 và 51318
12723 < 12823 = (27)23 = 2161
51318 > 51218 = (29)18 = 2162
Vì 2162 > 2161 nên 51318 > 12723 Trang 21 g. 199010 + 19909 và 199110 19909.(1990+1) = 1991.19909 199110 = 1991.19919
Vì 19919 > 19909 nên 1991.19919 > 1991.19909 => 199110 > 199010 + 19909 h. 3500 và 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300 i. 9920 và 999910
9920 = (992)10 = (99.99)10 = 9910. 9910
999910 =( 101.99)10 = 10110 . 9910
Vì 101> 99 nên 10110 > 9910
=> 10110 . 9910 > 9910. 9910 Vậy 999910 > 9920 j. 202303 và 303202
Vì 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101
Và 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Mà (808.1012)101 > (9.1012)101 nên 202303 > 303202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 𝑥 4 1 − = 3 𝑦 5 Đkxđ : y ≠ 0 𝑥 4 1 − = 3 𝑦 5 𝑥𝑦−12 1  = 3𝑦 5  5xy – 60 = 3y  y(5x – 3) = 60 60  y = 5𝑥−3 Trang 22
Vì y là số tự nhiên nên 5x – 3 phải là ước của 60
Vì x cũng là số tự nhiên nên giá trị của x thỏa mãn là x = 1; x = 3
Vậy x = 3, y = 5; x = 1, y = 30 4 𝑦 5 − = 𝑥 3 6 Đkxđ: x ≠ 0 4 𝑦 5 − = 𝑥 3 6 12−𝑥𝑦 5  = 3𝑥 6  24 – 2xy= 5x  x(5 + 2y) = 24 24  x = 5+2𝑦
Vì x là số tự nhiên nên 5 +2y là ước của 24 , vì y cũng là số tự nhiên nên không có
giá trị nào của x, y thỏa mãn.
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho: 5 𝑦 1 − = 𝑥 3 6 Đkxđ: x≠0 5 𝑦 1 − = 𝑥 3 6 30−2𝑥𝑦 𝑥 <=> = 6𝑥 6𝑥 <=> x+2xy=3 30 <=> x = 1+2𝑦
x nguyên nên 2y + 1 là ước lẻ của 30. Ta có: 2y+ 1 1 -1 3 -3 5 -5 15 -15 2y 0 -2 2 -4 4 -6 14 -16 Trang 23 y 0 -1 1 -2 2 -3 7 -8 x 30 -30 10 -10 6 -6 2 -2 𝑥 2 1 − = 6 𝑦 30 Đkxđ : y ≠ 0 𝑥 2 1 − = 6 𝑦 30 𝑥𝑦−12 1  = 6𝑦 30 5𝑥𝑦−60 𝑦  = 30𝑦 30𝑦 5xy – 60 = y 5xy – y = 60 y (5x – 1) = 60 60  y = 5𝑥−1
Vì y là số nguyên nên 5x – 1 phải là ước của 60 và chia cho 5 thiếu 1. Ta có: 5x – 1 -1 4 -6 5x 0 5 -5 x 0 1 -1 y -60 15 -10 Trang 24