Đề toán thực tế VMO

Đề toán thực tế VMO (Thực tế chỉ vì đề nhiều chữ) Đức Dũng Nguyễn 25/12/2025
Bài 1: Thầy Cẩn đã có gần 20 năm kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn
Toán học và đã đào tạo ra rất nhiều những học sinh xuất sắc, nhiều học sinh
của thầy đã có thành tích rất tốt trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia cũng
như quốc tế. Tuy vậy, thầy vẫn muốn thử sức với bộ môn mới: môn Ngữ Văn.
Cụ thể thầy muốn thử thách bản thân mình với bộ môn làm thơ, vì trước đó
thầy đã đọc và thấy hứng thú với nhiều bộ thơ nổi tiếng và kinh điển trong Văn
học Việt Nam (Truyện Kiều, Truyện Lục Vân Tiên,...). Ngoài ra thầy cũng rất
ngưỡng mộ những nhà thi sĩ tài ba trong lịch sử Văn học (Nguyễn Du, Hồ Xuân
Hương,...). Thầy đã đăng kí một khóa làm thơ thất ngôn bát cú ở một lớp dạy
làm thơ uy tín ở Hà Nội. Thầy giáo dạy làm thơ ở lớp đó là một trong những
nhà thơ xuất sắc ở thế kỉ 21. Và nguyên tắc làm thơ mà Thầy Cẩn đã được học như sau:
- Trong một cụm 5 từ liên tiếp theo chiều ngang thì luôn phải có 3 thành bằng và 2 thanh trắc.
- Trong một câu thơ luôn phải có ít nhất 4 thanh trắc.
- Không được phép để 2 từ có cùng dấu xếp cạnh nhau.(Tính cả trường hợp từ
cuối của câu trước và từ đầu của câu sau)
- Các yếu tố khác không quan trọng, miễn đảm bảo các yếu tố về thanh điệu là được
Tuy nhiên do công việc quá bận bịu nên thầy Cẩn không thể nhớ một nguyên
tắc nào cả. Do đó thầy đã làm thơ thất ngôn bát cú với 6969 tiếng thầy yêu
thích mà chỉ có thanh ngang và thầy chỉ việc thêm các dấu vào trong các tiếng
mà thầy đã chọn trong số 6969 tiếng đó. Tính xác suất để thầy làm thơ đúng
với những gì đã được học.
(Thanh bằng bao gồm thanh ngang (không dấu) và thanh huyền (dấu huyền);
còn Thanh trắc bao gồm thanh sắc, hỏi, ngã, nặng (các dấu còn lại))
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Dựng ra bên ngoài các
hình vuông ABMN, BCPQ, CARS. Gọi T1, T2, T3 là lần lượt là tâm của 3 hình
vuông ABMN, BCPQ, CARS. Gọi H là trực tâm tham giác ABC và Hv là trực
tâm tam giác T1, T2, T3. Gọi Ot là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác T1, T2, T3.
a, Gọi X là trung điểm MR và Y là trung điểm NS. Chứng minh rằng AH vuông góc với XY và BC = 2XY 1
b,Chứng minh rằng HHt song song với OOt
Bài 3: Chương trình "Em xinh say hi"là một show truyền hình thực tế được
phát sóng vào lúc 20h tối thứ 7 hàng tuần trên các nền tảng của Vie. Chương
trình này quy tụ gồm 30 ca sĩ nổi tiếng trên khắp Việt Nam. Mặc dù dấu ấn
của"Em xinh say Hi"chưa thể bằng các concert hay sự kiện lớn trong năm 2025(
Concert quốc gia, A50, A80,...) nhưng cũng để lại một ấn tượng tốt đẹp trong
lòng khán giả. Tại vòng thi đầu tiên thì 30 "em xinh"được chia làm 2 liên quân
với Liên quân 1 đội trưởng là Bích Phương và Liên quân 2 Đội Trưởng là Tiên
Tiên. 28 người còn lại được đánh số từ 1 đến 28 để chia vào 2 liên quân. Với
nhiều khán giả khác thì không hiểu tại sao chương trình lại đánh số để chia đội
nhưng với bạn Dũng thì đây lại là một vấn đề rất thú vị. Cụ thể bạn đang tìm
một hàm số f:N → N thỏa mãn như sau:
i,Với 2 em xinh cùng một liên quân hay cùng một đội trong các livestage sau
vòng Liên Quân được đánh số là x,y thì ta luôn có: f (x) + f (y) = f (x + y)
ii, Tồn tại 2 em xinh được đánh số là x,y sao cho: f (x) + f (y) ̸= f (x + y)
a, Liệu bạn Dũng có thể tìm được 1 hàm số như vậy hay không, tại sao?
b, Sau vòng đấu Liên Quân là vòng đấu Livestage 1, khi sau vòng đấu Liên
Quân không ai bị loại cả và 30 ’em xinh’ tiếp tục được đánh số từ 1 đến 30 và
chia làm 6 đội và mỗi đội 5 người. Liệu lần này bạn Dũng có tìm được hàm số bạn muốn không? 2