Chuyên đề Cực trị của hàm số | Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12: Cực trị của hàm số được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

67 34 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

77 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TOÁN 12
LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Chuyên đề:
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Môn: TOÁN 12_GIẢI TÍCH
Chủ đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I- LÝ THUYẾT
1- Định nghĩa: Cho hàm số
()y f x
xác định và liên tục trên
;ab
( có thể
a
là

,
b
là

) và
điểm
0
;x a b
.
a) Nếu tồn tại số
0h
sao cho
0
( ) ( )f x f x
với mọi
00
;x x h x h
và
0
xx
thì ta nói hàm
số
()fx
đạt cực đại tại
0
x
.
b) Nếu tồn tại số
0h
sao cho
0
( ) ( )f x f x
với mọi
00
;x x h x h
và
0
xx
thì ta nói hàm
số
()fx
đạt cực tiểu tại
0
x
.
2- Chú ý: Nếu hàm số
()fx
đạt cực đại ( cực tiểu) tại
0
x
thì
0
x
được gọi là điểm cực đại ( điểm
cực tiểu) của hàm số;
0
()fx
được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là
C§
()
CT
ff
, còn điểm
0 0 0
; ( )M x f x
được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn
gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
3-1. Định lý: Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm tại
0
x
và đạt cực trị tại đó thì
/
0
0fx
Lưu ý: Định lý khẳng định tại các điểm
0
x
mà
/
0
0fx
thì
0
x
không phải là điểm cực trị của hàm số.
Nếu
/
0
0fx
thì chưa thể khẳng định
0
x
là điểm cực trị.
3-2. Định lý: (DẤU HIỆU I)
Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm trong khoảng
;ab
và
/
00
0, ;f x x a b
.
a) Nếu qua
0
x
đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là
/
0
( ) 0,f x x x
và
/
0
( ) 0,f x x x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
b) Nếu qua
0
x
đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm , tức là
/
0
( ) 0,f x x x
và
/
0
( ) 0,f x x x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
3-3. Định lý: (DẤU HIỆU II)
Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm trong khoảng
;ab
và
/
00
0, ;f x x a b
.
a. Nếu
//
0
0fx
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
b. Nếu
//
0
0fx
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
4- Một số nhận xét quan trọng:
x
a
b
f
/
(x)
f(x)
x
0
0
+
-
CD
CT
-
+
0
x
0
f(x)
f
/
(x)
b
a
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
a) Với các hàm số thường gặp, nếu
0
x
là điểm cực trị thì
/
0
0fx
. Nói cách khác
0
x
là
nghiệm của phương trình
/
0fx
. Hay
§
//
0
C CT
f x f x
b) Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:
QUY TẮC I
QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính
/
fx
. Xác định các điểm tới hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính
/
fx
. Giải
/
0fx
và kí hiệu
i
x
(
1, 2,...i
) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính
//
fx
và
//
i
fx
. Kết luận
II- BÀI TẬP TỰ LUẬN
1) Tìm cực trị của các hàm số sau:
a b) c)
d) e) f)
3 2 3
4
2 4 3
1 4 1
) ( ) 3 ( ) 3 1 ( ) 1
3 3 2
4
( ) 3 ( ) 2 6 ( ) 2 2 1
4
1
) ( )
f x x x x f x x x f x x
x
x
f x x f x x f x x x x
x
x
g f x
x
h k) l)
5 3 2
2
2 1 3 3
) ( ) ( ) 2 ( )
1 5 3 1
x x x x x
f x f x f x
xx

2) Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) sin b) c) d sin
e) cos cos f) g) sin cos
22
53
( ) 2 2 3 ( ) 4 ( ) 8 ) ( ) 2 2
( ) 3 2 2 2 1 ( )
f x x f x x x f x x f x x x
f x x x y x x x f x x x
3) Tìm
, , ,a b c d
của hàm số
32
()f x ax bx cx d
sao cho hàm số đạt cực tiểu tại
0x
,
00f
và đạt cực đại tại
1x
,
11f
.
4) Xác định các hệ số
,,a b c
của hàm số
32
()f x x ax bx c
đạt cực trị bằng 0 tại điểm
2x 
và đồ thị của hàm số đi qua điểm
1;0A
.
5) CMR: Với mọi giá trị
m
thì hàm số
23
11x m m x m
y
xm
luôn có cực đại, cực tiểu.
6) Cho hàm số
32
11
1 3 2
33
y mx m x m x
. Tìm
m
để hàm số đạt cực đại tại
0x
.
7) Xác định
m
để hàm số
2
1x mx
y
xm

đạt cực đại tại
2x
.
8) Tìm
a
để hàm số
32
32y x mx x
đạt cực tiểu tại
2.x
9) CMR: Với mọi giá trị
m
thì hàm số
32
21y x mx x
luôn có 1 cực đại, cực tiểu.
10) (ĐH B- 2002)
T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó: cã 3 ®iÓm cùc trÞ
4 2 2
9 10y mx m x
.
11) (ĐH D-2012) Tìm
m
để hàm số
3 2 2
22
2 3 1
33
y x mx m x
có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho:
1 2 1 2
21x x x x
.
12) (ĐH A-2012) Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2 2
21y x m x m
có ba điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông.
13) (ĐH B-2012) Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
33y x mx m
có hai điểm cực trị A và B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
14) (ĐH B-2013) Tìm
m
để đồ thị hàm số
32
2 3 1 6y x m x mx
có hai điểm cực trị A và B
sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
2.yx
Đọc thêm: XỬ LÝ CỰC TRỊ VÀ XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC
ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I-1- LÝ THUYẾT
1- Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm tại
0
x
và đạt cực trị tại điểm
0
x
thì
/
0
0fx
.
Hay: a)
0
x
là nghiệm của phương trình
/
0fx
.
b) Kí hiệu:
C§ CT C§ CT C§ CT
/ / / /
, : 0x x f x f x y y
Bài toán : Xác định tham số để hàm số
()y f x
có cực trị thoả điều kiện X.
Bước 1: Xác định tham số để hàm số
()y f x
có cực trị . Có tập
A
.
Bước 2: Xử lý biểu thức cực trị theo định lý Viet,…. Có tập
B
.
Bước 3: Kết luận. Tập giá trị thoả yêu cầu là
AB
.
2- Một số kết quả quan trọng:
Đặt vấn đề: Trong quá trình xử lý biểu thức cực trị hay tính giá trị cực trị chúng ta thường gặp những
khó khăn sau:
+ Điểm cực trị
0
x
“rườm rà, cồng kềnh” dẫn đến tính giá trị cực trị khó khăn.
+ Bài toán viết phương trình đồ thị qua các điểm cực trị của hàm số.
+ Xử lý biểu thức giá trị cực trị
C§ CT
,yy
.
Bài toán 1: Cho hàm số
32
( 0)y ax bx cx d a
. Chứng minh rằng: Giá trị cực trị của hàm số là:
CTr CTr
y kx m
hay
CT CT
C§ C§
y kx m
y kx m


, trong đó
kx m
là phần dư của phép chia
y
cho
/
y
.
Chứng minh: Thật vậy: Biểu diễn
/
y ex f y kx m
. Gọi
CTr
x
là hoành độ điểm cực trị của đồ thị
hàm số:
CTr CTr CTr CTr CTr
/
y ex f y kx m kx m
( Do
CTr
/
0y
)
Từ đây gọi
C§ C§ CT CT
; , ;A x y B x y
thì
CT CT
CD CD
y kx m
y kx m


(đ.p.c.m)
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên chỉ rõ:
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là
y kx m
.
+ Xử lý tốt biểu thức giá trị cực trị là
CTr CTr
y kx m
thay vì phải là:
CTr CTr CTr CTr
32
y ax bx cx d
+ Tư duy của phép chứng minh này còn áp dụng cho các hàm đa thức khác.
Bài toán 2: Cho hàm số
()
()
ux
y
vx
. Gọi Gọi
CTr
x
là hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh:
CTr
CTr
CTr
/
/
ux
y
vx
.
Chứng minh: Ta có
//
/
2
( ). ( ) ( ). ( )
()
u x v x v x u x
y
vx


CTr CTr
CTr CTr CTr CTr CTr CTr
CTr
CTr
/
/ / /
/
0 . . 0
u x u x
y u x v x v x u x y
vx
vx
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên chỉ rõ:
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C):
2
ax bx c
y
dx e

là
2ax b
y
d
+ Xử lý tốt biểu thức giá trị cực trị là
CTr
CTr
CTr
/
/
ux
y
vx
thay vì phải là:
CTr
CTr
CTr
ux
y
vx
( Bậc tử và mẩu giảm 1)
+ Tư duy của phép chứng minh này còn áp dụng cho các hàm phân thức khác.
I-2- VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài tập: Cho hàm số
32
6 3 2 6.y x x m x m
Xác định
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
nằm cùng phía với trục hoành.
Bài giải:
TXĐ:
D
. Ta có:
/2
3 12 3 2y x x m
.
Hàm số có cực đại và cực tiểu
phương trình
/
0y
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
:
Yêu cầu bài toán
(*)
/
36 9 2 0 2 0 2m m m
.
* Biểu diễn:
/
2
. 2 2 2
3
x
y y m x m



. Gọi
0
x
là điểm cực trị của hàm số, suy ra:
( do )
//
0
0 0 0 0 0
2
. 2 2 2 2 2 2 0
3
x
y y x m x m m x m y x



Như vậy:
00
2 2 2y m x m
.
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
12
,xx
suy ra:
11
22
2 2 2
2 2 2
y m x m
y m x m
.
Để ý, do
12
,xx
là nghiệm của
/
0y
nên theo định lí Vi-et, ta có:
12
12
4
.2
xx
x x m


(**)
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía với trục hoành
12
. 0.yy
(1)
2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 0 2 4 2 1 0m x m m x m m x x x x
Thay (**) vào (1) ta được:
22
2
2 4 2 2.4 1 0 2 4 17 0
17
4
m
m m m m
m




Đối chiếu với điều kiện (*), các giá trị
m
cần tìm là:
17
2
4
m
.
I-3- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Cho hàm số
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m
. Tìm
m
để hàm số có cực đại và
cực tiểu tại
12
,xx
sao cho:
12
12
1 1 1
.
2
xx
xx
2) Cho hàm số
2
2
1
x mx
y
x

. Tìm
m
để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
thuộc
2
( ) : 4P y x x
3) Cho hàm số
2
( 1) 1x m x m
y
xm
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT:
a) Cùng phía Ox. b) Khác phía Ox. c) Cùng phía Oy. d) Khác phía Oy.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
4) Cho hàm số
2
3
4
x x m
y
x
. Tìm
m
để
12
4yy
với
12
,yy
lần lượt là CĐ, CT của hàm số.
5) Cho hàm số
2
23x x m
y
xm

. Tìm
m
để hàm số có CĐ, CT thoả
8
CD CT
yy
.
6) Cho hàm số
2 2 3
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
xm
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có một điểm cực trị
thuộc góc phần tư thứ hai và điểm cực trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mp(Oxy).
7) Cho hàm số
2
( 1) 4 2
1
x m x m
y
x
. Xác định
m
để:
a) Tích giá trị CĐ và giá trị CT nhỏ nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
8) Cho hàm số
2
33
m
y x x
x
. Xác định
m
để hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó chứng
minh rằng cả ba điểm cực trị đều nằm trên đường cong
2
31yx
.
9) Cho hàm số
42
( 1) 1y x m x
.
a) Tìm
m
để hàm số có CĐ, CT.
b) Viết phương trình đường cong qua các điểm cực trị của hàm số.
10) Chứng minh các điểm cực trị của đt hàm số
4 3 2
1
38
4
y x x x x
nằm trên 1 parabol.
11) Xác định
m
để đồ thị hàm số
4 2 4
22y x mx m m
có các điểm cực đại, cực tiểu lập
thành một tam giác đều.
12) Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT:
a) Nằm hai phía với đường thẳng
: 2 5xy
.
b) Đối xứng qua đường thẳng
: 2 5xy
.
13) Cho hàm số:
22
2( 1) 4
2
x m x m m
y
x
. Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực
đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.
14) Cho hàm số:
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
. Chứng minh rằng: Với mọi
m
hàm số luôn có cực
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Lý thuyết và xác định cực trị hàm số
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu
fx
đổi dấu khi qua điểm
0
x
và
fx
liên tục tại
0
x
thì hàm số
y f x
đạt cực
trị tại điểm
0
x
.
B. Hàm số
y f x
đạt cực trị tại
0
x
khi và chỉ khi
0
0fx
.
C. Nếu
0
0fx

thì
0
x
không phải là điểm cực trị của hàm số.
D. Nếu
0
0fx

và
0
0fx
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
Câu 2: Cho hàm số
y f x
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.
0
xx
là điểm cực tiểu của hàm số thì hàm số có giá trị cực tiểu là
0
fx
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm
0
xx
thì
0
0fx
.
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm
0
xx
thì
fx
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua
0
x
.
D. Nếu hàm số đơn điệu trên thì hàm số không có cực trị.
Câu 3: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì
0
0fx
.
B. Hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì
fx
đổi dấu qua
0
x
.
C. Nếu
0
0fx
thì hàm số đạt cực trị tại
0
x
.
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì
0
0fx
.
Câu 4: Hàm số
fx
có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là
A.
4
. B.
1
. C.
1
. D.

.
Câu 5: Cho hàm số
y f x
liên trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số
y f x
là
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 6: Cho hàm số
3
2
2
23
33
x
y x x
. Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
1; 2M
. B.
2
3;
3
N



. C.
3x
D.
1x
.
Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị?
A.
1
2
x
y
x
. B.
2
1 y x x
. C.
4
72 y x x
. D.
3
.yx
Câu 8: Cho hàm số
42
8y x x
có đồ thị
C
. Gọi
,,A B C
là ba điểm cực trị của
C
. Tính diện tích
S
của tam giác
ABC
.
A.
16S
. B.
8S
. C.
32S
. D.
64S
.
Câu 9: Số điểm cực trị của hàm số
25
12y x x
là
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
Câu 10: Cho hàm số
y f x
liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
6
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn
y f x
và đồ thị đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 12: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
2
4 3 1 ,f x x x x
0; x
. Hỏi hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có 3 điểm cực trị?
A.
3
3.y x x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2 1. y x x
Câu 14: Gọi
,,A B C
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
42
24y x x
. Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác
ABC
bằng
A.
21
. B.
21
. C.
2
. D.
1
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 15: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm cấp hai trên khoảng
K
và
0
xK
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
0
x
là điểm cực đại của hàm số
y f x
thì
0fx

.
B. Nếu
0fx

thì
0
x
là điểm cực trị của hàm số
y f x
.
C. Nếu
0
x
là điểm cực trị của hàm số
y f x
thì
0fx
.
D. Nếu
0
x
là điểm cực trị của hàm số
y f x
thì
0fx
.
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số
y f x
có giá trị cực đại là
M
và giá trị cực tiểu là
m
thì
Mm
.
(II). Đồ thị hàm số
42
0y ax bx c a
luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành. Số
khẳng định đúng là:
A.
0.
B.
2.
C.
1.
D.
3.
Câu 17: Cho hàm
fx
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên . Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
B. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
C. Hàm số
fx
đạt cực trị tại
0
x
khi và chỉ khi
0
x
là nghiệm của đạo hàm.
D. Nếu
'fx
đổi dấu khi
x
qua
0
x
và
'fx
liên tục tại
0
x
thì hàm số
fx
đạt cực trị tại
0
x
Câu 18: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Tìm giá trị cực đại
CĐ
y
và giá trị cực tiểu
CT
y
của hàm số đã cho.
A.
C
5
Đ
y
và
1
CT
y 
. B.
C
1
Đ
y
và
0
CT
y
.
C.
C
1
Đ
y 
và
1
CT
y
. D.
C
5
Đ
y
và
0
CT
y
.
Câu 19: Cho hàm số
fx
có bảng biến thiên như sau :
Số điểm cực trị của hàm số là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Câu 20: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó.
A.
32
5 6.y x x x
B.
32
6 9 1.y x x x
C.
32
6 9 6.y x x x
D.
42
3.y x x
Câu 21: Đồ thị hàm số
3
3y x x
có điểm cực tiểu là
A.
1; 2M
. B.
1;0N
. C.
1; 2P
. D.
1;0Q
.
Câu 22: Cho hàm số
fx
có bảng biến thiên sau:
Hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3.
B.
5.
C.
2.
D.
4.
Câu 23: Cho hàm số
42
2 3. y x x
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Câu 24: Cho đồ thị hàm
y f x
như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 25: Cho hàm số bậc năm
y f x
và đồ thị đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 26: Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A.
2
1
.
x
y
x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
2
2 1. y x x
D.
3
1. y x x
Câu 27: Cho hàm số
42
21y x x
có đồ thị
.C
Biết rằng đồ thị
C
có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác, gọi là
.ABC
Tính diện tích
.ABC
A.
2S
. B.
1S
. C.
1
2
S
. D.
4S
.
Câu 28: Cho hàm số
2
20y x x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên
;4
. B. Hàm số đạt cực đại tại
5x
.
C. Hàm số đồng biến trên
5; 
. D. Hàm số không có cực trị.
Câu 29: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm
2019 2021
2017
'( ) 1 2f x x x x
,
x
. Tổng bình
phương các điểm cực trị của hàm số là
A.
5
. B.
1
. C.
4
. D.
12229091.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu?
A.
3
3.y x x
B.
4
2.yx
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2. y x x
Dạng 2: Bài toán tham số không liên quan đến hàm ẩn
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
32
, ; ; ; , 0 y ax bx cx d a b c d a
Ta xét:
2
32y ax bx c
có
2
3b ac
.
Điều kiện
2
0
30
a
b ac

Điều kiện
2
0
30
a
b ac

Điều kiện
2
0
30
a
b ac

Điều kiện
2
0
30
a
b ac

x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
Lưu ý:
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía Oy . Gọi
12
,xx
là các điểm cực trị của hàm số.
Ta có :
2
2
12
30
30
0
3
.0
0
b ac
b ac
ac
c
xx
a




.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm một phía Oy . Gọi
12
,xx
là các điểm cực trị của hàm số.
Ta có :
2
2
2
12
30
30
30
3
.0
0
0
b ac
b ac
b ac
c
xx
ac
a






.
Điều kiện
0
0
a
c
Điều kiện
0
0
a
c
Điều kiện
2
0
0
30
a
c
b ac

Điều kiện
2
0
0
30
a
c
b ac

x
y
O
x
y
O
x
y
(C)
O
1
x
y
O
(C)
1
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
1) Điều kiện để hàm số
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có 3 điểm cực trị:
0ab
2) Điều kiện để hàm số
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có duy nhất một điểm cực trị:
0ab
Lưu ý: Trong trường hợp
a
chứa tham số thì ta chia 2 trường hợp
0a
và
0.a
3) Một số dạng đồ thị
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
và điều kiện về cực trị:
Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3
Dạng 4
Hàm số có duy nhất 1
điểm cực trị (cực tiểu)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
Hàm số có ba điểm cực
trị (2 điểm cực tiểu và
1 điểm cực đại)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
Hàm số có duy nhất 1
điểm cực trị (cực đại)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
Hàm số có ba điểm cực trị
(1 điểm cực tiểu và 2 điểm
cực đại)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
4) Một số công thức giải nhanh cần lưu ý:
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
Dữ kiện
Công thức thỏa
0ab
1). Tam giác
ABC
vuông cân tại
A

3
80ab
2). Tam giác
ABC
đều

3
24 0ab
3). Tam giác
ABC
có góc
BAC

32
8 .tan 0
2
ab
4). Tam giác
ABC
có diện tích
0ABC
SS

3 2 5
0
32 ( ) 0a S b
5). Tam giác
ABC
có diện tích
0
()max S

5
0
3
32
b
S
a
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
6). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn nội tiếp
0ABC
rr





2
0
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a
7). Tam giác
ABC
có độ dài cạnh
0
BC m

2
0
20am b
8). Tam giác
ABC
có độ dài

0
AB AC n
2 2 4
0
16 8 0a n b ab
9). Tam giác
ABC
có cực trị
,B C Ox

2
40b ac
10). Tam giác
ABC
có
3
góc nhọn

3
(8 ) 0b a b
11). Tam giác
ABC
có trọng tâm
O

2
60b ac
12). Tam giác
ABC
có trực tâm
O
3
8 4 0b a ac
13). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn ngoại tiếp
0ABC
RR
3
8
8
ba
R
ab
14). Tam giác
ABC
cùng điểm
O
tạo hình thoi

2
20b ac
15). Tam giác
ABC
có
O
là tâm đường tròn nội tiếp
3
8 4 0b a abc
16). Tam giác
ABC
có
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
3
8 8 0b a abc
17). Tam giác
ABC
có cạnh
BC kAB kAC
3 2 2
. 8 ( 4) 0b k a k
18). Trục hoành chia tam giác
ABC
thành hai phần có diện
tích bằng nhau
2
42b ac
19). Tam giác
ABC
có điểm cực trị cách đều trục hoành

2
80b ac
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 31: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số nào dưới đây?
A.
32
31y x x
. B.
3
31y x x
. C.
42
21y x x
. D.
3
31y x x
.
Câu 32: Cho hàm số
32
( , , )y x bx cx d b c d
có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 0b c d
. B.
0, 0, 0b c d
. C.
0, 0, 0b c d
. D.
0, 0, 0b c d
.
Câu 33: Cho hàm số
42
,,y ax bx c a b c
có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0 a b c
. B.
0, 0, 0. a b c
C.
0, 0, 0 a b c
. D.
0, 0, 0.abc
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 34: Cho hàm số
42
; ; , 0y ax bx c a b c a
có bảng biến thiên dưới đây:
Tính
2 3 .P a b c
A.
3.P
B.
6P
. C.
2P 
. D.
2P
.
Câu 35: Biết
(0;2)M
,
(2; 2)N
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d
. Tính giá trị
của hàm số tại
3.x
A.
(3) 2y
. B.
(3) 11y
. C.
(3) 0y
. D.
(3) 3y 
Câu 36: Đồ thị hàm số
32
32y f x x x ax b
có điểm cực tiểu là
2; 2A
. Tính
ab
.
A.
4.
B.
2.
C.
4.
D.
2.
Câu 37: Tập hợp các số thực
m
để hàm số
32
32 y x mx m x m
đạt cực tiểu tại
1x
là
A.
1
. B.
1
. C.
. D. .
Câu 38: Tìm tất cả tham số thực
m
để hàm số
4 2 2
1 2 2019y m x m x
đạt cực tiểu tại
1x 
.
A.
0m
. B.
2m 
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 39: Tập hợp các giá trị của
m
để hàm số
32
1
21
3
y x mx m x
có hai cực trị là
A.
; 1 2; 
B.
; 1 2; 
C.
1;2
D.
1;2
Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m
trên miền
10;10
để hàm số
42
2 2 1 7y x m x
có ba điểm cực trị?
A.
20.
B.
10.
C. Vô số. D.
11.
Câu 41: Tất cả cả các giá trị của tham số
m
để
32
31y x x mx
đạt cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn
22
12
6xx
là
A.
3.m 
B.
3.m
C.
1.m 
D.
1.m
Câu 42: Tìm tất các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2 2
33y x mx m
có hai điểm cực
trị là
,AB
sao cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
24
(với
O
là gốc tọa độ ).
A.
2m
. B.
1m
. C.
2m 
. D.
1m 
.
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
42
1 1 2y mx m x m
có một cực
trị.
A.
1.m
B.
0.m
C.
0 1.m
D.
0
.
1
m
m
Câu 44: Cho hàm số
42
(2 1) 1y mx m x
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số đã
cho có đúng một điểm cực tiểu.
A. Không tồn tại
m
. B.
0.m
C.
1
.
2
m 
D.
1
0.
2
m
Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
32
2 5 4 2y x x x m
có giá trị cực cực đại và
giá trị cực tiểu trái dấu là
A.
13
. B.
11
. C.
9
. D.
12
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 46: Tập tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
1
12
3
y x x m x
có hai điểm
cực trị nằm bên trái trục tung là
A.
;1 .
B.
1;2 .
C.
;2 .
D.
1;
.
Câu 47: Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
42
21 y x mx m
có giá trị
cực tiểu bằng
1
. Tổng các phần tử thuộc
S
là
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
1
.
Câu 48: Biết
0
mm
thì đồ thị của hàm số
3
32y x mx
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai
điểm cực trị đó bằng
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
2; 1 . m
B.
0
1;0 .m
C.
0
1;2 .m
D.
0
0;1 .m
Câu 49: Tìm
m
để đồ thị hàm số
42
21y x mx
có ba điểm cực trị
0;1A
,
B
,
C
thỏa mãn
4.BC
A.
2m
. B.
4m 
. C.
2m 
. D.
4m
.
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
42
21y x mx m
có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
?
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 51: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m m
, với
m
là tham số. Gọi
,AB
là hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số và
2; 2I
. Gọi
S
là tập hợp các giá trị thực của tham số
m
sao cho ba
điểm
,,I A B
tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng
5
. Tính tổng các
phần tử của
S
.
A.
20
17
. B.
15
17
. C.
3
17
. D.
4
17
.
Câu 52: Cho hàm số
32
1
( 2) 9 1
3
y x m x x
, với
m
là tham số. Gọi
1
x
,
2
x
là các điểm cực trị của
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
9 25xx
bằng
A.
15
. B.
90
. C.
450
. D.
45
.
Câu 53: Cho hàm số
4 2 2
2 1 1y x m x m
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn
nhất.
A.
1
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
0m
. D.
1m
.
Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên
m
để đồ thị hàm số
2
1

mx
yx
x
có hai điểm cực trị và các cực trị
này đều thuộc hình tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng
30
?
A.
9.
B.
8.
C.
7.
D.
6.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 55: Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
x
y
0
A.
42
3 1.y x x
B.
42
3 1.y x x
C.
32
3 1.y x x
D.
32
3 1.y x x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 56: Cho hàm số
42
0y ax bx c a
có đồ thị như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0.a b c
B.
0, 0, 0.a b c
C.
0, 0, 0.a b c
D.
0, 0, 0.a b c
x
y
O
Câu 57: Cho hàm số
32
, , , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
. B.
0, 0, 0, 0a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0a b c d
. D.
0, 0, 0, 0a b c d
.
Câu 58: Biết
,,abc
là các số thực tùy ý,
0a
và hàm số
32
y ax bx cx
nhận
1x 
là một điểm cực
trị. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3 2 0a b c
. B.
a c b
. C.
32a c b
. D.
20ab
.
Câu 59: Ta xác định được các số
,,abc
để đồ thị hàm số
32
y x ax bx c
đi qua điểm
0;1
và có
điểm cực trị
2;0
. Tính giá trị của biểu thức
4T a b c
.
A.
20
. B.
23
. C.
24
. D.
22
.
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
4 2 2
1y x m x m
đạt cực tiểu tại
0.x
A.
1m
. B.
1m
. C.
m
. D.
1m
.
Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
32
31y x x mx
đạt cực tiểu tại
2x
.
A.
0m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
04m
.
Câu 62: Tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
32
3 1 2y x x m x
có hai điểm cực trị
là
A.
2m
. B.
2m
. C.
4m 
. D.
2m
.
Câu 63: Cho hàm số
32
3 1 3 7 3y x m x m x
. Gọi
S
là tập các giá trị nguyên của tham số m
để hàm số không có cực trị. Số phần tử của
S
là
A.
2
. B.
4
. C.
0
. D. Vô số.
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
32
1
( 2)
3
y x mx m x
có cực trị và các điểm cực đại,
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A.
2m
. B.
2m
. C.
02m
. D.
2m
.
Câu 65: Biết
0
m
là giá trị của tham số để hàm số
32
31y x x mx
có hai điểm cực trị
12
,xx
sao cho
22
1 2 1 2
13x x x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
1;7m 
. B.
0
7; 1m
. C.
0
15; 7m
. D.
0
7;10m
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 66: Để đồ thị hàm số
42
31y x m x m
có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì
tất cả các giá trị thực của tham số
m
là
A.
3m
. B.
3m
. C.
3m
. D.
3m
.
Câu 67: Cho hàm số
42
2 1 1y mx m x
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để hàm số đã cho có một
điểm cực đại.
A.
1
0
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
1
2
m 
. D.
1
0
2
m
.
Câu 68: Số giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
4 2 2
3y mx m x m
không có điểm cực đại
là
A.
4
. B.
2
. C.
5
. D.
0
.
Câu 69: Gọi
S
là tập các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
42
24y x mx m
có ba điểm
cực trị cách đều trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập
S
bằng
A. 2. B. 6. C. 0. D. 4.
Câu 70: Cho hàm số
4 2 2
64y mx m x
. Có bao nhiêu số nguyên
m
để hàm số có ba điểm cực
trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ?
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
5.
Câu 71: Gọi
S
tập hợp các giá trị
m
để đồ thị hàm số
4 2 2
21y x m x
có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của
S
bằng
A. 2. B. 4. C. 8. D. 6.
Câu 72: Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2 2
23y x mx m
có ba điểm cực trị lập thành một tam giác nhận
0;7G
.
A.
1.m
B.
3
.
7
m 
C.
1.m 
D.
3.m 
Câu 73: Gọi
1
m
,
2
m
là các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
2 3 1y x x m
có hai điểm cực
trị là
B
,
C
sao cho tam giác
OBC
có diện tích bằng
2
,với
O
là gốc tọa độ. Tính
12
.mm
.
A.
6
. B.
15
. C.
12
. D.
20
.
Câu 74: Gọi
S
là tập hợp các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
11
2
32
y x mx x
có giá trị
tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền
7
. Số phần tử của
S
là
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 75: Cho biết đồ thị hàm số
4 2 2 4
22y x mx m m
có 3 điểm cực trị
,,A B C
cùng với điểm
0; 3D
là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi S là tổng các giá trị
m
thỏa mãn đề bài thì S thuộc
khoảng nào sau đây?
A.
S 2;4
. B.
9
S ;6
2



. C.
5
S 1;
2



. D.
5
S 0;
2



.
Dạng 3: Bài toán cực trị liên quan đến hàm ẩn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 76: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 77: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
2y f x x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 78: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 2 1 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
3g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
4.x
D.
2.x
Câu 79: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm
3
2
' ( 1) 1 3 ,f x x x x x
. Số điểm cực trị của
hàm số
y f x
là
A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.
Câu 80: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 2 1 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
21g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
3
.
2
x
D.
2.x
Câu 81: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 2 1 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
2.x
Câu 82: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 2 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
23g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
2.x 
D.
2.x
Câu 83: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 2 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
52g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
7
.
2
x
C.
2.x 
D.
5
.
2
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 84: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
21g x f x
đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
1.x
C.
3.x
D.
5.x
Câu 85: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x 
B.
2.x
C.
1
.
2
x
D.
3
.
2
x
Câu 86: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 3 , .f x x x x
Số điểm cực trị của hàm số
2
2g x f x x
là
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
2.
Câu 87: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
2
2g x f x f x



là
A.
4.
B.
6.
C.
7.
D.
5.
Câu 88: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số
g x f f x
là
A.
11.
B.
10.
C.
9.
D.
8.
Câu 89: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm
fx
cho bởi hình vẽ sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
x
y
1
3
-1
-1
O
1
Hàm số
2
1g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
0.x
C.
1.x 
D.
2.x
Câu 90: Cho hàm số
fx
có đạo hàm
2020
2019 3
2
2 2 3 , .f x x x x x x
Số điểm cực trị
của hàm số
fx
là
A.
5
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 91: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số
2.y f x
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
5.
Câu 92: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số
2g x f x
là
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 93: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

1
0

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10


để hàm số
h x f x m
có đúng 3 điểm cực trị?
A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 94: Cho hàm số
fx
liên tục trên có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
2019g x f x
là
A.
5
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
3
3y x x m
có đúng 5 điểm cực trị?
A. Vô số. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 96: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu
fx
như sau:
x

1
3

fx
0
0
Số điểm cực trị của hàm số

3
2
3g x f x x
là
A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.
Câu 97: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
9 16f x x x
,
x
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số
m
để hàm số
3
7g x f x x m
có ít nhất
3
điểm cực trị?
A.
16
. B.
9
. C.
4
. D.
8
.
Câu 98: Cho hàm số
32
( ) 6 (3 6)f x x x m x
, với
m
là tham số thực, có bao nhiêu giá trị nguyên
của
m
để hàm số
()g x f x
có
5
điểm cực trị?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
Câu 99: Cho hàm số
y f x
có đồ thị của
32y f x

như hình vẽ sau:
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
x
y
2
1
-2
O
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2021;2021m
để hàm số
3
2021g x f x x m
có ít nhất
5
điểm cực trị?
A.
2019.
B.
2020.
C.
2021.
D.
2022.
Câu 100: Cho hàm đa thức bậc ba
y f x
như hình vẽ.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
y f f x m
có đúng 6 điểm cực trị?
A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 101: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ sau:
Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
4y f x x m
có 3
điểm cực trị. Số phần tử của
S
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Câu 102: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm là
2
( ) 10f x x x

,
x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
để hàm số
42
8y f x x m
có đúng 9 điểm cực trị?
A. 16. B. 9. C. 15. D. 10.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 103: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
y f x x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 104: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
32g x f x
đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
0.x
D.
3.x
Câu 105: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hỏi hàm số
24g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
3.x
B.
2.x
C.
0.x
D.
4.x
Câu 106: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 3 , .f x x x x
Hỏi hàm số
2
2g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
3.x 
Câu 107: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 1 5 , .f x x x x x
Số điểm cực trị của
hàm số
2
31g x f x x
là
A.
5.
B.
3.
C.
7.
D.
4.
Câu 108: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 1 5 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
2
31g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
4.x 
B.
3.x 
C.
1.x 
D.
1.x
Câu 109: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

fx
0
0
0
Số điểm cực trị của hàm số
2
1g x f x
là
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Câu 110: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

fx
0
0
0
Hàm số
2
1g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x 
C.
1.x
D.
2.x
Câu 111: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm
fx
cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
2g x f x x
là
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Câu 112: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm
fx
cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
3g x f x x
là
A.
3.
B.
1.
C.
4.
D.
2.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 113: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
32
1
3
g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
0.x
C.
1.x
D.
1.x 
Câu 114: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
g x f f x
là
A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Câu 115: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
2
g x f x


là
A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Câu 116: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
1g x f f x
là
A.
7.
B.
6.
C.
8.
D.
5.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 117: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx


Số điểm cực trị của hàm số
1g x f x
là
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Câu 118: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx


Số điểm cực trị của hàm số
11g x f x
là
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Câu 119: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

5
3

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
h x f x m
có đúng 5 điểm
cực trị?
A. Vô số. B. 7. C. 5. D. 4.
Câu 120: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10


để hàm số
3
3y x x m
có
đúng 3 điểm cực trị?
A. 21. B. 19. C. 20. D. 18.
Câu 121: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu
fx
như sau:
x

3
1
2

fx
0
0
0
Số điểm cực trị của hàm số
3
2
31g x f x x
là
A. 9. B. 11. C. 7. D. 8.
Câu 122: Cho hàm số
4 3 2
12 30 4f x x x x m x
với
m
là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên
m
để hàm số
g x f x
có đúng 7 điểm cực trị?
A.
27
. B.
31
. C.
28
. D.
30
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 123: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
22
3 1 2 1 1f x x x x m x m


, x
. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
g x f x
có 5 điểm cực trị?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 124: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
3
41g x f x m
có 7 điểm cực
trị?
A. Vô số. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Câu 125: Cho hàm số
fx
có đạo hàm
2
2
14f x x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực
m
để hàm số
2
2 12g x f x x m
có đúng
5
điểm cực trị?
A.
17
. B.
18
. C.
16
. D.
19
.
Câu 126: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
4 g x f f x f x m
có
17
điểm cực trị bằng
A.
1652
. B.
1653
. C.
1654
. D.
1651
.
IV- LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu
fx
đổi dấu khi qua điểm
0
x
và
fx
liên tục tại
0
x
thì hàm số
y f x
đạt cực
trị tại điểm
0
x
.
B. Hàm số
y f x
đạt cực trị tại
0
x
khi và chỉ khi
0
0fx
.
C. Nếu
0
0fx

thì
0
x
không phải là điểm cực trị của hàm số.
D. Nếu
0
0fx

và
0
0fx
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
B sai vì
fx
có thể không xác định tại điểm
0
x
mà hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm
0
x
.
Chẳng hạn với
f x x
đạt cực tiểu tại
0x
nhưng không có đạo hàm tại đó.
C sai vì
0
0fx

chưa thể kết luận được hàm số đạt cực trị tại
0
x
. Chẳng hạn
4
f x x
có
00

f
và nó vẫn đạt cực tiểu tại
0x
.
D sai vì nếu
0
0fx

và
0
0fx
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
Câu 2: Cho hàm số
y f x
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.
0
xx
là điểm cực tiểu của hàm số thì hàm số có giá trị cực tiểu là
0
fx
.
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm
0
xx
thì
0
0fx
.
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm
0
xx
thì
fx
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua
0
x
.
D. Nếu hàm số đơn điệu trên thì hàm số không có cực trị.
Lời giải:
Hàm số đạt cực trị tại điểm
0
xx
thì
0
0fx
hoặc hàm số không có đạo hàm tại
0
x
.
Câu 3: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì
0
0fx
.
B. Hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì
fx
đổi dấu qua
0
x
.
C. Nếu
0
0fx
thì hàm số đạt cực trị tại
0
x
.
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì
0
0fx
.
Lời giải:
Đáp án A sai, sửa lại là
0
0fx
.
Đáp án B sai vì
fx
đổi dấu chứ không phải
fx
.
Đáp án C sai vì hàm số
3
yx
có
00f
nhưng không đạt cực trị tại
0x
.
Câu 4: Hàm số
fx
có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là
A.
4
. B.
1
. C.
1
. D.

.
Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
1x
và giá trị cực tiểu là
1
CT
y 
.
Câu 5: Cho hàm số
y f x
liên trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số
y f x
là:
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải:
Ta có
y
đổi dấu khi
x
qua
1 2 3
,,x x x
nên hàm số có ba điểm cực trị.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 6: Cho hàm số
3
2
2
23
33
x
y x x
. Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
1; 2M
. B.
2
3;
3
N



. C.
3x
D.
1x
.
Lời giải:
Ta có:
2
43y x x
và
24yx


.
1
0
3
x
y
x

.
Ta có:
1 2 0y

;
3 2 0y


.
1x
là điểm cực đại của hàm số.
Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị?
A.
1
2
x
y
x
. B.
2
1 y x x
. C.
4
72 y x x
. D.
3
.yx
Lời giải:
Ta có , hàm số
1
2
x
y
x
và
3
yx
không có cực trị, hàm
4
72 y x x
có ba điểm cực trị. Hàm
số
2
1 y x x
có duy nhất một điểm cực tiểu.
Câu 8: Cho hàm số
42
8y x x
có đồ thị
C
. Gọi
,,A B C
là ba điểm cực trị của
C
. Tính diện tích
S
của tam giác
ABC
.
A.
16S
. B.
8S
. C.
32S
. D.
64S
.
Lời giải:
Cách 1 :
Hàm số
42
8y x x
có tập xác định:
D
Ta có:
3 3 2
0
' 4 16 ; ' 0 4 16 0 4 4 0
2
x
y x x y x x x x
x

Hàm số có 3 cực trị và tọa độ 3 điểm lần lượt là:
0;0 ; 2; 16 ; 2; 16A B C
Ta có
11
. . 2 .16.4 32
22
ABC B B
S y x
.
Cách 2 : Áp dựng công thức tính nhanh :
Cho hàm số
42
0y ax bx c a
có
3
cực trị tạo thành tam giác có diện tích
S
thì ta có công thức
tính nhanh:
3 2 5
32 . 0a S b
.
Câu 9: Số điểm cực trị của hàm số
25
12y x x
là
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
Lời giải:
Ta có
5 2 4 4
2 1 2 5 1 2 1 2 7 1y x x x x x x x
2
01
1
7
x
yx
x

Bảng biến thiên:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Vậy hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 10: Cho hàm số
y f x
liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải:
Đồ thị hàm số
y f x
có dược bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số
y f x
nằm
phía trên trục
Ox
hợp với phần đồ thị hàm số
y f x
nằm phía dưới
Ox
lấy đối xứng qua
Ox
. Ta được đồ thị như sau:
Từ đồ thị suy ra hàm số
y f x
có 5 điểm cực trị.
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn
y f x
và đồ thị đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bảng xét dấu:
x

0
1
2

fx
0
0
0
Câu 12: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
2
4 3 1 ,f x x x x
0; x
. Hỏi hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải:
Ta có:
2
0 3.
1
x
f x x
x
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
y f x
có 2 điểm cực trị.
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có 3 điểm cực trị?
A.
3
3.y x x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2 1. y x x
Lời giải:
+ Xét hàm số
42
21 y x x
có
2 0.ab
Câu 14: Gọi
,,A B C
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
42
24y x x
. Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác
ABC
bằng
A.
21
. B.
21
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải:
Ta có:
42
24y x x
3
4 4 4 1 1y x x x x x
Nên
04
0 1 3
13
xy
y x y
xy
Vậy tọa độ các điểm cực trị:
0;4A
,
1;3B
,
1;3C
Ta có:
2AB AC
;
2BC
2 2 2
12
2
p

Diện tích tam giác:
S p p BC p AC p AC
1 2 . 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 1
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:
S
r
p
1
21
12
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 15: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm cấp hai trên khoảng
K
và
0
xK
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
0
x
là điểm cực đại của hàm số
y f x
thì
0fx

.
B. Nếu
0fx

thì
0
x
là điểm cực trị của hàm số
y f x
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
C. Nếu
0
x
là điểm cực trị của hàm số
y f x
thì
0fx
.
D. Nếu
0
x
là điểm cực trị của hàm số
y f x
thì
0fx
.
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số
y f x
có giá trị cực đại là
M
và giá trị cực tiểu là
m
thì
Mm
.
(II). Đồ thị hàm số
42
0y ax bx c a
luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành. Số
khẳng định đúng là:
A.
0.
B.
2.
C.
1.
D.
3.
Lời giải:
Nhận xét (I) chỉ đúng với hàm bậc 3 và hàm bậc 4 trong chương trình học phổ thông.
Nhận xét (II) đúng vì hàm bậc 4 trùng phương có 1 hoặc 3 cực trị.
Nhận xét (III) sai vì có thể tiếp tuyến tại điểm cực trị có thể trùng với trục hoành.
Câu 17: Cho hàm
fx
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên . Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
B. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
C. Hàm số
fx
đạt cực trị tại
0
x
khi và chỉ khi
0
x
là nghiệm của đạo hàm.
D. Nếu
'fx
đổi dấu khi
x
qua
0
x
và
'fx
liên tục tại
0
x
thì hàm số
fx
đạt cực trị tại
0
x
Lời giải:
+) Các đáp án A, B đúng vì đó là định lý về điều kiện đủ để có cực trị.
+) Đáp án C sai vì chưa thỏa mãn điều kiện đủ của định lý. Cần thêm điều kiện
fx
đổi
dấu tại
0
x
.
+) Đáp án D đúng vì đó là nội dung của cách phát biểu khác của định lý 1
Câu 18: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
Tìm giá trị cực đại
CĐ
y
và giá trị cực tiểu
CT
y
của hàm số đã cho.
A.
C
5
Đ
y
và
1
CT
y 
. B.
C
1
Đ
y
và
0
CT
y
.
C.
C
1
Đ
y 
và
1
CT
y
. D.
C
5
Đ
y
và
0
CT
y
.
Lời giải:
Ta thấy vì đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua
1x 
và
15y 
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang âm qua
1x
và
10y
.
Vậy
C
5
Đ
y
và
0
CT
y
.
Câu 19: Cho hàm số
fx
có bảng biến thiên như sau :
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Số điểm cực trị của hàm số là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp
1
và
0y
tại
1x 
và không xác
định tại
0x
, đồng thời
y
đổi dấu khi đi qua các điểm
1x 
và
0x
.
Do đó hàm số có hai điểm cực trị là
1x 
và
0x
.
Câu 20: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó.
A.
32
5 6.y x x x
B.
32
6 9 1.y x x x
C.
32
6 9 6.y x x x
D.
42
3.y x x
Lời giải:
Kiểm tra đồ thị hàm số có các điểm cực đại và điểm cực tiểu tương ứng là
1;3 , 3; 1 .
Câu 21: Đồ thị hàm số
3
3y x x
có điểm cực tiểu là
A.
1; 2M
. B.
1;0N
. C.
1; 2P
. D.
1;0Q
.
Lời giải:
Ta có:
2
33f x x
.
2
1
0 3 3 0
1
x
f x x
x

.
Bảng biến thiên
Vậy
1; 2M
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 22: Cho hàm số
fx
có bảng biến thiên sau:
Hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3.
B.
5.
C.
2.
D.
4.
Lời giải:
Từ bảng biến thiên và cách suy đồ thị hàm số
y f x
từ hàm số
y f x
ta được bảng
biến thiên của hàm số
y f x
như sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Vậy đồ thị hàm số
y f x
có 3 điểm cực trị.
Câu 23: Cho hàm số
42
2 3. y x x
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải:
Ta có:
4 2 3 2
2 3 4 4 12 4.y x x y x x y x

0
0 1 .
1
x
yx
x

0 4 0; 1 1 8 0.y y y
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
1; 1xx
và giá trị cực
tiểu của hàm số là
1 1 2.
CT
y y y
Câu 24: Cho đồ thị hàm
y f x
như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ dàng thấy số điểm cực trị của hàm số là 5.
Câu 25: Cho hàm số bậc năm
y f x
và đồ thị đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải:
Bảng xét dấu:
x

0
1
2

fx
0
0
0
Câu 26: Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
2
1
.
x
y
x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
2
2 1. y x x
D.
3
1. y x x
Lời giải:
+ Xét hàm số
22
1
x
y
x
.
Tập xác định
\1D
,
2
4
0,
1
y x D
x
.
Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
Do đó hàm số
22
1
x
y
x
không có cực trị.
Câu 27: Cho hàm số
42
21y x x
có đồ thị
.C
Biết rằng đồ thị
C
có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác, gọi là
.ABC
Tính diện tích
.ABC
A.
2S
. B.
1S
. C.
1
2
S
. D.
4S
.
Lời giải:
Ta có
3
0
4 4 ; 0
1
x
y x x y
x


Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
0;1A
,
1;0B
,
1;0C
1; 1 ; 1; 1AB AC
.0
.
2
AB AC
AB AC

Suy ra
ABC
vuông cân tại
A
do đó
1
. 1.
2
S AB AC
Câu 28: Cho hàm số
2
20y x x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên
;4
. B. Hàm số đạt cực đại tại
5x
.
C. Hàm số đồng biến trên
5; 
. D. Hàm số không có cực trị.
Lời giải:
Tập xác định
; 4 5;D 
.
Ta có:
2
21
2 20
x
y
xx

.
Do
05yx
và
04yx
nên hàm số nghịch biến trên
;4
, đồng biến trên
5; 
và không có cực trị.
Câu 29: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm
2019 2021
2017
'( ) 1 2f x x x x
,
x
. Tổng bình
phương các điểm cực trị của hàm số là
A.
5
. B.
1
. C.
4
. D.
12229091.
Lời giải:
Ta có:
'0fx
0
1
2
x
x
x

.
Bảng biến thiên:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Dựa vào bảng biến thiên, ta được tổng bình phương các điểm cực trị của hàm
số:
2
22
2 0 1 5.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu?
A.
3
3.y x x
B.
4
2.yx
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2. y x x
Lời giải:
+ Xét hàm số
42
2 y x x
có
10
.
20
a
ab
Dạng 2: Bài toán tham số không liên quan đến hàm ẩn
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
32
, ; ; ; , 0 y ax bx cx d a b c d a
Ta xét:
2
32y ax bx c
có
2
3b ac
.
Điều kiện
2
0
30
a
b ac

Điều kiện
2
0
30
a
b ac

Điều kiện
2
0
30
a
b ac

Điều kiện
2
0
30
a
b ac

x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
Lưu ý:
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía Oy . Gọi
12
,xx
là các điểm cực trị của hàm số.
Ta có :
2
2
12
30
30
0
3
.0
0
b ac
b ac
ac
c
xx
a




.
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm một phía Oy . Gọi
12
,xx
là các điểm cực trị của hàm số.
Ta có :
2
2
2
12
30
30
30
3
.0
0
0
b ac
b ac
b ac
c
xx
ac
a






.
Điều kiện
0
0
a
c
Điều kiện
0
0
a
c
Điều kiện
2
0
0
30
a
c
b ac

Điều kiện
2
0
0
30
a
c
b ac

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
x
y
O
x
y
O
x
y
(C)
O
1
x
y
O
(C)
1
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
1) Điều kiện để hàm số
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có 3 điểm cực trị:
0ab
2) Điều kiện để hàm số
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có duy nhất một điểm cực trị:
0ab
Lưu ý: Trong trường hợp
a
chứa tham số thì ta chia 2 trường hợp
0a
và
0.a
3) Một số dạng đồ thị
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
và điều kiện về cực trị:
Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3
Dạng 4
Hàm số có duy nhất 1
điểm cực trị (cực tiểu)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
Hàm số có ba điểm cực
trị (2 điểm cực tiểu và
1 điểm cực đại)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
Hàm số có duy nhất 1
điểm cực trị (cực đại)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
Hàm số có ba điểm cực trị
(1 điểm cực tiểu và 2 điểm
cực đại)
x
y
O
Điều kiện:
0
0
a
b
4) Một số công thức giải nhanh cần lưu ý:
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
Dữ kiện
Công thức thỏa
0ab
1). Tam giác
ABC
vuông cân tại
A

3
80ab
2). Tam giác
ABC
đều

3
24 0ab
3). Tam giác
ABC
có góc
BAC

32
8 .tan 0
2
ab
4). Tam giác
ABC
có diện tích
0ABC
SS

3 2 5
0
32 ( ) 0a S b
5). Tam giác
ABC
có diện tích
0
()max S

5
0
3
32
b
S
a
6). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn nội tiếp
0ABC
rr





2
0
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a
7). Tam giác
ABC
có độ dài cạnh
0
BC m

2
0
20am b
8). Tam giác
ABC
có độ dài

0
AB AC n
2 2 4
0
16 8 0a n b ab
9). Tam giác
ABC
có cực trị
,B C Ox

2
40b ac
10). Tam giác
ABC
có
3
góc nhọn

3
(8 ) 0b a b
11). Tam giác
ABC
có trọng tâm
O

2
60b ac
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
12). Tam giác
ABC
có trực tâm
O
3
8 4 0b a ac
13). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn ngoại tiếp
0ABC
RR
3
8
8
ba
R
ab
14). Tam giác
ABC
cùng điểm
O
tạo hình thoi

2
20b ac
15). Tam giác
ABC
có
O
là tâm đường tròn nội tiếp
3
8 4 0b a abc
16). Tam giác
ABC
có
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
3
8 8 0b a abc
17). Tam giác
ABC
có cạnh
BC kAB kAC
3 2 2
. 8 ( 4) 0b k a k
18). Trục hoành chia tam giác
ABC
thành hai phần có diện
tích bằng nhau
2
42b ac
19). Tam giác
ABC
có điểm cực trị cách đều trục hoành

2
80b ac
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 31: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số nào dưới đây?
A.
32
31y x x
. B.
3
31y x x
. C.
42
21y x x
. D.
3
31y x x
.
Lời giải:
Quan sát hình dạng đồ thị ta loại đáp án hàm số
42
21y x x
do trên hình hàm số có hai
cực trị mà đáp án này hàm số có 3 cực trị.
Do nhánh bên phải của đồ thị đi lên nên loại đáp án
3
31y x x
.
Mặt khác quan sát đồ thị có hai điểm cực trị là
1x 
.
Xét đáp án A có
2
0
3 6 0
2
x
y x x
x
nên loại đáp án này.
Vậy hình trên là đồ thị hàm số
3
31y x x
.
Câu 32: Cho hàm số
32
( , , )y x bx cx d b c d
có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 0b c d
. B.
0, 0, 0b c d
. C.
0, 0, 0b c d
. D.
0, 0, 0b c d
.
Lời giải:
+ Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung (nằm phía trên trục hoành) ta kết luận
được
0d
. Loại đáp án C.
+ Ta có
2
' 3 2y x bx c
. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung
nên
12
0.
3
c
xx 
Suy ra
0.c
Loại đáp án B.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
+ Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
và
1 2 1 2 1 2
2
0 ( 0 , )
3
b
x x x x x x
.
Suy ra
0b
. Đáp án D.
Câu 33: Cho hàm số
42
,,y ax bx c a b c
có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0 a b c
. B.
0, 0, 0. a b c
C.
0, 0, 0 a b c
. D.
0, 0, 0.abc
Lời giải:
Do nhánh tiến đến

của đồ thị đi xuống nên
0a
Do đồ thị cắt trục tung tạo điểm có tung độ nhỏ hơn
0
nên
0c
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên:
00ab b
.
Câu 34: Cho hàm số
42
; ; , 0y ax bx c a b c a
có bảng biến thiên dưới đây:
Tính
2 3 .P a b c
A.
3.P
B.
6P
. C.
2P 
. D.
2P
.
Lời giải:
Ta có
32
4 2 2 2y ax bx x ax b
,
0y
2
0
2
x
b
x
a

.
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy
0a
;
0b
, hàm đạt cực đại tại
1x 
và
12y 
, hàm
đạt cực tiểu tại
0x
và
01y
. Suy ra,
1
2
2
1
b
a
a b c
c

1
2.
1
a
b
c

Do đó:
2 3 2P a b c
.
Câu 35: Biết
(0;2)M
,
(2; 2)N
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d
. Tính giá trị
của hàm số tại
3.x
A.
(3) 2y
. B.
(3) 11y
. C.
(3) 0y
. D.
(3) 3y 
Lời giải:
Ta có:
2
' 3 2y ax bx c
Từ giả thiết ta có
32
(0) 2 2 1
(2) 2 8 4 2 2 3
3 2 (3) 2
'(0) 0 0 0
'(2) 0 12 4 0 2
y d a
y a b c d b
y x x y
y c c
y a b c d
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 36: Đồ thị hàm số
32
32y f x x x ax b
có điểm cực tiểu là
2; 2A
. Tính
ab
.
A.
4.
B.
2.
C.
4.
D.
2.
Lời giải:
Ta có:
2
' 3 6 2f x x x a
Đồ thị
C
:
y f x
có điểm cực tiểu là
2; 2A
8 12 4 2 2
2
12 12 2 0 0
20
AC
a b b
ab
aa
f


.
Câu 37: Tập hợp các số thực
m
để hàm số
32
32 y x mx m x m
đạt cực tiểu tại
1x
là
A.
1
. B.
1
. C.
. D. .
Lời giải:
Ta có
2
3 6 2
y x mx m
và
66

y x m
.
Hàm số
32
32 y x mx m x m
đạt cực tiểu tại
1x
10
10

y
y
3 6 2 0
6 6 0

mm
m
1
1
m
m
không có giá trị của
m
thỏa mãn yêu
cầu bài toán.
Câu 38: Tìm tất cả tham số thực
m
để hàm số
4 2 2
1 2 2019y m x m x
đạt cực tiểu tại
1x 
.
A.
0m
. B.
2m 
. C.
1m
. D.
2m
.
Lời giải:
TXĐ
D.
Ta có
32
4 1 2 2y m x m x
22
12 1 2 2y m x m

+ Điều kiện cần : để hàm số đạt cực tiểu tại
1x 
2
2
4 1 2 2 0
' 1 0
2
" 1 0
12 1 2 2 0
mm
f
m
f
mm




+ Điều kiện đủ : Với
2m
hàm số trở thành
42
2 2019y x x
Ta có:
3
1
' 0 4 4 0 0
1
x
y x x x
x

.
Như vậy, hàm số đạt cực tiểu tại
1x 
.
Câu 39: Tập hợp các giá trị của
m
để hàm số
32
1
21
3
y x mx m x
có hai cực trị là
A.
; 1 2; 
B.
; 1 2; 
C.
1;2
D.
1;2
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Lời giải:
Ta có
2
22y x mx m
. Để hàm số có hai cực trị thì
0y
có hai nghiệm phân biệt nên
2
1
0 0 2 0 .
2
m
y m m
m


Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m
trên miền
10;10
để hàm số
42
2 2 1 7y x m x
có ba điểm cực trị?
A.
20.
B.
10.
C. Vô số. D.
11.
Lời giải:
Ta có
2
' 4 2 1 ;y x x m


2
0
0
2 1 *
x
y
xm


Hàm số đã cho có ba cực trị
0
y
có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt
khác
0
1
2 1 0
2
mm
. Do
10;10m
nên có
11
giá trị thỏa mãn.
Câu 41: Tất cả cả các giá trị của tham số
m
để
32
31y x x mx
đạt cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn
22
12
6xx
là
A.
3.m 
B.
3.m
C.
1.m 
D.
1.m
Lời giải:
2
36y x x m
. Hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
.Vậy
12
,xx
là nghiệm của phương trình
'0y
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì
0 36 12 0 3 *
y
mm
Theo viet ta có
12
12
2
.
.
3
xx
m
xx

Ta có:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
2
4
3
m

2
46
3
m
3m
thỏa (*).
Câu 42: Tìm tất các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2 2
33y x mx m
có hai điểm cực
trị là
,AB
sao cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
24
(với
O
là gốc tọa độ ).
A.
2m
. B.
1m
. C.
2m 
. D.
1m 
.
Lời giải:
Xét
2
3 6 3 2y x mx x x m
;
0
0 3 2 0
2
x
y x x m
xm
.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
0m
.
Tọa độ hai điểm cực trị là
2 2 3
0;3 , 2 ;3 4A m B m m m
.
Phương trình đường thẳng
OA
:
0x
.
Ta có:
2
11
. ; 3 . 2 24
22
OAB
S OAd B OA m m
2
82m m m
.
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
42
1 1 2y mx m x m
có một cực
trị.
A.
1.m
B.
0.m
C.
0 1.m
D.
0
.
1
m
m
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Ta có:
3
4 2 1y mx m x
TH 1: Xét
02m y x
. Ta thấy phương trình
0y
đổi dấu một lần nên hàm số có một
điểm cực trị. Suy ra
0m
(thoả YCBT) (1)
TH 2: Xét
3
14m y x
.Ta thấy phương trình
0y
đổi dấu một lần nên hàm số có một
điểm cực trị. Suy ra
1m
(thoả YCBT) (2)
TH 3: Xét
0m
,
2
0
0
1
2
x
y
m
x
m

Để hàm số có một điểm cực trị thì
0
1
0
1
2
m
m
m
m

(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
0
1
m
m
Ghi chú: Dùng công thức tính nhanh
Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi
0
1 0 .
1
m
mm
m
Câu 44: Cho hàm số
42
(2 1) 1y mx m x
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số đã
cho có đúng một điểm cực tiểu.
A. Không tồn tại
m
. B.
0.m
C.
1
.
2
m 
D.
1
0.
2
m
Lời giải:
Với
0m
, ta có
2
1yx
'2yx
. Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu. Suy
ra
0m
thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1)
Với
0m
, ta có
32
' 4 2(2 1) 2 (2 2 1)y mx m x x mx m
Hàm số có một cực trị là cực tiểu
2
0
2 2 1 0 vô nghiêm
m
mx m
0
21
0
2
m
m
m

0
1
0
2
0
m
m
m
m
(2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi
0.m
Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
32
2 5 4 2y x x x m
có giá trị cực cực đại và
giá trị cực tiểu trái dấu là
A.
13
. B.
11
. C.
9
. D.
12
.
Lời giải:
32
2 5 4 2y x x x m
2
2 10
6 10 4 0
1 73
3 27
x y m
y x x
x y m
.
Giá trị cực cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu
73 73
10 . 0 10
27 27
m m m



.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Mà
m
. Vậy có
12
có giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 46: Tập tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
1
12
3
y x x m x
có hai điểm
cực trị nằm bên trái trục tung là
A.
;1 .
B.
1;2 .
C.
;2 .
D.
1;
.
Lời giải:
Ta có:
2
21y x x m
.
Đồ thị hàm số đã cho có
2
điểm cực trị nằm bên trái trục tung
0
y
có hai nghiệm âm
phân biệt
0
1 1 0
0 2 0 1 2
0 1 0
y
m
Sm
Pm



.
Câu 47: Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
42
21 y x mx m
có giá trị
cực tiểu bằng
1
. Tổng các phần tử thuộc
S
là
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải:
Ta có:
3
44
y x mx
.
TH 1: Phương trình
2
0 4 0
y x x m
có 1 nghiệm thực, tức là hàm số
42
21 y x mx m
có điểm cực tiểu là
0x
. Khi đó
0m
. Theo bài ra:
0 1 1 2 y m m
(thỏa mãn đk
0m
).
TH 2: Phương trình
2
0 4 0
y x x m
có 3 nghiệm thực, tức là hàm số
42
21 y x mx m
có điểm cực tiểu là
xm
. Khi đó
0m
. Theo bài ra:
2
2
11
1

m
y m m m
m
. So sánh với đk
0m
, giá trị thỏa mãn là
2m
.
Vậy
2;2S
, tổng các phần tử thuộc
S
bằng
0
.
Câu 48: Biết
0
mm
thì đồ thị của hàm số
3
32y x mx
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai
điểm cực trị đó bằng
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
2; 1 . m
B.
0
1;0 .m
C.
0
1;2 .m
D.
0
0;1 .m
Lời giải:
Tập xác định
D
.
Ta có
2
33y x m

. Để đồ thị của hàm số
3
32y x mx
có hai điểm cực trị
0y

có hai
nghiệm phân biệt
00m
.
Khi đó :
22
0
22
x m y m m
y
x m y m m

Giả sử hai điểm cực trị
; 2 2 , ;2 2A m m m B m m m
Ta có
22
2
2 4 2 4 4AB AB m m m
33
4 16 4 4 1 0m m m m
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
2
2
2 1 0
1
2 1 2 1 0
2 1 0
2
m
m m m m TM
m m VN

.
Câu 49: Tìm
m
để đồ thị hàm số
42
21y x mx
có ba điểm cực trị
0;1A
,
B
,
C
thỏa mãn
4.BC
A.
2m
. B.
4m 
. C.
2m 
. D.
4m
.
Lời giải:
Tập xác định
D
.
Ta có:
32
4 4 4y x mx x x m
.
Hàm số có 3 cực trị
00 ab m
.
Lúc đó:
2
0 0 1
0
1
xy
y
x m y m m

.
Suy ra
0;1A
,
2
;1B m m
,
2
;1C m m
.
Lúc đó:
4 4 4 4BC m m
(thỏa mãn)
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
42
21y x mx m
có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
?
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải:
Ta có:
3
' 4 4 0y x mx
2
40x x m
2
0x
xm
Theo yêu cầu bài toán ta có:
0m
Ta có
0; 1Am
;
2
;1B m m m
;
2
;1C m m m
Gọi
H
là trung điểm của cạnh
BC
. Ta có
2
0; 1H m m
1 . .
.
24
ABC
AB AC BC
S AH BC
R

2
2.AB AH R
trong đó
2
4
AH m
AB m m

Suy ra
42
2m m m
32
2 1 0 1 1 0m m m m m m m
0
1
15
2
15
2
m
m
m
m


. Đối chiếu điều kiện ta được
15
1;
2
S



.
Câu 51: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m m
, với
m
là tham số. Gọi
,AB
là hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số và
2; 2I
. Gọi
S
là tập hợp các giá trị thực của tham số
m
sao cho ba
điểm
,,I A B
tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng
5
. Tính tổng các
phần tử của
S
.
A.
20
17
. B.
15
17
. C.
3
17
. D.
4
17
.
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Ta có
22
3 6 3 3y x mx m
.
Vì
10
nên hàm số luôn có hai cực trị với mọi
m
. Gọi
1; 4 2 ; 1; 4 2A m m B m m
suy ra
25AB
nên
AB
là đường kình đường tròn
ngoại tiếp tam giác
IAB
.
Ta có
1; 4 ; 3; 4 4IA m m IB m m
Vì
2
1
. 0 1 3 4 4 4 0 17 20 3 0
3
17
m
IA IB IA IB m m m m m m
m
Tổng các phần tử của
S
là
20
17
.
Câu 52: Cho hàm số
32
1
( 2) 9 1
3
y x m x x
, với
m
là tham số. Gọi
1
x
,
2
x
là các điểm cực trị của
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
9 25xx
bằng
A.
15
. B.
90
. C.
450
. D.
45
.
Lời giải:
Ta có:
2
2 2 9y x m x
;
2
0 2 2 9 0y x m x
.
Do
2
2 9 0,mm
nên hàm số có hai cực trị.
Theo định lý Vi-et:
12
12
22
.9
x x m
xx

.
Khi đó
12
, xx
trái dấu.
+ Nếu
1
0x
thì
1 2 1 1 1
1 1 1
9 225 225
9 25 9 25. 9 2. 9 . 90x x x x x
x x x



Dấu “
” xảy ra khi và chỉ khi
2
1 1 1
1
225
9 25 5x x x
x
.
+ Nếu
1
0x
thì
1
0x
, khi đó
1 2 1 1 1
1 1 1
9 225 225
9 25 9 25. 9 2. 9 . 90x x x x x
x x x




Dấu “
” xảy ra khi và chỉ khi
2
1 1 1
1
225
9 25 5x x x
x
.
Vậy GTNN
12
9 25xx
là
90
. Dấu “
” xảy ra khi và chỉ khi
1
5x 
.
Câu 53: Cho hàm số
4 2 2
2 1 1y x m x m
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn
nhất.
A.
1
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
0m
. D.
1m
.
Lời giải:
Tập xác định:
D
.
Ta có:
3 2 2 2
4 4 1 4 1y x m x x x m


;
22
0
0
1
x
y
xm


.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số có ba điểm cực trị khi
2
1 0 1 1mm
.
Khi đó ba điểm cực trị là
0; 1Am
;
2 4 2
1 ; 2B m m m m
;
2 4 2
1 ; 2C m m m m
.
Gọi
H
là trung điểm của
42
0; 2BC H m m m
.
Khi đó:
2
2
0; 1AH m
;
2
2 1 ;0BC m
.
Vì
ABC
cân tại
A
nên
22
2 2 2 2
11
. . 1 .2 1 1 . 1
22
ABC
S AH BC m m m m
.
Mà
22
0; 1 1 1m m m S
.
Dấu “=” xảy ra khi
0m
(thỏa mãn).
Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên
m
để đồ thị hàm số
2
1

mx
yx
x
có hai điểm cực trị và các cực trị
này đều thuộc hình tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng
30
?
A.
9.
B.
8.
C.
7.
D.
6.
Lời giải:
Ta có:
3
2
1
1
m
y
x

3
2
3
2
0 1 0 1
1
m
y m x
x
33
2 2 2 2
2
3
11
1.
00
x m x m
xm
mm





Để đồ thị có hai cực trị thì phương trình
3
22
1xm
có 2 nghiệm phân biệt
3
2
10
1.
0

m
m
m
Vì 2 cực trị nằm trên đường tròn tâm O bán kính
30
nên
22
30.xy
Suy ra
2
3 3 3
2 2 2 2 2
30 1 1 1 30 4 8 8



x y m m m m
So điều kiện suy ra
8; 7;...; 2 . m
Vậy có 7 giá trị
m
cần tìm
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 55: Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
x
y
0
A.
42
3 1.y x x
B.
42
3 1.y x x
C.
32
3 1.y x x
D.
32
3 1.y x x
Lời giải:
Quan sát đồ thị ta có, đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương
42
0y ax bx c a
nên loại phương án C,D.
Dựa vào dạng đồ thị nên có hệ số
0a
, suy ra chọn đáp án B.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 56: Cho hàm số
42
0y ax bx c a
có đồ thị như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0.a b c
B.
0, 0, 0.a b c
C.
0, 0, 0.a b c
D.
0, 0, 0.a b c
x
y
O
Lời giải:
+ Do
lim 0
x
ya


và
0; 0.C Oy c c
Mặt khác hàm số có duy nhất một cực trị
nên suy ra
.0ab
, do
0 0.ab
Câu 57: Cho hàm số
32
, , , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
. B.
0, 0, 0, 0a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0a b c d
. D.
0, 0, 0, 0a b c d
.
Lời giải:
Do nhánh tiến đến

của đồ thị đi lên nên
0a
Do đồ thị cắt trục tung tạo điểm có tung độ lớn hơn
0
nên
0d
2
32y ax bx c
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
12
,xx
thỏa:
12
12
2
0
0
3
0
.0
3
b
xx
b
a
cc
xx
a


.
Câu 58: Biết
,,abc
là các số thực tùy ý,
0a
và hàm số
32
y ax bx cx
nhận
1x 
là một điểm cực
trị. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3 2 0a b c
. B.
a c b
. C.
32a c b
. D.
20ab
.
Lời giải:
Xét hàm số
32
y ax bx cx
( 0)a
.
Ta có
2
' 3 2 0y ax bx c
. Vì
1x 
là một điểm cực trị nên
y
có 1 nghiệm là
1x 
.
Suy ra
2
3 ( 1) 2 ( 1) 0 3 2 0 3 2a b c a b c a c b
.
Câu 59: Ta xác định được các số
,,abc
để đồ thị hàm số
32
y x ax bx c
đi qua điểm
0;1
và có
điểm cực trị
2;0
. Tính giá trị của biểu thức
4T a b c
.
A.
20
. B.
23
. C.
24
. D.
22
.
Lời giải:
Ta có:
32
y x ax bx c
;
2
32y x ax b
.
Đồ thị hàm số qua điểm
0;1
nên
1c
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Đồ thị hàm số có điểm cực trị
2;0
2
30
20
20
ab
y
y


2
30
8 4 2 0
12 4 0
ab
a b c
ab

17
4
5
a
b
.
Do đó:
17
4 4. 5 1 23
4
T a b c
.
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
4 2 2
1y x m x m
đạt cực tiểu tại
0.x
A.
1m
. B.
1m
. C.
m
. D.
1m
.
Lời giải:
Ta có:
/3
4 2 1y x m x
,
/
2
0
0
21
x
y
xm


;
3
12 2 1 .y x m

Yêu cầu bài toán
00
1.
00
y
m
y

(Do tính chất hàm trùng phương)
Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
32
31y x x mx
đạt cực tiểu tại
2x
.
A.
0m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
04m
.
Lời giải:
Ta có:
2
36y x x m
;
66yx


.
Hàm số đạt cực tiểu tại
20
0
20
60
20
y
m
xm
y


.
Câu 62: Tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
32
3 1 2y x x m x
có hai điểm cực trị
là
A.
2m
. B.
2m
. C.
4m 
. D.
2m
.
Lời giải:
Ta có
2
3 6 1y x x m
Để hàm số
32
3 1 2y x x m x
có hai điểm cực trị thì
0y
có hai nghiệm phân biệt
0 9 3. 1 0 2mm
.
Vậy với
2m
thì hàm số
32
3 1 2y x x m x
có hai điểm cực trị.
Câu 63: Cho hàm số
32
3 1 3 7 3y x m x m x
. Gọi
S
là tập các giá trị nguyên của tham số m
để hàm số không có cực trị. Số phần tử của
S
là
A.
2
. B.
4
. C.
0
. D. Vô số.
Lời giải:
Ta có:
2
3 6 1 3 7 3y x m x m
;
2
0 2 1 7 3 0y x m x m
.
Để hàm số không có cực trị thì
2
0 1 7 3 0mm
2
5 4 0mm
14m
. Do
1;2;3;4mS
. Vậy
S
có 4 phần tử.
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
32
1
( 2)
3
y x mx m x
có cực trị và các điểm cực đại,
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A.
2m
. B.
2m
. C.
02m
. D.
2m
.
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Ta có
2
2 ( 2)y x mx m
.
Hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu dương khi và chỉ khi phương trình
0y
có hai nghiệm phân biệt dương
2
12
12
0
20
0 2 0 2
20
.0
mm
x x m m
m
xx




.
Câu 65: Biết
0
m
là giá trị của tham số để hàm số
32
31y x x mx
có hai điểm cực trị
12
,xx
sao cho
22
1 2 1 2
13x x x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
1;7m 
. B.
0
7; 1m
. C.
0
15; 7m
. D.
0
7;10m
.
Lời giải:
3 2 2
3 1; 3 6y x x mx y x x m
. Hàm số có hai cực trị
' 9 3 0 3mm
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
2
3 6 0x x m
.
Áp dụng định lí Viét, ta có:
12
12
2
3
S x x
m
P x x

Ta có:
2
22
1 2 1 2 1 2 1 2
13 3 13 4 13 9 15; 7x x x x x x x x m m
Câu 66: Để đồ thị hàm số
42
31y x m x m
có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì
tất cả các giá trị thực của tham số
m
là
A.
3m
. B.
3m
. C.
3m
. D.
3m
.
Lời giải:
3
4 2 3y x m x
;
0y
2
2 2 3 0x x m
2
0
3
2
x
m
x

.
Hàm số
42
31y x m x m
là hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số
10a
nên
đồ thị hàm số có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu khi và chỉ khi đồ thị hàm số có
đúng một điểm cực trị
3
0
2
m

3m
.
Câu 67: Cho hàm số
42
2 1 1y mx m x
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để hàm số đã cho có một
điểm cực đại.
A.
1
0
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
1
2
m 
. D.
1
0
2
m
.
Lời giải:
Có
3
trường hợp sau thỏa mãn yêu cầu:
TH1: Hàm số là đa thức bậc
2
có hệ số của
2
x
âm (đồ thị là parabol hướng bề lõm xuống
dưới)
0
0
2 1 0
m
m
m
.
TH2: Hàm số là đa thức bậc
4
có đồ thị dạng
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
00
1
0
. 0 2 1 0
2
am
m
a b m




.
TH3: Hàm số là đa thức bậc
4
có đồ thị dạng
00
0
0 2 1 0
am
m
ab m




.
Vậy,
1
0 ;0 0;
2
m



1
2
m
.
Câu 68: Số giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
4 2 2
3y mx m x m
không có điểm cực đại
là
A.
4
. B.
2
. C.
5
. D.
0
.
Lời giải:
Tập xác định:
D
.
Với
0m
hàm số trở thành
2
3yx
. Khi đó hàm số có một điểm cực tiểu, không có điểm
cực đại. Vậy
0m
thỏa mãn.
Với
0m
ta có:
32
4 2 3 2 2 3y mx m x x mx m


;
2
0
0
3
2
x
y
m
x
m

.
Hàm số không có điểm cực đại khi:
0
03
3
0
2
m
m
m
m
. Vì
1;2;3mm
.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 69: Gọi
S
là tập các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
42
24y x mx m
có ba điểm
cực trị cách đều trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập
S
bằng
A. 2. B. 6. C. 0. D. 4.
Lời giải:
Tập xác định:
D
.
Ta có
3
' 4 4 ;y x mx
2
0
' 0 .
x
y
xm

Đồ thị hàm số
42
24y x mx m
có ba điểm cực trị
phương trình
'0y
có ba nghiệm
phân biệt
0m
.
Ta có
22
0; 4 , ; 4 , ; 4A m B m m m C m m m
là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
,,A B C
cách đều trục hoành
2
44
A B C
y y y m m m
2
2
0
44
4
2
44
4
mL
m m m
m
mL
m m m
m TM

.
Vậy
4m
. Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập
S
là 4.
Câu 70: Cho hàm số
4 2 2
64y mx m x
. Có bao nhiêu số nguyên
m
để hàm số có ba điểm cực
trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ?
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
5.
Lời giải:
Tập xác định
D
.
Ta có
32
4 2 6y mx m x
.
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
2
40
0 6 1; 2.
60
m
m
m m m
mm


Câu 71: Gọi
S
tập hợp các giá trị
m
để đồ thị hàm số
4 2 2
21y x m x
có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của
S
bằng
A. 2. B. 4. C. 8. D. 6.
Lời giải:
Ta có:
32
44y x m x

;
0
0
x
y
xm


.
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì
0m
.
+) Với
01xy
0;1 .A Oy
+) Với
4 4 4
1 ; 1 , ; 1x m y m B m m C m m
.
Để ý:
ABC
luôn cân ở
.A
Để 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
.0AB AC
6
8 8 0 1mm
.
Vậy tổng bình phương các phần tử của
S
bằng
2.
Câu 72: Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2 2
23y x mx m
có ba điểm cực trị lập thành một tam giác nhận
0;7G
.
A.
1.m
B.
3
.
7
m 
C.
1.m 
D.
3.m 
Lời giải:
Ta có:
3
0
4 4 ; 0 .
,0

x
y x mx y
x m m
Khi đó ba điểm cực trị là
2 2 2
0;3 , ,2 , ,2A m B m m C m m
.
Tam giác
A BC
nhận điểm
0;7G
làm trọng tâm thì
2
2
7
7 3 3.
3
m
mm
Câu 73: Gọi
1
m
,
2
m
là các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
2 3 1y x x m
có hai điểm cực
trị là
B
,
C
sao cho tam giác
OBC
có diện tích bằng
2
,với
O
là gốc tọa độ. Tính
12
.mm
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
6
. B.
15
. C.
12
. D.
20
.
Lời giải:
Ta có:
2
66y x x

;
0; 1
0
1; 2
x y m
y
x y m

.
Bảng biến thiên:
Vậy
0; 1Bm
,
1; 2Cm
;
1; 1 2BC BC
.
Ta có
: 1 0 BC x y m
;
1
;
2
m
d O BC
.
1 4 3
1
11
; . . . 2 2 1 4
1 4 5
22
2
OBC
mm
m
S d O BC BC m
mm



.
Vậy
12
. 15mm 
.
Câu 74: Gọi
S
là tập hợp các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
11
2
32
y x mx x
có giá trị
tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền
7
. Số phần tử của
S
là
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải:
Ta có:
2
' 1; y x mx
2
' 0 1 0y x mx
.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
' 4 0m
.
Khi đó, gọi các nghiệm của là
12
,xx
thì
12
,xx
chính là hoành độ hai điểm cực trị. Theo Viet ta
có
1 2 1 2
; . 1x x m x x
.
Theo bài ra ta có:
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
7 2 7 2 7 9 3x x x x x x m m m
).
Vậy có 2 giá trị của
m
thỏa mãn yêu cầu.
Câu 75: Cho biết đồ thị hàm số
4 2 2 4
22y x mx m m
có 3 điểm cực trị
,,A B C
cùng với điểm
0; 3D
là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi S là tổng các giá trị
m
thỏa mãn đề bài thì S thuộc
khoảng nào sau đây?
A.
S 2;4
. B.
9
S ;6
2



. C.
5
S 1;
2



. D.
5
S 0;
2



.
Lời giải:
Hàm số có 3 điểm cực trị
0 2 0 0ab m m
(2)
Với
0m
, ta có:
3
' 4 4y x mx
;
42
42
42
02
' 0 3
3
x y m m
y x m y m m
x m y m m
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Vậy 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là
4 2 4 2 4 2
0; 2 ; ; 3 ;C ; 3A m B m m m m m m m
.
Vì tứ giác
ABDC
có hai đường chéo vuông góc, do đó
ABDC
là hình thoi
hai đường chéo
của tứ giác
ABDC
cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
4 2 4 2
2 3 2 6
A D B C
y y y y m m m m
42
1
4 3 0
3
m
mm
m


.
Kết hợp với điều kiện (2) suy ra
1
3
m
m
1 3 2;4 .S
Dạng 3: Bài toán cực trị liên quan đến hàm ẩn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 76: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Lời giải:
Hàm số
y f x
đạt cực đại tại
0x
và đạt cực tiểu tại điểm
2.x
Câu 77: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
2y f x x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Lời giải:
Hàm số
2 2 0 2y f x x f x f x


có hai nghiệm (đơn) phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 78: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 2 1 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
3g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
4.x
D.
2.x
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số
3 1 2
3 0 3 2 1.
3 1 4
xx
g x f x x x
xx





Bảng xét dấu:
x

1
2
4

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
2.x
Câu 79: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm
3
2
' ( 1) 1 3 ,f x x x x x
. Số điểm cực trị của
hàm số
y f x
là
A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.
Lời giải:
Ta có :
3
2
1
' 0 ( 1) 1 3 0 1
3
x
f x x x x x
x

Căn cứ BBT ta thấy số điểm cực trị dương của hàm số
()y f x
là 2 (
1; 3xx
) nên số điểm
cực trị của hàm số
y f x
là 5.
Câu 80: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 2 1 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
21g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
3
.
2
x
D.
2.x
Lời giải:
Hàm số
1
2 1 1
3
2 2 1 0 2 1 2 .
2
2 1 1
0
x
x
g x f x x x
x
x


Bảng xét dấu:
x

0
1
3
2

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 81: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 2 1 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
2.x
Lời giải:
Hàm số
1
3 2 1
1
2 3 2 0 3 2 2 .
2
3 2 1
2
x
x
g x f x x x
x
x


Bảng xét dấu:
x

1
2
1
2

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x
Câu 82: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 2 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
23g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
2.x 
D.
2.x
Lời giải:
Hàm số
3
2 3 0
2
2 2 3 0 2 3 1 2 .
2 3 2 1
2
x
x
g x f x x x
x
x


Bảng xét dấu:
x

1
2
3
2
2

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại
1
.
2
x
Nhận xét: Do
fx
không đạt cực trị tại
0x
nên ta không cần xét nghiệm
0u
đối với hàm số
fu
khi tìm số điểm cực trị của hàm số
.fu
Câu 83: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 2 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
52g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
7
.
2
x
C.
2.x 
D.
5
.
2
x
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số
5
5 2 0
2
2 5 2 0 5 2 1 2 .
5 2 2 7
2
x
x
g x f x x x
x
x


Bảng xét dấu:
x

2
5
2
7
2

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
7
.
2
x
Câu 84: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
21g x f x
đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
1.x
C.
3.x
D.
5.x
Lời giải:
Hàm số
2 1 1 1
2 2 1 0 2 1 3 2.
2 1 5 3
xx
g x f x x x
xx





Bảng xét dấu:
x

1
2
3

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực tiểu tại điểm
2.x
Câu 85: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x 
B.
2.x
C.
1
.
2
x
D.
3
.
2
x
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số
3
2
3 2 0
1
2 3 2 0 3 2 2 .
2
3 2 4
1
2
x
x
g x f x x x
x
x



Bảng xét dấu:
x

1
2
1
2
3
2

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại
3
.
2
x
Câu 86: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 3 , .f x x x x
Số điểm cực trị của hàm số
2
2g x f x x
là
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
2.
Lời giải:
Hàm số
béi 2
22
2
1
2 2 0
1
2 2 2 0 2 1 .
1
23
3
x
x
x
g x x f x x x x
x
xx
x




Bảng xét dấu:
x

3
1
1

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
có ba điểm cực trị.
Câu 87: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
2
2g x f x f x



là
A.
4.
B.
6.
C.
7.
D.
5.
Lời giải:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số
0
2 . 2 2 1 0
10
fx
g x f x f x f x f x f x
fx

+) Với
1
0.
1
x
fx
x

+) Với
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1.1 0 1 , ,f x f x a b c
Vậy hàm số
gx
có 5 điểm cực trị.
Câu 88: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số
g x f f x
là
A.
11.
B.
10.
C.
9.
D.
8.
Lời giải:
Hàm số
0
.0
0
fx
g x f f x f x
f f x
+) Với
NghiÖm ®¬n
NghiÖm ®¬n
1
0 1 .
2
x
f x x
x

+) Với
0f f x
cã bèn nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1;2
cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1; vµ mét nghiÖm béi hai:
cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c c¸c nghiÖm trªn vµ mét nghiÖm béi hai:
1 , , ,
1 2; , , , 1
2
f x a b c d
f x a b c d x
fx

.
2x
Vậy hàm số
gx
có 11 điểm cực trị.
Câu 89: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm
fx
cho bởi hình vẽ sau:
x
y
1
3
-1
-1
O
1
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số
2
1g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
0.x
C.
1.x 
D.
2.x
Lời giải:
Hàm số
2
1
1 2 1 0 2 1 0 .
1
x
g x f x x x f x x f x x x
x


x
y
1
3
-1
-1
O
1
Bảng xét dấu:
x

1
0
1

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại
0.x
Câu 90: Cho hàm số
fx
có đạo hàm
2020
2019 3
2
2 2 3 , .f x x x x x x
Số điểm cực trị
của hàm số
fx
là
A.
5
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải:
+) Ta có:
2020
2019 3
2
2
0 2 2 3 0 1
3
x
f x x x x x x
x

.
+) Bảng biến thiên:
Hàm số
fx
có 1 điểm cực trị dương
2x
nên hàm số
y f x
có
2.1 1 3
điểm cực trị.
Câu 91: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Số điểm cực trị của hàm số
2.y f x
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
5.
Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số
2y f x
bằng số điểm cực trị hàm số
.y f x
Hàm số
fx
có 1 điểm cực trị dương nên hàm số
y f x
có
2.1 1 3
điểm cực trị.
Câu 92: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số
2g x f x
là
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số
2g x f x
bằng
mn
.
+)
m
là số điểm cực trị của hàm số
22y f x m
.
+)
n
là số nghiệm bội lẻ của phương trình
23f x n
.
Suy ra, số điểm cực trị của hàm số
2g x f x
bằng
5
.
Câu 93: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

1
0

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10


để hàm số
h x f x m
có đúng 3 điểm cực trị?
A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.
Lời giải:
Đặt
.g x f x m
+) Số điểm cực trị của hàm số
gx
là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số
fx
).
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
+)
h x g x
có đúng 3 điểm cực trị
0g x f x m
có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của
fx
)
, 10;10
1
10; 9;...; 1;0;1;2;..10 .
0
mm
m
m
m

Câu 94: Cho hàm số
fx
liên tục trên có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
2019g x f x
là
A.
5
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Lời giải:
Xét
2019h x f x
có
h x f x

;
1
00
4
x
h x f x
x


Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số
y h x
với trục hoành:
1
2019 0 2019 0 4
4
xa
f x f x x b b
xc

Vậy hàm số
y h x
có
3
điểm cực trị dương.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
g x h x
là
2.3 1 7
.
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
3
3y x x m
có đúng 5 điểm cực trị?
A. Vô số. B. 2. C. 5. D. 3.
Lời giải:
Đặt

32
1
3 ; 3 3 0 .
1
x
g x x x g x x
x
BBT:
x

1
1

gx
0
0
gx

2
2

Xét hàm số
.y g x m
+) Số điểm cực trị của hàm số
g x m
là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số
gx
).
+)
y g x m
có đúng 5 điểm cực trị
0g x m g x m
có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của
gx
)
2 2 1;0;1; .
m
mm

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 96: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu
fx
như sau:
x

1
3

fx
0
0
Số điểm cực trị của hàm số

3
2
3g x f x x
là
A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.
Lời giải:
Xét hàm số
3
3 2 2
3 3 .h x f x x h x g x f x x
Ta có:

C§
CT
2
2 3 2 3 2
32
3 6 0 0; 2
3 6 3 0 3 1 3,1.
3 3 3,3
x x x x
h x x x f x x x x x
x x x
Vậy
hx
có 3 điểm cực trị dương nên
h x g x
có
2.3 1 7
điểm cực trị.
Câu 97: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
9 16f x x x
,
x
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số
m
để hàm số
3
7g x f x x m
có ít nhất
3
điểm cực trị?
A.
16
. B.
9
. C.
4
. D.
8
.
Lời giải:
Cách 1: Ta có:
2
4
9 16 0 4 .
9
x
f x x x x
x

Để ý rằng, do
3
;7xx
cùng dấu nên
3
3
7 7 .x x x x
Lúc đó:
3
3
7 7 .g x f x x m f x x m
Xét hàm số
3
7.h x f x x m g x h x
Ta có:
2 3 3
3 7 7 ; 0 7 0h x x f x x m h x f x x m
33
33
33
7 4 7 4
7 4 7 4 ; 9 4 4 .
7 9 7 9
x x m x x m
x x m x x m m m m
x x m x x m





BBT hàm
3
7:t x x x
x

0

tx
tx

0

Hàm số
gx
có ít nhất ba điểm cực trị
hx
có ít nhất một điểm cực trị dương
*
9 0 9 1;2;3;4;5;6;7;8 .
m
m m m

Mở rộng:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
d) Hàm số
gx
có đúng ba điểm cực trị
hx
có đúng một điểm cực trị dương
90
4 9 4;5;6;7;8 .
40
m
m
mm
m



b) Hàm số
gx
có ít nhất năm điểm cực trị
hx
có ít nhất hai điểm cực trị dương
*
4 0 4 1;2;3 .
m
m m m

c) Hàm số
gx
có đúng năm điểm cực trị
hx
có đúng hai điểm cực trị dương
40
4 4 4; 3; 2; 1;0;1;2;3 .
40
m
m
mm
m


d) Hàm số
gx
có ít nhất bảy điểm cực trị
hx
có ít nhất ba điểm cực trị dương
4 0 4.mm
Cách 2: Ta có BBT của hàm
3
7y h x x x
như sau:
Ta có
33
7 . 7g x x x f x x m

. Rõ ràng
0x
là điểm cực trị của hàm
y h x
.
Ta có:
33
3 3 3
33
7 9 7 9
5 0 7 4 7 4
7 4 7 4
x x m x x m
f x x m x x m x x m
x x m x x m






.
Để hàm số
gx
có ít nhất
3
điểm cực trị thì phương trình
0gx
có ít nhất
2
nghiệm
phân biệt khác
0
và
gx
đổi dấu khi đi qua ít nhất
2
trong số các nghiệm đó.
Từ BBT ta có
9 0 9mm
1;2;3;4;5;6,7,8 .m
Vậy có 8 giá trị của
m
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 98: Cho hàm số
32
( ) 6 (3 6)f x x x m x
, với
m
là tham số thực, có bao nhiêu giá trị nguyên
của
m
để hàm số
()g x f x
có
5
điểm cực trị?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
Lời giải:
Hàm số
()g x f x
là hàm chẵn, nên hàm số
()g x f x
có
5
điểm cực trị
()y f x
có
2
điểm cực trị dương
0fx

có
2
nghiệm dương phân biệt
Ta có:
22
'( ) 0 3 12 3 6 0 4 2f x x x m x x m
Xét hàm số
2
( ) 4 2; '( ) 2 4h x x x h x x
Xét phương trình:
'( ) 0 2 4 0 2h x x x
Ta có bảng biến thiên của hàm số
()hx
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Để phương trình:
()h x m
có
2
nghiệm dương phân biệt ta có:
26m
Vậy có
3
giá trị nguyên của
m
.
Câu 99: Cho hàm số
y f x
có đồ thị của
32y f x

như hình vẽ sau:
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
x
y
2
1
-2
O
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2021;2021m
để hàm số
3
2021g x f x x m
có ít nhất
5
điểm cực trị?
A.
2019.
B.
2020.
C.
2021.
D.
2022.
Lời giải:
Đặt
32xt
ta có
3
2
x
t
và
7
2
3 2 0 1 .
1
1
x
t
f x f t x
t
x



Vì
3
2021g x f x x m
là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của
gx
bằng
2
lần số cực
trị dương của
3
2021f x x m
cộng với
1.
Với
0,x
ta có
3
2021 ;g x f x x m
23
3 2021 2021 .g x x f x x m

Ta có:
3
3
3
2021 7
0 2021 1
2021 1
x x m
g x x x m
x x m
3
3
3
2021 7 (1)
2021 1 (2).
2021 1 (3)
x x m
x x m
x x m
Hàm số
gx
có ít nhất
5
điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất
2
trong
3
phương trình
(1),
(2),
(3)
có nghiệm dương.
Xét hàm số
3
2021h x x x
có
2
3 2021h x x

.
Ta có BBT của
hx
như sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Vì
7 1 1m m m
nên ta có
1 0 1.mm
Mà
2021;2021m
nên
2021;...;0 .m
Vậy có
2022
giá trị nguyên
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 100: Cho hàm đa thức bậc ba
y f x
như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
y f f x m
có đúng 6 điểm cực trị?
A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Lời giải:
Giả sử
32
y f x ax bx cx d
.
Vì đồ thị của hàm số
y f x
đi qua các điểm có toạ độ là
0;1 , 1;3 , 2;5 , 3;1
32
11
33
31
8 4 2 5 0
27 9 3 1 1
da
a b c d b
f x x x
a b c d c
a b c d d







2
0
3 6 0
2
x
f x x x
x
.
Xét hàm số
0
.0
0
fx
y f f x m y f x f f x m
f f x m

00
22
0
22
xx
xx
f x m f x m
f x m f x m










.
Hàm số
y f f x m
có đúng 6 điểm cực trị
1
21
11
53
25
5
m
m
m
m
m
m


.
Mà
4; 3; 1;0mm
.
Vậy có
4
giá trị
m
nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 101: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
4y f x x m
có 3
điểm cực trị. Số phần tử của
S
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Lời giải:
Ta có:
2
2 4 4y' x f ' x x m
.
22
2
22
22
2
0 4 1 4 1
40
4 3 4 3
xx
x
y' x x m x x m
f ' x x m
x x m x x m






*
Hàm số
2
4y f x x m
có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
*
có đúng 3 nghiệm
bội lẻ.
Xét hàm số:
2
4g x x x
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình
*
có đúng ba nghiệm bội lẻ
34
37
14
m
m
m
3456S ; ; ;
Câu 102: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm là
2
( ) 10f x x x

,
x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
để hàm số
42
8y f x x m
có đúng 9 điểm cực trị?
A. 16. B. 9. C. 15. D. 10.
Lời giải:
Xét
2
0
( ) 10 0
10
x
f x x x
x

.
Xét
4 2 43 2
8 4 16 8y f x x m y x x f x x m

.
Cho
42
3
4 16 0
0
80
xx
y
f x x m


.
Xét phương trình:
3
0
4 16 0
2
x
xx
x

.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Xét phương trình:
42
80f x x m
42
42
4 2 4 2
81
80
8 10 8 10 2
x x m
x x m
x x m x x m

.
Đề hàm số
42
8y f x x m
có đúng 9 điểm cực trị thì phương trình
42
80f x x m
cần
có 6 nghiệm đơn
0x
và
2x 
.
Xét hàm số
42
8g x x x
có
3
0
' 16 0
2
x
g x x x
x

.
Ta có bảng biến thiên:
Xét hai đường thẳng
12
: , : 10d y m d y m
song song với trục
Ox
.
Vì
10m m m
, nên đường thẳng
2
d
nằm trên đường thẳng
1
d
.
Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm
0 10 16
10 0
0
m
m
m
. Vì
m
nên
9;...; 1m
.
Vì
0x
đã là cực trị của hàm số
42
8y f x x m
nên ta lấy cả trường hợp
0m
.
Vậy có
10
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 103: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
y f x x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Lời giải:
Hàm số
1 0 1y f x x f x f x


có duy nhất một nghiệm là
1x
(bội hai).
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Câu 104: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
32g x f x
đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
0.x
D.
3.x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Lời giải:
Hàm số
3 2 1 1
2 3 2 0 3 2 3 0 .
3 2 5 1
xx
g x f x x x
xx





Bảng xét dấu:
x

1
0
1

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực tiểu tại điêm
0.x
Câu 105: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Hỏi hàm số
24g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
3.x
B.
2.x
C.
0.x
D.
4.x
Lời giải:
Hàm số
2 4 0 2
2 2 4 0 2 4 2 3 .
2 4 4 4
xx
g x f x x x
xx





Bảng xét dấu:
x

2
3
4

gx
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
2.x
Câu 106: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1 3 , .f x x x x
Hỏi hàm số
2
2g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
3.x 
Lời giải:
Hàm số
béi 2
22
2
1
2 2 0
1
2 2 2 0 2 1 .
1
23
3
x
x
x
g x x f x x x x
x
xx
x




Bảng xét dấu:
x

3
1
1

gx
0
0
0
gx
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x 
Câu 107: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 1 5 , .f x x x x x
Số điểm cực trị của
hàm số
2
31g x f x x
là
A.
5.
B.
3.
C.
7.
D.
4.
Lời giải:
Hàm số
2
2
2
2
3
2
2 3 0
03
3 1 1
1
2 3 3 1 0 .
3 1 1
2
3 1 5
1
4
x
x
xx
xx
x
g x x f x x
xx
x
xx
x
x





Bảng xét dấu:
x

4
3
2
3
2
1
0
1

gx
0
0
0
0
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
có 5 điểm cực trị.
Câu 108: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
1 1 5 , .f x x x x x
Hỏi hàm số
2
31g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
4.x 
B.
3.x 
C.
1.x 
D.
1.x
Lời giải:
Hàm số
2
2
2
2
3
2
2 3 0
03
3 1 1
1
2 3 3 1 0 .
3 1 1
2
3 1 5
1
4
x
x
xx
xx
x
g x x f x x
xx
x
xx
x
x





Bảng xét dấu:
x

4
3
2
3
2
1
0
1

gx
0
0
0
0
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x 
Câu 109: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
fx
0
0
0
Số điểm cực trị của hàm số
2
1g x f x
là
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Lời giải:
Hàm số
Béi 2
2
2
2
2
0
0
11
10
2 1 0 0 .
11
2
13
2
x
x
xx
x
g x xf x x
x
x
x
x






Bảng xét dấu:
x

2
1
0
1
2

gx
0
0
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
có ba điểm cực trị.
Câu 110: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

fx
0
0
0
Hàm số
2
1g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x 
C.
1.x
D.
2.x
Lời giải:
Hàm số
Béi 2
2
2
2
2
0
0
11
10
2 1 0 0 .
11
2
13
2
x
x
xx
x
g x xf x x
x
x
x
x






Bảng xét dấu:
x

2
1
0
1
2

gx
0
0
0
0
0
gx
Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại các điểm
2; 2.xx
Câu 111: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm
fx
cho bởi hình vẽ sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
2g x f x x
là
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Lời giải:
Hàm số
2 2 0 2g x f x x f x f x


có ba nghiệm (đơn) phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 112: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm
fx
cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
3g x f x x
là
A.
3.
B.
1.
C.
4.
D.
2.
Lời giải:
Hàm số
3 3 0 3g x f x x f x f x


có duy nhất một nghiệm đơn
0
1x
và một
nghiệm bội chẳn
1.x 
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị.
Câu 113: Cho hàm số
y f x
có đồ thị đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ dưới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hỏi hàm số
32
1
3
g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
0.x
C.
1.x
D.
1.x 
Lời giải:
Hàm số
3 2 2 2
0
1
2 0 2 .
2
3
x
g x f x x x f x x x f x x x
x




Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
x
y
2
O
1
Bảng xét dấu:
x

0
2

gx
0
0
gx


Vậy hàm số
gx
đạt cực đại tại
0.x
Câu 114: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
g x f f x
là
A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Lời giải:
Hàm số
0
.0
0
fx
g x f f x f x
f f x
+) Với
1
0.
1
x
fx
x

+) Với
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1
cã mét nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1; vµ mét nghiÖm béi hai:
1 , ,
0.
1 , , 1
f x a b c
f f x
f x a b c x


Vậy hàm số
gx
có 6 điểm cực trị.
Câu 115: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
2
g x f x


là
A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Lời giải:
Hàm số
0
2.
0
fx
g x f x f x
fx


+) Với
1
0.
1
x
fx
x

+) Với
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1.0 , ,f x a b c
Vậy hàm số
gx
có 5 điểm cực trị.
Câu 116: Cho hàm số
y f x
có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
Số điểm cực trị của hàm số
1g x f f x
là
A.
7.
B.
6.
C.
8.
D.
5.
Lời giải:
Hàm số
0
1 . 1 1 . 0 .
10
fx
g x f f x f x f f x f x
f f x

+) Với
1
0.
1
x
fx
x

+) Với
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1
1 1 2 , ,
1 0 .
1 1 0 , ,
f x f x a b c
f f x
f x f x c d e
Vậy hàm số
gx
có 8 điểm cực trị.
Câu 117: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115

Số điểm cực trị của hàm số
1g x f x
là
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số
1g x f x
bằng số điểm cực trị hàm số
.y f x
Hàm số
fx
có 1 điểm cực trị dương nên hàm số
y f x
có
2.1 1 3
điểm cực trị.
Câu 118: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx


Số điểm cực trị của hàm số
11g x f x
là
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Lời giải:
Đánh giá
11g x f x 
Hai hàm số
gx
và
1gx
có cùng số điểm cực trị.
Xét
1 1 .h x f x h x f x
Ta có:
1 0 1
10
1 2 3
xx
fx
xx



1fx
có
2
điểm cực trị dương
1fx
có
2.2 1 5
điểm cực trị.
Vậy
11g x f x
có
2.2 1 5
điểm cực trị.
Câu 119: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

5
3

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
h x f x m
có đúng 5 điểm
cực trị?
A. Vô số. B. 7. C. 5. D. 4.
Lời giải:
Đặt
.g x f x m
+) Số điểm cực trị của hàm số
gx
là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số
fx
).
+)
h x g x
có đúng 3 điểm cực trị
0g x f x m
có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của
fx
)
*
3 5 1;2;3;4 .
m
mm

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 120: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10


để hàm số
3
3y x x m
có
đúng 3 điểm cực trị?
A. 21. B. 19. C. 20. D. 18.
Lời giải:
Đặt

32
1
3 ; 3 3 0 .
1
x
g x x x g x x
x
BBT:
x

1
1

gx
0
0
gx

2
2

Xét hàm số
.y g x m
+) Số điểm cực trị của hàm số
g x m
là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số
gx
).
+)
y g x m
có đúng 3 điểm cực trị
0g x m g x m
có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của
gx
)
, 10;10
2
10; 9;...; 2;2;3;..10 .
2
mm
m
m
m


Câu 121: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu
fx
như sau:
x

3
1
2

fx
0
0
0
Số điểm cực trị của hàm số
3
2
31g x f x x
là
A. 9. B. 11. C. 7. D. 8.
Lời giải:
Xét hàm số
3
3 2 2
3 1 3 1 .h x f x x h x g x f x x
Ta có:

C§
CT
Mét nghiÖm d¬ng
Hai nghiÖm d¬ng
2
2 3 2 3 2
32
3 6 0 0; 2
3 6 3 1 0 3 1 2 .
3 1 3
x x x x
h x x x f x x x x
xx
Vậy
hx
có 4 điểm cực trị dương nên
h x g x
có
2.4 1 9
điểm cực trị.
Câu 122: Cho hàm số
4 3 2
12 30 4f x x x x m x
với
m
là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên
m
để hàm số
g x f x
có đúng 7 điểm cực trị?
A.
27
. B.
31
. C.
28
. D.
30
.
Lời giải:
Xét hàm số
4 3 2
12 30 4f x x x x m x
.
Ta có
32
4 36 60 4f x x x x m
;
32
0 4 36 60 4f x m x x x
.
Hàm số
g x f x
có đúng 7 điểm cực trị
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Hàm số
fx
có đúng 3 điểm cực trị dương
Phương trình
0fx
có 3 nghiệm dương phân biệt
Phương trình
32
4 36 60 4m x x x
có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm số
32
4 36 60 4h x x x x
.
Ta có:
2
12 72 60h x x x
;
1
0
5
x
hx
x

.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có
* 4 32m
.
Vì
m
nên
5;6;7;...;31m
.
Vậy có 27 giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 123: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
22
3 1 2 1 1f x x x x m x m


, x
. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
g x f x
có 5 điểm cực trị?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải:
Để hàm số
g x f x
có 5 điểm cực trị thì hàm số
y f x
có 2 điểm cực trị dương. Ta
có
22
1
03
2 1 1 0 *
x
f x x
x m x m
.
Vì
3x
là nghiệm bội chẵn nên để hàm số
y f x
có 2 điểm cực trị dương thì (*) có 2
nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm
x
dương khác 1 và một nghiệm
0x
Điều kiện tương đương
2
22
2
2
10
11
1 2 1 .1 1 0
13
1
1 1 0
m
m
mm
m
m
mm





.
Mà
0;1mm
.
Câu 124: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
3
41g x f x m
có 7 điểm cực
trị?
A. Vô số. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải:
Ta có:
2 3 3
3
12 4 1 4 1
41
x f x f x m
gx
f x m



.
Dễ thấy:
2
12 0,xx
.
Từ bảng biến thiên ta có:
3
33
3
4 1 3
0
4 1 0 4 1 1 1
1
4 1 5
x
x
f x x x
x
x

.
Ta có:
3
4 1 0f x m
*
3
41f x m
.
Đặt:
3
41tx
2
12 0 0t x x
.
Ta có bảng biến thiên:
Để hàm số
gx
có 7 điểm cực trị thì phương trình
*
phải có 4 nghiệm bội lẻ khác
0
và
1
.
Suy ra
0 2 2 0mm
.
Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
Câu 125: Cho hàm số
fx
có đạo hàm
2
2
14f x x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực
m
để hàm số
2
2 12g x f x x m
có đúng
5
điểm cực trị?
A.
17
. B.
18
. C.
16
. D.
19
.
Lời giải:
2
2
1
1 4 0 0
4
x
f x x x x x
x

( Trong đó
1x 
là nghiệm bội chẵn)
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Yêu cầu bài toán tương đương với
2
4 12 . 2 12 0g x x f x x m

phải có 5 nghiệm
đơn
2
2
3
2 12 0
2 12 4
x
x x m
x x m
có 5 nghiệm đơn
2
2
3
2 12
2 12 4
x
x x m
x x m
có 5 nghiệm đơn.
Ta phải có
18 18.mm
Vậy có
17
giá trị nguyên dương của
m
thỏa bài toán.
Câu 126: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
4 g x f f x f x m
có
17
điểm cực trị bằng
A.
1652
. B.
1653
. C.
1654
. D.
1651
.
Lời giải:
Đặt
2
1;2
4 2 2 0
;;
x
u u x f x f x u f x f x u
x a b c

.
Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau:
12 a b c
.
Bảng biến thiên của hàm số
2
4u f x f x
.
60
-3
-4
-4
-4
+
∞
+
∞
+
+
+
0
0
0
0
+
∞
0
c
2
b
1
a
∞
u
u'
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Ta có
.

g x f u m g x u m f u m
. Do đó số điểm cực trị của hàm số
2
4 g x f f x f x m
chính là số nghiệm bội lẻ của hệ sau:
0
0 ; 1; ;2; ; 1; ;2;
2; 2
2
0
um
u m u m
u m x a b c x a b c
u m m
um
f u m




.
Do đó số điểm cực trị của hàm số
gx
phụ thuộc vào số giao điểm của các đường thẳng
2; ; 2y m y m y m
với đồ thị
ux
.
Vì không tính điểm tiếp xúc nên các đường thẳng này chỉ có thể cắt đồ thị hàm số
ux
tại
2
điểm;
4
điểm;
6
điểm hoặc không cắt đồ thị hàm số
ux
.
Do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm
m
nguyên để các đường thẳng trên cắt đồ thị
ux
tại
12
điểm phân biệt
3 2 60
1 58 1;0;1;...;57 1652
3 2 60
m
m m S
m
.
___________________________HẾT___________________________
Huế, 10h00’ Ngày 15 tháng 5 năm 2023
| 1/77
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 12 KHẢO SÁT HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
 CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Môn: TOÁN 12_GIẢI TÍCH
Chủ đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I- LÝ THUYẾT
1- Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên a;b ( có thể a là  , b là  ) và
điểm x a; b . 0  
a) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f (x)  f (x ) với mọi x x h; x h và x x thì ta nói hàm 0 0  0 0
số f (x) đạt cực đại tại x . 0
b) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f (x)  f (x ) với mọi x x h; x h và x x thì ta nói hàm 0 0  0 0
số f (x) đạt cực tiểu tại x . 0
2- Chú ý: Nếu hàm số f (x) đạt cực đại ( cực tiểu) tại x thì x được gọi là điểm cực đại ( điểm 0 0
cực tiểu) của hàm số; f (x ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là 0
f ( f ) , còn điểm M x ; f (x ) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 0  0 0  C§ CT
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn
gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
3-1. Định lý: Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại đó thì / f x  0 0  0
Lưu ý: Định lý khẳng định tại các điểm x mà /
f x  0 thì x không phải là điểm cực trị của hàm số. 0  0 0 Nếu /
f x  0 thì chưa thể khẳng định x là điểm cực trị. 0  0
3-2. Định lý: (DẤU HIỆU I)
Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm trong khoảng a;b và /
f x  0, x a;b . 0  0  
a) Nếu qua x đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là /
f (x)  0, x   x và 0 0 /
f (x)  0, x
  x thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0 0
b) Nếu qua x đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm , tức là /
f (x)  0, x   x và 0 0 /
f (x)  0, x
  x thì hàm số đạt cực đại tại x . 0 0 x a x b x a x 0 b 0 f / (x) - 0 + f / (x) + 0 - CD f(x) f(x) CT
3-3. Định lý: (DẤU HIỆU II)
Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm trong khoảng a;b và /
f x  0, x a;b . 0  0   a. Nếu //
f x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0  0 b. Nếu //
f x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0  0
4- Một số nhận xét quan trọng:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
a) Với các hàm số thường gặp, nếu x là điểm cực trị thì /
f x  0 . Nói cách khác x là 0  0 0
nghiệm của phương trình /
f x  0 . Hay / f  / xf x  0 C§   CT
b) Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: QUY TẮC I QUY TẮC II Bước 1: Tìm TXĐ Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính /
f x . Xác định các điểm tới hạn. Bước 2: Tính /
f x . Giải /
f x  0 và kí hiệu
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
x ( i  1, 2,... ) là các nghiệm của nó. i Bước 3: Tính // f x và //
f x . Kết luận i
II- BÀI TẬP TỰ LUẬN
1) Tìm cực trị của các hàm số sau: 1 4 1 a) 3 2
f (x)  x x  3x  b) 3
f (x)  3x x
1 c) f (x)  x  1  3 3 x  2 4 4 x
d) f (x)  x   3 e) 2 f (x)   2x  6 f) 4 3
f (x)  x  2x  2x  1 x 4 x  1 5 3 2 2x  1 x x x  3x  3
g) f (x)  h) f (x)  k) f (x)  
 2 l) f (x)  x2 x  1 5 3 x  1
2) Tìm cực trị của các hàm số sau: a) f (x)  s 2 in2x  3 b) 2
f (x)  x 4  x c) 2 f ( )
x  8  x d) f ( )
x x  sin2x  2
e) f (x)  3  2cosx  cos2x f) 5 3
y x x  2x
1 g) f (x)  sinx  cosx
3) Tìm a, b, c, d của hàm số 3 2
f (x)  ax bx cx d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại x  0 ,
f 0  0 và đạt cực đại tại x  1 , f 1  1 .
4) Xác định các hệ số a, b, c của hàm số 3 2
f (x)  x ax bx c đạt cực trị bằng 0 tại điểm
x  2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A1;0 . 2
x mm   3 1 x m  1
5) CMR: Với mọi giá trị m thì hàm số y
luôn có cực đại, cực tiểu. x m 1 1 6) Cho hàm số 3
y mx  m   2
1 x  3m  2x  . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x  0 . 3 3 2 x mx  1
7) Xác định m để hàm số y
đạt cực đại tại x  2 . x m
8) Tìm a để hàm số 3 2
y x mx  3x  2 đạt cực tiểu tại x  2.
9) CMR: Với mọi giá trị m thì hàm số 3 2
y x mx  2x  1 luôn có 1 cực đại, cực tiểu.
10) (ĐH B- 2002) T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó: 4
y mx   2 m   2
9 x  10 cã 3 ®iÓm cùc trÞ . 2 2
11) (ĐH D-2012) Tìm m để hàm số 3 2
y x mx  2 2 3m   1 x
có hai điểm cực trị x và x 3 3 1 2
sao cho: x x  2 x x  1 . 1 2  1 2
12) (ĐH A-2012) Tìm m để đồ thị hàm số 4
y x  m   2 2 2
1 x m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
13) (ĐH B-2012) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3
y x  3mx  3m có hai điểm cực trị A và B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
14) (ĐH B-2013) Tìm m để đồ thị hàm số 3
y x  m   2 2 3
1 x  6mx có hai điểm cực trị A và B
sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x  2.
Đọc thêm: XỬ LÝ CỰC TRỊ VÀ XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC
ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I-1- LÝ THUYẾT
1- Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại điểm x thì / f x  0 . 0  0 0
Hay: a) x là nghiệm của phương trình /
f x  0 . 0 b) Kí hiệu: x / / / / , x : f xf xyy  0 C§ CT  C§  CT  C§ CT
Bài toán : Xác định tham số để hàm số y f (x) có cực trị thoả điều kiện X.
Bước 1: Xác định tham số để hàm số y f (x) có cực trị . Có tập A .
Bước 2: Xử lý biểu thức cực trị theo định lý Viet,…. Có tập B .
Bước 3: Kết luận. Tập giá trị thoả yêu cầu là A B.
2- Một số kết quả quan trọng:
Đặt vấn đề: Trong quá trình xử lý biểu thức cực trị hay tính giá trị cực trị chúng ta thường gặp những khó khăn sau:
+ Điểm cực trị x “rườm rà, cồng kềnh” dẫn đến tính giá trị cực trị khó khăn. 0
+ Bài toán viết phương trình đồ thị qua các điểm cực trị của hàm số.
+ Xử lý biểu thức giá trị cực trị y , y . C§ CT
Bài toán 1: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d (a  0) . Chứng minh rằng: Giá trị cực trị của hàm số là:
y kx m y
kx m hay CT CT 
, trong đó kx m là phần dư của phép chia y cho / y . CTr CTr
y kx m C§ C§
Chứng minh: Thật vậy: Biểu diễn     / y ex
f y kx m . Gọi x
là hoành độ điểm cực trị của đồ thị CTr hàm số: / yex f y
kx m kx m ( Do / y  0 ) CTr  CTr  CTr CTr CTr CTr
y kx m
Từ đây gọi Ax ; y , B x ; y thì CT CT  (đ.p.c.m) C§ C§   CT CT 
y kx mCD CD
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên chỉ rõ:
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là y kx m .
+ Xử lý tốt biểu thức giá trị cực trị là ykx
m thay vì phải là: CTr CTr 3 2 yaxbxcx d CTr CTr CTr CTr
+ Tư duy của phép chứng minh này còn áp dụng cho các hàm đa thức khác. ( u x)
Bài toán 2: Cho hàm số y  . Gọi Gọi x
là hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh: ( v x) CTr / u xCTr  y  . CTr / v xCTr  / / u (x). (
v x)  v (x). ( u x) Chứng minh: Ta có / y  2  ( v x)   / u x u x / / /  y  0  u x .v xv x .u x  0  y   CTr  CTr   CTr   CTr   CTr   CTr   CTr   CTr  v / x v x CTr   CTr 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên chỉ rõ: 2
ax bx c 2ax b
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C): y  là y dx e d / u x uxCTr  CTr 
+ Xử lý tốt biểu thức giá trị cực trị là y  thay vì phải là: y  CTr / v x CTr vxCTr  CTr 
( Bậc tử và mẩu giảm 1)
+ Tư duy của phép chứng minh này còn áp dụng cho các hàm phân thức khác. I-2- VÍ DỤ MINH HOẠ Bài tập: Cho hàm số 3 2
y x  6x  3m  2 x m  6. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
nằm cùng phía với trục hoành. Bài giải: TXĐ: D  . Ta có: / 2
y  3x  12x  3m  2 .
Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình /
y  0 có hai nghiệm phân biệt x , x : 1 2 Yêu cầu bài toán /
   36  9m  2  0  2  m  0  m  2 (*).  x   * Biểu diễn: / 2 y y .
 2m  2x m   
2 . Gọi x là điểm cực trị của hàm số, suy ra:  3  0  x  2  /
y y x  0 .
  2 m  2 x m  2  2 m  2 x m  2 y x  0 0 0   0   ( do / 0  0 )  3 
Như vậy: y  2m  2 x m  2 . 0 0
y  2 m  2 x m   2 1  
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x , x suy ra: 1  . 1 2
y  2 m  2 x m   2  2   2
x x  4
Để ý, do x , x là nghiệm của /
y  0 nên theo định lí Vi-et, ta có: 1 2  (**) 1 2
x .x m  2 1 2
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía với trục hoành  y .y  0. 1 2  2
 m  2x m  2 2
  m  2x m  2  0  
m 22 4x x  2 x x 1  0 1 2  1 2  1 2 (1)  m  2  2 2 
Thay (**) vào (1) ta được: m  2 4m  2  2.4  1  0  m  2 4m  17  0     17 m    4 17
Đối chiếu với điều kiện (*), các giá trị m cần tìm là:   m  2 . 4
I-3- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Cho hàm số 3
y x  m   2 x   2
m m  x   2 2 1 4 1
2 m  1 . Tìm m để hàm số có cực đại và 1 1 1
cực tiểu tại x , x sao cho: 
 x x . 1 2  1 2 x x 2 1 2 2 x mx  2 2) Cho hàm số y
. Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số x  1 thuộc 2
(P) : y x x  4 2
x  (m  1)x  1  m 3) Cho hàm số y
. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT: x m a) Cùng phía Ox. b) Khác phía Ox. c) Cùng phía Oy. d) Khác phía Oy.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2
x  3x m 4) Cho hàm số y
. Tìm m để y  4  y với y , y lần lượt là CĐ, CT của hàm số. x  4 1 2 1 2 2
2x  3x m 5) Cho hàm số y
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thoả yy  8 . x m CD CT 2 2 3
2mx  (4m  1)x  32m  2m 6) Cho hàm số y
. Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị x  2m
thuộc góc phần tư thứ hai và điểm cực trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mp(Oxy). 2
x  (m  1)x  4m  2 7) Cho hàm số y
. Xác định m để: x  1
a) Tích giá trị CĐ và giá trị CT nhỏ nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. m 8) Cho hàm số 2
y x  3x
 3 . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó chứng x
minh rằng cả ba điểm cực trị đều nằm trên đường cong y  x  2 3 1 . 9) Cho hàm số 4 2
y x  (m  1)x  1 .
a) Tìm m để hàm số có CĐ, CT.
b) Viết phương trình đường cong qua các điểm cực trị của hàm số. 1
10) Chứng minh các điểm cực trị của đt hàm số 4 3 2 y
x x  3x  8x nằm trên 1 parabol. 4
11) Xác định m để đồ thị hàm số 4 2 4
y x  2mx  2m m có các điểm cực đại, cực tiểu lập
thành một tam giác đều. 12) Cho hàm số 3 2 2
y x  3x m x m . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT:
a) Nằm hai phía với đường thẳng  : x  2y  5 .
b) Đối xứng qua đường thẳng  : x  2y  5 . 2 2
x  2(m  1)x m  4m
13) Cho hàm số: y
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực x  2
đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O. 2
x  (m  1)x m  1
14) Cho hàm số: y
. Chứng minh rằng: Với mọi m hàm số luôn có cực x  1
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 .
III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Lý thuyết và xác định cực trị hàm số
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1:
Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu f  x đổi dấu khi qua điểm x và f x liên tục tại x thì hàm số y f x đạt cực 0 0
trị tại điểm x . 0
B. Hàm số y f x đạt cực trị tại x  
0 khi và chỉ khi f x 0 . 0 
C. Nếu f   x  0 thì x không phải là điểm cực trị của hàm số. 0  0
D. Nếu f   x  0 và f  x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0  0  0 Câu 2:
Cho hàm số y f x . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. x x là điểm cực tiểu của hàm số thì hàm số có giá trị cực tiểu là f x . 0  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm x x thì f  x  0 . 0  0
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x x thì f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x . 0 0
D. Nếu hàm số đơn điệu trên
thì hàm số không có cực trị. Câu 3:
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x . Khẳng định nào sau đây đúng? 0
A. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x  0 . 0  0
B. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x đổi dấu qua x . 0 0
C. Nếu f  x  0 thì hàm số đạt cực trị tại x . 0  0
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x thì f  x  0 . 0  0 Câu 4:
Hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là A. 4 . B. 1. C. 1  . D.  . Câu 5:
Cho hàm số y f x liên trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 3 x 2 Câu 6: Cho hàm số 2 y
 2x  3x  . Điểm cực đại của hàm số đã cho là 3 3  2 
A. M 1; 2 . B. N 3;   . C. x  3 D. x  1 .  3  Câu 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị? x  1 A. y  . B. 2
y x x  1 . C. 4
y x  7x  2 . D. 3 y x . x  2 Câu 8: Cho hàm số 4 2
y x  8x có đồ thị C  . Gọi ,
A B, C là ba điểm cực trị của C  . Tính diện tích
S của tam giác ABC . A. S  16 . B. S  8 . C. S  32 . D. S  64 . 2 5 Câu 9:
Số điểm cực trị của hàm số y   x   1  x  2 là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 x O 2
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 2
Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x   2
x  4x  3 x  1, x 0; . Hỏi hàm số
y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có 3 điểm cực trị? 2x  2 A. 3 y x  3 . x B. y  . C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y x  2x 1. x 1 Câu 14: Gọi ,
A B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x  4 . Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng A. 2 1. B. 2 1. C. 2 . D. 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng K và x K . Mệnh đề nào sau đây 0 đúng?
A. Nếu x là điểm cực đại của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
B. Nếu f  x  0 thì x là điểm cực trị của hàm số y f x . 0
C. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
D. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số y f x có giá trị cực đại là M và giá trị cực tiểu là m thì M m . (II). Đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c a  0 luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành. Số khẳng định đúng là: A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 17: Cho hàm f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên
. Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0   0  0
B. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0   0  0
C. Hàm số f x đạt cực trị tại x khi và chỉ khi x là nghiệm của đạo hàm. 0 0
D. Nếu f ' x đổi dấu khi x qua x và f ' x liên tục tại x thì hàm số f x đạt cực trị tại x 0 0 0
Câu 18: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Tìm giá trị cực đại y y của hàm số đã cho.
CĐ và giá trị cực tiểu CT A. y  5 y   . B. y  1 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT C. y  1 y  . D. y  5 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT
Câu 19: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau :
Số điểm cực trị của hàm số là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 20: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó. A. 3 2
y x  5x x  6. B. 3 2
y x  6x  9x 1. C. 3 2
y x  6x  9x  6. D. 4 2
y x x  3.
Câu 21: Đồ thị hàm số 3
y  x  3x có điểm cực tiểu là A. M  1  ; 2   .
B. N 1;0 .
C. P 1; 2 .
D. Q 1;0 .
Câu 22: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Câu 23: Cho hàm số 4 2
y x  2x  3. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 . C. 1  . D. 1.
Câu 24: Cho đồ thị hàm y f x như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 25: Cho hàm số bậc năm y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 2 x O
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 26: Hàm số nào dưới đây không có cực trị? 2 1 2x  2 A. x y . B. y  . C. 2
y x  2x 1. D. 3
y  x x 1. x x 1 Câu 27: Cho hàm số 4 2
y x  2x 1 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C  có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác, gọi là ABC. Tính diện tích ABC. 1 A. S  2 . B. S  1 . C. S  . D. S  4 . 2 Câu 28: Cho hàm số 2 y
x x  20 . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên  ;   4 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x  5 .
C. Hàm số đồng biến trên 5;   .
D. Hàm số không có cực trị. 2019 2021
Câu 29: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm 2017
f '(x)  xx   1
x  2 , x . Tổng bình
phương các điểm cực trị của hàm số là A. 5 . B. 1. C. 4 . D. 12229091.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. 3 y x  3 . x B. 4 y x  2. C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x .
Dạng 2: Bài toán tham số không liên quan đến hàm ẩn
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA 3 2
y ax bx cx d , a;b;c; d  ,a  0 Ta xét: 2
y  3ax  2bx c có 2
  b  3ac . a  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 y y y y O x O x O x O x Lưu ý:
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0
b  3ac  0  Ta có :     ac  0 3c . x .x  0   0 1 2  a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm một phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0 2
b  3ac  0 
b  3ac  0 Ta có :   3c   . x .x  0   0 ac  0 1 2  aa  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện    c   0 c   0
Điều kiện c  0
Điều kiện c  0  2  b  3ac   0 2 b  3ac   0 y y y y (C) (C) O x x O 1 1 O x O x
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0
1) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có 3 điểm cực trị: ab  0
2) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có duy nhất một điểm cực trị: ab  0
Lưu ý: Trong trường hợp a chứa tham số thì ta chia 2 trường hợp a  0 và a  0.
3) Một số dạng đồ thị 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 và điều kiện về cực trị: Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực trị
điểm cực trị (cực tiểu)
trị (2 điểm cực tiểu và
điểm cực trị (cực đại)
(1 điểm cực tiểu và 2 điểm y
1 điểm cực đại) y cực đại) y y O x O x O x O x a  0 a  0 a  0 Điều kiện: Điều kiện: Điều kiện: a  0 b   0 b   0 b   0 Điều kiện: b   0
4) Một số công thức giải nhanh cần lưu ý: 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 Dữ kiện
Công thức thỏa ab  0
1). Tam giác ABC vuông cân tại A a  3 8 b  0
2). Tam giác ABC đều a  3 24 b  0
3). Tam giác ABC có góc BAC   3 2  8a b .tan  0 2
4). Tam giác ABC có diện tích S  3 2 5  S
32a (S )  b  0 ABC 0 0
5). Tam giác ABC có diện tích max(S ) 5 0   b S 0 3 32a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
6). Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r  2  r b ABC 0 r  0  3  b 4 a 1  1      8a
7). Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m 2 am  2b  0 0 0
8). Tam giác ABC có độ dài AB AC n 2 2 16a n  4 b  8ab  0 0 0
9). Tam giác ABC có cực trị B,C Ox 2 b  4ac  0
10). Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a  3 (8 b )  0
11). Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b  6ac  0
12). Tam giác ABC có trực tâm O 3
b  8a  4ac  0
13). Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 3 b   8a R R   R ABC 0 8ab
14). Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi 2 b  2ac  0
15). Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4abc  0
16). Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b  8a  8abc  0
17). Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC 3 2 b k  2 . 8 ( a k  4)  0
18). Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện 2 b  4 2 ac tích bằng nhau
19). Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b  8ac  0
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 31: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2
y x  2x 1. D. 3
y x  3x 1. Câu 32: Cho hàm số 3 2
y x bx cx d (b, c, d  ) có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b  0, c  0, d  0 .
B. b  0, c  0, d  0 .
C. b  0, c  0, d  0 .
D. b  0, c  0, d  0 .
Câu 33: Cho hàm số y  4 ax  2 bx c ,
a b,c   có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0 .
B. a  0,b  0, c  0.
C. a  0,b  0, c  0 . D. a  0,b  0, c  0.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Câu 34: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca;b;c  ,a  0 có bảng biến thiên dưới đây:
Tính P a  2b  3c.
A. P  3.
B. P  6 . C. P  2  .
D. P  2 .
Câu 35: Biết M (0; 2) , N (2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị
của hàm số tại x  3. A. y(3)  2 . B. y(3)  11. C. y(3)  0 . D. y(3)  3 
Câu 36: Đồ thị hàm số y f x 3 2
x  3x  2ax b có điểm cực tiểu là A2;2. Tính a b . A. 4. B. 2. C. 4. D. 2.
Câu 37: Tập hợp các số thực m để hàm số 3 2
y x  3mx  m  2 x m đạt cực tiểu tại x  1 là A.   1 . B.   1  . C.  . D. .
Câu 38: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y  m   4 x   2 m   2 1
2 x  2019 đạt cực tiểu tại x  1 . A. m  0 . B. m  2 . C. m  1. D. m  2 . 1
Câu 39: Tập hợp các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  m  2 x 1 có hai cực trị là 3 A.  ;    1  2;  B.  ;   
1  2;  C. 1; 2 D. 1; 2
Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m
trên miền 10;10 để hàm số 4 2
y x  2 2m  
1 x  7 có ba điểm cực trị? A. 20. B. 10. C. Vô số. D. 11.
Câu 41: Tất cả cả các giá trị của tham số m để 3 2
y x  3x mx  1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn 1 2 2 2
x x  6 là 1 2
A. m  3.
B. m  3.
C. m  1.
D. m  1.
Câu 42: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x  3mx  3m có hai điểm cực
trị là A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 24 (với O là gốc tọa độ ). A. m  2 . B. m  1. C. m  2 . D. m  1 .
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2
1 x 1 2m có một cực trị. m  0
A. m  1.
B. m  0.
C. 0  m  1. D. .  m 1 Câu 44: Cho hàm số 4 2
y mx  (2m 1)x 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã
cho có đúng một điểm cực tiểu. 1 1
A. Không tồn tại m .
B. m  0.
C. m   . D.   m  0. 2 2
Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y  2x  5x  4x  2  m có giá trị cực cực đại và
giá trị cực tiểu trái dấu là A. 13 . B. 11. C. 9 . D. 12 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 1
Câu 46: Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y
x x  m  
1 x  2 có hai điểm 3
cực trị nằm bên trái trục tung là A.  ;  1 . B. 1; 2. C.  ; 2. D. 1;   .
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có giá trị cực tiểu bằng 1
 . Tổng các phần tử thuộc S là A. 2  . B. 0 . C. 1. D. 1  .
Câu 48: Biết m m
y x mx  có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai
0 thì đồ thị của hàm số 3 3 2
điểm cực trị đó bằng 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m  2  ; 1  . B. m  1  ;0 .
C. m  1; 2 .
D. m  0;1 . 0   0   0   0  
Câu 49: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx 1 có ba điểm cực trị A0; 
1 , B , C thỏa mãn BC  4. A. m  2 . B. m  4 . C. m  2 . D. m  4 .
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Câu 51: Cho hàm số 3 2
y x mx   2 m   3 3 3
1 x m m , với m là tham số. Gọi ,
A B là hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số và I 2; 2
  . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho ba điểm I , ,
A B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 . Tính tổng các phần tử của S . 20 15 3 4 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 1 Câu 52: Cho hàm số 3 2 y
x  (m  2)x  9x 1 , với m là tham số. Gọi x , x là các điểm cực trị của 3 1 2
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9x  25x bằng 1 2 A. 15 . B. 90 . C. 450 . D. 45 . Câu 53: Cho hàm số 4 y x   2  m  2 2 1
x m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất. A. 1 m  . B. 1 m   . C. m  0 . D. m  1. 2 2 mx
Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y x
có hai điểm cực trị và các cực trị 2 x 1
này đều thuộc hình tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng 30 ? A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 55: Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y x 0 A. 4 2
y x  3x 1. B. 4 2
y  x  3x 1. C. 3 2
y  x  3x 1. D. 3 2
y x  3x 1.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Câu 56: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca  0 có đồ thị như hình vẽ bên. y
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0. O x
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0. Câu 57: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d, a, , b c, d
 có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0, d  0 .
B. a  0,b  0, c  0, d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0, c  0, d  0 .
Câu 58: Biết a,b, c là các số thực tùy ý, a  0 và hàm số 3 2
y ax bx cx nhận x  1 là một điểm cực
trị. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3a  2b c  0 .
B. a c b .
C. 3a c  2b .
D. 2a b  0 .
Câu 59: Ta xác định được các số a,b, c để đồ thị hàm số 3 2
y x ax bx c đi qua điểm 0;  1 và có
điểm cực trị 2;0 . Tính giá trị của biểu thức T  4a b c . A. 20 . B. 23 . C. 24 . D. 22 .
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m đạt cực tiểu tại x  0. A. m  1. B. m  1. C. m  . D. m  1.
Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 đạt cực tiểu tại x  2 . A. m  0 . B. m  4 .
C. 0  m  4 .
D. 0  m  4 .
Câu 62: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị là A. m  2 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  2 . Câu 63: Cho hàm số 3
y x  m   2 3
1 x  37m  3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m
để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. 1
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  (m  2)x có cực trị và các điểm cực đại, 3
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A. m  2 .
B. m  2 .
C. 0  m  2 .
D. m  2 .
Câu 65: Biết m là giá trị của tham số để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 có hai điểm cực trị x , x sao cho 0 1 2 2 2
x x x x  13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. m  1  ;7 . B. m  7  ; 1  .
C. m  15; 7 . D. m  7;10 . 0   0   0   0  
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 66: Để đồ thị hàm số 4
y  x  m   2
3 x m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì
tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 . Câu 67: Cho hàm số 4
y mx   m   2 2
1 x 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có một điểm cực đại. 1 1 1 1 A.   m  0 . B. m   . C. m   . D.   m  0 . 2 2 2 2
Câu 68: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2 2
3 x m không có điểm cực đại là A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 0 .
Câu 69: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m  4 có ba điểm
cực trị cách đều trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 2. B. 6. C. 0. D. 4. Câu 70: Cho hàm số 4
y mx   2 m   2
6 x  4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực
trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Câu 71: Gọi S tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2m x  1 có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của S bằng A. 2. B. 4. C. 8. D. 6.
Câu 72: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2mx  3m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác nhận G 0;7  . 3 A. m  1. B. m   . C. m  1. D. m   3. 7
Câu 73: Gọi m , m là các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x m 1 có hai điểm cực 1 2
trị là B , C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2 ,với O là gốc tọa độ. Tính m .m . 1 2 A. 6 . B. 15 . C. 12 . D. 20 . 1 1
Câu 74: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y x
mx x  2 có giá trị 3 2
tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền
7 . Số phần tử của S là A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Câu 75: Cho biết đồ thị hàm số 4 2 2 4
y x  2mx  2m m có 3 điểm cực trị ,
A B,C cùng với điểm D 0; 3
  là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi S là tổng các giá trị m thỏa mãn đề bài thì S thuộc khoảng nào sau đây?  9   5   5  A. S 2;4 . B. S ;6   . C. S 1;   . D. S 0;   .  2   2   2 
Dạng 3: Bài toán cực trị liên quan đến hàm ẩn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 76: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 77: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  2x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 78: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  x đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  4.
D. x  2. 3
Câu 79: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x  x   2 ' (
1) x  1x  3 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số y f x  là A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.
Câu 80: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 2x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  1.
B. x  1.
C. x  .
D. x  2. 2
Câu 81: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2. 2
Câu 82: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 2x  3
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  2.
D. x  2. 2
Câu 83: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 5  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 7 5
A. x  1.
B. x  .
C. x  2.
D. x  . 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 84: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 2x  1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  2.
B. x  1.
C. x  3.
D. x  5.
Câu 85: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1 1 3
A. x   .
B. x  2.
C. x  .
D. x  . 2 2 2
Câu 86: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  2 x  2x là A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 87: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1 2
Số điểm cực trị của hàm số g x   f
 x  2 f  x là A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.
Câu 88: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 11. B. 10. C. 9. D. 8.
Câu 89: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 3 1 1 -1 O x -1
Hàm số g x  f x 2
x x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  2. 2019 2020 3
Câu 90: Cho hàm số f x có đạo hàm f x  x    2 2 x x  2
x  3 , x
  . Số điểm cực trị
của hàm số f x  là A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 91: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số y f x  2 . A. 2. B. 1. C. 3. D. 5.
Câu 92: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 93: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  1  f x 0 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số hx  f x  m
có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 94: Cho hàm số f x liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x   2019 là A. 5 . B. 9 . C. 3 . D. 7 .
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3
x  3x m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 96: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  1 3  f x  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  là A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.
Câu 97: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x   2 9
x 16 , x  . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f  3
x  7x m có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 16 . B. 9 . C. 4 . D. 8 . Câu 98: Cho hàm số 3 2
f (x)  x  6x  (3m  6)x , với m là tham số thực, có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số g(x)  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6
Câu 99: Cho hàm số y f x có đồ thị của y 8f 3  2x như hình vẽ sau: y 6 4 2 x 15 10 5 -2 O 1 2 5 10 15 2 4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20  21;20  21 để hàm số
g x  f  3
x  2021x m có ít nhất 5 điểm cực trị? 6 A. 2019. B. 2020. C. 2021. D. 2022. 8
Câu 100: Cho hàm đa thức bậc ba y f x như hình vẽ.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f f x  m có đúng 6 điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 101: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ sau:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f  2
x  4x m có 3
điểm cực trị. Số phần tử của S là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Câu 102: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm là 2 f (
x)  x 10x , x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y f  4 2
x  8x m có đúng 9 điểm cực trị? A. 16. B. 9. C. 15. D. 10. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 103: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 104: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  3.
Câu 105: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Hỏi hàm số g x  f 2x  4 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  3.
B. x  2.
C. x  0.
D. x  4.
Câu 106: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Hỏi hàm số gx  f  2 x  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  3. 2
Câu 107: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số g x  f  2
x  3x  1 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 4. 2
Câu 108: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x   . Hỏi hàm số
g x  f  2
x  3x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  4.
B. x  3.
C. x  1.
D. x  1.
Câu 109: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3  f x  0  0  0 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f  2 x  1 là A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 110: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3  f x  0  0  0 
Hàm số g x  f  2
x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2.
Câu 111: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2x là A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 112: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  3x là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 113: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1 1
Hỏi hàm số gx  f x 3 2
x x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  2.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  1.
Câu 114: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 115: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số       2 g x f x  là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 116: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x   1 là A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 117: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  1  là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 118: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x 
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  1  1 là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 119: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  5  f x 3 
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số hx  f x  m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 7. C. 5. D. 4.
Câu 120: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số y  3
x  3x m có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 20. D. 18.
Câu 121: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  3  1 2  f x  0  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  1 là A. 9. B. 11. C. 7. D. 8.
Câu 122: Cho hàm số f x 4 3 2
x 12x  30x  4  mx với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên m để hàm số g x  f x  có đúng 7 điểm cực trị? A. 27 . B. 31. C. 28 . D. 30 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2
Câu 123: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x    x   2
x  m   2 3 1 2
1 x m 1   , x   . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 124: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  3 4x  
1  m có 7 điểm cực trị? A. Vô số. B. 3 . C. 0 . D. 1. 2
Câu 125: Cho hàm số f x có đạo hàm f  x   x    2 1
x  4x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực m để hàm số g x  f  2
2x 12x m có đúng 5 điểm cực trị? A. 17 . B. 18 . C. 16 . D. 19 .
Câu 126: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  2
f x  4 f x  m  có 17 điểm cực trị bằng A. 1652 . B. 1653 . C. 1654 . D. 1651.
IV- LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu f  x đổi dấu khi qua điểm x và f x liên tục tại x thì hàm số y f x đạt cực 0 0
trị tại điểm x . 0
B. Hàm số y f x đạt cực trị tại x  
0 khi và chỉ khi f x 0 . 0 
C. Nếu f   x  0 thì x không phải là điểm cực trị của hàm số. 0  0
D. Nếu f   x  0 và f  x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0  0  0 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
B sai vì f  x có thể không xác định tại điểm x mà hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm x . 0 0
Chẳng hạn với f x  x đạt cực tiểu tại x  0 nhưng không có đạo hàm tại đó.
C sai vì f   x  0 chưa thể kết luận được hàm số đạt cực trị tại x . Chẳng hạn f x 4  x có 0  0
f 0  0 và nó vẫn đạt cực tiểu tại x  0 .
D sai vì nếu f   x  0 và f  x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0  0  0 Câu 2:
Cho hàm số y f x . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. x x là điểm cực tiểu của hàm số thì hàm số có giá trị cực tiểu là f x . 0  0
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm x x thì f  x  0 . 0  0
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x x thì f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x . 0 0
D. Nếu hàm số đơn điệu trên
thì hàm số không có cực trị. Lời giải:
Hàm số đạt cực trị tại điểm x x thì f  x  0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x . 0  0 0 Câu 3:
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x . Khẳng định nào sau đây đúng? 0
A. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x  0 . 0  0
B. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x đổi dấu qua x . 0 0
C. Nếu f  x  0 thì hàm số đạt cực trị tại x . 0  0
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x thì f  x  0 . 0  0 Lời giải:
Đáp án A sai, sửa lại là f  x  0 . 0 
Đáp án B sai vì f  x đổi dấu chứ không phải f x . Đáp án C sai vì hàm số 3
y x có f 0  0 nhưng không đạt cực trị tại x  0 . Câu 4:
Hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là A. 4 . B. 1. C. 1  . D.  . Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  1 và giá trị cực tiểu là y  1. CT Câu 5:
Cho hàm số y f x liên trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là: A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải:
Ta có y đổi dấu khi x qua x , x , x nên hàm số có ba điểm cực trị. 1 2 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 3 x 2 Câu 6: Cho hàm số 2 y
 2x  3x  . Điểm cực đại của hàm số đã cho là 3 3  2 
A. M 1; 2 . B. N 3;   . C. x  3 D. x  1 .  3  Lời giải: Ta có: 2
y  x  4x  3 và y  2x  4 . x 1 y  0   . x  3 Ta có: y  1  2
  0 ; y3  2  0 .
x  1 là điểm cực đại của hàm số. Câu 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị? x  1 A. y  . B. 2
y x x  1 . C. 4
y x  7x  2 . D. 3 y x . x  2 Lời giải: x  1
Ta có , hàm số y  và 3
y x không có cực trị, hàm 4
y x  7x  2 có ba điểm cực trị. Hàm x  2 số 2
y x x  1 có duy nhất một điểm cực tiểu. Câu 8: Cho hàm số 4 2
y x  8x có đồ thị C  . Gọi ,
A B, C là ba điểm cực trị của C  . Tính diện tích
S của tam giác ABC . A. S  16 . B. S  8 . C. S  32 . D. S  64 . Lời giải: Cách 1 : Hàm số 4 2
y x  8x có tập xác định: D  x  0 Ta có: 3 3
y '  4x 16x ; y '  0  4x 16x  0  4x  2
x  4  0   x  2 
Hàm số có 3 cực trị và tọa độ 3 điểm lần lượt là: A0;0; B  2  ; 1  6;C 2; 1  6 1 1 Ta có S
 . y . 2x  .16.4  32 . ABC 2 B B 2
Cách 2 : Áp dựng công thức tính nhanh : Cho hàm số 4 2
y ax bx c a  0 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thì ta có công thức tính nhanh: 3 2 5
32a .S b  0 . 2 5 Câu 9:
Số điểm cực trị của hàm số y   x   1  x  2 là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Lời giải: 5 2 4 4
Ta có y  2 x  
1  x  2  5 x  
1  x  2   x  
1  x  2 7x   1  x  2 
y  0  x  1    1 x    7 Bảng biến thiên:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . Lời giải:
Đồ thị hàm số y f x có dược bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x nằm
phía trên trục Ox hợp với phần đồ thị hàm số y f x nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua
Ox . Ta được đồ thị như sau:
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x có 5 điểm cực trị.
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 x O 2
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Bảng xét dấu: x  0 1 2  f x  0  0  0  2
Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x   2
x  4x  3 x  1, x 0; . Hỏi hàm số
y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: x  2 
Ta có: f  x  0  x  3.  x 1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x có 2 điểm cực trị.
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có 3 điểm cực trị? 2x  2 A. 3 y x  3 . x B. y  . C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y x  2x 1. x 1 Lời giải: + Xét hàm số 4 2
y x  2x 1 có ab  2  0. Câu 14: Gọi ,
A B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x  4 . Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng A. 2 1. B. 2 1. C. 2 . D. 1. Lời giải: Ta có: 4 2
y x  2x  4 3
y  4x  4x  4xx   1  x   1
x  0  y  4 
Nên y  0  x  1  y  3 
Vậy tọa độ các điểm cực trị: A0;4 , B 1;3 , C 1;3 x  1   y  3  2  2  2
Ta có: AB AC  2 ; BC  2 p  1 2 2
Diện tích tam giác: S
p p BC  p AC  p AC
 1 2.1 2  21 2  21 2  2  1 2 2   1  1 S 1
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r    2 1. p 1 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng K và x K . Mệnh đề nào sau đây 0 đúng?
A. Nếu x là điểm cực đại của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
B. Nếu f  x  0 thì x là điểm cực trị của hàm số y f x . 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
C. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
D. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số y f x có giá trị cực đại là M và giá trị cực tiểu là m thì M m . (II). Đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c a  0 luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành. Số khẳng định đúng là: A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải:
Nhận xét (I) chỉ đúng với hàm bậc 3 và hàm bậc 4 trong chương trình học phổ thông.
Nhận xét (II) đúng vì hàm bậc 4 trùng phương có 1 hoặc 3 cực trị.
Nhận xét (III) sai vì có thể tiếp tuyến tại điểm cực trị có thể trùng với trục hoành.
Câu 17: Cho hàm f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên . Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0   0 0
B. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0   0  0
C. Hàm số f x đạt cực trị tại x khi và chỉ khi x là nghiệm của đạo hàm. 0 0
D. Nếu f ' x đổi dấu khi x qua x và f ' x liên tục tại x thì hàm số f x đạt cực trị tại x 0 0 0 Lời giải:
+) Các đáp án A, B đúng vì đó là định lý về điều kiện đủ để có cực trị.
+) Đáp án C sai vì chưa thỏa mãn điều kiện đủ của định lý. Cần thêm điều kiện f  x đổi dấu tại x . 0
+) Đáp án D đúng vì đó là nội dung của cách phát biểu khác của định lý 1
Câu 18: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tìm giá trị cực đại y y của hàm số đã cho.
CĐ và giá trị cực tiểu CT A. y  5 y   . B. y  1 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT C. y  1 y  . D. y  5 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT Lời giải:
Ta thấy vì đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x  1 và y   1  5
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang âm qua x  1 và y   1  0 . Vậy y  5 y  . CĐ và 0 CT
Câu 19: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau :
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Số điểm cực trị của hàm số là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp 1 và y  0 tại x  1 và không xác
định tại x  0 , đồng thời y đổi dấu khi đi qua các điểm x  1 và x  0 .
Do đó hàm số có hai điểm cực trị là x  1 và x  0 .
Câu 20: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó. A. 3 2
y x  5x x  6. B. 3 2
y x  6x  9x 1. C. 3 2
y x  6x  9x  6. D. 4 2
y x x  3. Lời giải:
Kiểm tra đồ thị hàm số có các điểm cực đại và điểm cực tiểu tương ứng là 1; 3 , 3; 1  .
Câu 21: Đồ thị hàm số 3
y  x  3x có điểm cực tiểu là A. M  1  ; 2   .
B. N 1;0 .
C. P 1; 2 .
D. Q 1;0 . Lời giải:
Ta có: f  x 2  3  x  3 .   f  xx 1 2  0  3
x  3  0   . x  1  Bảng biến thiên Vậy M  1  ; 2
  là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 22: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Lời giải:
Từ bảng biến thiên và cách suy đồ thị hàm số y f x từ hàm số y f x ta được bảng
biến thiên của hàm số y f x như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy đồ thị hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Câu 23: Cho hàm số 4 2
y x  2x  3. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 . C. 1  . D. 1. Lời giải: Ta có: 4 2 3 2
y x  2x  3  y  4x  4x y  12x  4. x  0 
y  0  x  1 .  x  1   y 0  4   0; y   1  y  
1  8  0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  1; x  1 và giá trị cực
tiểu của hàm số là yy   1  y   1  2. CT
Câu 24: Cho đồ thị hàm y f x như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ dàng thấy số điểm cực trị của hàm số là 5.
Câu 25: Cho hàm số bậc năm y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 2 x O
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải: Bảng xét dấu: x  0 1 2  f x  0  0  0 
Câu 26: Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2 1 2x  2 A. x y . B. y  . C. 2
y x  2x 1. D. 3
y  x x 1. x x 1 Lời giải: 2x  2 + Xét hàm số y  . x 1 4
Tập xác định D  \   1 , y      . x   0, x D 2 1
Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. 2x  2 Do đó hàm số y  không có cực trị. x 1 Câu 27: Cho hàm số 4 2
y x  2x 1 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C  có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác, gọi là ABC. Tính diện tích ABC. 1 A. S  2 . B. S  1 . C. S  . D. S  4 . 2 Lời giải: x  0 Ta có 3
y  4x  4 ; x y  0   x  1 
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0; 
1 , B 1;0 , C 1; 0 A . B AC  0 AB   1  ; 
1 ; AC  1;   1   .
AB AC  2 1
Suy ra ABC vuông cân tại A do đó S A . B AC  1. 2 Câu 28: Cho hàm số 2 y
x x  20 . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên  ;   4 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x  5 .
C. Hàm số đồng biến trên 5;   .
D. Hàm số không có cực trị. Lời giải:
Tập xác định D   ;
  45;  . 2x 1 Ta có: y  . 2 2 x x  20 Do y  0 x
  5 và y  0 x
  4 nên hàm số nghịch biến trên  ;
  4 , đồng biến trên
5;   và không có cực trị. 2019 2021
Câu 29: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm 2017
f '(x)  xx   1
x  2 , x . Tổng bình
phương các điểm cực trị của hàm số là A. 5 . B. 1. C. 4 . D. 12229091. Lời giải: x  0 
Ta có: f ' x  0  x  1  . x  2  Bảng biến thiên:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Dựa vào bảng biến thiên, ta được tổng bình phương các điểm cực trị của hàm số:  2 2 2 2  0 1  5.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. 3 y x  3 . x B. 4 y x  2. C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x . Lời giải: a  1   0 + Xét hàm số 4 2
y  x  2x có  . ab  2    0
Dạng 2: Bài toán tham số không liên quan đến hàm ẩn
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA 3 2
y ax bx cx d , a;b;c; d  ,a  0 Ta xét: 2
y  3ax  2bx c có 2
  b  3ac . a  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 y y y y O x O x O x O x Lưu ý:
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0
b  3ac  0  Ta có :     ac  0 3c . x .x  0   0 1 2  a
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm một phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0 2
b  3ac  0 
b  3ac  0 Ta có :   3c   . x .x  0   0 ac  0 1 2  aa  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện    c   0 c   0
Điều kiện c  0
Điều kiện c  0  2  b  3ac   0 2 b  3ac   0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y y y y (C) (C) O x x O 1 1 O x O x
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0
1) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có 3 điểm cực trị: ab  0
2) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có duy nhất một điểm cực trị: ab  0
Lưu ý: Trong trường hợp a chứa tham số thì ta chia 2 trường hợp a  0 và a  0.
3) Một số dạng đồ thị 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 và điều kiện về cực trị: Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực trị
điểm cực trị (cực tiểu)
trị (2 điểm cực tiểu và
điểm cực trị (cực đại)
(1 điểm cực tiểu và 2 điểm y
1 điểm cực đại) y cực đại) y y O x O x O x O x a  0 a  0 a  0 Điều kiện: Điều kiện: Điều kiện: a  0 b   0 b   0 b   0 Điều kiện: b   0
4) Một số công thức giải nhanh cần lưu ý: 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 Dữ kiện
Công thức thỏa ab  0
1). Tam giác ABC vuông cân tại A a  3 8 b  0
2). Tam giác ABC đều a  3 24 b  0
3). Tam giác ABC có góc BAC   3 2  8a b .tan  0 2
4). Tam giác ABC có diện tích S  3 2 5  S
32a (S )  b  0 ABC 0 0
5). Tam giác ABC có diện tích max(S ) 5 0   b S 0 3 32a
6). Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r  2  r b ABC 0 r  0  3  b 4 a 1  1      8a
7). Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m 2 am  2b  0 0 0
8). Tam giác ABC có độ dài AB AC n 2 2 16a n  4 b  8ab  0 0 0
9). Tam giác ABC có cực trị B,C Ox 2 b  4ac  0
10). Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a  3 (8 b )  0
11). Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b  6ac  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
12). Tam giác ABC có trực tâm O 3
b  8a  4ac  0
13). Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 3 b   8a R R   R ABC 0 8ab
14). Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi 2 b  2ac  0
15). Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4abc  0
16). Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b  8a  8abc  0
17). Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC 3 2 b k  2 . 8 ( a k  4)  0
18). Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện 2 b  4 2 ac tích bằng nhau
19). Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b  8ac  0
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 31: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2
y x  2x 1. D. 3
y x  3x 1. Lời giải:
Quan sát hình dạng đồ thị ta loại đáp án hàm số 4 2
y x  2x 1 do trên hình hàm số có hai
cực trị mà đáp án này hàm số có 3 cực trị.
Do nhánh bên phải của đồ thị đi lên nên loại đáp án 3
y  x  3x 1.
Mặt khác quan sát đồ thị có hai điểm cực trị là x  1 . x  0 Xét đáp án A có 2
y  3x  6x  0   nên loại đáp án này. x  2
Vậy hình trên là đồ thị hàm số 3
y x  3x 1. Câu 32: Cho hàm số 3 2
y x bx cx d (b, c, d  ) có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b  0, c  0, d  0 .
B. b  0, c  0, d  0 .
C. b  0, c  0, d  0 .
D. b  0, c  0, d  0 . Lời giải:
+ Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung (nằm phía trên trục hoành) ta kết luận
được d  0 . Loại đáp án C. + Ta có 2
y'  3x  2bx c . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung c nên x x
 0. Suy ra c  0. Loại đáp án B. 1 2 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2  b
+ Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực trị tại x , x và x x
 0 (x  0  x , x x ) . 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Suy ra b  0 . Đáp án D.
Câu 33: Cho hàm số y  4 ax  2 bx c ,
a b,c   có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0 .
B. a  0,b  0, c  0.
C. a  0,b  0, c  0 . D. a  0,b  0, c  0. Lời giải:
Do nhánh tiến đến  của đồ thị đi xuống nên a  0
Do đồ thị cắt trục tung tạo điểm có tung độ nhỏ hơn 0 nên c  0
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên: ab  0  b  0 . Câu 34: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca;b;c  ,a  0 có bảng biến thiên dưới đây:
Tính P a  2b  3c.
A. P  3.
B. P  6 . C. P  2  .
D. P  2 . Lời giải:x  0 Ta có 3 
y  ax bx x 2 4 2 2
2ax b , y  0  . 2 bx    2a
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy a  0 ; b  0 , hàm đạt cực đại tại x  1và y 1    2 , hàm  b   1  2a     a 1 
đạt cực tiểu tại x  0 và y 0  1. Suy ra, a b c  2  b  2 . Do đó: P a  2b  3c  2 .   c  1  c  1  
Câu 35: Biết M (0; 2) , N (2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị
của hàm số tại x  3. A. y(3)  2 . B. y(3)  11. C. y(3)  0 . D. y(3)  3  Lời giải: Ta có: 2
y '  3ax  2bx c y(0)  2 d  2 a 1    y(2)  2  8
a  4b  2c d  2  b  3  Từ giả thiết ta có 3 2     
y x  3x  2  y(3)  2 y '(0)  0 c  0 c  0    y'(2)  0 1
 2a  4b c  0 d  2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 36: Đồ thị hàm số y f x 3 2
x  3x  2ax b có điểm cực tiểu là A2;2. Tính a b . A. 4. B. 2. C. 4. D. 2. Lời giải:
Ta có: f x 2 '
 3x  6x  2a
Đồ thị C  : y f x có điểm cực tiểu là A2; 2
AC
8 12  4a b  2  b   2          .  f    a b 2 2  0 1
 2  12  2a  0 a  0
Câu 37: Tập hợp các số thực m để hàm số 3 2
y x  3mx  m  2 x m đạt cực tiểu tại x  1 là A.   1 . B.   1  . C.  . D. . Lời giải: Ta có 2
y  3x  6mx m  2 và y  6x  6m . Hàm số 3 2
y x  3mx  m  2 x m đạt cực tiểu tại  y    1  0 3
  6m m  2  0 m 1 x  1      
 không có giá trị của m thỏa mãn yêu y    1  0 6  6m  0 m 1 cầu bài toán.
Câu 38: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y  m   4 x   2 m   2 1
2 x  2019 đạt cực tiểu tại x  1 . A. m  0 . B. m  2 . C. m  1. D. m  2 . Lời giải: TXĐ D .
Ta có y  m   3 x   2 4 1 2 m  2 x y 
m   2x   2 12 1 2 m  2
+ Điều kiện cần : để hàm số đạt cực tiểu tại x  1  f '    1  0  4  m   1  2   2 m  2  0      m   f "    1  0 12  m   1  2   2 2 m  2  0
+ Điều kiện đủ : Với m  2 hàm số trở thành 4 2
y x  2x  2019 x  1   Ta có: 3
y '  0  4x  4x  0  x  0  . x 1 
Như vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . 1
Câu 39: Tập hợp các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  m  2 x 1 có hai cực trị là 3 A.  ;    1  2;  B.  ;   
1  2;  C. 1; 2 D. 1; 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Lời giải: Ta có 2
y  x  2mx m  2 . Để hàm số có hai cực trị thì y  0 có hai nghiệm phân biệt nên m  1  2
y  0    0  m m  2  0  .  m  2
Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m
trên miền 10;10 để hàm số 4 2
y x  2 2m  
1 x  7 có ba điểm cực trị? A. 20. B. 10. C. Vô số. D. 11. Lời giải: x  0 Ta có 2
y'  4x x  
2m1; y0   2 x  2m  1  *
Hàm số đã cho có ba cực trị  y  0 có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt 1
khác 0  2m 1  0  m   . Do m  10
 ;10 nên có 11 giá trị thỏa mãn. 2
Câu 41: Tất cả cả các giá trị của tham số m để 3 2
y x  3x mx  1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn 1 2 2 2
x x  6 là 1 2
A. m  3.
B. m  3.
C. m  1.
D. m  1. Lời giải: 2
y  3x  6x m . Hàm số đạt cực trị tại x , x .Vậy x , x là nghiệm của phương trình y'  0 1 2 1 2
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì         0 36 12m 0 m 3 * y  x x  2 1 2  Theo viet ta có  . m x .x   1 2  3 m m Ta có: 2 2 2
x x  (x x )  2 2x x  4  2  4 
 6  m  3 thỏa (*). 1 2 1 2 1 2 3 3
Câu 42: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x  3mx  3m có hai điểm cực
trị là A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 24 (với O là gốc tọa độ ). A. m  2 . B. m  1. C. m  2 . D. m  1 . Lời giải: x  Xét 2
y  3x  6mx  3x x  2m ; y   x x m 0 0 3 2  0   . x  2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  m  0 .
Tọa độ hai điểm cực trị là A 2 m B  2 3 0;3 ,
2m;3m  4m  .
Phương trình đường thẳng OA : x  0 . 1 1 Ta có: SO . A d B OA m m  2
m m  8  m  2  . OAB  ;  2 3 . 2 24 2 2
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2
1 x 1 2m có một cực trị. m  0
A. m  1.
B. m  0.
C. 0  m  1. D. .  m 1 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Ta có: 3
y  4mx  2 m   1 x
TH 1: Xét m  0  y  2x . Ta thấy phương trình y  0 đổi dấu một lần nên hàm số có một
điểm cực trị. Suy ra m  0 (thoả YCBT) (1) TH 2: Xét 3
m  1  y  4x .Ta thấy phương trình y  0 đổi dấu một lần nên hàm số có một
điểm cực trị. Suy ra m  1 (thoả YCBT) (2) x  0 TH 3: Xét  
m  0 , y  0  1 m 2 x   2m 1 mm  0
Để hàm số có một điểm cực trị thì  0   (3) 2mm 1 m  0
Từ (1), (2) và (3) suy ra  m 1
Ghi chú: Dùng công thức tính nhanhm
Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi mm   0 1  0  .  m 1 Câu 44: Cho hàm số 4 2
y mx  (2m 1)x 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã
cho có đúng một điểm cực tiểu. 1 1
A. Không tồn tại m .
B. m  0.
C. m   . D.   m  0. 2 2 Lời giải:
Với m  0 , ta có 2
y x 1  y '  2x . Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu. Suy
ra m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) Với m  0 , ta có 3 2
y '  4mx  2(2m 1)x  2x(2mx  2m 1) m  0
Hàm số có một cực trị là cực tiểu   2
2mx  2m 1  0 vô nghiêm m  0 m  0     1  2  m 1   m   m  0 (2)   0  2   2m  m  0
Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi m  0.
Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y  2x  5x  4x  2  m có giá trị cực cực đại và
giá trị cực tiểu trái dấu là A. 13 . B. 11. C. 9 . D. 12 . Lời giải:  3 2
y  2x  5x  4x  2  m
x  2  y  10   m 2  
y  6x 10x  4  0  1 73  . x    y   m  3 27  
Giá trị cực cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu    m 73 73 10 .  m  0  1  0  m    .  27  27
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Mà m  . Vậy có 12 có giá trị nguyên thỏa mãn. 1
Câu 46: Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y
x x  m  
1 x  2 có hai điểm 3
cực trị nằm bên trái trục tung là A.  ;  1 . B. 1; 2. C.  ; 2. D. 1;   . Lời giải: Ta có: 2
y  x  2x m 1.
Đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên trái trục tung  y  0 có hai nghiệm âm phân biệt    0     y 1 m 1 0  
 S  0   2   0  1  m  2 .   P  0 m 1  0  
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có giá trị cực tiểu bằng 1
 . Tổng các phần tử thuộc S là A. 2  . B. 0 . C. 1. D. 1  . Lời giải: Ta có: 3
y  4x  4mx .
TH 1: Phương trình y   x  2 0 4
x m  0 có 1 nghiệm thực, tức là hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có điểm cực tiểu là x  0 . Khi đó m  0 . Theo bài ra:
y 0  m 1  1   m  2
 (thỏa mãn đk m  0 ).
TH 2: Phương trình y   x  2 0 4
x m  0 có 3 nghiệm thực, tức là hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có điểm cực tiểu là x   m . Khi đó m  0 . Theo bài ra: y  m  m  2 2
 m m 1  1   
. So sánh với đk m  0 , giá trị thỏa mãn là m  2 . m  1  Vậy S   2  ; 
2 , tổng các phần tử thuộc S bằng 0 .
Câu 48: Biết m m
y x mx  có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai
0 thì đồ thị của hàm số 3 3 2
điểm cực trị đó bằng 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m  2  ; 1  . B. m  1  ;0 .
C. m  1; 2 .
D. m  0;1 . 0   0   0   0   Lời giải:
Tập xác định D  . Ta có 2
y  3x  3m . Để đồ thị của hàm số 3
y x  3mx  2 có hai điểm cực trị  y  0 có hai
nghiệm phân biệt    0  m  0 .
x m y  2m m  2
Khi đó : y  0  
x   m y  2m m  2
Giả sử hai điểm cực trị Am; 2m m  2, B m;2m m  2 2 2 Ta có 2
AB  2  AB  4   2 
m   4m m   4 3 3
 4m 16m  4  4m m 1  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia      m 2m   1  2 1 0 1 2 2m m   1  0    m TM . 2
2m m 1  0  VN   2
Câu 49: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx 1 có ba điểm cực trị A0; 
1 , B , C thỏa mãn BC  4. A. m  2 . B. m  4 . C. m  2 . D. m  4 . Lời giải:
Tập xác định D  . Ta có: 3
y  x mx x  2 4 4 4 x m .
Hàm số có 3 cực trị  ab  0  m  0 . x  0  y 0 1
Lúc đó: y  0   .
x   m y   m 2  1 m Suy ra A0;  1 , B  2
m;1 m  , C  2
m;1 m  .
Lúc đó: BC  4  4m  4  m  4 (thỏa mãn)
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải: x  0 Ta có: 3
y '  4x  4mx  0  x  2 4
x m  0   2 x m
Theo yêu cầu bài toán ta có: m  0
Ta có A0; m   1 ; B  2
m; m m   1 ; C  2
m;m m   1
Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Ta có H  2
0;  m m   1 2 1 A . B AC.BCAH   m SAH.BC  2
AB  2AH.R trong đó  ABC 2 4R 4
AB m m Suy ra 4 2
m m  2m m  3
m m     mm   2 2 1 0
1 m m   1  0 m  0 m 1       1   5  1 5  m
. Đối chiếu điều kiện ta được S  1;   .  2  2    1   5 m   2 Câu 51: Cho hàm số 3 2
y x mx   2 m   3 3 3
1 x m m , với m là tham số. Gọi ,
A B là hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số và I 2; 2
  . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho ba điểm I , ,
A B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 . Tính tổng các phần tử của S . 20 15 3 4 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Ta có 2 2
y  3x  6mx  3m  3 .
Vì   1  0 nên hàm số luôn có hai cực trị với mọi m . Gọi Am 1; 4
m  2; Bm 1; 4
m  2 suy ra AB  2 5 nên AB là đường kình đường tròn
ngoại tiếp tam giác IAB .
Ta có IA  m 1; 4
m; IB  m 3; 4  m  4 m  1 Vì 
IA IB I .
A IB  0  m  1m  3  4m 4  m  4 2
 0  17m  20m  3  0  3  m   17 20
Tổng các phần tử của S là . 17 1 Câu 52: Cho hàm số 3 2 y
x  (m  2)x  9x 1 , với m là tham số. Gọi x , x là các điểm cực trị của 3 1 2
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9x  25x bằng 1 2 A. 15 . B. 90 . C. 450 . D. 45 . Lời giải: Ta có: 2
y  x  2m  2 x  9 ; 2
y  0  x  2m  2 x  9  0 .
Do   m  2 2  9  0, m
 nên hàm số có hai cực trị.
x x  2 m  2 1 2   Theo định lý Vi-et:  . x .x  9   1 2 Khi đó 1 x , 2 x trái dấu.  9  225 225 + Nếu           1 x  0 thì 9x 25x 9x 25. 9x 2. 9x . 90 1 2 1 1 1 x x x  1  1 1 225
Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 2 9x
x  25  x  5 . 1 1 1 x1 + Nếu   1 x  0 thì 1 x 0 , khi đó  9  225 225
9x  25x  9x  25.    9 x   2. 9 x .  90 1 2 1  1  1 xxx  1  1  1 225
Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 2 9x
x  25  x  5  . 1 1 1 x1
Vậy GTNN 9x  25x là 90 . Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi x  5 . 1 2 1 Câu 53: Cho hàm số 4 y x   2  m  2 2 1
x m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất. A. 1 m  . B. 1 m   . C. m  0 . D. m  1. 2 2 Lời giải:
Tập xác định: D  . x  0 Ta có: 3 y  x   2  m  2 x x x     2 4 4 1 4
1  m  ; y  0   . 2 2 x  1   m
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Hàm số có ba điểm cực trị khi 2 1  m  0  1   m  1 .
Khi đó ba điểm cực trị là A0; m  1 ; B 2 4 2
 1 m ;m  2m m; C 2 4 2
1  m ; m  2m m.
Gọi H là trung điểm của BC H  4 2
0; m  2m m . 2
Khi đó: AH    2 0;
1  m  ; BC   2 2 1  m ;0 . 2 2 1 1
Vì ABC cân tại A nên S  .AH.BC   mm   mm . ABC  2 1  2 .2 1  2 1  2 . 1 2 2 Mà 2 2 m  0; m
  1  m  1  S  1 .
Dấu “=” xảy ra khi m  0 (thỏa mãn). mx
Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y x
có hai điểm cực trị và các cực trị 2 x 1
này đều thuộc hình tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng 30 ? A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. Lời giải: m m Ta có: y  1  y  0  1 
 0  m  x  13 2  3 x  13 2  2x 1  2 3 2  2 3 2       2 3 x 1 m x m 1
x  1  m     .   m  0 m  0
Để đồ thị có hai cực trị thì phương trình 2 3 2 x
m 1 có 2 nghiệm phân biệt 3 2  m 1 0    m  1.  m  0
Vì 2 cực trị nằm trên đường tròn tâm O bán kính 30 nên 2 2 x y  30.   Suy ra 2 2 x y    2 m      2  m 2 3 3 3 2 30 1 1 1
 30  m  4  8   m  8   
So điều kiện suy ra m  8  ; 7  ;...; 
2 . Vậy có 7 giá trị m cần tìm BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 55: Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y x 0 A. 4 2
y x  3x 1. B. 4 2
y  x  3x 1. C. 3 2
y  x  3x 1. D. 3 2
y x  3x 1. Lời giải:
Quan sát đồ thị ta có, đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx c a  0
nên loại phương án C,D.
Dựa vào dạng đồ thị nên có hệ số a  0 , suy ra chọn đáp án B.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Câu 56: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca  0 có đồ thị như hình vẽ bên. y
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0. O x
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0. Lời giải:
+ Do lim y    a  0 và C  Oy  0;c  c  0. Mặt khác hàm số có duy nhất một cực trị x nên suy ra .
a b  0 , do a  0  b  0. Câu 57: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d, a, , b c, d
 có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0, d  0 .
B. a  0,b  0, c  0, d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0, c  0, d  0 . Lời giải:
Do nhánh tiến đến  của đồ thị đi lên nên a  0
Do đồ thị cắt trục tung tạo điểm có tung độ lớn hơn 0 nên d  0 2
y  3ax  2bx c  2b      1 x 2 x 0  b   0 3a
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị   1 x , 2 x thỏa:  . c  c  0   1 x . 2 x 0  3a
Câu 58: Biết a,b, c là các số thực tùy ý, a  0 và hàm số 3 2
y ax bx cx nhận x  1 là một điểm cực
trị. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3a  2b c  0 .
B. a c b .
C. 3a c  2b .
D. 2a b  0 . Lời giải: Xét hàm số 3 2
y ax bx cx (a  0) . Ta có 2
y '  3ax  2bx c  0 . Vì x  1 là một điểm cực trị nên y có 1 nghiệm là x  1 . Suy ra 2 3a( 1  )  2b( 1
 )  c  0  3a  2b c  0  3a c  2b .
Câu 59: Ta xác định được các số a,b, c để đồ thị hàm số 3 2
y x ax bx c đi qua điểm 0;  1 và có
điểm cực trị 2;0 . Tính giá trị của biểu thức T  4a b c . A. 20 . B. 23 . C. 24 . D. 22 . Lời giải: Ta có: 3 2
y x ax bx c ; 2
y  3x  2ax b .
Đồ thị hàm số qua điểm 0;  1 nên c  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2
a  3b  0 2     a 3b 0   17 a
Đồ thị hàm số có điểm cực trị 2;0   y  2    0   8
  4a  2b c  0   4 .     y   2    0
12  4a b  0  b 5 17
Do đó: T  4a b c  4.  5 1  23. 4
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m đạt cực tiểu tại x  0. A. m  1. B. m  1. C. m  . D. m  1. Lời giải: x  0 Ta có: / 3
y  4x  2m  1 x , / y  0   ; 3
y  12x  2m  1. 2 2x  1   my0   0 Yêu cầu bài toán  
  (Do tính chất hàm trùng phương) y    m 1. 0   0
Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 đạt cực tiểu tại x  2 . A. m  0 . B. m  4 .
C. 0  m  4 .
D. 0  m  4 . Lời giải: Ta có: 2
y  3x  6x m ; y  6x  6 . y2  0 m  0
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2   .       m y 2 0  0 6  0
Câu 62: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị là A. m  2 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  2 . Lời giải: Ta có 2
y  3x  6x m 1 Để hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị thì y  0 có hai nghiệm phân biệt
   0  9  3.m   1  0  m  2 .
Vậy với m  2 thì hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị. Câu 63: Cho hàm số 3
y x  m   2 3
1 x  37m  3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m
để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải: Ta có: 2
y  3x  6m  1 x  37m  3 ; 2
y  0  x  2m  1 x  7m  3  0 . 2
Để hàm số không có cực trị thì   0  m  1  7m  3  0 2
m  5m  4  0
 1  m  4 . Do m  S  1;2;3; 
4 . Vậy S có 4 phần tử. 1
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  (m  2)x có cực trị và các điểm cực đại, 3
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A. m  2 .
B. m  2 .
C. 0  m  2 .
D. m  2 . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Ta có 2
y  x  2mx  (m  2) .
Hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu dương khi và chỉ khi phương trình y  0 2   0
m m  2  0  
có hai nghiệm phân biệt dương  x x  0  2m  0  m  2 . 1 2   x .x  0 m  2  0   1 2
Câu 65: Biết m là giá trị của tham số để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 có hai điểm cực trị x , x sao cho 0 1 2 2 2
x x x x  13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. m  1  ;7 . B. m  7  ; 1  .
C. m  15; 7 . D. m  7;10 . 0   0   0   0   Lời giải: 3 2 2
y x  3x mx 1; y  3x  6x m . Hàm số có hai cực trị   '  9  3m  0  m  3
x , x là hai nghiệm của phương trình 2
3x  6x m  0 . 1 2
S x x  2 1 2 
Áp dụng định lí Viét, ta có:  m P x x   1 2  3 2 Ta có: 2 2
x x x x  13  x x
 3x x 13  4  m 13  m  9   1  5; 7  1 2 1 2  1 2  1 2  
Câu 66: Để đồ thị hàm số 4
y  x  m   2
3 x m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì
tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 . Lời giải: x  0 3 y  4
x  2m 3 x ; 
y  0   x  2 2
2x m  3  0  m  3 . 2 x   2 Hàm số 4
y  x  m   2
3 x m 1 là hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số a  1  0 nên
đồ thị hàm số có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu khi và chỉ khi đồ thị hàm số có m  3
đúng một điểm cực trị   0  m  3. 2 Câu 67: Cho hàm số 4
y mx   m   2 2
1 x 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có một điểm cực đại. 1 1 1 1 A.   m  0 . B. m   . C. m   . D.   m  0 . 2 2 2 2 Lời giải:
Có 3 trường hợp sau thỏa mãn yêu cầu:
TH1: Hàm số là đa thức bậc 2 có hệ số của 2
x âm (đồ thị là parabol hướng bề lõm xuống dưới) m  0    .      m   m 0 2 1  0
TH2: Hàm số là đa thức bậc 4 có đồ thị dạng
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia a  0 m  0 1        m  0 .  . a b  0 2m 1 0 2
TH3: Hàm số là đa thức bậc 4 có đồ thị dạng a  0 m  0      m  0 . ab  0 2m 1  0  1  1 Vậy, m   0   ; 0  0;      m   .  2  2
Câu 68: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2 2
3 x m không có điểm cực đại là A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 0 . Lời giải:
 Tập xác định: D  .
 Với m  0 hàm số trở thành 2
y  3x . Khi đó hàm số có một điểm cực tiểu, không có điểm
cực đại. Vậy m  0 thỏa mãn.
 Với m  0 ta có: 3
y  mx  m   2 4 2
3 x  2x 2mx  m  3   ; x  0   y  0  m  3 . 2 x   2mm  0 
Hàm số không có điểm cực đại khi: m  3  0  m  3 m   m  1;2;3  . Vì  . 0  2m
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 69: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m  4 có ba điểm
cực trị cách đều trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 2. B. 6. C. 0. D. 4. Lời giải:
Tập xác định: D  . x  0 Ta có 3
y'  4x  4mx; y'  0   . 2 x   m Đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m  4 có ba điểm cực trị  phương trình y'  0 có ba nghiệm
phân biệt  m  0 .
Ta có Am   B 2
m m m   C 2 0; 4 , ; 4 ,
m;m m  4 là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
A, B,C cách đều trục hoành 2
y y y m  4  m m  4 A B C
m  0 L 2
m  4  m m  4      m  2
L m  4 . 2  
m  4  m m  4  m  4  TM
Vậy m  4 . Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là 4. Câu 70: Cho hàm số 4
y mx   2 m   2
6 x  4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực
trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Lời giải:
Tập xác định D  . Ta có 3
y  mx   2 4
2 m  6 x .
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại 4m  0            m   0 m 6 m m 1; m 2. 2 m  6  0
Câu 71: Gọi S tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2m x  1 có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của S bằng A. 2. B. 4. C. 8. D. 6. Lời giải: x  0 Ta có: 3 2
y  4x  4m x ; y  0   . x    m
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m 0 .
+) Với x  0  y  1  A0;1O . y +) Với 4
x  m y  m   B 4
m m   C 4 1 ; 1 , ;
m m  1 .
Để ý: ABC luôn cân ở . A
Để 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân  . AB AC  0 6
 8m  8  0  m  1 .
Vậy tổng bình phương các phần tử của S bằng 2.
Câu 72: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2mx  3m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác nhận G 0;7  . 3 A. m  1. B. m   . C. m  1. D. m   3. 7 Lời giải: x  0 Ta có: 3
y  4x  4m ; x y  0   x     m m  . , 0
Khi đó ba điểm cực trị là A 2 m B 2
 m m C 2 0; 3 , ,2 , m ,2m . 2 7m
Tam giác ABC nhận điểm G 0;7 làm trọng tâm thì 2
 7  m  3  m   3. 3
Câu 73: Gọi m , m là các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x m 1 có hai điểm cực 1 2
trị là B , C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2 ,với O là gốc tọa độ. Tính m .m . 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia A. 6 . B. 15 . C. 12 . D. 20 . Lời giải:
x  0; y m 1 Ta có: 2
y  6x  6x ; y  0   .
x 1; y m  2 Bảng biến thiên:
Vậy B 0; m  
1 , C 1; m  2 ; BC  1;   1  BC  2 .  m
Ta có BC : x y m 1  0 ; d O BC  1 ;  . 2 1  m   m  m   Sd O BC BC     m    . OBC  ;  1 1 1 4 3 . . . 2 2 1 4   2 2 2 1   m  4  m  5
Vậy m .m  15  . 1 2 1 1
Câu 74: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y x
mx x  2 có giá trị 3 2
tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền
7 . Số phần tử của S là A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải: Ta có: 2
y '  x mx 1; 2
y '  0  x mx 1  0 .
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình có hai nghiệm phân biệt 2
  '  m  4  0.
Khi đó, gọi các nghiệm của là x , x thì x , x chính là hoành độ hai điểm cực trị. Theo Viet ta 1 2 1 2
có x x  ; m x .x  1. 1 2 1 2
Theo bài ra ta có: x x  7   x x 2 2 2 2 2
 2x x  7  m  2  7  m  9  m  3  ). 1 2 1 2 1 2
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 75: Cho biết đồ thị hàm số 4 2 2 4
y x  2mx  2m m có 3 điểm cực trị ,
A B,C cùng với điểm D 0; 3
  là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi S là tổng các giá trị m thỏa mãn đề bài thì S thuộc khoảng nào sau đây?  9   5   5  A. S 2;4 . B. S ;6   . C. S 1;   . D. S 0;   .  2   2   2  Lời giải:
Hàm số có 3 điểm cực trị  ab  0  2m  0  m  0 (2) 4 2
x  0  y m  2m
Với m  0 , ta có: 3
y'  4x  4mx ; 4 2
y'  0  x m y m  3m .  4 2
x   m y m   3m
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là A 4 2
m m B 4 2
m m m   4 2 0; 2 ; ; 3
; C  m; m  3m  .
Vì tứ giác ABDC có hai đường chéo vuông góc, do đó ABDC là hình thoi  hai đường chéo
của tứ giác ABDC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 4 2 4 2
y y y y m  2m  3  2m  6m A D B Cm  1  4 2
m  4m  3  0   . m   3 m  1
Kết hợp với điều kiện (2) suy ra 
S  1  3 2; 4. m  3
Dạng 3: Bài toán cực trị liên quan đến hàm ẩn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 76: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải:
Hàm số y f x đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại điểm x  2.
Câu 77: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  2x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải:
Hàm số y   f
 x  2x  f  
x 2  0  fx  2 có hai nghiệm (đơn) phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 78: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  x đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  4.
D. x  2. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 3  x  1 x  2  
Hàm số gx   f 3  x  0  3  x  2  x  1 .   3  x  1  x  4   Bảng xét dấu: x  1 2 4  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  2. 3
Câu 79: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x  x   2 ' (
1) x  1x  3 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số y f x  là A. 2. B. 5. C. 3. D. 1. Lời giải: x  1  
Ta có : f ' x  0  (x 1)  x   1  x  33 2  0  x 1  x  3 
Căn cứ BBT ta thấy số điểm cực trị dương của hàm số y f (x)  
là 2 ( x 1; x 3 ) nên số điểm
cực trị của hàm số y f x  là 5.
Câu 80: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 2x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  1.
B. x  1.
C. x  .
D. x  2. 2 Lời giải: x  1 2x  1  1   3
Hàm số gx  2 f 2x  1  0  2x  1  2  x  .   2 2x  1  1   x  0  Bảng xét dấu: x  0 1 3  2 gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 81: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2. 2 Lời giải: x  1 3  2x  1   1
Hàm số gx  2
f 3  2x  0  3  2x  2  x  .   2 3  2x  1   x  2  Bảng xét dấu: x  1 1 2  2 gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1.
Câu 82: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 2x  3
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  2.
D. x  2. 2 Lời giải:  3  x   2x  3  0  2 
Hàm số gx  2 f 2x  3  0  2x  3  1  x  2 .  2x  3  2   1  x   2  Bảng xét dấu: x  1 3 2  2 2 gx  0  0  0  g x 1
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  . 2
Nhận xét: Do f x không đạt cực trị tại x  0 nên ta không cần xét nghiệm u  0 đối với hàm số
f u khi tìm số điểm cực trị của hàm số f u.
Câu 83: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 5  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 7 5
A. x  1.
B. x  .
C. x  2.
D. x  . 2 2 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia  5  x   5  2x  0  2 
Hàm số gx  2
f 5  2x  0  5  2x  1  x  2 .  5  2x  2   7  x   2  Bảng xét dấu: x  2 5 7  2 2 gx  0  0  0  g x 7
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  . 2
Câu 84: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 2x  1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  2.
B. x  1.
C. x  3.
D. x  5. Lời giải: 2x  1  1 x  1  
Hàm số gx  2 f 2x  1  0  2x  1  3  x  2.   2x  1  5 x  3   Bảng xét dấu: x  1 2 3  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực tiểu tại điểm x  2.
Câu 85: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1 1 3
A. x   .
B. x  2.
C. x  .
D. x  . 2 2 2 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia  3 x   2 3  2x  0    1
Hàm số gx  2
f 3  2x  0   3  2x  2  x  .  2 3  2x  4    1 x     2 Bảng xét dấu: x  1  1 3  2 2 2 gx  0  0  0  g x 3
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  . 2
Câu 86: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  2 x  2x là A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Lời giải: x  1  2x  2  0   x  1  béi 2 
Hàm số gx  2x  2 f  2 x  2x 2  
 0  x  2x  1    .  x  1  2 x  2x  3   x  3  Bảng xét dấu: x  3  1  1  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x có ba điểm cực trị.
Câu 87: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1 2
Số điểm cực trị của hàm số g x   f
 x  2 f  x là A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
f x  0
Hàm số gx  2 f x. f x  2 f x  2 f x f x     1  0    f  x  1  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
+) Với f x  1  0  f x  1 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c  1.
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị.
Câu 88: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 11. B. 10. C. 9. D. 8. Lời giải:
f x  0
Hàm số gx  f  f x. f x  0    f
  f x  0 x  1  
+) Với f x  0  x  1 NghiÖm ®¬n . x   2  NghiÖm ®¬n
+) Với f  f x  0
f x  1 cã bèn nghiÖm ®¬n a,b,c,dph©n biÖt kh¸c 1;2 
  f x  1
 cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1;2;a,b,c,dvµ mét nghiÖm béi hai: x  1 . 
f x 2 cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c c¸c nghiÖm trªn vµ mét nghiÖm béi hai: x  2 
Vậy hàm số g x có 11 điểm cực trị.
Câu 89: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 1 1 -1 O x -1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Hàm số g x  f x 2
x x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  2. Lời giải: x  1   
Hàm số gx   f  x 2
x x  1  f  
x 2x 1  0  fx  2x 1 x  0 .  x  1  y 3 1 1 -1 O x -1 Bảng xét dấu: x  1  0 1  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  0. 2019 2020 3
Câu 90: Cho hàm số f x có đạo hàm f x  x    2 2 x x  2
x  3 , x
  . Số điểm cực trị
của hàm số f x  là A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải: x  2 2020 2019 3 
+) Ta có: f  x  0   x  2
 2x x  2 x 3  0  x  1  . x  3   +) Bảng biến thiên:
Hàm số f x có 1 điểm cực trị dương x  2 nên hàm số y f x  có 2.1  1  3 điểm cực trị.
Câu 91: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Số điểm cực trị của hàm số y f x  2 . A. 2. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số y f x  2  bằng số điểm cực trị hàm số y f x .
Hàm số f x có 1 điểm cực trị dương nên hàm số y f x  có 2.1  1  3 điểm cực trị.
Câu 92: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 bằng m n .
+) m là số điểm cực trị của hàm số y f x  2  m  2 .
+) n là số nghiệm bội lẻ của phương trình f x  2  n  3 .
Suy ra, số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 bằng 5 .
Câu 93: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  1  f x 0 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số hx  f x  m
có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 18. D. 20. Lời giải:
Đặt gx  f x  . m
+) Số điểm cực trị của hàm số g x là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số f x ).
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
+) hx  gx có đúng 3 điểm cực trị  g x  0  f x  m có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của f x )
m 1 m ,m  10;10  m   1  0; 9  ;...; 1  ;0;1;2;..1  0 . m  0
Câu 94: Cho hàm số f x liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x   2019 là A. 5 . B. 9 . C. 3 . D. 7 . Lời giải: x  
Xét h x  f x  2019 có h x  f  x ; h x   f  x 1 0  0   x  4
Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số y h x với trục hoành: x a  1  
f x  2019  0  f x  2019  x b 0  b  4 
x c  4
Vậy hàm số y h x có 3 điểm cực trị dương.
Vậy số điểm cực trị của hàm số g x  h x  là 2.3 1  7 .
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3
x  3x m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 2. C. 5. D. 3. Lời giải: x 1
Đặt gx  3
x  3x; g x      2 3x  3  0   x  .  1 BBT: x  1 1  gx  0  0  2  g x 2 
Xét hàm số y g x  m .
+) Số điểm cực trị của hàm số g x  m là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số g x ).
+) y g x  m có đúng 5 điểm cực trị  g x  m  0  g x  m có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của g x ) 2 2 m m        m 1  ;0;1 ; .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 96: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  1 3  f x  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  là A. 6. B. 5. C. 7. D. 8. Lời giải: 3
Xét hàm số hx  f  3 x  2
x   hx   gx  f x  2 3 3x .  2
3x  6x  0  x  0; x  2 
Ta có: hx   2
3x  6xf  3 x  2 3x   0   3 x  2 3x  1 C§ x  3,1.  3 x  2 3x  3 CT  x   3,3
Vậy hx có 3 điểm cực trị dương nên hx   gx có 2.3  1  7 điểm cực trị.
Câu 97: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x   2 9
x 16 , x  . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f  3
x  7x m có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 16 . B. 9 . C. 4 . D. 8 . Lời giải: x  4  
Cách 1: Ta có: f  x   x  9 2
x 16  0  x  4 .  x  9  3 Để ý rằng, do 3
x ; 7x cùng dấu nên 3
x  7x x  7 x . 3
Lúc đó: g x  f  3
x  7x m  f x  7 x m.
Xét hàm số h x  f  3
x  7x m  g x  hx .
Ta có: h x   2
x   f  3
x x mh x   f  3 3 7 7 ; 0
x  7x m  0 3 3
x  7x m  4 
x  7x  4  m   3 3
x  7x m  4  x  7x  4  m ;  
9 m  4 m  4 m.  3  3
x  7x m  9
x  7x  9  m  
BBT hàm t x 3  x  7x : x  0  t x   t x 0 
Hàm số g x có ít nhất ba điểm cực trị  h x có ít nhất một điểm cực trị dương * 9 0 9 m m m       
m1;2;3;4;5;6;7;  8 . Mở rộng:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
d) Hàm số g x có đúng ba điểm cực trị h x có đúng một điểm cực trị dương 9   m  0  
 4  m  9 m  m4;5;6;7;  8 . 4  m  0
b) Hàm số g x có ít nhất năm điểm cực trị  h x có ít nhất hai điểm cực trị dương * 4 0 4 m m m        m1;2;  3 .
c) Hàm số g x có đúng năm điểm cực trị h x có đúng hai điểm cực trị dương 4  m  0    4
  m  4 m  m 4  ; 3  ; 2  ; 1  ;0;1;2;  3 .  4   m  0
d) Hàm số g x có ít nhất bảy điểm cực trị  h x có ít nhất ba điểm cực trị dương
 4  m  0  m  4.
Cách 2: Ta có BBT của hàm y hx 3
x  7x như sau: 
Ta có g x 3
x x f  3 7 .
x  7x m . Rõ ràng x  0 là điểm cực trị của hàm y hx . 3 3
x  7x m  9
x  7x  9  m   Ta có: f  3
x  5x m 3 3
 0   x  7x m  4   x  7x  4  m .   3 3
x  7x m  4
x  7x  4  m  
Để hàm số g x có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình g x  0 có ít nhất 2 nghiệm
phân biệt khác 0 và g x đổi dấu khi đi qua ít nhất 2 trong số các nghiệm đó.
Từ BBT ta có 9  m  0  m  9  m 1;2;3;4;5;6,7,  8 .
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 98: Cho hàm số 3 2
f (x)  x  6x  (3m  6)x , với m là tham số thực, có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số g(x)  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 Lời giải:
Hàm số g(x)  f x  là hàm chẵn, nên hàm số g(x)  f x  có 5 điểm cực trị  y f (x) có
2 điểm cực trị dương  f  x  0 có 2 nghiệm dương phân biệt Ta có: 2 2
f '(x)  0  3x 12x  3m  6  0  x  4x  2  m Xét hàm số 2
h(x)  x  4x  2; h '(x)  2  x  4
Xét phương trình: h '(x)  0  2
x  4  0  x  2
Ta có bảng biến thiên của hàm số h(x)
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Để phương trình: h(x)  m có 2 nghiệm dương phân biệt ta có: 2  m  6
Vậy có 3 giá trị nguyên của m .
Câu 99: Cho hàm số y f x có đồ thị của y 8f 3  2x như hình vẽ sau: y 6 4 2 x 15 10 5 -2 O 1 2 5 10 15 2 4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20  21;20  21 để hàm số
g x  f  3
x  2021x m có ít nhất 5 điểm cực trị? 6 A. 2019. B. 2020. C. 2021. D. 2022. 8 Lời giải: x  7 3  xt  2  
Đặt x  3  2t ta có t
và f  x  f 3  2t   0   x 1 .   2 t 1 x  1  
Vì g x  f  3
x  2021x m là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của g x bằng 2 lần số cực
trị dương của f  3
x  2021x m cộng với 1.
Với x  0, ta có g x  f  3
x  2021x m; g x   2 x   f  3 3 2021
x  2021x m. 3
x  2021x m  7 3
x  2021x  7  m (1)  
Ta có: g x 3
 0  x  2021x m 1  3
x  2021x 1 m (2).   3 
x  2021x m  1   3
x  2021x  1   m (3) 
Hàm số g x có ít nhất 5 điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất 2 trong 3 phương trình (1),
(2), (3) có nghiệm dương.
Xét hàm số h x 3
x  2021x có hx 2  3x  2021.
Ta có BBT của h x như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vì 7  m  1 m  1 m nên ta có 1 m  0  m  1. Mà m  2021  ;  2021  nên m  20  21;...;  0 .
Vậy có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 100: Cho hàm đa thức bậc ba y f x như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f f x  m có đúng 6 điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải: Giả sử    3 2 y
f x ax bx cx d .
Vì đồ thị của hàm số y f x đi qua các điểm có toạ độ là 0 
;1 , 1;3,2;5,3  ;1 d  1 a  1  
a b c d  3 b   3      f x 3 2
 x  3x 1
8a  4b  2c d  5 c  0  
27a 9b 3c d 1 d 1    f xx 0 2  3
x  6x  0   . x  2
f x  0
Xét hàm số y f f x  m  y  f  x. f  f x  m    0    f
  f x  m  0 x  0 x  0   x  2 x  2      .
f x  m  0
f x  m    f
  x  m  2  f
  x  m  2 m 1  m  2  1 1  m  1
Hàm số y f f x  m có đúng 6 điểm cực trị     . m  2  5 5  m  3  m  5 Mà m   m 4  ; 3;1;  0 .
Vậy có 4 giá trị m nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 101: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f  2
x  4x m có 3
điểm cực trị. Số phần tử của S là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Lời giải:
Ta có: y'   x   f '  2 2 4
x  4x m. x  2 x  2 x  2   y'  0   *  
x x m    x x  m   
f ' x  4x m 2 2 4 1 4 1 2  0 2 2  
x  4x m  3
x  4x  m  3  
Hàm số y f  2
x  4x m có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình * có đúng 3 nghiệm bội lẻ.
Xét hàm số: g x 2  x  4x
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình * có đúng ba nghiệm bội lẻ m  3  4     3  m  7 m 1 4 
S  3;4;5;  6
Câu 102: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm là 2 f (
x)  x 10x , x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y f  4 2
x  8x m có đúng 9 điểm cực trị? A. 16. B. 9. C. 15. D. 10. Lời giải: x  0 Xét 2 f (
x)  x 10x  0   . x  10 
Xét y f  4 2
x x m  y   3 x xf  4 2 8 4 16
x  8x m . 3
4x 16x  0 Cho y  0   .  f    4 2
x  8x m  0 x  0 Xét phương trình: 3
4x 16x  0   . x  2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 4 2 4 2
x 8x m  0
x  8x m   1
Xét phương trình: f  4 2
x  8x m  0     . 4 2 4 2
x  8x m  10
x  8x m 10  2
Đề hàm số y f  4 2
x  8x m có đúng 9 điểm cực trị thì phương trình f  4 2
x  8x m  0 cần
có 6 nghiệm đơn x  0 và x   2 .  x  0
Xét hàm số g x 4 2
 x  8x có g 'x 3
 x 16x  0   . x  2  Ta có bảng biến thiên:
Xét hai đường thẳng d : y  ,
m d : y m 10 song song với trục Ox . 1 2
Vì m 10  m m
  , nên đường thẳng d nằm trên đường thẳng d . 2 1
Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm 0  m 10 16    1
 0  m  0 . Vì m  nên  m 9  ;...;  1 . m  0
Vì x  0 đã là cực trị của hàm số y f  4 2
x  8x m nên ta lấy cả trường hợp m  0 .
Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 103: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải:
Hàm số y   f x  x  f x  1  0  f x  1   
có duy nhất một nghiệm là x  1 (bội hai).
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Câu 104: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  3.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Lời giải: 3  2x  1 x  1  
Hàm số gx  2
f 3  2x  0  3  2x  3  x  0 .   3  2x  5 x  1    Bảng xét dấu: x  1  0 1  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực tiểu tại điêm x  0.
Câu 105: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 2x  4 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  3.
B. x  2.
C. x  0.
D. x  4. Lời giải: 2x  4  0 x  2  
Hàm số gx  2 f 2x  4  0   2x  4  2   x  3 .   2x  4  4 x  4   Bảng xét dấu: x  2 3 4  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  2.
Câu 106: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Hỏi hàm số gx  f  2 x  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  3. Lời giải: x  1  2x  2  0   x  1  béi 2 
Hàm số gx  2x  2 f  2 x  2x 2  
 0  x  2x  1    .  x  1  2 x  2x  3   x  3  Bảng xét dấu: x  3  1  1  gx  0  0  0  g x
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1. 2
Câu 107: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số g x  f  2
x  3x  1 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 4. Lời giải:  3 x    2 2x  3  0  
x  0  x  3 
x  3x  1  1 
Hàm số gx  2x  3 f x  3x  1 2 2  0   x  1  .   2
x  3x  1  1   x  2  2
x  3x  1   5 x   1 x  4   Bảng xét dấu: x  4  3  2  3  1  0 1  2 gx  0  0  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị. 2
Câu 108: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x   . Hỏi hàm số
g x  f  2
x  3x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  4.
B. x  3.
C. x  1.
D. x  1. Lời giải:  3 x    2 2x  3  0  
x  0  x  3 
x  3x  1  1 
Hàm số gx  2x  3 f x  3x  1 2 2  0   x  1  .   2
x  3x  1  1   x  2  2
x  3x  1   5 x   1 x  4   Bảng xét dấu: x  4  3  2  3  1  0 1  2 gx  0  0  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1.
Câu 109: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia f x  0  0  0 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f  2 x  1 là A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải: x  0 x  0    x  1   x  1 2  x  1  0 
Hàm số gx  2xf  2 x  1  0   x  0  Béi 2 . 2  x  1  1   x  2  2 x 1   3  x  2  Bảng xét dấu: x  2  1  0 1 2  gx  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x có ba điểm cực trị.
Câu 110: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3  f x  0  0  0 
Hàm số g x  f  2
x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2. Lời giải: x  0 x  0    x  1   x  1 2  x  1  0 
Hàm số gx  2xf  2 x  1  0   x  0  Béi 2 . 2  x  1  1   x  2  2 x 1   3  x  2  Bảng xét dấu: x  2  1  0 1 2  gx  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại các điểm x  2; x  2.
Câu 111: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2x là A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải:
Hàm số gx   f
 x  2x  f  
x  2  0  fx  2 có ba nghiệm (đơn) phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 112: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  3x là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải:
Hàm số gx   f
 x  3x  f  
x  3  0  fx  3 có duy nhất một nghiệm đơn x  1 và một 0
nghiệm bội chẳn x  1.
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị.
Câu 113: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1 1
Hỏi hàm số gx  f x 3 2
x x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  2.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  1. Lời giải:   1  x  0
Hàm số gx  f  x 3 2  x xf   x 2
x  2x  0  f x 2
 x  2x   .  3  x  2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y O 1 2 x Bảng xét dấu: x  0 2  gx  0  0   g x 
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  0.
Câu 114: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải:
f x  0
Hàm số gx  f  f x. f x  0    f
  f x  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
f x  1 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c  1
+) Với f  f x    0    f  x .  1
 cã mét nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c  1;a,b,c vµ mét nghiÖm béi hai: x  1
Vậy hàm số g x có 6 điểm cực trị.
Câu 115: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số       2 g x f x  là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải:
f x  0
Hàm số gx  2 f x. f x      f  x  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
+) Với f x  0 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c  1.
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị.
Câu 116: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x   1 là A. 7. B. 6. C. 8. D. 5. Lời giải: f   x  0
Hàm số gx  f  f x  1. f x  1  f  f x  1. f x  0    f
  f x   . 1  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
f x  1  1  f x  2 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c 1
+) Với f  f x       1  0    f
 x     f x . 1 1
 0 cã ba nghiÖm ®¬n c,d,e ph©n biÖt kh¸c 1
Vậy hàm số g x có 8 điểm cực trị.
Câu 117: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  1  là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  1  bằng số điểm cực trị hàm số y f x .
Hàm số f x có 1 điểm cực trị dương nên hàm số y f x  có 2.1  1  3 điểm cực trị.
Câu 118: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x 
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  1  1 là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải:
Đánh giá gx  1  f x  1 
 Hai hàm số gx và gx  1 có cùng số điểm cực trị.
Xét hx  f x  1  hx   f x  1. x   x
Ta có: f x   1 0 1 1  0     
f x  1 có 2 điểm cực trị dương  f x 1 có x  1  2 x    3
2.2  1  5 điểm cực trị.
Vậy gx  f x  1  1 có 2.2  1  5 điểm cực trị.
Câu 119: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  5  f x 3 
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số hx  f x  m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 7. C. 5. D. 4. Lời giải:
Đặt gx  f x  . m
+) Số điểm cực trị của hàm số g x là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số f x ).
+) hx  gx có đúng 3 điểm cực trị  g x  0  f x  m có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của f x ) * 3 5 m m       m1;2;3;  4 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 120: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số y  3
x  3x m có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 20. D. 18. Lời giải: x 1
Đặt gx  3
x  3x; g x      2 3x  3  0   x  .  1 BBT: x  1 1  gx  0  0  2  g x 2 
Xét hàm số y g x  m .
+) Số điểm cực trị của hàm số g x  m là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số g x ).
+) y g x  m có đúng 3 điểm cực trị  g x  m  0  g x  m có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của g x ) m  2 m , m   1  0;10  m   1  0; 9  ;...; 2  ;2;3;..1  0 . m  2 
Câu 121: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  3  1 2  f x  0  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  1 là A. 9. B. 11. C. 7. D. 8. Lời giải: 3
Xét hàm số hx  f  3 x  2
x    hx   gx  f x  2 3 1 3x  1.  2
3x  6x  0  x  0; x  2 
Ta có: hx   2
3x  6xf  3 x  2
3x  1  0   3 x  2 3x  1  2 C§ Mét nghiÖm d­¬ng.  3 x  2 3x  1  3 CT   Hai nghiÖm d­¬ng
Vậy hx có 4 điểm cực trị dương nên hx   gx có 2.4 1  9 điểm cực trị.
Câu 122: Cho hàm số f x 4 3 2
x 12x  30x  4  mx với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên m để hàm số g x  f x  có đúng 7 điểm cực trị? A. 27 . B. 31. C. 28 . D. 30 . Lời giải:
Xét hàm số f x 4 3 2
x 12x  30x  4  mx .
Ta có f  x 3 2
 4x  36x  60x  4  m ; f x 3 2
 0  m  4x  36x  60x  4 .
Hàm số g x  f x  có đúng 7 điểm cực trị
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
 Hàm số f x có đúng 3 điểm cực trị dương
 Phương trình f x  0 có 3 nghiệm dương phân biệt  Phương trình 3 2
m  4x  36x  60x  4 có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm số h x 3 2
 4x  36x  60x  4 . x
Ta có: h x 2
 12x  72x  60 ; hx 1  0   . x  5 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có *  4  m  32 .
Vì m  nên m 5;6;7;...;  31 .
Vậy có 27 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
Câu 123: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x    x   2
x  m   2 3 1 2
1 x m 1   , x   . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải:
Để hàm số g x  f x  có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương. Ta  x  1 
có f  x  0  x  3  . 2 x  2  m   2
1 x m 1  0 *
Vì x  3 là nghiệm bội chẵn nên để hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương thì (*) có 2
nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm x dương khác 1 và một nghiệm x  0 2  m 1  0 1  m  1  2  1  2  m   2
1 .1 m 1  0  m  1 3
Điều kiện tương đương .    m   2 1    2 m   1  0 m  1 Mà m   m0  ;1 .
Câu 124: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  3 4x  
1  m có 7 điểm cực trị? A. Vô số. B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải: 2 12x f  3 4x   1  f   3 4x   1  m
Ta có: g x  . f  3 4x   1  m Dễ thấy: 2 12x  0, x   . 3 4x 1  3  x  0  
Từ bảng biến thiên ta có: f  3 4x   3
1  0  4x 1  1  x  1    .  3 4x 1  5 x 1   Ta có: f  3 4x  
1  m  0 *  f  3 4x   1  m . Đặt: 3 t  4x 1 2
t  12x  0  x  0 . Ta có bảng biến thiên:
Để hàm số g x có 7 điểm cực trị thì phương trình * phải có 4 nghiệm bội lẻ khác 0 và 1  .
Suy ra 0  m  2  2  m  0 .
Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. 2
Câu 125: Cho hàm số f x có đạo hàm f  x   x    2 1
x  4x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực m để hàm số g x  f  2
2x 12x m có đúng 5 điểm cực trị? A. 17 . B. 18 . C. 16 . D. 19 . Lời giải: x  1  
f  x   x  2 1  2
x  4x  0  x  0 
( Trong đó x  1 là nghiệm bội chẵn) x  4 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Yêu cầu bài toán tương đương với g x   x   f  2 4 12 .
2x 12x m  0 phải có 5 nghiệm x  3 x  3   đơn 2
 2x 12x m  0  có 5 nghiệm đơn 2
 2x 12x  m  có 5 nghiệm đơn. 2  
2x 12x m  4  2
2x 12x  m  4 
Ta phải có m  18  m  18. Vậy có 17 giá trị nguyên dương của m thỏa bài toán.
Câu 126: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  2
f x  4 f x  m  có 17 điểm cực trị bằng A. 1652 . B. 1653 . C. 1654 . D. 1651. Lời giải: x  1  ;2
Đặt u u x 2
f x  4 f x  u  2 f x f x  2    u  0   . x   a; ;b c
Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: a  1  b  2  c .
Bảng biến thiên của hàm số 2
u f x  4 f x . x ∞ a 1 b 2 c +∞ u' 0 + 0 0 + 0 0 + +∞ +∞ 60 u -3 -4 -4 -4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Ta có g x  f u m   g x   u m  . f  u m  . Do đó số điểm cực trị của hàm số
g x  f  2
f x  4 f x  m  chính là số nghiệm bội lẻ của hệ sau: u   m  0 u   m u   m    
u m   0  x a;1; ; b 2; 
c  x a; 1; ; b 2;  c .    f
  u m   0 u m  2 u   
m  2;m   2 
Do đó số điểm cực trị của hàm số g x phụ thuộc vào số giao điểm của các đường thẳng
y m  2; y  ;
m y m  2 với đồ thị u x .
Vì không tính điểm tiếp xúc nên các đường thẳng này chỉ có thể cắt đồ thị hàm số u x tại 2
điểm; 4 điểm; 6 điểm hoặc không cắt đồ thị hàm số u x .
Do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên để các đường thẳng trên cắt đồ thị u x tại 12 điểm phân biệt  3   m  2  60    1
  m  58  m 1  ;0;1;...;5  7  S  1652 .  3   m  2  60
___________________________HẾT___________________________
Huế, 10h00’ Ngày 15 tháng 5 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115