21 trang 5 lượt tải

Chuyên Đề Đạo Hàm Và Khảo Sát Hàm Số Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). Lập bảng biến thiên của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có). Điền các kết quả vào bảng. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 278 tài liệu

Môn: Toán 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Mỹ Châu

1 tuần trước

Danh sách Quiz

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẤN NHỚ

1. Đạo hàm

a) Định nghĩa

Cho hàm số

()y f x

xác định trên khoảng

( ; )ab

và điểm

thuộc khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn hữu

hạn

 

()

lim

f x f x





thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

()y f x

tại

và được kí hiệu là

 



hoặc



b) Ýnghĩa vật lí của đạo hàm

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật li. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương

trình

()s s t

, với

()s s t

là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyến động tại thời điểm

là đạo hàm của hàm số

()s s t

tại

   

0 0 0

:t v t s t





c) Ý nghĩa hình hoc của đạo hàm

- Đạo hàm của hàm số

()y f x

tại điểm

là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm

 

0 0 0

;M x f x

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

()y f x

tại điểm

 

0 0 0

;M x f x

là

    

0 0 0

y f x x x f x



  

d) Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số

()u g x

có đạo hàm tại

là



và hàm số

()y f u

có đạo hàm tại

là



thì hàm hợp

( ( ))y f g x

có đạo hàm tại

là

x u x

y y u

  



e) Đạo hàm của một số hàm số

2. Các quy tắt tính đạo hàm

a) Các công thức cần nhớ

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ

bản

Đạo hàm của các hàm số hợp

(dưới đây u = u (x))

( )'xx

















 



( )' . 'u u u









1'u









 



(sin )' cos

(cos )' sin

(tan )' 1 tan

cos

(cot )' (1 cot )

sin





  

    

(sin )' '.cos

(cos )' '.sin

(tan )' '(1 tan )

cos

(cot )' '(1 cot )

sin

u u u





  

    

( )'

( )' .ln

a a a



( )' '.

( )' . '.ln

e u e

a a u a



Trang 2

(ln | |)'

(log | |)'



(ln | |)'

(log | |)'



b. Các quy tắc tính đạo hàm

( )' ' ' 'u v w u v w    

( . ) .k u k u





( )' ' 'uv u v uv

''u u v uv













c. Đạo hàm của hàm số hợp :

' ' . '

x u x

y y u

2. Tính đơn điệu của hàm số

a) Định lí

Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên tập

K 

, trong đó

là một khoảng, đoạn hoặc nửa

khoảng. Nếu

 

0fx





hoặc

 

0fx





với mọi

thuộc

và

 

0fx





chỉ tại một số hữu hạn

điểm của

thì hàm số

 

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

b) Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

 

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

 

y f x

Bước 2. Tính đạo hàm

 

y f x





các điểm

( 1,2,3,......, )

x i n

mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng

hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Chú ý: Ta cũng có thể nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng cách quan sát hình dáng của đồ thị

đi lên (hàm số đồng biến) hoặc đi xuống (hàm số nghịch biến).

3. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên tập

K 

,trong đó

là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

và

,x K x K



được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng

 

,ab

chứa điểm

sao cho

 

,a b K

và

   

f x f x

với mọi

 

,x a b

và

xx

Khi đó,

 

được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu

ĐC



được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng

 

,cd

chứa điểm

sao cho

 

,c d K

và

   

f x f x

với mọi

 

,x c d

và

xx

Khi đó,

 

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là



Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Trang 3

Chú ý: Nếu

là một điểm cực trị của hàm số

 

y f x

thì điểm

 

;M x f x

được gọi là điểm

cực trị của đồ thị hàm số

 

y f x

b) Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số bằng đạo hàm

Giả sử hàm số

 

y f x

liên tục trên khoảng

 

,ab

chứa điểm

và có đạo hàm trên các khoảng

 

,ax

và

 

,xb

. Khi đó



Nếu

 

0fx





với mọi

 

;x a x

và

   

0,f x x x b



  

thì hàm số

 

đạt cực tiểu tại

điểm



Nếu

 

0fx





với mọi

 

;x a x

và

   

0,f x x x b



  

thì hàm số

 

đạt cực đại tại

điểm

c) Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số

 

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

 

Bước 2. Tính đạo hàm

 

y f x





các điểm

( 1,2,3,......, )

x i n

mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng

hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số

 

y f x

xác định trên tập



Số

được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓

(

𝑥

)

trên

, kí hiệu

 

max

M f x

, nếu

 

f x M

với mọi

xD

và tồn tại

xD

sao cho

 

f x M



Số

được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓

(

𝑥

)

trên

, kí hiệu

 

min

m f x

, nếu

 

f x m

với mọi

xD

và tồn tại

xD

sao cho

 

f x m

b) Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

Giả sử hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn

 

;ab

và có đạo hàm trên khoảng

 

;ab

, có thể trừ một

số hữu hạn điểm. Nếu

 

0fx





chỉ tại mốt số hữu hạn điểm thuộc khoảng

 

;ab

thì ta có quy tắc

tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

trên đoạn

 

;ab

như sau:

Bước 1. Tìm các điểm

; ;...;

x x x

thuộc

 

;ab

sao cho tại đó hàm số

có đạo hàm bằng hoặc

không xác định.

Bước 2. Tính

         

; ;...; ; ;

f x f x f x f a f b

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm

 

y f x

trên đoạn

 

;ab

Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm

 

y f x

trên đoạn

 

;ab

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

a) Đường tiệm cận ngang

Trang 4

Đường thẳng

yy

được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

 

y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim





hoặc

lim





b) Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng

xx

được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

 

y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

   

lim , lim ,





   

x x x x

f x f x

   

lim , lim





   

x x x x

f x f x

c) Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng

y ax b

được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số

 

y f x

nếu:

   

lim 0

f x ax b



  





hoặc

   

lim 0

f x ax b



  





6. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

* Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).

* Lập bảng biến thiên của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều

biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có). Điền các kết quả vào bảng.

Bước 3. Vé đồ thị hàm số

* Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

* Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong

trường hợp đơn giản),…

* Nhận xét về đặc điểm đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị (nếu có).

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Ví dụ 1: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên và thỏa mãn

 

12f





. Giá trị của biểu thức

   

lim





f x f

bằng

. B.

. C.

2

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

 

lim 1 2











f x f

Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số

cos2yx

là

sin2x

. B.

-sin2x

. C.

2sin2x

. D.

2cos2x

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

2sin2cos2 xx



 

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên thỏa mãn

   

0, 1;2



  f x x

và

   

0, 2;3



  f x x

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số

 

y f x

đồng biến trên cả hai khoảng

 

1;2

và

 

2;3

Trang 5

B. Hàm số

 

y f x

nghịch biến trên cả hai khoảng

 

1;2

và

 

2;3

C. Hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

1;2

và nghịch biến trên khoảng

 

2;3

D. Hàm số

 

y f x

nghịch biến trên khoảng

 

1;2

và đồng biến trên khoảng

 

2;3

Lời giải

Chọn D

Vì

   

0 1;2f x x



  

và

   

0 2;3f x x



  

nên hàm số

 

y f x

nghịch biến trên khoảng

 

1;2

và đồng biến trên khoảng

 

2;3

Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai

Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Ví dụ 4: Cho các hàm số

 

và

 

thỏa mãn

 

21f x x





và

 



  g x x x

   



  





f x g x x

   



  





f x g x x

 

5 2 6f x x









 

7 7.



  





g x x

Lời giải

       

2 1 3 1







       



f x g x f x g x x x x

       

2 1 1







       



f x g x f x g x x x x

     

5 5 5 2 1 10 5





    



f x f x x x

   

7 7 7





    



g x g x x

Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.

Ví dụ 5. Cho hàm số

 

3  y f x x x

a) Tập xác định của hàm số là .

 



f x x

 



fx

khi

   

; 1 1;    x

 



fx

khi

 

1;1x

d) Hàm số đã cho có đồ thị như ở Hình 1.

Lời giải

1) Tập xác định: .

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực:

lim , lim

 

   

Trang 6

- Bảng biến thiên:



yx

và















Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

 

;1 

và

 

1; 

, nghịch biến trên khoảng

 

1;1

Hàm số đạt cực đại tại

1, 2  xy

; hàm số đạt cực tiểu tại

1, 2  xy

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung:

 

0;0

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại

0x

hoặc

3x

. Vậy đồ thị hàm số giao với trục

hoành tại ba điểm

 

0;0 , 3;0

và

 

3;0

Vậy đồ thị hàm số

 

3  y f x x x

được cho ở Hình 1.

Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Ví dụ 6. Biết rằng

 

sin cos sin cos



  x x a x b x

với

,ab

là các hằng số thực. Giá trị của

2ab

là

bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

       

sin cos sin cos cos sin 1 sin 1 cos

  

         x x x x x x x x

Suy ra

1, 1  ab

. Vậy

23  ab

Ví dụ 7. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh

3dm

. Bác Tùng cắt ở bốn góc bốn hình vuông

cùng có độ dài cạnh bằng

 

dmx

, rồi gấp tấm nhôm lại như Hình 2 để được một cái hộp có

dạng hình hộp chữ nhật không có nắp.

Gọi

là thể tích của khối hộp đó tính theo

 

dmx

. Giá trị lớn nhất của

là bao nhiêu

decimét khối?

Lời giải

Ta thấy độ dài

 

dmx

của cạnh hình vuông bị cắt thoả mãn điều kiện

0 1,5x

Thể tích của khối hộp là

   

32V x x x

với

0 1,5x

Ta phải tìm

 

0;1,5x

sao cho

 

có giá trị lơn nhất.

Ta có:

           

3 2 4 3 2 3 2 3 6 3 3 2 1 2



         V x x x x x x x x

Trên khoảng

   

0;1,5 , 0



Vx

khi

0,5x

Báng biến thiên của hàm số

 

như sau:

Trang 7

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng

 

0;1,5

, hàm số

 

đạt giá trị lón nhất bằng 2

tại

0,5x

. Vây giá trị lớn nhất của

là

2dm

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đạo hàm của hàm số

cot3yx

là:

sin 3x



. B.

sin 3x

. C.

sin 3x



. D.

sin 3x

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

' cot3 '

sin 3 sin 3



  

Câu 2. Đạo hàm của hàm số

y 

là

5 .log5

. B.

5 .ln5

. C.

x

. D.



Lời giải

Chọn B

Ta có

 

5 5 .ln5





Câu 3. Đạo hàm của hàm số

logyx

là

log5x

. B.

5 .ln5

. C.

. D.

ln5x

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

log

ln5





Câu 4. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0. Đạo hàm của hàm số

ax b

cx d







là:

 

ad bc

cx d







. B.

 

ad bc

cx d







. C.

 

ac bd

cx d







. D.

 

ac bd

cx d







Lời giải

Chọn A

Ta có

ax b

cx d





 







 

ad bc

cx d







Câu 5. Đạo hàm của hàm số

23y x x  

là:

2 2 3





. B.

2 2 3







. C.







. D.





Trang 8

Lời giải

Chọn C

Ta có





 

2 2 2

2 2 1

' 2 3 '

2 2 3 2 2 3 2 3

y x x

x x x x x x





     

     

Câu 6. Tập xác định của hàm số







là:

   

; 2 2; .    

   

;2 2; .  

   

; 2 2; .   

   

; 2 2; .    

Lời giải

Chọn D

Ta có

   

2 0 2 ; 2 2; .x x x          

Câu 7. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn

. . 0a d bc

. Đồ thị của hàm số

ax b

cx d







có

đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là:

; y =



; y =





; y =





; y =





Lời giải

Chọn B

Ta có

ax b

cx d







có TXĐ là









lim

ax b

cx d



















. Vậy TCĐ là





lim

ax b a

cx d c









. Vậy TCN là

y =

Câu 8: [MĐ 1] Cho các hằng số

, , , ,a b c d m

khác 0 thỏa mãn

0ad bc

. Đồ thị của hàm số

y ax b

cx d

  



có đường tiệm cận xiên là:

y cx d

. B.

y a bx

. C.

y c dx

. D.

y ax b

Lời giải

Chọn D

Tập xác định:









Ta có

 

lim lim 0

y ax b

cx d

 

   







và

 

lim lim 0

y ax b

cx d

 

   







nên đồ thị

hàm số đã cho có đường tiệm cận xiên là

y ax b

Câu 9: [MĐ 1] Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên thoả mãn

   

0, 0;1f x x



  

và

   

0, 1;2f x x



  

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trang 9

A. Hàm số

 

đồng biến trên các khoảng

 

0;1

và

 

1;2

B. Hàm số

 

nghịch biến trên các khoảng

 

0;1

và

 

1;2

C. Hàm số

 

đồng biến trên khoảng

 

0;1

và nghịch biến trên khoảng

 

1;2

D. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

0;1

và đồng biến trên khoảng

 

1;2

Lời giải

Chọn C

Vì

   

0, 0;1f x x



  

và

   

0, 1;2f x x



  

nên hàm số

 

y f x

nghịch biến trên

khoảng

 

1;2

và đồng biến trên khoảng

 

2;3

Câu 10: [MĐ 2] Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên thoả mãn

 

5 6,f x x x x



    R

. Hàm

số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

 

0;3

. B.

 

6;1

. C.

 

;1 

. D.

 

6;

Lời giải

Chọn A

Tập xác định:

D 

Ta có:

 

56f x x x  



;

 















Bảng xét dấu:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng

 

1; 6

và đồng biến trên các khoảng

 

;1 

 

6; 

Ta có

   

0;3 1;6 

nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng

 

0;3

Câu 11: [MĐ 1] Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên và có đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

 

4;2

. B.

 

0;4

. C.

 

2;0

. D.

 

4;4

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị, ta có trên khoảng

 

2;2

đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái sang phải)

nên hàm số đồng biến trên khoảng

 

2;2

Ta có

   

2;0 2;2  

nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng

 

2;0

Trang 10

Câu 12: [MĐ 1] Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 

0;2

. B.

 

0;

. C.

 

;0

. D.

 

;2

Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

 

0, 0;2yx



  

nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

0;2

Câu 13. [MĐ1] Cho hàm số

()y f x

liên tục trên và có đồ thị như Hình 4. Phát biểu nào sau đây là

đúng?

1, 1

CT CD

xx  

3, 1

CT CD

xx  

1, 3

CT CD

xx  

1, 1

CT CD

xx  

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có điểm cực đại của hàm số là

CÐ

1x 

, điểm cực tiểu của hàm số là

1x 

Câu 14. [MĐ2] Cho hàm số

()y f x

liên tục trên thoả mãn

( ) (0), ( 1;1) \{0}f x f x   

và

( ) (2), (1;3) \{2}f x f x  

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

0, 2

CT CD

xx

. B.

2, 0

CT CD

xx

1, 3

CT CD

xx  

. D.

3, 1

CT CD

xx  

Lời giải

Chọn B

Vì

( ) (0), ( 1;1) \{0}f x f x   

nên

0x 

là điểm của đại của hàm số. Và

( ) (2), (1;3) \{2}f x f x  

nên

2x 

là điểm của đại của hàm số.

Câu 15. [MĐ1] Cho hàm số

()y f x

có đồ thị nḥư Hình 5. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trang 11

1, 2

CT CD

xx

2, 1

CT CD

xx  

2, 2

CT CD

xx  

2, 2

CT CD

xx  

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị cực đại của hàm số là

CÐ

2y 

, giá trị cực tiểu của hàm số

là

2y 

Câu 16. [MĐ1] Cho hàm số

()y f x

có đồ thị như Hình 6 . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

1x 

, đường tiệm cận ngang

0y 

B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

1x 

, đường tiệm cận ngang

1y 

C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

0x 

, đường tiệm cận ngang

0y 

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

0x 

, đường tiệm cận ngang

1y 

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

0x 

, đường tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số là

1y 

Câu 17. [MĐ2] Cho hàm số

()y f x

có bảng biến thiên như sau

Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

1, 1.xy

1, 2.xy

2, 1.xy

2, 2.xy

Trang 12

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:

lim ( ) 1 1

f x y



  

là một tiệm cận ngang

lim ( ) 1 1

f x y



  

là một tiệm cận ngang

lim ( ) 2

f x x





   

là một tiệm cận đứng

Câu 18. [MĐ2] Cho hàm số

 

ax bx c

y ac





có đồ thị như Hình 7. Đường tiệm cận xiên của

đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng:

A. Đường thẳng

yx

B. Đường thẳng

yx

C. Đường thẳng

0x 

. .

D. Đường thẳng

2yx

. .

Lời giải

Chọn D

 

lim lim 0

y ax b

 

   

nên đường thẳng

( ):d y ax b

là tiện cận xiên của đồ thị hàm

số đã cho.

Vì

()d

đi qua

 

0;0O

và

 

2; 4A 

nên











. Vậy đường thăng

()d

có dạng .

2yx

Câu 19. [MĐ1] Cho hàm số

()y f x

liên tục trên và có đồ thị như Hình 8. Gọi m, M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

 

trên đoạn

 

2;2

. Phát biểu nào sau đây đúng?

2, 2mM  

1, 3mM

3, 1mM

1, 3mM  

Lời giải

Trang 13

Chọn D

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:

1m 

3M 

Câu 20. [MĐ2] Cho hàm số

()y f x

có đồ thị ở Hình 9 . Đường thẳng nào sau đây là trục đối

xứng của đồ thị đã cho?

A. Đường thẳng

yx

B. Đường thẳng

yx

C. Đường thẳng

0y 

. .

D. Đường thẳng

0x 

Lời giải

Không có đáp án

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:

lim ( ) 1 1

f x y



  

là một tiệm cận ngang

lim ( ) 1 1

f x y



  

là một tiệm cận ngang

lim ( ) 1

f x x





    

là một tiệm cận đứng

Tâm đối xứng là

 

1;1I 

Hàm số không có trục đối xứng.

Câu 21. Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị ở Hình 10. Tâm đối xứng

của đồ thị hàm số có toạ độ là:

 

2;2

. B.

 

2; 2

 

2;2

. D.

 

2; 2

Lời giải:

Chọn A

Trang 14

Giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

của đồ thị hàm số là

 

2;2

nên tâm đối xứng của đồ thị hàm

số là

 

2;2 .

Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 22. Cho hàm số

 

sin2f x x x

 

1 2cos2xfx





 

0 cos2x



   

g) Trên đoạn

 



phương trình

 

0fx





có đúng một nghiệm



h) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn

 



là





Đáp án: a) S, b) S, c) S, d) Đ.

Lời giải

Kết quả

Ta có:

 

1 2cos2 .f x x





 

0 1 2cos2 0f x x



   

2cos2x 1 cos2

x     

 

x k x k k



        

Với

 

0;x





thì phương trình

 

0fx





có nghiệm















Trên đoạn

 



00xy  

;

6 6 2



   

5 5 3

;

6 6 2



   

.xy



  

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 



là





Vậy a) S, b) S, c) S, d) Đ.

Câu 23. Cho hàm số

 







Trang 15

     

2 , ; 2 2;

f x x x

         



f) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường

2x 

g) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là

2yx

h) Hàm số đã cho có đồ thị hàm số như Hình 11.

Lời giải

Kết quả

Tập xác định của hàm số là

   

; 2 2; .D      

 

2x 2x 4 2 2

f x x

   

   



Ta có

lim





  

2x 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 







Ta có

 

lim 2 0



   





2yx

là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

 







Vậy a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Câu 24. Cho hàm số

3xa







có đồ thị như Hình 12.

Trang 16

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

2.x 

2.b 

c) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

0.a 

Lời giải

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

2x 

Đúng vì từ đồ thị Hình 12 nhận biết được đồ thị có đường tiệm cận đứng

2x 

2.b 

Sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

2x 

nên

2 2.bb    

c) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

Sai vì đồ thị hàm số có đi qua gốc tọa độ.

0.a 

Đúng vì đồ thị hàm số có đi qua gốc tọa độ.

Câu 25. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên và có bảng biến thiên như sau.

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(8;14).

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng

c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng

38.

d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(8;38).

Lời giải

Kết quả

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(8;14).

Kết quả

Trang 17

Đúng vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

thì hàm số nghịch biến trên các khoảng

( ; 1) 

và

(1; )

. Mà

(8;14) (1; ). 

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Đúng vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

thì hàm số

 

y f x

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

khi

1.x 

c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng

38.

Sai vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

và

lim 142





nên hàm số

 

y f x

không có

giá trị lớn nhất. (

là giá trị cực đại của hàm số.)

d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(8;38).

Sai vì hàm số đã cho chỉ đồng biến trên khoảng

( 1;1).

Câu 26. Cho hàm số

 

=y f x ax bx cx d   

(

là các số thực và

0a 

) có đồ thị hàm số

()fx

như Hình 13.

a) Điểm cực tiểu của hàm số

 

y f x

là

x 

b) Điểm cực đại của hàm số

 

y f x

là

x 

c) Hàm số

 

y f x

đồng biến trên

(0;1).

d) Hàm số

 

y f x

nghịch biến trên

(2025;2026).

Lời giải

a) Điểm cực tiểu của hàm số

 

y f x

là

x 

Đúng vì đồ thị

()fx

cắt trục hoành tại

2x 

và hướng đi từ dưới trục hoành lên trên trục

hoành.

b) Điểm cực đại của hàm số

 

y f x

là

CĐ

x 

Đúng vì đồ thị

()fx

cắt trục hoành tại

1x 

và hướng đi từ trên trục hoành xuống dưới trục

hoành.

c) Hàm số

 

y f x

đồng biến trên

(0;1).

Đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng

( 2;1).

d) Hàm số

 

y f x

nghịch biến trên

(2025;2026).

Đúng vì hàm số nghịch biến trên các khoảng

( ; 2) 

và

(1; )

mà

(2025;2026) (1; ) 

Kết quả

Trang 18

Câu 27. Trong 9 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

 

9 21 1, s t t t t    

trong đó

tính bằng giây và

tính bằng mét.

 

' 3 18 21.s t t t   

 

'' 6 18.  s t t

c) Phương trình

 

'0st

có đúng một nghiệm dương là

7.t 

d) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vật dừng lại là 36

/ms

Lời giải

Kết quả

a) Ta có

 

3 18 21s t t t   



. Suy ra a) đúng.

b) Ta có

 

'' 6 18.s t t  

Suy ra b) đúng.

c) Phương trình

 

0 3 18 21 0 7, 1.s t t t t t        



Vì

0t 

nên suy ra

7.t 

Suy ra c) đúng.

d) Gia tốc của chất điểm tại thời vật dừng lại là

 

'' 6.7 187s    

24 /ms

. Suy ra d) sai.

Câu 28. Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch

(gam ) muối tinh

khiết và được dung dịch có nồng độ

 

%.fx

a) Hàm số

 

100 200







b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng (0 ; + ∞).

c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%.

d) Giới hạn của

 

khi

dần đến dương vô cực bằng 100.

Lời giải

Kết quả

a) Trong

200

gam dung dịch muối nồng độ

15%

có

200.

100

30

(gam) muối tinh khiết. Khi thêm

(gam) muối tinh khiết vào

200

gam dung dịch muối nồng độ

15%

thì có

 

30x 

(gam ) muối tinh khiết.

Khi đó, ta có hàm số là

 

100 30

200







. Suy ra a) sai.

b) Ta có

 

17000

0, 0; .

200

x x    



Suy ra b) sai.

c) Vì

 

đồng biến trên khoảng

 

0;

nên khi

tăng thì

 

tăng. Nghĩa là khi thêm càng nhiều

gam muối tinh khiết thì dung dịch có nồng độ phần trăm càng tăng.

Vì

30 200 xx  

với mọi

 

0;x 

nên

200







dẫn đến

 

100 30

100.

200







Nghĩa là

nồng độ phần trăm không vượt quá 100% khi cho thêm nhiều gam muối tinh khiết vào. Suy ra c) đúng.

d) Ta có :

 

100 30

lim lim 100.

200

 







Suy ra d) đúng.

Câu 29. Một chất điểm chuyển động theo phương trình

   

0,5cos 2 ,s f t t





trong đó

tính bằng

mét,

tính bằng giây.

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm

là

   

sin 2 / .t m s





b) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm

là

 

2 cos 2 / .t m s





c) Vận tốc lớn nhất của chất điểm bằng

 

/ .ms



Trang 19

d) Gia tốc lớn nhất của chất điểm bằng

 

2 / .ms



Lời giải

Kết quả

   

' ' 0,5.2 .sin 2s f t t



   

   

sin 2 / .t m s





Suy ra a) đúng.

   

" " 2 . 2s f t cos t



  

 

/ .ms

Suy ra b) sai.

     

sin 2 /v t t m s

  

  

, vì

 

1 sin 2 1, 0tt



    

. Suy ra c) đúng.

d) Vì

 

1 s 2 1, 0co t t



    

nên

     

 

2 2 2

" 2 . 2 2 / .a t f t cos t m s

  

   

Suy ra d) đúng.

Câu 30. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên R thoả mãn

     

1 1 , .f f x f x R    

a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là

 

1.f

b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là

 

1.f 

c) Điểm cực tiểu của hàm số

x 

d) Điểm cực tiểu của hàm số

CĐ

x 

Lời giải

Kết quả

a) Vì

     

1 1 , f f x f x R    

nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là

 

.Suy ra a) đúng.

b) Vì

     

1 1 , f f x f x R    

nên giá trị lớn nhất của hàm số trên R là

 

1.f 

Suy ra b) đúng.

c) Vì

     

1 1 , f f x f x R    

nên

1x 

không phải là điểm cực trị. Suy ra c) sai.

d) Vì

     

1 1 , f f x f x R    

nên

1x 

không phải là điểm cực trị. Suy ra d) sai.

Câu 31. Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là

 

1000 25p x x

, trong đó

 

(triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có

sản

phẩm được bán ra.

a) Hàm doanh thu của công ty là

   

.f x x p x

b) Hàm số

 

25 1000f x x x  

có đạo hàm

 

50 1000f x x



  

c) Nếu

   

.f x x p x

là hàm doanh thu thì phương trình

 

0fx





có nghiệm là

2x 

d) Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng

10000

Lời giải

Kết quả

a) Ta có doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra. Suy ra

hàm doanh thu của công ty là

   

.f x x p x

. Suy ra a) đúng.

b) Ta có

     

. 1000 25 25 1000     f x x p x x x x x

Suy ra đạo hàm

 

50 1000f x x



  

. Suy ra b) đúng.

 

0 50 1000 0 20



      f x x x

Vậy

 

0fx





có nghiệm là

20x

. Suy ra c) sai.

d) Lập BBT của hàm số

 

25 1000  f x x x

ta có

 

25 1000  f x x x

đạt giá trị lớn nhất là

10000

tại

20x

Trang 20

Vậy doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng

10000

triệu đồng, khi đó có

sản phẩm được bán ra. Suy ra d)

đúng.

Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 32. Giả sử hàm số

 

6 9 1f x x x x   

đạt cực đại tại

xa

và đạt cực tiểu tại

xb

. Giá trị của

biểu thức

2A a b

là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời:

5A 

Ta có:

 

3 12 9f x x x



  

 

0fx







1, 3xx

Hàm số đạt cực đại tại

1x 

và đạt cực tiểu tại

3x 

nên suy ra

1a 

3b 

Vậy

25A a b  

Câu 33. Cho đồ thị hàm số

 







có tâm đối xứng là

 

;I a b

. Giá trị của biểu thức

4B a b  

là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời:

4 25B a b    

Tâm đối xứng là

là giao điểm của tiệm cận đứng

7x 

và tiệm cận ngang

3y 

Nên ta có:

7, 3ab  

. Vậy

4 25B a b    

Câu 34. Cho đồ thị hàm số

 

f x x

  



có tâm đối xứng là

 

;I a b

. Giá trị của biểu thức

3C a b

là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời:

3 13C a b  

Ta có

1a 

4b 

. Vậy

3 13C a b  

Câu 35. Cho

0a 

30b ac

. Hàm số

y ax bx cx d   

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Trả lời:

Ta có

32y ax bx c



  

, vì

0a 

30b ac

nên





có hai nghiệm phân biệt

,xx

(giả sử

xx

). Khi đó, với cả hai trường hợp

0a 

và

0a 

hàm số đã cho đều có hai điểm cực trị.

Câu 36. Cho các hằng số

, , ,a b c d

khác

thỏa mãn

0ad bc

. Tổng số đường tiệm cận ngang và

đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

ax b

cx d







là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời:

Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là



và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẤN NHỚ 1. Đạo hàm a) Định nghĩa
Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng ( ;
a b) và điểm x thuộc khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn hữu 0
f (x)  f  x0  hạn lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y  f (x) tại x và được kí hiệu là 0 xx  0 x x0
f   x hoặc y . 0  x0
b) Ýnghĩa vật lí của đạo hàm
Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật li. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương
trình s  s(t) , với s  s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyến động tại thời điểm t 0
là đạo hàm của hàm số 
s  s(t) tại t : v t  s t 0  0  0
c) Ý nghĩa hình hoc của đạo hàm
- Đạo hàm của hàm số y  f (x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm 0 M x ; f x . 0  0  0 
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x) tại điểm M x ; f x là 0  0  0  y f 
 x x  x  f x . 0   0   0
d) Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u  g(x) có đạo hàm tại x là u và hàm số y  f (u) có đạo hàm tại u là y thì hàm hợp x u   
y  f (g(x)) có đạo hàm tại x là y  y  u . x u x
e) Đạo hàm của một số hàm số
2. Các quy tắt tính đạo hàm
a) Các công thức cần nhớ
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ
Đạo hàm của các hàm số hợp bản
(dưới đây u = u (x))   1   (x )'  x    1 (u )'  u .u ' '  ' 1  1    1  u '       2  x  x 2  u  u  u x  1 '   u ' '  2 x 2 u
(sin x) '  cos x
(sin u) '  u '.cosu
(cos x) '  sin x (cosu) '  u  '.sinu 1 u ' 2 (tan x) '  1 tan x 2 (tan u) ' 
 u '(1 tan u) 2 cos x 2 cos u 1 u ' 2 (cot x) '    (1 cot x) 2 (cot u) '  
 u '(1 cot u) 2 sin x 2 sin u ( x e ) ' x  e ( u
e ) '  u '. u e ( x a ) ' x  a .ln a ( u a ) ' u
 a .u '.ln a Trang 1 1 u ' (ln | x |) '  (ln | u |) '  x u 1 u ' (log | x |) '  (log | u |) '  a x ln a a u ln a
b. Các quy tắc tính đạo hàm (u  v  )
w '  u ' v ' w'
(k.u)  k.u
(uv)'  u 'v  uv'   u  u 'v  uv '    2  v  v
c. Đạo hàm của hàm số hợp : y '  y ' .u ' x u x
2. Tính đơn điệu của hàm số a) Định lí
Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên tập K  , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa
khoảng. Nếu f  x  0 hoặc f  x  0 với mọi x thuộc K và f  x  0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm của K thì hàm số f  x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K .
b) Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f  x
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y  f x .
Bước 2. Tính đạo hàm y  f x các điểm x (i 1,2,3,......, )
n mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng i 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. i
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Chú ý: Ta cũng có thể nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng cách quan sát hình dáng của đồ thị
đi lên (hàm số đồng biến) hoặc đi xuống (hàm số nghịch biến).
3. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số a) Định nghĩa
Cho hàm số y  f x liên tục trên tập K  ,trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng
và x  K, x  K 0 1
 x được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng a,b chứa điểm x 0 0 sao cho  ,
a b  K và f  x  f  x với mọi x  ,
a b và x  x 0  0
Khi đó, f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu f . 0  CĐ
 x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng  ,cd chứa điểm x 1 1 sao cho  ,
c d   K và f  x  f  x với mọi x  ,
c d  và x  x 1  1
Khi đó, f  x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là f . 1  CT
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu
được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị). Trang 2
Chú ý: Nếu x là một điểm cực trị của hàm số y  f  x thì điểm M x ; f x được gọi là điểm 0  0 0
cực trị của đồ thị hàm số y  f  x .
b) Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số bằng đạo hàm
Giả sử hàm số y  f  x liên tục trên khoảng a,b chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng 0
 ,a x và x , b . Khi đó 0  0 
 Nếu f x  0 với mọi x ;
a x và f  x  0 x
 x ,b thì hàm số f x đạt cực tiểu tại 0  0  điểm x . 0
 Nếu f x  0 với mọi x ;
a x và f  x  0 x
 x ,b thì hàm số f x đạt cực đại tại 0  0  điểm x . 0
c) Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số f  x .
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f  x .
Bước 2. Tính đạo hàm y  f x các điểm x (i 1,2,3,......, )
n mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng i 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. i
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a) Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x xác định trên tập D .
 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên D , kí hiệu M  max f x , nếu D
f  x  M với mọi xD và tồn tại x  D sao cho f  x  M . 0  0
 Số m được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên D , kí hiệu m  min f x, nếu D
f  x  m với mọi xD và tồn tại x  D sao cho f  x  m . 0  0
b) Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm
Giả sử hàm số y  f  x liên tục trên đoạn  ;
a b và có đạo hàm trên khoảng  ;
a b, có thể trừ một
số hữu hạn điểm. Nếu f  x  0 chỉ tại mốt số hữu hạn điểm thuộc khoảng  ;
a b thì ta có quy tắc
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x trên đoạn  ; a b như sau:
Bước 1. Tìm các điểm x ; x ;...; x thuộc  ;
a b sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc 1 2 n không xác định.
Bước 2. Tính f x ; f x ;...; f x ; f a ; f b . 1   2
 n    
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm y  f x trên đoạn  ; a b .
Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm y  f x trên đoạn  ; a b .
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
a) Đường tiệm cận ngang Trang 3
Đường thẳng y  y được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số o
y  f  x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim y  y hoặc lim y  y . o o x x
b) Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x  x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f x 0
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f  x  , lim f  x  , lim f  x  , lim f  x   .     xx x xx x 0 0 x 0 0 x
c) Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng y  ax  b được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
y  f  x nếu: lim  f
  x  ax  b  0  hoặc lim  f
  x  ax  b  0  . x x
6. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
* Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
* Lập bảng biến thiên của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều
biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có). Điền các kết quả vào bảng.
Bước 3. Vé đồ thị hàm số
* Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
* Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong
trường hợp đơn giản),…
* Nhận xét về đặc điểm đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị (nếu có). B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. Ví dụ 1:
Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên
và thỏa mãn f  
1  2 . Giá trị của biểu thức
f  x  f   1 lim bằng x 1  x 1 1 A. . B. 2 . C. 2  . D. 2 . 2 Lời giải Chọn B
f  x  f   1 Ta có lim  f   1  2 x 1  x 1
Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số y  cos 2x là
A. sin2x .
B. -sin2x . C. 2  sin2x . D. 2cos 2x . Lời giải Chọn C 
Ta có cos 2x  2  sin2x Ví dụ 3:
Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên thỏa mãn f x  0,x1;2 và
f  x  0,x 2; 
3 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x đồng biến trên cả hai khoảng 1;2 và 2;  3 . Trang 4
B. Hàm số y  f  x nghịch biến trên cả hai khoảng 1;2 và 2;  3 .
C. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên khoảng 2;  3 .
D. Hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng 1;2 và đồng biến trên khoảng 2;  3 . Lời giải Chọn D
Vì f  x  0 x
 1;2 và f x  0 x  2; 
3 nên hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng
1;2và đồng biến trên khoảng 2;  3 .
Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ví dụ 4: Cho các hàm số f  x và g  x thỏa mãn f  x  2x 1 và g x  , x x  . 
a)  f  x  g  x  3x 1  
b)  f  x  g  x  x 1   c) 5 f 
x  2x  6   d)  7  
g  x  x  7.  Lời giải 
-  f x  g x  f  
x gx  2x 1 x  3x 1. 
-  f x  g x  f  
x gx  2x 1 x  x 1.  - 5
 f x  5 f  
x  52x   1  10x  5 .  -  7
 g x  7
 gx  7    x .
Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
Ví dụ 5. Cho hàm số y  f x 3  x 3x .
a) Tập xác định của hàm số là .
b) f  x 2  3x 3
c) f  x  0 khi x  ;   
1 1; , f  x  0 khi x  1  ;  1 .
d) Hàm số đã cho có đồ thị như ở Hình 1. Lời giải 1) Tập xác định: . 2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: lim y  , lim y   . x x Trang 5 x  1  - Bảng biến thiên: 2
y  3x  3 và y  0   . x 1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;   
1 và 1; , nghịch biến trên khoảng  1  ;  1 .
Hàm số đạt cực đại tại x  1
 , y  2; hàm số đạt cực tiểu tại x 1, y  2  . CD CT 3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: 0;0 .
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại x  0 hoặc x   3 . Vậy đồ thị hàm số giao với trục
hoành tại ba điểm 0;0, 3;0 và  3;0.
Vậy đồ thị hàm số y  f x 3
 x 3x được cho ở Hình 1.
Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Ví dụ 6. 
Biết rằng sin x  cos x  a sin x  b cos x với a, b là các hằng số thực. Giá trị của a  2b là bao nhiêu? Lời giải   
Ta có: sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  sin x   
1  sin x 1 cos x . Suy ra a  1
 ,b 1. Vậy a  2b  3  .
Ví dụ 7. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 3dm . Bác Tùng cắt ở bốn góc bốn hình vuông
cùng có độ dài cạnh bằng xdm , rồi gấp tấm nhôm lại như Hình 2 để được một cái hộp có
dạng hình hộp chữ nhật không có nắp.
Gọi V là thể tích của khối hộp đó tính theo xdm . Giá trị lớn nhất của V là bao nhiêu decimét khối? Lời giải
Ta thấy độ dài xdm của cạnh hình vuông bị cắt thoả mãn điều kiện 0  x 1,5 .
Thể tích của khối hộp là V  x  x  x2 3 2
với 0  x  1,5 .
Ta phải tìm x  0;1,5 sao cho V x có giá trị lơn nhất. 0  0   2
Ta có: V  x  3  2x  4x 3  2x  3  2x3  6x  33  2x1 2x .
Trên khoảng 0;1,5,Vx  0 khi x  0,5.
Báng biến thiên của hàm số V  x như sau: Trang 6
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng 0;1,5, hàm số V  x đạt giá trị lón nhất bằng 2
tại x  0,5. Vây giá trị lớn nhất của V là 3 2dm . C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Đạo hàm của hàm số y  cot 3x là: 1 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x Lời giải Chọn C  3x ' 3 
Ta có y '  cot 3x   '   2 2 sin 3x sin 3x
Câu 2. Đạo hàm của hàm số 5x y  là A. 5 . x log 5 .
B. 5x.ln 5 . C. 1 5x . D. 1 .5x x  . Lời giải Chọn B 
Ta có 5x   5 .xln 5
Câu 3. Đạo hàm của hàm số y  log x là 5 1 1 1 A. .
B. 5x.ln 5 . C. . D. . x log 5 x x ln 5 Lời giải Chọn D 1  Ta có log x  5  xln5 
Câu 4. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0. Đạo hàm của hàm số ax b y  là: cx  d ad  bc ad  bc ac  bd ac  bd A. y '      . B. y ' . C. y ' . D. y ' . cx  d 2 cx  d 2 cx  d 2 cx  d 2 Lời giải Chọn A  ax  b  ad  bc Ta có y '  '    y '   cx  d  cx  d 2
Câu 5. Đạo hàm của hàm số 2 y 
x  2x  3 là: 1 x 1 x 1 1 A. y '  . B. y '  . C. y '  . D. y '  . 2 2 x  2x  3 2 2 x  2x  3 2 x  2x  3 2 x  2x  3 Trang 7 Lời giải Chọn C 2 x  2x ' 2x  2 x 1 Ta có y '   2
x  2x  3    '    2 2 2 2 x  2x  3 2 x  2x  3 x  2x  3 x 
Câu 6. Tập xác định của hàm số 2 y  là: x  2 A.  ;  2   2  ;. B.  ;  22;. C.  ;  2
 2;. D.  ;  2   2  ;.. Lời giải Chọn D
Ta có x  2  0  x  2  x  ;  2   2  ;. 
Câu 7. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn . a d  .
b c  0 . Đồ thị của hàm số ax b y  có cx  d
đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: d a d a A. x  ; y = B. x  ; y = c c c c d b b b C. x  ; y = D. x  ; y = . c d a d Lời giải Chọn B ax  b  d  Ta có y 
có TXĐ là R \   cx  d  c  ax  b d +) lim
  . Vậy TCĐ là x  . 
 d  cx  d c x   c  ax  b a a +) lim  . Vậy TCN là y =
x cx  d c c
Câu 8: [MĐ 1] Cho các hằng số a, ,
b c, d , m khác 0 thỏa mãn ad  bc  0 . Đồ thị của hàm số m
y  ax  b  cx  có đường tiệm cận xiên là: d
A. y  cx  d .
B. y  a  bx .
C. y  c  dx .
D. y  ax  b . Lời giải Chọn D  d 
Tập xác định: D  \   .  c  m m Ta có lim  y  
ax b  lim  0 
lim  y  ax  b   lim  0   x
x cx  và   d x
x cx  nên đồ thị d
hàm số đã cho có đường tiệm cận xiên là y  ax  b .
Câu 9: [MĐ 1] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên
thoả mãn f  x  0, x  0;  1 và
f  x  0, x
 1;2. Phát biểu nào sau đây là đúng? Trang 8
A. Hàm số f  x đồng biến trên các khoảng 0;  1 và 1;2 .
B. Hàm số f  x nghịch biến trên các khoảng 0;  1 và 1;2 .
C. Hàm số f  x đồng biến trên khoảng 0; 
1 và nghịch biến trên khoảng 1;2 .
D. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng 0; 
1 và đồng biến trên khoảng 1;2 . Lời giải Chọn C
Vì f  x  0, x  0; 
1 và f  x  0, x
 1;2 nên hàm số y  f x nghịch biến trên
khoảng 1;2 và đồng biến trên khoảng 2;  3 .
Câu 10: [MĐ 2] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên      
thoả mãn f  x 2 x 5x 6, x R . Hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 0;  3 . B.  6  ;  1 . C.  ;    1 . D. 6; . Lời giải Chọn A
Tập xác định: D  x  
Ta có: f  x 2
 x 5x  6 ; f x 1  0   . x  6 Bảng xét dấu:
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng  1
 ; 6 và đồng biến trên các khoảng  ;    1 , 6;  . Ta có 0;  3   1
 ; 6 nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng 0;  3 .
Câu 11: [MĐ 1] Cho hàm số y  f  x liên tục trên
và có đồ thị như hình dưới đây.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  4  ;2 . B. 0; 4 . C.  2  ;0 . D.  4  ;4 . Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị, ta có trên khoảng  2
 ;2 đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái sang phải)
nên hàm số đồng biến trên khoảng  2  ;2 . Ta có  2  ;0  2
 ;2 nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng  2  ;0 . Trang 9
Câu 12: [MĐ 1] Cho hàm số y  f  x liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; 2 . B. 0; . C.  ;0  . D.  ;  2 . Lời giải Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên, ta có y  0, x
 0;2 nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;2.
Câu 13. [MĐ1] Cho hàm số y  f (x) liên tục trên
và có đồ thị như Hình 4. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. x  1  , x 1. CT CD B. x  3  , x 1. CT CD C. x 1, x  3  . CT CD D. x 1, x  1  . CT CD Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số ta có điểm cực đại của hàm số là x  1
 , điểm cực tiểu của hàm số là CÐ x 1. CT
Câu 14. [MĐ2] Cho hàm số y  f (x) liên tục trên
thoả mãn f (x)  f (0), x  ( 1  ;1) \{0} và
f (x)  f (2), x
 (1;3) \{2}. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. x  0, x  2 . B. x  2, x  0 . CT CD CT CD C. x  1  , x  3. D. x  3, x  1  . CT CD CT CD Lời giải Chọn B
Vì f (x)  f (0), x  ( 1
 ;1) \{0}nên x  0 là điểm của đại của hàm số. Và
f (x)  f (2), x
 (1;3) \{2} nên x  2 là điểm của đại của hàm số.
Câu 15. [MĐ1] Cho hàm số y  f (x) có đồ thị nḥư Hình 5. Phát biểu nào sau đây là đúng? Trang 10 A. x 1, x  2 . CT CD B. x  2, x  1  . CT CD C. x  2  , x  2 . CT CD D. x  2, x  2  . CT CD Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị cực đại của hàm số là y  2
 , giá trị cực tiểu của hàm số CÐ là y  2 . CT
Câu 16. [MĐ1] Cho hàm số y  f (x) có đồ thị như Hình 6 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  1
 , đường tiệm cận ngang y  0 .
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  1
 , đường tiệm cận ngang y  1  .
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  0 , đường tiệm cận ngang y  0 .
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  0 , đường tiệm cận ngang y  1  . Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x  0 , đường tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số là y  1  .
Câu 17. [MĐ2] Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau
Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
A. x  1, y  1.
B. x  1, y  2.     C. x 2, y 1. D. x 2, y 2. Trang 11 Lời giải Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim f (x)  1  y  1 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)  1  y  1 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)    x  2 là một tiệm cận đứng  x2 2
ax  bx  c
Câu 18. [MĐ2] Cho hàm số y 
,ac  0 có đồ thị như Hình 7. Đường tiệm cận xiên của x
đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng:
A. Đường thẳng y  x .
B. Đường thẳng y  x .
C. Đường thẳng x  0 . .
D. Đường thẳng y  2  x . . Lời giải Chọn D c
Do lim  y  ax  b  lim
 0 nên đường thẳng (d) : y  ax  b là tiện cận xiên của đồ thị hàm x x x số đã cho. a  2
Vì (d ) đi qua O 0;0 và A2; 4   nên 
. Vậy đường thăng (d) có dạng . y  2  x b  0 Câu 19.
[MĐ1] Cho hàm số y  f (x) liên tục trên
và có đồ thị như Hình 8. Gọi m, M lần lượt là
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f  x trên đoạn  2  ; 
2 . Phát biểu nào sau đây đúng? A. m  2  , M  2
B. m  1, M  3
C. m  3, M  1 D. m  1  , M  3 Lời giải Trang 12 Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: m  1  M  3 Câu 20.
[MĐ2] Cho hàm số y  f (x) có đồ thị ở Hình 9 . Đường thẳng nào sau đây là trục đối
xứng của đồ thị đã cho?
A. Đường thẳng y  x .
B. Đường thẳng y  x .
C. Đường thẳng y  0 . .
D. Đường thẳng x  0 . Lời giải Không có đáp án
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:
lim f (x)  1  y  1 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)  1  y  1 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)    x  1
 là một tiệm cận đứng  x 1 
Tâm đối xứng là I  1  ;  1 .
Hàm số không có trục đối xứng.
Câu 21. Cho hàm số y  f  x có đồ thị ở Hình 10. Tâm đối xứng
của đồ thị hàm số có toạ độ là: A. 2; 2 . B.  2  ; 2  . C.  2  ;2 . D. 2; 2   . Lời giải: Chọn A Trang 13
Giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên
của đồ thị hàm số là 2;2 nên tâm đối xứng của đồ thị hàm số là 2;2.
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
f  x  x sin 2x Câu 22. Cho hàm số
f  x 1 2cos 2x e) . f  x 1  0  cos 2x   f) 2 . 0; 
f  x  0  g) Trên đoạn phương trình có đúng một nghiệm 5 . 6 5 3
h) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;  là  . 6 2
Đáp án: a) S, b) S, c) S, d) Đ. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S S S Đ Ta có:
f  x 1 2cos 2 . x
f  x  0 1 2cos 2x  0 1  2  cos 2x  1   cos 2x  2  
 2x    2k  x    k k   . 3 6   x  
Với x 0;  thì phương trình f x  0 có nghiệm 6  . 5 x   6 Trên đoạn0; :
x  0  y  0 ;   3 x   y   ; 6 6 2 5 5 3 x   y   ; 6 6 2
x    y  . 5 3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;  là  . 6 2
Vậy a) S, b) S, c) S, d) Đ.   f  x 2 x 4x 2  Câu 23. Cho hàm số x  2 . Trang 14 f  x 2  x  2  , x   ;  2    2  ; e) x  2 .
f) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường x  2 .
g) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y  x  2 .
h) Hàm số đã cho có đồ thị hàm số như Hình 11. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ Đ
Tập xác định của hàm số là D   ;  2   2  ;.     f  x 2 x 2x 2x 4 2 2   x  2  . x  2 x  2 x  x 
Ta có lim y    x  2
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f x 2 4 2  .  x 2  x  2 x  x  Ta có lim  y  
x  2  0  
y  x  2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f  x 2 4 2  . x x  2
Vậy a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ. 3x  a
Câu 24. Cho hàm số y 
có đồ thị như Hình 12. x  b Trang 15
a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2. b) b  2.
c) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ. d) a  0. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S S Đ
a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 .
Đúng vì từ đồ thị Hình 12 nhận biết được đồ thị có đường tiệm cận đứng x  2 . b) b  2.
Sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 nên b   2  b  2  .
c) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.
Sai vì đồ thị hàm số có đi qua gốc tọa độ. d) a  0.
Đúng vì đồ thị hàm số có đi qua gốc tọa độ.
Câu 25. Cho hàm số y  f  x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (8;14).
b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8.
c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 38.
d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (8;38). Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S Đ
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (8;14). Trang 16
Đúng vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x thì hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;  1
 ) và (1; ). Mà (8;14)  (1;).
b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8.
Đúng vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f x thì hàm số y  f x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi x  1. 
c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 38.
Sai vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x và lim y  142 nên hàm số y  f  x không có x
giá trị lớn nhất. ( 38 là giá trị cực đại của hàm số.)
d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (8;38).
Sai vì hàm số đã cho chỉ đồng biến trên khoảng ( 1  ;1).
Câu 26. Cho hàm số y  f  x 3 2
=ax  bx  cx  d ( a, b, c, d là các số thực và a  0 ) có đồ thị hàm số '
f (x) như Hình 13.
a) Điểm cực tiểu của hàm số y  f  x là x  2.  CT
b) Điểm cực đại của hàm số y  f  x là x 1. CD
c) Hàm số y  f  x đồng biến trên (0;1).
d) Hàm số y  f  x nghịch biến trên (2025; 2026). Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ Đ Đ
a) Điểm cực tiểu của hàm số y  f  x là x  2.  CT
Đúng vì đồ thị '
f (x) cắt trục hoành tại x  2
 và hướng đi từ dưới trục hoành lên trên trục hoành.
b) Điểm cực đại của hàm số y  f  x là x 1. CĐ
Đúng vì đồ thị '
f (x) cắt trục hoành tại x  1 và hướng đi từ trên trục hoành xuống dưới trục hoành.
c) Hàm số y  f  x đồng biến trên (0;1).
Đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (2;1).
d) Hàm số y  f  x nghịch biến trên (2025; 2026).
Đúng vì hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;
 2) và (1; )mà (2025;2026)  (1;) Trang 17
Câu 27. Trong 9 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình s t 3 2  t
  9t  21t 1, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. a) s t 2 '  3
 t 18t  21.
b) s ' t  6  t 18.
c) Phương trình s 't   0 có đúng một nghiệm dương là t  7.
d) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vật dừng lại là 36 2 m / s . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ Đ S
a) Ta có st 2  3
 t 18t  21 . Suy ra a) đúng.
b) Ta có s ' t  6
 t 18. Suy ra b) đúng.
c) Phương trình st 2  0  3
 t 18t  21 0  t  7, t  1
 . Vì t  0 nên suy ra t  7. Suy ra c) đúng.
d) Gia tốc của chất điểm tại thời vật dừng lại là s ' 7  6  .7 18  2 2
 4m / s . Suy ra d) sai.
Câu 28. Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch x (gam ) muối tinh
khiết và được dung dịch có nồng độ f  x%. 100 x  200
a) Hàm số f  x    . x  30
b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng (0 ; + ∞).
c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%.
d) Giới hạn của f  x khi x dần đến dương vô cực bằng 100. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S S Đ Đ 15
a) Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15% có 200.
 30 (gam) muối tinh khiết. Khi thêm x 100
(gam) muối tinh khiết vào 200 gam dung dịch muối nồng độ 15% thì có  x  30 (gam ) muối tinh khiết.
Khi đó, ta có hàm số là 
f  x 100 x 30  . Suy ra a) sai. x  200 17000
b) Ta có f ' x 
 0, x  0; . Suy ra b) sai. 2   x  200
c) Vì f  x đồng biến trên khoảng  0; nên khi x tăng thì f  x tăng. Nghĩa là khi thêm càng nhiều
gam muối tinh khiết thì dung dịch có nồng độ phần trăm càng tăng. x  30 100 x  30
Vì x  30  x  200 với mọi x 0; nên
1 dẫn đến f x    100. Nghĩa là x  200 x  200
nồng độ phần trăm không vượt quá 100% khi cho thêm nhiều gam muối tinh khiết vào. Suy ra c) đúng. d) Ta có : x  lim f  x 100 30  lim 100. x x x  Suy ra d) đúng. 200
Câu 29. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s  f t  0,5cos2t , trong đó s tính bằng
mét, t tính bằng giây.
a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là 
 sin2t  m / s .
b) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là   t  2 2 cos 2 m / s  .
c) Vận tốc lớn nhất của chất điểm bằng  m / s . Trang 18
d) Gia tốc lớn nhất của chất điểm bằng 2   2 2 m / s  . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ Đ
a) s '  f 't  0
 ,5.2.sin2t  
 sin2t  m / s . Suy ra a) đúng.
b) s  f t 2 " "  2
  .cos2t  2
m / s  . Suy ra b) sai.
c) vt  
 sin2t   m / s , vì 1
  sin2t  1, t
  0. Suy ra c) đúng. d) Vì 1   c s
o 2t  1, t
  0 nên at  f t 2
   cos  t 2    2 " 2 . 2 2
m / s . Suy ra d) đúng.
Câu 30. Cho hàm số y  f  x liên tục trên R thoả mãn f  
1  f  x  f   1 ,  x . R
a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là f   1 .
b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là f   1 .
c) Điểm cực tiểu của hàm số x  1.  CT
d) Điểm cực tiểu của hàm số x 1. CĐ Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S S a) Vì f  
1  f  x  f   1 ,
 xR nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là f   1 .Suy ra a) đúng. b) Vì f  
1  f  x  f   1 ,
 xR nên giá trị lớn nhất của hàm số trên R là f   1 . Suy ra b) đúng. c) Vì f  
1  f  x  f   1 ,
 xR nên x  1
 không phải là điểm cực trị. Suy ra c) sai. d) Vì f  
1  f  x  f   1 ,
 xR nên x 1 không phải là điểm cực trị. Suy ra d) sai.
Câu 31. Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là
p  x 1000  25x , trong đó p x (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có x sản phẩm được bán ra.
a) Hàm doanh thu của công ty là f x  . x p  x .
b) Hàm số f x 2  2
 5x 1000x có đạo hàm f x  5  0x 1000.
c) Nếu f x  .
x p  x là hàm doanh thu thì phương trình f  x  0 có nghiệm là x  2 .
d) Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10000 . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S Đ
a) Ta có doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra. Suy ra
hàm doanh thu của công ty là f x  .
x p  x . Suy ra a) đúng.
b) Ta có f  x  x p x  x  x 2 . 1000 25  2
 5x 1000x .
Suy ra đạo hàm f x  5
 0x 1000. Suy ra b) đúng.
c) f  x  0  5
 0x 1000  0  x  20
Vậy f x  0 có nghiệm là x  20 . Suy ra c) sai.
d) Lập BBT của hàm số f  x 2  2
 5x 1000x ta có f x 2  2
 5x 1000x đạt giá trị lớn nhất là 10000 tại x  20 . Trang 19
Vậy doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10000 triệu đồng, khi đó có 20 sản phẩm được bán ra. Suy ra d) đúng.
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 32. Giả sử hàm số f  x 3 2
 x  6x  9x 1 đạt cực đại tại x  a và đạt cực tiểu tại x  b . Giá trị của
biểu thức A  2a b là bao nhiêu? Lời giải
Trả lời: A  5
Ta có: f  x 2
 3x 12x 9 , f x  0  x 1, x  3
Hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu tại x  3 nên suy ra a 1, b  3.
Vậy A  2a b  5 x 
Câu 33. Cho đồ thị hàm số f  x 3 5      I ;
a b . Giá trị của biểu thức B 4a b x 
có tâm đối xứng là   7 là bao nhiêu? Lời giải
Trả lời: B  4  a b  2  5
Tâm đối xứng là I là giao điểm của tiệm cận đứng x  7 và tiệm cận ngang y  3 .
Nên ta có: a  7, b  3  . Vậy B  4  a b  2  5.
Câu 34. Cho đồ thị hàm số f  x 8  5x 1 I ;
a b . Giá trị của biểu thức
x  có tâm đối xứng là   1
C  a  3b là bao nhiêu? Lời giải
Trả lời: C  a 3b 13
Ta có a  1, b  4 . Vậy C  a  3b 13
Câu 35. Cho a  0 , 2
b  3ac  0 . Hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Trả lời: 2 Ta có 2
y  3ax  2bx  c , vì a  0 , 2
b  3ac  0 nên y  0 có hai nghiệm phân biệt x , x (giả sử 1 2
x  x ). Khi đó, với cả hai trường hợp a  0 và a  0 hàm số đã cho đều có hai điểm cực trị. 1 2
Câu 36. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn ad  bc  0 . Tổng số đường tiệm cận ngang và 
đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ax b
y  cx  là bao nhiêu? d Lời giải Trả lời: 2
Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là d y  
và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là c a y  . c Trang 20

Chuyên Đề Đạo Hàm Và Khảo Sát Hàm Số Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Tài liệu liên quan:

Chuyên Đề Cấp Số Cộng Cấp Số Nhân Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Nguyên Hàm Tích Phân Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Hình Học Không Gian Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Vectơ Và Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Một Số Yếu Tố Thống Kê Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết