-
Thông tin
-
Quiz
Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6: Dãy phân số theo quy luật
Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6: Dãy phân số theo quy luật. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 24 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu
Toán 6 2.4 K tài liệu
Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6: Dãy phân số theo quy luật
Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6: Dãy phân số theo quy luật. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 24 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu
Môn: Toán 6 2.4 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
a. Bài tập minh họa: 𝑛+10
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =
có giá trị là một số nguyên. 2𝑛−8 21𝑛+3
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 6𝑛+4 63
Bài 3: Cho phân số: A =
với n thuộc số tự nhiên. 3𝑛+1
a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
b. Bài tập tự luyện: 𝑛+3
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A =
có giá trị là số nguyên. 2𝑛−2 8𝑛+193
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A = sao cho: 4𝑛+3
a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản
c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên: 3𝑛+4 a. A = 𝑛−1 6𝑛−3 b. B = 3𝑛+1 a. DẠNG 2: TÍNH NHANH c. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 a. S = 1 + + + + ⋯ + 3 32 33 3𝑛 1 1 1 1 b. A = + + + ...+ 2 3 100 2 2 2 2 1 1 1 1 c. C = +1 +1 + 1 ... . + 1 2 3 4 99 Trang 1 3 8 15 899 d. D = . . ..... . 2 2 2 2 2 3 4 30
Bài 2: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 a. A = + + + ⋯ + 1.2 2.3 3.4 999.1000 1 1 1 b. B = + + ⋯ + 1.6 6.11 496.501 1 1 1 1 c. C = + + + ⋯ + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 998.999.1000
1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+98) d. D = 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 98 . 1 + 97 . 2 + 96 . 3 + ...+ 98 1 . e. B = 2 . 1 + 3 . 2 + 4 . 3 + ...+ 98 99 . 1 1 1 1 + + + ... + f. 2 3 4 200 E = 1 2 3 198 199 + + + ...+ + 199 198 197 2 1
d. Bài tập tự luyện: ❖ 1 1 1 1 A = + + + .......+ 10 11 . 11 12 . 12 13 . 99 1 . 00
❖ B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ❖ 2 2 2 C = + + .....+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 98 99 . 1 . 00
❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 (50 chữ số 9) ❖ 2 2 2 S = + + ...+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 37 38 . 39 . ❖ 1 1 1 1 1 1 B = − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 2 2 2 2 2 2 Trang 2 1 1 1 100 − 1+ + + ...+ 2 3 100 ❖ D = 1 2 3 99 + + + ...+ 2 3 4 100
b. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
e. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 𝑛+1 2𝑛−3 2𝑛+3 4𝑛+8 3𝑛+2 5𝑛+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +...+ 2 2 3 4 63 1 1 1 1
Bài 3: Cho A =1 + + + + ⋯ + 2 3 4 100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) + + + ... + = 2.5 5.8 8.11 3 ( n − )( 1 3n + 2) 6n + 4 5 5 5 5 5n b) + + + ... + = . 3 7 . 7 11 11 15 . (4n − )( 1 4n + ) 3 4n + 3
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n 2 ta có: 3 3 3 3 1 + + + ... + . 9 14 14.19 19.24 5 ( n − 5 )( 1 n + ) 4 15 1 1 1 1 2 8 Bài 6: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh A 2 2 2 2 2 3 4 9 5 9 Trang 3 1 1 1 Bài 7: Tổng +
+ ⋯ + bằng phân số 𝑎. Chứng minh rằng a chia hết cho 50 51 99 𝑏 149.
