165 trang 3 lượt tải

Các chủ đề ôn tập tốt nghiệp THPT năm 2024 – 2025 môn Toán

5

Tài liệu gồm 165 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Chuyên Đề Toán THPT, tuyển tập các chủ đề ôn tập kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2024 – 2025 môn Toán.

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 289 tài liệu

Môn: Toán 2.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

5 giờ trước
Danh sách Quiz
/165
CHỦ ĐỀ ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
Thpt Quốc Gia
2024 - 2025
Trang 1
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm .................................................................................................. 3
Phần Ví dụ ............................................................................................................................ 5
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn .......................................... 5
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai .......................................................................... 6
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ..................................................................... 8
Phần Tự Luyện ..................................................................................................................... 9
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn .......................................... 9
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 16
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 21
CHỦ ĐỀ 2. CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 26
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 26
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 26
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 27
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 28
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 30
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 30
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 34
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 37
CHỦ ĐỀ 3. ĐẠO HÀM & KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 40
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 43
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 43
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 44
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 45
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 46
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 46
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 54
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 62
CHỦ ĐỀ 4. NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 65
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 67
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 67
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 68
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 70
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 71
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 71
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 77
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 80
CHỦ ĐỀ 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trang 2
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 84
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 87
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 87
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 88
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 89
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 90
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 90
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 94
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 102
CHỦ ĐỀ 6. HÌNH HỌC Oxyz
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 106
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 110
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 110
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 110
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 111
Phần Tự luyện .................................................................................................................. 112
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 112
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 116
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 121
CHỦ ĐỀ 7. THỐNG KÊ
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 127
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 130
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 130
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 130
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 133
Phần Tự luyện .................................................................................................................. 134
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 134
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 136
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 139
CHỦ ĐỀ 8. XÁC SUẤT
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 141
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 143
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 143
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 146
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 150
Phần Tự Luyện ................................................................................................................. 151
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 151
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 152
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 154
Trang 3
CHỦ ĐỀ 1:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình
1sin xm
Với
1m
, phương trình
1
vô nghiệm.
Với
1m
, gọi là số thực thuộc đoạn
22
;



sao cho
sinxm
.
Khi đó, ta có:
2
2
sin sin sin
xk
x m x k
xk

.
Chú ý
- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình
sinxm
:
12
2
sin ;x x k k
0sin .x x k k
- Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
sin sinxa
như sau:
360
180 360
sin sin
x a k
x a k
x a k
.
b) Phương trình
2cos xm
Với
1m
, phương trình
2
vô nghiệm.
Với
1m
, gọi là số thực thuộc đoạn
0;


sao cho
cos xm
.
Khi đó, ta có:
2
2
cos cos cos
xk
x m x k
xk

.
Chú ý
- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình
cos xm
:
12cos ;x x k k
12cos ;x x k k
0
2
cos .x x k k
- Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
cos cosxa
như sau:
360
360
cos cos
x a k
x a k
x a k
.
c) Phương trình
tan xm
Gọi là số thực thuộc khoảng
22
;



sao cho
tan xm
. Khi đó, ta có:
Trang 4
tan tan tan x m x x k k
.
Chú ý: Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
tan tanxa
như sau:
180tan tan x a x a k k
.
d) Phương trình
cot xm
Gọi là số thực thuộc khoảng
0;
sao cho
cot xm
. Khi đó, ta có:
cot cot cot x m x x k k
.
Chú ý: Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
cot cotxa
như sau:
180cot cot x a x a k k
.
2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
2
2
sin sin .
f x g x k
f x g x k
f x g x k

2
2
cos cos .
f x g x k
f x g x k
f x g x k

Với phương trình có dạng:
2 2 2 2 2 2
sin sin , cos cos , sin cos ,u x v x u x v x u x v x
Ta có thể dùng công thức hạ
bậc để đưa về phương trình dạng
cos cosf x g x
.
Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để
đưa về phương trình dạng tích
0.A x B x
.
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình mũ
Với
01, aa
thì:
log
fx
a
a b f x b
với
0b
;
f x g x
a a f x g x
.
2. Phương trình lôgarit
Với
01, aa
thì:
log
b
a
f x b f x a
.
0
log log
0
aa
f x g x
f x g x
f x g x >


.
3. Bất phương trình mũ
Với
01, aa
thì:
a) Xét bất phương trình:
fx
ab
.
Nếu
0b
, tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của
fx
;
Nếu
01, ba
thì bất phương trình đưa về:
log
a
f x b
;
Nếu
0 0 1, ba
thì bất phương trình đưa về:
log
a
f x b
.
b) Xét bất phương trình:
f x g x
aa
.
Trang 5
Nếu
1a
thì bất phương trình đưa về:
f x g x
;
Nếu
01a
thì bất phương trình đưa về:
f x g x
.
Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.
4. Bất phương trình lôgarit
Với
01, aa
thì:
a) Xét bất phương trình:
log
a
f x b
.
Nếu
1a
thì bất phương trình đưa về:
b
f x a
;
Nếu
01a
thì bất phương trình đưa về:
0
b
f x a
.
b) Xét bất phương trình:
log log
aa
f x g x
.
Nếu
1a
thì bất phương trình đưa về:
0f x g x
;
Nếu
01a
thì bất phương trình đưa về:
0 f x g x
.
Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.
Phần Ví dụ
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình
3
32
sin x



là:
A.
2
2
3
xk
và
2x kk
.
B.
2
3
xk
và
2
3
xkk
C.
2xk
và
2x kk
.
D.
2
2
xk
và
5
2
3
xkk
.
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn A
3
32
sin x



2
2
2
3
3
4
2
3
3
3
2xk
xk
xk
xk
k


Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình
2
2
3 81
xx
là:
A.
4
. B.
4
. C.
2
. D.
2
.
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn D
2
2
3 81
xx
2
2 4 2
3 3 2 4 0
xx
xx
.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu vì
0ac
. Khi đó tổng hai nghiệm là
2
b
a

.
Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình
16
1
5
2
log x 
là:
A.
3
. B.
1
. C.
3
. D.
27
.
Trang 6
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn B
1
2
16
1
5 5 16 4 1
2
log x x x
.
Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình
2
22
4 5 4log logx x x
là:
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn C
2
22
2
40
4 5 4
5 4 4
log log
x
x x x
x x x

4
24;
x
xx

(vô nghiệm)
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Ví dụ 5. Cho phương trình
22
2
42
sin cosxx
.
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình:
14
12
2
22
cos
cos
x
x





. .
b) Ta có:
22cos cos .xx
c) Phương trình đã cho đưa về dạng:
42
2
cos cos .xx




.
d) Nghiệm của phương trình đã cho là:
4
xk
và
12 3
x k k
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình:
14
12
2
22
cos
cos
x
x





. .
Hạ bậc hai vế của phương trình
22
2
42
sin cosxx
ta được
1 4 1 4
1 2 1 2
22
2 2 2 2
cos cos
cos cos
xx
xx
Chọn ĐÚNG.
b) Ta có:
22cos cos .xx
22cos cos .xx
(đúng)
Chọn ĐÚNG.
c) Phương trình đã cho đưa về dạng:
42
2
cos cos .xx




.
Trang 7
Phương trình đã cho tương đương với
4 2 2
2
cos cos cosx x x



Chọn ĐÚNG.
d) Nghiệm của phương trình đã cho là:
4
xk
và
12 3
x k k
Nghiệm của phương trình đã cho là
2
4
4 2 2
3
2
4
2
1
2
2
xk
x x k
k
xk
x x k


Chọn SAI.
Ví dụ 6. [MĐ2] Cho bất phương trình
2
4 5 2
3 2 2 3 2 2
x x x
.
a) Ta có:
1
3 2 2 3 2 2
.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
2
4 2 5x x x
.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
5
.
d) Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là
9
.
Lời giải
a) Ta có:
1
3 2 2 3 2 2
.
Ta có:
1
2
1
3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2
3 2 2
.
Chọn ĐÚNG.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
2
4 2 5x x x
.
Ta có:
22
4 5 2 4 5 2
2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 5
x x x x x x
x x x
(Vì
0 3 2 2 1
).
Chọn SAI.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
5
.
Ta có:
22
4 5 2 4 5 2
2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 5
x x x x x x
x x x
2
6 5 0 1 5x x x
.
Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình là:
234;;
Chọn SAI.
d) Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là
9
.
Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là:
2 3 4 9
.
Chọn ĐÚNG.
Ví dụ 7. [MĐ2] Cho bất phương trình Cho bất phương trình:
2
2 1 2 1
2 2 5 5log logxx

.
a) Ta có:
0 2 1 1
.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với:
2
2 2 5 5
5 5 0
xx
x

.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
2
.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
0
.
Trang 8
Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
a) Ta có:
0 2 1 1
.
2 1 0 42 0 2 1 1,
.
Chọn ĐÚNG.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với:
2
2 2 5 5
5 5 0
xx
x

.
2
2
2
2 1 2 1
2 2 5 5
2 2 5 5
2 2 0
log log
xx
xx
x


(Vì
0 2 1 1
)
Chọn SAI.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
2
.
Ta có:
22
2
2
2
2 1 2 1
2 5 7 0 2 5 7 0
2 2 5 5
2 2 5 5
11
2 2 0
11
log log
x x x x
xx
xx
xx
x
xx










7
1
2
7
1
1
2
1
x
x
x
x

Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là
23;
.
Chọn ĐÚNG.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
0
.
Ta có: nghiệm nguyên của bất phương trình là
23;
.
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
2
.
Chọn SAI.
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 8. [MĐ2] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
mh
theo thời gian
t
(giờ) trong một ngày được cho bởi công thức:
16 7
12
sinht




với
0 24t
. Tính thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất.
Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
Trả lời: 6
Ta có:
16 7
12
sinht




Vì
1 1 7 7 7 9 16 7 23 9 23
12 12 12
sin sin sint t t h
Nên
23 1 2 6 24
12 12 2
max sinh t t k t k



.
Vì
0 24t
nên thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất là
6
(giờ).
Trang 9
Ví dụ 9. [MĐ2] Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau:
0
ln
TS
kt
TS
trong đó
t
là số giờ trôi qua,
0
T
là nhiệt độ lúc đầu,
T
là nhiệt độ sau
t
giờ,
S
là nhiệt
độ môi trường (
0
,,T T S
theo cùng một đơn vị đo),
k
là hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ
96
0
C
, sau
2
phút nhiệt độ giảm còn
90
0
C
. Biết nhiệt độ phòng là
24
0
C
. Tính nhiệt độ
của cốc trà sau
10
phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
Trả lời: 70,6
Gọi
1
T
là nhiệt độ sau
1
t
giờ
Gọi
2
T
là nhiệt độ sau
2
t
giờ
Ta có:
0 1 1
1
96 90 24 2
30
0 0 0
C, C, C, (p) (h)T T S t
Khi đó:
1 90 24 1 11 11
30
30 96 24 30 12 12
. ln . ln lnk k k
Nhiệt độ của cốc trà sau
10
phút (
2
1
10
6
(p) (h)t 
) là:
55
2 2 2
24 24 24
11 1 11 11
30
12 6 96 24 12 96 24 12 96 24
ln . ln ln ln
T T T
55
2 2 2
11 96 24 12 24 24 46 6 70 6. , ,T T T
Phần Tự Luyện
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Các nghiệm của phương trình
0
5
sin x




là
A.
5
x k k
. B.
2
5
x k k
.
C.
2
5
x k k
. D.
5
x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
Ta có:
0
5 5 5
sin x x k x k k



.
Câu 2. Các nghiệm của phương trình
2 3 2 0sin x 
là
A.
2
12 3
xk
và
32
12 3
x k k
.
B.
2
12 3
xk
và
52
12 3
x k k
.
C.
2
12 3
xk
và
2
12 3
x k k
.
D.
2
12 3
xk
và
32
12 3
x k k
.
Lời giải
Trang 10
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn B
Ta có:
2
2
12 3
2 3 2 0 3 3
52
24
12 3
sin sin sin sin
xk
x x x k
xk


.
Câu 3. Các nghiệm cùa phương trình
1
62
cos x




là
A.
2
6
xk
và
2
2
x k k
.
B.
2
6
xk
và
2
2
x k k
.
C.
2xk
và
2
3
x k k
.
D.
6
xk
và
2
x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn A
Ta có:
2
1
6
6 2 6 3
2
2
cos cos cos
xk
x x k
xk

.
Câu 4. Các nghiệm của phương trình
2
21sin x
là
A.
42
x k k
. B.
2
x k k
.
C.
2
x k k
. D.
82
x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn A
Ta có:
2
2 1 2 0
2 4 2
sin cos
k
x x x k x k
.
Câu 5. Các nghiệm của phương trình
3
3
tan x




là
A.
2
2
3
x k k
. B.
x k k
.
C.
2
3
x k k
. D.
2
3
x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn C
Ta có:
2
3
3 3 3 3
tan x x k x k k



.
Trang 11
Câu 6. Các nghiệm của phương trình
31
4
cot x



là
A.
6
x k k
. B.
63
x k k
.
C.
66
x k k
. D.
62
x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn B
Ta có:
3 1 3
4 4 4 6 3
cot x x k x k k



Hay
63
x k k
.
Câu 7. Các nghiệm cùa phương trình
30sin cosxx
là
A.
6
x k k
. B.
3
x k k
.
C.
6
x k k
. D.
3
x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
Ta có:
13
3 0 0 0
2 2 3
sin cos sin cos sinx x x x x



33
x k x k k
.
Cách khác:
Do
0cosx
không thoả mãn phương trình nên ta có:
3 0 3
3
sin cos tanx x x x k k
.
Câu 8. Các góc lượng giác
x
sao cho
1
15
2
cos x 
là
A.
165 360xk
và
135 360x k k
.
B.
165 180xk
và
135 180x k k

.
C.
135 360xk
và
105 360x k k
.
D.
135 180xk
và
105 180x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn C
Ta có:
15 120 360 135 360
1
15
15 120 360 105 360
2
cos
x k x k
xk
x k x k



Câu 9. Các góc lượng giác
x
sao cho
2 27 35tan tanx 
là
A.
4 180x k k
. B.
4 180x k k 
.
Trang 12
C.
4 90x k k
. D.
4 90x k k
.
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
Ta có:
180 4 902 27 35 2 27 35tan tan k x kx x k

 
.
Câu 10. Các góc lượng giác
x
sao cho
2 36sin sinxx
là
A.
12 120xk
và
144 360x k k
.
B.
12 120xk
và
48 120x k k
.
C.
12 360xk
và
144 120x k k
.
D.
36 360xk
và
144 360x k k
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
2 36sin sinxx
2 36 360
2 180 36 360
x x k
x x k
12 120
144 360
xk
k
xk

.
Câu 11. Số nghiệm của phương trình
1cosx
trên khoảng
39
42
;



là
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D
12cosx x k k
.
Vì
39
42
;x




nên
3 9 3 9
2
4 2 8 4
kk
.
Do
k
nên
0 1 2;;k
.
Vậy phương trình
1cosx
có
3
nghiệm trên khoảng
39
42
;



.
Câu 12. Số nghiệm của phương trình
1
3
sinx
trên khoảng
55
22
;



là
A.
2
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn B
35 26 360
1
144 74 360
3
,.
sin ;
,.
xk
x k l
xl
.
Vì
55
22
;x




nên
5 35 26 5
2
2 180 2
5 144 74 5
2
2 180 2
,
..
,
..
k
l
1 3 1 2
1 7 0 8
,,
,,
k
l
.
Trang 13
Do
;kl
nên
1 0 1;;k
;
10;l
.
Vậy phương trình
1
3
sinx
có
5
nghiệm trên khoảng
55
22
;



.
Câu 13. Các nghiệm của phương trình
22
0cos sinxx
là
A.
42
.x k k
. B.
4
x k k
.
C.
2
x k k
. D.
4
x k k
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
22
0 2 0 2
2 4 2
cos sin cos
k
x x x x k x k
.
Câu 14. Nghiệm của phương trình
26
2
cos cosxx




là
A.
2
2
3
x k k
và
2x k k
.
B.
2
3
x k k
và
2
3
x k k
.
C.
2x k k
và
2x k k
.
D.
82
x k k
và
16 4
x k k
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D
2 6 2
82
2
26
2
2 6 2
2 16 4
cos cos
k
x
x x k
xx
k
x x k x



.
Câu 15. Nghiệm của phương trình
34
29
x



là
A.
2x 
. B.
2x 
. C.
2x
. D.
2x
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
2
3 4 3 3
2
2 9 2 2
xx
x
.
Câu 16. Nghiệm của phương trình
2
24
xx
là
A.
21 vx àx
. B.
0 1x và x
. C.
21 vàx x 
. D.
0 2x và x
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
Trang 14
22
22
1
2 4 2 2 2 0
2
x x x x
x
xx
x


.
Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình
2
3
5 10
xx
là
A.
3
. B.
5
10log
. C.
3
. D.
5
10log
.
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn C
2
3 2 2
55
5 10 3 10 3 10 0log log
xx
x x x x
.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu và
12
3
b
xx
a
.
Câu 18. Nghiệm của phương trình
32
3
1
5
25
x
x



là
A.
3x 
. B.
5x
. C.
5x 
. D.
3x
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
32
2 3 2
33
1
5 5 5 4 6 3 3
25
x
x
xx
x x x





.
Câu 19. Nghiệm của phương trình
2
27
1
1
3
log x 
là
A.
2x 
. B.
10x 
. C.
2x
. D.
10x
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
2 2 2
27
1
1 1 3 4 2
3
log x x x x
.
Câu 20. Tích các nghiệm của phương trình
2
2
23log xx
là
A.
8
. B.
6
. C.
8
. D.
6
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn C
2 2 2
2
2
2 3 2 8 2 8 0
4
log
x
x x x x x x
x

.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là
8
.
Câu 21. Số nghiệm của phương trình
2
77
2 3 6log logx x x
là
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D
Trang 15
2
77
22
3 6 0 2
2 3 6
2 3 6 5 6 0
log log
xx
x x x
x x x x x





2
3
2
3
x
x
x
x
.
Câu 22. Nghiệm của bất phương trình
0 5 3,
x
là
A.
05
3
,
logx
. B.
05
3
,
logx
. C.
3
05log ,x
. D.
3
05log ,x
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn B
05
0 5 3 3
,
, log
x
x
.
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình
2
0 2 1,
x
là
A.
. B.
0\
. C.
0;
. D. .
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
22
0
2
0 2 1 0 2 0 2 0, , ,
xx
xx
.
Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình
2 1 5
2 3 2 3
xx
là
A.
2;
. B.
4;
. C.
2;
. D.
4;
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
2 1 5 2 1 5
2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 5 2
x x x x
x x x
.
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình
1
2
2 6 2log x
là
A.
35;
. B.
5;
. C.
3;
. D.
5;
.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D
2
1
2
1
2 6 2 2 6 2 6 4 5
2
log x x x x



.
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
2
5 25
23log logxx
là
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D. Vô số.
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
ĐKXĐ :
3
2
x
.
Trang 16
2
5 25 5 5
2 3 2 3log log log logx x x x
.
Với
3
2
x
bpt
2 3 3x x x
.
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra
3
3
2
x
.
Nghiệm nguyên của bất phương trình là
2x
.
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 27. [MĐ2] Cho phương trình
22
3
24
cos sinxx
.
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình
16
12
2
22
cos
cos
x
x





.
b) Ta có
22cos cosxx
.
c) Phương trình đã cho đưa về dạng
26cos cosxx
.
d) Nghiệm của phương trình đã cho là
4
,
k
xk
.
Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen
a) Ta có
22
3
24
cos sinxx
16
12
2
22
cos
cos
x
x






.
Chọn ĐÚNG.
b) Ta có
22cos cosxx
.
Chọn SAI.
c)
22
3
24
cos sinxx
16
12
2
22
cos
cos
x
x






26
2
cos cosxx



26
2
cos cosxx



26
2
cos cosxx



.
Chọn SAI.
d)
22
3
24
cos sinxx
16
12
2
22
cos
cos
x
x






26
2
cos cosxx



26
2
cos cosxx



26
2
cos cosxx



2 6 2
2
2 6 2
2
x x k
x x k
42
2
82
2
xk
xk
82
16 4
,
k
x
k
k
x

.
Chọn SAI.
Trang 17
Câu 28. [MĐ2] Cho phương trình
2
4
cos sinxx




với
0;x


.
a) Ta có
22
2
cos sinxx




.
b) Phương trình
2
24
sin sinxx
có các nghiệm là
2
4
xk
và
5
2
4
x k k
.
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn
0;


.
d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn
0;


là
5
6
.
Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen
a) Ta có
22
2
cos sinxx




.
Chọn ĐÚNG.
b) Ta có
2
4
cos sinxx




2
24
sin sinxx
22
24
22
24
x x k
x x k
2
42
32
42
xk
xk
2
4
32
4
xk
xk
2
4
2
12 3
xk
k
x

.
Chọn SAI.
c) Ta có
0;x


0 x
TH1:
2
4
xk
02
4
k
2
44
k
13
88
k
,
k
nên
0k
.
Từ đó ta có
4
x
.
TH2:
2
12 3
k
x
2
0
12 3
k
2
12 3 12
k
1 13
88
k
,
k
nên
1k
. Từ đó ta có
2
12 3
x
7
12
x
.
Chọn ĐÚNG.
d) Tổng các nghiệm là
7 10 5
4 12 12 6
.
Chọn ĐÚNG.
Câu 29. [MĐ2] Cho phương trình
4 2 4 2sin sin cos cosx x x x
.
a) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế trái của phương trình đưa về dạng:
3sin cosxx
.
b) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế phải của phương trình đưa về dạng:
3cos cosxx
.
Trang 18
c) Nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình
0cosx
và phương
trình
33sin cosxx
.
d) Nghiệm của phương trình đã cho là
2xk
và
12 3
k
xk
.
Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen
a) Ta có
4 2 4 2sin sin cos cosx x x x
4 2 4 2 4 2 4 2
22
2 2 2 2
sin cos cos cos
x x x x x x x x

2 3 2 3sin cos cos cosx x x x
Chọn ĐÚNG.
b) Chọn ĐÚNG.
c) Ta có
4 2 4 2sin sin cos cosx x x x
4 2 4 2 4 2 4 2
22
2 2 2 2
sin cos cos cos
x x x x x x x x

2 3 2 3sin cos cos cosx x x x
3 3 0cos sin cosx x x
00
3 3 0 3 3
cos cos
sin cos sin cos
xx
x x x x





.
Chọn ĐÚNG.
d) Ta có
4 2 4 2sin sin cos cosx x x x
4 2 4 2 4 2 4 2
22
2 2 2 2
sin cos cos cos
x x x x x x x x

2 3 2 3sin cos cos cosx x x x
3 3 0cos sin cosx x x
00
3 3 0 3 3
cos cos
sin cos sin cos
xx
x x x x





2
30tan
xk
x

2
3
xk
xk

2
3
,
xk
k
k
x


.
Chọn SAI.
Câu 30. [MĐ3] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Chiều cao
hm
của mực nước theo thời gian
t
(giờ) trong một ngày được cho bởi công thức
14 8
12
sinht




với
0 24t
.
a) Lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất.
b) Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ.
c) Mực nước tại bến cảng cao
18m
vào lúc 2 giờ và 10 giờ.
d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn
18m
. Vậy thời
gian tàu vào được cảng là từ 10 giờ sáng hôm trước đến 2 giờ sáng hôm sau.
Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen
Ta có
14 8
12
sinht




.
Có
0 24t
0 24
12 12
.t
02
12
t
11
12
sin t



.
Trang 19
8 8 8
12
sin t



14 8 14 8 14 8
12
sin t



6 14 8 22
12
sin t



.
Vậy
6 22h
.
a) Lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất.
Mực nước cao nhất là
22m
khi
1
12
sin t



, mà
02
12
t
, nên ta có
12 2
t
6t
Chọn ĐÚNG.
b) Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ.
Mực nước thấp nhất là
6m
khi
1
12
sin t




, mà
02
12
t
, nên ta có
3
12 2
t
12t
.
Chọn ĐÚNG.
c) Mực nước tại bến cảng cao
18m
vào lúc 2 giờ và 10 giờ.
Khi
18hm
14 8 18
12
sin t



1
12 2
sin t




,
02
12
t
12 6
5
12 6
t
t
2
10
t
t
Chọn ĐÚNG.
d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn
18m
. Vậy thời
gian tàu vào được cảng là từ 10 giờ sáng hôm trước đến 2 giờ sáng hôm sau.
Ta có tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn
18m
nên ta có
14 8 18
12
sin t




.
Theo kết quả phần c thì thời gian từ 2 giờ sáng đến 10h sáng.
Chọn SAI.
Câu 31. [MĐ2] Cho bất phương trình
2
2
5
1
4
8
xx
x



.
a) Ta có:
23
1
4 2 2
8
;

.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
22
2 5 3x x x
.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 6.
d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
4
.
Lời giải
GVSB: Nguyễn My; GVPB: Hien Nguyen
a) Ta có:
23
1
4 2 2
8
;

.
Chọn ĐÚNG.
b)
2
22
2
2 5 3
5 2 2
1
4 2 2 2 5 3
8
xx
x x x
x
x x x



.
Chọn ĐÚNG.

Tài liệu khác của Toán

Preview text:

CHỦ ĐỀ ÔN TẬP TỐT NGHIỆP Thpt Quốc Gia 2024 - 2025 MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm .................................................................................................. 3
Phần Ví dụ ............................................................................................................................ 5
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn .......................................... 5
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai .......................................................................... 6
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ..................................................................... 8
Phần Tự Luyện ..................................................................................................................... 9
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn .......................................... 9
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 16
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 21
CHỦ ĐỀ 2. CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 26
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 26
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 26
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 27
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 28
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 30
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 30
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 34
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 37
CHỦ ĐỀ 3. ĐẠO HÀM & KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 40
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 43
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 43
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 44
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 45
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 46
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 46
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 54
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 62
CHỦ ĐỀ 4. NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 65
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 67
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 67
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 68
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 70
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 71
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 71
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 77
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 80
CHỦ ĐỀ 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trang 1
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 84
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 87
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 87
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 88
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................... 89
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 90
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................ 90
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................ 94
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 102
CHỦ ĐỀ 6. HÌNH HỌC Oxyz
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 106
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 110
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 110
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 110
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 111
Phần Tự luyện .................................................................................................................. 112
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 112
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 116
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 121
CHỦ ĐỀ 7. THỐNG KÊ
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 127
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 130
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 130
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 130
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 133
Phần Tự luyện .................................................................................................................. 134
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 134
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 136
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 139
CHỦ ĐỀ 8. XÁC SUẤT
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 141
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 143
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 143
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 146
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 150
Phần Tự Luyện ................................................................................................................. 151
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ...................................... 151
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ...................................................................... 152
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................. 154 Trang 2 CHỦ ĐỀ 1:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình sin x m   1
 Với m 1, phương trình   1 vô nghiệm.  
 Với m 1, gọi là số thực thuộc đoạn  ; 
 sao cho sin x m.  2 2  x   k2
Khi đó, ta có: sin x m  sin x  sin   k  . x     k2 Chú ý
- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sin x m :
 sin x 1 x   k2 k ; 2  sin x  1
  x    k2 k ; 2
 sin x  0  x k k .
- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
sin x  sina như sau:
x a  k360
sin x  sin a   k   .
x  180  a  k360 
b) Phương trình cos x m 2
 Với m 1, phương trình 2 vô nghiệm.
 Với m 1, gọi là số thực thuộc đoạn 0;  
 sao cho cos x m . x   k2
Khi đó, ta có: cos x m  cos x  cos   k  . x     k2 Chú ý
- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x m :
 cos x 1 x k2 k ;  cos x  1
  x   k2 k ;
 cos x  0  x   k k . 2
- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cos x  cos a như sau:
x a  k360
cos x  cos a   k   .
x  a  k360 
c) Phương trình tan x m  
Gọi là số thực thuộc khoảng   ;
 sao cho tan x m . Khi đó, ta có:  2 2  Trang 3
tan x m  tan x  tan  x   k k   .
Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
tan x  tan a như sau:
tan x  tan a  x a  180 k  k .
d) Phương trình cot x m
Gọi là số thực thuộc khoảng 0;  sao cho cot x m . Khi đó, ta có:
cot x m  cot x  cot  x   k k   .
Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cot x  cot a như sau:
cot x  cot a  x a  180 k  k .
2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
f x g x k2
 sin f x  sin gx         f
 x   g x k .  k2
f x g x k2
 cos f x  cos gx         f
 x  g x k .  k2
 Với phương trình có dạng: 2 ux 2  vx 2 ux 2  vx 2 ux 2 sin sin , cos cos , sin
 cos vx, Ta có thể dùng công thức hạ
bậc để đưa về phương trình dạng cos f x  cos gx .
Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để
đưa về phương trình dạng tích Ax.Bx  0 .
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1. Phương trình mũ
Với a  0, a  1 thì:  f xa
b f x  log b với b  0; af xgxaa
f x  gx .
2. Phương trình lôgarit
Với a  0, a  1 thì:
 log f x  b f xba . af x   g x  log f x g x   . a   loga       f  x  0  
g x> 0
3. Bất phương trình mũ
Với a  0, a  1 thì: f x
a) Xét bất phương trình: ab .
 Nếu b  0, tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f x ;
 Nếu b  0, a 1 thì bất phương trình đưa về: f x  log b; a
 Nếu b  0, 0  a 1 thì bất phương trình đưa về: f x  log b . a f xgx
b) Xét bất phương trình: aa . Trang 4
 Nếu a 1 thì bất phương trình đưa về: f x  gx;
 Nếu 0  a 1 thì bất phương trình đưa về: f x  gx.
Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.
4. Bất phương trình lôgarit
Với a  0, a  1 thì:
a) Xét bất phương trình: log f x b . a  
 Nếu a 1 thì bất phương trình đưa về:   b f x a ;
 Nếu 0  a 1 thì bất phương trình đưa về: 0    b f x a .
b) Xét bất phương trình: log f x  log g x . a a  
 Nếu a 1 thì bất phương trình đưa về: f x  gx  0 ;
 Nếu 0  a 1 thì bất phương trình đưa về: 0  f x  gx.
Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự. Phần Ví dụ
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn   3
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình sin x      là:  3  2 2 A. x  
k2 và x   k2 k  . 3 B. x  
k2 và x   k2 k  3 3
C. x k2 và x   k2 k   . 5 D. x  
 2k và x
k2 k  . 2 3 Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn Chọn A         x 2k 2 3  x    k2 sin x       3 3    3 k   3  2 4 
x    2k
x   2k  3 3 2
Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 3 x  81 là: A. 4 . B. 4  . C. 2  . D. 2 . Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn Chọn D 2 x 2 2 3 x  81 x 2x 4 2  3
 3  x  2x  4  0 . b
Phương trình có hai nghiệm trái dấu vì ac  0 . Khi đó tổng hai nghiệm là   2 . a 1
Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình log x  5  là: 16   2 A. 3 . B. 1. C. 3  . D. 27 . Trang 5 Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn Chọn B log x  5 1 1 2
  x  5  16  4  x  1 . 16 2
Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình log x  4  log  2
x  5x  4 là: 2 2  A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn Chọn C x  
log x  4  log  4 0 2
x  5x  4   2 2  2
x 5x  4  x  4 x  4   (vô nghiệm)
x  2; x  4
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai    
Ví dụ 5. Cho phương trình 2 2 sin 2x   cos x      .  4   2    1 cos 4x    2 1 cos 2x    
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình:  . . 2 2
b) Ta có: cos2x    cos 2 . x  
c) Phương trình đã cho đưa về dạng: cos 4x     cos 2 . x .  2 
d) Nghiệm của phương trình đã cho là: x    k và x
k k  4 12 3 Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn   1 cos 4x    2 1 cos 2x    
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình:  . . 2 2    
Hạ bậc hai vế của phương trình 2 2 sin 2x   cos x      ta được  4   2      1 cos 4x   cos x      2  cos x   1 4 1 2 2 1 cos 2x          2 2 2 2 Chọn ĐÚNG.
b) Ta có: cos2x    cos 2 . x
cos2x    cos 2 . x (đúng) Chọn ĐÚNG.  
c) Phương trình đã cho đưa về dạng: cos 4x     cos 2 . x .  2  Trang 6  
Phương trình đã cho tương đương với cos 4x
 cos2x      cos 2x  2  Chọn ĐÚNG.
d) Nghiệm của phương trình đã cho là: x    k và x
k k  4 12 3
Nghiệm của phương trình đã cho là   4x   2x k2 x    k   2 4    k    4x   2  x  2k x    k  2  12 3 Chọn SAI. 2 x 4x 52x
Ví dụ 6. [MĐ2] Cho bất phương trình 3 2 2  3 2 2 .  a) Ta có:      1 3 2 2 3 2 2 .
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 2
x  4x  2x  5 .
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 .
d) Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là 9 . Lời giải a) Ta có:      1 3 2 2 3 2 2 . 1 
Ta có: 3 2 23 2 2  3 2 2 1 3 2 2   32 2 1 2 . 3  2 2 Chọn ĐÚNG.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 2
x  4x  2x  5 . 2 2 x 4x 52x x 4x 5  2x Ta có:  
          2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
x  4x  2x 5 (Vì 0  3  2 2  1). Chọn SAI.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 . 2 2 x 4x 52x x 4x 5  2x Ta có:  
          2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
x  4x  2x 5 2
x 6x 5  0 1 x  5 .
Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình là: 2; 3; 4 Chọn SAI.
d) Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là 9 .
Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là: 2  3 4  9 . Chọn ĐÚNG.
Ví dụ 7. [MĐ2] Cho bất phương trình Cho bất phương trình: log    .   2 2x 2 log 5x 5 2 1     2 1
a) Ta có: 0  2 1  1. 2
2x  2  5x  5
b) Bất phương trình đã cho tương đương với:  . 5  x  5  0
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2 .
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0 . Trang 7 Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
a) Ta có: 0  2 1  1.
2 1  0,42  0  2 11. Chọn ĐÚNG. 2
2x  2  5x  5
b) Bất phương trình đã cho tương đương với:  . 5  x  5  0
2x  2  5x  5 log 2x  2  log 5x  5   (Vì 0  2 1  1) 2 1       2 2 2 1 2 2  x  2  0 Chọn SAI.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2 . Ta có: 2 2
2x 5x  7  0
2x 5x  7  0
2x  2  5x  5   log 2x  2  log 5x  5    x  1   x  1  2 1       2 2 2 1 2 2  x  2  0   x 1 x 1  7 1   x   2 7   1 x   x  1  2  x 1
Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là 2; 3 . Chọn ĐÚNG.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0 .
Ta có: nghiệm nguyên của bất phương trình là 2; 3 .
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2 . Chọn SAI.
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 8. [MĐ2] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
hm theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức:   h  16  7 sin 
t  với 0  t  24. Tính thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất. 12  Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn Trả lời: 6  
Ta có: h  16  7 sin  t  12        Vì 1
  sin t 1 7   7  sin 
t  7  9  16  7  sin  t  23  9   h  23 12  12  12   
Nên max h  23  sin  t  1   t
k2  t  6  24k . 12  12 2
Vì 0  t  24 nên thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất là 6 (giờ). Trang 8 T S
Ví dụ 9. [MĐ2] Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau: kt  ln T S 0
trong đó t là số giờ trôi qua, T là nhiệt độ lúc đầu, T là nhiệt độ sau t giờ, S là nhiệt 0
độ môi trường (T ,T ,S theo cùng một đơn vị đo), k là hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ 0
960 C , sau 2 phút nhiệt độ giảm còn 900 C . Biết nhiệt độ phòng là 240 C. Tính nhiệt độ
của cốc trà sau 10 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn Trả lời: 70,6
Gọi T là nhiệt độ sau t giờ 1 1
Gọi T là nhiệt độ sau t giờ 2 2 1 Ta có: T  960 T  900 S  240 C, C, C, t  2(p)  (h) 0 1 1 30 1 90  24 1 11 11 Khi đó: . k  ln  . k  ln  k  30ln 30 96  24 30 12 12 1
Nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút ( t  10(p)  (h) ) là: 2 6 5 5  11  1 T  24  11  T  24  11  T  24 2 2 2 30 ln .  ln  ln  ln          12  6 96  24 12  96  24 12  96  24 5 11 .9624 5
12 T 24 T 24  46,6 T  70,6 2  2 2 Phần Tự Luyện
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn   Câu 1.
Các nghiệm của phương trình sin   x  0  là  5  2 A. x  
k k  . B. x
k k  . 5 5 C. x  
k2 k . D. x
k k . 5 5 Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn D   Ta có: sin
x  0   x k x   k k    .  5  5 5 Câu 2.
Các nghiệm của phương trình 2 sin 3x  2  0 là 2 3 2 A. x   k và x   kk  . 12 3 12 3 2 5 2 B. x    k và x   kk . 12 3 12 3 2 2 C. x   k và x    kk . 12 3 12 3 2 3 2 D. x    k và x   kk  . 12 3 12 3 Lời giải Trang 9
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn B  2 x    k 2  Ta có: 12 3
2 sin 3x  2  0  sin 3x  
 sin3x  sin   k . 2 4  5 2 x   k  12 3   1 Câu 3.
Các nghiệm cùa phương trình cos x     là  6  2 A. x
k2 và x    k2 k . 6 2 B. x  
k2 và x   k2 k . 6 2
C. x k2 và x  
k2 k . 3 D. x
k và x    k k  . 6 2 Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn A x   k2 1      Ta có: 6 cos  x     cos  x    cos   k  .  6  2  6  3
x    k2  2 Câu 4.
Các nghiệm của phương trình 2 sin 2x 1 là A. x   kk .
B. x kk . 4 2 2 C. x
k k . D. x   kk . 2 8 2 Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn A k Ta có: 2
sin 2x  1  cos 2x  0  x
k x   k  . 2 4 2   Câu 5.
Các nghiệm của phương trình tan  x   3  là  3  2 A. x
k2 k  .
B. x kk  . 3 2 2 C. x
k k  . D. x  
k k  . 3 3 Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn C   2 Ta có: tan x
 3  x    k x   k k     .  3  3 3 3 Trang 10   Câu 6.
Các nghiệm của phương trình cot 3x   1    là  4  A. x  
k k  . B. x   kk . 6 6 3 C. x    kk . D. x   kk . 6 6 6 2 Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn B   Ta có: cot 3x   1
  3x     k x    kk     4  4 4 6 3 Hay x   kk . 6 3 Câu 7.
Các nghiệm cùa phương trình sin x  3 cos x  0 là A. x  
k k  . B. x
k k . 6 3 C. x
k k . D. x  
k k  . 6 3 Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn D 1 3  
Ta có: sin x  3 cos x  0  sin x
cos x  0  sin  x   0  2 2  3 
x   k x    k k  . 3 3 Cách khác:
Do cos x  0 không thoả mãn phương trình nên ta có:
sin x  3 cos x  0  tan x   3  x  
k k . 3 Câu 8.
Các góc lượng giác x sao cho cosx   1 15   là 2
A. x 165  k 360 và x  1
 35  k360 k . B. x   
165  k180 và x  1
 35  k180 k .
C. x 135  k 360 và x  1
 05  k360 k .
D. x 135  k180 và x  1
 05  k180 k  . Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn C 1
x 15 120  k360
x 135  k360
Ta có: cos x 15       k  2 x 15  1  20  k360 x  1  05  k360 Câu 9.
Các góc lượng giác x sao cho tan2x  27  tan35 là
A. x  4  1
k 80 k   . B. x  4    1
k 80 k   . Trang 11 C. x  4
   k90 k  .
D. x  4  k90 k   . Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn D
Ta có: tan 2x  27   tan 35  2x  27  35  18
k 0  x  4  k90 k   .
Câu 10. Các góc lượng giác x sao cho sin 2x  sin36  x là
A. x 12  1
k 20 và x 144  k360 k   .
B. x 12  1
k 20 và x  48  1
k 20 k  .
C. x 12  3
k 60 và x 144  1
k 20 k   .
D. x  36  3
k 60 và x 144  k360 k   . Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A
2x  36  x k360 x 12  12 k 0
sin 2x  sin36  x     k .
2x  180  36  x  k360 
x  144  k360   3 9 
Câu 11. Số nghiệm của phương trình cos x 1 trên khoảng   ;  là  4 2  A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn D
cos x 1  x k2 k .  3 9  3 9 3 9 Vì x    ;  nên   k2     k  .  4 2  4 2 8 4
Do k  nên k 0;1;  2 .  3 9 
Vậy phương trình cos x 1 có 3 nghiệm trên khoảng   ;  .  4 2  1  5 5 
Câu 12. Số nghiệm của phương trình sin x  trên khoảng   ;  là 3  2 2  A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn B 1
x  35,26  k 3 . 60 sin x    k;l  . 3
x  144,74  l 3 . 60   5 35, 26 5    .  k.2  5 5    1  ,3  k 1,2 Vì x    ;  nên 2 180 2    .  2 2   5 144,74 5      1  ,7 l 0,8 .  . l 2   2 180 2 Trang 12
Do k; l  nên k  1  ;0;  1 ; l  1  ;  0 . 1  5 5 
Vậy phương trình sin x
có 5 nghiệm trên khoảng   ;  . 3  2 2 
Câu 13. Các nghiệm của phương trình 2 2
cos x  sin x  0 là A. x   . kk . B. x
k k  . 4 2 4 C. x
k k  . D. x  
k k . 2 4 Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A k 2 2
cos x  sin x  0  cos 2x  0  2x
k x   k . 2 4 2  
Câu 14. Nghiệm của phương trình cos 2x     cos 6x là  2  2 A. x  
k2 k  và x   k2 k  . 3 B. x  
k2 k  và x   k2 k  . 3 3
C. x k2 k   và x   k2 k   . D. x  
k k  và x   k k . 8 2 16 4 Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn D   k 2x   6x k2 x        2 8 2 cos 2  x    cos 6x     .  2    k 2x   6  x k2 x    2  16 4 x  3  4
Câu 15. Nghiệm của phương trình    là  2  9 A. x  2  .
B. x   2 . C. x  2 .
D. x  2 . Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A x x 2   3  4  3   3            x  2 .  2  9  2   2  2
Câu 16. Nghiệm của phương trình 2x x  4 là A. x  1
và x  2.
B. x  0 và x 1.
C. x 1 và x  2
 . D. x  0 và x  2. Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A Trang 13    2 2   x 1 x x x x 2 2 2  4  2
 2  x x  2  0   . x  2 2
Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình x 3 5 x  10 là A. 3  . B. log 10 . C. 3 . D.  log 10 . 5 5 Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn C 2 x 3x 2 2 5
10  x  3x  log 10  x  3x  log 10  0 . 5 5 b
Phương trình có hai nghiệm trái dấu và x x    3. 1 2 a 32 x  1 
Câu 18. Nghiệm của phương trình x3  5   là  25  A. x  3  . B. x  5 . C. x  5  . D. x  3. Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB:Bùi Thanh Sơn Chọn D 32x  1   2 x  32 3 xx3  5  5  5  4  
x  6  x  3  x  3 .  25  1
Câu 19. Nghiệm của phương trình log  2 x 1  là 27  3 A. x  2  .
B. x   10 . C. x  2 . D. x  10 . Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A log  1 2 x   2 2 1 
x 1 3  x  4  x  2  . 27 3
Câu 20. Tích các nghiệm của phương trình log  2
x  2x  3 là 2  A. 8 . B. 6 . C. 8  . D. 6  . Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn C x   log  2 2 x  2x 2 2
 3  x  2x  8  x  2x 8  0   . 2 x  4
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 8  .
Câu 21. Số nghiệm của phương trình log  2
x  2x  log 3x  6 là 7  7   A. 2 . B. 0 . C. 3 . D.1. Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn D Trang 14 x  2  x   x   log  3 6 0 2 2
x  2x  log 3x  6    
 x  2  x  3. 7  7   2 2
x  2x  3x  6
x 5x  6  0  x  3 x
Câu 22. Nghiệm của bất phương trình 0,5  3 là
A. x  log 3 . B. x  log 3.
C. x  log 0,5 .
D. x  log 0,5 . 0 5 , 0 5 , 3 3 Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn B x
0,5  3  x  log 3. 0 5 , x
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình  ,  2 0 2  1 là A. . B.  \  0 . C. 0;  . D. . Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A x x
,  2    ,  2   , 0 2 0 2 1 0 2 0 2
x  0  x . 2 x 1  x5
Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 2  3  2  3 là A. 2;  . B.  4  ;. C. ; 2 . D.  ;  4  . Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A
  2x 1   x5   2x 1   x5 2 3 2 3 2 3 2 3  2
x 1  x  5  x  2 .
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log 2x  6  2  là 1   2 A. 3;5 . B.  ;  5. C. 3;  . D. 5;  . Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn D 2   1  log 2x  6  2   2x  6   2  
x  6  4  x  5 . 1    2  2
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2x  3 2  log x là 5 25 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn Chọn A 3 ĐKXĐ : x  . 2 Trang 15 log 2x   2
3  log x  log 2x  3  log x . 5 25 5   5 3 Với x
bpt 2x 3  x x  3. 2 3
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra  x  3. 2
Nghiệm nguyên của bất phương trình là x  2 .
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai    
Câu 27. [MĐ2] Cho phương trình 2 2 cos
x  sin 3x      .  2   4      x
 cos  x 1 cos 6  1 2  2 
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình  . 2 2
b) Ta có cos  2x  cos 2x .
c) Phương trình đã cho đưa về dạng cos2x  cos6x . k
d) Nghiệm của phương trình đã cho là x  ,k   . 4 Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen          x
 cos  x 1 cos 6  1 2  2  a) Ta có 2 2 cos
x  sin 3x        .  2   4  2 2 Chọn ĐÚNG.
b) Ta có cos  2x  cos 2x . Chọn SAI.          x
 cos  x 1 cos 6  1 2  2  c) 2 2 cos
x  sin 3x         2   4  2 2      
 cos  2x  cos 6x  
   cos 2x   cos 6x  
  cos 2x  cos 6x    .  2   2   2  Chọn SAI.          x
 cos  x 1 cos 6  1 2  2  d) 2 2 cos
x  sin 3x         2   4  2 2      
 cos  2x  cos 6x  
   cos 2x   cos 6x  
  cos 2x  cos 6x     2   2   2     k 2x   6x k2  4  x   k2  x     2   2   8 2   , k     k . 2x    6x k2  8x    k2 x     2  2  16 4 Chọn SAI. Trang 16  
Câu 28. [MĐ2] Cho phương trình cos 2x  sin  
x  với x0;    .  4   
a) Ta có cos 2x  sin  2  x  .  2      b) Phương trình sin  2x  sin    
x  có các nghiệm là  2   4  5 x   k2 và x
k2 k  . 4 4
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn 0;    . 5
d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 0;    là . 6 Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen  
a) Ta có cos 2x  sin  2  x  .  2  Chọn ĐÚNG.       
 2x   x k2 
b) Ta có cos 2x  sin   x   sin  2x  sin     x  2 4    4   2   4 
  2x    xk2  2 4   
x    k2 
x    k2  x   k2  4 2   4   4   .    k2 3
x     k2  3  x   k2 x     4 2  4  12 3 Chọn SAI.
c) Ta có x  0;     0  x  TH1: x
k2  0   k2     k2   1 3
   k  , k nên k  0 . 4 4 4 4 8 8 Từ đó ta có x  . 4 k2 k k TH2: x    2  0     2     1 13   k  , k  nên 12 3 12 3 12 3 12 8 8 2 7
k 1. Từ đó ta có x     x  . 12 3 12 Chọn ĐÚNG. 7 10 5
d) Tổng các nghiệm là    . 4 12 12 6 Chọn ĐÚNG.
Câu 29. [MĐ2] Cho phương trình sin4x  sin2x  cos4x  cos2x .
a) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế trái của phương trình đưa về dạng: sin3xcos x.
b) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế phải của phương trình đưa về dạng: cos3xcos x . Trang 17
c) Nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình cos x  0 và phương
trình sin3x  cos3x . k
d) Nghiệm của phương trình đã cho là x k2 và x   k . 12 3 Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen
a) Ta có sin4x  sin2x  cos4x  cos2x 4x  2x 4x  2x 4x  2x 4x  2x  2sin cos  2cos cos
 2sin3xcosx  2cos3xcosx 2 2 2 2 Chọn ĐÚNG. b) Chọn ĐÚNG.
c) Ta có sin4x  sin2x  cos4x  cos2x 4x  2x 4x  2x 4x  2x 4x  2x  2sin cos  2cos cos
 2sin3xcosx  2cos3xcosx 2 2 2 2      cos x cos x
cos xsin3x  cos3x  0 0 0     .
sin 3x  cos 3x  0 sin 3x    cos 3x Chọn ĐÚNG.
d) Ta có sin4x  sin2x  cos4x  cos2x 4x  2x 4x  2x 4x  2x 4x  2x  2sin cos  2cos cos
 2sin3xcosx  2cos3xcosx 2 2 2 2      cos x cos x
cos xsin3x  cos3x  0 0 0    
sin 3x  cos 3x  0 sin 3x    cos 3x   x   k x   k      x k  2 2      2  , k .   k tan3x  0 3  x k x   3 Chọn SAI.
Câu 30. [MĐ3] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Chiều cao
hm của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức   h  14  8sin 
t  với 0  t  24. 12 
a) Lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất.
b) Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ.
c) Mực nước tại bến cảng cao 18m vào lúc 2 giờ và 10 giờ.
d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn 18m . Vậy thời
gian tàu vào được cảng là từ 10 giờ sáng hôm trước đến 2 giờ sáng hôm sau. Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen  
Ta có h  14  8sin  t  . 12   
Có 0  t  24  0  t  24.  0  t  2  1   sin t 1  . 12 12 12 12  Trang 18        8   8sin t  8 
 14  8  14  8sin t 14 8 
 6 14  8sin t  22  . 12  12  12  Vậy 6  h  22 .
a) Lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất.  
Mực nước cao nhất là 22m khi sin  t  1  , mà 0  t  2 , nên ta có t   t  6 12  12 12 2 Chọn ĐÚNG.
b) Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ.   3
Mực nước thấp nhất là 6m khi sin t  1    , mà 0  t  2 , nên ta có t  12  12 12 2  t 12. Chọn ĐÚNG.
c) Mực nước tại bến cảng cao 18m vào lúc 2 giờ và 10 giờ.      t  1  t  2 Khi h  12 6
18m  14  8 sin  t  18   sin t    , 0  t  2     12  12  2 12  5 t 10 t  12 6 Chọn ĐÚNG.
d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn 18m . Vậy thời
gian tàu vào được cảng là từ 10 giờ sáng hôm trước đến 2 giờ sáng hôm sau.
Ta có tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn 18m nên ta có   14  8 sin  t  18  . 12 
Theo kết quả phần c thì thời gian từ 2 giờ sáng đến 10h sáng. Chọn SAI. 2 xx   2  1
Câu 31. [MĐ2] Cho bất phương trình x 5 4    .  8  1 a) Ta có: 2 3 4 2 ; 2   . 8
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình  2 x      2 2 5 3 x x  .
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 6.
d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 4  . Lời giải
GVSB: Nguyễn My; GVPB: Hien Nguyen 1 a) Ta có: 2 3 4 2 ; 2   . 8 Chọn ĐÚNG. 2 xx  1   2x    2 2 2 5 3  5 x x xb) 4   2  2  2 2 x  5  3   2 x    x  .  8  Chọn ĐÚNG. Trang 19

Tài liệu liên quan: