Chuyên đề các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm Toán 10 KNTTvCS

Tài liệu gồm 56 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm trong chương trình SGK Toán 10 

99 50 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm (KNTT)

Môn: Toán 10

Thông tin:

146 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
I. SỐ GẦN ĐÚNG: Trong nhiều trường hợp ta không thể biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu
a
)
mà ta chỉ tìm được giá trị khá xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng kí hiệu là
.
a
Ví dụ: giá trị gần đúng của
π
là 3,14 hay 3,14159; còn đối với
2
là 1,41 hay 1,414;.
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để
đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
II. SAI SỐ CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
1) Sai số tuyệt đối
Giá trị
aa−
phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng
a
và số gần đúng
a
, được gọi là sai số
tuyệt đối của số gần đúng
a
, kí hiệu là
a
∆
, tức là:
a
aa∆= −
.
2) Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết
a
nên ta không tính được
. Tuy nhiên ta có thể đánh
giá
không vượt quá một số dương d nào đó.
Nếu
a
d∆≤
thì
aad ad− ≤≤ +
, khi đó ta viết
a ad
= ±
d
gọi là độ chính xác của số gần đúng.
3) Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ
a
là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và
a
,
tức là δ
a
=
a
a
∆
.
Nhận xét: Nếu
a ad
= ±
thì
a
∆
≤ d suy ra
a
d
a
δ
≤
.
Do đó
d
a
càng nhỏ thì chất lượng của phép
đo đặc hay tính toán càng cao.
III. SỐ QUY TRÒN. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần
đúng của số ban đầu.
Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng làm tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng số nào đó thì sai số tuyệt đối của số
qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn.
Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn
đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Chữ số chắc (đáng tin)
Cho số gần đúng a của số
a
với độ chính xác d. Trong số a một chữ số được gọi là chữ số chắc
(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả cá chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng
bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
Dạng chuẩn của số gần đúng
Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó
đều là chữ chắc chắn.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là: A10
k
trong đó A là số nguyên, k là hàng
thấp nhất có chữ số chắc
( )
k ∈
. (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn).
Khi đó độ chính xác
0,5.10
k
d =
.
Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng
.10
n
α
,
1 10
α
≤<
1≤
|
α
|
<10,
n∈
(Quy ước
1
10
10
n
n
−
=
) dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
Câu 1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là
10,2kg
.
b) Bán kính Trái Đất là
6371km
.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mắt 365 ngày.
Câu 2. Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là
1235 5m±
” và thực hiện làm tròn
số gần đúng.
Câu 3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho
3
7
với độ chính xác 0,0005.
Câu 4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:
67,31
±
0,96; 67,90
±
0,55; 67,74
±
0,46
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?
Câu 5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính
2cm
với hai kết quả như sau:
Kết quả của An:
1
2 2.3,14.2 12,56cmSR
π
= = =
;
Kết quả của Bình
2
2 2.3,1.2 12,4cmSR
π
= = =
.
Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
b) Giá trị nào chính xác hơn?
Câu 6. Làm tròn số
8316,4
đến hàng chục và
9,754
đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số
quy tròn.
DẠNG 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG.
Câu 1: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là
152 0,2mm±
, điều đó có nghĩa là gì?
A. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ
151,8m
đến
152,2
m
.
B. Chiều dài đúng của cây cầu là một số lớn hơn 152 m.
C. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nhỏ hơn 152 m.
D. Chiều dài đúng của cây cầu là 151,8 m hoặc là 152,2 m.
Câu 2: Khi tính diện tích hình tròn bán kính R = 3cm, nếu lấy
3,14
π
=
thì độ chính xác là bao nhiêu?
A.
0,009d =
. B.
0,09
d
=
. C.
0,1d =
. D.
0,01d
=
Câu 3: Cho giá trị gần đúng của
là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là:
A. 0,001. B. 0,002. C. 0,003. D. 0,004
DẠNG 2: SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
Câu 4: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là
152 0,2
mm±
. Tìm sai số tương đối của phép
đo chiều dài cây cầu.
A.
0,1316%
a
δ
<
. B.
1,316%
a
δ
<
. C.
0,1316%
a
δ
=
. D.
0,1316%
a
δ
>
Câu 5: Bạn A đo chiều dài của một sân bóng ghi được
250 0,2m
±
. Bạn B đo chiều cao của một cột cờ
được
15 0,1m±
. Trong 2 bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong
phép đo của bạn đó là bao nhiêu?
A. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,08%.
B. Bạn B đo chính xác hơn bạn A với sai số tương đối là 0,08%.
C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhai là 0,08%.
D. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,06%.
Câu 6: Hãy xác định sai số tuyệt đối của số
123456a =
biết sai số tương đối
0, 2%
a
δ
=
A. 146,912. B. 617280. C. 24691,2. D. 61728000
DẠNG 3 : QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG PHAP GIẢI
Tùy theo mức độ cho phép, ta có thể quy tròn một số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang
trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi là hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0.
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị ở chữ số ở hàng quy tròn.
Ví dụ: Các số quy tròn của số x theo từng hàng cho trong bảng sau:
Quy tròn đến
Hàng
chục
Hàng đơn
vị
Hàng phần
chục
Hàng phần
trăm
Hàng phần
nghìn
x = 549,2705
550
549
549,3
549,27
549,271
x = 397,4619
400
397
397,5
397,46
397,462
Nhận xét:
Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy
tròn.
Nếu
a ad= ±
thì ta quy tròn số
a
đến hàng lớn hơn hàng của
d
một đơn vị.
Câu 7: Tìm số gần đúng của a = 2851275 với độ chính xác d = 300
A. 2851000. B. 2851575. C. 2850025. D. 2851200
Câu 8: Tìm số gần đúng của a = 5,2463 với độ chính xác d = 0,001.
A. 5,25. B. 5,24. C. 5,246. D. 5,2
Câu 9: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của
3
chính xác đến hàng phần trăm
A. 1,73. B. 1,732. C. 1,7. D. 1,7320
Câu 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của
2
π
chính xác đến hàng phần nghìn.
A. 9,870. B. 9,869. C. 9,871. D. 9,8696
Câu 11: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây:
a
= 17658 ± 16.
A. 17700. B. 17660. C. 18000. D. 17674
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN
CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ.
Câu 12: Tìm số chắc của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là
3214056a =
người với độ
chính xác
100
d =
người.
A. 1,2,3,4. B. 1,2,3,4,0. C. 1,2,3. D. 1,2,3,4,0,5.
Câu 13: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là
3214056a =
người với
độ chính xác
100d =
người.
A.
3
3214.10
. B.
4
321.10
. C.
1
321405.10
. D.
2
32140.10
Câu 14: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết
1,3462a =
sai số tương đối của a bằng 1%.
A. 1,3. B. 1,34. C. 1,35. D. 1,346
Câu 15: Một hình chữ nhật cố diện tích là S = 180,57cm
2
± 0,6cm
2
. Kết quả gần đúng của S viết dưới
dạng chuẩn là:
A.
2
180,58cm
. B.
2
180,59cm
. C.
2
0,181cm
. D.
2
181cm
.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
I. SỐ GẦN ĐÚNG: Trong nhiều trường hợp ta không thể biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu
a
)
mà ta chỉ tìm được giá trị khá xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng kí hiệu là
.
a
Ví dụ: giá trị gần đúng của
π
là 3,14 hay 3,14159; còn đối với
2
là 1,41 hay 1,414;.
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để
đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
II. SAI SỐ CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
1) Sai số tuyệt đối
Giá trị
aa−
phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng
a
và số gần đúng
a
, được gọi là sai số
tuyệt đối của số gần đúng
a
, kí hiệu là
a
∆
, tức là:
a
aa∆= −
.
2) Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết
a
nên ta không tính được
. Tuy nhiên ta có thể đánh
giá
không vượt quá một số dương d nào đó.
Nếu
a
d∆≤
thì
aad ad− ≤≤ +
, khi đó ta viết
a ad
= ±
d
gọi là độ chính xác của số gần đúng.
3) Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ
a
là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và
a
,
tức là δ
a
=
a
a
∆
.
Nhận xét: Nếu
a ad
= ±
thì
a
∆
≤ d suy ra
a
d
a
δ
≤
.
Do đó
d
a
càng nhỏ thì chất lượng của phép
đo đặc hay tính toán càng cao.
III. SỐ QUY TRÒN. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần
đúng của số ban đầu.
Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng làm tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng số nào đó thì sai số tuyệt đối của số
qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn.
Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn
đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Chữ số chắc (đáng tin)
Cho số gần đúng a của số
a
với độ chính xác d. Trong số a một chữ số được gọi là chữ số chắc
(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả cá chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng
bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
Dạng chuẩn của số gần đúng
Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó
đều là chữ chắc chắn.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là: A10
k
trong đó A là số nguyên, k là hàng
thấp nhất có chữ số chắc
( )
k ∈
. (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn).
Khi đó độ chính xác
0,5.10
k
d =
.
Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng
.10
n
α
,
1 10
α
≤<
1≤
|
α
|
<10,
n∈
(Quy ước
1
10
10
n
n
−
=
) dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
Câu 1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là
10,2kg
.
b) Bán kính Trái Đất là
6371km
.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mắt 365 ngày.
Giải:
Bán kính Trái Đất là
6371km
và Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mắt 365 ngày là số
gần đúng.
Câu 2. Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là
1235 5m±
” và thực hiện làm tròn
số gần đúng.
Giải:
“Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là
1235 5m±
” có nghĩa là kết quả đo được có độ chính
xác
5d =
đến hàng đơn vị nên ta phải quy tròn đến hàng chục. Số quy tròn
1240
.
Câu 3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho
3
7
với độ chính xác 0,0005.
Giải:
3
7 1,913=
Câu 4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
67,31
±
0,96; 67,90
±
0,55; 67,74
±
0,46
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?
Giải:
Phương pháp thứ 1:
67,31a =
và
0,96d =
do đó sai số tương đối là:
0,96
1,426%
67,31
a
d
a
δ
≤= ≈
.
Phương pháp thứ 2:
67,90
a
=
và
0,55d =
do đó sai số tương đối là:
0,55
0,81%
67,90
a
d
a
δ
≤= ≈
.
Phương pháp thứ 3:
67,74a =
và
0, 46d =
do đó sai số tương đối là:
0, 46
0,679%
67,74
a
d
a
δ
≤= ≈
.
Phương pháp thứ 3 chính xác nhất tính theo sai số tương đối.
Câu 5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính
2cm
với hai kết quả như sau:
Kết quả của An:
1
2 2.3,14.2 12,56cm
SR
π
= = =
;
Kết quả của Bình
2
2 2.3,1.2 12,4cmSR
π
= = =
.
Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
b) Giá trị nào chính xác hơn?
Giải:
a) Hai kết quả tính được là số gần đúng.
b) Kết quả câu a) chính xác hơn.
Câu 6. Làm tròn số
8316,4
đến hàng chục và
9,754
đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số
quy tròn.
Giải:
Số
8316,4
làm tròn đến hàng chục là
8320
. Sai số tuyệt đối là:
8320 8316,4 3,6−=
.
Số
9,754
làm tròn đên hàng phần trăm là:
9,75
. Sai số tuyệt đối là:
9,75 9,754 0,004
−=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
DẠNG 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG.
Câu 1: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là
152 0,2mm±
, điều đó có nghĩa là gì?
A. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ
151,8m
đến
152,2m
.
B. Chiều dài đúng của cây cầu là một số lớn hơn 152 m.
C. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nhỏ hơn 152 m.
D. Chiều dài đúng của cây cầu là 151,8 m hoặc là 152,2 m.
Giải
Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là
152 0,2mm±
có nghĩa là chiều dài đúng của
cây cầu là một số nằm trong khoảng từ
151,8m
đến
152,2
m
.
Câu 2: Khi tính diện tích hình tròn bán kính R = 3cm, nếu lấy
3,14
π
=
thì độ chính xác là bao nhiêu?
A.
0,009d =
. B.
0,09d =
. C.
0,1d =
. D.
0,01
d
=
Giải
Ta có diện tích hình tròn S = 3,14. 3
2
và
S
π
=
. 3
2
=
9
π
Ta có:
3,14 3,15 3,14.9 9 3,15.9 28,26 28,35S
ππ
<< ⇒ < < ⇒ <<
Do đó:
( )
28, 26 28,35 28,26 0,09 0,09SS S S SS− = − < − = ⇒∆ = − <
Vậy nếu ta lấy
3,14
π
=
thì diện tích hình tròn là S = 28,26cm
2
với độ chính xác
0,09d =
.
Câu 3: Cho giá trị gần đúng của
là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là:
A. 0,001. B. 0,002. C. 0,003. D. 0,004
Giải
Ta có
8
0,47 0,00059
17
−<
suy ra sai số tuyệt đối của 0,47 là 0,001.
DẠNG 2: SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
Câu 4: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là
152 0,2mm±
. Tìm sai số tương đối của phép
đo chiều dài cây cầu.
A.
0,1316%
a
δ
<
. B.
1,316%
a
δ
<
. C.
0,1316%
a
δ
=
. D.
0,1316%
a
δ
>
Giải
Sai số tương đối
0, 2
0,001315789 0,1316%
152
a
δ
≤= ≈
Câu 5: Bạn A đo chiều dài của một sân bóng ghi được
250 0,2m±
. Bạn B đo chiều cao của một cột cờ
được
15 0,1
m±
. Trong 2 bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong
phép đo của bạn đó là bao nhiêu?
A. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,08%.
B. Bạn B đo chính xác hơn bạn A với sai số tương đối là 0,08%.
C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhai là 0,08%.
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
D. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,06%.
Giải
Phép đo của bạn A có sai số tương đối
1
0, 2
0,0008 0,08%
250
δ
≤= =
Phép đo của bạn B có sai số tương đối
2
0,1
0,0066 0,66%
15
δ
≤= =
Như vậy phép đo của bạn A có độ chính xác cao hơn.
Câu 6: Hãy xác định sai số tuyệt đối của số
123456a =
biết sai số tương đối
0, 2%
a
δ
=
A. 146,912. B. 617280. C. 24691,2. D. 61728000
Giải
Ta có
146,912
a
a aa
a
a
δδ
∆
= ⇒∆ = =
.
DẠNG 3 : QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG PHAP GIẢI
Tùy theo mức độ cho phép, ta có thể quy tròn một số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang
trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi là hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị ở chữ số ở hàng quy tròn.
Ví dụ: Các số quy tròn của số x theo từng hàng cho trong bảng sau:
Quy tròn đến
Hàng
chục
Hàng đơn
vị
Hàng phần
chục
Hàng phần
trăm
Hàng phần
nghìn
x = 549,2705
550
549
549,3
549,27
549,271
x = 397,4619
400
397
397,5
397,46
397,462
Nhận xét:
Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy
tròn.
Nếu
a ad= ±
thì ta quy tròn số
a
đến hàng lớn hơn hàng của
d
một đơn vị.
Câu 7: Tìm số gần đúng của a = 2851275 với độ chính xác d = 300
A. 2851000. B. 2851575. C. 2850025. D. 2851200
Giải
Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn a đến hàng nghìn, vậy số quy tròn của a là
2851000.
Câu 8: Tìm số gần đúng của a = 5,2463 với độ chính xác d = 0,001.
A. 5,25. B. 5,24. C. 5,246. D. 5,2
Giải
Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm, vậy số quy tròn của
a là 5,25.
Câu 9: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của
3
chính xác đến hàng phần trăm
A. 1,73. B. 1,732. C. 1,7. D. 1,7320
Giải
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có
3
= 1,732050808. Do đó: Giá trị gần đúng của
3
chính xác
đến hàng phần trăm là 1,73.
Câu 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của
2
π
chính xác đến hàng phần nghìn.
A. 9,870. B. 9,869. C. 9,871. D. 9,8696
Giải
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của
2
π
là 9,8696044. Do đó giá trị gần đúng của
2
π
chính
xác đến hàng phần nghìn là 9,870.
Câu 11: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây:
a
= 17658 ± 16.
A. 17700. B. 17660. C. 18000. D. 17674
Giải
Vì độ chính xác đến hàng chục nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là
17700 (hay viết
a
≈ 17700).
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN
CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ.
Câu 12: Tìm số chắc của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là
3214056a =
người với độ
chính xác
100d =
người.
A. 1,2,3,4. B. 1,2,3,4,0. C. 1,2,3. D. 1,2,3,4,0,5.
Giải
Vì
100
2
= 50 < 100 <
1000
2
= 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng
nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4.
Câu 13: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là
3214056a =
người với
độ chính xác
100d =
người.
A.
3
3214.10
. B.
4
321.10
. C.
1
321405.10
. D.
2
32140.10
Giải
Vì
100
2
= 50 < 100 <
1000
2
= 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng
nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4.
Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.10
3
.
Câu 14: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết
1,3462
a =
sai số tương đối của a bằng 1%.
A. 1,3. B. 1,34. C. 1,35. D. 1,346
Giải
Ta có
.1,3462 0. 1% ,013462
a
a aa
a
a
δδ
= = =
∆
⇒∆ =
Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác
là d = 0,013462.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Ta có
0,01
2
= 0,005 < 0,013462 <
0,1
2
= 0,05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc,
còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1 và 3.
Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3.
Câu 15: Một hình chữ nhật cố diện tích là S = 180,57cm
2
± 0,6cm
2
. Kết quả gần đúng của S viết dưới
dạng chuẩn là:
A.
2
180,58cm
. B.
2
180,59cm
. C.
2
0,181cm
. D.
2
181cm
.
Giải
Ta có
1 10
0,5 0,6 5
22
= < <=
nên chữ số hàng đơn vị không là số chắc, còn chữ số hàng chục là
số chắc. Vậy cách viết dưới dạng chuẩn là
2
181cm
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
Câu 1: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với
10
chữ số thập phân ta được:
8 2,828427125
=
. Giá trị gần
đúng của
8
chính xác đến hàng phần trăm là
A.
2,81
. B.
2,83
. C.
2,82
. D.
2,80
.
Câu 2: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với
10
chữ số thập phân ta được
2018
2019 1.003778358=
. Giá trị
gần đúng của
2018
2019
đến hàng phần nghìn là
A.
1,003779000
. B.
1,0038
. C.
1,004
. D.
1,000
.
Câu 3: Số quy tròn của của
20182020
đến hàng trăm là:
A.
20182000
. B.
20180000
. C.
20182100
. D.
20182020
.
Câu 4: Cho số gần đúng
8 141 378a =
với độ chính xác
300d
=
. Hãy viết quy tròn số
a
.
A.
8 141 400
. B.
8 142 400
. C.
8 141 000
. D.
8 141 300
.
Câu 5: Cho giá trị gần đúng của
π
là
3,141592653589a =
với độ chính xác
10
10
−
. Hãy viết số quy tròn
của số
a
.
A.
3,1415926535a =
. B.
3,1415926536a =
. C.
3,141592653a
=
. D.
3,141592654a =
.
Câu 6: Số quy tròn đến hàng phần nghìn của số
0,1234a =
là
A.
0,124
. B.
0,12
. C.
0,123
. D.
0,13
.
Câu 7: Cho giá trị gần đúng của
π
là
3,141592653589a
=
với độ chính xác
10
10
−
(
10
chữ số thập
phân). Hãy viết số quy tròn của
a
.
A.
3,141592654a =
. B.
3,1415926536a =
. C.
3,141592653a
=
. D.
3,1415926535a =
.
Câu 8: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2016 được ghi lại như sau
94444200 3000s = ±
(người).
Số quy tròn của số gần đúng
94444200
là:
A.
94400000
B.
94440000
. C.
94450000
. D.
94444000
.
Câu 9: Cho
31462689 150a = ±
. Số quy tròn của số
31462689
là
A.
31462000
. B.
31463700
. C.
31463600
. D.
31463000
.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
II
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Câu 10: Độ dài các cạnh của đám vườn hình chữ nhật là
7,8m 2cmx = ±
và
25,6m 4cmy = ±
. Cách
viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là
A.
22
200m 0,9m±
. B.
22
199m 0,8m±
. C.
22
199m 1m±
. D.
22
200m 1cm±
.
Câu 11: Cho số
367653964 213.a
= ±
Số quy tròn của số gần đúng
367653964
là
A.
367653960
. B.
367653000
. C.
367654000
. D.
367653970
Câu 12: Chiều cao của một ngọn đồi là
347,13 0,2h mm= ±
. Độ chính xác
d
của phép đo trên là
A.
347,13
dm=
. B.
347,33m
. C.
0, 2
dm=
. D.
346,93dm=
.
Câu 13: Cho giá trị gần đúng của
8
17
là
0, 47
. Sai số tuyệt đối của
0, 47
là
A.
0,001
. B.
0,003
. C.
0,002
. D.
0,004
.
Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi AL và CI tương ứng là đường cao của các tam giác ADB và
BCD. Cho biết
1
DL LI IB= = =
. Diện tích của hình chữ nhật ABCD (chính xác đến hàng phần
trăm) là:
A. 4,24 B. 2,242 C. 4,2 D. 4,2426
Câu 15: Biết số gần đúng
37975421a
=
có độ chính xác
150
d =
. Hãy xác định các chữ số đáng tin của
a.
A. 3, 7, 9 B. 3, 7, 9, 7 C. 3, 7, 9, 7, 5 D. 3, 7, 9, 7, 5, 4
Câu 16: Biết số gần đúng
7975421
a =
có độ chính xác
150d =
. Hãy ước lượng sai số tương đối của a.
A.
0,0000099
a
δ
≤
B.
0,000039
a
δ
≤
C.
0,0000039
a
δ
≥
D.
0,000039
a
δ
<
Câu 17: Biết số gần đúng
173,4592a =
có sai số tương đối không vượt quá
1
10000
, hãy ước lượng sai
số tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn.
A.
0,17; 173,4
a
a∆≤ =
B.
0,017; 173,5
a
a∆≤ =
C.
0,4592; 173,5
a
a∆≤ =
D.
0,017; 173,4
a
a∆≤ =
Câu 18: Tính chu vi của hình chữ nhật có các cạnh là
3,456 0,01x = ±
(m) và
12,732 0,015y = ±
(m)
và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A.
32,376 0,025; 0,05
L
L
= ± ∆≤
B.
32,376 0,05; 0,025
L
L
= ± ∆≤
C.
32,376 0,5; 0,5
L
L = ± ∆≤
D.
32,376 0,05; 0,05
L
L = ± ∆≤
Câu 19: Tính diện tích S của hình chữ nhật có các cạnh là
3,456 0,01x
= ±
(m) và
12,732 0,015y = ±
(m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A.
44,002S =
(
2
m
);
0,176
S
∆≤
B.
44,002S =
(
2
m
);
0,0015
S
∆≤
C.
44,002S =
(
2
m
);
0,025
S
∆≤
D.
44,002S =
(
2
m
);
0,0025
S
∆<
Câu 20: Xấp xỉ số π bởi số
355
113
. Hãy đánh giá sai số tuyệt đối biết:
3,14159265 3,14159266
π
<<
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
A.
7
2,8.10
a
−
∆≤
B.
7
28.10
a
−
∆≤
C.
7
1.10
a
−
∆≤
D.
6
2,8.10
a
−
∆≤
Câu 21: Độ cao của một ngọn núi đo được là
1372,5h =
m. Với sai số tương đối mắc phải là
0,5‰
.
Hãy xác định sai số tuyệt đối của kết quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn.
A.
( )
0,68625; 1373
h
hm∆= =
B.
( )
0,68626; 1372
h
hm∆= =
C.
(
)
0,68625; 1372
h
hm∆= =
D.
( )
0,68626; 1373
h
hm∆= =
Câu 22: Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75m với dụng cụ đo đảm bảo sai số
tương đối không vượt quá
1, 5‰
. Tính độ dài gần đúng của cầu.
A. 500,1m B. 499,9m C. 500 m D. 501 m
Câu 23: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của
thống kê này không vượt quá 10000 người, hãy viết số trên dưới dạng chuẩn và ước lượng sai
số tương đối của số liệu thống kê trên.
A.
5
797.10 , 0,0001254
a
a
δ
= =
B.
4
797.10 , 0,000012
a
a
δ
= =
C.
6
797.10 , 0,001254
a
a
δ
= =
D.
5
797.10a =
,
0,00012
a
δ
<
Câu 24: Độ cao của một ngọn núi đo được là
2373,5hm=
với sai số tương đối mắc phải là
0,5‰
. Hãy
viết h dưới dạng chuẩn.
A. 2373 m B. 2370 m C. 2373,5 m D. 2374 m
Câu 25: Trong một phòng thí nghiệm, hằng số c được xác định gần đúng là 3,54965 với độ chính xác
0,00321d =
. Dựa vào d, hãy xác định chữ số chắc chắn của c.
A. 3; 5; 4 B. 3; 5; 4; 9 C. 3; 5; 4; 9; 6 D. 3; 5; 4; 9; 6; 5
Câu 26: Cho giá trị gần đúng của
8
17
là
0, 47
. Sai số tuyệt đối của số
0, 47
là:
A.
0,001
. B.
0,002
. C.
0,003
. D.
0,004
.
Câu 27: Cho giá trị gần đúng của
3
7
là
0,429
. Sai số tuyệt đối của số
0,429
là:
A.
0,0001
. B.
0,0002
. C.
0,0004
. D.
0,0005
.
Câu 28: Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là
2.731.425
người với sai số ước lượng
không quá
200
người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là:
A. Hàng đơn vị. B. Hàng chục. C. Hàng trăm. D. Cả A, B, C.
Câu 29: Nếu lấy
3,14
làm giá trị gần đúng của
π
thì sai số là:
A.
0,001
. B.
0,002
. C.
0,003
. D.
0,004
.
Câu 30: Nếu lấy
3,1416
làm giá trị gần đúng của
π
thì có số chữ số chắc là:
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 31: Số gần đúng của
2,57656a =
có ba chữ số đáng tin viết dưới dạng chuẩn là:
A.
2,57
. B.
2,576
. C.
2,58
. D.
2,577
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Câu 32: Trong số gần đúng
a
dưới đây có bao nhiêu chữ số chắc
174325a =
với
17
a
∆=
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Câu 33: Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là
1
4
ngày. Sai
số tuyệt đối là:
A.
1
4
. B.
1
365
. C.
1
1460
. D. Đáp án khác.
Câu 34: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là
7,8 2
x m cm
= ±
và
25, 6 4
y m cm
= ±
. Số
đo chu vi của đám vườn dưới dạng chuẩn là:
A.
66 12
m cm±
. B.
67 11m cm±
. C.
66 11m cm±
. D.
67 12m cm±
.
Câu 35: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là
7,8 2x m cm
= ±
và
25, 6 4
y m cm
= ±
.
Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là:
A.
22
199 0,8mm±
. B.
22
199 1mm
±
. C.
22
200 1
m cm±
. D.
22
200 0,9mm±
.
Câu 36: Một hình chữ nhật cố các cạnh:
4, 2 1x m cm
= ±
,
72
y m cm= ±
. Chu vi của hình chữ nhật và sai
số tuyệt đối của giá trị đó.
A.
22, 4m
và
3cm
. B.
22, 4m
và
1cm
. C.
22, 4m
và
2cm
. D.
22, 4m
và
6cm
.
Câu 37: Hình chữ nhật có các cạnh:
21x m cm= ±
,
52
y m cm
= ±
. Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt
đối của giá trị đó là:
A.
2
10m
và
2
900cm
. B.
2
10m
và
2
500cm
. C.
2
10m
và
2
400cm
. D.
2
10m
và
2
1404
cm
.
Câu 38: Trong bốn lần cân một lượng hóa chất làm thí nghiệm ta thu được các kết quả sau đây với độ
chính xác
0,001g
:
5,382g
;
5,384g
;
5,385g
;
5,386g
. Sai số tuyệt đối và số chữ số chắc của
kết quả là:
A. Sai số tuyệt đối là
0,001g
và số chữ số chắc là
3
chữ số.
B. Sai số tuyệt đối là
0,001g
và số chữ số chắc là
4
chữ số.
C. Sai số tuyệt đối là
0,002g
và số chữ số chắc là
3
chữ số.
D. Sai số tuyệt đối là
0,002g
và số chữ số chắc là
4
chữ số.
Câu 39: Một hình chữ nhật cố diện tích là
22
180,57 0,6S cm cm= ±
. Kết quả gần đúng của
S
viết dưới
dạng chuẩn là:
A.
2
180,58cm
. B.
2
180,59cm
. C.
2
0,181cm
. D.
2
181,01cm
.
Câu 40: Đường kính của một đồng hồ cát là
8,52m
với độ chính xác đến
1cm
. Dùng giá trị gần đúng
của
π
là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là:
A. 26,6. B. 26,7. C. 26,8. D. Đáp án khác.
Câu 41: Một hình lập phương có cạnh là
2, 4 1
m cm±
. Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi
quy tròn) là:
A.
22
35 0,3mm±
. B.
22
34 0,3mm±
. C.
22
34,5 0,3mm±
. D.
22
34,5 0,1mm±
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Câu 42: Một vật thể có thể tích
33
180,37 0,05V cm cm= ±
. Sai số tương đối của gia trị gần đúng ấy là:
A.
0,01%
. B.
0,03%
. C.
0,04%
. D.
0,05%
.
Câu 43: Cho giá trị gần đúng của
23
7
là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là:
A. 0,04. B.
0,04
7
. C. 0,06. D. Đáp án khác.
Câu 44: Trong các thí nghiệm hằng số
C
được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là
0,00421d
=
. Viết chuẩn giá trị gần đúng của
C
là:
A. 5,74. B. 5,736. C. 5,737. D. 5,7368.
Câu 45: Cho số
1754731
a
=
, trong đó chỉ có chữ số hàng trăm trở lên là đáng tin. Hãy viết chuẩn số
gần đúng của
a
.
A.
2
17547.10
. B.
2
17548.10
. C.
3
1754.10
. D.
2
1755.10
.
Câu 46: Hình chữ nhật có các cạnh:
2 1, 5 2
x m cm y m cm=±=±
. Diện tích hình chữ nhật và sai số
tương đối của giá trị đó là:
A.
2
10m
và
5
o
oo
. B.
2
10m
và
4
o
oo
. C.
2
10m
và
9
o
oo
. D.
2
10m
và
20
o
oo
.
Câu 47: Hình chữ nhật có các cạnh:
2 1, 5 2x m cm y m cm
=±=±
. Chu vi hình chữ nhật và sai số tương
đối của giá trị đó là:
A.
22, 4
và
1
2240
. B.
22, 4
và
6
2240
. C.
22, 4
và
6
cm
. D. Một đáp số khác.
Câu 48: Một hình chữ nhật có diện tích là
22
108,57 0,06 .S cm cm= ±
Số các chữ số chắc của
S
là:
A.
5.
B.
4.
C.
3.
D.
2.
Câu 49: Ký hiệu khoa học của số
0,000567−
là:
A.
6
567.10
−
−
. B.
5
5,67.10
−
−
. C.
4
567.10
−
−
. D.
−
−
3
567.10 .
Câu 50: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được:
8 2,828427125=
.Giá trị gần
đúng của
8
chính xác đến hàng phần trăm là:
A.
2,80.
B.
2,81.
C.
2,82.
D.
2,83.
Câu 51: Viết giá trị gần đúng của
10
đến hàng phần trăm (dùng MTBT):
A.
3,16.
B.
3,17.
C.
3,10.
D.
3,162.
Câu 52: Độ dài của một cây cầu người ta đo được là
996m 0,5m±
. Sai số tương đối tối đa trong phép
đo là bao nhiêu.
A.
0,05%
B.
0,5%
C.
0,25%
D.
0,025%
Câu 53: Số
a
được cho bởi số gần đúng
5,7824a =
với sai số tương đối không vượt quá
0,5%
. Hãy
đánh giá sai số tuyệt đối của
a
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
A.
2,9%
B.
2,89%
C.
2,5%
D.
0,5%
Câu 54: Cho số
2
7
x =
và các giá trị gần đúng của
x
là
0, 28 ; 0, 29 ; 0, 286 ; 0,3
. Hãy xác định sai số
tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất.
A.
0, 28
B.
0, 29
C.
0,286
D.
0,3
Câu 55: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là
23m 0,01mx = ±
và chiều rộng là
15m 0,01my = ±
. Chu vi của ruộng là:
A.
76m 0,4m
P = ±
B.
76m 0,04mP = ±
C.
76m 0,02m
P
= ±
D.
76m 0,08m
P = ±
Câu 56: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là
23m 0,01mx = ±
và chiều rộng là
15m 0,01my
= ±
. Diện tích của ruộng là:
A.
345m 0,3801m
S = ±
. B.
345m 0,38mS = ±
.
C.
345m 0,03801mS
= ±
. D.
345m 0,3801mS
= ±
.
Câu 57: Cho tam giác
ABC
có độ dài ba cạnh đo được như sau
12cm 0,2cma = ±
;
10, 2cm 0, 2 cmb = ±
;
8cm 0,1cm
c
= ±
. Tính chu vi
P
của tam giác và đánh giá sai số tuyệt
đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua phép đo.
A.
1, 6%
B.
1, 7%
C.
1,662%
D.
1,66%
Câu 58: Viết giá trị gần đúng của số
3
, chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn
A.
1,73;1,733
B.
1, 7;1, 73
C.
1,732;1,7323
D.
1,73;1,732
.
Câu 59: Viết giá trị gần đúng của số
2
π
, chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn.
A.
9,9
,
9,87
B.
9,87
,
9,870
C.
9,87
,
9,87
D.
9,870
,
9,87
.
Câu 60: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác
d
được cho sau đây
17658 16a = ±
.
A.
18000
B.
17800
C.
17600
D.
17700
.
Câu 61: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác
d
được cho sau đây
17658 16a = ±
15,318 0,056a = ±
.
A.
15
B.
15,5
C.
15,3
D.
16
.
Câu 62: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ
ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao
nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học.
A.
9
9,5.10
. B.
9
9,4608.10
. C.
9
9,461.10
. D.
9
9,46080.10
.
Câu 63: Số dân của một tỉnh là
1034258 300A = ±
(người). Hãy tìm các chữ số chắc.
A. 1, 0, 3, 4, 5. B. 1, 0, 3, 4. C. 1, 0, 3, 4. D. 1, 0, 3.
Câu 64: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo
192,55 ma =
, với sai số tương đối không vượt
quá
0,3%
. Hãy tìm các chữ số chắc của
d
và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của
a
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
A.
193 m
. B.
192 m
. C.
192,6 m
. D.
190 m
.
Câu 65: Viết dạng chuẩn của số gần đúng
a
biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là
3214056a =
người
với độ chính xác
100
d
=
người.
A.
3
3214.10
. B.
3214000
. C.
6
3.10
. D.
5
32.10
.
Câu 66: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng
a
biết
1,3462a =
sai số tương đối của
a
bằng
1%
.
A.
1, 3
. B.
1, 34
. C.
1, 35
. D.
1,346
.
Câu 67: Một hình lập phương có thể tích
33
180,57cm 0,05cmV
= ±
. Xác định các chữ số chắc chắn của
V
.
A.
1, 8
. B.
1, 8, 0
. C.
1, 8, 0, 5
. D.
1,8, 0,5, 7
.
Câu 68: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn
467346 12a = ±
.
A.
46735.10
. B.
4
47.10
. C.
3
467.10
. D.
2
4673.10
.
Câu 69: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn
2,4653245 0,006b = ±
.
A.
2, 46
. B.
2, 47
. C.
2,5
. D.
2,465
.
Câu 70: Quy tròn số
7216,4
đến hàng đơn vị, được số
7216
. Sai số tuyệt đối là:
A.
0, 2
. B.
0,3
. C.
0, 4
. D.
0,6
.
Câu 71: Quy tròn số
2,654
đến hàng phần chục, được số
2,7
. Sai số tuyệt đối là:.
A.
0,05
. B.
0,04
. C.
0,046
. D.
0,1
.
Câu 72: Trong 5 lần đo độ cao một đạp nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1dm:
15,6m; 15,8m; 15,4m; 15,7m; 15,9m. Hãy xác định độ cao của đập nước.
A.
'
3
h
dm∆=
. B.
16 3m dm±
. C.
15,5 1m dm±
. D.
15,6 0,6
m dm±
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
Câu 1: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với
10
chữ số thập phân ta được:
8 2,828427125=
. Giá trị gần
đúng của
8
chính xác đến hàng phần trăm là
A.
2,81
. B.
2,83
. C.
2,82
. D.
2,80
.
Lời giải
Chọn B
Câu 2: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với
10
chữ số thập phân ta được
2018
2019 1.003778358=
. Giá trị
gần đúng của
2018
2019
đến hàng phần nghìn là
A.
1,003779000
. B.
1,0038
. C.
1,004
. D.
1,000
.
Lời giải
Chọn C
Giá trị gần đúng của
2018
2019
chính xác đến phần nghìn là làm tròn số đến 3 chữ số sau dấu phẩy
là
1,004
.
Câu 3: Số quy tròn của của
20182020
đến hàng trăm là:
A.
20182000
. B.
20180000
. C.
20182100
. D.
20182020
.
Lời giải
Chọn A
Câu 4: Cho số gần đúng
8 141 378a =
với độ chính xác
300d =
. Hãy viết quy tròn số
a
.
A.
8 141 400
. B.
8 142 400
. C.
8 141 000
. D.
8 141 300
.
Lời giải
Chọn C
Câu 5: Cho giá trị gần đúng của
π
là
3,141592653589a =
với độ chính xác
10
10
−
. Hãy viết số quy tròn
của số
a
.
A.
3,1415926535a =
. B.
3,1415926536a =
. C.
3,141592653a =
. D.
3,141592654a =
.
Lời giải
Chọn D
Câu 6: Số quy tròn đến hàng phần nghìn của số
0,1234a =
là
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
II
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
A.
0,124
. B.
0,12
. C.
0,123
. D.
0,13
.
Lời giải
Chọn C
Câu 7: Cho giá trị gần đúng của
π
là
3,141592653589a =
với độ chính xác
10
10
−
(
10
chữ số thập phân).
Hãy viết số quy tròn của
a
.
A.
3,141592654
a
=
. B.
3,1415926536a =
. C.
3,141592653
a
=
. D.
3,1415926535
a
=
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
11 10 9
10 10 10
−−−
<<
nên hàng cao nhất mà
d
nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần
tỉ.
Do đó ta phải quy tròn số
3,141592653589a =
đến hàng phần tỉ.
Vậy số quy tròn là
3,141592654a =
.
Câu 8: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2016 được ghi lại như sau
94444200 3000
s = ±
(người).
Số quy tròn của số gần đúng
94444200
là:
A.
94400000
B.
94440000
. C.
94450000
. D.
94444000
.
Lời giải
Chọn B
Vì độ chính xác
3000d =
(đến hàng nghìn) nên ta quy tròn số
94444200
đến hàng chục nghìn.
Vậy số quy tròn của số gần đúng
94444200
là 94440000.
Câu 9: Cho
31462689 150a = ±
. Số quy tròn của số
31462689
là
A.
31462000
. B.
31463700
. C.
31463600
. D.
31463000
.
Lời giải
Chọn D
Độ chính xác đến hàng trăm
( )
150
d =
nên ta quy tròn đến hàng nghìn
Vậy số quy tròn của số
31462689
là
31463000
.
Câu 10: Độ dài các cạnh của đám vườn hình chữ nhật là
7,8m 2cmx = ±
và
25,6m 4cmy = ±
. Cách viết
chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là
A.
22
200m 0,9m±
. B.
22
199m 0,8m±
. C.
22
199m 1m±
. D.
22
200m 1cm±
.
Lời giải
Chọn B
7,8 2 7,8 0,02x m cm m m= ±= ±
7,78 7,82x⇒ ≤≤
.
25,6 4 25,6 0,04y m cm m m= ±= ±
25,56 25,64y⇒ ≤≤
.
Diện tích mảnh ruộng là
S
, khi đó
198,8568 200,5048S≤≤
22
199,6808 0,824
S mm⇒= ±
.
Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là
22
199 0,8
mm±
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Câu 11: Cho số
367653964 213.a
= ±
Số quy tròn của số gần đúng
367653964
là
A.
367653960
. B.
367653000
. C.
367654000
. D.
367653970
Lời giải
Chọn C
Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn đến hàng nghìn và theo quy tắc làm tròn nên số
quy tròn là:
367654000
.
Câu 12: Chiều cao của một ngọn đồi là
347,13 0,2h mm= ±
. Độ chính xác
d
của phép đo trên là
A.
347,13dm=
. B.
347,33m
. C.
0, 2dm
=
. D.
346,93dm
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
a
là số gần đúng của
a
với độ chính xác
d
qui ước viết gọn là
aad
= ±
. Vậy độ chính xác
của phép đo là
0, 2dm=
.
Câu 13: Cho giá trị gần đúng của
8
17
là
0, 47
. Sai số tuyệt đối của
0, 47
là
A.
0,001
. B.
0,003
. C.
0,002
. D.
0,004
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
8
0,470588235294...
17
=
Sai số tuyệt đối của
0, 47
là
8
0,47 0,47 0,471 0,001
17
−< − =
.
Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi AL và CI tương ứng là đường cao của các tam giác ADB và BCD.
Cho biết
1DL LI IB
= = =
. Diện tích của hình chữ nhật ABCD (chính xác đến hàng phần trăm)
là:
A. 4,24 B. 2,242 C. 4,2 D. 4,2426
Lời giải
Đáp án A.
Ta có:
2
.2AL BL LD= =
do đó
2AL =
.
Lại có
3BD =
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Suy ra diện tích của hình chữ nhật là:
3 2 3.1,41421356... 4,24264... 4,24= ≈≈
Câu 15: Biết số gần đúng
37975421
a
=
có độ chính xác
150d =
. Hãy xác định các chữ số đáng tin của
a.
A. 3, 7, 9 B. 3, 7, 9, 7 C. 3, 7, 9, 7, 5 D. 3, 7, 9, 7, 5, 4
Lời giải
Vì sai số tuyệt đối đến hàng trăm nên các chữ số hàng nghìn trở lên của a là đáng tin.
Vậy các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5.
Đáp án C.
Câu 16: Biết số gần đúng
7975421a =
có độ chính xác
150d =
. Hãy ước lượng sai số tương đối của a.
A.
0,0000099
a
δ
≤
B.
0,000039
a
δ
≤
C.
0,0000039
a
δ
≥
D.
0,000039
a
δ
<
Lời giải
Theo Ví dụ 1 ta có các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5
⇒
Cách viết chuẩn của
3
37975.10
a =
Sai số tương đối thỏa mãn:
150
0,0000039
37975421
a
δ
≤=
(tức là không vượt quá
0,0000039
).
Câu 17: Biết số gần đúng
173,4592a =
có sai số tương đối không vượt quá
1
10000
, hãy ước lượng sai
số tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn.
A.
0,17; 173,4
a
a∆≤ =
B.
0,017; 173,5
a
a∆≤ =
C.
0,4592; 173,5
a
a∆≤ =
D.
0,017; 173,4
a
a∆≤ =
Lời giải
Từ công thức
a
a
a
δ
∆
=
, ta có
1
173,4592. 0,017
10000
a
∆≤ =
Vậy chữ số đáng tin là 1, 7, 3, 4.
Dạng chuẩn của a là
173,5a =
.
Đáp án B.
Câu 18: Tính chu vi của hình chữ nhật có các cạnh là
3,456 0,01x = ±
(m) và
12,732 0,015y = ±
(m) và
ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A.
32,376 0,025; 0,05
L
L = ± ∆≤
B.
32,376 0,05; 0,025
L
L = ± ∆≤
C.
32,376 0,5; 0,5
L
L = ± ∆≤
D.
32,376 0,05; 0,05
L
L = ± ∆≤
Lời giải
Chu vi
( ) ( )
2 2 3,456 12,732 32,376
L xy= += + =
(m)
Sai số tuyệt đối
( )
2 0,01 0,015 0,05
L
∆≤ + =
Vậy
32,376 0,05L = ±
(m).
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Đáp án D.
Câu 19: Tính diện tích S của hình chữ nhật có các cạnh là
3,456 0,01x = ±
(m) và
12,732 0,015y = ±
(m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A.
44,002
S =
(
2
m
);
0,176
S
∆≤
B.
44,002S =
(
2
m
);
0,0015
S
∆≤
C.
44,002
S =
(
2
m
);
0,025
S
∆≤
D.
44,002S =
(
2
m
);
0,0025
S
∆<
Lời giải
Diện tích
3,456.12,732 44,002S xy= = =
(
2
m
)
Sai số tương đối
S
δ
không vượt quá:
0,01 0,015
0,004
3,456 12,732
+=
Sai số tuyệt đối
S
∆
không vượt quá:
. 44,002.0,004 0,176
S
S
δ
= ≈
.
Đáp án A.
Câu 20: Xấp xỉ số π bởi số
355
113
. Hãy đánh giá sai số tuyệt đối biết:
3,14159265 3,14159266
π
<<
.
A.
7
2,8.10
a
−
∆≤
B.
7
28.10
a
−
∆≤
C.
7
1.10
a
−
∆≤
D.
6
2,8.10
a
−
∆≤
Lời giải
Đáp án A.
Ta có (sử dụng máy tính bỏ túi)
355
3,14159292... 3,1415929293
113
≈<
Do vậy
355
0 3,14159293 3,14159265
113
π
< −< −
0,00000028≈
Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn
7
2,8.10
−
.
Câu 21: Độ cao của một ngọn núi đo được là
1372,5h =
m. Với sai số tương đối mắc phải là
0,5‰
. Hãy
xác định sai số tuyệt đối của kết quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn.
A.
( )
0,68625; 1373
h
hm∆= =
B.
( )
0,68626; 1372
h
hm∆= =
C.
( )
0,68625; 1372
h
hm∆= =
D.
( )
0,68626; 1373
h
hm∆= =
Lời giải
Đáp án A.
Theo công thức
h
h
h
δ
∆
=
ta có:
0,5
. 1372.5. 0,68625
1000
hh
h
δ
∆= = =
Và h viết dưới dạng chuẩn là
1373h =
(m)
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Câu 22: Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75m với dụng cụ đo đảm bảo sai số tương
đối không vượt quá
1, 5‰
. Tính độ dài gần đúng của cầu.
A. 500,1m B. 499,9m C. 500 m D. 501 m
Lời giải
Đáp án C.
Độ dài h của cây cầu là:
0,75
.1000 500
1, 5
d
≈=
(m)
Câu 23: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của thống
kê này không vượt quá 10000 người, hãy viết số trên dưới dạng chuẩn và ước lượng sai số tương
đối của số liệu thống kê trên.
A.
5
797.10 , 0,0001254
a
a
δ
= =
B.
4
797.10 , 0,000012
a
a
δ
= =
C.
6
797.10 , 0,001254
a
a
δ
= =
D.
5
797.10a =
,
0,00012
a
δ
<
Lời giải
Đáp án A.
Vì các chữ số đáng tin là 7; 9; 7. Dạng chuẩn của số đã cho là
5
797.10
(Bảy mươi chín triệu
bảy trăm nghìn người). Sai số tương đối mắc phải là:
10000
0,0001254
79715675
a
a
a
δ
∆
= = =
Câu 24: Độ cao của một ngọn núi đo được là
2373,5hm=
với sai số tương đối mắc phải là
0,5‰
. Hãy
viết h dưới dạng chuẩn.
A. 2373 m B. 2370 m C. 2373,5 m D. 2374 m
Lời giải
Đáp án B.
h
h
h
δ
∆
=
, ta có:
0,5
. 2373,5. 1,18675
1000
h
hh
δ
∆= = =
h viết dưới dạng chuẩn là
2370h =
m.
Câu 25: Trong một phòng thí nghiệm, hằng số c được xác định gần đúng là 3,54965 với độ chính xác
0,00321d =
. Dựa vào d, hãy xác định chữ số chắc chắn của c.
A. 3; 5; 4 B. 3; 5; 4; 9 C. 3; 5; 4; 9; 6 D. 3; 5; 4; 9; 6; 5
Lời giải
Đáp án A.
Ta có:
0,00321 0,005<
nên chữ số 4 (hàng phần trăm) là chữ số chắc chắn, do đó c có 3 chữ
số chắc chắn là 3; 5; 4.
Câu 26: Cho giá trị gần đúng của
8
17
là
0, 47
. Sai số tuyệt đối của số
0, 47
là:
A.
0,001
. B.
0,002
. C.
0,003
. D.
0,004
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Lời giải
Chọn A
Ta có
8
0,470588235294...
17
=
nên sai số tuyệt đối của
0, 47
là
8
0,47 0,47 4,471 0,001
17
∆= − < − =
.
Câu 27: Cho giá trị gần đúng của
3
7
là
0,429
. Sai số tuyệt đối của số
0,429
là:
A.
0,0001
. B.
0,0002
. C.
0,0004
. D.
0,0005
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3
0,428571...
7
=
nên sai số tuyệt đối của
0,429
là
3
0,429 0,429 4,4285 0,0005
7
∆= − < − =
.
Câu 28: Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là
2.731.425
người với sai số ước lượng
không quá
200
người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là:
A. Hàng đơn vị. B. Hàng chục. C. Hàng trăm. D. Cả A, B, C.
Lời giải
Chọn D
Ta có
100 1000
50 200 500
22
d= <= < =
các chữ số đáng tin là các chữ số hàng nghìn trở đi.
Câu 29: Nếu lấy
3,14
làm giá trị gần đúng của
π
thì sai số là:
A.
0,001
. B.
0,002
. C.
0,003
. D.
0,004
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
3,141592654...
π
=
nên sai số tuyệt đối của
3,14
là
3,14 3,14 3,141 0,001
π
∆= − < − =
.
Câu 30: Nếu lấy
3,1416
làm giá trị gần đúng của
π
thì có số chữ số chắc là:
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3,141592654...
π
=
nên sai số tuyệt đối của
3,1416
là
3,1416 3,1416 3,1415 0,0001
π
∆= − < − =
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
Mà
0,001
0,0001 0,0005
2
d
=<=
nên có 4 chữ số chắc.
Câu 31: Số gần đúng của
2,57656
a =
có ba chữ số đáng tin viết dưới dạng chuẩn là:
A.
2,57
. B.
2,576
. C.
2,58
. D.
2,577
.
Lời giải
Chọn A
Vì
a
có 3 chữ số đáng tin nên dạng chuẩn là
2,57
.
Câu 32: Trong số gần đúng
a
dưới đây có bao nhiêu chữ số chắc
174325a =
với
17
a
∆=
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
100
17 50
2
a
∆= < =
nên
a
có 4 chữ số chắc.
Câu 33: Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là
1
4
ngày. Sai
số tuyệt đối là:
A.
1
4
. B.
1
365
. C.
1
1460
. D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn A
Câu 34: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là
7,8 2x m cm
= ±
và
25, 6 4y m cm= ±
. Số đo
chu vi của đám vườn dưới dạng chuẩn là:
A.
66 12m cm
±
. B.
67 11
m cm
±
. C.
66 11m cm±
. D.
67 12m cm±
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
7,8 2 7,78 7,82x m cm m x m= ± ⇒ ≤≤
và
25,6 4 25,56 25,64y m cm m y m= ± ⇒ ≤≤
.
Do đó chu vi hình chữ nhật là
( )
[ ]
2 66,68;66,92 66,8 12P x y P m cm= +∈ ⇒= ±
.
Vì
1
12 0,12 0,5
2
d cm m= = <=
nên dạng chuẩn của chu vi là
66 12m cm±
.
Câu 35: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là
7,8 2x m cm
= ±
và
25, 6 4y m cm= ±
. Cách
viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là:
A.
22
199 0,8mm±
. B.
22
199 1mm±
. C.
22
200 1
m cm±
. D.
22
200 0,9mm±
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
7,8 2 7,78 7,82x m cm m x m= ± ⇒ ≤≤
và
25,6 4 25,56 25,64y m cm m y m= ± ⇒ ≤≤
.
Do đó diện tích hình chữ nhật là
S xy=
và
198,8568 200,5048 199,6808 0,824SS≤≤ ⇒= ±
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Câu 36: Một hình chữ nhật cố các cạnh:
4, 2 1x m cm= ±
,
72y m cm
= ±
. Chu vi của hình chữ nhật và sai
số tuyệt đối của giá trị đó.
A.
22, 4m
và
3cm
. B.
22, 4m
và
1cm
. C.
22, 4m
và
2cm
. D.
22, 4m
và
6cm
.
Lời giải
Chọn D
Ta có chu vi hình chữ nhật là
( )
2 22, 4 6P x y m cm= += ±
.
Câu 37: Hình chữ nhật có các cạnh:
21x m cm= ±
,
52y m cm= ±
. Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt
đối của giá trị đó là:
A.
2
10m
và
2
900
cm
. B.
2
10m
và
2
500cm
. C.
2
10m
và
2
400cm
. D.
2
10m
và
2
1404 cm
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 1 1,98 2,02x m cm m x m
= ± ⇒ ≤≤
và
5 2 4,98 5,02
y m cm m y m= ± ⇒ ≤≤
.
Do đó diện tích hình chữ nhật là
S xy=
và
9,8604 10,1404 10 0,1404SS≤≤ ⇒= ±
.
Câu 38: Trong bốn lần cân một lượng hóa chất làm thí nghiệm ta thu được các kết quả sau đây với độ
chính xác
0,001g
:
5,382g
;
5,384g
;
5,385g
;
5,386g
. Sai số tuyệt đối và số chữ số chắc của
kết quả là:
A. Sai số tuyệt đối là
0,001g
và số chữ số chắc là
3
chữ số.
B. Sai số tuyệt đối là
0,001g
và số chữ số chắc là
4
chữ số.
C. Sai số tuyệt đối là
0,002g
và số chữ số chắc là
3
chữ số.
D. Sai số tuyệt đối là
0,002g
và số chữ số chắc là
4
chữ số.
Lời giải
Chọn B
Ta có
0,01
0,001 0,005
2
d =<=
nên có 3 chữ số chắc.
Câu 39: Một hình chữ nhật cố diện tích là
22
180,57 0,6
S cm cm= ±
. Kết quả gần đúng của
S
viết dưới
dạng chuẩn là:
A.
2
180,58cm
. B.
2
180,59cm
. C.
2
0,181cm
. D.
2
181,01cm
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
10
0,6 5
2
d = <=
nên
S
có 3 chữ số chắc.
Câu 40: Đường kính của một đồng hồ cát là
8,52m
với độ chính xác đến
1cm
. Dùng giá trị gần đúng của
π
là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là:
A. 26,6. B. 26,7. C. 26,8. D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn B
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 10
Gọi
d
là đường kính thì
8,52 1 8, 51 8,53d m cm m d m= ± ⇒ ≤≤
.
Khi đó chu vi là
Cd
π
=
và
26,7214 26,7842 26,7528 0,0314
CC
≤≤ ⇒= ±
.
Ta có
0,1
0,0314 0,05
2
<=
nên cách viết chuẩn của chu vi là 26,7.
Câu 41: Một hình lập phương có cạnh là
2, 4 1
m cm
±
. Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi
quy tròn) là:
A.
22
35 0,3
mm±
. B.
22
34 0,3mm±
. C.
22
34,5 0,3mm±
. D.
22
34,5 0,1mm±
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
a
là độ dài cạnh của hình lập phương thì
2, 4 1 2,39 2, 41a m cm m a m= ± ⇒ ≤≤
.
Khi đó diện tích toàn phần của hình lập phương là
2
6Sa
=
nên
34,2726 34,8486S
≤≤
.
Do đó
22
34,5606 0,288
S mm
= ±
.
Câu 42: Một vật thể có thể tích
33
180,37 0,05V cm cm= ±
. Sai số tương đối của gia trị gần đúng ấy là:
A.
0,01%
. B.
0,03%
. C.
0,04%
. D.
0,05%
.
Lời giải
Chọn B
Sai số tương đối của giá trị gần đúng là
0,05
0,03%
180,37V
δ
∆
= = ≈
.
Câu 43: Cho giá trị gần đúng của
23
7
là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là:
A. 0,04. B.
0,04
7
. C. 0,06. D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
23 23 0,04
3, 285714 3,28 0,00 571428
77 7
= ⇒− = =
.
Câu 44: Trong các thí nghiệm hằng số
C
được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là
0,00421d =
. Viết chuẩn giá trị gần đúng của
C
là:
A. 5,74. B. 5,736. C. 5,737. D. 5,7368.
Lời giải
Chọn A
Ta có
5,736750,00421 5,74096CC− ≤ ⇒≈
.
Câu 45: Cho số
1754731a =
, trong đó chỉ có chữ số hàng trăm trở lên là đáng tin. Hãy viết chuẩn số gần
đúng của
a
.
A.
2
17547.10
. B.
2
17548.10
. C.
3
1754.10
. D.
2
1755.10
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 11
Lời giải
Chọn A
Câu 46: Hình chữ nhật có các cạnh:
2 1, 5 2x m cm y m cm=±=±
. Diện tích hình chữ nhật và sai số tương
đối của giá trị đó là:
A.
2
10m
và
5
o
oo
. B.
2
10m
và
4
o
oo
. C.
2
10m
và
9
o
oo
. D.
2
10m
và
20
o
oo
.
Lời giải
Chọn C
Diên tích hình chữ nhật là
2
. 2.5 10
o oo
S xy m
= = =
.
Cận trên của diện tích:
( )( )
2 0,01 5 0,02 10,0902+ +=
Cận dưới của diện tích:
( )( )
2 0,01 5 0,02 9,9102− −=
.
9,9102 10,0902S
⇒ ≤≤
Sai số tuyệt đối của diện tích là:
0,0898
o
S SS∆= − ≤
Sai số tương đối của diện tích là:
0,0898
9
10
S
o
oo
S
∆
= ≈
Câu 47: Hình chữ nhật có các cạnh:
2 1, 5 2
x m cm y m cm=±=±
. Chu vi hình chữ nhật và sai số tương
đối của giá trị đó là:
A.
22, 4
và
1
2240
. B.
22, 4
và
6
2240
. C.
22, 4
và
6cm
. D. Một đáp số khác.
Lời giải
Chọn D
Chu vi hình chữ nhật là:
( ) (
)
2 2 2 5 20
o oo
P xy m= + = +=
Câu 48: Một hình chữ nhật có diện tích là
22
108,57 0,06 .
S cm cm= ±
Số các chữ số chắc của
S
là:
A.
5.
B.
4.
C.
3.
D.
2.
Lời giải
Chọn B
Nhắc lại định nghĩa số chắc:
Trong cách ghi thập phân của a, ta bảo chữ số k cuả a là chữ số đáng tin (hay chữ số chắc) nếu
sai số tuyệt đối ∆
a
không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k.
+ Ta có sai số tuyệt đối bằng
0,06 0,01>⇒
chữ số 7 là số không chắc,
0,06 0,1
<⇒
chữ số 5 là
số chắc.
+ Chữ số k là số chắc thì tất cả các chữ số đứng bên trái k đều là các chữ số chắc
⇒
các chữ số
1, 0, 8
là các chữ số chắc. Như vậy ta có số các chữ số chắc của
S
là:
1, 0, 8, 5.
Câu 49: Ký hiệu khoa học của số
0,000567−
là:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 12
A.
6
567.10
−
−
. B.
5
5,67.10
−
−
. C.
4
567.10
−
−
. D.
−
−
3
567.10 .
Lời giải
Chọn B
+ Mỗi số thập phân đều viết được dưới dạng
.10
n
α
trong đó
1 10, .nZ
α
≤< ∈
Dạng như thế được
gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
+ Dựa vào quy ước trên ta thấy chỉ có phương án C là đúng.
Câu 50: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được:
8 2,828427125
=
.Giá trị gần
đúng của
8
chính xác đến hàng phần trăm là:
A.
2,80.
B.
2,81.
C.
2,82.
D.
2,83.
Lời giải
Chọn D
+ Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 2 ở
hàng phần trăm là số
85>
nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là
2,83.
Câu 51: Viết giá trị gần đúng của
10
đến hàng phần trăm (dùng MTBT):
A.
3,16.
B.
3,17.
C.
3,10.
D.
3,162.
Lời giải
Chọn A
+ Ta có:
10 3,16227766.=
+ Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 6 ở
hàng phần trăm là số
25
<
nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là
3,16.
Câu 52: Độ dài của một cây cầu người ta đo được là
996m 0,5m±
. Sai số tương đối tối đa trong phép đo
là bao nhiêu.
A.
0,05%
B.
0,5%
C.
0,25%
D.
0,025%
Lời giải
Chọn A
Ta có độ dài gần đúng của cầu là
996a =
với độ chính xác
0,5d =
.
Vì sai số tuyệt đối
0,5
a
d∆≤ =
nên sai số tương đối
0,5
0,05%
996
a
a
d
aa
δ
∆
= ≤= ≈
.
Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là
0,05%
.
Câu 53: Số
a
được cho bởi số gần đúng
5,7824a =
với sai số tương đối không vượt quá
0,5%
. Hãy
đánh giá sai số tuyệt đối của
a
.
A.
2,9%
B.
2,89%
C.
2,5%
D.
0,5%
Lời giải
Chọn B
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 13
Ta có
a
a
a
δ
∆
=
suy ra
.
aa
a
δ
∆=
. Do đó
0,5
.5,7824 0,028912 2,89%
100
a
∆≤ = ≈
.
Câu 54: Cho số
2
7
x =
và các giá trị gần đúng của
x
là
0, 28 ; 0, 29 ; 0, 286 ; 0,3
. Hãy xác định sai số
tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất.
A.
0, 28
B.
0, 29
C.
0,286
D.
0,3
Lời giải
Chọn C
Ta có các sai số tuyệt đối là
21
0, 28
7 175
a
∆= − =
,
23
0, 29
7 700
b
∆= − =
,
21
0,286
7 3500
c
∆= − =
,
21
0,3
7 70
d
∆= − =
.
Vì
c b ad
∆ <∆ <∆ <∆
nên
0,286c =
là số gần đúng tốt nhất.
Câu 55: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là
23m 0, 01mx = ±
và chiều rộng là
15m 0,01m
y = ±
. Chu vi của ruộng là:
A.
76m 0,4mP = ±
B.
76m 0,04mP = ±
C.
76m 0,02m
P = ±
D.
76m 0,08m
P = ±
Lời giải
Chọn B
Giả sử
23 , 15x ay b=+=+
với
0,01 , 0,01ab−≤≤
.
Ta có chu vi ruộng là
( ) ( ) ( )
2 2 38 76 2P x y ab ab= + = ++ = + +
.
Vì
0,01 , 0,01ab−≤≤
nên
(
)
0,04 2 0,04
ab− ≤ +≤
.
Do đó
( )
76 2 0,04P ab
−= +≤
.
Vậy
76m 0,04mP
= ±
.
Câu 56: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là
23m 0,01m
x = ±
và chiều rộng là
15m 0,01my
= ±
. Diện tích của ruộng là:
A.
345m 0,3801mS = ±
. B.
345m 0,38mS = ±
.
C.
345m 0,03801mS = ±
. D.
345m 0,3801mS = ±
.
Lời giải
Chọn A
Diện tích ruộng là
( )( )
. 23 15 345 23 15S x y a b b a ab
= = + += + + +
.
Vì
0,01 , 0, 01ab−≤≤
nên
23 15 23.0,01 15.0,01 0,01.0,01
b a ab
+ +≤ + +
hay
23 15 0,3801b a ab+ +≤
.
Suy ra
345 0,3801S −≤
.
Vậy
345m 0,3801mS = ±
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 14
Câu 57: Cho tam giác
ABC
có độ dài ba cạnh đo được như sau
12cm 0,2cm
a = ±
;
10, 2cm 0, 2cmb = ±
;
8cm 0,1cmc = ±
. Tính chu vi
P
của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của
số gần đúng của chu vi qua phép đo.
A.
1, 6%
B.
1, 7%
C.
1,662%
D.
1,66%
Lời giải
Chọn D
Giả sử
1 23
12 , 10,2 , 8a db dc d=+=+=+
.
Ta có
123 123
30, 2P abcd d d d d d=+++++= +++
.
Theo giả thiết, ta có
1 23
0, 2 0,2; 0, 2 0, 2; 0,1 0,1
d dd
− ≤≤ − ≤≤ − ≤≤
.
Suy ra
123
–0,5 0,5ddd≤++≤
.
Do đó
30, 2 cm 0,5 cmP = ±
.
Sai số tuyệt đối
0,5
P
∆ ≤
. Sai số tương đối
1,66%
P
d
P
δ
≤≈
.
Câu 58: Viết giá trị gần đúng của số
3
, chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn
A.
1,73;1,733
B.
1, 7;1, 73
C.
1,732;1,7323
D.
1,73;1,732
.
Lời giải
Chọn D
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có
3 1,732050808...=
Do đó giá trị gần đúng của
3
chính xác đến hàng phần trăm là 1,73;
giá trị gần đúng của
3
chính xác đến hàng phần nghìn là 1,732.
Câu 59: Viết giá trị gần đúng của số
2
π
, chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn.
A.
9,9
,
9,87
B.
9,87
,
9,870
C.
9,87
,
9,87
D.
9,870
,
9,87
.
Lời giải
Chọn B
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của
2
π
là 9,8696044.
Do đó giá trị gần đúng của
2
π
chính xác đến hàng phần trăm là 9,87;
giá trị gần đúng của
2
π
chính xác đến hàng phần nghìn là 9,870.
Câu 60: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác
d
được cho sau đây
17658 16a = ±
.
A.
18000
B.
17800
C.
17600
D.
17700
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
10 16 100<<
nên hàng cao nhất mà
d
nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Do
đó ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết
17700a ≈
).
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 15
Câu 61: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác
d
được cho sau đây
17658 16
a
= ±
15,318 0,056a = ±
.
A.
15
B.
15,5
C.
15,3
D.
16
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
0,01 0,056 0,1
<<
nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần
chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết
15,3a ≈
).
Câu 62: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh
sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết
vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học.
A.
9
9,5.10
. B.
9
9,4608.10
. C.
9
9,461.10
. D.
9
9,46080.10
.
Lời giải
Chọn B
Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây. Do
đó một năm có:
24.365.60.60 31536000=
giây.
Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được
9
31536000.300 9,4608.10=
km.
Câu 63: Số dân của một tỉnh là
1034258 300A = ±
(người). Hãy tìm các chữ số chắc.
A. 1, 0, 3, 4, 5. B. 1, 0, 3, 4. C. 1, 0, 3, 4. D. 1, 0, 3.
Lời giải
Chọn C
Ta có
100 1000
50 300 500
22
=<<=
nên các chữ số 8 (hàng đơn vị), 5 (hàng chục) và 2 ( hàng
trăm ) đều là các chữ số không chắc. Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc.
Do đó cách viết chuẩn của số
A
là
3
1034.10A ≈
(người).
Câu 64: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo
192,55 ma =
, với sai số tương đối không vượt quá
0,3%
. Hãy tìm các chữ số chắc của
d
và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của
a
.
A.
193 m
. B.
192 m
. C.
192,6 m
. D.
190 m
.
Lời giải
Chọn A
Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là
. 192,55.0,2% 0,3851
aa
a
δ
∆= ≤ =
.
Vì
0,05 0,5
a
<∆ <
. Do đó chữ số chắc của
d
là 1, 9, 2.
Vậy cách viết chuẩn của
a
là
193 m
(quy tròn đến hàng đơn vị).
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 16
Câu 65: Viết dạng chuẩn của số gần đúng
a
biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là
3214056a =
người với
độ chính xác
100
d
=
người.
A.
3
3214.10
. B.
3214000
. C.
6
3.10
. D.
5
32.10
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
100 1000
50 100 500
22
=<< =
nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số
hàng nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là
1,2,3,4
.
Cách viết dưới dạng chuẩn là
3
3214.10
.
Câu 66: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng
a
biết
1,3462a =
sai số tương đối của
a
bằng
1%
.
A.
1, 3
. B.
1, 34
. C.
1, 35
. D.
1,346
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
a
a
a
δ
∆
=
suy ra
. 1%.1,3462 0,013462
aa
a
δ
∆= = =
.
Suy ra độ chính xác của số gần đúng
a
không vượt quá
0,013462
nên ta có thể xem độ chính
xác là
0,013462d
=
.
Ta có
0,01 0,1
0,005 0,013462 0,05
22
= < <=
nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc,
còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là
1
và
3
.
Cách viết dưới dạng chuẩn là
1, 3
.
Câu 67: Một hình lập phương có thể tích
33
180,57cm 0,05cmV = ±
. Xác định các chữ số chắc chắn của
V
.
A.
1, 8
. B.
1, 8, 0
. C.
1, 8, 0, 5
. D.
1,8, 0,5, 7
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
0,01 0,1
0,05
22
≤≤
. Suy ra
1, 8, 0, 5
là chữ số chắc chắn.
Câu 68: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn
467346 12a = ±
.
A.
46735.10
. B.
4
47.10
. C.
3
467.10
. D.
2
4673.10
.
Lời giải
Chọn D
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 17
Ta có
10 100
5 12 50
22
=<< =
nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần
đúng viết dưới dạng chuẩn là
2
4673.10
.
Câu 69: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn
2,4653245 0,006b
= ±
.
A.
2, 46
. B.
2, 47
. C.
2,5
. D.
2,465
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
0,01 0,1
0,005 0,006 0,05
22
= < <=
nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số chắc
do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là
2,5
.
Câu 70: Quy tròn số
7216,4
đến hàng đơn vị, được số
7216
. Sai số tuyệt đối là:
A.
0, 2
. B.
0,3
. C.
0, 4
. D.
0,6
.
Lời giải
Chọn C
Quy tròn số
7216,4
đến hàng đơn vị, được số
7216
. Sai số tuyệt đối là:
7216,4 7216 0, 4−=
Câu 71: Quy tròn số
2,654
đến hàng phần chục, được số
2,7
. Sai số tuyệt đối là:.
A.
0,05
. B.
0,04
. C.
0,046
. D.
0,1
.
Lời giải
Chọn C
Quy tròn số
2,654
đến hàng phần chục, được số
2,7
. Sai số tuyệt đối là:
2,7 2,654 0,046−=
.
Câu 72: Trong 5 lần đo độ cao một đạp nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1dm:
15,6m; 15,8m; 15,4m; 15,7m; 15,9m. Hãy xác định độ cao của đập nước.
A.
'
3
h
dm
∆=
. B.
16 3m dm±
. C.
15,5 1m dm±
. D.
15,6 0,6m dm±
.
Lời giải
Chọn A
Giá trị trung bình là: 15,68m.
Vì độ chính xác là 1dm nên ta có
' 15, 7hm
=
. Mà
'
3
h
dm∆=
Nên
15, 7 3m dm±
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM
I. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
1. Định nghĩa
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu
, ,...,
n
xx x
12
, kí hiệu là
x
, được tính bằng
công thức:
12
...
n
xx
x
n
x+ ++
=
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính
theo công thức:
11 2 2
...
kk
mx m x x
x
n
m
+ ++
=
Trong đó
là tần số của giá trị
k
x
và
...
k
nm m m
12
= + ++
.
2. Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị
trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để dại diện cho mẫu số liệu.
II. TRUNG VỊ
1. Định nghĩa
Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
• Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số
chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
2. Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp
theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi
giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
III. TỨ PHÂN VỊ
1. Định nghĩa
Hình 5.3b
Chú ý.
1
Q
được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới,
3
Q
được gọi là tứ phân vị thứ ba
hay tứ phân vị trên.
2. Ý nghĩa. Các điểm
123
,,QQQ
chia mẫu số liệu đã
sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến
lớn thành bốn phần, mỗi phần
đều chứa
25%
giá trị (hình
5.3a).
Hình 5.3a. Các tứ phân vị
VÍ DỤ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam,
1 0,001mg g
=
) trong 100 g một số loại ngũ cốc
được cho như sau:
0
340
70
140
200
180
210
150
100
130
140
180
190
160
290
50
220
180
200
210.
Hãy tìm các tứ phân vị. Các phân vị này cho ta thông tin gì?
Giải
• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
• Vì
= 20n
là số chẵn nên
2
Q
là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
( )
=+=
2
180 180 : 2 180Q
.
• Ta tìm
1
Q
là trung vị của nửa số liệu bên trái
2
Q
:

0 50 70 100 130 140 140 150 160 180
.
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có
n
giá trị,
ta làm như sau:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là
2
Q
.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái
2
Q
(không
bao gồm
2
Q
nếu
n
lẻ). Giá trị này là
1
Q
.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải
2
Q
(không
bao gồm
2
Q
nếu
n
lẻ). Giá trị này là
3
Q
.
QQQ
được gọi là các tứ phân vị của mẫu số
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
và ta tìm được
( )
=+=
1
130 140 : 2 135Q
.
• Ta tìm
3
Q
là trung vị của nửa số liệu bên phải
2
Q
:

180 180 190 200 200 210 210 220 290 340
.
và tìm được
( )
=+=
3
200 210 : 2 205Q
.
Hình 5.4. Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ
1
Q
đến
là 45 trong
khi khoảng cách từ
đến
3
Q
là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung mật độ cao ở bên
phải
2
Q
và mật độ thấp ở bên trái
2
Q
(H.5.4).
IV. MỐT
1. Định nghĩa
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
2. Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều
giá trị trùng nhau.
Câu 1. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9
8
15
8
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250
.
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35
.
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Câu 2. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị
của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
Hành tinh
Thu
ỷ
tinh
Kim tinh
Trái
Đ
ấ
t
Hoả
tinh
Mộc tinh
Thổ
t
i
n
h
Thiên
Vương
tinh
Hải
Vươn
g tinh
Số mặt
trăng
0 0 1
2
63 34
27
13
(Theo NASA)
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:
32 24 20 14 23
.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh:
60 72 63 83 68 74 90 86 74 80
.
d) Các sai số trong phép đo:
10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42
.
Câu 3. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 - 2019 của 10 trường Trung học phổ thông
được cho như sau:
0040001006 0
.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tạo sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Câu 4. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng
đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).
Sân vận động
Cẩm phả
Thiên Trường
Hàng Đẫy
Thanh Hoá
Mỹ Đình
Chỗ ngồi
20 120
21 315
23 405
20 120
37 546
(Theo vov.vn)
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng như thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của
Sân vân động Quốc gia Mỹ Đình?
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM
I. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
1. Định nghĩa
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu
, ,...,
n
xx x
12
, kí hiệu là
x
, được tính bằng
công thức:
12
...
n
xx
x
n
x+ ++
=
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính
theo công thức:
11 2 2
...
kk
mx m x x
x
n
m
+ ++
=
Trong đó
là tần số của giá trị
k
x
và
...
k
nm m m
12
= + ++
.
2. Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị
trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để dại diện cho mẫu số liệu.
II. TRUNG VỊ
1. Định nghĩa
Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
• Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số
chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
2. Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp
theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi
giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
III. TỨ PHÂN VỊ
1. Định nghĩa
Hình 5.3b
Chú ý.
1
Q
được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới,
3
Q
được gọi là tứ phân vị thứ ba
hay tứ phân vị trên.
2. Ý nghĩa. Các điểm
123
,,QQQ
chia mẫu số liệu đã
sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến
lớn thành bốn phần, mỗi phần
đều chứa
25%
giá trị (hình
5.3a).
Hình 5.3a. Các tứ phân vị
VÍ DỤ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam,
1 0,001mg g
=
) trong 100 g một số loại ngũ cốc
được cho như sau:
0
340
70
140
200
180
210
150
100
130
140
180
190
160
290
50
220
180
200
210.
Hãy tìm các tứ phân vị. Các phân vị này cho ta thông tin gì?
Giải
• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
• Vì
= 20n
là số chẵn nên
2
Q
là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
( )
=+=
2
180 180 : 2 180Q
.
• Ta tìm
1
Q
là trung vị của nửa số liệu bên trái
2
Q
:

0 50 70 100 130 140 140 150 160 180
.
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có
n
giá trị,
ta làm như sau:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là
2
Q
.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái
2
Q
(không
bao gồm
2
Q
nếu
n
lẻ). Giá trị này là
1
Q
.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải
2
Q
(không
bao gồm
2
Q
nếu
n
lẻ). Giá trị này là
3
Q
.
QQQ
được gọi là các tứ phân vị của mẫu số
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
và ta tìm được
( )
=+=
1
130 140 : 2 135Q
.
• Ta tìm
3
Q
là trung vị của nửa số liệu bên phải
2
Q
:

180 180 190 200 200 210 210 220 290 340
.
và tìm được
( )
=+=
3
200 210 : 2 205Q
.
Hình 5.4. Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ
1
Q
đến
là 45 trong
khi khoảng cách từ
đến
3
Q
là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung mật độ cao ở bên
phải
2
Q
và mật độ thấp ở bên trái
2
Q
(H.5.4).
IV. MỐT
1. Định nghĩa
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
2. Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều
giá trị trùng nhau.
Câu 1. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9
8
15
8
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250
.
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35
.
Giải
a) Số trung bình là
8.2 9 15 20
12
5
++ +
=
.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm
8 8 9 15 20
.
Trung vị là
9
.
Số 8 xuất hiện nhiều nhất nên mốt là
8
.
Tứ phân vị
123
8; 9; 17.5= = =QQ Q
.
b) Số trung bình là
250 300.3 350 450 500 650
387.5
8
+ ++++
=
.
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:
250 300 300 300 350 450 500 650
.
Trung vị là
325
.
Mốt là
300
.
Tứ phân vị
123
300; 325; 475= = =QQQ
.
c) Số trung bình là
30 32 33 34.2 35 36 38
34
8
+++ +++
=
.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:
30 32 33 34 34 35 36 38
.
Trung vị là
34
.
Mốt là
34
.
Tứ phân vị
1 23
32.5; 34; 35.5
= = =
Q QQ
.
Câu 2. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị
của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
Hành tinh
Thu
ỷ
tinh
Kim tinh
Trái
Đ
ấ
t
Hoả
tinh
Mộc tinh
Thổ
t
i
n
h
Thiên
Vương
tinh
Hải
Vươn
g tinh
Số mặt
trăn
g
0 0 1
2
63 34
27
13
(Theo NASA)
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:
32 24 20 14 23
.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh:
60 72 63 83 68 74 90 86 74 80
.
d) Các sai số trong phép đo:
10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42
.
Giải
a) Chọn số đặc trưng là tứ phân vị, vì các số liệu không đồng đều nhau, nhiều số liệu trong
mẫu chênh lệch lớn so với trung vị.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm
0 0 1 2 13 27 34 63
.
Tứ phân vị
123
0.5; 7.5; 30.5QQQ= = =
.
b) Chọn số đặc trưng là số trung bình, các giá trị không lặp lại.
Số trung bình là
32 24 20 14 23
22.6
5
++++
=
.
c) Chọn số đặc trưng là trung bình, vì các số liệu gần nhau.Số trung bình là:
60 63 68 72 74.2 80 83 86 90
75
10
++++ ++++
=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
d) Chọn số đặc trưng là trung vị, vì có số 42 lớn bất thường. Trung vị là 15.
Câu 3. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 - 2019 của 10 trường Trung học phổ thông
được cho như sau:
0040001006 0
.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tạo sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Giải
a) Số trung bình là
0.7 4 6 10
2
10
+++
=
.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm
0000 0 0 0 4 610
.
Số 0 xuất hiện nhiều nhất nên mốt là
0
.
Tứ phân vị
123
0; 0; 4QQQ= = =
.
b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau do mẫu có 10 số liệu mà số 0 đã xuất hiện 7
lần.
Câu 4. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng
đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).
Sân vận động
Cẩm phả
Thiên Trường
Hàng Đẫy
Thanh Hoá
Mỹ Đình
Chỗ ngồi
20 120
21 315
23 405
20 120
37 546
(Theo vov.vn)
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng như thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của
Sân vân động Quốc gia Mỹ Đình?
Giải:
Số trung bình là
20120 21315 23405 20120 37546
24501.2
5
++++
=
.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm
20120 20120 21315 23405 37546
.
mốt là
20120
.
Trung vị
21315
.
Nếu bỏ số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình
Số trung bình là
20120 21315 23405 20120
21240
4
+++
=
.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm
20120 20120 21315 23405
.
mốt là
20120
.
Trung vị
20717.5
.
Vậy nếu bỏ số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì mốt giữ nguyên, số
trung bình và trung vị sẽ thay đổi.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM
I. KHOẢNG BIẾN THIÊN. KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
1. Định nghĩa:
Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số
liệu.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu
Q
∆
, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, túc là:
31
Q
QQ∆= −
2. Ý nghĩa:
a) Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu
số liệu càng phân tán.
b) Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn
thì mẫu số liệu càng phân tán.
Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8
Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học
đồng đều hơn?
Giải
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7;9. Do đó, khoảng biến thiên
là:
1
972R =−=
.
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6;10. Do đó, khoảng biến thiên
là:
2
10 6 4R = −=
.
Do
21
RR>
nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho như sau:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
163 159 172 167 165 168 170 161
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.
Giải
Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là 159; 172. Do đó, khoảng biến thiên là:
R 172 159 13=−=
.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến
thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả
các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Giải
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
7 8 11 13 15 18 19 20 22.
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa
2
15Q =
.
Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó,
1
(8 11) : 2 9, 5Q =+=
.
Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.
Do đó,
3
(19 20) : 2 19,5Q
=+=
.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là:
19,5 9,5 10
Q
∆= − =
.
II. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ
qua thông tin của tất cả các giá trị khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin
của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng
thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ
lệch chuẩn.
Cụ thể là với mẫu số liệu
12 n
x ,x ,...,x
, nếu gọi số trung bình là
x
thì với mỗi giá trị
i
x
, độ lệch
của nó so với giá trị trung bình là
i
xx−
.
1. Định nghĩa:
• Phương sai là giá trị
( ) ( )
( )
22 2
12
2
...
−+−++−
=
n
xx xx x x
s
n
.
• Căn bậc hai của phương sai,
2
ss=
, được gọi là độ lệch chuẩn.
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:
Luyện tập 1.
Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
( )
( )
( )
22 2
2
12 n
x x x x ... x x
s
n1
−+−++−
=
−
.
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.
III. ĐỘ LỆCH CHUẨN
1. Định nghĩa:
• Căn bậc hai của phương sai,
2
ss
=
, được gọi là độ lệch chuẩn.
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì độ lệch chuẩn càng lớn.
43 45 46 41 40
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Giải
Số trung bình của mẫu số liệu là
43 45 46 41 40
x 43.
5
++++
= =
Ta có bảng sau:
Giá trị
Độ lệch
Bình phương độ lệch
43
43 – 43 = 0
0
45
45 – 43 = 2
4
46
46 – 43 = 3
9
41
41 – 43 = - 2
4
10
40 – 43 = - 3
9
Tổng
26
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên
n5=
. Do đó phương sai là
2
26
s 5, 2.
5
= =
Độ lệch chuẩn là:
s 5,2 2,28.= ≈
IV. TÍNH HỢP LÝ CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác.
Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn
hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này.
Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Các giá trị lớn hơn
3
1, 5.
Q
Q +∆
hoặc bé hơn
1
1, 5.
Q
Q −∆
được xem là giá trị bất thường.
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:
0 340 70 140 200 180 210 150 100 130
140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.
Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được
1
135Q =
và
3
205
Q =
. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
205 135 70
Q
∆= − =
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có
1
1,5. 30
Q
Q − ∆=
và
3
1,5. 310
Q
Q
+ ∆=
nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là
bất thường là 340 mg (lớn hơn 310 mg) và 0 mg (bé hơn 30 mg).
Câu 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn
càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của
các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Câu 2. Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình
không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Câu 3. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng
biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Câu 4. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5;
12 3
36; 60; 100QQ Q= = =
; giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có
50%
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Câu 5. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
2,977 3,155 3,920 3,412 4,236
2,593 3,270 3,813 4,042 3,387
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Câu 6. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6
5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM
I. KHOẢNG BIẾN THIÊN. KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
1. Định nghĩa:
Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số
liệu.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu
Q
∆
, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, túc là:
31
Q
QQ∆= −
2. Ý nghĩa:
a) Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu
số liệu càng phân tán.
b) Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn
thì mẫu số liệu càng phân tán.
Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8
Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học
đồng đều hơn?
Giải
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7;9. Do đó, khoảng biến thiên
là:
1
972R =−=
.
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6;10. Do đó, khoảng biến thiên
là:
2
10 6 4R = −=
.
Do
21
RR>
nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho như sau:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
163 159 172 167 165 168 170 161
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.
Giải
Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là 159; 172. Do đó, khoảng biến thiên là:
R 172 159 13=−=
.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến
thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả
các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Giải
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
7 8 11 13 15 18 19 20 22.
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa
2
15Q =
.
Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó,
1
(8 11) : 2 9, 5Q =+=
.
Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.
Do đó,
3
(19 20) : 2 19,5Q
=+=
.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là:
19,5 9,5 10
Q
∆= − =
.
II. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ
qua thông tin của tất cả các giá trị khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin
của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng
thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ
lệch chuẩn.
Cụ thể là với mẫu số liệu
12 n
x ,x ,...,x
, nếu gọi số trung bình là
x
thì với mỗi giá trị
i
x
, độ lệch
của nó so với giá trị trung bình là
i
xx−
.
1. Định nghĩa:
• Phương sai là giá trị
( ) ( )
( )
22 2
12
2
...
−+−++−
=
n
xx xx x x
s
n
.
• Căn bậc hai của phương sai,
2
ss=
, được gọi là độ lệch chuẩn.
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:
Luyện tập 1.
Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
( )
( )
( )
22 2
2
12 n
x x x x ... x x
s
n1
−+−++−
=
−
.
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.
III. ĐỘ LỆCH CHUẨN
1. Định nghĩa:
• Căn bậc hai của phương sai,
2
ss
=
, được gọi là độ lệch chuẩn.
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì độ lệch chuẩn càng lớn.
43 45 46 41 40
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Giải
Số trung bình của mẫu số liệu là
43 45 46 41 40
x 43.
5
++++
= =
Ta có bảng sau:
Giá trị
Độ lệch
Bình phương độ lệch
43
43 – 43 = 0
0
45
45 – 43 = 2
4
46
46 – 43 = 3
9
41
41 – 43 = - 2
4
10
40 – 43 = - 3
9
Tổng
26
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên
n5=
. Do đó phương sai là
2
26
s 5, 2.
5
= =
Độ lệch chuẩn là:
s 5,2 2,28.= ≈
IV. TÍNH HỢP LÝ CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác.
Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn
hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này.
Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Các giá trị lớn hơn
3
1, 5.
Q
Q +∆
hoặc bé hơn
1
1, 5.
Q
Q −∆
được xem là giá trị bất thường.
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:
0 340 70 140 200 180 210 150 100 130
140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.
Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được
1
135Q =
và
3
205
Q =
. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
205 135 70
Q
∆= − =
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có
1
1,5. 30
Q
Q − ∆=
và
3
1,5. 310
Q
Q
+ ∆=
nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là
bất thường là 340 mg (lớn hơn 310 mg) và 0 mg (bé hơn 30 mg).
Câu 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn
càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của
các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Giải
Các khẳng định đúng: (2), (5).
Các khẳng định sai: (1), (3), (4).
Câu 2. Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình
không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?
Giải
a) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu bằng nhau.
Số trung bình của hai mẫu số liệu bằng nhau.
b) Mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn mẫu số liệu B.
Câu 3. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng
biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Giải
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:
Khoảng biến thiên tăng gấp 2 lần.
Khoảng tứ phân vị tăng gấp 2 lần.
Độ lệch chuẩn tăng gấp 4 lần.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:
Khoảng biến thiên giữ nguyên.
Khoảng tứ phân vị giữ nguyên.
Độ lệch chuẩn giữ nguyên.
Câu 4. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5;
12 3
36; 60; 100QQ Q= = =
; giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có
50%
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Giải
a) Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được
1
36Q =
nên có 12 thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36.
Vì vậy, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là:
12 4
.
51 7
=
b) Hai giá trị có
50%
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa là 36 và 100.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là
31
100 36 64
Q
QQ∆= − = − =
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Câu 5. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
2,977 3,155 3,920 3,412 4,236
2,593 3,270 3,813 4,042 3,387
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Giải
Trước hết, ta sẽ sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
2,593 2,977 3,155 3,270 3,387 3,412 3,813 3,920
4,042 4,236
Khoảng biến thiên là
4,236 2,593 1,643R =−=
.
Ta có:
2
3,3995Q =
;
1
3,155Q =
;
3
3,920
Q
=
Khoảng tứ phân vị là
31
0,765
Q
QQ∆= − =
.
Độ lệch chuẩn là
0,52
s ≈
.
Câu 6. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6
5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được
1
4,5
Q =
và
3
7,8Q =
. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
7,8 4,5 3,3
Q
∆= − =
Ta có
1
1, 5 0, 45
Q
Q − ∆=−
và
3
1,5 12,75
Q
Q + ∆=
nên trong mẫu số liệu trên không có giá trị
bất thường.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI
ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử
đó và ký hiệu là
Ω
.
Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó,
tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc
ngửa (N).
Không gian mẫu của phép thử là
{ }
;
SNΩ=
2. Biến cố
a) Định nghĩa: Một biến cố
A
(còn gọi là sự kiện
A
) liên quan tới phép thử
T
là biến cố mà
việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của
T
.
Mỗi kết quả của phép thử
T
làm cho biến cố
A
xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho
A
.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho
A
được kí hiệu bởi
A
hoặc
A
Ω
. Để đơn giản, ta có thể dùng
chính chữ
A
để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho
A
.
Khi đó ta cũng nói biến cố
A
được mô tả bởi tập
A
.
b) Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử
T
. Biến cố chắc chắn
được mô tả bởi tập
Ω
và được ký hiệu là
Ω
.
c) Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử
T
. Biến cố không
thể được mô tả bởi tập
∅
.
d) Biến cố đối: Tập
\ AΩ
được gọi là biến cố đối của biến cố
A
, kí hiệu là
A
. Giả sử
A
và
B
là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
* Tập
AB∪
được gọi là hợp của các biến cố
A
và
B
.
* Tập
AB∩
được gọi là giao của các biến cố
A
và
B
.
* Nếu
AB∩=∅
thì ta nói
A
và
B
xung khắc.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
f. Bảng đọc ngôn ngữ biến cố.
Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố
A∈Ω
A
là biến cố
A = ∅
A
là biến cố không
A = Ω
A
là biến cố chắc
chắn
CAB= ∪
C
là biến cố “
A
hoặc
B
”
CAB= ∩
C
là biến cố “
A
và
B
”
AB∩=∅
A
và
B
xung khắc
BA=
A
và
B
đối nhau
3. Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu
Ω
gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và
A
là một biến cố.
Xác suất của biến cố
A
là một số, kí hiệu là
()PA
, được xác định bởi công thức:
( )
( )
()
A
nA
PA
n
Ω
= = =
ΩΩ
.
trong đó: () và () lần lượt kí hiệu số phần tử của tập và .
II. TÍNH CHÁT CỦA XÁC SUẤT
•
0 () 1PA≤≤
.
•
( ) 1, ( ) 0PPΩ= ∅=
.
•
( )
( )
1
PA PA= −
Ví dụ
Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm ở mặt
xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”.
a) Hãy tìm biến cố đối của biến cố .
b) Hãy tính xác suất của biến cố .
Soá keát quaû thuaän lôïi cho A
Soá keát quaû coù theå xaûy ra
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Giải
a) Biến cố đối của biến cố là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc
đó là số lẻ”.
b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là
(
)
= 6
.
xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi
cho
là (
) = 3
.
Xác suất của biến cố
là
(
)
=
=
.
Xác suất của biến cố là () = 1
(
)
=
.
III. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT BÉ
Trong thực tế, các biến cố có xác suất xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một
phép thử. Ngược lại, các biến cố mà xác suất xảy ra gần bằng 0 thì gần như không xảy ra trong
một phép thử.
Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đắm là số dương. Tuy nhiên, nếu
tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rất nhỏ, con tàu có thể yên tâm
hoạt động.
Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rất nhỏ,
chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không,
vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì
khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rất cao.
DẠNG 1 : MÔ TẢ BIẾN CỐ, KHÔNG GIAN MẪU
Câu 1 : Hãy mô tả không gian mẫu
Ω
của phép thử : « Gieo một con súc sắc » . Hãy mô tả biến cố
A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ »
Câu 2 : Hãy mô tả không gian mẫu
Ω
khi tung ba đồng xu
Câu 3 : Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số 1 ;2 ;3
ra và xếp thành một hàng ngang để được một số có ba chữu số.
Câu 4 : Một hộp đựng
10
thẻ, đánh số từ
1
đến
10
. Chọn ngẫu nhiên
3
thẻ. Gọi
A
là biến cố để tổng số
của
3
thẻ được chọn không vượt quá
8
. Tính số phần tử của biến cố
A
Câu 5 : Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố
A
là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm . Mô
tả biến cố
A
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5A =
.
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Câu 6.Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Số phần tử của không gian
mẫu là:
Câu 7.Một hộp đựng
10
thẻ, đánh số từ
1
đến
10
. Chọn ngẫu nhiên
3
thẻ. Gọi
A
là biến cố để tổng số
của
3
thẻ được chọn không vượt quá
8
. Số phần tử của biến cố
A
là:
Câu 8.Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là
Câu 9.Gieo ngẫu nhiên
2
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?
Câu 10.Gieo một đồng tiền liên tiếp
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu
()n Ω
là?
Câu 11.Gieo một con súc sắc
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
Câu 12.Gieo một đồng tiền liên tiếp
3
lần thì
()n Ω
là bao nhiêu?
DẠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
Câu 1: Một lớp có 15 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Gọi A là biến cố : “lập một đội văn nghệ của lớp
gồm 7 học sinh trong đó nhất thiết phải có học sinh nữ”. Hãy mô tả biến cố đối của biến cố A
(Giả thiết rằng học sinh nào cũng có khả năng văn nghệ)
Câu 2: Một xạ thủ bắn hai phát độc lập với nhau. Gọi
12
,AA
lần lượt là biến cố lần thứ nhất và lần thứ 2
bắn trúng hồng tâm. Hãy biểu diễn các biến cố sau thông qua các biến cố
12
,AA
a. Cả hai lần đều bắn trúng hồng tâm
b. Cả hai lần không bắn trúng hồng tâm
c. Ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ
Phương pháp 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.
Phương pháp 2: Sử dụng các quy tắc đếm, các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để xác
định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.
Câu 1. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả
năm lần ngửa thì dừng lại.
1. Mô tả không gian mẫu.
2. Xác định các biến cố:
: “Số lần gieo không vượt quá ba”
: “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”
Câu 2. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.
Tính số phần tử của
A
B
BÀI TẬP.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP.
2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
1. Không gian mẫu
2. Các biến cố:
a) : “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.
b) : “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.
c) : “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính số phần tử của
1. Không gian mẫu.
2. Các biến cố
a) : “Số được chọn chia hết cho 5”
b) : “Số được chọn có đúng 2 chữ số lẻ và và hai chữ số lẻ không đứng kề nhau”
Câu 4. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ ” với
. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố .
: "Lần thứ tư mới bắn trúng bia".
: "Bắn trúng bia ít nhất một lần".
: "Bắn trúng bia đúng ba lần".
Câu 5. Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của
1. Không gian mẫu
2. Các biến cố:
a) A: “Số ghi trên các tấm thẻ được chọn đều là số chẵn”.
b) B: “Có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3”.
DẠNG 4: TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN
Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức:
()
n
PA
N
=
.
Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức:
( )
( )
()
A
nA
PA
n
Ω
= =
ΩΩ
.
A
B
C
A
B
k
A
k
= 1,2,3,4k
1234
,,,AAAA
A
B
C
•
•
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Câu 1. Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính xác suất của các biến cố
a) A: “Rút ra được tứ quý K ‘’
b) B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”
c) C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’
Câu 2. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:
a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ. b) 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80. Tính xác suất của các biến cố:
1. A: “Trong 3 số đó có đúng 2 số là bội số của 5”.
2. B: “Trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương”.
Câu 4. Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho:
a) Các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.
b) Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.
Câu 5. Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất để
có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
Câu 6. Một tổ học sinh có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho
2
người
được chọn đều là nữ.
Câu 7. Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong
7
vị trí với
khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
Câu 8. Một túi đựng
6
bi xanh và
4
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
2
bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là.
Câu 9. Có
7
tấm bìa ghi
7
chữ “HỌC”, “TẬP”, “VÌ”, “NGÀY”, “MAI”, “LẬP”, “NGHIỆP”. Một
người xếp ngẫu nhiên
7
tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP”.
Câu 10. Một tổ học sinh có
6
nam và
4
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho hai người
được chọn đều là nữ.
Câu 11. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết
cho
3
.
Câu 12. Một lô hàng có
20
sản phẩm, trong đó
4
phế phẩm. Lấy tùy ý
6
sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy
tính xác suất để trong
6
sản phẩm lấy ra có không quá
1
phế phẩm.
Câu 13. Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một
người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”.
Câu 14. Trên giá sách có
4
quyển sách toán, 3 quyển sách lý,
2
quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên
3
quyển
sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
BÀI TẬP.
2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Câu 15. Gieo ngẫu nhiên
2
con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm
xuất hiện trên
2
con xúc sắc bằng
1
”.
Câu 16. Có 10 tấm bìa ghi 10 chữ “NƠI”, “NÀO”, “CÓ”, “Ý”, “CHÍ”, “NƠI”, “ĐÓ”, “CÓ”, “CON”,
“ĐƯỜNG”. Một người xếp ngẫu nhiên 10 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa
được dòng chữ “ NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”.
Câu 17. Một lô hàng gồm
30
sản phẩm tốt và
10
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên
3
sản phẩm. Tính xác
suất để
3
sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.
Câu 18. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong
6
vị trí
với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
Câu 19. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm
4
bi xanh,
5
bi đỏ và
6
bi vàng. Tính xác suất để
lấy được hai viên bi khác màu?
Câu 20. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có
6
câu đại số và
4
câu hình học. Thầy gọi bạn
Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên
3
câu hỏi trong
10
câu hỏi trên để trả lời. Hỏi
xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?
Câu 21. Để chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam
20 11−
Đoàn trường THPT Hai Bà Trưng đã phân công
ba khối: khối
10
, khối
11
và khối
12
mỗi khối chuẩn bị ba tiết mục gồm: một tiết mục múa, một
tiết mục kịch và một tiết mục hát tốp ca. Đến ngày tổ chức ban tổ chức chọn ngẫu nhiên ba tiết
mục. Tính xác suất để ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung?
Câu 22. Thầy X có
15
cuốn sách gồm
4
cuốn sách toán,
5
cuốn sách lí và
6
cuốn sách hóa. Các cuốn
sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên
8
cuốn sách để làm phần thưởng cho một học
sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ
3
môn.
Câu 23. Một tổ có
9
học sinh nam và
3
học sinh nữ. Chia tổ thành
3
nhóm, mỗi nhóm
4
người để làm
3
nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ.
Câu 24. Một nhóm
10
học sinh gồm
6
nam trong đó có Quang, và
4
nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào
10
ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
2
bạn nữ gần nhau có đúng
2
bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là
DẠNG 5: QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Câu 1. Cho hai biến cố A và B với
( ) ( )
0,3; 0,4PA PB= =
và
( )
0, 2.P AB =
Hỏi hai biến cố A và B có:
a) Xung khắc không? b) Độc lập với nhau không?
Câu 2. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
(không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.
Câu 3. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không
cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :
a). Khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
b). Khi gieo 2 lần thì 2 lần cả hai đồng xu đều lật ngửa.
Câu 4. Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a). Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm".
BÀI TẬP.
2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
b). Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm".
c). Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm".
d). Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm".
e). Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
f). Biến cố F " Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2".
Câu 5. An và Bình học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn toán trong
kỳ thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88.
a) Tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi.
b) Tính xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi.
c) Tính xác suất để có ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi.
Câu 6. Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập với nhau.
( )
0, 4PA=
,
( )
0,3PB=
. Khi đó
( )
P AB
bằng
Câu 7. Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài
tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 8. Một cái hộp chứa
6
viên bi đỏ và
4
viên bi xanh. Lấy lần lượt
2
viên bi từ cái hộp đó. Tính xác
suất để viên bi được lấy lần thứ
2
là bi xanh.
Câu 9. Có
9
chiếc thẻ được đánh số từ
1
đến
9
, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Câu 10. Có
9
chiếc thẻ được đánh số từ
1
đến
9
, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Câu 11. Một lớp có
35
đoàn viên trong đó có
15
nam và
20
nữ. Chọn ngẫu nhiên
3
đoàn viên trong lớp
để tham dự hội trại
26
tháng
3
. Tính xác suất để trong
3
đoàn viên được chọn có cả nam và nữ.
Câu 12. Trong tủ đồ chơi của bạn An có
5
con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy
ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt.
Câu 13. Việt và Nam chơi cờ. Trong một ván cờ, xác suất Việt thắng Nam là
0,3
và Nam thắng Việt là
0, 4
. Hai bạn dừng chơi khi có người thắng, người thua. Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau
hai ván cờ.
Câu 14. Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
6
chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để
các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số
0
và
1
.
Câu 15. Kết quả
(
)
,bc
của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó
b
là số chấm
xuất hiện lần gieo thứ nhất,
c
là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương
trình bậc hai
2
0x bx c+ +=
. Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm:
Câu 16. Thầy Bình đặt lên bàn
30
tấm thẻ đánh số từ
1
đến
30
. Bạn An chọn ngẫu nhiên
10
tấm thẻ.
Tính xác suất để trong
10
tấm thẻ lấy ra có
5
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm mang số chẵn trong đó
chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho
10
.
Câu 17. Một đề thi trắc nghiệm gồm
50
câu, mỗi câu có
4
phương án trả lời trong đó chỉ có
1
phương
án đúng, mỗi câu trả lời đúng được
0, 2
điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
1
trong
4
phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được
6
điểm.
Câu 18. An và Bình cùng tham gia kì thi THPTQG năm
2018
, ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh
bắt buộc thì An và Bình đều đăng kí thi them đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật lí,
Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc
nghiệm có
8
mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất
để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Câu 19. Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
1
2
và
1
3
. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không
bắn trúng bia.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI
ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử
đó và ký hiệu là
Ω
.
Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó,
tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc
ngửa (N).
Không gian mẫu của phép thử là
{ }
;
SNΩ=
2. Biến cố
a) Định nghĩa: Một biến cố
A
(còn gọi là sự kiện
A
) liên quan tới phép thử
T
là biến cố mà
việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của
T
.
Mỗi kết quả của phép thử
T
làm cho biến cố
A
xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho
A
.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho
A
được kí hiệu bởi
A
hoặc
A
Ω
. Để đơn giản, ta có thể dùng
chính chữ
A
để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho
A
.
Khi đó ta cũng nói biến cố
A
được mô tả bởi tập
A
.
b) Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử
T
. Biến cố chắc chắn
được mô tả bởi tập
Ω
và được ký hiệu là
Ω
.
c) Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử
T
. Biến cố không
thể được mô tả bởi tập
∅
.
d) Biến cố đối: Tập
\ AΩ
được gọi là biến cố đối của biến cố
A
, kí hiệu là
A
. Giả sử
A
và
B
là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
* Tập
AB∪
được gọi là hợp của các biến cố
A
và
B
.
* Tập
AB∩
được gọi là giao của các biến cố
A
và
B
.
* Nếu
AB∩=∅
thì ta nói
A
và
B
xung khắc.
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
f. Bảng đọc ngôn ngữ biến cố.
Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố
A∈Ω
A
là biến cố
A = ∅
A
là biến cố không
A = Ω
A
là biến cố chắc
chắn
CAB= ∪
C
là biến cố “
A
hoặc
B
”
CAB= ∩
C
là biến cố “
A
và
B
”
AB∩=∅
A
và
B
xung khắc
BA=
A
và
B
đối nhau
3. Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu
Ω
gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và
A
là một biến cố.
Xác suất của biến cố
A
là một số, kí hiệu là
()PA
, được xác định bởi công thức:
( )
( )
()
A
nA
PA
n
Ω
= = =
ΩΩ
.
trong đó: () và () lần lượt kí hiệu số phần tử của tập và .
II. TÍNH CHÁT CỦA XÁC SUẤT
•
0 () 1PA≤≤
.
•
( ) 1, ( ) 0PPΩ= ∅=
.
•
( )
( )
1
PA PA= −
Ví dụ
Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm ở mặt
xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”.
a) Hãy tìm biến cố đối của biến cố .
b) Hãy tính xác suất của biến cố .
Soá keát quaû thuaän lôïi cho A
Soá keát quaû coù theå xaûy ra
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Giải
a) Biến cố đối của biến cố là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc
đó là số lẻ”.
b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là
(
)
= 6
.
xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi
cho
là (
) = 3
.
Xác suất của biến cố
là
(
)
=
=
.
Xác suất của biến cố là () = 1
(
)
=
.
III. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT BÉ
Trong thực tế, các biến cố có xác suất xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một
phép thử. Ngược lại, các biến cố mà xác suất xảy ra gần bằng 0 thì gần như không xảy ra trong
một phép thử.
Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đắm là số dương. Tuy nhiên, nếu
tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rất nhỏ, con tàu có thể yên tâm
hoạt động.
Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rất nhỏ,
chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không,
vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì
khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rất cao.
DẠNG 1 : MÔ TẢ BIẾN CỐ, KHÔNG GIAN MẪU
Câu 1 : Hãy mô tả không gian mẫu
Ω
của phép thử : « Gieo một con súc sắc » . Hãy mô tả biến cố
A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ »
Lời giải
không gian mẫu
Ω
của phép thử : « Gieo một con súc sắc » là tập hợp
{ }
1; 2;3; 4;5;6Ω=
Biến cố A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ » được môt tả bởi tập hợp
{ }
1;3;5A =
Câu 2 : Hãy mô tả không gian mẫu
Ω
khi tung ba đồng xu
Lời giải
Ta thấy mỗi đồng xu có hai khả năng Sấp (S) hoặc ngửa (N). Vậy tung ba đồng xu có 2.2.2 =8
khả năng.
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Cụ thể là
{ }
;;; ; ; ; ;SSS SNS SSN SNN NNN NNS NSN NSSΩ=
Câu 3 : Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số 1 ;2 ;3
ra và xếp thành một hàng ngang để được một số có ba chữu số.
Lời giải:
Không gian mẫu được mô tả như sau:
{ }
123;132;213;231;312;321Ω=
Câu 4 : Một hộp đựng
10
thẻ, đánh số từ
1
đến
10
. Chọn ngẫu nhiên
3
thẻ. Gọi
A
là biến cố để tổng số
của
3
thẻ được chọn không vượt quá
8
. Tính số phần tử của biến cố
A
Lời giải
Liệt kê ta có:
(
) (
) (
)
( )
{ }
1;2;3 ; 1;2;4 ; 1;2;5 ; 1;3;4A =
Vậy số phần tử biến cố
A
là 4
Câu 5 : Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố
A
là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm . Mô
tả biến cố
A
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5A =
.
Lời giải
Liệt kê ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ }
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5A =
Câu 6. Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Số phần tử của không gian
mẫu là:
Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có:
{
}
1; 2;3; 4;5;6;8;9;10;12;15;16;18; 20; 24; 25;30;36
Ω=
.
Câu 7.Một hộp đựng
10
thẻ, đánh số từ
1
đến
10
. Chọn ngẫu nhiên
3
thẻ. Gọi
A
là biến cố để tổng số
của
3
thẻ được chọn không vượt quá
8
. Số phần tử của biến cố
A
là:
Lời giải
Liệt kê ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1;2;3 ; 1;2;4 ; 1;2;5 ; 1;3;4A =
.
Câu 8. Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là
Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có:
{ }
1; 2; 3; 4; 5; 6; 1; 2; 3; 4; 5; 6SSSSSSNNNNNN
Ω=
.
Câu 9. Gieo ngẫu nhiên
2
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?
Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có:
{ }
;;;SS SN NS NN
Ω=
Câu 10. Gieo một đồng tiền liên tiếp
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu
()n Ω
là?
Hướng dẫn giải:
( ) 2.2 4n Ω= =
.
(lần 1 có 2 khả năng xảy ra- lần 2 có 2 khả năng xảy ra).
Câu 11. Gieo một con súc sắc
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Lời giải
( ) 6.6 36
n Ω= =
.
(lần
1
có
6
khả năng xảy ra- lần
2
có
6
khả năng xảy ra).
Câu 12. Gieo một đồng tiền liên tiếp
3
lần thì
()
n
Ω
là bao nhiêu?
Lời giải
( ) 2.2.2 8
n Ω= =
.
(lần
1
có
2
khả năng xảy ra- lần
2
có
2
khả năng xảy ra – lần
3
có
2
khả năng xảy ra ).
DẠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
Câu 1: Một lớp có 15 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Gọi A là biến cố : “lập một đội văn nghệ của lớp
gồm 7 học sinh trong đó nhất thiết phải có học sinh nữ”. Hãy mô tả biến cố đối của biến cố A
(Giả thiết rằng học sinh nào cũng có khả năng văn nghệ)
Lời giải
Biến cố đối của biến cố A : “7 học sinh trong đội văn nghệ đều là nam”
Câu 2: Một xạ thủ bắn hai phát độc lập với nhau. Gọi
12
,AA
lần lượt là biến cố lần thứ nhất và lần thứ 2
bắn trúng hồng tâm. Hãy biểu diễn các biến cố sau thông qua các biến cố
12
,AA
a. Cả hai lần đều bắn trúng hồng tâm
b. Cả hai lần không bắn trúng hồng tâm
c. Ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm
Lời giải
Gọi
A
là biến cố cả hai lần đều bắn trúng hồng tâm
Ta có
12
AA A= ∩
Gọi
B
là biến cố: Cả hai lần không bắn trúng hồng tâm
Ta có
12
BA A
= ∩
Gọi
C
là biến cố: Ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm
Ta có
( ) ( )
( )
12 12 12
C AA AA AA=∩∪∩∪∩
Ta thấy
CB=
.
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ
Phương pháp 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.
Phương pháp 2: Sử dụng các quy tắc đếm, các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để xác
định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.
BÀI TẬP.
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Câu 1. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả
năm lần ngửa thì dừng lại.
1. Mô tả không gian mẫu.
2. Xác định các biến cố:
: “Số lần gieo không vượt quá ba”
: “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”
Lời giải
Kí hiệu mặt sấp là , mặt ngửa là .
1. Ta có
{ }
Ω= ⇒ Ω =; ; ; ; ; NNNNN 6.S NS NNS NNNS NNNNS
2.
{ }
= ⇒Ω =; ; 3.
A
A S NS NNS
{ }
= ⇒Ω =; ; ; NNNNN 4.
B
B NNS NNNS NNNNS
Câu 2. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.
Tính số phần tử của
1. Không gian mẫu
2. Các biến cố:
a) : “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.
b) : “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.
c) : “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.
Lời giải
1. Ta có:
4
24
10626CΩ= =
.
2. a) Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng hai viên bị màu trắng là: .
Suy ra
4095
A
Ω=
.
b) Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là .
Suy ra
44
24 18
7566
B
CCΩ= − =
.
c) Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là:
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:
A
B
S
N
A
B
C
22
10 14
. 4095CC=
4
18
C
444
6 8 10
CCC++
BÀI TẬP.
2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:
Suy ra
5859
C
Ω=
.
Cách 2:
112 121 211
6 8 10 6 8 10 6 8 10
. . . . . . 5040.
C
CCC CCC CCCΩ= + + =
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính số phần tử của
1. Không gian mẫu.
2. Các biến cố
a) : “Số được chọn chia hết cho 5”
b) : “Số được chọn có đúng 2 chữ số lẻ và và hai chữ số lẻ không đứng kề nhau”
Lời giải
1. Số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau là .
Suy ra
Ω=4536
.
2. Gọi là số có bốn chữ số đôi một khác nhau và thỏa yêu cầu bài toán ( ).
a) TH1: : Có (số)
TH2: : Có (số)
Suy ra
Ω=952
A
.
b) Cách 1.
TH1: Chỉ có chữ số lẻ: Có (số)
TH2: Chỉ có chữ số lẻ: Có (số)
TH1: Chỉ có chữ số lẻ: Có (số)
Suy ra
Ω=1120
B
.
Cách 2.
Chọn từ 5 chữ số lẻ ra 2 chữ số lẻ và sắp theo thứ tự trên hàng ngang, có cách.
Với mỗi cách xếp trên ta xem như có 3 khoảng trống được tạo ra (một khoảng trống ở giữa và
hai khoảng trống ở hai đầu).
4 4 4 444
14 16 18 6 8 10
2( )C C C CCC++− ++
4 4 4 4 444
24 14 16 18 6 8 10
( ) ( ) 5040C C C C CCC− + + + ++ =
A
B
=
3
9
9.A 4536
abcd
≠ 0a
= 5d
=
2
8
8. 448A
= 0d
=
3
9
504A
,ac
=
22
55
. 400AA
,ad
=
22
55
. 400AA
,bd
=
2
5
.4.4 320A
=
2
5
20A
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
Chọn ra 2 trong 5 chữ số chẵn và xếp vào 2 trong 4 ô trống đó (mỗi ô 1 chữ số) để được số thỏa
yêu cầu đề bài, có cách.
Suy ra
Ω= =20.56 1120
B
.
Câu 4. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ ” với
. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố .
: "Lần thứ tư mới bắn trúng bia".
: "Bắn trúng bia ít nhất một lần".
: "Bắn trúng bia đúng ba lần".
Lời giải
Ta có là biến cố "Lần thứ ( ) xạ thủ bắn không trúng bia".
Do đó
.
Câu 5. Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của
1. Không gian mẫu
2. Các biến cố:
a) A: “Số ghi trên các tấm thẻ được chọn đều là số chẵn”.
b) B: “Có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3”.
Lời giải
1. Số phần tử của không gian mẫu
5
100
.CΩ=
2. a) Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn, suy ra
5
50
.
A
CΩ=
b) Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3, 67 số không chia hết cho 3.
Ta có : “Cả 5 số trên 5 thẻ được chọn đều không chia hết cho 3”.
Suy ra
5
67
B
CΩ=
, do đó
55
100 67B
CCΩ= −
.
DẠNG 4: TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN
−=
22 1
53 4
. 56CA C
k
A
k
= 1,2,3,4k
1234
,,,AAAA
A
B
C
k
A
k
k 1,2,3,4=
1234
AA A A A=∩∩∩
1234
BA A A A=∪∪∪
=∪∪∪
123 4 12 34 1234 1234
C AAA A AA AA AAAA AAAA
B
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức:
()
n
PA
N
=
.
Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức:
( )
( )
()
A
nA
PA
n
Ω
= =
ΩΩ
.
Câu 1. Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính xác suất của các biến cố
a) A: “Rút ra được tứ quý K ‘’
b) B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”
c) C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’
Lời giải
a) Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: ;
Suy ra
270725Ω=
Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có
1
A
Ω=
Vậy .
b) Ta có số cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào là , suy ra
44
52 48
.
B
CCΩ= −
.
c) Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó có ít nhất hai quân
bích là:
Suy ra
5359
69667 ( )
20825
C
PCΩ= ⇒ =
.
Câu 2. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:
a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
b) 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.
Lời giải
Gọi các biến cố A: “3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
•
•
4
52
270725C =
1
()
270725
PA=
4
48
C
15229
()
54145
PB⇒=
2 2 31 4 0
13 39 13 39 13 39
. . 69667CC CC CC++ =
BÀI TẬP.
2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 10
B: “3 viên bi lấy ra có đúng hai màu”
Số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là nên ta có
3
20
1140CΩ= =
.
a. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là nên
56
A
Ω=
.
Do đó:
56 14
()
1140 285
PA= =
.
b. Ta có:
Số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu
Đỏ và xanh:
Đỏ và vàng:
Vàng và xanh:
Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:
Do đó:
759
B
Ω=
. Vậy
253
()
380
PB =
.
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80. Tính xác suất của các biến cố:
1. A: “Trong 3 số đó có đúng 2 số là bội số của 5”.
2. B: “Trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương”.
Lời giải
Số cách chọn 3 số từ 80 số là
3
80
82160CΩ= =
1. Từ 1 đến 80 có số chia hết cho 5 và có số không chia hết cho 5.
Do đó
12
12
64 16
64 16
3
80
.
96
. ()
1027
A
CC
C C PA
C
Ω= ⇒ = =
.
2. Từ 1 đến 80 có 8 số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64.
Số cách chọn 3 số không có số chính phương nào được chọn là .
Suy ra
33
33
80 72
80 72
3
80
563
()
2054
B
CC
C C PB
C
−
Ω= − ⇒ = =
.
Câu 4. Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho:
3
20
C
3
8
56C =
( )
3 33
15 8 7
C CC−+
( )
3 33
13 8 5
C CC−+
( )
3 33
12 5 7
C CC−+
( )
3 3 3 333
15 13 12 8 7 5
2 759C C C CCC+ + − ++ =
80
16
5

=


80 16 64−=
3
72
C
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 11
a) Các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.
b) Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.
Lời giải
Ta có
8! 40320.Ω= =
Gọi các biến cố
A: “Các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau”
B: “ Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau”
a) Số cách xếp 5 học sinh nam thành hàng ngang là Ứng với mỗi cách sắp xếp này, ta
có cách sắp xếp thêm 3 bạn nữ vào sao cho thỏa yêu cầu bài toán.
Suy ra
120.24 2880
A
Ω= =
. Do đó
2880 1
(A) .
40320 14
P = =
b) Số cách xếp 5 học sinh nam thành hàng ngang là
Ứng với mỗi cách sắp xếp này, ta có 6 khoảng trống (2 khoảng trống ở hai đầu và 4 khoảng trống
ở giữa). Xếp 3 học sinh nữ vào các khoảng trống đó, có cách.
Suy ra
120.120 14400
B
Ω= =
. Do đó
Câu 5. Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất để
có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
Lời giải
Cách 1:
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau
- Có
3
8
C
cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
- Có
2
5
C
cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A.
- Có
3!
cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
- Do đó số phần tử của không gian mẫu là
32
85
( ) . .3! 3360.n CCΩ= =
Gọi
A
là biến cố đã cho.
- Nếu có 3 chữ H đứng cạnh nhau thì ta có 6 cách xếp 3 chữ H.
- Nếu có đúng 2 chữ H đứng cạnh nhau: Khi 2 chữ H ở 2 vị trí đầu (hoặc cuối) thì có 5 cách
xếp chữ cái H còn lại, còn khi 2 chữ H đứng ở các vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại.
Do đó có
304.55.2 =+
cách xếp 3 chữ H sao cho có đúng 2 chữ H đứng cạnh nhau
Như vậy có
36630 =+
cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có
cách chọn vị trí
và xếp 2 chữ cái A và
3!
cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
5! 120.=
4! 24=
5! 120.=
3
6
120A =
14400 5
() .
40320 14
PB = =
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 12
Suy ra
2
5
( ) 36. .3! 2160nA C
= =
. Vậy xác suất cần tìm là
( ) 2160 9
() .
( ) 3360 14
nA
PA
n
= = =
Ω
Cách 2:
Số phần tử của không gian mẫu là
8!
( ) 3360.
2!3!
n Ω= =
Gọi
A
là biến cố đã cho, ta sẽ tìm số phần tử của
A
.
Đầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có
5!
60
2!
=
cách xếp.
Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ cái H, có
3
6
C
cách xếp
Do đó
3
6
( ) 60. 1200
nA C= =
, suy ra
( ) ( ) ( ) 3360 1200 2160nA n nA=Ω−=−=
Vậy xác suất cần tìm là
( ) 2160 9
() .
( ) 3360 14
nA
PA
n
= = =
Ω
Câu 6. Một tổ học sinh có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho
2
người
được chọn đều là nữ.
Lời giải
Xác suất 2 người được chọn đều là nữ là
2
3
2
10
1
15
C
C
=
.
Câu 7. Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong
7
vị trí với
khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
3
7Ω=n
.
Gọi
A
: “ Trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở
3
vị trí khác nhau”.
Suy ra
( )
7.6.5 210= =nA
. Vậy
( )
3
210 30
7 49
= =
PA
.
Câu 8. Một túi đựng
6
bi xanh và
4
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
2
bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là.
Lời giải
Ta có số phần từ của không gian mẫu là
( )
2
10
45nCΩ= =
.
Gọi
A
: "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".
Khi đó
( )
2
4
6nA C= =
.
Vậy xác suất cần tính là
( )
( )
( )
2
15
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 9. Có
7
tấm bìa ghi
7
chữ “HỌC”, “TẬP”, “VÌ”, “NGÀY”, “MAI”, “LẬP”, “NGHIỆP”. Một
người xếp ngẫu nhiên
7
tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP”.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là
7! 5040=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 13
Xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” là
1
5040
.
Câu 10. Một tổ học sinh có
6
nam và
4
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho hai người
được chọn đều là nữ.
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên
2
người trong
10
người có
2
10
C
cách chọn.
Hai người được chọn đều là nữ có
2
4
C
cách.
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là:
2
4
2
10
2
15
C
C
=
.
Câu 11. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết
cho
3
.
Lời giải
Ta có
( )
6n Ω=
và
( )
2nA=
. Vậy
( )
1
3
PA=
.
Câu 12. Một lô hàng có
20
sản phẩm, trong đó
4
phế phẩm. Lấy tùy ý
6
sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy
tính xác suất để trong
6
sản phẩm lấy ra có không quá
1
phế phẩm.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là
( )
38760n Ω=
.
Kết quả trong
6
sản phẩm lấy ra có không quá
1
phế phẩm là
( )
51 6
16 4 16
. 25480nA C C C= +=
.
Xác suất cần tìm là:
25480 637
38760 969
P = =
.
Câu 13. Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một
người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”.
Lời giải
Xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa có
7! 5040=
(cách xếp)
( )
5040.n⇒ Ω=
Đặt
A
là biến cố “xếp được chữ HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”. Ta có
( )
1nA=
.
Vậy
( )
1
5040
PA=
.
Câu 14. Trên giá sách có
4
quyển sách toán, 3 quyển sách lý,
2
quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên
3
quyển
sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
Lời giải
Số kết quả có thể khi chọn bất kì
3
quyển sách trong
9
quyển sách là
3
9
84.C =
Gọi
A
là biến cố ‘ Lấy được ít nhất
1
sách toán trong
3
quyển sách.’
A
là biến cố ‘ Không lấy được sách toán trong
3
quyển sách.’
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 14
Ta có xác sút để xảy ra
A
là
(
)
(
)
3
5
37
11 .
84 42
C
PA PA
=− =−=
.
Câu 15. Gieo ngẫu nhiên
2
con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm
xuất hiện trên
2
con xúc sắc bằng
1
”.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:
( )
6.6 36n Ω= =
.
Gọi
A
là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1; 2 , 2; 1 , 3; 2 , 2; 3 , 3; 4 , 4; 3 , 4; 5 , 5; 4 , 5; 6 , 6; 5A =
nên
( )
10nA=
.
Vậy
( )
10 5
36 18
PA
= =
.
Câu 16. Có 10 tấm bìa ghi 10 chữ “NƠI”, “NÀO”, “CÓ”, “Ý”, “CHÍ”, “NƠI”, “ĐÓ”, “CÓ”, “CON”,
“ĐƯỜNG”. Một người xếp ngẫu nhiên 10 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa
được dòng chữ “ NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
10!
n Ω
=
Gọi
A
là biến cố xếp các tấm bìa được dòng chữ “NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON
ĐƯỜNG”.
Chú ý rằng có hai chữ “NƠI” và hai chữ “CÓ”, nên để tính
( )
nA
, ta làm như sau:
- Có
1
2
C
cách chọn một chữ “NƠI” và đặt vào đầu câu
- Có
1
2
C
cách chọn một chữ “CÓ” và đặt vào vị trí thứ ba
- Các vị trí còn lại chỉ có một cách đặt chữ
Vậy
( )
11
22
.14.nA CC
==
, nên
(
)
44 1
.
10! 3628800 907200
PA= = =
.
Câu 17. Một lô hàng gồm
30
sản phẩm tốt và
10
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên
3
sản phẩm. Tính xác
suất để
3
sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.
Lời giải
Chọn ra ba sản phẩm tùy ý có
3
40
9880C =
cách chọn.
Do đó
( )
9880n Ω=
.
Gọi
A
là biến cố có ít nhất
1
sản phẩm tốt. Khi đó
A
là biến cố 3 sản phẩm không có sản
phẩm tốt.
( )
3
10
120nA C= =
.
Vậy xác suất cần tìm là
( )
( )
( )
(
)
120 244
111
9880 247
nA
AA
n
=−=− =−=
Ω

.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 15
Câu 18. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong
6
vị trí
với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là
(
)
111 3
666
6n CCCΩ= =
Gọi A là biến cố “trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở ba vị trí khác nhau”
Số phần tử thuận lợi cho biến cố
A
là
(
)
111
654
n A CCC
=
Vậy xác suất của biến cố
A
là
( )
(
)
( )
111
654
111
666
5
9
nA
CCC
A
n CCC
= = =
Ω
.
Câu 19. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm
4
bi xanh,
5
bi đỏ và
6
bi vàng. Tính xác suất để
lấy được hai viên bi khác màu?
Lời giải
Tổng số bi trong thùng là
45615++=
(bi).
Số kết quả có thể khi lấy ra
2
viên bi bất kì từ
15
viên bi là
2
15
105.C =
Số kết quả thuận lợi khi lấy ra hai bi khác màu là
11 11 11
45 56 46
74.
CC CC CC++=
Gọi
A
là biến cố lấy ra hai viên bi khác màu. Xác suất xảy ra
A
là
( )
74
70,5%.
105
PA=
.
Câu 20. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có
6
câu đại số và
4
câu hình học. Thầy gọi bạn
Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên
3
câu hỏi trong
10
câu hỏi trên để trả lời. Hỏi
xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên
3
câu hỏi trong
10
câu hỏi thì số phần tử của không gian mẫu:
( )
3
10
nCΩ=
.
Gọi
A
: “ chọn ít nhất có một câu hình học”, suy ra
A
: “ không chọn được câu hình”.
Có
(
)
3
6
nA C=
suy ra
(
)
( )
3
6
3
10
5
11
6
C
PA PA
C
=− =−=
.
Câu 21. Để chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam
20 11−
Đoàn trường THPT Hai Bà Trưng đã phân công
ba khối: khối
10
, khối
11
và khối
12
mỗi khối chuẩn bị ba tiết mục gồm: một tiết mục múa, một
tiết mục kịch và một tiết mục hát tốp ca. Đến ngày tổ chức ban tổ chức chọn ngẫu nhiên ba tiết
mục. Tính xác suất để ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung?
Lời giải
Chọn ba tiết mục trong chín tiết mục có
( )
3
9
nCΩ=
cách chọn.
Gọi
A
là biến cố: ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung.
Chọn tiết mục khối
10
có
3
cách chọn
Chọn tiết mục ở khối
11
có
2
cách
Và tiết mục ở khối
12
có 1 cách.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 16
Nên có
( )
3.2.1 6nA= =
cách chọn
Xác suất của biến cố
A
:
(
)
(
)
( )
1
14
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 22. Thầy X có
15
cuốn sách gồm
4
cuốn sách toán,
5
cuốn sách lí và
6
cuốn sách hóa. Các cuốn
sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên
8
cuốn sách để làm phần thưởng cho một học
sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ
3
môn.
Lời giải
Gọi A là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn”, suy ra
A
là biến cố “Số cuốn
sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn”= “Thầy X đã lấy hết số sách của một môn học”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
( )
n Ω
8
15
C=
6435=
(
)
44 53 62
4 11 5 10 6 9
...nA CC CC CC
=++
486=
( )
54
715
PA⇒=
(
)
(
)
1
PA PA
⇒=−
661
715
=
.
Câu 23. Một tổ có
9
học sinh nam và
3
học sinh nữ. Chia tổ thành
3
nhóm, mỗi nhóm
4
người để làm
3
nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ.
Lời giải
Không gian mẫu
44
12 8
.1 34650CC =
.
Gọi
A
là biến cố “Chia mỗi nhóm có đúng một nữ và ba nam”
Số cách phân chia cho nhóm
1
là
13
39
252CC =
(cách).
Khi đó còn lại
2
nữ
6
nam nên số cách phân chia cho nhóm
2
có
13
26
40CC =
(cách).
Cuối cùng còn lại bốn người thuộc về nhóm
3
nên có
1
cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có số kết quả thuận lợi
( )
252.40.1 10080nA
= =
(cách).
Vậy xác suất cần tìm là
( )
10080 16
34650 55
PA= =
.
Câu 24. Một nhóm
10
học sinh gồm
6
nam trong đó có Quang, và
4
nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào
10
ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
2
bạn nữ gần nhau có đúng
2
bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là
Lời giải
Ta có:
( )
10!n Ω=
.
Giả sử các ghế được đánh số từ
1
đến
10
.
Để có cách xếp sao cho giữa
2
bạn nữ có đúng
2
bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế
đánh số
1
,
4
,
7
,
10
. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là
6!.4!
cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế
1
hoặc
10
thì có
1
cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở
ghế
4
hoặc
7
thì có
2
cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là
2 2.2 6+=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 17
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho
10
người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là
6.3!.5!
.
Gọi A: “ Giữa
2
bạn nữ gần nhau có đúng
2
bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh
Huyền”.
( )
4!.6! 6.3!.5! 12960nA=−=
( )
( )
( )
12960 1
10! 280
nA
PA
n
⇒== =
Ω
.
Vậy xác suất cần tìm là
1
280
.
DẠNG 5: QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Câu 1. Cho hai biến cố A và B với
( ) ( )
0,3; 0, 4PA PB= =
và
( )
0, 2.P AB =
Hỏi hai biến cố A và B có:
a) Xung khắc không? b) Độc lập với nhau không?
Lời giải
a)Vì
( )
0, 2 0P AB = ≠
nên hai biến cố A và B không xung khắc.
b) Ta có
( ) ( ) ( )
. 0,12 0,2PAPB PAB= ≠=
nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau.
Câu 2. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
(không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong 15 viên bi, số cách chọn .
Gọi A là biến cố " trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ". Các trường hợp thuận lợi cho
biến cố A:
Trường hợp 1: Lấy được 1 bi đỏ và 2 bi xanh, số cách lấy
Trường hợp 2: Lấy được 2 bi đỏ và 1 bi xanh, số cách lấy
Trường hợp 3: Lấy được 3 bi đều đỏ, số cách lấy
Số trường hợp thuận lợi cho A,
Vậy .
Cách 2: Gọi biến cố "Cả 3 bi lấy ra đều không có đỏ", nghĩa là ba bi lấy ra đều bi xanh
. Suy ra
( )
( )
35 12
11
455 13
PA PA=− =−=
( )
3
15
n C 455Ω= =
12
87
CC
21
87
CC
3
8
C
( )
12 21 3
87878
n A C C C C C 420= + +=
( )
( )
( )
nA
420 12
PA
455 13
n
= = =
Ω
A
( )
3
7
n A C 35= =
BÀI TẬP.
2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 18
Câu 3. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không
cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :
a). Khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
b). Khi gieo 2 lần thì 2 lần cả hai đồng xu đều lật ngửa.
Lời giải
a). Gọi X là biến cố " Đồng xu A xuất hiện mặt ngửa ".
Gọi Y là biến cố " Đồng xu B xuất hiện mặt ngửa ".
Vì đồng xu A chế tạo cân đối nên .
Theo giả thuyết thì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu B gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt
ngửa do đó .
Biến cố cần tính cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là XY. Vì X, Y là hai biến cố độc lập
nên .
b). Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là . Suy ra xác suất khi gieo hai
lần thì cả hai lần hai đồng xu đều ngửa là .
Câu 4. Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a). Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm".
b). Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm".
c). Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm".
d). Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm".
e). Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
f). Biến cố F " Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2".
Lời giải
Không gian mẫu . Trong đó a là số chấm trên con đỏ, b là số chấm trên
con xanh. Như vậy không gian mẫu có 36 phần tử .
a). Ta có . Vậy .
b). Hoàn toàn tương tự câu a) có .
c). Ta có
( )
1
PX
2
=
( )
1
PY
4
=
( ) ( ) ( )
11 1
PXY PX.PY .
24 8
= = =
1
8
2
11
8 64

=


( )
{ }
a; b : 1 a,b 6Ω= ≤ ≤
Ω
( )
n 36⇒ Ω=
( )
{ }
( )
A 6,b :1 b 6 n A 6= ≤≤ ⇒ =
( )
( )
( )
nA
61
PA
36 6
n
= = =
Ω
( )
( )
( )
nB
61
PB
36 6
n
= = =
Ω
{ } ( )
1
AB 6,6 PAB
36
∩= ⇒ ∩ = ⋅
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 19
Do đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 11
6 6 36 36
PC PA B PA PB PA B= ∪= + − ∩=+−=
d). Dễ thấy D chính là biến cố đối của C nên
e). Các trường hợp thuận lợi của biến cố E :
. Vậy .
f). Ta có
Vậy
Câu 5. An và Bình học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn toán trong
kỳ thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88.
a) Tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi.
b) Tính xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi.
c) Tính xác suất để có ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi.
Lời giải
a) Gọi A là biến cố “An đạt điểm giỏi về môn toán”
Gọi B là biến cố “Bình đạt điểm giỏi về môn toán”
Vì hai biến cố độc lập nhau nên
( )
0,92.0,88 0,8096P AB = =
b) Xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi:
( )
0,08.0,12 0,0096P AB = =
.
c) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi.
( ) ( ) ( ) ( )
0,92 0,88 0,8096 0,9904PA B PA PB PAB∪= + − = + − =
Câu 6. Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập với nhau.
( )
0, 4PA=
,
( )
0,3PB=
. Khi đó
( )
P AB
bằng
Lời giải
Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập với nhau nên
( ) ( ) ( )
. 0,4.0,3 0,12PAB PAPB= = =
.
Câu 7. Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài
tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Lời giải
Số cách chọn
4
học sinh lên bảng:
( )
4
35
nCΩ=
.
Số cách chọn
4
học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ:
44
20 15
CC+
.
Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ:
44
20 15
4
35
4615
1
5236
CC
C
+
−=
.
( ) ( )
11 25
PD 1 PC 1
36 36
=− =−=⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
2,6 , 6,2 , 3,5 , 5,3 , 4,4 n E 5
⇒=
( )
( )
( )
nE
5
PE
36
n
= =
Ω
( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
F a,b : 1 a,b 6, a b 2 1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 , 6,4 , 5,3 , 4,2 , 3,1= ≤ ≤ −= =
( )
nF 8=
( )
( )
( )
nF
82
PF
36 9
n
⇒= ==⋅
Ω
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 20
Câu 8. Một cái hộp chứa
6
viên bi đỏ và
4
viên bi xanh. Lấy lần lượt
2
viên bi từ cái hộp đó. Tính
xác suất để viên bi được lấy lần thứ
2
là bi xanh.
Lời giải
Ta có: Số phần tử của không gian mẫu
( )
11
10 9
.n CCΩ=
.
Gọi
A
là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ
2
là bi xanh”.
- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có
11
64
.CC
cách chọn
- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có
11
43
.CC
cách chọn
( )
11 11
64 43
..
nA CC CC= +
.
Vậy
(
)
(
)
( )
24 12 2
10.9 5
nA
PA
n
+
= = =
Ω
.
Câu 9. Có
9
chiếc thẻ được đánh số từ
1
đến
9
, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Lời giải
Cách 1. Rút ra hai thẻ tùy ý từ
9
thẻ nên có
(
)
2
9
nCΩ=
36=
.
Gọi
A
là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”
Suy ra
( )
22
95
nA C C
= −
26=
.
Xác suất của
A
là
( )
26
36
PA=
13
18
=
.
Cách 2. Rút ra hai thẻ tùy ý từ
9
thẻ nên có
( )
2
9
nCΩ=
36
=
.
Gọi
A
là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”
TH1: 1 thẻ đánh số lẻ, 1 thẻ đánh số chẵn có
11
45
. 20CC=
.
TH2: 2 thẻ đánh số chẵn có
2
4
6C =
.
Suy ra
( )
26nA
=
.
Xác suất của
A
là
( )
26
36
PA=
13
18
=
.
Câu 10. Có
9
chiếc thẻ được đánh số từ
1
đến
9
, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Lời giải
Cách 1. Rút ra hai thẻ tùy ý từ
9
thẻ nên có
( )
2
9
nC
Ω=
36=
.
Gọi
A
là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”
Suy ra
( )
22
95
nA C C= −
26=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 21
Xác suất của
A
là
(
)
26
36
PA=
13
18
=
.
Cách 2. Rút ra hai thẻ tùy ý từ
9
thẻ nên có
( )
2
9
nCΩ=
36
=
.
Gọi
A
là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”
TH1: 1 thẻ đánh số lẻ, 1 thẻ đánh số chẵn có
11
45
. 20CC=
.
TH2: 2 thẻ đánh số chẵn có
2
4
6
C =
.
Suy ra
( )
26
nA=
.
Xác suất của
A
là
( )
26
36
PA
=
13
18
=
.
Câu 11. Một lớp có
35
đoàn viên trong đó có
15
nam và
20
nữ. Chọn ngẫu nhiên
3
đoàn viên trong lớp
để tham dự hội trại
26
tháng
3
. Tính xác suất để trong
3
đoàn viên được chọn có cả nam và nữ.
Lời giải
Số kết quả có thể xảy ra
3
35
CΩ=
.
Gọi
A
là biến cố “trong
3
đoàn viên được chọn có cả nam và nữ”.
Ta có:
21 1 2
15 20 15 20
.
A
CC CCΩ= +
Vậy:
( )
90
.
119
A
PA
Ω
= =
Ω
.
Câu 12. Trong tủ đồ chơi của bạn An có
5
con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy
ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt.
Lời giải
Trường hợp 1: Bạn An chỉ lấy 1 con thú bông
⇒
có 5 cách.
Trường hợp 2: Bạn An lấy 2 con thú bông
⇒
có
2
5
C
cách.
Trường hợp 3: Bạn An lấy 3 con thú bông
⇒
có
3
5
C
cách.
Trường hợp 4: Bạn An lấy 4 con thú bông
⇒
có
4
5
C
cách.
Trường hợp 5: Bạn An lấy cả 5 con thú bông
⇒
có
5
5
C
cách.
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là
( )
2345
5555
5 31n CCCCΩ=++++=
.
Gọi A là biến cố: “trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt”
Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
( )
234
444
4 15nA C C C=+++=
Vậy xác suất cần tìm là
( )
( )
( )
15
31
nA
PA
n
= =
Ω
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 22
Câu 13. Việt và Nam chơi cờ. Trong một ván cờ, xác suất Việt thắng Nam là
0,3
và Nam thắng Việt là
0, 4
. Hai bạn dừng chơi khi có người thắng, người thua. Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau
hai ván cờ.
Lời giải
Ván 1: Xác suất Việt và Nam hòa là
( )
1 0,3 0, 4 0,3−+ =
.
Ván 2: Xác suất Việt thắng hoặc thắng là
0,3 0, 4 0,7
+=
.
Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ là:
0,3.0,7 0,21
P = =
.
Câu 14. Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
6
chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để
các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số
0
và
1
.
Lời giải
Số phần tử của
S
bằng
5
9.10
.
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, ta được
( )
5
9.10n
Ω=
.
Gọi
A
là biến cố “ Chọn được số có các chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số
0
và
1
”. Ta có các trường hợp sau.
Giả sử số chọn được có dạng:
12 6
...aa a
Trường hợp 1:
1
1a =
.
Số cách chọn vị trí cho số
0
là
5
cách.
Số cách chọn
4
chữ số còn lại là
4
8
A
cách.
Vậy trường hợp này có
4
8
1.5.A
số.
Trường hợp 2:
1
1a
≠
1
a⇒
có
8
cách chọn.
Số cách chọn vị trí cho hai chữ số
0;1
là
2
5
A
.
Số cách chọn ba số còn lại là
3
7
A
.
Vậy trường hợp này có
23
57
8. .AA
số.
Suy ra
4 23
8 57
5
5. 8. .
7
150
9.10
A
A AA
P
+
= =
.
Câu 15. Kết quả
( )
,bc
của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó
b
là số chấm
xuất hiện lần gieo thứ nhất,
c
là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương
trình bậc hai
2
0x bx c
+ +=
. Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm:
Lời giải
Gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, số phần tử không gian mẫu là
36
.
Ta có:
b
là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất,
c
là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai nên
[ ]
1; 6b ∈
và
[ ]
1; 6c
∈
với
b
,
c ∈
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 23
Phương trình
2
0x bx c+ +=
vô nghiệm khi
0∆<
2
40bc⇔−<
2
4bc⇔<
.
Với
1b =
có
6
trường hợp xảy ra.
Với
2
b
=
có
5
trường hợp xảy ra (trừ trường hợp
1
c
=
).
Với
3
b
=
có
4
trường hợp xảy ra (trừ trường hợp
2
c
≤
).
Với
4b =
có
2
trường hợp xảy ra (trừ trường hợp
4c
≤
)
Do đó có tổng cộng
17
khả năng có thể xảy ra để phương trình vô nghiệm.
Vậy xác suất để phương trình vô nghiệm là:
17
36
P
=
.
Câu 16. Thầy Bình đặt lên bàn
30
tấm thẻ đánh số từ
1
đến
30
. Bạn An chọn ngẫu nhiên
10
tấm thẻ.
Tính xác suất để trong
10
tấm thẻ lấy ra có
5
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm mang số chẵn trong đó
chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho
10
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là:
( )
10
30
nCΩ=
.
Gọi
A
là biến cố thỏa mãn bài toán.
Lấy
5
tấm thẻ mang số lẻ, có
5
15
C
cách.
Lấy
1
tấm thẻ mang số chia hết cho
10
, có
1
3
C
cách.
Lấy
4
tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho
10
, có
4
12
C
.
Vậy
(
)
5 14
15 3 12
10
30
..
99
667
C CC
PA
C
= =
.
Câu 17. Một đề thi trắc nghiệm gồm
50
câu, mỗi câu có
4
phương án trả lời trong đó chỉ có
1
phương
án đúng, mỗi câu trả lời đúng được
0, 2
điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
1
trong
4
phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được
6
điểm.
Lời giải
Vì mỗi câu trả lời đúng được
0, 2
điểm nên để đạt được
6
điểm cần trả lời đúng
30
câu.
Do mỗi câu có
4
phương án trả lời trong đó chỉ có
1
phương án đúng nên xác suất trả lời đúng
một câu hỏi là
1
4
và xác suất trả lời sai một câu hỏi là
3
4
.
Vậy xác suất thí sinh đạt được
6
điểm là
30 20 20
50
0,25 .0,75 C
.
Câu 18. An và Bình cùng tham gia kì thi THPTQG năm
2018
, ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh
bắt buộc thì An và Bình đều đăng kí thi them đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật lí,
Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc
nghiệm có
8
mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất
để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề”.
Số khả năng An chọn
2
môn thi tự chọn và mã đề của
2
môn thi là
22
3
.8C
.
Số khả năng Bình chọn
2
môn thi tự chọn và mã đề của
2
môn thi là
22
3
.8C
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 24
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là
( )
22 22
33
.8 . .8n CCΩ=
.
Bây giờ ta đếm số khả năng để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một
mã đề:
Số khả năng An chọn
2
môn thi tự chọn và mã đề của
2
môn thi là
22
3
.8C
.
Sau khi An chọn thì Bình có
2
cách chọn
2
môn thi tự chọn để có đúng một môn thi tự chọn
với An, để chung mã đề với An thì số cách chọn mã đề
2
môn thi của Bình là
1.8 8
=
cách. Như
vậy, số cách chọn môn thi và mã đề thi của Bình là
2.8
.
Do đó:
( )
22
3
.8 .2.8nA C=
.
Bởi vậy:
( )
( )
( )
nA
PA
n
=
Ω
22
3
22 22
33
.8 .2.8
1
.8 . .8 12
C
CC
= =
.
Câu 19. Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất
bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
1
2
và
1
3
. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ
thủ không bắn trúng bia.
Lời giải
Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ A và B lần lượt là
( )
1
2
PA=
,
( )
1
3
PB=
.
Suy ra xác suất bắn trượt bia của xạ thủ A và B lần lượt là
( )
1
2
PA=
,
( )
2
3
PB=
.
Gọi
H
là biến cố “có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia”.
Khi đó
( )
( )
P H P AB AB AB= ∪∪
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
...PA PB PA PB PA PB=++
5
6
=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI
ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Câu 1: Gieo một đồng tiền liên tiếp
3
lần thì
()n Ω
là bao nhiêu?
A.
4
. B.
6
. C.
8
. D.
16
.
Câu 2: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng
1
lần là:
A.
2
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 3: Gieo ngẫu nhiên
2
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
A.
4
. B.
8
. C.
12
. D.
16
.
Câu 4: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
A.
0, 2
. B.
0,3
. C.
0, 4
. D.
0,5
.
Câu 5: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá bích là:
A.
13
1
. B.
4
1
. C.
13
12
. D. .
Câu 6: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá là:
A.
13
2
. B.
169
1
. C.
1
13
. D. .
Câu 7: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá ách hay lá rô là:
A.
52
1
. B.
13
2
. C.
13
4
. D.
52
17
.
Câu 8: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá ách hay lá già hay lá đầm là:
A.
2197
1
. B.
64
1
. C.
13
1
. D.
13
3
.
Câu 9: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng
11
là:
A.
18
1
. B.
6
1
. C.
8
1
. D.
25
2
.
Câu 10: Từ các chữ số
1
,
2
,
4
,
6
,
8
,
9
lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
A.
2
1
. B.
3
1
. C.
4
1
. D.
6
1
.
Câu 11: Gieo một đồng tiền liên tiếp
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu
()n Ω
là?
4
3
4
3
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Câu 12: Gieo một con súc sắc
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
A.
6
. B.
12
. C.
18
. D.
36
.
Câu 13: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
lá. Xác suất để được lá bích là
A.
1
.
13
B.
C.
12
.
13
D.
3
.
4
Câu 14: Một lô hàng gồm
1000
sản phẩm, trong đó có
50
phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó
1
sản
phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
A.
0,94
. B.
0,96
. C.
0,95
. D.
0,97
.
Câu 15: Cho
A
và
A
là hai biến cố đối nhau. Chọn câu đúng.
A.
( )
(
)
1
PA PA
= +
. B.
(
)
(
)
PA PA=
. C.
( )
( )
1
PA PA
= −
. D.
(
)
(
)
0PA PA+=
.
Câu 16: Gieo một đồng tiền liên tiếp
3
lần. Gọi
A
là biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”. Xác
suất của biến cố
A
là
A.
( )
1
2
PA=
. B.
( )
3
8
PA=
. C.
( )
7
8
PA=
. D.
( )
1
4
PA=
.
Câu 17: Trên giá sách có
4
quyển sách Toán,
3
quyển sách Vật lý,
2
quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu
nhiên
3
quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để
3
quyển được lấy ra đều là sách Toán.
A.
2
7
. B.
1
21
. C.
37
42
. D.
5
42
.
Câu 18: Gieo một con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là
A.
1
172
. B.
. C.
1
20
. D.
1
216
.
Câu 19: Một lớp có
học sinh nam và
18
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất
chọn được một học sinh nữ.
A.
1
.
38
B.
10
.
19
C.
9
.
19
D.
19
.
9
Câu 20: Một tổ học sinh có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn có đúng một người nữ.
A.
1
.
15
B.
7
.
15
C.
8
.
15
D.
1
.
5
Câu 21: Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:
A.
{
}
,,,NN NS SN SS
B.
{ }
, , , , , NNN SSS NNS SSN NSN SNS
.
C.
{ }
,, , , , , ,NNN SSS NNS SSN NSN SNS NSS SNN
.
D.
{ }
,, , , ,NNN SSS NNS SSN NSS SNN
.
Câu 22: Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:
A.
24
. B.
12
. C.
6
. D.
8
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Câu 23: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng
1
lần là:
A.
2
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 24: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
A.
0, 2
. B.
0,3
. C.
0, 4
. D.
0,5
.
Câu 25: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá J là:
A.
1
52
. B.
1
169
. C.
1
13
. D. .
Câu 26: Gieo một con súc sắc
3
lần. Xác suất để được mặt số sáu xuất hiện cả
3
lần là:
A.
1
172
. B.
1
18
. C.
1
20
. D.
1
216
.
Câu 27: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng
10
là:
A.
1
12
. B.
1
6
. C.
1
8
. D.
2
25
.
Câu 28: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng
7
là:
A.
1
2
. B.
7
12
. C.
1
6
. D.
1
3
.
Câu 29: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt
1
chấm xuất hiện:
A.
1
6
. B.
5
6
. C.
1
2
. D.
1
3
.
Câu 30: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như
nhau là:
A.
5
36
. B.
1
6
. C.
1
2
. D. 1.
Câu 31: Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 6
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác xuất để số được chọn chia hết cho
3
.
A.
1
.
10
B.
3
.
5
C.
2
.
5
D.
1
.
15
Câu 32: Một trường THPT có
10
lớp
12
, mỗi lớp cử
3
học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến
hành bắt tay giao lưu với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học
sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng
1
lần.
A.
405.
B.
435.
C.
30.
D.
45.
Câu 33: Có
3
bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ
1
đến
3
và
3
con tem giống nhau lần
lượt đánh số thứ tự từ
1
đến
3
. Dán
3
con tem đó vào
3
bì thư sao cho không có bì thư nào
không có tem. Tính xác suất để lấy ra được
2
bì thư trong
3
bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều
có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
A.
5
.
6
B.
1
.
6
C.
2
.
3
D.
1
.
2
Câu 34: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là?
A.
4
16
.
B.
2
16
.
C.
1
16
.
D.
6
16
.
Câu 35: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?
4
3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
A.
12
36
.
B.
11
36
.
C.
6
36
.
D.
8
36
.
Câu 36: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tổng hai mặt bằng
8.
A.
1
.
6
B.
5
.
36
C.
1
.
9
D.
1
.
2
Câu 37: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi
gieo xúc xắc là một số chẵn.
A.
0,25.
B.
0,5.
C.
0,75.
D.
0,85.
Câu 38: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là?
A.
12
216
.
B.
1
216
.
C.
6
216
.
D.
3
216
.
Câu 39: Một đội gồm
5
nam và
8
nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4
người được chọn có ít nhất
3
nữ.
A.
70
.
143
B.
73
.
143
C.
56
.
143
D.
87
.
143
Câu 40: Một hộp đựng
10
chiếc thẻ được đánh số từ
0
đến
9
. Lấy ngẫu nhiên ra
3
chiếc thẻ, tính xác
suất để
3
chữ số trên
3
chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho
5
.
A.
8
.
15
B.
7
.
15
C.
2
.
5
D.
3
.
5
Câu 41: Có
20
tấm thẻ được đánh số từ
1
đến
20
. Chọn ngẫu nhiên ra
8
tấm thẻ, tính xác suất để có
3
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
1
tấm thẻ mang số chia hết cho
10
.
A.
560
.
4199
B.
4
.
15
C.
11
.
15
D.
3639
.
4199
Câu 42: Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp,
tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
A.
313
.
408
B.
95
.
408
C.
5
.
102
D.
25
.
136
Câu 43: Một nhóm gồm
8
nam và
7
nữ. Chọn ngẫu nhiên
5
bạn. Xác suất để trong
5
bạn được chọn có
cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
A.
60
143
. B.
238
429
. C.
210
429
. D.
82
143
.
Câu 44: Một đoàn đại biểu gồm
5
người được chọn ra từ một tổ gồm
8
nam và
7
nữ để tham dự hội nghị.
Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng
2
người nữ là
A.
56
143
. B.
140
429
. C.
1
143
. D.
28
715
.
Câu 45: Một lô hàng gồm
1000
sản phẩm, trong đó có
50
phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó
1
sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
A.
0,94
. B.
0,96
. C.
0,95
. D.
0,97
.
Câu 46: Một hộp có
5
viên bi đỏ và
9
viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên
2
viên bi. Xác suất để chọn được
2
viên bi khác màu là:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
A.
14
45
. B.
45
91
. C.
46
91
. D.
15
22
.
Câu 47: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều
xuất hiện mặt sấp là
A.
4
16
. B.
2
16
. C.
1
16
. D.
6
16
.
Câu 48: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai
con súc sắc bằng
6
” là
A.
5
6
. B.
7
36
. C.
11
36
. D.
5
36
.
Câu 49: Có bốn tấm bìa được đánh số từ
1
đến
4
. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Xác suất của biến cố “Tổng
các số trên ba tấm bìa bằng
8
” là
A.
1
. B.
1
4
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Câu 50: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Xác suất để hai chiếc
chọn được tạo thành một đôi là
A.
4
7
. B.
3
14
. C.
2
7
. D.
5
28
.
Câu 51: Một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất
để lấy được cả hai quả trắng là
A.
2
10
. B.
3
10
. C.
4
10
. D.
5
10
.
Câu 52: Một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng.
A.
1
21
. B.
1
210
. C.
209
210
. D.
8
105
.
Câu 53: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính
xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh.
A.
1
.
12
B.
1
.
3
C.
16
.
33
D.
1
.
2
Câu 54: Có
3
bó hoa. Bó thứ nhất có
8
hoa hồng, bó thứ hai có
7
bông hoa ly, bó thứ ba có
6
bông hoa
huệ. Chọn ngẫu nhiên
7
hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong
7
hoa
được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly.
A.
3851
.
4845
B.
1
.
71
C.
36
.
71
D.
994
.
4845
Câu 55: Có
13
học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối
12
có
8
học
sinh nam và
3
học sinh nữ, khối
11
có
2
học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên
3
học sinh bất kỳ để
trao thưởng, tính xác suất để
3
học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối
11
và
khối
12
.
A.
57
.
286
B.
24
.
143
C.
27
.
143
D.
229
.
286
Câu 56: Một chiếc hộp đựng
7
viên bi màu xanh,
6
viên bi màu đen,
5
viên bi màu đỏ,
4
viên bi màu
trắng. Chọn ngẫu nhiên ra
4
viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất
2
viên bi cùng màu.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
A.
2808
.
7315
B.
185
.
209
C.
24
.
209
D.
4507
.
7315
Câu 57: Một hộp đựng
8
quả cầu trắng,
12
quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên
1
quả cầu trong
hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên
1
quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của
hai lần lấy được
2
quả cầu cùng màu.
A.
14
.
95
B.
48
.
95
C.
47
.
95
D.
81
.
95
Câu 58: Một hộp chứa
12
viên bi kích thước như nhau, trong đó có
5
viên bi màu xanh được đánh số từ
1
đến
5
; có
4
viên bi màu đỏ được đánh số từ
1
đến
4
và
3
viên bi màu vàng được đánh số từ
1
đến
3
. Lấy ngẫu nhiên
2
viên bi từ hộp, tính xác suất để
2
viên bi được lấy vừa khác màu
vừa khác số.
A.
8
.
33
B.
14
.
33
C.
29
.
66
D.
37
.
66
Câu 59: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá át
( )
A
hay lá già
( )
K
hay lá đầm
( )
Q
là
A.
1
2197
. B.
1
64
. C.
1
13
. D.
3
13
.
Câu 60: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá bồi
( )
J
màu đỏ hay lá
5
là
A.
1
13
. B.
3
26
. C.
3
13
. D.
1
238
.
Câu 61: Một hộp chứa
3
viên bi xanh,
5
viên bi đỏ và
6
viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên
6
viên bi từ hộp,
tính xác suất để
6
viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.
A.
810
.
1001
B.
191
.
1001
C.
4
.
21
D.
17
.
21
Câu 62: Trong một hộp có
50
viên bi được đánh số từ
1
đến
50
. Chọn ngẫu nhiên
3
viên bi trong hộp,
tính xác suất để tổng ba số trên
3
viên bi được chọn là một số chia hết cho
3
.
A.
816
.
1225
B.
409
.
1225
C.
289
.
1225
D.
936
.
1225
Câu 63: Cho tập hợp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5A =
. Gọi
S
là tập hợp các số có
3
chữ số khác nhau được lập
thành từ các chữ số của tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để số được chọn có
chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
A.
1
.
5
B.
23
.
25
C.
2
.
25
D.
4
.
5
Câu 64: Cho tập hợp
{ }
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8A =
. Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
4
chữ số đôi một khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để số
được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
A.
1
.
5
B.
3
.
35
C.
17
.
35
D.
18
.
35
Câu 65: Một tổ có
9
học sinh nam và
3
học sinh nữ. Chia tổ thành
3
nhóm mỗi nhóm
4
người để làm
3
nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ.
A.
16
.
55
B.
8
.
55
C.
292
.
1080
D.
292
.
34650
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Câu 66: Chi đoàn lớp
12A
có
20
đoàn viên trong đó có
12
đoàn viên nam và
8
đoàn viên nữ. Tính xác
suất khi chọn
3
đoàn viên có ít nhất
1
đoàn viên nữ.
A.
11
7
. B.
110
570
. C.
46
57
. D.
251
285
.
Câu 67: Một tổ gồm
9
học sinh gồm
4
học sinh nữ và
5
học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra
3
học sinh. Xác suất để trong
3
học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ
bằng:
A.
17
42
. B.
5
42
. C.
25
42
. D.
10
21
.
Câu 68: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là
A.
1
B.
1
2
C.
1
3
D.
2
3
Câu 69: Trong một hộp có
10
viên bi đánh số từ
1
đến
10
, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai
bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.
A.
1
2
B.
4
9
C.
1
9
D.
2
9
Câu 70: Lớp
11
B có
25
đoàn viên, trong đó có
10
nam và
15
nữ. Chọn ngẫu nhiên
3
đoàn viên trong
lớp để tham dự hội trại ngày
26
tháng
3
. Tính xác suất để
3
đoàn viên được chọn có
2
nam và
1
nữ.
A.
7
920
. B.
27
92
. C.
3
115
. D.
9
92
.
Câu 71: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
1
2
và
1
3
. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không
bắn trúng bia.
A.
1
3
. B.
5
6
. C.
1
2
. D.
2
3
.
Câu 72: Một hộp có
5
bi đen,
4
bi trắng. Chọn ngẫu nhiên
2
bi. Xác suất
2
bi được chọn có đủ hai màu
là
A.
5
324
. B.
5
9
. C.
2
9
. D.
1
18
.
Câu 73: Một tổ có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho
2
người được chọn
không có nữ nào cả.
A.
1
15
. B.
2
15
. C.
7
15
. D.
8
15
.
Câu 74: Một tổ có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho
2
người được chọn
có đúng một người nữ.
A.
1
15
. B.
2
15
. C.
7
15
. D.
8
15
.
Câu 75: Một bình chứa
16
viên bi với
7
viên bi trắng,
6
viên bi đen và
3
viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
3
viên bi. Tính xác suất lấy được cả
3
viên bi không đỏ.
A.
1
560
. B.
9
40
. C.
1
28
. D.
143
280
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
Câu 76: Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai
con súc xắc bằng
7
là:
A.
2
9
. B.
1
6
. C.
7
36
. D.
5
36
.
Câu 77: Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt
sáu chấm là:
A.
12
36
. B.
11
36
. C.
6
36
. D.
8
36
.
Câu 78: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy
được cả hai quả trắng là:
A.
9
30
. B.
12
30
. C.
10
30
. D.
6
30
.
Câu 79: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá
10
hay lá át là
A.
2
13
. B.
1
169
. C.
4
13
. D.
3
4
.
Câu 80: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá át hay lá rô là
A.
1
52
. B.
2
13
. C.
4
13
. D.
17
52
.
Câu 81: Cho tập hợp
{
}
1; 2; 3; 4; 5
A
=
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất
3
chữ số,
các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một
số từ
S
, tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng
10
.
A.
1
.
30
B.
3
.
25
C.
22
.
25
D.
2
.
25
Câu 82: Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp
S
. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
A.
8
.
89
B.
81
.
89
C.
36
.
89
D.
53
.
89
Câu 83: Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên gồm
9
chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính
xác suất để chọn được một số gồm
4
chữ số lẻ và chữ số
0
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
A.
49
.
54
B.
5
.
54
C.
1
.
7776
D.
45
.
54
Câu 84: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm
9
đội bóng tham dự, trong đó có
6
đội nước ngoài và
3
đội
của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành
3
bảng
, , ABC
và mỗi bảng
có
3
đội. Tính xác suất để
3
đội bóng của Việt Nam ở
3
bảng khác nhau.
A.
3
.
56
B.
19
.
28
C.
9
.
28
D.
53
.
56
Câu 85: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có
8
người tham gia trong
đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng
A
và
B
, mỗi bảng gồm
4
người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả
2
bạn Việt và Nam nằm chung
1
bảng đấu.
A.
6
.
7
B.
5
.
7
C.
4
.
7
D.
3
.
7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Câu 86: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp
12
mà mỗi đề gồm
5
câu được chọn từ
15
câu dễ,
10
câu
trung bình và
5
câu khó. Một đề thi được gọi là
''
Tốt
''
nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung
bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn
2
. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên.
Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi
''
Tốt
''
.
A.
941
.
1566
B.
2
.
5
C.
4
.
5
D.
625
.
1566
Câu 87: Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh
A
phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên
3
phiếu
câu hỏi từ một thùng phiếu gồm
50
phiếu câu hỏi, trong đó có
4
cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp
phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội dung giống nhau.
Tính xác suất để thí sinh
A
chọn được
3
phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau.
A.
3
4
B.
12
.
1225
C.
4
.
7
D.
1213
.
1225
Câu 88: Có
6
học sinh lớp
11
và
3
học sinh lớp
12
được xếp ngẫu nhiên vào
9
ghế thành một dãy.
Tính xác suất để xếp được
3
học sinh lớp
12
xen kẽ giữa
6
học sinh lớp
11
.
A.
5
.
12
B.
7
.
12
C.
1
.
1728
D.
5
.
72
Câu 89: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có
8
học sinh nam và
4
học sinh nữ. Trong buổi
lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp
sao cho
2
học sinh nữ không đứng cạnh nhau.
A.
653
.
660
B.
7
.
660
C.
41
.
55
D.
14
.
55
Câu 90: Xếp
6
học sinh nam và
4
học sinh nữ vào một bàn tròn
10
ghế. Tính xác suất để không có hai
học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
A.
37
.
42
B.
5
.
42
C.
5
.
1008
D.
1
.
6
Câu 91: Có
4
hành khách bước lên một đoàn tàu gồm
4
toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn
ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để
1
toa có
3
người,
1
toa có
1
người,
2
toa còn lại không có
ai.
A.
3
.
4
B.
3
.
16
C.
13
.
16
D.
1
.
4
Câu 92: Có
8
người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có
3
quầy. Tính xác suất để
3
người
cùng đến quầy thứ nhất.
A.
10
.
13
B.
3
.
13
C.
4769
.
6561
D.
1792
.
6561
Câu 93: Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3
người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ
chồng nào.
A.
94
.
95
B.
1
.
95
C.
6
.
95
D.
89
.
95
Câu 94: Một lớp học có
40
học sinh trong đó có
4
cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy
giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra
3
học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí
thư. Tính xác suất để chọn ra
3
học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào.
A.
64
.
65
B.
1
.
65
C.
1
.
256
D.
255
.
256
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 10
Câu 95: Một người có đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên chiếc. Tính
xác suất để trong chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi.
A. B. C. D.
Câu 96: Trong mặt phẳng tọa độ . Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy điểm phân biệt; cứ thế ở các góc
phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy điểm phân biệt. Trong điểm đó ta lấy
điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.
A. B. C. D.
Câu 97: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt
động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh nữ của lớp.
A. B. C. D.
Câu 98: Một hộp có phiếu, trong đó có phiếu trúng thưởng. Có người lần lượt lấy ngẫu nhiên
mỗi người phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.
A. B. C. D.
Câu 99: Một nhóm gồm nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên bạn. Xác suất để trong bạn được chọn
có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 100: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau.
Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy
nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để trong 4 lần thi
thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.
A. B. C. D.
Câu 101: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm
2016
có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này
thi dưới hình thức trắc nghiệm với
4
phương án trả lời
A, B, C, D
. Mỗi câu trả lời đúng được
cộng
0, 2
điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi
0,1
điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh
nên chọn ngẫu nhiên cả
50
câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được
4
điểm môn Tiếng
Anh trong kỳ thi trên.
A.
( )
20
30
5
5
0
0
.3
.
4
C
B.
( )
20
30
5
5
0
0
.3
.
4
A
C.
( )
20
30
50
.3
.
50
C
D.
( )
20
30
50
.3
.
50
A
Câu 102: Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình
nguyện gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ bằng lần xác suất 4
người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên.
A. B. C. D.
Câu 103: Một hộp đựng tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên tấm thẻ. Gọi là xác
suất để tổng số ghi trên tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
10
4
4
3
.
7
13
.
64
99
.
323
224
.
323
Oxy
2
3, 4, 5
14
2
68
.
91
23
.
91
8
.
91
83
.
91
12
29
16.
14.
13.
17.
10
2
10
1
4
.
5
3
.
5
1
.
5
2
.
5
8
7
5
5
60
143
238
429
210
429
82
143
253
.
1152
899
.
1152
4
.
7
26
.
35
2
5
9.
10.
11.
12.
11
1
11
6
P
6
P
100
231
115
231
1
2
118
231
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 11
Câu 104: Một nhóm học sinh gồm nam trong đó có Quang, và nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 105: Ba bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để ba số
được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. B. C. D.
Câu 106: Từ học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo viên muốn
thành lập nhóm làm bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm học sinh. Tính xác suất để nhóm
nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá.
A. B. C. D.
Câu 107: Có bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả
bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi.
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là
A. B. C. D.
Câu 108: Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4;.....;100A =
. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của , mỗi tập con
này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của . Xác suất
chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng
A. B. C. D.
Câu 109: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C
thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh
nhau bằng
A. B. C. D.
Câu 110: Cho một đa giác đều đỉnh. Chọn ngẫu nhiên đỉnh của đa giác đều đó. Gọi là xác suất
sao cho đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết . Số các ước nguyên dương của là
A. B. C. D.
Câu 111: Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác
suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. B. C. D.
Câu 112: Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác
suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
10
6
4
10
2
2
109
30240
1
280
1
5040
109
60480
,,ABC
[ ]
1;14
457
1372
307
1372
207
1372
31
91
12
5
4
3
4
4
3
36
385
18
385
72
385
144
385
8
8
47
256
49
256
51
256
3
16
A
91
S
4
645
3
645
2
1395
1
930
11
630
1
126
1
105
1
42
n
3
P
3
45
62
=P
n
3
4
6
5
A
B
C
[ ]
1;17
1728
4913
1079
4913
23
68
1637
4913
A
B
C
[ ]
1;19
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 12
A. B. C. D.
Câu 113: Lớp 11A có học sinh trong đó có học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và
học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt
điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là . Số học sinh đạt điểm tổng
kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí là
A. B. C. D.
Câu 114: Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số được lập từ tập . Chọn ngẫu
nhiên một số từ tập Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng
A. B. C. D.
Câu 115: Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập . Tính
xác suất để chọn được số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố
A. . B. . C. . D. .
Câu 116: Gọi là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn được thành lập từ hai chữ số và . Lấy ngẫu
nhiên hai số trong . Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho bằng.
A. B. C. D.
Câu 117: Người ta dùng 18 cuốn sách gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa để làm
phần thưởng cho 9 học sinh mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác
thể loại. Tính xác suất để 2 học sinh nhận được phần thưởng giống nhau.
A. . B. . C. . D. .
Câu 118: Gọi là tập hợp tất cả các số có chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để số chọn được chia hết cho , luôn có mặt các
chữ số và chúng đứng cạnh nhau.
A. . B. . C. . D. .
Câu 119: Trong thư viện có quyển sách toán, quyển sách lý, quyển sách hóa, quyển sách sinh.
Biết các quyển sách cùng môn giống nhau, xếp quyển sách trên lên giá thành một hàng sao
cho không có quyển nào cùng môn đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp?
A. . B. . C. . D. .
Câu 120: Một nhóm gồm bạn nam, bạn nữ và cầu thủ Neymar đứng thành hàng, mỗi hàng người
để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, Neymar xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ
không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng
A. . B. . C. . D. .
1027
6859
2539
6859
2287
6859
109
323
40
12
13
0,5
6
5
4
7
S
6
{ }
0;1;2;3;...;9A =
.S
7875.
1
5000
1
15000
10
18
5
4
4
3.10
A
5
A
11
2045
13608
409
90000
409
3402
409
11250
S
6
10
0
1
S
3
4473
8128
2279
4064
55
96
53
96
,,,,,,, ,,ABC DEFGH I
,AB
5
9
7
9
5
18
7
18
S
5
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
S
5
2, 3, 4
1
140
1
392
4
245
3
196
3
3
3
3
12
3
308664
16800
369600
295176
5
4
2
5
1
35
1
105
1
70
2
105
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI
ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Câu 1: Gieo một đồng tiền liên tiếp
3
lần thì
()n Ω
là bao nhiêu?
A.
4
. B.
6
. C.
8
. D.
16
.
Lời giải
( ) 2.2.2 8n Ω= =
.
.
Câu 2: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng
1
lần là:
A.
2
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Liệt kê ta có:
{ }
.A NS SN=
Câu 3: Gieo ngẫu nhiên
2
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
A.
4
. B.
8
. C.
12
. D.
16
.
Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có:
{ }
;;;SS SN NS NNΩ=
Câu 4: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
A.
0, 2
. B.
0,3
. C.
0, 4
. D.
0,5
.
Lời giải
Không gian mẫu:
{ }
1; 2;3; 4;5;6Ω=
Biến cố xuất hiện mặt chẵn:
{
}
2; 4;6A =
Suy ra
( )
( )
( )
1
2
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 5: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá bích là:
A.
13
1
. B.
4
1
. C.
13
12
. D. .
Lời giải
4
3
CHƯƠNG
VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Số phần tử không gian mẫu:
( )
52n Ω=
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá bích:
( )
13
nA=
Suy ra
(
)
(
)
(
)
13 1
52 4
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 6: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá là:
A.
13
2
. B.
169
1
. C.
1
13
. D. .
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
52n Ω=
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá QUY:
( )
4nA=
Suy ra
( )
(
)
(
)
41
52 13
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 7: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá ách hay lá rô là:
A.
52
1
. B.
13
2
. C.
13
4
. D.
52
17
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
52n Ω=
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá ách hay lá rô:
( )
4 12 16nA=+=
Suy ra
( )
( )
( )
16 4
52 13
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 8: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá ách hay lá già hay lá đầm là:
A.
2197
1
. B.
64
1
. C.
13
1
. D.
13
3
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
52n Ω=
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá ách hay lá già hay lá đầm:
( )
44412nA=++=
Suy ra
( )
( )
( )
12 3
52 13
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 9: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng
11
là:
A.
18
1
. B.
6
1
. C.
8
1
. D.
25
2
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
6.6 36n Ω= =
4
3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Biến cố tổng hai mặt là
11
:
( ) ( )
{ }
5; 6 ; 6; 5A =
nên
( )
2nA=
.
Suy ra
(
)
(
)
( )
21
36 18
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 10: Từ các chữ số
1
,
2
,
4
,
6
,
8
,
9
lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
A.
2
1
. B.
3
1
. C.
4
1
. D.
6
1
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
6n Ω=
Biến cố số lấy được là số nguyên tố là:
{ }
2A =
nên
( )
1nA=
.
Suy ra
(
)
(
)
(
)
1
6
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 11: Gieo một đồng tiền liên tiếp
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu
()n Ω
là?
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Lời giải
( ) 2.2 4
n Ω= =
.
.
Câu 12: Gieo một con súc sắc
2
lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
A.
6
. B.
12
. C.
18
. D.
36
.
Lời giải
( ) 6.6 36
n Ω= =
.
.
Câu 13: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
lá. Xác suất để được lá bích là
A.
1
.
13
B.
C.
12
.
13
D.
3
.
4
Lời giải
Bộ bài gồm có
13
lá bài bích. Vậy xác suất để lấy được lá bích là
1
13
1
52
13 1
.
52 4
C
P
C
= = =
Câu 14: Một lô hàng gồm
1000
sản phẩm, trong đó có
50
phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó
1
sản
phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
A.
0,94
. B.
0,96
. C.
0,95
. D.
0,97
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “lấy được
1
sản phẩm tốt.“
- Không gian mẫu:
1
1000
1000CΩ= =
.
-
( )
1
950
950nA C= =
.
⇒
( )
( )
950
0,95
1000
nA
PA= = =
Ω
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Câu 15: Cho
A
và
A
là hai biến cố đối nhau. Chọn câu đúng.
A.
( )
( )
1
PA PA
= +
. B.
( )
( )
PA PA=
.
C.
(
)
( )
1
PA PA
= −
. D.
(
)
( )
0
PA PA
+=
.
Lời giải
Theo tính chất xác suất ta có
( )
( )
1PA PA
= −
Câu 16: Gieo một đồng tiền liên tiếp
3
lần. Gọi
A
là biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”. Xác
suất của biến cố
A
là
A.
( )
1
2
PA=
. B.
( )
3
8
PA=
. C.
( )
7
8
PA=
. D.
(
)
1
4
PA=
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là:
3
28Ω= =
.
Số phần tử của không gian thuận lợi là:
3
2 17
A
Ω = −=
Xác suất biến cố
A
là:
( )
7
8
PA=
.
Câu 17: Trên giá sách có
4
quyển sách Toán,
3
quyển sách Vật lý,
2
quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu
nhiên
3
quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để
3
quyển được lấy ra đều là sách Toán.
A.
2
7
. B.
1
21
. C.
37
42
. D.
5
42
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là:
3
9
84CΩ= =
.
Số phần tử của không gian thuận lợi là:
3
4
4
A
CΩ= =
Xác suất biến cố
A
là:
( )
1
21
PA=
.
Câu 18: Gieo một con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là
A.
1
172
. B.
. C.
1
20
. D.
1
216
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là:
3
6 216Ω= =
.
Số phần tử của không gian thuận lợi là:
1
A
Ω=
.
Xác suất biến cố
A
là:
( )
1
216
PA=
.
Câu 19: Một lớp có
học sinh nam và
18
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất
chọn được một học sinh nữ.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
A.
1
.
38
B.
10
.
19
C.
9
.
19
D.
19
.
9
Lời giải.
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
-Không gian mẫu:
1
38
38.CΩ= =
-
(
)
1
18
18.nA C= =
=>
(
)
(
)
18 9
.
38 19
nA
PA
= = =
Ω
Câu 20: Một tổ học sinh có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn có đúng một người nữ.
A.
1
.
15
B.
7
.
15
C.
8
.
15
D.
1
.
5
Lời giải.
Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.”
-Không gian mẫu:
2
10
45.CΩ= =
-
( )
11
37
. 21.nA CC= =
=>
(
)
( )
21 7
.
45 15
nA
PA= = =
Ω
Câu 21: Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:
A.
{ }
,,,NN NS SN SS
B.
{ }
, , , , , NNN SSS NNS SSN NSN SNS
.
C.
{ }
,, , , , , ,NNN SSS NNS SSN NSN SNS NSS SNN
.
D.
{ }
,, , , ,
NNN SSS NNS SSN NSS SNN
.
Lời giải
Liệt kê các phần tử.
Câu 22: Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:
A.
24
. B.
12
. C.
6
. D.
8
.
Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có:
{ }
1; 2; 3; 4; 5; 6; 1; 2; 3; 4; 5; 6SSSSSSNNNNNNΩ=
.
Câu 23: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng
1
lần là:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
A.
2
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Liệt kê ta có:
{ }
;A NS SN
=
Câu 24: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
A.
0, 2
. B.
0,3
. C.
0, 4
. D.
0,5
.
Lời giải
Không gian mẫu:
{
}
1; 2;3; 4;5;6Ω=
Biến cố xuất hiện mặt chẵn:
{ }
2; 4;6A
=
Suy ra
( )
( )
( )
1
2
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 25: Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
lá. Xác suất để được lá J là:
A.
1
52
. B.
1
169
. C.
1
13
. D. .
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
(
)
52n
Ω=
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá J:
( )
4nA=
Suy ra
( )
( )
( )
41
52 13
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 26: Gieo một con súc sắc
3
lần. Xác suất để được mặt số sáu xuất hiện cả
3
lần là:
A.
1
172
. B.
1
18
. C.
1
20
. D.
1
216
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
6.6.6 216n Ω= =
Số phần tử của biến cố xuất hiện mặt số sáu ba lần:
( )
1nA=
Suy ra
( )
( )
(
)
1
216
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 27: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng
10
là:
A.
1
12
. B.
1
6
. C.
1
8
. D.
2
25
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
(
)
6.6 36
n Ω= =
Biến cố tổng hai mặt là
11
:
( ) (
) ( )
{ }
4;6 ; 6; 4 ; 5;5A =
nên
( )
3nA=
.
4
3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Suy ra
( )
( )
( )
31
36 12
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 28: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng
7
là:
A.
1
2
. B.
7
12
. C.
1
6
. D.
1
3
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
6.6 36n
Ω= =
Biến cố tổng hai mặt là
7
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1; 6 ; 2;5 ; 3; 4 ; 4;3 ; 5; 2 ; 6;1A =
nên
( )
6
nA=
.
Suy ra
(
)
(
)
( )
61
36 6
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 29: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt
1
chấm xuất hiện:
A.
1
6
. B.
5
6
. C.
1
2
. D.
1
3
.
Lời giải
Không gian mẫu:
{ }
1; 2;3; 4;5;6Ω=
Biến cố xuất hiện:
{
}
1
A =
Suy ra
( )
( )
( )
1
6
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 30: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như
nhau là:
A.
5
36
. B.
1
6
. C.
1
2
. D. 1.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:
( )
6.6 36n Ω= =
Biến cố xuất hiện hai lần như nhau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1;1 ; 2; 2 ; 3;3 ; 4; 4 ; 5;5 ; 6;6A
=
Suy ra
( )
( )
( )
61
36 6
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 31: Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 6
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác xuất để số được chọn chia hết cho
3
.
A.
1
.
10
B.
3
.
5
C.
2
.
5
D.
1
.
15
Lời giải.
Số phần tử của
S
là
3
5
60A =
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
1
số từ tập
S
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
1
60
60.nCΩ= =
Gọi
A
là biến cố
''
Số được chọn chia hết cho
3
''
. Từ
5
chữ số đã cho ta có
4
bộ gồm ba chữ
số có tổng chia hết cho
3
là
( )
1; 2; 3
,
( )
1; 2; 6
,
( )
2; 3; 4
và
( )
2; 4; 6
. Mỗi bộ ba chữ số này
ta lập được
3! 6
=
số thuộc tập hợp
S
.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
6.4 24
nA= =
.
Vậy
( )
24 2
60 5
PA= =
Câu 32: Một trường THPT có
10
lớp
12
, mỗi lớp cử
3
học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến
hành bắt tay giao lưu với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học
sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng
1
lần.
A.
405.
B.
435.
C.
30.
D.
45.
Lời giải.
Mỗi lớp cử ra
3
học sinh nên
10
lớp cử ra 30 học sinh.
Suy ra số lần bắt tay là
2
30
C
.
Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là
2
3
10.C
.
Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau là
22
30 3
10. 405
CC−=
.
Câu 33: Có
3
bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ
1
đến
3
và
3
con tem giống nhau lần
lượt đánh số thứ tự từ
1
đến
3
. Dán
3
con tem đó vào
3
bì thư sao cho không có bì thư nào
không có tem. Tính xác suất để lấy ra được
2
bì thư trong
3
bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều
có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
A.
5
.
6
B.
1
.
6
C.
2
.
3
D.
1
.
2
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách dán
3
con tem trên
3
bì thư, tức là hoán vị của
3
con tem trên
3
bì
thư. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
3! 6n Ω= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
2
bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó
''
. Thế
thì bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Trường hợp này
có
1
cách duy nhất.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
1nA=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
1
.
6
nA
PA
n
= =
Ω
Câu 34: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là?
A.
4
16
.
B.
2
16
.
C.
1
16
.
D.
6
16
.
Lời giải.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
2.2.2.2 16.n Ω= =
Gọi
A
là biến cố
''
Cả bốn lần gieo xuất hiện mặt sấp
''
( )
1.nA → =
Vậy xác suất cần tính
(
)
1
16
PA=
.
Câu 35: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?
A.
12
36
.
B.
11
36
.
C.
6
36
.
D.
8
36
.
Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
6.6 36.n Ω= =
Gọi
A
là biến cố
''
Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm
''
. Để tìm số phần tử của biến cố
A
,
ta đi tìm số phần tử của biến cố đối
A
là
''
Không xuất hiện mặt sáu chấm
''
( )
( )
5.5 25 36 25 11.nA nA → = = → = − =
Vậy xác suất cần tính
( )
11
36
PA=
.
Câu 36: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tổng hai mặt bằng
8.
A.
1
.
6
B.
5
.
36
C.
1
.
9
D.
1
.
2
Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là
(
)
6.6 36.n Ω= =
Gọi
A
là biến cố
''
Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng
8
''
.
Gọi số chấm trên mặt khi gieo lần một là
,x
số chấm trên mặt khi gieo lần hai là
.y
Theo bài ra, ta có
( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( )
( )
{ }
16
1 6 ; 2;6 , 3;5 , 4; 4 , 6; 2 , 5;3 , 4; 4 .
8
x
y xy
xy
≤≤
≤≤⇒ =
+=
Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là
( )
6.nA=
Vậy xác suất cần tính
( )
61
.
36 6
PA= =
Câu 37: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi
gieo xúc xắc là một số chẵn.
A.
0,25.
B.
0,5.
C.
0,75.
D.
0,85.
Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
6.6 36.n Ω= =
Gọi
A
là biến cố
''
Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn
''
. Ta xét các trường hợp:
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 10
TH1. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện
phải là số chẵn. Khi đó có
3.3 9=
cách gieo.
TH2. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm
xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có
3.3 3.3 18
+=
cách gieo.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là
( )
9 18 27.nA=+=
Vậy xác suất cần tìm tính
( )
27
0,75.
36
PA= =
Câu 38: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là?
A.
12
216
.
B.
1
216
.
C.
6
216
.
D.
3
216
.
Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
6.6.6 36.n Ω= =
Gọi
A
là biến cố
''
Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau
''
. Ta có các trường hợp thuận
lợi cho biến cố
A
là
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;1 , 2; 2; 2 , 3;3;3 , , 6;6;6 .
Suy ra
( )
6.nA=
Vậy xác suất cần tính
( )
6
216
PA
=
.
Câu 39: Một đội gồm
5
nam và
8
nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4
người được chọn có ít nhất
3
nữ.
A.
70
.
143
B.
73
.
143
C.
56
.
143
D.
87
.
143
Lời giải.
Không gian mẫu là chọn tùy ý
4
người từ
13
người.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
4
13
715nC
Ω= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
4 người được chọn có ít nhất 3 nữ
''
. Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến
cố
A
như sau:
● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có
31
85
CC
cách.
● TH2: Chọn cả 4 nữ, có
4
8
C
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
31 4
85 8
350n A CC C= +=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
350 70
715 143
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 40: Một hộp đựng
10
chiếc thẻ được đánh số từ
0
đến
9
. Lấy ngẫu nhiên ra
3
chiếc thẻ, tính xác
suất để
3
chữ số trên
3
chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho
5
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 11
A.
8
.
15
B.
7
.
15
C.
2
.
5
D.
3
.
5
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên
3
chiếc thẻ từ
10
chiếc thẻ.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
3
10
nCΩ=
.
Gọi
A
là biến cố
''
3
chữ số trên
3
chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho
5
''
. Để cho biến cố
A
xảy ra thì trong
3
thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số
0
hoặc chữ số
5
. Ta đi tìm số phần tử của biến cố
A
, tức
3
thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số
0
và cũng không
có thẻ mang chữ số
5
là
3
8
C
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
(
)
33
10 8
nA C C= −
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
33
10 8
3
10
8
.
15
nA
CC
PA
nC
−
= = =
Ω
Câu 41: Có
20
tấm thẻ được đánh số từ
1
đến
20
. Chọn ngẫu nhiên ra
8
tấm thẻ, tính xác suất để có
3
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
1
tấm thẻ mang số chia hết cho
10
.
A.
560
.
4199
B.
4
.
15
C.
11
.
15
D.
3639
.
4199
Lời giải.
Không gian mẫu là cách chọn
8
tấm thể trong
20
tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là
( )
8
20
nCΩ=
.
Gọi
A
là biến cố
''
3
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
1
tấm
thẻ mang số chia hết cho
10
''
. Để tìm số phần tử của
A
ta làm như sau:
● Đầu tiên chọn
3
tấm thẻ trong
10
tấm thẻ mang số lẻ, có
3
10
C
cách.
● Tiếp theo chọn
4
tấm thẻ trong
8
tấm thẻ mang số chẵn, có
4
8
C
cách.
● Sau cùng ta chọn
1
trong
2
tấm thẻ mang số chia hết cho
10
, có
1
2
C
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
3 41
10 8 2
..nA C CC=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
(
)
( )
3 41
10 8 2
8
20
..
560
4199
nA
C CC
PA
nC
= = =
Ω
.
Câu 42: Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp,
tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
A.
313
.
408
B.
95
.
408
C.
5
.
102
D.
25
.
136
Lời giải.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 12
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số phần tử
của không gian mẫu là
( )
5
18
8568nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng
''
. Ta có các trường
hợp thuận lợi cho biến cố
A
là:
● TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có
113
675
..
CCC
cách.
● TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có
221
675
..CCC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
113 2 21
675 6 7 5
. . . . 1995nA CCC CCC=+=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
1995 95
8568 408
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 43: Một nhóm gồm
8
nam và
7
nữ. Chọn ngẫu nhiên
5
bạn. Xác suất để trong
5
bạn được chọn có
cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
A.
60
143
. B.
238
429
. C.
210
429
. D.
82
143
.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “
-Không gian mẫu:
5
15
CΩ=
.
-Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là:
41
87
..CC
- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là:
32
87
..CC
=>
( )
41 32
87 87
. . 1666nA CC CC=+=
=>
( )
( )
5
15
1666 238
.
429
nA
PA
C
= = =
Ω
Câu 44: Một đoàn đại biểu gồm
5
người được chọn ra từ một tổ gồm
8
nam và
7
nữ để tham dự hội nghị.
Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng
2
người nữ là
A.
56
143
. B.
140
429
. C.
1
143
. D.
28
715
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:
( )
5
15
nCΩ=
.
Gọi biến cố
A
: “Chọn được đoàn đại biểu có đúng
2
người nữ”
( )
23
78
.nA CC⇒=
.
Vậy xác suất cần tìm là:
( )
( )
( )
56
143
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 45: Một lô hàng gồm
1000
sản phẩm, trong đó có
50
phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó
1
sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
A.
0,94
. B.
0,96
. C.
0,95
. D.
0,97
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 13
Gọi
A
là biến cố: “lấy được
1
sản phẩm tốt.”
- Không gian mẫu:
1
1000
1000C
Ω= =
.
-
( )
1
950
950nA C
= =
.
⇒
( )
( )
950
0,95
1000
nA
PA= = =
Ω
.
Câu 46: Một hộp có
5
viên bi đỏ và
9
viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên
2
viên bi. Xác suất để chọn được
2
viên bi khác màu là:
A.
14
45
. B.
45
91
. C.
46
91
. D.
15
22
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “chọn được
2
viên bi khác màu.”
- Không gian mẫu:
2
14
91CΩ= =
.
-
(
)
11
59
. 45nA CC= =
.
⇒
(
)
(
)
45
91
nA
PA= =
Ω
.
Câu 47: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều
xuất hiện mặt sấp là
A.
4
16
. B.
2
16
. C.
1
16
. D.
6
16
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp.”
- Không gian mẫu:
4
2 16=
.
-
( )
1.1.1.1 1nA= =
.
⇒
(
)
( )
1
16
nA
PA
= =
Ω
.
Câu 48: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai
con súc sắc bằng
6
” là
A.
5
6
. B.
7
36
. C.
11
36
. D.
5
36
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “Tổng số chấm của hai con súc sắc bằng
6
.”
- Không gian mẫu:
2
6 36=
.
- Ta có
15 6+=
,
246+=
,
336+=
,
426+=
,
51 6+=
.
⇒
( )
5nA=
.
⇒
(
)
( )
5
36
nA
PA= =
Ω
.
Câu 49: Có bốn tấm bìa được đánh số từ
1
đến
4
. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Xác suất của biến cố “Tổng
các số trên ba tấm bìa bằng
8
” là
A.
1
. B.
1
4
. C.
1
2
. D.
3
4
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 14
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “Tổng số trên tấm bìa bằng
8
.”
-Không gian mẫu:
3
4
4C =
.
-Ta có
134 8++=
.
⇒
( )
1nA=
.
⇒
( )
(
)
1
4
nA
PA= =
Ω
.
Câu 50: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Xác suất để hai chiếc
chọn được tạo thành một đôi là
A.
4
7
. B.
3
14
. C.
2
7
. D.
5
28
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.”
-Không gian mẫu:
2
8
28C =
.
-Ta có chiếc giày thứ nhất có 8 cách chọn, chiếc giày thứ
2
có
1
cách chọn để cùng đôi với
chiếc giày thứ nhất.
⇒
( )
8.1 8nA= =
.
⇒
( )
( )
82
28 7
nA
PA= = =
Ω
.
Câu 51: Một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất
để lấy được cả hai quả trắng là
A.
2
10
. B.
3
10
. C.
4
10
. D.
5
10
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “lấy được cả hai quả trắng.”
- Không gian mẫu:
2
5
10C =
.
-
( )
2
3
3nA C= =
.
⇒
( )
( )
3
10
nA
PA= =
Ω
.
Câu 52: Một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng.
A.
1
21
. B.
1
210
. C.
209
210
. D.
8
105
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: “trong bốn quả được chọn có ít nhất
1
quả trắng.”
- Không gian mẫu:
4
10
210C =
.
-
A
là biến cố: “trong bốn quả được chọn không có
1
quả trắng nào.”
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 15
⇒
(
)
4
4
1
nA C= =
.
⇒
( )
( )
1
210
nA
PA= =
Ω
.
⇒
(
)
(
)
1 209
11
210 210
PA PA=− =−=
.
Câu 53: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính
xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh.
A.
1
.
12
B.
1
.
3
C.
16
.
33
D.
1
.
2
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
4
viên bi từ hộp chứa
12
viên bi. Suy ra số phần tử
của không gian mẫu là
(
)
4
12
495nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
4
viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt
bi xanh
''
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
A
là:
● TH1: Chọn
1
bi đỏ và
3
bi xanh nên có
13
54
.CC
cách.
● TH2: Chọn
2
bi đỏ và
2
bi xanh nên có
22
54
CC
cách.
● TH3: Chọn
3
bi đỏ và
1
bi xanh nên có
31
54
.CC
cách.
● TH4: Chọn
2
bi đỏ,
1
bi vàng và
1
bi xanh nên có
211
5 34
CCC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
132231211
5 4 5 4 5 4 5 34
. . 240n A C C CC C C CCC
=+++ =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
240 16
495 33
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 54: Có
3
bó hoa. Bó thứ nhất có
8
hoa hồng, bó thứ hai có
7
bông hoa ly, bó thứ ba có
6
bông hoa
huệ. Chọn ngẫu nhiên
7
hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong
7
hoa
được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly.
A.
3851
.
4845
B.
1
.
71
C.
36
.
71
D.
994
.
4845
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
7
hoa từ ba bó hoa gồm
21
hoa.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
(
)
7
21
116280nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
7
hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly
''
. Ta có các trường hợp thuận
lợi cho biến cố
A
là:
● TH1: Chọn
1
hoa hồng,
1
hoa ly và
5
hoa huệ nên có
115
876
..CCC
cách.
● TH2: Chọn
2
hoa hồng,
2
hoa ly và
2
hoa huệ nên có
223
876
..CCC
cách.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 16
● TH3: Chọn
3
hoa hồng,
3
hoa ly và
1
hoa huệ nên có
331
876
..CCC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
115 2 2 3 3 31
876 8 7 6 8 76
. . . . . . 23856nA CCC CCC CCC=++=
.
Vậy xác suất cần tính
(
)
( )
(
)
23856 994
.
116280 4845
nA
PA
n
= = =
Ω
Câu 55: Có
13
học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối
12
có
8
học
sinh nam và
3
học sinh nữ, khối
11
có
2
học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên
3
học sinh bất kỳ để
trao thưởng, tính xác suất để
3
học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối
11
và
khối
12
.
A.
57
.
286
B.
24
.
143
C.
27
.
143
D.
229
.
286
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
3
học sinh từ
13
học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
3
13
286nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
3
học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối
11
và khối
12
''
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
A
là:
● TH1: Chọn
1
học sinh khối
11
;
1
học sinh nam khối
12
và
1
học sinh nữ khối
12
nên có
111
283
48CCC =
cách.
● TH2: Chọn
1
học sinh khối
11
;
2
học sinh nữ khối
12
có
12
23
6
CC =
cách.
● TH3: Chọn
2
học sinh khối
11
;
1
học sinh nữ khối
12
có
21
23
3CC =
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
48 6 3 57nA= ++=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
57
.
286
nA
PA
n
= =
Ω
Câu 56: Một chiếc hộp đựng
7
viên bi màu xanh,
6
viên bi màu đen,
5
viên bi màu đỏ,
4
viên bi màu
trắng. Chọn ngẫu nhiên ra
4
viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất
2
viên bi cùng màu.
A.
2808
.
7315
B.
185
.
209
C.
24
.
209
D.
4507
.
7315
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
4
viên bi từ
22
viên bi đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
4
22
7315nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
Lấy được
4
viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu
''
. Để tìm số phần
tử của
A
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
A
, với biến cố
A
là lấy được
4
viên bi trong đó
không có hai viên bi nào cùng màu.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
1111
7654
840n A CCCC= =
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 17
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
(
) (
)
(
)
6475nA n nA= Ω− =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
6475 185
7315 209
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 57: Một hộp đựng
8
quả cầu trắng,
12
quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên
1
quả cầu trong
hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên
1
quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của
hai lần lấy được
2
quả cầu cùng màu.
A.
14
.
95
B.
48
.
95
C.
47
.
95
D.
81
.
95
Lời giải.
Không gian mẫu là lấy
2
quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
11
20 19
.n CCΩ=
.
Gọi
A
biến cố
''
2
quả cầu được lấy cùng màu
''
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
A
như sau:
● TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.
Do đó trường hợp này có
11
87
.
CC
cách.
● TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.
Do đó trường hợp này có
11
12 11
.CC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
11 1 1
8 7 12 11
..
nA CC C C= +
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
11 1 1
8 7 12 11
11
20 19
..
47
.
. 95
nA
CC C C
PA
n CC
+
= = =
Ω
Câu 58: Một hộp chứa
12
viên bi kích thước như nhau, trong đó có
5
viên bi màu xanh được đánh số từ
1
đến
5
; có
4
viên bi màu đỏ được đánh số từ
1
đến
4
và
3
viên bi màu vàng được đánh số từ
1
đến
3
. Lấy ngẫu nhiên
2
viên bi từ hộp, tính xác suất để
2
viên bi được lấy vừa khác màu
vừa khác số.
A.
8
.
33
B.
14
.
33
C.
29
.
66
D.
37
.
66
Lời giải.
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý
2
viên từ hộp chứa
12
viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
2
12
66nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
2
viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số
''
.
● Số cách lấy
2
viên bi gồm:
1
bi xanh và
1
bi đỏ là
4.4 16=
cách.
● Số cách lấy
2
viên bi gồm:
1
bi xanh và
1
bi vàng là
3.4 12=
cách.
● Số cách lấy
2
viên bi gồm:
1
bi đỏ và
1
bi vàng là
3.3 9
=
cách.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 18
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
16 12 9 37nA= + +=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
(
)
37
66
nA
PA
n
= =
Ω
.
Câu 59: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá át
( )
A
hay lá già
( )
K
hay lá đầm
( )
Q
là
A.
1
2197
. B.
1
64
. C.
1
13
. D.
3
13
.
Lời giải
Trong bộ bài có bốn lá át
( )
A
, bốn lá già
( )
K
và bốn lá đầm
(
)
Q
nên xác suất để lấy được lá
át
( )
A
hay lá già
(
)
K
hay lá đầm
(
)
Q
là
1
12
1
52
12 3
52 13
C
P
C
= = =
.
Câu 60: Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá bồi
( )
J
màu đỏ hay lá
5
là
A.
1
13
. B.
3
26
. C.
3
13
. D.
1
238
.
Lời giải
Trong bộ bài có hai lá bồi
( )
J
màu đỏ và bốn lá
5
nên xác suất để lấy được lá bồi
( )
J
màu
đỏ hay lá
5
là
1
6
1
52
63
52 26
C
P
C
= = =
.
Câu 61: Một hộp chứa
3
viên bi xanh,
5
viên bi đỏ và
6
viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên
6
viên bi từ hộp,
tính xác suất để
6
viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.
A.
810
.
1001
B.
191
.
1001
C.
4
.
21
D.
17
.
21
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
6
viên bi từ hộp chứa
1 4
viên bi. Suy ra số phần
tử của không gian mẫu là
( )
6
14
3003nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
6
viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu
''
. Để tìm số phần tử của biến cố
A
ta
đi tìm số phần tử của biến cố
A
tức là
6
viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:
● TH1: Chọn
6
viên bi chỉ có một màu.
Do đó trường hợp này có
6
6
1C =
cách.
● TH2: Chọn
6
viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có
6
8
C
cách.
Chọn
6
viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có
66
11 6
CC−
cách.
Chọn
6
viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có
66
96
CC−
cách.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 19
Do đó trường hợp này có
( ) ( )
6 6 6 66
8 11 6 9 6
572
C C C CC+−+−=
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
(
)
1 572 573
nA=+=
.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( ) ( )
( )
3003 573 2430nA n nA= Ω− = − =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
2430 810
.
3003 1001
nA
PA
n
= = =
Ω
Câu 62: Trong một hộp có
50
viên bi được đánh số từ
1
đến
50
. Chọn ngẫu nhiên
3
viên bi trong hộp,
tính xác suất để tổng ba số trên
3
viên bi được chọn là một số chia hết cho
3
.
A.
816
.
1225
B.
409
.
1225
C.
289
.
1225
D.
936
.
1225
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
3
viên bi từ hộp chứa
50
viên bi. Suy ra số phần
tử của không gian mẫu là
( )
3
50
19600nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
3 viên bi được chọn là một số chia hết cho
3
''
. Trong
50
viên bi được chia
thành ba loại gồm:
1 6
viên bi có số chia hết cho
3
;
1 7
viên bi có số chia cho
3
dư
1
và
1 7
viên bi còn lại có số chia cho
3
dư
2
. Để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố
A
, ta xét các
trường hợp
● TH1:
3
viên bi được chọn cùng một loại, có
( )
333
16 17 17
CCC++
cách.
● TH2:
3
viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có
111
16 17 17
..CCC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
( )
3 3 3 111
16 17 17 16 17 17
. . 6544nA C C C C C C= ++ + =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
6544 409
.
19600 1225
nA
PA
n
= = =
Ω
Câu 63: Cho tập hợp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5A =
. Gọi
S
là tập hợp các số có
3
chữ số khác nhau được lập
thành từ các chữ số của tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để số được chọn có
chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
A.
1
.
5
B.
23
.
25
C.
2
.
25
D.
4
.
5
Lời giải.
Gọi số cần tìm của tập
S
có dạng
abc
. Trong đó
,,
0
;;
abc A
a
abbcca
∈
≠
≠≠≠
.
Khi đó
● Số cách chọn chữ số
a
có
5
cách chọn vì
0a ≠
.
● Số cách chọn chữ số
b
có
5
cách chọn vì
ba≠
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 20
● Số cách chọn chữ số
c
có
4
cách chọn vì
ca
≠
và
cb≠
.
Do đó tập
S
có
5.5.4 100=
phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
1
số từ tập
S
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
1
100
100
nCΩ= =
.
Gọi
X
là biến cố
''
Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu
''
. Khi đó ta có các bộ số là
12b
hoặc
24b
thỏa mãn biến cố
X
và cứ mỗi bộ thì
b
có
4
cách chọn nên có tất cả
8
số thỏa
yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
8nX =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
82
.
100 25
nX
PX
n
= = =
Ω
Câu 64: Cho tập hợp
{ }
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8A =
. Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
4
chữ số đôi một khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để số
được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
A.
1
.
5
B.
3
.
35
C.
17
.
35
D.
18
.
35
Lời giải.
Số phần tử của tập
S
là
4
7
840.A =
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
1
số từ tập
S
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
1
840
840.nC
Ω= =
Gọi
X
là biến cố
''
Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ
''
.
● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số
2; 4; 6; 8
là
2
4
6C =
cách.
● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số
3; 5; 7
là
2
3
3C =
cách.
● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một
hoán vị của
4
phần tử nên có
4!
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
22
43
. .4! 432.nX CC= =
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
432 18
.
840 35
nX
PX
n
= = =
Ω
Câu 65: Một tổ có
9
học sinh nam và
3
học sinh nữ. Chia tổ thành
3
nhóm mỗi nhóm
4
người để làm
3
nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ.
A.
16
.
55
B.
8
.
55
C.
292
.
1080
D.
292
.
34650
Lời giải
Không gian mẫu
44
12 8
C .C .1 34650=
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 21
Chỉ có
3
nữ và chia mỗi nhóm có đúng
1
nữ và
3
nam.Nhóm
1
có
13
39
C .C 252=
cách.
Lúc đó còn lại
2
nữ,
6
nam, nhóm thứ
2
có
13
26
C .C 40=
cách chọn.Cuối cùng còn
4
người là
một nhóm: có
1
cách.
Theo quy tắc nhân thì có:
252.40.1 10080
cách. Vậy xác suất cần tìm là
10080 16
34650 55
P 
.
Câu 66: Chi đoàn lớp
12A
có
20
đoàn viên trong đó có
12
đoàn viên nam và
8
đoàn viên nữ. Tính xác
suất khi chọn
3
đoàn viên có ít nhất
1
đoàn viên nữ.
A.
11
7
. B.
110
570
. C.
46
57
. D.
251
285
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:
3
20
1140C =
.
Gọi
A
là biến cố “chọn
3
đoàn viên có ít nhất
1
đoàn viên nữ”
Vậy
A
là biến cố chọn được
3
đoàn viên đều là nam:
3
12
220C =
.
Xác suất của biến cố
A
là:
( )
220
1140
PA=
11
57
=
.
Vậy xác suất cần tìm là:
( )
11
1
57
PA= −
46
57
=
.
Câu 67: Một tổ gồm
9
học sinh gồm
4
học sinh nữ và
5
học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra
3
học sinh. Xác suất để trong
3
học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ
bằng:
A.
17
42
. B.
5
42
. C.
25
42
. D.
10
21
.
Lời giải
Có
3
9
84C =
cách chọn
3
học sinh bất kì.
Chọn
3
học sinh mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ có các trường hợp
+ Có 3 học sinh nam: Có
3
5
10C =
cách chọn
+ Có 2 học sinh nam,
1
học sinh nữ: Có
21
54
. 40CC=
cách chọn
Xác suất cần tìm là
10 40 25
84 42
P
+
= =
.
Câu 68: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là
A.
1
B.
1
2
C.
1
3
D.
2
3
Lời giải
Ta có: Không gian mẫu
{ }
1,2,3, 4,5,6Ω=
suy ra
( )
6n Ω=
Gọi biến cố
A
: “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay
{ }
2; 4; 6A =
suy ra
( )
3nA=
Từ đó suy ra
( )
( )
( )
31
62
nA
pA
n
= = =
Ω
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 22
Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là
1
2
.
Câu 69: Trong một hộp có
10
viên bi đánh số từ
1
đến
10
, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai
bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.
A.
1
2
B.
4
9
C.
1
9
D.
2
9
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:
( )
2
10
nCΩ=
.
Gọi biến cố
A
: “Hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ”.
( )
2
5
nA C=
.
Vậy
( )
2
5
2
10
2
9
C
PA
C
= =
.
Câu 70: Lớp
11
B có
25
đoàn viên, trong đó có
10
nam và
15
nữ. Chọn ngẫu nhiên
3
đoàn viên trong
lớp để tham dự hội trại ngày
26
tháng
3
. Tính xác suất để
3
đoàn viên được chọn có
2
nam và
1
nữ.
A.
7
920
. B.
27
92
. C.
3
115
. D.
9
92
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu
(
)
3
25
nCΩ=
.
Gọi
A
là biến cố “
3
đoàn viên được chọn có
2
nam và
1
nữ”.
Số phần tử của
A
là
( )
21
10 15
.nA C C=
.
Vậy xác xuất của biến cố
A
là:
( )
( )
( )
21
10 15
3
25
.
27
92
nA
CC
PA
nC
= = =
Ω
.
Câu 71: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
1
2
và
1
3
. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không
bắn trúng bia.
A.
1
3
. B.
5
6
. C.
1
2
. D.
2
3
.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: ‘‘ có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ’’.
Khi đó
A
là biến cố: ‘‘ cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia ’’.
( )
11 1
.
23 6
PA
= =
( )
15
1
66
PA⇒ =−=
.
Câu 72: Một hộp có
5
bi đen,
4
bi trắng. Chọn ngẫu nhiên
2
bi. Xác suất
2
bi được chọn có đủ hai màu
là
A.
5
324
. B.
5
9
. C.
2
9
. D.
1
18
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:
( )
2
9
36nCΩ= =
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 23
.
Gọi
A
: “hai bi được chọn có đủ hai màu ”. Ta có:
( )
11
54
. 20nA CC= =
.
.
Khi đó:
( )
( )
( )
20 5
36 9
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 73: Một tổ có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho
2
người được chọn
không có nữ nào cả.
A.
1
15
. B.
2
15
. C.
7
15
. D.
8
15
.
Lời giải
2
10
( ) 45
nCΩ= =
.
Gọi
A
: “
2
người được chọn không có nữ” ⇔
A
: “
2
người được chọn đều là nam”.
Ta có
2
7
( ) 21nA C
= =
. Vậy
21 7
()
45 15
PA= =
.
Câu 74: Một tổ có
7
nam và
3
nữ. Chọn ngẫu nhiên
2
người. Tính xác suất sao cho
2
người được chọn
có đúng một người nữ.
A.
1
15
. B.
2
15
. C.
7
15
. D.
8
15
.
Lời giải
2
10
( ) 45nCΩ= =
. Gọi
A
: “
2
người được chọn có đúng
1
nữ”.
Chọn
1
nữ có
3
cách, chọn
1
nam có
7
cách suy ra
( ) 7.3 21nA= =
. Do đó
21 7
()
45 15
PA= =
.
Câu 75: [1D2-4.3-2] Một bình chứa
16
viên bi với
7
viên bi trắng,
6
viên bi đen và
3
viên bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên
3
viên bi. Tính xác suất lấy được cả
3
viên bi không đỏ.
A.
1
560
. B.
9
40
. C.
1
28
. D.
143
280
.
Lời giải
3
16
( ) 560nC
Ω= =
.
Gọi
A
: “lấy được
3
viên bi khôngđỏ” ⇔
A
: “ lấy được
3
viên bi trắng hoặc đen”
Có
7613+=
viên bi trắng hoặc đen. Ta có
3
13
( ) 286nA C
= =
.
Vậy
286 143
()
560 280
PA= =
.
Câu 76: Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai
con súc xắc bằng
7
là:
A.
2
9
. B.
1
6
. C.
7
36
. D.
5
36
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 24
Lời giải
( ) 6.6 36n Ω= =
. Gọi
A
:”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng
7
”.
{(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)}A =
.
Do đó
() 6nA=
. Vậy
61
()
36 6
PA
= =
.
Câu 77: [1D2-4.3-2] Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất
hiện mặt sáu chấm là:
A.
12
36
. B.
11
36
. C.
6
36
. D.
8
36
.
Lời giải
( ) 6.6 36n Ω= =
. Gọi
A
:”ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.
Khi đó
A
:”không có lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.
Ta có
( ) 5.5 25nA= =
. Vậy
25 11
() 1 () 1
36 36
PA PA=− =−=
.
Câu 78: [1D2-4.3-2] Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác
suất để lấy được cả hai quả trắng là:
A.
9
30
. B.
12
30
. C.
10
30
. D.
6
30
.
Lời giải
2
5
( ) 10
nCΩ= =
. Gọi
A
:”Lấy được hai quả màu trắng”.
Ta có
2
3
() 3nA C= =
. Vậy
39
()
10 30
PA= =
.
Câu 79: [1D2-4.3-2] Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá
10
hay lá át là
A.
2
13
. B.
1
169
. C.
4
13
. D.
3
4
.
Lời giải
Trong bộ bài có bốn lá
10
và bốn lá át nên xác suất để lấy được lá
10
hay lá át là
1
8
1
52
82
52 13
C
P
C
= = =
.
Câu 80: [1D2-4.3-2] Rút một lá bài từ bộ bài gồm
52
lá. Xác suất để được lá át hay lá rô là
A.
1
52
. B.
2
13
. C.
4
13
. D.
17
52
.
Lời giải
Trong bộ bài có ba lá át và
13
lá rô nên xác suất để lấy được lá át hay lá rô là
1
16
1
52
16 4
52 13
C
P
C
= = =
.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 25
Câu 81: [1D2-4.3-3] Cho tập hợp
{ }
1; 2; 3; 4; 5A =
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất
3
chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập
A
. Chọn ngẫu
nhiên một số từ
S
, tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng
10
.
A.
1
.
30
B.
3
.
25
C.
22
.
25
D.
2
.
25
Lời giải.
Ta tính số phần tử thuộc tập
S
như sau:
● Số các số thuộc
S
có
3
chữ số là
3
5
A
.
● Số các số thuộc
S
có
4
chữ số là
4
5
A
.
● Số các số thuộc
S
có
5
chữ số là
5
5
A
.
Suy ra số phần tử của tập
S
là
345
555
300AAA++=
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
1
số từ tập
S
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
1
300
300nCΩ= =
.
Gọi
X
là biến cố
''
Số được chọn có tổng các chữ số bằng
10
''
. Các tập con của
A
có tổng số
phần tử bằng
10
là
{
}
1
1; 2; 3; 4
A =
,
{ }
2
2; 3; 5A =
,
{ }
3
1; 4; 5A =
.
● Từ
1
A
lập được các số thuộc
S
là
4!
.
● Từ
2
A
lập được các số thuộc
S
là
3!
.
● Từ
3
A
lập được các số thuộc
S
là
3!
.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
4! 3! 3! 36.nX =++ =
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
36 3
.
300 25
nX
PX
n
= = =
Ω
Câu 82: [1D2-4.3-3] Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số
từ tập hợp
S
. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
A.
8
.
89
B.
81
.
89
C.
36
.
89
D.
53
.
89
Lời giải.
Số phần tử của tập
S
là
9.10 90=
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
2
số từ tập
S
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
2
90
4005nCΩ= =
.
Gọi
X
là biến cố
''
Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau
''
. Ta mô tả không gian của
biến cố
X
nhưu sau:
● Có
10
cách chọn chữ số hàng đơn vị.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 26
● Có
2
9
C
cách chọn hai chữ số hàng chục.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
2
9
10. 360nX C= =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
360 8
.
4005 89
nX
PX
n
= = =
Ω
Câu 83: [1D2-4.3-3] Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên gồm
9
chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ
S
, tính xác suất để chọn được một số gồm
4
chữ số lẻ và chữ số
0
luôn đứng giữa hai chữ
số lẻ.
A.
49
.
54
B.
5
.
54
C.
1
.
7776
D.
45
.
54
Lời giải.
Số phần tử của tập
S
là
8
9
9.A
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
1
số từ tập
S
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
8
9
9.nAΩ=
.
Gọi
X
là biến cố
''
Số được chọn gồm
4
chữ số lẻ và chữ số
0
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ
''
.
Do số
0
luôn đứng giữa
2
số lẻ nên số
0
không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có
các khả năng
● Chọn
1
trong
7
vị trí để xếp số
0
, có
1
7
C
cách.
● Chọn
2
trong
5
số lẻ và xếp vào
2
vị trí cạnh số
0
vừa xếp, có
2
5
A
cách.
● Chọn
2
số lẻ trong
3
số lẻ còn lại và chọn
4
số chẵn từ
{
}
2; 4; 6; 8
sau đó xếp
6
số này vào
6
vị trí trống còn lại có
24
34
. .6!
CC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
1224
75 3 4
....6!nX CACC=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
(
)
1224
75 3 4
8
9
....6!
5
.
9. 54
nX
CACC
PX
nA
= = =
Ω
Câu 84: [1D2-4.3-2] Giải bóng chuyền VTV Cup gồm
9
đội bóng tham dự, trong đó có
6
đội nước
ngoài và
3
đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành
3
bảng
, , ABC
và mỗi bảng có
3
đội. Tính xác suất để
3
đội bóng của Việt Nam ở
3
bảng khác nhau.
A.
3
.
56
B.
19
.
28
C.
9
.
28
D.
53
.
56
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý
9
đội thành
3
bảng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
333
963
..n CCCΩ=
.
Gọi
X
là biến cố
''
3
đội bóng của Việt Nam ở
3
bảng khác nhau
''
.
● Bước 1. Xếp
3
đội Việt Nam ở
3
bảng khác nhau nên có
3!
cách.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 27
● Bước 2. Xếp
6
đội còn lại vào
3
bảng
, , ABC
này có
222
642
..
CCC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
222
642
3!...nX CCC=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
222
642
333
963
3!...
540 9
. . 1680 28
nX
CCC
PX
n CCC
= = = =
Ω
.
Câu 85: [1D2-4.3-2] Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có
8
người tham
gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng
A
và
B
, mỗi
bảng gồm
4
người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác
suất để cả
2
bạn Việt và Nam nằm chung
1
bảng đấu.
A.
6
.
7
B.
5
.
7
C.
4
.
7
D.
3
.
7
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý
8
người thành
2
bảng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
44
84
.n CCΩ=
.
Gọi
X
là biến cố
''
2
bạn Việt và Nam nằm chung
1
bảng đấu
''
.
● Bước 1. Xếp
2
bạn Việt và Nam nằm chung
1
bảng đấu nên có
1
2
C
cách.
● Bước 2. Xếp
6
bạn còn lại vào
2
bảng
, AB
cho đủ mỗi bảng là
4
bạn thì có
24
64
.CC
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
124
26 4
..nX CCC=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
44
84
124
26 4
.
3
.. 7
nX
CC
PX
n CCC
= = =
Ω
.
Câu 86: [1D2-4.3-3] Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp
12
mà mỗi đề gồm
5
câu được chọn từ
15
câu
dễ,
10
câu trung bình và
5
câu khó. Một đề thi được gọi là
''
Tốt
''
nếu trong đề thi có cả ba câu
dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn
2
. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ
đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi
''
Tốt
''
.
A.
941
.
1566
B.
2
.
5
C.
4
.
5
D.
625
.
1566
Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
5
30
142506nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
Đề thi lấy ra là một đề thi
''
Tốt
''
''
.
Vì trong một đề thi
''
Tốt
''
có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn
2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố
A
.
● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có
311
15 10 5
CCC
đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có
311
15 10 5
CCC
đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có
21 2
15 10 5
CCC
đề.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 28
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
311 311 21 2
15 10 5 15 10 5 15 10 5
56875nA CCC CCC CCC=++ =
.
Vậy xác suất cần tính
(
)
( )
( )
56875 625
142506 1566
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 87: [1D2-4.3-3] Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh
A
phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu
nhiên
3
phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm
50
phiếu câu hỏi, trong đó có
4
cặp phiếu câu
hỏi mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội
dung giống nhau. Tính xác suất để thí sinh
A
chọn được
3
phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau.
A.
3
4
B.
12
.
1225
C.
4
.
7
D.
1213
.
1225
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý
3
phiếu câu hỏi từ
50
phiếu câu hỏi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
3
50
nA C=
.
Gọi
X
là biến cố
''
Thí sinh
A
chọn được
3
phiếu câu hỏi khác nhau
''
.
Để tìm số phần tử của
X
ta tìm số phần tử của biến cố
X
, lúc này cần chọn được
1
cặp trong
4
cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn
1
phiếu trong
48
phiếu còn lại.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
11
4 48
.nX CC=
.
Vậy xác suất cần tính
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
3 11
50 4 48
3
50
.
1213
.
1225
n nX
nX
C CC
PX
nn C
Ω−
−
= = = =
ΩΩ
Câu 88: [1D2-4.3-3] Có
6
học sinh lớp
11
và
3
học sinh lớp
12
được xếp ngẫu nhiên vào
9
ghế thành
một dãy. Tính xác suất để xếp được
3
học sinh lớp
12
xen kẽ giữa
6
học sinh lớp
11
.
A.
5
.
12
B.
7
.
12
C.
1
.
1728
D.
5
.
72
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả
9
học sinh vào một ghế dài.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
9!n Ω=
.
Gọi
A
là biến cố
''
Xếp
3
học sinh lớp
12
xen kẽ giữa
6
học sinh lớp
11
''
. Ta mô tả khả năng
thuận lợi của biến cố
A
như sau:
● Đầu tiên xếp
6
học sinh lớp
11
thành một dãy, có
6!
cách.
● Sau đó xem
6
học sinh này như
6
vách ngăn nên có
7
vị trí để xếp
3
học sinh lớp
12
. Do đó
có
3
7
A
cách xếp
3
học sinh lớp
12
.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
3
7
6!.nA A=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
3
7
6!.
5
.
9! 12
nA
A
PA
n
= = =
Ω
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 29
Câu 89: [1D2-4.3-3] Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có
8
học sinh nam và
4
học sinh
nữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác
suất để khi xếp sao cho
2
học sinh nữ không đứng cạnh nhau.
A.
653
.
660
B.
7
.
660
C.
41
.
55
D.
14
.
55
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả
12
học sinh thành một hàng ngang. Suy ra số phần tử
của không gian mẫu là
( )
12!n Ω=
.
Gọi
A
là biến cố
''
Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà
2
học sinh nữ không đứng
cạnh nhau
''
. Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố
A
như sau:
● Đầu tiên xếp
8
học sinh nam thành một hàng ngang, có
8!
cách.
● Sau đó xem
8
học sinh này như
8
vách ngăn nên có
9
vị trí để xếp
4
học sinh nữ thỏa yêu
cầu bài toán. Do đó có
4
9
A
cách xếp
4
học sinh nữ.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
4
9
8!.nA A=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
(
)
(
)
4
9
8!
14
.
12! 55
nA
A
PA
n
= = =
Ω
Câu 90: [1D2-4.3-3] Xếp
6
học sinh nam và
4
học sinh nữ vào một bàn tròn
10
ghế. Tính xác suất để
không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
A.
37
.
42
B.
5
.
42
C.
5
.
1008
D.
1
.
6
Lời giải.
Cố định
1
vị trí cho một học sinh nam, đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9.
Không gian mẫu là hoán vị
9
học sinh trên
9
ghế đánh dấu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
9!n Ω=
.
Gọi
A
là biến cố
''
không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau
''
. Ta mô tả khả năng thuận lợi của
biến cố
A
như sau:
● Đầu tiên ta cố định
1
học sinh nam,
5
học sinh nam còn lại có
5!
cách xếp.
● Ta xem
6
học sinh nam như
6
vách ngăn trên vòng tròn, thế thì sẽ tạo ra
6
ô trống để ta xếp
4
học sinh nữ vào. Do đó có
4
6
A
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
4
6
5!.nA A=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
4
6
5!.
5
.
9! 42
nA
A
PA
n
= = =
Ω
Câu 91: [1D2-4.3-3] Có
4
hành khách bước lên một đoàn tàu gồm
4
toa. Mỗi hành khách độc lập với
nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để
1
toa có
3
người,
1
toa có
1
người,
2
toa
còn lại không có ai.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 30
A.
3
.
4
B.
3
.
16
C.
13
.
16
D.
1
.
4
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp
4
hành khách lên
4
toa tàu. Vì mỗi hành khách có
4
cách
chọn toa nên có
4
4
cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
4
4n Ω=
.
Gọi
A
là biến cố
''
1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai
''
. Để tìm số phần
tử của
A
, ta chia làm hai giai đoạn như sau:
● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên
toa đó 3 hành khách vừa chọn. Suy ra có
31
44
.CC
cách.
● Giai đoạn thứ hai. Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách còn lại.
Suy ra có
1
3
C
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
311
443
..nA CCC=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
311
443
44
..
48 3
4 4 16
nA
CCC
PA
n
= = = =
Ω
.
Câu 92: [1D2-4.3-3] Có
8
người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có
3
quầy. Tính xác suất để
3
người cùng đến quầy thứ nhất.
A.
10
.
13
B.
3
.
13
C.
4769
.
6561
D.
1792
.
6561
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp
8
người khách vào
3
quầy. Vì mỗi người khách có
3
cách
chọn quầy nên có
8
3
khả năng xảy ra.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
8
3n Ω=
.
Gọi
A
là biến cố
''
Có
3
người cùng đến quầy thứ nhất,
5
người còn lại đến quầy thứ hai hoặc
ba
''
. Để tìm số phần tử của
A
, ta chia làm hai giai đoạn như sau:
● Giai đoạn thứ nhất. Chọn
3
người khách trong
8
người khách và cho đến quầy thứ nhất, có
3
8
C
cách.
● Giai đoạn thứ hai. Còn lại
5
người khách xếp vào
2
quầy. Mỗi người khách có
2
cách chọn
quầy. Suy ra có
5
2
cách xếp.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
35
8
.2nA C=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
35
8
8
.2
1792
.
3 6561
nA
C
PA
n
= = =
Ω
Câu 93: [1D2-4.3-3] Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu
nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có
cặp vợ chồng nào.
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 31
A.
94
.
95
B.
1
.
95
C.
6
.
95
D.
89
.
95
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
3
người trong
20
người.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là
( )
3
20
1140nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
3
người được chọn không có cặp vợ chồng nào
''
. Để tìm số phần tử của
A
,
ta đi tìm số phần tử của biến cố
A
, với biến cố
A
là
3
người được chọn luôn có
1
cặp vợ chồng.
● Chọn
1
cặp vợ chồng trong
4
cặp vợ chồng, có
1
4
C
cách.
● Chọn thêm
1
người trong 18 người, có
1
18
C
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
11
4 18
. 72nA CC= =
.
Suy ra số phần tử của biến cố
A
là
( )
1140 72 1068nA= −=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
1068 89
1140 95
nA
PA
n
= = =
Ω
.
Câu 94: [1D2-4.3-3] Một lớp học có
40
học sinh trong đó có
4
cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp
đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra
3
học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng,
lớp phó và bí thư. Tính xác suất để chọn ra
3
học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em
sinh đôi nào.
A.
64
.
65
B.
1
.
65
C.
1
.
256
D.
255
.
256
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên
3
học sinh trong
40
học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là
( )
3
40
9880nCΩ= =
.
Gọi
A
là biến cố
''
3
học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào
''
. Để tìm số phần tử
của
A
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
A
, với biến cố
A
là
3
học sinh được chọn luôn có
1
cặp
anh em sinh đôi.
● Chọn
1
cặp em sinh đôi trong cặp em sinh đôi, có cách.
● Chọn thêm học sinh trong 38 học sinh, có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính .
4
1
4
C
1
1
38
C
A
( )
11
4 38
. 152nA CC= =
A
( )
9880 152 9728nA= −=
( )
( )
( )
9728 64
9880 65
nA
PA
n
= = =
Ω
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 32
Câu 95: [1D2-4.3-3] Một người có đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên
chiếc. Tính xác suất để trong chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi.
A. B. C. D.
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên chiếc giày từ chiếc giày.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi . Để tìm số phần tử của biến cố , ta
đi tìm số phần tử của biến cố , với biến cố là chiếc giày được chọn không có đôi nào.
● Số cách chọn đôi giày từ đôi giày là .
● Mỗi đôi chọn ra chiếc, thế thì mỗi chiếc có cách chọn. Suy ra chiếc có cách
chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính .
Câu 96: [1D2-4.3-3] Trong mặt phẳng tọa độ . Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy điểm phân biệt; cứ
thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy điểm phân biệt. Trong
điểm đó ta lấy điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.
A. B. C. D.
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn điểm bất kỳ trong điểm đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Đoạn thẳng nối điểm được chọn cắt hai trục tọa độ . Để xảy ra biến cố
thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư.
● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có cách.
● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
10
4
4
3
.
7
13
.
64
99
.
323
224
.
323
4
20
( )
4
20
4845nCΩ= =
A
''
4
''
A
A
A
4
4
10
4
10
C
1
1
2
C
4
( )
4
1
2
C
A
( )
( )
4
41
10 2
. 3360nA C C= =
A
( )
4845 3360 1485nA=−=
( )
( )
( )
1485 99
4845 323
nA
PA
n
= = =
Ω
Oxy
2
3, 4, 5
14
2
68
.
91
23
.
91
8
.
91
83
.
91
2
14
( )
2
14
91nCΩ= =
A
''
2
''
A
11
24
CC
11
35
CC
A
( )
11 11
24 35
23n A CC CC=+=
( )
( )
( )
23
.
91
nA
PA
n
= =
Ω
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 33
Câu 97: [1D2-4.3-3] Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để
tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh
nữ của lớp.
A. B. C. D.
Lời giải.
Gọi số học sinh nữ của lớp là .
Suy ra số học sinh nam là .
Không gian mẫu là chọn bất kì 3 học sinh từ 30 học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ .
● Chọn 2 nam trong nam, có cách.
● Chọn 1 nữ trong nữ, có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Do đó xác suất của biến cố là .
Theo giả thiết, ta có
Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh.
Câu 98: [1D2-4.3-3] Một hộp có phiếu, trong đó có phiếu trúng thưởng. Có người lần lượt lấy
ngẫu nhiên mỗi người phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.
A. B. C. D.
Lời giải.
Không gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên phiếu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng . Ta mô tả khả năng thuận lợi của
biến cố như sau:
● Người thứ ba có khả năng lấy được phiếu trúng thưởng.
● người còn lại có số cách lấy phiếu là .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
12
29
16.
14.
13.
17.
( )
*
, 28nn n∈≤
30 n−
( )
3
30
nCΩ=
A
''
''
30 n−
2
30 n
C
−
n
1
n
C
A
( )
21
30
.
nn
nA C C
−
=
A
( )
( )
( )
21
30
3
30
.
nn
nA
CC
PA
nC
−
= =
Ω
( )
21
30
3
30
.
12 12
14.
29 29
nn
CC
PA n
C
−
= ⇔ = → =
10
2
10
1
4
.
5
3
.
5
1
.
5
2
.
5
1
( )
10!n Ω=
A
''
''
A
1
2
2C =
9
9!
A
( )
2.9!nA=
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 34
Vậy xác suất cần tính
Câu 99: [1D2-4.3-3] Một nhóm gồm nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên bạn. Xác suất để trong bạn
được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: .
Số phần tử của không gian thuận lợi là:
Xác suất biến cố là: .
Câu 100: [1D2-4.3-4] Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn
khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một
phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để
trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.
A. B. C. D.
Lời giải.
Không gian mẫu là số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi trong lần thi của Nam.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí . Ta mô tả không
gian của biến cố như sau:
● Trong lần có lần trùng vị trí, có cách.
● Giả sử lần thứ nhất có cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ nhất có cách
chọn chỗ ngồi. Hai lần còn lại thứ ba và thứ tư không trùng với các lần trước và cũng không
trùng nhau nên có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Câu 101: [1D2-4.3-4] Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm
2016
có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh.
Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với
4
phương án trả lời
A, B, C, D
. Mỗi câu trả lời
đúng được cộng
0, 2
điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi
0,1
điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn
Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả
50
câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được
4
điểm
môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên.
A.
( )
20
30
5
5
0
0
.3
.
4
C
B.
( )
20
30
5
5
0
0
.3
.
4
A
C.
( )
20
30
50
.3
.
50
C
D.
( )
20
30
50
.3
.
50
A
( )
( )
( )
2.9! 1
.
10! 5
nA
PA
n
= = =
Ω
8
7
5
5
60
143
238
429
210
429
82
143
5
15
CΩ=
41 32
87 87A
CC CCΩ= +
A
( )
238
429
PA=
253
.
1152
899
.
1152
4
.
7
26
.
35
4
( )
4
24n Ω=
A
''
''
A
4
2
2
4
C
24
1
23.22
A
( )
2
4
.24.23.22nA C=
( )
( )
( )
22
44
43
.24.23.22 .23.22
253
.
24 24 1152
nA
CC
PA
n
= = = =
Ω
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 35
Lời giải.
Gọi
x
là số câu trả lời đúng, suy ra
50 x−
là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là
( )
0,2. 0,1. 50 4 30x xx− − =⇔=
.
Do đó bạn Hoa trả lời đúng
30
câu và sai
20
câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời
50
câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có
4
phương án trả lời nên có
50
4
khả năng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
50
4n Ω =
.
Gọi
X
là biến cố
''
Bạn Hoa trả lời đúng
30
câu và sai
20
câu
''
. Vì mỗi câu đúng có
1
phương
án trả lời, mỗi câu sai có
3
phương án trả lời. Vì vậy có
( )
20
30
50
.3C
khả năng thuận lợi cho biến
cố
X
.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( ) ( )
20
30
50
.3nX C=
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
( )
20
30
50
50
.
.
4
3
P
nX C
n
X = =
Ω
Câu 102: [1D2-4.3-4] Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh
niên tình nguyện gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ bằng lần xác
suất 4 người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên.
A. B. C. D.
Lời giải.
Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là .
Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là .
Xác suất để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ là .
Xác suất để lập đội TNTN có toàn nam là .
Theo giả thiết, ta có
Vậy cho đoàn có đoàn viên.
Câu 103: [1D2-4.3-4] Một hộp đựng tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên tấm thẻ.
Gọi là xác suất để tổng số ghi trên tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
2
5
9.
10.
11.
12.
( )
*
7,nn n≥∈
3n −
31
33
4
.
n
n
CC
C
−
4
3
4
n
n
C
C
−
31 4
14
33 3
33
44
.
22
. . 9.
55
nn
nn
nn
CC C
CC n
CC
−−
−−
= ⇔ = → =
9
11
1
11
6
P
6
P
100
231
115
231
1
2
118
231
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 36
. Gọi :”tổng số ghi trên tấm thẻ ấy là một số lẻ”.
Từ đến có số lẻ và số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được thẻ mang số lẻ và thẻ mang số chẵn có: cách.
Trường hợp 2: Chọn được thẻ mang số lẻ và thẻ mang số chẵn có: cách.
Trường hợp 2: Chọn được thẻ mang số lẻ và thẻ mang số chẵn có: cách.
Do đó . Vậy .
Câu 104: [1D2-4.3-4] Một nhóm học sinh gồm nam trong đó có Quang, và nữ trong đó có Huyền
được xếp ngẫu nhiên vào ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp
được giữa bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Giả sử các ghế được đánh số từ đến .
Để có cách xếp sao cho giữa bạn nữ có đúng bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế
đánh số , , , . Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế hoặc thì có cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế
hoặc thì có cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là .
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là
.
Gọi A: “ Giữa bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh
Huyền”.
.
Vậy xác suất cần tìm là .
Câu 105: [1D2-5.3-4] Ba bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác
suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. B. C. D.
Lời giải
6
11
( ) 462nCΩ= =
A
6
1
11
6
5
3
1
5
5
5
6. 6C =
3
3
33
65
. 200CC=
5
1
5
6
.5 30C =
( ) 6 200 30 236nA=+ +=
236 118
()
462 231
PA= =
10
6
4
10
2
2
109
30240
1
280
1
5040
109
60480
( )
10!n Ω=
1
10
2
2
1
4
7
10
6!.4!
1
10
1
4
7
2
2 2.2 6+=
10
6.3!.5!
2
2
( )
4!.6! 6.3!.5! 12960nA=−=
( )
( )
( )
12960 1
10! 280
nA
PA
n
⇒== =
Ω
1
280
,,ABC
[ ]
1;14
457
1372
307
1372
207
1372
31
91
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 37
Số phần tử không gian mẫu: .
Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn có: 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số
chia hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:
TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có:
TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có:
TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có:
TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba
người viết lên bảng nên có:
Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3”
Ta có: .
Vậy xác suất cần tính: .
Câu 106: [1D2-5.3-4] Từ học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo
viên muốn thành lập nhóm làm bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm học sinh. Tính xác suất
để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá.
A. B. C. D.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là
Gọi là biến cố: “nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá”
Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có cách.
Bước 2: xếp học sinh giỏi vào nhóm thì có nhóm có học sinh giỏi.
+ Chọn 1 nhóm để xếp học sinh giỏi có cách
+ Chọn học sinh giỏi có cách
+ Xếp học sinh giỏi còn lại có cách
Bước 3: Xếp học sinh trung bình có cách.
Vậy .
Câu 107: [1D2-5.3-4] Có bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như
nhau. Tất cả bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu
sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là
A. B. C. D.
3
( ) 14n Ω=
[ ]
1;14
3
4
3
5
3
5
4.5.5.3!
333
( ) 4 5 5 4.5.5.3! 914nE =+++ =
3
914 457
()
14 1372
PE = =
12
5
4
3
4
4
3
36
385
18
385
72
385
144
385
3 333
12 9 6 3
( ) . . . 369600n C CCCΩ= =
A
4!
5
4
1
2
2
4
2
2
5
C
3
3!
3
3!
( )
2
5
.3!4 .!. 3! 3 604. 45nA C =⇒=
( )
34560
369600
36
385
PA= =
8
8
47
256
49
256
51
256
3
16
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 38
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.
Rõ ràng nếu nhiều hơn đồng xu ngửa thì biến cố không xảy ra.
Để biến cố xảy ra có các trường hợp sau:
TH1: Có nhiều nhất đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là .
TH2: Có đồng xu ngửa.
Hai đồng xu ngửa kề nhau: có khả năng.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là .
TH3: Có đồng xu ngửa.
Cả đồng xu ngửa kề nhau: có kết quả.
Trong đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có kết quả.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là .
TH4: Có đồng xu ngửa.
Trường hợp này có kết quả thỏa mãn biến cố xảy ra.
Như vậy .
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là .
Câu 108: [1D2-5.3-4] Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4;.....;100A =
. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của
, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của
. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1:
Gọi ba số lấy ra là không xếp vị trí và phân biệt.
- Nếu bất kì , vậy có bộ nghiệm.
- Nếu có hai số bằng nhau, giả sử nên ta có . Vậy phải là số lẻ suy ra
có số nên có 45 bộ số có tổng bằng 91 và có 2 số bằng nhau.
Kết luận có . Vậy .
Từ , ta có các bộ số sau , , thỏa mãn yêu
cầu bài toán.
Vậy xác suất cần tính là .
Cách 2:
Tập con gồm 3 phần tử của
S
và có tổng bằng 91
( )
8
2 256n Ω= =
A
4
A
A
1
18 9+=
2
8
2
8
8 20C −=
3
3
8
3
8.4 32=
3
8
8 32 16C −− =
4
2
A
( )
9 20 16 2 47nA=+ + +=
( )
( )
47
256
nA
P
n
= =
Ω
A
91
S
4
645
3
645
2
1395
1
930
{ }
;;abc
,,abc
*
91
,,
abc
abc
++=
∈
2
90
C
,,abc
ab=
2 91ac+=
c
45
c
( )
2
90
3.45 : 6 645C −=
( )
645n Ω=
{ }
1;2;3;4;.....;100A =
{ }
1; 9; 81
{ }
7;21;63
{ }
13;26;52
3
645
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 39
+ Dạng , : có 43 tập.
+ Dạng , : có 42 tập.
+ …
Do đó:
Gọi là biến cố "Chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân"
Khi đó .
Vậy .
Câu 109: [1D2-5.4-4] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học
sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp
đứng cạnh nhau bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”
+ Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có cách xếp
+ Giữa 5 học sinh lớp C và ở hai đầu có 6 khoảng trống
TH1: Xếp 5 học sinh của hai lớp A và B vào 4 khoảng trống ở giữa và 1 khoảng trống ở 1
đầu thì có cách xếp
TH2: Xếp 5 học sinh vào 4 khoảng trống giữa 5 học sinh lớp C sao cho có đúng một khoảng
trống có 2 học sinh thuộc 2 lớp A, B thì có cách xếp.
Suy ra,
Câu 110: [1D2-5.4-4] Cho một đa giác đều đỉnh. Chọn ngẫu nhiên đỉnh của đa giác đều đó. Gọi
là xác suất sao cho đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết . Số các ước nguyên dương
của là
A. B. C. D.
Lời giải
Do là số lẻ nên ta đặt
Số phần tử không gian mẫu:
Gọi “ đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù”
{ }
1; ;ab
1 , 90a ba b<< +=
{ }
2; ;ab
2 , 89a ba b<< +=
( ) ( ) ( ) ( )
43 42 40 39 37 36 ... 4 3 1 645SΩ==+++++++++=
N
{ } { } { }
{ }
1;9;81 ; 7;21;63 ; 13;26;52
N
Ω=
3
()
645
N
PT
Ω
= =
Ω
11
630
1
126
1
105
1
42
( )
10!n Ω=
H
5!
2.5!
2!.2.3.4!
( ) ( ) ( )
11
5! 2.5! 2!.2.3.4 .
6
!
30
HHnp=+ ⇒=
n
3
P
3
45
62
=P
n
3
4
6
5
n
( )
21=+∈nk k
( )
3
21+
=
k
nA C
:A
3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 40
Giả sử tam giác có nhọn và tù
Chọn đỉnh bất kì làm đỉnh có cách
Khi đó còn lại đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm , mỗi bên là đỉnh
Để tạo thành tam giác tù thì đỉnh còn lại phải được chọn từ đỉnh cùng thuộc một phía so
với điểm đã chọn do đó có cách chọn
Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại 2 lần nên
Vậy
Vậy . Khi đó các ước nguyên dương của là .
Câu 111: [1D2-5.6-4] Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có .
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn có số chia hết cho là , có số chia
cho dư là , có số chia cho dư là .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho cần phải xảy ra các trường hợp sau:
TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho . Trong trường hợp này có: cách viết.
TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho dư . Trong trường hợp này có: cách viết.
TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho dư . Trong trường hợp này có: cách viết.
TH4. Trong ba số được viết ra có số chia hết cho , có một số chia cho dư , có một số chia
cho dư . Trong trường hợp này có: cách viết.
ABC
,AB
C
1
A
21+k
2k
2
k
2
k
22
+
kk
CC
( )
( )
( )
( )
22
2
21
21
2!
++
= = +
kk
k
CC k
nA C k
( )
( )
2
3
21
21
45
62
+
+
= =
k
k
Ck
PA
C
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )( )
( )
( )
32 3
2 1!
!
62 . 2 1 45
2 !.2! 2 2 !.3!
12 1 2 12 2 1
62. 45.
26
62 31 31 60 15
16
1
2
0
+
⇔ +=
−−
−+ + −
⇔=
⇔ − −= −
=
⇔=−
=
k
k
k
kk
kk k k k k
k k kk k
k
kL
kL
33=n
n
1;11; 3; 33
A
B
C
[ ]
1;17
1728
4913
1079
4913
23
68
1637
4913
( )
3
17Ω=n
[ ]
1;17
5
3
{ }
3; 6;9;12;15
6
3
1
{ }
1;4;7;10;13;16
6
3
2
{ }
2;5;8;11;14;17
3
3
3
5
3
1
3
6
3
2
3
6
1
3
3
1
3
2
5.6.6.3!
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 41
Vậy xác suất cần tìm là: .
Câu 112: [1D2-5.6-4] Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có .
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn có số chia hết cho là , có số
chia cho dư là , có số chia cho dư là .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho cần phải xảy ra các trường hợp sau:
TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho . Trong trường hợp này có: cách viết.
TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho dư . Trong trường hợp này có: cách viết.
TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho dư . Trong trường hợp này có: cách viết.
TH4. Trong ba số được viết ra có số chia hết cho , có một số chia cho dư , có một số chia
cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: cách viết.
Vậy xác suất cần tìm là: .
Câu 113: [1D2-5.6-4] Lớp 11A có học sinh trong đó có học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học
loại giỏi và học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh
của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là . Số học sinh đạt
điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí là
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Hóa học”.
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Vật lí”.
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi”.
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Hóa học và Vật
lí”.
Ta có: .
Mặt khác:
.
( )
333
3
5 6 6 5.6.6.3!
17
+++
=pA
1637
4913
=
A
B
C
[ ]
1;19
1027
6859
2539
6859
2287
6859
109
323
( )
3
19Ω=n
[ ]
1;19
6
3
{ }
3; 6;9;12;15;18
7
3
1
{ }
1;4;7;10;13;16;19
6
3
2
{ }
2;5;8;11;14;17
3
3
3
6
3
1
3
7
3
2
3
6
1
3
3
1
6.7.6.3!
( )
333
3
6 7 6 6.7.6.3!
19
+++
=pA
2287
6859
=
40
12
13
0,5
6
5
4
7
A
B
AB∪
AB∩
( )
0,5.40nA B∪=
20=
( ) ( ) ( ) ( )
.nA B nA nB nAB∪= + −
( ) ( ) ( ) ( )
.nAB nA nB nA B⇒ = + −∪
12 13 20=+−
5=
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 42
Câu 114: [1D2-5.6-4] Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số được lập từ tập .
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là số cách lập các số có chữ số từ tập , do đó .
Gọi là biến cố chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng .
Số phần tử của là .
Suy ra xác suất .
Câu 115: [1D2-5.3-4] Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ
tập . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng
Số cách chọn số có chữ số từ tập số tự nhiên là
Gọi là biến cố: chọn được số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố.
Do số có tận cùng là số nguyên tố nên
Suy ra có tận cùng là ; ; ; .
Ta có số cần tìm có chữ số nên .
Xét các bộ số ; ;
Số các bộ số là bộ.
mỗi bộ số sẽ có số thỏa mãn. Do đó
Xác suất của biến cố là .
Câu 116: [1D2-5.3-4] Gọi là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn được thành lập từ hai chữ số và
. Lấy ngẫu nhiên hai số trong . Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho bằng.
A. B. C. D.
Lời giải
Có: ; ,., .
Số phần tử của là : .
S
6
{ }
0;1;2;3;...;9A =
.S
7875.
1
5000
1
15000
10
18
5
4
4
3.10
6
A
5
9.10n
Ω
=
B
23 3
7875 3 .5 .7 9.5 .7.1= =
B
23 131
6 4 65 2
. . . 60 120 180CC CCC+ =+=
( )
5
180 1
9.10 5000
PB= =
A
5
A
11
2045
13608
409
90000
409
3402
409
11250
11abcde k=
5
( )
4
9.10n Ω=
A
11
{ }
2;3;5;7e =
k
2
3
5
7
5
10010 11 99990k≤≤
910 11 9090k⇔≤≤
( )
910;911,...919
( )
920;921;...929
( )
9080;9081...9089
9090 910
818
10
−
=
4
k
818.4 3272
A
n = =
4
3272 409
9.10 11250
A
P = =
S
6
10
0
1
S
3
4473
8128
2279
4064
55
96
53
96
1
0a ≠
1
a
{ }
6
0;1a ∈
S
2 1.2 1.2.2 1.2.2.2 1.2.2.2.2 1.2.2.2.2.2 64++ + + + =
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 43
Lấy ngẫu nhiên hai số trong , có : .
Gọi là biến cố lấy được ít nhất một số chia hết cho .
là biến cố không lấy được số chia hết cho .
Ta xét xem trong số của tập có bao nhiêu số chia được cho :
+ TH1: Số có chữ số : có số và hai số này đều không chia được cho .
+ TH1: Số có chữ số với : có số và số này đều không chia được cho .
+ TH2: Số có chữ số với : có số và trong đó có số chia được cho .
+ TH3: Số có chữ số với : có số và trong đó có số chia được cho .
+ TH4: Số có chữ số với : có số và trong đó có số chia được cho .
+ TH5: Số có chữ số với : có số và trong đó có số chia được cho
.
Do đó có số chia được cho và có số không chia được cho .
Do đó: . Vậy .
Câu 117: [1D2-5.3-4] Người ta dùng 18 cuốn sách gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách
Hóa để làm phần thưởng cho 9 học sinh mỗi học sinh nhận được 2 cuốn
sách khác thể loại. Tính xác suất để 2 học sinh nhận được phần thưởng giống nhau.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn ra 7 học sinh nhận sách Toán. Có cách chọn. Hai bạn còn lại chắc chắn nhận được
một cuốn sách Lý và một cuốn sách Hóa. Vậy còn 4 cuốn sách Lý và 3 cuốn sách Hóa.
Trong 7 bạn nhận sách Toán, chọn ra 4 bạn nhận sách Lý. Có cách chọn. Ba bạn còn
lại chắc chắn nhận được 1 cuốn sách Toán và một cuốn sách Hóa. Như vậy có cách
chia 18 cuốn sách cho 9 bạn theo yêu cầu đề bài.
Qua lập luận trên ta thấy có 4 bạn nhận được hai cuốn Toán và Lý, có 3 bạn nhận được hai cuốn
Toán và Hóa, có 2 bạn nhận được hai cuốn Lý và Hóa.
Để hai bạn nhận được phần thưởng như nhau, có các trường hợp sau:
+ Hai bạn cùng nhận được hai cuốn sách là Toán và Lý: Còn 2 bạn nhận sách Toán và Lý.
Có cách chọn thêm 2 bạn nhận sách Toán và Lý. Sau đó chọn ra 3 bạn nhận sách Toán và
Hóa. Có cách chọn. Hai bạn còn lại nhận sách Lý và Hóa. Trường hợp này có
cách chọn.
S
2
64
C
A
3
A⇒
3
64
S
3
1
1
a
2
3
2
12
aa
1
1a =
2
2
3
3
123
aaa
1
1a =
4
1
3
4
1234
aaaa
1
1a =
8
3
3
5
12345
aaaaa
1
1a =
16
6
3
6
123456
aaaaaa
1
1a =
32
11
3
21
3
43
3
( )
2
43
2
64
43
96
C
PA
C
= =
( )
( )
53
1
96
PA PA=−=
,,,,,,, ,,ABC DEFGH I
,AB
5
9
7
9
5
18
7
18
7
9
36C =
4
7
35C =
36.35 1260=
,AB
,AB
2
7
C
3
5
C
23
75
. 210CC=
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 44
+ Hai bạn cùng nhận được hai cuốn sách là Toán và Hóa: Cần chọn ra 4 bạn nhận sách
Toán và Lý và chọn ra 1 bạn nữa cùng với hai bạn nhận sách Toán và Hóa, 2 bạn còn lại
nhận sách Lý và Hóa. Có cách chọn 4 bạn nhận sách Toán và Lý, có cách chọn thêm 1
bạn ngoài hai bạn nhận sách Toán và Hóa, Hai bạn còn lại nhận sách Lý và Hóa. Trường
hợp này có cách chọn.
+ Hai bạn cùng nhận được hai cuốn sách là Lý và Hóa: Cần chọn ra 4 bạn trong số 7 bạn
và chọn ra 3 bạn trong số 3 bạn còn lại trừ hai bạn nhận sách Lý và Hóa và 4 bạn nhận sách
Toán và Lý). Trường hợp này có cách chọn.
Vậy có cách chia phần thưởng để hai bạn có phần thưởng như nhau.
Suy ra xác suất là
Cách 2:
- Giả sử chia thành cặp Toán-Lý ; cặp Lý-Hóa; cặp Toán-Hóa, ta được hệ
- Số cách chia phần thưởng cho 9 học sinh là : cách.
- Số cách chia đề 2 học sinh , nhận phần thưởng giống nhau là :
+ Hai bạn nhận cùng phần thưởng Toán-Lý: cách.
+ Hai bạn nhận cùng phần thưởng Lý-Hóa: cách.
+ Hai bạn nhận cùng phần thưởng Toán-Hóa: cách.
Vậy có cách để hai bạn , nhận phần thưởng giống nhau
Vậy xác suất cận tính là: .
Câu 118: [1D2-5.3-4] Gọi là tập hợp tất cả các số có chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để số chọn được chia hết cho
, luôn có mặt các chữ số và chúng đứng cạnh nhau.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
*)Ta có: .
*) Ta tính số các số chia hết cho , luôn có mặt các chữ số và chúng đứng cạnh nhau.
Xếp các chữ số thành một nhóm, coi là một chữ số, có: cách.
,AB
,AB
4
7
C
1
3
C
,AB
41
73
. 105CC=
,AB
,AB
43
73
. 35CC=
210 105 35 350+ +=
,AB
350 5
.
1260 18
=
x
y
z
9
6
5
7
xyz
xy
yz
xz
++=
+=
+=
+=
4
2
3
x
y
z
=
⇒=
=
423
953
. . 1260CCC=
A
B
223
753
1. . . 210CCC=
43
73
1. . 35CC=
142
76 2
1. . . 105CCC =
210 35 105 350++ =
A
B
350 5
1260 18
=
S
5
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
S
5
2, 3, 4
1
140
1
392
4
245
3
196
4
7
7. 5880SA= =
5880⇒Ω=
5
2, 3, 4
2, 3, 4
3! 6=
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 45
Do đó: ta cần tính số các số có chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số sao
cho số đó chia hết cho , và luôn có mặt nhóm .
+ Vì số đó chia hết cho nên chữ số hàng đơn vị bằng hoặc , có cách chọn.
Chọn vị trí cho nhóm , có cách chọn.
Viết chữ số còn lại, có cách chọn.
Suy ra: số các số cần tìm là: số.
+ Trong các số đó, có một số không thỏa mãn là .
Do đó: các số các số có chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số thỏa mãn
yêu cầu là: .
Vậy số các số có chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: số.
.
Câu 119: [1D2-5.3-4] Trong thư viện có quyển sách toán, quyển sách lý, quyển sách hóa, quyển
sách sinh. Biết các quyển sách cùng môn giống nhau, xếp quyển sách trên lên giá thành một
hàng sao cho không có quyển nào cùng môn đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách
xếp?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do các quyển sách cùng môn là giống nhau nên số cách xếp bất kỳ là cách.
TH1:Ba cuốn đứng cạnh nhau của một loại sách có cách xếp.
Khi đó, cả loại sách sẽ có cách xếp.
TH2: Ba cuốn đứng cạnh nhau của 2 loại sách có cách xếp.
Khi đó, cả loại sách sẽ có cách xếp.
TH3: Ba cuốn đứng cạnh nhau của 3 loại sách có cách xếp.
Khi đó, cả loại sách sẽ có cách xếp.
TH4: Ba cuốn đứng cạnh nhau của 4 loại sách có cách xếp.
Xếp quyển sách trên lên giá thành một hàng sao cho có quyển cùng môn đứng cạnh nhau
có cách xếp.
Vậy có cách xếp thỏa yêu cầu đề bài.
3
( )
0,1, 234 , 5, 6, 7
5
( )
234
5
0
5
2
( )
234
2
4
2.2.4 16=
( )
0 234 5
3
( )
0,1, 234 , 5, 6, 7
16 1 15−=
5
6.15 90=
90 3
5880 196
P⇒= =
3
3
3
3
12
3
308664
16800
369600
295176
( )
4
12!
3!
( )
3
10!
3!
4
( )
3
4.10!
3!
( )
2
8!
3!
4
( )
2
4
2
.8!
3!
C
6!
3!
4
3
4
.6!
3!
C
4!
12
3
( ) ( )
21
44
32
.8! .6!
4.10!
4! 60936
3!
3! 3!
CC
− + −=
( )
4
12!
60936 308664
3!
−=
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 46
Câu 120: [1D2-5.3-4] Một nhóm gồm bạn nam, bạn nữ và cầu thủ Neymar đứng thành hàng, mỗi
hàng người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, Neymar xen giữa hai bạn nam đồng
thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
*) Ta có: .
*) Chọn hàng cho cầu thủ Neymar, có cách chọn.
*) Đối với hàng có cầu thủ Neymar, có cách xếp như sau:
+) TH1: Trong hàng cầu thủ Neymar có nam, nữ.
Vì Neymar xen giữa hai bạn nam nên xếp bạn nam đứng hai bên Neymar, có: cách.
Vì các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng nên ta xếp hai bạn nữ đứng ở hai đầu
hàng, có cách xếp.
Hàng còn lại gồm bạn nam và bạn nữ còn lại.
Ta xếp bạn nam, có cách, tạo ra vị trí giữa các bạn.
Xếp bạn nữ vào trong vị trí đó, có: cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: cách xếp.
+) TH2: Trong hàng cầu thủ Neymar có nam, nữ.
Xếp 1 bạn nam, 1 bạn nữ và cầu thủ Neymar thành một hàng, có .
Xếp hai bạn nam trong 4 bạn nam còn lại đứng hai bên của Neymar, có cách.
Hàng còn lại gồm bạn nữ và bạn nam còn lại.
Ta xếp bạn nữ, có cách, tạo ra vị trí xen giữa các bạn.
Xếp bạn nam vào vị trí đó, có: cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: cách xếp.
Vậy xác suất cần tính là:
5
4
2
5
1
35
1
105
1
70
2
105
10!Ω=
2
2
2
2
2
2
5
A
2
4
A
3
2
3
3!
4
2
2
4
2
4
A
22 2
54 4
. .3!.AA A
3
1
11
54
. .3!CC
2
4
A
3
2
3
3!
2
2
2
2!
11 2
54 4
. .3! .3!.2!CC A
( )
22 2 11 2
54 4 54 4
2. . .3!. . .3! .3!.2!
2
10! 105
A A A CC A+
=
| 1/146
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ LÝ THUYẾT. I
I. SỐ GẦN ĐÚNG: Trong nhiều trường hợp ta không thể biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu a )
mà ta chỉ tìm được giá trị khá xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng kí hiệu là . a
Ví dụ: giá trị gần đúng của π là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;.
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để
đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
II. SAI SỐ CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
1) Sai số tuyệt đối
Giá trị a − a phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng a và số gần đúng a , được gọi là sai số
tuyệt đối của số gần đúng a , kí hiệu là ∆ ∆ = − a , tức là: a a . a
2) Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được ∆ . Tuy nhiên ta có thể đánh a
giá ∆ không vượt quá một số dương d nào đó. a
Nếu ∆ ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d , khi đó ta viết a = a ± d a
d gọi là độ chính xác của số gần đúng. 3) Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δa là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , ∆
tức là δa = a . a
Nhận xét: Nếu a = a ± d thì ∆ ≤ d suy ra d δ ≤ a a
a . Do đó da càng nhỏ thì chất lượng của phép
đo đặc hay tính toán càng cao.
III. SỐ QUY TRÒN. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần
đúng của số ban đầu.
Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng làm tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng số nào đó thì sai số tuyệt đối của số
qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn.
Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn
đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Chữ số chắc (đáng tin)
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a một chữ số được gọi là chữ số chắc
(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả cá chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng
bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
Dạng chuẩn của số gần đúng
Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó
đều là chữ chắc chắn.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là: A10k trong đó A là số nguyên, k là hàng
thấp nhất có chữ số chắc (k ∈) . (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn). Khi đó độ chính xác 0,5.10k d = .
Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n α
,1≤ α <10 1≤|α|<10, n∈ (Quy ước −n 1 10 =
) dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. 10n BÀI TẬP.
Câu 1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2kg .
b) Bán kính Trái Đất là 6371km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mắt 365 ngày.
Câu 2. Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1235±5m ” và thực hiện làm tròn số gần đúng.
Câu 3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho 3 7 với độ chính xác 0,0005.
Câu 4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau: 67,31 ± 0,96; 67,90 ± 0,55; 67,74 ± 0,46
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?
Câu 5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2cm với hai kết quả như sau:
Kết quả của An: S = 2π R = 2.3,14.2 =12,56cm 1 ;
Kết quả của Bình S = 2π R = 2.3,1.2 =12,4cm 2 . Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không? Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
b) Giá trị nào chính xác hơn?
Câu 6. Làm tròn số 8316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
DẠNG 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là 152m ± 0,2m , điều đó có nghĩa là gì?
A. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ 151,8m đến 152,2m .
B. Chiều dài đúng của cây cầu là một số lớn hơn 152 m.
C. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nhỏ hơn 152 m.
D. Chiều dài đúng của cây cầu là 151,8 m hoặc là 152,2 m.
Câu 2: Khi tính diện tích hình tròn bán kính R = 3cm, nếu lấy π = 3,14 thì độ chính xác là bao nhiêu? A. d = 0,009 . B. d = 0,09 . C. d = 0,1. D. d = 0,01
Câu 3: Cho giá trị gần đúng của 8 là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là: 17 A. 0,001. B. 0,002. C. 0,003. D. 0,004
DẠNG 2: SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 4: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là 152m ± 0,2m . Tìm sai số tương đối của phép đo chiều dài cây cầu. A. δ < . δ < . δ = . δ > a 0,1316% B. a 1,316% C. a 0,1316% D. a 0,1316%
Câu 5: Bạn A đo chiều dài của một sân bóng ghi được 250 ± 0,2m . Bạn B đo chiều cao của một cột cờ
được 15 ± 0,1m . Trong 2 bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong
phép đo của bạn đó là bao nhiêu?
A. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,08%.
B. Bạn B đo chính xác hơn bạn A với sai số tương đối là 0,08%.
C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhai là 0,08%.
D. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,06%.
Câu 6: Hãy xác định sai số tuyệt đối của số a =123456 biết sai số tương đốiδ = a 0,2% A. 146,912. B. 617280. C. 24691,2. D. 61728000
DẠNG 3 : QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG PHAP GIẢI
Tùy theo mức độ cho phép, ta có thể quy tròn một số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang
trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi là hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0. Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị ở chữ số ở hàng quy tròn.
Ví dụ: Các số quy tròn của số x theo từng hàng cho trong bảng sau:
Quy tròn đến Hàng Hàng đơn Hàng phần Hàng phần Hàng phần chục vị chục trăm nghìn x = 549,2705 550 549 549,3 549,27 549,271 x = 397,4619 400 397 397,5 397,46 397,462 Nhận xét:
Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn.
Nếu a = a ± d thì ta quy tròn số a đến hàng lớn hơn hàng của d một đơn vị.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 7: Tìm số gần đúng của a = 2851275 với độ chính xác d = 300 A. 2851000. B. 2851575. C. 2850025. D. 2851200
Câu 8: Tìm số gần đúng của a = 5,2463 với độ chính xác d = 0,001. A. 5,25. B. 5,24. C. 5,246. D. 5,2
Câu 9: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần trăm A. 1,73. B. 1,732. C. 1,7. D. 1,7320
Câu 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 2
π chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,870. B. 9,869. C. 9,871. D. 9,8696
Câu 11: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây: a = 17658 ± 16. A. 17700. B. 17660. C. 18000. D. 17674
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN
CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 12: Tìm số chắc của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ
chính xác d =100 người. A. 1,2,3,4. B. 1,2,3,4,0. C. 1,2,3. D. 1,2,3,4,0,5.
Câu 13: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với
độ chính xác d =100 người. A. 3 3214.10 . B. 4 321.10 . C. 1 321405.10 . D. 2 32140.10
Câu 14: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a =1,3462 sai số tương đối của a bằng 1%. A. 1,3. B. 1,34. C. 1,35. D. 1,346
Câu 15: Một hình chữ nhật cố diện tích là S = 180,57cm2 ± 0,6cm2. Kết quả gần đúng của S viết dưới dạng chuẩn là: A. 2 180,58cm . B. 2 180,59cm . C. 2 0,181cm . D. 2 181cm . Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ LÝ THUYẾT. I
I. SỐ GẦN ĐÚNG: Trong nhiều trường hợp ta không thể biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu a )
mà ta chỉ tìm được giá trị khá xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng kí hiệu là . a
Ví dụ: giá trị gần đúng của π là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;.
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để
đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
II. SAI SỐ CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
1) Sai số tuyệt đối
Giá trị a − a phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng a và số gần đúng a , được gọi là sai số
tuyệt đối của số gần đúng a , kí hiệu là ∆ ∆ = − a , tức là: a a . a
2) Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được ∆ . Tuy nhiên ta có thể đánh a
giá ∆ không vượt quá một số dương d nào đó. a
Nếu ∆ ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d , khi đó ta viết a = a ± d a
d gọi là độ chính xác của số gần đúng. 3) Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δa là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , ∆
tức là δa = a . a
Nhận xét: Nếu a = a ± d thì ∆ ≤ d suy ra d δ ≤ a a
a . Do đó da càng nhỏ thì chất lượng của phép
đo đặc hay tính toán càng cao.
III. SỐ QUY TRÒN. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần
đúng của số ban đầu.
Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng làm tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng số nào đó thì sai số tuyệt đối của số
qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn.
Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn
đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Chữ số chắc (đáng tin)
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a một chữ số được gọi là chữ số chắc
(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả cá chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng
bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
Dạng chuẩn của số gần đúng
Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó
đều là chữ chắc chắn.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là: A10k trong đó A là số nguyên, k là hàng
thấp nhất có chữ số chắc (k ∈) . (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn). Khi đó độ chính xác 0,5.10k d = .
Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n α
,1≤ α <10 1≤|α|<10, n∈ (Quy ước −n 1 10 =
) dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. 10n BÀI TẬP.
Câu 1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2kg .
b) Bán kính Trái Đất là 6371km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mắt 365 ngày. Giải:
Bán kính Trái Đất là 6371km và Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mắt 365 ngày là số gần đúng.
Câu 2. Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1235±5m ” và thực hiện làm tròn số gần đúng. Giải:
“Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1235±5m ” có nghĩa là kết quả đo được có độ chính
xác d = 5 đến hàng đơn vị nên ta phải quy tròn đến hàng chục. Số quy tròn 1240.
Câu 3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho 3 7 với độ chính xác 0,0005. Giải: 3 7 =1,913
Câu 4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau: Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 67,31 ± 0,96; 67,90 ± 0,55; 67,74 ± 0,46
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối? Giải: Phương pháp thứ 1: d
a = 67,31 và d = 0,96 do đó sai số tương đối là: 0,96 δ ≤ = ≈ a 1,426% a 67,31 . Phương pháp thứ 2: d
a = 67,90 và d = 0,55 do đó sai số tương đối là: 0,55 δ ≤ = ≈ a 0,81% a 67,90 . Phương pháp thứ 3: d
a = 67,74 và d = 0,46 do đó sai số tương đối là: 0,46 δ ≤ = ≈ a 0,679% a 67,74 .
Phương pháp thứ 3 chính xác nhất tính theo sai số tương đối.
Câu 5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2cm với hai kết quả như sau:
Kết quả của An: S = 2π R = 2.3,14.2 =12,56cm 1 ;
Kết quả của Bình S = 2π R = 2.3,1.2 =12,4cm 2 . Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
b) Giá trị nào chính xác hơn? Giải:
a) Hai kết quả tính được là số gần đúng.
b) Kết quả câu a) chính xác hơn.
Câu 6. Làm tròn số 8316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn. Giải:
Số 8316,4 làm tròn đến hàng chục là 8320 . Sai số tuyệt đối là: 8320−8316,4 =3,6 .
Số 9,754 làm tròn đên hàng phần trăm là: 9,75. Sai số tuyệt đối là: 9,75−9,754 =0,004 . Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
DẠNG 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là 152m ± 0,2m , điều đó có nghĩa là gì?
A. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ 151,8m đến 152,2m .
B. Chiều dài đúng của cây cầu là một số lớn hơn 152 m.
C. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nhỏ hơn 152 m.
D. Chiều dài đúng của cây cầu là 151,8 m hoặc là 152,2 m. Giải
Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là 152m ± 0,2m có nghĩa là chiều dài đúng của
cây cầu là một số nằm trong khoảng từ 151,8m đến 152,2m .
Câu 2: Khi tính diện tích hình tròn bán kính R = 3cm, nếu lấy π = 3,14 thì độ chính xác là bao nhiêu? A. d = 0,009 . B. d = 0,09 . C. d = 0,1. D. d = 0,01 Giải
Ta có diện tích hình tròn S = 3,14. 32 và S = π . 32 = 9π
Ta có: 3,14 < π < 3,15 ⇒ 3,14.9 < 9π < 3,15.9 ⇒ 28,26 < S < 28,35
Do đó: S − S = S − 28,26 < 28,35 − 28,26 = 0,09 ⇒ ∆(S ) = S − S < 0,09
Vậy nếu ta lấy π = 3,14 thì diện tích hình tròn là S = 28,26cm2 với độ chính xác d = 0,09 .
Câu 3: Cho giá trị gần đúng của 8 là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là: 17 A. 0,001. B. 0,002. C. 0,003. D. 0,004 Giải Ta có 8 0,47 −
< 0,00059 suy ra sai số tuyệt đối của 0,47 là 0,001. 17
DẠNG 2: SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 4: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là 152m ± 0,2m . Tìm sai số tương đối của phép đo chiều dài cây cầu. A. δ < . δ < . δ = . δ > a 0,1316% B. a 1,316% C. a 0,1316% D. a 0,1316% Giải Sai số tương đối 0,2 δ ≤ = ≈ a 0,001315789 0,1316% 152
Câu 5: Bạn A đo chiều dài của một sân bóng ghi được 250 ± 0,2m . Bạn B đo chiều cao của một cột cờ
được 15 ± 0,1m . Trong 2 bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong
phép đo của bạn đó là bao nhiêu?
A. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,08%.
B. Bạn B đo chính xác hơn bạn A với sai số tương đối là 0,08%.
C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhai là 0,08%. Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
D. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,06%. Giải
Phép đo của bạn A có sai số tương đối 0,2 δ ≤ = 0,0008 = 0,08% 1 250
Phép đo của bạn B có sai số tương đối 0,1 δ ≤ = 0,0066 = 0,66% 2 15
Như vậy phép đo của bạn A có độ chính xác cao hơn.
Câu 6: Hãy xác định sai số tuyệt đối của số a =123456 biết sai số tương đốiδ = a 0,2% A. 146,912. B. 617280. C. 24691,2. D. 61728000 Giải ∆ Ta có a δ = ⇒ ∆ = δ a = . a a a 146,912 a
DẠNG 3 : QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG PHAP GIẢI
Tùy theo mức độ cho phép, ta có thể quy tròn một số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang
trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi là hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị ở chữ số ở hàng quy tròn.
Ví dụ: Các số quy tròn của số x theo từng hàng cho trong bảng sau:
Quy tròn đến Hàng Hàng đơn Hàng phần Hàng phần Hàng phần chục vị chục trăm nghìn x = 549,2705 550 549 549,3 549,27 549,271 x = 397,4619 400 397 397,5 397,46 397,462 Nhận xét:
Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn.
Nếu a = a ± d thì ta quy tròn số a đến hàng lớn hơn hàng của d một đơn vị.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 7: Tìm số gần đúng của a = 2851275 với độ chính xác d = 300 A. 2851000. B. 2851575. C. 2850025. D. 2851200 Giải
Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn a đến hàng nghìn, vậy số quy tròn của a là 2851000.
Câu 8: Tìm số gần đúng của a = 5,2463 với độ chính xác d = 0,001. A. 5,25. B. 5,24. C. 5,246. D. 5,2 Giải
Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm, vậy số quy tròn của a là 5,25.
Câu 9: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần trăm A. 1,73. B. 1,732. C. 1,7. D. 1,7320 Giải Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 = 1,732050808. Do đó: Giá trị gần đúng của 3 chính xác
đến hàng phần trăm là 1,73.
Câu 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 2
π chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,870. B. 9,869. C. 9,871. D. 9,8696 Giải
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của 2
π là 9,8696044. Do đó giá trị gần đúng của 2 π chính
xác đến hàng phần nghìn là 9,870.
Câu 11: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây: a = 17658 ± 16. A. 17700. B. 17660. C. 18000. D. 17674 Giải
Vì độ chính xác đến hàng chục nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là
17700 (hay viết a ≈ 17700).
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN
CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 12: Tìm số chắc của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ
chính xác d =100 người. A. 1,2,3,4. B. 1,2,3,4,0. C. 1,2,3. D. 1,2,3,4,0,5. Giải
Vì 100 = 50 < 100 < 1000 = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng 2 2
nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4.
Câu 13: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với
độ chính xác d =100 người. A. 3 3214.10 . B. 4 321.10 . C. 1 321405.10 . D. 2 32140.10 Giải
Vì 100 = 50 < 100 < 1000 = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng 2 2
nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4.
Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103.
Câu 14: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a =1,3462 sai số tương đối của a bằng 1%. A. 1,3. B. 1,34. C. 1,35. D. 1,346 Giải ∆ Ta có a δ = ⇒ ∆ = δ a = = a a a . .1 1% ,3462 0,013462 a
Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d = 0,013462. Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Ta có 0,01 = 0,005 < 0,013462 < 0,1 = 0,05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc, 2 2
còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1 và 3.
Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3.
Câu 15: Một hình chữ nhật cố diện tích là S = 180,57cm2 ± 0,6cm2. Kết quả gần đúng của S viết dưới dạng chuẩn là: A. 2 180,58cm . B. 2 180,59cm . C. 2 0,181cm . D. 2 181cm . Giải Ta có 1 10 = 0,5 < 0,6 <
= 5 nên chữ số hàng đơn vị không là số chắc, còn chữ số hàng chục là 2 2
số chắc. Vậy cách viết dưới dạng chuẩn là 2 181cm . Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10chữ số thập phân ta được: 8 = 2,828427125 . Giá trị gần
đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm là A. 2,81. B. 2,83. C. 2,82. D. 2,80.
Câu 2: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10chữ số thập phân ta được 2018 2019 =1.003778358 . Giá trị
gần đúng của 2018 2019 đến hàng phần nghìn là
A. 1,003779000 . B. 1,0038. C. 1,004 . D. 1,000 .
Câu 3: Số quy tròn của của 20182020 đến hàng trăm là: A. 20182000 . B. 20180000 . C. 20182100 . D. 20182020 .
Câu 4: Cho số gần đúng a = 8 141 378 với độ chính xác d = 300 . Hãy viết quy tròn số a . A. 8 141 400. B. 8 142 400 . C. 8 141 000 . D. 8 141 300 .
Câu 5: Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589với độ chính xác 10
10− . Hãy viết số quy tròn của số a .
A. a = 3,1415926535. B. a = 3,1415926536. C. a = 3,141592653. D. a = 3,141592654.
Câu 6: Số quy tròn đến hàng phần nghìn của số a = 0,1234 là A. 0,124 . B. 0,12 . C. 0,123. D. 0,13.
Câu 7: Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589với độ chính xác 10 10− (10 chữ số thập
phân). Hãy viết số quy tròn của a .
A. a = 3,141592654. B. a = 3,1415926536. C. a = 3,141592653. D. a = 3,1415926535.
Câu 8: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2016 được ghi lại như sau s = 94444200 ± 3000 (người).
Số quy tròn của số gần đúng 94444200là: A. 94400000 B. 94440000. C. 94450000. D. 94444000.
Câu 9: Cho a = 31462689 ±150 . Số quy tròn của số 31462689là A. 31462000. B. 31463700. C. 31463600. D. 31463000. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 10: Độ dài các cạnh của đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25,6m ± 4cm. Cách
viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là A. 2 2 200m ± 0,9m . B. 2 2 199m ± 0,8m . C. 2 2 199m ±1m . D. 2 2 200m ±1cm .
Câu 11: Cho số a = 367653964± 213.Số quy tròn của số gần đúng 367653964 là A. 367653960 . B. 367653000 . C. 367654000 . D. 367653970
Câu 12: Chiều cao của một ngọn đồi là h = 347,13m ± 0,2m . Độ chính xác d của phép đo trên là
A. d = 347,13m.
B. 347,33m .
C. d = 0,2m .
D. d = 346,93m .
Câu 13: Cho giá trị gần đúng của 8 là 0,47 . Sai số tuyệt đối của 0,47 là 17 A. 0,001. B. 0,003. C. 0,002 . D. 0,004 .
Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi AL và CI tương ứng là đường cao của các tam giác ADB và
BCD. Cho biết DL = LI = IB =1. Diện tích của hình chữ nhật ABCD (chính xác đến hàng phần trăm) là: A. 4,24 B. 2,242 C. 4,2 D. 4,2426
Câu 15: Biết số gần đúng a = 37975421 có độ chính xác d =150 . Hãy xác định các chữ số đáng tin của a. A. 3, 7, 9 B. 3, 7, 9, 7 C. 3, 7, 9, 7, 5 D. 3, 7, 9, 7, 5, 4
Câu 16: Biết số gần đúng a = 7975421 có độ chính xác d =150 . Hãy ước lượng sai số tương đối của a. A. δ ≤ B. δ ≤ C. δ ≥ D. δ < a 0,000039 a 0,0000039 a 0,000039 a 0,0000099
Câu 17: Biết số gần đúng a =173,4592 có sai số tương đối không vượt quá 1 , hãy ước lượng sai 10000
số tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn. A. ∆ ≤ a = B. ∆ ≤ a = a 0,017; 173,5 a 0,17; 173,4 C. ∆ ≤ a = D. ∆ ≤ a = a 0,017; 173,4 a 0,4592; 173,5
Câu 18: Tính chu vi của hình chữ nhật có các cạnh là x = 3,456 ± 0,01 (m) và y =12,732 ± 0,015 (m)
và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A. L = 32,376 ± 0,025;∆ ≤
B. L = 32,376 ± 0,05;∆ ≤ L 0,025 L 0,05
C. L = 32,376 ± 0,5;∆ ≤
D. L = 32,376 ± 0,05;∆ ≤ L 0,05 L 0,5
Câu 19: Tính diện tích S của hình chữ nhật có các cạnh là x = 3,456 ± 0,01 (m) và y =12,732 ± 0,015
(m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ ≤
B. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ ≤ S 0,0015 S 0,176
C. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ ≤
D. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ < S 0,0025 S 0,025
Câu 20: Xấp xỉ số π bởi số 355 . Hãy đánh giá sai số tuyệt đối biết: 3,14159265 < π < 3,14159266. 113 Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 7 − ∆ ≤ B. 7 − ∆ ≤ C. 7 − ∆ ≤ D. 6 − ∆ ≤ a 2,8.10 a 1.10 a 28.10 a 2,8.10
Câu 21: Độ cao của một ngọn núi đo được là h =1372,5m. Với sai số tương đối mắc phải là 0,5‰ .
Hãy xác định sai số tuyệt đối của kết quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn. A. ∆ = h = m B. ∆ = h = m h 0,68626; 1372( ) h 0,68625; 1373( ) C. ∆ = h = m D. ∆ = h = m h 0,68626; 1373( ) h 0,68625; 1372( )
Câu 22: Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75m với dụng cụ đo đảm bảo sai số
tương đối không vượt quá 1,5‰ . Tính độ dài gần đúng của cầu. A. 500,1m B. 499,9m C. 500 m D. 501 m
Câu 23: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của
thống kê này không vượt quá 10000 người, hãy viết số trên dưới dạng chuẩn và ước lượng sai
số tương đối của số liệu thống kê trên. A. 5 a = 797.10 ,δ = B. 4 a = 797.10 ,δ = a 0,000012 a 0,0001254 C. 6 a = 797.10 ,δ = D. 5 a = 797.10 , δ < a 0,00012 a 0,001254
Câu 24: Độ cao của một ngọn núi đo được là h = 2373,5m với sai số tương đối mắc phải là 0,5‰ . Hãy
viết h dưới dạng chuẩn. A. 2373 m B. 2370 m C. 2373,5 m D. 2374 m
Câu 25: Trong một phòng thí nghiệm, hằng số c được xác định gần đúng là 3,54965 với độ chính xác
d = 0,00321. Dựa vào d, hãy xác định chữ số chắc chắn của c. A. 3; 5; 4 B. 3; 5; 4; 9 C. 3; 5; 4; 9; 6 D. 3; 5; 4; 9; 6; 5
Câu 26: Cho giá trị gần đúng của 8 là 0,47 . Sai số tuyệt đối của số 0,47 là: 17 A. 0,001. B. 0,002 . C. 0,003. D. 0,004 .
Câu 27: Cho giá trị gần đúng của 3 là 0,429 . Sai số tuyệt đối của số 0,429 là: 7 A. 0,0001. B. 0,0002 . C. 0,0004 . D. 0,0005.
Câu 28: Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là 2.731.425 người với sai số ước lượng
không quá 200 người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là: A. Hàng đơn vị. B. Hàng chục. C. Hàng trăm.
D. Cả A, B, C.
Câu 29: Nếu lấy 3,14 làm giá trị gần đúng của π thì sai số là: A. 0,001. B. 0,002 . C. 0,003. D. 0,004 .
Câu 30: Nếu lấy 3,1416 làm giá trị gần đúng của π thì có số chữ số chắc là: A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 .
Câu 31: Số gần đúng của a = 2,57656 có ba chữ số đáng tin viết dưới dạng chuẩn là: A. 2,57 . B. 2,576 . C. 2,58. D. 2,577 . Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 32: Trong số gần đúng a dưới đây có bao nhiêu chữ số chắc a =174325 với ∆ = a 17 A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 3.
Câu 33: Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là 1 ngày. Sai 4 số tuyệt đối là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. Đáp án khác. 4 365 1460
Câu 34: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25,6m ± 4cm. Số
đo chu vi của đám vườn dưới dạng chuẩn là:
A. 66m ±12cm .
B. 67m ±11cm .
C. 66m ±11cm .
D. 67m ±12cm .
Câu 35: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25,6m ± 4cm.
Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là: A. 2 2
199m ± 0,8m . B. 2 2
199m ±1m . C. 2 2
200m ±1cm . D. 2 2
200m ± 0,9m .
Câu 36: Một hình chữ nhật cố các cạnh: x = 4,2m ±1cm , y = 7m ± 2cm. Chu vi của hình chữ nhật và sai
số tuyệt đối của giá trị đó.
A. 22,4m và 3cm .
B. 22,4m và 1cm .
C. 22,4m và 2cm . D. 22,4m và 6cm .
Câu 37: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ±1cm, y = 5m ± 2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt
đối của giá trị đó là: A. 2 10m và 2 900cm . B. 2 10m và 2 500cm . C. 2 10m và 2 400cm . D. 2 10m và 2 1404 cm .
Câu 38: Trong bốn lần cân một lượng hóa chất làm thí nghiệm ta thu được các kết quả sau đây với độ
chính xác 0,001g : 5,382g ; 5,384g ; 5,385g ; 5,386g . Sai số tuyệt đối và số chữ số chắc của kết quả là:
A. Sai số tuyệt đối là 0,001g và số chữ số chắc là 3 chữ số.
B. Sai số tuyệt đối là 0,001g và số chữ số chắc là 4 chữ số.
C. Sai số tuyệt đối là 0,002g và số chữ số chắc là 3 chữ số.
D. Sai số tuyệt đối là 0,002g và số chữ số chắc là 4 chữ số.
Câu 39: Một hình chữ nhật cố diện tích là 2 2
S =180,57cm ± 0,6cm . Kết quả gần đúng của S viết dưới dạng chuẩn là: A. 2 180,58cm . B. 2 180,59cm . C. 2 0,181cm . D. 2 181,01cm .
Câu 40: Đường kính của một đồng hồ cát là 8,52m với độ chính xác đến 1cm . Dùng giá trị gần đúng
của π là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là: A. 26,6. B. 26,7. C. 26,8. D. Đáp án khác.
Câu 41: Một hình lập phương có cạnh là 2,4m ±1cm . Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi quy tròn) là: A. 2 2
35m ± 0,3m . B. 2 2
34m ± 0,3m . C. 2 2
34,5m ± 0,3m . D. 2 2
34,5m ± 0,1m . Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 42: Một vật thể có thể tích 3 3
V =180,37cm ± 0,05cm . Sai số tương đối của gia trị gần đúng ấy là: A. 0,01% . B. 0,03% . C. 0,04% . D. 0,05% .
Câu 43: Cho giá trị gần đúng của 23 là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là: 7 A. 0,04. B. 0,04 . C. 0,06. D. Đáp án khác. 7
Câu 44: Trong các thí nghiệm hằng số C được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là
d = 0,00421. Viết chuẩn giá trị gần đúng của C là: A. 5,74. B. 5,736. C. 5,737. D. 5,7368.
Câu 45: Cho số a =1754731, trong đó chỉ có chữ số hàng trăm trở lên là đáng tin. Hãy viết chuẩn số gần đúng của a . A. 2 17547.10 . B. 2 17548.10 . C. 3 1754.10 . D. 2 1755.10 .
Câu 46: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ±1c ,
m y = 5m ± 2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số
tương đối của giá trị đó là: A. 2
10m và 5 o oo. B. 2
10m và 4 o oo. C. 2
10m và 9 o oo. D. 2
10m và 20 o oo.
Câu 47: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ±1c ,
m y = 5m ± 2cm . Chu vi hình chữ nhật và sai số tương
đối của giá trị đó là: A. 22,4 và 1 . B. 22,4 và 6 .
C. 22,4 và 6cm .
D. Một đáp số khác. 2240 2240
Câu 48: Một hình chữ nhật có diện tích là 2 2
S =108,57cm ± 0,06cm . Số các chữ số chắc của S là: A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 49: Ký hiệu khoa học của số 0 − ,000567 là: A. 6 567.10− − . B. 5 5,67.10− − . C. 4 567.10− − . D. − − 3 567.10 .
Câu 50: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được: 8 = 2,828427125 .Giá trị gần
đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm là: A. 2,80. B. 2,81. C. 2,82. D. 2,83.
Câu 51: Viết giá trị gần đúng của 10 đến hàng phần trăm (dùng MTBT): A. 3,16. B. 3,17. C. 3,10. D. 3,162.
Câu 52: Độ dài của một cây cầu người ta đo được là 996m ± 0,5m . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. A. 0,05% B. 0,5% C. 0,25% D. 0,025%
Câu 53: Số a được cho bởi số gần đúng a = 5,7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,5% . Hãy
đánh giá sai số tuyệt đối của a . Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 2,9% B. 2,89% C. 2,5% D. 0,5% Câu 54: Cho số 2
x = và các giá trị gần đúng của x là 0,28 ; 0,29 ; 0,286 ; 0,3. Hãy xác định sai số 7
tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất. A. 0,28 B. 0,29 C. 0,286 D. 0,3
Câu 55: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0,01m và chiều rộng là
y =15m ± 0,01m . Chu vi của ruộng là:
A. P = 76m ± 0,4m
B. P = 76m ± 0,04m C. P = 76m ± 0,02m D. P = 76m ± 0,08m
Câu 56: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0,01m và chiều rộng là
y =15m ± 0,01m . Diện tích của ruộng là:
A. S = 345m ± 0,3801m. B. S = 345m ± 0,38m .
C. S = 345m ± 0,03801m .
D. S = 345m ± 0,3801m.
Câu 57: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau a =12cm ± 0,2cm ;
b =10,2cm ± 0,2cm ; c = 8cm ± 0,1cm . Tính chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt
đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua phép đo. A. 1,6% B. 1,7% C. 1,662% D. 1,66%
Câu 58: Viết giá trị gần đúng của số 3 , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn A. 1,73;1,733 B. 1,7;1,73 C. 1,732;1,7323 D. 1,73;1,732.
Câu 59: Viết giá trị gần đúng của số 2
π , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn. A. 9,9, 9,87 B. 9,87 , 9,870 C. 9,87 , 9,87 D. 9,870 , 9,87 .
Câu 60: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a =17658 ± 16 . A. 18000 B. 17800 C. 17600 D. 17700.
Câu 61: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a =17658 ± 16 a =15,318 ± 0,056 . A. 15 B. 15,5 C. 15,3 D. 16.
Câu 62: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ
ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao
nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. A. 9 9,5.10 . B. 9 9,4608.10 . C. 9 9,461.10 . D. 9 9,46080.10 .
Câu 63: Số dân của một tỉnh là A =1034258 ± 300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc. A. 1, 0, 3, 4, 5. B. 1, 0, 3, 4. C. 1, 0, 3, 4. D. 1, 0, 3.
Câu 64: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192,55 m , với sai số tương đối không vượt
quá 0,3% . Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a . Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 193 m . B. 192 m . C. 192,6 m. D. 190 m .
Câu 65: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là a = 3214056 người
với độ chính xác d =100 người. A. 3 3214.10 . B. 3214000. C. 6 3.10 . D. 5 32.10 .
Câu 66: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a =1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% . A. 1,3. B. 1,34. C. 1,35. D. 1,346.
Câu 67: Một hình lập phương có thể tích 3 3
V =180,57cm ± 0,05cm . Xác định các chữ số chắc chắn của V . A. 1,8. B. 1,8,0 . C. 1,8,0,5 . D. 1,8,0,5,7 .
Câu 68: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a = 467346 ±12. A. 46735.10 . B. 4 47.10 . C. 3 467.10 . D. 2 4673.10 .
Câu 69: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn b = 2,4653245 ± 0,006. A. 2,46 . B. 2,47 . C. 2,5. D. 2,465 .
Câu 70: Quy tròn số 7216,4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là: A. 0,2 . B. 0,3. C. 0,4 . D. 0,6 .
Câu 71: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần chục, được số 2,7 . Sai số tuyệt đối là:. A. 0,05. B. 0,04 . C. 0,046 . D. 0,1.
Câu 72: Trong 5 lần đo độ cao một đạp nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1dm:
15,6m; 15,8m; 15,4m; 15,7m; 15,9m. Hãy xác định độ cao của đập nước. A. ∆ = dm . m ± dm . ± . ± . h 3 ' B. 16 3
C. 15,5m 1dm
D. 15,6m 0,6dm Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10chữ số thập phân ta được: 8 = 2,828427125 . Giá trị gần
đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm là A. 2,81. B. 2,83. C. 2,82. D. 2,80. Lời giải Chọn B
Câu 2: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10chữ số thập phân ta được 2018 2019 =1.003778358 . Giá trị
gần đúng của 2018 2019 đến hàng phần nghìn là
A. 1,003779000 . B. 1,0038. C. 1,004 . D. 1,000 . Lời giải Chọn C
Giá trị gần đúng của 2018 2019 chính xác đến phần nghìn là làm tròn số đến 3 chữ số sau dấu phẩy là 1,004 .
Câu 3: Số quy tròn của của 20182020 đến hàng trăm là: A. 20182000 . B. 20180000 . C. 20182100 . D. 20182020 . Lời giải Chọn A
Câu 4: Cho số gần đúng a = 8 141 378với độ chính xác d = 300 . Hãy viết quy tròn số a . A. 8 141 400. B. 8 142 400 . C. 8 141 000 . D. 8 141 300 . Lời giải Chọn C
Câu 5: Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589với độ chính xác 10
10− . Hãy viết số quy tròn của số a .
A. a = 3,1415926535. B. a = 3,1415926536. C. a = 3,141592653. D. a = 3,141592654. Lời giải Chọn D
Câu 6: Số quy tròn đến hàng phần nghìn của số a = 0,1234 là Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 0,124 . B. 0,12 . C. 0,123. D. 0,13. Lời giải Chọn C
Câu 7: Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589với độ chính xác 10
10− (10 chữ số thập phân).
Hãy viết số quy tròn của a .
A. a = 3,141592654. B. a = 3,1415926536. C. a = 3,141592653. D. a = 3,1415926535. Lời giải Chọn A Ta có 11 − 10 − 9 10 10 10− < <
nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần tỉ.
Do đó ta phải quy tròn số a = 3,141592653589đến hàng phần tỉ.
Vậy số quy tròn là a = 3,141592654.
Câu 8: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2016 được ghi lại như sau s = 94444200 ± 3000 (người).
Số quy tròn của số gần đúng 94444200là: A. 94400000 B. 94440000. C. 94450000. D. 94444000. Lời giải Chọn B
Vì độ chính xác d = 3000 (đến hàng nghìn) nên ta quy tròn số 94444200đến hàng chục nghìn.
Vậy số quy tròn của số gần đúng 94444200là 94440000.
Câu 9: Cho a = 31462689 ±150 . Số quy tròn của số 31462689là A. 31462000. B. 31463700. C. 31463600. D. 31463000. Lời giải Chọn D
Độ chính xác đến hàng trăm (d =150) nên ta quy tròn đến hàng nghìn
Vậy số quy tròn của số 31462689là 31463000.
Câu 10: Độ dài các cạnh của đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25,6m ± 4cm. Cách viết
chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là A. 2 2 200m ± 0,9m . B. 2 2 199m ± 0,8m . C. 2 2 199m ±1m . D. 2 2 200m ±1cm . Lời giải Chọn B
x = 7,8m ± 2cm = 7,8m ± 0,02m ⇒ 7,78 ≤ x ≤ 7,82.
y = 25,6m ± 4cm = 25,6m ± 0,04m ⇒ 25,56 ≤ y ≤ 25,64.
Diện tích mảnh ruộng là S , khi đó 198,8568 ≤ S ≤ 200,5048 2 2 ⇒ S =199,6808 0 m ± ,824 m .
Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là 2 2 199m ± 0,8m . Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 11: Cho số a = 367653964± 213.Số quy tròn của số gần đúng 367653964 là A. 367653960 . B. 367653000 . C. 367654000 . D. 367653970 Lời giải Chọn C
Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn đến hàng nghìn và theo quy tắc làm tròn nên số quy tròn là: 367654000 .
Câu 12: Chiều cao của một ngọn đồi là h = 347,13m ± 0,2m . Độ chính xác d của phép đo trên là
A. d = 347,13m.
B. 347,33m .
C. d = 0,2m .
D. d = 346,93m . Lời giải Chọn C
Ta có a là số gần đúng của a với độ chính xác d qui ước viết gọn là a = a ± d . Vậy độ chính xác
của phép đo là d = 0,2m .
Câu 13: Cho giá trị gần đúng của 8 là 0,47 . Sai số tuyệt đối của 0,47 là 17 A. 0,001. B. 0,003. C. 0,002 . D. 0,004 . Lời giải Chọn A
Ta có 8 = 0,470588235294... 17
Sai số tuyệt đối của 0,47 là 8 0,47 − < 0,47 − 0,471 = 0,001. 17
Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi AL và CI tương ứng là đường cao của các tam giác ADB và BCD.
Cho biết DL = LI = IB =1. Diện tích của hình chữ nhật ABCD (chính xác đến hàng phần trăm) là: A. 4,24 B. 2,242 C. 4,2 D. 4,2426 Lời giải Đáp án A. Ta có: 2 AL = B . L LD = 2 do đó AL = 2 . Lại có BD = 3 Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Suy ra diện tích của hình chữ nhật là:
3 2 = 3.1,41421356... ≈ 4,24264... ≈ 4,24
Câu 15: Biết số gần đúng a = 37975421 có độ chính xác d =150 . Hãy xác định các chữ số đáng tin của a. A. 3, 7, 9 B. 3, 7, 9, 7 C. 3, 7, 9, 7, 5 D. 3, 7, 9, 7, 5, 4 Lời giải
Vì sai số tuyệt đối đến hàng trăm nên các chữ số hàng nghìn trở lên của a là đáng tin.
Vậy các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5. Đáp án C.
Câu 16: Biết số gần đúng a = 7975421 có độ chính xác d =150 . Hãy ước lượng sai số tương đối của a. A. δ ≤ B. δ ≤ C. δ ≥ D. δ < a 0,000039 a 0,0000039 a 0,000039 a 0,0000099 Lời giải
Theo Ví dụ 1 ta có các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5
⇒ Cách viết chuẩn của 3 a = 37975.10
Sai số tương đối thỏa mãn: 150 δ ≤ =
(tức là không vượt quá 0,0000039 ). a 0,0000039 37975421
Câu 17: Biết số gần đúng a =173,4592 có sai số tương đối không vượt quá 1 , hãy ước lượng sai 10000
số tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn. A. ∆ ≤ a = B. ∆ ≤ a = a 0,017; 173,5 a 0,17; 173,4 C. ∆ ≤ a = D. ∆ ≤ a = a 0,017; 173,4 a 0,4592; 173,5 Lời giải Từ công thức a δ ∆ = , ta có 1 ∆ ≤ = a 173,4592. 0,017 a a 10000
Vậy chữ số đáng tin là 1, 7, 3, 4.
Dạng chuẩn của a là a =173,5. Đáp án B.
Câu 18: Tính chu vi của hình chữ nhật có các cạnh là x = 3,456 ± 0,01 (m) và y =12,732 ± 0,015 (m) và
ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A. L = 32,376 ± 0,025;∆ ≤
B. L = 32,376 ± 0,05;∆ ≤ L 0,025 L 0,05
C. L = 32,376 ± 0,5;∆ ≤
D. L = 32,376 ± 0,05;∆ ≤ L 0,05 L 0,5 Lời giải
Chu vi L = 2(x + y) = 2(3,456 +12,732) = 32,376 (m)
Sai số tuyệt đối ∆ ≤ + = L 2(0,01 0,015) 0,05
Vậy L = 32,376 ± 0,05 (m). Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Đáp án D.
Câu 19: Tính diện tích S của hình chữ nhật có các cạnh là x = 3,456 ± 0,01 (m) và y =12,732 ± 0,015
(m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ ≤
B. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ ≤ S 0,0015 S 0,176
C. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ ≤
D. S = 44,002 ( 2 m ); ∆ < S 0,0025 S 0,025 Lời giải
Diện tích S = xy = 3,456.12,732 = 44,002 ( 2 m )
Sai số tương đối δ không vượt quá: 0,01 0,015 + = 0,004 S 3,456 12,732
Sai số tuyệt đối ∆ không vượt quá: S.δ = ≈ . S 44,002.0,004 0,176 S Đáp án A.
Câu 20: Xấp xỉ số π bởi số 355 . Hãy đánh giá sai số tuyệt đối biết: 3,14159265 < π < 3,14159266. 113 A. 7 − ∆ ≤ B. 7 − ∆ ≤ C. 7 − ∆ ≤ D. 6 − ∆ ≤ a 2,8.10 a 1.10 a 28.10 a 2,8.10 Lời giải Đáp án A.
Ta có (sử dụng máy tính bỏ túi)
355 ≈ 3,14159292...< 3,1415929293 113 Do vậy 355 0 <
−π < 3,14159293− 3,14159265 113 ≈ 0,00000028
Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 7 2,8.10− .
Câu 21: Độ cao của một ngọn núi đo được là h =1372,5m. Với sai số tương đối mắc phải là 0,5‰ . Hãy
xác định sai số tuyệt đối của kết quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn. A. ∆ = h = m B. ∆ = h = m h 0,68626; 1372( ) h 0,68625; 1373( ) C. ∆ = h = m D. ∆ = h = m h 0,68626; 1373( ) h 0,68625; 1372( ) Lời giải Đáp án A. Theo công thức h δ ∆ = ta có: h h 0,5 ∆ = hδ = = h . h 1372.5. 0,68625 1000
Và h viết dưới dạng chuẩn là h =1373 (m) Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 22: Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75m với dụng cụ đo đảm bảo sai số tương
đối không vượt quá 1,5‰ . Tính độ dài gần đúng của cầu. A. 500,1m B. 499,9m C. 500 m D. 501 m Lời giải Đáp án C.
Độ dài h của cây cầu là: 0,75 d ≈ .1000 = 500 (m) 1,5
Câu 23: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của thống
kê này không vượt quá 10000 người, hãy viết số trên dưới dạng chuẩn và ước lượng sai số tương
đối của số liệu thống kê trên. A. 5 a = 797.10 ,δ = B. 4 a = 797.10 ,δ = a 0,000012 a 0,0001254 C. 6 a = 797.10 ,δ = D. 5 a = 797.10 , δ < a 0,00012 a 0,001254 Lời giải Đáp án A.
Vì các chữ số đáng tin là 7; 9; 7. Dạng chuẩn của số đã cho là 5
797.10 (Bảy mươi chín triệu
bảy trăm nghìn người). Sai số tương đối mắc phải là: a 10000 δ ∆ = = = a 0,0001254 a 79715675
Câu 24: Độ cao của một ngọn núi đo được là h = 2373,5m với sai số tương đối mắc phải là 0,5‰ . Hãy
viết h dưới dạng chuẩn. A. 2373 m B. 2370 m C. 2373,5 m D. 2374 m Lời giải Đáp án B. h δ ∆ = , ta có: h h 0,5 h ∆ = . hδ = = h 2373,5. 1,18675 1000
h viết dưới dạng chuẩn là h = 2370 m.
Câu 25: Trong một phòng thí nghiệm, hằng số c được xác định gần đúng là 3,54965 với độ chính xác
d = 0,00321. Dựa vào d, hãy xác định chữ số chắc chắn của c. A. 3; 5; 4 B. 3; 5; 4; 9 C. 3; 5; 4; 9; 6 D. 3; 5; 4; 9; 6; 5 Lời giải Đáp án A.
Ta có: 0,00321< 0,005 nên chữ số 4 (hàng phần trăm) là chữ số chắc chắn, do đó c có 3 chữ
số chắc chắn là 3; 5; 4.
Câu 26: Cho giá trị gần đúng của 8 là 0,47 . Sai số tuyệt đối của số 0,47 là: 17 A. 0,001. B. 0,002 . C. 0,003. D. 0,004 . Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải Chọn A
Ta có 8 = 0,470588235294... nên sai số tuyệt đối của 0,47 là 17 8 ∆ = 0,47 −
< 0,47 − 4,471 = 0,001. 17
Câu 27: Cho giá trị gần đúng của 3 là 0,429 . Sai số tuyệt đối của số 0,429 là: 7 A. 0,0001. B. 0,0002 . C. 0,0004 . D. 0,0005. Lời giải Chọn D
Ta có 3 = 0,428571... nên sai số tuyệt đối của 0,429 là 7 3
∆ = 0,429 − < 0,429 − 4,4285 = 0,0005 . 7
Câu 28: Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là 2.731.425 người với sai số ước lượng
không quá 200 người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là: A. Hàng đơn vị. B. Hàng chục. C. Hàng trăm.
D. Cả A, B, C. Lời giải Chọn D Ta có 100 1000
= 50 < d = 200 < 500 =
các chữ số đáng tin là các chữ số hàng nghìn trở đi. 2 2
Câu 29: Nếu lấy 3,14 làm giá trị gần đúng của π thì sai số là: A. 0,001. B. 0,002 . C. 0,003. D. 0,004 . Lời giải Chọn A
Ta có π = 3,141592654... nên sai số tuyệt đối của 3,14 là
∆ = 3,14 −π < 3,14 − 3,141 = 0,001.
Câu 30: Nếu lấy 3,1416 làm giá trị gần đúng của π thì có số chữ số chắc là: A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có π = 3,141592654... nên sai số tuyệt đối của 3,1416 là
∆ = 3,1416 −π < 3,1416 − 3,1415 = 0,0001. Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Mà 0,001 d = 0,0001< 0,0005 =
nên có 4 chữ số chắc. 2
Câu 31: Số gần đúng của a = 2,57656 có ba chữ số đáng tin viết dưới dạng chuẩn là: A. 2,57 . B. 2,576 . C. 2,58. D. 2,577 . Lời giải Chọn A
Vì a có 3 chữ số đáng tin nên dạng chuẩn là 2,57 .
Câu 32: Trong số gần đúng a dưới đây có bao nhiêu chữ số chắc a =174325 với ∆ = a 17 A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 3. Lời giải Chọn C Ta có 100 ∆ = < =
nên a có 4 chữ số chắc. a 17 50 2
Câu 33: Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là 1 ngày. Sai 4 số tuyệt đối là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. Đáp án khác. 4 365 1460 Lời giải Chọn A
Câu 34: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25,6m ± 4cm. Số đo
chu vi của đám vườn dưới dạng chuẩn là:
A. 66m ±12cm .
B. 67m ±11cm .
C. 66m ±11cm .
D. 67m ±12cm . Lời giải Chọn A
Ta có x = 7,8m ± 2cm ⇒ 7,78m ≤ x ≤ 7,82m và y = 25,6m ± 4cm ⇒ 25,56m ≤ y ≤ 25,64m.
Do đó chu vi hình chữ nhật là P = 2(x + y)∈[66,68;66,92] ⇒ P = 66,8m ±12cm . Vì 1
d =12cm = 0,12m < 0,5 = nên dạng chuẩn của chu vi là 66m ±12cm . 2
Câu 35: Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25,6m ± 4cm. Cách
viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là: A. 2 2
199m ± 0,8m . B. 2 2
199m ±1m . C. 2 2
200m ±1cm . D. 2 2
200m ± 0,9m . Lời giải Chọn A
Ta có x = 7,8m ± 2cm ⇒ 7,78m ≤ x ≤ 7,82m và y = 25,6m ± 4cm ⇒ 25,56m ≤ y ≤ 25,64m.
Do đó diện tích hình chữ nhật là S = xy và 198,8568 ≤ S ≤ 200,5048 ⇒ S =199,6808 ± 0,824 . Page 8
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 36: Một hình chữ nhật cố các cạnh: x = 4,2m ±1cm , y = 7m ± 2cm. Chu vi của hình chữ nhật và sai
số tuyệt đối của giá trị đó.
A. 22,4m và 3cm .
B. 22,4m và 1cm .
C. 22,4m và 2cm . D. 22,4m và 6cm . Lời giải Chọn D
Ta có chu vi hình chữ nhật là P = 2(x + y) = 22,4m ± 6cm .
Câu 37: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ±1cm, y = 5m ± 2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt
đối của giá trị đó là: A. 2 10m và 2 900cm . B. 2 10m và 2 500cm . C. 2 10m và 2 400cm . D. 2 10m và 2 1404 cm . Lời giải Chọn D
Ta có x = 2m ±1cm ⇒1,98m ≤ x ≤ 2,02m và y = 5m ± 2cm ⇒ 4,98m ≤ y ≤ 5,02m .
Do đó diện tích hình chữ nhật là S = xy và 9,8604 ≤ S ≤10,1404 ⇒ S =10 ± 0,1404 .
Câu 38: Trong bốn lần cân một lượng hóa chất làm thí nghiệm ta thu được các kết quả sau đây với độ
chính xác 0,001g : 5,382g ; 5,384g ; 5,385g ; 5,386g . Sai số tuyệt đối và số chữ số chắc của kết quả là:
A. Sai số tuyệt đối là 0,001g và số chữ số chắc là 3 chữ số.
B. Sai số tuyệt đối là 0,001g và số chữ số chắc là 4 chữ số.
C. Sai số tuyệt đối là 0,002g và số chữ số chắc là 3 chữ số.
D. Sai số tuyệt đối là 0,002g và số chữ số chắc là 4 chữ số. Lời giải Chọn B Ta có 0,01 d = 0,001< 0,005 =
nên có 3 chữ số chắc. 2
Câu 39: Một hình chữ nhật cố diện tích là 2 2
S =180,57cm ± 0,6cm . Kết quả gần đúng của S viết dưới dạng chuẩn là: A. 2 180,58cm . B. 2 180,59cm . C. 2 0,181cm . D. 2 181,01cm . Lời giải Chọn B Ta có 10 d = 0,6 < 5 =
nên S có 3 chữ số chắc. 2
Câu 40: Đường kính của một đồng hồ cát là 8,52m với độ chính xác đến 1cm . Dùng giá trị gần đúng của
π là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là: A. 26,6. B. 26,7. C. 26,8. D. Đáp án khác. Lời giải Chọn B Page 9
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Gọi d là đường kính thì d = 8,52m ±1cm ⇒ 8,51m ≤ d ≤ 8,53m .
Khi đó chu vi là C = π d và 26,7214 ≤ C ≤ 26,7842 ⇒ C = 26,7528 ± 0,0314 . Ta có 0,1 0,0314 < 0,05 =
nên cách viết chuẩn của chu vi là 26,7. 2
Câu 41: Một hình lập phương có cạnh là 2,4m ±1cm . Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi quy tròn) là: A. 2 2
35m ± 0,3m . B. 2 2
34m ± 0,3m . C. 2 2
34,5m ± 0,3m . D. 2 2
34,5m ± 0,1m . Lời giải Chọn B
Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương thì a = 2,4m ±1cm ⇒ 2,39m ≤ a ≤ 2,41m .
Khi đó diện tích toàn phần của hình lập phương là 2
S = 6a nên 34,2726 ≤ S ≤ 34,8486 . Do đó 2 2
S = 34,5606m ± 0,288m .
Câu 42: Một vật thể có thể tích 3 3
V =180,37cm ± 0,05cm . Sai số tương đối của gia trị gần đúng ấy là: A. 0,01% . B. 0,03% . C. 0,04% . D. 0,05% . Lời giải Chọn B ∆
Sai số tương đối của giá trị gần đúng là 0,05 δ = = ≈ 0,03% . V 180,37
Câu 43: Cho giá trị gần đúng của 23 là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là: 7 A. 0,04. B. 0,04 . C. 0,06. D. Đáp án khác. 7 Lời giải Chọn B Ta có 23 = ( ) 23 ⇒ − = ( ) 0,04 3, 285714 3,28 0,00 571428 = . 7 7 7
Câu 44: Trong các thí nghiệm hằng số C được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là
d = 0,00421. Viết chuẩn giá trị gần đúng của C là: A. 5,74. B. 5,736. C. 5,737. D. 5,7368. Lời giải Chọn A
Ta có C − 0,00421≤ 5,73675 ⇒ C ≈ 5,74096 .
Câu 45: Cho số a =1754731, trong đó chỉ có chữ số hàng trăm trở lên là đáng tin. Hãy viết chuẩn số gần đúng của a . A. 2 17547.10 . B. 2 17548.10 . C. 3 1754.10 . D. 2 1755.10 . Page 10
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải Chọn A
Câu 46: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ±1c ,
m y = 5m ± 2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tương
đối của giá trị đó là: A. 2
10m và 5 o oo. B. 2
10m và 4 o oo. C. 2
10m và 9 o oo. D. 2
10m và 20 o oo. Lời giải Chọn C
Diên tích hình chữ nhật là 2 S = x y = = m . o o. o 2.5 10
Cận trên của diện tích: (2 + 0, ) 01 (5+ 0,02) =10,0902
Cận dưới của diện tích: (2 − 0, ) 01 (5− 0,02) = 9,9102 .
⇒ 9,9102 ≤ S ≤10,0902
Sai số tuyệt đối của diện tích là: S
∆ = S − S ≤ o 0,0898
Sai số tương đối của diện tích là: S ∆ 0,0898 = ≈ 9 o 10 oo S
Câu 47: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ±1c ,
m y = 5m ± 2cm . Chu vi hình chữ nhật và sai số tương
đối của giá trị đó là: A. 22,4 và 1 . B. 22,4 và 6 .
C. 22,4 và 6cm .
D. Một đáp số khác. 2240 2240 Lời giải Chọn D
Chu vi hình chữ nhật là: P = x + y = + = m o 2( o o ) 2(2 5) 20
Câu 48: Một hình chữ nhật có diện tích là 2 2
S =108,57cm ± 0,06cm . Số các chữ số chắc của S là: A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B
Nhắc lại định nghĩa số chắc:
Trong cách ghi thập phân của a, ta bảo chữ số k cuả a là chữ số đáng tin (hay chữ số chắc) nếu
sai số tuyệt đối ∆a không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k.
+ Ta có sai số tuyệt đối bằng 0,06 > 0,01⇒ chữ số 7 là số không chắc, 0,06 < 0,1⇒ chữ số 5 là số chắc.
+ Chữ số k là số chắc thì tất cả các chữ số đứng bên trái k đều là các chữ số chắc ⇒ các chữ số
1,0,8 là các chữ số chắc. Như vậy ta có số các chữ số chắc của S là: 1,0,8,5.
Câu 49: Ký hiệu khoa học của số 0 − ,000567 là: Page 11
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 6 567.10− − . B. 5 5,67.10− − . C. 4 567.10− − . D. − − 3 567.10 . Lời giải Chọn B
+ Mỗi số thập phân đều viết được dưới dạng .10n α
trong đó 1≤ α <10,n∈ Z.Dạng như thế được
gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
+ Dựa vào quy ước trên ta thấy chỉ có phương án C là đúng.
Câu 50: Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được: 8 = 2,828427125 .Giá trị gần
đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm là: A. 2,80. B. 2,81. C. 2,82. D. 2,83. Lời giải Chọn D
+ Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 2 ở
hàng phần trăm là số 8 > 5 nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là 2,83.
Câu 51: Viết giá trị gần đúng của 10 đến hàng phần trăm (dùng MTBT): A. 3,16. B. 3,17. C. 3,10. D. 3,162. Lời giải Chọn A + Ta có: 10 = 3,16227766.
+ Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 6 ở
hàng phần trăm là số 2 < 5 nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là 3,16.
Câu 52: Độ dài của một cây cầu người ta đo được là 996m ± 0,5m . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. A. 0,05% B. 0,5% C. 0,25% D. 0,025% Lời giải Chọn A
Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d = 0,5 .
Vì sai số tuyệt đối ∆ ≤ d = nên sai số tương đối d a 0,5 δ ∆ = ≤ = ≈ . a 0,05% a 0,5 a a 996
Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0,05% .
Câu 53: Số a được cho bởi số gần đúng a = 5,7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,5% . Hãy
đánh giá sai số tuyệt đối của a . A. 2,9% B. 2,89% C. 2,5% D. 0,5% Lời giải Chọn B Page 12
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Ta có a δ ∆ =
suy ra ∆ = δ a . Do đó 0,5 ∆ ≤ = ≈ . a .5,7824 0,028912 2,89% a a . a a 100 Câu 54: Cho số 2
x = và các giá trị gần đúng của x là 0,28 ; 0,29 ; 0,286 ; 0,3. Hãy xác định sai số 7
tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất. A. 0,28 B. 0,29 C. 0,286 D. 0,3 Lời giải Chọn C
Ta có các sai số tuyệt đối là 2 1 ∆ = − 0, 28 = , 2 3 a ∆ = − 0, 29 = , 2 1 ∆ = − 0, 286 = , 2 1 ∆ = − 0,3 = . 7 175 b 7 700 c 7 3500 d 7 70
Vì ∆ < ∆ < ∆ < ∆ nên
là số gần đúng tốt nhất. c b a d c = 0,286
Câu 55: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0,01m và chiều rộng là y =15m ± 0,01m . Chu vi của ruộng là:
A. P = 76m ± 0,4m
B. P = 76m ± 0,04m C. P = 76m ± 0,02m D. P = 76m ± 0,08m Lời giải Chọn B
Giả sử x = 23+ a, y =15 + b với 0,
− 01≤ a, b ≤ 0,01.
Ta có chu vi ruộng là P = 2(x + y) = 2(38 + a + b) = 76 + 2(a + b) . Vì 0,
− 01≤ a, b ≤ 0,01 nên 0,
− 04 ≤ 2(a + b) ≤ 0,04 .
Do đó P − 76 = 2(a + b) ≤ 0,04.
Vậy P = 76m ± 0,04m .
Câu 56: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0,01m và chiều rộng là y =15m ± 0,01m
. Diện tích của ruộng là:
A. S = 345m ± 0,3801m. B. S = 345m ± 0,38m .
C. S = 345m ± 0,03801m .
D. S = 345m ± 0,3801m. Lời giải Chọn A
Diện tích ruộng là S = .
x y = (23+ a)(15 + b) = 345 + 23b +15a + ab . Vì 0,
− 01≤ a, b ≤ 0,01 nên
23b +15a + ab ≤ 23.0,01+15.0,01+ 0,01.0,01 hay
23b +15a + ab ≤ 0,3801.
Suy ra S − 345 ≤ 0,3801.
Vậy S = 345m ± 0,3801m. Page 13
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 57: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau a =12cm ± 0,2cm ; b =10,2cm ± 0,2cm
; c = 8cm ± 0,1cm . Tính chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của
số gần đúng của chu vi qua phép đo. A. 1,6% B. 1,7% C. 1,662% D. 1,66% Lời giải Chọn D
Giả sử a =12 + d , 10 b = ,2 + d , c = 8 + d 1 2 3 .
Ta có P = a + b + c + d + d + d = 30,2 + d + d + d 1 2 3 1 2 3 . Theo giả thiết, ta có 0, − 2 ≤ d ≤ 0,2; 0, − 2 ≤ d ≤ 0,2; 0, − 1≤ d ≤ 0,1 1 2 3 .
Suy ra –0,5 ≤ d + d + d ≤ 0,5 1 2 3 .
Do đó P = 30,2 cm ± 0,5 cm .
Sai số tuyệt đối ∆ ≤ . Sai số tương đối d δ ≤ ≈ . P 0,5 P 1,66% P
Câu 58: Viết giá trị gần đúng của số 3 , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn A. 1,73;1,733 B. 1,7;1,73 C. 1,732;1,7323 D. 1,73;1,732. Lời giải Chọn D
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 =1,732050808...
Do đó giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần trăm là 1,73;
giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,732.
Câu 59: Viết giá trị gần đúng của số 2
π , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn. A. 9,9, 9,87 B. 9,87 , 9,870 C. 9,87 , 9,87 D. 9,870 , 9,87 . Lời giải Chọn B
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của 2 π là 9,8696044.
Do đó giá trị gần đúng của 2
π chính xác đến hàng phần trăm là 9,87;
giá trị gần đúng của 2
π chính xác đến hàng phần nghìn là 9,870.
Câu 60: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a =17658 ± 16 . A. 18000 B. 17800 C. 17600 D. 17700. Lời giải Chọn D
Ta có 10 <16 <100 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Do
đó ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết a ≈17700 ). Page 14
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 61: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a =17658 ± 16 a =15,318 ± 0,056 . A. 15 B. 15,5 C. 15,3 D. 16. Lời giải Chọn C
Ta có 0,01< 0,056 < 0,1 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần
chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết a ≈15,3).
Câu 62: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh
sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết
vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. A. 9 9,5.10 . B. 9 9,4608.10 . C. 9 9,461.10 . D. 9 9,46080.10 . Lời giải Chọn B
Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây. Do
đó một năm có: 24.365.60.60 = 31536000 giây.
Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 9 31536000.300 = 9,4608.10 km.
Câu 63: Số dân của một tỉnh là A =1034258± 300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc. A. 1, 0, 3, 4, 5. B. 1, 0, 3, 4. C. 1, 0, 3, 4. D. 1, 0, 3. Lời giải Chọn C Ta có 100 1000 = 50 <300 < 500 =
nên các chữ số 8 (hàng đơn vị), 5 (hàng chục) và 2 ( hàng 2 2
trăm ) đều là các chữ số không chắc. Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc.
Do đó cách viết chuẩn của số A là 3
A ≈1034.10 (người).
Câu 64: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192,55 m, với sai số tương đối không vượt quá
0,3% . Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a . A. 193 m . B. 192 m . C. 192,6 m. D. 190 m . Lời giải Chọn A
Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là ∆ = a δ ≤ = . a . a 192,55.0,2% 0,3851 Vì 0,05 < ∆ <
. Do đó chữ số chắc của d là 1, 9, 2. a 0,5
Vậy cách viết chuẩn của a là 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị). Page 15
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 65: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là a = 3214056 người với
độ chính xác d =100 người. A. 3 3214.10 . B. 3214000. C. 6 3.10 . D. 5 32.10 . Lời giải Chọn A Ta có 100 1000 = 50 <100 <
= 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số 2 2
hàng nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4 .
Cách viết dưới dạng chuẩn là 3 3214.10 .
Câu 66: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a =1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% . A. 1,3. B. 1,34. C. 1,35. D. 1,346. Lời giải Chọn A Ta có a δ ∆ = suy ra ∆ = δ a = = . a a . 1%.1,3462 0,013462 a a
Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính
xác là d = 0,013462 . Ta có 0,01 0,1 = 0,005 < 0,013462 <
= 0,05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc, 2 2
còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1 và 3.
Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3.
Câu 67: Một hình lập phương có thể tích 3 3
V =180,57cm ± 0,05cm . Xác định các chữ số chắc chắn của V . A. 1,8. B. 1,8,0 . C. 1,8,0,5 . D. 1,8,0,5,7 . Lời giải Chọn C Ta có 0,01 0,1 ≤ 0,05 ≤
. Suy ra 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn. 2 2
Câu 68: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a = 467346 ±12. A. 46735.10 . B. 4 47.10 . C. 3 467.10 . D. 2 4673.10 . Lời giải Chọn D Page 16
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Ta có 10 100 = 5 <12 <
= 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần 2 2
đúng viết dưới dạng chuẩn là 2 4673.10 .
Câu 69: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn b = 2,4653245± 0,006. A. 2,46 . B. 2,47 . C. 2,5. D. 2,465 . Lời giải Chọn C Ta có 0,01 0,1 = 0,005 < 0,006 <
= 0,05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số chắc 2 2
do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2,5.
Câu 70: Quy tròn số 7216,4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là: A. 0,2 . B. 0,3. C. 0,4 . D. 0,6 . Lời giải Chọn C
Quy tròn số 7216,4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là: 7216,4 − 7216 = 0,4
Câu 71: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần chục, được số 2,7 . Sai số tuyệt đối là:. A. 0,05. B. 0,04 . C. 0,046 . D. 0,1. Lời giải Chọn C
Quy tròn số 2,654 đến hàng phần chục, được số 2,7 . Sai số tuyệt đối là: 2,7 − 2,654 = 0,046.
Câu 72: Trong 5 lần đo độ cao một đạp nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1dm:
15,6m; 15,8m; 15,4m; 15,7m; 15,9m. Hãy xác định độ cao của đập nước. A. ∆ = dm . m ± dm . ± . ± . h 3 ' B. 16 3
C. 15,5m 1dm
D. 15,6m 0,6dm Lời giải Chọn A
Giá trị trung bình là: 15,68m.
Vì độ chính xác là 1dm nên ta có h' =15,7m . Mà ∆ = dm Nên ± . h 3 ' 15,7m 3dm Page 17
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM LÝ THUYẾT. I
I. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG 1. Định nghĩa
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu x1, x2,..., xn , kí hiệu là x , được tính bằng công thức:
x + x +...+ x 1 2 n x = n
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:
m x + m x +...+ m x 1 1 2 2 k k x = n Trong đó m x n = m + + + 1 m2 m
k là tần số của giá trị k và ... k .
2. Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị
trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để dại diện cho mẫu số liệu. II. TRUNG VỊ 1. Định nghĩa
Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
• Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số
chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
2. Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp
theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi
giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT III. TỨ PHÂN VỊ 1. Định nghĩa
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là Q2 .
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q2 (không Q Q
bao gồm 2 nếu n lẻ). Giá trị này là 1. Hình 5.3b
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q2 (không bao gồm Q Q
2 nếu n lẻ). Giá trị này là 3 .
Q Q Q được gọi là các tứ phân vị của mẫu số Chú ý. Q Q
1 được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, 3 được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.
2. Ý nghĩa. Các điểm Q ,Q ,Q 1 2 3 chia mẫu số liệu đã
sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến
lớn thành bốn phần, mỗi phần
Hình 5.3a. Các tứ phân vị
đều chứa 25% giá trị (hình 5.3a).
VÍ DỤ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1mg = 0,001g ) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau: 0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Hãy tìm các tứ phân vị. Các phân vị này cho ta thông tin gì? Giải
• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
• Vì n = 20 là số chẵn nên Q là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: 2
Q = (180 +180) : 2 =180 . 2
• Ta tìm Q là trung vị của nửa số liệu bên trái Q : 1 2 0 50 70 100  130  140 140 150 160 180. Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
và ta tìm được Q = (130 +140) : 2 =135. 1
• Ta tìm Q là trung vị của nửa số liệu bên phải Q : 3 2 180 180 190 200  200  210 210 220 290 340 .
và tìm được Q = (200 + 210) : 2 = 205. 3
Hình 5.4. Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ Q đến Q là 45 trong 1 2
khi khoảng cách từ Q đến Q là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung mật độ cao ở bên 2 3
phải Q và mật độ thấp ở bên trái Q (H.5.4). 2 2
IV. MỐT 1. Định nghĩa
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
2. Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau. BÀI TẬP.
Câu 1. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: 9 8 15 8 20
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250 .
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: 36 38 33 34 32 30 34 35 . Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 2. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị
của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh: Hành tinh Hoả Thổ Thiên Hải Thu Trái tinh t Vương Vươn ỷ Kim tinh Đ Mộc tinh i tinh g tinh tinh ấ t n h Số mặt trăng 0 0 1 2 63 34 27 13 (Theo NASA)
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 14 23 .
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80 .
d) Các sai số trong phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42 .
Câu 3. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 - 2019 của 10 trường Trung học phổ thông
được cho như sau: 0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tạo sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Câu 4. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng
đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng). Sân vận động
Cẩm phả Thiên Trường Hàng Đẫy Thanh Hoá Mỹ Đình Chỗ ngồi 20 120 21 315 23 405 20 120 37 546 (Theo vov.vn)
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng như thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của
Sân vân động Quốc gia Mỹ Đình? Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM LÝ THUYẾT. I
I. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG 1. Định nghĩa
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu x1, x2,..., xn , kí hiệu là x , được tính bằng công thức:
x + x +...+ x 1 2 n x = n
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:
m x + m x +...+ m x 1 1 2 2 k k x = n Trong đó m x n = m + + + 1 m2 m
k là tần số của giá trị k và ... k .
2. Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị
trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để dại diện cho mẫu số liệu. II. TRUNG VỊ 1. Định nghĩa
Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
• Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số
chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
2. Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp
theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi
giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT III. TỨ PHÂN VỊ 1. Định nghĩa
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là Q2 .
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q2 (không Q Q
bao gồm 2 nếu n lẻ). Giá trị này là 1. Hình 5.3b
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q2 (không bao gồm Q Q
2 nếu n lẻ). Giá trị này là 3 .
Q Q Q được gọi là các tứ phân vị của mẫu số Chú ý. Q Q
1 được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, 3 được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.
2. Ý nghĩa. Các điểm Q ,Q ,Q 1 2 3 chia mẫu số liệu đã
sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến
lớn thành bốn phần, mỗi phần
Hình 5.3a. Các tứ phân vị
đều chứa 25% giá trị (hình 5.3a).
VÍ DỤ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1mg = 0,001g ) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau: 0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Hãy tìm các tứ phân vị. Các phân vị này cho ta thông tin gì? Giải
• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
• Vì n = 20 là số chẵn nên Q là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: 2
Q = (180 +180) : 2 =180 . 2
• Ta tìm Q là trung vị của nửa số liệu bên trái Q : 1 2 0 50 70 100  130  140 140 150 160 180. Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
và ta tìm được Q = (130 +140) : 2 =135. 1
• Ta tìm Q là trung vị của nửa số liệu bên phải Q : 3 2 180 180 190 200  200  210 210 220 290 340 .
và tìm được Q = (200 + 210) : 2 = 205. 3
Hình 5.4. Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ Q đến Q là 45 trong 1 2
khi khoảng cách từ Q đến Q là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung mật độ cao ở bên 2 3
phải Q và mật độ thấp ở bên trái Q (H.5.4). 2 2
IV. MỐT 1. Định nghĩa
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
2. Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau. BÀI TẬP.
Câu 1. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: 9 8 15 8 20
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250 .
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: 36 38 33 34 32 30 34 35 . Giải
a) Số trung bình là 8.2 + 9 +15 + 20 =12 . 5
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 8 8 9 15 20. Trung vị là 9 .
Số 8 xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 8 .
Tứ phân vị Q = 8; Q = 9; Q =17.5 . 1 2 3
b) Số trung bình là 250 + 300.3+ 350 + 450 + 500 + 650 = 387.5 . 8 Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 250 300 300 300 350 450 500 650 . Trung vị là 325 . Mốt là 300 .
Tứ phân vị Q = 300; Q = 325; Q = 475. 1 2 3
c) Số trung bình là 30 + 32 + 33+ 34.2 + 35 + 36 + 38 = 34 . 8
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 30 32 33 34 34 35 36 38. Trung vị là 34 . Mốt là 34 .
Tứ phân vị Q = 32.5; Q = 34; Q = 35.5 . 1 2 3
Câu 2. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị
của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh: Hành tinh Hoả Thổ Thiên Hải Thu Trái tinh t Vương Vươn ỷ Kim tinh Đ Mộc tinh i tinh g tinh tinh ấ t n h Số mặt 2 27 13 trăn 0 0 1 63 34 g (Theo NASA)
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 14 23 .
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80 .
d) Các sai số trong phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42 . Giải
a) Chọn số đặc trưng là tứ phân vị, vì các số liệu không đồng đều nhau, nhiều số liệu trong
mẫu chênh lệch lớn so với trung vị.
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 0 0 1 2 13 27 34 63 .
Tứ phân vị Q = 0.5; Q = 7.5; Q = 30.5 . 1 2 3
b) Chọn số đặc trưng là số trung bình, các giá trị không lặp lại.
Số trung bình là 32 + 24 + 20 +14 + 23 = 22.6 . 5
c) Chọn số đặc trưng là trung bình, vì các số liệu gần nhau.Số trung bình là:
60 + 63+ 68 + 72 + 74.2 +80 +83+86 + 90 = 75. 10 Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
d) Chọn số đặc trưng là trung vị, vì có số 42 lớn bất thường. Trung vị là 15.
Câu 3. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 - 2019 của 10 trường Trung học phổ thông
được cho như sau: 0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tạo sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau. Giải
a) Số trung bình là 0.7 + 4 + 6 +10 = 2 . 10
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 0 0 0 0 0 0 0 4 6 10 .
Số 0 xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 0 .
Tứ phân vị Q = 0; Q = 0; Q = 4 . 1 2 3
b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau do mẫu có 10 số liệu mà số 0 đã xuất hiện 7 lần.
Câu 4. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng
đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng). Sân vận động
Cẩm phả Thiên Trường Hàng Đẫy Thanh Hoá Mỹ Đình Chỗ ngồi 20 120 21 315 23 405 20 120 37 546 (Theo vov.vn)
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng như thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của
Sân vân động Quốc gia Mỹ Đình? Giải:
Số trung bình là 20120 + 21315 + 23405 + 20120 + 37546 = 24501.2 . 5
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 20120 20120 21315 23405 37546 . mốt là 20120 . Trung vị 21315 .
Nếu bỏ số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình
Số trung bình là 20120 + 21315 + 23405 + 20120 = 21240 . 4
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 20120 20120 21315 23405 . mốt là 20120 . Trung vị 20717.5 .
Vậy nếu bỏ số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì mốt giữ nguyên, số
trung bình và trung vị sẽ thay đổi. Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM LÝ THUYẾT. I
I. KHOẢNG BIẾN THIÊN. KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ 1. Định nghĩa:
Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆ , là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, túc là: Q ∆ = Q − Q Q 3 1 2. Ý nghĩa:
a) Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
b) Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn
thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho như sau: Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8 Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn? Giải
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7;9. Do đó, khoảng biến thiên là: R = 9 − 7 = 2 . 1
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6;10. Do đó, khoảng biến thiên là: R =10 − 6 = 4 . 2
Do R > R nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2. 2 1 Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Luyện tập 1. Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
163 159 172 167 165 168 170 161
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này. Giải
Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là 159; 172. Do đó, khoảng biến thiên là: R =172 −159 =13.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến
thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả
các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày: 7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này. Giải
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 7 8 11 13 15 18 19 20 22.
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa Q = 15 . 2
Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó, Q = (8 +11) : 2 = 9,5 . 1
Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.
Do đó, Q = (19 + 20) : 2 =19,5. 3
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: ∆ = − = . Q 19,5 9,5 10
II. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ
qua thông tin của tất cả các giá trị khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin
của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng
thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ lệch chuẩn.
Cụ thể là với mẫu số liệu x ,x ,...,x , nếu gọi số trung bình là x thì với mỗi giá trị x , độ lệch 1 2 n i
của nó so với giá trị trung bình là x − x . i 1. Định nghĩa:
(x −x + x −x +...+ x −x 1 )2 ( 2 2 )2 ( )2
• Phương sai là giá trị s = n . n
• Căn bậc hai của phương sai, 2
s = s , được gọi là độ lệch chuẩn.
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu: Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
(x − x)2 +(x − x)2 +...+(x − x)2 2 1 2 n s = . n −1
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.
III. ĐỘ LỆCH CHUẨN 1. Định nghĩa:
• Căn bậc hai của phương sai, 2
s = s , được gọi là độ lệch chuẩn.
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì độ lệch chuẩn càng lớn.
Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung 43 45 46 41 40
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Giải + + + +
Số trung bình của mẫu số liệu là 43 45 46 41 40 x = = 43. 5 Ta có bảng sau: Giá trị Độ lệch Bình phương độ lệch 43 43 – 43 = 0 0 45 45 – 43 = 2 4 46 46 – 43 = 3 9 41 41 – 43 = - 2 4 10 40 – 43 = - 3 9 Tổng 26
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên n = 5 . Do đó phương sai là 2 26 s = = 5,2. 5
Độ lệch chuẩn là: s = 5,2 ≈ 2,28.
IV. TÍNH HỢP LÝ CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác.
Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn
hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này. Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Các giá trị lớn hơn Q +1,5.∆ hoặc bé hơn Q −1,5.∆ được xem là giá trị bất thường. 3 Q 1 Q
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau: 0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp. Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được Q =135 và Q = 205 . Do đó, khoảng tứ phân vị là: 1 3 ∆ = − = Q 205 135 70
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có Q −1,5.∆ = và Q +1,5.∆ =
nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là Q 310 Q 30 1 3
bất thường là 340 mg (lớn hơn 310 mg) và 0 mg (bé hơn 30 mg). BÀI TẬP.
Câu 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Câu 2. Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn? Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 3. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng
biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Câu 4. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; Q = 36;Q = 60; Q =100 ; giá trị lớn nhất bằng 205. 1 2 3
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Câu 5. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg): 2,977 3,155 3,920 3,412 4,236 2,593 3,270 3,813 4,042 3,387
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Câu 6. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau: 7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6 5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên. Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN
CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM LÝ THUYẾT. I
I. KHOẢNG BIẾN THIÊN. KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ 1. Định nghĩa:
Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆ , là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, túc là: Q ∆ = Q − Q Q 3 1 2. Ý nghĩa:
a) Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
b) Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn
thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho như sau: Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8 Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn? Giải
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7;9. Do đó, khoảng biến thiên là: R = 9 − 7 = 2 . 1
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6;10. Do đó, khoảng biến thiên là: R =10 − 6 = 4 . 2
Do R > R nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2. 2 1 Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Luyện tập 1. Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
163 159 172 167 165 168 170 161
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này. Giải
Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là 159; 172. Do đó, khoảng biến thiên là: R =172 −159 =13.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến
thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả
các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày: 7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này. Giải
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 7 8 11 13 15 18 19 20 22.
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa Q = 15 . 2
Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó, Q = (8 +11) : 2 = 9,5 . 1
Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.
Do đó, Q = (19 + 20) : 2 =19,5. 3
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: ∆ = − = . Q 19,5 9,5 10
II. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ
qua thông tin của tất cả các giá trị khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin
của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng
thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ lệch chuẩn.
Cụ thể là với mẫu số liệu x ,x ,...,x , nếu gọi số trung bình là x thì với mỗi giá trị x , độ lệch 1 2 n i
của nó so với giá trị trung bình là x − x . i 1. Định nghĩa:
(x −x + x −x +...+ x −x 1 )2 ( 2 2 )2 ( )2
• Phương sai là giá trị s = n . n
• Căn bậc hai của phương sai, 2
s = s , được gọi là độ lệch chuẩn.
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu: Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
(x − x)2 +(x − x)2 +...+(x − x)2 2 1 2 n s = . n −1
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.
III. ĐỘ LỆCH CHUẨN 1. Định nghĩa:
• Căn bậc hai của phương sai, 2
s = s , được gọi là độ lệch chuẩn.
2. Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì độ lệch chuẩn càng lớn.
Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung 43 45 46 41 40
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Giải + + + +
Số trung bình của mẫu số liệu là 43 45 46 41 40 x = = 43. 5 Ta có bảng sau: Giá trị Độ lệch Bình phương độ lệch 43 43 – 43 = 0 0 45 45 – 43 = 2 4 46 46 – 43 = 3 9 41 41 – 43 = - 2 4 10 40 – 43 = - 3 9 Tổng 26
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên n = 5 . Do đó phương sai là 2 26 s = = 5,2. 5
Độ lệch chuẩn là: s = 5,2 ≈ 2,28.
IV. TÍNH HỢP LÝ CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác.
Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn
hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này. Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Các giá trị lớn hơn Q +1,5.∆ hoặc bé hơn Q −1,5.∆ được xem là giá trị bất thường. 3 Q 1 Q
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau: 0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp. Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được Q =135 và Q = 205 . Do đó, khoảng tứ phân vị là: 1 3 ∆ = − = Q 205 135 70
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có Q −1,5.∆ = và Q +1,5.∆ =
nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là Q 310 Q 30 1 3
bất thường là 340 mg (lớn hơn 310 mg) và 0 mg (bé hơn 30 mg). BÀI TẬP.
Câu 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm. Giải
Các khẳng định đúng: (2), (5).
Các khẳng định sai: (1), (3), (4).
Câu 2. Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau: Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn? Giải
a) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu bằng nhau.
Số trung bình của hai mẫu số liệu bằng nhau.
b) Mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn mẫu số liệu B.
Câu 3. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng
biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2. Giải
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:
Khoảng biến thiên tăng gấp 2 lần.
Khoảng tứ phân vị tăng gấp 2 lần.
Độ lệch chuẩn tăng gấp 4 lần.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:
Khoảng biến thiên giữ nguyên.
Khoảng tứ phân vị giữ nguyên.
Độ lệch chuẩn giữ nguyên.
Câu 4. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; Q = 36;Q = 60; Q =100 ; giá trị lớn nhất bằng 205. 1 2 3
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu. Giải
a) Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được
Q = 36 nên có 12 thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36. 1
Vì vậy, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là: 12 4 = . 51 7
b) Hai giá trị có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa là 36 và 100.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ∆ = Q − Q = − = . Q 100 36 64 3 1 Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 5. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg): 2,977 3,155 3,920 3,412 4,236 2,593 3,270 3,813 4,042 3,387
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Giải
Trước hết, ta sẽ sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
2,593 2,977 3,155 3,270 3,387 3,412 3,813 3,920 4,042 4,236
Khoảng biến thiên là R = 4,236 − 2,593 =1,643.
Ta có: Q = 3,3995; Q = 3,155; Q = 3,920 2 1 3
Khoảng tứ phân vị là ∆ = Q − Q = . Q 0,765 3 1
Độ lệch chuẩn là s ≈ 0,52 .
Câu 6. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau: 7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6 5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên. Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được Q = 4,5 và Q = 7,8. Do đó, khoảng tứ phân vị là: 1 3 ∆ = − = Q 7,8 4,5 3,3
Ta có Q −1,5∆ = − và Q +1,5∆ =
nên trong mẫu số liệu trên không có giá trị Q 12,75 Q 0,45 1 3 bất thường. Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I LÝ THUYẾT.
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là Ω .
Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó,
tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N).
Không gian mẫu của phép thử là Ω = {S; N} 2. Biến cố
a) Định nghĩa: Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A ) liên quan tới phép thử T là biến cố mà
việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T .
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A .
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi A hoặc Ω . Để đơn giản, ta có thể dùng A
chính chữ A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A .
Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A .
b) Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn
được mô tả bởi tập Ω và được ký hiệu là Ω .
c) Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố không
thể được mô tả bởi tập ∅.
d) Biến cố đối: Tập Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Giả sử A và
B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
* Tập A∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B .
* Tập A∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B .
* Nếu A∩ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
f. Bảng đọc ngôn ngữ biến cố. Kí hiệu
Ngôn ngữ biến cố A∈Ω A là biến cố A = ∅
A là biến cố không A = Ω
A là biến cố chắc chắn
C = A∪ B
C là biến cố “ A hoặc B ”
C = A∩ B
C là biến cố “ A và B ” A∩ B = ∅
A và B xung khắc B = A
A và B đối nhau
3. Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và
A là một biến cố.
Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P( )
A , được xác định bởi công thức: n( A) Ω P( ) A A = =
= Soá keát quaû thuaän lôïi cho A . n(Ω) Ω
Soá keát quaû coù theå xaûy ra
trong đó: 𝑛𝑛(𝐴𝐴) và 𝑛𝑛(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập 𝐴𝐴 và Ω.
II. TÍNH CHÁT CỦA XÁC SUẤT • 0 ≤ P( ) A ≤1. • P(Ω) =1, ( P ∅) = 0.
• P( A) =1− P( A) Ví dụ
Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm ở mặt
xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”.
a) Hãy tìm biến cố đối của biến cố 𝐴𝐴.
b) Hãy tính xác suất của biến cố 𝐴𝐴. Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Giải
a) Biến cố đối của biến cố 𝐴𝐴 là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số lẻ”.
b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là 𝑛𝑛(Ω) = 63.
𝐴𝐴̅ xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi
cho 𝐴𝐴̅ là 𝑛𝑛(𝐴𝐴̅) = 33.
Xác suất của biến cố 𝐴𝐴̅ là 𝑃𝑃(𝐴𝐴̅) = 33 = 1. 63 8
Xác suất của biến cố 𝐴𝐴 là 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴̅) = 7. 8
III. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT BÉ
Trong thực tế, các biến cố có xác suất xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một
phép thử. Ngược lại, các biến cố mà xác suất xảy ra gần bằng 0 thì gần như không xảy ra trong một phép thử.
Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đắm là số dương. Tuy nhiên, nếu
tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rất nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.
Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rất nhỏ,
chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không,
vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì
khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rất cao.
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DẠNG 1 : MÔ TẢ BIẾN CỐ, KHÔNG GIAN MẪU BÀI TẬP.
Câu 1 : Hãy mô tả không gian mẫu Ω của phép thử : « Gieo một con súc sắc » . Hãy mô tả biến cố
A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ »
Câu 2 : Hãy mô tả không gian mẫu Ω khi tung ba đồng xu
Câu 3 : Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số 1 ;2 ;3
ra và xếp thành một hàng ngang để được một số có ba chữu số.
Câu 4 : Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số
của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Tính số phần tử của biến cố A
Câu 5 : Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm . Mô tả biến cố A A = (
{ 6, )1,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}. Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 6.Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Số phần tử của không gian mẫu là:
Câu 7.Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số
của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 . Số phần tử của biến cố A là:
Câu 8.Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là
Câu 9.Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?
Câu 10.Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) là?
Câu 11.Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
Câu 12.Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n(Ω) là bao nhiêu?
DẠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ BÀI TẬP. Câu 1: Một l
ớp có 15 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Gọi A là biến cố : “lập một đội văn nghệ của lớp
gồm 7 học sinh trong đó nhất thiết phải có học sinh nữ”. Hãy mô tả biến cố đối của biến cố A
(Giả thiết rằng học sinh nào cũng có khả năng văn nghệ)
Câu 2: Một xạ thủ bắn hai phát độc lập với nhau. Gọi A , A lần lượt là biến cố lần thứ nhất và lần thứ 2 1 2
bắn trúng hồng tâm. Hãy biểu diễn các biến cố sau thông qua các biến cố A , A 1 2
a. Cả hai lần đều bắn trúng hồng tâm
b. Cả hai lần không bắn trúng hồng tâm
c. Ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ 1 PHƯƠNG PHÁP. Phươ
ng pháp 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.
Phương pháp 2: Sử dụng các quy tắc đếm, các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để xác
định số phần tử của không gian mẫu và biến cố. 2 BÀI TẬP.
Câu 1. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả
năm lần ngửa thì dừng lại.
1. Mô tả không gian mẫu.
2. Xác định các biến cố:
A : “Số lần gieo không vượt quá ba”
B : “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”
Câu 2. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 1. Không gian mẫu 2. Các biến cố:
a) A : “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.
b) B : “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.
c) C : “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính số phần tử của 1. Không gian mẫu. 2. Các biến cố
a) A : “Số được chọn chia hết cho 5”
b) B : “Số được chọn có đúng 2 chữ số lẻ và và hai chữ số lẻ không đứng kề nhau”
Câu 4. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi k k
A là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ ” với
k = 1,2,3,4 . Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố 1 A , 2 A , 3 A , 4 A .
A : "Lần thứ tư mới bắn trúng bia".
B : "Bắn trúng bia ít nhất một lần".
C : "Bắn trúng bia đúng ba lần".
Câu 5. Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của 1. Không gian mẫu 2. Các biến cố:
a) A: “Số ghi trên các tấm thẻ được chọn đều là số chẵn”.
b) B: “Có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3”.
DẠNG 4: TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN 1 PHƯƠNG PHÁP. • Tính xác s
uất theo thống kê ta sử dụng công thức: ( ) n P A = . N
• Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức: n( A) Ω P( ) A A = = . n(Ω) Ω Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 2 BÀI TẬP. Câu 1. Bộ bà
i tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính xác suất của các biến cố
a) A: “Rút ra được tứ quý K ‘’
b) B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”
c) C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’
Câu 2. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:
a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
b) 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80. Tính xác suất của các biến cố:
1. A: “Trong 3 số đó có đúng 2 số là bội số của 5”.
2. B: “Trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương”.
Câu 4. Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho:
a) Các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.
b) Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.
Câu 5. Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất để
có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
Câu 6. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn đều là nữ.
Câu 7. Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với
khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
Câu 8. Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là.
Câu 9. Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HỌC”, “TẬP”, “VÌ”, “NGÀY”, “MAI”, “LẬP”, “NGHIỆP”. Một
người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP”.
Câu 10. Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người
được chọn đều là nữ.
Câu 11. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.
Câu 12. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy
tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.
Câu 13. Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một
người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”.
Câu 14. Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển
sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán. Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 15. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm
xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”.
Câu 16. Có 10 tấm bìa ghi 10 chữ “NƠI”, “NÀO”, “CÓ”, “Ý”, “CHÍ”, “NƠI”, “ĐÓ”, “CÓ”, “CON”,
“ĐƯỜNG”. Một người xếp ngẫu nhiên 10 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa
được dòng chữ “ NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”.
Câu 17. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác
suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.
Câu 18. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 6 vị trí
với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
Câu 19. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng. Tính xác suất để
lấy được hai viên bi khác màu?
Câu 20. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình học. Thầy gọi bạn
Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên để trả lời. Hỏi
xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?
Câu 21. Để chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20 −11 Đoàn trường THPT Hai Bà Trưng đã phân công
ba khối: khối 10, khối 11 và khối 12 mỗi khối chuẩn bị ba tiết mục gồm: một tiết mục múa, một
tiết mục kịch và một tiết mục hát tốp ca. Đến ngày tổ chức ban tổ chức chọn ngẫu nhiên ba tiết
mục. Tính xác suất để ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung?
Câu 22. Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn
sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học
sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn.
Câu 23. Một tổ có 9 học sinh nam và 3học sinh nữ. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người để làm 3
nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ.
Câu 24. Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là
DẠNG 5: QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 2 BÀI TẬP.
Câu 1. Cho hai biến cố A và B với P( A) = 0,3; P(B) = 0,4 và P( AB) = 0,2.Hỏi hai biến cố A và B có: a) Xung khắc không?
b) Độc lập với nhau không?
Câu 2. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
(không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.
Câu 3. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không
cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :
a). Khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
b). Khi gieo 2 lần thì 2 lần cả hai đồng xu đều lật ngửa.
Câu 4. Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a). Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm". Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
b). Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm".
c). Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm".
d). Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm".
e). Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
f). Biến cố F " Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2".
Câu 5. An và Bình học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn toán trong
kỳ thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88.
a) Tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi.
b) Tính xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi.
c) Tính xác suất để có ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi.
Câu 6. Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P( A) = 0,4 , P(B) = 0,3. Khi đó P( AB) bằng
Câu 7. Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài
tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 8. Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác
suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.
Câu 9. Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Câu 10. Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Câu 11. Một lớp có 35 đoàn viên trong đó có 15nam và 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp
để tham dự hội trại 26 tháng 3. Tính xác suất để trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam và nữ.
Câu 12. Trong tủ đồ chơi của bạn An có 5 con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy
ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt.
Câu 13. Việt và Nam chơi cờ. Trong một ván cờ, xác suất Việt thắng Nam là 0,3 và Nam thắng Việt là
0,4 . Hai bạn dừng chơi khi có người thắng, người thua. Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ.
Câu 14. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để
các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
Câu 15. Kết quả (b,c) của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm
xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai 2
x + bx + c = 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm:
Câu 16. Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó
chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Câu 17. Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương
án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm.
Câu 18. An và Bình cùng tham gia kì thi THPTQG năm 2018 , ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh
bắt buộc thì An và Bình đều đăng kí thi them đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật lí,
Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc
nghiệm có 8 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất
để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề. Page 8
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 19. Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 và 1 . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không 2 3 bắn trúng bia. Page 9
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I LÝ THUYẾT.
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là Ω .
Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó,
tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N).
Không gian mẫu của phép thử là Ω = {S; N} 2. Biến cố
a) Định nghĩa: Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A ) liên quan tới phép thử T là biến cố mà
việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T .
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A .
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi A hoặc Ω . Để đơn giản, ta có thể dùng A
chính chữ A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A .
Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A .
b) Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn
được mô tả bởi tập Ω và được ký hiệu là Ω .
c) Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố không
thể được mô tả bởi tập ∅.
d) Biến cố đối: Tập Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Giả sử A và
B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
* Tập A∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B .
* Tập A∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B .
* Nếu A∩ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc. Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
f. Bảng đọc ngôn ngữ biến cố. Kí hiệu
Ngôn ngữ biến cố A∈Ω A là biến cố A = ∅
A là biến cố không A = Ω
A là biến cố chắc chắn
C = A∪ B
C là biến cố “ A hoặc B ”
C = A∩ B
C là biến cố “ A và B ” A∩ B = ∅
A và B xung khắc B = A
A và B đối nhau
3. Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và
A là một biến cố.
Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P( )
A , được xác định bởi công thức: n( A) Ω P( ) A A = =
= Soá keát quaû thuaän lôïi cho A . n(Ω) Ω
Soá keát quaû coù theå xaûy ra
trong đó: 𝑛𝑛(𝐴𝐴) và 𝑛𝑛(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập 𝐴𝐴 và Ω.
II. TÍNH CHÁT CỦA XÁC SUẤT • 0 ≤ P( ) A ≤1. • P(Ω) =1, ( P ∅) = 0.
• P( A) =1− P( A) Ví dụ
Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm ở mặt
xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”.
a) Hãy tìm biến cố đối của biến cố 𝐴𝐴.
b) Hãy tính xác suất của biến cố 𝐴𝐴. Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Giải
a) Biến cố đối của biến cố 𝐴𝐴 là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số lẻ”.
b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là 𝑛𝑛(Ω) = 63.
𝐴𝐴̅ xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi
cho 𝐴𝐴̅ là 𝑛𝑛(𝐴𝐴̅) = 33.
Xác suất của biến cố 𝐴𝐴̅ là 𝑃𝑃(𝐴𝐴̅) = 33 = 1. 63 8
Xác suất của biến cố 𝐴𝐴 là 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴̅) = 7. 8
III. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT BÉ
Trong thực tế, các biến cố có xác suất xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một
phép thử. Ngược lại, các biến cố mà xác suất xảy ra gần bằng 0 thì gần như không xảy ra trong một phép thử.
Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đắm là số dương. Tuy nhiên, nếu
tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rất nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.
Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rất nhỏ,
chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không,
vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì
khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rất cao.
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DẠNG 1 : MÔ TẢ BIẾN CỐ, KHÔNG GIAN MẪU BÀI TẬP.
Câu 1 : Hãy mô tả không gian mẫu Ω của phép thử : « Gieo một con súc sắc » . Hãy mô tả biến cố
A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ » Lời giải
không gian mẫu Ω của phép thử : « Gieo một con súc sắc » là tập hợp Ω = {1;2;3;4;5; } 6
Biến cố A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ » được môt tả bởi tập hợp A = {1;3; } 5
Câu 2 : Hãy mô tả không gian mẫu Ω khi tung ba đồng xu Lời giải
Ta thấy mỗi đồng xu có hai khả năng Sấp (S) hoặc ngửa (N). Vậy tung ba đồng xu có 2.2.2 =8 khả năng. Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Cụ thể là Ω = {SSS;SNS;SSN;SNN; NNN; NNS; NSN; NSS}
Câu 3 : Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số 1 ;2 ;3
ra và xếp thành một hàng ngang để được một số có ba chữu số. Lời giải:
Không gian mẫu được mô tả như sau: Ω = {123;132;213;231;312; } 321
Câu 4 : Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số
của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Tính số phần tử của biến cố A Lời giải
Liệt kê ta có: A = (
{ 1;2;3);(1;2;4);(1;2;5);(1;3;4)}
Vậy số phần tử biến cố A là 4
Câu 5 : Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm . Mô tả biến cố A A = (
{ 6, )1,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}. Lời giải
Liệt kê ta có: A = (
{ 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6, )1,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}
Câu 6. Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Số phần tử của không gian mẫu là: Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có: Ω = {1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30; } 36 .
Câu 7.Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số
của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 . Số phần tử của biến cố A là: Lời giải
Liệt kê ta có: A = (
{ 1;2;3);(1;2;4);(1;2;5);(1;3;4)}.
Câu 8. Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có: Ω = { 1
S ;S2;S3;S4;S5;S6; N1; N2; N3; N4; N5; N } 6 .
Câu 9. Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử? Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có: Ω = {SS;SN; NS; NN}
Câu 10. Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) là? Hướng dẫn giải: n(Ω) = 2.2 = 4 .
(lần 1 có 2 khả năng xảy ra- lần 2 có 2 khả năng xảy ra).
Câu 11. Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải n(Ω) = 6.6 = 36 .
(lần 1 có 6 khả năng xảy ra- lần 2 có 6 khả năng xảy ra).
Câu 12. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n(Ω) là bao nhiêu? Lời giải n(Ω) = 2.2.2 = 8 .
(lần 1 có 2 khả năng xảy ra- lần 2 có 2 khả năng xảy ra – lần 3 có 2 khả năng xảy ra ).
DẠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ BÀI TẬP. Câu 1: Một l
ớp có 15 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Gọi A là biến cố : “lập một đội văn nghệ của lớp
gồm 7 học sinh trong đó nhất thiết phải có học sinh nữ”. Hãy mô tả biến cố đối của biến cố A
(Giả thiết rằng học sinh nào cũng có khả năng văn nghệ) Lời giải
Biến cố đối của biến cố A : “7 học sinh trong đội văn nghệ đều là nam”
Câu 2: Một xạ thủ bắn hai phát độc lập với nhau. Gọi A , A lần lượt là biến cố lần thứ nhất và lần thứ 2 1 2
bắn trúng hồng tâm. Hãy biểu diễn các biến cố sau thông qua các biến cố A , A 1 2
a. Cả hai lần đều bắn trúng hồng tâm
b. Cả hai lần không bắn trúng hồng tâm
c. Ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm Lời giải
Gọi A là biến cố cả hai lần đều bắn trúng hồng tâm
Ta có A = A ∩ A 1 2
Gọi B là biến cố: Cả hai lần không bắn trúng hồng tâm
Ta có B = A ∩ A 1 2
Gọi C là biến cố: Ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm
Ta có C = ( A ∩ A ∪ A ∩ A ∪ A ∩ A 1 2 ) ( 1 2) ( 1 2)
Ta thấy C = B .
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ 1 PHƯƠNG PHÁP. Phươ
ng pháp 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.
Phương pháp 2: Sử dụng các quy tắc đếm, các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để xác
định số phần tử của không gian mẫu và biến cố. Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 2 BÀI TẬP.
Câu 1. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả
năm lần ngửa thì dừng lại.
1. Mô tả không gian mẫu.
2. Xác định các biến cố:
A : “Số lần gieo không vượt quá ba”
B : “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa” Lời giải
Kí hiệu mặt sấp là S , mặt ngửa là N .
1. Ta có Ω = {S; NS; NNS; NNNS; NNNNS; NNNN } N ⇒ Ω = 6.
2. A = {S; NS; } NNS ⇒ Ω = 3. A
B = {NNS; NNNS; NNNNS; } NNNNN ⇒ Ω = 4. B
Câu 2. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của 1. Không gian mẫu 2. Các biến cố:
a) A : “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.
b) B : “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.
c) C : “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”. Lời giải 1. Ta có: 4 Ω = C =10626. 24
2. a) Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng hai viên bị màu trắng là: 2 2 C .C = 4095 10 14 . Suy ra Ω = . A 4095
b) Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là 4 C18 . Suy ra 4 4 Ω = C − C = . B 7566 24 18
c) Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: 4 4 4 C + C + C 6 8 10
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là: Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 4 4 4 4 4 4
C + C + C − 2(C + C + C ) 14 16 18 6 8 10
Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là: 4 4 4 4 4 4 4
C − (C + C + C ) + (C + C + C ) = 5040 24 14 16 18 6 8 10 Suy ra Ω = . C 5859 Cách 2: 1 1 2 1 2 1 2 1 1
Ω = C C C + C C C + C C C = C . . . . . . 5040. 6 8 10 6 8 10 6 8 10
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính số phần tử của 1. Không gian mẫu. 2. Các biến cố
a) A : “Số được chọn chia hết cho 5”
b) B : “Số được chọn có đúng 2 chữ số lẻ và và hai chữ số lẻ không đứng kề nhau” Lời giải
1. Số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau là 3 9.A = 4536 . 9 Suy ra Ω = 4536 .
2. Gọi abcd là số có bốn chữ số đôi một khác nhau và thỏa yêu cầu bài toán ( a ≠ 0 ). a) TH1: d = 5 : Có 2 8.A = 448 (số) 8 TH2: d = 0 : Có 3 A = (số) 9 504 Suy ra Ω = 952 . A b) Cách 1.
TH1: Chỉ có chữ số a,c lẻ: Có 2 2
A .A = 400 (số) 5 5
TH2: Chỉ có chữ số a,d lẻ: Có 2 2
A .A = 400 (số) 5 5
TH1: Chỉ có chữ số b,d lẻ: Có 2 A = (số) 5 .4.4 320 Suy ra Ω = 1120. B Cách 2.
Chọn từ 5 chữ số lẻ ra 2 chữ số lẻ và sắp theo thứ tự trên hàng ngang, có 2 A = cách. 5 20
Với mỗi cách xếp trên ta xem như có 3 khoảng trống được tạo ra (một khoảng trống ở giữa và
hai khoảng trống ở hai đầu). Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Chọn ra 2 trong 5 chữ số chẵn và xếp vào 2 trong 4 ô trống đó (mỗi ô 1 chữ số) để được số thỏa yêu cầu đề bài, có 2 2 C .A − 1 C = 56 cách. 5 3 4 Suy ra Ω = 20.56 = 1120 . B
Câu 4. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi k k
A là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ ” với
k = 1,2,3,4 . Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố 1 A , 2 A , 3 A , 4 A .
A : "Lần thứ tư mới bắn trúng bia".
B : "Bắn trúng bia ít nhất một lần".
C : "Bắn trúng bia đúng ba lần". Lời giải
Ta có Ak là biến cố "Lần thứ k (k = 1,2,3,4 ) xạ thủ bắn không trúng bia". Do đó A = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 B = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4
C = A A A A ∪ A A A A ∪ A A A A ∪ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 A1A2A3A4 .
Câu 5. Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của 1. Không gian mẫu 2. Các biến cố:
a) A: “Số ghi trên các tấm thẻ được chọn đều là số chẵn”.
b) B: “Có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3”. Lời giải
1. Số phần tử của không gian mẫu 5 Ω = C . 100
2. a) Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn, suy ra 5 Ω = C A . 50
b) Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3, 67 số không chia hết cho 3.
Ta có B : “Cả 5 số trên 5 thẻ được chọn đều không chia hết cho 3”. Suy ra 5 Ω = C , do đó 5 5 Ω = C − C . B 67 B 100 67
DẠNG 4: TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN 1 PHƯƠNG PHÁP. Page 8
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
• Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức: ( ) n P A = . N
• Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức: n( A) Ω P( ) A A = = . n(Ω) Ω 2 BÀI TẬP. Câu 1. Bộ bà
i tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính xác suất của các biến cố
a) A: “Rút ra được tứ quý K ‘’
b) B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”
c) C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’ Lời giải
a) Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: 4 C = 270725 52 ; Suy ra Ω = 270725
Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có Ω = A 1 1 Vậy P( ) A = . 270725
b) Ta có số cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào là 4 C48, suy ra 4 4 Ω = C − C B . 52 48 15229 ⇒ P(B) = . 54145
c) Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó có ít nhất hai quân bích là: 2 2 3 1 4 0
C .C + C C + C .C = 69667 13 39 13 39 13 39 Suy ra 5359 Ω = ⇒ P C = . C 69667 ( ) 20825
Câu 2. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:
a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
b) 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu. Lời giải
Gọi các biến cố A: “3 viên bi lấy ra đều màu đỏ” Page 9
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
B: “3 viên bi lấy ra có đúng hai màu”
Số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là 3 C20 nên ta có 3 Ω = C =1140. 20
a. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là 3 C = 56 8 nên Ω = . A 56 Do đó: 56 14 P( ) A = = . 1140 285 b. Ta có:
Số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu Đỏ và xanh: 3 C − ( 3 3 C + C 15 8 7 ) Đỏ và vàng: 3 C − ( 3 3 C + C 13 8 5 ) Vàng và xanh: 3 C − ( 3 3 C + C 12 5 7 )
Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu: 3 3 3
C + C + C − 2( 3 3 3
C + C + C = 759 15 13 12 8 7 5 ) Do đó: Ω = . Vậy 253 P(B) = . B 759 380
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80. Tính xác suất của các biến cố:
1. A: “Trong 3 số đó có đúng 2 số là bội số của 5”.
2. B: “Trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương”. Lời giải
Số cách chọn 3 số từ 80 số là 3 Ω = C = 82160 80 1. 80 Từ 1 đến 80 có
 =16 số chia hết cho 5 và có 80−16 = 64 số không chia hết cho 5.  5    1 2 Do đó 1 2 C .C 96 64 16
Ω = C C ⇒ P A = = . A . ( ) 64 16 3 C 1027 80
2. Từ 1 đến 80 có 8 số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64.
Số cách chọn 3 số không có số chính phương nào được chọn là 3 C72 . 3 3 Suy ra 3 3 C − C 563 80 72
Ω = C − C ⇒ P B = = . B ( ) 80 72 3 C 2054 80
Câu 4. Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho: Page 10
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
a) Các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.
b) Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau. Lời giải Ta có Ω = 8!= 40320. Gọi các biến cố
A: “Các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau”
B: “ Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau”
a) Số cách xếp 5 học sinh nam thành hàng ngang là 5!=120. Ứng với mỗi cách sắp xếp này, ta
có 4!= 24 cách sắp xếp thêm 3 bạn nữ vào sao cho thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra Ω = = . Do đó 2880 1 P(A) = = . A 120.24 2880 40320 14
b) Số cách xếp 5 học sinh nam thành hàng ngang là 5!=120.
Ứng với mỗi cách sắp xếp này, ta có 6 khoảng trống (2 khoảng trống ở hai đầu và 4 khoảng trống
ở giữa). Xếp 3 học sinh nữ vào các khoảng trống đó, có 3 A =120 6 cách. 14400 5 Suy ra Ω = = . Do đó P(B) = = . B 120.120 14400 40320 14
Câu 5. Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất để
có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau. Lời giải Cách 1:
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau - Có 3
C cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H. 8 - Có 2
C cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A. 5
- Có 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
- Do đó số phần tử của không gian mẫu là 3 2
n(Ω) = C .C .3! = 3360. 8 5
Gọi A là biến cố đã cho.
- Nếu có 3 chữ H đứng cạnh nhau thì ta có 6 cách xếp 3 chữ H.
- Nếu có đúng 2 chữ H đứng cạnh nhau: Khi 2 chữ H ở 2 vị trí đầu (hoặc cuối) thì có 5 cách
xếp chữ cái H còn lại, còn khi 2 chữ H đứng ở các vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại. Do đó có 5 . 2 + 4 .
5 = 30 cách xếp 3 chữ H sao cho có đúng 2 chữ H đứng cạnh nhau
Như vậy có 30 + 6 = 36 cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có 2
C cách chọn vị trí 5
và xếp 2 chữ cái A và 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N. Page 11
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Suy ra 2 n( ) A n A
= 36.C .3! = 2160. Vậy xác suất cần tìm là ( ) 2160 9 P( ) A = = = . 5 n(Ω) 3360 14 Cách 2:
Số phần tử của không gian mẫu là 8! n(Ω) = = 3360. 2!3!
Gọi A là biến cố đã cho, ta sẽ tìm số phần tử của A .
Đầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có 5! = 60 cách xếp. 2!
Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ cái H, có 3 C cách xếp 6 Do đó 3 n( )
A = 60.C = 1200 , suy ra = Ω − = − = 6 n( ) A n( ) n( ) A 3360 1200 2160
Vậy xác suất cần tìm là n( ) A 2160 9 P( ) A = = = . n(Ω) 3360 14
Câu 6. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn đều là nữ. Lời giải 2
Xác suất 2 người được chọn đều là nữ là C 1 3 = . 2 C 15 10
Câu 7. Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với
khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau. Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) 3 = 7 .
Gọi A : “ Trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở 3 vị trí khác nhau”.
Suy ra n( A) = 7.6.5 = 210. Vậy P( A) 210 30 = = . 3 7 49
Câu 8. Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là. Lời giải
Ta có số phần từ của không gian mẫu là n(Ω) 2 = C = 45 . 10
Gọi A : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ". Khi đó n( A) 2 = C = 6 . 4 n A
Vậy xác suất cần tính là P( A) ( ) 2 = = . n(Ω) 15
Câu 9. Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HỌC”, “TẬP”, “VÌ”, “NGÀY”, “MAI”, “LẬP”, “NGHIỆP”. Một
người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP”. Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là 7!= 5040 . Page 12
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” là 1 . 5040
Câu 10. Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người
được chọn đều là nữ. Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người có 2 C cách chọn. 10
Hai người được chọn đều là nữ có 2 C cách. 4 2
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: C 2 4 = . 2 C 15 10
Câu 11. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3. Lời giải
Ta có n(Ω) = 6 và n( A) = 2 . Vậy P( A) 1 = . 3
Câu 12. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy
tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = 38760.
Kết quả trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm là n( A) 5 1 6
= C .C + C = 25480. 16 4 16 Xác suất cần tìm là: 25480 637 P = = . 38760 969
Câu 13. Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một
người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ
“HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”. Lời giải
Xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa có 7!= 5040 (cách xếp) ⇒ n(Ω) = 5040.
Đặt A là biến cố “xếp được chữ HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”. Ta có n( A) =1. Vậy P( A) 1 = . 5040
Câu 14. Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển
sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán. Lời giải
Số kết quả có thể khi chọn bất kì 3 quyển sách trong 9 quyển sách là 3 C = 84. 9
Gọi A là biến cố ‘ Lấy được ít nhất 1 sách toán trong 3 quyển sách.’
A là biến cố ‘ Không lấy được sách toán trong 3 quyển sách.’ Page 13
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Ta có xác sút để xảy ra C 37
A là P( A) =1− P( A) 35 = 1− = .. 84 42
Câu 15. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm
xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”. Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36.
Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán: A = ( { 1; 2), (2 )
; 1 , (3; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5)} nên n( A) =10. Vậy P( A) 10 5 = = . 36 18
Câu 16. Có 10 tấm bìa ghi 10 chữ “NƠI”, “NÀO”, “CÓ”, “Ý”, “CHÍ”, “NƠI”, “ĐÓ”, “CÓ”, “CON”,
“ĐƯỜNG”. Một người xếp ngẫu nhiên 10 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa
được dòng chữ “ NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”. Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) =10!
Gọi A là biến cố xếp các tấm bìa được dòng chữ “NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”.
Chú ý rằng có hai chữ “NƠI” và hai chữ “CÓ”, nên để tính n( A) , ta làm như sau: - Có 1
C cách chọn một chữ “NƠI” và đặt vào đầu câu 2 - Có 1
C cách chọn một chữ “CÓ” và đặt vào vị trí thứ ba 2
- Các vị trí còn lại chỉ có một cách đặt chữ Vậy n( A) 1 1 = C .C 1
. = 4, nên P( A) 4 4 1 = = = . 2 2 . 10! 3628800 907200
Câu 17. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác
suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt. Lời giải
Chọn ra ba sản phẩm tùy ý có 3 C = 9880 cách chọn. 40 Do đó n(Ω) = 9880.
Gọi A là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm tốt. Khi đó A là biến cố 3 sản phẩm không có sản phẩm tốt. n( A) 3 = C =120 . 10 n A
Vậy xác suất cần tìm là ( A) = − ( A) ( ) 120 244 1 = 1− = − = . n(Ω) 1 9880 247 Page 14
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 18. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 6 vị trí
với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau. Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 1 1 3 = C C C = 6 6 6 6
Gọi A là biến cố “trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở ba vị trí khác nhau”
Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là n( A) 1 1 1 = C C C 6 5 4 1 1 1 n A
Vậy xác suất của biến cố A là ( A) ( ) C C C 5 6 5 4 = = = . n(Ω) 1 1 1 C C C 9 6 6 6
Câu 19. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng. Tính xác suất để
lấy được hai viên bi khác màu? Lời giải
Tổng số bi trong thùng là 4 + 5 + 6 =15 (bi).
Số kết quả có thể khi lấy ra 2 viên bi bất kì từ 15 viên bi là 2 C =105. 15
Số kết quả thuận lợi khi lấy ra hai bi khác màu là 1 1 1 1 1 1
C C + C C + C C = 74. 4 5 5 6 4 6
Gọi A là biến cố lấy ra hai viên bi khác màu. Xác suất xảy ra A là P( A) 74 =  70,5%.. 105
Câu 20. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình học. Thầy gọi bạn
Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên để trả lời. Hỏi
xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu? Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 3câu hỏi trong 10 câu hỏi thì số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) 3 = C10 .
Gọi A : “ chọn ít nhất có một câu hình học”, suy ra A : “ không chọn được câu hình”. Có C 5 n( A) 3
= C suy ra P ( A) = 1− P ( A) 36 =1− = . 6 3 C 6 10
Câu 21. Để chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20 −11 Đoàn trường THPT Hai Bà Trưng đã phân công
ba khối: khối 10, khối 11 và khối 12 mỗi khối chuẩn bị ba tiết mục gồm: một tiết mục múa, một
tiết mục kịch và một tiết mục hát tốp ca. Đến ngày tổ chức ban tổ chức chọn ngẫu nhiên ba tiết
mục. Tính xác suất để ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung? Lời giải
Chọn ba tiết mục trong chín tiết mục có n(Ω) 3 = C9 cách chọn.
Gọi A là biến cố: ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung.
Chọn tiết mục khối 10 có 3cách chọn
Chọn tiết mục ở khối 11 có 2 cách
Và tiết mục ở khối 12 có 1 cách. Page 15
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Nên có n( A) = 3.2.1= 6 cách chọn
Xác suất của biến cố A : P( A) n( A) 1 = = . n(Ω) 14
Câu 22. Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn
sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học
sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn. Lời giải
Gọi A là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn”, suy ra A là biến cố “Số cuốn
sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn”= “Thầy X đã lấy hết số sách của một môn học”.
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) 8 = C15 = 6435 n( A) 4 4 5 3 6 2
= C .C + C .C + C .C = 486 ⇒ P ( A) 54 =
⇒ P ( A) = 1− P ( A) 661 = . 4 11 5 10 6 9 715 715
Câu 23. Một tổ có 9 học sinh nam và 3học sinh nữ. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người để làm 3
nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ. Lời giải Không gian mẫu 4 4 C C .1= 34650 12 8 .
Gọi A là biến cố “Chia mỗi nhóm có đúng một nữ và ba nam”
Số cách phân chia cho nhóm 1 là 1 3 C C = 252 3 9 (cách).
Khi đó còn lại 2nữ 6 nam nên số cách phân chia cho nhóm 2 có 1 3 C C = 40 2 6 (cách).
Cuối cùng còn lại bốn người thuộc về nhóm 3 nên có 1 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có số kết quả thuận lợi n( A) = 252.40.1 =10080 (cách).
Vậy xác suất cần tìm là P( A) 10080 16 = = . 34650 55
Câu 24. Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là Lời giải Ta có: n(Ω) =10!.
Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10.
Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế
đánh số 1, 4, 7 , 10. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là 6!.4! cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở
ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 2 + 2.2 = 6. Page 16
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 6.3!.5!.
Gọi A: “ Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”. n A
n( A) = 4!.6!− 6.3!.5!=12960 ⇒ P( A) ( ) 12960 1 = = = . n(Ω) 10! 280
Vậy xác suất cần tìm là 1 . 280
DẠNG 5: QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 2 BÀI TẬP.
Câu 1. Cho hai biến cố A và B với P( A) = 0,3; P(B) = 0,4 và P( AB) = 0,2.Hỏi hai biến cố A và B có: a) Xung khắc không?
b) Độc lập với nhau không? Lời giải
a)Vì P( AB) = 0,2 ≠ 0 nên hai biến cố A và B không xung khắc.
b) Ta có P( A).P(B) = 0,12 ≠ 0,2 = P( AB) nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau.
Câu 2. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
(không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ. Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong 15 viên bi, số cách chọn n(Ω) 3 = 15 C = 455 .
Gọi A là biến cố " trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ". Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A:
Trường hợp 1: Lấy được 1 bi đỏ và 2 bi xanh, số cách lấy 1 2 C8C7
Trường hợp 2: Lấy được 2 bi đỏ và 1 bi xanh, số cách lấy 2 1 C8C7
Trường hợp 3: Lấy được 3 bi đều đỏ, số cách lấy 3 C8
Số trường hợp thuận lợi cho A, n(A) 1 2 2 1 3 = C8C7 + C8C7 + C8 = 420 Vậy ( ) n(A) 420 12 P A = = = . n(Ω) 455 13
Cách 2: Gọi biến cố A "Cả 3 bi lấy ra đều không có đỏ", nghĩa là ba bi lấy ra đều bi xanh n(A) 3
= C7 = 35. Suy ra P( A) = − P( A) 35 12 1 = 1− = 455 13 Page 17
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 3. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không
cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :
a). Khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
b). Khi gieo 2 lần thì 2 lần cả hai đồng xu đều lật ngửa. Lời giải
a). Gọi X là biến cố " Đồng xu A xuất hiện mặt ngửa ".
Gọi Y là biến cố " Đồng xu B xuất hiện mặt ngửa ".
Vì đồng xu A chế tạo cân đối nên ( ) 1 P X = . 2
Theo giả thuyết thì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu B gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa do đó ( ) 1 P Y = . 4
Biến cố cần tính cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là XY. Vì X, Y là hai biến cố độc lập nên ( ) = ( ) ( ) 1 1 1 P XY P X .P Y = . = . 2 4 8
b). Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là 1 . Suy ra xác suất khi gieo hai 8 2
lần thì cả hai lần hai đồng xu đều ngửa là  1  1 =   .  8  64
Câu 4. Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a). Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm".
b). Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm".
c). Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm".
d). Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm".
e). Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
f). Biến cố F " Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2". Lời giải
Không gian mẫu Ω = ({a;b) :1≤ a,b ≤ }
6 . Trong đó a là số chấm trên con đỏ, b là số chấm trên
con xanh. Như vậy không gian mẫu Ω có 36 phần tử⇒ n(Ω) = 36 . n A a). Ta có A 6 1 = (
{ 6,b):1≤ b ≤ }6⇒ n(A) = 6 . Vậy P(A) ( ) = = = . n(Ω) 36 6
b). Hoàn toàn tương tự câu a) có ( ) n(B) 6 1 P B = = = . n(Ω) 36 6
c). Ta có ∩ = { } ⇒ ( ∩ ) 1 A B 6,6 P A B = ⋅ 36 Page 18
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Do đó: P(C) = P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( A∩ B) 1 1 1 11 = + − = 6 6 36 36
d). Dễ thấy D chính là biến cố đối của C nên ( ) = − ( ) 11 25 P D 1 P C = 1 − = ⋅ 36 36
e). Các trường hợp thuận lợi của biến cố E : ({ n E 2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)} 5 ⇒ n(E) = 5 . Vậy P(E) ( ) = = . n(Ω) 36 f). Ta có
F = ({a,b) :1≤ a,b ≤ 6, a − b = }
2 = ({1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)} n F Vậy n(F) = 8 ⇒ ( ) ( ) 8 2 P F = = = ⋅ n(Ω) 36 9
Câu 5. An và Bình học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn toán trong
kỳ thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88.
a) Tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi.
b) Tính xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi.
c) Tính xác suất để có ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi. Lời giải
a) Gọi A là biến cố “An đạt điểm giỏi về môn toán”
Gọi B là biến cố “Bình đạt điểm giỏi về môn toán”
Vì hai biến cố độc lập nhau nên P( AB) = 0,92.0,88 = 0,8096
b) Xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi: P( AB) = 0,08.0,12 = 0,0096 .
c) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi.
P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0,92 + 0,88− 0,8096 = 0,9904
Câu 6. Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P( A) = 0,4 , P(B) = 0,3. Khi đó P( AB) bằng Lời giải
Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên P( AB) = P( A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12 .
Câu 7. Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài
tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Lời giải
Số cách chọn 4 học sinh lên bảng: n(Ω) 4 = C . 35
Số cách chọn 4 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ: 4 4 C + C . 20 15 4 4
Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ: C + C 4615 20 15 1− = . 4 C 5236 35 Page 19
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 8. Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính
xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. Lời giải
Ta có: Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) 1 1 = C .C . 10 9
Gọi A là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh”.
- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có 1 1
C .C cách chọn 6 4
- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có 1 1
C .C cách chọn 4 3 n( A) 1 1 1 1
= C .C + C .C . 6 4 4 3 n A 24 +12 2 Vậy P( A) ( ) = = = . n(Ω) 10.9 5
Câu 9. Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng Lời giải
Cách 1. Rút ra hai thẻ tùy ý từ 9 thẻ nên có n(Ω) 2 = C = 36 . 9
Gọi A là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn” Suy ra n( A) 2 2
= C − C = 26 . 9 5
Xác suất của A là P( A) 26 = 13 = . 36 18
Cách 2. Rút ra hai thẻ tùy ý từ 9 thẻ nên có n(Ω) 2 = C = 36 . 9
Gọi A là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”
TH1: 1 thẻ đánh số lẻ, 1 thẻ đánh số chẵn có 1 1 C .C = 20 . 4 5
TH2: 2 thẻ đánh số chẵn có 2 C = 6 . 4
Suy ra n( A) = 26 .
Xác suất của A là P( A) 26 = 13 = . 36 18
Câu 10. Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng Lời giải
Cách 1. Rút ra hai thẻ tùy ý từ 9 thẻ nên có n(Ω) 2 = C = 36 . 9
Gọi A là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn” Suy ra n( A) 2 2
= C − C = 26 . 9 5 Page 20
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Xác suất của A là P( A) 26 = 13 = . 36 18
Cách 2. Rút ra hai thẻ tùy ý từ 9 thẻ nên có n(Ω) 2 = C = 36 . 9
Gọi A là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”
TH1: 1 thẻ đánh số lẻ, 1 thẻ đánh số chẵn có 1 1 C .C = 20 . 4 5
TH2: 2 thẻ đánh số chẵn có 2 C = 6 . 4
Suy ra n( A) = 26 .
Xác suất của A là P( A) 26 = 13 = . 36 18
Câu 11. Một lớp có 35 đoàn viên trong đó có 15nam và 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp
để tham dự hội trại 26 tháng 3. Tính xác suất để trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam và nữ. Lời giải
Số kết quả có thể xảy ra 3 Ω = C . 35
Gọi A là biến cố “trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam và nữ”. Ω Ta có: 2 1 1 2
Ω = C C + C C Vậy: P( A) A 90 = = .. A . 15 20 15 20 Ω 119
Câu 12. Trong tủ đồ chơi của bạn An có 5 con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy
ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt. Lời giải
Trường hợp 1: Bạn An chỉ lấy 1 con thú bông ⇒ có 5 cách.
Trường hợp 2: Bạn An lấy 2 con thú bông ⇒ có 2 C cách. 5
Trường hợp 3: Bạn An lấy 3 con thú bông ⇒ có 3 C cách. 5
Trường hợp 4: Bạn An lấy 4 con thú bông ⇒ có 4 C cách. 5
Trường hợp 5: Bạn An lấy cả 5 con thú bông ⇒ có 5 C cách. 5
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 2 3 4 5
= 5 + C + C + C + C = 31. 5 5 5 5
Gọi A là biến cố: “trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt”
Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n( A) 2 3 4
= 4 + C + C + C =15 4 4 4 n A
Vậy xác suất cần tìm là P( A) ( ) 15 = = . n(Ω) 31 Page 21
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 13. Việt và Nam chơi cờ. Trong một ván cờ, xác suất Việt thắng Nam là 0,3 và Nam thắng Việt là
0,4 . Hai bạn dừng chơi khi có người thắng, người thua. Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ. Lời giải
Ván 1: Xác suất Việt và Nam hòa là 1− (0,3+ 0,4) = 0,3 .
Ván 2: Xác suất Việt thắng hoặc thắng là 0,3+ 0,4 = 0,7 .
Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ là: P = 0,3.0,7 = 0,21.
Câu 14. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để
các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1. Lời giải
Số phần tử của S bằng 5 9.10 .
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số từ S , ta được n(Ω) 5 = 9.10 .
Gọi A là biến cố “ Chọn được số có các chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và
1”. Ta có các trường hợp sau.
Giả sử số chọn được có dạng: a a ...a 1 2 6
Trường hợp 1: a = 1. 1
Số cách chọn vị trí cho số 0 là 5 cách.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là 4 A cách. 8
Vậy trường hợp này có 4 1.5.A số. 8
Trường hợp 2: a ≠ 1 ⇒ a có 8 cách chọn. 1 1
Số cách chọn vị trí cho hai chữ số 0;1 là 2 A . 5
Số cách chọn ba số còn lại là 3 A . 7
Vậy trường hợp này có 2 3 8.A .A số. 5 7 4 2 3 + Suy ra
5.A 8.A .A 8 5 7 7 P = = . A 5 9.10 150
Câu 15. Kết quả ( ,
b c) của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm
xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai 2
x + bx + c = 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm: Lời giải
Gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, số phần tử không gian mẫu là 36.
Ta có: b là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai nên
b ∈[1;6] và c ∈[1;6] với b , c∈ . Page 22
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Phương trình 2
x + bx + c = 0 vô nghiệm khi ∆ < 0 2
⇔ b − 4c < 0 2 ⇔ b < 4c .
Với b = 1 có 6 trường hợp xảy ra.
Với b = 2 có 5 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c = 1).
Với b = 3 có 4 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c ≤ 2 ).
Với b = 4 có 2 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c ≤ 4 )
Do đó có tổng cộng 17 khả năng có thể xảy ra để phương trình vô nghiệm.
Vậy xác suất để phương trình vô nghiệm là: 17 P = . 36
Câu 16. Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó
chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) 10 = C . 30
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.
Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 C cách. 15
Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có 1 C cách. 3
Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10, có 4 C . 12 5 1 4
Vậy P( A) C .C .C 99 15 3 12 = = . 10 C 667 30
Câu 17. Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương
án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm. Lời giải
Vì mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm nên để đạt được 6 điểm cần trả lời đúng 30 câu.
Do mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng nên xác suất trả lời đúng
một câu hỏi là 1 và xác suất trả lời sai một câu hỏi là 3 . 4 4
Vậy xác suất thí sinh đạt được 6 điểm là 30 20 20 0,25 .0,75 C . 50
Câu 18. An và Bình cùng tham gia kì thi THPTQG năm 2018 , ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh
bắt buộc thì An và Bình đều đăng kí thi them đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật lí,
Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc
nghiệm có 8 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất
để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề. Lời giải
Gọi A là biến cố: “An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề”.
Số khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là 2 2 C .8 . 3
Số khả năng Bình chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là 2 2 C .8 . 3 Page 23
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 2 2 2 2 = C .8 .C .8 . 3 3
Bây giờ ta đếm số khả năng để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề:
Số khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là 2 2 C .8 . 3
Sau khi An chọn thì Bình có 2 cách chọn 2 môn thi tự chọn để có đúng một môn thi tự chọn
với An, để chung mã đề với An thì số cách chọn mã đề 2 môn thi của Bình là 1.8 = 8 cách. Như
vậy, số cách chọn môn thi và mã đề thi của Bình là 2.8 . Do đó: n( A) 2 2 = C .8 .2.8 . 3 n A 2 2 Bởi vậy: C .8 .2.8 P( A) ( ) 1 = 3 = = . n(Ω) 2 2 2 2 C .8 .C .8 12 3 3
Câu 19. Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất
bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 và 1 . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ 2 3
thủ không bắn trúng bia. Lời giải
Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ A và B lần lượt là P( A) 1 = , P(B) 1 = . 2 3
Suy ra xác suất bắn trượt bia của xạ thủ A và B lần lượt là P( A) 1 = , P(B) 2 = . 2 3
Gọi H là biến cố “có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia”.
Khi đó P(H ) = P( AB ∪ AB ∪ AB) = P( A).P(B) + P( A).P(B) + P( A).P(B) 5 = . 6 Page 24
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
Câu 1: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n(Ω) là bao nhiêu? A. 4. B. 6 . C. 8. D. 16.
Câu 2: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là: A. 2. B. 4. C. 5. D. 6 .
Câu 3: Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố: A. 4. B. 8. C. 12. D. 16.
Câu 4: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: A. 0,2 . B. 0,3. C. 0,4 . D. 0,5.
Câu 5: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là: A. 1 . B. 1 . C. 12 . D. 3 . 13 4 13 4
Câu 6: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá là: A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 13 169 13 4
Câu 7: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách hay lá rô là: A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 17 . 52 13 13 52
Câu 8: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách hay lá già hay lá đầm là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 2197 64 13 13
Câu 9: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 11 là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 18 6 8 25
Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 4, 6 , 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2 3 4 6
Câu 11: Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) là? Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 8 .
Câu 12: Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? A. 6 . B. 12. C. 18. D. 36.
Câu 13: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bích là 1 1 12 3 A. . B. . C. . D. . 13 4 13 4
Câu 14: Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 50 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 1 sản
phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là: A. 0,94. B. 0,96. C. 0,95. D. 0,97 .
Câu 15: Cho A và A là hai biến cố đối nhau. Chọn câu đúng.
A. P( A) =1+ P( A) . B. P( A) = P( A).
C. P( A) =1− P( A) . D. P( A)+ P(A) = 0 .
Câu 16: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Gọi A là biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”. Xác
suất của biến cố A là
A. P( A) 1 = .
B. P( A) 3 = .
C. P( A) 7 = .
D. P( A) 1 = . 2 8 8 4
Câu 17: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 2 quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu
nhiên 3 quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là sách Toán. A. 2 . B. 1 . C. 37 . D. 5 . 7 21 42 42
Câu 18: Gieo một con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 172 18 20 216
Câu 19: Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất
chọn được một học sinh nữ. A. 1 . B. 10 . C. 9 . D. 19 . 38 19 19 9
Câu 20: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn có đúng một người nữ. A. 1 . B. 7 . C. 8 . D. 1. 15 15 15 5
Câu 21: Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:
A. {NN, NS,SN,SS} B. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS}.
C. {NNN,SSS, NNS,SSN, NSN,SNS, NSS,SNN}.
D. {NNN,SSS, NNS,SSN, NSS,SNN}.
Câu 22: Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là: A. 24 . B. 12. C. 6 . D. 8 . Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 23: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là: A. 2 . B. 4 . C. 5. D. 6 .
Câu 24: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: A. 0,2 . B. 0,3. C. 0,4 . D. 0,5.
Câu 25: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá J là: A. 1 3 . B. 1 . C. 1 . D. . 52 169 13 4
Câu 26: Gieo một con súc sắc 3 lần. Xác suất để được mặt số sáu xuất hiện cả 3 lần là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 172 18 20 216
Câu 27: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 10 là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 12 6 8 25
Câu 28: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 7 là: A. 1 . B. 7 . C. 1 . D. 1 . 2 12 6 3
Câu 29: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 1 chấm xuất hiện: A. 1 . B. 5 . C. 1 . D. 1 . 6 6 2 3
Câu 30: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là: A. 5 . B. 1 . C. 1 . D. 1. 36 6 2
Câu 31: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3. A. 1 . B. 3. C. 2 . D. 1 . 10 5 5 15
Câu 32: Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến
hành bắt tay giao lưu với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học
sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần. A. 405. B. 435. C. 30. D. 45.
Câu 33: Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần
lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào
không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều
có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. A. 5 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . 6 6 3 2
Câu 34: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 6 . 16 16 16 16
Câu 35: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là? Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 12 . B. 11 . C. 6 . D. 8 . 36 36 36 36
Câu 36: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tổng hai mặt bằng 8. A. 1 . B. 5 . C. 1. D. 1 . 6 36 9 2
Câu 37: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi
gieo xúc xắc là một số chẵn. A. 0,25. B. 0,5. C. 0,75. D. 0,85.
Câu 38: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là? A. 12 . B. 1 . C. 6 . D. 3 . 216 216 216 216
Câu 39: Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4
người được chọn có ít nhất 3 nữ. A. 70 . B. 73 . C. 56 . D. 87 . 143 143 143 143
Câu 40: Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, tính xác
suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5. A. 8 . B. 7 . C. 2. D. 3. 15 15 5 5
Câu 41: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3
tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. A. 560 . B. 4 . C. 11. D. 3639 . 4199 15 15 4199
Câu 42: Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp,
tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. A. 313 . B. 95 . C. 5 . D. 25 . 408 408 102 136
Câu 43: Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn có
cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là: A. 60 . B. 238 . C. 210 . D. 82 . 143 429 429 143
Câu 44: Một đoàn đại biểu gồm 5 người được chọn ra từ một tổ gồm 8 nam và 7 nữ để tham dự hội nghị.
Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ là A. 56 . B. 140 . C. 1 . D. 28 . 143 429 143 715
Câu 45: Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 50 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 1
sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là: A. 0,94. B. 0,96. C. 0,95. D. 0,97 .
Câu 46: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu là: Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 14 . B. 45 . C. 46 . D. 15 . 45 91 91 22
Câu 47: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 6 . 16 16 16 16
Câu 48: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai
con súc sắc bằng 6 ” là A. 5 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 6 36 36 36
Câu 49: Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Xác suất của biến cố “Tổng
các số trên ba tấm bìa bằng 8” là A. 1. B. 1 . C. 1 . D. 3 . 4 2 4
Câu 50: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Xác suất để hai chiếc
chọn được tạo thành một đôi là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . 7 14 7 28
Câu 51: Một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất
để lấy được cả hai quả trắng là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 10 10 10 10
Câu 52: Một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng. A. 1 . B. 1 . C. 209 . D. 8 . 21 210 210 105
Câu 53: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính
xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh. A. 1 . B. 1. C. 16 . D. 1 . 12 3 33 2
Câu 54: Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa
huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa
được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly. A. 3851. B. 1 . C. 36 . D. 994 . 4845 71 71 4845
Câu 55: Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học
sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để
trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12. A. 57 . B. 24 . C. 27 . D. 229 . 286 143 143 286
Câu 56: Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu
trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu. Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 2808. B. 185 . C. 24 . D. 4507 . 7315 209 209 7315
Câu 57: Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong
hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của
hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu. A. 14 . B. 48. C. 47 . D. 81. 95 95 95 95
Câu 58: Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ
1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ
1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số. A. 8 . B. 14 . C. 29 . D. 37 . 33 33 66 66
Câu 59: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá át ( A) hay lá già (K ) hay lá đầm (Q) là A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 2197 64 13 13
Câu 60: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bồi ( J ) màu đỏ hay lá 5 là A. 1 . B. 3 . C. 3 . D. 1 . 13 26 13 238
Câu 61: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp,
tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu. A. 810 . B. 191 . C. 4 . D. 17 . 1001 1001 21 21
Câu 62: Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp,
tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3. A. 816 . B. 409 . C. 289 . D. 936 . 1225 1225 1225 1225
Câu 63: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4 }
; 5 . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập
thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có
chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A. 1. B. 23. C. 2 . D. 4 . 5 25 25 5
Câu 64: Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; }
8 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số
được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. A. 1. B. 3 . C. 17 . D. 18 . 5 35 35 35
Câu 65: Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người để làm
3 nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ. A. 16 . B. 8 . C. 292 . D. 292 . 55 55 1080 34650 Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 66: Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác
suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ. A. 11 . B. 110 . C. 46 . D. 251. 7 570 57 285
Câu 67: Một tổ gồm 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3
học sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng: A. 17 . B. 5 . C. 25 . D. 10 . 42 42 42 21
Câu 68: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 2 3 3
Câu 69: Trong một hộp có 10 viên bi đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai
bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ. A. 1 B. 4 C. 1 D. 2 2 9 9 9
Câu 70: Lớp 11B có 25 đoàn viên, trong đó có 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong
lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng 3. Tính xác suất để 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ. A. 7 . B. 27 . C. 3 . D. 9 . 920 92 115 92
Câu 71: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 và 1 . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không 2 3 bắn trúng bia. A. 1 . B. 5 . C. 1 . D. 2 . 3 6 2 3
Câu 72: Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất 2 bi được chọn có đủ hai màu là A. 5 . B. 5 . C. 2 . D. 1 . 324 9 9 18
Câu 73: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả. A. 1 . B. 2 . C. 7 . D. 8 . 15 15 15 15
Câu 74: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn
có đúng một người nữ. A. 1 . B. 2 . C. 7 . D. 8 . 15 15 15 15
Câu 75: Một bình chứa 16 viên bi với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ. A. 1 . B. 9 . C. 1 . D. 143 . 560 40 28 280 Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 76: Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 7 là: A. 2 . B. 1 . C. 7 . D. 5 . 9 6 36 36
Câu 77: Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là: A. 12 . B. 11 . C. 6 . D. 8 . 36 36 36 36
Câu 78: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy
được cả hai quả trắng là: A. 9 . B. 12 . C. 10 . D. 6 . 30 30 30 30
Câu 79: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá 10 hay lá át là A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . 13 169 13 4
Câu 80: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá át hay lá rô là A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 17 . 52 13 13 52
Câu 81: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4 }
; 5 . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số,
các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một
số từ S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10. A. 1 . B. 3 . C. 22 . D. 2 . 30 25 25 25
Câu 82: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S
. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau. A. 8 . B. 81. C. 36 . D. 53. 89 89 89 89
Câu 83: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính
xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. A. 49 . B. 5 . C. 1 . D. 45. 54 54 7776 54
Câu 84: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội
của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng ,
A B, C và mỗi bảng
có 3đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau. A. 3 . B. 19 . C. 9 . D. 53. 56 28 28 56
Câu 85: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong
đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B , mỗi bảng gồm
4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2
bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu. A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . 7 7 7 7 Page 8
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 86: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu
trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là''Tốt'' nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung
bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên.
Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi ' Tốt ''. A. 941 . B. 2 . C. 4 . D. 625 . 1566 5 5 1566
Câu 87: Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên 3 phiếu
câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp
phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội dung giống nhau.
Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau. A. 3 B. 12 . C. 4 . D. 1213. 4 1225 7 1225
Câu 88: Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy.
Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11. A. 5 . B. 7 . C. 1 . D. 5 . 12 12 1728 72
Câu 89: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi
lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp
sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau. A. 653. B. 7 . C. 41. D. 14 . 660 660 55 55
Câu 90: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không có hai
học sinh nữ ngồi cạnh nhau. A. 37 . B. 5 . C. 5 . D. 1 . 42 42 1008 6
Câu 91: Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn
ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. A. 3 . B. 3 . C. 13. D. 1 . 4 16 16 4
Câu 92: Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để 3 người
cùng đến quầy thứ nhất. A. 10 . B. 3 . C. 4769 . D. 1792 . 13 13 6561 6561
Câu 93: Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3
người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào. A. 94 . B. 1 . C. 6 . D. 89 . 95 95 95 95
Câu 94: Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy
giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí
thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào. A. 64 . B. 1 . C. 1 . D. 255. 65 65 256 256 Page 9
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 95: Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc. Tính
xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi. A. 3 . 13 99 224 B. . C. . D. . 7 64 323 323
Câu 96: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc
phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt. Trong 14 điểm đó ta lấy 2
điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. A. 68. 23 8 83 B. . C. . D. . 91 91 91 91
Câu 97: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt 12
động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là
. Tính số học sinh nữ của lớp. 29 A. 16. B. 14. C. 13. D. 17.
Câu 98: Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiên
mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng. A. 4 . 3 1 2 B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 99: Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn
có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là 60 238 210 82 A. . B. . C. . D. . 143 429 429 143
Câu 100: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau.
Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy
nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để trong 4 lần thi
thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí. A. 253 . 899 4 26 B. . C. . D. . 1152 1152 7 35
Câu 101: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này
thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được
cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh
nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên. 30 C . 3 30 A . 3 30 C . 3 30 A . 3 50 ( )20 50 ( )20 50 ( )20 50 ( )20 A. . B. . C. . D. . 50 4 50 4 50 50
Câu 102: Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình 2
nguyện gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ bằng lần xác suất 4 5
người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên. A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Câu 103: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác
suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng: 100 115 1 118 A. . B. . C. . D. . 231 231 2 231 Page 10
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 104: Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là: A. 109 1 1 109 . B. . C. . D. . 30240 280 5040 60480 Câu 105: Ba bạn ,
A B,C viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;14] . Xác suất để ba số
được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A. 457 307 207 31 B. C. D. 1372 1372 1372 91
Câu 106: Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn
thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm
nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. A. 36 18 72 144 B. C. D. 385 385 385 385
Câu 107: Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả
8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi.
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 49 51 3 A. B. C. D. 256 256 256 16
Câu 108: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;.....; }
100 . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A , mỗi tập con
này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S . Xác suất
chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng A. 4 3 2 1 B. C. D. 645 645 1395 930
Câu 109: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C
thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. B. C. D. 630 126 105 42
Câu 110: Cho một đa giác đều n đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P là xác suất 45
sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết P =
. Số các ước nguyên dương của n là 62 A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
Câu 111: Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] . Xác
suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A. 1728 1079 23 1637 B. C. D. 4913 4913 68 4913
Câu 112: Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19] . Xác
suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng Page 11
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 1027 2539 2287 109 A. B. C. D. 6859 6859 6859 323
Câu 113: Lớp 11A có 40 học sinh trong đó có 12 học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và
13 học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt
điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là 0,5 . Số học sinh đạt điểm tổng
kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí là A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
Câu 114: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A = {0;1;2;3;...; } 9 . Chọn ngẫu
nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. A. 1 B. 1 C. 18 D. 4 5000 15000 10 5 4 3.10
Câu 115: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính
xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố 2045 409 409 409 A. . B. . C. . D. . 13608 90000 3402 11250
Câu 116: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
10 được thành lập từ hai chữ số 0 và 1. Lấy ngẫu
nhiên hai số trong S . Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng. 4473 2279 55 53 A. B. C. D. 8128 4064 96 96
Câu 117: Người ta dùng 18 cuốn sách gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa để làm
phần thưởng cho 9 học sinh ,
A B,C, D, E, F,G, H, I, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác
thể loại. Tính xác suất để 2 học sinh ,
A B nhận được phần thưởng giống nhau. A. 5 7 5 7 . B. . C. . D. . 9 9 18 18
Câu 118: Gọi S là tập hợp tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 5, luôn có mặt các
chữ số 2, 3, 4 và chúng đứng cạnh nhau. 1 1 4 3 A. . B. . C. . D. . 140 392 245 196
Câu 119: Trong thư viện có 3 quyển sách toán, 3quyển sách lý, 3 quyển sách hóa, 3 quyển sách sinh.
Biết các quyển sách cùng môn giống nhau, xếp 12 quyển sách trên lên giá thành một hàng sao
cho không có 3 quyển nào cùng môn đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp? A. 308664 . B. 16800. C. 369600 . D. 295176 .
Câu 120: Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và cầu thủ Neymar đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5người
để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, Neymar xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ
không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 35 105 70 105 Page 12
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT G ƠN VI
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT HƯ C
BÀI 4: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRÒ CHƠI ĐƠN GIẢN
BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
Câu 1: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n(Ω) là bao nhiêu? A. 4. B. 6 . C. 8. D. 16. Lời giải n(Ω) = 2.2.2 = 8 . .
Câu 2: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là: A. 2. B. 4. C. 5. D. 6 . Lời giải
Liệt kê ta có: A = {NS.SN}
Câu 3: Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố: A. 4. B. 8. C. 12. D. 16. Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có: Ω = {SS;SN; NS; NN}
Câu 4: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: A. 0,2 . B. 0,3. C. 0,4 . D. 0,5. Lời giải
Không gian mẫu: Ω = {1;2;3;4;5; } 6
Biến cố xuất hiện mặt chẵn: A = {2;4; } 6
Suy ra P( A) n( A) 1 = = . n(Ω) 2
Câu 5: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là: A. 1 . B. 1 . C. 12 . D. 3 . 13 4 13 4 Lời giải Page 1
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 52
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá bích: n( A) =13
Suy ra P( A) n( A) 13 1 = = = . n(Ω) 52 4
Câu 6: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá là: A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 13 169 13 4 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 52
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá QUY: n( A) = 4
Suy ra P( A) n( A) 4 1 = = = . n(Ω) 52 13
Câu 7: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách hay lá rô là: A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 17 . 52 13 13 52 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 52
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá ách hay lá rô: n( A) = 4 +12 =16
Suy ra P( A) n( A) 16 4 = = = . n(Ω) 52 13
Câu 8: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách hay lá già hay lá đầm là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 2197 64 13 13 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 52
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá ách hay lá già hay lá đầm: n( A) = 4 + 4 + 4 =12
Suy ra P( A) n( A) 12 3 = = = . n(Ω) 52 13
Câu 9: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 11 là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 18 6 8 25 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36 Page 2
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Biến cố tổng hai mặt là 11: A = (
{ 5;6);(6;5)} nên n(A) = 2.
Suy ra P( A) n( A) 2 1 = = = . n(Ω) 36 18
Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 4, 6 , 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2 3 4 6 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6
Biến cố số lấy được là số nguyên tố là: A = { }
2 nên n( A) =1.
Suy ra P( A) n( A) 1 = = . n(Ω) 6
Câu 11: Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) là? A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 8 . Lời giải n(Ω) = 2.2 = 4 . .
Câu 12: Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? A. 6 . B. 12. C. 18. D. 36. Lời giải n(Ω) = 6.6 = 36 . .
Câu 13: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bích là 1 1 12 3 A. . B. . C. . D. . 13 4 13 4 Lời giải
Bộ bài gồm có 13 lá bài bích. Vậy xác suất để lấy được lá bích là 1 C 13 1 13 P = = = . 1 C 52 4 52
Câu 14: Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 50 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 1 sản
phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là: A. 0,94. B. 0,96. C. 0,95. D. 0,97 . Lời giải
Gọi A là biến cố: “lấy được 1 sản phẩm tốt.“ - Không gian mẫu: 1 Ω = C = 1000 . 1000 - n( A) 1 = C = 950 . 950 n A ⇒ P( A) ( ) 950 = = = 0,95. Ω 1000 Page 3
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 15: Cho A và A là hai biến cố đối nhau. Chọn câu đúng.
A. P( A) =1+ P( A) . B. P( A) = P( A).
C. P( A) =1− P( A) . D. P( A)+ P(A) = 0 . Lời giải
Theo tính chất xác suất ta có P( A) =1− P( A)
Câu 16: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Gọi A là biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”. Xác
suất của biến cố A là
A. P( A) 1 = .
B. P( A) 3 = .
C. P( A) 7 = .
D. P( A) 1 = . 2 8 8 4 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: 3 Ω = 2 = 8 .
Số phần tử của không gian thuận lợi là: 3 Ω = − = A 2 1 7
Xác suất biến cố A là: P( A) 7 = . 8
Câu 17: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 2 quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu
nhiên 3 quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là sách Toán. A. 2 . B. 1 . C. 37 . D. 5 . 7 21 42 42 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: 3 Ω = C = 84 9 .
Số phần tử của không gian thuận lợi là: 3 Ω = C = A 4 4
Xác suất biến cố A là: P( A) 1 = . 21
Câu 18: Gieo một con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 172 18 20 216 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: 3 Ω = 6 = 216 .
Số phần tử của không gian thuận lợi là: Ω = . A 1
Xác suất biến cố A là: P( A) 1 = . 216
Câu 19: Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất
chọn được một học sinh nữ. Page 4
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 1 . B. 10 . C. 9 . D. 19 . 38 19 19 9 Lời giải.
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.” -Không gian mẫu: 1 Ω = C = 38. 38 - n( A) 1 = C =18. 18 n A => P( A) ( ) 18 9 = = = . Ω 38 19
Câu 20: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn có đúng một người nữ. A. 1 . B. 7 . C. 8 . D. 1. 15 15 15 5 Lời giải.
Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.” -Không gian mẫu: 2 Ω = C = 45. 10 - n( A) 1 1 = C .C = 21. 3 7 n A => P( A) ( ) 21 7 = = = . Ω 45 15
Câu 21: Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:
A. {NN, NS,SN,SS} B. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS}.
C. {NNN,SSS, NNS,SSN, NSN,SNS, NSS,SNN}.
D. {NNN,SSS, NNS,SSN, NSS,SNN}. Lời giải Liệt kê các phần tử.
Câu 22: Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là: A. 24 . B. 12. C. 6 . D. 8 . Lời giải
Mô tả không gian mẫu ta có: Ω = { 1
S ;S2;S3;S4;S5;S6; N1; N 2; N3; N 4; N5; N } 6 .
Câu 23: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là: Page 5
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 2 . B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải
Liệt kê ta có: A = {NS;SN}
Câu 24: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: A. 0,2 . B. 0,3. C. 0,4 . D. 0,5. Lời giải
Không gian mẫu: Ω = {1;2;3;4;5; } 6
Biến cố xuất hiện mặt chẵn: A = {2;4; } 6 n A Suy ra P( A) ( ) 1 = = . n(Ω) 2
Câu 25: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá J là: A. 1 3 . B. 1 . C. 1 . D. . 52 169 13 4 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 52
Số phần tử của biến cố xuất hiện lá J: n( A) = 4 n A Suy ra P( A) ( ) 4 1 = = = . n(Ω) 52 13
Câu 26: Gieo một con súc sắc 3 lần. Xác suất để được mặt số sáu xuất hiện cả 3 lần là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 172 18 20 216 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6.6.6 = 216
Số phần tử của biến cố xuất hiện mặt số sáu ba lần: n( A) =1 n A Suy ra P( A) ( ) 1 = = . n(Ω) 216
Câu 27: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 10 là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 12 6 8 25 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36
Biến cố tổng hai mặt là 11: A = (
{ 4;6);(6;4);(5;5)} nên n(A) = 3. Page 6
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT n A Suy ra P( A) ( ) 3 1 = = = . n(Ω) 36 12
Câu 28: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 7 là: A. 1 . B. 7 . C. 1 . D. 1 . 2 12 6 3 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36
Biến cố tổng hai mặt là 7 : A = (
{ 1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6; )1} nên n(A) = 6. n A Suy ra P( A) ( ) 6 1 = = = . n(Ω) 36 6
Câu 29: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 1 chấm xuất hiện: A. 1 . B. 5 . C. 1 . D. 1 . 6 6 2 3 Lời giải
Không gian mẫu: Ω = {1;2;3;4;5; } 6
Biến cố xuất hiện: A = { } 1 n A Suy ra P( A) ( ) 1 = = . n(Ω) 6
Câu 30: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là: A. 5 . B. 1 . C. 1 . D. 1. 36 6 2 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36
Biến cố xuất hiện hai lần như nhau: A = (
{ 1; )1;(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6)} n A Suy ra P( A) ( ) 6 1 = = = . n(Ω) 36 6
Câu 31: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3. A. 1 . B. 3. C. 2 . D. 1 . 10 5 5 15 Lời giải.
Số phần tử của S là 3 A = 60 . 5
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . Page 7
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 = C = 60. 60
Gọi A là biến cố ''Số được chọn chia hết cho 3 ''. Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ gồm ba chữ
số có tổng chia hết cho 3 là (1; 2; 3), (1; 2; 6) , (2; 3; 4) và (2; 4; 6) . Mỗi bộ ba chữ số này
ta lập được 3!= 6 số thuộc tập hợp S .
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = 6.4 = 24. Vậy P( A) 24 2 = = 60 5
Câu 32: Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến
hành bắt tay giao lưu với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học
sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần. A. 405. B. 435. C. 30. D. 45. Lời giải.
Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10lớp cử ra 30 học sinh.
Suy ra số lần bắt tay là 2 C . 30
Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 2 10.C . 3
Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau là 2 2
C −10.C = 405 . 30 3
Câu 33: Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần
lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào
không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều
có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. A. 5 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . 6 6 3 2 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 con tem trên 3 bì
thư. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 3!= 6 .
Gọi A là biến cố ' 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó ''. Thế
thì bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Trường hợp này có 1 cách duy nhất.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) =1. n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 1 = = n(Ω) . 6
Câu 34: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 6 . 16 16 16 16 Lời giải. Page 8
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 2.2.2.2 =16.
Gọi A là biến cố ''Cả bốn lần gieo xuất hiện mặt sấp ''  →n( A) =1.
Vậy xác suất cần tính P( A) 1 = . 16
Câu 35: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là? A. 12 . B. 11 . C. 6 . D. 8 . 36 36 36 36 Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6.6 = 36.
Gọi A là biến cố ''Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm ''. Để tìm số phần tử của biến cố A ,
ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A là ''Không xuất hiện mặt sáu chấm ' 
→n( A) = 5.5 = 25 
→n( A) = 36 − 25 =11.
Vậy xác suất cần tính P( A) 11 = . 36
Câu 36: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tổng hai mặt bằng 8. A. 1 . B. 5 . C. 1. D. 1 . 6 36 9 2 Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6.6 = 36.
Gọi A là biến cố ''Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng 8 ''.
Gọi số chấm trên mặt khi gieo lần một là x, số chấm trên mặt khi gieo lần hai là . y 1  ≤ x ≤ 6 Theo bài ra, ta có 1   ≤ y ≤ 6 ⇒ ( ; x y) = (
{ 2;6), (3;5), (4;4), (6;2), (5;3), (4;4)}. x + y =  8
Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là n( A) = 6.
Vậy xác suất cần tính P( A) 6 1 = = . 36 6
Câu 37: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi
gieo xúc xắc là một số chẵn. A. 0,25. B. 0,5. C. 0,75. D. 0,85. Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6.6 = 36.
Gọi A là biến cố ''Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn ''. Ta xét các trường hợp: Page 9
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
TH1. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện
phải là số chẵn. Khi đó có 3.3 = 9 cách gieo.
TH2. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm
xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có 3.3+ 3.3 =18 cách gieo.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là n( A) = 9 +18 = 27.
Vậy xác suất cần tìm tính P( A) 27 = = 0,75. 36
Câu 38: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là? A. 12 . B. 1 . C. 6 . D. 3 . 216 216 216 216 Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6.6.6 = 36.
Gọi A là biến cố ' Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau ''. Ta có các trường hợp thuận
lợi cho biến cố A là (1;1; )
1 , (2;2;2), (3;3;3),  ,(6;6;6).
Suy ra n( A) = 6.
Vậy xác suất cần tính P( A) 6 = . 216
Câu 39: Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4
người được chọn có ít nhất 3 nữ. A. 70 . B. 73 . C. 56 . D. 87 . 143 143 143 143 Lời giải.
Không gian mẫu là chọn tùy ý 4 người từ 13 người.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 4 = C = 715 13 .
Gọi A là biến cố ' 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ ' . Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có 3 1 C C 8 5 cách.
● TH2: Chọn cả 4 nữ, có 4 C8 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 1 4 = C C + C = 350 8 5 8 .
Vậy xác suất cần tính P( A) n( A) 350 70 = = = . n(Ω) 715 143
Câu 40: Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, tính xác
suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5. Page 10
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 8 . B. 7 . C. 2. D. 3. 15 15 5 5 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 3 = C10 .
Gọi A là biến cố ' 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho
5 ''. Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số 0 hoặc chữ số 5
. Ta đi tìm số phần tử của biến cố A , tức 3 thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số 0 và cũng không
có thẻ mang chữ số 5 là 3 C8 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 3 = C −C 10 8 . 3 3 Vậy xác suất cần tính −
P( A) n( A) C C 8 10 8 = = = n(Ω) . 3 C 15 10
Câu 41: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3
tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. A. 560 . B. 4 . C. 11. D. 3639 . 4199 15 15 4199 Lời giải.
Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là n(Ω) 8 = C20 .
Gọi A là biến cố ' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm
thẻ mang số chia hết cho 10 ' . Để tìm số phần tử của A ta làm như sau:
● Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 3 C10 cách.
● Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn, có 4 C8 cách.
● Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có 1 C2 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 4 1 = C .C .C 10 8 2 . 3 4 1
Vậy xác suất cần tính P( A) n( A) C .C .C 560 10 8 2 = = = . n(Ω) 8 C 4199 20
Câu 42: Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp,
tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. A. 313 . B. 95 . C. 5 . D. 25 . 408 408 102 136 Lời giải. Page 11
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số phần tử
của không gian mẫu là n(Ω) 5 = C = 8568 18 .
Gọi A là biến cố ' 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng ''. Ta có các trường
hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có 1 1 3 C .C .C 6 7 5 cách.
● TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có 2 2 1 C .C .C 6 7 5 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 3 2 2 1
= C .C .C + C .C .C =1995 6 7 5 6 7 5 .
Vậy xác suất cần tính P( A) n( A) 1995 95 = = = . n(Ω) 8568 408
Câu 43: Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn có
cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là: A. 60 . B. 238 . C. 210 . D. 82 . 143 429 429 143 Lời giải
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “ -Không gian mẫu: 5 Ω = C15 .
-Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: 4 1 C .C . 8 7
- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: 3 2 C .C . 8 7 => n( A) 4 1 3 2
= C .C + C .C =1666 8 7 8 7
=> P( A) n( A) 1666 238 = = = . 5 Ω C 429 15
Câu 44: Một đoàn đại biểu gồm 5 người được chọn ra từ một tổ gồm 8 nam và 7 nữ để tham dự hội nghị.
Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ là A. 56 . B. 140 . C. 1 . D. 28 . 143 429 143 715 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) 5 = C15 .
Gọi biến cố A : “Chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ” ⇒ n( A) 2 3 = C .C 7 8 .
Vậy xác suất cần tìm là: P( A) n( A) 56 = = . n(Ω) 143
Câu 45: Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 50 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 1
sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là: A. 0,94. B. 0,96. C. 0,95. D. 0,97 . Lời giải Page 12
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Gọi A là biến cố: “lấy được 1 sản phẩm tốt.” - Không gian mẫu: 1 Ω = C =1000 1000 . - n( A) 1 = C = 950 950 .
⇒ P(A) n(A) 950 = = = 0,95. Ω 1000
Câu 46: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu là: A. 14 . B. 45 . C. 46 . D. 15 . 45 91 91 22 Lời giải
Gọi A là biến cố: “chọn được 2 viên bi khác màu.” - Không gian mẫu: 2 Ω = C = 91 14 . - n( A) 1 1 = C .C = 45 5 9 .
⇒ P(A) n(A) 45 = = . Ω 91
Câu 47: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 6 . 16 16 16 16 Lời giải
Gọi A là biến cố: “cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp.” - Không gian mẫu: 4 2 =16 .
- n( A) =1.1.1.1 =1.
⇒ P( A) n( A) 1 = = . Ω 16
Câu 48: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai
con súc sắc bằng 6 ” là A. 5 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 6 36 36 36 Lời giải
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm của hai con súc sắc bằng 6 .” - Không gian mẫu: 2 6 = 36 .
- Ta có 1+ 5 = 6, 2 + 4 = 6, 3+ 3 = 6 , 4 + 2 = 6 , 5 +1 = 6. ⇒ n(A) = 5.
⇒ P(A) n(A) 5 = = . Ω 36
Câu 49: Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Xác suất của biến cố “Tổng
các số trên ba tấm bìa bằng 8” là A. 1. B. 1 . C. 1 . D. 3 . 4 2 4 Page 13
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải
Gọi A là biến cố: “Tổng số trên tấm bìa bằng 8.” -Không gian mẫu: 3 C = 4 4 . -Ta có 1+ 3+ 4 = 8. ⇒ n( A) =1.
⇒ P(A) n(A) 1 = = . Ω 4
Câu 50: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Xác suất để hai chiếc
chọn được tạo thành một đôi là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . 7 14 7 28 Lời giải
Gọi A là biến cố: “hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.” -Không gian mẫu: 2 C = 28 8 .
-Ta có chiếc giày thứ nhất có 8 cách chọn, chiếc giày thứ 2 có 1 cách chọn để cùng đôi với chiếc giày thứ nhất.
⇒ n( A) = 8.1= 8.
⇒ P( A) n( A) 8 2 = = = . Ω 28 7
Câu 51: Một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất
để lấy được cả hai quả trắng là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 10 10 10 10 Lời giải
Gọi A là biến cố: “lấy được cả hai quả trắng.” - Không gian mẫu: 2 C =10 5 . - n( A) 2 = C = 3 3 .
⇒ P( A) n( A) 3 = = . Ω 10
Câu 52: Một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng. A. 1 . B. 1 . C. 209 . D. 8 . 21 210 210 105 Lời giải
Gọi A là biến cố: “trong bốn quả được chọn có ít nhất 1 quả trắng.” - Không gian mẫu: 4 C = 210 10 .
- A là biến cố: “trong bốn quả được chọn không có 1 quả trắng nào.” Page 14
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT ⇒ n(A) 4 = C = 1. 4 n A ⇒ P(A) ( ) 1 = = . Ω 210
⇒ P( A) = − P(A) 1 209 1 = 1− = . 210 210
Câu 53: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính
xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh. A. 1 . B. 1. C. 16 . D. 1 . 12 3 33 2 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi. Suy ra số phần tử
của không gian mẫu là n(Ω) 4 = C = 495 12 .
Gọi A là biến cố ' 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt
bi xanh ' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● TH1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên có 1 3 C .C 5 4 cách.
● TH2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên có 2 2 C C 5 4 cách.
● TH3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên có 3 1 C .C 5 4 cách.
● TH4: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên có 2 1 1 C C C 5 3 4 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 3 2 2 3 1 2 1 1
= C .C + C C + C .C + C C C = 240 5 4 5 4 5 4 5 3 4 .
Vậy xác suất cần tính P( A) n( A) 240 16 = = = . n(Ω) 495 33
Câu 54: Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa
huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa
được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly. A. 3851. B. 1 . C. 36 . D. 994 . 4845 71 71 4845 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 7 = C =116280 21 .
Gọi A là biến cố ' 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly ' . Ta có các trường hợp thuận
lợi cho biến cố A là:
● TH1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có 1 1 5 C .C .C 8 7 6 cách.
● TH2: Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 2 hoa huệ nên có 2 2 3 C .C .C 8 7 6 cách. Page 15
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
● TH3: Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có 3 3 1 C .C .C 8 7 6 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 5 2 2 3 3 3 1
= C .C .C + C .C .C + C .C .C = 23856 8 7 6 8 7 6 8 7 6 .
Vậy xác suất cần tính P( A) n( A) 23856 994 = = = n(Ω) . 116280 4845
Câu 55: Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học
sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để
trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12. A. 57 . B. 24 . C. 27 . D. 229 . 286 143 143 286 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 3 = C = 286 13 .
Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 '
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có 1 1 1 C C C = 48 2 8 3 cách.
● TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có 1 2 C C = 6 2 3 cách.
● TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có 2 1 C C = 3 2 3 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = 48 + 6 + 3 = 57 .
Vậy xác suất cần tính P( A) n( A) 57 = = n(Ω) . 286
Câu 56: Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu
trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu. A. 2808. B. 185 . C. 24 . D. 4507 . 7315 209 209 7315 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4viên bi từ 22 viên bi đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 4 = C = 7315 22 .
Gọi A là biến cố ''Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu ' . Để tìm số phần
tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là lấy được 4 viên bi trong đó
không có hai viên bi nào cùng màu.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 1 1 = C C C C = 840. 7 6 5 4 Page 16
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = n(Ω) − n( A) = 6475 . n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 6475 185 = = = . n(Ω) 7315 209
Câu 57: Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong
hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của
hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu. A. 14 . B. 48. C. 47 . D. 81. 95 95 95 95 Lời giải.
Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 1 = C .C 20 19 .
Gọi A biến cố '' 2 quả cầu được lấy cùng màu ''. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
● TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.
Do đó trường hợp này có 1 1 C .C cách. 8 7
● TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.
Do đó trường hợp này có 1 1 C .C cách. 12 11
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 1 1
= C .C + C .C 8 7 12 11 . 1 1 1 1 n A
C .C + C .
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) C 47 8 7 12 11 = = = n(Ω) . 1 1 C .C 95 20 19
Câu 58: Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ
1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ
1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số. A. 8 . B. 14 . C. 29 . D. 37 . 33 33 66 66 Lời giải.
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 2 = C = 66 12 .
Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số ''.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 =16 cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 =12 cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 = 9 cách. Page 17
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) =16 +12 + 9 = 37 . n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 37 = = . n(Ω) 66
Câu 59: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá át ( A) hay lá già (K ) hay lá đầm (Q) là A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 2197 64 13 13 Lời giải
Trong bộ bài có bốn lá át ( A) , bốn lá già (K ) và bốn lá đầm (Q) nên xác suất để lấy được lá
át ( A) hay lá già (K ) hay lá đầm (Q) là 1 C 12 3 12 P = = = . 1 C 52 13 52
Câu 60: Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bồi ( J ) màu đỏ hay lá 5 là A. 1 . B. 3 . C. 3 . D. 1 . 13 26 13 238 Lời giải
Trong bộ bài có hai lá bồi ( J ) màu đỏ và bốn lá 5 nên xác suất để lấy được lá bồi (J ) màu 1 đỏ hay lá 5 là C 6 3 6 P = = = . 1 C 52 26 52
Câu 61: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp,
tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu. A. 810 . B. 191 . C. 4 . D. 17 . 1001 1001 21 21 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 1 4 viên bi. Suy ra số phần
tử của không gian mẫu là n(Ω) 6 = C = 3003 14 .
Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu''. Để tìm số phần tử của biến cố A ta
đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:
● TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu.
Do đó trường hợp này có 6 C =1 cách. 6
● TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có 6 C cách. 8
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có 6 6 C − C cách. 11 6
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có 6 6 C − C cách. 9 6 Page 18
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Do đó trường hợp này có 6 C + ( 6 6 C − C ) + ( 6 6
C − C = 572 cách. 8 11 6 9 6 )
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) =1+572 = 573.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = n(Ω) − n( A) = 3003−573 = 2430. n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 2430 810 = = = n(Ω) . 3003 1001
Câu 62: Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp,
tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3. A. 816 . B. 409 . C. 289 . D. 936 . 1225 1225 1225 1225 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 50 viên bi. Suy ra số phần
tử của không gian mẫu là n(Ω) 3 = C =19600 50 .
Gọi A là biến cố ''3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3 ''. Trong 50 viên bi được chia
thành ba loại gồm: 1 6 viên bi có số chia hết cho 3; 1 7 viên bi có số chia cho 3 dư 1 và 1 7
viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2 . Để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A , ta xét các trường hợp
● TH1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có ( 3 3 3
C + C + C cách. 16 17 17 )
● TH2: 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có 1 1 1
C .C .C cách. 16 17 17
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = ( 3 3 3
C + C + C ) 1 1 1
+ C .C .C = 6544 . 16 17 17 16 17 17 n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 6544 409 = = = n(Ω) . 19600 1225
Câu 63: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4 }
; 5 . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập
thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có
chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A. 1. B. 23. C. 2 . D. 4 . 5 25 25 5 Lời giải.
a,b,c ∈ A
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó a ≠ 0 .
a ≠ ;bb ≠ ;cc ≠  a Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ≠ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b ≠ a . Page 19
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c ≠ a và c ≠ b .
Do đó tập S có 5.5.4 =100 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 = C =100 100 .
Gọi X là biến cố ''Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu ''. Khi đó ta có các bộ số là
1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) = 8. n X
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) 8 2 = = = n(Ω) . 100 25
Câu 64: Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; }
8 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số
được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. A. 1. B. 3 . C. 17 . D. 18 . 5 35 35 35 Lời giải.
Số phần tử của tập S là 4 A = 840. 7
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 = C = 840. 840
Gọi X là biến cố ''Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ''.
● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là 2 C = 6 cách. 4
● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là 2 C = 3 cách. 3
● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một
hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 2 2 = C .C .4!= 432. 4 3 n X
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) 432 18 = = = n(Ω) . 840 35
Câu 65: Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người để làm
3 nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ. A. 16 . B. 8 . C. 292 . D. 292 . 55 55 1080 34650 Lời giải Không gian mẫu 4 4 C .C .1 = 34650 . 12 8 Page 20
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Chỉ có 3 nữ và chia mỗi nhóm có đúng 1 nữ và 3 nam.Nhóm 1 có 1 3 C .C = 252 cách. 3 9
Lúc đó còn lại 2 nữ, 6 nam, nhóm thứ 2 có 1 3
C .C = 40 cách chọn.Cuối cùng còn 4 người là 2 6 một nhóm: có 1 cách.
Theo quy tắc nhân thì có: 252.40.110080 cách. Vậy xác suất cần tìm là 10080 16 P   . 34650 55
Câu 66: Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác
suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ. A. 11 . B. 110 . C. 46 . D. 251. 7 570 57 285 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: 3 C =1140. 20
Gọi A là biến cố “chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ”
Vậy A là biến cố chọn được 3 đoàn viên đều là nam: 3 C = 220 . 12
Xác suất của biến cố A là: P( A) 220 = 11 = . 1140 57
Vậy xác suất cần tìm là: P( A) 11 = 1− 46 = . 57 57
Câu 67: Một tổ gồm 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3
học sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng: A. 17 . B. 5 . C. 25 . D. 10 . 42 42 42 21 Lời giải Có 3
C = 84 cách chọn 3 học sinh bất kì. 9
Chọn 3 học sinh mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ có các trường hợp + Có 3 học sinh nam: Có 3 C =10 cách chọn 5
+ Có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ: Có 2 1
C .C = 40 cách chọn 5 4 Xác suất cần tìm là 10 40 25 P + = = . 84 42
Câu 68: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 2 3 3 Lời giải
Ta có: Không gian mẫu Ω = {1,2,3,4,5, } 6 suy ra n(Ω) = 6
Gọi biến cố A : “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay A = {2;4; }
6 suy ra n( A) = 3
Từ đó suy ra p( A) n( A) 3 1 = = = n(Ω) 6 2 Page 21
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là 1 . 2
Câu 69: Trong một hộp có 10 viên bi đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai
bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ. A. 1 B. 4 C. 1 D. 2 2 9 9 9 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) 2 = C . 10
Gọi biến cố A : “Hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ”. n( A) 2 = C . 5 2
Vậy P( A) C 2 5 = = . 2 C 9 10
Câu 70: Lớp 11B có 25 đoàn viên, trong đó có 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong
lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng 3. Tính xác suất để 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ. A. 7 . B. 27 . C. 3 . D. 9 . 920 92 115 92 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) 3 = C . 25
Gọi A là biến cố “3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ”.
Số phần tử của A là n( A) 2 1 = C .C . 10 15 2 1 n A
Vậy xác xuất của biến cố A là: P( A) ( ) C .C 27 10 15 = = = . n(Ω) 3 C 92 25
Câu 71: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 và 1 . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không 2 3 bắn trúng bia. A. 1 . B. 5 . C. 1 . D. 2 . 3 6 2 3 Lời giải
Gọi A là biến cố: ‘‘ có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ’’.
Khi đó A là biến cố: ‘‘ cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia ’’. P( A ) 1 1 1 = . = ⇒ P( A) 1 5 = 1− = . 2 3 6 6 6
Câu 72: Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất 2 bi được chọn có đủ hai màu là A. 5 . B. 5 . C. 2 . D. 1 . 324 9 9 18 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) 2 = C = 36 . 9 Page 22
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT .
Gọi A : “hai bi được chọn có đủ hai màu ”. Ta có: n( A) 1 1 = C .C = 20 . 5 4 . n A Khi đó: P( A) ( ) 20 5 = = = . n(Ω) 36 9
Câu 73: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả. A. 1 . B. 2 . C. 7 . D. 8 . 15 15 15 15 Lời giải 2
n(Ω) = C = 45. 10
Gọi A : “ 2 người được chọn không có nữ” ⇔ A : “ 2 người được chọn đều là nam”. Ta có 2 n( )
A = C = 21. Vậy 21 7 P( ) A = = . 7 45 15
Câu 74: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn
có đúng một người nữ. A. 1 . B. 2 . C. 7 . D. 8 . 15 15 15 15 Lời giải 2
n(Ω) = C = 45. Gọi A : “ 2 người được chọn có đúng 1 nữ”. 10
Chọn 1 nữ có 3 cách, chọn 1 nam có 7 cách suy ra n( ) A = 7.3 = 21. Do đó 21 7 P( ) A = = . 45 15
Câu 75: [1D2-4.3-2] Một bình chứa 16 viên bi với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ. A. 1 . B. 9 . C. 1 . D. 143 . 560 40 28 280 Lời giải 3
n(Ω) = C = 560 . 16
Gọi A : “lấy được 3 viên bi khôngđỏ” ⇔ A : “ lấy được 3 viên bi trắng hoặc đen”
Có 7 + 6 =13 viên bi trắng hoặc đen. Ta có 3 n( ) A = C = 286 . 13 Vậy 286 143 P( ) A = = . 560 280
Câu 76: Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 7 là: A. 2 . B. 1 . C. 7 . D. 5 . 9 6 36 36 Page 23
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải
n(Ω) = 6.6 = 36 . Gọi A :”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 7 ”.
A = {(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)}. Do đó n( ) A = 6. Vậy 6 1 P( ) A = = . 36 6
Câu 77: [1D2-4.3-2] Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là: A. 12 . B. 11 . C. 6 . D. 8 . 36 36 36 36 Lời giải
n(Ω) = 6.6 = 36 . Gọi A :”ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.
Khi đó A :”không có lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”. Ta có n( ) A = 5.5 = 25 . Vậy 25 11 P( ) A =1− P( ) A =1− = . 36 36
Câu 78: [1D2-4.3-2] Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác
suất để lấy được cả hai quả trắng là: A. 9 . B. 12 . C. 10 . D. 6 . 30 30 30 30 Lời giải 2
n(Ω) = C =10 . Gọi A :”Lấy được hai quả màu trắng”. 5 Ta có 2 n( )
A = C = 3. Vậy 3 9 P( ) A = = . 3 10 30
Câu 79: [1D2-4.3-2] Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá 10 hay lá át là A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . 13 169 13 4 Lời giải
Trong bộ bài có bốn lá 10 và bốn lá át nên xác suất để lấy được lá 10 hay lá át là 1 C 8 2 8 P = = = . 1 C 52 13 52
Câu 80: [1D2-4.3-2] Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá át hay lá rô là A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 17 . 52 13 13 52 Lời giải
Trong bộ bài có ba lá át và 13 lá rô nên xác suất để lấy được lá át hay lá rô là 1 C 16 4 16 P = = = . 1 C 52 13 52 Page 24
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 81: [1D2-4.3-3] Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4 }
; 5 . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất
3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu
nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10. A. 1 . B. 3 . C. 22 . D. 2 . 30 25 25 25 Lời giải.
Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:
● Số các số thuộc S có 3 chữ số là 3 A . 5
● Số các số thuộc S có 4 chữ số là 4 A . 5
● Số các số thuộc S có 5 chữ số là 5 A . 5
Suy ra số phần tử của tập S là 3 4 5
A + A + A = 300. 5 5 5
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 = C = 300 300 .
Gọi X là biến cố ''Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 ''. Các tập con của A có tổng số
phần tử bằng 10 là A = 1; 2; 3; 4 A = 2; 3; 5 A = 1; 4; 5 1 { }, 2 { } , 3 { }.
● Từ A lập được các số thuộc 1 S là 4!.
● Từ A lập được các số thuộc 2 S là 3!.
● Từ A lập được các số thuộc 3 S là 3!.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) = 4!+ 3!+ 3!= 36. n X
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) 36 3 = = = n(Ω) . 300 25
Câu 82: [1D2-4.3-3] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số
từ tập hợp S . Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau. A. 8 . B. 81. C. 36 . D. 53. 89 89 89 89 Lời giải.
Số phần tử của tập S là 9.10 = 90 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 2 = C = 4005 90 .
Gọi X là biến cố ''Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau ''. Ta mô tả không gian của
biến cố X nhưu sau:
● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Page 25
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT ● Có 2
C cách chọn hai chữ số hàng chục. 9
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 2 =10.C = 360 9 . n X
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) 360 8 = = = n(Ω) . 4005 89
Câu 83: [1D2-4.3-3] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ S , tính xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. A. 49 . B. 5 . C. 1 . D. 45. 54 54 7776 54 Lời giải.
Số phần tử của tập S là 8 9.A . 9
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 8 = 9.A9 .
Gọi X là biến cố ''Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ ' .
Do số 0 luôn đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
● Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0 , có 1 C cách. 7
● Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có 2 A cách. 5
● Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ {2; 4; 6; }
8 sau đó xếp 6 số này vào
6 vị trí trống còn lại có 2 4 C .C .6! cách. 3 4
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 1 2 2 4
= C .A .C .C .6! 7 5 3 4 . 1 2 2 4 n X
C .A .C .C .6!
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) 5 7 5 3 4 = = = n(Ω) . 8 9.A 54 9
Câu 84: [1D2-4.3-2] Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước
ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng ,
A B, C và mỗi bảng có 3đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau. A. 3 . B. 19 . C. 9 . D. 53. 56 28 28 56 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 9 đội thành 3 bảng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 3 3 3 = C .C .C 9 6 3 .
Gọi X là biến cố '' 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau ''.
● Bước 1. Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có 3! cách. Page 26
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng ,
A B, C này có 2 2 2
C .C .C cách. 6 4 2
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 2 2 2
= 3!.C .C .C 6 4 2 . 2 2 2 n X 3!.C .C .
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) C 540 9 6 4 2 = = = = . n(Ω) 3 3 3 C .C .C 1680 28 9 6 3
Câu 85: [1D2-4.3-2] Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham
gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B , mỗi
bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác
suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu. A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . 7 7 7 7 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 người thành 2 bảng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 4 4 = C .C 8 4 .
Gọi X là biến cố '' 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu ''.
● Bước 1. Xếp 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu nên có 1 C cách. 2
● Bước 2. Xếp 6 bạn còn lại vào 2 bảng ,
A B cho đủ mỗi bảng là 4 bạn thì có 2 4 C .C cách. 6 4
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 1 2 4 = C .C .C 2 6 4 . 4 4 n X
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) C .C 3 8 4 = = = . n(Ω) 1 2 4 C .C .C 7 2 6 4
Câu 86: [1D2-4.3-3] Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu
dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là''Tốt '' nếu trong đề thi có cả ba câu
dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ
đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi ''Tốt''. A. 941 . B. 2 . C. 4 . D. 625 . 1566 5 5 1566 Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 5 = C =142506 30 .
Gọi A là biến cố ''Đề thi lấy ra là một đề thi ''Tốt'' ''.
Vì trong một đề thi ' Tốt ' có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn
2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A .
● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có 3 1 1 C C C đề. 15 10 5
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có 3 1 1 C C C đề. 15 10 5
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có 2 1 2 C C C đề. 15 10 5 Page 27
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 1 1 3 1 1 2 1 2
= C C C + C C C + C C C = 56875 15 10 5 15 10 5 15 10 5 . n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 56875 625 = = = . n(Ω) 142506 1566
Câu 87: [1D2-4.3-3] Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu
nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu
hỏi mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội
dung giống nhau. Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau. A. 3 B. 12 . C. 4 . D. 1213. 4 1225 7 1225 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( A) 3 = C50.
Gọi X là biến cố ''Thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau ''.
Để tìm số phần tử của X ta tìm số phần tử của biến cố X , lúc này cần chọn được 1 cặp trong 4
cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu trong 48 phiếu còn lại.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 1 1 = C .C . 4 48 n X
n(Ω) − n( X ) 3 1 1 Vậy xác suất cần tính − P( X ) ( ) C C .C 1213 50 4 48 = = = = n(Ω) n(Ω) . 3 C 1225 50
Câu 88: [1D2-4.3-3] Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành
một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11. A. 5 . B. 7 . C. 1 . D. 5 . 12 12 1728 72 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 9!.
Gọi A là biến cố ''Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 ''. Ta mô tả khả năng
thuận lợi của biến cố A như sau:
● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách.
● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học sinh lớp 12. Do đó có 3
A cách xếp 3 học sinh lớp 12. 7
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 = 6!.A7 . 3 n A 6!.
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) A 5 7 = = = n(Ω) . 9! 12 Page 28
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 89: [1D2-4.3-3] Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinh
nữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác
suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau. A. 653. B. 7 . C. 41. D. 14 . 660 660 55 55 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 12 học sinh thành một hàng ngang. Suy ra số phần tử
của không gian mẫu là n(Ω) =12!.
Gọi A là biến cố ''Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà 2 học sinh nữ không đứng
cạnh nhau ''. Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
● Đầu tiên xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang, có 8! cách.
● Sau đó xem 8 học sinh này như 8 vách ngăn nên có 9 vị trí để xếp 4 học sinh nữ thỏa yêu
cầu bài toán. Do đó có 4
A cách xếp 4 học sinh nữ. 9
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 4 = 8!.A9 . 4 n A 8!
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) A 14 9 = = = n(Ω) . 12! 55
Câu 90: [1D2-4.3-3] Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để
không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. A. 37 . B. 5 . C. 5 . D. 1 . 42 42 1008 6 Lời giải.
Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam, đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9.
Không gian mẫu là hoán vị 9 học sinh trên 9 ghế đánh dấu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 9!.
Gọi A là biến cố ''không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau''. Ta mô tả khả năng thuận lợi của
biến cố A như sau:
● Đầu tiên ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp.
● Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thế thì sẽ tạo ra 6 ô trống để ta xếp
4 học sinh nữ vào. Do đó có 4 A cách. 6
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 4 = 5!.A6 . 4 n A 5!.
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) A 5 6 = = = n(Ω) . 9! 42
Câu 91: [1D2-4.3-3] Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với
nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. Page 29
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 3 . B. 3 . C. 13. D. 1 . 4 16 16 4 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu. Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 4 4 cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 4 = 4 .
Gọi A là biến cố ''1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai ''. Để tìm số phần
tử của A , ta chia làm hai giai đoạn như sau:
● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên
toa đó 3 hành khách vừa chọn. Suy ra có 3 1 C .C cách. 4 4
● Giai đoạn thứ hai. Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách còn lại. Suy ra có 1 C cách. 3
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 1 1 = C .C .C 4 4 3 . 3 1 1 n A C .C .
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) C 48 3 4 4 3 = = = = . n(Ω) 4 4 4 4 16
Câu 92: [1D2-4.3-3] Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để
3 người cùng đến quầy thứ nhất. A. 10 . B. 3 . C. 4769 . D. 1792 . 13 13 6561 6561 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 người khách vào 3 quầy. Vì mỗi người khách có 3 cách chọn quầy nên có 8
3 khả năng xảy ra.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 8 = 3 .
Gọi A là biến cố ''Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai hoặc
ba' . Để tìm số phần tử của A , ta chia làm hai giai đoạn như sau:
● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 người khách trong 8 người khách và cho đến quầy thứ nhất, có 3 C cách. 8
● Giai đoạn thứ hai. Còn lại 5 người khách xếp vào 2 quầy. Mỗi người khách có 2 cách chọn quầy. Suy ra có 5 2 cách xếp.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 3 5 = C .2 8 . 3 5 n A C .2
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 1792 8 = = = n(Ω) . 8 3 6561
Câu 93: [1D2-4.3-3] Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu
nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào. Page 30
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT A. 94 . B. 1 . C. 6 . D. 89 . 95 95 95 95 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là n(Ω) 3 = C =1140 20 .
Gọi A là biến cố '' 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào ''. Để tìm số phần tử của A ,
ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 người được chọn luôn có 1 cặp vợ chồng.
● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có 1 C cách. 4
● Chọn thêm 1 người trong 18 người, có 1 C cách. 18
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 = C .C = 72 . 4 18
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) =1140 − 72 =1068. n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 1068 89 = = = . n(Ω) 1140 95
Câu 94: [1D2-4.3-3] Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp
đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng,
lớp phó và bí thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào. A. 64 . B. 1 . C. 1 . D. 255. 65 65 256 256 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là n(Ω) 3 = C = 9880 40 .
Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào''. Để tìm số phần tử
của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 học sinh được chọn luôn có 1 cặp anh em sinh đôi.
● Chọn 1 cặp em sinh đôi trong 4 cặp em sinh đôi, có 1 C4 cách.
● Chọn thêm 1 học sinh trong 38 học sinh, có 1 C38 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 = C .C =152 4 38 .
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = 9880 −152 = 9728 . n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 9728 64 = = = . n(Ω) 9880 65 Page 31
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 95: [1D2-4.3-3] Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên
4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi. A. 3 . 13 99 224 B. . C. . D. . 7 64 323 323 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 4 = C = 4845 20 .
Gọi A là biến cố ' 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi ' . Để tìm số phần tử của biến cố A , ta
đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 4 chiếc giày được chọn không có đôi nào.
● Số cách chọn 4 đôi giày từ 10 đôi giày là 4 C10 .
● Mỗi đôi chọn ra 1 chiếc, thế thì mỗi chiếc có 1 C (C2)4 1
2 cách chọn. Suy ra 4 chiếc có cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = C .(C )4 4 1 = 3360 10 2 .
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = 4845 −3360 =1485. n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 1485 99 = = = . n(Ω) 4845 323
Câu 96: [1D2-4.3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ
thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt. Trong 14
điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. A. 68. 23 8 83 B. . C. . D. . 91 91 91 91 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 2 = C = 91 14 .
Gọi A là biến cố ' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ ' . Để xảy ra biến cố A
thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư.
● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có 1 1 C C 2 4 cách.
● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có 1 1 C C 3 5 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 1 1 1 1 = C C + C C = 23 2 4 3 5 . n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 23 = = . n(Ω) 91 Page 32
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 97: [1D2-4.3-3] Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để 12
tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh 29 nữ của lớp. A. 16. B. 14. C. 13. D. 17. Lời giải.
Gọi số học sinh nữ của lớp là n ( * ,
n∈ n ≤ 28) .
Suy ra số học sinh nam là 30 − n .
Không gian mẫu là chọn bất kì 3 học sinh từ 30 học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 3 = C30.
Gọi A là biến cố ' Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ ' .
● Chọn 2 nam trong 30 − n nam, có 2 C30−n cách.
● Chọn 1 nữ trong n nữ, có 1 Cn cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 2 1 = C − C n. 30 n . 2 1 n A
Do đó xác suất của biến cố A là P( A) ( ) C − C n. 30 n = = . n(Ω) 3 C30 2 1
Theo giả thiết, ta có P( A) 12 C − C n. n 12 30 = ⇔ =  →n =14. 3 29 C 29 30
Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh.
Câu 98: [1D2-4.3-3] Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt lấy
ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng. A. 4 . 3 1 2 B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải.
Không gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 phiếu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) =10!.
Gọi A là biến cố ' Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng ' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của
biến cố A như sau: ● Người thứ ba có 1 C = 2 2
khả năng lấy được phiếu trúng thưởng.
● 9 người còn lại có số cách lấy phiếu là 9!.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = 2.9!. Page 33
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT n A
Vậy xác suất cần tính P( A) ( ) 2.9! 1 = = = n(Ω) . 10! 5
Câu 99: [1D2-4.3-3] Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn
được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là A. 60 238 210 82 . B. . C. . D. . 143 429 429 143 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: 5 Ω = C15 .
Số phần tử của không gian thuận lợi là: 4 1 3 2 Ω = C C + C C A 8 7 8 7
Xác suất biến cố A là: P( A) 238 = . 429
Câu 100: [1D2-4.3-4] Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn
khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một
phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để
trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí. 253 899 4 26 A. . B. . C. . D. . 1152 1152 7 35 Lời giải.
Không gian mẫu là số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi trong 4 lần thi của Nam.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 4 = 24 .
Gọi A là biến cố ' 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí' . Ta mô tả không
gian của biến cố A như sau:
● Trong 4 lần có 2 lần trùng vị trí, có 2 C4 cách.
● Giả sử lần thứ nhất có 24 cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ nhất có 1 cách
chọn chỗ ngồi. Hai lần còn lại thứ ba và thứ tư không trùng với các lần trước và cũng không
trùng nhau nên có 23.22 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) 2 = C .24.23.22 4 . 2 2 n A
Vậy xác suất cần tính P( A)
( ) C .24.23.22 C .23.22 253 4 4 = = = = . n(Ω) 4 3 24 24 1152
Câu 101: [1D2-4.3-4] Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh.
Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời
đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn
Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm
môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên. 30 C . 3 30 A . 3 30 C . 3 30 A . 3 50 ( )20 50 ( )20 50 ( )20 50 ( )20 A. . B. . C. . D. . 50 4 50 4 50 50 Page 34
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải.
Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 − x là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x − 0,1.(50 − x) = 4 ⇔ x = 30.
Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4
phương án trả lời nên có 50 4 khả năng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 50 = 4 .
Gọi X là biến cố ''Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu ''. Vì mỗi câu đúng có 1 phương
án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có 30
C . 3 khả năng thuận lợi cho biến 50 ( )20 cố X .
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 30 = C . 3 . 50 ( )20 30 n X C . 3 50 ( )20
Vậy xác suất cần tính P( X ) ( ) = = n(Ω) . 50 4
Câu 102: [1D2-4.3-4] Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh 2
niên tình nguyện gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ bằng lần xác 5
suất 4 người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên. A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải.
Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là n ( *
n ≥ 7,n∈ ) .
Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là n − 3 . 3 1
Xác suất để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ là C .C 3 n−3 . 4 Cn 4
Xác suất để lập đội TNTN có toàn nam là Cn−3 . 4 Cn 3 1 4
Theo giả thiết, ta có C .C − C n 2 n− 2 3 3 3 1 4 = . ⇔ C =  → = − C − n n . n 9. 4 4 3 3 C C n 5 n 5
Vậy cho đoàn có 9 đoàn viên.
Câu 103: [1D2-4.3-4] Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ.
Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng: A. 100 . B. 115 . C. 1 . D. 118 . 231 231 2 231 Lời giải Page 35
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 6 n(Ω) = C = 462 11
. Gọi A :”tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ”.
Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có 3 trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn có: 5 6.C = 6 5 cách.
Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn có: 3 3 C .C = 200 6 5 cách.
Trường hợp 2: Chọn được 5 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn có: 5 C .5 = 30 6 cách. 236 118 Do đó n( )
A = 6 + 200 + 30 = 236 . Vậy P( ) A = = . 462 231
Câu 104: [1D2-4.3-4] Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền
được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp
được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là: A. 109 1 1 109 . B. . C. . D. . 30240 280 5040 60480 Lời giải Ta có: n(Ω) =10!.
Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10.
Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế
đánh số 1, 4 , 7 , 10. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế
4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 2 + 2.2 = 6 .
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 6.3!.5!.
Gọi A: “ Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.
n( A) = 4!.6!− 6.3!.5!=12960 ⇒ P( A) n( A) 12960 1 = = = . n(Ω) 10! 280 1
Vậy xác suất cần tìm là . 280
Câu 105: [1D2-5.3-4] Ba bạn ,
A B,C viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;14] . Xác
suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 457 307 207 31 A. B. C. D. 1372 1372 1372 91 Lời giải Page 36
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Số phần tử không gian mẫu: 3 n(Ω) =14 .
Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn [1;14] có: 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số
chia hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:
TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có: 3 4
TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có: 3 5
TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có: 3 5
TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba
người viết lên bảng nên có: 4.5.5.3!
Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3” Ta có: 3 3 3
n(E) = 4 + 5 + 5 + 4.5.5.3!= 914 . 914 457
Vậy xác suất cần tính: P(E) = = 3 . 14 1372
Câu 106: [1D2-5.3-4] Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo
viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất
để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 36 18 72 144 A. B. C. D. 385 385 385 385 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là 3 3 3 3
n(Ω) = C .C .C .C = 369600 12 9 6 3
Gọi A là biến cố: “nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá”
Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có 4! cách.
Bước 2: xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi.
+ Chọn 1 nhóm để xếp 2 học sinh giỏi có 4 cách
+ Chọn 2 học sinh giỏi có 2 C5 cách
+ Xếp 3 học sinh giỏi còn lại có 3! cách
Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có 3!cách. ⇒ n( A) 2 = 4!.4.C .3!.3!= 34560 5 36
Vậy P( A) 34560 = = . 369600 385
Câu 107: [1D2-5.3-4] Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như
nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu
sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 49 51 3 A. B. C. D. 256 256 256 16 Page 37
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 8 = 2 = 256 .
Gọi A là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.
Rõ ràng nếu nhiều hơn 4 đồng xu ngửa thì biến cố A không xảy ra.
Để biến cố A xảy ra có các trường hợp sau:
TH1: Có nhiều nhất 1 đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là 1+ 8 = 9 . TH2: Có 2 đồng xu ngửa.
Hai đồng xu ngửa kề nhau: có 8 khả năng.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là 2 C −8 = 20 8 . TH3: Có 3 đồng xu ngửa.
Cả 3 đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.
Trong 3 đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có 8.4 = 32 kết quả.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là 3 C −8 − 32 =16 8 . TH4: Có 4 đồng xu ngửa.
Trường hợp này có 2 kết quả thỏa mãn biến cố A xảy ra.
Như vậy n( A) = 9 + 20 +16 + 2 = 47 . n( A) 47
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là P = = . n(Ω) 256
Câu 108: [1D2-5.3-4] Cho tập hợp A = {1;2;3;4;.....; }
100 . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A
, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S
. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng A. 4 3 2 1 B. C. D. 645 645 1395 930 Lời giải Cách 1: Gọi ba số lấy ra là { ; a ; b }
c không xếp vị trí và phân biệt.
a + b + c = 91
- Nếu a,b,c bất kì  , vậy có 2 C90 bộ nghiệm. *
a,b,c ∈ 
- Nếu a,b,c có hai số bằng nhau, giả sử a = b nên ta có 2a + c = 91. Vậy c phải là số lẻ suy ra
có 45 số c nên có 45 bộ số có tổng bằng 91 và có 2 số bằng nhau. Kết luận có ( 2 C − 3.45 : 6 = 645 n(Ω) 90 ) . Vậy = 645 .
Từ A = {1;2;3;4;.....; }
100 , ta có các bộ số sau {1;9;8 } 1 , {7;21; } 63 ,{13;26; } 52 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3
Vậy xác suất cần tính là . 645 Cách 2:
Tập con gồm 3 phần tử của S và có tổng bằng 91 Page 38
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT + Dạng {1;a; }
b , 1< a < b,a + b = 90 : có 43 tập. + Dạng {2;a; }
b , 2 < a < b,a + b = 89 : có 42 tập. + …
Do đó: Ω = S = (43+ 42) + (40 + 39) + (37 + 36) +...+ (4 + 3) +1= 645
Gọi N là biến cố "Chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân" Khi đó Ω = N { { 1;9; } 81 ;{7;21; } 63 ;{13;26; } 52 } . Ω Vậy N 3 P(T) = = . Ω 645
Câu 109: [1D2-5.4-4] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học
sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. B. C. D. 630 126 105 42 Lời giải n(Ω) =10!
Gọi H là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”
+ Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp
+ Giữa 5 học sinh lớp C và ở hai đầu có 6 khoảng trống
TH1: Xếp 5 học sinh của hai lớp A và B vào 4 khoảng trống ở giữa và 1 khoảng trống ở 1
đầu thì có 2.5! cách xếp
TH2: Xếp 5 học sinh vào 4 khoảng trống giữa 5 học sinh lớp C sao cho có đúng một khoảng
trống có 2 học sinh thuộc 2 lớp A, B thì có 2!.2.3.4! cách xếp.
Suy ra, n(H ) = ( + )! ⇒ p(H ) 11 5! 2.5! 2!.2.3.4 = . 630
Câu 110: [1D2-5.4-4] Cho một đa giác đều n đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P 45
là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết P =
. Số các ước nguyên dương 62 của n là A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 Lời giải
Do n là số lẻ nên ta đặt n = 2k +1 (k ∈)
Số phần tử không gian mẫu: n( A) 3 = C2k 1+
Gọi A: “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù” Page 39
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Giả sử tam giác ABC có   , A B nhọn và  C tù
Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh A có 2k +1 cách
Khi đó còn lại 2k đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm 2 , mỗi bên là k đỉnh
Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại phải được chọn từ k đỉnh cùng thuộc một phía so
với điểm đã chọn do đó có 2 2 C + k Ck cách chọn
Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại 2 lần nên ( 2 2 C + C k k k ) ( 2 + ) n( A) 1 2 = = C k k ( 2 + ) 1 2! 2 C k k 2 +1 45 Vậy P( A) ( ) = = 3 C k+ 62 2 1 k! 2k +1 ! ⇔ 62 ( k k − ) .(2 + ) ( ) 1 = 45 2 !.2! (2k − 2)!.3! k (k − ) 1 (2k + ) 1
(2k + )1(2k)(2k − )1 ⇔ 62. = 45. 2 6 3 2 3
⇔ 62k − 31k − 31k = 60k −15kk =16  1
⇔ k = − (L)  2 k = 0  (L)
Vậy n = 33 . Khi đó các ước nguyên dương của n là 1;11;3;33 .
Câu 111: [1D2-5.6-4] Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
[1;17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A. 1728 1079 23 1637 B. C. D. 4913 4913 68 4913 Lời giải Ta có n(Ω) 3 = 17 .
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] có 5 số chia hết cho 3 là {3;6;9;12;1 } 5 , có 6 số chia
cho 3 dư 1 là {1;4;7;10;13; }
16 , có 6 số chia cho 3 dư 2 là {2;5;8;11;14; } 17 .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:
TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho3. Trong trường hợp này có: 3 5 cách viết.
TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 3 6 cách viết.
TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 3 6 cách viết.
TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia
cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 5.6.6.3! cách viết. Page 40
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 3 3 3 5 + 6 + 6 + 5.6.6.3! 1637
Vậy xác suất cần tìm là: p( A) = = 3 . 17 4913
Câu 112: [1D2-5.6-4] Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
[1;19] . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A. 1027 2539 2287 109 B. C. D. 6859 6859 6859 323 Lời giải Ta có n(Ω) 3 = 19 .
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [1;19] có 6 số chia hết cho 3 là {3;6;9;12;15;1 } 8 , có 7 số
chia cho 3 dư 1 là {1;4;7;10;13;16; }
19 , có 6 số chia cho 3 dư 2 là {2;5;8;11;14; } 17 .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:
TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3. Trong trường hợp này có: 3 6 cách viết.
TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 3 7 cách viết.
TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 3 6 cách viết.
TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia
cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết. 3 3 3 6 + 7 + 6 + 6.7.6.3! 2287
Vậy xác suất cần tìm là: p( A) = = 3 . 19 6859
Câu 113: [1D2-5.6-4] Lớp 11A có 40 học sinh trong đó có 12 học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học
loại giỏi và 13 học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh
của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là 0,5 . Số học sinh đạt
điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí là A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 Lời giải
Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Hóa học”.
B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Vật lí”.
A∪ B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi”.
A∩ B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí”.
Ta có: n( A∪ B) = 0,5.40 = 20 .
Mặt khác: n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( . A B) ⇒ n( .
A B) = n( A) + n(B) − n( A∪ B) =12 +13− 20 = 5 . Page 41
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 114: [1D2-5.6-4] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A = {0;1;2;3;...; } 9 .
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. A. 1 B. 1 C. 18 D. 4 5000 15000 10 5 4 3.10 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là số cách lập các số có 6 chữ số từ tập A , do đó 5 n = Ω 9.10 .
Gọi B là biến cố chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 2 3 3 7875 = 3 .5 .7 = 9.5 .7.1 .
Số phần tử của B là 2 3 1 3 1
C .C + C .C .C = 60 +120 =180 6 4 6 5 2 .
Suy ra xác suất P(B) 180 1 = = . 5 9.10 5000
Câu 115: [1D2-5.3-4] Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ
tập A . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố A. 2045 409 409 409 . B. . C. . D. . 13608 90000 3402 11250 Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng abcde =11k
Số cách chọn số có 5 chữ số từ tập số tự nhiên là n(Ω) 4 = 9.10
Gọi A là biến cố: chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố.
Do số có tận cùng là số nguyên tố nên e = {2;3;5; } 7
Suy ra k có tận cùng là 2 ; 3; 5; 7 .
Ta có số cần tìm có 5 chữ số nên 10010 ≤11k ≤ 99990 ⇔ 910 ≤11k ≤ 9090.
Xét các bộ số (910;911,...919) ; (920;921;...929) ;(9080;9081...9089) 9090 − 910 Số các bộ số là = 818 bộ. 10
mỗi bộ số sẽ có 4 số k thỏa mãn. Do đó n = = A 818.4 3272 3272 409
Xác suất của biến cố là P = = A 4 . 9.10 11250
Câu 116: [1D2-5.3-4] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
10 được thành lập từ hai chữ số 0 và
1. Lấy ngẫu nhiên hai số trong S . Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng. 4473 2279 55 53 A. B. C. D. 8128 4064 96 96 Lời giải
Có: a ≠ 0 a a ∈ 0;1 6 { } 1 ; 1,., .
Số phần tử của S là : 2 +1.2 +1.2.2 +1.2.2.2 +1.2.2.2.2 +1.2.2.2.2.2 = 64. Page 42
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Lấy ngẫu nhiên hai số trong S , có : 2 C64 .
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một số chia hết cho 3.
⇒ A là biến cố không lấy được số chia hết cho 3.
Ta xét xem trong 64 số của tập S có bao nhiêu số chia được cho 3:
+ TH1: Số có 1 chữ số a1 : có 2 số và hai số này đều không chia được cho 3.
+ TH1: Số có 2 chữ số a a a =1 2 2 1 2 với 1
: có số và số này đều không chia được cho 3.
+ TH2: Số có 3 chữ số a a a a =1 4 1 1 2 3 với 1
: có số và trong đó có số chia được cho 3.
+ TH3: Số có 4 chữ số a a a a a =1 1 2 3 4 với 1
: có 8 số và trong đó có 3 số chia được cho 3.
+ TH4: Số có 5 chữ số a a a a a a =1 1 2 3 4 5 với 1
: có 16 số và trong đó có 6 số chia được cho 3.
+ TH5: Số có 6 chữ số a a a a a a a =1 11 1 2 3 4 5 6 với 1
: có 32 số và trong đó có số chia được cho 3 .
Do đó có 21 số chia được cho 3 và có 43 số không chia được cho 3. Do đó: P( A) 2 C 43 43 = =
. Vậy P( A) = − P( A) 53 1 = . 2 C 96 96 64
Câu 117: [1D2-5.3-4] Người ta dùng 18 cuốn sách gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách
Hóa để làm phần thưởng cho 9 học sinh ,
A B,C, D, E, F,G, H, I, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn
sách khác thể loại. Tính xác suất để 2 học sinh ,
A B nhận được phần thưởng giống nhau. A. 5 7 5 7 . B. . C. . D. . 9 9 18 18 Lời giải
Chọn ra 7 học sinh nhận sách Toán. Có 7 C = 36 9
cách chọn. Hai bạn còn lại chắc chắn nhận được
một cuốn sách Lý và một cuốn sách Hóa. Vậy còn 4 cuốn sách Lý và 3 cuốn sách Hóa.
Trong 7 bạn nhận sách Toán, chọn ra 4 bạn nhận sách Lý. Có 4 C = 35 7 cách chọn. Ba bạn còn
lại chắc chắn nhận được 1 cuốn sách Toán và một cuốn sách Hóa. Như vậy có 36.35 =1260 cách
chia 18 cuốn sách cho 9 bạn theo yêu cầu đề bài.
Qua lập luận trên ta thấy có 4 bạn nhận được hai cuốn Toán và Lý, có 3 bạn nhận được hai cuốn
Toán và Hóa, có 2 bạn nhận được hai cuốn Lý và Hóa. Để hai bạn ,
A B nhận được phần thưởng như nhau, có các trường hợp sau: + Hai bạn ,
A B cùng nhận được hai cuốn sách là Toán và Lý: Còn 2 bạn nhận sách Toán và Lý. Có 2
C7 cách chọn thêm 2 bạn nhận sách Toán và Lý. Sau đó chọn ra 3 bạn nhận sách Toán và Hóa. Có 3 C 2 3 C .C = 210
5 cách chọn. Hai bạn còn lại nhận sách Lý và Hóa. Trường hợp này có 7 5 cách chọn. Page 43
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT + Hai bạn ,
A B cùng nhận được hai cuốn sách là Toán và Hóa: Cần chọn ra 4 bạn nhận sách
Toán và Lý và chọn ra 1 bạn nữa cùng với hai bạn ,
A B nhận sách Toán và Hóa, 2 bạn còn lại
nhận sách Lý và Hóa. Có 4 C 1 C
7 cách chọn 4 bạn nhận sách Toán và Lý, có 3 cách chọn thêm 1 bạn ngoài hai bạn ,
A B nhận sách Toán và Hóa, Hai bạn còn lại nhận sách Lý và Hóa. Trường hợp này có 4 1 C .C =105 7 3 cách chọn. + Hai bạn ,
A B cùng nhận được hai cuốn sách là Lý và Hóa: Cần chọn ra 4 bạn trong số 7 bạn
và chọn ra 3 bạn trong số 3 bạn còn lại trừ hai bạn ,
A B nhận sách Lý và Hóa và 4 bạn nhận sách
Toán và Lý). Trường hợp này có 4 3 C .C = 35 7 3 cách chọn.
Vậy có 210 +105 + 35 = 350 cách chia phần thưởng để hai bạn ,
A B có phần thưởng như nhau. 350 5 Suy ra xác suất là = . 1260 18 Cách 2:
- Giả sử chia thành x cặp Toán-Lý ; y cặp Lý-Hóa; z cặp Toán-Hóa, ta được hệ
x + y + z = 9  x = 4 x + y = 6   ⇒ y = 2 y + z = 5    z =  3 x + z = 7
- Số cách chia phần thưởng cho 9 học sinh là : 4 2 3
C .C .C =1260 9 5 3 cách.
- Số cách chia đề 2 học sinh A , B nhận phần thưởng giống nhau là :
+ Hai bạn nhận cùng phần thưởng Toán-Lý: 2 2 3
1.C .C .C = 210 7 5 3 cách.
+ Hai bạn nhận cùng phần thưởng Lý-Hóa: 4 3 1.C .C = 35 7 3 cách.
+ Hai bạn nhận cùng phần thưởng Toán-Hóa: 1 4 2
1.C .C .C =105 7 6 2 cách.
Vậy có 210 + 35 +105 = 350 cách để hai bạn A , B nhận phần thưởng giống nhau 350 5
Vậy xác suất cận tính là: = . 1260 18
Câu 118: [1D2-5.3-4] Gọi S là tập hợp tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 5
, luôn có mặt các chữ số 2, 3, 4 và chúng đứng cạnh nhau. A. 1 1 4 3 . B. . C. . D. . 140 392 245 196 Lời giải *)Ta có: 4 S = 7. 7
A = 5880 ⇒ Ω = 5880 .
*) Ta tính số các số chia hết cho 5, luôn có mặt các chữ số 2, 3, 4 và chúng đứng cạnh nhau.
Xếp các chữ số 2, 3, 4 thành một nhóm, coi là một chữ số, có: 3!= 6 cách. Page 44
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Do đó: ta cần tính số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0,1, (234), 5, 6, 7 sao
cho số đó chia hết cho 5, và luôn có mặt nhóm (234) .
+ Vì số đó chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5, có 2 cách chọn.
Chọn vị trí cho nhóm (234) , có 2 cách chọn.
Viết chữ số còn lại, có 4 cách chọn.
Suy ra: số các số cần tìm là: 2.2.4 =16 số.
+ Trong các số đó, có một số không thỏa mãn là 0(234)5.
Do đó: các số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0,1, (234), 5, 6, 7 thỏa mãn yêu cầu là: 16 −1 =15.
Vậy số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 6.15 = 90 số. 90 3 ⇒ P = = . 5880 196
Câu 119: [1D2-5.3-4] Trong thư viện có 3 quyển sách toán, 3quyển sách lý, 3 quyển sách hóa, 3 quyển
sách sinh. Biết các quyển sách cùng môn giống nhau, xếp 12 quyển sách trên lên giá thành một
hàng sao cho không có 3 quyển nào cùng môn đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp? A. 308664 . B. 16800. C. 369600 . D. 295176 . Lời giải 12!
Do các quyển sách cùng môn là giống nhau nên số cách xếp bất kỳ là cách. ( )4 3! 10!
TH1:Ba cuốn đứng cạnh nhau của một loại sách có cách xếp. ( )3 3! 4.10!
Khi đó, cả 4 loại sách sẽ có cách xếp. ( )3 3! 8!
TH2: Ba cuốn đứng cạnh nhau của 2 loại sách có cách xếp. ( )2 3! 2
Khi đó, cả 4 loại sách sẽ có C .8! 4 2 cách xếp. ( ) 3! 6!
TH3: Ba cuốn đứng cạnh nhau của 3 loại sách có cách xếp. 3! 3 C .6!
Khi đó, cả 4 loại sách sẽ có 4 cách xếp. 3!
TH4: Ba cuốn đứng cạnh nhau của 4 loại sách có 4! cách xếp.
Xếp 12 quyển sách trên lên giá thành một hàng sao cho có 3 quyển cùng môn đứng cạnh nhau 2 1
có 4.10! C .8! C .6! 4 4 − + − 4!= 60936 3 2 cách xếp. ( ) 3! ( ) 3! 3! 12! Vậy có
− 60936 = 308664 cách xếp thỏa yêu cầu đề bài. ( )4 3! Page 45
CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Câu 120: [1D2-5.3-4] Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và cầu thủ Neymar đứng thành 2 hàng, mỗi
hàng 5người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, Neymar xen giữa hai bạn nam đồng
thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 35 105 70 105 Lời giải *) Ta có: Ω =10!.
*) Chọn hàng cho cầu thủ Neymar, có 2 cách chọn.
*) Đối với hàng có cầu thủ Neymar, có 2 cách xếp như sau:
+) TH1: Trong hàng cầu thủ Neymar có 2 nam, 2 nữ.
Vì Neymar xen giữa hai bạn nam nên xếp 2 bạn nam đứng hai bên Neymar, có: 25 A cách.
Vì các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng nên ta xếp hai bạn nữ đứng ở hai đầu hàng, có 24 A cách xếp.
Hàng còn lại gồm 3 bạn nam và 2 bạn nữ còn lại.
Ta xếp 3 bạn nam, có 3! cách, tạo ra 4 vị trí giữa các bạn.
Xếp 2 bạn nữ vào 2 trong 4 vị trí đó, có: 24 A cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: 2 2 2 5 A . 4 A .3!. 4 A cách xếp.
+) TH2: Trong hàng cầu thủ Neymar có 3 nam, 1 nữ.
Xếp 1 bạn nam, 1 bạn nữ và cầu thủ Neymar thành một hàng, có 1 1 5 C .C4.3!.
Xếp hai bạn nam trong 4 bạn nam còn lại đứng hai bên của Neymar, có 24 A cách.
Hàng còn lại gồm 3 bạn nữ và 2 bạn nam còn lại.
Ta xếp 3 bạn nữ, có 3! cách, tạo ra 2 vị trí xen giữa các bạn.
Xếp 2 bạn nam vào 2 vị trí đó, có: 2! cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: 1 1 2 5 C .C4.3! 4 A .3!.2! cách xếp. 2.( 2 2 2 1 1 2 5 A . 4 A .3!. 4 A + 5 C .C4.3! 4 A .3!.2 )! 2
Vậy xác suất cần tính là: = 10! 105 Page 46
Document Outline

  • 1_TOAN-10_B1_C6_SO-GAN-DUNG-VA-SAI-SO_DE
  • 1_TOAN-10_B1_C6_SO-GAN-DUNG-VA-SAI-SO_HDG
  • 2_TOAN-10_B1_C6_SO-GAN-DUNG-VA-SAI-SO_TRAC-NGHIEM_DE
  • 2_TOAN-10_B1_C6_SO-GAN-DUNG-VA-SAI-SO_TRAC-NGHIEM_HDG
  • 3_TOAN-10_B2_C6_CAC-SO-DAC-TRUNG-DO-XU-THE-TRUNG-TAM_DE
  • 3_TOAN-10_B2_C6_CAC-SO-DAC-TRUNG-DO-XU-THE-TRUNG-TAM_HDG
  • 4_TOAN-10_B3_C6_CAC-SO-DAC-TRUNG-DO-DO-PHAN-TAN_DE
  • 4_TOAN-10_B3_C6_CAC-SO-DAC-TRUNG-DO-DO-PHAN-TAN_HDG
  • 5_TOAN-10_B4,5_C6_XAC-SUAT_TU-LUAN_DE
    • DẠNG 3: XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ
    • DẠNG 4: TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN
    • DẠNG 5: QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
    • Câu 6. Cho và là hai biến cố độc lập với nhau. , . Khi đó bằng
  • 5_TOAN-10_B4,5_C6_XAC-SUAT_TU-LUAN_HDG
    • DẠNG 3: XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ
    • DẠNG 4: TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN
    • DẠNG 5: QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
    • Câu 6. Cho và là hai biến cố độc lập với nhau. , . Khi đó bằng
  • 6_TOAN-10_B4,5_C6_XAC-SUAT_TRAC-NGHIEM_DE
  • 6_TOAN-10_B4,5_C6_XAC-SUAT_TRAC-NGHIEM_HDG