f. Bài tập tự luyện: 2 2 2 2 1003 Bài 8: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh: A 2 2 2 2 3 5 7 2007 2008 1 1 1 1 334 Bài 9: Cho B = + + + ...+ . Chứng minh: B 2 2 2 2 4 6 8 2006 2007 3 8 15 2499 Bài 10: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 1 1 1 2 Bài 11: Cho M = + + ...+ . Chứng minh M 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + .. + 59 3 1 1 1 1 Bài 12: Cho A = + + ...+ . Chứng minh A 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 18 19 . 20 . 4
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = + + + ...+ 23 33 43 3 n 4 5 5 5 5 5 Bài 14: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh: C 2 3 99 4 4 4 4 3 1 2 3 100 3 Bài 15: Cho E = + + + ...+ . Chứng minh: E 2 3 100 3 3 3 3 4 1 3 5 199 2 1
Bài 16: Cho C = . . ..... . Chứng minh: C 2 4 6 200 201 1 4 7 10 208 1
Bài 17: Cho A = . . . .... . Chứng minh: A 3 6 9 12 210 25 DẠNG 4: TÌM X
g. Bài tập minh họa: 1 1 1 101
Bài 1: Tìm x, biết rằng: 1 + + + ⋯ + = 5.8 8.11 11.14 𝑥.(𝑥+3) 1540 Trang 4 50x 25x 1
Bài 2: Tìm x, biết rằng: x − + =11 100 200 4 x
Bài 3: Tìm x, biết rằng: ( x − ) 30 200 5 . = + 5 100 100
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
❖ Bài tập tự luyện: 1 1 1 2 1989 Bài 5: 1 + + + + ......+ = 1 3 6 10 x(x + ) 1 1991 1 1 1 1 15 Bài 6: + + + ... + = 3 5 . 5 7 . 9 . 7 (2x + )( 1 2x + ) 3 93 7 4 4 4 4 29 Bài 7: + + + + ...+ = x 9 . 5 13 . 9 13 17 . 41 45 . 45
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa: 2004 10 +1 2005 10 +1 Bài 1: Cho A = và B = 2005 10 +1 2006 10 +1 So sánh A và B?
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11 So sánh A và B? 1 1 1 1 1
Bài 3: So sánh L = 1− 1− 1− .. .. 1 − với 2 3 4 20 21 1 1 1 1 11
Bài 4: So sánh M = 1− 1− 1− ... .. 1 − với 4 9 16 100 19
Bài tập tự luyện: Trang 5 1015+1 1016+1 Bài 1: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 1016+1 1017+1 So sánh A và B? 101992+1 101993+1 Bài 2: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 101991+1 101992+1 So sánh A và B? . 7 . 5 . 3 . 1 ... 39 . 1
Bài 3: So sánh U = và V = 21 22 . 23 . .... 40 . 220 −1 Bài 4: So sánh: ❖ 637 và 1612 7 9 ❖ 1 1 ( ) và ( ) 32 16 9 13 ❖ 1 1 ( ) và ( ) 243 83 ❖ 5299 và 3501 ❖ 323 và 515 ❖ 12723 và 51318 ❖ 199010 + 19909 và 199110 ❖ 3500 và 7300 ❖ 9920 và 999910 ❖ 202303 và 303202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 𝑥 4 1 − = 3 𝑦 5 4 𝑦 5 − = 𝑥 3 6
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho: Trang 6 5 𝑦 1 − = 𝑥 3 6 𝑥 2 1 − = 6 𝑦 30
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
a. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
h. Bài tập minh họa: 𝑛+10
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =
có giá trị là một số nguyên. 2𝑛−8 𝑛+10 2𝑛−8+28 28 A = => 2A = = 1 +
Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28 2𝑛−8 2𝑛−8 2𝑛−8 Ta có bảng đáp số: 2n - 8 n 2A A Kết luận -28 -10 -1 -1/2 L -14 -3 -2 -1 TM -7 ½ -4 -2 L -4 2 -7 -7/2 L -2 3 -14 -7 TM -1 7/2 -28 -14 L 1 9/2 28 14 L 2 5 14 7 TM 4 6 7 7/2 L 7 15/2 4 2 L 14 11 2 1 TM 28 18 1 1/2 L 63
Bài 3: Cho phân số: A =
với n thuộc số tự nhiên. 3𝑛+1
1 Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
2 Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên? Trang 7 Hướng dẫn: 63 3.3.7 1 Ta có: A = = 3𝑛+1 3𝑛+1
Để A rút gọn được <=> 3n + 1 3 hoặc 3n + 1 7. TH1: 3n + 1 3 (Vô lý)
TH2: 3n + 1 7. Với n = 7k + 2 (k N) thì 3n + 1 7.
