Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Hoàng Việt

MỤC LỤC

Chương1. GIỚI HẠN 1

§1 – Giới hạn của dãy số 1

AA Tóm tắt lí thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

BB Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

| Dạng 1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

| Dạng 2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

| Dạng 3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa a

n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

| Dạng 4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

| Dạng 5. Giới hạn dãy số chứa căn thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§2 – Giới hạn hàm số 24

AA Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

BB Các dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

| Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng vô định

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

| Dạng 2. Giới hạn dạng vô định

∞

;∞ −∞;0 ·∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

| Dạng 3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§3 – Hàm số liên tục 57

AA Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

BB Các dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

| Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

| Dạng 2. Hàm số liên tục trên một tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

| Dạng 3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

| Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§4 – Đề Kiểm tra Chương IV 77

AA Đề số 1a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

BB Đề số 1b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

CC Đề số 2a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

DD Đề số 2b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

EE Đề số 3a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

FF Đề số 3b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

GG Đề số 4a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

HH Đề số 4b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

II Đề số 5a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

i/101 i/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

MỤC LỤC

Kết nối tri thức với cuộc sống

ii

JJ Đề số 5b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

KK Đề số 6a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

LL Đề số 6b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

ii/101 ii/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

GIỚI HẠN

1

C

h

ư

ơ

n

g

GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A–TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Giới hạn của dãy số

c Định nghĩa 1.1. Dãy số (u

n

) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |u

n

| có thể nhỏ hơn một

số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim

n→+∞

u

n

= 0 hay lim u

n

= 0.

c Ví dụ 1. lim

n→+∞

1

n

2

= 0.

c Định nghĩa 1.2. Dãy số (u

n

) có giới hạn là a nếu |u

n

−a| có giới hạn bằng 0.

Nghĩa là: lim

n→+∞

u

n

= a ⇔ lim

n→+∞

(u

n

−a) = 0.

c Ví dụ 2. lim

n→+∞

2n + 1

n + 3

= 2.

2. Các định lý về giới hạn hữu hạn

c Định lí 1.1.

○ lim

1

n

= 0; lim

1

n

k

= 0 với k là số nguyên dương.

○ limq

n

= 0 nếu |q| < 1.

c Định lí 1.2.

○ Nếu lim u

n

= a và lim v

n

= b thì lim(u

n

±v

n

) = a ±b, lim(u

n

.v

n

) = a.b, lim

Å

u

n

v

n

ã

=

a

b

(nếu b 6= 0).

○ Nếu u

n

≥ 0 với mọi n và limu

n

= a thì a ≥ 0 và lim

√

u

n

=

√

a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

c Định nghĩa 1.3. Cấp số nhân vô hạn (u

n

) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân

lùi vô hạn.

1/101 1/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

2

c Định lí 1.3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u

n

), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là

S = u

1

+ u

2

+ u

3

+ ... + u

n

+ ... =

u

1

1 −q

, (|q| < 1)

4. Giới hạn vô cực

c Định nghĩa 1.4.

○ Ta nói dãy số (u

n

) có giới hạn +∞ khi n → +∞, nếu u

n

có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ

một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u

n

= +∞.

○ Ta nói dãy số (u

n

) có giới hạn −∞ khi n → +∞, nếu lim(−u

n

) = +∞.

Kí hiệu: lim u

n

= −∞.

c Định lí 1.4.

a) Nếu limu

n

= a và lim v

n

= ±∞ thì lim

u

n

v

n

= 0.

b) Nếu limu

n

= a > 0, lim v

n

= 0 và v

n

> 0 với mọi n thì lim

u

n

v

n

= +∞.

c) Nếu limu

n

= +∞ và lim v

n

= a > 0 thì lim u

n

v

n

= +∞.

B–CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn

Để chứng minh limu

n

= L ta chứng minh lim (u

n

−L) = 0.

c Ví dụ 3. Chứng minh rằng

a. lim

Ç

−n

3

n

3

+ 1

å

= −1 b. lim

Ç

n

2

+ 3n + 2

2n

2

+ n

å

=

1

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2/101 2/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

3

c Ví dụ 4. Chứng minh rằng

a. lim

Å

3.3

n

−sin3n

3

n

ã

= 3

b. lim

Ä

√

n

2

+ n −n

ä

=

1

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 1. Chứng minh rằng

a. lim

2n

2

+ n

n

2

+ 4

= 2

b. lim

6n + 2

n + 5

= 6

c. lim

7

n

−2.8

n

8

n

+ 3

n

= −2

d. lim

2.3

n

+ 5

n

5

n

+ 3

n

= 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3/101 3/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Chứng minh rằng

a. lim

Ä

√

4n

2

+ 4n −2n

ä

= 1

b. lim

√

n + sin

n

√

n + 1

= 1

c. lim

√

n

2

+ 2n −n

n

= 0

d. lim

Ä

3

√

n

3

+ 2n −n

ä

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4/101 4/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

5

c Bài 3. Chứng minh rằng

a. lim

6

n

cos3n + 5

n

2

n

+ 2.7

n

= 0

b. lim

4nsin

n

2n + cos

n

2n

4n

2

+ 8n

= 0

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức

Tính giới hạn lim

f (n)

g(n)

trong đó f (n) và g (n) là các đa thức bậc n.

○ Bước 1: Đặt n

k

, n

i

với k là số mũ cao nhất của đa thức f (n) và i là số mũ cao nhất của đa thức g(n)

ra làm nhân tử chung.

○ Đơn giản. Sau đó áp dụng kết quả lim

1

n

k

= 0.

| Dạng 3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa a

n

○ Bước 1: Đưa biểu thức về cùng một số mũ n.

○ Bước 2: Chia tử và mẫu số cho a

n

trong đó a là số có trị tuyệt đối lớn nhất.

○ Bước 3: Áp dụng kết quả "Nếu |q| < 1 thì limq

n

= 1".

c Ví dụ 5. Tính lim

n

2

−4n

3

2n

3

+ 5n −2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Tính lim

n

3

−7n

1 −2n

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5/101 5/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Tính lim

n + 2

n

2

+ n + 1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Tính lim

5

n+1

−4

n

+ 1

2.5

n

−6

n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

c Bài 4. Tính các giới hạn

a) lim

3n + 2

2n + 3

.

b) lim

4n

2

−1

2n

2

+ n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Tính các giới hạn

a) lim

√

n

2

+ 2n −3

n + 2

. b) lim

√

n

2

+ 2n −n −1

√

n

2

+ n + n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6/101 6/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 6. Tính giới hạn lim

√

4n

4

+ 2n −3n

2

√

n

3

+ 2n −n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Tính các giới hạn

a) lim

7.5

n

−2.7

n

5

n

−5.7

n

.

b) lim

4.3

n

+ 7

n+1

2.5

n

+ 7

n

.

c) lim

4

n+1

+ 6

n+2

5

n

+ 8

n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7/101 7/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Tính giới hạn của

a) lim

sin10n + cos10n

n

2

+ 1

. b) lim

1 −sin nπ

n + 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. Tính giới hạn của

a) A = lim

ï

1

1.3

+

1

3.5

+ ... +

1

(2n −1)(2n + 1)

ò

.

b) B = lim

ï

1

2

√

1 + 1

√

2

+

1

3

√

2 + 2

√

3

+ ... +

1

(n + 1)

√

n + n

√

n + 1

ò

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. Cho dãy số (u

n

) xác định bởi











u

1

=

2

3

u

n+1

=

u

n

2(2n + 1)u

n

+ 1

, ∀n ≥ 1

Tìm số hạng tổng quát u

n

của dãy. Tính lim u

n

.

Ê Lời giải.

8/101 8/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 11. Cho dãy số (a

n

) thỏa mãn:











a

1

=

4

3

(n + 2)

2

a

n+1

=

n

2

a

n

−(n + 1)

;∀n ≥ 1, n ∈ N

. Tìm lim a

n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 12. Cho dãy số (u

n

) xác định như sau:











u

1

=

1

3

u

n+1

=

u

2

n

2

−1

. Tìm lim u

n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9/101 9/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 13. Cho dãy số (u

n

) xác định như sau:

®

u

1

= 1

u

n+1

= u

n

+ n

. Tìm lim

u

n

u

n+1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 14. Cho dãy số (x

n

) xác định bởi







x

1

= 2017

x

n+1

=

x

4

n

+ 3

4

với mọi n ≥ 1

Với mỗi số nguyên dương n đặt y

n

=

n

∑

i=1

Ç

1

x

i

+ 1

+

2

x

2

i

+ 1

å

.

