Chuyên đề giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7

Tài liệu gồm 38 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7, giúp các em học sinh khối lớp 6, lớp 7 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

38 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. Lý thuyết :
+ ĐN: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a ( a là số thực)
- Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
TQ: Nếu
aaa = 0
Nếu
aaa −= 0
Nếu x - a 0=>
| |
x-a
= x - a Nếu x - a 0=>
| |
x-a
= a - x
+Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm:
0a
với mọi a R
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
−=
=
=
ba
ba
ba
- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị
tuyệt đối của nó:
aaa −
và
0;0 ==− aaaaaa
- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu
baba 0
- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu
- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
baba .. =
- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối:
b
a
b
a
=
- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó:
2
2
aa =
- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi hai số cùng dấu:
baba ++
và
0. +=+ bababa
2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 1: PHÁ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối:
a,
23x +
b,
42x −
c,
35x −
d,
2 x−
HD :
a, Ta có:
3
23
2
23
3
23
2
xx
x
xx
−

+


+=
−

− −


b,
1
42
2
42
1
24
2
xx
x
xx

−


−=

−


c,
5
35
3
35
5
53
3
xx
x
xx

−


−=

−


( )
( )
22
,2
22
xx
dx
xx
−
−=
−
Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối:
a,
2 4 3xx− + −
b,
56xx− + +
HD :
a, Ta có bẳng sau :
x
2 3
2x-4
- 0 + / +
x-3
- / - 0 +
Khi đó ta có :
Nếu
( ) ( )
2 2 4 3 4 2 3 3 7x x x x x x = − + − = − + − = − +
Nếu
2 3 2 4 3 2 4 3 1x x x x x x = − + − = − + − = −
Nếu
3 2 4 3 2 4 3 3 7x x x x x x = − + − = − + − = −
b,
Ta có bẳng sau :
x
-6 5
x-5
- / - 0 +
x+6
- 0 + / +
Khi đó ta có :
Nếu
6 5 6 5 6 2 1x x x x x x − = − + + = − − − = − −
Nếu
6 5 5 6 5 6 11x x x x x− = − + + = − + + =
Nếu
5 5 6 5 6 2 1x x x x x x = − + + = − + + = +
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a,
( )
3 2 1 5xx− − −
b,
2 3 2xx+ + +
HD:
a, Nếu
( ) ( )
5 3 2 1 5 6 3 5 5 2x x x x x x = − − − = − − − = +
Nếu
( ) ( )
5 3 2 1 5 6 3 5 7 8x x x x x x = − − − = − − − = −
b, Nếu
3
2 3 2 2 3 2 3 5
2
x x x x x x
−
= + + + = + + + = +
Nếu
3
2 3 2 2 3 2 1
2
x x x x x x
−
= + + + = − − + + = − −
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a,
3 1 1 3xx− + −
b,
( )
3 1 2 3xx− − +
HD:
3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a, Nếu :
1
3 1 1 3 3 1 1 3 0
3
x x x x x = − + − = − + − =
Nếu
( )
1
3 1 1 3 3 1 3 1 6 2
3
x x x x x x = − + − = − + − = −
b, Nếu
( ) ( )
3 3 1 2 3 3 3 2 3 9x x x x x x − = − − + = − − + = −
Nếu
( ) ( )
3 3 1 2 3 3 3 2 3 5 3x x x x x x − = − − + = − + + = +
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
a,
2
3 2 1A x x= − +
, Với
0,5x =
b, B =
3 1 3xx− + −
với
1
3
x =
HD:
a, Vì
0,5
0,5
0,5
x
x
x
=
= =
=−
TH1 :
2
1 1 3
0,5 3. 2. 1
2 2 4
xA

= = = − + =


TH2 :
2
1 1 3 11
0,5 3 2. 1 2
2 2 4 4
xA
−−

= − = = − + = + =


b, Vì
1
1
3
1
3
3
x
x
x
=
= =
−
=
TH1 :
1 1 1 8
3. 1 3
3 3 3 3
xB
−
= = = − + − =
TH2 :
1 1 1 10 7
3. 3 1
3 3 3 3 3
xB
− − − − −
= = = + − = + =
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
a,
32
6 3 2 4A x x x= − + +
với
2
3
x
−
=
b,
23xy−
với
1
;3
2
xy= = −
HD:
a, Với
32
2 2 2 2 2 2
6. 3. 2. 4
3 3 3 3 3 3
x x A
−−
= = = = = = − + +
52
9
=
b, Với
1 1 1
, 3 3 2 3 2. 3.3 1 9 8
2 2 2
x x y y B x y= = = = − = = = = − = − = − = −
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
a,
2 2 31xx− − −
với x = 4 b,
2
5 7 1
31
xx
D
x
−+
=
−
với
1
2
x =
HD:
a, Với
4 2 2 31 2. 2 3 3 4 9 5x A x x= = = − − − = − − = − = −
b, Với
1/ 2
1
1/ 2
2
x
x
x
=
= =
=−
TH1 :
11
5. 7. 1
15
42
1
22
3. 1
2
xD
−+
−
= = = =
−
TH2 :
11
5. 7. 1
1 23
42
1
2 10
3. 1
2
xD
++
−−
= = = =
−
−
4
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 2:
( ) ( )
0A x k k=
Bài 1: Tìm x biết:
a,
2 3 1 1 5x− + =
b,
2 1 4
32
5 35 7
x − = +
c,
5 4 3x + − =
HD:
a,
3 1 2
2 3 1 1 5 2 3 1 4 3 1 2
3 1 2
x
x x x
x
−=
− + = = − = = − = =
− = −
b,
2 13
3
2 1 4 2 13
55
3 2 3
2 13
5 35 7 5 5
3
55
x
xx
x
−=
− = + = − = =
−
−=
c,
5 4 3
5 4 3
5 4 3
x
x
x
+ − =
+ − = =
+ − = −
Bài 2: Tìm x biết:
a,
3 1 11 3x + − =
b,
3 8 20x + − =
HD :
a, Ta có :
3 1 11 3
3 1 11 3
3 1 11 3
x
x
x
+ − =
+ − = =
+ − = −
b, Ta có :
3 8 20
3 8 20
3 8 20
x
x
x
+ − =
+ − = =
+ − = −
Bài 3: Tìm x nguyên biết :
a,
( ) ( )
5 2 3 2 2 3 2 3 16x x x+ + + + + =
b,
22
6 2 4x x x+ − = +
HD :
a,
5 2 3 2 2 3 2 3 16 8 2 3 16VT x x x x= + + + + + = = + =
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x
x
x
+=
= + = =
+ = −
b, Vì
22
2 2 2
22
6 2 4
4 0 6 2 4
6 2 4
x x x
x x x x
x x x
+ − = +
+ = + − = + =
+ − = − −
Bài 4: Tìm x biết:
a,
1 21
3 : 2 1
2 22
x −=
b,
2
1
322 =−x
c,
5,42535,7 −=−− x
Bài 5: Tìm x biết:
a,
1 2 3x − + =
b,
452 =−x
c,
4
1
2
4
5
3
1
=−− x
Bài 6: Tìm x, y biết:
a,
1
42
5
x + − = −
b,
3
1
5
1
2
1
=+− x
c,
8
7
12
4
3
=+− x
Bài 7: Tìm x biết:
a,
14
21
25
x − + =
b,
22
1
22
2
x x x+ − = +
c,
22
3
4
x x x+=
Bài 8: Tìm x biết:
5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a,
11
21
25
x − − =
b,
1 3 2
1
2 4 5
x + − =
c,
2
3
4
x x x+=
Bài 9: Tìm x biết:
a,
1 3 3
22
2 4 4
x x x

+ − = −


b,
1 3 3
22
2 4 4
x x x− − = −
c,
2 3 1 4 1x x x− − + = −
Bài 10: Tìm x biết:
a,
1 1 2x − − =
b,
3 1 5 2x + − =
c,
5 3 2 1 7x− − =
Bài 11: Tìm x biết:
a,
15,275,3
15
4
−−=−−+x
b,
51132 =+−x
c,
31
2
=−
x
Bài 12: Tìm x biết:
a,
5,3
2
1
5
2
=++− x
b)
5
1
2
3
1
=−x
c,
4
5
4
1
2
3
2
−
=−− x
Bài 13: Tìm x biết:
a,
4
7
4
3
5
4
2
3
=−+ x
b,
6
5
3
5
2
1
4
3
5,4 =+− x
c,
%5
4
3
4
1
=−+x
Bài 14: Tìm x biết:
a,
2
3
1
:
4
9
5,6 =+− x
b,
2
7
5
1
4:
2
3
4
11
=−+ x
c,
3
2
1
4
3
:5,2
4
15
=+− x
Bài 15: Tìm x biết:
a,
6
3
2
4
:3
5
21
=−+
x
b,
2 1 1
:
3 6 12
x
−
+=
c,
2
9 9 1 1 3
:
4 2 2 2 4
x−=
6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 3:
( ) ( )
=A x B x
Phương pháp: Chia khoảng phá GTTĐ
Bài 1: Tìm x biết:
a,
2 3 2xx+ = +
b,
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x − + = − +
HD:
a, TH 1 :
3
2 3 2 1
2
x x x x
−
= + = + = = −
(t/m)
TH2 :
35
2 3 2
23
x x x x
−−
= − − = + = =
(t/m)
b,
1
2
1 4 14 1 14 4
3
2
1
3 5 5 3 5 5
2
3
x
xx
x
−=
− + = = − = − = =
− = −
Bài 2: Tìm x biết:
a,
4 2 3xx− + =
b,
7 2 5 6xx− + + =
c,
3 2 1 2xx− + =
HD:
a, TH1 :
( ) ( )
4 4 2 3 1 /x x x x t m = − + = = = −
TH2 :
( ) ( )
7
4 4 2 3
3
x x x x l = − + = = =
b, TH1 :
8
7 7 2 5 6
3
x x x x = − + + = = =
(loại)
TH2 :
7 7 2 5 6 6x x x x = − + + = = = −
(t/m)
c, TH1 :
( )
1
3 2 1 2 3
2
x x x x
−
= − + = = =
(t/ m)
TH2 :
( )
11
3 2 1 2
25
x x x x
−
= + + = = =
(loại)
Bài 3: Tìm x biết:
a,
2 3 3xx− = −
b,
5 3 7xx− − =
c,
3 2 7xx− = +
HD :
a,
( )
3
1: 2 3 3 0
2
TH x x x x l = − = − = =
( )
3
2: 3 2 3 2
2
TH x x x x l = − = − = =
b,
35
1: 5 3 7
52
TH x x x x = − − = = =
(t/m)
32
2: 3 5 7
53
TH x x x x
−
= − − = = =
(t/m)
c,
29
1: 3 2 7
32
TH x x x x = − = + = =
(t/m)
25
2: 2 3 7
34
TH x x x x
−
= − = + = =
(t/m)
7
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 4 : Tìm x biết :
a,
4 3 15xx+ − =
b,
2 5 3 2 14xx− − =
c,
3 2 5 4 10x x x− + = −
HD:
a,
3
1: 4 3 15 ...
4
TH x x x x
−
= + − = = =
3
2: 4 3 15 ...
4
TH x x x x
−
= − − − = = =
b,
( )
3
1: 2 5 3 2 14 ...
5
TH x x x x = − − = = =
( )
3
2: 2 3 5 2 14
5
TH x x x = − − =
...x= =
c,
2
1: 3 2 5 4 10 ...
3
TH x x x x x = − + = − = =
2
2: 2 3 5 4 10 ...
3
TH x x x x x = − + = − = =
Bài 5: Tìm x biết:
a,
2016 2012xx− = −
b,
1 5 0x+ − =
c,
47x+=
HD:
a,
1: 2016 2016 2012 ...TH x x x x = − = − = =
2: 2016 2016 2012 ...TH x x x x = − = − = =
b,
1 5 1 5 ...x x x+ = = + = = =
c,
4 7 4 7 ...x x x+ = = + = = =
Bài 6: Tìm x biết:
a,
20 11x−=
b,
55xx− = −
c,
66xx− = −
HD:
a,
20 11 20 11xx− = = − =
b,
5 5 5 0 5x x x x− = − = − =
c,
6 6 6 0 6x x x x− = − = − =
Bài 7: Tìm x biết:
a,
7 7 0xx− + − =
b,
17 4 0xx− + − =
c,
3 3 0xx− + − =
HD:
a,
7 7 0 7 7 7 0 7x x x x x x− + − = = − = − = − =
b,
( ) ( )
( ) ( )
17 4 0 4
17 4 0
17 4 0 4
x x x
xx
x x x
− + − =
− + − = =
− + − =
c,
3 3 0 3 3 3 0 3x x x x x x− + − = = − = − = − =
Bài 8: Tìm x biết:
a,
22xx+ − =
b,
3 21x−=
c,
2 3 3 0xx+ − − =
HD:
a,
2 2 2 2 2 0 2x x x x x x+ − = = + = + = + = −
b,
3 21
3 21
3 21
x
x
x
−=
− = =
− = −
c,
2 3 3
2 3 3 0 2 3 3
2 3 3
xx
x x x x
xx
− = −
+ − − = = − = − =
−=−
8
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 9: Tìm x biết:
a,
2 3 2xx+ = +
b,
7 2 5 6xx− + + =
HD:
a,
3
2 3 2
2
2 3 2
3
2 3 2
2
x x x
xx
x x x
−

+ = +


+ = + =
−

− − = +


b,
( )
( )
7 2 5 6 7
7 2 5 6
7 2 5 6 7
x x x
xx
x x x
− + + =
− + + = =
− + + =
Bài 10: Tìm x biết:
a,
5 12xx=−
b,
92xx+=
c,
5 3 2xx−=
d,
6 9 2xx+ − =
Bài 11: Tìm x biết:
a,
55xx− + =
b,
77xx+ − =
c,
3 4 4 3xx− + =
d,
7 2 7 2xx− + =
Bài 12: Tìm x biết:
a,
1
32
2
xx=−
b,
1 3 2xx− = +
c,
7 5 1xx− = +
d,
2 3 21xx− + =
Bài 13: Tìm x biết:
a,
4 2 4xx+ = −
b,
3 1 2xx− + =
c,
15 1 3xx+ + =
d,
2 5 2xx− = +
Bài 14: Tìm x biết:
a,
2 5 1xx− = +
b,
3 2 1xx− − =
c,
3 7 2 1xx− = +
d,
2 1 1xx− + =
Bài 15: Tìm x biết:
a,
4 2 3xx− + =
b,
xx 3443 =+−
c,
xx 2727 =+−
d,
6 2 5 2016 2017xx− − = −
Bài 16: Tìm x biết:
a.
2 5 1xx− = +
b.
6 2 3 4xx− = −
c.
3 2 2xx− = −
d,
2 3 3 2xx− = +
Bài 17: Tìm x biết:
a,
2 3 5xx− = −
b.
3 2 1xx+ = +
c.
2 1 7xx+ = −
d.
2 3 1x +=
Bài 18: Tìm x biết:
a.
2 2 1xx− = −
b.
2 1 3xx− = −
c.
2 1 2xx− = +
d,
1 2 1xx− = −
Bài 19: Tìm x biết:
a.
22xx− = −
9
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 4:
( ) ( )
=A x B x
Phương pháp:
Cách 1: Tách 2 TH:
TH1:
( ) ( )
A x B x=
TH2:
( ) ( )
A x B x=−
Cách 2: Xét khoảng bằng cách lập bẳng xét dấu:
Bài 1: Tìm x biết:
2 2 3 2x x x− − + − = −
HD:
Lập bảng xét dấu ta có:
x
- 3/2 2
x-2
- / - 0 +
2x+3
- 0 + / +
Khi đó ta có : TH1 :
( ) ( )
3
2 2 3 2
2
x x x x
−
= − − − − − = −
TH2 :
( ) ( )
3
2 2 2 3 2
2
x x x x− = − − + − = −
TH3 :
( ) ( )
2 2 2 3 2x x x x = − − + − = −
Bài 2: Tìm x biết:
a,
2 3 2x x x− − = −
b,
2 3 4 1 0xx− − − =
HD :
a, Ta có bẳng xét dấu :
x
3/2 2
2x - 3
- 0 + / +
2 - x
+ / + 0 -
Khi đó ta có :
( )
3
1: 3 2 2
2
TH x x x x = − − = −
( ) ( )
3
2: 2 2 3 2
2
TH x x x x = − − = −
( )
3: 2 2 3 2TH x x x x = − − = −
b,
( )
( )
2 3 4 1
2 3 4 1 0 2 3 4 1
2 3 1 4
xx
x x x x
xx
− = −
− − − = = − = − =
− = −
Bài 3: Tìm x biết:
a,
3 5 2 3 7xx− + + =
b,
23xx+ + =
c,
3 5 2xx− = +
HD :
a, Ta có bằng xét dấu :
x
-3/2 5/3
3x - 5
- / - 0 +
2x + 3
- 0 + / +
Khi đó ta có :
( ) ( )
3
1: 5 3 2 3 7
2
TH x x x
−
= − + − + =
10
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
( ) ( )
35
2: 5 3 2 3 7
23
TH x x x− = − + + =
5
3: 3 5 2 3 7
3
TH x x x = − + + =
b, Ta có bẳng xét dấu :
x
-2 0
x
- / - 0 +
x + 2
- 0 + / +
Khi đó ta có :
( ) ( )
1: 2 2 3TH x x x − = − + − − =
( ) ( )
2: 2 0 2 3TH x x x− = − + + =
( )
3:2 2 3TH x x x = + + =
c, Ta có :
3 5 2
3 5 2
3 5 2
xx
xx
xx
− = +
− = + =
− = − −
Bài 4: Tìm x biết:
a,
1 3 4xx− + + =
b,
2 3 2 4 5xx+ − − =
HD :
a, Ta có bẳng sau :
x
-3 1
x - 1
- / - 0 +
x + 3
- 0 + / +
Khi đó ta có :
( ) ( )
1: 3 1 3 4TH x x x − = − + − − =
( )
2: 3 1 1 3 4TH x x x− = − + + =
( ) ( )
3: 1 1 3 4TH x x x x = − + + =
b, Ta có bẳng sau :
x
-3/2 4
2x+3
- 0 + / +
4-x
- / - 0 +
Khi đó ta có :
( ) ( )
3
1: 2 3 2 4 5
2
TH x x x
−
= − − − − =
( ) ( )
3
2: 4 2 3 2 4 5
2
TH x x x
−
= + − − =
( ) ( )
3: 4 2 3 2 4 5TH x x x = + − − =
Bài 5: Tìm x biết:
a,
80xx+ − =
b,
3x x x+ − = −
c,
2 3 2x x x− − = −
HD :
a, Ta có bảng xét dấu :
x
0 8
x
- 0 + / +
8-x
+ / + 0 -
Khi đó ta có :
( ) ( )
1: 0 8 0TH x x x = − + − =
2:0 8 8 0TH x x x = + − =
( )
3: 8 8 0TH x x x = + − =
b, Ta có
3 2 3x x x x x x x− = = + − = − = = −
1: 0 2. 3TH x x x = = −
( )
2: 0 2 3TH x x x = − = −
11
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
c, Ta có bảng xét dấu ta có :
x
3/2 2
2x - 3
- 0 + / +
2 - x
+ / + 0 -
Khi đó ta có :
( )
3
1: 3 2 2
2
TH x x x x = − − = −
( ) ( )
3
2: 2 2 3 2
2
TH x x x x = − − = −
( )
3: 2 2 3 2TH x x x x = − − = −
Bài 6: Tìm x biết:
2011 2010 2012xx− + − =
HD :
Ta có bảng xét dấu :
x
2010 2011
x - 2011
- / - 0 +
x - 2010
- 0 + / +
Khi đó ta có :
( ) ( )
1: 2010 2011 2010 2012TH x x x = − + − =
( ) ( )
2:2010 2011 2011 2010 2012TH x x x = − + − =
( ) ( )
3: 2011 2010 2012TH x x− + − =
Bài 7: Tìm x biết:
1,5 2,5 0xx− + − =
HD:
Vì
1,5 0
1,5 0
1,5 2,5 0
2,5 0
2,5 0
x
x
xx
x
x
−
−=
= − + − = =

−=
−
Bài 8: Tìm x, y biết :
a,
20xx+ + =
b,
1,38 2 4,2 0xy− + + =
c,
5 4 2xx− = +
HD:
a, Vì
0
0
20
20
20
x
x
xx
x
x

=
= + + = =

+=
+
b, Vì
1,38 0
1,38 0
1,38 2 4,2 0
2 4,2 0
2 4,2 0
x
x
xy
y
y
−
−=
= − + + = =

+=
+
c,
5 4 2
5 4 2
5 4 2
xx
xx
xx
− = +
− = + =
− = − −
Bài 9: Tìm x biết:
11xx+ − =
HD :
Ta có bảng xét dấu :
x
0 1
x
- 0 + / +
x - 1
- / - 0 +
Khi đó ta có :
( ) ( )
1: 0 1 1TH x x x = − + − =
( )
2:0 1 1 1TH x x x = + − =
( )
3:x 1 1 1TH x x = + − =
12
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 10: Tìm x, y biết:
4 3 1 7xx+ − − =
HD :
a, Ta có bảng xét dấu :
x
-3/4 1
4x + 3
- 0 + / +
x - 1
- / - 0 +
Khi đó ta có :
( ) ( )
3
1: 4 3 1 7
4
TH x x x
−
= − − − − =
( ) ( )
3
2: 1 4 3 1 7
4
TH x x x
−
= + − − =
( ) ( )
3: 1 4 3 1 7TH x x x = + − − =
Bài 11: Tìm x biết :
2 3 2x x x− − = −
HD :
Ta có bẳng xét dấu :
x
3/2 2
2x - 3
- 0 + / +
2 - x
+ / + 0 -
Khi đó ta có :
( )
3
1: 3 2 2
2
TH x x x x = − − = −
( ) ( )
3
2: 2 2 3 2
2
TH x x x x = − − = −
( )
3: 2 2 3 2TH x x x x = − − = −
Bài 12: Tìm x biết:
a,
2 3 3 2 0xx− − + =
b,
c,
5 7 5 3
0
4 2 8 5
xx− − + =
Bài 13: Tìm x biết:
a,
7 5 1
50
8 6 2
xx+ − + =
b,
2 3 4 3xx+ = −
c,
31
41
22
xx+ = −
Bài 14: Tìm x biết:
7 2 4 1
3 3 3 4
xx+ = −
Bài 15: Tìm x biết :
a,
1 3 2 1− − − = −x x x
b,
4 3 1 2 5 7 3 12x x x x− + − − + − =
Bài 16: Tìm x biết:
a,
1 1 1
2 8 1,2
5 5 5
xx− + − + =
b,
3 4 2 1 5 3 9 5x x x x+ − + − + + − =
Bài 17: Tìm x biết:
a,
1 1 1
2 3 3 2
2 2 5
x x x+ + − = −
b,
2 6 3 8xx− + + =
Bài 18: Tìm x biết:
a,
5 3 9xx+ + − =
b,
1 2 3 6x x x+ + − + + =
Bài 19: Tìm x biết:
a,
2 3 4 2x x x− + − + − =
b,
2 2 4 11xx+ + − =
Bài 20: Tìm x biết:
a,
5 3 8xx+ + − =
b,
2 5 3xx− + − =
c,
3 5 3 1 6xx− + + =
Bài 21: Tìm x biết:
a,
2 3 2 5 11xx− + = =
b,
1 2 3 3 2x x x+ + − = −
c,
3 5 2 4 2x x x− + − + − =
13
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 22: Tìm x biết:
a,
4 6 2xx− + − =
b,
1 5 4xx+ + + =
c,
3 7 3 2 13xx+ + − =
Bài 23: Tìm x biết:
a,
5 1 3 2 4 3x x x+ + − = −
b,
2 3 1 1 3x x x+ + − + − =
c,
2 7 4xx− + − =
Bài 24: Tìm x biết:
a,
245 +=− xx
b,
02332 =+−− xx
c,
3432 −=+ xx
Bài 25: Tìm x biết:
a,
06517 =+−+ xx
b,
14
2
1
2
3
−=+ xx
c,
0
5
3
8
5
2
7
4
5
=+−− xx
Bài 26: Tìm x biết:
a,
4
1
3
4
3
2
5
7
−=+ xx
b,
05
2
1
6
5
8
7
=+−+ xx
14
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ NHIỀU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp: Lập bảng xét dấu
Bài 1: Tìm x biết:
a,
123752134 =−+−−+− xxxx
b,
59351243 =−++−+−+ xxxx
Bài 2: Tìm x biết:
a,
2,1
5
1
8
5
1
5
1
2 =+−+− xx
b,
xxx −=−++
5
1
2
2
1
3
2
1
32
Bài 3: Tìm x biết:
a,
8362 =++− xx
b,
935 =−++ xx
Bài 4: Tìm x biết:
a,
2432 =−+−+− xxx
b,
6321 =++−++ xxx
Bài 5: Tìm x biết:
a,
11422 =−++ xx
b,
98232 =−+−+− xxx
Bài 6: Tìm x biết:
a,
122213 =+−+ xxxx
b,
422331 =−−−+− xxx
Bài 7: Tìm x biết:
a,
xxx =−−+ 215
b,
132 −=+− xxx
Bài 8: Tìm x biết:
a,
31 −+=−+ xxxx
b,
352 =−+− xx
Bài 9: Tìm x biết:
a,
853 =++− xx
b,
45212 =−+− xx
Bài 10: Tìm x biết:
a,
12433 +=++− xxx
Bài 11: Tìm x biết:
a,
2 3 1x x x− + = −
b,
3 1 2 2 12x x x x+ − + =
Bài 12: Tìm x biết:
a,
5 1 2x x x+ − − =
b,
13x x x x+ − = + −
15
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 6:
( )
A x a
hoặc
( )
A x a
Phương pháp:
Với
( ) ( )
= − A x a a A x a
Với
( )
( )
( )
=
−
A x a
A x a
A x a
Bài 1: Tìm x biết:
a,
24x−
b,
5 3 2x−
c,
3 1 4x +
HD :
a,
2 4 4 2 4xx− = − −
b,
5 3 2 2 5 3 2xx− = − −
c,
3 1 4
3 1 4
3 1 4
x
x
x
+
+ =
+ −
Bài 2: Tìm x biết:
a,
3 2 1xx− −
b,
3 2 1xx− +
c,
2 3 5x +
HD:
a,
2
1: 3 2 1
3
TH x x x = − −
2
2: 2 3 1
3
TH x x x = − −
b,
2
1: 3 2 1
3
TH x x x = − +
2
2: 2 3 1
3
TH x x x = − +
c,
2 3 5 5 2 3 5xx+ = − +
Bài 3: Tìm x biết:
a,
2 3 5x −
b,
3 1 7x −
c,
3 2 5 13x+ +
HD:
a,
2 3 5
2 3 5
2 3 5
x
x
x
−
− =
− −
b,
3 1 7 7 3 1 7xx− = − −
c,
2 5 10
2 5 10
2 5 10
x
x
x
+
= + =
+ −
Bài 4: Tìm x biết:
a,
2 3 4 9xx+ −
b,
14x −
c,
2001 2002x −
HD:
a,
( )
3
1: 2 3 4 9
2
TH x x x
−
= + −
3
2: 2 3 4 9
2
TH x x x
−
= − − −
16
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 7: SỦ DỤNG TÍNH CHẤT:
+ +A B A B
Bài 1: Tìm x nguyên biết:
a,
1 3 5 7 8x x x x− + − + − + − =
b,
2010 2012 2014 2xxx− + − + − =
HD :
a, Ta có :
( ) ( )
1 7 3 5 1 7 3 5x x x x x x x x= − + − + − + − = − + − + − + −
1 7 3 5 6 2 8x x x x − + − + − + − = + =
Dấu bằng xảy ra khi
( )( )
( )( )
1 7 0
35
3 5 0
xx
x
xx
− −
=
− −
b, ta có :
1010 2014 2012 2010 2014 2012 2 2012 2VT x x x x x x x= − + − + − − + − + − = + −
Vì
2012 0x−
, dấu bằng khi
( )( )
2010 1014 0
2012
2012 0
xx
x
x
− −
= =
−
Bài 2: Tìm x nguyên biết:
1 2 3 ... 100 2500x x x x− + − + − + + − =
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )
1 100 2 99 ... 50 51VT x x x x x x= − + − + − + − + + − + −
( ) ( ) ( )
1 100 2 99 ... 50 51VT x x x x x x − + − + − + − + + − + −
99 97 95 ... 1 2500= + + + + =
Dấu bằng xảy ra khi :
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 100 0, 2 99 0,... 50 51 0x x x x x x− − − − − −
50
51
x
x
=
=
=
Bài 3: Tìm x nguyên biết:
a,
1 2 3 4 3x x y x− + − + − + − =
HD :
a, Ta có : Đặt
1 2 3 4A x x y x= − + − + − + −
Ta có :
1 4 1 4 3x x x x− + − = − + −
Nên A=3 khi và chỉ khi
2 3 0xy− = − =
và
( )( )
1 4 0 2, 3x x x y− − = = =
Bài 4: Tìm x nguyên biết:
a,
2004 4 10 101 990 1000x x x x x= − + − + + + + + +
HD :
a, Ta có
4 1000 10 990 101VP x x x x x= − + + + − + + + +
1004 1000 101 2004VP x + + +
Dấu bằng khi
( )( )
( )( )
4 1000 0
10 990 0 101
101 0
xx
x x x
x
− +
− + = = −
+=
Bài 5: Tìm x nguyên biết:
2005 2006 2007 2008 3x x y x− + − + − + − =
HD :
Đặt
2005 2006 2007 2008A x x y x= − + − + − + −
Khi đó ta có :
2005 2008 2006 2007 3 2006 2007A x x x y x y= − + − + − + − + − + −
Dấu bằng xảy ra khi :
( )( )
2005 2008 0
2006
2007
2006 2007 0
xx
x
y
xy
− −
=
=

=
− = − =
17
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 6: Tìm x biết:
2 3 2 4 7xx− + + =
HD :
Ta có:
3 2 2 4 3 2 2 4 7x x x x− + + − + + =
dấu bằng xảy ra khi
3
3 2 0
2
2 4 0
2
x
x
x
x
−
=

+
−
Bài 7: Tìm x biết:
2,5 6,5 9,5 7x x x+ + + + + =
HD:
2,5 2,5xx+ − −
,
6,5 0x+
và
9,5 9,5xx+ +
Nên:
2,5 9,5 7VT x x − − + + =
, dấu bằng xảy ra khi
6,5x =−
Bài 8: Tìm x nguyên biết:
1 2 3 ... 100 605x x x x x+ + + + + + + + =
HD :
Vì
1 0, 2 0,... 100 0 0 605 0 0x x x VT x x+ + + = = =
Với
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3 ... 100 605x VT x x x x x = = + + + + + + + + =
100 5050 605xx= + =
Bài 9: Tìm biết:
3 1 3x x x+ + + =
HD :
Vì
3 0, 1 0 3 0 0x x x x+ + = =
Với
( ) ( )
33
0 3 1 3
11
xx
x x x x
xx
+ = +
= = + + + =
+ = +
Bài 10: Tìm x, biết
x 1 x 3 ... x 2019 2020x+ + + + + + =
.
Bài 11: Tìm x biết:
11 2 4
4
17 17 17
x x x x+ + + + + =
HD :
Vì
11 2 4
0, 0, 0 0 4 0 0
17 17 17
x x x VT x x+ + + = = =
Khi đó :
11 2 4
4
17 17 17
x x x x
+ + + + + =
Bài 12 : Tìm x biết :
a,
0,8 5,2 9,7 4x x x x+ + + + + =
HD:
a, Vì
0,8 0, 5,2 0, 9,7 0 4 0 0x x x x x+ + + = =
Khi đó:
( ) ( ) ( )
0,8 5,2 9,7 4x x x x+ + + + + =
Bài 13: Tìm x biết :
a,
2 3 2 8 9x x x− + − + − =
b,
1 3 3 2 2 4x x x− + − − − =
Bài 14: Tìm x biết:
a,
1 2 3 4x x x x+ + + + + =
b,
1 2 3 4 5 1x x x x x+ + + + + + + = −
Bài 15: Tìm x biết:
a,
31
24
52
x x x x+ + + + + =
b,
1,1 1,2 1,3 1,4 5x x x x x+ + + + + + + =
Bài 16: Tìm x biết:
a,
1 2 3 100
... 101
101 101 101 101
x x x x x+ + + + + + + + =
Bài 17: Tìm x biết:
1 1 1 1
... 100
1.2 2.3 3.4 99.100
x x x x x+ + + + + + + + =
18
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 18: Tìm x biết:
a,
2 5 3xx− + − =
b,
2 1 2 5 4xx− + − =
Bài 19: Tìm x biết:
a,
835 =−++ xx
b,
352 =−+− xx
c,
61353 =++− xx
Bài 20: Tìm x biết:
a,
115232 =++− xx
b,
23321 −=−++ xxx
c,
24253 =−+−+− xxx
Bài 21: Tìm x biết:
a,
264 =−+− xx
b,
451 =+++ xx
c,
132373 =−++ xx
Bài 22: Tìm x biết:
a,
xxx 342315 +=−++
b,
31132 =−+−++ xxx
c,
472 =−+− xx
Bài 23: Tìm x, y thoả mãn :
a)
( ) ( )
031
22
=++− yx
Bài 24: Tìm x, y thoả mãn:
a)
020082007 −+− yx
Bài 25: Tìm x thoả mãn:
a)
835 =−++ xx
Bài 26: Tìm x biết:
1 1 1
... 50
1.3 3.5 97.99
x x x x+ + + + + + =
Bài 27: Tìm x biết:
1 1 1
... 101
1.5 5.9 397.401
x x x x+ + + + + + =
Bài 28: Tìm x biết:
( )
5 3 2 8 3x x x x+ + + + − = −
Bài 29: Tìm x biết c,
2 5 2 3 8xx+ + − =
Bài 30: Tìm x nguyên biết:
a,
1 4 3xx− + − =
b,
2 3 5xx+ + − =
c,
1 6 7xx+ + − =
Bài 31: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=4 và
26xy+ + =
b, x+y=4 và
2 1 5x y x+ + − =
Bài 32: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y =3 và
3xy+=
b, x-2y=5 và
2 1 6xy+ − =
Bài 33: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=5 và
1 2 4xy+ + − =
b, x-y=3 và
6 1 4xy− + − =
Bài 34: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y=2 và
2 1 2 1 4xy+ + + =
b, 2x+y=3 và
2 3 2 8xy+ + + =
Bài 35: Tìm x biết :
2014 2015 2016 2x x x− + − + − =
19
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 8: Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức :
+=A B m
Phương pháp :
+ Nếu
0
0
0
=
= =
=
A
m
B
+ Nếu
0........ 0 0m Do A B m = =
Tìm B rồi suy ra tìm A
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a,
2007 2008 0xx− + − =
b,
2 3 0x y y− − + + =
c,
( )
2
2 2 1 0xy+ + − =
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a,
5
3 4 0x y y− + + =
b,
( )
4
5 3 0x y y− − + − =
c,
3 1 3 2 0x y y+ − + + =
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a,
4 1 3xy+ + − =
b,
2 1 1 4xy+ + − =
c,
3 5 5xy+ + =
HD :
a, Do
4 0 0 2 3 2 0;1;2;3x y y+ = − = −
Bài 4: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a,
5 2 3 7xy+ + =
b,
3 5 4 5xy− + + =
c,
6 4 2 1 12xy+ + − =
Bài 5: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a,
2 3 3 10xy+ + =
b,
3 4 3 21xy+ + =
c,
2
51yx= − −
Bài 6: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a,
2
3 2 3yx= − −
b,
2
2 3 4yx= − +
c,
2
3 12 2yx= − −
Bài 7: Tìm x, y biết :
a,
3 4 5 5 0xy− + + =
b,
HD:
a, Vì
3 4 0
3 4 0
3 4 5 5 0
5 5 0
5 5 0
x
x
xy
y
y
−
−=
= − + + = =

+=
+
b, Vì
1,5 0
1,5 0
3 4 3 5 0
3 5 0
3 5 0
x
x
xy
y
y
−
−=
= − + + =

+=
+
Bài 8: Tìm x, y biết :
a,
1006 2012 0x y x− + −
b,
( )
2012
5 3 4 0xy+ + − =
HD :
a,
1006 0
1006 2012 0
2012 0
xy
x y x
x
−=
− + − =
−=
b, Vì
( )
( )
2012
2012
50
50
5 3 4 0
3 4 0
3 4 0
x
x
xy
y
y
+
+=
= + + − = =

−=
−
Bài 9: Tìm x nguyên biết:
a,
( )
2
2
2 1 2 8 12 5.2x y x− + − − = −
b,
( )
2012
2011 1 0x y y− + − =
HD:
a,
( )
2
2 1 0
2 1 2 0
20
x
x y x
yx
+=
− + − = =
−=
b,
( )
2012
2011
2011 1 0
10
xy
x y y
y
=
− + − = =
−=
20
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 10: Tìm x, y biết:
a,
05343 =++− yx
b,
0
25
9
=++− yyx
c,
05423 =++− yx
Bài 11: Tìm x,y biết:
a,
03
7
2
4
3
5 =−+− yx
b,
0
13
23
17
11
5,1
4
3
2
1
3
2
=+−++− yx
c,
020082007 =−+− yx
Bài 12: Tìm x,y biết:
a,
08615 −++ yx
b,
0342 −++ yyx
c,
0122 +++− yyx
Bài 13: Tìm x,y biết:
a,
0511812 −++ yx
b,
01423 −++ yyx
c,
0107 −+−+ xyyx
Bài 14: Tìm x,y biết:
a,
032 =++−− yyx
b,
043
20082007
=++− yyx
Bài 15: Tìm x,y biết:
a,
( )
012007
2006
=−++ yyx
b,
( )
0320075
2008
=−+−− yyx
Bài 16: Tìm x,y biết:
a,
( ) ( )
031
22
=++− yx
b,
( )
072552
5
4
=−+− yx
Bài 17: Tìm x,y biết:
a,
( )
0
2
1
423
2004
=++− yyx
b,
0
2
1
213
2000
=
−+−+ yyx
Bài 18: Tìm x,y biết:
a,
020082007 −+− yx
b,
0
3
2
103
7
5
++− yyx
Bài 19: Tìm x,y biết:
a,
0
25
6
5
4
2008
2007
2
1
4
3
2
1
2006
++
− yx
b,
04200822007
20072008
−+− yyx
21
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 9:
( )
,0+ A B m m
Phương pháp : Vì
0
0 0 0
0
AB
A A B A B m
B
+
= + = +
, Đưa về dạng 4
Bài 1: Tìm x y nguyên thỏa mãn :
a,
3xy+
b,
5 2 4xy+ + −
c,
2 1 4 3xy+ + −
HD :
a, Vì
3
0 0 0 3
0
xy
x x y x y
y
+
= + = = +
TH1 :
0xy+=
TH2 :
0
1
01
x
xy
y
+ = =

TH3 :
2xy+=
Bài 2: Tìm x, y nguyên sao cho :
a,
3 5 4xy+ +
b,
5 1 2 7xy+ + −
c,
4 2 5 3 5xy+ + +
Bài 3 : Tìm x, y nguyên sao cho :
a,
3 5 2 1 3xy+ + −
b,
3 2 1 4 2 1 7xy+ + −
22
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 10:
( ) ( ) ( )
. =A x B x C y
Phương pháp :
Vì
( ) ( ) ( )
0 . 0A y A x B x n x m = = =
Tìm được x
Bài 1: Tìm các số cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
a,
( )( )
2 1 1x x y− + = +
b,
( )( )
31x x y+ − =
c,
( )( )
2 5 2 1 2x x y− − = + +
HD :
a,
( )( )
1 0 2 1 0 1 2 ...y x x x y+ = − + = − = =
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a,
( )( )
1 3 2 1x x y+ − = +
b,
( )( )
2 5 1 1x x y− − − + =
c,
( )( )
3 5 2 0x x y− − + − =
Bài 3: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a,
( )( )
032 −+ xx
b,
( )( )
05212 −− xx
c,
( )( )
0223 +− xx
Bài 4: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a)
( )( )
112 +=+− yxx
b,
( )( )
yxx =−+ 13
c,
( )( )
21252 ++=−− yxx
Bài 5: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a)
( )( )
1231 +=−+ yxx
b,
( )( )
1152 =+−−− yxx
c,
( )( )
0253 =−+−− yxx
Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a,
( )( )
02513 −+ xx
23
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 11: Sử dụng phương pháp đối lập 2 vế của đẳng thức:
=AB
, trong đó:
=

= = =

=

A m A m
AB
B m B m
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a,
( )
2
2 1 3 2x x y+ + − = − +
b,
12
51
13
xx
y
− + − =
++
c,
( )
2
10
35
2 6 2
y
x
+ + =
−+
HD:
a, Vì
2 1 2 1 3x x x x+ + − + + − =
Mặt khác:
( )
2
3 2 3y− +
, Để
( )
( )
2
2
2 1 3
2 1 3 2
3 2 3
xx
x x y
y
+ + − =
+ + − = − + =
− + =
21
2
x
y
−
=
=−
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a,
6
13
33
xx
y
− + − =
++
b,
( )
2
8
2 3 2 1
2 5 2
xx
y
+ + − =
−+
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a,
( )
2
12
3 1 3 5
32
xx
y
+ + − =
++
b,
16
31
22
xx
yy
+ + − =
− + +
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn:
10
2 1 5
42
xy
y
− − + =
−+
24
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 12: TÌM MIN MAX CỦA BIỂU THỨC GTTD
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
2 3 1 4Ax= − −
b,
1,5 2Bx= − −
c, C =
3x−
HD :
a, Ta có:
3 1 0 2 3 1 4 4 4x x A− = − − − = −
Khi đó A đạt GTNN bằng -4 khi
1
3 1 0
3
xx− = = =
b, Ta có:
2 0 2 0 1,5 2 1,5x x B x− = − − = = − −
Khi đó B đặt GTLN bằng 1,5 khi
2x =
c, Ta có:
30Cx= −
khi đó đạt GTNN bằng 0 kho x = 3
Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
0,5 3,5Ax= − −
b,
1,4 2Ex= − − −
c,
5,5 2 1,5Fx= − −
HD :
a, Ta có:
0,5 3,5 0,5 0,5A x MaxA= − − = =
khi x=3,5
b,
1,4 2 2 2B x MaxB= − − − − = = −
khi x=1,4
c,
5,5 2 1,5 5,5 5,5F x MaxF= − − = =
khi
1,5 3
24
x ==
Bài 3: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
10,2 3 14Gx= − − −
b,
2,5 5,8Ax= − − −
c,
10 4 2Kx= − −
HD :
a, Ta có:
10,2 3 14 14 14G x MaxG= − − − − = = −
khi
10,2 3 0x−=
b,
2,5 5,8 5,8 5,8A x MaxA= − − − − = = −
, khi
2,5 0x−=
c,
10 4 2 10 10K x MaxK= − − = =
khi
20x−=
Bài 4: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
4 5 2 3 12H x y= − − − +
b,
5 2 1Mx= − −
c,
1,7 3,4Ax= + −
HD:
a,
( )
4 5 2 3 12 4 4H x y MaxH= − − + + = =
khi
5 2 0
3 12 0
x
y
−=
+=
b,
5 2 1 5 5M x MaxM= − − = =
khi
2 1 0x−=
c,
1,7 3,4 1,7 1,7A x MinA= + − = =
khi
3,4 0x−=
Bài 5: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A=
2,8 3,5x +−
b,
3,7 4,3Ax= + −
c,
2,5 5,8Nx= − +
HD:
a,
2,8 3,5 3,5 3,5A x MinA= + − − = = −
khi
2,8 0x +=
b,
3,7 4,3 3,7 3,7A x MinA= + − = =
khi
4,3 0x−=
c,
2,5 5,8 5,8 5,8N x MinN= − + = =
khi
2,5 0x−=
Bài 6: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
4 3 5 7,5 12,5B x y= − + + +
b,
4,9 2,8Ax= + −
c,
4 2 3 1Ax= − + −
HD:
a,
4 3 5 7,5 12,5 12,5 12,5B x y MinB= − + + + = =
khi
4 3 0
5 7,5 0
x
y
−=
+=
b,
4,9 2,8 2,8 2,8A x MinA= + − − = = −
khi
4,9 0x+=
c,
4 2 3 1 4 4A x MinA= − + − − = = −
khi
3 1 0x−=
25
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A=
2 3 2 1x−+
b,
2 4,5 2,7A x x= + + −
c,
2 3 4 5 17B x y= − − − − −
HD:
a,
2 3 2 1 1 1A x MinA= − + = =
khi
3 2 0x −=
b,
2 4,5 2,7 0A x x= + + −
Dấu = xảy ra khi
2 4,5 0
2,7 0
x
x
+=
−=
=> Không tồn tại x để xảy ra dấu bằng
Bài 8: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
2
1Ax=+
b,
4
35Bx=−
c,
2
1
7
2
Cx

= + −


HD:
a,
2
1 1 1A x MinA= + = =
khi x=0
b,
4
3 5 5 5B x MinB= − − = = −
khi x=0
c,
2
1
7 7 7
2
C x MinC

= + − − = = −


khi
1
2
x
−
=
Bài 9: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A=
5 12x+−
b, B=
2 5 17x x y+ + + + −
c, C =
( )
2
1 2 3 30x x y+ + − − +
HD:
a,
5 12 12 12A x MinA= + − − = = −
khi
50x +=
b,
2 5 17 17 17B x x y MinB= + + + + − − = = −
dấu bằng khi:
20
50
x
xy
+=
+ + =
c,
( )
2
1 2 3 30 30 30C x x y MinC= + + − − + = =
Dấu bằng khi
10
2 3 0
x
xy
+=
− − =
Bài 10: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
2
100Ax=−
b,
4
42
B
x
=
++
c,
2
3 2 1A x y= + − −
HD:
a,
2
100 100 100A x MaxA= − = =
, Dấu bằng khi x = 0
b, Ta có:
44
4 2 2 2 2 2
4 2 2
x B MaxB
x
+ + = = = = =
++
Dấu bằng khi:
40x+=
c,
2
3 2 1 1 1A x y MinA= + − − − = = −
, Dấu bằng khi
0
20
x
y
=
−=
Bài 11: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
B x x=+
b,
C x x=−
c,
( )
2
10 3 5D x y= − − − − −
HD:
a, Xét:
0 2 0x B x x x = = + +
với
0 0 0 0x B x x B MinB = = − = = = =
, dấu bằng khi
0x
b, Xét
( )
0 2 0x C x x x = = − − =
Xét
0 0 0 0x C x x C MaxC = = − = = = =
dấu bằng khi
0x
c,
( )
2
10 3 5 10 10D x y MaxD= − − − − − − = = −
, Dấu bằng khi
30
50
x
y
−=
−=
26
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 12: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
( )
4
2 1 3Ex= + −
b,
( )
2
2
1
28
5
M x y

= + + − −


c,
( )
2
2
9 2 10N x y= − + − +
HD:
a,
( )
4
2 1 3 3 3E x MinE= + − − = = −
, dấu bằng khi
2 1 0x+=
b,
( )
2
2
1
2 8 8 8
5
M x y MinM

= + + − − − = = −


, dấu bằng khi
20
1
0
5
x
y
+=
−=
c,
( )
2
2
9 2 10 10 10N x y MinN= − + − + = =
Dấu bằng khi
2
90
20
x
y
−=
−=
Bài 13: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
2
10 9P y x= + − +
b,
( ) ( )
2 2012
2 2002P x y y= − + −
HD:
a,
2
10 9 9 9P y x MinP= + − + =
, dấu bằng khi
10 0
0
x
y
−=
=
b,
( ) ( )
2 2012
2 2002 0 0P x y y MinP= − + − = =
dấu bằng khi:
20
2002 0
xy
y
−=
−=
Bài 14: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
( ) ( )
42
3 2 2012Q x y x y= + − + − +
b,
( )
2
23A x y x= − + − +
HD:
a,
( ) ( )
42
3 2 2012 2012 2012Q x y x y MinQ= + − + − + = =
, dấu bằng khi:
30
20
xy
xy
+ − =
−=
b,
( )
2
2 3 3 3A x y x MinA= − + − + = =
, Dấu bằng khi
20
0
x
yx
−=
−=
Bài 15: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
( ) ( )
22
1 3 1B x y= + + + +
b,
5 12Ax= + −
HD:
a,
( ) ( )
22
1 3 1 1 1B x y MinB= + + + + = =
, dấu bằng khi
10
30
x
y
+=
+=
b,
5 12 12 12A x MinA= + − − = = −
dấu bằng khi
50x +=
Bài 16: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a,
2 20 18Bx= − + −
b,
2 5 17C x x y= + + + − −
HD :
a, Ta có:
2 20 18 18 18B x MaxB= − + − − = = −
Dấu bằng khi
2 20 0x+=
b, Ta có :
2 5 17 17 17C x x y MinC= + + + − − − = = −
, Dấu bằng khi
20
50
x
xy
+=
+ − =
Bài 17: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
( )
2
1 2 3 30D x x y= + + − − +
HD :
( )
2
1 2 3 30 30 30D x x y MinD= + + − − + = =
, Dấu bằng khi
10
2 3 0
x
xy
+=
− − =
Bài 18: Tìm GTNN của :
a,
6
3
A
x
=
−
b,
1
23
A
x
=
−+
c,
5,8
2,5 5,8
B
x
=
−+
HD :
27
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a, Ta có :
66
3 3 2 2 2
33
x A MaxA
x
− − = = − = − = = −
−−
, Dấu bằng khi x = 0
b, Ta có :
1 1 1 1
2 3 3
2 3 3 3 3
x A MaxA
x
− + = = = =
−+
, Dấu bằng khi
2x =
c, Ta có :
5,8
2,5 5,8 5,8 1 1 1
2,5 5,8
x B MaxB
x
− + = = = =
−+
, Dấu = khi
2,5x =
Bài 19: Tìm GTNN của :
a,
12
2
3 5 4
C
x
=+
++
b,
32
45
x
D
x
+
=
−
c,
23
31
x
E
x
+
=
−
HD :
a, Ta có :
12 12
3 5 4 4 3 2 3 5 5
3 5 4 4
x C MaxC
x
+ + = = = + = = =
++
,
Dấu bằng khi x = - 5
b, Ta có :
12 8 12 15 23
23
43
4 5 4 5 4 5
xx
D
x x x
+ − +
= = = +
− − −
Để D đạt min thì
4 5 0
4 5 1 1
4 5,min
x
x x x
x
−
= = = =
−
Để D đạt max thì
4 5 0
4 5 1 2
4 5,min
x
x x x
x
−
= = = =
−
Bài 20: Tìm GTNN của :
a,
2 7 5 11
7 5 4
x
F
x
++
=
++
b,
2 7 13
2 2 7 6
y
G
y
++
=
++
b,
15 1 32
6 1 8
x
A
x
++
=
++
HD :
a, Ta có :
2 7 5 8 3
3
2
7 5 4 7 5 4
x
F
xx
+ + +
= = +
+ + + +
,
Mà
3 3 3 11
7 5 4 4 2
7 5 4 4 4 4
xF
x
+ + = = + =
++
11
4
MaxF= =
, Dấu bằng khi
7 5 0x +=
b,
2 2 7 26
20
21
2 2 7 6 2 2 7 6
y
G
yy
++
= = +
+ + + +
Mà :
20 20 10 10
2 2 7 6 6 2 1
2 2 7 6 6 3 3
yG
y
+ + = = = +
++
13
20
MaxG =
, Dâu bằng khi 2y + 7 = 0
c,
30 1 32 30 1 40 8
8
25
6 1 8 6 1 8 6 1 8
xx
A
x x x
+ + + + −
= = = −
+ + + + + +
Mà
88
6 1 8 8 1 5 5 1 4
6 1 8 6 1 8
x
xx
+ + = = − − =
+ + + +
=>
2 4 2AA =
2MinA= =
, khi x + 1 = 0
Bài 21: Tìm GTNN của :
a,
8
5
4 5 7 24
B
x
−
=+
++
b,
6 14
5 5 6 8 35
C
y
=−
−+
c,
214 6 33
3 4 6 5
x
D
x
++
=
++
28
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
HD:
a,
8 8 1 1 14
4 5 7 24 24 5
4 5 7 24 24 3 3 3
xB
x
− − − −
+ + = = = + =
++
Khi đó :
14
3
MinB =
, Dấu bằng khi 5x + 7 = 0
b,
14 14 2 6 2 8
5 6 8 35 35
5 6 8 35 35 5 5 5 5
yC
y
− + = − = = + =
−+
Khi đó :
8
5
MinC =
, Dấu bằng khi
6 8 0y −=
d,
21 4 6 35 2
2
7
3 4 6 5 3 4 6 5
x
D
xx
+ + −
−
= = +
+ + + +
mà
2 2 2 33
3 4 6 5 5 7
3 4 6 5 5 5 5
xD
x
− − −
+ + = = + =
++
Hay
33
5
MinD =
, dấu bằng khi
4 6 0x +=
Bài 22: Tìm GTNN của :
a,
6 5 14
2 5 14
y
E
y
++
=
++
b,
15 7 68
3 7 12
x
F
x
− + −
=
++
HD :
a, Ta có:
6 5 42 28
28
3
2 5 14 2 5 14
y
E
yy
+ + −
−
= = +
+ + + +
Mà
( )
28 28
2 5 14 14 2 3 2 1
2 5 14 14
yE
y
−−
+ + = = − = + − =
++
Hay
1MinE =
, Dấu bằng khi
50y +=
b, Ta có:
15 7 60 8
8
5
3 7 12 3 7 12
x
F
xx
− + − −
−
= = − +
+ + + +
Mà
8 8 2 17
3 7 12 12 5
3 7 12 12 3 3
xF
x
− − − −
+ + = = − + =
++
Hay
17
3
MinF
−
=
, Dấu bằng khi
70x+=
Bài 23: Tìm GTNN của :
a,
15 28
12 3 3 2 1 35
C
x y x
=−
− + + +
b,
( )
2
3
24
H
x
−
=
++
HD :
a, Ta có:
28 28 4 15 4 9
3 3 2 1 35 35
3 3 2 1 35 35 5 12 5 20
x y x C
x y x
− − − −
− + + + = = = + =
− + + +
Hay
9
20
MinC =
, Dấu bằng khi
30
2 1 0
xy
x
−=
+=
b, Ta có:
( )
( )
2
2
3 3 3
2 4 4
44
24
xH
x
− − −
+ + = =
++
hay
3
4
MinH
−
=
,
Dấu bằng khi
20x+=
Bài 24: Tìm GTLN của:
a,
15
5
4 3 7 3
A
x
=+
++
b,
1 21
3 815 21 7
B
x
−
=+
−+
29
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
HD :
a, Ta có:
15 15
4 3 7 3 3 5 5 5 10
4 3 7 3 3
xA
x
+ + = = = + =
++
Hay
10MaxA=
, Dấu bẳng khi
3 7 0x +=
b, Ta có:
21 21 1 5
815 21 7 7 3 3
815 21 7 7 3 3
xB
x
−
− + = = = + =
−+
Hay
5
3
MaxB =
, Dấu bằng khi
15 21 0x−=
Bài 25: Tìm GTLN của:
a,
4 20
5 3 5 4 5 8
C
xy
=+
+ + + +
b,
24
6
2 2 3 2 1 6
D
x y x
= − +
− + + +
HD:
a, Ta có:
20 20 5 4 5 33
3 5 4 5 8 8
3 5 4 5 8 8 2 5 2 10
x y C
xy
+ + + + = = = + =
+ + + +
Hay
33
10,
MaxC =
Dấu bằng khi
3 5 0
4 5 0
x
y
+=
+=
b, Ta có:
24 24
2 2 3 2 1 6 6 4 6 4 2
2 2 3 2 1 6 6
x y x D
x y x
− + + + = = = − + = −
− + + +
Hay
2MaxD =−
, Dấu bằng khi
20
2 1 0
xy
x
−=
+=
Bài 26: Tìm GTLN của:
a,
( )
2
2 21
3
3 5 5 14
E
x y x
=+
+ + + +
b,
1
13
F
x
=
−+
HD :
a, Ta có:
( )
( )
2
2
21 21 3 2 3 13
3 5 5 14 14
14 2 3 2 6
3 5 5 14
x y x E
x y x
+ + + + = = = + =
+ + + +
Hay
13
6
MaxE =
, Dấu bằng khi
30
50
xy
x
+=
+=
b, Ta có:
1 1 1
1 3 3
1 3 3 3
xF
x
− + = =
−+
Hay
1
3
MaxF =
, Dâu bằng khi
10x−=
Bài 27: Tìm GTLN của:
a,
( )
2
3
25
A
x
=
−+
b,
2
1
25
B
x
=
+
HD :
a, Ta có:
( )
( )
2
2
3 3 3
2 5 5
55
25
xA
x
− + = =
−+
Hay
3
,
5
MaxA =
Dấu bằng khi
20x −=
b, Ta có:
2
2
1 1 1
2 5 5
2 5 5 5
xB
x
+ = =
+
Hay
1
5
MaxB =
, dấu bằng khi
0x =
30
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 28: Tìm GTLN của:
( ) ( )
24
2016
23
A
x x y
=
− + − +
HD :
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
24
24
2016 2016
2 3 3 672
3
23
x x y
x x y
− + − + = =
− + − +
672A=
Hay
672MaxA=
, Dấu bằng khi
20
0
x
xy
−=
−=
Bài 29: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a,
52A x x= + + −
b,
76B x x= − + −
c,
2 1 2 6C x x= − + +
HD:
a, với
5 0 5 5 2 7x x A x x+ = − = = + + − =
(1)
Với
5 5 2 2 3x A x x x − = = − − + − = − −
Mà
5 2 10 2 3 10 3 7 7x x x A − = − = − − − = =
(2)
Từ (1) và (2) ta cosL
77A MinA = =
, Dâu bằng khi
5x −
b, Với
7 0 7 7 6 1x x B x x− = = = − + − = −
(1)
Với
7 7 6 2 13x B x x x = = − + − = − +
mà
7 2 14 2 13 1 1x x x B = − − = − + − = −
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
11B MinB − = = −
, Dấu bằng khi
7x
c, Với
1
2 1 0 2 1 2 6 4 5
2
x x C x x x− = = = − + + = +
Mà
11
4 5 4. 5 7 7
22
x x C = + + = =
(1)
Với
1
1 2 2 6 7
2
x C x x = = − + + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
77C MinC = =
, Dấu bằng khi
1
2
x
Bài 30: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a,
4 3 4 5E x x= + + −
b,
5 6 3 5F x x= − + +
c,
2 7 5 2G x x= + + −
HD:
a, Với
3
4 3 0 4 3 4 5 8 2
4
x x E x x x
−
+ = = = + + − = −
Mà
33
8 2 8. 2 8
44
xx
−−
= − − = −
=>
8E −
(1)
Với
3
4 3 4 5 8
4
x E x x
−
= = − − + − = −
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
88E MinE − = = −
, Dấu bằng khi
3
4
x
−
b, Với
6
5 6 0 5 6 3 5 10 3
5
x x F x x x− = = = − + + = −
Mà
66
10 3 10. 3 9 9
55
x x F = − − = =
(1)
Với
6
6 5 3 5 9
5
x E x x = = − + + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
99F MinF = =
, Dâu bằng khi
6
5
x
c, Với
7
2 7 0 2 7 5 2 12
2
x x G x x
−
+ = = = + + − =
(1)
31
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Với
7
2 7 5 2 4 2
2
x G x x x
−
= = − − + − = − −
Mà
77
4 2 4. 2 12
22
xx
−−
= − − − − =
=>
12G
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
12 12G MinG = =
, Dấu bằng khi
7
2
x
−
Bài 31: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a,
2 3 2 5H x x= − + +
b,
3 1 4 3I x x= − + −
c,
4 5 4 1J x x= + + −
HD:
a, Với
( )
3 0 3 2 3 2 5 4 1x x H x x x− = = = − + + = −
Mà
3 4. 1 11xx = −
11H=
(1)
Với
( )
3 2 3 2 5 11x H x x = = − + + =
(2)
Từ(1) và (2) ta có :
11 11H MinH = =
, Dấu bằng khi
3x
b, Với
( )
1 0 1 3 1 4 3 1x x I x x− = = = − + − =
(1)
Với
( )
1 3 1 4 3 6 7x I x x x = = − + − = − +
Mà
1 6 7 6.1 7 1 1x x I = − + − + = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
11I MinI = =
, Dấu bằng khi
1x
c, Với
( )
5 0 5 4 5 4 1 8 19x x J x x x+ = − = = + + − = +
Mà
( )
5 8 19 8. 5 19 21 21x x J − = + − + = − = −
(1)
Với
( )
5 4 5 4 1 21x J x x − = = − − + − = −
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
21 21J MinJ − = = −
, Dấu bằng khi
5x −
Bài 32: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a,
3 5 8 3D x x= + + −
b,
12
23
B x x= + − −
HD:
a, Với
5
3 5 0 3 5 8 3 13
3
x x D x x
−
+ = = = + + − =
( 1)
Với
5
3 5 8 3 6 3
3
x D x x x
−
= = − − + − = − +
Mà
55
6 3 6. 3 13 13
33
x x D
−−
= − + − + = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
13 13D MinD = =
, Dấu bằng khi
5
3
x
−
b, Với
2 2 1 2 7
0
3 3 2 3 6
x x B x x

− = = = + − − =


(1)
Với
2 1 2 1
2
3 2 3 6
x B x x x
−

= = + − − = +


Mà
2 1 2 1 7 7
2 2.
3 6 3 6 6 6
x B x B
−−
= = + + = =
(2)
Từ (1) và (2) =>
77
66
B MaxB = =
, Dấu bằng khi
2
3
x
Bài 33: Tìm GTLN của:
a,
54A x x= − − + +
b,
2 3 2 4B x x= − + + +
c,
3 1 7 3C x x= − − + −
HD:
a, Với
( )
5 0 5 5 4 9x x A x x− = = = − − + + =
(1)
Với
( )
5 5 4 2 1x A x x x = = − − + + = −
32
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Mà
5 2 1 2.5 1 9x A x = = − − =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
99A MaxA = =
, Dấu bằng khi
5x
b, Với
( )
3
2 3 0 2 3 2 4 1
2
x x B x x
−
+ = = = − + + + =
(1)
Với
( )
3
2 3 2 4 4 7
2
x B x x x
−
= = − − − + + = +
Mà
33
4 7 4. 7 1
22
x B x
−−
= = + + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
11B MaxB = =
, Dấu bằng khi
3
2
x
−
c, Với
( )
1
3 1 0 3 1 7 3 6 8
3
x x C x x x− = = = − − + − = − +
Mà
11
6 8 6. 8 6 6
33
x x C = − + − + = =
(1)
Với
( )
1
1 3 7 3 6
3
x C x x = = − − + − =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
66C MaxC = =
, Dấu bằng khi
1
3
x
Bài 34: Tìm GTLN của:
a,
2 5 2 6D x x= − − + +
b,
3 4 8 3E x x= − − + −
c,
5 5 5 7F x x= − − + +
HD:
a, Với
( )
5 0 5 2 5 2 6 16x x D x x− = = = − − + + =
(1)
Với
( )
5 2 5 2 6 4 4x D x x x = = − − + + = −
Mà
5 4 4 16x D x = = −
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
16 16D MaxD = =
, Dấu bằng khi
5x
b, Với
( )
4 0 4 3 4 8 3 6 20x x E x x x− = = = − − + − = − +
Mà
4 6 20 6.4 20 4x E x = = − + − + = −
(1)
Với
( )
4 3 4 8 3 4x E x x = = − − + − = −
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
44E MaxE − = = −
, Dấu bằng khi
4x
c, Với
( )
5 0 5 5 5 5 7 10 18x x F x x x− = = = − − + + = −
Mà
5 10 18 10.5 18 32x F x = = − − =
(1)
Với
( )
5 5 5 5 7 32x F x x = = − − + + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
32 32F MaxF = =
, Dấu bằng khi
5x
Bài 35: Tìm GTNN của biểu thức
a,
15A x x= + + −
b,
2 6 5B x x= − + − +
c,
2 4 2 1C x x= − + +
HD
a, Ta có :
1 5 1 5 1 5 6 6A x x x x x x= + + − = + + − + + − = =
Hay
66A MinA = =
, Dấu bằng khi
( )( )
1 5 0xx+ −
b, Ta có :
2 6 5 2 6 5 2 6 5 9B x x x x x x= − + − + = − + − + − + − + =
Hay
99B MinB = =
, Dấu bằng khi
( )( )
2 6 0xx− −
c, Ta có :
2 4 2 1 4 2 2 1 4 2 2 1 5C x x x x x x= − + + = − + + − + + =
Hay
55C MinC = =
, Dấu bằng khi
( )( )
4 2 2 1 0xx− +
Bài 36: Tìm GTNN của biểu thức
a,
23D x x= + + −
b,
2 4 2 5E x x= − + +
c,
3 2 3 1F x x= − + +
HD :
a, Ta có :
2 3 2 3 2 3 5D x x x x x x= + + − = + + − + + − =
33
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Hay
55D MinD = =
, Dấu bằng khi
( )( )
2 3 0xx+ −
b, Ta có :
2 4 2 5 4 2 2 5 4 2 2 5 9E x x x x x x= − + + = − + + − + + =
Hay
99E MinE = =
, Dấu bằng khi
( )( )
4 2 2 5 0xx− +
c, Ta có :
( )
3 2 3 1 3 2 3 1 6 3 3 1F x x x x x x= − + + = − + + = − + +
6 3 3 1 7xx − + + =
Hay
77F MinF = =
, Dấu bằng khi
( )( )
6 3 3 1 0xx− +
Bài 37: Tìm GTNN của biểu thức
a,
5 1 4G x x= + + + +
b,
3 7 3 2 8H x x= − + + +
c,
4 3 4 5 12I x x= + + − +
HD :
a, Ta có :
5 1 4 5 1 4 5 1 4 8G x x x x x x= + + + + = + + − − + + − − + =
Hay
88G MinG = =
, Dấu bằng khi
( )( )
5 1 0xx+ − −
b, Ta có :
3 7 3 2 8 7 3 3 2 8 7 3 3 2 8 17H x x x x x x= − + + + = − + + + − + + + =
Hay
17 17H MinG = =
, Dấu bằng khi
( )( )
7 3 3 2 0xx− +
c, Ta có :
( )
4 3 4 5 12 4 12 5 4 12 4 12 5 4 12 29I x x x x x x= + + − + = + + − + + + − + =
Hay
29 29I MinI = =
, Dấu bằng khi
( )( )
4 12 5 4 0xx+ −
Bài 38: Tìm GTNN của biểu thức
a,
2002 2001M x x= − + −
b,
2006 2007N x x= − + −
HD :
a, Ta có :
2002 2001 2002 2001 1M x x x x= − + − − + − =
Hay
11M MinM = =
, Dấu bằng khi
( )( )
2002 2001 0xx− −
b, Ta có :
2006 2007 2006 2007 1N x x x x= − + − − + − =
Hay
11N MinN = =
, Dấu bằng khi
( )( )
2006 2007 0xx− −
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức
a,
2012 2011A x x= − + −
b,
456 789B x x= − + −
HD :
a, Ta có :
2012 2011 2012 2011 1 1A x x x x A= − + − − + − = =
Vậy
1,MinA =
Dáu bằng khi
( 2012)(2011 ) 0xx− −
b, Ta có :
456 789 456 789 333 333B x x x x B= − + − − + − = =
Vậy
333MinB =
Dấu bằng khi
( )( )
456 789 0xx− −
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức:
a,
3 2 5 7A x x x= + + − + −
b,
1 3 4 1 5B x x x= + + − + − +
HD :
a, Ta có :
3 7 2 5 3 7 2 5 2 4 5 2A x x x x x x x x= + + − + − + + − + − = − + −
2 4 5 2 1A x x − + − =
Dấu bằng khi :
( )( )
( )( )
3 7 0
2 4 5 2 0
xx
xx
+ −
− −
=>
1A
b, Ta có :
1 1 3 4 5 1 1 3 4 5 2 0 5 7B x x x x x x= + + − + − + + + − + − + + + =
Dấu bằng khi :
( )( )
1 1 0
3 4 0
xx
x
x
+ −
=
−=
, Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất
Bài 41: Tìm GTNN của biểu thức:
a,
2 4 2 5 3C x x x= + + − + −
b,
3 5 6 1 1 3D x x x= + + + + − +
HD :
a, Ta có :
2 3 4 2 5 2 3 4 2 5 5 0 5 5C x x x x x x C= + + − + − + + − + − + = =
34
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Dấu bằng khi :
( )( )
2 3 0
5
2
2 5 0
xx
x
x
+ −
= =
−=
thỏa mãn :
b,
3 1 5 6 1 3 3 1 5 6 1 3 4 0 3 7D x x x x x x= + + − + + + + + − + + + + + =
Dấu bằng khi
( )( )
3 1 0
1
6
6 1 0
xx
x
x
+ −
−
= =
+=
thỏa mãn :
Bài 42: Cho x + y = 5. Tìm GTNN của
12A x y= + + −
HD :
Từ
5 5 1 5 2 1 3 1 3 4x y y x A x x x x x x+ = = = − = = + + − − = + + − + + − =
Dấu bằng khi :
( )( )
1 3 0
13
5
5
xx
x
xy
xy
+ −
−
=

+=
+=
Bài 43: Cho x – y = 3. Tìm GTNN của
61B x y= − + +
HD :
Từ
3 3 3 6 1 3 1x y x y B y y y y− = = = + = = + − + + = − + +
3 1 4yy − + + =
Dấu bằng khi :
( )( )
3 1 0
13
3
3
yy
y
xy
xy
− +
−
=

−=
−=
Bài 44: Cho x – y =2. Tìm GTNN của
HD :
Ta có :
( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 4C x y x y x y= + + − − + − − = − =
Dấu bằng khi :
( )( )
2 1 2 1 0
2
xy
xy
+ − −
−=
Bài 45: Cho 2x+y=3. Tìm GTNN của
2 3 2 2D x y= + + + +
HD :
Ta có :
2 3 2 2 2 3 2 2 3 5 2 10D x y x y= + + + + + + + + = + + =
Dấu bằng khi :
( )( )
2 3 2 0
23
xy
xy
+ +
+=
Bài 46: Cho 3x – 4y=0. Tìm GTNN của
22
M x y=+
HD :
Ta có :
2
22
4 16 25
0
3 9 9
y
x y M y y= = = + =
. Dấu bằng khi x = y = 0
Bài 47: Số giá trị của x thỏa mãn :
1 1012 3 1003 2013x x x x+ + − + + + + =
HD :
Ta có :
1 1012 3 1003 1 1012 3 1003VT x x x x x x x x= + + − + + + − − + + − + + − −
1013 1000 2013= + =
, Dấu bằng xảy ra khi :
( )( )
( )( )
1 1012 0
1 1012
1003 3
3 1003 0
xx
x
x
x
xx
+ −
−
= =

− −
+ − −
Vậy không có giá trị nào của x
Bài 48: Cho
2
?
2 3 3
x
xy
y
+
−
= = =
−
HD :
Ta có :
2
2 2 2
2 3 3 3 3 3
x
x y x x
y y y
+
−+
= = = = = =
− − −
35
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 49: Tìm GTNN của:
1 2 3 ... 100A x x x x= − + − + − + + −
HD :
Ta có : A
( ) ( ) ( )
1 100 2 99 ... 50 51x x x x x x= − + − + − + − + + − + −
99 97 ... 3 1 2500 2500AA= + + + + = =
, Dấu bằng khi :
1 100
2 99
50 51
...
50 51
x
x
x
x


=

Bài 50: Tìm GTNN của:
( )
2
23A x y x= − + − +
HD :
Ta có :
( )
2
20
3
0
x
A
yx
−
=
−
, hay
3MinA =
Dấu bằng khi
2
0
x
yx
=
−=
Bài 51: Tìm GTNN của:
2011
2012 1010
B
x
=
−−
HD :
Ta có :
2011 2011
1010 0 2012 1010 2012
2012 1010 2012
x x B
x
− = − − = =
−−
Dấu bằng khi :
1010x =
Bài 52: Tìm GTLN của:
( )
7 21
2 3 8
22
()
23
x
Cx
x
− + −
=
−
với x nguyên
HD :
Ta có :
( )
( )
75
2 2 2 3
Cx
x
=+
−
, để
( )
Cx
Đặt GTLN thì
( )
5
2 2 3x −
là số dương lớn nhất
Hay
( )
2 2 3x−
là số dương nhỏ nhất mà x nguyên nên :
( ) ( )
7
2 2 3 2 2 3 1 4 6 1 ( )
4
x Z x x x l− = − = = − = = =
Khi đó :
( ) ( )
2 2 3 2 4 6 2 2 /x x x t m− = = − = = =
Bài 53: Tìm GTNN của:
( )
2
3 5 2 5 1A x x= − − − +
HD :
Ta có :
( )
2
3 5 2 5 1A x x= − − − +
, Đặt
2
2
1 2 2
5 3 2 1 3
3 3 3
x t A t t t

− = = = − + = − +


Dấu bằng khi :
1
5
11
3
5
1
33
5
3
x
tx
x
−=
= = − = =
−
−=
Bài 54: Cho
( )
2 2 2
2 4 4 2
1
22
xy y y x
A
x y y x
+ − +
=
+ + +
. Rút gọn A và tìm x để A đạt GTLN
HD :
Ta có :
( ) ( )
2 4 2 4
2 4 4 2 2
2 4 4
1 1 1
2 2 2
1 2 1
xy y xy y
A
x y y x x
x y y
+ − + +
= = =
+ + + +
+ + +
Ta có :
2
2
11
22
22
xA
x
+ = =
+
=>
1
2
MaxA =
, Dấu bằng khi x = 0
36
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 55: Tìm x
Z
, để biểu thức:
24A x x= − + −
đạt GTNN
HD :
Ta có :
2 4 2 4 2 4 2A x x x x x x= − + − = − + − − + − =
dấu bàng khi :
( )( )
2 4 0xx− −
Bài 56: Tìm x
Z
, để biểu thức:
234B x x x= − + − + −
đạt GTNN
HD :
Ta có :
2 4 3 2 4 3 2 3 2A x x x x x x x= − + − + − − + − + − + − =
Dấu bằng khi :
( )( )
2 4 0
3
30
xx
x
x
− −
= =
−=
Bài 57: Tìm Min của:
8 13 50A x x x= + + + + +
HD :
Ta có:
8 13 50 8 0 50 42A x x x x x= − − + + + + − + + + + =
dấu bằng xảy ra khi :
80
13 0 13
50 0
x
xx
x
− −
+ = = = −
+
Bài 58: Tìm Min của :
111
234
B x x x= + + + + +
HD :
1 1 1 1 1 1
0
2 4 3 2 4 2
B x x x x x= + + − − + + + − − + =
Dấu bằng khi :
11
0
24
1
3
1
0
3
xx
x
x
+ − −

= = −

+=


Bài 59: Tìm Min của các biểu thức:
a,
( )
4
2 1 3Ax= + −
b,
( )
4
2
9 2 1B x y= − + − −
c,
( ) ( )
22
1 5 1B x y= − + + +
Bài 60: Tìm Min của :
a,
( ) ( )
22
1 1 20A x y= + + − −
(Min) b,
2
21B x x= − + +
(Max) c,
12C x x= − + −
(Min)
Bài 61: Tìm Min của :
a,
2014 2015C x x= − + −
b,
( )
2
2
9 2 1E x y= − + − −
c,
2
95Cx= − −
Bài 62: Tìm Min của :
a,
1 10 20D x x x= − + − + −
biết x
Z b,
( )
2
8
14
E
x
=
−+
c,
421 124Kx= − −
Bài 63: Tìm GTNN của:
( )
2
3 2 3 2007P x y= − + + + +
HD:
Ta có:
( ) ( )
2
3 2 2, 3 2 4x x x− + = − +
, Dấu “=” xảy ra khi x=3và
3 0,yy+
,
“=” khi y= - 3, Vậy
( )
2
3 2 3 2007 4 2007 2011P x y= − + + + + + =
, Dấu ‘=’ khi x=3 và y=-3
Bài 64: Tìm GTNN của
( )
2010
2010 2011 2011A x y= − + + +
và giá trị của x, y tương ứng
Bài 65: Tìm GTLN của
2x
C
x
+
=
với x là số nguyên
HD:
Xét các Th:
37
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Xét
2x −
thì C
1
Xét
1x =−
thì C=1
Xét
1x
thì
22
1
x
A
xx
+
= = +
và C lớn nhất khi
2
x
lớn nhất, khi x nhỏ nhất tức là x=1 khi đó C=3
Vậy Max C=3 khi x=1
Bài 66: Cho x+2y=1, Tìm Min của:
22
A x y xy= + +
Bài 67: Tìm Min của :
2 9 1945M x x x= − + − + +
Bài 68: Tìm GTNN của:
1 10 20D x x x= − + − + −
biết x là số nguyên
Bài 69: Tìm Min của:
3 2 5 3A x x= − + −
Bài 70: Tìm Max của:
a,
2009
2 1 2010
A
x
=
++
b,
( )
2
2
4 2010
2009
x
B
−+
=
−
Bài 71: Tìm min của:
a,
( )
2
7
2 4 2
C
x
=
+−
b,
( )
2
2 12Dx= − +
Bài 72: (l7) Tìm min của:
2015 2016 2017P x x x= − + − + −
Bài 73: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi
n
M
xy
=
+
a, Tìm n để M=2 b, Tìm n để M nhỏ nhất
HD:
a, Ta có:
10
28
xy
yx
xy
+
= = =
+
, Mà x, y là các chữ số nên x=1 và y=8
b,
9 9 9
11
1
x y x x
M
y
x y x y
x
++
= = + = +
++
+
để M nhỏ nhất thì
1
y
x
+
lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ
nhất
Bài 74: Tìm GTNN của :
2
34
1
x
D
x
−
=
+
Bài 75: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2015 2016 2017P x x x= − + − + −
HD:
( )
2015 2016 2017 2015 2017 2016P x x x x x x= − + − + − = − + − + −
Ta có :
2015 2017 2015 2017 2x x x x− + − − + − =
Dấu « = » xảy ra khi
2015 2017x
Lại có :
2016 0x −
, Dấu ‘=’ khi x=2016
Từ đó ta có :
2MinP =
, Dấu bằng xảy ra khi x=2016
Bài 76: Tìm GTNN của biểu thức :
2016 2017
2016 2018
x
A
x
−+
=
−+
HD:
2016 2018 1
1
1
2016 2018 2016 2018
x
A
xx
− + −
= = −
− + − +
Do
2016 2018 2018,xx− +
dấu bằng khi x=2016. Vậy B đạt GTNN bằng
2017
2018
Bài 77: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biêu thức:
2014 2015 2016A x x x= − + − + −
Bài 78: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu A biết:
7 5 2 3 2000A x y z x xy yz zx= − + − + + + −
Bài 79: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức :
2012 2013P x x= − + −
38
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 80 : Tìm GTLN của các biểu thức :
421 124Bx= − −
Bài 81: Cho x+y=1, với giá trị nào của x và y thì biểu thức
( )
2
7
5
28
A
xy
=+
− + +
đạt giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó?
| 1/38
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A. Lý thuyết :
+ ĐN: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a ( a là số thực)
- Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
TQ: Nếu a  0  a = a
Nếu a  0  a = a − Nếu x - a  0=> |x- | a = x - a Nếu x - a  0=> |x- | a = a - x
+Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm: a  0 với mọi a  R
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối a = b
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a = b   a = −b
- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị
tuyệt đối của nó: − a a a và − a = a a  ;
0 a = a a  0
- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu a b  0  a b
- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu 0  a b a b
- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối: a b . = a .b a a
- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối: = b b 2
- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó: 2 a = a
- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi hai số cùng dấu: a + b a + b và a + b = a + b  . a b  0 1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 1: PHÁ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối: a, 2x + 3 b, 4x − 2 c, 3x − 5 d, 2 − x HD :   3 −    1  2x + 3 x     4x − 2 x      2   2  a, Ta có: 2x + 3 =  − =   b, 4x 2  3 −    1  2
− x − 3 x     2 − 4x x       2    2    5  3x − 5 x      3 
2 − x(x  2) c, 3x − 5 =  − =   d, 2 x  5  x − 2  (x  2) 5 − 3x x       3 
Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối:
a, 2x − 4 + x − 3
b, x − 5 + x + 6 HD : a, Ta có bẳng sau : x 2 3 2x-4 - 0 + / + x-3 - / - 0 + Khi đó ta có :
Nếu x  2 = 2x − 4 + x − 3 = (4 − 2x) + (3− x) = 3 − x + 7
Nếu 2  x  3 = 2x − 4 + x − 3 = 2x − 4 + 3− x = x −1
Nếu x  3 = 2x − 4 + x − 3 = 2x − 4 + x − 3 = 3x − 7 b, Ta có bẳng sau : x -6 5 x-5 - / - 0 + x+6 - 0 + / + Khi đó ta có : Nếu x  6
− = x −5 + x + 6 = 5− x − x − 6 = 2 − x −1 Nếu 6
−  x  5 = x −5 + x + 6 = 5− x + x + 6 =11
Nếu x  5 = x − 5 + x + 6 = x − 5 + x + 6 = 2x +1
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a, 3(2x − ) 1 − x − 5
b, 2x + 3 + x + 2 HD:
a, Nếu x  5 = 3(2x − )
1 − x − 5 = 6x − 3 − ( x − 5) = 5x + 2
Nếu x  5 = 3(2x − )
1 − x − 5 = 6x − 3 − (5 − x) = 7x −8 3 − b, Nếu x
= 2x + 3 + x + 2 = 2x + 3+ x + 2 = 3x + 5 2 3 − Nếu x
= 2x + 3 + x + 2 = 2
− x − 3+ x + 2 = −x −1 2
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a, 3x −1+ 1− 3x b, 3( x − ) 1 − 2 x + 3 HD: 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 a, Nếu : x
= 3x −1+ 1− 3x = 3x −1+1− 3x = 0 3 1 Nếu x
= 3x −1+ 1− 3x = 3x −1+ (3x − ) 1 = 6x − 2 3 b, Nếu x  3 − = 3(x − )
1 − 2 x + 3 = 3x − 3 − 2( x + 3) = x − 9 Nếu x  3 − = 3(x − )
1 − 2 x + 3 = 3x − 3 + 2( x + ) 3 = 5x + 3
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức: 1 a, 2
A = 3x − 2x +1 , Với x = 0,5
b, B = 3x −1 + x − 3 với x = 3 HD: x = 0,5 a, Vì x = 0,5 =  x = 0 − ,5 2  1  1 3
TH1 : x = 0,5 = A = 3. − 2. +1 =    2  2 4 2  1 −  1 − 3 11 TH2 : x = 0 − ,5 = A = 3 − 2. +1 = + 2 =    2  2 4 4  1 x = 1  3 b, Vì x = =  3 1 − x =  3 1 1 1 8 − TH1 : x =
= B = 3. −1 + −3 = 3 3 3 3 1 − 1 − 1 − 1 − 0 7 − TH2 : x = = B = 3. + −3 =1+ = 3 3 3 3 3
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: −2 1 a, 3 2
A = 6x − 3x + 2 x + 4 với x =
b, 2 x − 3 y với x = ; y = −3 3 2 HD: 3 2 2 − 2 − 2  2   2  2 52 a, Với x = = x = = = A = 6. − 3. + 2. + 4     = 3 3 3  3   3  3 9 1 1 1 b, Với x = = x = , y = 3
− = y = 3 = B = 2 x − 3 y = 2. − 3.3 =1− 9 = 8 − 2 2 2
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: 2 5x − 7x +1 1
a, 2 x − 2 − 31− x với x = 4 b, D = với x = 3x −1 2 HD:
a, Với x = 4 = A = 2 x − 2 − 3 1− x = 2. 2 − 3 3 − = 4 −9 = 5 − 1 x =1/ 2 b, Với x = =  2 x = 1 − / 2 1 1 1 1 5. − 7. +1 5. + 7. +1 1 5 − 1 − 2 − 3 TH1 : 4 2 x = = D = = TH2 : 4 2 x = = D = = 2 1 2 2 1 − 10 3. −1 3. −1 2 2 3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 2: A (x) = k (k  0) Bài 1: Tìm x biết: 2 1 4 a, 2 3x −1 +1 = 5 b, 3x − = + 2 c, x + 5 − 4 = 3 5 35 7 HD: 3x −1 = 2
a, 2 3x −1 +1 = 5 = 2 3x −1 = 4 = 3x −1 = 2 =  3x −1 = 2 −  2 13 3x − = 2 1 4 2 13  5 5 b, 3x − = + 2 = 3x − = =  5 35 7 5 5 2 1 − 3 3x − =  5 5  x + 5 − 4 = 3
c, x + 5 − 4 = 3 =   x + 5 − 4 = 3 −  Bài 2: Tìm x biết: a, 3x +1 −11 = 3 b, x + 3 − 8 = 20 HD :  3x +1 −11 = 3
a, Ta có : 3x +1 −11 = 3 =   3x +1 −11 = 3 −   x + 3 −8 = 20
b, Ta có : x + 3 − 8 = 20 =   x + 3 −8 = 2 − 0 
Bài 3: Tìm x nguyên biết :
a, 5(2x + 3) + 2(2x + 3) + 2x + 3 =16 b, 2 2
x + 6x − 2 = x + 4 HD : 2x + 3 = 2
a, VT = 5 2x + 3 + 2 2x + 3 + 2x + 3 =16 = 8 2x + 3 =16 = 2x + 3 = 2 =  2x + 3 = 2 − 2 2
x + 6x − 2 = x + 4 b, Vì 2 2 2
x + 4  0 = x + 6x − 2 = x + 4 =  2 2
x + 6x − 2 = −x − 4  Bài 4: Tìm x biết: 1 21 1 a, 3 : 2x − 1 = b, 2 2x − 3 = c, 5 , 7 − 35 − 2x = − 5 , 4 2 22 2 Bài 5: Tìm x biết: 1 5 1 a, x − 1 + 2 = 3 b, 2x − 5 = 4 c, − − 2x = 3 4 4 Bài 6: Tìm x, y biết: 1 1 1 1 3 7 a, x + − 4 = 2 − b, − x + = c, − 2x +1 = 5 2 5 3 4 8 Bài 7: Tìm x biết: 1 4 1 3 a, 2x −1 + = b, 2 2 x + 2 x − = x + 2 c, 2 2 x x + = x 2 5 2 4 Bài 8: Tìm x biết: 4
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 1 1 3 2 3 a, 2x −1 − = b, x + 1 − = c, 2 x x + = x 2 5 2 4 5 4 Bài 9: Tìm x biết:  1  3 3 1 3 3 a, x + 2x − = 2x −   b, x − 2x − = 2x −
c, 2x − 3 − x + 1 = 4x −1  2  4 4 2 4 4 Bài 10: Tìm x biết: a, x −1 −1 = 2 b, 3x + 1 − 5 = 2 c, 5 − 3 2x −1 = 7 Bài 11: Tìm x biết: 4 x a, x + − − 75 , 3 = − − 15 , 2 b, 2 3x −1 +1 = 5 c, −1 = 3 15 2 Bài 12: Tìm x biết: 2 1 1 1 3 1 − 5 a, − x + + = 5 , 3 b) x − = 2 c, 2 − x − = 5 2 3 5 2 4 4 Bài 13: Tìm x biết: 3 4 3 7 3 1 5 5 1 3 a, + x − = b, 5 , 4 − x + = c, x + − = % 5 2 5 4 4 4 2 3 6 4 4 Bài 14: Tìm x biết: 9 1 11 3 1 7 15 3 1 a, 5 , 6 − : x + = 2 b, + : 4x − = c, − 5 , 2 : x + = 3 4 3 4 2 5 2 4 4 2 Bài 15: Tìm x biết: 21 2 2 − 1 1 9 9 1 1 2 3 a, + x 3 : − = 6 b, : x + = c, : − x = 5 4 3 3 6 12 4 2 2 2 4 5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 3: A( x) = B ( x)
Phương pháp: Chia khoảng phá GTTĐ Bài 1: Tìm x biết: 1 4 2
a, 2x + 3 = x + 2 b, x − + = ( 3 − ,2)+ 3 5 5 HD: 3 − a, TH 1 : x
= 2x + 3 = x + 2 = x = 1 − (t/m) 2 3 − 5 − TH2 : x  = 2
− x − 3 = x + 2 = x = (t/m) 2 3  1 x − = 2 1 4 14 1 14 4  3 b, x − + = = x − = − = 2 =  3 5 5 3 5 5 1 x − = 2 −  3 Bài 2: Tìm x biết:
a, 4 − x + 2x = 3
b, x − 7 + 2x + 5 = 6
c, 3x − 2x +1 = 2 HD: a,
TH1 : x  4 = (4 − x) + 2x = 3 = x = − ( 1 t / m) 7
TH2 : x  4 = ( x − 4) + 2x = 3 = x = (l ) 3 8 b,
TH1 : x  7 = x − 7 + 2x + 5 = 6 = x = (loại) 3
TH2 : x  7 = 7 − x + 2x + 5 = 6 = x = 6 − (t/m) 1 − c, TH1 : x
= 3x − (2x + )
1 = 2 = x = 3 (t/ m) 2 1 − 1 TH2 : x
= 3x + (2x + ) 1 = 2 = x = (loại) 2 5 Bài 3: Tìm x biết:
a, 2x − 3 = x − 3
b, 5x − 3 − x = 7
c, 3x − 2 = x + 7 HD : 3 a, TH1: x
= 2x − 3 = x − 3 = x = 0(l) 2 3 TH 2 : x
= 3− 2x = x − 3 = x = 2(l) 2 3 5 b, TH1: x
= 5x − 3− x = 7 = x = (t/m) 5 2 3 2 − TH 2 : x
= 3− 5x − x = 7 = x = (t/m) 5 3 2 9 c, TH1: x
= 3x − 2 = x + 7 = x = (t/m) 3 2 2 5 − TH 2 : x
= 2 − 3x = x + 7 = x = (t/m) 3 4 6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 4 : Tìm x biết :
a, 4x + 3 − x = 15
b, 2 5x − 3 − 2x = 14
c, 3x − 2 + 5x = 4x −10 HD: 3 − a, TH1: x
= 4x + 3− x =15 = x = ... 4 3 − TH 2 : x  = 4
− x − 3− x =15 = x = ... 4 3 b, TH1: x
= 2(5x −3) − 2x =14 = x = ... 5 3 TH 2 : x
= 2(3−5x) − 2x =14 = x =... 5 2 c, TH1: x
= 3x − 2 + 5x = 4x −10 = x = ... 3 2 TH 2 : x
= 2 − 3x + 5x = 4x −10 = x = ... 3 Bài 5: Tìm x biết:
a, x − 2016 = x − 2012 b, x +1 − 5 = 0 c, x + 4 = 7 HD: a, T 1
H : x  2016 = x − 2016 = x − 2012 = x = ...
TH 2 : x  2016 = 2016 − x = x − 2012 = x = ... b,
x +1 = 5 = x +1 = 5  = x = ... c,
x + 4 = 7 = x + 4 = 7  = x = ... Bài 6: Tìm x biết: a, x − 20 = 11
b, x − 5 = x − 5
c, x − 6 = 6 − x HD: a,
x − 20 = 11 = x − 20 = 1  1 b,
x − 5 = x − 5 = x − 5  0 = x  5 c,
x − 6 = 6 − x = x − 6  0 = x  6 Bài 7: Tìm x biết:
a, x − 7 + x − 7 = 0
b, 17 − x + x − 4 = 0
c, x − 3 + x − 3 = 0 HD: a,
x − 7 + x − 7 = 0 = x − 7 = 7 − x = x − 7  0 = x  7 1
 7 − x + (x − 4) = 0(x  4) b,
17 − x + x − 4 = 0 =  1  7 − x + 
(4− x) = 0(x  4) c,
x − 3 + x − 3 = 0 = x − 3 = 3 − x = x − 3  0 = x  3 Bài 8: Tìm x biết:
a, x + 2 − x = 2 b, x − 3 = 21
c, 2x + 3 − x − 3 = 0 HD: a,
x + 2 − x = 2 = x + 2 = x + 2 = x + 2  0 = x  2 − x − 3 = 21 b, x − 3 = 21 =  x − 3 = 2 − 1
2x −3 = x −3 c,
2x + 3 − x − 3 = 0 = 2x − 3 = x − 3 = 
2x −3 = 3− x 7
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 9: Tìm x biết:
a, 2x + 3 = x + 2
b, x − 7 + 2x + 5 = 6 HD:   3 − 
2x + 3 = x + 2 x      2  a,
2x + 3 = x + 2 =   3 −  2
− x − 3 = x + 2 x       2 
x − 7 + 2x + 5 = 6(x  7) b,
x − 7 + 2x + 5 = 6 = 
7 − x + 2x + 5 = 6  (x  7) Bài 10: Tìm x biết: a, 5x = x −12 b, 9 + x = 2x
c, 5x − 3x = 2
d, x + 6 − 9 = 2x Bài 11: Tìm x biết:
a, x − 5 + 5 = x
b, x + 7 − x = 7
c, 3x − 4 + 4 = 3x
d, 7 − 2x + 7 = 2x Bài 12: Tìm x biết: 1 a, x = 3 − 2x
b, x −1 = 3x + 2
c, 7 − x = 5x +1
d, 2x − 3 + x = 21 2 Bài 13: Tìm x biết: a, 4 + 2x = 4 − x
b, 3x −1 + 2 = x
c, x +15 +1 = 3x
d, 2x − 5 = x + 2 Bài 14: Tìm x biết:
a, 2x − 5 = x +1
b, 3x − 2 −1 = x
c, 3x − 7 = 2x +1
d, 2x −1 +1 = x Bài 15: Tìm x biết:
a, 4 − x + 2x = 3 b, x 3 − 4 + 4 = x 3
c, 7 − 2x + 7 = 2x
d, 6x − 2 − 5 = 2016x − 2017 Bài 16: Tìm x biết:
a. 2x − 5 = x +1
b. 6x − 2 = 3x − 4
c. 3x − 2 = x − 2
d, 2x − 3 = 3x + 2 Bài 17: Tìm x biết:
a, 2x − 3 = x − 5
b. 3x + 2 = x +1
c. 2x +1 = 7 − x d. 2x + 3 = 1 Bài 18: Tìm x biết:
a. 2 − x = 2x −1
b. 2x −1 = x − 3
c. 2 x −1 = x + 2
d, x −1 = 2x −1 Bài 19: Tìm x biết:
a. x − 2 = 2 − x 8
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 4: A( x) = B ( x) Phương pháp: Cách 1: Tách 2 TH:
TH1: A( x) = B ( x)
TH2: A( x) = −B ( x)
Cách 2: Xét khoảng bằng cách lập bẳng xét dấu:
Bài 1: Tìm x biết: x − 2 − 2x + 3 − x = 2 − HD:
Lập bảng xét dấu ta có: x - 3/2 2 x-2 - / - 0 + 2x+3 - 0 + / + 3 −
Khi đó ta có : TH1 : x  = (2 − x) −( 2
− x − 3) − x = 2 − 2 3 TH2 : −
x  2 = (2 − x) −(2x + 3) − x = 2 − 2
TH3 : x  2 = ( x − 2) − (2x + ) 3 − x = 2 − Bài 2: Tìm x biết:
a, 2x − 3 − x = 2 − x
b, 2 x − 3 − 4x −1 = 0 HD : a, Ta có bẳng xét dấu : x 3/2 2 2x - 3 - 0 + / + 2 - x + / + 0 - 3
Khi đó ta có : TH1: x  = (3 − 2x) − x = 2 − x 2 3 TH 2 :
x  2 = (2x −3) − x = (2 − x) 2
TH3: x  2 = (2x − )
3 − x = x − 2
2(x −3) = 4x −1
b, 2 x − 3 − 4x −1 = 0 = 2 x − 3 = 4x −1 =  2
 ( x −3) =1− 4x Bài 3: Tìm x biết:
a, 3x − 5 + 2x + 3 = 7
b, x + x + 2 = 3
c, 3x − 5 = x + 2 HD : a, Ta có bằng xét dấu : x -3/2 5/3 3x - 5 - / - 0 + 2x + 3 - 0 + / + 3 −
Khi đó ta có : TH1: x  = (5−3x) + ( 2 − x + 3) = 7 2 9
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 5 TH 2 : −
x  = (5−3x) + (2x + 3) = 7 2 3 5 TH 3 : x
= 3x − 5 + 2x + 3 = 7 3 b, Ta có bẳng xét dấu : x -2 0 x - / - 0 + x + 2 - 0 + / + Khi đó ta có : T 1 H : x  2
− = (−x) +(−x − 2) = 3 TH 2 : 2
−  x  0 = (−x)+(x + 2) = 3
TH3: 2  x = x + ( x + 2) = 3
3x −5 = x + 2
c, Ta có : 3x − 5 = x + 2 = 
3x −5 = −x − 2 Bài 4: Tìm x biết:
a, x −1 + x + 3 = 4
b, 2x + 3 − 2 4 − x = 5 HD : a, Ta có bẳng sau : x -3 1 x - 1 - / - 0 + x + 3 - 0 + / + Khi đó ta có : T 1 H : x  3
− = (1− x) +(−x − ) 3 = 4 TH 2 : 3
−  x 1= (1− x) + x +3 = 4
TH3: x 1 = ( x − ) 1 + x ( x + ) 3 = 4 b, Ta có bẳng sau : x -3/2 4 2x+3 - 0 + / + 4-x - / - 0 + 3 −
Khi đó ta có : TH1: x  = ( 2
− x −3) − 2(x − 4) = 5 2 3 − TH 2 :
x  4 = (2x + 3) − 2(x − 4) = 5 2
TH3: x  4 = (2x + ) 3 − 2(4 − x) = 5 Bài 5: Tìm x biết:
a, x + 8 − x = 0
b, x + −x = 3 − x
c, 2x − 3 − x = 2 − x HD : a, Ta có bảng xét dấu : x 0 8 x - 0 + / + 8-x + / + 0 - Khi đó ta có : T 1
H : x  0 = (−x) + (8 − x) = 0
TH 2 : 0  x  8 = x + 8 − x = 0
TH3: x  8 = x + ( x −8) = 0
b, Ta có −x = x = x + −x = 3− x = 2 x = 3− x T 1
H : x  0 = 2.x = 3 − x
TH 2 : x  0 = 2(−x) = 3− x 10
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
c, Ta có bảng xét dấu ta có : x 3/2 2 2x - 3 - 0 + / + 2 - x + / + 0 - 3
Khi đó ta có : TH1: x  = (3 − 2x) − x = 2 − x 2 3 TH 2 :
x  2 = (2x −3) − x = (2 − x) 2
TH3: x  2 = (2x − )
3 − x = x − 2
Bài 6: Tìm x biết: x − 2011 + x − 2010 = 2012 HD : Ta có bảng xét dấu : x 2010 2011 x - 2011 - / - 0 + x - 2010 - 0 + / + Khi đó ta có : T 1
H : x  2010 = (2011− x) + (2010 − x) = 2012
TH 2 : 2010  x  2011 = (2011− x) + ( x − 2010) = 2012
TH3: ( x − 201 )
1 + ( x − 2010) = 2012
Bài 7: Tìm x biết: x −1,5 + 2,5 − x = 0 HD:  x −1,5  0  x −1,5 = 0 Vì 
= x −1,5 + 2,5 − x = 0 =   2,5 − x  0  2,5 − x = 0 Bài 8: Tìm x, y biết :
a, x + x + 2 = 0
b, x −1,38 + 2y + 4,2 = 0
c, 5x − 4 = x + 2 HD:  x  0  x = 0 a, Vì 
= x + x + 2 = 0 =   x + 2  0  x + 2 = 0  x −1,38  0  x −1,38 = 0 b, Vì 
= x −1,38 + 2y + 4,2 = 0 =   2y + 4,2  0  2y + 4,2 = 0
5x − 4 = x + 2
c, 5x − 4 = x + 2 = 
5x − 4 = −x − 2
Bài 9: Tìm x biết: x + x −1 = 1 HD : Ta có bảng xét dấu : x 0 1 x - 0 + / + x - 1 - / - 0 + Khi đó ta có : T 1
H : x  0 = (−x) + (1− x) =1
TH 2 : 0  x 1 = x + (1− x) =1
TH3: x 1 = x + ( x − ) 1 = 1 11
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 10: Tìm x, y biết: 4x + 3 − x −1 = 7 HD : a, Ta có bảng xét dấu : x -3/4 1 4x + 3 - 0 + / + x - 1 - / - 0 + 3 −
Khi đó ta có : TH1: x  = ( 4
− x − 3) −(1− x) = 7 4 3 − TH 2 :
x 1 = (4x + 3) − (1− x) = 7 4
TH3: x 1 = (4x + ) 3 − ( x − ) 1 = 7
Bài 11: Tìm x biết : 2x − 3 − x = 2 − x HD : Ta có bẳng xét dấu : x 3/2 2 2x - 3 - 0 + / + 2 - x + / + 0 - Khi đó ta có : 3 TH1: x
= (3− 2x) − x = 2 − x 2 3 TH 2 :
x  2 = (2x −3) − x = (2 − x) 2
TH3: x  2 = (2x − )
3 − x = x − 2 Bài 12: Tìm x biết: 5 7 5 3
a, 2x − 3 − 3x + 2 = 0
b, 7x +1 − 5x + 6 = 0 c, x − − x + = 0 4 2 8 5 Bài 13: Tìm x biết: 7 5 1 3 1 a, x + − x + 5 = 0
b, 2 + 3x = 4x − 3 c, x + = 4x −1 8 6 2 2 2 7 2 4 1 Bài 14: Tìm x biết: x + = x − 3 3 3 4 Bài 15: Tìm x biết :
a, x −1 − x − 3 = 2x −1
b, 4 3x −1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12 Bài 16: Tìm x biết: 1 1 1
a, 2 − x + x − + 8 = 1,2
b, 3 x + 4 − 2x +1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5 5 5 5 Bài 17: Tìm x biết: 1 1 1 a, 2 x + 3
+ x − 3 = 2 − x
b, 2x − 6 + x + 3 = 8 2 2 5 Bài 18: Tìm x biết:
a, x + 5 + x − 3 = 9
b, x +1 + x − 2 + x + 3 = 6 Bài 19: Tìm x biết:
a, x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2
b, 2 x + 2 + 4 − x = 11 Bài 20: Tìm x biết:
a, x + 5 + 3 − x = 8
b, x − 2 + x − 5 = 3
c, 3x − 5 + 3x +1 = 6 Bài 21: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 + 2x = 5 = 11
b, x +1 + 2x − 3 = 3x − 2
c, x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2 12
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 22: Tìm x biết:
a, x − 4 + x − 6 = 2
b, x +1 + x + 5 = 4
c, 3x + 7 + 3 2 − x = 13 Bài 23: Tìm x biết:
a, 5x +1 + 3 − 2x = 4 − 3x
b, x + 2 + 3x −1 + x −1 = 3
c, x − 2 + x − 7 = 4 Bài 24: Tìm x biết:
a, 5x − 4 = x + 2
b, 2x − 3 − 3x + 2 = 0
c, 2 + 3x = 4x − 3 Bài 25: Tìm x biết: 3 1 5 7 5 3
a, 7x +1 − 5x + 6 = 0 b, x + = 4x −1 c, x − − x + = 0 2 2 4 2 8 5 Bài 26: Tìm x biết: 7 2 4 1 7 5 1 a, x + = x − b, x + − x + 5 = 0 5 3 3 4 8 6 2 13
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ NHIỀU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp: Lập bảng xét dấu Bài 1: Tìm x biết:
a, 4 3x −1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12
b, 3 x + 4 − 2x +1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5 Bài 2: Tìm x biết: 1 1 1 1 1 1 a, 2
− x + x − + 8 = , 1 2 b, 2 x + 3
+ x − 3 = 2 − x 5 5 5 2 2 5 Bài 3: Tìm x biết:
a, 2x − 6 + x + 3 = 8
b, x + 5 + x − 3 = 9 Bài 4: Tìm x biết:
a, x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2
b, x +1 + x − 2 + x + 3 = 6 Bài 5: Tìm x biết:
a, 2 x + 2 + 4 − x = 11
b, x − 2 + x − 3 + 2x − 8 = 9 Bài 6: Tìm x biết:
a, 3x x +1 − 2x x + 2 = 12
b, x −1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4 Bài 7: Tìm x biết:
a, x + 5 − 1 − 2x = x
b, x − 2x + 3 = x −1 Bài 8: Tìm x biết:
a, x + 1− x = x + x − 3
b, x − 2 + x − 5 = 3 Bài 9: Tìm x biết:
a, x − 3 + x + 5 = 8
b, 2x −1 + 2x − 5 = 4 Bài 10: Tìm x biết:
a, x − 3 + 3x + 4 = 2x +1 Bài 11: Tìm x biết:
a, x − 2x + 3 = x −1
b, 3x x +1 − 2x x + 2 = 12 Bài 12: Tìm x biết:
a, x + 5 − 1− 2x = x
b, x + 1− x = x + x − 3 14
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 6: A( x)  a hoặc A( x)  a Phương pháp:
Với A( x)  a = −a A( x)  a
A(x)  a
Với A( x)  a = 
A(x)  −a Bài 1: Tìm x biết: a, x − 2  4 b, 5x − 3  2 c, 3x +1  4 HD : a, x − 2  4 = 4 −  x − 2  4
b, 5x − 3  2 = 2 −  5x −3  2 3x +1  4 c, 3x +1  4 =  3x +1 4 − Bài 2: Tìm x biết:
a, 3x − 2 − x 1
b, 3x − 2  x +1 c, 2x + 3  5 HD: 2 2 a, TH1: x
= 3x − 2 − x 1 TH 2 : x
= 2 − 3x − x 1 3 3 2 2 b, TH1: x
= 3x − 2  x +1 TH 2 : x
= 2 − 3x x +1 3 3 c, 2x + 3  5 = 5 −  2x + 3  5 Bài 3: Tìm x biết: a, 2x − 3  5 b, 3x −1  7 c, 3 + 2x + 5  13 HD: 2x − 3  5
a, 2x − 3  5 =  2x − 3  5 − b, 3x −1  7 = 7 −  3x −1 7 2x + 5 10
c, = 2x + 5  10 =  2x + 5  1 − 0 Bài 4: Tìm x biết:
a, 2x + 3 − 4x  9 b, x −1  4 c, x − 2001  2002 HD: 3 − 3 − a, TH1: x
= (2x + 3) − 4x  9 TH 2 : x  = 2
− x − 3− 4x  9 2 2 15
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 7: SỦ DỤNG TÍNH CHẤT: A + B A + B
Bài 1: Tìm x nguyên biết:
a, x −1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 = 8
b, x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 2 HD :
a, Ta có : = ( x −1 + x − 7 ) + ( x − 3 + x − 5 ) = x −1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x
x −1+ 7 − x + x −3+ 5− x = 6 + 2 = 8 (  x −  )1(7− x)  0 Dấu bằng xảy ra khi ( =    x −  )( − x) 3 x 5 3 5  0 b, ta có :
VT = x −1010 + 2014 − x + x − 2012  x − 2010 + 2014 − x + x − 2012 = 2 + x − 2012  2 (
 x − 2010)(1014− x)  0
Vì x − 2012  0 , dấu bằng khi  = x = 2012 x − 2012  0
Bài 2: Tìm x nguyên biết: x −1 + x − 2 + x − 3 +... + x −100 = 2500 HD :
Ta có : VT = ( x −1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) +...+ ( x − 50 + 51− x )
VT  ( x −1+100 − x) + ( x − 2 + 99 − x) +...+ ( x −50 + 51− x) = 99 + 97 + 95+...+1= 2500
Dấu bằng xảy ra khi : ( x − )
1 (100 − x)  0,( x − 2)(99 − x)  0,...( x − 50)(51− x)  0 x = 50 =  x = 51
Bài 3: Tìm x nguyên biết:
a, x −1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 = 3 HD :
a, Ta có : Đặt A = x −1 + x − 2 + y − 3 + x − 4
Ta có : x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x  3 Nên A=3 khi và chỉ khi
x − 2 = y − 3 = 0 và ( x − )
1 (4 − x)  0 = x = 2, y = 3
Bài 4: Tìm x nguyên biết:
a, 2004 = x − 4 + x −10 + x +101 + x + 990 + x +1000 HD :
a, Ta có VP = 4 − x + x +1000 + 10 − x + x + 990 + x +101
VP  1004 +1000 + x +101  2004 (
 4 − x)(x +1000)  0  Dấu bằng khi (
 10 − x)(x + 990)  0 = x = 1 − 01 x+101= 0 
Bài 5: Tìm x nguyên biết: x − 2005 + x − 2006 + y − 2007 + x − 2008 = 3 HD :
Đặt A = x − 2005 + x − 2006 + y − 2007 + x − 2008
Khi đó ta có : A = x − 2005 + 2008− x + x − 2006 + y − 2007  3+ x − 2006 + y − 2007 (  x − 2005  )(2008− x)  0 x = 2006
Dấu bằng xảy ra khi :  = 
x − 2006 = y − 2007 = 0  y = 2007 16
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 6: Tìm x biết: 2x − 3 + 2x + 4 = 7 HD :  3 3  − 2x  0 x
Ta có: 3− 2x + 2x + 4  3− 2x + 2x + 4 = 7 dấu bằng xảy ra khi  =  2 2x + 4  0 x  2 −
Bài 7: Tìm x biết: x + 2,5 + x + 6,5 + x + 9,5 = 7 HD:
x + 2,5  −x − 2,5, x + 6,5  0 và x + 9,5  x + 9,5
Nên: VT  −x − 2,5 + x + 9,5 = 7 , dấu bằng xảy ra khi x = 6 − ,5
Bài 8: Tìm x nguyên biết: x +1 + x + 2 + x + 3 +...+ x +100 = 605x HD :
Vì x +1  0, x + 2  0,... x +100  0 = VT  0 = 605x  0 = x  0
Với x  0 = VT = ( x + )
1 + ( x + 2) + ( x + )
3 + ...+ ( x +100) = 605x
=100x + 5050 = 605x
Bài 9: Tìm biết: x + 3 + x +1 = 3x HD :
Vì x + 3  0, x +1  0 = 3x  0 = x  0
x + 3 = x + 3  Với x  0 = 
= (x + 3) + (x + ) 1 = 3xx +1 = x +1 
Bài 10: Tìm x, biết x + 1 + x + 3 + ... + x + 2019 = 2020x . 11 2 4
Bài 11: Tìm x biết: x + + x + + x + = 4x 17 17 17 HD : 11 2 4 Vì x +  0, x +  0, x +
 0 =VT  0 = 4x  0 = x  0 17 17 17  11   2   4  Khi đó : x + + x + + x + = 4x        17   17   17  Bài 12 : Tìm x biết :
a, x + 0,8 + x + 5, 2 + x + 9, 7 = 4x HD:
a, Vì x + 0,8  0, x + 5, 2  0, x + 9,7  0 = 4x  0 = x  0
Khi đó: (x + 0,8) +(x +5,2) +(x +9,7) = 4x Bài 13: Tìm x biết :
a, x − 2 + x − 3 + 2x − 8 = 9
b, x −1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4 Bài 14: Tìm x biết:
a, x +1 + x + 2 + x + 3 = 4x
b, x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x −1 Bài 15: Tìm x biết: 3 1 a, x + 2 + x + + x + = 4x
b, x +1,1 + x +1,2 + x +1,3 + x +1,4 = 5x 5 2 Bài 16: Tìm x biết: 1 2 3 100 a, x + + x + + x + +... + x + = 101x 101 101 101 101 1 1 1 1
Bài 17: Tìm x biết: x + + x + + x + + ... + x + = 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 17
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 18: Tìm x biết:
a, x − 2 + x − 5 = 3
b, 2x −1 + 2x − 5 = 4 Bài 19: Tìm x biết:
a, x + 5 + 3 − x = 8
b, x − 2 + x − 5 = 3
c, 3x − 5 + 3x +1 = 6 Bài 20: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 + 2x + 5 = 11
b, x +1 + 2x − 3 = 3x − 2
c, x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2 Bài 21: Tìm x biết:
a, x − 4 + x − 6 = 2
b, x +1 + x + 5 = 4
c, 3x + 7 + 3 2 − x = 13 Bài 22: Tìm x biết:
a, 5x +1 + 3 − 2x = 4 + x 3
b, x + 2 + 3x −1 + x −1 = 3
c, x − 2 + x − 7 = 4
Bài 23: Tìm x, y thoả mãn : 2 2 a) (x − ) 1 + (y + ) 3 = 0
Bài 24: Tìm x, y thoả mãn:
a) x − 2007 + y − 2008  0 Bài 25: Tìm x thoả mãn:
a) x + 5 + 3 − x = 8 1 1 1
Bài 26: Tìm x biết: x + + x + +... + x + = 50x 1.3 3.5 97.99 1 1 1
Bài 27: Tìm x biết: x + + x + + ... + x + = 101x 1.5 5.9 397.401
Bài 28: Tìm x biết: x + 5 + x + 3 + x − 2 = 8( x − ) 3
Bài 29: Tìm x biết c, 2x + 5 + 2x − 3 = 8
Bài 30: Tìm x nguyên biết:
a, x −1 + 4 − x = 3
b, x + 2 + x − 3 = 5
c, x +1 + x − 6 = 7
Bài 31: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=4 và x + 2 + y = 6
b, x+y=4 và 2x +1 + y − x = 5
Bài 32: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y =3 và x + y = 3
b, x-2y=5 và x + 2 y −1 = 6
Bài 33: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=5 và x +1 + y − 2 = 4
b, x-y=3 và x − 6 + y −1 = 4
Bài 34: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y=2 và 2x +1 + 2 y +1 = 4
b, 2x+y=3 và 2x + 3 + y + 2 = 8
Bài 35: Tìm x biết : x − 2014 + x − 2015 + x − 2016 = 2 18
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 8: Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức : A + B = m Phương pháp : A = 0 + Nếu m = 0 =  B = 0
+ Nếu m  0........Do A  0 = 0  B m = Tìm B rồi suy ra tìm A
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, x − 2007 + x − 2008 = 0
b, x − y − 2 + y + 3 = 0 c, ( x + )2 2 + 2 y −1 = 0
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn : 5
a, x − 3y + y + 4 = 0 b, x − y − + ( y − )4 5 3 = 0
c, x + 3y −1 + 3 y + 2 = 0
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, x + 4 + y −1 = 3
b, 2x +1 + y −1 = 4
c, 3x + y + 5 = 5 HD :
a, Do x + 4  0 = 0  y − 2  3 = y − 2 0;1;2;  3
Bài 4: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, 5x + 2 y + 3 = 7
b, 3 x − 5 + y + 4 = 5
c, x + 6 + 4 2 y −1 = 12
Bài 5: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, 2 3x + y + 3 = 10
b, 3 4x + y + 3 = 21 c, 2
y = 5 − x −1
Bài 6: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn : a, 2
y = 3 − 2x − 3 b, 2
2 y = 3 − x + 4 c, 2
3y = 12 − x − 2 Bài 7: Tìm x, y biết :
a, 3x − 4 + 5y + 5 = 0
b, 3x − 4 + 3y + 5 = 0 HD:  3x − 4  0  3  x − 4 = 0 a, Vì 
= 3x − 4 + 5y + 5 = 0 =   5y + 5  0 5   y + 5 = 0  x −1,5  0  x −1,5 = 0 b, Vì 
= 3x − 4 + 3y + 5  0 =   3y + 5  0 3   y + 5 = 0 Bài 8: Tìm x, y biết :
a, x −1006y + x − 2012  0 b, x + + ( y − )2012 5 3 4 = 0 HD :
x −1006y = 0
a, x −1006y + x − 2012  0 =  x − 2012 = 0  x + 5  0  x + 5 = 0 b, Vì 
= x + 5 + (3y − 4)2012 = = (   3y − 4  ) 0 2012  0 3  y − 4 = 0
Bài 9: Tìm x nguyên biết: a, ( x − )2 2 2 1
+ 2y − x −8 =12 − 5.2 b, x −
y + ( y − )2012 2011 1 = 0 HD:  x + = a, ( x − )2 2 1 0 2
1 + 2 y − x = 0 =  2y − x = 0 x = y b, x −
y + ( y − )2012 2011 2011 1 = 0 =  y −1 = 0 19
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 10: Tìm x, y biết: 9
a, 3x − 4 + 3y + 5 = 0
b, x − y + y + = 0
c, 3 − 2x + 4y + 5 = 0 25 Bài 11: Tìm x,y biết: 3 2 2 1 3 11 23 a, 5 − x + y − 3 = 0 b, − + x + 5 , 1 − +
y = 0 c, x − 2007 + y − 2008 = 0 4 7 3 2 4 17 13 Bài 12: Tìm x,y biết:
a, 5x +1 + 6y − 8  0 b, x + 2y + 4y − 3  0
c, x − y + 2 + 2y +1  0 Bài 13: Tìm x,y biết:
a, 12x + 8 + 11y − 5  0
b, 3x + 2y + 4y −1  0
c, x + y − 7 + xy −10  0 Bài 14: Tìm x,y biết: a, 2007 2008
x − y − 2 + y + 3 = 0 b, x − 3y + y + 4 = 0 Bài 15: Tìm x,y biết:
a, (x + y)2006 + 2007 y −1 = 0
b, x − y − 5 + 200 ( 7 y − ) 3 2008 = 0 Bài 16: Tìm x,y biết: 2 2 4 5 a, (x − ) 1 + (y + ) 3 = 0 b, ( 2 x − ) 5 + 5 2y − 7 = 0 Bài 17: Tìm x,y biết: 2000 2004 1  1  a, ( 3 x − 2 y) + 4 y + = 0
b, x + 3y −1 +  2y −  = 0 2  2  Bài 18: Tìm x,y biết: 7
a, x − 2007 + y − 2008  0 b, 5 2
3 x − y + 10 y +  0 3 Bài 19: Tìm x,y biết: 2006 1  3 1  2007 4 6 a,  2008 2007 x −  + y +  0 b, 2007 2x − y + 2008 y − 4  0 2  4 2  2008 5 25 20
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 9: A + B  , m (m  0)  A + B  0 
Phương pháp : Vì  A  0
= A + B  0 = 0  A + B m , Đưa về dạng 4  B  0 
Bài 1: Tìm x y nguyên thỏa mãn : a, x + y  3
b, x + 5 + y − 2  4
c, 2x +1 + y − 4  3 HD :  x + y  3  a, Vì  x  0
= x + y = 0 = 0  x + y  3  y  0   x  0  TH1 : x + y = 0
TH2 : x + y = 1 =  TH3 : x + y = 2 0  y  1 
Bài 2: Tìm x, y nguyên sao cho :
a, 3x + y + 5  4
b, 5 x +1 + y − 2  7
c, 4 2x + 5 + y + 3  5
Bài 3 : Tìm x, y nguyên sao cho :
a, 3 x + 5 + 2 y −1  3
b, 3 2x +1 + 4 2 y −1  7 21
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 10: A( x).B ( x) = C ( y) Phương pháp :
Vì A( y)  0 = A( x).B ( x)  0 = n x m = Tìm được x
Bài 1: Tìm các số cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
a, (2 − x)( x + ) 1 = y +1 b, ( x + ) 3 (1− x) = y
c, ( x − 2)(5 − x) = 2y +1 + 2 HD :
a, y +1  0 = (2 − x)( x + ) 1  0 = 1
−  x  2 = y = ...
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a, ( x + )
1 (3 − x) = 2 y +1
b, ( x − 2)(5 − x) − y +1 = 1 c, ( x − ) 3 ( x − ) 5 + y − 2 = 0
Bài 3: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a, (x + 2)(x − ) 3  0 b, (2x − ) 1 (2x − 5)  0
c, (3 − 2x)(x + 2)  0
Bài 4: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a) (2 − x)(x + ) 1 = y +1 b, (x + ) 3 (1− x) = y
c, (x − 2)(5 − x) = 2y +1 + 2
Bài 5: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a) (x + )
1 (3 − x) = 2 y +1 b, (x − )
2 (5 − x) − y +1 = 1 c, (x − ) 3 (x − ) 5 + y − 2 = 0
Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a, (3x + ) 1 (5 − 2x)  0 22
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 11: Sử dụng phương pháp đối lập 2 vế của đẳng thức: A mA = m
A = B , trong đó:
= A = B =  B mB = m
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 12 10 a, x +
+ x − = − ( y + )2 2 1 3 2
b, x − 5 + 1− x = c, y + 3 + 5 = y + 1 + 3 (2x − 6)2 + 2 HD:
a, Vì x + 2 + 1− x x + 2 +1− x = 3
x + 2 + x −1 = 3 −   2  2 x 1
Mặt khác: − ( y + )2 3 2
 3 , Để x + 2 + x −1 = 3− ( y + 2) =  =  3 −  ( y + 2)2 = 3  y = 2 −
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 6 8
a, x −1 + 3 − x =
b, 2x + 3 + 2x −1 = y + 3 + 3 2 ( y − 5)2 + 2
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 12 16
a, 3x + 1 + 3x − 5 = + + − = ( b, x 3 x 1 y + )2 3 + 2 y − 2 + y + 2 10
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x − 2 y −1 + 5 = y − 4 + 2 23
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 12: TÌM MIN MAX CỦA BIỂU THỨC GTTD
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A = 2 3x −1 − 4
b, B = 1,5 − 2 − x c, C = x − 3 HD : a,
Ta có: 3x −1  0 = 2 3x −1 − 4  4 − = A  4 − 1
Khi đó A đạt GTNN bằng -4 khi 3x −1 = 0 = x = 3 b,
Ta có: 2 − x  0 = − 2 − x  0 = B =1,5 − 2 − x 1,5
Khi đó B đặt GTLN bằng 1,5 khi x = 2 c,
Ta có: C = x − 3  0 khi đó đạt GTNN bằng 0 kho x = 3
Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A = 0,5 − x − 3,5
b, E = − 1, 4 − x − 2
c, F = 5,5 − 2x −1,5 HD : a,
Ta có: A = 0,5 − x − 3,5  0,5 = MaxA = 0,5 khi x=3,5 b,
B = − 1, 4 − x − 2  2 − = MaxB = 2 − khi x=1,4 1,5 3 c,
F = 5,5 − 2x −1,5  5,5 = MaxF = 5,5 khi x = = 2 4
Bài 3: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, G = − 10,2 − 3x −14
b, A = − 2,5 − x − 5,8
c, K =10 − 4 x − 2 HD : a,
Ta có: G = − 10, 2 − 3x −14  1 − 4 = MaxG = 1
− 4 khi 10, 2 − 3x = 0 b,
A = − 2,5 − x − 5,8  5 − ,8 = MaxA = 5
− ,8, khi 2,5 − x = 0 c,
K = 10 − 4 x − 2  10 = MaxK =10 khi x − 2 = 0
Bài 4: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, H = 4 − 5x − 2 − 3y +12
b, M = 5 − 2x −1
c, A =1,7 + 3,4 − x HD: 5  x − 2 = 0 a,
H = 4 − ( 5x − 2 + 3y +12 )  4 = MaxH = 4 khi  3  y +12 = 0 b,
M = 5 − 2x −1  5 = MaxM = 5 khi 2x −1 = 0 c,
A = 1, 7 + 3, 4 − x 1, 7 = MinA = 1, 7 khi 3, 4 − x = 0
Bài 5: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A= x + 2,8 − 3,5
b, A = 3,7 + 4,3 − x
c, N = 2,5 − x + 5,8 HD: a,
A = x + 2,8 − 3,5  3 − ,5 = MinA = 3 − ,5 khi x + 2,8 = 0 b,
A = 3, 7 + 4,3 − x  3, 7 = MinA = 3, 7 khi 4, 3 − x = 0 c,
N = 2,5 − x + 5,8  5,8 = MinN = 5,8 khi 2, 5 − x = 0
Bài 6: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, B = 4x − 3 + 5y + 7,5 +12,5
b, A = 4,9 + x − 2,8 c, A = 4 − + 2 3x −1 HD: 4x − 3 = 0 a,
B = 4x − 3 + 5y + 7,5 +12,5  12,5 = MinB = 12,5 khi  5  y + 7,5 = 0 b,
A = 4,9 + x − 2,8  2 − ,8 = MinA = 2 − ,8 khi 4,9 + x = 0 c, A = 4 − + 2 3x −1  4 − = MinA = 4 − khi 3x −1= 0 24
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A= 2 3x − 2 +1
b, A = 2x + 4,5 + x − 2,7
c, B = − 2x − 3 − 4y − 5 −17 HD: a,
A = 2 3x − 2 +1 1 = MinA =1 khi 3x − 2 = 0 2x + 4,5 = 0 b,
A = 2x + 4,5 + x − 2, 7  0 Dấu = xảy ra khi  x − 2,7 = 0
=> Không tồn tại x để xảy ra dấu bằng
Bài 8: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2  1  a, 2 A = x +1 b, 4 B = 3x − 5 c, C = x + − 7    2  HD: a, 2
A = x +1  1 = MinA = 1 khi x=0 b, 4
B = 3x − 5  5 − = MinB = 5 − khi x=0 2  1  −1 c, C = x + − 7  7 − = MinC = 7 −   khi x =  2  2
Bài 9: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A= x + 5 −12
b, B= x + 2 + x + y + 5 −17 c, C = ( x + )2 1
+ 2x − 3− y + 30 HD: a,
A = x + 5 −12  1 − 2 = MinA = 1 − 2 khi x + 5 = 0 x + 2 = 0 b,
B = x + 2 + x + y + 5 −17  1 − 7 = MinB = 1 − 7 dấu bằng khi:  x + y + 5 = 0 c, C = ( x + )2 1
+ 2x − 3− y + 30  30 = MinC = 30 x +1 = 0 Dấu bằng khi 
2x − 3− y = 0
Bài 10: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 4 a, 2 A = 100 − x b, B = c, 2
A = x + 3 y − 2 −1 x + 4 + 2 HD: a, 2
A = 100 − x  100 = MaxA = 100 , Dấu bằng khi x = 0 4 4 b,
Ta có: x + 4 + 2  2 =
 = 2 = B  2 = MaxB = 2 x + 4 + 2 2
Dấu bằng khi: x + 4 = 0 x = 0 c, 2
A = x + 3 y − 2 −1 1 − = MinA = 1 − , Dấu bằng khi  y − 2 = 0
Bài 11: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, B = x + x
b, C = x − x c, D = − − (x − )2 10 3 − y − 5 HD: a,
Xét: x  0 = B = x + x + 2x  0
với x  0 = B = x − x = 0 = B  0 = MinB = 0 , dấu bằng khi x  0 b,
Xét x  0 = C = x − (−x) = 2x  0
Xét x  0 = C = x − x = 0 = C  0 = MaxC = 0 dấu bằng khi x  0 x − 3 = 0 c, D = − − (x − )2 10 3 − y − 5  1 − 0 = MaxD = 1 − 0 , Dấu bằng khi  y − 5 = 0 25
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 12: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 2  1  a, E = ( x + )4 2 1 − 3
b, M = ( x + 2) + y − −8  
c, N = ( x − )2 2 9 + y − 2 +10  5  HD: a, E = ( x + )4 2 1 − 3  3 − = MinE = 3
− , dấu bằng khi 2x +1= 0  + = 2 x 2 0  2  1  b,
M = ( x + 2) + y − −8  8 − = MinM = 8 −   , dấu bằng khi   1 5  y − = 0  5 2 x − 9 = 0 c, N = ( x − )2 2 9
+ y − 2 +10 10 = MinN = 10 Dấu bằng khi  y − 2 = 0
Bài 13: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, 2 2 2012
P = y + x −10 + 9
b, P = ( x − 2y) + ( y − 2002) HD: x −10 = 0 a, 2
P = y + x −10 + 9  9  MinP = 9 , dấu bằng khi  y = 0 x − 2y = 0 b,
P = ( x − y)2 + ( y − )2012 2 2002
 0 = MinP = 0 dấu bằng khi:  y − 2002 = 0
Bài 14: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, Q = ( x + y − )4 + ( x − y)2 3 2 + 2012
b, A = ( x − )2 2 + y − x + 3 HD:
x + y − 3 = 0 a,
Q = ( x + y − )4 + ( x − y)2 3 2
+ 2012  2012 = MinQ = 2012 , dấu bằng khi:  x − 2y = 0 x − 2 = 0 b, A = ( x − )2 2
+ y − x + 3  3 = MinA = 3, Dấu bằng khi  y − x = 0
Bài 15: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, B = ( x + )2 + ( y + )2 1 3 +1
b, A = x + 5 −12 HD: x +1 = 0 a,
B = ( x + )2 + ( y + )2 1 3
+11 = MinB =1, dấu bằng khi  y + 3 = 0 b,
A = x + 5 −12  1 − 2 = MinA = 1
− 2 dấu bằng khi x + 5 = 0
Bài 16: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, B = − 2x + 20 −18
b, C = x + 2 + x + y − 5 −17 HD : a,
Ta có: B = − 2x + 20 −18  1 − 8 = MaxB = 1
− 8 Dấu bằng khi 2x + 20 = 0 x + 2 = 0 b,
Ta có : C = x + 2 + x + y − 5 −17  1 − 7 = MinC = 1 − 7 , Dấu bằng khi 
x + y − 5 = 0
Bài 17: Tìm GTNN hoặc GTLN của : D = ( x + )2 1
+ 2x − 3− y + 30 HD : x +1 = 0 D = ( x + )2 1
+ 2x − 3− y + 30  30 = MinD = 30 , Dấu bằng khi 
2x − 3− y = 0 Bài 18: Tìm GTNN của : 6 1 5,8 a, A = b, A = c, B = x − 3 x − 2 + 3 2,5 − x + 5,8 HD : 26
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 6 6 a, Ta có : x − 3  3 − =  = 2 − = A  2 − = MaxA = 2 − , Dấu bằng khi x = 0 x − 3 3 − 1 1 1 1 b,
Ta có : x − 2 + 3  3 =
 = A  = MaxA = , Dấu bằng khi x = 2 x − 2 + 3 3 3 3 5,8 c,
Ta có : 2,5 − x + 5,8  5,8 =
1= B 1= MaxB =1, Dấu = khi x = 2,5 2,5 − x + 5,8 Bài 19: Tìm GTNN của : 12 3 x + 2 2 x + 3 a, C = 2 + b, D = E = 3 x + 5 + 4 4 x − c, 5 3 x − 1 HD : 12 12 a,
Ta có : 3 x + 5 + 4  4 = 
= 3 = C  2 + 3 = 5 = MaxC = 5, 3 x + 5 + 4 4 Dấu bằng khi x = - 5 12 x + 8 12 x −15 + 23 23 b, Ta có : 4D = = = 3+ 4 x − 5 4 x − 5 4 x − 5 4 x − 5  0  Để D đạt min thì 
= 4 x  5 = x  1 = x = 1 4 x − 5,min  4 x − 5  0  Để D đạt max thì 
= 4 x  5 = x  1 = x = 2 4 x − 5,min  Bài 20: Tìm GTNN của : 2 7x + 5 +11 2 y + 7 +13 15 x +1 + 32 a, F = G = A = 7x + 5 + b, 4 2 2 y + 7 + b, 6 6 x +1 + 8 HD : 2 7x + 5 + 8 + 3 3 a, Ta có : F = = 2 + 7x + 5 + 4 7x + 5 + , 4 3 3 3 11
Mà 7x + 5 + 4  4 =  = F  2 + = 7x + 5 + 4 4 4 4 11 = MaxF =
, Dấu bằng khi 7x + 5 = 0 4 2 2 y + 7 + 26 20 b, 2G = =1+ 2 2 y + 7 + 6 2 2 y + 7 + 6 20 20 10 10
Mà : 2 2 y + 7 + 6  6 =  = = 2G 1+ 2 2 y + 7 + 6 6 3 3 13 MaxG = , Dâu bằng khi 2y + 7 = 0 20 30 x +1 + 32 30 x +1 + 40 − 8 8 c, 2A = = = 5 − 6 x +1 + 8 6 x +1 + 8 6 x +1 + 8 8 8
Mà 6 x +1 + 8  8 = 1= 5−
 5−1= 4 => 2A 4 = A 2 6 x +1 + 8 6 x +1 + 8
= MinA = 2 , khi x + 1 = 0 Bài 21: Tìm GTNN của : 8 − 6 14 21 4x + 6 + 33 a, B = 5 + b, C = − c, D = 4 5x + 7 + 24 5 5 6 y − 8 + 35 3 4x + 6 + 5 27
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD: 8 − 8 − 1 − 1 − 14 a,
4 5x + 7 + 24  24 =  = = B  5 + = 4 5x + 7 + 24 24 3 3 3 14 Khi đó : MinB = , Dấu bằng khi 5x + 7 = 0 3 14 14 2 6 2 8 b,
5 6 y − 8 + 35  35 = −  = = C  + = 5 6 y − 8 + 35 35 5 5 5 5 8
Khi đó : MinC = , Dấu bằng khi 6y − 8 = 0 5 21 4x + 6 + 35 − 2 2 − d, D = = 7 + 3 4x + 6 + 5 3 4x + 6 + 5 2 − 2 − 2 − 33
mà 3 4x + 6 + 5  5 =  = D  7 + = 3 4x + 6 + 5 5 5 5 33 Hay MinD =
, dấu bằng khi 4x + 6 = 0 5 Bài 22: Tìm GTNN của : 6 y + 5 +14 15 − x + 7 − 68 a, E = F = 2 y + 5 + b, 14 3 x + 7 + 12 HD : 6 y + 5 + 42 − 28 28 − a, Ta có: E = = 3+ 2 y + 5 +14 2 y + 5 + 14 2 − 8 2 − 8
Mà 2 y + 5 +14  14 =  = 2 − = E  3+ ( 2 − ) =1 2 y + 5 +14 14
Hay MinE =1, Dấu bằng khi y + 5 = 0 1 − 5 x + 7 − 60 −8 8 − b, Ta có: F = = 5 − + 3 x + 7 +12 3 x + 7 + 12 8 − 8 − 2 − 1 − 7
Mà 3 x + 7 +12  12 =  = F  5 − + = 3 x + 7 +12 12 3 3 17 − Hay MinF =
, Dấu bằng khi x + 7 = 0 3 Bài 23: Tìm GTNN của : 15 28 3 − a, C = − b, H = 12
3 x − 3y + 2x +1 + 35 (x + 2)2 + 4 HD : 2 − 8 2 − 8 4 − 15 4 − 9
a, Ta có: 3 x − 3y + 2x +1 + 35  35 =  = = C  + =
3 x − 3y + 2x +1 + 35 35 5 12 5 20 9 x −3y = 0 Hay MinC = , Dấu bằng khi  20 2x +1= 0 − − − − 2 3 3 3 3
b, Ta có: ( x + 2) + 4  4 =  =  = ( H hay MinH , x + 2)2 + 4 4 4 4
Dấu bằng khi x + 2 = 0 Bài 24: Tìm GTLN của: 15 1 − 21 a, A = 5 + b, B = + 4 3x + 7 + 3 3 8 15x − 21 + 7 28
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD : 15 15 a,
Ta có: 4 3x + 7 + 3  3 = 
= 5 = A  5+ 5 =10 4 3x + 7 + 3 3
Hay MaxA =10 , Dấu bẳng khi 3x + 7 = 0 21 21 1 − 5 b,
Ta có: 8 15x − 21 + 7  7 =  = 3 = B  + 3 = 8 15x − 21 + 7 7 3 3 5 Hay MaxB =
, Dấu bằng khi 15x − 21 = 0 3 Bài 25: Tìm GTLN của: 4 20 24 a, C = + b, D = 6 − + 5
3x + 5 + 4 y + 5 + 8
2 x − 2 y + 3 2x +1 + 6 HD: 20 20 5 4 5 33 a,
Ta có: 3x + 5 + 4 y + 5 + 8  8 =  = = C  + =
3x + 5 + 4 y + 5 + 8 8 2 5 2 10 33 3  x + 5 = 0 Hay MaxC = Dấu bằng khi  10, 4y + 5 = 0 24 24 b,
Ta có: 2 x − 2y + 3 2x +1 + 6  6 =  = 4 = D  6 − + 4 = 2 −
2 x − 2 y + 3 2x +1 + 6 6 x − 2y = 0 Hay MaxD = 2 − , Dấu bằng khi  2x +1 = 0 Bài 26: Tìm GTLN của: 2 21 1 a, E = + b, F = 3
(x +3y)2 +5 x +5 +14 x −1 + 3 HD : 2 21 21 3 2 3 13 a,
Ta có: ( x + 3y) + 5 x + 5 +14  14 =  = =  + = ( E
x + 3y)2 + 5 x + 5 +14 14 2 3 2 6 13 x + 3y = 0 Hay MaxE = , Dấu bằng khi  6 x + 5 = 0 1 1 1 b,
Ta có: x −1 + 3  3 =  = F x −1 + 3 3 3 1 Hay MaxF =
, Dâu bằng khi x −1 = 0 3 Bài 27: Tìm GTLN của: 3 1 a, A = = ( b, B 2 x − 2)2 + 5 2x + 5 HD : 2 3 3 3 a,
Ta có: ( x − 2) + 5  5 =  =  ( A x − 2)2 + 5 5 5 3 Hay MaxA =
, Dấu bằng khi x − 2 = 0 5 1 1 1 b, Ta có: 2 2x + 5  5 =  = B  2 2x + 5 5 5 1 Hay MaxB =
, dấu bằng khi x = 0 5 29
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2016
Bài 28: Tìm GTLN của: A = (
x − 2)2 + ( x − y)4 + 3 HD : 2 4 2016 2016
Ta có: ( x − 2) + ( x − y) + 3  3 =  = ( = A  672 x − 2) 672
2 + (x − y)4 + 3 3 x − 2 = 0
Hay MaxA = 672 , Dấu bằng khi  x − y = 0
Bài 29: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, A = x + 5 + 2 − x
b, B = x − 7 + 6 − x
c, C = 2x −1 + 2x + 6 HD: a,
với x + 5  0 = x  5
− = A = x + 5+ 2− x = 7 (1) Với x  5
− = A = −x −5+ 2− x = 2 − x −3 Mà x  5 − = 2 − x 10 = 2
− x −3 10 −3 = 7 = A  7 (2)
Từ (1) và (2) ta cosL A  7 = MinA = 7 , Dâu bằng khi x  5 − b,
Với x − 7  0 = x  7 = B = x − 7 + 6 − x = 1 − (1)
Với x  7 = B = 7 − x + 6 − x = 2 − x +13 mà x  7 = 2 − x  1 − 4 = 2 − x +13  1 − = B  1 − (2)
Từ (1) và (2) ta có : B  1 − = MinB = 1
− , Dấu bằng khi x  7 1 c,
Với 2x −1  0 = x
= C = 2x −1+ 2x + 6 = 4x + 5 2 1 1 Mà x
= 4x + 5  4. + 5 = 7 = C  7 (1) 2 2 1 Với x
= C =1− 2x + 2x + 6 = 7 (2) 2 1
Từ (1) và (2) ta có : C  7 = MinC = 7 , Dấu bằng khi x  2
Bài 30: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, E = 4x + 3 + 4x − 5
b, F = 5x − 6 + 3+ 5x
c, G = 2x + 7 + 5 − 2x HD: 3 − a,
Với 4x + 3  0 = x
= E = 4x + 3+ 4x − 5 = 8x − 2 4 3 − 3 − Mà x  = 8x − 2  8. − 2 = 8 − => E  8 − (1) 4 4 3 − Với x  = E = 4
− x − 3+ 4x − 5 = 8 − (2) 4 −3
Từ (1) và (2) ta có : E  8 − = MinE = 8
− , Dấu bằng khi x  4 6 b,
Với 5x − 6  0 = x
= F = 5x − 6 + 3+ 5x =10x − 3 5 6 6 Mà x
=10x − 3 10. − 3 = 9 = F  9 (1) 5 5 6 Với x
= E = 6 − 5x + 3+ 5x = 9 (2) 5 6
Từ (1) và (2) ta có : F  9 = MinF = 9 , Dâu bằng khi x  5 7 − c,
Với 2x + 7  0 = x
= G = 2x + 7 + 5 − 2x =12 (1) 2 30
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7 − Với x  = G = 2
− x − 7 + 5 − 2x = 4 − x − 2 2 7 − 7 − Mà x  = 4 − x − 2  4 − .
− 2 =12 => G 12 (2) 2 2 −7
Từ (1) và (2) ta có : G 12 = MinG =12 , Dấu bằng khi x  2
Bài 31: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, H = 2 x − 3 + 2x + 5
b, I = 3 x −1 + 4 − 3x
c, J = 4 x + 5 + 4x −1 HD: a,
Với x − 3  0 = x  3 = H = 2( x − )
3 + 2x + 5 = 4x −1
Mà x  3 = 4.x −1  11 = H 11 (1)
Với x  3 = H = 2(3− x) + 2x + 5 =11 (2)
Từ(1) và (2) ta có : H 11 = MinH =11, Dấu bằng khi x  3 b,
Với x −1  0 = x 1 = I = 3( x − ) 1 + 4 − 3x = 1 (1)
Với x 1 = I = 3(1− x) + 4 −3x = 6 − x + 7 Mà x 1 = 6 − x + 7  6
− .1+ 7 =1= I 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có : I 1 = MinI =1, Dấu bằng khi x 1 c,
Với x + 5  0 = x  5
− = J = 4(x +5)+ 4x −1= 8x +19 Mà x  5
− = 8x +19  8.( 5 − ) +19 = 2 − 1= J  2 − 1 (1) Với x  5
− = J = 4(−x −5) + 4x −1= 2 − 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có : J  2 − 1= MinJ = 2
− 1, Dấu bằng khi x  5 −
Bài 32: Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1 2
a, D = 3x + 5 + 8 − 3x b, B = x + − x − 2 3 HD: 5 − a,
Với 3x + 5  0 = x
= D = 3x + 5+ 8− 3x = 13 ( 1) 3 5 − Với x  = D = 3
− x − 5 + 8 − 3x = 6 − x + 3 3 5 − 5 − Mà x  = 6 − x + 3  6 − . + 3 =13 = D 13 (2) 3 3 −5
Từ (1) và (2) ta có : D 13 = MinD =13 , Dấu bằng khi x  3 2 2 1  2  7 b, Với x −
 0 = x  = B = x + − x − =   (1) 3 3 2  3  6 2 1  2  1 − Với x  = B = x + − − x = 2x +   3 2  3  6 2 1 − 2 1 − 7 7 Mà x  = B = 2x +  2. + = = B  (2) 3 6 3 6 6 6 7 7 2
Từ (1) và (2) => B
= MaxB = , Dấu bằng khi x  6 6 3 Bài 33: Tìm GTLN của:
a, A = − x − 5 + x + 4
b, B = − 2x + 3 + 2x + 4
c, C = − 3x −1 + 7 − 3x HD: a,
Với x − 5  0 = x  5 = A = −( x −5) + x + 4 = 9 (1)
Với x  5 = A = −(5− x) + x + 4 = 2x −1 31
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Mà x  5 = A = 2x −1 2.5 −1 = 9 (2)
Từ (1) và (2) ta có : A  9 = MaxA = 9 , Dấu bằng khi x  5 3 − b,
Với 2x + 3  0 = x
= B = −(2x + 3) + 2x + 4 =1 (1) 2 3 − Với x  = B = −( 2
− x − 3) + 2x + 4 = 4x + 7 2 3 − 3 − Mà x
= B = 4x + 7  4. + 7 =1 (2) 2 2 −3
Từ (1) và (2) ta có : B 1 = MaxB =1, Dấu bằng khi x  2 1 c,
Với 3x −1  0 = x
= C = −(3x − ) 1 + 7 − 3x = 6 − x + 8 3 1 1 Mà x  = 6 − x + 8  6
− . + 8 = 6 = C  6 (1) 3 3 1 Với x
= C = −(1−3x) + 7 −3x = 6 (2) 3 1
Từ (1) và (2) ta có : C  6 = MaxC = 6, Dấu bằng khi x  3 Bài 34: Tìm GTLN của: a, D = 2
− x −5 + 2x + 6 b, E = 3
− x − 4 +8−3x c, F = 5
− 5− x + 5x + 7 HD: a,
Với x − 5  0 = x  5 = D = 2
− (x −5)+ 2x + 6 =16 (1)
Với x  5 = D = 2
− (5− x) + 2x + 6 = 4x − 4
Mà x  5 = D = 4x − 4 16 (2)
Từ (1) và (2) ta có : D 16 = MaxD =16 , Dấu bằng khi x  5 b,
Với x − 4  0 = x  4 = E = 3
− (x − 4) +8−3x = 6 − x + 20
Mà x  4 = E = 6 − x + 20  6 − .4 + 20 = 4 − (1)
Với x  4 = E = 3
− (4− x) +8−3x = 4 − (2)
Từ (1) và (2) ta có : E  4 − = MaxE = 4
− , Dấu bằng khi x  4 c,
Với 5 − x  0 = x  5 = F = 5
− (5− x)+5x + 7 =10x −18
Mà x  5 = F =10x −18 10.5 −18 = 32 (1)
Với x  5 = F = 5
− (x −5) +5x + 7 = 32 (2)
Từ (1) và (2) ta có : F  32 = MaxF = 32 , Dấu bằng khi x  5
Bài 35: Tìm GTNN của biểu thức
a, A = x +1 + x − 5
b, B = x − 2 + x − 6 + 5
c, C = 2x − 4 + 2x +1 HD a,
Ta có : A = x +1 + x − 5 = x +1 + 5 − x x +1+ 5 − x = 6 = 6
Hay A  6 = MinA = 6 , Dấu bằng khi ( x + ) 1 (5 − x)  0 b,
Ta có : B = x − 2 + x − 6 + 5 = x − 2 + 6 − x + 5  x − 2 + 6 − x + 5 = 9
Hay B  9 = MinB = 9 , Dấu bằng khi ( x − 2)(6 − x)  0 c,
Ta có : C = 2x − 4 + 2x +1 = 4 − 2x + 2x +1  4 − 2x + 2x +1 = 5
Hay C  5 = MinC = 5 , Dấu bằng khi (4 − 2x)(2x + ) 1  0
Bài 36: Tìm GTNN của biểu thức
a, D = x + 2 + x − 3
b, E = 2x − 4 + 2x + 5
c, F = 3 x − 2 + 3x +1 HD : a,
Ta có : D = x + 2 + x − 3 = x + 2 + 3− x x + 2 + 3− x = 5 32
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Hay D  5 = MinD = 5 , Dấu bằng khi ( x + 2)(3− x)  0 b,
Ta có : E = 2x − 4 + 2x + 5 = 4 − 2x + 2x + 5  4 − 2x + 2x + 5 = 9
Hay E  9 = MinE = 9 , Dấu bằng khi (4 − 2x)(2x + 5)  0 c,
Ta có : F = 3 x − 2 + 3x +1 = 3( x − 2) + 3x +1 = 6 − 3x + 3x +1  6 −3x + 3x +1 = 7
Hay F  7 = MinF = 7 , Dấu bằng khi (6 −3x)(3x + ) 1  0
Bài 37: Tìm GTNN của biểu thức
a, G = x + 5 + x +1 + 4
b, H = 3x − 7 + 3x + 2 + 8
c, I = 4 x + 3 + 4x − 5 +12 HD : a,
Ta có : G = x + 5 + x +1 + 4 = x + 5 + −x −1 + 4  x + 5 − x −1 + 4 = 8
Hay G  8 = MinG = 8 , Dấu bằng khi ( x + 5)(−x − ) 1  0 b,
Ta có : H = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 = 7 − 3x + 3x + 2 + 8  7 − 3x + 3x + 2 + 8 =17
Hay H 17 = MinG =17 , Dấu bằng khi (7 − 3x)(3x + 2)  0 c,
Ta có : I = 4( x + 3) + 4x − 5 +12 = 4x +12 + 5 − 4x +12  4x +12 + 5 − 4x +12 = 29
Hay I  29 = MinI = 29 , Dấu bằng khi (4x +12)(5 − 4x)  0
Bài 38: Tìm GTNN của biểu thức
a, M = x − 2002 + x − 2001
b, N = x − 2006 + 2007 − x HD : a,
Ta có : M = x − 2002 + 2001− x x − 2002 + 2001− x = 1
Hay M 1 = MinM =1, Dấu bằng khi ( x − 2002)(2001− x)  0 b,
Ta có : N = x − 2006 + 2007 − x x − 2006 + 2007 − x = 1
Hay N 1 = MinN =1, Dấu bằng khi ( x − 2006)(2007 − x)  0
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức
a, A = x − 2012 + 2011− x
b, B = x − 456 + x − 789 HD : a,
Ta có : A = x − 2012 + 2011− x x − 2012 + 2011− x = 1 = A  1
Vậy MinA = 1, Dáu bằng khi (x − 2012)(2011− ) x  0 b,
Ta có : B = x − 456 + 789 − x x − 456 + 789 − x = 333 = B  333
Vậy MinB = 333 Dấu bằng khi ( x − 456)(789 − x)  0
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức:
a, A = x + 3 + 2x − 5 + x − 7
b, B = x +1 + 3x − 4 + x −1 + 5 HD : a,
Ta có : A = x + 3 + x − 7 + 2x − 5  x + 3+ x − 7 + 2x − 5 = 2x − 4 + 5 − 2x (  x + 3  )(x −7)  0
A  2x − 4 + 5 − 2x = 1Dấu bằng khi : ( => A  1  2x − 4  )(5−2x)  0 b,
Ta có : B = x +1 + 1− x + 3x − 4 + 5  x +1+1− x + 3x − 4 + 5  2 + 0 + 5 = 7 (  x + ) 1 (1− x)  0 Dấu bằng khi : 
= x , Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất 3  x − 4 = 0
Bài 41: Tìm GTNN của biểu thức:
a, C = x + 2 + 4 2x − 5 + x − 3
b, D = x + 3 + 5 6x +1 + x −1 + 3 HD : a,
Ta có : C = x + 2 + 3− x + 4 2x − 5  x + 2 + 3− x + 4 2x − 5  5 + 0 = 5 = C  5 33
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức (
 x + 2)(3− x)  0 5 Dấu bằng khi :  = x = thỏa mãn : 2x −5 = 0 2 b,
D = x + 3 + 1− x + 5 6x +1 + 3  x + 3 +1− x + 5 6x +1 + 3  4 + 0 + 3 = 7 (  x + ) 3 (1− x)  0 1 − Dấu bằng khi  = x = thỏa mãn : 6  x +1= 0 6
Bài 42: Cho x + y = 5. Tìm GTNN của A = x +1 + y − 2 HD :
Từ x + y = 5 = y = 5 − x = A = x +1 + 5 − x − 2 = x +1 + 3− x x +1+ 3− x = 4 (  x + ) 1 (3− x)  0  1 −  x  3 Dấu bằng khi :  =  x + y = 5 x + y = 5
Bài 43: Cho x – y = 3. Tìm GTNN của B = x − 6 + y +1 HD :
Từ x − y = 3 = x = y + 3 = B = y + 3− 6 + y +1 = 3− y + y +1  3 − y + y +1 = 4 (
 3− y)( y + ) 1  0  1 −  y  3 Dấu bằng khi :  = 
x − y = 3 x − y = 3
Bài 44: Cho x – y =2. Tìm GTNN của C = 2x +1 + 2y +1 HD :
Ta có : C = 2x +1 + 2
− y −1  2x +1− 2y −1 = 2(x − y) = 4 (  2x + ) 1 ( 2 − y − ) 1  0 Dấu bằng khi : 
x − y = 2
Bài 45: Cho 2x+y=3. Tìm GTNN của D = 2x + 3 + y + 2 + 2 HD :
Ta có : D = 2x + 3 + y + 2 + 2  2x + 3+ y + 2 + 2 = 3+ 5 + 2 =10 (
 2x +3)( y + 2)  0 Dấu bằng khi :  2x + y = 3
Bài 46: Cho 3x – 4y=0. Tìm GTNN của 2 2
M = x + y HD : 2 4 16 25y Ta có : 2 2 x = y = M = y + y =
 0 . Dấu bằng khi x = y = 0 3 9 9
Bài 47: Số giá trị của x thỏa mãn : x +1 + x −1012 + x + 3 + x +1003 = 2013 HD :
Ta có : VT = x +1 + 1012 − x + x + 3 + 1
− 003− x x +1+1012 − x + x + 3−1003− x (  x +  ) 1 (1012 − x)  0  1 −  x 1012
=1013+1000 = 2013, Dấu bằng xảy ra khi :  =  =  ( x   x + 3  )( 1 − 003− x)  0  1 − 003  x  3 −
Vậy không có giá trị nào của x x −y x + 2 Bài 48: Cho = = = ? 2 3 3 − y HD : x −y x 2 x + 2 x + 2 2 Ta có : = = = = = = 2 3 −y 3 3− y 3 − y 3 34
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 49: Tìm GTNN của: A = x −1 + x − 2 + x − 3 +... + x −100 HD :
Ta có : A = ( x −1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) +...+ ( x − 50 + 51− x ) 1   x 100  2  x  99
= A  99 +97 +...+3+1= 2500 = A  2500 , Dấu bằng khi :  = 50  x  51 ...  5  0  x  51
Bài 50: Tìm GTNN của: A = ( x − )2 2 + y − x + 3 HD : (  x − )2 2  0 x = 2 Ta có : 
= A  3, hay MinA = 3 Dấu bằng khi 
y − x  0  y − x = 0 2011
Bài 51: Tìm GTNN của: B = 2012 − x −1010 HD : 2011 2011
Ta có : x −1010  0 = 2012 − x −1010  2012 = B =  2012 − x −1010 2012
Dấu bằng khi : x = 1010 7 ( x − ) 21 2 3 + −8 Bài 52: Tìm GTLN của: 2 2 C(x) = 2x − với x nguyên 3 HD : 7 5 5
Ta có : C ( x) = +
, để C ( x) Đặt GTLN thì
là số dương lớn nhất 2 2(2x − 3) 2 (2x − 3) Hay 2(2x − )
3 là số dương nhỏ nhất mà x nguyên nên :
( x − )Z = ( x − ) 7 2 2 3 2 2
3 = 1 = 4x − 6 = 1 = x = (l) 4 Khi đó : 2(2x − )
3 = 2 = 4x − 6 = 2 = x = 2(t / m)
Bài 53: Tìm GTNN của: A = ( x − )2 3 5 − 2 x − 5 +1 HD : 2  1  2 2 Ta có : 2 A = ( − x)2 3 5
− 2 x − 5 +1, Đặt 5 − x = t = A = 3t − 2t +1 = 3 t − +     3  3 3  1 x − 5 = 1 1  3 Dấu bằng khi : t = = x − 5 = =  3 3 1 − x −5 =  3 2 2 xy + y ( 2 y − x) +1 Bài 54: Cho A =
. Rút gọn A và tìm x để A đạt GTLN 2 4 4 2
x y + 2 y + x + 2 HD : 2 4 2 4
xy + y − xy +1 y +1 1 Ta có : A = = = 2 4 4 2 2
x y + 2 y + x + 2 x ( 4 y + ) 1 + 2( 4 y + ) 2 1 x + 2 1 1 1 Ta có : 2
x + 2  2 = A =  MaxA = , Dấu bằng khi x = 0 2 x + => 2 2 2 35
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 55: Tìm x  Z , để biểu thức: A = x − 2 + x − 4 đạt GTNN HD :
Ta có : A = x − 2 + x − 4 = x − 2 + 4 − x x − 2 + 4 − x = 2
dấu bàng khi : ( x − 2)(4 − x)  0
Bài 56: Tìm x  Z , để biểu thức: B = x − 2 + x − 3 + x − 4 đạt GTNN HD :
Ta có : A = x − 2 + x − 4 + x − 3  x − 2 + 4 − x + x − 3  2 + x − 3 = 2 (
 x − 2)(4− x)  0 Dấu bằng khi :  = x = 3 x −3 = 0
Bài 57: Tìm Min của: A = x + 8 + x +13 + x + 50 HD :
Ta có: A = −x −8 + x +13 + x + 50  −x + 8 + 0 + x + 50 = 42 dấu bằng xảy ra khi : −x −8  0 
x +13 = 0 = x = 1 − 3 x +50  0  1 1 1
Bài 58: Tìm Min của : B = x + + x + + x + 2 3 4 HD : 1 1 1 1 1 1 B = x +
+ − − x + x +  x + − − x + 0 = 2 4 3 2 4 2  1  1  x + − − x  0      2  4  1 Dấu bằng khi :  = x = −  1   3 x + = 0     3 
Bài 59: Tìm Min của các biểu thức: a, 2 2 A = ( x + )4 2 1 − 3
b, B = ( x − )4 2 9 + y − 2 −1 c, B = ( x − ) 1 + ( y + 5) +1 Bài 60: Tìm Min của :
a, A = ( x + )2 + ( y − )2 1 1 − 20 (Min) b, 2
B = −x + 2x +1(Max)
c, C = x −1 + x − 2 (Min) Bài 61: Tìm Min của :
a, C = x − 2014 + x − 2015
b, E = ( x − )2 2 9 + y − 2 −1 c, 2
C = 9 − x − 5 Bài 62: Tìm Min của : 8
a, D = x −1 + x −10 + x − 20 biết x  Z b, E = = − − ( c, K 421 124 x x − )2 1 + 4
Bài 63: Tìm GTNN của: P = ( x − + )2 3 2 + y + 3 + 2007 HD: Ta có: ( x − + )  x  = ( x − + )2 3 2 2, 3 2
 4 , Dấu “=” xảy ra khi x=3và y + 3  0, y  ,
“=” khi y= - 3, Vậy P = ( x − + )2 3 2
+ y + 3 + 2007  4 + 2007 = 2011, Dấu ‘=’ khi x=3 và y=-3
Bài 64: Tìm GTNN của A = x − + ( y + )2010 2010 2011
+ 2011 và giá trị của x, y tương ứng x + 2
Bài 65: Tìm GTLN của C = với x là số nguyên x HD: Xét các Th: 36
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Xét x  2 − thì C 1 Xét x = 1 − thì C=1 x + 2 2 2
Xét x 1 thì A =
=1+ và C lớn nhất khi lớn nhất, khi x nhỏ nhất tức là x=1 khi đó C=3 x x x Vậy Max C=3 khi x=1
Bài 66: Cho x+2y=1, Tìm Min của: 2 2
A = x + y + xy
Bài 67: Tìm Min của : M = x − 2 + x − 9 + x +1945
Bài 68: Tìm GTNN của: D = x −1 + x −10 + x − 20 biết x là số nguyên
Bài 69: Tìm Min của: A = 3x − 2 + 5 − 3x Bài 70: Tìm Max của: (x −4)2 2 + 2009 2010 a, A = b, B = 2x +1 + 2010 2009 − Bài 71: Tìm min của: 7 a, C =
b, D = ( x − )2 2 +12 2 + 4( x − 2)2
Bài 72: (l7) Tìm min của: P = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 n
Bài 73: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi M = x + y a, Tìm n để M=2
b, Tìm n để M nhỏ nhất HD: 10x + y a, Ta có:
= 2 = y = 8x , Mà x, y là các chữ số nên x=1 và y=8 x + y
x + y + 9x 9x 9 y b, M = = 1+ = 1+ để M nhỏ nhất thì 1 +
lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ x + y x + y y x 1+ x nhất 3 − 4x
Bài 74: Tìm GTNN của : D = 2 x + 1
Bài 75: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 HD:
P = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 = ( x − 2015 + 2017 − x ) + x − 2016
Ta có : x − 2015 + 2017 − x x − 2015 + 2017 − x = 2 Dấu « = » xảy ra khi 2015  x  2017
Lại có : x − 2016  0 , Dấu ‘=’ khi x=2016
Từ đó ta có : MinP = 2 , Dấu bằng xảy ra khi x=2016 x − 2016 + 2017
Bài 76: Tìm GTNN của biểu thức : A = x − 2016 + 2018 HD: x − 2016 + 2018 − 1 1 A = = 1 − x − 2016 + 2018 x − 2016 + 2018 2017
Do x − 2016 + 2018  2018, x
 dấu bằng khi x=2016. Vậy B đạt GTNN bằng 2018
Bài 77: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biêu thức: A = 2014 − x + 2015 − x + 2016 − x
Bài 78: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu A biết: A = 7x − 5y + 2z − 3x + xy + yz + zx − 2000
Bài 79: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức : P = x − 2012 + x − 2013 37
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 80 : Tìm GTLN của các biểu thức : B = 421 − 124 − x 7
Bài 81: Cho x+y=1, với giá trị nào của x và y thì biểu thức A = 5 + (
đạt giá trị lớn nhất.
2 − x + y)2 + 8
Tìm giá trị lớn nhất đó? 38
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức