Chuyên đề cộng, trừ số hữu tỉ

BÀI 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm vững cách thực hiện cộng, trừ hai số hữu tỉ, quy tắc “chuyển vế” trong  .  Kĩ năng
+ Thực hiện được cộng, trừ hay hai nhiều số hữu tỉ. Có kĩ năng thực hiện phép tính một cách hợp lí.
+ Viết được một số hữu tỉ dưới dạng tổng hay hiệu của hai số hữu tỉ.
+ Áp dụng được quy tắc “chuyển vế” trong bài toán tìm thành phần chưa biết của phép tính. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết Với p q x  ; y   ,p ,qm ,  m  0 ta có:
chúng dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc m m cộng, trừ phân số. p q p      q x y ; m m m p q p      q x y . m m m Tính chất
Phép cộng số hữu tỉ có tính chất của phép cộng Với , a , b c  ta có:
phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với a) Tính chất giao hoán: a  b  b  a số đối.
b) Tính chất kết hợp: a  b  c  a  b  c
c) Cộng với số 0: a  0  0  a  a
d) Cộng với số đối: a  a  0 Quy tắc “chuyển vế”
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của Với mọi , a ,
b c  , nếu a  b  c thì a  b  c
một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
Chú ý: Trong  ta có tổng đại số, trong đó có thể Với x, , y z  ta có:
đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số x  y  z  x  y  z  x  z  y    
hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong  . Ph¸ ngoÆc §æi chç y vµ z
x  y  z  x   y  z  §Æt dÊu ngoÆc SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Cộng, trừ số hữu tỉ 1. Phương pháp
+ Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương. + Cộng, trừ phân số. a b a      b x y ; m m m a b a      b x y . m m m 2. Tính chất
+ Giao hoán: a  b  b  a
+ Kết hợp: a  b  c  a  b  c
+ Cộng với 0: a  0  0  a  a
3. Quy tắc chuyển vế: Tìm thành phần chưa biết: x  a  b  x  b  a . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ Trang 2
Bài toán 1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ Phương pháp giải
Để cộng (trừ) hai số hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau: 1 8 Ví dụ: A   5  15 Hướng dẫn giải
Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có mẫu dương 1 8  Bước 1. A    3  8
và thực hiện quy đồng hai phân số. 5 15 15 15
Bước 2. Cộng (trừ) hai tử và giữ nguyên mẫu. 3  Bước 2. A  8  5 15 15
Bước 3. Rút gọn kết quả về dạng phân số tối giản. 1 Bước 3. A  3 Ví dụ mẫu Ví dụ. Tính 1 3  7 5 2 3 1  4 a)  b)  c) 1  3 d)  0,6 12 12 8 4 5 5 20 Hướng dẫn giải 1 3  1  3   2 1  a)     12 12 12 12 6 7 5 7 10 7 10 3 b)      8 4 8 8 8 8 2 3 2 3 2  3 5
c) 1  3  1  3   1 3   4   4 1  5 5 5 5 5 5 5 1  4 1  4 6 7  6 7   6 1  d)  0,6       20 20 10 10 10 10 10
Bài toán 2. Cộng, trừ nhiều số hữu tỉ Phương pháp giải
Để cộng (trừ) nhiều số hữu tỉ, ta có thể thực hiện Ví dụ. Thực hiện phép tính sau: như sau:
- Nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện 1 5 1 3 5 2 3  5  2 6
a) A          1
quy đồng các phân số rồi cộng, trừ các phân số 2 6 3 6 6 6 6 6 cùng mẫu.
- Nếu biểu thức chứa dấu ngoặc, ta thực hiện trong
1 3  7  1  3 14  1 3 14 b) B              
ngoặc trước, ngoài ngoặc sau hoặc phá dấu ngoặc
2 8  4  2  8 8  2 8  
(chú ý đổi dấu nếu trước dấu ngoặc có dấu “-”). 1 11 1 11 4 11 4 11 15         2 8 2 8 8 8 8 8 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Thực hiện phép tính: 2 1  0 4  7 5 2 5 3 15 7  1  5  a)   b)   c)   d)     3 6 3 3 6 3 8 4 6 3  4 12  Hướng dẫn giải Trang 3 2 10 4  2 5 4 2  5   4   7  a)        3 6 3 3 3 3 3 3 7 5 2 14 5 4 14  5  4 5 b)        3 6 3 6 6 6 6 6 5 3 15 5 3 5 5 6 20 5  6  20 19 c)           8 4 6 8 4 2 8 8 8 8 8 7  1  5  7 1 5 28 3 5 36 d)           3  
3  4 12  3 4 12 12 12 12 12
Bài toán 3. Thực hiện phép tính một cách hợp lí Phương pháp giải
Ta có thể sử dụng các tính chất của phép cộng số Ví dụ. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):
hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể).
 24   19  2  20  A             
 11   13  11  13  Hướng dẫn giải
Bước 1. Áp dụng tính chất giao hoán, tính chất kết  24 2   19 20 Bước 1.  A         
hợp của số hữu tỉ để nhóm các số hạng.  11 11  13 13 
Bước 2. Thực hiện cộng, trừ số hữu tỉ. 2  4  2 1  9   2  0 2  2 3  9 Bước 2. A     11 13 11 13 A  2    3    5  Ví dụ mẫu
Ví dụ. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):  25   9  12  25 2 1 1 1 a)              b)   
 13   17  13  17  3 4  21 12 Hướng dẫn giải
 25   9  12  25   25 12   9 25  a)                      
 13   17  13  17   13 13   17 17  2  5 12 9    2  5 13 3  4      1    2    3 13 17 13 17 2 1  1 1  2 1 1  1 8  3 1 1 1 22 b)           1  3 4 21 12  3 4 12     21 12 21 21 21
Bài tập tự luyện dạng 1
Chọn đáp án đúng nhất từ câu 1 đến câu 7. 2 3
Câu 1: Kết quả của phép tính  là: 3 5 19 9 9 9 A. B. C.  D. 15 4 16 16 1  1
Câu 2: Phép tính nào dưới đây có kết quả bằng ? 4 3 7 3 7 3  7 3 7 A.  B.  C.  D.   4 2 4 2 4 2 4 2 Trang 4 1 2
Câu 3: Kết quả của phép tính  là: 2 3 7 7 9 9 A. B. C.  D. 6 6 16 16 1
Câu 4: Phép tính nào dưới đây có kết quả bằng ? 6 1 2 1 2 1  2 1 2 A.  B.  C.  D.   2 3 2 3 2 3 2 3 2  4   1 
Câu 5: Giá trị của biểu thức         là: 5  3   2  3  3 3  1 43 4  3 A. B. C. D. 30 30 30 30 2 5 9 8
Câu 6: Số nào dưới đây là giá trị của biểu thức B     ? 11 13 11 13 A. 2. B. 1  . C. 1. D. 0. 1  5   1 3 
Câu 7: Kết luận nào đúng khi nói về giá trị của biểu thức A          ? 3  4   4 8  A. A  0 B. A  1 C. A  2 D. A  2
Câu 8: Thực hiện các phép tính sau: 2 5 1 7 19 5 a)  b)  c)  3 6 4 6 2 6 2 5 1 3 3 1 2 4 1 d)   e)   f)   3 6 12 4 16 2 5 7 2
Câu 9: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1  1  8  15 5  2  a)  A   b) B   c) C   0,75 d) D  3,5  21 28 18 27 12    7 
Câu 10: Thực hiện phép tính (hợp lí có thể): 5 6 1 7 2 8 7 3 a)    b) 1  0,25   6 7 6 3 3 3 4 2
Dạng 2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ Phương pháp giải
Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của 4
Ví dụ. Tìm hai cách viết số hữu tỉ dưới dạng
hai số hữu tỉ, ta thường thực hiện các bước sau: 1  7
tổng của hai số hữu tỉ âm. Hướng dẫn giải
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu 4 4 Bước 1. Ta có  dương. 1  7 17
Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành Bước 2. Ta có 4   1    3    2    2   nên
hiệu của hai số nguyên. Trang 5 4 1
  3 2  2   1  7 17 17
Bước 3. “Tách” số hữu tỉ thành hai phân số có tử là 4  1  3  2  2  Bước 3.    