Chứng minh dãy số (y

n

) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10/101 10/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ

○ limn

k

= +∞, k > 0.

○ lim

1

n

k

= 0, k > 0.

○ lima

n

= 0, −1 < a < 1.

○ lima

n

= +∞, a > 1.

○ Nếu (u

n

) là CSN lùi vô hạn với công bội q, ta có

S = u

1

+ u

2

+ ···+ u

n

=

u

1

1 −q

.

o

○ limu

n

= +∞, lim v

n

= a > 0 ⇒lim u

n

v

n

= +∞;

○ limu

n

= +∞, lim v

n

= a < 0 ⇒lim u

n

v

n

= −∞;

○ limu

n

= −∞, lim v

n

= a > 0 ⇒lim u

n

v

n

= −∞;

○ limu

n

= −∞, lim v

n

= a < 0 ⇒lim u

n

v

n

= +∞.

c Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau

a) lim(2

n

+ 3

n

); b) lim [−4

n

+ (−2)

n

].

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm các giới hạn sau

a) lim

Å

1 + 3

n

3 ·3

n

+ 2

n

ã

; b) lim

Å

4 ·3

n

−2

n

2 ·5

n

+ 4

n

ã

; c) lim

Å

7

n

+ 1

−2 ·3

n

−3 ·6

n

ã

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11/101 11/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

c Bài 15. Tìm các giới hạn sau

a) lim

2

3n

+ 3

2n+1

2 ·9

n

+ 4

n

;

b) lim(2 ·3

n

−4

n+1

+ 7).

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 16. Tính giới hạn sau lim(2 ·3

n

−n + 1).

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 17. Tìm giới hạn sau lim

1 +

1

3

+

Å

1

3

ã

2

+ ···+

Å

1

3

ã

n

1 +

2

5

+

Å

2

5

ã

2

+ ···+

Å

2

5

ã

n

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12/101 12/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 18. Tìm giới hạn sau lim

1 + 3 + 3

2

+ ···+ 3

n

2 ·3

n+1

+ 2

n

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 19. Cho dãy số (u

n

) xác định bởi u

1

= 1, u

n+1

=

u

n

−4

u

n

+ 6

, ∀n ≥ 1. Tính giới hạn lim

u

n

+ 1

u

n

+ 4

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 20. Cho dãy số (u

n

) xác định bởi u

1

= 3, u

n+1

=

u

n

+ 1

2

, ∀n ≥ 1. Tính giới hạn lim u

n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 5. Giới hạn dãy số chứa căn thức

Ta thường gặp hai dạng sau:

Dạng 1. Sử dụng các tính chất giới hạn để tính.

Dạng 2. Dạng vô định, cần nhân lượng liên hợp hoặc thêm bớt hạng tử.

c Ví dụ 11. Tìm giới hạn

lim



8n + 2

2n −1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Tính giới hạn của dãy số sau: u

n

=

…

2n + 9

n + 2

, n ∈ N

∗

.

Ê Lời giải.

13/101 13/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tính giới hạn:

lim

Ä

p

4n

2

+ 3n + 1 −2n

ä

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Tính các giới hạn sau

a) lim

√

4n

2

+ 1 + 2n −1

√

n

2

+ 4n + 1 + n

.

b) lim

n

2

+

3

√

1 −n

6

√

n

4

+ 1 + n

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14/101 14/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

15

c Ví dụ 15. Tính giới hạn:

lim

√

4n

2

+ 1 −

√

9n

2

+ 2

2 −n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 16. Tính giới hạn:

lim

Ä

√

n + 3 −

√

n −5

ä

n

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

15/101 15/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

16

c Bài 21. Tính giới hạn của các dãy số sau:

a) u

n

=

√

n

2

+ 1, n ∈ N

∗

;

b) v

n

=



n

2

+ 2n + 4

2n −3

, n ≥ 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 22. Tính giới hạn:

lim

Ä

√

3n −

p

3n

2

−2n −1

ä

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16/101 16/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

17

c Bài 23. Tìm giới hạn

lim

Ä

p

n

2

+ 2n −n

ä

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 24. Tìm giới hạn

lim

Ä

p

n

3

+ 2n −n

2

ä

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 25.

lim(

p

n

2

+ 3n + 2 −n + 1)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 26.

lim(

p

n

2

+ 2n + 3 −n)

Ê Lời giải.

17/101 17/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 27.

lim

1

√

n + 1 −

√

n + 3

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 28.

lim(

p

n

2

+ 3n −1 −

√

n + 1)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 29. Tìm giới hạn của dãy (u

n

), với

(

u

1

= 1

u

n+1

=

»

u

3

n

+ 2

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18/101 18/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

19

c Bài 30. Tính lim

√

n

2

+ 2 −

√

n + 5

3n + 3

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 31. Tính giới hạn của dãy số sau u

n

=

√

n

2

+ 1 −

√

2n

2

+ 4n −4

3n + 15

, n ∈ N

∗

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 32. Tính giới hạn của dãy số (u

n

) với u

n

= (

√

n

2

−n + 2 −n).

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19/101 19/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

20

c Bài 33. Tính lim

√

n

3

+ 3n

2

−2n + 1

n −1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 34. Tính các giới hạn sau

a) lim

Ä

√

n

2

+ 2n −n −1

ä

.

b) lim

√

4n

2

+ 1 −2n −1

√

n

2

+ 4n + 1 −n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 35. Tính giới hạn lim(

√

n

2

+ 2n + 3 −1 + n).

Ê Lời giải.

20/101 20/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 36. Tính giới hạn lim

n

√

a với a > 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 37. Tính giới hạn

lim(

3

p

n

3

−3 −

p

n

2

+ n −2)

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 38. Tìm lim u

n

biết u

n

=

1

2

√

1 + 1

√

2

+

1

3

√

2 + 2

√

3

+ . . . +

1

(n + 1)

√

n + n

√

n + 1

.

Ê Lời giải.

21/101 21/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

1. Giới hạn của dãy số

Kết nối tri thức với cuộc sống

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 39. Tính giới hạn lim

Å

1

√

n

2

+ n

+

1

√

n

2

+ n + 1

+ . . . +

1

√

n

2

+ 2n

ã

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 40. Cho dãy số u

n

thỏa:

®

u

1

= 3, u

2

= 6

2u

n

= u

n−1

+ u

n+1

−2;

∀n ∈ N

∗

, n ≥ 3.

Biết rằng u

n

có duy nhất một công thức, tính: lim

n→+∞

n + 2 −

√

u

n

n + 1 −

√

u

n

+ 3n −2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22/101 22/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

23

c Bài 41. Tính giới hạn L = lim

n→∞

Å

1 −2n

√

n

2

+ 1

ã

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 42. Tính giới hạn của B = lim

√

1 + 2 + ... + n −n

3

√

1

2

+ 2

2

+ ... + n

2

+ 2n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23/101 23/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

24

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

A–TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

c Định nghĩa 2.1. Cho khoảng K chứa điểm x

0

và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên K \

{x

0

}.

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x

0

nếu với dãy số (x

n

) bất kỳ, x

n

∈ K \{x

0

} và

x

n

→ x

0

, ta có lim f (x

n

) = L.

Kí hiệu lim

x→x

0

f (x) = L hay f (x) → L khi x → x

0

.

c Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) =

x

2

−4

x + 2

. Chứng minh rằng lim

x→−2

f (x) = −4.

Ê Lời giải.

Tập xác định: D = R \{−2}.

Giả sử (x

n

) là một dãy số bất kỳ, thõa mãn x

n

6= −2 và x

n

→ −2 khi n → +∞.

Ta có lim f (x

n

) = lim

x

2

n

−4

x

n

+ 2

= lim

(x

n

+ 2) ·(x

n

−2)

(x

n

+ 2)

= lim (x

n

−2) = −4. 

Do đó lim

x→−2

f (x) = −4.

o

lim

x→x

0

x = x

0

; lim

x→x

0

c = c, với c là hằng số.

