Chuyên đề Cực trị của hàm số | Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12: Cực trị của hàm số được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:
Môn:

Toán 1.8 K tài liệu

Thông tin:
77 trang 9 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề Cực trị của hàm số | Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12: Cực trị của hàm số được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

76 38 lượt tải Tải xuống
KHO T HÀM S
TOÁN 12
LÊ BÁ BO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TR - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TR TP HU
CC TR CA HÀM S
LUYN THI THPT QUC GIA
CP NHT T Đ THI MI NHT
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Page: CLB GIÁO VIÊN TR TP HU
Chuyên đề:
KHO SÁT HÀM S
Môn: TOÁN 12_GII TÍCH
Ch đề 2: CC TR CA HÀM S
I- LÝ THUYT
1- Định nghĩa: Cho hàm s
()y f x
xác định và liên tc trên
;ab
( có th
a

,
b

) và
đim
0
;x a b
.
a) Nếu tn ti s
0h
sao cho
0
( ) ( )f x f x
vi mi
00
;x x h x h
0
xx
thì ta nói hàm
s
()fx
đạt cực đại ti
0
x
.
b) Nếu tn ti s
0h
sao cho
0
( ) ( )f x f x
vi mi
00
;x x h x h
0
xx
thì ta nói hàm
s
()fx
đạt cc tiu ti
0
x
.
2- Chú ý: Nếu hàm s
()fx
đạt cực đại ( cc tiu) ti
0
x
thì
0
x
đưc gi là đim cực đại ( đim
cc tiu) ca hàm s;
0
()fx
đưc gi là giá tr cực đại (giá tr cc tiu) ca hàm s, kí hiu là
()
CT
ff
, còn điểm
0 0 0
; ( )M x f x
đưc gi là đim cực đại (điểm cc tiu) ca đồ th hàm s.
Các điểm cực đại và cc tiểu được gi chung là đim cc tr. Giá tr cực đại (giá tr cc tiu) còn
gi là cực đại (cc tiu) và được gi chung là cc tr ca hàm s.
3- Điu kiện đủ để hàm s có cc tr:
3-1. Định lý: Nếu hàm s
()y f x
có đạo hàm ti
0
x
đạt cc tr tại đó thì
/
0
0fx
Lưu ý: Định lý khẳng định tại các điểm
0
x
/
0
0fx
thì
0
x
không phi là điểm cc tr ca hàm s.
Nếu
/
0
0fx
thì chưa thể khẳng định
0
x
là điểm cc tr.
3-2. Định lý: (DU HIU I)
Nếu hàm s
()y f x
có đạo hàm trong khong
;ab
/
00
0, ;f x x a b
.
a) Nếu qua
0
x
đạo hàm đổi du t âm sang dương, tc là
/
0
( ) 0,f x x x
/
0
( ) 0,f x x x
thì hàm s đạt cc tiu ti
0
x
.
b) Nếu qua
0
x
đạo hàm đổi du t dương sang âm , tc là
/
0
( ) 0,f x x x
/
0
( ) 0,f x x x
thì hàm s đạt cực đại ti
0
x
.
3-3. Định lý: (DU HIU II)
Nếu hàm s
()y f x
có đạo hàm trong khong
;ab
/
00
0, ;f x x a b
.
a. Nếu
//
0
0fx
thì hàm s đạt cực đại ti
0
x
.
b. Nếu
//
0
0fx
thì hàm s đạt cc tiu ti
0
x
.
4- Mt s nhn xét quan trng:
x
a
b
f
/
(x)
f(x)
x
0
0
+
-
CD
CT
-
+
0
x
0
f(x)
f
/
(x)
b
a
x
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
a) Vi các hàm s thường gp, nếu
0
x
đim cc tr thì
/
0
0fx
. Nói cách khác
0
x
nghim của phương trình
/
0fx
. Hay
§
//
0
C CT
f x f x
b) Các quy tắc tìm các điểm cc tr ca hàm s:
QUY TC I
QUY TC II
c 1: Tìm TXĐ
c 2: Tính
/
fx
. Xác định các đim ti hn.
c 3: Lp bng biến thiên. Kết lun.
c 1: Tìm TXĐ
c 2: Tính
/
fx
. Gii
/
0fx
và kí hiu
i
x
(
1, 2,...i
) là các nghim ca nó.
c 3: Tính
//
fx
//
i
fx
. Kết lun
II- BÀI TP T LUN
1) Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a b) c)
d) e) f)
3 2 3
4
2 4 3
1 4 1
) ( ) 3 ( ) 3 1 ( ) 1
3 3 2
4
( ) 3 ( ) 2 6 ( ) 2 2 1
4
1
) ( )
f x x x x f x x x f x x
x
x
f x x f x x f x x x x
x
x
g f x
x
h k) l)
5 3 2
2
2 1 3 3
) ( ) ( ) 2 ( )
1 5 3 1
x x x x x
f x f x f x
xx

2) Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a) sin b) c) d sin
e) cos cos f) g) sin cos
22
53
( ) 2 2 3 ( ) 4 ( ) 8 ) ( ) 2 2
( ) 3 2 2 2 1 ( )
f x x f x x x f x x f x x x
f x x x y x x x f x x x
3) Tìm
, , ,a b c d
ca hàm s
32
()f x ax bx cx d
sao cho hàm s đạt cc tiu ti
0x
,
00f
và đạt cực đại ti
1x
,
11f
.
4) Xác định các h s
,,a b c
ca hàm s
32
()f x x ax bx c
đạt cc tr bng 0 tại điểm
2x 
và đồ th ca hàm s đi qua điểm
1;0A
.
5) CMR: Vi mi giá tr
m
thì hàm s
23
11x m m x m
y
xm
luôn có cực đại, cc tiu.
6) Cho hàm s
32
11
1 3 2
33
y mx m x m x
. Tìm
m
để hàm s đạt cực đại ti
0x
.
7) Xác định
m
để hàm s
2
1x mx
y
xm

đạt cực đại ti
2x
.
8) Tìm
a
để hàm s
32
32y x mx x
đạt cc tiu ti
2.x
9) CMR: Vi mi giá tr
m
thì hàm s
32
21y x mx x
luôn có 1 cực đại, cc tiu.
10) (ĐH B- 2002)
T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó: cã 3 ®iÓm cùc t
4 2 2
9 10y mx m x
.
11) (ĐH D-2012) Tìm
m
để hàm s
3 2 2
22
2 3 1
33
y x mx m x
có hai điểm cc tr
1
x
2
x
sao cho:
1 2 1 2
21x x x x
.
12) (ĐH A-2012) Tìm
m
để đồ th hàm s
4 2 2
21y x m x m
ba điểm cc tr to thành
mt tam giác vuông.
13) (ĐH B-2012) Tìm
m
để đồ th hàm s
3 2 3
33y x mx m
hai đim cc tr A B sao
cho tam giác OAB có din tích bng 48.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
14) (ĐH B-2013) Tìm
m
để đồ th hàm s
32
2 3 1 6y x m x mx
có hai đim cc tr A B
sao cho đường thng AB vuông góc với đường thng
2.yx
Đọc thêm: X LÝ CC TR VÀ XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC
ĐIM CC TR CỦA Đ TH HÀM S
I-1- LÝ THUYT
1- Nếu hàm s
()y f x
có đạo hàm ti
0
x
và đạt cc tr ti điểm
0
x
thì
/
0
0fx
.
Hay: a)
0
x
là nghim của phương trình
/
0fx
.
b) Kí hiu:
CT CT CT
/ / / /
, : 0x x f x f x y y
Bài toán : Xác định tham s để hàm s
()y f x
có cc tr tho điu kin X.
c 1: Xác định tham s để hàm s
()y f x
có cc tr . Có tp
A
.
c 2: X lý biu thc cc tr theo định lý Viet,…. Có tập
B
.
c 3: Kết lun. Tp giá tr tho yêu cu là
AB
.
2- Mt s kết qu quan trng:
Đặt vấn đề: Trong quá trình x biu thc cc tr hay tính giá tr cc tr chúng ta thưng gp nhng
khó khăn sau:
+ Điểm cc tr
0
x
m rà, cng knh” dẫn đến tính giá tr cc tr khó khăn.
+ Bài toán viết phương trình đồ th qua các điểm cc tr ca hàm s.
+ Xbiu thc giá tr cc tr
CT
,yy
.
Bài toán 1: Cho hàm s
32
( 0)y ax bx cx d a
. Chng minh rng: Giá tr cc tr ca hàm s là:
CTr CTr
y kx m
hay
CT CT
y kx m
y kx m


, trong đó
kx m
phần dư ca phép chia
y
cho
/
y
.
Chng minh: Tht vy: Biu din
/
y ex f y kx m
. Gi
CTr
x
hoành đ đim cc tr của đồ th
hàm s:
CTr CTr CTr CTr CTr
/
y ex f y kx m kx m
( Do
CTr
/
0y
)
T đây gọi
CT CT
; , ;A x y B x y
thì
CT CT
CD CD
y kx m
y kx m


(đ.p.c.m)
Nhn xét: Kết qu ca bài toán trên ch rõ:
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cc tr ca hàm bc 3 là
y kx m
.
+ X lý tt biu thc giá tr cc tr
CTr CTr
y kx m
thay vì phi là:
CTr CTr CTr CTr
32
y ax bx cx d
+ Tư duy của phép chng minh này còn áp dụng cho các hàm đa thức khác.
Bài toán 2: Cho hàm s
()
()
ux
y
vx
. Gi Gi
CTr
x
là hoành độ đim cc tr của đồ th hàm s. Chng minh:
CTr
CTr
CTr
/
/
ux
y
vx
.
Chng minh: Ta có
//
/
2
( ). ( ) ( ). ( )
()
u x v x v x u x
y
vx


CTr CTr
CTr CTr CTr CTr CTr CTr
CTr
CTr
/
/ / /
/
0 . . 0
u x u x
y u x v x v x u x y
vx
vx
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Nhn xét: Kết qu ca bài toán trên ch rõ:
+ Phương trình đường thẳng qua 2 đim cc tr ca (C):
2
ax bx c
y
dx e

2ax b
y
d
+ X lý tt biu thc giá tr cc tr
CTr
CTr
CTr
/
/
ux
y
vx
thay vì phi là:
CTr
CTr
CTr
ux
y
vx
( Bc t và mu gim 1)
+ Tư duy của phép chng minh này còn áp dng cho các hàm phân thc khác.
I-2- VÍ D MINH HO
Bài tp: Cho hàm s
32
6 3 2 6.y x x m x m
Xác định
m
để đồ th hàm s hai điểm cc tr
nm cùng phía vi trc hoành.
Bài gii:
TXĐ:
D
. Ta có:
/2
3 12 3 2y x x m
.
Hàm s có cực đại và cc tiu
phương trình
/
0y
có hai nghim phân bit
12
,xx
:
Yêu cu bài toán
(*)
/
36 9 2 0 2 0 2m m m
.
* Biu din:
/
2
. 2 2 2
3
x
y y m x m



. Gi
0
x
là điểm cc tr ca hàm s, suy ra:
( do )
//
0
0 0 0 0 0
2
. 2 2 2 2 2 2 0
3
x
y y x m x m m x m y x



Như vậy:
00
2 2 2y m x m
.
Hàm s đạt cc tr tại các điểm
12
,xx
suy ra:
11
22
2 2 2
2 2 2
y m x m
y m x m
.
Để ý, do
12
,xx
là nghim ca
/
0y
nên theo định lí Vi-et, ta có:
12
12
4
.2
xx
x x m


(**)
Hai điểm cc tr ca đ thm s nm cùng phía vi trc hoành
12
. 0.yy
(1)
2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 0 2 4 2 1 0m x m m x m m x x x x
Thay (**) vào (1) ta được:
22
2
2 4 2 2.4 1 0 2 4 17 0
17
4
m
m m m m
m




Đối chiếu với điều kin (*), các giá tr
m
cn tìm là:
17
2
4
m
.
I-3- BÀI TP T LUYN
1) Cho hàm s
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m
. Tìm
m
để hàm s có cực đại
cc tiu ti
12
,xx
sao cho:
12
12
1 1 1
.
2
xx
xx
2) Cho hàm s
2
2
1
x mx
y
x

. Tìm
m
để đim cc tiu của đồ th hàm s
thuc
2
( ) : 4P y x x
3) Cho hàm s
2
( 1) 1x m x m
y
xm
. Tìm
m
để đồ th hàm s có điểm CĐ, CT:
a) Cùng phía Ox. b) Khác phía Ox. c) Cùng phía Oy. d) Khác phía Oy.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
4) Cho hàm s
2
3
4
x x m
y
x
. Tìm
m
để
12
4yy
vi
12
,yy
lần lượt là CĐ, CT của hàm s.
5) Cho hàm s
2
23x x m
y
xm

. Tìm
m
để hàm s có CĐ, CT thoả
8
CD CT
yy
.
6) Cho hàm s
2 2 3
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
xm
. Tìm
m
để đồ th hàm s một điểm cc tr
thuc góc phần tư thứ hai và điểm cc tr kia thuc góc phần tư thứ tư của mp(Oxy).
7) Cho hàm s
2
( 1) 4 2
1
x m x m
y
x
. Xác định
m
để:
a) Tích giá tr CĐ và giá tr CT nh nht.
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cc tr.
8) Cho hàm s
2
33
m
y x x
x
. Xác định
m
để hàm s ba điểm cc trị. Khi đó chứng
minh rng c ba điểm cc tr đều nằm trên đường cong
2
31yx
.
9) Cho hàm s
42
( 1) 1y x m x
.
a) Tìm
m
để hàm s có CĐ, CT.
b) Viết phương trình đường cong qua các điểm cc tr ca hàm s.
10) Chứng minh các điểm cc tr của đt hàm số
4 3 2
1
38
4
y x x x x
nm trên 1 parabol.
11) Xác định
m
để đ th hàm s
4 2 4
22y x mx m m
các điểm cực đại, cc tiu lp
thành một tam giác đều.
12) Cho hàm s
3 2 2
3y x x m x m
. Tìm
m
để đồ th hàm s có các điểm CĐ, CT:
a) Nm hai phía với đường thng
: 2 5xy
.
b) Đối xứng qua đường thng
: 2 5xy
.
13) Cho hàm s:
22
2( 1) 4
2
x m x m m
y
x
. Tìm
m
để hàm scực đại, cc tiu sao cho cc
đại và cc tiu cùng vi gc ta đ to thành tam giác vuông ti O.
14) Cho hàm s:
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
. Chng minh rng: Vi mi
m
hàm s luôn cc
đại, cc tiu và khong cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
III- BÀI TP TRC NGHIM
Dng 1: Lý thuyết và xác định cc tr hàm s
BÀI TP TRC NGHIM MINH HA
Câu 1: Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu
fx
đổi dấu khi qua điểm
0
x
fx
liên tc ti
0
x
thì hàm s
y f x
đạt cc
tr tại điểm
0
x
.
B. Hàm s
y f x
đạt cc tr ti
0
x
khi và ch khi
0
0fx
.
C. Nếu
0
0fx

thì
0
x
không phải là điểm cc tr ca hàm s.
D. Nếu
0
0fx

0
0fx
thì hàm s đạt cực đại ti
0
x
.
Câu 2: Cho hàm s
y f x
. Chn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.
0
xx
là điểm cc tiu ca hàm s thì hàm s có giá tr cc tiu là
0
fx
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
B. Hàm s đạt cc tr tại điểm
0
xx
thì
0
0fx
.
C. Hàm s đạt cực đại tại điểm
0
xx
thì
fx
đổi du t dương sang âm khi đi qua
0
x
.
D. Nếu hàm s đơn điệu trên thì hàm s không có cc tr.
Câu 3: Cho hàm s
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm s đạt cc tr ti
0
x
thì
0
0fx
.
B. Hàm s đạt cc tr ti
0
x
thì
fx
đổi du qua
0
x
.
C. Nếu
0
0fx
thì hàm s đạt cc tr ti
0
x
.
D. Nếu hàm s đạt cc tr ti
0
x
thì
0
0fx
.
Câu 4: Hàm s
fx
có bng biến thiên sau:
Giá tr cc tiu ca hàm s
A.
4
. B.
1
. C.
1
. D.

.
Câu 5: Cho hàm s
y f x
liên trên và có bng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số đim cc tr ca đ th hàm s
y f x
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 6: Cho hàm s
3
2
2
23
33
x
y x x
. Điểm cực đại ca hàm s đã cho
A.
1; 2M
. B.
2
3;
3
N



. C.
3x
D.
1x
.
Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị?
A.
1
2
x
y
x
. B.
2
1 y x x
. C.
4
72 y x x
. D.
3
.yx
Câu 8: Cho hàm s
42
8y x x
có đồ th
C
. Gi
,,A B C
ba điểm cc tr ca
C
. Tính din tích
S
ca tam giác
ABC
.
A.
16S
. B.
8S
. C.
32S
. D.
64S
.
Câu 9: S đim cc tr ca hàm s
25
12y x x
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
Câu 10: Cho hàm s
y f x
liên tc trên có đồ th như hình vẽ bên dưới:
S đim cc tr ca hàm s
y f x
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
6
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 11: Cho hàm s bc bn
y f x
và đồ th đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
S đim cc tr ca hàm s
y f x
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 12: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
2
4 3 1 ,f x x x x
0; x
. Hi hàm s
y f x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 13: Hàm s nào dưới đây có 3 điểm cc tr?
A.
3
3.y x x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2 1. y x x
Câu 14: Gi
,,A B C
các điểm cc tr của đ th hàm s
42
24y x x
. Bán kính đưng tròn ni
tiếp tam giác
ABC
bng
A.
21
. B.
21
. C.
2
. D.
1
.
BÀI TP T LUYN
Câu 15: Cho hàm s
y f x
đạo hàm cp hai trên khong
K
0
xK
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
0
x
là điểm cực đại ca hàm s
y f x
thì
0fx

.
B. Nếu
0fx

thì
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
y f x
.
C. Nếu
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
y f x
thì
0fx
.
D. Nếu
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
y f x
thì
0fx
.
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số
y f x
có giá tr cực đại là
M
và giá tr cc tiu là
m
thì
Mm
.
(II). Đồ th hàm s
42
0y ax bx c a
luôn có ít nhất 1 điểm cc tr.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cc tr ca đ thm s luôn song song vi trc hoành. S
khẳng định đúng là:
A.
0.
B.
2.
C.
1.
D.
3.
Câu 17: Cho hàm
fx
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên . Phát biu nào sau đây sai ?
A. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
B. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
C. Hàm số
fx
đạt cc tr ti
0
x
khi và ch khi
0
x
là nghim của đạo hàm.
D. Nếu
'fx
đổi du khi
x
qua
0
x
'fx
liên tc ti
0
x
thì hàm s
fx
đạt cc tr ti
0
x
Câu 18: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Tìm giá tr cực đại
CĐ
y
và giá tr cc tiu
CT
y
ca hàm s đã cho.
A.
C
5
Đ
y
1
CT
y 
. B.
C
1
Đ
y
0
CT
y
.
C.
C
1
Đ
y 
1
CT
y
. D.
C
5
Đ
y
0
CT
y
.
Câu 19: Cho hàm s
fx
có bng biến thiên như sau :
S đim cc tr ca hàm s
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Câu 20: Bng biến thiên hình bên là ca mt trong bn hàm s ới đây. Tìm hàm số đó.
A.
32
5 6.y x x x
B.
32
6 9 1.y x x x
C.
32
6 9 6.y x x x
D.
42
3.y x x
Câu 21: Đồ th hàm s
3
3y x x
có điểm cc tiu là
A.
1; 2M
. B.
1;0N
. C.
1; 2P
. D.
1;0Q
.
Câu 22: Cho hàm s
fx
có bng biến thiên sau:
Hàm s
y f x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
3.
B.
5.
C.
2.
D.
4.
Câu 23: Cho hàm s
42
2 3. y x x
Giá tr cc tiu ca hàm s đã cho bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Câu 24: Cho đồ th hàm
y f x
như hình vẽ n dưới:
S đim cc tr ca hàm s
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 25: Cho hàm s bậc năm
y f x
và đồ th đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
S đim cc tr ca hàm s
y f x
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 26: Hàm s nào dưới đây không có cc tr?
A.
2
1
.
x
y
x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
2
2 1. y x x
D.
3
1. y x x
Câu 27: Cho hàm s
42
21y x x
đồ th
.C
Biết rằng đồ th
C
ba điểm cc tr to thành
ba đỉnh ca mt tam giác, gi là
.ABC
Tính din tích
.ABC
A.
2S
. B.
1S
. C.
1
2
S
. D.
4S
.
Câu 28: Cho hàm s
2
20y x x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm s nghch biến trên
;4
. B. Hàm s đạt cực đại ti
5x
.
C. Hàm s đồng biến trên
5; 
. D. Hàm s không có cc tr.
Câu 29: Cho hàm s
()y f x
có đạo hàm
2019 2021
2017
'( ) 1 2f x x x x
,
x
. Tng bình
phương các điểm cc tr ca hàm s
A.
5
. B.
1
. C.
4
. D.
12229091.
Câu 30: Hàm s nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 đim cc tiu?
A.
3
3.y x x
B.
4
2.yx
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2. y x x
Dng 2: Bài toán tham s không liên quan đến hàm n
CC TR HÀM BC BA
32
, ; ; ; , 0 y ax bx cx d a b c d a
Ta xét:
2
32y ax bx c
2
3b ac
.
Điu kin
2
0
30
a
b ac

Điu kin
2
0
30
a
b ac

Điu kin
2
0
30
a
b ac

Điu kin
2
0
30
a
b ac

x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
Lưu ý:
1) Đồ th hàm s có 2 điểm cc tr nm hai phía Oy . Gi
12
,xx
là các điểm cc tr ca hàm s.
Ta có :
2
2
12
30
30
0
3
.0
0
b ac
b ac
ac
c
xx
a




.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
2) Đồ th hàm s có 2 điểm cc tr nm mt phía Oy . Gi
12
,xx
là các điểm cc tr ca hàm s.
Ta có :
2
2
2
12
30
30
30
3
.0
0
0
b ac
b ac
b ac
c
xx
ac
a






.
Điu kin
0
0
a
c
Điu kin
0
0
a
c
Điu kin
2
0
0
30
a
c
b ac

Điu kin
2
0
0
30
a
c
b ac

x
y
O
x
y
O
x
y
(C)
O
1
x
y
O
(C)
1
CC TR HÀM TRÙNG PHƯƠNG
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
1) Điều kiện để hàm s
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có 3 điểm cc tr:
0ab
2) Điều kiện để hàm s
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có duy nht một điểm cc tr:
0ab
Lưu ý: Trong trường hp
a
cha tham s thì ta chia 2 trường hp
0a
0.a
3) Mt s dạng đồ th
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
và điều kin v cc tr:
Dng 1
Dng 2
Dng 3
Dng 4
Hàm s có duy nht 1
đim cc tr (cc tiu)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
Hàm s có ba điểm cc
tr (2 đim cc tiu
1 đim cc đi)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
Hàm s có duy nht 1
đim cc tr (cc đi)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
Hàm s có ba điểm cc tr
(1 đim cc tiểu và 2 điểm
cc đi)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
4) Mt s công thc gii nhanh cần lưu ý:
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
D kin
Công thc tha
0ab
1). Tam giác
ABC
vuông cân ti
A

3
80ab
2). Tam giác
ABC
đều

3
24 0ab
3). Tam giác
ABC
có góc
BAC

32
8 .tan 0
2
ab
4). Tam giác
ABC
có din tích
0ABC
SS

3 2 5
0
32 ( ) 0a S b
5). Tam giác
ABC
có din tích
0
()max S

5
0
3
32
b
S
a
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
6). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn ni tiếp
0ABC
rr





2
0
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a
7). Tam giác
ABC
có độ dài cnh
0
BC m

2
0
20am b
8). Tam giác
ABC
có độ dài

0
AB AC n
2 2 4
0
16 8 0a n b ab
9). Tam giác
ABC
có cc tr
,B C Ox

2
40b ac
10). Tam giác
ABC
3
góc nhn

3
(8 ) 0b a b
11). Tam giác
ABC
có trng tâm
O

2
60b ac
12). Tam giác
ABC
có trc tâm
O
3
8 4 0b a ac
13). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn ngoi tiếp
0ABC
RR
3
8
8
ba
R
ab
14). Tam giác
ABC
cùng điểm
O
to hình thoi

2
20b ac
15). Tam giác
ABC
O
là tâm đường tròn ni tiếp
3
8 4 0b a abc
16). Tam giác
ABC
O
là tâm đường tròn ngoi tiếp
3
8 8 0b a abc
17). Tam giác
ABC
có cnh
BC kAB kAC
3 2 2
. 8 ( 4) 0b k a k
18). Trc hoành chia tam giác
ABC
thành hai phn có din
tích bng nhau
2
42b ac
19). Tam giác
ABC
có điểm cc tr cách đều trc hoành

2
80b ac
BÀI TP TRC NGHIM MINH HA
Câu 31: Đưng cong trong hình v là đ th hàm s nào dưới đây?
A.
32
31y x x
. B.
3
31y x x
. C.
42
21y x x
. D.
3
31y x x
.
Câu 32: Cho hàm s
32
( , , )y x bx cx d b c d
có đồ th như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 0b c d
. B.
0, 0, 0b c d
. C.
0, 0, 0b c d
. D.
0, 0, 0b c d
.
Câu 33: Cho hàm s
42
,,y ax bx c a b c
có đồ th như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0 a b c
. B.
0, 0, 0. a b c
C.
0, 0, 0 a b c
. D.
0, 0, 0.abc
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 34: Cho hàm s
42
; ; , 0y ax bx c a b c a
có bng biến thiên dưới đây:
Tính
2 3 .P a b c
A.
3.P
B.
6P
. C.
2P 
. D.
2P
.
Câu 35: Biết
(0;2)M
,
(2; 2)N
các điểm cc tr của đồ th hàm s
32
y ax bx cx d
. Tính giá tr
ca hàm s ti
3.x
A.
(3) 2y
. B.
(3) 11y
. C.
(3) 0y
. D.
(3) 3y 
Câu 36: Đồ th hàm s
32
32y f x x x ax b
có điểm cc tiu là
2; 2A
. Tính
ab
.
A.
4.
B.
2.
C.
4.
D.
2.
Câu 37: Tp hp các s thc
m
để hàm s
32
32 y x mx m x m
đạt cc tiu ti
1x
A.
1
. B.
1
. C.
. D. .
Câu 38: Tìm tt c tham s thc
m
để hàm s
4 2 2
1 2 2019y m x m x
đạt cc tiu ti
1x 
.
A.
0m
. B.
2m 
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 39: Tp hp các giá tr ca
m
để hàm s
32
1
21
3
y x mx m x
có hai cc tr
A.
; 1 2; 
B.
; 1 2; 
C.
1;2
D.
1;2
Câu 40: tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca
m
trên min
10;10
để hàm s
42
2 2 1 7y x m x
có ba điểm cc tr?
A.
20.
B.
10.
C. Vô s. D.
11.
Câu 41: Tt c c các giá tr ca tham s
m
để
32
31y x x mx
đạt cc tr ti
12
,xx
tha mãn
22
12
6xx
A.
3.m 
B.
3.m
C.
1.m 
D.
1.m
Câu 42: Tìm tt các giá tr thc ca tham s
m
để đồ th hàm s
3 2 2
33y x mx m
hai điểm cc
tr
,AB
sao cho tam giác
OAB
có din tích bng
24
(vi
O
là gc ta đ ).
A.
2m
. B.
1m
. C.
2m 
. D.
1m 
.
Câu 43: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
42
1 1 2y mx m x m
mt cc
tr.
A.
1.m
B.
0.m
C.
0 1.m
D.
0
.
1
m
m
Câu 44: Cho hàm s
42
(2 1) 1y mx m x
. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s đã
cho có đúng một điểm cc tiu.
A. Không tn ti
m
. B.
0.m
C.
1
.
2
m 
D.
1
0.
2
m
Câu 45: S giá tr nguyên ca tham s
m
đ hàm s
32
2 5 4 2y x x x m
có giá tr cc cực đại
giá tr cc tiu trái du là
A.
13
. B.
11
. C.
9
. D.
12
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 46: Tp tt c các giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
1
12
3
y x x m x
có hai điểm
cc tr nm bên trái trc tung là
A.
;1 .
B.
1;2 .
C.
;2 .
D.
1;
.
Câu 47: Gi
S
tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
42
21 y x mx m
giá tr
cc tiu bng
1
. Tng các phn t thuc
S
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
1
.
Câu 48: Biết
0
mm
thì đồ th ca hàm s
3
32y x mx
có hai điểm cc tr và khong cách gia hai
đim cc tr đó bằng
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
2; 1 . m
B.
0
1;0 .m
C.
0
1;2 .m
D.
0
0;1 .m
Câu 49: Tìm
m
để đồ th hàm s
42
21y x mx
có ba điểm cc tr
0;1A
,
B
,
C
tha mãn
4.BC
A.
2m
. B.
4m 
. C.
2m 
. D.
4m
.
Câu 50: bao nhiêu giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
42
21y x mx m
ba điểm cc tr
to thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoi tiếp bng
1
?
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 51: Cho hàm s
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m m
, vi
m
tham s. Gi
,AB
hai đim cc
tr của đ th hàm s
2; 2I
. Gi
S
tp hp các giá tr thc ca tham s
m
sao cho ba
đim
,,I A B
to thành tam giác ni tiếp đường tròn bán kính bng
5
. Tính tng các
phn t ca
S
.
A.
20
17
. B.
15
17
. C.
3
17
. D.
4
17
.
Câu 52: Cho hàm số
32
1
( 2) 9 1
3
y x m x x
, với
m
tham số. Gọi
1
x
,
2
x
các điểm cực trị của
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
9 25xx
bằng
A.
15
. B.
90
. C.
450
. D.
45
.
Câu 53: Cho hàm s
4 2 2
2 1 1y x m x m
. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
cực đại, cc tiểu các điểm cc tr của đồ th hàm s lp thành tam giác din tích ln
nht.
A.
1
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
0m
. D.
1m
.
Câu 54: bao nhiêu s nguyên
m
đ đồ th hàm s
2
1

mx
yx
x
có hai điểm cc tr và các cc tr
này đều thuc hình tròn có tâm là gc ta đ O bán kính bng
30
?
A.
9.
B.
8.
C.
7.
D.
6.
BÀI TP T LUYN
Câu 55: Đưng cong trong hình v sau là đồ th ca hàm s nào dưới đây?
x
y
0
A.
42
3 1.y x x
B.
42
3 1.y x x
C.
32
3 1.y x x
D.
32
3 1.y x x
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 56: Cho hàm s
42
0y ax bx c a
có đ th như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0.a b c
B.
0, 0, 0.a b c
C.
0, 0, 0.a b c
D.
0, 0, 0.a b c
x
y
O
Câu 57: Cho hàm s
32
, , , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ th như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
. B.
0, 0, 0, 0a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0a b c d
. D.
0, 0, 0, 0a b c d
.
Câu 58: Biết
,,abc
các s thc tùy ý,
0a
hàm s
32
y ax bx cx
nhn
1x 
một điểm cc
tr. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3 2 0a b c
. B.
a c b
. C.
32a c b
. D.
20ab
.
Câu 59: Ta xác định được các s
,,abc
để đồ th hàm s
32
y x ax bx c
đi qua điểm
0;1
đim cc tr
2;0
. Tính giá tr ca biu thc
4T a b c
.
A.
20
. B.
23
. C.
24
. D.
22
.
Câu 60: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
4 2 2
1y x m x m
đạt cc tiu ti
0.x
A.
1m
. B.
1m
. C.
m
. D.
1m
.
Câu 61: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
32
31y x x mx
đạt cc tiu ti
2x
.
A.
0m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
04m
.
Câu 62: Tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
32
3 1 2y x x m x
hai điểm cc tr
A.
2m
. B.
2m
. C.
4m 
. D.
2m
.
Câu 63: Cho hàm s
32
3 1 3 7 3y x m x m x
. Gi
S
tp các giá tr nguyên ca tham s m
để hàm s không có cc tr. S phn t ca
S
A.
2
. B.
4
. C.
0
. D. Vô s.
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
32
1
( 2)
3
y x mx m x
cực trị các điểm cực đại,
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A.
2m
. B.
2m
. C.
02m
. D.
2m
.
Câu 65: Biết
0
m
giá tr ca tham s để hàm s
32
31y x x mx
có hai đim cc tr
12
,xx
sao cho
22
1 2 1 2
13x x x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
1;7m 
. B.
0
7; 1m
. C.
0
15; 7m
. D.
0
7;10m
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 66: Để đồ th hàm s
42
31y x m x m
điểm cực đại không điểm cc tiu thì
tt c các giá tr thc ca tham s
m
A.
3m
. B.
3m
. C.
3m
. D.
3m
.
Câu 67: Cho hàm s
42
2 1 1y mx m x
. Tìm tt c các giá tr ca
m
để hàm s đã cho mt
đim cực đại.
A.
1
0
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
1
2
m 
. D.
1
0
2
m
.
Câu 68: S giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
4 2 2
3y mx m x m
không điểm cực đại
A.
4
. B.
2
. C.
5
. D.
0
.
Câu 69: Gi
S
tp các giá tr thc ca tham s
m
đ đ th hàm s
42
24y x mx m
có ba điểm
cc tr cách đều trc hoành. Tng tt c các phn t ca tp
S
bng
A. 2. B. 6. C. 0. D. 4.
Câu 70: Cho hàm s
4 2 2
64y mx m x
. bao nhiêu s nguyên
m
để hàm s ba điểm cc
tr trong đó có đúng hai điểm cc tiu và mt điểm cực đại ?
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
5.
Câu 71: Gi
S
tp hp các giá tr
m
để đồ th hàm s
4 2 2
21y x m x
3 điểm cc tr to thành
mt tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần t ca
S
bng
A. 2. B. 4. C. 8. D. 6.
Câu 72: Tìm
m
để đồ th hàm s
4 2 2
23y x mx m
ba điểm cc tr lp thành mt tam giác nhn
0;7G
.
A.
1.m
B.
3
.
7
m 
C.
1.m 
D.
3.m 
Câu 73: Gi
1
m
,
2
m
là các giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
2 3 1y x x m
có hai điểm cc
tr
B
,
C
sao cho tam giác
OBC
có din tích bng
2
,vi
O
là gc ta đ. Tính
12
.mm
.
A.
6
. B.
15
. C.
12
. D.
20
.
Câu 74: Gi
S
tp hp các giá tr ca tham s
m
đ đồ th hàm s
32
11
2
32
y x mx x
có giá tr
tuyệt đi của hoành độ hai điểm cc tr độ dài hai cnh ca tam giác vuông cnh huyn
7
. S phn t ca
S
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 75: Cho biết đồ th hàm s
4 2 2 4
22y x mx m m
3 điểm cc tr
,,A B C
cùng với điểm
0; 3D
4 đỉnh ca mt hình thoi. Gi S tng các giá tr
m
thỏa mãn đ bài thì S thuc
khoảng nào sau đây?
A.
S 2;4
. B.
9
S ;6
2



. C.
5
S 1;
2



. D.
5
S 0;
2



.
Dng 3: Bài toán cc tr liên quan đến hàm n
BÀI TP TRC NGHIM MINH HA
Câu 76: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
y f x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 77: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
2y f x x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 78: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 2 1 , .f x x x x x
Hi hàm s
3g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
4.x
D.
2.x
Câu 79: Cho hàm s
()y f x
đạo hàm
3
2
' ( 1) 1 3 ,f x x x x x
. Số điểm cực trị ca
hàm s
y f x
A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.
Câu 80: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 2 1 , .f x x x x x
Hi hàm s
21g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
3
.
2
x
D.
2.x
Câu 81: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 2 1 , .f x x x x x
Hi hàm s
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
2.x
Câu 82: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 2 , .f x x x x x
Hi hàm s
23g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
2.x 
D.
2.x
Câu 83: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 2 , .f x x x x x
Hi hàm s
52g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
7
.
2
x
C.
2.x 
D.
5
.
2
x
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 84: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hi hàm s
21g x f x
đạt cc tiu tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
1.x
C.
3.x
D.
5.x
Câu 85: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Hi hàm s
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x 
B.
2.x
C.
1
.
2
x
D.
3
.
2
x
Câu 86: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 3 , .f x x x x
S đim cc tr ca hàm s
2
2g x f x x
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
2.
Câu 87: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
2
2g x f x f x



A.
4.
B.
6.
C.
7.
D.
5.
Câu 88: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
S đim cc tr ca hàm s
g x f f x
A.
11.
B.
10.
C.
9.
D.
8.
Câu 89: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm
fx
cho bi hình v sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
x
y
1
3
-1
-1
O
1
Hàm s
2
1g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
0.x
C.
1.x 
D.
2.x
Câu 90: Cho hàm s
fx
đo hàm
2020
2019 3
2
2 2 3 , .f x x x x x x
S đim cc tr
ca hàm s
fx
A.
5
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 91: Cho hàm s
y f x
có đồ th như hình vẽ bên dưới:
S đim cc tr ca hàm s
2.y f x
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
5.
Câu 92: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như hình vẽ n dưới:
S đim cc tr ca hàm s
2g x f x
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 93: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

1
0

Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m thuộc đoạn
10;10


để hàm s
h x f x m
có đúng 3 điểm cc tr?
A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 94: Cho hàm s
fx
liên tc trên có bng biến thiên như sau:
S đim cc tr ca hàm s
2019g x f x
A.
5
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Câu 95: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để hàm s
3
3y x x m
có đúng 5 điểm cc tr?
A. Vô s. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 96: Cho hàm s
y f x
có bng xét du
fx
như sau:
x

1
3

fx
0
0
S đim cc tr ca hàm s

3
2
3g x f x x
A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.
Câu 97: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
9 16f x x x
,
x
. bao nhiêu g tr
nguyên dương của tham s
m
để hàm s
3
7g x f x x m
có ít nht
3
đim cc tr?
A.
16
. B.
9
. C.
4
. D.
8
.
Câu 98: Cho hàm s
32
( ) 6 (3 6)f x x x m x
, vi
m
tham s thc, bao nhiêu giá tr nguyên
ca
m
để hàm s
()g x f x
5
đim cc tr?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
Câu 99: Cho hàm s
y f x
có đồ th ca
32y f x

như hình vẽ sau:
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
x
y
2
1
-2
O
bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
2021;2021m
để hàm s
3
2021g x f x x m
có ít nht
5
đim cc tr?
A.
2019.
B.
2020.
C.
2021.
D.
2022.
Câu 100: Cho hàm đa thức bc ba
y f x
như hình vẽ.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
y f f x m
có đúng 6 đim cc tr?
A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 101: Cho hàm s bc ba
y f x
có đồ th như hình vẽ sau:
Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
2
4y f x x m
có 3
đim cc tr. S phn t ca
S
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Câu 102: Cho hàm s
()y f x
đạo hàm
2
( ) 10f x x x

,
x
. bao nhiêu giá tr nguyên ca
tham s
m
để hàm s
42
8y f x x m
có đúng 9 điểm cc tr?
A. 16. B. 9. C. 15. D. 10.
BÀI TP T LUYN
Câu 103: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
y f x x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 104: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hi hàm s
32g x f x
đạt cc tiu tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
0.x
D.
3.x
Câu 105: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hi hàm s
24g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
3.x
B.
2.x
C.
0.x
D.
4.x
Câu 106: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 3 , .f x x x x
Hi hàm s
2
2g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
3.x 
Câu 107: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 1 5 , .f x x x x x
S đim cc tr ca
hàm s
2
31g x f x x
A.
5.
B.
3.
C.
7.
D.
4.
Câu 108: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 1 5 , .f x x x x x
Hi hàm s
2
31g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
4.x 
B.
3.x 
C.
1.x 
D.
1.x
Câu 109: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

fx
0
0
0
S đim cc tr ca hàm s
2
1g x f x
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Câu 110: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

fx
0
0
0
Hàm s
2
1g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x 
C.
1.x
D.
2.x
Câu 111: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm
fx
cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
2g x f x x
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Câu 112: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm
fx
cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
3g x f x x
A.
3.
B.
1.
C.
4.
D.
2.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 113: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
32
1
3
g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
0.x
C.
1.x
D.
1.x 
Câu 114: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
g x f f x
A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Câu 115: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
2
g x f x


A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Câu 116: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
1g x f f x
A.
7.
B.
6.
C.
8.
D.
5.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 117: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx


S đim cc tr ca hàm s
1g x f x
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Câu 118: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx


S đim cc tr ca hàm s
11g x f x
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Câu 119: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

5
3

Có bao nhiêu giá tr nguyên dương của tham s m để hàm s
h x f x m
có đúng 5 điểm
cc tr?
A. Vô s. B. 7. C. 5. D. 4.
Câu 120: bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m thuộc đoạn
10;10


đ hàm s
3
3y x x m
có
đúng 3 điểm cc tr?
A. 21. B. 19. C. 20. D. 18.
Câu 121: Cho hàm s
y f x
có bng xét du
fx
như sau:
x

3
1
2

fx
0
0
0
S đim cc tr ca hàm s
3
2
31g x f x x
A. 9. B. 11. C. 7. D. 8.
Câu 122: Cho hàm s
4 3 2
12 30 4f x x x x m x
vi
m
tham s thc. bao nhiêu giá tr
nguyên
m
để hàm s
g x f x
có đúng 7 điểm cc tr?
A.
27
. B.
31
. C.
28
. D.
30
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 123: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
22
3 1 2 1 1f x x x x m x m


, x
.
bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
g x f x
có 5 điểm cc tr?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 124: Cho hàm s
y f x
có đạo hàm liên tc trên và có bng biến thiên như sau:
bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
3
41g x f x m
7 điểm cc
tr?
A. Vô s. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Câu 125: Cho hàm số
fx
đạo hàm
2
2
14f x x x x
. bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực
m
để hàm số
2
2 12g x f x x m
có đúng
5
điểm cực trị?
A.
17
. B.
18
. C.
16
. D.
19
.
Câu 126: Cho hàm s bc ba
y f x
có đồ th như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
4 g x f f x f x m
17
điểm cực trị bằng
A.
1652
. B.
1653
. C.
1654
. D.
1651
.
IV- LI GII CHI TIT
Câu 1: Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu
fx
đổi dấu khi qua điểm
0
x
fx
liên tc ti
0
x
thì hàm s
y f x
đạt cc
tr tại điểm
0
x
.
B. Hàm s
y f x
đạt cc tr ti
0
x
khi và ch khi
0
0fx
.
C. Nếu
0
0fx

thì
0
x
không phải là điểm cc tr ca hàm s.
D. Nếu
0
0fx

0
0fx
thì hàm s đạt cực đại ti
0
x
.
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
B sai
fx
th không xác định tại điểm
0
x
hàm s vẫn đạt cc tr tại điểm
0
x
.
Chng hn vi
f x x
đạt cc tiu ti
0x
nhưng không có đạo hàm tại đó.
C sai
0
0fx

chưa thể kết luận được hàm s đt cc tr ti
0
x
. Chng hn
4
f x x
00

f
và nó vẫn đạt cc tiu ti
0x
.
D sai vì nếu
0
0fx

0
0fx
thì hàm s đạt cc tiu ti
0
x
.
Câu 2: Cho hàm s
y f x
. Chn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.
0
xx
là điểm cc tiu ca hàm s thì hàm s có giá tr cc tiu là
0
fx
.
B. Hàm s đạt cc tr tại điểm
0
xx
thì
0
0fx
.
C. Hàm s đạt cực đại tại điểm
0
xx
thì
fx
đổi du t dương sang âm khi đi qua
0
x
.
D. Nếu hàm s đơn điệu trên thì hàm s không có cc tr.
Li gii:
Hàm s đạt cc tr tại điểm
0
xx
thì
0
0fx
hoc hàm s không có đạo hàm ti
0
x
.
Câu 3: Cho hàm s
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm s đạt cc tr ti
0
x
thì
0
0fx
.
B. Hàm s đạt cc tr ti
0
x
thì
fx
đổi du qua
0
x
.
C. Nếu
0
0fx
thì hàm s đạt cc tr ti
0
x
.
D. Nếu hàm s đạt cc tr ti
0
x
thì
0
0fx
.
Li gii:
Đáp án A sai, sửa li là
0
0fx
.
Đáp án B sai vì
fx
đổi du ch không phi
fx
.
Đáp án C sai vì hàm số
3
yx
00f
nhưng không đạt cc tr ti
0x
.
Câu 4: Hàm s
fx
có bng biến thiên sau:
Giá tr cc tiu ca hàm s
A.
4
. B.
1
. C.
1
. D.

.
Li gii:
Da vào bng biến thiên ta thy hàm s đạt cực đại ti
1x
và giá tr cc tiu là
1
CT
y 
.
Câu 5: Cho hàm s
y f x
liên trên và có bng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số đim cc tr ca đ th hàm s
y f x
là:
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Li gii:
Ta có
y
đổi du khi
x
qua
1 2 3
,,x x x
nên hàm s có ba điểm cc tr.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 6: Cho hàm s
3
2
2
23
33
x
y x x
. Điểm cực đại ca hàm s đã cho
A.
1; 2M
. B.
2
3;
3
N



. C.
3x
D.
1x
.
Li gii:
Ta có:
2
43y x x
24yx


.
1
0
3
x
y
x

.
Ta có:
1 2 0y

;
3 2 0y


.
1x
là điểm cực đại ca hàm s.
Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị?
A.
1
2
x
y
x
. B.
2
1 y x x
. C.
4
72 y x x
. D.
3
.yx
Li gii:
Ta có , hàm số
1
2
x
y
x
3
yx
không có cực trị, hàm
4
72 y x x
có ba điểm cực trị. Hàm
số
2
1 y x x
có duy nhất một điểm cực tiểu.
Câu 8: Cho hàm s
42
8y x x
có đồ th
C
. Gi
,,A B C
ba điểm cc tr ca
C
. Tính din tích
S
ca tam giác
ABC
.
A.
16S
. B.
8S
. C.
32S
. D.
64S
.
Li gii:
Cách 1 :
Hàm s
42
8y x x
có tập xác định:
D
Ta có:
3 3 2
0
' 4 16 ; ' 0 4 16 0 4 4 0
2
x
y x x y x x x x
x

Hàm s có 3 cc tr và ta đ 3 điểm ln lượt là:
0;0 ; 2; 16 ; 2; 16A B C
Ta có
11
. . 2 .16.4 32
22
ABC B B
S y x
.
Cách 2 : Áp dng công thc tính nhanh :
Cho hàm s
42
0y ax bx c a
3
cc tr to thành tam giác có din tích
S
thì ta có công thc
tính nhanh:
3 2 5
32 . 0a S b
.
Câu 9: S đim cc tr ca hàm s
25
12y x x
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
Li gii:
Ta có
5 2 4 4
2 1 2 5 1 2 1 2 7 1y x x x x x x x
2
01
1
7
x
yx
x

Bng biến thiên:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Vy hàm s có hai điểm cc tr.
Câu 10: Cho hàm s
y f x
liên tc trên có đồ th như hình vẽ bên dưới:
S đim cc tr ca hàm s
y f x
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
6
.
Li gii:
Đồ th hàm s
y f x
có dược bng cách gi nguyên phần đồ th hàm s
y f x
nm
phía trên trc
Ox
hp vi phần đồ th hàm s
y f x
nằm phía dưới
Ox
lấy đối xng qua
Ox
. Ta được đồ th như sau:
T đồ th suy ra hàm s
y f x
có 5 điểm cc tr.
Câu 11: Cho hàm s bc bn
y f x
và đồ th đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
S đim cc tr ca hàm s
y f x
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Bng xét du:
x

0
1
2

fx
0
0
0
Câu 12: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
2
4 3 1 ,f x x x x
0; x
. Hi hàm s
y f x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii:
Ta có:
2
0 3.
1
x
f x x
x
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên ta thy hàm s
y f x
có 2 điểm cc tr.
Câu 13: Hàm s nào dưới đây có 3 điểm cc tr?
A.
3
3.y x x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2 1. y x x
Li gii:
+ Xét hàm s
42
21 y x x
2 0.ab
Câu 14: Gi
,,A B C
các điểm cc tr của đ th hàm s
42
24y x x
. Bán kính đưng tròn ni
tiếp tam giác
ABC
bng
A.
21
. B.
21
. C.
2
. D.
1
.
Li gii:
Ta có:
42
24y x x
3
4 4 4 1 1y x x x x x
Nên
04
0 1 3
13
xy
y x y
xy
Vy ta đ các điểm cc tr:
0;4A
,
1;3B
,
1;3C
Ta có:
2AB AC
;
2BC
2 2 2
12
2
p

Din tích tam giác:
S p p BC p AC p AC
1 2 . 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 1
Bán kính đường tròn ni tiếp tam giác là:
S
r
p
1
21
12
.
BÀI TP T LUYN
Câu 15: Cho hàm s
y f x
đạo hàm cp hai trên khong
K
0
xK
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
0
x
là điểm cực đại ca hàm s
y f x
thì
0fx

.
B. Nếu
0fx

thì
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
y f x
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
C. Nếu
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
y f x
thì
0fx
.
D. Nếu
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
y f x
thì
0fx
.
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số
y f x
có giá tr cực đại là
M
và giá tr cc tiu là
m
thì
Mm
.
(II). Đồ th hàm s
42
0y ax bx c a
luôn có ít nhất 1 điểm cc tr.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cc tr ca đ thm s luôn song song vi trc hoành. S
khẳng định đúng là:
A.
0.
B.
2.
C.
1.
D.
3.
Li gii:
Nhn xét (I) ch đúng với hàm bc 3 và hàm bc 4 trong chương trình học ph thông.
Nhn xét (II) đúng vì hàm bậc 4 trùng phương có 1 hoặc 3 cc tr.
Nhn xét (III) sai vì có th tiếp tuyến tại điểm cc tr có th trùng vi trc hoành.
Câu 17: Cho hàm
fx
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên . Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
B. Nếu
00
' 0, " 0f x f x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
C. Hàm số
fx
đạt cc tr ti
0
x
khi và ch khi
0
x
là nghim của đạo hàm.
D. Nếu
'fx
đổi du khi
x
qua
0
x
'fx
liên tc ti
0
x
thì hàm s
fx
đạt cc tr ti
0
x
Li gii:
+) Các đáp án A, B đúng vì đó là định lý về điều kiện đủ để có cực trị.
+) Đáp án C sai vì chưa thỏa mãn điều kiện đủ của định lý. Cần thêm điều kiện
fx
đổi
dấu tại
0
x
.
+) Đáp án D đúng vì đó là nội dung của cách phát biểu khác của định lý 1
Câu 18: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
Tìm giá tr cực đại
CĐ
y
và giá tr cc tiu
CT
y
ca hàm s đã cho.
A.
C
5
Đ
y
1
CT
y 
. B.
C
1
Đ
y
0
CT
y
.
C.
C
1
Đ
y 
1
CT
y
. D.
C
5
Đ
y
0
CT
y
.
Li gii:
Ta thy vì đạo hàm đổi du t dương sang âm qua
1x 
15y 
Đạo hàm đổi du t âm sang âm qua
1x
10y
.
Vy
C
5
Đ
y
0
CT
y
.
Câu 19: Cho hàm s
fx
có bng biến thiên như sau :
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
S đim cc tr ca hàm s
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Li gii:
Da vào bng biến thiên ta thy hàm s có đạo hàm cp
1
0y
ti
1x 
và không xác
định ti
0x
, đồng thi
y
đổi dấu khi đi qua các điểm
1x 
0x
.
Do đó hàm số có hai điểm cc tr
1x 
0x
.
Câu 20: Bng biến thiên hình bên là ca mt trong bn hàm s ới đây. Tìm hàm số đó.
A.
32
5 6.y x x x
B.
32
6 9 1.y x x x
C.
32
6 9 6.y x x x
D.
42
3.y x x
Li gii:
Kiểm tra đồ th hàm s có các điểm cực đại và điểm cc tiểu tương ứng là
1;3 , 3; 1 .
Câu 21: Đồ th hàm s
3
3y x x
có điểm cc tiu là
A.
1; 2M
. B.
1;0N
. C.
1; 2P
. D.
1;0Q
.
Li gii:
Ta có:
2
33f x x
.
2
1
0 3 3 0
1
x
f x x
x

.
Bng biến thiên
Vy
1; 2M
là điểm cc tiu ca đ th hàm s.
Câu 22: Cho hàm s
fx
có bng biến thiên sau:
Hàm s
y f x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
3.
B.
5.
C.
2.
D.
4.
Li gii:
T bng biến thiên cách suy đồ th hàm s
y f x
t hàm s
y f x
ta đưc bng
biến thiên ca hàm s
y f x
như sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Vậy đồ thm s
y f x
có 3 điểm cc tr.
Câu 23: Cho hàm s
42
2 3. y x x
Giá tr cc tiu ca hàm s đã cho bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Li gii:
Ta có:
4 2 3 2
2 3 4 4 12 4.y x x y x x y x

0
0 1 .
1
x
yx
x

0 4 0; 1 1 8 0.y y y
Vy hàm s đạt cc tiu ti
1; 1xx
và giá tr cc
tiu ca hàm s
1 1 2.
CT
y y y
Câu 24: Cho đồ th hàm
y f x
như hình vẽ bên dưới:
S đim cc tr ca hàm s
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Li gii:
Da vào đồ th hàm s ta d dàng thy s đim cc tr ca hàm s là 5.
Câu 25: Cho hàm s bậc năm
y f x
và đồ th đạo hàm
fx
được cho như hình bên dưới:
x
y
O
2
1
S đim cc tr ca hàm s
y f x
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Li gii:
Bng xét du:
x

0
1
2

fx
0
0
0
Câu 26: Hàm s nào dưới đây không có cc tr?
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
A.
2
1
.
x
y
x
B.
22
.
1
x
y
x
C.
2
2 1. y x x
D.
3
1. y x x
Li gii:
+ Xét hàm s
22
1
x
y
x
.
Tập xác định
\1D
,
2
4
0,
1
y x D
x
.
Nên hàm s luôn đồng biến trên tng khoảng xác định.
Do đó hàm số
22
1
x
y
x
không có cc tr.
Câu 27: Cho hàm s
42
21y x x
đồ th
.C
Biết rằng đồ th
C
ba điểm cc tr to thành
ba đỉnh ca mt tam giác, gi là
.ABC
Tính din tích
.ABC
A.
2S
. B.
1S
. C.
1
2
S
. D.
4S
.
Li gii:
Ta có
3
0
4 4 ; 0
1
x
y x x y
x


Ta đ các điểm cc tr ca đ th hàm s là:
0;1A
,
1;0B
,
1;0C
1; 1 ; 1; 1AB AC
.0
.
2
AB AC
AB AC

Suy ra
ABC
vuông cân ti
A
do đó
1
. 1.
2
S AB AC
Câu 28: Cho hàm s
2
20y x x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm s nghch biến trên
;4
. B. Hàm s đạt cực đại ti
5x
.
C. Hàm s đồng biến trên
5; 
. D. Hàm s không có cc tr.
Li gii:
Tập xác định
; 4 5;D 
.
Ta có:
2
21
2 20
x
y
xx

.
Do
05yx
04yx
nên hàm s nghch biến trên
;4
, đồng biến trên
5; 
và không có cc tr.
Câu 29: Cho hàm s
()y f x
có đạo hàm
2019 2021
2017
'( ) 1 2f x x x x
,
x
. Tng bình
phương các điểm cc tr ca hàm s
A.
5
. B.
1
. C.
4
. D.
12229091.
Li gii:
Ta có:
'0fx
0
1
2
x
x
x

.
Bng biến thiên:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Da vào bng biến thiên, ta được tổng bình phương các đim cc tr ca hàm
s:
2
22
2 0 1 5.
Câu 30: Hàm s nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 đim cc tiu?
A.
3
3.y x x
B.
4
2.yx
C.
42
2 1. y x x
D.
42
2. y x x
Li gii:
+ Xét hàm s
42
2 y x x
10
.
20
a
ab
Dng 2: Bài toán tham s không liên quan đến hàm n
CC TR HÀM BC BA
32
, ; ; ; , 0 y ax bx cx d a b c d a
Ta xét:
2
32y ax bx c
2
3b ac
.
Điu kin
2
0
30
a
b ac

Điu kin
2
0
30
a
b ac

Điu kin
2
0
30
a
b ac

Điu kin
2
0
30
a
b ac

x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
Lưu ý:
1) Đồ th hàm s có 2 điểm cc tr nm hai phía Oy . Gi
12
,xx
là các điểm cc tr ca hàm s.
Ta có :
2
2
12
30
30
0
3
.0
0
b ac
b ac
ac
c
xx
a




.
2) Đồ th hàm s có 2 điểm cc tr nm mt phía Oy . Gi
12
,xx
là các điểm cc tr ca hàm s.
Ta có :
2
2
2
12
30
30
30
3
.0
0
0
b ac
b ac
b ac
c
xx
ac
a






.
Điu kin
0
0
a
c
Điu kin
0
0
a
c
Điu kin
2
0
0
30
a
c
b ac

Điu kin
2
0
0
30
a
c
b ac

Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
x
y
O
x
y
O
x
y
(C)
O
1
x
y
O
(C)
1
CC TR HÀM TRÙNG PHƯƠNG
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
1) Điều kiện để hàm s
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
3 điểm cc tr:
0ab
2) Điều kiện để hàm s
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
có duy nht một điểm cc tr:
0ab
Lưu ý: Trong trường hp
a
cha tham s thì ta chia 2 trường hp
0a
0.a
3) Mt s dạng đồ th
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
và điều kin v cc tr:
Dng 1
Dng 2
Dng 3
Dng 4
Hàm s có duy nht 1
đim cc tr (cc tiu)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
Hàm s có ba điểm cc
tr (2 đim cc tiu và
1 đim cc đi)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
Hàm s có duy nht 1
đim cc tr (cc đi)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
Hàm s có ba điểm cc tr
(1 đim cc tiểu và 2 điểm
cc đi)
x
y
O
Điu kin:
0
0
a
b
4) Mt s công thc gii nhanh cần lưu ý:
42
, ; ; , 0y ax bx c a b c a
D kin
Công thc tha
0ab
1). Tam giác
ABC
vuông cân ti
A

3
80ab
2). Tam giác
ABC
đều

3
24 0ab
3). Tam giác
ABC
có góc
BAC

32
8 .tan 0
2
ab
4). Tam giác
ABC
có din tích
0ABC
SS

3 2 5
0
32 ( ) 0a S b
5). Tam giác
ABC
có din tích
0
()max S

5
0
3
32
b
S
a
6). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn ni tiếp
0ABC
rr





2
0
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a
7). Tam giác
ABC
có độ dài cnh
0
BC m

2
0
20am b
8). Tam giác
ABC
có độ dài

0
AB AC n
2 2 4
0
16 8 0a n b ab
9). Tam giác
ABC
có cc tr
,B C Ox

2
40b ac
10). Tam giác
ABC
3
góc nhn

3
(8 ) 0b a b
11). Tam giác
ABC
có trng tâm
O

2
60b ac
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
12). Tam giác
ABC
có trc tâm
O
3
8 4 0b a ac
13). Tam giác
ABC
có bán kính đường tròn ngoi tiếp
0ABC
RR
3
8
8
ba
R
ab
14). Tam giác
ABC
cùng điểm
O
to hình thoi

2
20b ac
15). Tam giác
ABC
O
là tâm đường tròn ni tiếp
3
8 4 0b a abc
16). Tam giác
ABC
O
là tâm đường tròn ngoi tiếp
3
8 8 0b a abc
17). Tam giác
ABC
có cnh
BC kAB kAC
3 2 2
. 8 ( 4) 0b k a k
18). Trc hoành chia tam giác
ABC
thành hai phn có din
tích bng nhau
2
42b ac
19). Tam giác
ABC
có điểm cc tr cách đều trc hoành

2
80b ac
BÀI TP TRC NGHIM MINH HA
Câu 31: Đưng cong trong hình v là đ th hàm s nào dưới đây?
A.
32
31y x x
. B.
3
31y x x
. C.
42
21y x x
. D.
3
31y x x
.
Li gii:
Quan sát hình dạng đồ th ta loại đáp án hàm số
42
21y x x
do trên hình hàm s có hai
cc tr mà đáp án này hàm số có 3 cc tr.
Do nhánh bên phi của đồ th đi lên nên loại đáp án
3
31y x x
.
Mặt khác quan sát đồ th có hai điểm cc tr
1x 
.
Xét đáp án A có
2
0
3 6 0
2
x
y x x
x
nên loại đáp án này.
Vậy hình trên là đồ th hàm s
3
31y x x
.
Câu 32: Cho hàm s
32
( , , )y x bx cx d b c d
có đồ th như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 0b c d
. B.
0, 0, 0b c d
. C.
0, 0, 0b c d
. D.
0, 0, 0b c d
.
Li gii:
+ Dựa vào giao đim của đồ th hàm s vi trc tung (nm phía trên trc hoành) ta kết lun
đưc
0d
. Loại đáp án C.
+ Ta
2
' 3 2y x bx c
. Đồ th hàm s có hai điểm cc tr nm v hai phía đối vi trc tung
nên
12
0.
3
c
xx 
Suy ra
0.c
Loại đáp án B.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
+ Dựa vào đồ th, hàm s đạt cc tr ti
12
,xx
1 2 1 2 1 2
2
0 ( 0 , )
3
b
x x x x x x
.
Suy ra
0b
. Đáp án D.
Câu 33: Cho hàm s
42
,,y ax bx c a b c
có đồ th như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0 a b c
. B.
0, 0, 0. a b c
C.
0, 0, 0 a b c
. D.
0, 0, 0.abc
Li gii:
Do nhánh tiến đến

ca đ th đi xuống nên
0a
Do đồ th ct trc tung tạo điểm có tung độ nh hơn
0
nên
0c
Đồ th hàm s 3 đim cc tr nên:
00ab b
.
Câu 34: Cho hàm s
42
; ; , 0y ax bx c a b c a
có bng biến thiên dưới đây:
Tính
2 3 .P a b c
A.
3.P
B.
6P
. C.
2P 
. D.
2P
.
Li gii:
Ta có
32
4 2 2 2y ax bx x ax b
,
0y
2
0
2
x
b
x
a

.
Căn cứ vào bng biến thiên ta thy
0a
;
0b
, hàm đạt cực đại ti
1x 
12y 
, hàm
đạt cc tiu ti
0x
01y
. Suy ra,
1
2
2
1
b
a
a b c
c

1
2.
1
a
b
c

Do đó:
2 3 2P a b c
.
Câu 35: Biết
(0;2)M
,
(2; 2)N
các điểm cc tr của đồ th hàm s
32
y ax bx cx d
. Tính giá tr
ca hàm s ti
3.x
A.
(3) 2y
. B.
(3) 11y
. C.
(3) 0y
. D.
(3) 3y 
Li gii:
Ta có:
2
' 3 2y ax bx c
T gi thiết ta có
32
(0) 2 2 1
(2) 2 8 4 2 2 3
3 2 (3) 2
'(0) 0 0 0
'(2) 0 12 4 0 2
y d a
y a b c d b
y x x y
y c c
y a b c d
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 36: Đồ th hàm s
32
32y f x x x ax b
có điểm cc tiu là
2; 2A
. Tính
ab
.
A.
4.
B.
2.
C.
4.
D.
2.
Li gii:
Ta có:
2
' 3 6 2f x x x a
Đồ th
C
:
y f x
có điểm cc tiu là
2; 2A
8 12 4 2 2
2
12 12 2 0 0
20
AC
a b b
ab
aa
f


.
Câu 37: Tp hp các s thc
m
để hàm s
32
32 y x mx m x m
đạt cc tiu ti
1x
A.
1
. B.
1
. C.
. D. .
Li gii:
Ta có
2
3 6 2
y x mx m
66

y x m
.
Hàm s
32
32 y x mx m x m
đạt cc tiu ti
1x
10
10

y
y
3 6 2 0
6 6 0

mm
m
1
1
m
m
không có giá tr ca
m
tha mãn yêu
cu bài toán.
Câu 38: Tìm tt c tham s thc
m
để hàm s
4 2 2
1 2 2019y m x m x
đạt cc tiu ti
1x 
.
A.
0m
. B.
2m 
. C.
1m
. D.
2m
.
Li gii:
TXĐ
D.
Ta có
32
4 1 2 2y m x m x
22
12 1 2 2y m x m

+ Điều kin cn : để hàm s đạt cc tiu ti
1x 
2
2
4 1 2 2 0
' 1 0
2
" 1 0
12 1 2 2 0
mm
f
m
f
mm




+ Điều kiện đủ : Vi
2m
hàm s tr thành
42
2 2019y x x
Ta có:
3
1
' 0 4 4 0 0
1
x
y x x x
x

.
Như vậy, hàm s đạt cc tiu ti
1x 
.
Câu 39: Tp hp các giá tr ca
m
để hàm s
32
1
21
3
y x mx m x
có hai cc tr
A.
; 1 2; 
B.
; 1 2; 
C.
1;2
D.
1;2
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Li gii:
Ta có
2
22y x mx m
. Để hàm s có hai cc tr thì
0y
có hai nghim phân bit nên
2
1
0 0 2 0 .
2
m
y m m
m


Câu 40: tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca
m
trên min
10;10
để m s
42
2 2 1 7y x m x
có ba điểm cc tr?
A.
20.
B.
10.
C. Vô s. D.
11.
Li gii:
Ta có
2
' 4 2 1 ;y x x m


2
0
0
2 1 *
x
y
xm


Hàm s đã cho có ba cực tr
0
y
có ba nghim phân bit, hay (*) có hai nghim phân bit
khác
0
1
2 1 0
2
mm
. Do
10;10m
nên có
11
giá tr tha mãn.
Câu 41: Tt c c các giá tr ca tham s
m
để
32
31y x x mx
đạt cc tr ti
12
,xx
tha mãn
22
12
6xx
A.
3.m 
B.
3.m
C.
1.m 
D.
1.m
Li gii:
2
36y x x m
. Hàm s đạt cc tr ti
12
,xx
.Vy
12
,xx
là nghim của phương trình
'0y
Để hàm s có 2 điểm cc tr thì
0 36 12 0 3 *
y
mm
Theo viet ta có
12
12
2
.
.
3
xx
m
xx

Ta có:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
2
4
3
m

2
46
3
m
3m
tha (*).
Câu 42: Tìm tt các giá tr thc ca tham s
m
để đồ th hàm s
3 2 2
33y x mx m
hai điểm cc
tr
,AB
sao cho tam giác
OAB
có din tích bng
24
(vi
O
là gc ta đ ).
A.
2m
. B.
1m
. C.
2m 
. D.
1m 
.
Li gii:
Xét
2
3 6 3 2y x mx x x m
;
0
0 3 2 0
2
x
y x x m
xm
.
Đồ th hàm s hai điểm cc tr
0m
.
Ta đ hai điểm cc tr
2 2 3
0;3 , 2 ;3 4A m B m m m
.
Phương trình đường thng
OA
:
0x
.
Ta có:
2
11
. ; 3 . 2 24
22
OAB
S OAd B OA m m
2
82m m m
.
Câu 43: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
42
1 1 2y mx m x m
mt cc
tr.
A.
1.m
B.
0.m
C.
0 1.m
D.
0
.
1
m
m
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Ta có:
3
4 2 1y mx m x
TH 1: Xét
02m y x
. Ta thấy phương trình
0y
đổi du mt ln nên hàm s có mt
đim cc tr. Suy ra
0m
(tho YCBT) (1)
TH 2: Xét
3
14m y x
.Ta thấy phương trình
0y
đổi du mt ln nên hàm s có mt
đim cc tr. Suy ra
1m
(tho YCBT) (2)
TH 3: Xét
0m
,
2
0
0
1
2
x
y
m
x
m

Để hàm s có một điểm cc tr thì
0
1
0
1
2
m
m
m
m

(3)
T (1), (2) và (3) suy ra
0
1
m
m
Ghi chú: Dùng công thc tính nhanh
Hàm s có một điểm cc tr khi và ch khi
0
1 0 .
1
m
mm
m
Câu 44: Cho hàm s
42
(2 1) 1y mx m x
. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s đã
cho có đúng một điểm cc tiu.
A. Không tn ti
m
. B.
0.m
C.
1
.
2
m 
D.
1
0.
2
m
Li gii:
Vi
0m
, ta có
2
1yx
'2yx
. Khi đó hàm số có 1 cc tr và cc tr đó là cc tiu. Suy
ra
0m
tha mãn yêu cu bài toán. (1)
Vi
0m
, ta có
32
' 4 2(2 1) 2 (2 2 1)y mx m x x mx m
Hàm s có mt cc tr là cc tiu
2
0
2 2 1 0 nghiêm
m
mx m
0
21
0
2
m
m
m

0
1
0
2
0
m
m
m
m
(2)
T (1) và (2) suy ra hàm s có mt cc tr là cc tiu khi
0.m
Câu 45: S giá tr nguyên ca tham s
m
đ hàm s
32
2 5 4 2y x x x m
có giá tr cc cực đại
giá tr cc tiu trái du là
A.
13
. B.
11
. C.
9
. D.
12
.
Li gii:
32
2 5 4 2y x x x m
2
2 10
6 10 4 0
1 73
3 27
x y m
y x x
x y m
.
Giá tr cc cực đại và giá tr cc tiu trái du
73 73
10 . 0 10
27 27
m m m



.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
m
. Vy có
12
có giá tr nguyên tha mãn.
Câu 46: Tp tt c các giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
1
12
3
y x x m x
có hai điểm
cc tr nm bên trái trc tung là
A.
;1 .
B.
1;2 .
C.
;2 .
D.
1;
.
Li gii:
Ta có:
2
21y x x m
.
Đồ th hàm s đã cho
2
đim cc tr nm bên trái trc tung
0
y
hai nghim âm
phân bit
0
1 1 0
0 2 0 1 2
0 1 0
y
m
Sm
Pm



.
Câu 47: Gi
S
tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
42
21 y x mx m
giá tr
cc tiu bng
1
. Tng các phn t thuc
S
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
1
.
Li gii:
Ta có:
3
44
y x mx
.
TH 1: Phương trình
2
0 4 0
y x x m
có 1 nghim thc, tc là hàm s
42
21 y x mx m
có điểm cc tiu là
0x
. Khi đó
0m
. Theo bài ra:
0 1 1 2 y m m
(thỏa mãn đk
0m
).
TH 2: Phương trình
2
0 4 0
y x x m
có 3 nghim thc, tc là hàm s
42
21 y x mx m
có điểm cc tiu là
xm
. Khi đó
0m
. Theo bài ra:
2
2
11
1

m
y m m m
m
. So sánh với đk
0m
, giá tr tha mãn là
2m
.
Vy
2;2S
, tng các phn t thuc
S
bng
0
.
Câu 48: Biết
0
mm
thì đồ th ca hàm s
3
32y x mx
có hai điểm cc tr khong cách gia hai
đim cc tr đó bằng
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
2; 1 . m
B.
0
1;0 .m
C.
0
1;2 .m
D.
0
0;1 .m
Li gii:
Tập xác định
D
.
Ta có
2
33y x m

. Để đồ th ca hàm s
3
32y x mx
có hai điểm cc tr
0y

có hai
nghim phân bit
00m
.
Khi đó :
22
0
22
x m y m m
y
x m y m m

Gi s hai điểm cc tr
; 2 2 , ;2 2A m m m B m m m
Ta có
22
2
2 4 2 4 4AB AB m m m
33
4 16 4 4 1 0m m m m
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
2
2
2 1 0
1
2 1 2 1 0
2 1 0
2
m
m m m m TM
m m VN

.
Câu 49: Tìm
m
để đồ th hàm s
42
21y x mx
có ba điểm cc tr
0;1A
,
B
,
C
tha mãn
4.BC
A.
2m
. B.
4m 
. C.
2m 
. D.
4m
.
Li gii:
Tập xác định
D
.
Ta có:
32
4 4 4y x mx x x m
.
Hàm s có 3 cc tr
00 ab m
.
Lúc đó:
2
0 0 1
0
1
xy
y
x m y m m

.
Suy ra
0;1A
,
2
;1B m m
,
2
;1C m m
.
Lúc đó:
4 4 4 4BC m m
(tha mãn)
Câu 50: bao nhiêu giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
42
21y x mx m
ba điểm cc tr
to thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoi tiếp bng
1
?
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Li gii:
Ta có:
3
' 4 4 0y x mx
2
40x x m
2
0x
xm
Theo yêu cu bài toán ta có:
0m
Ta có
0; 1Am
;
2
;1B m m m
;
2
;1C m m m
Gi
H
là trung điểm ca cnh
BC
. Ta có
2
0; 1H m m
1 . .
.
24
ABC
AB AC BC
S AH BC
R

2
2.AB AH R
trong đó
2
4
AH m
AB m m

Suy ra
42
2m m m
32
2 1 0 1 1 0m m m m m m m
0
1
15
2
15
2
m
m
m
m


. Đối chiếu điều kiện ta được
15
1;
2
S



.
Câu 51: Cho hàm s
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m m
, vi
m
tham s. Gi
,AB
hai đim cc
tr của đ th hàm s
2; 2I
. Gi
S
tp hp các giá tr thc ca tham s
m
sao cho ba
đim
,,I A B
to thành tam giác ni tiếp đường tròn bán kính bng
5
. Tính tng các
phn t ca
S
.
A.
20
17
. B.
15
17
. C.
3
17
. D.
4
17
.
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Ta có
22
3 6 3 3y x mx m
.
10
nên hàm s luôn có hai cc tr vi mi
m
. Gi
1; 4 2 ; 1; 4 2A m m B m m
suy ra
25AB
nên
AB
là đường kình đường tròn
ngoi tiếp tam giác
IAB
.
Ta có
1; 4 ; 3; 4 4IA m m IB m m
2
1
. 0 1 3 4 4 4 0 17 20 3 0
3
17
m
IA IB IA IB m m m m m m
m
Tng các phn t ca
S
20
17
.
Câu 52: Cho hàm số
32
1
( 2) 9 1
3
y x m x x
, với
m
tham số. Gọi
1
x
,
2
x
các điểm cực trị của
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
9 25xx
bằng
A.
15
. B.
90
. C.
450
. D.
45
.
Li gii:
Ta có:
2
2 2 9y x m x
;
2
0 2 2 9 0y x m x
.
Do
2
2 9 0,mm
nên hàm số có hai cực trị.
Theo định lý Vi-et:
12
12
22
.9
x x m
xx

.
Khi đó
12
, xx
trái dấu.
+ Nếu
1
0x
thì
1 2 1 1 1
1 1 1
9 225 225
9 25 9 25. 9 2. 9 . 90x x x x x
x x x



Dấu “
” xy ra khi và ch khi
2
1 1 1
1
225
9 25 5x x x
x
.
+ Nếu
1
0x
thì
1
0x
, khi đó
1 2 1 1 1
1 1 1
9 225 225
9 25 9 25. 9 2. 9 . 90x x x x x
x x x




Dấu “
” xy ra khi và ch khi
2
1 1 1
1
225
9 25 5x x x
x
.
Vy GTNN
12
9 25xx
90
. Dấu “
” xảy ra khi và ch khi
1
5x 
.
Câu 53: Cho hàm s
4 2 2
2 1 1y x m x m
. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
cực đại, cc tiểu các điểm cc tr của đồ th hàm s lp thành tam giác din tích ln
nht.
A.
1
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
0m
. D.
1m
.
Li gii:
Tập xác định:
D
.
Ta có:
3 2 2 2
4 4 1 4 1y x m x x x m


;
22
0
0
1
x
y
xm


.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s có ba điểm cc tr khi
2
1 0 1 1mm
.
Khi đó ba điểm cc tr
0; 1Am
;
2 4 2
1 ; 2B m m m m
;
2 4 2
1 ; 2C m m m m
.
Gi
H
là trung điểm ca
42
0; 2BC H m m m
.
Khi đó:
2
2
0; 1AH m
;
2
2 1 ;0BC m
.
ABC
cân ti
A
nên
22
2 2 2 2
11
. . 1 .2 1 1 . 1
22
ABC
S AH BC m m m m
.
22
0; 1 1 1m m m S
.
Dấu “=” xảy ra khi
0m
(tha mãn).
Câu 54: bao nhiêu s nguyên
m
đ đồ th hàm s
2
1

mx
yx
x
có hai điểm cc tr và các cc tr
này đều thuc hình tròn có tâm là gc ta đ O bán kính bng
30
?
A.
9.
B.
8.
C.
7.
D.
6.
Li gii:
Ta có:
3
2
1
1
m
y
x

3
2
3
2
0 1 0 1
1
m
y m x
x
33
2 2 2 2
2
3
11
1.
00
x m x m
xm
mm





Để đồ th có hai cc tr thì phương trình
3
22
1xm
có 2 nghim phân bit
3
2
10
1.
0

m
m
m
Vì 2 cc tr nằm trên đường tròn tâm O bán kính
30
nên
22
30.xy
Suy ra
2
3 3 3
2 2 2 2 2
30 1 1 1 30 4 8 8



x y m m m m
So điều kin suy ra
8; 7;...; 2 . m
Vy có 7 giá tr
m
cn tìm
BÀI TP T LUYN
Câu 55: Đưng cong trong hình v sau là đồ th ca hàm s nào dưới đây?
x
y
0
A.
42
3 1.y x x
B.
42
3 1.y x x
C.
32
3 1.y x x
D.
32
3 1.y x x
Li gii:
Quan sát đồ th ta có, đây là đồ th ca hàm s bc bốn trùng phương
42
0y ax bx c a
nên loại phương án C,D.
Da vào dạng đồ thn có h s
0a
, suy ra chọn đáp án B.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 56: Cho hàm s
42
0y ax bx c a
có đ th như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0.a b c
B.
0, 0, 0.a b c
C.
0, 0, 0.a b c
D.
0, 0, 0.a b c
x
y
O
Li gii:
+ Do
lim 0
x
ya


0; 0.C Oy c c
Mt khác hàm s duy nht mt cc tr
nên suy ra
.0ab
, do
0 0.ab
Câu 57: Cho hàm s
32
, , , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ th như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
. B.
0, 0, 0, 0a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0a b c d
. D.
0, 0, 0, 0a b c d
.
Li gii:
Do nhánh tiến đến

ca đ th đi lên nên
0a
Do đồ th ct trc tung tạo điểm có tung độ lớn hơn
0
nên
0d
2
32y ax bx c
Đồ th hàm s 2 điểm cc tr
12
,xx
tha:
12
12
2
0
0
3
0
.0
3
b
xx
b
a
cc
xx
a


.
Câu 58: Biết
,,abc
các s thc tùy ý,
0a
hàm s
32
y ax bx cx
nhn
1x 
một điểm cc
tr. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3 2 0a b c
. B.
a c b
. C.
32a c b
. D.
20ab
.
Li gii:
Xét hàm s
32
y ax bx cx
( 0)a
.
Ta có
2
' 3 2 0y ax bx c
. Vì
1x 
là một điểm cc tr nên
y
có 1 nghim là
1x 
.
Suy ra
2
3 ( 1) 2 ( 1) 0 3 2 0 3 2a b c a b c a c b
.
Câu 59: Ta xác định được các s
,,abc
để đồ th hàm s
32
y x ax bx c
đi qua điểm
0;1
đim cc tr
2;0
. Tính giá tr ca biu thc
4T a b c
.
A.
20
. B.
23
. C.
24
. D.
22
.
Li gii:
Ta có:
32
y x ax bx c
;
2
32y x ax b
.
Đồ th hàm s qua điểm
0;1
nên
1c
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Đồ th hàm s điểm cc tr
2;0
2
30
20
20
ab
y
y


2
30
8 4 2 0
12 4 0
ab
a b c
ab

17
4
5
a
b
.
Do đó:
17
4 4. 5 1 23
4
T a b c
.
Câu 60: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
4 2 2
1y x m x m
đạt cc tiu ti
0.x
A.
1m
. B.
1m
. C.
m
. D.
1m
.
Li gii:
Ta có:
/3
4 2 1y x m x
,
/
2
0
0
21
x
y
xm


;
3
12 2 1 .y x m

Yêu cu bài toán
00
1.
00
y
m
y

(Do tính chất hàm trùng phương)
Câu 61: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
32
31y x x mx
đạt cc tiu ti
2x
.
A.
0m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
04m
.
Li gii:
Ta có:
2
36y x x m
;
66yx


.
Hàm s đạt cc tiu ti
20
0
20
60
20
y
m
xm
y


.
Câu 62: Tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
32
3 1 2y x x m x
hai điểm cc tr
A.
2m
. B.
2m
. C.
4m 
. D.
2m
.
Li gii:
Ta có
2
3 6 1y x x m
Để hàm s
32
3 1 2y x x m x
có hai điểm cc tr thì
0y
có hai nghim phân bit
0 9 3. 1 0 2mm
.
Vy vi
2m
thì hàm s
32
3 1 2y x x m x
có hai điểm cc tr.
Câu 63: Cho hàm s
32
3 1 3 7 3y x m x m x
. Gi
S
tp các giá tr nguyên ca tham s m
để hàm s không có cc tr. S phn t ca
S
A.
2
. B.
4
. C.
0
. D. Vô s.
Li gii:
Ta có:
2
3 6 1 3 7 3y x m x m
;
2
0 2 1 7 3 0y x m x m
.
Để hàm s không có cc tr thì
2
0 1 7 3 0mm
2
5 4 0mm
14m
. Do
1;2;3;4mS
. Vy
S
có 4 phn t.
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
32
1
( 2)
3
y x mx m x
cực trị các điểm cực đại,
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A.
2m
. B.
2m
. C.
02m
. D.
2m
.
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Ta có
2
2 ( 2)y x mx m
.
Hàm s đã cho có các điểm cực đại và cc tiểu dương khi và chỉ khi phương trình
0y
có hai nghim phân biệt dương
2
12
12
0
20
0 2 0 2
20
.0
mm
x x m m
m
xx




.
Câu 65: Biết
0
m
giá tr ca tham s để hàm s
32
31y x x mx
có hai đim cc tr
12
,xx
sao cho
22
1 2 1 2
13x x x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
1;7m 
. B.
0
7; 1m
. C.
0
15; 7m
. D.
0
7;10m
.
Li gii:
3 2 2
3 1; 3 6y x x mx y x x m
. Hàm s có hai cc tr
' 9 3 0 3mm
12
,xx
là hai nghim của phương trình
2
3 6 0x x m
.
Áp dụng định lí Viét, ta có:
12
12
2
3
S x x
m
P x x

Ta có:
2
22
1 2 1 2 1 2 1 2
13 3 13 4 13 9 15; 7x x x x x x x x m m
Câu 66: Để đồ th hàm s
42
31y x m x m
điểm cực đại không điểm cc tiu thì
tt c các giá tr thc ca tham s
m
A.
3m
. B.
3m
. C.
3m
. D.
3m
.
Li gii:
3
4 2 3y x m x
;
0y
2
2 2 3 0x x m
2
0
3
2
x
m
x

.
Hàm s
42
31y x m x m
là hàm s bc bốn trùng phương có h s
10a
nên
đồ th hàm s có điểm cực đại mà không có điểm cc tiu khi và ch khi đồ th hàm s
đúng một điểm cc tr
3
0
2
m

3m
.
Câu 67: Cho hàm s
42
2 1 1y mx m x
. Tìm tt c các giá tr ca
m
để hàm s đã cho mt
đim cực đại.
A.
1
0
2
m
. B.
1
2
m 
. C.
1
2
m 
. D.
1
0
2
m
.
Li gii:
3
trường hp sau tha mãn yêu cu:
TH1: Hàm s đa thức bc
2
h s ca
2
x
âm (đồ th parabol hướng b lõm xung
i)
0
0
2 1 0
m
m
m
.
TH2: Hàm s là đa thức bc
4
có đồ th dng
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
00
1
0
. 0 2 1 0
2
am
m
a b m




.
TH3: Hàm s là đa thức bc
4
có đồ th dng
00
0
0 2 1 0
am
m
ab m




.
Vy,
1
0 ;0 0;
2
m



1
2
m
.
Câu 68: S giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
4 2 2
3y mx m x m
không điểm cực đại
A.
4
. B.
2
. C.
5
. D.
0
.
Li gii:
Tập xác định:
D
.
Vi
0m
hàm s tr thành
2
3yx
. Khi đó hàm số có một điểm cc tiểu, không có điểm
cực đại. Vy
0m
tha mãn.
Vi
0m
ta có:
32
4 2 3 2 2 3y mx m x x mx m


;
2
0
0
3
2
x
y
m
x
m

.
Hàm s không có điểm cực đại khi:
0
03
3
0
2
m
m
m
m
. Vì
1;2;3mm
.
Vy có 4 giá tr nguyên ca tham s
m
tha yêu cu bài toán.
Câu 69: Gi
S
tp các giá tr thc ca tham s
m
đ đ th hàm s
42
24y x mx m
có ba điểm
cc tr cách đều trc hoành. Tng tt c các phn t ca tp
S
bng
A. 2. B. 6. C. 0. D. 4.
Li gii:
Tập xác định:
D
.
Ta có
3
' 4 4 ;y x mx
2
0
' 0 .
x
y
xm

Đồ th hàm s
42
24y x mx m
ba điểm cc tr
phương trình
'0y
ba nghim
phân bit
0m
.
Ta có
22
0; 4 , ; 4 , ; 4A m B m m m C m m m
là ba điểm cc tr ca đ th hàm s.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
,,A B C
cách đều trc hoành
2
44
A B C
y y y m m m
2
2
0
44
4
2
44
4
mL
m m m
m
mL
m m m
m TM

.
Vy
4m
. Suy ra tng tt c các phn t ca tp
S
là 4.
Câu 70: Cho hàm s
4 2 2
64y mx m x
. bao nhiêu s nguyên
m
để hàm s ba điểm cc
tr trong đó có đúng hai điểm cc tiu và mt điểm cực đại ?
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
5.
Li gii:
Tập xác định
D
.
Ta có
32
4 2 6y mx m x
.
Hàm s đã cho có ba điểm cc tr trong đó có đúng hai điểm cc tiu và một điểm cực đại
2
40
0 6 1; 2.
60
m
m
m m m
mm


Câu 71: Gi
S
tp hp các giá tr
m
để đồ th hàm s
4 2 2
21y x m x
3 điểm cc tr to thành
mt tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần t ca
S
bng
A. 2. B. 4. C. 8. D. 6.
Li gii:
Ta có:
32
44y x m x

;
0
0
x
y
xm


.
Để hàm s có 3 điểm cc tr thì
0m
.
+) Vi
01xy
0;1 .A Oy
+) Vi
4 4 4
1 ; 1 , ; 1x m y m B m m C m m
.
Để ý:
ABC
luôn cân
.A
Để 3 điểm cc tr to thành mt tam giác vuông cân
.0AB AC
6
8 8 0 1mm
.
Vy tổng bình phương các phần t ca
S
bng
2.
Câu 72: Tìm
m
để đồ th hàm s
4 2 2
23y x mx m
ba điểm cc tr lp thành mt tam giác nhn
0;7G
.
A.
1.m
B.
3
.
7
m 
C.
1.m 
D.
3.m 
Li gii:
Ta có:
3
0
4 4 ; 0 .
,0

x
y x mx y
x m m
Khi đó ba điểm cc tr
2 2 2
0;3 , ,2 , ,2A m B m m C m m
.
Tam giác
A BC
nhận điểm
0;7G
làm trng tâm thì
2
2
7
7 3 3.
3
m
mm
Câu 73: Gi
1
m
,
2
m
là các giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
2 3 1y x x m
có hai điểm cc
tr
B
,
C
sao cho tam giác
OBC
có din tích bng
2
,vi
O
là gc ta đ. Tính
12
.mm
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
A.
6
. B.
15
. C.
12
. D.
20
.
Li gii:
Ta có:
2
66y x x

;
0; 1
0
1; 2
x y m
y
x y m

.
Bng biến thiên:
Vy
0; 1Bm
,
1; 2Cm
;
1; 1 2BC BC
.
Ta có
: 1 0 BC x y m
;
1
;
2
m
d O BC
.
1 4 3
1
11
; . . . 2 2 1 4
1 4 5
22
2
OBC
mm
m
S d O BC BC m
mm



.
Vy
12
. 15mm 
.
Câu 74: Gi
S
tp hp các giá tr ca tham s
m
đ đồ th hàm s
32
11
2
32
y x mx x
có giá tr
tuyệt đi của hoành độ hai điểm cc tr độ dài hai cnh ca tam giác vuông cnh huyn
7
. S phn t ca
S
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Li gii:
Ta có:
2
' 1; y x mx
2
' 0 1 0y x mx
.
Đồ th hàm s hai điểm cc tr
phương trình có hai nghiệm phân bit
2
' 4 0m
.
Khi đó, gọi các nghim ca là
12
,xx
thì
12
,xx
chính là hoành độ hai điểm cc tr. Theo Viet ta
1 2 1 2
; . 1x x m x x
.
Theo bài ra ta có:
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
7 2 7 2 7 9 3x x x x x x m m m
).
Vy có 2 giá tr ca
m
tha mãn yêu cu.
Câu 75: Cho biết đồ th hàm s
4 2 2 4
22y x mx m m
3 điểm cc tr
,,A B C
cùng với điểm
0; 3D
4 đỉnh ca mt hình thoi. Gi S tng các giá tr
m
thỏa mãn đ bài thì S thuc
khoảng nào sau đây?
A.
S 2;4
. B.
9
S ;6
2



. C.
5
S 1;
2



. D.
5
S 0;
2



.
Li gii:
Hàm s có 3 điểm cc tr
0 2 0 0ab m m
(2)
Vi
0m
, ta có:
3
' 4 4y x mx
;
42
42
42
02
' 0 3
3
x y m m
y x m y m m
x m y m m
.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Vậy 3 điểm cc tr của đồ th hàm s (1) là
4 2 4 2 4 2
0; 2 ; ; 3 ;C ; 3A m B m m m m m m m
.
Vì t giác
ABDC
có hai đường chéo vuông góc, do đó
ABDC
là hình thoi
hai đường chéo
ca t giác
ABDC
ct nhau tại trung điểm mỗi đường
4 2 4 2
2 3 2 6
A D B C
y y y y m m m m
42
1
4 3 0
3
m
mm
m


.
Kết hp với điều kin (2) suy ra
1
3
m
m
1 3 2;4 .S
Dng 3: Bài toán cc tr liên quan đến hàm n
BÀI TP TRC NGHIM MINH HA
Câu 76: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
y f x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Li gii:
Hàm s
y f x
đạt cực đại ti
0x
và đạt cc tiu tại điểm
2.x
Câu 77: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
2y f x x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Li gii:
Hàm s
2 2 0 2y f x x f x f x


có hai nghiệm (đơn) phân biệt.
Vy hàm s đã cho có hai điểm cc tr.
Câu 78: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 2 1 , .f x x x x x
Hi hàm s
3g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
4.x
D.
2.x
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s
3 1 2
3 0 3 2 1.
3 1 4
xx
g x f x x x
xx





Bng xét du:
x

1
2
4

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
2.x
Câu 79: Cho hàm s
()y f x
đạo hàm
3
2
' ( 1) 1 3 ,f x x x x x
. Số điểm cực trị ca
hàm s
y f x
A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.
Li gii:
Ta có :
3
2
1
' 0 ( 1) 1 3 0 1
3
x
f x x x x x
x

n cứ BBT ta thấy số điểm cực trị dương của hàm số
()y f x
2 (
1; 3xx
) nên số điểm
cực trị của hàm số
y f x
là 5.
Câu 80: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 2 1 , .f x x x x x
Hi hàm s
21g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
3
.
2
x
D.
2.x
Li gii:
Hàm s
1
2 1 1
3
2 2 1 0 2 1 2 .
2
2 1 1
0
x
x
g x f x x x
x
x


Bng xét du:
x

0
1
3
2

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 81: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 2 1 , .f x x x x x
Hi hàm s
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
2.x
Li gii:
Hàm s
1
3 2 1
1
2 3 2 0 3 2 2 .
2
3 2 1
2
x
x
g x f x x x
x
x


Bng xét du:
x

1
2
1
2

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x
Câu 82: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 2 , .f x x x x x
Hi hàm s
23g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x
B.
1.x
C.
2.x 
D.
2.x
Li gii:
Hàm s
3
2 3 0
2
2 2 3 0 2 3 1 2 .
2 3 2 1
2
x
x
g x f x x x
x
x


Bng xét du:
x

1
2
3
2
2

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại ti
1
.
2
x
Nhn xét: Do
fx
không đạt cc tr ti
0x
nên ta không cn xét nghim
0u
đối vi m s
fu
khi tìm s đim cc tr ca hàm s
.fu
Câu 83: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 2 , .f x x x x x
Hi hàm s
52g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
7
.
2
x
C.
2.x 
D.
5
.
2
x
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s
5
5 2 0
2
2 5 2 0 5 2 1 2 .
5 2 2 7
2
x
x
g x f x x x
x
x


Bng xét du:
x

2
5
2
7
2

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
7
.
2
x
Câu 84: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hi hàm s
21g x f x
đạt cc tiu tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
1.x
C.
3.x
D.
5.x
Li gii:
Hàm s
2 1 1 1
2 2 1 0 2 1 3 2.
2 1 5 3
xx
g x f x x x
xx





Bng xét du:
x

1
2
3

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cc tiu tại điểm
2.x
Câu 85: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Hi hàm s
32g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1
.
2
x 
B.
2.x
C.
1
.
2
x
D.
3
.
2
x
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s
3
2
3 2 0
1
2 3 2 0 3 2 2 .
2
3 2 4
1
2
x
x
g x f x x x
x
x



Bng xét du:
x

1
2
1
2
3
2

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại ti
3
.
2
x
Câu 86: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 3 , .f x x x x
S đim cc tr ca hàm s
2
2g x f x x
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
2.
Li gii:
Hàm s
béi 2
22
2
1
2 2 0
1
2 2 2 0 2 1 .
1
23
3
x
x
x
g x x f x x x x
x
xx
x




Bng xét du:
x

3
1
1

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
có ba điểm cc tr.
Câu 87: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
2
2g x f x f x



A.
4.
B.
6.
C.
7.
D.
5.
Li gii:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s
0
2 . 2 2 1 0
10
fx
g x f x f x f x f x f x
fx

+) Vi
1
0.
1
x
fx
x

+) Vi
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1.1 0 1 , ,f x f x a b c
Vy hàm s
gx
có 5 điểm cc tr.
Câu 88: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
S đim cc tr ca hàm s
g x f f x
A.
11.
B.
10.
C.
9.
D.
8.
Li gii:
Hàm s
0
.0
0
fx
g x f f x f x
f f x
+) Vi
NghiÖm ®¬n
NghiÖm ®¬n
1
0 1 .
2
x
f x x
x

+) Vi
0f f x
bèn nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1;2
hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1; vµ mét nghiÖm béi hai:
hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸cc nghiÖm trªn vµ mét nghiÖm béi hai:
1 , , ,
1 2; , , , 1
2
f x a b c d
f x a b c d x
fx

.
2x
Vy hàm s
gx
có 11 điểm cc tr.
Câu 89: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm
fx
cho bi hình v sau:
x
y
1
3
-1
-1
O
1
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s
2
1g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
1.x
B.
0.x
C.
1.x 
D.
2.x
Li gii:
Hàm s
2
1
1 2 1 0 2 1 0 .
1
x
g x f x x x f x x f x x x
x


x
y
1
3
-1
-1
O
1
Bng xét du:
x

1
0
1

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại ti
0.x
Câu 90: Cho hàm s
fx
đo hàm
2020
2019 3
2
2 2 3 , .f x x x x x x
S đim cc tr
ca hàm s
fx
A.
5
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii:
+) Ta có:
2020
2019 3
2
2
0 2 2 3 0 1
3
x
f x x x x x x
x

.
+) Bng biến thiên:
Hàm s
fx
có 1 điểm cc tr dương
2x
nên hàm s
y f x
2.1 1 3
đim cc tr.
Câu 91: Cho hàm s
y f x
có đồ th như hình vẽ bên dưới:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
S đim cc tr ca hàm s
2.y f x
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
5.
Li gii:
S đim cc tr ca hàm s
2y f x
bng s đim cc tr hàm s
.y f x
Hàm s
fx
có 1 điểm cc tr dương nên hàm số
y f x
2.1 1 3
đim cc tr.
Câu 92: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như hình vẽ n dưới:
S đim cc tr ca hàm s
2g x f x
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Li gii:
S đim cc tr ca hàm s
2g x f x
bng
mn
.
+)
m
là s đim cc tr ca hàm s
22y f x m
.
+)
n
là s nghim bi l của phương trình
23f x n
.
Suy ra, s đim cc tr ca hàm s
2g x f x
bng
5
.
Câu 93: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

1
0

Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m thuộc đoạn
10;10


để hàm s
h x f x m
có đúng 3 điểm cc tr?
A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.
Li gii:
Đặt
.g x f x m
+) S đim cc tr ca hàm s
gx
là 2 (bng s đim cc tr ca hàm s
fx
).
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
+)
h x g x
đúng 3 đim cc tr
0g x f x m
đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cc tr ca
fx
)
, 10;10
1
10; 9;...; 1;0;1;2;..10 .
0
mm
m
m
m

Câu 94: Cho hàm s
fx
liên tc trên có bng biến thiên như sau:
S đim cc tr ca hàm s
2019g x f x
A.
5
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Li gii:
Xét
2019h x f x
h x f x

;
1
00
4
x
h x f x
x


Phương trình giao điểm ca đ th hàm s
y h x
vi trc hoành:
1
2019 0 2019 0 4
4
xa
f x f x x b b
xc

Vy hàm s
y h x
3
đim cc tr dương.
Vy s đim cc tr ca hàm s
g x h x
2.3 1 7
.
Câu 95: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để hàm s
3
3y x x m
có đúng 5 điểm cc tr?
A. Vô s. B. 2. C. 5. D. 3.
Li gii:
Đặt

32
1
3 ; 3 3 0 .
1
x
g x x x g x x
x
BBT:
x

1
1

gx
0
0
gx

2
2

Xét hàm s
.y g x m
+) S đim cc tr ca hàm s
g x m
là 2 (bng s đim cc tr ca hàm s
gx
).
+)
y g x m
có đúng 5 điểm cc tr
0g x m g x m
có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cc tr ca
gx
)
2 2 1;0;1; .
m
mm

Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 96: Cho hàm s
y f x
có bng xét du
fx
như sau:
x

1
3

fx
0
0
S đim cc tr ca hàm s

3
2
3g x f x x
A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.
Li gii:
Xét hàm s
3
3 2 2
3 3 .h x f x x h x g x f x x
Ta có:

CT
2
2 3 2 3 2
32
3 6 0 0; 2
3 6 3 0 3 1 3,1.
3 3 3,3
x x x x
h x x x f x x x x x
x x x
Vy
hx
có 3 điểm cc tr dương nên
h x g x
2.3 1 7
đim cc tr.
Câu 97: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
9 16f x x x
,
x
. bao nhiêu g tr
nguyên dương của tham s
m
để hàm s
3
7g x f x x m
có ít nht
3
đim cc tr?
A.
16
. B.
9
. C.
4
. D.
8
.
Li gii:
Cách 1: Ta có:
2
4
9 16 0 4 .
9
x
f x x x x
x

Để ý rng, do
3
;7xx
cùng du nên
3
3
7 7 .x x x x
Lúc đó:
3
3
7 7 .g x f x x m f x x m
Xét hàm s
3
7.h x f x x m g x h x
Ta có:
2 3 3
3 7 7 ; 0 7 0h x x f x x m h x f x x m
33
33
33
7 4 7 4
7 4 7 4 ; 9 4 4 .
7 9 7 9
x x m x x m
x x m x x m m m m
x x m x x m





BBT hàm
3
7:t x x x
x

0

tx
tx

0

Hàm s
gx
có ít nht ba đim cc tr
hx
có ít nht một điểm cc tr dương
*
9 0 9 1;2;3;4;5;6;7;8 .
m
m m m

M rng:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
d) Hàm s
gx
đúng ba điểm cc tr
hx
đúng mt đim cc tr dương
90
4 9 4;5;6;7;8 .
40
m
m
mm
m



b) Hàm s
gx
có ít nhất năm điểm cc tr
hx
có ít nhất hai điểm cc tr dương
*
4 0 4 1;2;3 .
m
m m m

c) Hàm s
gx
đúng năm điểm cc tr
hx
đúng hai điểm cc tr dương
40
4 4 4; 3; 2; 1;0;1;2;3 .
40
m
m
mm
m


d) Hàm s
gx
có ít nht bảy điểm cc tr
hx
có ít nhất ba điểm cc tr dương
4 0 4.mm
Cách 2: Ta có BBT ca hàm
3
7y h x x x
như sau:
Ta có
33
7 . 7g x x x f x x m

. Rõ ràng
0x
là điểm cc tr ca hàm
y h x
.
Ta có:
33
3 3 3
33
7 9 7 9
5 0 7 4 7 4
7 4 7 4
x x m x x m
f x x m x x m x x m
x x m x x m






.
Để hàm s
gx
có ít nht
3
đim cc tr thì phương trình
0gx
có ít nht
2
nghim
phân bit khác
0
gx
đổi dấu khi đi qua ít nhất
2
trong s các nghiệm đó.
T BBT ta có
9 0 9mm
1;2;3;4;5;6,7,8 .m
Vy có 8 giá tr ca
m
tha mãn yêu cầu đề bài.
Câu 98: Cho hàm s
32
( ) 6 (3 6)f x x x m x
, vi
m
tham s thc, bao nhiêu giá tr nguyên
ca
m
để hàm s
()g x f x
5
đim cc tr?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
Li gii:
Hàm s
()g x f x
là hàm chn, nên hàm s
()g x f x
5
đim cc tr
()y f x
2
đim cc tr dương
0fx

2
nghiệm dương phân bit
Ta có:
22
'( ) 0 3 12 3 6 0 4 2f x x x m x x m
Xét hàm s
2
( ) 4 2; '( ) 2 4h x x x h x x
Xét phương trình:
'( ) 0 2 4 0 2h x x x
Ta có bng biến thiên ca hàm s
()hx
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Để phương trình:
()h x m
2
nghiệm dương phân biệt ta có:
26m
Vy có
3
giá tr nguyên ca
m
.
Câu 99: Cho hàm s
y f x
có đồ th ca
32y f x

như hình vẽ sau:
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
x
y
2
1
-2
O
bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
2021;2021m
để hàm s
3
2021g x f x x m
có ít nht
5
đim cc tr?
A.
2019.
B.
2020.
C.
2021.
D.
2022.
Li gii:
Đặt
32xt
ta có
3
2
x
t
7
2
3 2 0 1 .
1
1
x
t
f x f t x
t
x



3
2021g x f x x m
là hàm s chn nên s đim cc tr ca
gx
bng
2
ln s cc
tr dương của
3
2021f x x m
cng vi
1.
Vi
0,x
ta có
3
2021 ;g x f x x m
23
3 2021 2021 .g x x f x x m

Ta có:
3
3
3
2021 7
0 2021 1
2021 1
x x m
g x x x m
x x m
3
3
3
2021 7 (1)
2021 1 (2).
2021 1 (3)
x x m
x x m
x x m
Hàm s
gx
có ít nht
5
đim cc tr khi và ch khi có ít nht
2
trong
3
phương trình
(1),
(2),
(3)
có nghiệm dương.
Xét hàm s
3
2021h x x x
2
3 2021h x x

.
Ta có BBT ca
hx
như sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
7 1 1m m m
nên ta có
1 0 1.mm
2021;2021m
nên
2021;...;0 .m
Vy có
2022
giá tr nguyên
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 100: Cho hàm đa thức bc ba
y f x
như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
y f f x m
có đúng 6 đim cc tr?
A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Li gii:
Gi s
32
y f x ax bx cx d
.
Vì đồ th ca hàm s
y f x
đi qua các điểm có to độ
0;1 , 1;3 , 2;5 , 3;1
32
11
33
31
8 4 2 5 0
27 9 3 1 1
da
a b c d b
f x x x
a b c d c
a b c d d







2
0
3 6 0
2
x
f x x x
x
.
Xét hàm s
0
.0
0
fx
y f f x m y f x f f x m
f f x m

00
22
0
22
xx
xx
f x m f x m
f x m f x m










.
Hàm s
y f f x m
có đúng 6 đim cc tr
1
21
11
53
25
5
m
m
m
m
m
m


.
4; 3; 1;0mm
.
Vy có
4
giá tr
m
nguyên tho mãn yêu cu bài toán.
Câu 101: Cho hàm s bc ba
y f x
có đồ th như hình vẽ sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
2
4y f x x m
có 3
đim cc tr. S phn t ca
S
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Li gii:
Ta có:
2
2 4 4y' x f ' x x m
.
22
2
22
22
2
0 4 1 4 1
40
4 3 4 3
xx
x
y' x x m x x m
f ' x x m
x x m x x m






*
Hàm s
2
4y f x x m
có 3 điểm cc tr khi và ch khi phương trình
*
có đúng 3 nghiệm
bi l.
Xét hàm s:
2
4g x x x
Da vào bng biến thiên, ta thấy: Phương trình
*
có đúng ba nghim bi l
34
37
14
m
m
m
3456S ; ; ;
Câu 102: Cho hàm s
()y f x
đạo hàm
2
( ) 10f x x x

,
x
. bao nhiêu giá tr nguyên ca
tham s
m
để hàm s
42
8y f x x m
có đúng 9 điểm cc tr?
A. 16. B. 9. C. 15. D. 10.
Li gii:
Xét
2
0
( ) 10 0
10
x
f x x x
x

.
Xét
4 2 43 2
8 4 16 8y f x x m y x x f x x m

.
Cho
42
3
4 16 0
0
80
xx
y
f x x m


.
Xét phương trình:
3
0
4 16 0
2
x
xx
x

.
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Xét phương trình:
42
80f x x m
42
42
4 2 4 2
81
80
8 10 8 10 2
x x m
x x m
x x m x x m

.
Đề hàm s
42
8y f x x m
có đúng 9 đim cc tr thì phương trình
42
80f x x m
cn
có 6 nghiệm đơn
0x
2x 
.
Xét hàm s
42
8g x x x
3
0
' 16 0
2
x
g x x x
x

.
Ta có bng biến thiên:
Xét hai đường thng
12
: , : 10d y m d y m
song song vi trc
Ox
.
10m m m
, nên đường thng
2
d
nằm trên đường thng
1
d
.
Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm
0 10 16
10 0
0
m
m
m
. Vì
m
nên
9;...; 1m
.
0x
đã là cực tr ca hàm s
42
8y f x x m
nên ta ly c trưng hp
0m
.
Vy có
10
giá tr nguyên ca tham s
m
tha mãn.
BÀI TP T LUYN
Câu 103: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
được cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
y f x x
có bao nhiêu điểm cc tr?
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Li gii:
Hàm s
1 0 1y f x x f x f x


có duy nht mt nghim là
1x
(bi hai).
Vy hàm s đã cho không có cực tr.
Câu 104: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
3
5

fx
0
0
0
Hi hàm s
32g x f x
đạt cc tiu tại điểm nào sau đây?
A.
1.x 
B.
1.x
C.
0.x
D.
3.x
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Li gii:
Hàm s
3 2 1 1
2 3 2 0 3 2 3 0 .
3 2 5 1
xx
g x f x x x
xx





Bng xét du:
x

1
0
1

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cc tiu tại điêm
0.x
Câu 105: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

0
2
4

fx
0
0
0
Hi hàm s
24g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
3.x
B.
2.x
C.
0.x
D.
4.x
Li gii:
Hàm s
2 4 0 2
2 2 4 0 2 4 2 3 .
2 4 4 4
xx
g x f x x x
xx





Bng xét du:
x

2
3
4

gx
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
2.x
Câu 106: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
1 3 , .f x x x x
Hi hàm s
2
2g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x
C.
1.x 
D.
3.x 
Li gii:
Hàm s
béi 2
22
2
1
2 2 0
1
2 2 2 0 2 1 .
1
23
3
x
x
x
g x x f x x x x
x
xx
x




Bng xét du:
x

3
1
1

gx
0
0
0
gx
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x 
Câu 107: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 1 5 , .f x x x x x
S đim cc tr ca
hàm s
2
31g x f x x
A.
5.
B.
3.
C.
7.
D.
4.
Li gii:
Hàm s
2
2
2
2
3
2
2 3 0
03
3 1 1
1
2 3 3 1 0 .
3 1 1
2
3 1 5
1
4
x
x
xx
xx
x
g x x f x x
xx
x
xx
x
x





Bng xét du:
x

4
3
2
3
2
1
0
1

gx
0
0
0
0
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
có 5 điểm cc tr.
Câu 108: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
1 1 5 , .f x x x x x
Hi hàm s
2
31g x f x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
4.x 
B.
3.x 
C.
1.x 
D.
1.x
Li gii:
Hàm s
2
2
2
2
3
2
2 3 0
03
3 1 1
1
2 3 3 1 0 .
3 1 1
2
3 1 5
1
4
x
x
xx
xx
x
g x x f x x
xx
x
xx
x
x





Bng xét du:
x

4
3
2
3
2
1
0
1

gx
0
0
0
0
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại điểm
1.x 
Câu 109: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
fx
0
0
0
S đim cc tr ca hàm s
2
1g x f x
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Li gii:
Hàm s
Béi 2
2
2
2
2
0
0
11
10
2 1 0 0 .
11
2
13
2
x
x
xx
x
g x xf x x
x
x
x
x






Bng xét du:
x

2
1
0
1
2

gx
0
0
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
có ba điểm cc tr.
Câu 110: Cho hàm s
y f x
có bng xét dấu đạo hàm như sau:
x

1
0
3

fx
0
0
0
Hàm s
2
1g x f x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
0.x
B.
1.x 
C.
1.x
D.
2.x
Li gii:
Hàm s
Béi 2
2
2
2
2
0
0
11
10
2 1 0 0 .
11
2
13
2
x
x
xx
x
g x xf x x
x
x
x
x






Bng xét du:
x

2
1
0
1
2

gx
0
0
0
0
0
gx
Vy hàm s
gx
đạt cực đại tại các điểm
2; 2.xx
Câu 111: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm
fx
cho bi hình v sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
2g x f x x
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Li gii:
Hàm s
2 2 0 2g x f x x f x f x


có ba nghiệm (đơn) phân biệt.
Vy hàm s đã cho có hai điểm cc tr.
Câu 112: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm
fx
cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
3g x f x x
A.
3.
B.
1.
C.
4.
D.
2.
Li gii:
Hàm s
3 3 0 3g x f x x f x f x


có duy nht mt nghiệm đơn
0
1x
và mt
nghim bi chn
1.x 
Vy hàm s đã cho có duy nhất một điểm cc tr.
Câu 113: Cho hàm s
y f x
có đồ th đạo hàm là
fx
đưc cho như hình vẽ ới đây:
x
y
2
-1
O
1
Hi hàm s
32
1
3
g x f x x x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
2.x
B.
0.x
C.
1.x
D.
1.x 
Li gii:
Hàm s
3 2 2 2
0
1
2 0 2 .
2
3
x
g x f x x x f x x x f x x x
x




Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
x
y
2
O
1
Bng xét du:
x

0
2

gx
0
0
gx


Vy hàm s
gx
đạt cực đại ti
0.x
Câu 114: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
g x f f x
A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Li gii:
Hàm s
0
.0
0
fx
g x f f x f x
f f x
+) Vi
1
0.
1
x
fx
x

+) Vi
ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1
t nghiÖm ®¬n pn biÖt kh¸c 1; t nghiÖm béi hai:
1 , ,
0.
1 , , 1
f x a b c
f f x
f x a b c x


Vy hàm s
gx
có 6 điểm cc tr.
Câu 115: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
2
g x f x


A.
7.
B.
6.
C.
4.
D.
5.
Li gii:
Hàm s
0
2.
0
fx
g x f x f x
fx


+) Vi
1
0.
1
x
fx
x

+) Vi
cã ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1.0 , ,f x a b c
Vy hàm s
gx
có 5 điểm cc tr.
Câu 116: Cho hàm s
y f x
có đồ th cho bi hình v sau:
x
y
3
-1
-1
O
1
S đim cc tr ca hàm s
1g x f f x
A.
7.
B.
6.
C.
8.
D.
5.
Li gii:
Hàm s
0
1 . 1 1 . 0 .
10
fx
g x f f x f x f f x f x
f f x

+) Vi
1
0.
1
x
fx
x

+) Vi
ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1
ba nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1
1 1 2 , ,
1 0 .
1 1 0 , ,
f x f x a b c
f f x
f x f x c d e
Vy hàm s
gx
có 8 điểm cc tr.
Câu 117: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx

Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115

S đim cc tr ca hàm s
1g x f x
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Li gii:
S đim cc tr ca hàm s
1g x f x
bng s đim cc tr hàm s
.y f x
Hàm s
fx
có 1 điểm cc tr dương nên hàm số
y f x
2.1 1 3
đim cc tr.
Câu 118: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

0
2

fx
0
0
fx


S đim cc tr ca hàm s
11g x f x
A.
4.
B.
5.
C.
3.
D.
2.
Li gii:
Đánh giá
11g x f x 
Hai hàm s
gx
1gx
có cùng s đim cc tr.
Xét
1 1 .h x f x h x f x
Ta có:
1 0 1
10
1 2 3
xx
fx
xx



1fx
2
đim cc tr dương
1fx
2.2 1 5
đim cc tr.
Vy
11g x f x
2.2 1 5
đim cc tr.
Câu 119: Cho hàm s
y f x
có bng biến thiên như sau:
x

1
3

fx
0
0
fx

5
3

Có bao nhiêu giá tr nguyên dương của tham s m để hàm s
h x f x m
có đúng 5 điểm
cc tr?
A. Vô s. B. 7. C. 5. D. 4.
Li gii:
Đặt
.g x f x m
+) S đim cc tr ca hàm s
gx
là 2 (bng s đim cc tr ca hàm s
fx
).
+)
h x g x
đúng 3 đim cc tr
0g x f x m
đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cc tr ca
fx
)
*
3 5 1;2;3;4 .
m
mm

Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 120: bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m thuộc đoạn
10;10


đ hàm s
3
3y x x m
có
đúng 3 điểm cc tr?
A. 21. B. 19. C. 20. D. 18.
Li gii:
Đặt

32
1
3 ; 3 3 0 .
1
x
g x x x g x x
x
BBT:
x

1
1

gx
0
0
gx

2
2

Xét hàm s
.y g x m
+) S đim cc tr ca hàm s
g x m
là 2 (bng s đim cc tr ca hàm s
gx
).
+)
y g x m
có đúng 3 điểm cc tr
0g x m g x m
có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cc tr ca
gx
)
, 10;10
2
10; 9;...; 2;2;3;..10 .
2
mm
m
m
m


Câu 121: Cho hàm s
y f x
có bng xét du
fx
như sau:
x

3
1
2

fx
0
0
0
S đim cc tr ca hàm s
3
2
31g x f x x
A. 9. B. 11. C. 7. D. 8.
Li gii:
Xét hàm s
3
3 2 2
3 1 3 1 .h x f x x h x g x f x x
Ta có:

CT
Mét nghiÖm d¬ng
Hai nghiÖm d¬ng
2
2 3 2 3 2
32
3 6 0 0; 2
3 6 3 1 0 3 1 2 .
3 1 3
x x x x
h x x x f x x x x
xx
Vy
hx
có 4 điểm cc tr dương nên
h x g x
2.4 1 9
đim cc tr.
Câu 122: Cho hàm s
4 3 2
12 30 4f x x x x m x
vi
m
tham s thc. bao nhiêu giá tr
nguyên
m
để hàm s
g x f x
đúng 7 điểm cc tr?
A.
27
. B.
31
. C.
28
. D.
30
.
Li gii:
Xét hàm s
4 3 2
12 30 4f x x x x m x
.
Ta có
32
4 36 60 4f x x x x m
;
32
0 4 36 60 4f x m x x x
.
Hàm s
g x f x
có đúng 7 điểm cc tr
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Hàm s
fx
có đúng 3 điểm cc tr dương
Phương trình
0fx
có 3 nghiệm dương phân biệt
Phương trình
32
4 36 60 4m x x x
có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm s
32
4 36 60 4h x x x x
.
Ta có:
2
12 72 60h x x x
;
1
0
5
x
hx
x

.
Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên ta có
* 4 32m
.
m
nên
5;6;7;...;31m
.
Vy có 27 giá tr
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 123: Cho hàm s
y f x
đạo hàm
2
22
3 1 2 1 1f x x x x m x m


, x
.
bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
g x f x
có 5 điểm cc tr?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii:
Để hàm s
g x f x
5 điểm cc tr thàm s
y f x
2 điểm cc tr dương. Ta
22
1
03
2 1 1 0 *
x
f x x
x m x m
.
3x
nghim bi chẵn nên đ hàm s
y f x
2 đim cc tr dương thì (*) 2
nghim phân biệt, trong đó có 1 nghiệm
x
dương khác 1 và một nghim
0x
Điu kiện tương đương
2
22
2
2
10
11
1 2 1 .1 1 0
13
1
1 1 0
m
m
mm
m
m
mm





.
0;1mm
.
Câu 124: Cho hàm s
y f x
có đạo hàm liên tc trên và có bng biến thiên như sau:
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
3
41g x f x m
7 điểm cc
tr?
A. Vô s. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Li gii:
Ta có:
2 3 3
3
12 4 1 4 1
41
x f x f x m
gx
f x m



.
D thy:
2
12 0,xx
.
T bng biến thiên ta có:
3
33
3
4 1 3
0
4 1 0 4 1 1 1
1
4 1 5
x
x
f x x x
x
x

.
Ta có:
3
4 1 0f x m
*
3
41f x m
.
Đặt:
3
41tx
2
12 0 0t x x
.
Ta có bng biến thiên:
Để hàm s
gx
có 7 điểm cc tr thì phương trình
*
phi có 4 nghim bi l khác
0
1
.
Suy ra
0 2 2 0mm
.
Vy có tt c 1 giá tr nguyên ca tham s
m
tha mãn.
Câu 125: Cho hàm số
fx
đạo hàm
2
2
14f x x x x
. bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực
m
để hàm số
2
2 12g x f x x m
có đúng
5
điểm cực trị?
A.
17
. B.
18
. C.
16
. D.
19
.
Li gii:
2
2
1
1 4 0 0
4
x
f x x x x x
x

( Trong đó
1x 
là nghiệm bội chẵn)
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Yêu cầu bài toán tương đương với
2
4 12 . 2 12 0g x x f x x m

phải 5 nghiệm
đơn
2
2
3
2 12 0
2 12 4
x
x x m
x x m
có 5 nghiệm đơn
2
2
3
2 12
2 12 4
x
x x m
x x m
có 5 nghiệm đơn.
Ta phải có
18 18.mm
Vậy có
17
giá trị nguyên dương của
m
thỏa bài toán.
Câu 126: Cho hàm s bc ba
y f x
có đồ th như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
4 g x f f x f x m
17
điểm cực trị bằng
A.
1652
. B.
1653
. C.
1654
. D.
1651
.
Li gii:
Đặt
2
1;2
4 2 2 0
;;
x
u u x f x f x u f x f x u
x a b c

.
Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau:
12 a b c
.
Bảng biến thiên của hàm số
2
4u f x f x
.
60
-3
-4
-4
-4
+
+
+
+
+
0
0
0
0
+
0
c
2
b
1
a
u
u'
x
Chuyên đề KHO SÁT HÀM S Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Ta
.

g x f u m g x u m f u m
. Do đó số điểm cực trị của m số
2
4 g x f f x f x m
chính là số nghiệm bội lẻ của hệ sau:
0
0 ; 1; ;2; ; 1; ;2;
2; 2
2
0
um
u m u m
u m x a b c x a b c
u m m
um
f u m




.
Do đó số điểm cực trị của hàm số
gx
phụ thuộc vào số giao điểm của các đường thẳng
2; ; 2y m y m y m
với đồ thị
ux
.
Vì không tính điểm tiếp xúc nên các đường thẳng này chỉ có thể cắt đồ thị hàm số
ux
tại
2
điểm;
4
điểm;
6
điểm hoặc không cắt đồ thị hàm số
ux
.
Do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm
m
nguyên để các đường thẳng trên cắt đồ thị
ux
tại
12
điểm phân biệt
3 2 60
1 58 1;0;1;...;57 1652
3 2 60
m
m m S
m
.
___________________________HT___________________________
Huế, 10h00’ Ngày 15 tháng 5 năm 2023
| 1/77

Preview text:

LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 12 KHẢO SÁT HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
 CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Môn: TOÁN 12_GIẢI TÍCH
Chủ đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I- LÝ THUYẾT
1- Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên a;b ( có thể a là  , b là  ) và
điểm x a; b . 0  
a) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f (x)  f (x ) với mọi x x h; x h x x thì ta nói hàm 0 0  0 0
số f (x) đạt cực đại tại x . 0
b) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f (x)  f (x ) với mọi x x h; x h x x thì ta nói hàm 0 0  0 0
số f (x) đạt cực tiểu tại x . 0
2- Chú ý: Nếu hàm số f (x) đạt cực đại ( cực tiểu) tại x thì x được gọi là điểm cực đại ( điểm 0 0
cực tiểu) của hàm số; f (x ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là 0
f ( f ) , còn điểm M x ; f (x ) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 0  0 0  C§ CT
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn
gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
3-1. Định lý: Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x đạt cực trị tại đó thì / f x  0 0  0
Lưu ý: Định lý khẳng định tại các điểm x mà /
f x  0 thì x không phải là điểm cực trị của hàm số. 0  0 0 Nếu /
f x  0 thì chưa thể khẳng định x là điểm cực trị. 0  0
3-2. Định lý: (DẤU HIỆU I)
Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm trong khoảng a;b và /
f x  0, x a;b . 0  0  
a) Nếu qua x đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là /
f (x)  0, x   x và 0 0 /
f (x)  0, x
  x thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0 0
b) Nếu qua x đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm , tức là /
f (x)  0, x   x và 0 0 /
f (x)  0, x
  x thì hàm số đạt cực đại tại x . 0 0 x a x b x a x 0 b 0 f / (x) - 0 + f / (x) + 0 - CD f(x) f(x) CT
3-3. Định lý: (DẤU HIỆU II)
Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm trong khoảng a;b và /
f x  0, x a;b . 0  0   a. Nếu //
f x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0  0 b. Nếu //
f x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0  0
4- Một số nhận xét quan trọng:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
a) Với các hàm số thường gặp, nếu x điểm cực trị thì /
f x  0 . Nói cách khác x là 0  0 0
nghiệm của phương trình /
f x  0 . Hay / f  / xf x  0 C§   CT
b) Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: QUY TẮC I QUY TẮC II Bước 1: Tìm TXĐ Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính /
f x . Xác định các điểm tới hạn. Bước 2: Tính /
f x . Giải /
f x  0 và kí hiệu
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
x ( i  1, 2,... ) là các nghiệm của nó. i Bước 3: Tính // f x và //
f x . Kết luận i
II- BÀI TẬP TỰ LUẬN
1) Tìm cực trị của các hàm số sau: 1 4 1 a) 3 2
f (x)  x x  3x  b) 3
f (x)  3x x
1 c) f (x)  x  1  3 3 x  2 4 4 x
d) f (x)  x   3 e) 2 f (x)   2x  6 f) 4 3
f (x)  x  2x  2x  1 x 4 x  1 5 3 2 2x  1 x x x  3x  3
g) f (x)  h) f (x)  k) f (x)  
 2 l) f (x)  x2 x  1 5 3 x  1
2) Tìm cực trị của các hàm số sau: a) f (x)  s 2 in2x  3 b) 2
f (x)  x 4  x c) 2 f ( )
x  8  x d) f ( )
x x  sin2x  2
e) f (x)  3  2cosx  cos2x f) 5 3
y x x  2x
1 g) f (x)  sinx  cosx
3) Tìm a, b, c, d của hàm số 3 2
f (x)  ax bx cx d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại x  0 ,
f 0  0 và đạt cực đại tại x  1 , f 1  1 .
4) Xác định các hệ số a, b, c của hàm số 3 2
f (x)  x ax bx c đạt cực trị bằng 0 tại điểm
x  2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A1;0 . 2
x mm   3 1 x m  1
5) CMR: Với mọi giá trị m thì hàm số y
luôn có cực đại, cực tiểu. x m 1 1 6) Cho hàm số 3
y mx  m   2
1 x  3m  2x  . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x  0 . 3 3 2 x mx  1
7) Xác định m để hàm số y
đạt cực đại tại x  2 . x m
8) Tìm a để hàm số 3 2
y x mx  3x  2 đạt cực tiểu tại x  2.
9) CMR: Với mọi giá trị m thì hàm số 3 2
y x mx  2x  1 luôn có 1 cực đại, cực tiểu.
10) (ĐH B- 2002) T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó: 4
y mx   2 m   2
9 x  10 cã 3 ®iÓm cùc trÞ . 2 2
11) (ĐH D-2012) Tìm m để hàm số 3 2
y x mx  2 2 3m   1 x
có hai điểm cực trị x x 3 3 1 2
sao cho: x x  2 x x  1 . 1 2  1 2
12) (ĐH A-2012) Tìm m để đồ thị hàm số 4
y x  m   2 2 2
1 x m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
13) (ĐH B-2012) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3
y x  3mx  3m có hai điểm cực trị AB sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
14) (ĐH B-2013) Tìm m để đồ thị hàm số 3
y x  m   2 2 3
1 x  6mx có hai điểm cực trị AB
sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x  2.
Đọc thêm: XỬ LÝ CỰC TRỊ VÀ XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC
ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I-1- LÝ THUYẾT
1- Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại điểm x thì / f x  0 . 0  0 0
Hay: a) x là nghiệm của phương trình /
f x  0 . 0 b) Kí hiệu: x / / / / , x : f xf xyy  0 C§ CT  C§  CT  C§ CT
Bài toán : Xác định tham số để hàm số y f (x) có cực trị thoả điều kiện X.
Bước 1: Xác định tham số để hàm số y f (x) có cực trị . Có tập A .
Bước 2: Xử lý biểu thức cực trị theo định lý Viet,…. Có tập B .
Bước 3: Kết luận. Tập giá trị thoả yêu cầu là A B.
2- Một số kết quả quan trọng:
Đặt vấn đề: Trong quá trình xử lý biểu thức cực trị hay tính giá trị cực trị chúng ta thường gặp những khó khăn sau:
+ Điểm cực trị x rườm rà, cồng kềnh” dẫn đến tính giá trị cực trị khó khăn. 0
+ Bài toán viết phương trình đồ thị qua các điểm cực trị của hàm số.
+ Xử lý biểu thức giá trị cực trị y , y . C§ CT
Bài toán 1: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d (a  0) . Chứng minh rằng: Giá trị cực trị của hàm số là:
y kx m y
kx m hay CT CT 
, trong đó kx m phần dư của phép chia y cho / y . CTr CTr
y kx m C§ C§
Chứng minh: Thật vậy: Biểu diễn     / y ex
f y kx m . Gọi x
là hoành độ điểm cực trị của đồ thị CTr hàm số: / yex f y
kx m kx m ( Do / y  0 ) CTr  CTr  CTr CTr CTr CTr
y kx m
Từ đây gọi Ax ; y , B x ; y thì CT CT  (đ.p.c.m) C§ C§   CT CT 
y kx mCD CD
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên chỉ rõ:
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là y kx m .
+ Xử lý tốt biểu thức giá trị cực trị là ykx
m thay vì phải là: CTr CTr 3 2 yaxbxcx d CTr CTr CTr CTr
+ Tư duy của phép chứng minh này còn áp dụng cho các hàm đa thức khác. ( u x)
Bài toán 2: Cho hàm số y  . Gọi Gọi x
là hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh: ( v x) CTr / u xCTr  y  . CTr / v xCTr  / / u (x). (
v x)  v (x). ( u x) Chứng minh: Ta có / y  2  ( v x)   / u x u x / / /  y  0  u x .v xv x .u x  0  y   CTr  CTr   CTr   CTr   CTr   CTr   CTr   CTr  v / x v x CTr   CTr 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Nhận xét:
Kết quả của bài toán trên chỉ rõ: 2
ax bx c 2ax b
+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C): y  là y dx e d / u x uxCTr  CTr 
+ Xử lý tốt biểu thức giá trị cực trị là y  thay vì phải là: y  CTr / v x CTr vxCTr  CTr 
( Bậc tử và mẩu giảm 1)
+ Tư duy của phép chứng minh này còn áp dụng cho các hàm phân thức khác. I-2- VÍ DỤ MINH HOẠ Bài tập: Cho hàm số 3 2
y x  6x  3m  2 x m  6. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
nằm cùng phía với trục hoành. Bài giải: TXĐ: D  . Ta có: / 2
y  3x  12x  3m  2 .
Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình /
y  0 có hai nghiệm phân biệt x , x : 1 2 Yêu cầu bài toán /
   36  9m  2  0  2  m  0  m  2 (*).  x   * Biểu diễn: / 2 y y .
 2m  2x m   
2 . Gọi x là điểm cực trị của hàm số, suy ra:  3  0  x  2  /
y y x  0 .
  2 m  2 x m  2  2 m  2 x m  2 y x  0 0 0   0   ( do / 0  0 )  3 
Như vậy: y  2m  2 x m  2 . 0 0
y  2 m  2 x m   2 1  
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x , x suy ra: 1  . 1 2
y  2 m  2 x m   2  2   2
x x  4
Để ý, do x , x là nghiệm của /
y  0 nên theo định lí Vi-et, ta có: 1 2  (**) 1 2
x .x m  2 1 2
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía với trục hoành  y .y  0. 1 2  2
 m  2x m  2 2
  m  2x m  2  0  
m 22 4x x  2 x x 1  0 1 2  1 2  1 2 (1)  m  2  2 2 
Thay (**) vào (1) ta được: m  2 4m  2  2.4  1  0  m  2 4m  17  0     17 m    4 17
Đối chiếu với điều kiện (*), các giá trị m cần tìm là:   m  2 . 4
I-3- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Cho hàm số 3
y x  m   2 x   2
m m  x   2 2 1 4 1
2 m  1 . Tìm m để hàm số có cực đại và 1 1 1
cực tiểu tại x , x sao cho: 
 x x . 1 2  1 2 x x 2 1 2 2 x mx  2 2) Cho hàm số y
. Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số x  1 thuộc 2
(P) : y x x  4 2
x  (m  1)x  1  m 3) Cho hàm số y
. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT: x m a) Cùng phía Ox. b) Khác phía Ox. c) Cùng phía Oy. d) Khác phía Oy.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2
x  3x m 4) Cho hàm số y
. Tìm m để y  4  y với y , y lần lượt là CĐ, CT của hàm số. x  4 1 2 1 2 2
2x  3x m 5) Cho hàm số y
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thoả yy  8 . x m CD CT 2 2 3
2mx  (4m  1)x  32m  2m 6) Cho hàm số y
. Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị x  2m
thuộc góc phần tư thứ hai và điểm cực trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mp(Oxy). 2
x  (m  1)x  4m  2 7) Cho hàm số y
. Xác định m để: x  1
a) Tích giá trị CĐ và giá trị CT nhỏ nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. m 8) Cho hàm số 2
y x  3x
 3 . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó chứng x
minh rằng cả ba điểm cực trị đều nằm trên đường cong y  x  2 3 1 . 9) Cho hàm số 4 2
y x  (m  1)x  1 .
a) Tìm m để hàm số có CĐ, CT.
b) Viết phương trình đường cong qua các điểm cực trị của hàm số. 1
10) Chứng minh các điểm cực trị của đt hàm số 4 3 2 y
x x  3x  8x nằm trên 1 parabol. 4
11) Xác định m để đồ thị hàm số 4 2 4
y x  2mx  2m m có các điểm cực đại, cực tiểu lập
thành một tam giác đều. 12) Cho hàm số 3 2 2
y x  3x m x m . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT:
a) Nằm hai phía với đường thẳng  : x  2y  5 .
b) Đối xứng qua đường thẳng  : x  2y  5 . 2 2
x  2(m  1)x m  4m
13) Cho hàm số: y
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực x  2
đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O. 2
x  (m  1)x m  1
14) Cho hàm số: y
. Chứng minh rằng: Với mọi m hàm số luôn có cực x  1
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 .
III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1:
Lý thuyết và xác định cực trị hàm số
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1:
Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu f  x đổi dấu khi qua điểm x f x liên tục tại x thì hàm số y f x đạt cực 0 0
trị tại điểm x . 0
B. Hàm số y f x đạt cực trị tại x  
0 khi và chỉ khi f x 0 . 0 
C. Nếu f   x  0 thì x không phải là điểm cực trị của hàm số. 0  0
D. Nếu f   x  0 và f  x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0  0  0 Câu 2:
Cho hàm số y f x . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. x x là điểm cực tiểu của hàm số thì hàm số có giá trị cực tiểu là f x . 0  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm x x thì f  x  0 . 0  0
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x x thì f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x . 0 0
D. Nếu hàm số đơn điệu trên
thì hàm số không có cực trị. Câu 3:
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x . Khẳng định nào sau đây đúng? 0
A. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x  0 . 0  0
B. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x đổi dấu qua x . 0 0
C. Nếu f  x  0 thì hàm số đạt cực trị tại x . 0  0
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x thì f  x  0 . 0  0 Câu 4:
Hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là A. 4 . B. 1. C. 1  . D.  . Câu 5:
Cho hàm số y f x liên trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 3 x 2 Câu 6: Cho hàm số 2 y
 2x  3x  . Điểm cực đại của hàm số đã cho là 3 3  2 
A. M 1; 2 . B. N 3;   . C. x  3 D. x  1 .  3  Câu 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị? x  1 A. y  . B. 2
y x x  1 . C. 4
y x  7x  2 . D. 3 y x . x  2 Câu 8: Cho hàm số 4 2
y x  8x có đồ thị C  . Gọi ,
A B, C là ba điểm cực trị của C  . Tính diện tích
S của tam giác ABC . A. S  16 . B. S  8 . C. S  32 . D. S  64 . 2 5 Câu 9:
Số điểm cực trị của hàm số y   x   1  x  2 là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 x O 2
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 2
Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x   2
x  4x  3 x  1, x 0; . Hỏi hàm số
y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có 3 điểm cực trị? 2x  2 A. 3 y x  3 . x B. y  . C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y x  2x 1. x 1 Câu 14: Gọi ,
A B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x  4 . Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng A. 2 1. B. 2 1. C. 2 . D. 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 15:
Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng K x K . Mệnh đề nào sau đây 0 đúng?
A. Nếu x là điểm cực đại của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
B. Nếu f  x  0 thì x là điểm cực trị của hàm số y f x . 0
C. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
D. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số y f x có giá trị cực đại là M và giá trị cực tiểu là m thì M m . (II). Đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c a  0 luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành. Số khẳng định đúng là: A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 17: Cho hàm f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên
. Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0   0  0
B. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0   0  0
C. Hàm số f x đạt cực trị tại x khi và chỉ khi x là nghiệm của đạo hàm. 0 0
D. Nếu f ' x đổi dấu khi x qua x f ' x liên tục tại x thì hàm số f x đạt cực trị tại x 0 0 0
Câu 18: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Tìm giá trị cực đại y y của hàm số đã cho.
CĐ và giá trị cực tiểu CT A. y  5 y   . B. y  1 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT C. y  1 y  . D. y  5 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT
Câu 19: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau :
Số điểm cực trị của hàm số là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 20: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó. A. 3 2
y x  5x x  6. B. 3 2
y x  6x  9x 1. C. 3 2
y x  6x  9x  6. D. 4 2
y x x  3.
Câu 21: Đồ thị hàm số 3
y  x  3x có điểm cực tiểu là A. M  1  ; 2   .
B. N 1;0 .
C. P 1; 2 .
D. Q 1;0 .
Câu 22: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Câu 23: Cho hàm số 4 2
y x  2x  3. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 . C. 1  . D. 1.
Câu 24: Cho đồ thị hàm y f x như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 25: Cho hàm số bậc năm y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 2 x O
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 26: Hàm số nào dưới đây không có cực trị? 2 1 2x  2 A. x y . B. y  . C. 2
y x  2x 1. D. 3
y  x x 1. x x 1 Câu 27: Cho hàm số 4 2
y x  2x 1 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C  có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác, gọi là ABC. Tính diện tích ABC. 1 A. S  2 . B. S  1 . C. S  . D. S  4 . 2 Câu 28: Cho hàm số 2 y
x x  20 . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên  ;   4 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x  5 .
C. Hàm số đồng biến trên 5;   .
D. Hàm số không có cực trị. 2019 2021
Câu 29: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm 2017
f '(x)  xx   1
x  2 , x . Tổng bình
phương các điểm cực trị của hàm số là A. 5 . B. 1. C. 4 . D. 12229091.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. 3 y x  3 . x B. 4 y x  2. C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x .
Dạng 2: Bài toán tham số không liên quan đến hàm ẩn
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA 3 2
y ax bx cx d , a;b;c; d  ,a  0 Ta xét: 2
y  3ax  2bx c có 2
  b  3ac . a  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 y y y y O x O x O x O x Lưu ý:
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0
b  3ac  0  Ta có :     ac  0 3c . x .x  0   0 1 2  a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm một phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0 2
b  3ac  0 
b  3ac  0 Ta có :   3c   . x .x  0   0 ac  0 1 2  aa  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện    c   0 c   0
Điều kiện c  0
Điều kiện c  0  2  b  3ac   0 2 b  3ac   0 y y y y (C) (C) O x x O 1 1 O x O x
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0
1) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có 3 điểm cực trị: ab  0
2) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có duy nhất một điểm cực trị: ab  0
Lưu ý: Trong trường hợp a chứa tham số thì ta chia 2 trường hợp a  0 và a  0.
3) Một số dạng đồ thị 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 và điều kiện về cực trị: Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực trị
điểm cực trị (cực tiểu)
trị (2 điểm cực tiểu và
điểm cực trị (cực đại)
(1 điểm cực tiểu và 2 điểm y
1 điểm cực đại) y cực đại) y y O x O x O x O x a  0 a  0 a  0 Điều kiện: Điều kiện: Điều kiện: a  0 b   0 b   0 b   0 Điều kiện: b   0
4) Một số công thức giải nhanh cần lưu ý: 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 Dữ kiện
Công thức thỏa ab  0
1). Tam giác ABC vuông cân tại A a  3 8 b  0
2). Tam giác ABC đều a  3 24 b  0
3). Tam giác ABC có góc BAC   3 2  8a b .tan  0 2
4). Tam giác ABC có diện tích S  3 2 5  S
32a (S )  b  0 ABC 0 0
5). Tam giác ABC có diện tích max(S ) 5 0   b S 0 3 32a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
6). Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r  2  r b ABC 0 r  0  3  b 4 a 1  1      8a
7). Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m 2 am  2b  0 0 0
8). Tam giác ABC có độ dài AB AC n 2 2 16a n  4 b  8ab  0 0 0
9). Tam giác ABC có cực trị B,C Ox 2 b  4ac  0
10). Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a  3 (8 b )  0
11). Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b  6ac  0
12). Tam giác ABC có trực tâm O 3
b  8a  4ac  0
13). Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 3 b   8a R R   R ABC 0 8ab
14). Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi 2 b  2ac  0
15). Tam giác ABC O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4abc  0
16). Tam giác ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b  8a  8abc  0
17). Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC 3 2 b k  2 . 8 ( a k  4)  0
18). Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện 2 b  4 2 ac tích bằng nhau
19). Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b  8ac  0
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 31:
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2
y x  2x 1. D. 3
y x  3x 1. Câu 32: Cho hàm số 3 2
y x bx cx d (b, c, d  ) có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b  0, c  0, d  0 .
B. b  0, c  0, d  0 .
C. b  0, c  0, d  0 .
D. b  0, c  0, d  0 .
Câu 33: Cho hàm số y  4 ax  2 bx c ,
a b,c   có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0 .
B. a  0,b  0, c  0.
C. a  0,b  0, c  0 . D. a  0,b  0, c  0.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Câu 34: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca;b;c  ,a  0 có bảng biến thiên dưới đây:
Tính P a  2b  3c.
A. P  3.
B. P  6 . C. P  2  .
D. P  2 .
Câu 35: Biết M (0; 2) , N (2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị
của hàm số tại x  3. A. y(3)  2 . B. y(3)  11. C. y(3)  0 . D. y(3)  3 
Câu 36: Đồ thị hàm số y f x 3 2
x  3x  2ax b có điểm cực tiểu là A2;2. Tính a b . A. 4. B. 2. C. 4. D. 2.
Câu 37: Tập hợp các số thực m để hàm số 3 2
y x  3mx  m  2 x m đạt cực tiểu tại x  1 là A.   1 . B.   1  . C.  . D. .
Câu 38: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y  m   4 x   2 m   2 1
2 x  2019 đạt cực tiểu tại x  1 . A. m  0 . B. m  2 . C. m  1. D. m  2 . 1
Câu 39: Tập hợp các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  m  2 x 1 có hai cực trị là 3 A.  ;    1  2;  B.  ;   
1  2;  C. 1; 2 D. 1; 2
Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m
trên miền 10;10 để hàm số 4 2
y x  2 2m  
1 x  7 có ba điểm cực trị? A. 20. B. 10. C. Vô số. D. 11.
Câu 41: Tất cả cả các giá trị của tham số m để 3 2
y x  3x mx  1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn 1 2 2 2
x x  6 là 1 2
A. m  3.
B. m  3.
C. m  1.
D. m  1.
Câu 42: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x  3mx  3m có hai điểm cực
trị là A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 24 (với O là gốc tọa độ ). A. m  2 . B. m  1. C. m  2 . D. m  1 .
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2
1 x 1 2m có một cực trị. m  0
A. m  1.
B. m  0.
C. 0  m  1. D. .  m 1 Câu 44: Cho hàm số 4 2
y mx  (2m 1)x 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã
cho có đúng một điểm cực tiểu. 1 1
A. Không tồn tại m .
B. m  0.
C. m   . D.   m  0. 2 2
Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y  2x  5x  4x  2  m có giá trị cực cực đại và
giá trị cực tiểu trái dấu là A. 13 . B. 11. C. 9 . D. 12 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 1
Câu 46: Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y
x x  m  
1 x  2 có hai điểm 3
cực trị nằm bên trái trục tung là A.  ;  1 . B. 1; 2. C.  ; 2. D. 1;   .
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có giá trị cực tiểu bằng 1
 . Tổng các phần tử thuộc S A. 2  . B. 0 . C. 1. D. 1  .
Câu 48: Biết m m
y x mx  có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai
0 thì đồ thị của hàm số 3 3 2
điểm cực trị đó bằng 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m  2  ; 1  . B. m  1  ;0 .
C. m  1; 2 .
D. m  0;1 . 0   0   0   0  
Câu 49: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx 1 có ba điểm cực trị A0; 
1 , B , C thỏa mãn BC  4. A. m  2 . B. m  4 . C. m  2 . D. m  4 .
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Câu 51: Cho hàm số 3 2
y x mx   2 m   3 3 3
1 x m m , với m là tham số. Gọi ,
A B là hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số và I 2; 2
  . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho ba điểm I , ,
A B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 . Tính tổng các phần tử của S . 20 15 3 4 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 1 Câu 52: Cho hàm số 3 2 y
x  (m  2)x  9x 1 , với m là tham số. Gọi x , x là các điểm cực trị của 3 1 2
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9x  25x bằng 1 2 A. 15 . B. 90 . C. 450 . D. 45 . Câu 53: Cho hàm số 4 y x   2  m  2 2 1
x m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất. A. 1 m  . B. 1 m   . C. m  0 . D. m  1. 2 2 mx
Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y x
có hai điểm cực trị và các cực trị 2 x 1
này đều thuộc hình tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng 30 ? A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 55:
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y x 0 A. 4 2
y x  3x 1. B. 4 2
y  x  3x 1. C. 3 2
y  x  3x 1. D. 3 2
y x  3x 1.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Câu 56: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca  0 có đồ thị như hình vẽ bên. y
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0. O x
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0. Câu 57: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d, a, , b c, d
 có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
a  0,b  0, c  0, d  0 .
B. a  0,b  0, c  0, d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0, c  0, d  0 .
Câu 58: Biết a,b, c là các số thực tùy ý, a  0 và hàm số 3 2
y ax bx cx nhận x  1 là một điểm cực
trị. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3a  2b c  0 .
B. a c b .
C. 3a c  2b .
D. 2a b  0 .
Câu 59: Ta xác định được các số a,b, c để đồ thị hàm số 3 2
y x ax bx c đi qua điểm 0;  1 và có
điểm cực trị 2;0 . Tính giá trị của biểu thức T  4a b c . A. 20 . B. 23 . C. 24 . D. 22 .
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m đạt cực tiểu tại x  0. A. m  1. B. m  1. C. m  . D. m  1.
Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 đạt cực tiểu tại x  2 . A. m  0 . B. m  4 .
C. 0  m  4 .
D. 0  m  4 .
Câu 62: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị là A. m  2 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  2 . Câu 63: Cho hàm số 3
y x  m   2 3
1 x  37m  3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m
để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. 1
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  (m  2)x có cực trị và các điểm cực đại, 3
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A. m  2 .
B. m  2 .
C. 0  m  2 .
D. m  2 .
Câu 65: Biết m là giá trị của tham số để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 có hai điểm cực trị x , x sao cho 0 1 2 2 2
x x x x  13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. m  1  ;7 . B. m  7  ; 1  .
C. m  15; 7 . D. m  7;10 . 0   0   0   0  
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 66: Để đồ thị hàm số 4
y  x  m   2
3 x m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì
tất cả các giá trị thực của tham số m A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 . Câu 67: Cho hàm số 4
y mx   m   2 2
1 x 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có một điểm cực đại. 1 1 1 1 A.   m  0 . B. m   . C. m   . D.   m  0 . 2 2 2 2
Câu 68: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2 2
3 x m không có điểm cực đại là A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 0 .
Câu 69: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m  4 có ba điểm
cực trị cách đều trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 2. B. 6. C. 0. D. 4. Câu 70: Cho hàm số 4
y mx   2 m   2
6 x  4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực
trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Câu 71: Gọi S tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2m x  1 có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của S bằng A. 2. B. 4. C. 8. D. 6.
Câu 72: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2mx  3m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác nhận G 0;7  . 3 A. m  1. B. m   . C. m  1. D. m   3. 7
Câu 73: Gọi m , m là các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x m 1 có hai điểm cực 1 2
trị là B , C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2 ,với O là gốc tọa độ. Tính m .m . 1 2 A. 6 . B. 15 . C. 12 . D. 20 . 1 1
Câu 74: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y x
mx x  2 có giá trị 3 2
tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền
7 . Số phần tử của S A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Câu 75: Cho biết đồ thị hàm số 4 2 2 4
y x  2mx  2m m có 3 điểm cực trị ,
A B,C cùng với điểm D 0; 3
  là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi S là tổng các giá trị m thỏa mãn đề bài thì S thuộc khoảng nào sau đây?  9   5   5  A. S 2;4 . B. S ;6   . C. S 1;   . D. S 0;   .  2   2   2 
Dạng 3: Bài toán cực trị liên quan đến hàm ẩn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 76:
Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 77: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  2x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 78: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  x đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  4.
D. x  2. 3
Câu 79: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x  x   2 ' (
1) x  1x  3 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số y f x  là A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.
Câu 80: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 2x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  1.
B. x  1.
C. x  .
D. x  2. 2
Câu 81: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2. 2
Câu 82: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 2x  3
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  2.
D. x  2. 2
Câu 83: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 5  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 7 5
A. x  1.
B. x  .
C. x  2.
D. x  . 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 84: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 2x  1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  2.
B. x  1.
C. x  3.
D. x  5.
Câu 85: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1 1 3
A. x   .
B. x  2.
C. x  .
D. x  . 2 2 2
Câu 86: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  2 x  2x là A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 87: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1 2
Số điểm cực trị của hàm số g x   f
 x  2 f  x là A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.
Câu 88: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 11. B. 10. C. 9. D. 8.
Câu 89: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 3 1 1 -1 O x -1
Hàm số g x  f x 2
x x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  2. 2019 2020 3
Câu 90: Cho hàm số f x có đạo hàm f x  x    2 2 x x  2
x  3 , x
  . Số điểm cực trị
của hàm số f x  là A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 91: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số y f x  2 . A. 2. B. 1. C. 3. D. 5.
Câu 92: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 93: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  1  f x 0 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số hx  f x  m
có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 94: Cho hàm số f x liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x   2019 là A. 5 . B. 9 . C. 3 . D. 7 .
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3
x  3x m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 96: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  1 3  f x  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  là A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.
Câu 97: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x   2 9
x 16 , x  . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f  3
x  7x m có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 16 . B. 9 . C. 4 . D. 8 . Câu 98: Cho hàm số 3 2
f (x)  x  6x  (3m  6)x , với m là tham số thực, có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số g(x)  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6
Câu 99: Cho hàm số y f x có đồ thị của y 8f 3  2x như hình vẽ sau: y 6 4 2 x 15 10 5 -2 O 1 2 5 10 15 2 4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20  21;20  21 để hàm số
g x  f  3
x  2021x m có ít nhất 5 điểm cực trị? 6 A. 2019. B. 2020. C. 2021. D. 2022. 8
Câu 100: Cho hàm đa thức bậc ba y f x như hình vẽ.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f f x  m có đúng 6 điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 101: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ sau:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f  2
x  4x m có 3
điểm cực trị. Số phần tử của S A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Câu 102: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm là 2 f (
x)  x 10x , x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y f  4 2
x  8x m có đúng 9 điểm cực trị? A. 16. B. 9. C. 15. D. 10. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 103:
Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 104: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  3.
Câu 105: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Hỏi hàm số g x  f 2x  4 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  3.
B. x  2.
C. x  0.
D. x  4.
Câu 106: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Hỏi hàm số gx  f  2 x  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  3. 2
Câu 107: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số g x  f  2
x  3x  1 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 4. 2
Câu 108: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x   . Hỏi hàm số
g x  f  2
x  3x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  4.
B. x  3.
C. x  1.
D. x  1.
Câu 109: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3  f x  0  0  0 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f  2 x  1 là A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 110: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3  f x  0  0  0 
Hàm số g x  f  2
x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2.
Câu 111: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2x A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 112: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  3x A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 113: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1 1
Hỏi hàm số gx  f x 3 2
x x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  2.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  1.
Câu 114: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 115: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số       2 g x f x  là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 116: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x   1 là A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 117: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  1  là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 118: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x 
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  1  1 là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Câu 119: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  5  f x 3 
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số hx  f x  m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 7. C. 5. D. 4.
Câu 120: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số y  3
x  3x m có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 20. D. 18.
Câu 121: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  3  1 2  f x  0  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  1 là A. 9. B. 11. C. 7. D. 8.
Câu 122: Cho hàm số f x 4 3 2
x 12x  30x  4  mx với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên m để hàm số g x  f x  có đúng 7 điểm cực trị? A. 27 . B. 31. C. 28 . D. 30 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2
Câu 123: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x    x   2
x  m   2 3 1 2
1 x m 1   , x   . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 124: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  3 4x  
1  m có 7 điểm cực trị? A. Vô số. B. 3 . C. 0 . D. 1. 2
Câu 125: Cho hàm số f x có đạo hàm f  x   x    2 1
x  4x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực m để hàm số g x  f  2
2x 12x m có đúng 5 điểm cực trị? A. 17 . B. 18 . C. 16 . D. 19 .
Câu 126: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  2
f x  4 f x  m  có 17 điểm cực trị bằng A. 1652 . B. 1653 . C. 1654 . D. 1651.
IV- LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu f  x đổi dấu khi qua điểm x f x liên tục tại x thì hàm số y f x đạt cực 0 0
trị tại điểm x . 0
B. Hàm số y f x đạt cực trị tại x  
0 khi và chỉ khi f x 0 . 0 
C. Nếu f   x  0 thì x không phải là điểm cực trị của hàm số. 0  0
D. Nếu f   x  0 và f  x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0  0  0 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
B sai vì f  x có thể không xác định tại điểm x mà hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm x . 0 0
Chẳng hạn với f x  x đạt cực tiểu tại x  0 nhưng không có đạo hàm tại đó.
C sai vì f   x  0 chưa thể kết luận được hàm số đạt cực trị tại x . Chẳng hạn f x 4  x có 0  0
f 0  0 và nó vẫn đạt cực tiểu tại x  0 .
D sai vì nếu f   x  0 và f  x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0  0  0 Câu 2:
Cho hàm số y f x . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. x x là điểm cực tiểu của hàm số thì hàm số có giá trị cực tiểu là f x . 0  0
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm x x thì f  x  0 . 0  0
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x x thì f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x . 0 0
D. Nếu hàm số đơn điệu trên
thì hàm số không có cực trị. Lời giải:
Hàm số đạt cực trị tại điểm x x thì f  x  0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x . 0  0 0 Câu 3:
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x . Khẳng định nào sau đây đúng? 0
A. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x  0 . 0  0
B. Hàm số đạt cực trị tại x thì f x đổi dấu qua x . 0 0
C. Nếu f  x  0 thì hàm số đạt cực trị tại x . 0  0
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x thì f  x  0 . 0  0 Lời giải:
Đáp án A sai, sửa lại là f  x  0 . 0 
Đáp án B sai vì f  x đổi dấu chứ không phải f x . Đáp án C sai vì hàm số 3
y x f 0  0 nhưng không đạt cực trị tại x  0 . Câu 4:
Hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là A. 4 . B. 1. C. 1  . D.  . Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  1 và giá trị cực tiểu là y  1. CT Câu 5:
Cho hàm số y f x liên trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là: A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải:
Ta có y đổi dấu khi x qua x , x , x nên hàm số có ba điểm cực trị. 1 2 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 3 x 2 Câu 6: Cho hàm số 2 y
 2x  3x  . Điểm cực đại của hàm số đã cho là 3 3  2 
A. M 1; 2 . B. N 3;   . C. x  3 D. x  1 .  3  Lời giải: Ta có: 2
y  x  4x  3 và y  2x  4 . x 1 y  0   . x  3 Ta có: y  1  2
  0 ; y3  2  0 .
x  1 là điểm cực đại của hàm số. Câu 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có duy nhất một điểm cực trị? x  1 A. y  . B. 2
y x x  1 . C. 4
y x  7x  2 . D. 3 y x . x  2 Lời giải: x  1
Ta có , hàm số y  và 3
y x không có cực trị, hàm 4
y x  7x  2 có ba điểm cực trị. Hàm x  2 số 2
y x x  1 có duy nhất một điểm cực tiểu. Câu 8: Cho hàm số 4 2
y x  8x có đồ thị C  . Gọi ,
A B, C là ba điểm cực trị của C  . Tính diện tích
S của tam giác ABC . A. S  16 . B. S  8 . C. S  32 . D. S  64 . Lời giải: Cách 1 : Hàm số 4 2
y x  8x có tập xác định: D  x  0 Ta có: 3 3
y '  4x 16x ; y '  0  4x 16x  0  4x  2
x  4  0   x  2 
Hàm số có 3 cực trị và tọa độ 3 điểm lần lượt là: A0;0; B  2  ; 1  6;C 2; 1  6 1 1 Ta có S
 . y . 2x  .16.4  32 . ABC 2 B B 2
Cách 2 : Áp dựng công thức tính nhanh : Cho hàm số 4 2
y ax bx c a  0 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thì ta có công thức tính nhanh: 3 2 5
32a .S b  0 . 2 5 Câu 9:
Số điểm cực trị của hàm số y   x   1  x  2 là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Lời giải: 5 2 4 4
Ta có y  2 x  
1  x  2  5 x  
1  x  2   x  
1  x  2 7x   1  x  2 
y  0  x  1    1 x    7 Bảng biến thiên:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . Lời giải:
Đồ thị hàm số y f x có dược bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x nằm
phía trên trục Ox hợp với phần đồ thị hàm số y f x nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua
Ox . Ta được đồ thị như sau:
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x có 5 điểm cực trị.
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 x O 2
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Bảng xét dấu: x  0 1 2  f x  0  0  0  2
Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x   2
x  4x  3 x  1, x 0; . Hỏi hàm số
y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: x  2 
Ta có: f  x  0  x  3.  x 1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x có 2 điểm cực trị.
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có 3 điểm cực trị? 2x  2 A. 3 y x  3 . x B. y  . C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y x  2x 1. x 1 Lời giải: + Xét hàm số 4 2
y x  2x 1 có ab  2  0. Câu 14: Gọi ,
A B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x  4 . Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng A. 2 1. B. 2 1. C. 2 . D. 1. Lời giải: Ta có: 4 2
y x  2x  4 3
y  4x  4x  4xx   1  x   1
x  0  y  4 
Nên y  0  x  1  y  3 
Vậy tọa độ các điểm cực trị: A0;4 , B 1;3 , C 1;3 x  1   y  3  2  2  2
Ta có: AB AC  2 ; BC  2 p  1 2 2
Diện tích tam giác: S
p p BC  p AC  p AC
 1 2.1 2  21 2  21 2  2  1 2 2   1  1 S 1
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r    2 1. p 1 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 15:
Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng K x K . Mệnh đề nào sau đây 0 đúng?
A. Nếu x là điểm cực đại của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
B. Nếu f  x  0 thì x là điểm cực trị của hàm số y f x . 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
C. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
D. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y f x thì f  x  0 . 0
Câu 16: Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu hàm số y f x có giá trị cực đại là M và giá trị cực tiểu là m thì M m . (II). Đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c a  0 luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.
(III). Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành. Số khẳng định đúng là: A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải:
Nhận xét (I) chỉ đúng với hàm bậc 3 và hàm bậc 4 trong chương trình học phổ thông.
Nhận xét (II) đúng vì hàm bậc 4 trùng phương có 1 hoặc 3 cực trị.
Nhận xét (III) sai vì có thể tiếp tuyến tại điểm cực trị có thể trùng với trục hoành.
Câu 17: Cho hàm f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên . Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0   0 0
B. Nếu f ' x  0, f " x  0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0   0  0
C. Hàm số f x đạt cực trị tại x khi và chỉ khi x là nghiệm của đạo hàm. 0 0
D. Nếu f ' x đổi dấu khi x qua x f ' x liên tục tại x thì hàm số f x đạt cực trị tại x 0 0 0 Lời giải:
+) Các đáp án A, B đúng vì đó là định lý về điều kiện đủ để có cực trị.
+) Đáp án C sai vì chưa thỏa mãn điều kiện đủ của định lý. Cần thêm điều kiện f  x đổi dấu tại x . 0
+) Đáp án D đúng vì đó là nội dung của cách phát biểu khác của định lý 1
Câu 18: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tìm giá trị cực đại y y của hàm số đã cho.
CĐ và giá trị cực tiểu CT A. y  5 y   . B. y  1 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT C. y  1 y  . D. y  5 y  . CĐ và 1 CT CĐ và 0 CT Lời giải:
Ta thấy vì đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x  1 và y   1  5
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang âm qua x  1 và y   1  0 . Vậy y  5 y  . CĐ và 0 CT
Câu 19: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau :
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Số điểm cực trị của hàm số là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp 1 và y  0 tại x  1 và không xác
định tại x  0 , đồng thời y đổi dấu khi đi qua các điểm x  1 và x  0 .
Do đó hàm số có hai điểm cực trị là x  1 và x  0 .
Câu 20: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó. A. 3 2
y x  5x x  6. B. 3 2
y x  6x  9x 1. C. 3 2
y x  6x  9x  6. D. 4 2
y x x  3. Lời giải:
Kiểm tra đồ thị hàm số có các điểm cực đại và điểm cực tiểu tương ứng là 1; 3 , 3; 1  .
Câu 21: Đồ thị hàm số 3
y  x  3x có điểm cực tiểu là A. M  1  ; 2   .
B. N 1;0 .
C. P 1; 2 .
D. Q 1;0 . Lời giải:
Ta có: f  x 2  3  x  3 .   f  xx 1 2  0  3
x  3  0   . x  1  Bảng biến thiên Vậy M  1  ; 2
  là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 22: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau:
Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Lời giải:
Từ bảng biến thiên và cách suy đồ thị hàm số y f x từ hàm số y f x ta được bảng
biến thiên của hàm số y f x như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy đồ thị hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Câu 23: Cho hàm số 4 2
y x  2x  3. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 . C. 1  . D. 1. Lời giải: Ta có: 4 2 3 2
y x  2x  3  y  4x  4x y  12x  4. x  0 
y  0  x  1 .  x  1   y 0  4   0; y   1  y  
1  8  0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  1; x  1 và giá trị cực
tiểu của hàm số là yy   1  y   1  2. CT
Câu 24: Cho đồ thị hàm y f x như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ dàng thấy số điểm cực trị của hàm số là 5.
Câu 25: Cho hàm số bậc năm y f x và đồ thị đạo hàm f x được cho như hình bên dưới: y 1 2 x O
Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải: Bảng xét dấu: x  0 1 2  f x  0  0  0 
Câu 26: Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2 1 2x  2 A. x y . B. y  . C. 2
y x  2x 1. D. 3
y  x x 1. x x 1 Lời giải: 2x  2 + Xét hàm số y  . x 1 4
Tập xác định D  \   1 , y      . x   0, x D 2 1
Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. 2x  2 Do đó hàm số y  không có cực trị. x 1 Câu 27: Cho hàm số 4 2
y x  2x 1 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C  có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác, gọi là ABC. Tính diện tích ABC. 1 A. S  2 . B. S  1 . C. S  . D. S  4 . 2 Lời giải: x  0 Ta có 3
y  4x  4 ; x y  0   x  1 
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0; 
1 , B 1;0 , C 1; 0 A . B AC  0 AB   1  ; 
1 ; AC  1;   1   .
AB AC  2 1
Suy ra ABC vuông cân tại A do đó S A . B AC  1. 2 Câu 28: Cho hàm số 2 y
x x  20 . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên  ;   4 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x  5 .
C. Hàm số đồng biến trên 5;   .
D. Hàm số không có cực trị. Lời giải:
Tập xác định D   ;
  45;  . 2x 1 Ta có: y  . 2 2 x x  20 Do y  0 x
  5 và y  0 x
  4 nên hàm số nghịch biến trên  ;
  4 , đồng biến trên
5;   và không có cực trị. 2019 2021
Câu 29: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm 2017
f '(x)  xx   1
x  2 , x . Tổng bình
phương các điểm cực trị của hàm số là A. 5 . B. 1. C. 4 . D. 12229091. Lời giải: x  0 
Ta có: f ' x  0  x  1  . x  2  Bảng biến thiên:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Dựa vào bảng biến thiên, ta được tổng bình phương các điểm cực trị của hàm số:  2 2 2 2  0 1  5.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. 3 y x  3 . x B. 4 y x  2. C. 4 2
y x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x . Lời giải: a  1   0 + Xét hàm số 4 2
y  x  2x có  . ab  2    0
Dạng 2: Bài toán tham số không liên quan đến hàm ẩn
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA 3 2
y ax bx cx d , a;b;c; d  ,a  0 Ta xét: 2
y  3ax  2bx c có 2
  b  3ac . a  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  Điều kiện  2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 2
b  3ac  0 y y y y O x O x O x O x Lưu ý:
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0
b  3ac  0  Ta có :     ac  0 3c . x .x  0   0 1 2  a
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm một phía Oy . Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số. 1 2 2    2 b 3ac 0 2
b  3ac  0 
b  3ac  0 Ta có :   3c   . x .x  0   0 ac  0 1 2  aa  0 a  0 a  0 a  0 Điều kiện  Điều kiện    c   0 c   0
Điều kiện c  0
Điều kiện c  0  2  b  3ac   0 2 b  3ac   0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y y y y (C) (C) O x x O 1 1 O x O x
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0
1) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có 3 điểm cực trị: ab  0
2) Điều kiện để hàm số 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 có duy nhất một điểm cực trị: ab  0
Lưu ý: Trong trường hợp a chứa tham số thì ta chia 2 trường hợp a  0 và a  0.
3) Một số dạng đồ thị 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 và điều kiện về cực trị: Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực
Hàm số có duy nhất 1
Hàm số có ba điểm cực trị
điểm cực trị (cực tiểu)
trị (2 điểm cực tiểu và
điểm cực trị (cực đại)
(1 điểm cực tiểu và 2 điểm y
1 điểm cực đại) y cực đại) y y O x O x O x O x a  0 a  0 a  0 Điều kiện: Điều kiện: Điều kiện: a  0 b   0 b   0 b   0 Điều kiện: b   0
4) Một số công thức giải nhanh cần lưu ý: 4 2
y ax bx c, a;b;c  ,a  0 Dữ kiện
Công thức thỏa ab  0
1). Tam giác ABC vuông cân tại A a  3 8 b  0
2). Tam giác ABC đều a  3 24 b  0
3). Tam giác ABC có góc BAC   3 2  8a b .tan  0 2
4). Tam giác ABC có diện tích S  3 2 5  S
32a (S )  b  0 ABC 0 0
5). Tam giác ABC có diện tích max(S ) 5 0   b S 0 3 32a
6). Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r  2  r b ABC 0 r  0  3  b 4 a 1  1      8a
7). Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m 2 am  2b  0 0 0
8). Tam giác ABC có độ dài AB AC n 2 2 16a n  4 b  8ab  0 0 0
9). Tam giác ABC có cực trị B,C Ox 2 b  4ac  0
10). Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a  3 (8 b )  0
11). Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b  6ac  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
12). Tam giác ABC có trực tâm O 3
b  8a  4ac  0
13). Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 3 b   8a R R   R ABC 0 8ab
14). Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi 2 b  2ac  0
15). Tam giác ABC O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4abc  0
16). Tam giác ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b  8a  8abc  0
17). Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC 3 2 b k  2 . 8 ( a k  4)  0
18). Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện 2 b  4 2 ac tích bằng nhau
19). Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b  8ac  0
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 31:
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2
y x  2x 1. D. 3
y x  3x 1. Lời giải:
Quan sát hình dạng đồ thị ta loại đáp án hàm số 4 2
y x  2x 1 do trên hình hàm số có hai
cực trị mà đáp án này hàm số có 3 cực trị.
Do nhánh bên phải của đồ thị đi lên nên loại đáp án 3
y  x  3x 1.
Mặt khác quan sát đồ thị có hai điểm cực trị là x  1 . x  0 Xét đáp án A có 2
y  3x  6x  0   nên loại đáp án này. x  2
Vậy hình trên là đồ thị hàm số 3
y x  3x 1. Câu 32: Cho hàm số 3 2
y x bx cx d (b, c, d  ) có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b  0, c  0, d  0 .
B. b  0, c  0, d  0 .
C. b  0, c  0, d  0 .
D. b  0, c  0, d  0 . Lời giải:
+ Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung (nằm phía trên trục hoành) ta kết luận
được d  0 . Loại đáp án C. + Ta có 2
y'  3x  2bx c . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung c nên x x
 0. Suy ra c  0. Loại đáp án B. 1 2 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2  b
+ Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực trị tại x , x x x
 0 (x  0  x , x x ) . 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Suy ra b  0 . Đáp án D.
Câu 33: Cho hàm số y  4 ax  2 bx c ,
a b,c   có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0 .
B. a  0,b  0, c  0.
C. a  0,b  0, c  0 . D. a  0,b  0, c  0. Lời giải:
Do nhánh tiến đến  của đồ thị đi xuống nên a  0
Do đồ thị cắt trục tung tạo điểm có tung độ nhỏ hơn 0 nên c  0
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên: ab  0  b  0 . Câu 34: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca;b;c  ,a  0 có bảng biến thiên dưới đây:
Tính P a  2b  3c.
A. P  3.
B. P  6 . C. P  2  .
D. P  2 . Lời giải:x  0 Ta có 3 
y  ax bx x 2 4 2 2
2ax b , y  0  . 2 bx    2a
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy a  0 ; b  0 , hàm đạt cực đại tại x  1và y 1    2 , hàm  b   1  2a     a 1 
đạt cực tiểu tại x  0 và y 0  1. Suy ra, a b c  2  b  2 . Do đó: P a  2b  3c  2 .   c  1  c  1  
Câu 35: Biết M (0; 2) , N (2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị
của hàm số tại x  3. A. y(3)  2 . B. y(3)  11. C. y(3)  0 . D. y(3)  3  Lời giải: Ta có: 2
y '  3ax  2bx c y(0)  2 d  2 a 1    y(2)  2  8
a  4b  2c d  2  b  3  Từ giả thiết ta có 3 2     
y x  3x  2  y(3)  2 y '(0)  0 c  0 c  0    y'(2)  0 1
 2a  4b c  0 d  2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 36: Đồ thị hàm số y f x 3 2
x  3x  2ax b có điểm cực tiểu là A2;2. Tính a b . A. 4. B. 2. C. 4. D. 2. Lời giải:
Ta có: f x 2 '
 3x  6x  2a
Đồ thị C  : y f x có điểm cực tiểu là A2; 2
AC
8 12  4a b  2  b   2          .  f    a b 2 2  0 1
 2  12  2a  0 a  0
Câu 37: Tập hợp các số thực m để hàm số 3 2
y x  3mx  m  2 x m đạt cực tiểu tại x  1 là A.   1 . B.   1  . C.  . D. . Lời giải: Ta có 2
y  3x  6mx m  2 và y  6x  6m . Hàm số 3 2
y x  3mx  m  2 x m đạt cực tiểu tại  y    1  0 3
  6m m  2  0 m 1 x  1      
 không có giá trị của m thỏa mãn yêu y    1  0 6  6m  0 m 1 cầu bài toán.
Câu 38: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y  m   4 x   2 m   2 1
2 x  2019 đạt cực tiểu tại x  1 . A. m  0 . B. m  2 . C. m  1. D. m  2 . Lời giải: TXĐ D .
Ta có y  m   3 x   2 4 1 2 m  2 x y 
m   2x   2 12 1 2 m  2
+ Điều kiện cần : để hàm số đạt cực tiểu tại x  1  f '    1  0  4  m   1  2   2 m  2  0      m   f "    1  0 12  m   1  2   2 2 m  2  0
+ Điều kiện đủ : Với m  2 hàm số trở thành 4 2
y x  2x  2019 x  1   Ta có: 3
y '  0  4x  4x  0  x  0  . x 1 
Như vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . 1
Câu 39: Tập hợp các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  m  2 x 1 có hai cực trị là 3 A.  ;    1  2;  B.  ;   
1  2;  C. 1; 2 D. 1; 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Lời giải: Ta có 2
y  x  2mx m  2 . Để hàm số có hai cực trị thì y  0 có hai nghiệm phân biệt nên m  1  2
y  0    0  m m  2  0  .  m  2
Câu 40: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m
trên miền 10;10 để hàm số 4 2
y x  2 2m  
1 x  7 có ba điểm cực trị? A. 20. B. 10. C. Vô số. D. 11. Lời giải: x  0 Ta có 2
y'  4x x  
2m1; y0   2 x  2m  1  *
Hàm số đã cho có ba cực trị  y  0 có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt 1
khác 0  2m 1  0  m   . Do m  10
 ;10 nên có 11 giá trị thỏa mãn. 2
Câu 41: Tất cả cả các giá trị của tham số m để 3 2
y x  3x mx  1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn 1 2 2 2
x x  6 là 1 2
A. m  3.
B. m  3.
C. m  1.
D. m  1. Lời giải: 2
y  3x  6x m . Hàm số đạt cực trị tại x , x .Vậy x , x là nghiệm của phương trình y'  0 1 2 1 2
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì         0 36 12m 0 m 3 * y  x x  2 1 2  Theo viet ta có  . m x .x   1 2  3 m m Ta có: 2 2 2
x x  (x x )  2 2x x  4  2  4 
 6  m  3 thỏa (*). 1 2 1 2 1 2 3 3
Câu 42: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2
y x  3mx  3m có hai điểm cực
trị là A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 24 (với O là gốc tọa độ ). A. m  2 . B. m  1. C. m  2 . D. m  1 . Lời giải: x  Xét 2
y  3x  6mx  3x x  2m ; y   x x m 0 0 3 2  0   . x  2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  m  0 .
Tọa độ hai điểm cực trị là A 2 m B  2 3 0;3 ,
2m;3m  4m  .
Phương trình đường thẳng OA : x  0 . 1 1 Ta có: SO . A d B OA m m  2
m m  8  m  2  . OAB  ;  2 3 . 2 24 2 2
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2
1 x 1 2m có một cực trị. m  0
A. m  1.
B. m  0.
C. 0  m  1. D. .  m 1 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Ta có: 3
y  4mx  2 m   1 x
TH 1: Xét m  0  y  2x . Ta thấy phương trình y  0 đổi dấu một lần nên hàm số có một
điểm cực trị. Suy ra m  0 (thoả YCBT) (1) TH 2: Xét 3
m  1  y  4x .Ta thấy phương trình y  0 đổi dấu một lần nên hàm số có một
điểm cực trị. Suy ra m  1 (thoả YCBT) (2) x  0 TH 3: Xét  
m  0 , y  0  1 m 2 x   2m 1 mm  0
Để hàm số có một điểm cực trị thì  0   (3) 2mm 1 m  0
Từ (1), (2) và (3) suy ra  m 1
Ghi chú: Dùng công thức tính nhanhm
Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi mm   0 1  0  .  m 1 Câu 44: Cho hàm số 4 2
y mx  (2m 1)x 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã
cho có đúng một điểm cực tiểu. 1 1
A. Không tồn tại m .
B. m  0.
C. m   . D.   m  0. 2 2 Lời giải:
Với m  0 , ta có 2
y x 1  y '  2x . Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu. Suy
ra m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) Với m  0 , ta có 3 2
y '  4mx  2(2m 1)x  2x(2mx  2m 1) m  0
Hàm số có một cực trị là cực tiểu   2
2mx  2m 1  0 vô nghiêm m  0 m  0     1  2  m 1   m   m  0 (2)   0  2   2m  m  0
Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi m  0.
Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y  2x  5x  4x  2  m có giá trị cực cực đại và
giá trị cực tiểu trái dấu là A. 13 . B. 11. C. 9 . D. 12 . Lời giải:  3 2
y  2x  5x  4x  2  m
x  2  y  10   m 2  
y  6x 10x  4  0  1 73  . x    y   m  3 27  
Giá trị cực cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu    m 73 73 10 .  m  0  1  0  m    .  27  27
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
m  . Vậy có 12 có giá trị nguyên thỏa mãn. 1
Câu 46: Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y
x x  m  
1 x  2 có hai điểm 3
cực trị nằm bên trái trục tung là A.  ;  1 . B. 1; 2. C.  ; 2. D. 1;   . Lời giải: Ta có: 2
y  x  2x m 1.
Đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên trái trục tung  y  0 có hai nghiệm âm phân biệt    0     y 1 m 1 0  
 S  0   2   0  1  m  2 .   P  0 m 1  0  
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có giá trị cực tiểu bằng 1
 . Tổng các phần tử thuộc S A. 2  . B. 0 . C. 1. D. 1  . Lời giải: Ta có: 3
y  4x  4mx .
TH 1: Phương trình y   x  2 0 4
x m  0 có 1 nghiệm thực, tức là hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có điểm cực tiểu là x  0 . Khi đó m  0 . Theo bài ra:
y 0  m 1  1   m  2
 (thỏa mãn đk m  0 ).
TH 2: Phương trình y   x  2 0 4
x m  0 có 3 nghiệm thực, tức là hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có điểm cực tiểu là x   m . Khi đó m  0 . Theo bài ra: y  m  m  2 2
 m m 1  1   
. So sánh với đk m  0 , giá trị thỏa mãn là m  2 . m  1  Vậy S   2  ; 
2 , tổng các phần tử thuộc S bằng 0 .
Câu 48: Biết m m
y x mx  có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai
0 thì đồ thị của hàm số 3 3 2
điểm cực trị đó bằng 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m  2  ; 1  . B. m  1  ;0 .
C. m  1; 2 .
D. m  0;1 . 0   0   0   0   Lời giải:
Tập xác định D  . Ta có 2
y  3x  3m . Để đồ thị của hàm số 3
y x  3mx  2 có hai điểm cực trị  y  0 có hai
nghiệm phân biệt    0  m  0 .
x m y  2m m  2
Khi đó : y  0  
x   m y  2m m  2
Giả sử hai điểm cực trị Am; 2m m  2, B m;2m m  2 2 2 Ta có 2
AB  2  AB  4   2 
m   4m m   4 3 3
 4m 16m  4  4m m 1  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia      m 2m   1  2 1 0 1 2 2m m   1  0    m TM . 2
2m m 1  0  VN   2
Câu 49: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx 1 có ba điểm cực trị A0; 
1 , B , C thỏa mãn BC  4. A. m  2 . B. m  4 . C. m  2 . D. m  4 . Lời giải:
Tập xác định D  . Ta có: 3
y  x mx x  2 4 4 4 x m .
Hàm số có 3 cực trị  ab  0  m  0 . x  0  y 0 1
Lúc đó: y  0   .
x   m y   m 2  1 m Suy ra A0;  1 , B  2
m;1 m  , C  2
m;1 m  .
Lúc đó: BC  4  4m  4  m  4 (thỏa mãn)
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải: x  0 Ta có: 3
y '  4x  4mx  0  x  2 4
x m  0   2 x m
Theo yêu cầu bài toán ta có: m  0
Ta có A0; m   1 ; B  2
m; m m   1 ; C  2
m;m m   1
Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Ta có H  2
0;  m m   1 2 1 A . B AC.BCAH   m SAH.BC  2
AB  2AH.R trong đó  ABC 2 4R 4
AB m m Suy ra 4 2
m m  2m m  3
m m     mm   2 2 1 0
1 m m   1  0 m  0 m 1       1   5  1 5  m
. Đối chiếu điều kiện ta được S  1;   .  2  2    1   5 m   2 Câu 51: Cho hàm số 3 2
y x mx   2 m   3 3 3
1 x m m , với m là tham số. Gọi ,
A B là hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số và I 2; 2
  . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho ba điểm I , ,
A B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 . Tính tổng các phần tử của S . 20 15 3 4 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Ta có 2 2
y  3x  6mx  3m  3 .
Vì   1  0 nên hàm số luôn có hai cực trị với mọi m . Gọi Am 1; 4
m  2; Bm 1; 4
m  2 suy ra AB  2 5 nên AB là đường kình đường tròn
ngoại tiếp tam giác IAB .
Ta có IA  m 1; 4
m; IB  m 3; 4  m  4 m  1 Vì 
IA IB I .
A IB  0  m  1m  3  4m 4  m  4 2
 0  17m  20m  3  0  3  m   17 20
Tổng các phần tử của S là . 17 1 Câu 52: Cho hàm số 3 2 y
x  (m  2)x  9x 1 , với m là tham số. Gọi x , x là các điểm cực trị của 3 1 2
hàm số đã cho thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9x  25x bằng 1 2 A. 15 . B. 90 . C. 450 . D. 45 . Lời giải: Ta có: 2
y  x  2m  2 x  9 ; 2
y  0  x  2m  2 x  9  0 .
Do   m  2 2  9  0, m
 nên hàm số có hai cực trị.
x x  2 m  2 1 2   Theo định lý Vi-et:  . x .x  9   1 2 Khi đó 1 x , 2 x trái dấu.  9  225 225 + Nếu           1 x  0 thì 9x 25x 9x 25. 9x 2. 9x . 90 1 2 1 1 1 x x x  1  1 1 225
Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 2 9x
x  25  x  5 . 1 1 1 x1 + Nếu   1 x  0 thì 1 x 0 , khi đó  9  225 225
9x  25x  9x  25.    9 x   2. 9 x .  90 1 2 1  1  1 xxx  1  1  1 225
Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 2 9x
x  25  x  5  . 1 1 1 x1
Vậy GTNN 9x  25x là 90 . Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi x  5 . 1 2 1 Câu 53: Cho hàm số 4 y x   2  m  2 2 1
x m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất. A. 1 m  . B. 1 m   . C. m  0 . D. m  1. 2 2 Lời giải:
Tập xác định: D  . x  0 Ta có: 3 y  x   2  m  2 x x x     2 4 4 1 4
1  m  ; y  0   . 2 2 x  1   m
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Hàm số có ba điểm cực trị khi 2 1  m  0  1   m  1 .
Khi đó ba điểm cực trị là A0; m  1 ; B 2 4 2
 1 m ;m  2m m; C 2 4 2
1  m ; m  2m m.
Gọi H là trung điểm của BC H  4 2
0; m  2m m . 2
Khi đó: AH    2 0;
1  m  ; BC   2 2 1  m ;0 . 2 2 1 1
Vì ABC cân tại A nên S  .AH.BC   mm   mm . ABC  2 1  2 .2 1  2 1  2 . 1 2 2 Mà 2 2 m  0; m
  1  m  1  S  1 .
Dấu “=” xảy ra khi m  0 (thỏa mãn). mx
Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y x
có hai điểm cực trị và các cực trị 2 x 1
này đều thuộc hình tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng 30 ? A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. Lời giải: m m Ta có: y  1  y  0  1 
 0  m  x  13 2  3 x  13 2  2x 1  2 3 2  2 3 2       2 3 x 1 m x m 1
x  1  m     .   m  0 m  0
Để đồ thị có hai cực trị thì phương trình 2 3 2 x
m 1 có 2 nghiệm phân biệt 3 2  m 1 0    m  1.  m  0
Vì 2 cực trị nằm trên đường tròn tâm O bán kính 30 nên 2 2 x y  30.   Suy ra 2 2 x y    2 m      2  m 2 3 3 3 2 30 1 1 1
 30  m  4  8   m  8   
So điều kiện suy ra m  8  ; 7  ;...; 
2 . Vậy có 7 giá trị m cần tìm BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 55:
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y x 0 A. 4 2
y x  3x 1. B. 4 2
y  x  3x 1. C. 3 2
y  x  3x 1. D. 3 2
y x  3x 1. Lời giải:
Quan sát đồ thị ta có, đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx c a  0
nên loại phương án C,D.
Dựa vào dạng đồ thị nên có hệ số a  0 , suy ra chọn đáp án B.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Câu 56: Cho hàm số 4 2
y ax bx ca  0 có đồ thị như hình vẽ bên. y
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0. O x
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0. Lời giải:
+ Do lim y    a  0 và C  Oy  0;c  c  0. Mặt khác hàm số có duy nhất một cực trị x nên suy ra .
a b  0 , do a  0  b  0. Câu 57: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d, a, , b c, d
 có đồ thị như hình bên dưới:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
a  0,b  0, c  0, d  0 .
B. a  0,b  0, c  0, d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0, c  0, d  0 . Lời giải:
Do nhánh tiến đến  của đồ thị đi lên nên a  0
Do đồ thị cắt trục tung tạo điểm có tung độ lớn hơn 0 nên d  0 2
y  3ax  2bx c  2b      1 x 2 x 0  b   0 3a
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị   1 x , 2 x thỏa:  . c  c  0   1 x . 2 x 0  3a
Câu 58: Biết a,b, c là các số thực tùy ý, a  0 và hàm số 3 2
y ax bx cx nhận x  1 là một điểm cực
trị. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3a  2b c  0 .
B. a c b .
C. 3a c  2b .
D. 2a b  0 . Lời giải: Xét hàm số 3 2
y ax bx cx (a  0) . Ta có 2
y '  3ax  2bx c  0 . Vì x  1 là một điểm cực trị nên y có 1 nghiệm là x  1 . Suy ra 2 3a( 1  )  2b( 1
 )  c  0  3a  2b c  0  3a c  2b .
Câu 59: Ta xác định được các số a,b, c để đồ thị hàm số 3 2
y x ax bx c đi qua điểm 0;  1 và có
điểm cực trị 2;0 . Tính giá trị của biểu thức T  4a b c . A. 20 . B. 23 . C. 24 . D. 22 . Lời giải: Ta có: 3 2
y x ax bx c ; 2
y  3x  2ax b .
Đồ thị hàm số qua điểm 0;  1 nên c  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2
a  3b  0 2     a 3b 0   17 a
Đồ thị hàm số có điểm cực trị 2;0   y  2    0   8
  4a  2b c  0   4 .     y   2    0
12  4a b  0  b 5 17
Do đó: T  4a b c  4.  5 1  23. 4
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m đạt cực tiểu tại x  0. A. m  1. B. m  1. C. m  . D. m  1. Lời giải: x  0 Ta có: / 3
y  4x  2m  1 x , / y  0   ; 3
y  12x  2m  1. 2 2x  1   my0   0 Yêu cầu bài toán  
  (Do tính chất hàm trùng phương) y    m 1. 0   0
Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 đạt cực tiểu tại x  2 . A. m  0 . B. m  4 .
C. 0  m  4 .
D. 0  m  4 . Lời giải: Ta có: 2
y  3x  6x m ; y  6x  6 . y2  0 m  0
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2   .       m y 2 0  0 6  0
Câu 62: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị là A. m  2 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  2 . Lời giải: Ta có 2
y  3x  6x m 1 Để hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị thì y  0 có hai nghiệm phân biệt
   0  9  3.m   1  0  m  2 .
Vậy với m  2 thì hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  2 có hai điểm cực trị. Câu 63: Cho hàm số 3
y x  m   2 3
1 x  37m  3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m
để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải: Ta có: 2
y  3x  6m  1 x  37m  3 ; 2
y  0  x  2m  1 x  7m  3  0 . 2
Để hàm số không có cực trị thì   0  m  1  7m  3  0 2
m  5m  4  0
 1  m  4 . Do m  S  1;2;3; 
4 . Vậy S có 4 phần tử. 1
Câu 64: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y
x mx  (m  2)x có cực trị và các điểm cực đại, 3
điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
A. m  2 .
B. m  2 .
C. 0  m  2 .
D. m  2 . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Ta có 2
y  x  2mx  (m  2) .
Hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu dương khi và chỉ khi phương trình y  0 2   0
m m  2  0  
có hai nghiệm phân biệt dương  x x  0  2m  0  m  2 . 1 2   x .x  0 m  2  0   1 2
Câu 65: Biết m là giá trị của tham số để hàm số 3 2
y x  3x mx 1 có hai điểm cực trị x , x sao cho 0 1 2 2 2
x x x x  13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. m  1  ;7 . B. m  7  ; 1  .
C. m  15; 7 . D. m  7;10 . 0   0   0   0   Lời giải: 3 2 2
y x  3x mx 1; y  3x  6x m . Hàm số có hai cực trị   '  9  3m  0  m  3
x , x là hai nghiệm của phương trình 2
3x  6x m  0 . 1 2
S x x  2 1 2 
Áp dụng định lí Viét, ta có:  m P x x   1 2  3 2 Ta có: 2 2
x x x x  13  x x
 3x x 13  4  m 13  m  9   1  5; 7  1 2 1 2  1 2  1 2  
Câu 66: Để đồ thị hàm số 4
y  x  m   2
3 x m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì
tất cả các giá trị thực của tham số m A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 . Lời giải: x  0 3 y  4
x  2m 3 x ; 
y  0   x  2 2
2x m  3  0  m  3 . 2 x   2 Hàm số 4
y  x  m   2
3 x m 1 là hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số a  1  0 nên
đồ thị hàm số có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu khi và chỉ khi đồ thị hàm số có m  3
đúng một điểm cực trị   0  m  3. 2 Câu 67: Cho hàm số 4
y mx   m   2 2
1 x 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có một điểm cực đại. 1 1 1 1 A.   m  0 . B. m   . C. m   . D.   m  0 . 2 2 2 2 Lời giải:
Có 3 trường hợp sau thỏa mãn yêu cầu:
TH1: Hàm số là đa thức bậc 2 có hệ số của 2
x âm (đồ thị là parabol hướng bề lõm xuống dưới) m  0    .      m   m 0 2 1  0
TH2: Hàm số là đa thức bậc 4 có đồ thị dạng
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia a  0 m  0 1        m  0 .  . a b  0 2m 1 0 2
TH3: Hàm số là đa thức bậc 4 có đồ thị dạng a  0 m  0      m  0 . ab  0 2m 1  0  1  1 Vậy, m   0   ; 0  0;      m   .  2  2
Câu 68: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4
y mx  m   2 2
3 x m không có điểm cực đại là A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 0 . Lời giải:
 Tập xác định: D  .
 Với m  0 hàm số trở thành 2
y  3x . Khi đó hàm số có một điểm cực tiểu, không có điểm
cực đại. Vậy m  0 thỏa mãn.
 Với m  0 ta có: 3
y  mx  m   2 4 2
3 x  2x 2mx  m  3   ; x  0   y  0  m  3 . 2 x   2mm  0 
Hàm số không có điểm cực đại khi: m  3  0  m  3 m   m  1;2;3  . Vì  . 0  2m
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 69: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m  4 có ba điểm
cực trị cách đều trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 2. B. 6. C. 0. D. 4. Lời giải:
Tập xác định: D  . x  0 Ta có 3
y'  4x  4mx; y'  0   . 2 x   m Đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m  4 có ba điểm cực trị  phương trình y'  0 có ba nghiệm
phân biệt  m  0 .
Ta có Am   B 2
m m m   C 2 0; 4 , ; 4 ,
m;m m  4 là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
A, B,C cách đều trục hoành 2
y y y m  4  m m  4 A B C
m  0 L 2
m  4  m m  4      m  2
L m  4 . 2  
m  4  m m  4  m  4  TM
Vậy m  4 . Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là 4. Câu 70: Cho hàm số 4
y mx   2 m   2
6 x  4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực
trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Lời giải:
Tập xác định D  . Ta có 3
y  mx   2 4
2 m  6 x .
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại 4m  0            m   0 m 6 m m 1; m 2. 2 m  6  0
Câu 71: Gọi S tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2m x  1 có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của S bằng A. 2. B. 4. C. 8. D. 6. Lời giải: x  0 Ta có: 3 2
y  4x  4m x ; y  0   . x    m
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m 0 .
+) Với x  0  y  1  A0;1O . y +) Với 4
x  m y  m   B 4
m m   C 4 1 ; 1 , ;
m m  1 .
Để ý: ABC luôn cân ở . A
Để 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân  . AB AC  0 6
 8m  8  0  m  1 .
Vậy tổng bình phương các phần tử của S bằng 2.
Câu 72: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2mx  3m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác nhận G 0;7  . 3 A. m  1. B. m   . C. m  1. D. m   3. 7 Lời giải: x  0 Ta có: 3
y  4x  4m ; x y  0   x     m m  . , 0
Khi đó ba điểm cực trị là A 2 m B 2
 m m C 2 0; 3 , ,2 , m ,2m . 2 7m
Tam giác ABC nhận điểm G 0;7 làm trọng tâm thì 2
 7  m  3  m   3. 3
Câu 73: Gọi m , m là các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x m 1 có hai điểm cực 1 2
trị là B , C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2 ,với O là gốc tọa độ. Tính m .m . 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia A. 6 . B. 15 . C. 12 . D. 20 . Lời giải:
x  0; y m 1 Ta có: 2
y  6x  6x ; y  0   .
x 1; y m  2 Bảng biến thiên:
Vậy B 0; m  
1 , C 1; m  2 ; BC  1;   1  BC  2 .  m
Ta có BC : x y m 1  0 ; d O BC  1 ;  . 2 1  m   m  m   Sd O BC BC     m    . OBC  ;  1 1 1 4 3 . . . 2 2 1 4   2 2 2 1   m  4  m  5
Vậy m .m  15  . 1 2 1 1
Câu 74: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y x
mx x  2 có giá trị 3 2
tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền
7 . Số phần tử của S A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải: Ta có: 2
y '  x mx 1; 2
y '  0  x mx 1  0 .
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  phương trình có hai nghiệm phân biệt 2
  '  m  4  0.
Khi đó, gọi các nghiệm của là x , x thì x , x chính là hoành độ hai điểm cực trị. Theo Viet ta 1 2 1 2
x x  ; m x .x  1. 1 2 1 2
Theo bài ra ta có: x x  7   x x 2 2 2 2 2
 2x x  7  m  2  7  m  9  m  3  ). 1 2 1 2 1 2
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 75: Cho biết đồ thị hàm số 4 2 2 4
y x  2mx  2m m có 3 điểm cực trị ,
A B,C cùng với điểm D 0; 3
  là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi S là tổng các giá trị m thỏa mãn đề bài thì S thuộc khoảng nào sau đây?  9   5   5  A. S 2;4 . B. S ;6   . C. S 1;   . D. S 0;   .  2   2   2  Lời giải:
Hàm số có 3 điểm cực trị  ab  0  2m  0  m  0 (2) 4 2
x  0  y m  2m
Với m  0 , ta có: 3
y'  4x  4mx ; 4 2
y'  0  x m y m  3m .  4 2
x   m y m   3m
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là A 4 2
m m B 4 2
m m m   4 2 0; 2 ; ; 3
; C  m; m  3m  .
Vì tứ giác ABDC có hai đường chéo vuông góc, do đó ABDC là hình thoi  hai đường chéo
của tứ giác ABDC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 4 2 4 2
y y y y m  2m  3  2m  6m A D B Cm  1  4 2
m  4m  3  0   . m   3 m  1
Kết hợp với điều kiện (2) suy ra 
S  1  3 2; 4. m  3
Dạng 3: Bài toán cực trị liên quan đến hàm ẩn
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 76:
Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải:
Hàm số y f x đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại điểm x  2.
Câu 77: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  2x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải:
Hàm số y   f
 x  2x  f  
x 2  0  fx  2 có hai nghiệm (đơn) phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 78: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  x đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  4.
D. x  2. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 3  x  1 x  2  
Hàm số gx   f 3  x  0  3  x  2  x  1 .   3  x  1  x  4   Bảng xét dấu: x  1 2 4  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  2. 3
Câu 79: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x  x   2 ' (
1) x  1x  3 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số y f x  là A. 2. B. 5. C. 3. D. 1. Lời giải: x  1  
Ta có : f ' x  0  (x 1)  x   1  x  33 2  0  x 1  x  3 
Căn cứ BBT ta thấy số điểm cực trị dương của hàm số y f (x)  
là 2 ( x 1; x 3 ) nên số điểm
cực trị của hàm số y f x  là 5.
Câu 80: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 2x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  1.
B. x  1.
C. x  .
D. x  2. 2 Lời giải: x  1 2x  1  1   3
Hàm số gx  2 f 2x  1  0  2x  1  2  x  .   2 2x  1  1   x  0  Bảng xét dấu: x  0 1 3  2 gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 81: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  1x  2x  1 , x   . Hỏi hàm số
g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2. 2 Lời giải: x  1 3  2x  1   1
Hàm số gx  2
f 3  2x  0  3  2x  2  x  .   2 3  2x  1   x  2  Bảng xét dấu: x  1 1 2  2 gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1.
Câu 82: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 2x  3
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1
A. x  .
B. x  1.
C. x  2.
D. x  2. 2 Lời giải:  3  x   2x  3  0  2 
Hàm số gx  2 f 2x  3  0  2x  3  1  x  2 .  2x  3  2   1  x   2  Bảng xét dấu: x  1 3 2  2 2 gx  0  0  0  g x 1
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  . 2
Nhận xét: Do f x không đạt cực trị tại x  0 nên ta không cần xét nghiệm u  0 đối với hàm số
f u khi tìm số điểm cực trị của hàm số f u.
Câu 83: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 2
x x  
1 x  2 , x
  . Hỏi hàm số gx  f 5  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 7 5
A. x  1.
B. x  .
C. x  2.
D. x  . 2 2 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia  5  x   5  2x  0  2 
Hàm số gx  2
f 5  2x  0  5  2x  1  x  2 .  5  2x  2   7  x   2  Bảng xét dấu: x  2 5 7  2 2 gx  0  0  0  g x 7
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  . 2
Câu 84: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 2x  1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  2.
B. x  1.
C. x  3.
D. x  5. Lời giải: 2x  1  1 x  1  
Hàm số gx  2 f 2x  1  0  2x  1  3  x  2.   2x  1  5 x  3   Bảng xét dấu: x  1 2 3  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực tiểu tại điểm x  2.
Câu 85: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 1 1 3
A. x   .
B. x  2.
C. x  .
D. x  . 2 2 2 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia  3 x   2 3  2x  0    1
Hàm số gx  2
f 3  2x  0   3  2x  2  x  .  2 3  2x  4    1 x     2 Bảng xét dấu: x  1  1 3  2 2 2 gx  0  0  0  g x 3
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  . 2
Câu 86: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  2 x  2x là A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Lời giải: x  1  2x  2  0   x  1  béi 2 
Hàm số gx  2x  2 f  2 x  2x 2  
 0  x  2x  1    .  x  1  2 x  2x  3   x  3  Bảng xét dấu: x  3  1  1  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x có ba điểm cực trị.
Câu 87: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1 2
Số điểm cực trị của hàm số g x   f
 x  2 f  x là A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
f x  0
Hàm số gx  2 f x. f x  2 f x  2 f x f x     1  0    f  x  1  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
+) Với f x  1  0  f x  1 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c  1.
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị.
Câu 88: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 11. B. 10. C. 9. D. 8. Lời giải:
f x  0
Hàm số gx  f  f x. f x  0    f
  f x  0 x  1  
+) Với f x  0  x  1 NghiÖm ®¬n . x   2  NghiÖm ®¬n
+) Với f  f x  0
f x  1 cã bèn nghiÖm ®¬n a,b,c,dph©n biÖt kh¸c 1;2 
  f x  1
 cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c 1;2;a,b,c,dvµ mét nghiÖm béi hai: x  1 . 
f x 2 cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c c¸c nghiÖm trªn vµ mét nghiÖm béi hai: x  2 
Vậy hàm số g x có 11 điểm cực trị.
Câu 89: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 1 1 -1 O x -1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Hàm số g x  f x 2
x x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  2. Lời giải: x  1   
Hàm số gx   f  x 2
x x  1  f  
x 2x 1  0  fx  2x 1 x  0 .  x  1  y 3 1 1 -1 O x -1 Bảng xét dấu: x  1  0 1  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  0. 2019 2020 3
Câu 90: Cho hàm số f x có đạo hàm f x  x    2 2 x x  2
x  3 , x
  . Số điểm cực trị
của hàm số f x  là A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải: x  2 2020 2019 3 
+) Ta có: f  x  0   x  2
 2x x  2 x 3  0  x  1  . x  3   +) Bảng biến thiên:
Hàm số f x có 1 điểm cực trị dương x  2 nên hàm số y f x  có 2.1  1  3 điểm cực trị.
Câu 91: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Số điểm cực trị của hàm số y f x  2 . A. 2. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số y f x  2  bằng số điểm cực trị hàm số y f x .
Hàm số f x có 1 điểm cực trị dương nên hàm số y f x  có 2.1  1  3 điểm cực trị.
Câu 92: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 bằng m n .
+) m là số điểm cực trị của hàm số y f x  2  m  2 .
+) n là số nghiệm bội lẻ của phương trình f x  2  n  3 .
Suy ra, số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2 bằng 5 .
Câu 93: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  1  f x 0 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số hx  f x  m
có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 18. D. 20. Lời giải:
Đặt gx  f x  . m
+) Số điểm cực trị của hàm số g x là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số f x ).
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
+) hx  gx có đúng 3 điểm cực trị  g x  0  f x  m có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của f x )
m 1 m ,m  10;10  m   1  0; 9  ;...; 1  ;0;1;2;..1  0 . m  0
Câu 94: Cho hàm số f x liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x   2019 là A. 5 . B. 9 . C. 3 . D. 7 . Lời giải: x  
Xét h x  f x  2019 có h x  f  x ; h x   f  x 1 0  0   x  4
Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số y h x với trục hoành: x a  1  
f x  2019  0  f x  2019  x b 0  b  4 
x c  4
Vậy hàm số y h x có 3 điểm cực trị dương.
Vậy số điểm cực trị của hàm số g x  h x  là 2.3 1  7 .
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3
x  3x m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 2. C. 5. D. 3. Lời giải: x 1
Đặt gx  3
x  3x; g x      2 3x  3  0   x  .  1 BBT: x  1 1  gx  0  0  2  g x 2 
Xét hàm số y g x  m .
+) Số điểm cực trị của hàm số g x  m là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số g x ).
+) y g x  m có đúng 5 điểm cực trị  g x  m  0  g x  m có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của g x ) 2 2 m m        m 1  ;0;1 ; .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 96: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  1 3  f x  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  là A. 6. B. 5. C. 7. D. 8. Lời giải: 3
Xét hàm số hx  f  3 x  2
x   hx   gx  f x  2 3 3x .  2
3x  6x  0  x  0; x  2 
Ta có: hx   2
3x  6xf  3 x  2 3x   0   3 x  2 3x  1 C§ x  3,1.  3 x  2 3x  3 CT  x   3,3
Vậy hx có 3 điểm cực trị dương nên hx   gx có 2.3  1  7 điểm cực trị.
Câu 97: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x   2 9
x 16 , x  . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f  3
x  7x m có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 16 . B. 9 . C. 4 . D. 8 . Lời giải: x  4  
Cách 1: Ta có: f  x   x  9 2
x 16  0  x  4 .  x  9  3 Để ý rằng, do 3
x ; 7x cùng dấu nên 3
x  7x x  7 x . 3
Lúc đó: g x  f  3
x  7x m  f x  7 x m.
Xét hàm số h x  f  3
x  7x m  g x  hx .
Ta có: h x   2
x   f  3
x x mh x   f  3 3 7 7 ; 0
x  7x m  0 3 3
x  7x m  4 
x  7x  4  m   3 3
x  7x m  4  x  7x  4  m ;  
9 m  4 m  4 m.  3  3
x  7x m  9
x  7x  9  m  
BBT hàm t x 3  x  7x : x  0  t x   t x 0 
Hàm số g x có ít nhất ba điểm cực trị  h x có ít nhất một điểm cực trị dương * 9 0 9 m m m       
m1;2;3;4;5;6;7;  8 . Mở rộng:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
d) Hàm số g x đúng ba điểm cực trị h xđúng một điểm cực trị dương 9   m  0  
 4  m  9 m  m4;5;6;7;  8 . 4  m  0
b) Hàm số g x có ít nhất năm điểm cực trị  h x có ít nhất hai điểm cực trị dương * 4 0 4 m m m        m1;2;  3 .
c) Hàm số g x đúng năm điểm cực trị h xđúng hai điểm cực trị dương 4  m  0    4
  m  4 m  m 4  ; 3  ; 2  ; 1  ;0;1;2;  3 .  4   m  0
d) Hàm số g x có ít nhất bảy điểm cực trị  h x có ít nhất ba điểm cực trị dương
 4  m  0  m  4.
Cách 2: Ta có BBT của hàm y hx 3
x  7x như sau: 
Ta có g x 3
x x f  3 7 .
x  7x m . Rõ ràng x  0 là điểm cực trị của hàm y hx . 3 3
x  7x m  9
x  7x  9  m   Ta có: f  3
x  5x m 3 3
 0   x  7x m  4   x  7x  4  m .   3 3
x  7x m  4
x  7x  4  m  
Để hàm số g x có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình g x  0 có ít nhất 2 nghiệm
phân biệt khác 0 và g x đổi dấu khi đi qua ít nhất 2 trong số các nghiệm đó.
Từ BBT ta có 9  m  0  m  9  m 1;2;3;4;5;6,7,  8 .
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 98: Cho hàm số 3 2
f (x)  x  6x  (3m  6)x , với m là tham số thực, có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số g(x)  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 Lời giải:
Hàm số g(x)  f x  là hàm chẵn, nên hàm số g(x)  f x  có 5 điểm cực trị  y f (x) có
2 điểm cực trị dương  f  x  0 có 2 nghiệm dương phân biệt Ta có: 2 2
f '(x)  0  3x 12x  3m  6  0  x  4x  2  m Xét hàm số 2
h(x)  x  4x  2; h '(x)  2  x  4
Xét phương trình: h '(x)  0  2
x  4  0  x  2
Ta có bảng biến thiên của hàm số h(x)
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Để phương trình: h(x)  m có 2 nghiệm dương phân biệt ta có: 2  m  6
Vậy có 3 giá trị nguyên của m .
Câu 99: Cho hàm số y f x có đồ thị của y 8f 3  2x như hình vẽ sau: y 6 4 2 x 15 10 5 -2 O 1 2 5 10 15 2 4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20  21;20  21 để hàm số
g x  f  3
x  2021x m có ít nhất 5 điểm cực trị? 6 A. 2019. B. 2020. C. 2021. D. 2022. 8 Lời giải: x  7 3  xt  2  
Đặt x  3  2t ta có t
f  x  f 3  2t   0   x 1 .   2 t 1 x  1  
g x  f  3
x  2021x m là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của g x bằng 2 lần số cực
trị dương của f  3
x  2021x m cộng với 1.
Với x  0, ta có g x  f  3
x  2021x m; g x   2 x   f  3 3 2021
x  2021x m. 3
x  2021x m  7 3
x  2021x  7  m (1)  
Ta có: g x 3
 0  x  2021x m 1  3
x  2021x 1 m (2).   3 
x  2021x m  1   3
x  2021x  1   m (3) 
Hàm số g x có ít nhất 5 điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất 2 trong 3 phương trình (1),
(2), (3) có nghiệm dương.
Xét hàm số h x 3
x  2021x hx 2  3x  2021.
Ta có BBT của h x như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vì 7  m  1 m  1 m nên ta có 1 m  0  m  1. Mà m  2021  ;  2021  nên m  20  21;...;  0 .
Vậy có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 100: Cho hàm đa thức bậc ba y f x như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f f x  m có đúng 6 điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải: Giả sử    3 2 y
f x ax bx cx d .
Vì đồ thị của hàm số y f x đi qua các điểm có toạ độ là 0 
;1 , 1;3,2;5,3  ;1 d  1 a  1  
a b c d  3 b   3      f x 3 2
 x  3x 1
8a  4b  2c d  5 c  0  
27a 9b 3c d 1 d 1    f xx 0 2  3
x  6x  0   . x  2
f x  0
Xét hàm số y f f x  m  y  f  x. f  f x  m    0    f
  f x  m  0 x  0 x  0   x  2 x  2      .
f x  m  0
f x  m    f
  x  m  2  f
  x  m  2 m 1  m  2  1 1  m  1
Hàm số y f f x  m có đúng 6 điểm cực trị     . m  2  5 5  m  3  m  5 Mà m   m 4  ; 3;1;  0 .
Vậy có 4 giá trị m nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 101: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f  2
x  4x m có 3
điểm cực trị. Số phần tử của S A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Lời giải:
Ta có: y'   x   f '  2 2 4
x  4x m. x  2 x  2 x  2   y'  0   *  
x x m    x x  m   
f ' x  4x m 2 2 4 1 4 1 2  0 2 2  
x  4x m  3
x  4x  m  3  
Hàm số y f  2
x  4x m có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình * có đúng 3 nghiệm bội lẻ.
Xét hàm số: g x 2  x  4x
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình * có đúng ba nghiệm bội lẻ m  3  4     3  m  7 m 1 4 
S  3;4;5;  6
Câu 102: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm là 2 f (
x)  x 10x , x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y f  4 2
x  8x m có đúng 9 điểm cực trị? A. 16. B. 9. C. 15. D. 10. Lời giải: x  0 Xét 2 f (
x)  x 10x  0   . x  10 
Xét y f  4 2
x x m  y   3 x xf  4 2 8 4 16
x  8x m . 3
4x 16x  0 Cho y  0   .  f    4 2
x  8x m  0 x  0 Xét phương trình: 3
4x 16x  0   . x  2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 4 2 4 2
x 8x m  0
x  8x m   1
Xét phương trình: f  4 2
x  8x m  0     . 4 2 4 2
x  8x m  10
x  8x m 10  2
Đề hàm số y f  4 2
x  8x m có đúng 9 điểm cực trị thì phương trình f  4 2
x  8x m  0 cần
có 6 nghiệm đơn x  0 và x   2 .  x  0
Xét hàm số g x 4 2
 x  8x g 'x 3
 x 16x  0   . x  2  Ta có bảng biến thiên:
Xét hai đường thẳng d : y  ,
m d : y m 10 song song với trục Ox . 1 2
m 10  m m
  , nên đường thẳng d nằm trên đường thẳng d . 2 1
Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm 0  m 10 16    1
 0  m  0 . Vì m  nên  m 9  ;...;  1 . m  0
x  0 đã là cực trị của hàm số y f  4 2
x  8x m nên ta lấy cả trường hợp m  0 .
Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 103:
Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1
Hỏi hàm số y f x  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải:
Hàm số y   f x  x  f x  1  0  f x  1   
có duy nhất một nghiệm là x  1 (bội hai).
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Câu 104: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1 3 5  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 3  2x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x  1.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  3.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia Lời giải: 3  2x  1 x  1  
Hàm số gx  2
f 3  2x  0  3  2x  3  x  0 .   3  2x  5 x  1    Bảng xét dấu: x  1  0 1  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực tiểu tại điêm x  0.
Câu 105: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  0 2 4  f x  0  0  0 
Hỏi hàm số g x  f 2x  4 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  3.
B. x  2.
C. x  0.
D. x  4. Lời giải: 2x  4  0 x  2  
Hàm số gx  2 f 2x  4  0   2x  4  2   x  3 .   2x  4  4 x  4   Bảng xét dấu: x  2 3 4  gx  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  2.
Câu 106: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x  
1 x  3 , x
  . Hỏi hàm số gx  f  2 x  2x
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  3. Lời giải: x  1  2x  2  0   x  1  béi 2 
Hàm số gx  2x  2 f  2 x  2x 2  
 0  x  2x  1    .  x  1  2 x  2x  3   x  3  Bảng xét dấu: x  3  1  1  gx  0  0  0  g x
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1. 2
Câu 107: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x
  . Số điểm cực trị của
hàm số g x  f  2
x  3x  1 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 4. Lời giải:  3 x    2 2x  3  0  
x  0  x  3 
x  3x  1  1 
Hàm số gx  2x  3 f x  3x  1 2 2  0   x  1  .   2
x  3x  1  1   x  2  2
x  3x  1   5 x   1 x  4   Bảng xét dấu: x  4  3  2  3  1  0 1  2 gx  0  0  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị. 2
Câu 108: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x  x   1 x  
1 x  5 , x   . Hỏi hàm số
g x  f  2
x  3x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  4.
B. x  3.
C. x  1.
D. x  1. Lời giải:  3 x    2 2x  3  0  
x  0  x  3 
x  3x  1  1 
Hàm số gx  2x  3 f x  3x  1 2 2  0   x  1  .   2
x  3x  1  1   x  2  2
x  3x  1   5 x   1 x  4   Bảng xét dấu: x  4  3  2  3  1  0 1  2 gx  0  0  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại điểm x  1.
Câu 109: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia f x  0  0  0 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f  2 x  1 là A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải: x  0 x  0    x  1   x  1 2  x  1  0 
Hàm số gx  2xf  2 x  1  0   x  0  Béi 2 . 2  x  1  1   x  2  2 x 1   3  x  2  Bảng xét dấu: x  2  1  0 1 2  gx  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x có ba điểm cực trị.
Câu 110: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x  1  0 3  f x  0  0  0 
Hàm số g x  f  2
x  1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  2. Lời giải: x  0 x  0    x  1   x  1 2  x  1  0 
Hàm số gx  2xf  2 x  1  0   x  0  Béi 2 . 2  x  1  1   x  2  2 x 1   3  x  2  Bảng xét dấu: x  2  1  0 1 2  gx  0  0  0  0  0  g x
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại các điểm x  2; x  2.
Câu 111: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2x A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải:
Hàm số gx   f
 x  2x  f  
x  2  0  fx  2 có ba nghiệm (đơn) phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 112: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm f x cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  3x A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải:
Hàm số gx   f
 x  3x  f  
x  3  0  fx  3 có duy nhất một nghiệm đơn x  1 và một 0
nghiệm bội chẳn x  1.
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị.
Câu 113: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm là f x được cho như hình vẽ dưới đây: y 1 x O 2 -1 1
Hỏi hàm số gx  f x 3 2
x x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 3
A. x  2.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  1. Lời giải:   1  x  0
Hàm số gx  f  x 3 2  x xf   x 2
x  2x  0  f x 2
 x  2x   .  3  x  2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y O 1 2 x Bảng xét dấu: x  0 2  gx  0  0   g x 
Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x  0.
Câu 114: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải:
f x  0
Hàm số gx  f  f x. f x  0    f
  f x  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
f x  1 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c  1
+) Với f  f x    0    f  x .  1
 cã mét nghiÖm ®¬n ph©n biÖt kh¸c  1;a,b,c vµ mét nghiÖm béi hai: x  1
Vậy hàm số g x có 6 điểm cực trị.
Câu 115: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số       2 g x f x  là A. 7. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải:
f x  0
Hàm số gx  2 f x. f x      f  x  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
+) Với f x  0 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c  1.
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị.
Câu 116: Cho hàm số y f x có đồ thị cho bởi hình vẽ sau: y 3 O 1 x -1 -1
Số điểm cực trị của hàm số g x  f f x   1 là A. 7. B. 6. C. 8. D. 5. Lời giải: f   x  0
Hàm số gx  f  f x  1. f x  1  f  f x  1. f x  0    f
  f x   . 1  0 x  
+) Với f x 1  0   . x   1
f x  1  1  f x  2 cã ba nghiÖm ®¬n a,b,c ph©n biÖt kh¸c 1
+) Với f  f x       1  0    f
 x     f x . 1 1
 0 cã ba nghiÖm ®¬n c,d,e ph©n biÖt kh¸c 1
Vậy hàm số g x có 8 điểm cực trị.
Câu 117: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  1  là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải:
Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  1  bằng số điểm cực trị hàm số y f x .
Hàm số f x có 1 điểm cực trị dương nên hàm số y f x  có 2.1  1  3 điểm cực trị.
Câu 118: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  0 2  f x  0  0   f x 
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  1  1 là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải:
Đánh giá gx  1  f x  1 
 Hai hàm số gx và gx  1 có cùng số điểm cực trị.
Xét hx  f x  1  hx   f x  1. x   x
Ta có: f x   1 0 1 1  0     
f x  1 có 2 điểm cực trị dương  f x 1 có x  1  2 x    3
2.2  1  5 điểm cực trị.
Vậy gx  f x  1  1 có 2.2  1  5 điểm cực trị.
Câu 119: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x  1 3  f x  0  0  5  f x 3 
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số hx  f x  m có đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 7. C. 5. D. 4. Lời giải:
Đặt gx  f x  . m
+) Số điểm cực trị của hàm số g x là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số f x ).
+) hx  gx có đúng 3 điểm cực trị  g x  0  f x  m có đúng 3 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của f x ) * 3 5 m m       m1;2;3;  4 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 120: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 
 để hàm số y  3
x  3x m có đúng 3 điểm cực trị? A. 21. B. 19. C. 20. D. 18. Lời giải: x 1
Đặt gx  3
x  3x; g x      2 3x  3  0   x  .  1 BBT: x  1 1  gx  0  0  2  g x 2 
Xét hàm số y g x  m .
+) Số điểm cực trị của hàm số g x  m là 2 (bằng số điểm cực trị của hàm số g x ).
+) y g x  m có đúng 3 điểm cực trị  g x  m  0  g x  m có đúng 1 nghiệm (không
trùng với điểm cực trị của g x ) m  2 m , m   1  0;10  m   1  0; 9  ;...; 2  ;2;3;..1  0 . m  2 
Câu 121: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f  x như sau: x  3  1 2  f x  0  0  0  3
Số điểm cực trị của hàm số gx  f x  2 3x  1 là A. 9. B. 11. C. 7. D. 8. Lời giải: 3
Xét hàm số hx  f  3 x  2
x    hx   gx  f x  2 3 1 3x  1.  2
3x  6x  0  x  0; x  2 
Ta có: hx   2
3x  6xf  3 x  2
3x  1  0   3 x  2 3x  1  2 C§ Mét nghiÖm d­¬ng.  3 x  2 3x  1  3 CT   Hai nghiÖm d­¬ng
Vậy hx có 4 điểm cực trị dương nên hx   gx có 2.4 1  9 điểm cực trị.
Câu 122: Cho hàm số f x 4 3 2
x 12x  30x  4  mx với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên m để hàm số g x  f x  có đúng 7 điểm cực trị? A. 27 . B. 31. C. 28 . D. 30 . Lời giải:
Xét hàm số f x 4 3 2
x 12x  30x  4  mx .
Ta có f  x 3 2
 4x  36x  60x  4  m ; f x 3 2
 0  m  4x  36x  60x  4 .
Hàm số g x  f x  có đúng 7 điểm cực trị
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
 Hàm số f x có đúng 3 điểm cực trị dương
 Phương trình f x  0 có 3 nghiệm dương phân biệt  Phương trình 3 2
m  4x  36x  60x  4 có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm số h x 3 2
 4x  36x  60x  4 . x
Ta có: h x 2
 12x  72x  60 ; hx 1  0   . x  5 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có *  4  m  32 .
m  nên m 5;6;7;...;  31 .
Vậy có 27 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
Câu 123: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x    x   2
x  m   2 3 1 2
1 x m 1   , x   . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x  có 5 điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải:
Để hàm số g x  f x  có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương. Ta  x  1 
f  x  0  x  3  . 2 x  2  m   2
1 x m 1  0 *
x  3 là nghiệm bội chẵn nên để hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương thì (*) có 2
nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm x dương khác 1 và một nghiệm x  0 2  m 1  0 1  m  1  2  1  2  m   2
1 .1 m 1  0  m  1 3
Điều kiện tương đương .    m   2 1    2 m   1  0 m  1 Mà m   m0  ;1 .
Câu 124: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  3 4x  
1  m có 7 điểm cực trị? A. Vô số. B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải: 2 12x f  3 4x   1  f   3 4x   1  m
Ta có: g x  . f  3 4x   1  m Dễ thấy: 2 12x  0, x   . 3 4x 1  3  x  0  
Từ bảng biến thiên ta có: f  3 4x   3
1  0  4x 1  1  x  1    .  3 4x 1  5 x 1   Ta có: f  3 4x  
1  m  0 *  f  3 4x   1  m . Đặt: 3 t  4x 1 2
t  12x  0  x  0 . Ta có bảng biến thiên:
Để hàm số g x có 7 điểm cực trị thì phương trình * phải có 4 nghiệm bội lẻ khác 0 và 1  .
Suy ra 0  m  2  2  m  0 .
Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. 2
Câu 125: Cho hàm số f x có đạo hàm f  x   x    2 1
x  4x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số thực m để hàm số g x  f  2
2x 12x m có đúng 5 điểm cực trị? A. 17 . B. 18 . C. 16 . D. 19 . Lời giải: x  1  
f  x   x  2 1  2
x  4x  0  x  0 
( Trong đó x  1 là nghiệm bội chẵn) x  4 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Yêu cầu bài toán tương đương với g x   x   f  2 4 12 .
2x 12x m  0 phải có 5 nghiệm x  3 x  3   đơn 2
 2x 12x m  0  có 5 nghiệm đơn 2
 2x 12x  m  có 5 nghiệm đơn. 2  
2x 12x m  4  2
2x 12x  m  4 
Ta phải có m  18  m  18. Vậy có 17 giá trị nguyên dương của m thỏa bài toán.
Câu 126: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f  2
f x  4 f x  m  có 17 điểm cực trị bằng A. 1652 . B. 1653 . C. 1654 . D. 1651. Lời giải: x  1  ;2
Đặt u u x 2
f x  4 f x  u  2 f x f x  2    u  0   . x   a; ;b c
Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: a  1  b  2  c .
Bảng biến thiên của hàm số 2
u f x  4 f x . x a 1 b 2 c +∞ u' 0 + 0 0 + 0 0 + +∞ +∞ 60 u -3 -4 -4 -4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia
Ta có g x  f u m   g x   u m  . f  u m  . Do đó số điểm cực trị của hàm số
g x  f  2
f x  4 f x  m  chính là số nghiệm bội lẻ của hệ sau: u   m  0 u   m u   m    
u m   0  x a;1; ; b 2; 
c  x a; 1; ; b 2;  c .    f
  u m   0 u m  2 u   
m  2;m   2 
Do đó số điểm cực trị của hàm số g x phụ thuộc vào số giao điểm của các đường thẳng
y m  2; y  ;
m y m  2 với đồ thị u x .
Vì không tính điểm tiếp xúc nên các đường thẳng này chỉ có thể cắt đồ thị hàm số u x tại 2
điểm; 4 điểm; 6 điểm hoặc không cắt đồ thị hàm số u x .
Do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên để các đường thẳng trên cắt đồ thị u x tại 12 điểm phân biệt  3   m  2  60    1
  m  58  m 1  ;0;1;...;5  7  S  1652 .  3   m  2  60
___________________________HẾT___________________________
Huế, 10h00’ Ngày 15 tháng 5 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115