Kết luận: n = 7k + 2 (k 63 N) thì phân số A = rút gọn được. 3𝑛+1
2 Để A là số tự nhiên <=> 63 (3n + 1) <=> 3n + 1 là ước của 63. Ư(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63} 3𝑛 + 1 = 1 3𝑛 + 1 = 3 3𝑛 + 1 = 7 ⟺ {𝑛 = 2 3𝑛 + 1 = 9 3𝑛 + 1 = 21 {3𝑛 + 1 = 63
c. DẠNG 2: TÍNH NHANH
i. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 ❖ S = 1 + + + + ⋯ + 3 32 33 3𝑛 1 1 1 1 1 3S = 3 + (1 + + + + ⋯ + − ) 3 32 33 3𝑛 3𝑛 1 3S = 3 + S - 3𝑛 1 2S = 3 - 3𝑛 1 3 − 3𝑛 S = 2 Trang 8 ❖ 1 1 1 1 A = + + + ...+ 2 3 100 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2A = 1 + + + + ⋯ + − 2 22 23 2100 2100 1 2A = 1 +A - 2100 1 A = 1 - 2100 ❖ 1 1 1 1 C = +1 +1 + 1 ... . + 1 2 3 4 99 3 4 5 100 C = . . …..100 = = 50 2 3 4 99 2 ❖ 3 8 15 899 D = . . ..... . 2 2 2 2 2 3 4 30
Bài 2: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 A = + + + ⋯ + 1.2 2.3 3.4 999.1000 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 - + - + - + ..+ - 2 2 3 3 4 999 1000 1 999 A = 1 - = 1000 1000 1 1 1 B = + + ⋯ + 1.6 6.11 496.501 1 1 1 1 1 1 B = (1 − + − + ⋯ + − )= 5 6 6 11 496 501 1 1 100 B = (1 − ) = 5 501 501 1 1 1 1 C = + + + ⋯ + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 998.999.1000
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai
số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 - = ; - = ; …; 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 1 1 2 - = 998.999 999.100 998.999.100 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) Trang 9 1 1 1 1 1 1 1 2C = - + - + …+ 1 - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 998.999 999.1000 1.2 999.1000 500.999−1 4951 2C = = 999.1000 999.1000 4999 C = 999.2000
1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+98) D = 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 D = = 1 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 98 . 1 + 97 . 2 + 96 . 3 + ...+ 98 1 . B = 2 . 1 + 3 . 2 + 4 . 3 + ...+ 98 99 . 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 200 E = 1 2 3 198 199 + + + ...+ + 199 198 197 2 1
j. Bài tập tự luyện: ❖ 1 1 1 1 A = + + + .......+ 10 11 . 11 12 . 12 13 . 99 1 . 00 1 1 1 1 1 1 1 1 A = − + − + − + ⋯ + − 10 11 11 12 12 13 99 100 1 1 9 A = − = 10 100 100
❖ B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! ..... ..... ..... n.n! = (n + 1) –n! Vậy
B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 Trang 10 ❖ 2 2 2 C = + + .....+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 98 99 . 1 . 00
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai
số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 2 - = ; - = ; …; 1 - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 98.99 99.100 98.99.100 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + …+ 1 - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1.2 99.100 50.99−1 4951 C= = 99.100 99.100
❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 (50 chữ số 9)
D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + ….+ 100 ⏟ … . 0 - 1 (50 𝑐𝑠 0) D = 111 ⏟ … .10 – 50.1 = 111 ⏟ … .1060 (50 𝑐𝑠 1) (48 𝑐𝑠 1) ❖ 2 2 2 S = + + ...+ 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 37 38 . 39 .
S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của
hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 2 - = ; - = ; …; 1 - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 37.38 38.39 37.38.39 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + …+ 1 - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1.2 38.39 19.39−1 370 C = = 38.39 19.39 ❖ 1 1 1 1 1 1 B = − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 2 2 2 2 2 2 Trang 11 1 1 1 100 − 1+ + + ...+ 2 3 100 ❖ D = 1 2 3 99 + + + ...+ 2 3 4 100
d. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
k. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 𝑛+1 2𝑛−3 2𝑛+3 4𝑛+8 3𝑛+2 5𝑛+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +...+ 2 2 3 4 63 1 1 1 1
Bài 3: Cho A =1 + + + + ⋯ + 2 3 4 100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) + + + ... + = 2.5 5.8 8.11 3 ( n − )( 1 3n + 2) 6n + 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 3 2 5 5 8 8 11 3𝑛−1 3𝑛+2 1 1 1 1 3𝑛 𝑛 = ( − ) = ( ) = = VP (đpcm) 3 2 3𝑛+2 3 2(3𝑛+2) 6𝑛+4 5 5 5 5 5n b) + + + ... + = . 3 7 . 7 11 11 15 . (4n − )( 1 4n + ) 3 4n + 3 Trang 12 5 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 4 3 7 7 11 11 15 4𝑛−1 4𝑛+3 5 1 1 5 4𝑛 5𝑛 = ( − ) = . = 4 3 4𝑛+3 4 3(4𝑛+3) 3(4𝑛+3)
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n 2 ta có: 3 3 3 3 1 + + + ... + . 9 14 14.19 19.24 5 ( n − 5 )( 1 n + ) 4 15 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 5 9 14 14 19 19 24 5𝑛−1 5𝑛+4 3 1 1 3 1 1 = ( − ) < . = => đpcm 5 9 5𝑛+4 5 9 15 1 1 1 1 2 8 Bài 6: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh A 2 2 2 2 2 3 4 9 5 9 1 1 1 1 1 1 1 1 A > + + +…+ 1 = - + - +…+ 1 - 2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 9 10 1 1 4 2 = - = = (1) 2 10 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 8 A < + +
+…+ 1 = 1 - + - +…+ 1 - = 1 - = (2) 1.2 2.3 3.4 8.9 2 3 3 8 9 9 9 Từ (1) và (2) => đpcm 1 1 1 𝑎 Bài 7: Tổng +
+ ⋯ + bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết 50 51 99 𝑏 cho 149.
l. Bài tập tự luyện: 2 2 2 2 1003 Bài 8: Cho A = + + + ...+ . Chứng minh: A 2 2 2 2 3 5 7 2007 2008 2 2 1 1 Ta có: < = - (2𝑛+1)2 2𝑛.(2𝑛+2) 2𝑛 2𝑛+2 Thay n = 1, 2, 3, …, 1003 Trang 13 1 1 1003 Ta có: A < - = (đpcm) 2 2008 2008 1 1 1 1 334 Bài 9: Cho B = + + + ...+ . Chứng minh: B 2 2 2 2 4 6 8 2006 2007 1 1 1 1 1 Ta có: < ; < ; … ; 1 < 42 3.4 62 5.6 20062 2005.2006 1 1 1 1 a) B = + + …+ 1 < + + …+ 1 42 62 20062 3.4 5.6 2005.2006 3 8 15 2499 Bài 10: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 C có 49 số hạng 3 8 15 2499
Ta có: C – 49 = -(1 - + 1 - + 1 - + …+ 1 - ) 4 9 16 2500 1 1 1 1 b) C – 49 = - ( + + + ⋯ + ) 4 9 16 2500 1 1 1 1 c) C = 49 - ( + + + ⋯ + ) = 49 – D 4 9 16 2500 1 1 1 1 1 1 Xét D = + + + ⋯ + = + + …+ 1 4 9 16 2500 22 32 502 1 1 1 1 1 1 1 D < +
+ … + 1 = 1 - + - + …+ 1 - = 1 - < 1 1.2 2.3 48.49 2 2 3 48 49 49
D < 1 => 49 – D > 49 – 1 = 48 d) C > 48 (đpcm) 1 1 1 2 Bài 11: Cho M = + + ...+ . Chứng minh M 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + .. + 59 3 𝑛(𝑛+1)
Áp dụng công thức: 1 +2+ 3 + …+ n = 2 2 2 1 1 1 M = + + …+ 2 = 2( + + … + ) 3.4 4.5 59.60 3.4 4.5 59.60 19 19 20 2
= 2( 1 − 1 + 1 − 1 … + 1 − 1 ) = 2 ( 1 − 1 ) = 2. = < = 3 4 4 5 59 60 3 60 60 30 30 3 Trang 14 2 e) M < (đpcm). 3 1 1 1 1 Bài 12: Cho A = + + ...+ . Chứng minh A 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 18 19 . 20 . 4
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao
cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 2 - = ; - = ; …; 1 - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 18.19 19.20 18.19.20 1 1 2 Tổng quát: - = 𝑛.(𝑛+1) (𝑛+1).(𝑛+2) 𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2) 2 2 Do đó: 2A = + + …+ 2 1.2.3 2.3.4 18.19.20 1 1 1 1 1 1 = ( − ) + ( − ) +…+ ( − ) 1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 189 = - = 1.2 19.20 380 189 190 1 f) A = < = (đpcm) 760 760 4
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = + + + ...+ 23 33 43 3 n 4 1 1 1 A < + + + …+ 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (𝑛−1)𝑛(𝑛+1)
Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng: 1 1 1 1 = . ( − ) (𝑛−1)𝑛(𝑛+1) 2 𝑛(𝑛−1) 𝑛(𝑛+1) Từ đó suy ra: Trang 15 1 1 1 1 1 1 1 A < .( − + − + ⋯ + − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (𝑛−1).𝑛 𝑛.(𝑛+1) 1 1 1 1 1 1 = .( − ) < . = (đpcm) 2 2 𝑛.(𝑛+1) 2 2 4 5 5 5 5 5 Bài 14: Cho C = + + + ...+ . Chứng minh: C 2 3 99 4 4 4 4 3 Hướng dẫn giải: ⟺ 5 5 5 5 C = + + + ...+ 2 3 99 4 4 4 4 ⟺ 5 5 5 5 4 C = + + + ...+ 1 2 98 1 4 4 4 5 ⟺ 3C = 5 - 499 5 ⟺ C < 3 1 2 3 100 3 Bài 15: Cho E = + + + ...+ . Chứng minh: E 2 3 100 3 3 3 3 4 Hướng dẫn giải: 1 2 3 100 E = + + + ...+ 2 3 100 3 3 3 3 ⟺ 1 2 3 100 3E = + + + ...+ 1 2 99 1 3 3 3 ⟺ 1 2 1 3 2 100 99 100 2E = + − + − + ...+ − − 2 2 99 99 100 1 3 3 3 3 3 3 3 ⟺ 1 1 1 100 2E = 1+ + + ...+ − (1) 1 2 99 100 3 3 3 3 ⟺ 1 1 100 6E = 3 +1+ + ...+ − (2) 1 98 99 3 3 3 Từ (1), (2) suy ra: Trang 16 101 100 4E = 3 − + 99 100 3 3 − ⟺ 3 101 3 . 100 3 E = − ( ) 4 3100 4 1 3 5 199 2 1
Bài 16: Cho C = . . .....
. (1) Chứng minh: C 2 4 6 200 201
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều
chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn,
các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó: 2 4 6 C < . . …..200 (2) 3 5 7 201
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được: 1 3 5 2 4 6
C2 < ( . . …..199).( . . …..200) 2 4 6 200 3 5 7 201 1
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 201 1 Vậy C2 < (đpcm) 201 DẠNG 4: TÌM X
m. Bài tập minh họa: 1 1 1 1 101
Bài 1: Tìm x, biết rằng: + + + ⋯ + = 5.8 8.11 11.14 𝑥.(𝑥+3) 1540 1 1 1 1 1 1 1 1 101 .( - + - + - + … + 1 - ) = 3 5 8 8 11 11 14 𝑥 𝑥+3 1540 Trang 17 1 1 1 101 .( - ) = 3 5 𝑥+3 1540 1 1 101 303 - = .3 = 5 𝑥+3 1540 1540 1 1 303 1 = - = 𝑥+3 5 1540 308 x + 3 = 308 x = 305 50x 25x 1
Bài 2: Tìm x, biết rằng: x − + =11 100 200 4 3𝑥 45 <=> x - = 8 4 5x = 90 x = 18 x
Bài 3: Tìm x, biết rằng: ( x − ) 30 200 5 . = + 5 100 100
(x – 5).30 = 200x + 500 (x – 5).3 = 20x + 50 3x – 15 = 20x + 50 17x = -65 65 x = - 17
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 𝑥(𝑥+1) = 820 2 x(x+1) = 1640 = 40.41 Vậy x = 40 Trang 18
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa: 2004 10 +1 2005 10 +1 Bài 1: Cho A = và B = 2005 10 +1 2006 10 +1 So sánh A và B? Ta có: 102005+10 9 10A = = 1 + 102005+1 102005+1 102006+10 9 10B = = 1 + 102006+1 102006+1 9 9 Vì >
nên 10A > 10B, do đó A > B. 102005+1 102006+1
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11 So sánh A và B? (1+1000).1000 Ta có: A = < 103.103 = 106 2
B = (2.5).(3.4).(6.7).(8.9).10.11 > 106 Vậy A < B 1 1 1 1 1
Bài 3: So sánh L = 1− 1− 1− .. .. 1 − với 2 3 4 20 21 1 2 3 1 1 Ta có : L = . . . … .19 = > 2 3 4 20 20 21 1 Vậy L > 21 1 1 1 1 11
Bài 4: So sánh M = 1− 1− 1− ... .. 1 − với 4 9 16 100 19 Trang 19 Ta có: 3 8 15 1.3.2.4.3.5 ...8.10.9.11 (1.2.3…9).(3.4…11) 1 11 11 11 M = . . ….. 99 = = = . = < 4 9 16 100 22.32.42 …92.102 (1.2.3…10)(1.2.3…10) 10 2 20 19
Bài tập tự luyện: 1015+1 1016+1 Bài 1: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 1016+1 1017+1 So sánh A và B? Ta có: 1016+10 9 10A = = 1 + 1016+1 1016+1 1017+10 9 10B = = 1 + 1017+1 1017+1 9 9 Vì >
nên 10A > 10B, do đó A > B. 1016+1 1017+1 101992+1 101993+1 Bài 2: Cho 𝐴 = và 𝐵 = 101991+1 101992+1 So sánh A và B? 𝑎 𝑎+𝑚 𝑎
Áp dụng tính chất: nếu > 1 thì < (m > 0) 𝑏 𝑏+𝑚 𝑏 Vì B > 1 nên 101993+1 101993+1+9 101993+10 10.(101992+1) B = > = = = 101992+1 101992+1+9 101992+10 10.(101991+1) 101992+1 = A 101991+1 Vậy A < B . 7 . 5 . 3 . 1 ... 39 . 1
Bài 3: So sánh U = và V = 21 22 . 23 . .... 40 . 220 −1 Trang 20
1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.39 Ta có: U =
21.2.11.23.3.23.25.2.13.27.7.2.2.29.2.15.31.25.33.2.17.35.9.22.37.2.19.39.5.23 1 1 U = = 2.23.2.22.2.25.2.22.2.23 220 1 1 Vì < => U < V 220 220−1 Bài 4: So sánh: a. 637 và 1612 637 < 647 = (82)7 = 814
1612 = (24)12 = 248 = 23.16 = (23)16 = 816
814 < 816 nên 637 < 1612 1 7 1 9 b. ( ) và ( ) 32 16 1 7 1 7 1 ( ) = ( ) = 32 25 235 1 9 1 9 1 ( ) = ( ) = 16 24 236 1 1 1 7 1 9 Ta có : 235 < 236 nên > => ( ) > ( ) 235 236 32 16 1 9 1 13 c. ( ) và ( ) 243 83 1 9 1 45 1 13 1 13 1 13 1 52
( ) = ( ) và ( ) < ( ) = ( ) = ( ) 35 3 83 81 34 3 1 45 1 52 1 9 1 13 ( ) > ( ) => ( ) > ( ) 3 3 243 83 d. 5299 và 3501
5299 < 5300 = (53)100 < (35)100 = 3500 < 3501 Vậy 5299 < 3501 e. 323 và 515
323 = 9.(33)7 > 5.(52)7 = 515 f. 12723 và 51318
12723 < 12823 = (27)23 = 2161
51318 > 51218 = (29)18 = 2162
Vì 2162 > 2161 nên 51318 > 12723 Trang 21 g. 199010 + 19909 và 199110 19909.(1990+1) = 1991.19909 199110 = 1991.19919
Vì 19919 > 19909 nên 1991.19919 > 1991.19909 => 199110 > 199010 + 19909 h. 3500 và 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300 i. 9920 và 999910
9920 = (992)10 = (99.99)10 = 9910. 9910
999910 =( 101.99)10 = 10110 . 9910
Vì 101> 99 nên 10110 > 9910
=> 10110 . 9910 > 9910. 9910 Vậy 999910 > 9920 j. 202303 và 303202
Vì 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101
Và 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Mà (808.1012)101 > (9.1012)101 nên 202303 > 303202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 𝑥 4 1 − = 3 𝑦 5 Đkxđ : y ≠ 0 𝑥 4 1 − = 3 𝑦 5 𝑥𝑦−12 1 = 3𝑦 5 5xy – 60 = 3y y(5x – 3) = 60 60 y = 5𝑥−3 Trang 22
Vì y là số tự nhiên nên 5x – 3 phải là ước của 60
Vì x cũng là số tự nhiên nên giá trị của x thỏa mãn là x = 1; x = 3
Vậy x = 3, y = 5; x = 1, y = 30 4 𝑦 5 − = 𝑥 3 6 Đkxđ: x ≠ 0 4 𝑦 5 − = 𝑥 3 6 12−𝑥𝑦 5 = 3𝑥 6 24 – 2xy= 5x x(5 + 2y) = 24 24 x = 5+2𝑦
Vì x là số tự nhiên nên 5 +2y là ước của 24 , vì y cũng là số tự nhiên nên không có
giá trị nào của x, y thỏa mãn.
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho: 5 𝑦 1 − = 𝑥 3 6 Đkxđ: x≠0 5 𝑦 1 − = 𝑥 3 6 30−2𝑥𝑦 𝑥 <=> = 6𝑥 6𝑥 <=> x+2xy=3 30 <=> x = 1+2𝑦
x nguyên nên 2y + 1 là ước lẻ của 30. Ta có: 2y+ 1 1 -1 3 -3 5 -5 15 -15 2y 0 -2 2 -4 4 -6 14 -16 Trang 23 y 0 -1 1 -2 2 -3 7 -8 x 30 -30 10 -10 6 -6 2 -2 𝑥 2 1 − = 6 𝑦 30 Đkxđ : y ≠ 0 𝑥 2 1 − = 6 𝑦 30 𝑥𝑦−12 1 = 6𝑦 30 5𝑥𝑦−60 𝑦 = 30𝑦 30𝑦 5xy – 60 = y 5xy – y = 60 y (5x – 1) = 60 60 y = 5𝑥−1
Vì y là số nguyên nên 5x – 1 phải là ước của 60 và chia cho 5 thiếu 1. Ta có: 5x – 1 -1 4 -6 5x 0 5 -5 x 0 1 -1 y -60 15 -10 Trang 24