các số nguyên tìm được. 17 17 17 17 17
Bước 4. Rút gọn từng phân số (nếu có thể) và kết 4  1  3  4 2  2  Bước 4. Vậy   hoặc   luận. 17 17 17 17 17 17 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Viết số hữu tỉ sau dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ khác: 3 5 1 1 a) b) c) d) 8 12 11 4 Hướng dẫn giải 3 4 1 4 1 1 1 a)      8 8 8 8 2 8 5 4 1 4 1 1 1 b)      12 12 12 12 3 12 1 1110 11 10 10 c)     1 11 11 11 11 11 1 3   4 3 4 3  d)     1 4 4 4 4 4
Bài tập tự luyện dạng 2 5
Câu 1: Tìm hai số hữu tỉ có tổng là . 3 4
Câu 2: Tìm hai số hữu tỉ có tổng là . 19 11
Câu 3: Tìm ba cách viết số hữu tỉ
dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 15
Dạng 3: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
Ta sử dụng quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự 16 4 3 Ví dụ. Tìm x, biết  x  
do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác. 5 5 10 Hướng dẫn giải
Bước 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế 16 4 3 16 4 3  x    x    5 5 10 5 5 10
Bước 2. Thực hiện tính toán để tìm x. 12 3 24 3 27 x      5 10 10 10 10 Bước 3. Kết luận. 27 Vậy x  10 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x, biết Trang 6 1 3 3 1 a) x   b) x   5 7 4 2 Hướng dẫn giải 1 3 3 1 15 7 15  7 8 3 1 1 3 2 3 2  3 5 a) x    x      
b) x    x       5 7 7 5 35 35 35 35 4 2 2 4 4 4 4 4 8 5 Vậy x  Vậy x  35 4 Ví dụ 2. Tìm x, biết 1  8  1 11  2  2 a)  x   ;   b)   x    20  5  10 12  5  3 Hướng dẫn giải 1  8  11  2  2 a  x   1 )   b)   x    20  5  10 12  5  3 2 11 2  x  8  1  1   x   5 20 10 5 12 3 11 2 2  x  8  1  2  x    5 20 20 12 5 3 8  55 24 40 55  24  40 9 3  x   1  x       5 20 60 60 60 60 60 20
 x  8  1  32  1  31 5 20 20 20 20 31 3  Vậy x  Vậy x  20 20
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Tìm x, biết 3 2 2 7 1 3  a) x   b)  x  c) x   4 7 3 5 8 4 Câu 2: Tìm x, biết 1 3 2 5 1 3 a) x   b) x   c) x   3 4 5 7 32 4 Câu 3: Tìm x, biết 7  5  1  2 17  3  5  1  9  2  7  5  a)  x     b) x        c)   x      4  3  5  2  7 3  3 2 3  4  4
Dạng 4: Tính tổng dãy số có quy luật Phương pháp giải
Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính 1 1 1 1 Ví dụ: Tính S    ... 
chất đặc trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó 1.2 2.3 3.4 2019.2020
biến đổi và thực hiện phép tính. Hướng dẫn giải
Bước 1. Ở ví dụ bên, ta thấy các giá trị ở tử không Bước 1. Tách mỗi số hạng của tổng
thay đổi và chúng đúng bằng hiệu hai thừa số ở Trang 7 mẫu. 1 1 1   ; 1 1.2 1 2
Mỗi số hạng đều có dạng nn   1 1 1 1   ; 2.3 2 3
Do đó ta thực hiện tách các số hạng của tổng S theo ... 1 1 1 1 1 1 công thức     . n n   1 n n 1 2019.2020 2019 2020
Bước 2. Vì tổng sau khi tách có đặc điểm: các số Bước 2. Áp dụng tính chất kết hợp, nhóm các số
hạng liên tiếp luôn đối nhau, nên ta dùng tính chất hạng:
kết hợp để nhóm các số hạng. Khi đó các số hạng 1 1 1 1 1 1 1 1
S        ...  
trong tổng được khử liên tiếp đến khi trong tổng chỉ 1 2 2 3 3 4 2019 2020  1 1   1 1   1 1  1
còn số hạng đầu và số hạng cuối. S  1     ...     2 2   3 3   2019 2019        2020 1 2019 S  1  2020 2020
Tổng quát: Nếu trong tổng xuất hiện các số hạng dạng k
thì ta tách các số hạng theo công nn  k k 1 1 thức sau:   . n n  k n n  k Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính nhanh 1 1 1 1 a) A     ...  1.3 3.5 5.7 19.21 1 1 1 1 1 1 b) B     .  ...   99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1  2 2 2 2  a) A     ...      ...    1.3 3.5 5.7 19.21 2 1.3 3.5 5.7 19.21 
1  1 1   1 1   1 1   1 1         ...          
2 1 3   3 5   5 7   19 21 1   1 1   1 1   1 1  1  1  1  10  1     ...     1            2   3 3   5 5   19 19  21 2  21  21 10 Vậy A  . 21 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  b) B     .  ...        ...     99 99.98 98.97 97.96
3.2 2.1 99  99.98 98.97 97.96 3.2 2.1  1  1 1 1 1 1      ...      99  2.1 3.2 97.96 98.97 99.98  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        ...         99  1 2 2 3 96 97 97 98 98 99  Trang 8 1   1 1   1 1   1 1  1  1  1  1 98    1     ...      1    97           99   2 2   3 3   98 98  99  99  99  99 99 99  Vậy 97 B  99 4 4 4 4 Ví dụ 2. Tính S    ...   1.5 5.9 92.96 96.100 Hướng dẫn giải k 1 1 Áp dụng công thức   với k  4 ta có: n n  k n n  k S  4  4   4
  1  1  1   1  1  1  1 ... 1 ... 1.5 5.9 96.100 5 5 9 92 96 96 100  1 1   1 1       ...     1  1 1  99 1      5 5   96 96  100 100 100 99 Vậy S  . 100
Bài tập tự luyện dạng 4 1 1 1 1
Câu 1: Tính giá trị biểu thức S     ...  . 3.4 4.5 5.6 20.21 1 1 1 1
Câu 2: Tính giá trị biểu thức B     ...  . 2.4 4.6 6.8 28.30 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ Câu 1: Chọn A. 2 3 2.5 3.3 10 9 10  9 19 Ta có:        3 5 15 15 15 15 15 15 Câu 2: Chọn B. 3 7 3 14 17 3 7 3 14 11 A.     ; B.     ; 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 3  7 3  14 11 3 7 3 14 1  7 C.     ; D.      . 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 Câu 3: Chọn B. 1 2 3 4 7     . 2 3 6 6 6 Câu 4: Chọn C. 1 2 3 4 7 1 2 3 4 1  A.     ; B.     ; 2 3 6 6 6 2 3 6 6 6 1  2 3  4 1 1 2 3  4 7  C.     ; D.      . 2 3 6 6 6 2 3 6 6 6 Câu 5: Chọn D. Trang 9
2  4   1  2.6 10.4 15 12  40 15 4  3              5  3   2  30 30 30 30 30 Câu 6: Chọn D. 2 5 9 8  2 9   5 8  11 13 B            11  0.    
11 13 11 13  11 11  13 13  11 13 Vậy B  0 . Câu 7: Chọn C.
1  5   1 3  1  5 1 3  1  5  1 3  A                     
3  4   4 8  3  4 4 8  3  4 8  1  3 
3  1 3 3 8  3.12  3.3 53 5          2 3  2 8    3 2 8 24 24 24 Vậy A  2 . Câu 8: 2 5 4 5 9 3 1 7 3 7.2 1  1 a)      b)     3 6 6 6 6 2 4 6 4.3 6.2 12 19 5 57 5 52 26 2 5 1 8 10 1 1  c)      d)       2 6 2.3 6 6 3 3 6 12 12 12 12 12 3 3 1 12 3 8 7 2 4 1 28 40 35 23 e)       f )       4 16 2 16 16 16 16 5 7 2 70 70 70 70 Câu 9: 1 1 1 1 4 3  8  15 8  1  5 2  4 30 a A        1 ) a) B        1 21 28 7.3 7.4 7.3.4 7.3.4 12 18 27 9.2 9.3 9.2.3 9.3.2  5 5 3    c C      5  9  1 ) 0,75 2  7 2 49 4 53 c) D  3,5       12 4.3 4 4.3 4.3 3  7    2 7 14 14 14 Câu 10:
5 6 1 7  5 1  6 7  5 1  6 7 2 6 7  2 7  6 a)                
6 7 6 3  6 6  7 3  6  7 3 3 7 3  3 3        7  2  7  6 6 21 6 27    3      3    7 7 7 7 7 2
8 7 3  5 8   1 7  3 5  8 1 7 3 b) 1  0,25            3 3 4 2  3 3   4 4      2 3 4 2 3  6  3 3 3  3  3      1     1     1   0  1  3 4 2 2 2  2 2   
Dạng 2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ Câu 1: 5 4 1 4 1 4 1 Ta có 
  . Vậy hai số đó là và . 3 3 3 3 3 3 Câu 2: 4 1 3 1 3 1 3 Ta có    . Vậy hai số đó là và . 19 19 19 19 19 19 Câu 3: Trang 10 1  1 1    1  0 2    9   3  8   Ta có:    15 15 15 15 1  1 1  1  0 1  1 2  9  1  1 3  8  Vậy   ;   ;   15 15 15 15 15 15 15 15 15
Dạng 3. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1: 3 2 2 7 1 3  a) x   b)  x  c) x   4 7 3 5 8 4 2 3 8 21 29    2 7 10 21 11 3 1 6 1 7 x       x     
 x        7 4 28 28 28 3 5 15 15 15 4 8 8 8 8   Vậy 29 x  Vậy 11 x  Vậy 7 x  28 15 8
Câu 2: Làm tương tự câu 1. 5 39 23 a) x  ; b) x  ; c) x  . 12 35 32 Câu 3: 7  5  1  2 17  3  5  1      a)  x   9 2 7 5 b)x     c)   x   4  3    5        2  7 3  3 2 3  4  4 5 7 12  x    1  17  3  5  9 2  7  5     3 4 5  x     x      3  2  7 3  2 3  4  4 7 12 5  x    1  17 3 5  9 2 7 5  4 5 3       x   3   2 7 3  2 3 4 4 105 144 100 149     5  9 2 7 60 60 1 17 3 5     x     3 2 7 3 4 2 3 4 149 Vậy x   1 5  17 3  5  7  9 2 x     60        3 3    2 7  4 4  2 3 17 3 1  2 9 2  2    x    2 7 4 2 3 2  8 119  6 97 1  8  27  4   x  14 14 6 41 97 x   Vậy x  . 6 14 41 Vậy x   . 6
Dạng 4. Tính tổng dãy số có quy luật Câu 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Ta có: A     ... 
       ...      3.4 4.5 5.6 20.21 3 4 4 5 5 6 20 21 3 21 7 Câu 2: 1 1 1 1 1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1  7 Ta có: B     ...       ...              2.4 4.6 6.8 28.30 2  2 4  2  4 6 
2  28 30  2  2 30  30 Trang 11