1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn

c Định lí 2.1. a) Giả sử lim

x→x

0

f (x) = L và lim

x→x

0

g(x) = M. Khi đó

○ lim

x→x

0

[ f (x) + g(x)] = L + M.

○ lim

x→x

0

[ f (x) −g(x)] = L −M.

○ lim

x→x

0

[ f (x) ·g(x)] = L ·M.

○ lim

x→x

0

f (x)

g(x)

=

L

M

(nếu M 6= 0).

b) Nếu f (x) ≥ 0 và lim

x→x

0

f (x) = L, thì

L ≥ 0 và lim

x→x

0

»

f (x) =

√

L.

( Dấu của f (x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x 6= x

0

).

c Ví dụ 2. Tính lim

x→1

x

2

+ x −2

x −1

.

Ê Lời giải.

24/101 24/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

25

lim

x→1

x

2

+ x −2

x −1

= lim

x→1

(x −1) ·(x + 2)

x −1

= lim

x→1

(x + 2) = 3. 

1.3. Giới hạn một bên

c Định nghĩa 2.2.

○ Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (x

0

;b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x) khi x → x

0

nếu với dãy số (x

n

) bất kì,

x

0

< x

n

< b và x

n

→ x

0

, ta có f (x

n

) → L.

Kí hiêu: lim

x→x

+

0

f (x) = L.

○ Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; x

0

).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x) khi x → x

0

nếu với dãy số (x

n

) bất kì,

a < x

n

< x

0

và x

n

→ x

0

, ta có f (x

n

) → L.

Kí hiêu: lim

x→x

−

0

f (x) = L.

c Định lí 2.2. lim

x→x

0

f (x) = L khi và chỉ khi lim

x→x

−

0

f (x) = lim

x→x

+

0

f (x) = L.

c Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) =

®

5x + 2 nếu x 6= 1

x

2

−3 nếu x < 1

.

Tìm lim

x→1

−

f (x), lim

x→1

+

f (x), và lim

x→1

f (x) (nếu có).

Ê Lời giải.

Ta có: lim

x→1

−

f (x) = lim

x→1

−

Ä

x

2

−3

ä

= 1

2

−3 = −2;

lim

x→1

+

f (x) = lim

x→1

+

(5x + 2) = 5 ·1 + 2 = 7.

Theo đinh lí 2, lim

x→1

f (x) không tồn tại. 

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

c Định nghĩa 2.3. a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x

n

) bất kì, x

n

> a và x

n

→ +∞, ta

có f (x

n

) → L.

Kí hiệu: lim

x→+∞

= L hay f (x) → L khi x → +∞.

b) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (−∞; a).

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số (x

n

) bất kì, x

n

< a và x

n

→ −∞, ta

có f (x

n

) → L.

Kí hiệu: lim

x→−∞

= L hay f (x) → L khi x → −∞.

c Ví dụ 4. Cho hàm số y = f (x) =

2x + 3

x −1

. Tìm lim

x→−∞

f (x) và lim

x→+∞

f (x).

Ê Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên (−∞; 1) và trên (1; +∞).

Giả sử (x

n

) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x

n

< 1 và x

n

→ −∞.

25/101 25/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

26

Ta có lim f (x

n

) = lim

2x

n

+ 3

x

n

−1

= lim

2 +

3

x

n

1 −

1

x

n

= 2.

Vậy lim

x→−∞

= lim

x→−∞

2x + 3

x −1

= 2.

Giả sử (x

n

) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x

n

> 1 và x

n

→ +∞.

Ta có lim f (x

n

) = lim

2x

n

+ 3

x

n

−1

= lim

2 +

3

x

n

1 −

1

x

n

= 2.

Vậy lim

x→+∞

= lim

x→+∞

2x + 3

x −1

= 2. 

o

○ Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

lim

x→+∞

c = c; lim

x→−∞

c = c; lim

x→+∞

c

x

k

= 0; lim

x→−∞

c

x

k

= 0.

○ Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x

0

còn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞.

c Ví dụ 5. Tìm lim

x→+∞

3x

2

−2x

x

2

+ 1

.

Ê Lời giải.

lim

x→+∞

3x

2

−2x

x

2

+ 1

= lim

x→+∞

3 −

2

x

1 +

1

x

2

=

3 −0

1 + 0

= 3. 

3. Giới hạn vô cực của hàm số

3.1. Giới hạn vô cực

c Định nghĩa 2.4. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x

n

) bất kì, x

n

> a và x

n

→ +∞, ta

có f (x

n

) → −∞.

Kí hiệu: lim

x→+∞

f (x) = −∞ hay f (x) → −∞ khi x → +∞.

Nhận xét: lim

x→+∞

f (x) = +∞ ⇔ lim

x→+∞

(−f (x)) = −∞.

3.2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) lim

x→+∞

x

k

= +∞ với k nguyên dương.

b) lim

x→−∞

x

k

= −∞ nếu k là số lẻ.

c) lim

x→+∞

x

k

= +∞ nếu k là số chẵn.

3.3. Một vài quy t ắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x)

26/101 26/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

27

lim

x→x

0

f (x) lim

x→x

0

g(x) lim

x→x

0

f (x)g(x)

Ł > 0

+∞

−∞

Ł < 0

+∞

−∞

+∞

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

f (x)

g(x)

lim

x→x

0

f (x) lim

x→x

0

g(x) Dấu của g(x) lim

x→x

0

f (x)

g(x)

α ±∞ Tùy ý 0

Ł > 0 0

+

+∞

−

−∞

Ł < 0 0

+

−∞

−

+∞

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x

+

0

, x → x

−

0

, x → +∞, và x → −∞.

c Ví dụ 6. Tìm lim

x→−∞

Ä

x

3

−2x

ä

.

Ê Lời giải.

Ta có: lim

x→−∞

Ä

x

3

−2x

ä

= lim

x→−∞

x

3

Å

1 −

2

x

2

ã

= −∞, vì

lim

x→−∞

x

3

= −∞ và lim

x→−∞

Å

1 −

2

x

2

ã

= 1 > 0. 

c Ví dụ 7. Tính lim

x→1

−

1

2x −3

x −1

.

Ê Lời giải.

Ta có: lim

x→1

−

2x −3

x −1

= +∞, vì

lim

x→1

−

(2x −3) = 2 ·1 −3 = −1 < 0, và lim

x→1

−

(x −1) = 0, x −1 < 0 ∀x < 1. 

B–CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng vô định

0

* Biểu thức có dạng lim

x→x

0

f (x)

g(x)

trong đó f (x), g(x) là các đa thức và f (x

0

) = g(x

0

) = 0.

Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là x −x

0

.

Giả sử f (x) = (x −x

0

) · f

1

(x) và g(x) = (x −x

0

) ·g

1

(x). Khi đó:

lim

x→x

0

f (x)

g(x)

= lim

x→x

0

f

1

(x)

g

1

(x)

27/101 27/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

28

Nếu giới hạn lim

x→x

0

f

1

(x)

g

1

(x)

vẫn ở dạng vô định

0

thì ta lặp lại quá trình khử đến khi không còn dạng vô

định.

Việc phân tích thành nhân tử ở trên được thực hiện bằng phương pháp chia Horner.

* Biểu thức có dạng lim

x→x

0

f (x)

g(x)

trong đó f (x), g(x) là các biểu thức có chứa căn thức và f (x

0

) = g(x

0

) = 0.

Khử dạng vô định bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thức chứa căn

thức để trục các nhân tử x −x

0

ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Lưu ý

có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định.

Chú ý: Các hằng đẳng thức

A

2

−B

2

= (A −B)(A + B).

A

3

−B

3

= (A −B)(A

2

+ AB + B

2

).

A

3

+ B

3

= (A + B)(A

2

−AB + B

2

).

c Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→−4

x

2

+ 2x −8

x

2

+ 4x

.

b) lim

x→

1

2

2x

2

−5x + 2

1 −2x

.

c) lim

x→2

2x

2

−5x + 2

x

2

+ x −6

.

d) lim

x→−1

1 + x

3

1 −x

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Tính giới hạn lim

x→−1

x

2

−1

2x +

√

3x

2

+ 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tính giới hạn lim

x→5

2x −5

√

x −1

3 −

√

x + 4

.

Ê Lời giải.

28/101 28/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Tính giới hạn lim

x→0

1 −

3

√

12x + 1

4x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Tính giới hạn lim

x→−4

√

2x + 9 −x −5

3

√

x + 5 +

3

√

x + 3

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tính giới hạn I = lim

x→0

(1 + x)

n

−1

x

với n là số nguyên dương.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Tính giới hạn lim

x→0

√

1 + ax −1

x

với a 6= 0.

Ê Lời giải.

29/101 29/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 15. Tính giới hạn lim

x→0

3

√

1 + ax −1

x

với a 6= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 16. Tính giới hạn J = lim

x→0

n

√

1 + ax −1

x

với a 6= 0, n là số nguyên và n ≥ 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

o

Chú ý: Các giới hạn I = lim

x→0

(1 + x)

n

−1

x

= n với n ∈ N; và J = lim

x→0

n

√

1 + ax −1

x

=

a

n

với a 6= 0, n là

số nguyên và n ≥ 2 được gọi là các “giới hạn cơ bản”.

c Ví dụ 17. Tính giới hạn lim

x→1

√

5 −x

3

−

3

√

x

2

+ 7

x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 18. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→3

x

3

−4x

2

+ 4x −3

x

2

−3x

.

b) lim

x→

1

2

8x

3

−1

6x

2

−5x + 1

.

c) lim

x→0

(1 + x)

3

−(1 + 3x)

x

2

+ x

3

.

d) lim

x→−1

x

2017

+ 1

x

2018

+ 1

.

Ê Lời giải.

30/101 30/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 19. Tính giới hạn lim

x→1

2x −

√

3x + 1

x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 20. Tính giới hạn lim

x→2

√

x

2

−x −

√

2x −2

x

2

−2x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 21. Tính giới hạn lim

x→1

3

√

2x −1 −

3

√

x

√

x −1

.

Ê Lời giải.

31/101 31/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 22. Tính giới hạn lim

x→−2

3

√

x

2

−2x −

√

2 −x

x

2

+ 5x + 6

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 23. Tính giới hạn lim

x→1

(1 −

√

x)(1 −

3

√

x)···(1 −

n

√

x)

(1 −x)

n−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32/101 32/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 24. Tính giới hạn lim

x→0

(x

2

+ 1998)

7

√

1 −2x −1998

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→−1

4x

2

−x −5

7x

2

+ 5x −2

.

b) lim

x→−2

4 −x

2

x + 2

.

c) lim

x→3

x

2

+ 2x −15

x −3

.

d) lim

x→2

2x

2

−5x + 2

x

2

−4

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→1

x

3

−x

2

−x + 1

x

2

−3x + 2

.

b) lim

x→1

x

4

−1

x

3

−2x

2

+ 1

.

c) lim

x→−1

x

5

+ 1

x

3

+ 1

.

d) lim

x→3

x

3

−5x

2

+ 3x + 9

x

4

−8x

2

−9

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33/101 33/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Tính giới hạn lim

x→0

√

1 + 2x −1

2x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. Tính giới hạn lim

x→2

x −

√

3x −2

x

2

−4

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Tính giới hạn lim

x→0

√

1 + x

2

−1

2x

3

−3x

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 6. Tính giới hạn lim

x→1

√

2x + 7 −x −2

x

3

−4x + 3

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Tính giới hạn lim

x→−1

x

2

−8x −9

√

4 −3x

2

−2x −3

.

Ê Lời giải.

34/101 34/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Tính giới hạn lim

x→0

1 −

3

√

x + 1

3x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. Tính giới hạn lim

x→1

3

√

x −2 +

3

√

1 −x + x

2

x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. Tính giới hạn lim

x→1

3

√

3x −2 −

3

√

4x

2

−x −2

x

2

−3x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 11. Tính giới hạn lim

x→2

3

√

3x + 2 + x −4

x

2

−3x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35/101 35/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 12. Tính giới hạn lim

x→4

3

√

x + 4 +

3

√

4 −3x

√

x

2

+ 9 −

√

x + 21

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 13. Tính giới hạn lim

x→0

√

8x

3

+ x

2

+ 6x + 9 −

3

√

9x

2

+ 27x + 27

x

3

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36/101 36/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

37

c Bài 14. Tính giới hạn lim

x→1

√

5 −x

3

−

3

√

x

2

+ 7

x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 15. Tính giới hạn lim

x→2

3

√

8x + 11 −

√

x + 7

x

2

−3x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 16. Tính giới hạn lim

x→1

√

3x + 1 +

√

x

2

+ 8 −5

x

2

−3x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 17. Tính giới hạn lim

x→2

4x −

√

x + 2 −

√

5x + 26

x −2

.

Ê Lời giải.

37/101 37/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 18. Tính giới hạn lim

x→−2

3

√

x

2

−x + 2 +

√

x + 3 −3

2x

2

+ 5x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

c Bài 19. Tính giới hạn lim

x→2

(x

2

−x −2)

20

(x

3

−12x + 16)

10

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 20. Tính giới hạn lim

x→1

x

100

−2x + 1

x

50

−2x + 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 21. Tính giới hạn lim

x→1

√

x

5

−1

1 −x

4

.

Ê Lời giải.

38/101 38/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 22. Tính giới hạn lim

x→1

3

√

x

2

+ 2

√

x −5

x −1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 23. Tính giới hạn lim

x→−1

3

√

x + x

2

+ x + 1

x + 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 24. Tính giới hạn lim

x→2

√

x −1 + x

4

−3x

3

+ x

2

+ 3

√

2x −2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 25. Tính giới hạn lim

x→0

√

1 + 4x ·

√

1 + 6x −1

x

.

Ê Lời giải.

39/101 39/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 26. Tính giới hạn lim

x→0

√

1 + 2x ·

3

√

1 + 4x −1

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 27. Cho I = lim

x→0

√

2x + 1 −1

x

và J = lim

x→1

x

2

+ x −2

x −1

. Tính I + J.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 28. Tính giới hạn lim

x→0

√

x + 9 +

√

x + 16 −7

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40/101 40/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 29. Tìm giới hạn lim

x→7

4

√

x + 9 −2

x −7

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 30. Tính giới hạn lim

x→0

2

√

x + 1 −

3

√

8 −x

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 31. Tính giới hạn lim

x→1

5

√

2x −1 −

6

√

3x −2

x −1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 32. Tính giới hạn lim

x→0

√

1 + 2x

3

√

1 + 3x

4

√

1 + 4x −1

x

.

Ê Lời giải.

41/101 41/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 33. Tính giới hạn lim

x→0

√

2x + 1 −

3

√

3x + 1

x

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 34. Tính giới hạn lim

x→0

m

√

1 + αx ·

n

p

1 + β x −1

x

với α ·β 6= 0 và m, n là các số nguyên dương.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 35. Tính giới hạn lim

x→a

x

α

−a

α

x

β

−a

β

với a 6= 0 và α, β là các số nguyên dương.

Ê Lời giải.

42/101 42/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 36. Tính giới hạn lim

x→1

x + x

2

+ ···+ x

n

−n

x −1

với n là số nguyên dương.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 37. Tính giới hạn lim

x→1

x

n+1

−(n + 1)x + n

(x −1)

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 38. Tính giới hạn lim

x→a

(x

n

−a

n

) −na

n−1

(x −a)

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43/101 43/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 39. Tính giới hạn lim

x→a

√

x −

√

a +

√

x −a

√

x

2

−a

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 40. Tính giới hạn lim

x→0

m

√

1 + αx −

n

p

1 + β x

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 41. Tính giới hạn lim

x→0

3

…

1 +

x

3

−

4

…

1 +

x

4

1 −

…

1 −

x

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44/101 44/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 42. Tính giới hạn lim

x→1

(1 −

√

x)(1 −

3

√

x)···(1 −

n

√

x)

(1 −x)

n−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 43. Tính giới hạn lim

x→0

(

√

1 + x

2

+ x)

n

−(

√

1 + x

2

−x)

n

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Giới hạn dạng vô định

∞

;∞ − ∞; 0 · ∞

Dạng 1: I = lim

x→∞

P(x)

Q(x)

với P(x), Q(x) là đa thức hoặc các hàm đại số .

Phương pháp: Gọi p = degP(x), q = degQ(x) và m = min(p, q). Chia cả tử và mẫu cho x

m

ta có

kết luận. (deg P(x) là bậc cao nhất của đa thức P(x)).

+ Nếu p ≤ q thì tồn tại giới hạn.

+ Nếu p > q thì không tồn tại giới hạn.

Dạng 2: Giới hạn ∞ −∞.

Phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp đưa về dạng

∞

Dạng 3: Giới hạn 0.∞.

Phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp đưa về dạng

∞

.

45/101 45/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

46

c Ví dụ 25. Tính D = lim

x→+∞

2x

3

−3x

2

+ 4x + 1

x

4

−5x

3

+ 2x

2

−x + 3

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 26. Tính D = lim

x→−∞

x +

√

x

2

+ 2

3

√

8x

3

+ x

2

+ 1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 27. Tìm giới hạn D = lim

x→+∞

Ä

p

x +

√

x −

√

x

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 28. Tìm giới hạn D = lim

x→+∞

x

Ä

√

x

2

+ 1 −x

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 29. Tìm giới hạn D = lim

x→∞

x

2

Ä

√

9x

4

+ 7 −

3

√

27x

6

−5

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46/101 46/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 1. Tính D = lim

x→−∞

2x

3

−3x

2

+ 4x + 1

x

4

−5x

3

+ 2x

2

−x + 3

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Tính D = lim

x→+∞

x +

√

x

2

+ 2

3

√

8x

3

+ x

2

+ 1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Tính D = lim

x→−∞

−6x

5

+ 7x

3

−4x + 3

8x

5

−5x

4

+ 2x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. Tính D = lim

x→+∞

−6x

5

+ 7x

3

−4x + 3

8x

5

−5x

4

+ 2x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47/101 47/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

48

c Bài 5. Tính D = lim

x→+∞

√

9x

2

+ 2 −

3

√

6x

2

+ 5

4

√

16x

4

+ 3 −

5

√

8x

4

+ 7

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 6. Tính D = lim

x→−∞

√

9x

2

+ 2 −

3

√

6x

2

+ 5

4

√

16x

4

+ 3 −

5

√

8x

4

+ 7

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Tính giới hạn D = lim

x→−∞

(2x −3)

20

(3x + 2)

30

(2x + 1)

50

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Tính giới hạn D = lim

x→+∞

√

x

2

+ 2x + 3x

√

4x

2

+ 1 −x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48/101 48/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

49

c Bài 9. Tính giới hạn D = lim

x→−∞

√

x

2

+ 2x + 3x

√

4x

2

+ 1 −x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. Tính giới hạn D = lim

x→+∞

Ä

p

(x + a)(x + b) −x

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 11. Tính giới hạn D = lim

x→+∞

Ä

2x −5 −

√

4x

2

−4x −1

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 12. Tính giới hạn D = lim

x→+∞

Ä

3

√

x

3

+ 2 −

√

x

2

+ 1

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49/101 49/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

50

c Bài 13. Tính giói hạn D = lim

x→+∞

x

3

2

Ä

√

x

3

+ 1 −

√

x

3

−1

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 14. Tìm giới hạn D = lim

x→+∞

x

Ä

√

4x

2

+ 5 −

3

√

8x

3

−1

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên.

• Nếu lim

x→x

0

f (x) = L 6= 0 và lim

x→x

0

g(x) = ±∞ thì:

a) lim

x→x

0

f (x) ·g(x) =







+ ∞ nếu L và lim

x→x

0

g(x) cùng dấu

−∞ nếu L và lim

x→x

0

g(x) trái dấu.

b) lim

x→x

0

f (x)

g(x)

=











0 nếu lim

x→x

0

g(x) = ±∞

+ ∞ nếu lim

x→x

0

g(x) = 0 và L ·g(x) > 0

−∞ nếu lim

x→x

0

g(x) = 0 và L ·g(x) < 0.

• lim

x→x

0

f (x) = L ⇔ lim

x→x

−

0

f (x) = lim

x→x

+

0

f (x) = L.

c Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số sau:

50/101 50/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

51

a) I

1

= lim

x→

3

√

2



x

3

−2x

6

+ 1



;

b) I

2

= lim

x→+∞



2x

5

−x

4

+ 4x

3

−3



;

c) I

3

= lim

x→−∞



2x

5

−x

4

+ 4x

3

−3



;

d) I

4

= lim

x→+∞



−x

3

−x

2

+ 4x + 2



;

e) I

5

= lim

x→−∞



−x

3

−x

2

+ 4x + 2



;

f) I

6

= lim

x→−∞



x

6

+ 2x

3

−4x

2

+ 4x



.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Tính giới hạn của các hàm số sau:

a) I

1

= lim

x→+∞

3

x

2

−2x + 6

;

b) I

2

= lim

x→3

+

−x

2

+ 5

x −3

;

c) I

3

= lim

x→3

−

2x

2

+

√

3 −x

x −3

;

d) I

4

= lim

x→−2

+

|x

2

−4|

x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51/101 51/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

52

c Ví dụ 3. Tính giới hạn một bên của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a) f (x) =







x

2

−3x + 2

x −1

khi x < 1

x khi x ≥ 1

tại x = 1;

b) g(x) =











√

x + 7 −3

x −2

khi x > 2

x −1

6

khi x ≤ 2

tại x = 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→+∞

(−6x

4

+ 2x

3

−x + 5);

b) I

2

= lim

x→+∞

Ä

√

4x

2

−3 + 2x

ä

;

c) I

3

= lim

x→−∞

Ä

√

4x

2

−3 −2x

ä

;

d) I

4

= lim

x→−∞

Ä

x +

3

√

x

3

−1

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→−1

−

√

−4 −4x + 3x

2

x + 1

;

b) I

2

= lim

x→2

−

3x + 1

2 −x

;

c) I

3

= lim

x→2

+

2x

2

−5x + 2

(x −2)

2

;

d) I

4

= lim

x→−3

+

√

x + 7 −2

|x

2

−9|

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52/101 52/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

53

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Tính giới hạn lim

x→3

x

2

−4x + 3

(x −3)

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. Cho hàm số f (x) =







2 −

√

x + 3

x

2

−1

khi x > 1

m −2x khi x ≤ 1

. Xác định các giá trị của tham số m để f (x) có

giới hạn tại điểm x = 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

c Bài 5. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→+∞

(4x

3

−

√

x

2

+ 2);

b) I

2

= lim

x→−∞

2x −

3

√

2x

6

+ x

4

−1

x

2

+

√

x

;

c) I

3

= lim

x→+∞

3

√

2x

6

+ x

4

−1

1 −x

2

;

d) I

4

= lim

x→+∞

√

16x

8

+ 3 −x

2

x(x + 2)(x + 4)(x + 6)

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 6. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→−4

+

x

3

−16x

|x + 4|

;

b) I

2

= lim

x→−4

−

√

x

2

−16

|x + 4|

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

54

c Bài 7. Cho hàm số f (x) =







ax

2

+ 3ax −4a

x −1

khi x < 1

2bx + 1 khi x ≥ 1

. Biết rằng a, b là các số thực thỏa mãn hàm

số f (x) có giới hạn tại x = 1.

a) Tìm mối quan hệ giữa a và b.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a

2

+ b

2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→1

2x

5

+ x

4

−4x

2

+ 1

x

3

−1

;

b) I

2

= lim

x→−2

2x

4

+ 9x

3

+ 11x

2

−4

(x + 2)

2

;

c) I

3

= lim

x→−1

x

11

+ 1

x

7

+ 1

;

d) I

4

= lim

x→1

x + x

2

+ ···+ x

2018

−2018

x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. Tìm các giá trị của a, b sao cho lim

x→+∞

(

√

x

2

+ x + 1 −ax −b) = 0.

Ê Lời giải.

54/101 54/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→−2

x −1 +

√

5 −2x

x

2

+ x −2

;

b) I

2

= lim

x→1

2

√

2 −x −

3

√

9 −x

1 −x

;

c) I

3

= lim

x→−1

3

√

7 + 6x −

√

5 + 4x

(x + 1)

2

;

d) I

4

= lim

x→0

√

1 + 2017x ·

3

√

1 + 2018x −1

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 11. Tính các giới hạn sau:

a) I

1

= lim

x→+∞

(

√

x

2

+ 2x −1 −x −1);

b) I

2

= lim

x→−∞

(

√

x

2

−2x −1 + x −1);

c) I

3

= lim

x→+∞

(

√

4x

2

−x −

3

√

8x

3

+ 3x

2

);

d) I

4

= lim

x→1

Å

2017

1 −x

2017

−

2018

1 −x

2018

ã

.

Ê Lời giải.

55/101 55/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

2. Giới hạn hàm số

Kết nối tri thức với cuộc sống

56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56/101 56/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

57

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

A–TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Hàm số liên tục tại một điểm

c Định nghĩa 3.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x

0

∈ K. Hàm số y = f (x) được gọi

là liên tục tại x

0

nếu lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

).

o

Hàm số y = f (x) không liên tục tại x

0

được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

c Định nghĩa 3.2. Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm

của khoảng đó.

c Định nghĩa 3.3. Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng

(a;b) và lim

x→a

+

f (x) = f (a), lim

x→b

−

f (x) = f (b).

o

Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a;b], [a; +∞), . . . được định nghĩa một cách tương tự.

o

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên

khoảng đó

x

y

O

3. Một số định lí cơ bản

c Định lí 3.1.

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng

của tập xác định của chúng.

c Định lí 3.2. Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x

0

. Khi đó

a) Các hàm số y = f (x) + g(x), y = f (x) −g(x) và y = f (x).g(x) liên tục tại x

0

.

b) Hàm số y =

f (x)

g(x)

liên tục tại x

0

nếu g(x

0

) 6= 0.

c Định lí 3.3. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.

o

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a) f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một

nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

57/101 57/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

58

B–CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. Để xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại điểm x

0

∈ D, ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tính f (x

0

).

Bước 2. Tìm lim

x→x

0

f (x).

Bước 3. So sánh và rút ra kết luận.

○ Nếu lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

) thì hàm số f (x) liên tục tại điểm x

0

.

○ Nếu lim

x→x

0

f (x) 6= f (x

0

) thì hàm số f (x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x

0

.

c Ví dụ 1. Cho hàm số: f (x) =







x

2

−1

x −1

nếu x 6= 1

a nếu x = 1

với a là hằng số.

Xét tính liên tục của hàm số tại x

0

= 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) =

®

x

2

+ 1 nếu x > 0

x nếu x ≤ 0

.

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x

0

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58/101 58/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

59

c Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) =







x

2

−6x + 5

x

2

−1

nếu x 6= 1

−2 nếu x = 1

.

Xét tính liên tục của hàm số f (x) tại điểm x

0

= 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =







1 −

√

2x −3

2 −x

nếu x 6= 2

1 nếu x = 2

tại điểm x

0

= 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 5. Cho hàm số f (x) xác định bởi: f (x) =











√

x −2

√

x + 5 −3

khi x 6= 4

−

3

2

khi x = 4

.

Xét tính liên tục của hàm số f (x) tại điểm x

0

= 4.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Cho hàm số f (x) =











ax +

1

4

nếu x ≤ 2

3

√

3x + 2 −2

x −2

nếu x > 2

. Tìm a để hàm số liên tục tại x

0

= 2.

Ê Lời giải.

59/101 59/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Cho hàm số f (x) =







x

2

−4

x −2

nếu x 6= 2

m

2

+ 3m nếu x = 2

. Tìm m để hàm số liên tục tại x

0

= 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Tìm m để hàm số f (x) =











√

1 −x −

√

1 + x

x

nếu x < 0

m +

x

3

−3x + 1

x + 2

nếu x ≥ 0

liên tục tại x

0

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Cho hàm số f (x) =







2x

3

−

√

8 −4x

x −1

nếu x < 1

14ax nếu x ≥ 1

. Tìm a để hàm số f (x) liên tục tại x

0

= 1.

Ê Lời giải.

60/101 60/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

61

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 1. Cho hàm số f (x) =







3x

2

−4x + 1

x −1

nếu x 6= 1

5a

2

−3 nếu x = 1

. Tìm a để hàm số liên tục tại x

0

= 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Cho hàm số f (x) =











√

x + 4 −2

x

nếu x 6= 0

2a −

5

4

nếu x = 0

. Tìm a để hàm số liên tục tại x

0

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Cho hàm số f (x) =







x

3

−x

2

+ 2x −2

3x + a

nếu x 6= 1

3x + a nếu x = 1

. Tìm các giá trị của tham số a để f (x) liên

tục tại x = 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61/101 61/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. Tìm a, b để hàm số f (x) =











ax

2

+ bx + 3 nếu x < 1

5 nếu x = 1

2x −3b nếu x > 1

liên tục tại x

0

= 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Tìm m để hàm số f (x) =











√

1 + x −

3

√

1 + x

x

nếu x < 0

m +

x

3

−3x + 1

x + 2

nếu x ≥ 0

liên tục tại x

0

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62/101 62/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

63

c Bài 6. Cho hàm số f (x) =











x

2

−a

2

x −a

+ b nếu x > a

1 nếu x = a

b −2x nếu x < a

. Tìm a, b để hàm số liên tục tại x

0

= a.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Cho hàm số f (x) =











3

√

x −3 +

4

√

2x −3

x −2

nếu x 6= 2

a

6

nếu x = 2

. Tìm a để hàm số f (x) liên tục tại x

0

= 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Cho hàm số f (x) =







x + x

2

+ ···+ x

n

−n

x −1

nếu x 6= 1

15 nếu x = 1

. Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục

tại x

0

= 1.

Ê Lời giải.

63/101 63/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Hàm số liên tục trên một tập hợp

a) Hàm đa thức liên tục trên R.

b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

c Ví dụ 10. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.

a) f (x) =







x

2

−x −2

x + 1

khi x 6= −1

−3 khi x = −1

.

b) f (x) =







2x + 1

(x −1)

2

khi x 6= 1

3 khi x = 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64/101 64/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

65

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.

a) f (x) =

®

x

2

+ 3x khi x ≥ 2

6x + 1 khi x < 2.

b) f (x) =











x

2

−3x + 5 khi x > 1

3 khi x = 1

2x + 1 khi x < 1.

c) f (x) =











x

2

+ 1 khi x ≥ 3

2x + 4 khi 0 ≤ x < 3

3x

2

−5 khi x < 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65/101 65/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

66

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 9. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.

a) f (x) =







x −2

x

2

−4

khi x 6= 2

1 khi x = 2

.

b) f (x) =







x

3

−1

x −1

khi x 6= 1

3 khi x = 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66/101 66/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

67

c Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.

a) f (x) =

®

x

2

khi x ≥ −2

2 −x khi x < −2.

b) f (x) =











3x −2 khi x > −1

1 khi x = −1

x

2

−6 khi x < −1.

c) f (x) =











x + 1 khi x ≥ 3

x

2

khi 1 ≤ x < 3

4x

2

−3 khi x < 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67/101 67/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn

Hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x

0

⇔ lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

)

⇔ lim

x→x

+

0

f (x) = lim

x→x

−

0

f (x) = f (x

0

).

c Ví dụ 12. Tìm tham số m để hàm số f (x) =

®

x

2

+ 2x −m khi x 6= 2

x + m khi x = 2

, liên tục tại điểm x

0

= 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tìm tham số m để hàm số f (x) =







x

2

−2x −3

x + 1

khi x 6= −1

m

2

+ 5m khi x = −1

, liên tục tại điểm x

0

= −1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Tìm tham số m để hàm số f (x) =







√

4x + 5 −3

x

2

−1

khi x > 1

2m + 3 khi x ≤ 1

, gián đoạn tại điểm x

0

= 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68/101 68/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 11. Cho hàm số f (x) =







2x

2

−5x + 2

2 −x

khi x 6= 2

m

2

−m −5 khi x = 2

. Tìm m để hàm số gián đoạn tại x = 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 12. Cho hàm số f (x) =







3

√

x −2 −1

x −3

khi x 6= 3

a −3 khi x = 3

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 3.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 13. Cho hàm số f (x) =







m

2

−m + 3 khi x = 1

x

2

+ mx −1 −m

x −1

khi x 6= 1

. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 14. Cho hàm số f (x) =







x

2

+ m khi x = 1

x

3

−3x

2

+ x + 1

x −1

khi x 6= 1

. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.

Ê Lời giải.

69/101 69/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 15. Cho hàm số f (x) =











2



√

x + 3 −2



x

2

−1

khi x > 1

ax

2

+ bx +

1

4

khi x < 1

a −b −

7

4

khi x = 1

.

Tìm a, b để hàm số liên tục tại x = 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 16. Cho hàm số f (x) =







2x

2

+ (2m −3)x −m + 1

2x −1

khi x 6=

1

2

2m khi x =

1

2

.

Tìm m để hàm số liên tục tại x =

1

2

·

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70/101 70/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

71

| Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm

○ Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f (x)

liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f (a). f (b) < 0.

○ Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f (x) liên tục

trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a

i

;a

i+1

)(i = 1, 2, . . . , k ) nằm trong D sao cho f (a

i

). f (a

i+1

) < 0.

CÁC VÍ DỤ MẪU

c Ví dụ 15. Chứng minh rằng phương trình 2x

4

−2x

3

−3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

(−1;0).

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 16. Chứng minh rằng phương trình 6x

3

+ 3x

2

−31x + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 17. Chứng minh rằng phương trình x −1 + sinx = 0 có nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 18. Chứng minh rằng phương trình



m

2

+ m + 4



x

2017

−2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một

nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ê Lời giải.

71/101 71/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 19. Chứng minh rằng phương trình a cos 2x +b sin x + cosx = 0 luôn có nghiệm với mọi tham

số a, b.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

c Bài 17. Chứng minh phương trình x

4

−x

3

−2x

2

−15x−25 = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm

âm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 18. Chứng minh phương trình x

4

−2x

2

+ 3x −1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 19. Chứng minh rằng phương trình x

5

−3x

4

+ 5x −2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72/101 72/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

73

c Bài 20. Chứng minh rằng phương trình x + 1 + cosx = 0 có nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 21. Chứng minh rằng phương trình

√

x

5

+ 2x

3

+ 25x

2

+ 14x + 2 = 3x

2

+ x + 1 có đúng 5 nghiệm

phân biệt.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 22. Chứng minh rằng phương trình



1 −m

2



x

5

−3x −1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá

trị của m.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 23. Chứng minh rằng phương trình

x

4

−x

2

+ mx −3m + 1

x

2

−x −2

= m có ít nhất 2 nghiệm với mọi

m > 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 24. Chứng minh rằng phương trình

1

cosx

−

1

sinx

= m luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

m.

Ê Lời giải.

73/101 73/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 25. Cho phương trình f (x) = ax

2

+ bx + c = 0, biết a. f (c) < 0. Chứng minh rằng phương trình

a



ax

2

+ bx + c



2

+ b



ax

2

+ bx + c



+ c = x có nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 26. Chứng minh rằng phương trình x

5

+ 3x + 1 = 0 có đúng một nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

c Bài 27. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =











3

√

8 + x −

√

4 −x

x

, với x 6= 0

1

3

, với x = 0

tại điểm x

0

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74/101 74/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 28. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =







(1 + 2017x)

2018

−(1 + 2018x)

2017

x

2

, với x 6= 0

2017 ·2018, với x = 0.

trên

tập số thực R.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 29. Tìm giá trị của m để hàm số f (x) =











3 −

√

9 −x

2

√

x

2

+ 4 −2

, với x 6= 0

m, với x = 0

liên tục tại điểm x

0

= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75/101 75/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

3. Hàm số liên tục

Kết nối tri thức với cuộc sống

76

c Bài 30. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =











2 −

√

4 −x

2

x

2

, với x 6= 0

1

4

, với x = 0

trên tập xác định của nó.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 31. Chứng minh rằng phương tr ình m(x −2)

3

(x −3)+ 2x −5 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị

của tham số m.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76/101 76/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

77

BÀI 4. ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV

A–ĐỀ SỐ 1A

c Bài 1. (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

4n

3

+ 3n −1

2n

4

+ 4

.

b) lim

3

√

27n

3

−4n

2

+ 5

n −6

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (3 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

x→3

x

2

−2x −3

x

2

−9

.

b) lim

x→−∞

√

9x

6

−2x + 3 −2x

3

3 −x

3

.

c) lim

x→2

−

5x −3

x −2

.

d) lim

x→2

√

x + 2 +

√

5x + 6 −6

3

√

3x + 2 −2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77/101 77/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

78

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. (2 điểm) Xác định a để hàm số f (x) =







x

2

+ 3x + 2

x + 1

nếu x 6= −1

ax

2

+ 3x nếu x = −1

liên tục tại x = −1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình x

5

−3x −1 = 0 có ít nhất ba nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x

3

−3x

2

−2010cos

2

x + sin

2017

x + 1 = 0 có nghiệm.

Ê Lời giải.

78/101 78/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B–ĐỀ SỐ 1B

c Bài 1. (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

n

4

−2n + 1

3n

4

+ n + 2

.

b) lim

√

3n

2

+ n + 1 −2n

3n + 4

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

x→1

−

x

2

+ 2x + 1

x −1

.

b) lim

x→−1

√

x

2

+ x + 2 −

√

1 −x

x

4

+ x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79/101 79/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

80

c Bài 3. (2 điểm) Cho hàm số f (x) =







√

7x −10 −2

x −2

nếu x > 2

mx + 3 nếu x ≤ 2

. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình 4x

3

−8x

2

+ 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. (2 điểm) Cho phương trình:



m

4

+ m + 1



x

2010

+x

5

−32 = 0, m là tham số. Chứng minh rằng,

phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–ĐỀ SỐ 2A

c Bài 1. (3 điểm) Tính các giới hạn.

a) lim

3

n

+ 5

n+1

4 + 5

n+2

.

b) lim

1 + n sin n

n

2

+ 2

.

Ê Lời giải.

80/101 80/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (4,5 điểm) Tính các giới hạn.

a) lim

x→−∞

Ä

p

2x

2

−x + 3 + x

ä

.

b) lim

x→2

x

2

−4

2 −

√

x + 2

.

c) lim

x→1

+

x

3

−1

√

x

2

−1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho hàm số sau đây liên tục trên R.

f (x) =

®

x

3

−3x + 2 nếu x > 1

x + m nếu x ≤ 1

Ê Lời giải.

81/101 81/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. (1 điểm) Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

1 −m

2

)(x + 2)

3

+ x

2

+ x −3 = 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D–ĐỀ SỐ 2B

c Bài 1. (3 điểm) Tính các giới hạn.

a) lim

2

n

−3

n+3

1 + 3

n+1

.

b) lim

2n + cos 2n

n

2

+ 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (4,5 điểm) Tính các giới hạn.

a) lim

x→−∞

Ä

p

x

2

−x + 2 + x

ä

.

82/101 82/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

83

b) lim

x→1

p

x(x + 3) −2

x

2

−3x + 2

.

c) lim

x→1

|x −1|

x

2

−1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho hàm số sau đây liên tục trên R.

f (x) =

®

x

2

+ x −2 nếu x > 1

mx −1 nếu x ≤ 1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. (1 điểm) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất 4 nghiệm phân biệt.

x

6

−2x

4

+ 4x

3

−9x −3 = 0.

Ê Lời giải.

83/101 83/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

84

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E–ĐỀ SỐ 3A

c Bài 1 (2,0 điểm). Tìm các giới hạn sau

a) lim

n

2

+ 2n + 1

n

2

+ 3n + 2

.

b) lim

n

3

+ 3n + 1

n

4

+ 2n

2

+ 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2 (2,0 điểm). Tìm các giới hạn sau

a) lim

x→+∞

î

p

(x + a

1

)(x + a

2

) −x

ó

.

b) lim

x→1

x

m

−1

x

n

−1

, với m, n là các số nguyên dương.

Ê Lời giải.

84/101 84/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên R.

a) f (x) =











3

√

3x + 2 −2

x −2

nếu x > 2

mx +

1

4

nếu x ≤ 2

.

b) g(x) =







x

2

cos

2

3x

nếu x 6= 0

m nếu x = 0

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85/101 85/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4 (2,0 điểm). Cho phương tr ình ax

2

+ bx + c = 0 (a 6= 0) với a + 5b + 28c = 0. Chứng minh

rằng phương trình luôn có nghiệm trên đoạn

ï

0;

1

5

ò

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5 (1,0 điểm). Cho một hình vuông H

0

cạnh 1. Ta chia mỗi cạnh của hình vuông làm ba đoạn

thẳng bằng nhau, rồi dựng trên đoạn thẳng ở giữa, ra phía ngoài hình vuông ban đầu một hình vuông có

độ dài bằng đoạn thẳng đó, sau đó xoá đoạn thẳng đó đi, ta thu được một hình gọi là H

1

. Ta lại chia mỗi

cạnh của hình H

1

thành ba đoạn bằng nhau, rồi dựng trên đoạn thẳng ở giữa, ra phía ngoài H

1

một hình

vuông có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng đó, sau đó xoá đoạn thẳng đó đi, ta được hình H

2

. Cứ lặp lại quá

trình trên ta được một dãy các hình (H

n

)

n≥0

. Gọi S

n

là diện tích của hình H

n

. Tính lim S

n

.

H

0

H

1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86/101 86/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F–ĐỀ SỐ 3B

c Bài 1 (2,0 điểm). Tìm các giới hạn sau

a) lim

n

3

+ 4n + 1

2n

3

+ 3n

2

.

b) lim

n

2

+ 2n + 1

n

3

+ n

2

+ n + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87/101 87/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2 (2,0 điểm). Tìm các giới hạn sau

a) lim

x→1

x

n

−nx + n −1

(x −1)

2

, với n nguyên dương.

b) lim

x→+∞

Ä

√

x

2

+ x −x

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3 (3,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định

a) f (x) =











√

7x −10 −2

x −2

nếu x > 2

mx −

1

4

nếu x ≤ 2

.

b) f (x) =







x

3

sin

2

x

nếu x 6= 0

m nếu x = 0

.

Ê Lời giải.

88/101 88/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4 (2, 0 điểm). Cho phương trình ax

2

+ bx + c = 0 (a 6= 0) với 7a + 5b + 4c = 0. Chứng minh

rằng, phương trình đã cho luôn có nghiệm trên đoạn [1;2].

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5 (1 điểm). Cho hai số dương a, b và dãy (u

n

) cho bởi







u

1

= a, u

2

= b

u

n+2

=

u

n

+ u

n+1

2

, n = 1, 2 . . .

.

Tìm giới hạn limu

n

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89/101 89/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G–ĐỀ SỐ 4A

c Bài 1. (2,0 điểm ) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

2n

2

+ n −1

n

2

+ 1

. b) lim

3

n+2

−2

n

+ 4

2.3

n

+ 2

n

+ 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (3,0 điểm ) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

x→1

x

2

−9x + 8

1 −x

.

b) lim

x→2

√

3x −2 −2

x

2

−4

.

c) lim

x→−∞

√

16x

2

+ 1 + 3

x + 1

.

d) lim

x→+∞

Ä

2x −

√

4x

2

+ x + 1

ä

.

Ê Lời giải.

90/101 90/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) =







2x

2

−x −1

x −1

nếu x 6= 1

m + 1 nếu x = 1

. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm

x = 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. (1,5 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2x

5

−7x −1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc

khoảng (0; 2).

Ê Lời giải.

91/101 91/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. (1,5 điểm) Cho phương trình m(x + 1)(x −2)

11

+ 3x −4 = 0. Chứng minh phương trình luôn

có nghiệm với mọi giá trị của m.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H–ĐỀ SỐ 4B

c Bài 6. (2,0 điểm ) Tìm các giới hạn sau:

a) lim(n

3

+ 3n

2

+ n −10).

b) lim

√

4n

2

+ 6n + 1 −n

3n + 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. (2,0 điểm ) Tìm các giới hạn sau:

a) lim

x→1

+

x

2

−1

(x −1)

2

.

b) lim

x→3

√

x + 1 +

√

7 −2x −2

x −3

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92/101 92/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. (2,5 điểm) Cho hàm số f (x) =











x

2

+ mx −m −1

x −1

nếu x > 1

2x + m

2

nếu x < 1

2m

2

+ 3m −2 nếu x = 1

. Tìm m để hàm số liên tục tại

điểm x = 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 5x

4

+ x

2

−10 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. (1,5 điểm) Cho các số thực a, b, c với a 6= 0 thỏa mãn 5a + 3b + 2c = 0. Chứng minh phương

trình ax

2

+ bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93/101 93/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

94

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I–ĐỀ SỐ 5A

c Bài 1 (2 điểm). Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) (u

n

) có u

n

=

3

n

−4

n+1

−3

2

n

−4

n

+ 2

.

b) (v

n

) có v

n

=

√

3n

2

+ n + 5.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2 (3 điểm). Tính giới hạn của các hàm số sau:

a) M = lim

x→2

Å

1

x

−

1

2

ã

·

2x −1

x −2

.

b) N = lim

x→−1

√

x

2

+ 3 −2

x + 1

.

c) P = lim

x→+∞

Ä

√

x

2

+ 3 −x

ä

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94/101 94/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3 (2 điểm). Tính các giới hạn một bên sau:

a) lim

x→4

+

x + 2

x −4

.

b) lim

x→(−1)

−

x

2

+ 2

x + 1

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4 (2 điểm). Cho hàm số y = f (x) =







3x −a, Nếu x ≤ 2

−x

3

+ x + 6

x −2

, Nếu x > 2

.

Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95/101 95/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

96

c Bài 5 (1 điểm). Chứng minh rằng phương trình: 3x

5

+ 2x −1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng

(0;1).

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J–ĐỀ SỐ 5B

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

!

c Bài 3 (2 điểm). Tính các giới hạn một bên sau:

a) lim

x→1

+

x + 2

x −1

.

b) lim

x→−2

−

x

2

+ 1

x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96/101 96/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

97

c Bài 4 (2 điểm). Cho hàm số y = f (x) =







x −a nếu x = 2

−x

3

+ x + 6

x −2

nếu x 6= 2

.

Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5 (1 điểm). Chứng minh rằng phương trình: x

3

+ 2x −1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng

(0;1).

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K–ĐỀ SỐ 6A

c Bài 1. (4 điểm) Tính các giới hạn sau

a) lim



−n

2

+ n

√

n + 1



.

b) lim

Ä

√

n

2

+ n −

√

n

2

−2

ä

.

c) lim

x→0

−

1

x

Å

1

x + 1

−1

ã

.

d) lim

x→−2

√

x

2

+ 5 −3

x + 2

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97/101 97/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

98

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (2 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f (x) =







x

2

−2x −3

x −3

nếu x 6= 3

5 nếu x = 3

trên tập xác định của

nó.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. (2 điểm) Cho hàm số f (x) =







√

7x −10 −2

x −2

, nếu x > 2

mx + 3, nếu x ≤ 2

. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98/101 98/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

99

c Bài 4. (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình:

a) x

5

+ x

3

−1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

b) cosx + m cos 2x = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L–ĐỀ SỐ 6B

c Bài 1. (1.5 điểm) Cho dãy số (u

n

) xác định bởi

(

u

1

=

√

2

u

n+1

=

p

2 + u

n

với n ≥ 1

Biết (u

n

) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞, hãy tính giới hạn đó.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. (1.5 điểm) Tính tổng S = 2 −

√

2 + 1 −

1

√

2

+

1

2

−. . .

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. (4 điểm) Tính các giới hạn sau:

99/101 99/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

4. Đề Kiểm tra Chương IV

Kết nối tri thức với cuộc sống

100

a) lim

x→3

−

x + 1

x −2

.

b) lim

x→1

x

2

+ 2x −3

2x

2

−x −1

.

c) lim

x→0

4x

√

9 + x −3

.

d) lim

x→0

2

√

1 −x −

3

√

8 −x

x

.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. (1.5 điểm) Tìm m để hàm số f (x) =







x

2

−4x + 3

x −3

khi x < 3

2mx + m + 1 khi x ≥ 3

liên tục trên R

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100/101 100/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chương 1. GIỚI HẠN

Kết nối tri thức với cuộc sống

101

c Bài 5. (1.5 điểm) Với mọi a, b, c ∈ R, chứng minh phương trình

a(x −b)(x −c) + b(x −c)(x −a) + c(x −a)(x −b) = 0

có nghiệm.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101/101 101/101

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688

Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Hoàng Việt

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số Giải Toán 11 Kết nối - sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục - Sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - sách Kết Nối Tri Thức